%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/eetaa.html}{EETAA 2013} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Concours EETAA session 2013.}

\begin{center} 

	Durée de l'épreuve 2 heures.

\end{center}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
	
		Construire un triangle équilatéral $ABC$ de côté $8\ \mathrm{cm}$.
		
		Soit $H$ le milieu du segment $[BC]$.
		
		Placer le point $H$ et tracer le segment $[AH]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (8,0);
		\coordinate (C) at (4,{sqrt(48)});
		\coordinate (H) at (6,{0.5*sqrt(48)});
		\draw (A)--(B);
		\draw (B)--(C);
		\draw (C)--(A);
		\draw (C)--(H)node[midway,sloped]{$//$};
		\draw (H)--(B)node[midway,sloped]{$//$};
		\draw (A)--(H);
		\draw (A) node[below]{$A$};
		\draw (B) node[below]{$B$};
		\draw (C) node[above]{$C$};
		\draw (H) node{$\bullet$};
		\draw (H) node[above right]{$H$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que la longueur $AH$ est égale à $\sqrt{48}\ \mathrm{cm}$. Justifier soigneusement votre démarche.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $AH$.}
		
		$AH$ est une médiane de $ABC$. $ABC$ étant équilatéral ses médianes et ses hauteurs se confondent. Donc $AHC$ est rectangle en $H$.
		
		D'après le théorème de Pythagore nous pouvons alors affirmer l'égalité \[ AH^2+HC^2=AC^2\] 
		
		D'où nous déduisons successivement
		\begin{align*}
			AH^2  &= AC^2-HC^2\\
			\intertext{$H$ étant le milieu de $[BC]$}
			AH^2 &= 8^2-\left( \frac{8}{2} \right)^2\\
			&= 48
		\end{align*}
		
		$AH$ étant une longueur et donc un nombre positif nous obtenons enfin
		
		\begin{conclusion}
			
			$AH=\sqrt{48}$
		
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrire la longueur $AH$ sous la forme $a\sqrt{3}$ où $a$ est un nombre réel à déterminer.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $a$.}
		
		Décomposons $48$ en facteurs premiers: $48=2^4\times 3$.
		
		Donc
		\begin{align*}
			\sqrt{48} &= \sqrt{2^4\times 3}\\
			&= \sqrt{(2^2)^2}\times \sqrt{3}\\
			&= 2^2\sqrt{3}\\
			&= 4\times \sqrt{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AH=a\sqrt{3}$ avec $a=4$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer en $\mathrm{cm}^2$ l'aire du triangle $ABC$. On donnera d'abord la valeur exacte, puis une valeur approchée de cette aire à $1\ \mathrm{mm}^2$ près par défaut.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\objectif{Calculons l'aire du triangle $ABC$.}
		
		$AH$ est la hauteur de $ABC$ issue de $A$ donc l'aire de $ABC$ est
		
		\begin{align*}
			\mathcal{A}(ABC) &= \frac{1}{2} \times BC\times AH\\
			&= \frac{1}{2}\times 8 \times 4\sqrt{3}\\
			&= 16\sqrt{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
		
			L'aire de $ABC$ est $16\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$ dont une valeur approchée au $1\ \mathrm{mm}^2$ près par défaut est $27,71\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		$\color{orange} 1 \ \mathrm{cm}^2=10\ \mathrm{mm}^2$
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (5 points)}

\begin{sujet}

	Pour chaque question une seule des réponses proposées est exacte.
	
	Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
	
	Chaque question exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. 
	
	Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
	
	Les cinq questions sont indépendantes.

\end{sujet}

\subsubsection{Question 1.} 
	
	\begin{sujet}
		
		Un article voit son prix baissé de $4\ \%$.
		
