%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2026 groupe 3.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2026 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2026_maths/crpe_2026_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2026_maths/crpe_2026_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1. (3 points)}

\begin{sujet}
	La feuille de calcul suivante construite à l’aide d’un tableur présente le tableau des médailles des épreuves de natation sportive des Jeux Olympiques de Paris 2024. Dans ce tableau les pays sont classés selon le nombre de médailles d'or remportées.
	
	{\hspace{-1cm}\includegraphics[scale=0.47]{crpe_2026_maths_externe_sujet_3_01_tableur.png}}
	
	\hfill \emph{\footnotesize Source : https://olympics.com/fr/paris-2024/medailles/natation}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		On remarque que plus de la moitié des médailles remportées en natation sportive par la délégation française sont en or. Quels sont les autres pays dont le nombre de médailles d’or représente strictement plus de la moitié du nombre de médailles remportées en natation sportive?
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$2 >\frac{3}{2}$ et $2>\frac{2}{2}$ donc
		
		\begin{conclusion}
			les autres pays ayant gagnés plus de la moitié de leur médailles en or sont la Hongrie et la Suède.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		Quelle formule peut-on saisir dans la cellule G2 et recopier vers le bas jusqu’à la cellule G20 pour calculer le pourcentage de médailles d’or parmi celles remportées dans chaque délégation?
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Si la cellule $\texttt{G}2$ est déjà au format pourcentage:
		
		\begin{conclusion}
			$=\texttt{C}2/\texttt{F}2$
		\end{conclusion}
		
		sinon $=\texttt{C}2/\texttt{F}2*100$.
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		Calculer la proportion de médailles gagnées par les États-Unis par rapport au nombre total de médailles remportées en natation sportive. On exprimera le résultat en pourcentage sous la forme $p\ \%$. On arrondira $p$ au dixième.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		$p=\frac{28}{105}=0,2666\dots$
		
		\begin{conclusion}
			$p\approx 26,7\ \%$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		Un journaliste australien décide de mettre en lumière un des médaillés de son pays, en réalisant une interview de l’un d’eux choisi au hasard. Quelle est la probabilité pour que le sportif interviewé ait remporté une médaille d’argent ? On donnera le résultat sous forme d’une
		fraction irréductible.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		On modélise ce choix d'un nageur au hasard par une équiprobabilité et donc 
		
		\begin{conclusion}
			la probabilité qu'il ait obtenu une médaille d'argent est: $\frac{7}{18}$.
		\end{conclusion}
		
		$\frac{7}{18}$ est bien irréductible car $7$ est premier et $7$ ne divise pas $18$.
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		Le journaliste affirme que les nageurs américains ont remporté plus d’un quart de l’ensemble des médailles d’or des épreuves de natation sportive des Jeux Olympiques. A-t-il raison?
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		La proportion de médaille d'or remportées par les EUA est $\frac{8}{35}\approx 0,22857 \approx 22,86\ \%<25\ \%$ donc
		
		\begin{conclusion}
			les EUA n'ont pas emportés plus d'un quart des médailles.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2. (6 points)}

\begin{sujet}
	Une régate est organisée au large des îles Chausey dans la Manche et est modélisée par la figure ci-dessous.
	
	\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_3_02_fregate.png}
	
	Les points $C$, $G$ et $R$ représentent respectivement les phares des îles Chausey, de Granville et de Regnéville.
	
	Les deux bouées représentées par les points $B_1$ et $B_2$ sont placées de sorte que
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item le triangle $CB_1B_2$ soit rectangle en $B_1$,
		\item les points $G$, $C$, $B_1$ soient alignés,
		\item les points $R$, $C$, $B_2$ ,soient alignés.
	\end{enumerate}
	À vol d’oiseau, il y a $20\ \mathrm{km}$ entre les phares de Granville et de Regnéville, $15\ \mathrm{km}$ entre les phares des îles Chausey et de Granville, $25\ \mathrm{km}$ entre les phares des îles Chausey et de Regnéville. Les deux bouées sont distantes de $12\ \mathrm{km}$.
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		Montrer que le triangle $RGC$ est un triangle rectangle.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		$RG^2+GC^2=15^2+20^2=625$ et $RC^2=25^2=625$ donc $RG^2+GC^2=CG^2$ et, d'après la réciproque du théorème de Pythagore
		
