%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2025 groupe 3.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2025 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2025_maths/crpe_2025_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2025_maths/crpe_2025_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
	
	Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne la série de nombres suivante. \[ 4 - 16 - 8 - 15 - 10 - 17 - 10 - 6 - 12 - 9 - 14. \]
		
		\textbf{Affirmation 1}: la médiane de cette série est égale à $11$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Ordonnons la série: $4<6<8<9<10\leqslant 10<12<14<15<16<17$.
		
		Il y a $11$ valeurs donc la médiane est sixième valeur de la série ordonnée. La médiane est donc $10$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le 4 août 2024, lors d’une épreuve d’athlétisme, Noah Lyles a remporté le titre olympique du $100\ \mathrm{m}$ en réalisant un temps de $9,79\ \mathrm{s}$.
		
		\textbf{Affirmation 2}: Noah Lyles a couru à une vitesse moyenne supérieure à $37\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La vitesse du sportif est
		\begin{align*}
			v &= \frac{100\ \mathrm{m}}{9,79\ \mathrm{s}}\\
			&= \frac{100\times \frac{1}{1000}\ \mathrm{km}}{9,79\times \frac{1}{3600}\ \mathrm{h}}\\
			&= \frac{100}{1000} \times \frac{3600}{9,79}\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\\
			&\approx 36,77\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 3}: l’aire d’un carré est proportionnelle à la longueur de son côté.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Longueur du côté & 1 & 2
				\\
				\hline
				Aire du carré &  $1^2=1$ & $2^2=4$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Or $1 \times 4 \ne 2 \times 1$ donc il n'y a pas proportionnalité.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur la figure ci-dessous, les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont sécantes en $A$ et les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles. $AB = 3\ \mathrm{cm}$; $BC = 5\ \mathrm{cm}$ et $CE = 12\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3,rotate=-100]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (3,0);
				\coordinate (C) at (8,0);
				\coordinate (D) at (0,6);
				\coordinate (E) at (0,16);
				\draw (A) -- (C) -- (E) -- cycle;
				\draw (B) -- (D);
				\draw (A) node [above] {$A$};
				\draw (B) node [left] {$B$};
				\draw (C) node [below left] {$C$};
				\draw (D) node [above right] {$D$};
				\draw (E) node [below right] {$E$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\textbf{Affirmation 4}: $BD=4,4\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès:} les points $A$, $B$, $C$ d'une part et $A$, $D$, $E$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			\item {\color{orange}Condition de Thalès:} $(BD)\parallel (CE)$.
		\end{enumerate}
		
		Des points précédents, et d'après le théorème de Thalès, \[ \frac{AB}{AC}= \frac{BD}{CE}.\]
		
		Or $AC=AB+BC=3+5=8$ donc
		\begin{align*}
			\frac{3}{8} &= \frac{BD}{12}\\
			\frac{3}{8} \times 12 &= BD\\
			4,5 &= BD
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant propose l’énigme ci-dessous aux élèves.
	
	\begin{tabular}{|m{2cm}|m{8cm}|}
		\hline
		\textbf{Indice A} & Je suis un entier supérieur à $\np{1 000}$ et inférieur à $\np{4000}$.
		\\
		\hline
		\textbf{Indice B} & Je suis un multiple de $3$.
		\\
		\hline
		\textbf{Indice C} & Mon chiffre des centaines est le double de celui des unités.
		\\
		\hline
		\textbf{Indice D} & Mon nombre de centaines est un multiple de $9$.
		\\
		\hline
		\textbf{Indice E} & Je ne suis pas divisible par $4$.
		\\
		\hline
		\textbf{Indice F} & Mon chiffre des unités est $4$.
		\\
		\hline
		& \textbf{Quel nombre suis-je?}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	Écrire une résolution de l’énigme en détaillant chaque étape.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Soit $n$ le nombre entier recherché.
	\begin{enumerate}[*]
		\item Puisque $1000\leqslant n \leqslant 4000$, $n$ s'écrit avec $4$ chiffres.
		
		Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des entiers naturels compris entre $0$ et $9$ tels que $n=1000a+100b+10c+d$. Nous noterons $n=\overline{abcd}$.
		
		\item Le chiffre des unités est $4$ donc $d=4$ et $n=\overline{abc4}$.
		
		\item Le chiffre des centaines de $n$ est le double de celui des unités donc $b=2d=2 \times 4=8$ et $n=\overline{a8c4}$.
		
