%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2026 groupe 2.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2026 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2026_maths/crpe_2026_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2026_maths/crpe_2026_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1. (7,5 points)}

\begin{sujet}
	Lors d’un conseil d’école, la communauté éducative décide de revoir l’aménagement de la cour et de sensibiliser les élèves au développement durable en mettant en place des espaces végétalisés au sein de l’école.
	
	Les parties A, B et C sont indépendantes.
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	La cour d’école est représentée ci-contre par le rectangle $ABCD$. Elle est composée de deux parties: l’une dédiée à un espace de jeux représenté par le polygone $ABCGHI$ et l’autre à un potager représenté par le rectangle $IHGD$ composé de deux carrés identiques $EFGD$ et $IHFE$.
	
	On donne $AI = 4\ \mathrm{m}$ et $GC = 10\ \mathrm{m}$ et on note $x$ la longueur $EI$ en mètre.
	
	La figure ci-dessous n’est pas à l’échelle
	
	\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_01_plan_cours.png}
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Vérifier que l'expression développée et réduite de l'aire de l'espace de jeux en fonction du nombre $x$ est: $24x+40$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		\objectif{Exprimons l'aire $\mathscr{A}$ de l'aire de jeux.}
		
		$\mathscr{A}=\mathscr{A}(ABCGHI)=\mathscr{A}(ABCD)-\mathscr{A}(IHGD)$.
		
		Or: $\mathscr{A}(ABCD)=AD \times DC=(AI+IE+ED)(DG+GC)=(4+x+x)(x+10)=(4+2x)(x+10)=4 \times x +4 \times 10+2x \times x+2x\times 10=4x+40+2x^2+20x=2x^2+24x+40$ et $\mathscr{A}(IHGD)=ID \times DG=(IE+ED)x=(x+x)x=2x^2$ donc $\mathscr{A}=2x^2+24x+40-2x^2$.
		
		\begin{conclusion}
			$\mathscr{A}=24x+40$.
		\end{conclusion}				
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		On suppose que l’aire de l’espace de jeux est égale à $94\ \mathrm{m}^2$.
	\end{sujet}
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{sujet}
			Calculer la valeur de $x$ exprimée en mètre.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			Dire que l'aire de eux est de $94\ \mathrm{m}^2$ équivaut à dire $\mathscr{A}=94$ et donc d'après la question précédente: $24x+40=94$.
			
			\objectif{Résolvons $24x+40=94$.}			
			\begin{align*}
				24x+40= 94 &\Leftrightarrow 24x+40{\color{WildStrawberry}-40}=94{\color{WildStrawberry}-40}\\
				&\Leftrightarrow 24x=54\\
				&\Leftrightarrow \frac{24x}{\color{WildStrawberry}24}=\frac{54}{\color{WildStrawberry}24}
			\end{align*}
			\begin{conclusion}
				$x=2,25$.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		\item 
		\begin{sujet}
			En déduire l’aire totale du rectangle $ABCD$ en $\mathrm{m}^2$.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			À la question 1 nous avons établi que $\mathscr{A}(ABCD)=2x^2+24x+40$.
			
			\objectif{Calculons $2x^2+24x+40$ lorsque $x=2,25$.}
			
			Si $x=2,25$ alors $2x^2+24x+40=2 \times 2,25^2+24\times 2,25 +40=104,125$.
			
			\begin{conclusion}
				L'aire de $ABCD$ est $104,125\ \mathrm{m}^2$.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Des élèves de CE2 souhaitent planter des fraisiers sur toute la surface représentée par le rectangle $LMNP$ située à l’intérieur du potager. Les fraisiers sont d’abord plantés aux quatre sommets $L$, $M$, $N$ et $P$ puis suivant un maillage carré comme initié sur le schéma ci-dessous.
		
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_02_schema.png}
		
		On donne $LM=185\ \mathrm{cm}$ et $LP=444\ \mathrm{cm}$.
		
		Afin de faciliter le travail de plantation entre deux plants de fraisiers, l’enseignant souhaite construire une règle en bois d’une longueur entière de centimètre qui servira de gabarit. Cette règle aura une longueur supérieure à $10\ \mathrm{cm}$.
	\end{sujet}
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{sujet}
			Montrer que la longueur de cette règle doit être de $37\ \mathrm{cm}$ afin de respecter une distance égale entre chaque fraisier.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			Si $n$ désigne la longueur (entière) en centimètre de la règle en bois alors on doit avoir $pn=185$ et $qn=444$ où $p$ et $q$ sont des nombres entiers. Autrement dit $n$ est un diviseur commun de $185$ et de $444$. Il est raisonnable d'envisager de planter un maximum de salades et donc que l'espace entre deux salades soit le plus petit possible (mais pas $1$ puisqu'il faut supérieur à $10$).
			