		Pour obtenir son nouveau prix, il faut multiplier l'ancien prix par:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $1,04$
			\item $0,96$
			\item $0,04$
			\item $0,4$
			\item $0,6$
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le coefficient multiplicateur.}
		
		Si $x$ est le prix initial de l'article, alors après une baisse de $4\ \%$ il devient
		\begin{align*}
			x+\frac{-4}{100}x &= {\color{orange}1\times }x + \frac{-4}{100}x\\
			&= \left( 1 +\frac{-4}{100} \right) x
		\end{align*}
		
		Ainsi l'article a été multiplié par 
		\begin{align*}
			\lambda &= 1+\frac{-4}{100}\\
			&= 0,96 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Dire qu'une quantité baisse de $4\ \%$ c'est dire qu'elle est multiplié par $0,96$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
\subsubsection{Question 2.}
	
	\begin{sujet}
		
		Les notes d'un devoir de mathématiques sont réparties de la manière suivante:
		
		\medskip
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.2cm}|*{9}{X|}}
		\hline
		Note & 5 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 16 & 18 \\
		\hline
		Effectif & 1 & 3 & 4 & 3 & 5 & 7 & 3 & 5 & 2\\
		\hline
		\end{tabularx}
		
		\medskip
		On note $Q_1$ le premier quartile de cette série statistique. La valeur de $Q_1$ est:
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $Q_1=5$
			\item $Q_1=8$
			\item $Q_1=9$
			\item $Q_1=10$
			\item $Q_1=12$
		\end{enumerate}
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $Q_1$.}
		
		{\color{orange}Les valeurs de la série sont regroupées par modalités nous aurons donc besoin des effectifs cumulés croissants.}
		
		\medskip
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.2cm}|*{9}{X|}}
		\hline
		Note & 5 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 16 & 18 \\
		\hline
		Effectif & 1 & 3 & 4 & 3 & 5 & 7 & 3 & 5 & 2\\
		\hline
		E.C.C. & 1 & 4 & 8 & 11 & 16 & 23 & 26 & 31 & 33\\
		\hline
		\end{tabularx}
		
		\medskip
		Les valeurs de la série {\color{orange}(les notes)} sont rangées dans l'ordre croissant.
		
		$\frac{N}{4}=\frac{33}{4}=8,25$. Le premier quartile est donc la neuvième valeurs de la série.
		
		Donc, d'après les E.C.C.
		
		\begin{conclusion}
		
			$Q_1=10$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\subsubsection{Question 3.} 
	
	\begin{sujet}
		L'ensemble $S$ des solutions de l'équation $2x+5=3x-7$ est:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $\displaystyle S=\left\{-11 \right\}$
			\item $\displaystyle S=\left\{ -\frac{5}{2} \right\}$
			\item $\displaystyle S=\left\{ \frac{1}{12} \right\}$
			\item $\displaystyle S=\left\{ -\frac{2}{5} \right\}$
			\item $\displaystyle S=\{ 12 \}$
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation.}
		
		{\color{orange}Il s'agit d'une équation linéaire du premier degré la méthode de résolution consiste à isoler l'inconnue.}
		
		\medskip
		L'équation proposée est successivement équivalente à
		\begin{align*}
			2x+5 {\color{orange}-5} &= 3x-7 {\color{orange}-5}\\
			2x &= 3x-12\\
			2x {\color{orange}-3x} &= 3x-12 {\color{orange}-3x}\\
			-x &= -12\\
			\frac{-x}{\color{orange}-1} &= \frac{-12}{\color{orange}-1}\\
			x &= 12
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
		
			L'ensemble des solutions des l'équation est \[ S= \{ 12 \} \]
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Il était également possible de tester toutes les solutions proposées.}
		
	\end{correction}
	
\subsubsection{Question 4.}
	
	\begin{sujet}
	
		L'ensemble $S$ des solutions de l'inéquation $3x+8>-1$ est:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $\displaystyle S= ] -3;+\infty[$
			\item $\displaystyle S= ]-\infty ; -3[$
			\item $\displaystyle S= ]-6 ; +\infty[$
			\item $\displaystyle S= \left] -\frac{7}{3};+\infty \right[$
			\item $\displaystyle S= \left] - \frac{1}{24} ; +\infty \right[$
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\objectif{Résolvons l'inéquation.}
		