		\item Le nombre de centaines de $n$ est un multiple de $9$ autrement dit $\overline{a8}$ est un multiple de $9$. 
		
		Or $n$ est compris entre $1000$ et $4000$ donc $1 \leqslant a\leqslant 4$ et $\overline{a8}$ est égale $18$ ou $28$ ou $38$.
		
		Seul $18$ est un multiple de $9$ donc $a=1$ et $n=\overline{18c4}$.
		
		\item $n$ est un multiple de $3$ donc $1+8+c+4=13+c$ est un multiple de $3$. Nécessairement $c=2$ ou $c=5$ ou $c=8$. Ainsi $n=1824$ ou $n=1854$ ou $n=1884$.
		
		De plus $n$ n'est pas divisible par $4$ autrement dit ses deux derniers chiffres ne forment pas un nombre divisible par $4$. $1824$ et $1884$ étant divisibles par $4$ nécessairement
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		$=1854$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}
\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Les graphiques de cet exercice sont extraits du document Déchets chiffres-clés Édition 2023 publié par l’agence de la transition écologique.

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le graphique ci-dessous illustre l'évolution, entre 2004 et 2020, de la quantité de déchets ménagers collectés en France par le service public de gestion des déchets. Les données sont exprimées en kilogrammes par habitant.
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_01_nuage.png}
		
		À l’aide des données du graphique, calculer la masse moyenne de déchets ménagers collectés par habitant au cours de cette période. Arrondir le résultat au kilogramme.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la masse moyenne $\overline{x}$ des déchets par habitant.}
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{411+423+457+453+458+428+438+444+496}{9}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{x}=445\ \mathrm{kg}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		L’infographie ci-dessous représente la répartition des différents secteurs dans la production des déchets en France.
		
		\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_02_graphe_statistique.png}
		
		En s’appuyant sur l’infographie ci-dessus, calculer la part de l’ensemble des déchets produits par les ménages dans la production totale de déchets. Exprimer cette part en pourcentage arrondi à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la part en pourcentage, $p$, des déchets ménagers.}
		
		\begin{align*}
			p &= \frac{33,5}{310,5}\times 100
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les déchets ménagers représentent $11\ \%$ de l'ensemble.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère que la masse d’un mètre cube de déchets verts est égale à $0,2\ \mathrm{t}$. En 2023, la masse de déchets verts produits par habitant est égale à $88\ \mathrm{kg}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer, en mètre cube, le volume de déchets verts produits par un lotissement de soixante personnes en 2023.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $V$ de déchets verts pour un lotissement de soixante personnes.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item La masse de déchets produits par $60 $ personnes est: $M_1=60 \times 88\ \mathrm{kg}= 5280\ \mathrm{kg}$.
				
				\item Donc, par proportionnalité le volume de déchets verts est $V=\frac{5280}{0,2}\ \mathrm{m}^3$.
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V=\np{26400}\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On considère qu’à l’issue du processus de compostage, la masse de compost obtenu représente environ $55\ \%$ de la masse initiale de déchets verts.
			
			Calculer la masse de compost obtenu par ce lotissement pour l’année 2023. On donnera la réponse en $\mathrm{kg}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la masse $M_2$ de composte.}
			
			On applique la proportion: $M_2=\frac{55}{100} \times M_1= \frac{55}{100} \times 5280\ \mathrm{kg}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$M_2=2904\ \mathrm{kg}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Un élève dispose de deux dés équilibrés: un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$ et un dé à dix faces numérotées de $1$ à $10$.
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}{3cm} \includegraphics[scale=0.4]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_03_de_1.png}
		\end{minipage}
		\hspace{2cm}
		\begin{minipage}{3cm} \includegraphics[scale=0.4]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_04_de_2.png}
		\end{minipage}
	\end{center}
	
	Les probabilités seront toutes données sous forme de fraction irréductible.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	L’élève lance les deux dés et il effectue le produit des nombres obtenus sur chacun des deux dés.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que la probabilité que le produit obtenu soit égal à $35$ est $\dfrac{1}{60}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la probabilité d'obtenir $35$.}
		
		Modélisons l'expérience aléatoire: l'univers est formé des couples de nombres obtenus qui sont tous équiprobables de plus il y a $6 \times 10=60$ couples possibles.
		
