%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5 \documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5 %######## % Packages # %######## \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[french]{babel} %######Affichage des maths \DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb,amsthm} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{amsopn} \usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique \usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1} %\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1} %######Graphique \usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage{graphicx} \usepackage{pgf} \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-tab} \usetikzlibrary{shapes,arrows} \usepackage{geometry} \geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %######Tableau \usepackage{array} %pour centrer dans un tableau \usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25} \usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular \usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit} \usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement %######Hyperliens dans les pdf \usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides. %######Des symboles et images \usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone \usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit \usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro %######Vrac \usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres \usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item \usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket \usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45} \opset{decimalsepsymbol={,}} \usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. %\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt %Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots| \usepackage{fancyhdr} %######Algo \usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. %\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python} %Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}. %Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style \lstdefinestyle{pythonstyle}{ language=Python, backgroundcolor=\color{gray!30}, commentstyle=\color{Plum}, keywordstyle=\color{blue}, numberstyle=\tiny\color{black}, stringstyle=\color{ForestGreen}, basicstyle=\ttfamily\color{black}, breakatwhitespace=false, breaklines=true, captionpos=b, keepspaces=true, numbers=none, numbersep=5pt, showspaces=false, showstringspaces=false, showtabs=false, tabsize=1 } \lstset{style=pythonstyle} \lstdefinestyle{bashstyle}{ language=bash, backgroundcolor=\color{black}, commentstyle=\color{white}, keywordstyle=\color{magenta}, numberstyle=\tiny\color{black}, stringstyle=\color{white}, basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white}, breakatwhitespace=false, breaklines=true, captionpos=b, keepspaces=true, numbers=left, numbersep=5pt, showspaces=false, showstringspaces=false, showtabs=false, tabsize=1 } %\lstset{style=bashstyle} \usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode \usepackage{scratch3} %############### Formule developpée molécule chimie \usepackage{chemfig} %##################### % Commande et environnement # %##################### \theoremstyle{plain} %Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer): \usepackage{titlesec} \titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{} \titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{} \titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{} \titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{} \renewcommand{\thesection}{{}} \renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}} \newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip} \newenvironment{sujet}{}{\medskip} %environnement bareme \newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}} %environnement détais du barème \newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\} %environnement notabene \newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\} %environnement exemples \newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{} %environnement remarques \newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{} \newenvironment{lecon}{\color{black}}{} \newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{} %Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur \newsavebox{\selvestebox} \newenvironment{colbox}[1] {\newcommand\colboxcolor{#1}% \begin{lrbox}{\selvestebox}% \begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}} {\end{minipage}\end{lrbox}% \begin{center} \colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}} \end{center}} %environnement exercice \newcounter{Exercice} \setcounter{Exercice}{1} \newcounter{Exercicecorrection} \newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} } %environnement exercicecorrection \newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection} }{} %environnement definition \newcounter{Definition} \setcounter{Definition}{1} \newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme} \newcounter{Theoreme} \setcounter{Theoreme}{1} \newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement proposition \newcounter{Proposition} \setcounter{Proposition}{1} \newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1} \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement propriété \newcounter{Propriete} \setcounter{Propriete}{1} \newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1} \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement méthode \newcounter{Methode} \setcounter{Methode}{1} \newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1} \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement lemme \newcounter{Lemme} \setcounter{Lemme}{1} \newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1} \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement corollaire \newcounter{Corollaire} \setcounter{Corollaire}{1} \newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}} %environnement démonstration \newcounter{Demonstration} \setcounter{Demonstration}{1} \newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} }{\hfill $\blacksquare$} %environnement conclusion encadré et coloré \newenvironment{conclusion} {\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} } {\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} } %Commande pour l'objectif et l'écrire en vert \newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1} \medskip} %######################## %Test conditionnel pour l'affichage # %######################## \newif\ifs %\strue%affiche la boite à trous \sfalse%affiche la réponse %Pour faire une case à trou complétable sur le pdf \newcounter{Trous} \setcounter{Trous}{1} \newcommand{\trous}[2][3cm]{ \ifs \begin{Form} \TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1, width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {} \end{Form} \xspace \else #2 \fi \addtocounter{Trous}{1} } %######################### %en tête puis pied de page %######################### \pagestyle{empty} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut \lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires \chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2026 groupe 1.} }% l left, c center, r right \rhead[]{} \lfoot[]{} \cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -} \rfoot[]{} %############################ %les environnements qu'on affiche ou pas # %############################ \newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}} %Pour cours corrections %\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction} \exclure{methode} %Pour cours exercices %\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction} \exclure{methode} %Pour cours lecon %\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction} %Pour cours intégrale %\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} %Pour devoir surveillé sujet %\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction} %Pour devoir surveillé correction %\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet} %Pour devoir surveillé intégrale \exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} %############################### %#Double numérotation des pages# %############################### %\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter. %\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté \begin{document} \section{Épreuve de mathématiques CRPE 2026 groupe 1.} \begin{center} \begin{sujet} Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2026_maths/crpe_2026_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}. \end{sujet} \begin{correction} Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2026_maths/crpe_2026_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}. {\color{red}} \end{correction} \begin{sujet} \emph{Durée: 3 heures.} \end{sujet} \end{center} \subsection{Exercice 1.} \begin{sujet} Voici les prix d'entrée pratiqués par un musée pour les groupes scolaires. \begin{center} \begin{tabular}{|m{10cm}|} \hline \hfill \textbf{Adulte: 16 \text{\euro}.} \hfill~ \\ \hfill \textbf{Enfant: 8,50 \text{\euro}.} \hfill~ \\ Réduction de $15\ \%$ du montant global pour les groupes de $50$ personnes et plus (adultes et enfants). \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{sujet} \subsubsection{Partie A.} \begin{sujet} Une directrice décide d'organiser une visite scolaire dans ce musée pour les élèves de son école. Afin de préparer la facturation, elle élabore la feuille de calcul suivante dans un tableur. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline \cellcolor{Gray!50} & \cellcolor{Gray!50} \texttt{A} & \cellcolor{Gray!50} \texttt{B} & \cellcolor{Gray!50} \texttt{C} & \cellcolor{Gray!50} \texttt{D} \\ \hline \cellcolor{Gray!50} 1 & \textbf{Visiteurs} & \textbf{Nombre} & \textbf{Prix en \euro} & \textbf{Total} \\ \hline \cellcolor{Gray!50} 2 & Adultes & 7 & $16,00$ & \\ \hline \cellcolor{Gray!50} 3 & Élèves de CP & 14 & $8,50$ & \\ \hline \cellcolor{Gray!50} 4 & Élèves de CE1 & 15 & $8,50$ & \\ \hline \cellcolor{Gray!50} 5 & Élèves de CE2 & 12 & $8,50$ & \\ \hline \cellcolor{Gray!50} 6 & Élèves de CM1 & 13 & $8,50$ & \\ \hline \cellcolor{Gray!50} 7 & Élèves de CM2 & 18 & $8,50$ & \\ \hline \cellcolor{Gray!50} 8 & \cellcolor{Gray!25} & \cellcolor{Gray!25} & \textbf{Total} & \\ \hline \cellcolor{Gray!50} 9 & \cellcolor{Gray!25} & \cellcolor{Gray!25} & \textbf{Total après réduction} & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Donner une formule qui peut être saisie en \texttt{D}2 puis étirée vers le bas jusqu'en \texttt{D}7 pour calculer le montant des visites adultes et élèves. \end{sujet} \begin{correction} Formule en \texttt{D}2: \begin{conclusion} $=\texttt{B}2*\texttt{C}2$ \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Donner une formule qui peut être saisie en \texttt{D}8 permettant de calculer le montant total de la facture avant la réduction, à partir des cellules de la colonne \texttt{D}. \end{sujet} \begin{correction} Formule en \texttt{D}8: \begin{conclusion} $=\mathrm{SOMME}(\texttt{D}2:\texttt{D}7)$ \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} L'effectif du groupe étant supérieur à $50$, donner une formule qui peut être saisie en \texttt{D}9 pour calculer le montant total de la facture après la réduction. \end{sujet} \begin{correction} Une réduction de $15\ \%$ signifie un taux d'évolution de $-0,15$ et le coefficient multiplicateur correspondant à ce taux est: $CM=1+t=1+(-0,15)=0,85$. Formule en \texttt{D}9: \begin{conclusion} $=\texttt{D}8*0,85$ \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \subsubsection{Partie B.