		{\color{orange} Il s'agit d'une inéquation linéaire du premier degré, la méthode de résolution consiste donc à isoler l'inconnue.}
		
		L'inéquation proposée est successivement équivalente à
		
		\begin{align*}
			3x+8 { \color{orange}-8} &>-1 { \color{orange} -8}\\
			3x &> -9\\
			\intertext{$3$ étant strictement positif}
			\frac{3x}{ \color{orange}3} &> \frac{-9}{ \color{orange} 3}\\
			x &>-3
		\end{align*}
		
		Ainsi
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des solutions de l'inéquation est \[ S= ] -3 ; +\infty [ \]
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
		
\subsubsection{Question 5.}

	\begin{sujet}
		
		On note $\displaystyle A(x)=\frac{3}{x-2}-\frac{1}{x+2}$.
		
		\medskip
		L'expression $A(x)$ peut aussi s'écrire:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $\displaystyle A(x)=\frac{2x}{x^2-4}$
			\item $\displaystyle A(x)=\frac{2x+4}{x^2-4}$
			\item $\displaystyle A(x)=\frac{2x+8}{x^2-4}$
			\item $\displaystyle A(x)=\frac{2}{x-2}$
			\item $\displaystyle A(x)=\frac{x+4}{x-2}$
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $A(x)$ sous forme d'une seule expression fractionnaire.}
		
		Réduisons tout d'abord au même dénominateur
		\begin{align*}
			A(x) &= \frac{3{\color{orange}(x+2)}}{(x-2){\color{orange}(x+2)}}-\frac{1{\color{orange}(x-2)}}{(x+2){\color{orange}(x-2)}}\\
			&= \frac{3(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)}\\
			\intertext{Remarquons une identité remarquable au dénominateur}
			A(x) &= \frac{3(x+2)-(x-2)}{x^2-2^2}\\
			\intertext{Développons, ordonnons puis réduisons le numérateur}
			A(x) &= \frac{3\times x+3 \times 2 -x-(-2)}{x^2-4}\\
			&=\frac{3x+6-x+2}{x^2-4}\\
			&= \frac{3x-x+6+2}{x^2-4}\\
			&= \frac{2x+8}{x^2-4}
		\end{align*}
		
		Ainsi
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle A(x)=\frac{2x+8}{x^2-4} $
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Il était également possible de tester la validité des formules proposées en testant des valeurs particulières de $x$.}
		
	\end{correction}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (6 points)}

\begin{sujet}
	
	$f$ est la fonction définie pour tout $x$ réel par: \[ f(x)=2x^2-8x-10 \]
	On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O;I;J)$ du plan.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item
	
	\begin{enumerate}
		\item
		
			\begin{sujet}
			
			Déterminer l'image de $3$ par $f$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $f(3)$.}
			
			\begin{align*}
				f(3) &= 2\times 3^2-8\times 3-10\\
				&= -16
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
	
				L'image de $3$ par $f$ est $-16$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
			Déterminer le ou les antécédents par $f$ du nombre $(-10)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
			\objectif{Recherchons les antécédents de $-10$ par $f$.}
			
			Autrement dit nous cherchons les nombres $x$ réels tels que $f(x)=-10$.
			
			Résolvons cette équation. \[ f(x)=0 \Leftrightarrow 2x^2-8x-10 = -10 \]
			
			Il s'agit dune équation polynomiale de degré deux pour la résoudre nous allons donc nous ramener à une équation produit.
			
			\begin{align*}
				f(x)=0 &\Leftrightarrow 2x^2-8x-10 {\color{orange} +10}= -10 {\color{orange}+10}\\
				&\Leftrightarrow 2x^2-8x=0\\
				&\Leftrightarrow (2x-8)x=0
				&\Leftrightarrow 2x-8=0 \text{ ou } x=0\\
				&\Leftrightarrow 2x-8 {\color{orange}+8} =0 {\color{orange}+8} \text{ ou }x=0\\
				&\Leftrightarrow 2x=8 \text{ ou }x=0\\
				&\Leftrightarrow \frac{2x}{\color{orange}2} =\frac{8}{\color{orange}2} \text{ ou } x=0\\
				&\leftrightarrow x=4 \text{ ou } x=0
			\end{align*}
		