		La décomposition en facteurs premiers: $35=5 \times 7$, nous montre que le seul produit possible avec les deux dés est $5$ avec le dé à $6$ faces et $7$ avec celui à $10$. Autrement dit un seul des $60$ couples possibles permet d'obtenir $35$ et comme il y a équiprobabilité entre les couples
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité d'obtenir $35$ est de $\frac{1}{60}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner la probabilité que le produit obtenu soit égal à $16$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Schématisons l'expérience à l'aide d'un tableau double entrée.}
		
		\begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\backslashbox{Dé $10$ faces}{Dé $6$ faces } & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
			\\
			\hline
			$1$ & $1$ &  $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
			\\
			\hline
			$2$ & $2$ & $4$ & $6$ & $8$ & $10$ & $12$
			\\
			\hline
			$3$ & $3$ & $6$ & $9$ & $12$ & $15$ & $18$
			\\
			\hline
			$4$ & $4$ & $8$ & $12$ & $16$ & $20$ & $24$
			\\
			\hline
			$5$ & $5$ & $10$ & $15$ & $20$ & $25$ & $30$
			\\
			\hline
			$6$ & $6$ & $12$ & $18$ & $24$ & $30$ & $36$
			\\
			\hline
			$7$ & $7$ & $14$ & $21$ & $28$ & $35$ & $42$
			\\
			\hline
			$8$ & $8$ & $16$ & $24$ & $32$ & $40$ & $48$
			\\
			\hline
			$9$ & $9$ & $18$ & $27$ & $36$ & $45$ & $54$
			\\
			\hline
			$10$ & $10$ & $20$ & $30$ & $40$ & $50$ & $60$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		Il y a équiprobabilité l'univers contient $60$ issues et l'événement \og obtenir $16$ \fg{} est réalisé par deux issues donc
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité d'obtenir $16$ est $\frac{1}{30}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner la probabilité que le produit obtenu soit un multiple de $3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En reprenant le raisonnement précédent les multiples de $3$ sont dans les colonnes $3$ et $6$ et dans les lignes $3$, $6$ et $9$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			le probabilité d'obtenir un multiple de $3$ est $\frac{32}{60}=\frac{8}{15}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Pour obtenir une fraction, l’élève procède désormais de la façon suivante:
	\begin{itemize}
		\item il lance le dé à dix faces pour obtenir le numérateur de la fraction;
		\item il lance le dé à six faces pour obtenir le dénominateur de la fraction.
	\end{itemize}
	
	On demande à l’élève de décomposer la fraction obtenue en la somme d’un entier naturel et d’une fraction strictement inférieure à $1$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’élève obtient le nombre $10$ avec le premier dé et $3$ avec le second dé. Quelle est la décomposition attendue ?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		On procède à la division euclidienne du numérateur par lé dénominateur: $\frac{10}{3}=\frac{3 \times 3+1}{3}=\frac{3\times 3}{3}+\frac{1}{3}=3+\frac{1}{3}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La décomposition attendue est $3+\frac{1}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la probabilité que l’entier obtenu dans la décomposition soit égal à $0$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Dénombrons le nombre de couples correspondant à l'événement. 
		
		Nous adopterons la notation suivante: le premier nombre du couple est le résultat du dé à $10$ faces et le second celui du dé à $6$ faces.
		
		Les couples qui réalisent l'événement sont 
		\begin{align*}
			& (1;2)\\
			& (1;3),(2;3)\\
			& (1;4),(2;4),(3;4)\\
			& (1;5),(2;5),(3;5),(4;5)\\
			& (1;6),(2;6),(3;6),(4;6),(5,6)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La probabilité que la partie entière soit nulle est $\frac{15}{60}=\frac{1}{4}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la probabilité que la fraction obtenue soit égale à un nombre entier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le résultat sera un nombre entier si le nombre obtenu avec le dé à $10$ faces est multiple du nombre obtenu avec le dé à $6$ faces.
		
		Les issues convenant sont
		\begin{align*}
			& (1;1)\\
			& (2;1),(2;2)\\
			& (3;1),(3;3)\\
			& (4;1),(4;2),(4;4)\\
			& (5;1),(5;5)\\
			& (6;1),(6;2),(6;3),(6;6)\\
			& (7;1),(7;7)\\
			& (8;1),(8;2),(8;4),(8;8)\\
			& (9;1),(9;3),(9;9)\\
			& (10;1),(10;2),(10;5),(10;10)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La probabilité d'obtenir  un entier est $\frac{27}{60}=\frac{9}{20}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Une directrice d’une école de trois classes organise des ateliers de confection de bougies. Pour cela, elle utilise des ustensiles décrits ci-dessous, des mèches à bougie et de la cire.
	