		\begin{conclusion}
			$RGC$ est rectangle en $G$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	La régate débute et se termine au phare de Granville. Elle suit la ligne brisée $GCB_1B_2CRG$ dans le sens des flèches indiquées sur la figure.
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		Démontrer que la longueur du parcours de la régate est égale à $96\ \mathrm{km}$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		On remarque une configuration de Thalès en papillon de plus $(B_1B_2)$ et $(RG)$ sont parallèles puisque toutes deux perpendiculaires à $(GB_1)$. On en déduit, d'après le théorème de Thalès: $\frac{B_1B_2}{RG}=\frac{B_1C}{CG}=\frac{B_2C}{RC}$. Ainsi d'une part: $\frac{12}{20}=\frac{B_1C}{15}$ et donc $B_1C=15\frac{12}{20}=9$; d'autre part $\frac{12}{20}=\frac{B_2C}{25}$ et donc $B_2C=25 \times \frac{12}{20}=15$.
		
		On en déduit la longueur totale du parcours: $GC+CB_1+B_1B_2+B_2C+CR+RG=15+9+12+15+20+25=96$.
		
		\begin{conclusion}
			La longueur du parcours est de $96\ \mathrm{km}$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		Calculer la distance en $\mathrm{cm}$, arrondie au $\mathrm{mm}$, entre les points $R$ et $G$ sur un plan à l’échelle $\frac{1}{\np{150000}}$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		La distance à l'échelle est: $\frac{1}{150000}\times 20\ \mathrm{km}=\frac{1}{150000}\times 20\times 100000\ \mathrm{cm}=13,333\dots \ \mathrm{cm}$. En arrondissant au millimètres
		
		\begin{conclusion}
			la distance sur la carte sera de $13,3\ \mathrm{cm}$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	Trois bateaux débutent la régate en même temps à 8h30. On considère que les bateaux suivent des trajectoires rectilignes entre chaque bouée. Voici les informations recueillies pour les trois bateaux:
	
	{\hspace{-1.2cm}\begin{tabular}{|c|c|c|}
		\hline
		\textbf{Bateau A} & \textbf{Bateau B} & \textbf{Bateau C}
		\\
		\hline
		Heure d'arrivée: 14h54 & Vitesse moyenne de $3,9\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ & Vitesse moyenne de $14,5\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		\\
		\hline 
	\end{tabular}}
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Calculer la vitesse moyenne du bateau A en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		La vitesse moyenne du bateau A est: $v_A=\frac{96\ \mathrm{km}}{14\mathrm{h}54\mathrm{min}-8\mathrm{h}30\mathrm{min}}=\frac{96\ \mathrm{km}}{6\mathrm{h}24\mathrm{min}}=\frac{96}{6+\frac{24}{60}}\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
		\begin{conclusion}
			$v_A=15\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Déterminer le classement final.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Vitesse du bateau B: $v_B=3,9\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=3,9\times \frac{0,001\ \mathrm{km}}{\frac{1}{3600}\ \mathrm{h}}=14,04\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
		Les bateaux ayant tous parcourus la même distance il suffit de comparer leurs vitesses pour connaître le gagnant.
		
		\begin{conclusion}
			Le bateau A est le gagnant suivi du C.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Quelle est l’heure d’arrivée du bateau B, en heures et en minutes? On arrondira le résultat à la minute.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		La durée de la course du bateau B est: $\frac{96}{14,04}\ \mathrm{h}=6+\frac{11,76}{14,04}\ \mathrm{h}=6\ \mathrm{h}+ \frac{11,76}{14,04}\times 60\ \mathrm{min}\approx 6\ \mathrm{h}+ 50,25\ \mathrm{min}$.
		
		Puisqu'il est parti à $8\mathrm{h}30$ son heures d'arrivée est: $8\ \mathrm{h} + 30\ \mathrm{min}+6\ \mathrm{h}+ 50,25\ \mathrm{min}=15\ \mathrm{h}+20,25\ \mathrm{min}$.
		
		\begin{conclusion}
			Le bateau B est arrivé à $15\mathrm{h}20$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	La durée écoulée entre deux signaux consécutifs est de $12$ secondes pour le phare de Granville et de $18$ secondes pour le phare des îles Chausey.
	
