%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/eetaa.html}{EETAA 2016} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Concours EETAA session 2016.}

\begin{center} Durée de l'épreuve 2 heures. \end{center}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{sujet}

Dans cet exercice, les quatre questions sont indépendantes.Vous détaillerez les calculs:

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $A=\displaystyle \left( \frac{1}{5}-\frac{5}{4} \right) \div \left( \frac{1}{5}+\frac{5}{4} \right)$. Calculer $A$ en détaillant les calculs et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $A$.}
	
	\medskip
	\begin{align*}
		A &= \left( \frac{1\times 4}{5\times 4} -\frac{5\times 5}{4\times 5} \right) \div \left( \frac{1\times 4}{5\times 4}+\frac{5\times 5}{4\times 5} \right)\\
		&= \frac{4-25}{20}\div \frac{4+25}{20}\\
		&= \frac{-21}{20}\div \frac{29}{20}\\
		&= \frac{-21}{20} \times \frac{20}{29}\\
		&= \frac{-21}{29}
	\end{align*}
	
	$21$ et $29$ sont premiers entre eux donc la fraction est irréductible et 
	
	\begin{conclusion}
		
		$A=-\frac{21}{29}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On donne $B=\displaystyle \frac{6\times (10^4)^2 \times 1,6\times 10^5}{0,4\times 10^{17}}$. Donner l'écriture décimale de $B$ puis son écriture scientifique.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $B$}.
	
	\medskip
	\begin{align*}
	B &= \frac{6\times (10^{4\times 2}) \times16 \times10^4}{4 \times 10^{16}}\\
	&= \frac{6\times 16 \times 10^8 \times 10^4}{4\times 10^{16}}\\
	&=\frac{6\times 16}{4} \times \frac{10^{8+4}}{10^{16}}\\
	&= 6\times 4 \times 10^{12} \times 10^{-16}\\
	&=24 \times 10^{12-16}\\
	&= 24 \times 10^{-4}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
	
	Donc l'écriture décimale est $B=0,0024$,
	
	\end{conclusion}
	
	\begin{conclusion}
	
	et son écriture scientifique $B=2,4\times 10^{-3}$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Soit $\displaystyle C=2\sqrt{4\times 7}+5\sqrt{63}-4\sqrt{112}$. Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt{b}$, avec $a$ et $b$ entiers, $b$ le plus petit possible.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Exprimons $C$ sous la forme souhaitée.}
	
	\begin{align*}
	C &= 2\sqrt{4\times 7}+5\sqrt{9\times 7}-4\sqrt{16\times 7}\\
	&=2\sqrt{4}\times \sqrt{7}+5\sqrt{9}\times \sqrt{7}-4\sqrt{16}\times \sqrt{7}\\
	&=2\times 2\sqrt{7}+5\times 3 \sqrt{7}-4\times 4 \sqrt{7}\\
	&= 4\sqrt{7}+15\sqrt{7}-16\sqrt{7}\\
	&= 3\sqrt{7}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
	
	$C=3\sqrt{7}$
	
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Résoudre le système suivant: \[ \left\{ \begin{array}{l}5x-3y=35\\ x+2y=-6 \end{array} \right. \] 
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Résolvons le système.}
	
	Le système proposé équivaut successivement à
	
	\[ \left\{ \begin{array}{lcr}
	5x-3y=35 && \\
	5x+10y=-30 && {\color{orange} 5\times L_2 \rightarrow L_2}
	\end{array} \right. \]
	
	\[ \left\{ \begin{array}{lcr}
	5x-3y=35 && \\
	-13y=65 && {\color{orange} L_1 -L_2 \rightarrow L_2}
	\end{array} \right. \]
	
	\[ \left\{ \begin{array}{lcr}
	5x-3y=35 && \\
	y=-5 && {\color{orange} \frac{-1}{13}L_2 \rightarrow L_2}
	\end{array} \right. \]
	
	\[ \left\{ \begin{array}{lcr}
	5x=35+3\times (-5) && {\color{orange}3L_2 +L_1 \rightarrow L_1}\\
	y=-5 && 
	\end{array} \right. \]
	
	\[ \left\{ \begin{array}{lcr}
	x=\frac{1}{5}\left( 35-15\right) && {\color{orange}\frac{1}{5}L_1 \rightarrow L_1}\\
	y=-5 && 
	\end{array} \right. \]
	
	\begin{conclusion}
	
	Finalement le système admet une solution unique formée du couple $(x,y)=(4,-5)$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (4 points)}

\begin{sujet}

Les $25$ élèves d'une classe de $1^{\text{ère}}$ ont obtenu les notes suivantes, lors d'un contrôle de mathématiques:

