%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/eetaa.html}{EETAA 2014} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Concours EETAA session 2014.}

\begin{center} 

	Durée de l'épreuve 2 heures.

\end{center}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Réduire la fraction: $\displaystyle A= \frac{\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{2}{3}}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Réduisons la fraction.}
	
	\begin{align*}
	A &= \frac{\frac{1\times 3}{2\times 3} +\frac{2\times 2}{3\times 2}}{\frac{1\times 3}{2\times 3} - \frac{2\times 2}{3\times 2}} \\
	&= \frac{\frac{3+4}{6}}{\frac{3-4}{6}}\\
	&= \frac{\frac{7}{6}}{\frac{-1}{6}}\\
	&= \frac{7}{6}\times \frac{6}{-1}\\
	&= \frac{7\times 6}{6\times (-1)}\\
	&= \frac{7}{-1}\\
	&= -7
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$A=-7$
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	$a$ et $b$ sont deux nombres tels que: \[ a=1-2\sqrt{b-1}, \] $b$ étant supérieur ou égale à $1$ et $a$ inférieur ou égale à $1$.
	
	Exprimer $b$ en fonction de $a$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons une expression de $b$ en fonction de $a$.}
	
	Soient $a\le 1$ et $b\ge 1$ deux nombres réels.
	
	\begin{align*}
	a=1-2\sqrt{b-1} &\Rightarrow a-1 = 1-2\sqrt{b-1} -1\\
	& \Rightarrow  a-1 =-2 \sqrt{b-1}\\
	& \Rightarrow \frac{a-1}{-2} =\frac{-2\sqrt{b-1}}{-2}\\
	& \Rightarrow \frac{a-1}{-2}=\sqrt{b-1}\\
	& \Rightarrow \left( \frac{a-1}{-2} \right) ^2 = \sqrt{b-1}^2\\
	& \Rightarrow \left( \frac{a-1}{-2} \right) ^2 = b-1\\
	& \Rightarrow \left( \frac{a-1}{-2} \right) ^2 +1 = b-1 +1 \\
	& \Rightarrow \left( \frac{a-1}{-2} \right) ^2 +1 =b
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$b=\left( \frac{a-1}{-2} \right) ^2 +1 $
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction} 
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Soit le réel $B$: \[ B=(2\sqrt{2}+1).(4\sqrt{2}-3) -(\sqrt{2}+1).(\sqrt{2} +2) \]
	Simplifier $B$, que l'on mettra sous la forme: $a+b\sqrt{2}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers relatifs.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons des entiers relatifs $a$ et $b$ tels que $B=a+b\sqrt{2}$.}
	
	En distribuant
	\begin{align*}
	B &= (2\sqrt{2}\times 4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\times (-3) +1\times 4\sqrt{2}+1\times (-3))\\
	& \quad -(\sqrt{2}\times \sqrt{2}+\sqrt{2} \times 2 +1 \times \sqrt{2}+1\times 2)\\
	B&= (8\sqrt{2}^2-6\sqrt{2}+4\sqrt{2}-3)-(\sqrt{2}^2+2\sqrt{2}+\sqrt{2}+2)\\
	&= (13-2\sqrt{2})-(4+3\sqrt{2})\\
	&= 13-2\sqrt{2}-4-3\sqrt{2}\\
	&= 9 -5\sqrt{2}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$B=9 -5\sqrt{2}$
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	$x$ et $y$ sont deux réels non nuls et différents  l'un de l'autre.
	
	Simplifier: $\displaystyle C=\frac{x^2-y^2}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}$
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Simplifions l'expression de $C$.}
	
	En remarquant une identité remarquable et en mettant les fractions au même dénominateur
	
	\begin{align*}
	C &= \frac{(x-y)(x+y)}{\frac{y}{xy}-\frac{x}{xy}}\\
	&= \frac{(x-y)(x+y)}{\frac{y-x}{xy}}\\
	&= (x-y)(x+y)\times \frac{xy}{y-x}\\
	&= -xy(x+y)
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$C= -xy(x+y)$
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{sujet}

Soit la fonction $f$, définie dans l'ensemble des réels et de variable $x$, par: \[ f(x)=(2x-1)^2-x^2\]

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Montrer que: $f(x)=(3x-1). (x-1)$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Montrons que, quelque soit $x$ réel, $f(x)=(3x-1)(x-1)$.}
	
	Soit $x\in \mathbb{R}$.
	
	\begin{align*}
	(3x-1)(x-1) &= 3x\times x +3x\times (-1) +(-1) \times x + (-1) \times (-1)\\
	&= 3x^2-3x-x+1\\
	&= 3x^2-4x+1
	\end{align*}
	
	et
	
	\begin{align*}
	(2x-1)^2-x^2 &= ((2x)^2-2\times 2x \times 1 +1^2) -x^2\\
	&= (4x^2-4x+1)-x^2\\
	&= 3x^2-4x+1
	\end{align*}
	
	Nous déduisons de ces deux développements par transitivité que 
	
	\begin{conclusion}
		
		$\forall x\in \mathbb{R}, f(x)= (3x-1)(x-1)$.
		