			\objectif{Déterminons le PPCM de $185$ et de $144$.}
			
			$185=5\times 37$ et $444=2\times 2 \times3 \times 37$ donc le PPCM de $185$ et $444$ est $37$.
			
			\begin{conclusion}
				La règle doit mesurer $37\ \mathrm{cm}$.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		\item 
		\begin{sujet}
			En déduire le nombre de fraisiers que les élèves pourront planter.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			\objectif{Déterminons le nombre de fraisier à planter.}
			
			$185=5 \times 37$ donc on pourra reporter $5$ fois la règle dans le sens de la largeur et ainsi planter $6$ fraisiers sur une largeur.
			
			$444=12 \times 37$ donc on pourra planter $13$ fraisiers dans le sens de la longueur.
			
			Enfin le nombre total de fraisiers plantés est $6 \times 13$.
			
			\begin{conclusion}
				Les élèves pourront planter $78$ fraisiers.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Le prix d’achat du plant de fraisier a subi une première augmentation de $2\ \%$ puis une seconde augmentation de $3\ \%$.
	\end{sujet}
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{sujet}
			Calculer le pourcentage d’augmentation globale après ces deux augmentations successives du prix du plant de fraisier. Donner le résultat exact sous la forme $p\ \%$.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			\objectif{Calculons le pourcentage d'augmentation globale.}
			
			Une augmentation de $2\ \%$ correspond  un coefficient multiplicateur de $CM_1=1+t=1+\frac{2}{100}=1,02$. De même une augmentation de $3\ \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $CM_2=1,03$.
			
			Nous en déduisons le coefficient multiplicateur global $CM_g=CM_1 \times CM_2=1,02 \times 1,03=1,0506$. Ce coefficient multiplicateur correspond à une augmentation exprimée en pourcentage par: $(1,0506-1)\times 100=5,06$.
			
			\begin{conclusion}
				L'augmentation globale est de $5,06\ \%$.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		\item 
		\begin{sujet}
			Sachant que le prix initial du plant de fraisier était de $1,20\ \text{\euro}$, calculer le prix après ces deux augmentations. Arrondir le résultat au centime d’euro.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			\objectif{Calculons le prix final $P_f$ du fraisier après les deux augmentations.}
			
			Le plus simple est d'utiliser le coefficient multiplicateur global: $P_f=1,0506 \times 1,20=1,26072$.
			
			\begin{conclusion}
				$P_f\approx 1,26\ \text{\euro}$.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Une estimation est réalisée sur la récolte de fraises à venir. Un neuvième de la masse des fraises ne pourra pas être consommé. Parmi les fraises restantes, un quart de la masse des fraises servira à la confection de confiture.
	\end{sujet}
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{sujet}
			Calculer la proportion de fraises consacrée à la confection de confiture. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			\objectif{Déterminons la proportion de la masse de fraises utilisées pour la confiture.}
			
			Un neuvième de la masse des fraises ne pourra pas être consommé donc $8$ neuvième, $\frac{8}{9}$, pourront l'être.
			
			Puisque un quart de ces fraises sont utilisées pour les confiture cela représente une proportion de $\frac{1}{4} \times \frac{8}{9}=\frac{2}{9}=\frac{2}{3 \times 3}$.
			
			\begin{conclusion}
				Deux neuvième de la masse des fraises sera utilisée pour confectionner de la confiture.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		\item 
		\begin{sujet}
			On suppose que $3$ kilogrammes de fraises sont consacrés à la confection de confiture. Calculer la masse de la récolte initiale de fraise en kilogramme.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			Notons $M$ la masse totale de la récolte. D'après la question précédente, les $3\ \mathrm{kg}$ correspondent à $\frac{2}{9}$ de la masse totale.
			
			\objectif{Déterminons $M$ sachant que $\frac{2}{9}\times M=3$.}			
			\begin{align*}
				\frac{2}{9}M=3 &\Leftrightarrow {\color{WildStrawberry}\frac{9}{2} \times} \frac{2}{9}M=  {\color{WildStrawberry}\frac{9}{2} \times} 3\\
				&\Leftrightarrow M=\frac{27}{2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				La masse totale initiale est de $13,5\ \mathrm{kg}$.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	Pour donner suite à un travail effectué lors de la semaine du goût, les enseignants de CP d’une école souhaitent faire de la confiture de fraises avec leurs élèves. Pour la cuisson des fraises, ils utilisent une grande bassine en cuivre.
	