} \begin{sujet} En raison de contraintes logistiques la directrice ne souhaite pas amener plus de $50$ personnes. Elle propose dans un premier temps cette visite uniquement aux $41$ élèves de cycle 2 accompagnés de $4$ adultes. On souhaite déterminer le coût de la visite en fonction du nombre d'élèves réellement présents le jour de la visite. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Soit $n$ le nombre de d'élèves participant à la visite. Exprimer en fonction de $n$ le coût total de cette visite sachant que les élèves sont accompagnés de $4$ adultes. \end{sujet} \begin{correction} Le coût pour les $n$ élèves: $n \times 8,50\ \text{\euro}$. Le coût pour les quatre enseignants: $4 \times 16\ \text{\euro}$. Il y a au maximum $41+4=45$ personnes donc pas de réduction de tarif. \begin{conclusion} Le coût total, exprimé en euros, pour $n$ élèves est $8,5n+64$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} L'école a payé au musée $378,50\ \text{\euro}$. Combien d'élèves ont participé à la sortie sachant qu'ils étaient accompagnés de $4$ adultes? \end{sujet} \begin{correction} En utilisant la formule précédente du coût nous remarquons que l'on doit avoir: $8,5n+64=378,5$. Il s'agit d'une équation du premier degré qui se résout en isolant l'inconnue: \begin{align*} 8,5n+64 {\color{WildStrawberry}-64} &= 378,5 {\color{WildStrawberry}-64}\\ 8,5n &= 314,5\\ \frac{8,5n}{\color{WildStrawberry}8,5} &= \frac{314,5}{\color{WildStrawberry}8,5}\\ n &= 37 \end{align*} \begin{conclusion} $37$ enfants ont participé à la sortie. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \subsubsection{Partie C.} \begin{sujet} La directrice fait appel à un organisme de voyage afin de planifier le transport des $41$ élèves de cycle 2 jusqu'au musée qui est situé à $85$ kilomètres de son école. Le temps estimé du trajet entre l'école et le musée est d'une heure et dix minutes. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Calculer la vitesse moyenne de l'autocar sur ce trajet, en kilomètre par heure, arrondie à l'unité. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Calculons la vitesse moyenne de l'autocar.} $v=\frac{85\ \mathrm{km}}{1\ \mathrm{h}+10\ \mathrm{min}}=\frac{85\ \mathrm{km}}{1\ \mathrm{h}+\frac{10}{60}\ \mathrm{h}}=\frac{85}{1+\frac{10}{60}} \ \mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 72,85\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ en tronquant au centième. \begin{conclusion} La vitesse moyenne arrondie à l'unité est $73\ \mathrm{km}$. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \begin{sujet} L'entreprise de transport communique les informations ci-dessous pour ce voyage. {\hspace{-0.75cm} \begin{tabular}{|m{6cm}|} \hline \textbf{Caractéristiques de l'autocar:} \\ Nombre de places: $63$. \\ Longueur: $13$ mètres. \\ Masse: $28$ tonnes. \\ Capacité du réservoir: $500$ litres. \\ Consommation moyenne $30\ \mathrm{L}/100\ \mathrm{km}$. \\ Émission de $\mathrm{CO}_2$: $74\ \mathrm{g}/ \mathrm{Voyageur}/\mathrm{km}$. \\ \hline \end{tabular} \begin{tabular}{m{5.5cm}} \begin{tabular}{|m{5.5cm}|} \hline \textbf{Prix du gazole:} $1,60\ \text{\euro}$ le litre. \\ \hline \end{tabular} \\ \\ \begin{tabular}{|m{5.5cm}|} \hline \textbf{Forfait journalier de mise à disposition du bus avec chauffeur:} $150\ \text{\euro}$. \\ \hline \end{tabular} \end{tabular} } \end{sujet} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item \begin{sujet} Calculer le coût total du transport pour ce voyage aller-retour, sachant que le carburant et les frais de péage sont à la charge du client. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Calculons le coût total du transport.} Quantité de gazole consommé: $\frac{30\ \mathrm{L}}{100\ \mathrm{km}} \times 85\ \mathrm{km}=\frac{30}{100}\times 85\ \mathrm{L}=25,5\ \mathrm{L}$. Coût du gazole: $25\ \mathrm{L}\times 1,60\ \frac{\text{\euro}}{\mathrm{L}}= 25,5\times 1,60\ \text{\euro}=40,80\ \mathrm{\euro}$. Le coût total est: $150\ \text{\euro}+40,80\ \text{\euro}$. \begin{conclusion} Le coût total: $190,80\ \text{\euro}$. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \subsection{Exercice 2. (4 points)} \subsubsection{Partie A.} \begin{sujet} Afin de financer une partie du coût d'une sortie scolaire, une école organise une tombola. $500$ tickets à gratter sont proposés à la vente et chaque ticket est vendu $2 \ \text{\euro}$. Le grattage du ticket permet de révéler la mention \og Perdu \fg{} ou \og Gagné\fg{} en précisant la nature du lot obtenu. La répartition des lots est donnée ci-dessous: \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $1$ lot d'une valeur de $100\ \text{\euro}$, \item $2$ lots d'une valeur de $50\ \text{\euro}$, \item $5$ lots d'une valeur de $10\ \text{\euro}$, \item $20$ lots d'une valeur de $5\ \text{\euro}$, \item $50$ lots d'une valeur de $2\ \text{\euro}$. \end{enumerate} On tire au hasard un ticket parmi les $500$ tickets à gratter proposés à la vente. Dans cet exercice, toutes les valeurs des probabilités seront données sous forme de fraction irréductible. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Déterminer la probabilité que le ticket tiré permette de gagner un lot d'une valeur de $50\ \text{\euro}$. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Calculons la probabilité d'obtenir un lot de $50\ \text{\euro}$.} Il est raisonnable de modéliser le tirage d'un ticket par une loi uniforme: il y a équiprobabilité entre les tickets. Deux tickets permettent d'obtenir un lot d'une valeur de $50\ \text{\euro}$. Il y a un total de $500$ tickets. Nous en déduisons la probabilité de l'évènement $(V=50)$, obtenir un lot d'une valeur de $50\ \text{\euro}$: $\mathbb{P}(V=50)=\frac{2}{500}$. Enfin, sous forme d'une fraction irréductible: \begin{conclusion} $\mathbb{P}(V=50)=\frac{1}{250}$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Déterminer la probabilité que le ticket tiré permette de gagner un lot d'une valeur strictement supérieure à la mise de départ. \end{sujet} \begin{correction} On raisonne comme à la question précédente. \objectif{Calculons la probabilité de l'événement $(V>2)$.} Le nombre de ticket correspondant à cet événement est: $1+2+5+20=28$. On en déduit la probabilité de l'événement: $\mathbb{P}(V>2)=\frac{28}{500}$. Et en considérant les décompositions en facteurs premiers: $28=2 \times 2 \times 7$ et $500=2 \times 2 \times 5 \times 5 \times 5$ nous pouvons trouver la forme irréductible: \begin{conclusion} $\mathbb{P}(V>2)=\frac{7}{125}$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Déterminer la probabilité que le ticket porte la mention \og Perdu \fg{}. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Calculons $\mathbb{P}(V=0)$.} Le nombre de ticket gagnants est: $1+2+5+20+50=78$. On en déduit le nombre de tickets perdants: $500-78=422$. On en déduit la probabilité voulue: $\mathbb{P}(V=0)=\frac{422}{500}$. De la décomposition en produit de facteurs premiers de $422=2 \times 211$ on déduit la forme irréductible de la probabilité: \begin{conclusion} $\mathbb{P}(V=0)=\frac{211}{250}$. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \subsubsection{Partie B.} \begin{sujet} La directrice regroupe dans le tableau ci-dessous le nombre d'élèves en fonction du nombre de tickets qu'ils ont vendus. \begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|c|c|c|c|} \hline Nombre de tickets vendus & $4$ & $6$ & $7$ & $10$ & $15$ & $20$ \\ \hline Nombre d'élèves & $10$ & $4$ & $8$ & $14$ & $12$ & $3$ \\ \hline \end{tabular} Ainsi, par exemple, $10$ élèves ont vendu chacun $4$ tickets. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Calculer le nombre moyen de tickets vendus par les élèves. Arrondir à l'unité. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Calculons le nombre moyen, $m$, de ticket vendus.} $m=\frac{10 \times 4+ 4 \times 6+8\times 7+14 \times 10+12 \times15+3 \times 20}{10+4+8+14+12+3}\approx 9,8$ en tronquant. \begin{conclusion} $10$ tickets en moyenne sont vendus par chaque élève. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{enumerate} \item \begin{sujet} En explicitant la démarche, déterminer la médiane de la série du nombre de tickets vendus. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Déterminons la médiane de la série.} Nombre total d'élèves: $10+4+8+14+12+3=51$. La médiane est donc la $26$-ième valeur de la série ordonnée. Effectifs cumulés indiquant la position de la médiane: $10+4+8=22$ et $10+4+8+14=36$. La médiane est donc, d'après le tableau, la valeur $10$. \begin{conclusion} Le nombre de tickets médian est $10$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \end{sujet} \begin{correction} \begin{conclusion} La moitié des élèves ont vendu moins de $10$ tickets chacun. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Exercice 3. (4,5 points)} \begin{sujet} Des élèves participent à un cross dans un parc. Le parcours est décrit sur le schéma ci-dessous. \begin{tikzpicture}[scale=0.6] \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (0,2.5); \coordinate (C) at (6,2.5); \coordinate (E) at (0,-1.5); \coordinate (D) at ({-sqrt(3.9*3.9-1.5*1.5)},-1.5); \draw (A) node[above left] {$A$}; \draw (B) node[above left] {$B$}; \draw (C) node[right] {$C$}; \draw (D) node[below left] {$D$}; \draw (E) node[below right] {$E$}; \draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (A); \draw (A) -- (B) node[midway,sloped] {$>$}; \draw (B) -- (C) node[midway,sloped] {$>$}; \draw (C) -- (A) node[midway,sloped] {$<$}; \draw (D) -- (E) node[midway,sloped] {$>$}; \draw (6,0) node {Plan de la course.}; \draw (0,2) -- (0.5,2) -- (0.5,2.5); \end{tikzpicture} Les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés. Les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés. $ABC$ est un triangle rectangle en $B$. Les longueurs suivantes sont exprimées en mètre: $AE=15$; $AC=65$; $AB=25$; $AD=39$. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Montrer que la longueur $BC$ est égale à $60\ \mathrm{m}$. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Calculons $BC$.} $ABC$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore: $AB^2+BC^2=AC^2$. Cette dernière égalité équivaut successivement à: \begin{align*} 25^2+BC^2 &= 65^2\\ 625+BC^2 &=4225\\ 625+BC^2 {\color{WildStrawberry}-625} &=4225 {\color{WildStrawberry}-625}\\ BC^2 &= 3600\\ \intertext{Et puisque $BC$, en tant que longueur, est positive:} BC &= \sqrt{3600} \end{align*} \begin{conclusion} $BC=60\ \mathrm{m}$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Montrer que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Montrons que $(BC)\parallel(DE)$.