	\end{conclusion}
	
	{\medskip
	\color{orange} Il était également possible de remarquer une factorisation avec une identité remarquable
	
	\begin{align*}
	f(x) &= \left[ (2x-1)-x \right] \left[(2x-1)+x \right]\\
	&= (x-1)(3x-1)
	\end{align*}
	
	}
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Développer, réduire et ordonner $f(x)$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Déjà fait à la question précédente:  
	
	\begin{conclusion}
		
		$f(x)=3x^2-4x+1$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Calculer, en valeurs exactes, $f\left( \frac{1}{2} \right)$ et $f\left( \sqrt{5} \right)$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $f\left( \frac{1}{2} \right)$.}
	
	\begin{align*}
	f \left( \frac{1}{2} \right) &= 3\left( \frac{1}{2} \right) ^2 -4\times \frac{1}{2}+1 \\
	&= \frac{3}{4}-2+1\\
	&= -\frac{1}{4}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$f \left( \frac{1}{2} \right)= -\frac{1}{4}$
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $f\left( \sqrt{5} \right)$.}
	
	\begin{align*}
	f\left( \sqrt{5} \right) &= 3\sqrt{5}^2-4\sqrt{5}+1\\
	&= 16-4\sqrt{5}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$f\left( \sqrt{5} \right)=16-4\sqrt{5}$
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	En utilisant l'expression de $f$ la mieux adaptée, résoudre l'équation: $f(x)=0$ puis l'équation $f(x)=1$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Résolvons dans $\mathbb{R}, f(x)=0$.}
	
	\begin{align*}
	f(x)=0 &\Leftrightarrow (3x-1)(x-1)=0\\
	&\Leftrightarrow 3x-1=0 \text{ ou } x-1=0\\
	&\Leftrightarrow 3x= 1 \text{ ou }x=1\\
	&\Leftrightarrow x=\frac{1}{3} \text{ ou }x=1
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
	
		L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ est \[ \mathcal{S}_1=\left\{ \frac{1}{3} ; 1 \right\}. \]
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	\objectif{Résolvons dans $\mathbb{R}$, $f(x)=1$.}
	
	\begin{align*}
	f(x)=1 &\Leftrightarrow 3x^2-4x+1=1\\
	&\Leftrightarrow 3x^2-4x=0\\
	&\Leftrightarrow 3x{\color{orange}\times x}-4{\color{orange}\times x}=0\\
	&\Leftrightarrow (3x-4)\times x=0\\
	&\Leftrightarrow 3x-4=0 \text{ ou } x=0\\
	&\Leftrightarrow 3x-4 {\color{orange}+4}=0 {\color{orange}+4} \text{ ou } x=0\\
	&\Leftrightarrow 3x=4 \text{ ou } x=0\\
	&\Leftrightarrow \frac{3x}{\color{orange}3}=\frac{4}{\color{orange}3} \text{ ou } x=0\\
	&\Leftrightarrow x=\frac{4}{3} \text{ ou } x=0
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'ensemble des solutions de l'équation  $f(x)=1$ est \[ \mathcal{S}_2=\left\{ 0 ; \frac{4}{3} \right\}. \]
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{sujet}

Pour chaque question, une seule des cinq réponses proposées est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque question exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée.

Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Les cinq questions sont indépendantes.

\end{sujet}

\subsubsection{Question 1.}

\begin{sujet}

L'inéquation: $3-2x\le 1+6x$ a comme ensemble de solutions dans l'ensemble des réels:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $\displaystyle \left] -\infty ; \frac{1}{4} \right[$.
	\item $\displaystyle \left[ \frac{1}{4}; +\infty \right[$.
	\item $\displaystyle \left] -\infty ; \frac{1}{4} \right]$.
	\item $\displaystyle \left] -\frac{1}{4}; +\infty \right[$.
	\item $\displaystyle \left[ 4; +\infty \right[$.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Résolvons l'inéquation.}

\begin{align*}
3-2x \le 1+6x &\Leftrightarrow 3-2x -6x \le 1+6x -6x\\
&\Leftrightarrow 3-8x \le 1\\
&\Leftrightarrow 3-8x-3 \le 1-3 \\
&\Leftrightarrow -8x \le -2 \\
&\Leftrightarrow \frac{-8x}{-8} \ge \frac{-2}{-8},\ \text{ car -8<0}\\
&\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{4}
\end{align*}

\begin{conclusion}
	
	L'ensemble des solution de l'inéquation est \[ \mathcal{S}_3= \left[ \frac{1}{4} ; +\infty \right[. \]
	
\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Question 2.}

\begin{sujet}

Un triangle isocèle rectangle a son hypoténuse qui mesure $10\ \mathrm{cm}$.