	On a représenté ci-dessous la bassine de confiture sous la forme d’un grand cône de sommet $S$ et de base le disque de rayon $[OB]$ auquel on retire le petit cône de sommet $S$ et de base le disque de rayon $[AC]$.
	
	\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_03_cone.png}
	
	On suppose que la droite $(OB)$ est perpendiculaire à la droite $(OS)$ et que la droite $(OB)$ est parallèle à la droite $(AC)$. Le diamètre du grand cône a pour longueur $84\ \mathrm{cm}$. On donne $OC = 22\ \mathrm{cm}$ et $CA = 18,9\ \mathrm{cm}$.
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Montrer que la longueur $OS$ est égale à $40\ \mathrm{cm}$.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		\objectif{Déterminons $OS$.}
		
		Les points $S$, $C$, $O$ d'une part et $S$, $A$, $B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre. Autrement dit on a une configuration de Thalès.
		
		De plus $(AC)\parallel (BO)$ donc, d'après le théorème de Thalès: $\frac{SC}{OS}=\frac{CA}{BO}$. Cette dernière égalité équivaut successivement à:
		\begin{align*}
			\frac{OS-OC}{OS} &= \frac{18,9}{\frac{84}{2}}\\
			\frac{OS-22}{OS} &= \frac{18,9}{42}\\
			(OS-22)\times 42 &= OS \times 18,9\\
			42\times OS-22 \times 42 &= 18,9\times OS\\
			42\times OS-924 {\color{WildStrawberry}-42\times OS} &= 18,9 \times 0S {\color{WildStrawberry}-42\times OS}\\
			-924 &= -23,1 \times OS\\
			\frac{-924}{\color{WildStrawberry}-23,1} &= \frac{-23,1 \times OS}{\color{WildStrawberry}-23,1}\\
			40 &= OS
		\end{align*}
		\begin{conclusion}
			$OS=40\ \mathrm{cm}$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Calculer la valeur exacte du volume du grand cône en $\mathrm{cm}^3$.
		
		{\hspace{-1cm}\emph{On rappelle que le volume d’un cône est donné par la formule: $\frac{aire\ de \ la \ base \ \times \ hauteur}{3}$.}}
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		\objectif{Calculons le volume, $\mathscr{V}_1$, du grand cône.}
		$\mathscr{V}_1= \frac{1}{3} \times \pi\times OB^2 \times OS=\frac{1}{3} \times \pi\times \left( \frac{84}{2} \right)^2 \times 40=23520\pi$.
		
		\begin{conclusion}
			$\mathscr{V}_1=23520\pi\ \mathrm{cm}^3$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Calculer la valeur du volume de la bassine de confiture arrondie au $\mathrm{cm}^3$. On donnera la valeur approchée en litre, arrondie au centilitre.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_2$ de la bassine.}
		
		Le volume du petit cône est $\mathscr{V}_3=\frac{1}{3} \times \pi \times CA^2 \times SC=\frac{1}{3} \times \pi \times 18,9^2 \times (40-22)=2143,26\pi$.
		
		On en déduit le volume de la bassine: $\mathscr{V}_2=\mathscr{V}_1-\mathscr{V}_3=23520\pi-2143,26\pi=21376,74\pi\approx 67157,009$ en tronquant au millième.
		
		\begin{conclusion}
			$\mathscr{V}_2 \approx 67157\ \mathrm{cm}^3$.
		\end{conclusion}
		
		$1\ \ell= 1\ \mathrm{dm}^3= 1000\ \mathrm{cm}^3$ donc $\mathscr{V}_2 \approx 67,157\ \ell$ et en arrondissant au centilitre:
		
		\begin{conclusion}
			$\mathscr{V}_2 \approx 67,16\ \ell$.
		\end{conclusion}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2. (3,5 points)}

\begin{sujet}
	Une équipe d’enseignants de cycle 3 utilise un tableur pour garder en mémoire les performances des élèves, pour la pratique de la course longue autour d’un stade. Voici la feuille récapitulative des courses effectuées par un élève:
	
	{\hspace{-0.75cm}\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_04_tableur.png}}
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Donner une formule qui peut être saisie dans la cellule \texttt{D}3 puis étirée vers le bas pour effectuer automatiquement le calcul de la durée de course en secondes ?
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		En \texttt{D}3:
		
		\begin{conclusion}
			$=\texttt{B}3+\texttt{C}3$
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{sujet}
			Calculer la valeur de la cellule \texttt{G}3 arrondie au centième.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			\objectif{Calculons la valeur affichée en \texttt{G}3.}
			
			$\frac{600\ \mathrm{m}}{270\ \mathrm{s}}=\frac{600}{270} \ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=2,222\dots\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$.
			