	\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\textbf{Louche}
		\\
		\hline
		\begin{minipage}{4cm}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.27]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_05_louche.png}};
				\node (A) at (-1,2) {\begin{minipage}{2cm} Cuilleron de la louche\end{minipage}};
				\draw [>=latex,->] (A) -- (-0.5,0.1);
			\end{tikzpicture}
			
			Le cuilleron de la louche utilisée est une demi-sphère de diamètre $5\ \mathrm{cm}$.
		\end{minipage}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	\begin{tabular}{|m{4.5cm}|}
		\hline
		\textbf{Moule de type A: un cylindre}
		\\
		\hline
		\\
		\begin{minipage}{4cm}
			\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_06_cylindre.png}
			
			Cylindre de rayon $2,5\ \mathrm{cm}$.
		\end{minipage}
		\\
		\hline
	\end{tabular}	
	\begin{tabular}{|m{6cm}|}
		\hline
		\textbf{Moule de type B: une pyramide régulière à base carrée}
		\\
		\hline
		\\
		\begin{minipage}{5.75cm}
			Patron du moule de type B
			
			\hfill \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_07_patron.png} \hfill ~
			
			Les arêtes du moule de type B ont toutes pour longueur $4\ \mathrm{cm}$.
		\end{minipage}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	On rappelle ci-dessous quelques formules de volumes.
	
	\medskip
	\begin{tabular}{|m{10cm}|}
		\hline
		\\
		Volume d’une boule de rayon $r$: $\dfrac{4}{3}\pi r^3$.
		\\
		\\
		Volume d’un prisme droit: $aire\ de\ la\ base \times hauteur$.
		\\
		\\
		Volume d’un cylindre: $aire\ de\ la\ base \times hauteur$.
		\\
		\\
		Volume d’une pyramide:  $\dfrac{1}{3} \times aire\ de\ la\ base \times hauteur$.
		\\
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que le volume du cuilleron de la louche utilisée, arrondi au dixième de $\mathrm{cm}^3$, est $32,7\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $V_1$ du cuilleron.}
			
			Puisque c'est une demi-boule
			\begin{align*}
				V_1 &= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3\\
				&= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \left( \frac{5}{2} \right)^3\\
				&= \frac{5^3}{2^2 \times 3}\pi \\
				&\approx 32,72
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_1 \approx 32,7\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la hauteur minimale $h$ du moule de type A, arrondie au millimètre, permettant d’y verser une louche pleine de cire.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la hauteur minimale de $h$ permettant d'y verser une louche pleine.}
			
			On cherche $h$ tel que, en notant $V_2$ le volume du cylindre qu'est le moule A on ait
			\begin{align*}
				V_2 &\geqslant V_1\\
				\pi r^2 \times h &\geqslant \frac{5^3}{2^2\times 3}\pi\\
				2,5^2 h &\geqslant \frac{5^3}{2^2\times 3}\\
				h &\geqslant \frac{5}{3}
			\end{align*}
			
			Or $\frac{5}{3}=1,666\dots$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				il faut que la hauteur soit a minima de $1,7\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Tracer à main levée un patron du moule de type A de hauteur $h$. On indiquera sur ce patron les dimensions permettant de fabriquer ce moule, arrondies au millimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Longueur du cercle de la base du cylindre $2\pi r=2 \times \pi \times 2,5\approx 15,7$.
		
			\begin{tikzpicture}[rotate=90]
				\coordinate (A) at ( 0,0);
				\coordinate (B) at ( 15.7,0);
				\coordinate (C) at ( 15.7,1.7);
				\coordinate (D) at ( 0,1.7);
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
				\draw[samples=100,domain=0:360] plot({2.5*cos(\x)+2.5},{2.5*sin(\x) -2.5});
				\draw[samples=100,domain=0:360] plot({2.5*cos(\x)+2.5},{2.5*sin(\x)+1.7+2.5});
				\draw [red,>=latex,<->] (0,0.5) -- (15.7,0.5) node [midway,left] {$15,7$};
				\draw [red,>=latex,<->] (-0.5,0) -- (-0.5,1.7) node [midway,below] {$1,7$};
				\draw [red,>=latex,<->] (2.5,0) -- (2.5,-2.5) node [midway,below] {$2,5$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur l'étiquette de la cire à faire fondre, on lit l’indication suivante: \og $90\ \mathrm{g}$ de cire fondue permettent de remplir un moule de $100\ \mathrm{mL}$\fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la masse de cire à faire fondre pour remplir le cuilleron de la louche. Arrondir le résultat au gramme.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$V_1=32,7\ \mathrm{cm}^3=0,0327\ \mathrm{dm}^3= 0,0327\ \ell= 32,7\ \mathrm{m}\ell$.
			