L'un de ses côtés de l'angle droit mesure, en $\mathrm{cm}$:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $50$
	\item $2\sqrt{5}$
	\item $5\sqrt{2}$
	\item $5$
	\item $\sqrt{10}$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Déterminons la mesure d'un côté de l'angle droit.}

Notons $x$ la mesure en centimètre de la longueur d'un des côtés de l'angle droit.


Le triangle étant rectangle, d'après le théorème de Pythagore \[ x^2+x^2 = 10^2 \]

Il s'agit d'une équation polynomiale de degré deux pour la résoudre nous pouvons essayer de la factoriser.

\begin{align*}
\intertext{Elle équivaut successivement à}
2x^2  &= 100 \\
2x^2 {\color{orange}-100} &= 100 {\color{orange}-100}\\
2x^2-100 &= 0\\
2(x^2-50) &= 0\\
2(x^2-\sqrt{50}^2) &= 0\\
2(x-\sqrt{50})(x+\sqrt{50}) &= 0\\
x=\sqrt{50} \text{ ou }x=-\sqrt{50}
\end{align*}

{\medskip
\color{orange}
Dans ce cas particulier l'absence du monôme de degré un autorise une résolution en isolant le $x$.

\begin{align*}
	x^2+x^2 = 10^2 &\Leftrightarrow 2x^2=100\\
	&\leftrightarrow \frac{2x^2}{\color{orange}2} = \frac{100}{\color{orange}2}\\
	&\Leftrightarrow x^2 =50\\
	&\Leftrightarrow x=\sqrt{50} \text{ ou } x=-\sqrt{50}
\end{align*}

Nous retrouvons les mêmes alternatives que précédemment.}

$x$ désignant une longueur il ne peut être que positif, donc, nécessairement $x=\sqrt{50}$.

\begin{conclusion}
	
	L'un des côtés de l'angle droit mesure $\sqrt{50}\ \mathrm{cm}$.
	
\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Question 3.}

\begin{sujet}

Soient les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ dont les coordonnées, dans un repère orthonormé, sont: $\vec u(7;3)$ et $\vec v(x;6)$, où $x$ est un réel à déterminer.

Sachant que les vecteurs sont colinéaires, alors $x$ est égale à:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $3,5$
	\item $-3,5$
	\item $-14$
	\item $14$
	\item $42$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Déterminons l'abscisse $x$ de $\vec v$.}

Les vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, donc s'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $\left\{ \begin{array}{l} 7=\alpha x \\ 3 =\alpha 6\end{array}\right.$

De la seconde équation nous déduisons que $\alpha =\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. La première équation peut donc s'écrire $7=\frac{1}{2}x$. Nous en déduisons 

\begin{conclusion}
	
	$x=14$.
	
\end{conclusion}

{\medskip
\color{orange}Il était possible de faire un tableau de proportionnalité avec les coordonnées des vecteurs.}

\end{correction}

\subsubsection{Question 4.}

\begin{sujet}

On donne la droite $(d)$ d'équation: $y=-x$, et le point $K(1;2)$ dans un repère du plan.

La droite $(D)$ parallèle à $(d)$ et passant par $K$ a pour équation:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $y=x+3$
	\item $y=-x+3$
	\item $y=x-3$
	\item $y=-x-3$
	\item $y=x$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Déterminons l'équation de $(D)$.}

Puisque $(D)// (d)$ les coefficients directeurs de ces deux droites sont égaux. Donc il existe  $p\in \mathbb{R}$ tel que $(D):\ y=-x+p$.

Comme de plus $K\in D$, 
\begin{align*}
	y_K&=-x_k+p\\
	\intertext{nous en déduisons}
	2 &=-1+p\\
	2 {\color{orange}+1} &= -1+p {\color{orange}+1}\\
	3 &= p
\end{align*}

Enfin l'équation réduite de $(D)$ est $y=-x+3$.

\begin{conclusion}
	
	$D:\ y=-x+3$
	
\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Question 5.}

\begin{sujet}

L'expression $X$, où $x$ est un réel autre que $(-2)$ et $2$, telle que: \[ X=\frac{1}{2+x}-\frac{x-1}{x-2} \] peut aussi s'écrire:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item $\displaystyle -\frac{1}{4}$
	\item $\displaystyle \frac{2-x}{2x}$
	\item $\displaystyle -\frac{x^2}{x^2-4}$
	\item $\displaystyle -\frac{x^2+2x}{x^2-4}$
	\item $\displaystyle -\frac{x^2+2}{x^2-4}$
	\end{enumerate}