} Du fait des alignements indiqués dans l'énoncé on a une configuration de Thalès en papillon. De plus $\frac{AE}{AB}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$ et $\frac{AD}{AC}=\frac{39}{65}=\frac{3}{5}$ et donc $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$. On déduit des points précédents, et d'après la réciproque du théorème de Thalès, que \begin{conclusion} $(BC)\parallel(DE)$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Calculer la longueur totale du parcours $EBCDE$. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Calculons la longueur $P$ du parcours.} Dans un premier temps calculons la longueur $DE$. Il ya une configuration de Thalès et $(BC)\parallel(DE)$ donc, d'après le théorème de Thalès: $\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}$. Cette dernière égalité équivaut successivement à: \begin{align*} \frac{39}{65} &= \frac{DE}{60}\\ \frac{39}{65} {\color{WildStrawberry}\times 60} &= \frac{DE}{60} {\color{WildStrawberry}\times 60}\\ 36 &= DE \end{align*} $P=AB+BC+CA+AD+DE+EA=25+60+65+39+36+15$. \begin{conclusion} $P=240$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Pour baliser le parcours, l'enseignant utilise des plots de hauteur totale $450$ millimètres. On modélise chaque plot de la manière suivante: \begin{enumerate}[$\triangleright$] \item le socle est assimilé à un pavé droit à base carrée dont les dimensions sont données sur la figure ci-dessous, \item la partie supérieure, surmontant ce socle, est assimilée à un cône de révolution hauteur $415$ millimètres, et dont le diamètre de la base est de $20$ centimètres. \end{enumerate} \includegraphics[scale=0.7]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_01_cone.png} Afin que ces plots ne s'envolent pas, il est nécessaire au préalable de les remplir de sable (socle et partie supérieure). {\hspace{-1cm} \begin{tabular}{|c|} \hline On rappelle la formule du volume d’un cône: $V=\frac{1}{3}\times \emph{aire de la base} \times \emph{hauteur}$. \\ \hline \end{tabular} } \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Vérifier que le volume de sable permettant de remplir en totalité un plot est de $6,45\ \mathrm{dm}^3$, arrondi au centième. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Calculons le volume du plot.} Volume du socle: $245\ \mathrm{mm} \times 245\ \mathrm{mm} \times 35\ \mathrm{mm}= 2100875\ \mathrm{mm}^3= 2,100875\ \mathrm{dm}^3$. Puisque le rayon du disque de base est $\frac{20\ \mathrm{cm}}{2}=100\ \mathrm{mm}$, le volume du cône est: $\frac{1}{3}\times \pi \times (100\ \mathrm{mm})^2 \times 415\ \mathrm{mm}\approx 4345869\ \mathrm{mm}^3\approx 4,345869\ \mathrm{dm}^3$. Le volume total du plot: $4,345869\ \mathrm{dm}^3+2,100875\ \mathrm{dm}^3=6,446744\ \mathrm{dm}^3$. \begin{conclusion} Le volume total est $6,45\ \mathrm{dm}^3$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Sachant que la densité du sable est d’environ $1,6$ tonne par mètre cube, déterminer la masse de sable nécessaire pour remplir un plot. On donnera le résultat en kilogramme, arrondi au dixième. \end{sujet} \begin{correction} \objectif{Calculons la masse de sable nécessaire.} Puisque la densité est de $1,6$ tonnes par mètre cube, la masse d'un décimètre cube de sable est en kilogramme: $\frac{1600}{1000}=1,6$. On en déduit la masse de sable nécessaire: $6,45\ \mathrm{dm}^3 \times 1,6\ \mathrm{kg}/\mathrm{dm}^3=8,736\ \mathrm{kg}$. \begin{conclusion} Il faut $8,7\ \mathrm{kg}$ de sable pour remplir le plot. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Exercice 4. (3,5 points)} \begin{sujet} Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer en justifiant si elle est vraie ou fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} \textbf{Affirmation 1}: Tout nombre divisible par $4$ est divisible par $12$. \end{sujet} \begin{correction} $4$ est divisible par $4$ mais $4$ n'est pas divisible par $12$. \begin{conclusion} L'affirmation 1 est fausse. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} \textbf{Affirmation 2}: Pour tout nombre réel $x$, $24x^2-9=(3x+1)(8x-5)-(-7x+4)$. \end{sujet} \begin{correction} $(3x+1)(8x-5)-(-7x+4)=3x \times 8x+3x \times (-5)+1 \times 8x +1 \times(-5)+7x-4=24x^2-15x+8x-5+7x-4=24x^2-4$. \begin{conclusion} L'affirmation 2 est vraie. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Soit $a$, $b$ et $c$ trois nombres entiers avec $c$ non nul. \textbf{Affirmation 3}: Si $a$ est un multiple de $b$ et $b$ est un multiple de $c$, alors $\frac{a}{c}$ est un nombre entier. \end{sujet} \begin{correction} Si $a$ est un multiple de $b$ alors il existe un entier $n$ tel que $a=nb$. Si $b$ est un multiple de $c$ alors il existe un entier $m$ tel que $b=mc$. On en déduit: $a=nb=nmc$ et donc $\frac{a}{c}=\frac{nmc}{c}=nm$ et $nm$ est bien un entier. \begin{conclusion} L'affirmation 3 est vraie. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} \textbf{Affirmation 4}: Le nombre $\dfrac{3500}{56 \times 10^{19}}$ est un nombre décimal. \end{sujet} \begin{correction} $\frac{3500}{56 \times 10^{19}}=\frac{5\times 7 \times10^2}{2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 10^{19}}=\frac{5}{2^3 \times 10^{17}}=\frac{5}{2^3\times 2^{19}\times 5^{19}}=\frac{5}{2^{21}\times 5^{19}}$. Au numérateur se trouve un entier et au dénominateur uniquement des puissances de $2$ et de $5$ donc il s'agit d'un nombre décimal. \begin{conclusion} L'affirmation 4 est vraie. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} Un prix subit trois augmentations successives de $20\ \%$. \textbf{Affirmation 5}: Ce prix a subit une augmentation globale de $72,8\ \%$. \end{sujet} \begin{correction} Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $20\ \%$ est $CM=1+\frac{20}{100}=1,20$. Le coefficient multiplicateur correspondant à $3$ hausse successives de $20\ \%$ est: $CM_g=1,20\times 1,20\times 1,20=1,728$. Le taux d'évolution correspondant à ce coefficient multiplicateur est donc: $1,728-1=0,728$ autrement dit une hausse de $72,8\ \%$. \begin{conclusion} L'affirmation 5 est vraie. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \subsection{Exercice 5. (3 points)} \begin{sujet} Un enseignant fait participer des élèves à un concours d’art urbain organisé par la commune dont le thème est \og art et géométrie\fg{}. Il leur donne un motif en forme de parallélogramme ainsi qu’un extrait de script, écrit à l’aide du logiciel Scratch, permettant de tracer ce motif. On précise que le stylo est positionné au point de départ comme indiqué sur la figure ci-dessous et qu’il est orienté vers la droite. De plus, les flèches indiquent le sens du tracé. \begin{tikzpicture} \draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_02_parcours.png}}; \draw [>=latex,->,line width=0.08cm] (-0.8,-0.6) -- (-0.3,-0.6); \draw [>=latex,->,line width=0.08cm] (1.3,0.7) -- (0.8,0.7); \draw [>=latex,->,line width=0.08cm] (2,-0.1) -- (2.4,0.2); \draw [>=latex,->,line width=0.08cm] (-0.6,0.2) -- (-1,-0.1); \draw (0.71,0.1) node[fill=white]{\large $\alpha$}; \end{tikzpicture} \end{sujet} \begin{enumerate} \item \begin{sujet} Déterminer la valeur, en degré, de la mesure de l’angle $\alpha$. \end{sujet} \begin{correction} La somme deux angles consécutifs dans un parallélogramme est un angle plat (angles supplémentaires): $30+\alpha=180$ et donc \begin{conclusion} $\alpha=150\degres$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} ~ \begin{minipage}{0.7\linewidth} Donner l’ordre des quatre étiquettes A, B, C et D ci-dessous, à insérer dans le script ci-contre, pour obtenir le tracé du parallélogramme ci-dessus en précisant la valeur manquante de l’étiquette C. \end{minipage} \begin{minipage}{0.3\linewidth} \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_03_bloc_scratch.png} \end{minipage} {\hspace{-1.25cm} \begin{tabular}{|m{1.4cm}|m{2.2cm}|m{2.1cm}|m{2.8cm}|m{2.8cm}|} \hline Bloc & \includegraphics[scale=0.18]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_04_scratch_1.png} & \includegraphics[scale=0.18]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_05_scratch_2.png} & \includegraphics[scale=0.18]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_06_scratch_3.png} & \includegraphics[scale=0.18]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_07_scratch_4.png} \\ \hline Étiquette & A & B & C & D \\ \hline \end{tabular} } \end{sujet} \begin{correction} \begin{conclusion} Dans l'ordre: B, D, A puis C en choisissant pour C la valeur $150$. \end{conclusion} \end{correction} \item \begin{sujet} On rappelle que la commande \includegraphics[scale=0.15]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_08_scratch_s_orienter.png} signifie que le stylo s’oriente vers la droite. Des élèves ont réalisé les scripts suivants: \begin{minipage}{0.5\linewidth} \textbf{Programme 1} \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_09_scratch_programme_1.png} \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\linewidth} \textbf{Programme 2} \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_10_scratch_programme_2.png} \end{minipage} L’exécution des deux programmes précédents permet d’obtenir deux des quatre figures proposées ci-dessous. On précise que les centres respectifs des figures A et B constituent leur point de départ. En revanche, le point O indique le point de départ des figures C et D. \begin{minipage}{0.25\linewidth} Figure A \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_11_scratch_trace_1.png} \end{minipage} \begin{minipage}{0.25\linewidth} Figure B \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_12_scratch_trace_2.png} \end{minipage} \begin{minipage}{0.25\linewidth} Figure C \begin{tikzpicture} \draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_13_scratch_trace_3.png}}; \coordinate (O) at (-0.2,-0.6); \draw (O) node {$\times$}; \draw (O) node [above] {O}; \end{tikzpicture} \end{minipage} \begin{minipage}{0.25\linewidth} Figure D \begin{tikzpicture} \draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2026_maths_externe_sujet_1_14_scratch_trace_4.png}}; \coordinate (O) at (-0.3,-1.34); \draw (O) node {$\times$}; \draw (O) node [below left] {O}; \end{tikzpicture} \end{minipage} Sans justifier, associer chacun des deux programmes à la figure qu’il permet d’obtenir. \end{sujet} \begin{correction} \begin{conclusion} Le programme 1 correspond à la figure A. Le programme 2 correspond à la figure C. \end{conclusion} \end{correction} \end{enumerate} \end{document} \section{Modèles.