%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/eetaa.html}{EETAA 2015} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Concours EETAA session 2015.}

\begin{center} 

	Durée de l'épreuve 2 heures.

\end{center}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{sujet}

Dans cet exercice les questions sont indépendantes. Vous détaillerez les calculs:

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Écrire $A$ sous forme d'une fraction irréductible: $\displaystyle A=\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\div \frac{8}{15}$
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Réduisons la fraction $A$.}
	
	\begin{align*}
	A &= \frac{3}{4}-\frac{2}{3} \times \frac{15}{8}\\
	&= \frac{3}{4}-\frac{2\times 15}{3\times 8}\\
	&= \frac{3}{4}-\frac{5}{4}\\
	&= -\frac{2}{4}\\
	&= -\frac{1}{2}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Ainsi: $A=-\frac{1}{2}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	On donne $\displaystyle B = \frac{3\times 10^5 \times 4 \times \left( 10^{-4} \right)}{16\times 10^{-1}}$. Donner l'écriture décimale de $B$ puis son écriture scientifique.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons les écritures décimales et scientifiques de $B$.}
	
	\begin{align*}
	B &= \frac{3\times 4 \times 10^5\times 10^{-4}}{16\times 10^{-1}}\\
	&= \frac{12}{16} \times \frac{10^{5-4}}{10^{-1}}\\
	&= 0,75\times 10^{1}\times 10^1\\
	&= 0,75 \times 10^2\\
	&= 75
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'écriture décimale de $B$ est donc $B=75$ et son écriture scientifique est $B=7,5\times 10^{1}$, puisque $0\le 7,5 <10$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}

	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Écrire sous la forme $a\sqrt{6}$, où $a$ est un nombre entier relatif: \[ \sqrt{16\times 6} +5\sqrt{6}-3\sqrt{150} \]
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Écrivons le nombre sous la forme $a\sqrt{6}$, $a\in\mathbb{Z}$.}
	
	Faisons apparaître le facteur $6$ sous chaque radical.
	
	\begin{align*}
	\sqrt{16\times 6}+5 \sqrt{6}-3\sqrt{150} &= \sqrt{(2^4) \times 6} +5 \sqrt{6} -3\sqrt{6 \times 5^2}\\
	&= \sqrt{2^4}\times \sqrt{6} +5\sqrt{6} -3\sqrt{5^2}\times \sqrt{6}\\
	&= 2^2 \sqrt{6} +5\sqrt{6} -3\times 5 \sqrt{6}\\
	&= 4\sqrt{6}+5\sqrt{6}-15 \sqrt{6}\\
	&= -6\sqrt{6}
	\end{align*}
	
	Évidemment $-6\in\mathbb{Z}$.
	
	\begin{conclusion}
	
		Donc: $\sqrt{16\times 6}+5 \sqrt{6}-3\sqrt{150} = -6\sqrt{6}$
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Résoudre le système suivant: \[ \left\{ \begin{array}{l}
	2x-3y=-1\\
	5x+y=23 \end{array} \right. \]
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Résolvons le système.}
	
	{\color{orange} Il est possible en faisant apparaître des équations réduites d'anticiper les nombre de solutions du système.
	
	En écrivant le système sous la forme:
	
	\[ \left\{ \begin{array}{l}
	y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\\
	y= -5x+23
	\end{array} \right. \]
	
	nous pouvons interpréter le problème comme la recherche du point d'intersection de deux droites qui n'ont pas le même coefficient directeur et qui par conséquent sont sécantes.
	
	Le système admet dont une unique solution.}
	
	\medskip
	D'après la seconde équation $y=23-5x$ donc en substituant dans la première équation \[ 2x-3(23-5x)=-1 \]
	
	Cette équation linéaire du premier degré est successivement équivalente à
	
	\begin{align*}
	2x -69+15x &= -1\\
	17x &= 68\\
	\frac{17x}{\color{orange}17} &= \frac{68}{\color{orange}17}\\
	x&=4
	\end{align*}
	
	Si $x=4$ alors la seconde équation du système peut s'écrire $5\times 4 +y=23$ et donc $y=3$.
	