			\begin{conclusion}
				$2,22$ est affiché en \texttt{G}3.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		\item 
		\begin{sujet}
			Calculer la valeur exacte de la cellule \texttt{H}3.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			\objectif{Calculons la valeur en \texttt{H}3.}
			
			$600\ \mathrm{m}=\frac{600}{1000}\ \mathrm{km}=0,6\ \mathrm{km}$ et $4\ \mathrm{min}+30\ \mathrm{s}=4,5\ \mathrm{min}=\frac{4,5}{60}\ \mathrm{h}= 0,075\ \mathrm{h}$ donc la vitesse est: $\frac{0,6\ \mathrm{km}}{0,075\ \mathrm{h}}=\frac{0,6}{0,075} \ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$.
						
			\begin{conclusion}
				$8$ est affiché en \texttt{H}3.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Un autre élève a effectué $8$ tours à une vitesse moyenne de $9,8\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
		Calculer la durée de la course réalisée par l’élève en l’exprimant en minute seconde arrondie à la seconde.
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		\objectif{Calculons la durée $t$ de la course.}
		
		Vitesse de course: $v=9,8\ \mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{9,8\ \mathrm{km}}{1\ \mathrm{h}}=\frac{9800\ \mathrm{m}}{60\ \mathrm{min}}=\frac{9800}{60}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}=163,333\dots \mathrm{m}/\mathrm{min}$.
		
		Longueur d'un tour: $\frac{600\ \mathrm{m}}{3}=200\ \mathrm{m}$.
		
		Longueur de $8$ tours: $d=8\times 200\ \mathrm{m}=1600\ \mathrm{m}$.
		
		Temps mis pour faire la cours: $t=\frac{d}{v}=\frac{1600\ \mathrm{m}}{\frac{9800}{60}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}}=\frac{1600\times 60}{9800}\ \mathrm{s}\approx 9,795918\ \mathrm{min}=9\ \mathrm{min}+\frac{0,795018}\times 60\ \mathrm{s}\approx 9\ \mathrm{min}+47,75\ \mathrm{s}$.
		
		\begin{conclusion}
			$t\approx 9\ \mathrm{min}+48\ \mathrm{s}$.	
		\end{conclusion}
	\end{correction}
	\item 
	\begin{sujet}
		Le 11 octobre, dernier jour de l’entraînement, les enseignants ont relevé les vitesses moyennes, arrondies au centième, de chaque élève de cycle 3 dans ce tableau.
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			Vitesse ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) & $2,35$ & $2,4$ & $2,43$ & $2,5$ & $2,54$ & $2,67$ & $2,78$ & $2,9$
			\\
			\hline
			Effectif & $2$ & $5$ & $8$ & $12$ & $13$ & $10$ & $7$ & $3$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{sujet}
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{sujet}
			Calculer la vitesse moyenne en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ réalisée par un élève de cycle 3 en précisant le calcul effectué.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			\objectif{Calculons la vitesse moyenne, $v_m$, d'un élève.}
			
			La moyenne s'obtient comme la somme de toutes les vitesses obtenues divisées par le nombre d'élèves: 
			
			$v_m=\frac{2 \times 2,35+5 \times 2,4+8 \times 2,43+12 \times 2,5+13 \times 2,54+10 \times 2,67+7 \times 2,78+3 \times 2,9}{2+5+8+12+13+10+7+3}=2,566999\dots$
			
			\begin{conclusion}
				La vitesse moyenne d'un élève est de $2,57\ \mathrm{m}\mathrm{s}$.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		\item 
		\begin{sujet}
			Déterminer la médiane et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			\objectif{Déterminons la médiane de la série.}
			
			Effectif total: $2+5+8+12+13+10+7+3=60$.
			
			Effectifs cumulés: $2+5+8+12=27= et =2+5+8+12+13=40$.
			
			Ainsi 
			
			\begin{conclusion}
				la médiane de la série est $2,54$. Autrement dit la moitié des élèves ont une vitesse inférieure à $2,54\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$.
			\end{conclusion}
		\end{correction}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3. (3,5 points)}

\begin{sujet}
	Lors de séquences de mathématiques, des enseignants de CE2 utilisent régulièrement deux types de dés: le dé cubique à $6$ faces et le dé tétraédrique à $4$ faces, représentés ci-dessous:
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_05_de_cubique.png}};
		\draw (2,0) node {\begin{tabular}{m{1.2cm}}Ce dé cubique indique $1$. \end{tabular}};
		\draw (6,0) node {\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_06_de_tetraedrique.png}};
		\draw (8,0) node {\begin{tabular}{m{1.3cm}}Ce dé tétraédrique indique $3$. \end{tabular}};
	\end{tikzpicture}
	