\medskip
\begin{tabular}{|m{1.6cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Notes & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ \hline
Effectifs & 1 & 0 & 4 & 0 & 7 & 3 & 2 & 0 \\ \hline
\end{tabular}

\medskip
\begin{tabular}{|m{1.6cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Notes & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ \hline
Effectifs & 1 & 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ \hline
\end{tabular}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Quel est le pourcentage d'élèves ayant eu une note inférieure ou égale à $12$?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$1+4+7+3+2=17$ élèves ont une note inférieure ou égale à 12 ce qui représente un pourcentage de $\frac{17}{25}\times 100$
	
	\begin{conclusion}
	
	Le pourcentage d'élèves ayant une note inférieure ou égale à $12$ est $68\ \%$. 
	
	\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer la médiane de ce relevé de notes.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons la médiane.}
	
	\medskip	
	\begin{tabular}{|m{1.6cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|}
	\hline
	Notes & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ \hline
	Effectifs & 1 & 0 & 4 & 0 & 7 & 3 & 2 & 0 \\ \hline
	E.C.C. & 1 & 1 & 5 & 5 & 12 & 15 & 17 & 17 \\ \hline	
	\end{tabular}
	
	\medskip
	\begin{tabular}{|m{1.6cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|}
	\hline
	Notes & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ \hline
	Effectifs & 1 & 3 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ \hline
	E.C.C. & 18 & 21 & 23 & 23 & 23 & 23 & 25 \\ \hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	La série des notes est ordonnée de façon croissante.
	
	$\frac{N}{2}=\frac{25}{2}=12,5$. La médiane est donc (série impaire) la treizième valeur de la série.
	
	\begin{conclusion}
	
	$Me=11$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminez la moyenne de cette classe pour ce devoir.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons la moyenne.}
	
	\medskip
	\begin{align*}
	\overline{x} &= \frac{n_1x_1+n_2x_2+\dots +n_rx_r}{n_1+n_2+\dots +n_r}\\
	&= \frac{1\times 6+ 0\times 7+ \dots +2\times 20}{1+0+\dots +2}\\
	&= 11,84
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
	
	$\overline{x}=11,84$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
		
	\item \begin{sujet}
	
	Quelle note devrait obtenir un $26^{\text{e}}$ élève pour que la moyenne de cette classe soit exactement égale à $12$?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons la note du $26^{\text{e}}$ élève.}
	
	Notons $y$ la note recherchée. D'après l'énoncé on doit avoir \[ 12=\frac{25 \times \overline{x}+y}{26} \]
	
	Il s'agit d'une équation linéaire du premier degré d'inconnue $y$ qui équivaut successivement à
	
	\begin{align*}
	26\times 12 &= 26 \times \frac{25 \times \overline{x} +y}{26}\\
	26 \times 12-25\times \overline{x} &= 25 \times \overline{x} +y-25\times \overline{x}\\
	26 \times 12-25\times \overline{x} &= y
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
	
	Finalement $y=16$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (6 points)}

\begin{sujet}

On considère la figure ci-dessous (les dimensions ne sont pas respectées).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
	\def\theta{acos(4/5)};
		\coordinate (A) at (-7,0);
		\coordinate (B) at ({-4*7/5*cos(\theta)},{-4*7/5*sin(\theta)});
		\coordinate (D) at ({-(4*7/5 +4*7/5 *tan(\theta) *tan(30) )*cos(\theta)},{-(4*7/5 +4*7/5 *tan(\theta) *tan(30) )*sin(\theta)});
		\coordinate (E) at (0,0);
		\coordinate (F) at ({4*cos(\theta)},{4*sin(\theta)});
		\coordinate (G) at (5,0);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (E)node {$\bullet$};
		\draw (G)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[above]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[above]{$F$};
		\draw (E)node[above left]{$E$};
		\draw (D)node[below right]{$D$};
		\draw (G)node[right]{$G$};
		\draw[blue, thick](A)--(G);
		\draw[blue, thick](D)--(F);
		\draw[blue, thick](G)--(F);
		\draw[blue, thick](D)--(A);
		\draw[blue, thick](B)--(A);
		\draw[blue, thick][samples=100,domain={-90+\theta -30}:{-90+\theta}] plot({1*cos(\x)-7},{1*sin(\x)});
		\draw (-6.2,-2) node {$30^{\circ}$};
		\draw[blue, thick](-4.7,-3)--(-4.4,-2.8)--(-4.2,-3.1);
\end{tikzpicture}
\end{center}

On sait que $EF=4\ \mathrm{cm}$; $FG=\ \mathrm{3cm}$; $EG=5\ \mathrm{cm}$; $AE=7\ \mathrm{cm}$; $\widehat{DAB}=30^{\circ}$.

