%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2025 groupe 2.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2025 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2025_maths/crpe_2025_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2025_maths/crpe_2025_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 1}: $\dfrac{ 35}{7}$ n’est pas un nombre décimal.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\frac{35}{7}=5$ donc c'est un nombre décimal.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
		
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 2}: $22,9$ est un nombre rationnel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$22,9=\frac{229}{10}$ est un nombre rationnel.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 3}: la somme de sept nombres entiers consécutifs est un multiple de $7$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $n$ un nombre entier. Les $6$ entiers qui le suivent sont $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$, $n+5$ e $n+6$. La somme de ces $7$ entiers consécutifs est donc
		\begin{align*}
			S &= n+(n+1) +(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+ (n+6)\\
			&= 7n+1+2+3+4+5+6\\
			&= 7n+28\\
			&= {\color{WildStrawberry}7}n+{\color{WildStrawberry}7} \times 4\\
			&= {\color{WildStrawberry}7} (n+4)
		\end{align*}
		
		Or $n+4$ est un nombre entier donc $S$ est divisible par $7$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un nombre entier positif est parfait signifie qu’il est égal à la somme de ses diviseurs positifs stricts (tout diviseur hormis lui-même). Par exemple, $6$ est un nombre parfait car $6 = 1 + 2 + 3$.
		
		\textbf{Affirmation 4}: $496$ est un nombre parfait.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Déterminons tous les diviseurs de $496$ en testant les entiers naturels dans l'ordre croissant {\color{orange}(méthode lente mais très élémentaire, un arbre serait plus adapté)}.
		\begin{align*}
			1 \times 496 &= 496\\
			2 \times 248 &= 496\\
			4 \times 124 &= 496\\
			8 \times 62 &= 496\\
			16 \times 31 &= 496\\
			31 \times 16 &= 496
		\end{align*}
		
		$1+2+4+8+16+31+62+124+248=496$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 5}: quelque soit le nombre réel positif $x$, la racine carrée de $x$ est inférieure ou égale à $x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\sqrt{ \frac{1}{4}} =\frac{1}{2}>\frac{1}{4}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 5 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 6}: tout rectangle a pour axes de symétrie ses diagonales.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le rectangle ci-dessous n'est pas symétrique par rapport à ses diagonales:
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) -- (6,0) -- (6,1) -- (0,1) -- cycle;
				\draw (0,0) -- (6,1);
				\draw (0,1) -- (6,0);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 6 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Claire, éleveuse et productrice de lait fabrique et commercialise du beurre. Elle utilise $8\ \mathrm{L}$ de lait pour fabriquer $1\ \mathrm{L}$ de crème fraîche. Pour produire $1\ \mathrm{kg}$ de beurre, $3\ \mathrm{L}$ de cette crème sont nécessaires. L’éleveuse possède $248$ vaches. Chaque vache fournit en moyenne $30\ \mathrm{L}$ de lait chaque jour.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La transformation du lait en crème entraîne une réduction du volume. Montrer que cette réduction est de $87,5\ \%$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le taux d'évolution, $t_1$, du volume.}
		
		\begin{align*}
			t_1 &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100\\
			&= \frac{1-8}{8} \times 100\\
			&= -87,5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La transformation s'accompagne d'une diminution du volume de $87,5\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la masse de beurre, en kilogrammes, que peut espérer fabriquer Claire chaque jour, si elle utilise la totalité du lait produit par ses vaches.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Les $248$ vaches produisent $248 \times 30\ \mathrm{L}= 7440\ \mathrm{L}$ de lait.
			
			\item Puisque $8\ \mathrm{L}$ de lait permettent de fabriquer $1\ \mathrm{L}$ de crème fraîche, par proportionnalité, en une journée elle peut produire $\frac{7440\ \mathrm{L}}{8}=180\ \mathrm{L}$ de crème.
			
			\item Puisque $3\ \mathrm{L}$ de crème permettent de produire $1\ \mathrm{kg}$ de beurre, par proportionnalité, elle produira $\frac{180\ \mathrm{L}}{3\ \mathrm{L}} \times 1\ \mathrm{kg}= 60\ \mathrm{kg}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Elle peut produire chaque jour $60\ \mathrm{kg}$ de beurre.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Claire décide de vendre son beurre en plaquette de $250\ \mathrm{g}$. Chaque plaquette a une forme pouvant être assimilée à un pavé droit dont les dimensions sont $10\ \mathrm{cm}$ de longueur, $6,5\ \mathrm{cm}$ de largeur et $3,5\ \mathrm{cm}$ de hauteur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le volume d’une plaquette de beurre. On exprimera le résultat en $\mathrm{cm}^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque la plaquette est une pavé droit sont volume est
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_1 &= \left( 10\ \mathrm{cm} \right) \times \left( 6,5\ \mathrm{cm} \right) \times \left( 3,5\ \mathrm{cm} \right)\\
				&= 10 \times 6,5 \times 3,5\ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_1=227,5\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On donne la formule permettant de calculer la masse volumique $\rho$ du beurre, $\rho= \frac{m}{v}$ avec $m$ la masse du beurre et $v$ son volume.
			