	À 8h30, les phares de Granville et des îles Chausey ont émis au même instant un signal lumineux. 
	
	Quelle est la durée minimale nécessaire pour que les deux signaux lumineux soient de nouveau émis simultanément?
\end{sujet}

\begin{correction}
	$12=2^2\times 3$ et $18=2\times 3^2$ donc le plus petit commun multiple est $2^2 \times 3^2=36$.
	
	\begin{conclusion}
		Les signaux seront simultanés au bout de $36$ secondes.
	\end{conclusion}
\end{correction}

\subsection{Exercice 3. (4 points)}

\begin{sujet}
	Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer en justifiant si elle est vraie ou fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		$A$, $M$ et $B$ sont trois points du plan.
		
		\textbf{Affirmation 1}: si $AM = MB$ alors $M$ est le milieu de $[AB]$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Si $AM=MB$ alors $AMB$ est un triangle isocèle mais rien ne garanti que les points soient alignés et donc, a fortiori , que $M$ soit le milieu de $[AB]$.
		
		\begin{conclusion}
			L'affirmation 1 est fausse.
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Léa dispose d’un jeu composé de $32$ cartes réparties en quatre familles: Trèfle; Pique; Cœur; Carreau. Chaque famille comprend huit cartes: $7$; $8$; $9$; $10$; Valet; Dame; Roi; As.
		
		On tire une carte au hasard dans ce jeu.
		
		\textbf{Affirmation 2}: la probabilité de l’événement \og la carte est un Valet ou un Cœur\fg{} est $\dfrac{3}{8}$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		$\frac{32}{4}=8$ cartes sont des cœurs. Parmi ces cœurs il y a un valet. En ajoutant les trois valets des autres couleurs on obtient $8+3=11$ cartes. La probabilité de l'événement est donc $\frac{11}{32}$ (qui est une fraction irréductible comme $\frac{3}{8}$).
		
		\begin{conclusion}
			L'affirmation 2 est fausse.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Dans le repère orthonormal ci-contre, le point $A$ est le point d’intersection des droites $C_f$ et $C_g$ représentant les fonctions $f$ et $g$ définies respectivement, pour tout réel $x$, par: $f(x)=-2x+3 \quad \text{et} \quad g(x)=7x$.
		
		\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_3_03_courbes.png}
		
		\textbf{Affirmation 3}: la valeur exacte de l’ordonnée du point $A$ est $\dfrac{7}{3}$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Commençons par déterminer l'abscisse de A: $f(x)=g(x)\Leftrightarrow -2x+3=7x \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$.
		
		D'où son ordonnée: $g\left( \frac{1}{3} \right)=7\times \frac{1}{3}=\frac{7}{3}$.
		
		\begin{conclusion}
			L'affirmation 3 est vraie.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		\textbf{Affirmation 4}: le carré d’un nombre entier impair est un nombre entier impair.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Considérons un nombre impair $2n+1$ avec $n$ un entier quelconque. $(2n+1)^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1$ et comme $2n^2+2n$ est un entier $(2n+1)^2$ est bien impair.
		
		\begin{conclusion}
			L'affirmation 4 est vraie.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Après exécution du programme ci-dessous, on obtient $8$.
		
		\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_3_04_scratch.png}
		
		\textbf{Affirmation 5}: le nombre rentré au départ pour obtenir ce résultat est décimal.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Si on applique ce programme à un nombre $x$ on obtient: $\frac{8\times x+10}{2}$.
		
		Si le résultat est $8$ c'est que: $\frac{8x+10}{2}=8\Leftrightarrow x=\frac{6}{8}\Leftrightarrow x=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=0,75$.
		
		\begin{conclusion}
			L'affirmation 5 est vraie.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4. (7 points)}

\begin{sujet}
	Une école organise un rallye vélo caritatif au profit d’une association. Tous les élèves sont équipés d’un vélo avec des roues de $26$ pouces de diamètre.
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Sachant qu’$1$ pouce est égal à $2,54\ \mathrm{cm}$, calculer la valeur exacte en centimètre du diamètre d’une roue de vélo.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Par proportionnalité: $26\times 2,54\ \mathrm{cm}=66,04\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{conclusion}
			Une roue a un diamètre de $66,04\ \mathrm{cm}$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Un élève dispose d’un compteur affichant le nombre de tours de roue effectués lors de son parcours.
		