			L'ensemble des solutions de l'équation est $\mathscr{S}= \{ 0;4 \}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$-10$ admet deux antécédents par $f$ qui sont $0$ et $4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que la forme factorisée de $f$ est définie pour tout $x$ réel par: \[ f(x)=2(x+1)(x-5). \]
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
			\objectif{Démontrons que quelque soit $x$ réel: $2(x+1)(x-5)=f(x)$.}
			
			Soit $x\in\mathbb{R}$.
			
			Développons l'expression proposée.
			
			\begin{align*}
				2(x+1)(x-5) &= 2\left[ x\times x +x\times (-5)+ 1 \times x +1 \times (-5) \right]\\
				\intertext{Ordonnons puis réduisons l'expression entre crochets.}
				&= 2\left[ x^2 -5x+x-5 \right]\\
				&= 2 \left[ x^2-4x-5\right]\\
				&= 2 \times x^2+2\times (-4)x+2\times (-5)\\
				&= 2x^2-8x-10\\
				&= f(x)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				la forme factorisée de $f$ est $f(x)=2(x+1)(x-5)$ pour tout $x$ réel.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
			Déterminez les coordonnées des points $A$ et $B$ d'intersection de $C_f$ avec l'axe des abscisses.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
			\objectif{Déterminons les coordonnées de $A$ et $B$.}
			
			Puisque $A$ et $B$ sont sur l'axe des abscisses leur ordonnée est nulle. Comme de plus ce sont des points de $C_f$ leur abscisses annulent $f$. Or, d'après la forme factorisée de $f$, les valeurs qui l'annule sont $-1$ et $5$ {\color{orange}(équation produit)}, donc
			
			\begin{conclusion}
				
				les coordonnées de $A$ et $B$ sont $(-1;0)$ et $(5;0)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation: $f(x)=x+1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Résolvons dans $\mathbb{R}$: $f(x)=x+1$.}
			
			Soit $x\in\mathbb{R}$.
			
			Utilisons la forme factorisée de $f$.
			\begin{align*}
				f(x)=x+1 &\Leftrightarrow 2(x+1)(x-5)=x+1\\
				&\Leftrightarrow 2(x+1)(x-5) {\color{orange} -(x+1)} = x+1 {\color{orange} -(x+1)}\\
				&\Leftrightarrow 2(x+1)(x+5)-{\color{orange}1 \times }(x+1) =0\\
				&\Leftrightarrow (x+1) \left[ 2(x-5) -1 \right]=0\\
				&\Leftrightarrow (x+1)\left[ 2\times x+2 \times (-5)-1 \right] =0\\
				&\Leftrightarrow (x+1) \left[ 2x-11 \right] =0\\
				&\Leftrightarrow x=-1 \text{ ou } x=\frac{11}{2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des solutions de $f(x)=x+1$ est \[ \mathscr{S}=\left\{ -1 ;\frac{11}{5} \right\} \]
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
			
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Exercice. \hfill (4 points)}

\begin{sujet}
	
	On considère la droite $(D_1)$ d'équation $y=-2x+3$ et la droite $(D_2)$ d'équation $y=\displaystyle \frac{2}{3}x+1$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite  $(D_1)$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		L'équation donnée de $(D_1)$ est son équation réduite donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			son coefficient directeur est $p_1=3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		Que vaut son coefficient directeur?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		et
		
		\begin{conclusion}
			
			son coefficient directeur est $m_1=-2$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dans un repère orthonormal $(O;I,J)$ du plan d'unité graphique $1\ \mathrm{cm}$, tracer les droites $(D_1)$ et $(D_2)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
			\objectif{Représentons les droites.}
			
			D'après les ordonnées à l'origine des droites nous pouvons affirmer que $(D_1)$ passe par le point de coordonnées $(0;3)$ et que la droite $(D_2)$ passe par le point de coordonnées $(0;1)$.
			