} \subsection{Graphique} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] \def\xY{-0.5}; \def\yY{-0.5}; \def\xZ{8.5}; \def\yZ{7}; \coordinate (Y) at (\xY,\yY); \coordinate (Z) at (\xZ,\yZ); \draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z); \draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z); \draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$}; \foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}}; \draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$}; \draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$}; \draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )}); \draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$}; \fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2}) -- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2}) -- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2}) -- (2,0) --(-0.5,0) -- cycle; \draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)}; \end{tikzpicture} \end{center} Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a} \subsection{Dessin.} \begin{tikzpicture} \coordinate (A) at (0,0); \coordinate (B) at (5,-1); \coordinate (F) at (6,0); \coordinate (C) at (7,1); \coordinate (D) at (2,2); \coordinate (O) at (3.5,0.5); \coordinate (S) at (3.5,6); \coordinate (J) at (3.5,3.5); \coordinate (K) at (3,4.666); \draw (A) node {$\bullet$}; \draw (B)node {$\bullet$}; \draw (F)node {$\bullet$}; \draw (C)node {$\bullet$}; \draw (D)node {$\bullet$}; \draw (O)node {$\bullet$}; \draw (S)node {$\bullet$}; \draw (J)node {$\bullet$}; \draw (K)node {$\bullet$}; \draw (A)node[below]{$A$}; \draw (B)node[below right]{$B$}; \draw (F)node[right]{$F$}; \draw (C)node[right]{$C$}; \draw (D)node[above right]{$D$}; \draw (O)node[above right]{$O$}; \draw (S)node[above]{$S$}; \draw (J)node[above right]{$J$}; \draw (K)node[below right]{$K$}; \draw[blue, thick](A)--(B)--(C); \draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C); \draw[blue, thick](A)--(S); \draw[blue, thick](B)--(S); \draw[blue, thick](C)--(S); \draw[blue, thick,dashed](D)--(S); \draw[blue, thick,dashed](O)--(S); \draw[blue, thick](F)--(S); \draw[blue, thick,dashed](A)--(C); \draw[blue, thick,dashed](D)--(B); \draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C); \fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle; \fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle; \fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle; \fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle; \end{tikzpicture} \subsection{Arbre nouveau 2 niveau.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] %Écarts entre entre racine et premier niveau \def\xA{2}; %Nombre de nœuds du premiers niveau \def\noA{2}; %Nombre de nœuds du deuxième niveau \def\noB{6}; %Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau \def\noBe{3}; %Écarts entre nœuds du deuxième niveau \def\xB{2+\xA}; \def\yB{1}; %Racine \coordinate (O) at ({0},{-\yB/2}); %Pour ne pas écrire les mots above et below \def\posA{above}; \def\posB{below}; %Position des nœuds du premier niveau %Dessin des nœuds branches du premier niveau \foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in { nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA, nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB }{ \coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe}); \draw node (\nA) at (\A) {\contenu}; \draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation}; }; %Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau \foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in { nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA, nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB, nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA, nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB, nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA, nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB }{ \coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2}); \draw node (\nB) at (\B) {\contenu}; \draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation}; }; \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] %Écarts entre entre racine et premier niveau \def\xA{2}; %Nombre de nœuds du premiers niveau \def\noA{3}; %Nombre de nœuds du deuxième niveau \def\noB{6}; %Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau \def\noBe{2}; %Écarts entre nœuds du deuxième niveau \def\xB{2+\xA}; \def\yB{1}; %Nombre de nœuds du troisième niveau \def\noC{12}; %Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau \def\noCe{2}; %Écarts entre nœuds du troisième niveau \def\xC{2+\xB}; \def\yC{1}; %Racine \coordinate (O) at ({0},{-\yB/2}); %Pour ne pas écrire les mots above et below \def\posA{above}; \def\posB{below}; %Position des nœuds du premier niveau %Dessin des nœuds branches du premier niveau \foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in { nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA, nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA, nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB }{ \coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe}); \draw node (\nA) at (\A) {\contenu}; \draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation}; }; %Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau \foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in { nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA, nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB, nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA, nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB, nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA, nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB }{ \coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe}); \draw node (\nB) at (\B) {\contenu}; \draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation}; }; %Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau \foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in { nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA, nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA, nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA, nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA, nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA, nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA, nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA }{ \coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2}); \draw node (\nC) at (\C) {\contenu}; \draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation}; }; \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Arbre.