Les points $A$, $E$ et $G$ sont alignés; les points $D$, $E$ et $F$ sont alignés. 

$(AB)$ est la hauteur issue de $A$  dans le triangle $AED$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Faire une figure en vraie grandeur.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\theta{acos(4/5)};
		\coordinate (A) at (-7,0);
		\coordinate (B) at ({-4*7/5*cos(\theta)},{-4*7/5*sin(\theta)});
		\coordinate (D) at ({-(4*7/5 +4*7/5 *tan(\theta) *tan(30) )*cos(\theta)},{-(4*7/5 +4*7/5 *tan(\theta) *tan(30) )*sin(\theta)});
		\coordinate (E) at (0,0);
		\coordinate (F) at ({4*cos(\theta)},{4*sin(\theta)});
		\coordinate (G) at (5,0);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (E)node {$\bullet$};
		\draw (G)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[above]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[above]{$F$};
		\draw (E)node[above left]{$E$};
		\draw (D)node[below right]{$D$};
		\draw (G)node[right]{$G$};
		\draw[blue, thick](A)--(G);
		\draw[blue, thick](D)--(F);
		\draw[blue, thick](G)--(F);
		\draw[blue, thick](D)--(A);
		\draw[blue, thick](B)--(A);
		\draw[blue, thick][samples=100,domain={-90+\theta -30}:{-90+\theta}] plot({1*cos(\x)-7},{1*sin(\x)});
		\draw (-6.2,-2) node {$30^{\circ}$};
		\draw[blue, thick](-4.7,-3)--(-4.4,-2.8)--(-4.2,-3.1);
\end{tikzpicture}
\end{center}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Démontrer que le triangle $EFG$ est un triangle rectangle. Justifier à l'aide d'un théorème.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Démontrons que $EFG$ est rectangle en $F$.}
	
	D'une part
	\begin{align*}
	EF^2+FG^2 &= 4^2+3^2\\
	&= 25
	\end{align*}
	
	et d'autre part
	\begin{align*}
	EG^2 &= 5^2\\
	&= 25
	\end{align*}
	
	donc $EF^2+FG^2=EG^2$.
	
	De cette égalité nous déduisons, d'après le théorème de Pythagore, que 
	
	\begin{conclusion}
	
	$EFG$ est rectangle en $F$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	En déduire que la droite $(FG)$ est parallèle à la droite $(AB)$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Montrons que $(AB)//(FG)$.}
	
	$\left\{ \begin{array}{l} (AB)\perp (BF)\\ (FG) \perp (BF) \end{array} \right. \Rightarrow (AB)//(FG)$.
	
	\begin{conclusion}
	
	$(FG)//(AB)$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	On souhaite calculer la valeur exacte de $EB$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Quel théorème peut-on utiliser?
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $EB$.}
		
		Les points $A$, $E$, $G$ d'une part et $B$, $E$, $F$ d'autre part sont alignés dans le même ordre. Nous avons donc une configuration de Thalès.
		
		Comme d'après la question précédente $(FG)//(AB)$, d'après le théorème de Thalès \[ \frac{EF}{EB} =\frac{EG}{EA} \]
		
		Cette égalité équivaut successivement à
		\begin{align*}
		EF \times EA =EB\times EG, &\quad \text{produit en croix}\\
		\frac{EF \times EA}{EG} = EB &\\
		\frac{4 \times 7}{5}=EB & \\
		\frac{28}{5}=EB &
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
		
		En utilisant le théorème de Thalès nous avons calculé $EB=5,6\ \mathrm{cm}$.
		