	Nous vérifions aisément que le couple $(4;3)$ est bien solution du système.
	
	\begin{conclusion}
	
		L'ensemble des solutions du système est $\mathcal{S}=\left\{ (4;3) \right\}$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{sujet}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2(x-1)^2+8$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Calculer $f(-1)$ puis $f\left( 1+2\sqrt{2} \right)$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $f(-1)$.}
	
	\begin{align*}
	f(-1) &= -2(-1-1)^2+8\\
	&= 0
	\end{align*}
	\begin{conclusion}
		
		$f(-1)=0$.
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $f(1+2\sqrt{2})$.}
	
	\begin{align*}
	f\left( 1+2\sqrt{2} \right) &= -2\left( 1+2\sqrt{2} -1\right)^2 +8\\
	&= -2\left( 2\sqrt{2} \right)^2+8\\
	&=-2\times 4\times 2+8\\
	&= 8
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$f(1+2\sqrt{2})=8$
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 

	\begin{sujet}
	
	Justifier que l'expression développée et réduite de $f$ est: $f(x)=-2x^2+4x+6$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Développons, ordonnons et réduisons l'expression de $f$.}
	
	\begin{align*}
	f(x) &= -2(x-1)^2+8\\
	&= -2(x^2-2x+1)+8\\
	&= -2x^2+2\times 2x -2\times 1+8\\
	&= -2x^2+4x+6
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Donc: $\forall x\in \mathbb{R},\ f(x)=-2x^2+4x+6$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Justifier que, pour tout réel $x$, $f(x)=(2x+2)(-x+3)$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Développons, ordonnons et réduisons l'expression proposée.}
	
	\begin{align*}
	(2x+2)(-x+3) &= 2x\times (-x)+2x\times 3+2\times (-x)+2\times 3\\
	&= -2x^2+6x-2x+6\\
	&=-2x^2+4x+6
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Ainsi: $\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=(2x+2)(-x+3)$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Pour les questions suivantes vous utiliserez la forme la plus adaptée de $f(x)$:
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons dans $\mathbb{R},\ f(x)=0$.}
		
		\begin{align*}
		f(x)=0 &\Leftrightarrow (2x+2)(-x+3)=0\\
		&\Leftrightarrow 2x+2=0 \text{ ou } -x+3=0\\
		&\Leftrightarrow 2x+2 {\color{orange} -2} =0 {\color{orange} -2} \text{ ou } -x+3 {\color{orange} +x}=0 {\color{orange} +x}\\
		&\Leftrightarrow 2x=-2 \text{ ou }3=x\\
		&\Leftrightarrow \frac{2x}{\color{orange}2} = \frac{-2}{2} \text{ ou }3=x\\
		&\Leftrightarrow x=-1 \text{ ou } x=3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathcal{S}_1=\left\{ -1 ; 3 \right\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Déterminer les éventuels antécédents de $6$ par $f$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\objectif{Recherchons les antécédents de $6$ par $f$ s'ils existent.}
		
		$x\in\mathbb{R}$ est un antécédent de $6$ par $f$ si et seulement si $f(x)=6$, ce qui équivaut successivement à
		\begin{align*}
		-2x^2+4x+6 &= 6\\
		-2x^2+4x &= 0\\
		x(-x+4) &=0\\
		x=0 &\text{ ou } -x+4=0\\
		x=0 &\text{ ou } x=4
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des antécédents de $6$ par $f$ est $\mathcal{S}_2=\{ 0;4\}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{sujet}

L'unité de longueur est le $\mathrm{cm}$.

On considère un triangle $ABC$ rectangle en $C$ tel que $AB=7,8$ et $BC=3$.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Faire une figure en vraie grandeur.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,7.2);
		\coordinate (B) at (3,0);
		\coordinate (C) at (0,0);
		\coordinate (M) at (0,5.4);
		\coordinate (N) at (2.25,0);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (M)node {$\bullet$};
		\draw (N)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[above]{$A$};
		\draw (B)node[below]{$B$};
		\draw (C)node[below]{$C$};
		\draw (M)node[below left]{$M$};
		\draw (N)node[below left]{$N$};
		\draw[dashed][samples=100,domain=105:120] plot({7.8*cos(\x)+3},{7.8*sin( \x)});
		\draw (A)--(B)--(C)--(A);
		\draw[thin] (0.5,0)--(0.5,0.5)--(0,0.5);
		\draw[dashed][samples=100,domain=-10:10] plot({2.25*cos(\x)},{2.25*sin( \x)});
		\draw[dashed][samples=100,domain=80:100] plot({5.4*cos(\x)},{5.4*sin( \x)});
	\end{tikzpicture}

	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	On souhaite calculer la valeur exacte de $AC$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
		Quel théorème peut-on utiliser?
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$ABC$ étant rectangle et connaissant les longueurs de deux de ses côtés il semble pertinent d'utiliser le 
		
		\begin{conclusion}

			théorème de Pythagore.
			