			\medskip
			Calculons les ordonnées des points des deux droites d'abscisse, par exemple, $3$.
			\[ -2\times 3+3=-3 \]
			et 
			\[ \frac{2}{3}\times 3+1=3 \]
			Nous en déduisons que $(D_1)$ passe par le point de coordonnées $(3;-3)$ tandis que $(D_2)$ passe par celui de coordonnées $(3;3)$.
			
			\medskip
			Dessinons ces points et les droites.
			
			\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\def\xY{-2};
		\def\yY{-4};
		\def\xZ{4};
		\def\yZ{4};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=-0.5:3.5] plot(\x,{-2*\x+3});
		\draw[red, very thick][samples=100,domain=-2:4] plot(\x,{(2/3)*\x+1});
		\draw (3.5,2.5) node[red,fill=white]{$D_1$};
		\draw (2,-3) node[blue,fill=white]{$D_2$};		
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer graphiquement les coordonnées du point $I$ situé à l'intersection des droites $(D_1)$ et $(D_2)$. On donnera des valeurs approchées des coordonnées.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par lecture graphique nous obtenons que
			
			\begin{conclusion}
				
				$I(0,7;1,5)$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point $I$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}		
			
			\objectif{Déterminons par le calcul les coordonnées de $I$.}
			
			$I$ appartient aux deux droites donc ses coordonnées $(x;y)$ vérifient les deux équations. Autrement dit \[ \left\{ \begin{array}{l} -2x+3=y \\ \frac{2}{3}x+1=y \end{array} \right. \]
			
			D'où en soustrayant les équations membres à membres: \[ -2x+3-\left( \frac{2}{3}x+1 \right)=0\]
			
			Ce qui équivaut successivement à
			\begin{align*}
				-\frac{8}{3}x+2&=0\\
				-\frac{8}{3}x+2 {\color{orange}-2} &=0 {\color{orange}-2}\\
				-\frac{8}{3}x &= -2\\				
				-\frac{8}{3}x {\color{orange}\times \left( -\frac{3}{8} \right)} &= -2 {\color{orange}\times \left( -\frac{3}{8} \right)} \\
				x &= \frac{3}{4}
			\end{align*}
			
			D'où nous déduisons\[ y= -2\times \frac{3}{4}+3=\frac{3}{2} \]
			
			Nous vérifions aisément que le couple $\left( \frac{3}{4} ; \frac{3}{2} \right)$ est effectivement une solution du système d'équation.
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$I\left( \frac{3}{4} ; \frac{3}{2} \right)$
				
			\end{conclusion}
					
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer une équation de la droite $(D_3)$ parallèle à la droite $(D_1)$ passant par le point $A(5;2)$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons une équation de $(D_3)$.}
		
		Puisque $(D_3)$ et $(D_1)$ sont parallèles $(D_3)$ admet une équation réduite et son coefficient directeur est le même que celui de $(D_1)$. Donc \[ (D_3):\ y=-2x+p_3 \]
		
		Déterminons l'ordonnée à l'origine $p_3$.
		
		Puisque $A\in (D_3)$, ses coordonnées vérifient l'équation \emph{i.e.} \[ y_A=-2x_A+p_3 \]
		ce qui équivaut successivement à
		\begin{align*}
			2 &= -2 \times 5 +p_3 \\
			2&= -10+p_3\\
			2 {\color{orange}+8} &= -8+p_3  {\color{orange}+8} \\
			10 &= p_3
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			une équation réduite de $(D_3)$ est \[ y=-2x+10 \]
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A1) at (3.2,2);
	\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
	\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
	\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
	\coordinate (A5) at (3.2,-2);
	\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
	\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
	\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$1$};
	\draw node (A14) at (A4) {$2$};
	\draw node (A15) at (A5) {$3$};
	\draw node (A16) at (A6) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$N$};
	\draw node (B12) at (B2) {$B$};
	\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
	\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
	\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$