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Prouver que $EB=5,6\ \mathrm{cm}$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Voir ci-dessus.
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}

	\item \begin{sujet}
	
	On souhaite calculer la valeur exacte de $AB$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Quel théorème peut-on utiliser?
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $AB$.}
		
		$ABE$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore, \[ AB^2+BE^2=AE^2 \]
		
		Cette égalité est successivement équivalente à
		\begin{align*}
		AB^2 &= AE^2-BE^2 \\
		AB^2 &= 7^2-5,6^2\\
		AB^2 &= 17,64\\
		\intertext{Et comme $AB$ est une longueur donc un nombre positif}
		AB &= \sqrt{17,64}\\
		AB &= 4,2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
		
		En utilisant le théorème de Pythagore nous avons démontré que $AB=4,2$.
		
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Prouver que $AB=4,2\ \mathrm{cm}$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Voir ci-dessus.
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}

	\item \begin{sujet}
	
	Dans le triangle $DAB$, montrer par le calcul qu'une valeur approchée à $0,1$ près de $DB$ est: $DB\approx 2,4\ \mathrm{cm}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons une valeur approchée de $DB$.}
	
	De $\tan \left( \widehat{DAB} \right) =\frac{DB}{AB}$ nous déduisons
	
	\begin{align*}
	DB &= AB \times \tan \left( \widehat{DAB} \right)\\
	&= 4,2 \times \tan (30)\\
	\intertext{Avec la caclulatrice}
	DB &\approx 2,425
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
	
	Une valeur approchée à $0,1$ près de $DB$ est $DB \approx 2,4\ \mathrm{cm}$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Calculer l'aire du triangle $AED$. On donnera la valeur arrondie à $1\ \mathrm{cm}^2$ près.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons l'aire  $\mathcal{A}(AED)$ de $AED$.}
	
	Puisque $(AB)$ est la hauteur de $AED$ issue de $A$
	
	\begin{align*}
	\mathcal{A}(AED) &= \frac{1}{2} AB\times DE\\
	&= \frac{1}{2}\times 4,2 \times (5,6+DB)\\
	\intertext{En utilisant la valeur approchée trouvée à la question précédente}
	\mathcal{A}(AED) &\approx 16,8
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
	
	$\mathcal{A}(AED) \approx 17\ \mathrm{cm}^2$.
	
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{sujet}

Pour chaque question, une seule des cinq réponses proposées est exacte.

Le candidat indique sur la copie \textbf{le numéro de la question et la réponse choisie}.

Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée.

Aucun point n'est enlevé en cas de réponse fausse ou d'absence de réponse.

Les cinq questions sont indépendantes.

\end{sujet}

\subsubsection{Question 1.}

\begin{sujet}

Un véhicule est indiqué chez un concessionnaire au prix de $\np{34000}\ \text{\euro}$. Un mandataire propose le même véhicule au prix de $\np{25500}\ \text{\euro}$. Le pourcentage de réduction par rapport au prix affiché chez le concessionnaire est:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $33\ \%$
	\item $0,75\ \%$
	\item $8,5\ \%$
	\item $25\ \%$
	\item $75\ \%$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Calculons le taux d'évolution en pourcentage.}

\begin{align*}
t &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 1000 \\
&= \frac{\np{25500}-\np{34000}}{\np{34000}} \times 100 \\
&= -25\ \%
\end{align*}

\begin{conclusion}

Le pourcentage de réduction est de $25\ \%$.

\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Question 2.}

\begin{sujet}

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=(3x-1)^2-x^2$.

La forme développée, réduite de $f$ est:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $f(x)=2x^2-1$
	\item $f(x)=2x^2-6x+1$
	\item $f(x)=8x^2-6x+1$
	\item $f(x)=8x^2-1$
	\item $f(x)=8x^2+6x+1$.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Développons, réduisons et ordonnons l'expression de $f$.}

\begin{align*}
f(x) &= (3x-1)^2-x^2\\
&= \left[ (3x)^2-2\times 3x \times 1 +1^2 \right] -x^2\\
&=3^2 \times x^2 -6x +1 -x^2\\
&= (9-1)x^2-6x+1
\end{align*}

\begin{conclusion}

La forme développée, réduite et ordonnée de $f$ est $f(x)=8x^2-6x+1$.

\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Question 3.}

\begin{sujet}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-4.5};
	\def\yY{-2.5};
	\def\xZ{7.25};
	\def\yZ{6.25};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x };
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\y };
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4.5:7.25] plot(\x,{-(2/5)*\x +2});
	\draw(-2.5,3.5) node {$(d)$};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

La droite $(d)$ est la représentation graphique de la fonction affine $g$ définie par:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $g(x)=5x+2$
	\item $g(x)=2x+5$
	\item $g(x)=-\frac{5}{2}x+2$
	\item $g(x)=-\frac{5}{2}x+5$
	\item $g(x)=-\frac{2}{5}+2$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

$(d)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées elle admet donc une équation réduite dans le repère proposé.