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
		Prouver que $AC=7,2$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $AC$.}
		
		$ABC$ est rectangle en $C$ donc, d'après le théorème de Pythagore \[ AC^2+BC^2= AB^2 \]
		
		Cette égalité équivaut successivement à
		\begin{align*}
		AC^2 &= AB^2-BC^2\\
		AC^2 &= 7,8^2-3^2\\
		AC^2 &= 51,84\\
		\intertext{$AC$ étant une longueur donc positive}
		AC &= \sqrt{51,84}\\
		AC &= 7,2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Ainsi $AC=7,2\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
		Calculer la tangente de l'angle $\widehat{CAB}$. On donnera le résultat arrondi au millième.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\tan \left( \widehat{CAB} \right)$.}
		
		$ABC$ étant rectangle en $B$
		
		\begin{align*}
			\tan \left( \widehat{CAB} \right) &= \frac{CB}{CA}\\
			&= \frac{3}{7,2}\\
			&= \frac{5}{12}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			
			Donc $\tan \left( \widehat{CAB} \right) \approx 0,417$.
			
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
		En déduire une valeur approchée de $\widehat{CAB}$ au degré près.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons une mesure en degré de $\widehat{CAB}$.}
		
		Une mesure en degré de $\widehat{CAB}$ est
		
		\begin{align*}
		\widehat{CAB} &= \arctan \left( \frac{5}{12} \right) \\
		&\approx 23
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Donc $\widehat{CAB}\approx 23^{\circ}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	On place sur le segment $[BC]$ le point $N$ tel que $CN=2,25$ et sur le segment $[AC]$ le point $M$ tel que $CM=5,4$.
	
	Les droites $(AB)$ et $(MN)$ sont-elles parallèles? Justifier à l'aide d'un théorème.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Démontrons: $(MN)//(AB)$.}
	
	Nous reconnaissons une configuration de Thalès: les points $C$, $N$, $B$ d'une part et $C$, $M$ et $A$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
	
	\medskip
	D'après le théorème le Thalès pour que $(MN)//(AB)$ il faut et il suffit que $\frac{CN}{CB}=\frac{CM}{CA}$.
	
	Or $\frac{CN}{CB}=\frac{2,25}{3}=\frac{3}{4}$ et $\frac{CM}{CA}=\frac{5,4}{7,2}=\frac{3}{4}$ donc, d'après le théorème de Thalès, 
	
	\begin{conclusion}
		
		$(MN)//(AB)$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{sujet}

Pour chaque question, une seule des cinq réponses proposées est exacte.

Le candidat indique sur la copie le numéro de la question et recopie la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée.

Aucun point n'est enlevé en cas de réponse fausse ou d'absence de réponse.

Les cinq questions sont indépendantes.

\end{sujet}

\subsubsection{Question 1.}

\begin{sujet}

La droite $(d)$ d'équation $y=-1,5x+2$ passe par le point:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $A(1,5\ ;\ 2)$
	\item $B(2\ ;\ 5)$
	\item $C(-2\ ;\ 5)$
	\item $D(-2\ ;\ 1)$
	\item $E(0\ ;\ 0)$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

Si $x=-2$ alors $-1,5\times (-2)+2=5$. 

\begin{conclusion}
	
	$(d)$ passe par le point $C$.
	
\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Question 2.}

\begin{sujet}

Les solutions de l'inéquation $-3x+7\ge 5$ sont les nombres $x$ vérifiant:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $\displaystyle x \ge \frac{7}{3}$
	\item $\displaystyle x \le -\frac{2}{3}$
	\item $\displaystyle x\ge \frac{2}{3}$
	\item $\displaystyle x \le \frac{2}{3}$
	\item $\displaystyle x\le -4$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Résolvons l'inéquation.}

Celle-ci est linéaire du premier degré et équivaut successivement à

\begin{align*}
-3x+7 {\color{orange}-7} &\ge 5 {\color{orange}-7}\\
-3x &\ge -2\\
\frac{-3x}{\color{orange}-3} &\le \frac{-2}{\color{orange}-3}, \text{ car $-3<0$}\\
x &\le \frac{2}{3}
\end{align*}

\begin{conclusion}
	
	Les solutions de l'inéquation sont les nombres $x$ vérifiant $x\le \frac{2}{3}$.
	