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1] \coordinate (A1) at (4,3); \coordinate (A2) at (4,1); \coordinate (A3) at (4,-1); \coordinate (A4) at (4,-3); \coordinate (B1) at (2,2); \coordinate (B2) at (2,-2); \coordinate (C1) at (0,0); \draw node (A11) at (A1) {$1$}; \draw node (A12) at (A2) {$2$}; \draw node (A13) at (A3) {$3$}; \draw node (A14) at (A4) {$4$}; \draw node (B11) at (B1) {$1$}; \draw node (B12) at (B2) {$2$}; \draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$}; \draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$}; \draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$}; \draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$}; \draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$}; \draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$}; \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Arbre bis.} \begin{center} \begin{tikzpicture}[scale=0.5] %Création des nœuds \foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n}; \foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n}; \foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n}; \foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n}; %Branches entre les nœuds \foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A); \foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B); \foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C); \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Tab} \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6} {$-\infty$ ,$1$, $+\infty$} \tkzTabLine{,+,d,+,}% \tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / } \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Tab2.} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4} {$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$, $+\infty$} \tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}% \tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ } \tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$} \tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$} \draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63); \end{tikzpicture} \subsection{Python} \begin{center} \begin{minipage}{5cm} \lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red}, emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}} \begin{lstlisting}{style=pythonstyle} def fonction(variable1): variable2=3 \end{lstlisting} \end{minipage} \end{center} \subsection{Bash} %\begin{minipage}{5cm} \begin{lstlisting}{style=bashstyle} sudo apt update sudo apt upgrade \end{lstlisting} \hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}} %\end{minipage} \subsection{Pseudocode} \begin{tabular}{|c|} \hline \begin{minipage}{8cm} \LinesNumbered \SetKw{entrer}{entrer} \SetKw{prend}{prend la valeur} \SetKw{afficher}{afficher} \begin{algorithm}[H] \SetAlgoLined \DontPrintSemicolon \entrer pi 0\; \Tq{1}{ 2\; \eSi{3}{ 4\; 5\; }{ 6\; } } \Pour{7}{ \Si{8}{ 9\; } } \end{algorithm} \end{minipage} \\ \hline \end{tabular} \subsection{Tabularx} Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent \noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}} \hline Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{tabularx} \subsection{Tableau sans une case et diagonale.} \begin{tabular}{|*{7}{c|}} \cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane & Quartile 3 & Maximum \\ \hline Série $T$ & \backslashbox{$v_n$}{$u_n$}& 67& 70& 72& 74& 78 \\ \hline Série $P$ &&&&&& \\ \hline \end{tabular} \subsection{Tableau ligne colonne.} \begin{tabular}{|*{11}{c|}} \hline \multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement} \\ \cline{2-9} & Sécurité &&&&&&&&& \\ \hline & &&&&&&&&& \\ \hline \end{tabular}\\ \subsection{Retrait dans la marge.} \hspace*{-1cm} \subsection{Note dans la marge} \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} \subsection{Notation modulo.} $3 \equiv 1 \mod{2}$ \subsection{Diapositive.} %Pour afficher la page en paysage il faut modifier %\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5 %\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5 \pagecolor{cyan!25} \begin{center} \begin{tikzpicture} \coordinate (AA) at (-9,6.5); \node (AA) at (AA) {}; \coordinate (BB) at (9,6.5); \node (BB) at (BB) {}; \coordinate (CC) at (9,-6.5); \node (CC) at (CC) {}; \coordinate (DD) at (-9,-6.5); \node (DD) at (DD) {}; \draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA); \end{tikzpicture} \end{center} \subsection{Binomiale.} \begin{enumerate}[*] \item Épreuve de Bernoulli. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item Expérience: lancer un dé. \item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}. \item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$. \end{enumerate} \item Schéma de Bernoulli. L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois. \item Loi binomiale. $X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$. \end{enumerate}