\medskip
\objectif{Déterminons l'équation réduite de $(d)$.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
	\def\xY{-4.5};
	\def\yY{-2.5};
	\def\xZ{7.25};
	\def\yZ{6.25};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x };
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\y };
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-4.5:7.25] plot(\x,{-(2/5)*\x +2});
	\draw(-2.5,3.5) node {$(d)$};
	\draw(0,2)node{\Large \color{orange} $\times$};
	\draw(-4,1.5)node[fill=white]{\color{orange} Ordonnée à l'origine};
	\draw(-4,0.5)node[fill=white]{\color{orange} $p=2$};
	\draw[dashed,thick,red,>=latex,->](0,2)--(5,2)node[midway,above]{$5$};
	\draw[dashed,thick,red,>=latex,->](5,2)--(5,0)node[midway,right]{$-2$};
	\draw(5,5)node[fill=white]{\color{red}Coefficient directeur};
	\draw(5,4)node[fill=white]{\color{red}$m=\frac{-2}{5}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\begin{conclusion}

L'équation réduite de $(d)$ est $y=-\frac{2}{5}x+2$.

\end{conclusion}

\medskip
Et donc $(d)$ est la représentation graphique de la fonction affine définie par $g(x)=-\frac{2}{5}x+2$.

{\medskip
\color{orange}
Il était également possible de relever les coordonnées de deux points de $(d)$ puis de calculer le coefficient directeur (formule du taux d'accroissement) et enfin l'ordonnée à l'origine.
}

\end{correction}

\subsubsection{Question 4.}

\begin{sujet}

Soit $h$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $h(x)=5x^2-x$.

$0$ a pour antécédent(s) par $h$:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $5$ et $0$
	\item $0$
	\item $\frac{1}{5}$
	\item $5$
	\item $0$ et $\frac{1}{5}$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

{\color{orange}Après avoir testé les valeurs proposées nous rédigeons au propre.}

\medskip
\objectif{Vérifions que $0$ et $\frac{1}{5}$ sont des antécédents de $0$ par $h$.}

\begin{align*}
h(0) &= 5\times 0^2-0\\
&= 0
\end{align*}

\begin{align*}
h\left( \frac{1}{5} \right) &= 5\times \left( \frac{1}{5} \right) ^2 -(\frac{1}{5}\\
&= 5\times \frac{1^2}{5^2} -\frac{1}{5}\\
&= \frac{5\times 1^2}{5^2} -\frac{1}{5}\\
&= \frac{5\times 1}{5\times 5} -\frac{1}{5}\\
&=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\\
&= 0
\end{align*}

\begin{conclusion}

Ainsi $0$ et $\frac{1}{5}$ sont des antécédents de $0$ par $h$.

\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Question 5.}

\begin{sujet}

Les solutions de l'inéquation $4-3x\le x+2$ sont les nombres réels $x$ vérifiant:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $x\le \frac{1}{2}$
	\item $x\ge \frac{1}{2}$
	\item $x\ge 1$
	\item $x\le -\frac{1}{2}$
	\item $x>\frac{1}{2}$
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Résolvons l'inéquation $4-3x\le x+2$.}

Cette inéquation équivaut successivement à
\begin{align*}
4-3x{\color{orange}+3x} &\le x+2{\color{orange}+3x}\\
4 &\le 4x+2\\
4{\color{orange}-2} &\le 4x+2{\color{orange}-2}\\
2 &\le 4x\\
\frac{2}{\color{orange}4} &\le \frac{4x}{\color{orange}4}\\
\frac{1}{2} &\le x
\end{align*}

\begin{conclusion}

L'ensemble des solutions de l'inéquation est $\mathcal{S}=\left[\frac{1}{2} ; +\infty \right[$.

\end{conclusion}

{\medskip
\color{orange}
Les solutions sont les nombres $x$ vérifiant $x\ge \frac{1}{2}$.}

\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A1) at (3.2,2);
	\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
	\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
	\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
	\coordinate (A5) at (3.2,-2);
	\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
	\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
	\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$1$};
	\draw node (A14) at (A4) {$2$};
	\draw node (A15) at (A5) {$3$};
	\draw node (A16) at (A6) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$N$};
	\draw node (B12) at (B2) {$B$};
	\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$