\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Question 3.}

\begin{sujet}

On a relevé le nombre de fautes d'orthographe d'un paquet de $25$ copies d'examen.

\medskip
Voici les résultats:

\medskip
\begin{tabular}{|m{1.6cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Nombre des fautes & 0 & 2 & 3 & 4 & 5 & 10 & 14 & 20 \\ \hline
Effectifs & 1 & 3 & 2 & 4 & 7 & 5 & 2 & 1 \\ \hline
\end{tabular}

\medskip
La moyenne de la série précédente (arrondie aux dixième) est:
	
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $7,3$
		\item $4,5$
		\item $10$
		\item $6,4$
		\item $5$
		\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Calculons la moyenne pondérée de la série regroupée par modalités.}

\medskip
\begin{align*}
\overline{x} &= \frac{n_1x_1+n_2x_2+ \dots +n_rx_r}{n_1+n_2+\dots +n_r}\\
&= \frac{1\times 1+3\times 2 +\dots + 1\times 20}{1+3+\dots +1}\\
&= 6,44
\end{align*}

\begin{conclusion}
	
	Il y a, en moyenne, $6,44$ fautes d'orthographe par copie.
	
\end{conclusion}

\end{correction}

	
\subsubsection{Question 4.}

\begin{sujet}

En un mois, le prix d'un article est passé de $28\ \text{\euro}$ à $29,92\ \text{\euro}$. Le pourcentage d'augmentation est:

	\begin{enumerate}
	\item $94,9\ \%$
	\item $6,5\ \%$
	\item $1,82\ \%$
	\item $6,1\ \%$
	\item $1,065\ \%$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Calculons le taux d'évolution du prix de l'article en pourcentage.}

\medskip
\begin{align*}
t &=  \frac{29,92-28}{28}\times 100\\
&\approx 0,6686
\end{align*}

\begin{conclusion}
	
	Le pourcentage d'augmentation le plus proche est $6,5\ \%$.
	
\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Question 5.}

\begin{sujet}

La droite $(D)$ a pour équation $y=ax+b$.

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-4.5};
	\def\yY{-2.5};
	\def\xZ{7};
	\def\yZ{6.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x };
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\y };
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.75:2.75] plot(\x,{-2*\x +3})node[fill=white,right,above]{$(D)$};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Les valeurs de $a$ et $b$ sont:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $a=3$ et $b=1,5$
	\item $a=1,5$ et $b=3$
	\item $a=2$ et $b=3$
	\item $a=-2$ et $b=1,5$
	\item $a=-2$ et $b=3$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

	\begin{enumerate}[*]
	\item \objectif{Recherche du coefficient directeur $a$.}
	
	\medskip
	Par lecteur graphique:

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-4.5};
	\def\yY{-2.5};
	\def\xZ{7};
	\def\yZ{6.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x };
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\y };
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.75:2.75] plot(\x,{-2*\x +3})node[right,fill=white]{$(D)$};
	\draw[green,very thick,>=latex,->] (-1,5)--(0,5)node[midway,above]{$1$};
	\draw[green,very thick,>=latex,->] (0,5)--(0,3)node[midway,right]{$-2$};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\begin{conclusion}
		
		Donc $a=-2$.
		
	\end{conclusion}
	
	{\color{orange}
	\medskip
	Autre méthode en calculant le taux d'accroissement. Les points $A(-1;5)$ et $B(0;3)$ appartiennent à la droite donc:
	\begin{align*}
	a &= \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\\
	&= \frac{3-5}{0-(-1)}\\
	&= -2
	\end{align*}
	}
	
	\item \objectif{Déterminons l'ordonnée à l'origine.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-4.5};
	\def\yY{-2.5};
	\def\xZ{7};
	\def\yZ{6.5};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x };
	\foreach \y in {-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, 6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\y };
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.75:2.75] plot(\x,{-2*\x +3})node[right,fill=white]{$(D)$};
	\draw[green](0,3)node{\Large $\times$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Par lecture graphique 
	
	\begin{conclusion}
		
		$b=3$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{enumerate}

\end{correction}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A1) at (3.2,2);
	\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
	\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
	\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
	\coordinate (A5) at (3.2,-2);
	\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
	\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
	\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$1$};
	\draw node (A14) at (A4) {$2$};
	\draw node (A15) at (A5) {$3$};
	\draw node (A16) at (A6) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$N$};
	\draw node (B12) at (B2) {$B$};
	\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$