\end{sujet}

\begin{correction}

\objectif{Réduisons l'expression fractionnaire de $X$.}

\begin{align*}
\intertext{Réduisons au même dénominateur:}
X &= \frac{1\times {\color{orange}(x-2)}}{(2+x){\color{orange}(x-2)}}-\frac{(x-1){\color{orange}(x+2)}}{(2+x){\color{orange}(x-2)}} \\
&= \frac{1\times(x-2)-(x-1)(x+2)}{(x+2)(x-2)}\\
\intertext{Développons, ordonnons puis réduisons l'expression polynômiale qui est au numérateur:}
X &= \frac{x-2-(x\times x+x\times 2+(-1) \times x + (-1) \times 2)}{(x+2)(x-2)}\\
&= \frac{x-2-(x^2+x - 2)}{(x+2)(x-2)}\\
&= \frac{-x^2}{(x+2)(x-2)}\\
\intertext{Remarquons enfin une identité remarquable au dénominateur:}
X &=\frac{-x^2}{x^2-2^2}\\
&= -\frac{x^2}{x^2-4}
\end{align*}

\begin{conclusion}
	
	$\displaystyle X=-\frac{x^2}{x^2-4}$
	
\end{conclusion}

{\medskip
\color{orange}
On pouvait plus simplement tester les propositions avec des valeurs particulières choisies pour $x$ et trouver ainsi celle qui donne les mêmes valeurs.}

\end{correction}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{sujet}

Les 30 élèves d'une classe de $1^{\text{ère}}$ ont obtenu les notes suivantes, lors d'un devoir de mathématiques:

\medskip
\begin{tabular}{|m{1.6cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Notes & 3 & 5 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 \\ \hline
Effectif & 1 & 3 & 5 & 4 & 3 & 6 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \hline
\end{tabular}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer l'étendue et le mode cette série.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	L'étendue est: $e=max-min=18-3=15$. 
	
	\begin{conclusion}
		
		$e=15$
		
	\end{conclusion}
	
	\medskip
	Le mode est la modalité (note) qui apparaît le plus donc: \\
	
	\begin{conclusion}
	
		$Mod=11$
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Calculer la moyenne de cette série.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	{\color{orange}Utilisons la formule de la moyenne pondérée.}
	
	\begin{align*}
		\overline{x} &= \frac{n_1x_1+n_2x_2+\dots +n_rx_r}{n_1+n_2+\dots +n_r}\\
		&= \frac{1\times 3+3\times 5+\dots +1\times 18}{1+3+\dots +1}\\
		&= \frac{151}{15}\approx 10,07
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$\overline{x}\approx 10,07$
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Déterminer sa médiane.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Recherchons la médiane de la série des notes.}
	
	Ajoutons la ligne des effectifs cumulés croissants au tableau.

\medskip
\begin{tabular}{|m{1.6cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Notes & 3 & 5 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 14 & 15 & 18 \\ \hline
Effectif & 1 & 3 & 5 & 4 & 3 & 6 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ \hline
E.C.C. & 1 & 4 & 9 & 13 & 16 & 22 & 25 & 27 & 29 & 30 \\ \hline
\end{tabular}	
	
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item La série des notes est déjà ordonnée.
		\item $\frac{N}{2}=\frac{30}{2}=15$. La série étant paire la médiane est donc la moyenne entre la quinzième et la seizième valeurs.
		\item $Me=\frac{10+10}{2}$
		\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Enfin: $Me=10$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
	Quel est le premier quartile de cette série?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\objectif{Recherchons le premier quartile de la série des notes.}
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item La série des notes est déjà ordonnée.
		\item $\frac{N}{4}=\frac{30}{4}=7,5$. Le troisième quartile est donc la huitième valeur.
		\item $Q_1=8$.
		\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le premier quartile de la série est donc $Q_1=8$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel est le pourcentage d'élèves ayant une note au moins égale à 12?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la proportion d'élèves dont la note est au moins $12$.}
		
	Le nombre d'élèves ayant une note au moins égale à $12$ est $3+2+2+1=8$. Ceci représente un pourcentage de $\frac{8}{30}\times 100 \approx 26,67$.
	
	\begin{conclusion}
		
		$26,67\ \%$ des élèves ont une note au moins égale à $12$.
		
	\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A1) at (3.2,2);
	\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
	\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
	\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
	\coordinate (A5) at (3.2,-2);
	\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
	\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
	\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$1$};
	\draw node (A14) at (A4) {$2$};
	\draw node (A15) at (A5) {$3$};
	\draw node (A16) at (A6) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$N$};
	\draw node (B12) at (B2) {$B$};
	\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$