	Les parties A et B sont indépendantes.
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	Lors d’une séance sur la numération, des enseignants de CE2 utilisent un jeu de plateau comportant deux dés: un dé cubique équilibré numéroté de $1$ à $6$ et un dé tétraédrique équilibré numéroté de $1$ à $4$. Les élèves lancent les deux dés et obtiennent un nombre constitué de deux chiffres: le dé cubique indiquant le chiffre des dizaines et le dé tétraédrique indiquant le chiffre des unités. Les élèves avancent leur pion du nombre de cases correspondant à ce nombre.
\end{sujet}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Donner le nombre d’issues de cette expérience aléatoire.
	\end{sujet}
	\item 
	\begin{sujet}
		On considère les évènements suivants:
		
		$A$: \og Obtenir un nombre supérieur ou égal à 30\fg{};
		
		$B$: \og Obtenir un multiple de 3\fg{}.
	\end{sujet}
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{sujet}
			Calculer la probabilité de l’évènement $A$. Donner la réponse sous la forme d’une fraction irréductible.
		\end{sujet}
		\item 
		\begin{sujet}
			Calculer la probabilité de l’évènement $B$. Donner la réponse sous la forme d’une fraction irréductible.
		\end{sujet}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	Au cours de l’année scolaire et afin de travailler sur la multiplication, les enseignants de CE2 reprennent les dés utilisés précédemment: le dé cubique numéroté de $1$ à $6$ et le dé tétraédrique numéroté de $1$ à $4$. Il n’y a plus de jeu de plateau, l’objectif est ici que les élèves
	calculent le produit des deux nombres obtenus après avoir effectué le lancer des deux dés.
\end{sujet}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Citer un évènement impossible lié à cette expérience aléatoire.
	\end{sujet}
	\item 
	\begin{sujet}
		On considère l’évènement $C$: \og Obtenir un nombre pair multiple de $3$\fg{}.
		
		Calculer la probabilité de l’évènement $C$. Donner la réponse sous la forme d’une fraction irréductible.
	\end{sujet}
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4. (2 points)}

\begin{sujet}
	Voici un programme réalisé sur le logiciel scratch à l’aide du bloc et du script ci-dessous. On rappelle que la commande \og s’orienter à 90\degres \fg{} permet de s’orienter vers la droite.
	
	\begin{tabular}{|m{7cm}|m{5cm}|}
		\hline
		\multicolumn{2}{|c|}{PROGRAMME}
		\\
		\hline
		Script & Bloc
		\\
		\hline
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_07_scratch_programme.png}};
			\draw (-2.5,-2.45) node {Ligne 8};
		\end{tikzpicture}
		&
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_08_scratch_bloc.png}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
\end{sujet}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Parmi les trois figures ci-dessous, quelle est celle qui est construite par le programme ci-dessus?
		
		\includegraphics[scale=0.45]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_09_trace_1.png}
	\end{sujet}
	\item 
	\begin{sujet}
		Quelle modification doit-on apporter à la ligne 8 du script pour obtenir la figure ci-dessous?
		
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_10_trace_2.png}
	\end{sujet}
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5. (3,5 points)}

\begin{sujet}
	Dire si ces affirmations sont vraies ou fausses en justifiant chacune des réponses. Une réponse sans justification ne sera pas prise en considération lors de la correction.
\end{sujet}
\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{sujet}
		Soit un triangle $NEF$ tel que $NE = 2,04\ \mathrm{m}$, $EF = 9,6\ \mathrm{dm}$ et $NF = 180\ \mathrm{cm}$.
		
		\textbf{Affirmation 1}: Le triangle $NEF$ est rectangle en $F$.
	\end{sujet}
	\item 
	\begin{sujet}
		\textbf{Affirmation 2}: $6x^2-15x=0$ admet comme unique solution $2,5$.
	\end{sujet}
	\item 
	\begin{sujet}
		\textbf{Affirmation 3}: $\dfrac{147}{14}$ est un nombre décimal.
	\end{sujet}
	\item 
	\begin{sujet}
		\textbf{Affirmation 4}: pour tout entier relatif $n$, $2n^2+4n-16$ est un nombre pair.
	\end{sujet}
	\item 
	\begin{sujet}
		Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par l’expression: $f(x)=-2x+3$.
		
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2026_maths_externe_sujet_2_11_droite.png}
		
		\textbf{Affirmation 5}: La représentation graphique de
		la fonction $f$ est la droite d.
	\end{sujet}
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}