		Ce dernier indique $\np{6 124}$ tours de roue durant le rallye. Quelle distance en kilomètre l’élève a-t-il parcourue? On donnera la valeur arrondie au dixième de kilomètre.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Lors d'un tour de roue la distance parcourue égale la longueur du cercle: $66,04\ \mathrm{cm} \times pi$. Puisque $6124$ tours ont été effectués la distance parcourue est: $6124 \times 66,04\times pi\ \mathrm{cm}\approx 1270551,049\ \mathrm{cm} \approx 12,705\ \mathrm{km}$.
		
		\begin{conclusion}
			La distance parcourue est $12,7\ \mathrm{km}$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	Le rallye est parrainé par des sponsors qui promettent de verser un don de $1,25\ \text{\euro}$ par kilomètre parcouru.
	
	Les enseignants relèvent les distances parcourues lors du rallye, notées dans le tableau suivant:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			Distance parcourue ($\mathrm{km}$) & 9 & 11 & 12 & 15
			\\
			\hline
			Effectif & 126 & 120 & 140 & 34
			\\
			\hline 
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{sujet}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Calculer la somme d’argent que l’école remportera si les promesses de dons se concrétisent.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		La somme récoltée sera: $(126\times 9+120 \times 11 +140 \times 12+34 \times 15)\times 1,25=4644\times 1,25=5805$.
		
		\begin{conclusion}
			Il peuvent espérer récolter $5805\ \text{\euro}$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	
	\item 
	\begin{sujet}
		Un enseignant affirme que moins de deux cinquièmes des élèves ont parcouru $12$ kilomètres ou plus. L’affirmation est-elle vraie? Justifier.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Nombre d'élèves concernés: $140+34$. Proportion que cela représente:
		
		$\frac{140+34}{126+120+140+34}\approx 0,4142857142857143$. Or $\frac{2}{5}=0,4$ donc
		
		\begin{conclusion}
			l'affirmation est fausse.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Quelle est, en kilomètre, la distance moyenne parcourue par un élève de l’école? On donnera une valeur arrondie au centième de kilomètre.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		La distance moyenne est: $\frac{4644}{126+120+140+34}\approx 11,0571$.
		
		\begin{conclusion}
			Distance moyenne pour un élèves: $11,06\ \mathrm{km}$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Donner, en kilomètre, la distance médiane parcourue par les élèves de l’école.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		$\frac{126+120+140+24}{2}=210$ et $126+120=246$ donc la médiane, qui est la moyenne des 210 et 211-ièmes valeurs, est $\frac{11+11}{2}=11$.
		
		\begin{conclusion}
			La distance médiane est $11\ \mathrm{km}$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	L’école souhaite construire un abri à vélos. La partie inférieure sera un assemblage de trois panneaux rectangulaires en bois. Les deux panneaux latéraux en bois auront les mêmes dimensions. La partie supérieure sera fabriquée en plastique.
	
	L’agent technique a réalisé le schéma suivant:
	
	\textbf{Vue en perspective:}
	
	\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2026_maths_externe_sujet_3_05_but_profil.png}
	
	\textbf{Vue de côté:}
	
	\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2026_maths_externe_sujet_3_06_but_cote.png}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Calculer l’aire de la surface de bois à acheter en $\mathrm{m}^2$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Aire de la surface en bois en $\mathrm{m}^2$: $2 \times 1,4\times1,2+1,2 \times 5=9,36$.
		
		\begin{conclusion}
			$9,36\ \mathrm{m}^2$ de bois.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Sur la vue de côté, la partie supérieure peut être décomposée en un rectangle de dimensions $0,8\ \mathrm{m}$ et $0,6\ \mathrm{m}$, ainsi que d’un quart de disque de rayon $0,6\ \mathrm{m}$.
		
		En négligeant l’épaisseur des matériaux, montrer que le volume intérieur de l’abri, arrondi à l’unité, est égal à $12\ \mathrm{m}^3$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Volume de l'ensemble: $\left(1,4\times 1,2+0,6 \times 0,8+\frac{1}{4}\times \pi 0,6^2 \right) \times 5\approx 12,21371$.
		
		\begin{conclusion}
			Le volume est environ de $12\ \mathrm{m}^3$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}