			Par proportionnalité la masse de cire nécessaire est
			\begin{align*}
				m_1 &= \frac{32,7}{100} \times 90\ \mathrm{g}\\
				&= 29, 43\ \mathrm{g}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faut faire fondre $29\ \mathrm{g}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On utilise les moules de type A de hauteur $h$ en versant une louche pleine de cire par bougie fabriquée. Avec $1\ \mathrm{kg}$ de cire, combien de bougies cylindriques peut-on fabriquer?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\frac{1\ \mathrm{kg}}{29\ \mathrm{g}}= \frac{1000\ \mathrm{g}}{29\ \mathrm{g}} \approx 34,4827$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Avec $1\ \mathrm{kg}$ il peut faire $34$ bougies cylindriques.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la longueur de la diagonale de la face carrée du moule de type B. On arrondira le résultat au millimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En usant du théorème de Pythagore on obtient la longueur de la diagonale: $\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				La longueur de la diagonale de la face carrée est $5,7\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur arrondie au millimètre de la hauteur du moule de type B.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La hauteur du moule est
			\begin{align*}
				h' &= \sqrt{4^2-\left( \frac{5,7}{2} \right)^2}\\
				&\approx 2,8
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$h'\approx 2,8\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Un moule de type B peut-il recevoir une louche pleine de cire? Justifier la réponse.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le volume $V_3$ du moule B est
			\begin{align*}
				V_3 &= \frac{1}{3} \times 4^2 \times 2,8\\
				&\approx 14,933
			\end{align*}
			
			$V3<V_1$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				un moule de type B ne peut pas contenir une pleine louche.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Indiquer comment compléter les lignes L1 et L2 du bloc \og triangle\fg{} ci-dessous pour qu’il permette de tracer un triangle équilatéral de côté $40$ pas. Aucune justification n’est attendue.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_08_scratch.png}};
					\draw (-2.75,0.5) node {L1};
					\draw (-2.75,-1) node {L2};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				L1: 3
				
				L2: 120
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Indiquer comment compléter les lignes L3, L4 et L5 du script ci-dessous pour qu’il trace le patron du moule de type B représenté dans le tableau en début d’énoncé ($10$ pas représentent $1\ \mathrm{cm}$).
			
			\medskip
			On rappelle que \og s’orienter à $90$\fg{} signifie s’orienter vers la droite.
			
			\begin{center}
				\begin{minipage}{3cm}
					\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_09_orienter.png}
				\end{minipage}
				\begin{minipage}{3cm}
					\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_10_lutin.png}
					
					\textbf{Lutin}
				\end{minipage}
			\end{center}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_11_scratch.png}};
					\draw (-2.75,-0.8) node {L3};
					\draw (-2.75,-2.4) node {L4};
					\draw (-2.75,-3.25) node {L5};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				L3: 4
				
				L4: 40
				
				L5: 90
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour les bougies fabriquées avec le moule de type A, la directrice prévoit une mèche de $3\ \mathrm{cm}$ et pour celles fabriquées avec le moule de type B, une mèche de $4\ \mathrm{cm}$.
		
		\medskip
		Afin de disposer d’une longueur de mèche suffisante, elle commande, pour chaque classe, une longueur de mèche $5\ \%$ plus grande que la longueur nécessaire.
		
		\medskip
		En prévision de la commande de mèches, la directrice élabore la feuille de calcul ci-dessous.
		
		{\hspace*{-1cm}\includegraphics[scale=0.58]{crpe_2025_maths_externe_sujet_3_12_tableur.png}}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une formule qui peut être saisie en \texttt{B}5 puis recopiée vers la droite en \texttt{C}5 pour calculer le nombre total de bougies de chaque type.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\mathrm{SOMME}(\texttt{B}2:\texttt{B}4)$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une formule qui peut être saisie dans la cellule \texttt{D}2 puis recopiée vers le bas pour déterminer la longueur de mèche commandée pour chaque classe.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$=(3*\texttt{B}2+4*\texttt{C}2)*1,05$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle longueur de mèche totale la directrice doit-elle commander pour l’école?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\left( (12+10+7) \times 3+(13+15+17) \times 4 \right) \times 1,05= 280,35$
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faut commander $281\ \mathrm{cm}$ de mèche.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}