			La masse volumique du lait est de $1,03\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}$.
			
			Comparer la masse volumique du beurre avec celle du lait.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la masse volumique $\rho_b$ du beurre.}
			
			La masse d'une tablette est de $250\ \mathrm{g}$ donc
			\begin{align*}
				\rho_b &= \frac{250\ \mathrm{g}}{ 227,5\ \mathrm{cm}^3}\\
				&= \frac{0,25\ \mathrm{kg}}{0,2275\ \mathrm{dm}^3}
				\intertext{Or $1 \ \mathrm{dm}^3=1\ \mathrm{L}$ donc }
				\rho_b &= 0,91\ \mathrm{kg}{\mathrm{L}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La masse volumique du beurre est plus petite que celle du lait.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour emballer chaque plaquette de beurre, Claire utilise une feuille rectangulaire de papier alimentaire de dimensions $23\ \mathrm{cm}$ et $20\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer qu’il est possible d’emballer une plaquette de beurre dans le papier alimentaire choisi par Claire. Une réponse sous la forme d’un schéma sera acceptée.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\hspace*{-1cm}\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (3.5,0);
				\coordinate (C) at (10,0);
				\coordinate (D) at (13.5,0);
				\coordinate (E) at (20,0);
				\coordinate (A1) at (0,10);
				\coordinate (B1) at (3.5,10);
				\coordinate (C1) at (10,10);
				\coordinate (D1) at (13.5,10);
				\coordinate (E1) at (20,10);
				\draw (A) -- (E);
				\draw (A1) -- (E1);
				\draw (A) -- (A1);
				\draw (B) -- (B1);
				\draw (C) -- (C1);
				\draw (D) -- (D1);
				\draw (E) -- (E1);
				\coordinate (B2) at (3.5,-3.5);
				\coordinate (C2) at (10,-3.5);
				\coordinate (B3) at (3.5,13.5);
				\coordinate (C3) at (10,13.5);
				\draw (B1) -- (B3) -- (C3) -- (C1);
				\draw (B) -- (B2) -- (C2) -- (C);
				\draw [>=latex,<->] (-1,-3.5) -- (-1,13.5) node [midway,left] {$17\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (0,-4.5) -- (20,-4.5) node [midway,below] {$20\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (2.5,0) -- (2.5,10) node [midway,left] {$10\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (2.5,-3.5) -- (2.5,0) node [midway,left] {$3,5\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (11,10) -- (11,13.5) node [midway,right] {$3,5\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (0,11) -- (3.5,11) node [midway,above] {$3,5\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (3.5,9) -- (10,9) node [midway,below] {$6,5\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (10,9) -- (13.5,9) node [midway,below] {$3,5\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (13.5,9) -- (20,9) node [midway,below] {$6,5\ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $A$ l’aire totale de la surface du pavé droit représentant la plaquette de beurre. Calculer $A$ en $\mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}On additionne les aires des rectangles constituant le patron du parallélépipède rectangle.}			
			\begin{align*}
				A &= 2 \times \left( 3,5\ \mathrm{cm} \times 10\ \mathrm{cm} \right) +2 \times \left( 10 \ \mathrm{cm} \times 6,5\ \mathrm{cm} \right) +2 \times \left( 3,5\ \mathrm{cm} \times 6,5\ \mathrm{cm} \right)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$A=245,5\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Claire pense que l’aire A représente au moins $60\ \%$ de l’aire de la feuille de papier alimentaire. A-t-elle raison?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la proportion $p$ de la feuille utilisée pour l'emballage.}
			
			L'aire de la feuille alimentaire est $23\mathrm{cm}\times 20\ \mathrm{cm}= 460\ \mathrm{cm}^2$.
			\begin{align*}
				p &= \frac{245,5}{460}\\
				&\approx 0,5337
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Elle a tord l'aire $A$ représente strictement moins que $60\ \%$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Claire fixe le prix du beurre à $2,5\ \text{\euro}$ la plaquette. Afin de tenir la comptabilité de ses ventes mensuelles de plaquettes de beurre, elle utilise la feuille de calcul ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_01_tableur.png}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une formule qui peut être saisie dans la cellule \texttt{B}9 pour obtenir le nombre total de plaquettes de beurre vendues en mars 2025. Aucune justification n’est attendue.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\mathrm{SOMME}(\texttt{B}3:\texttt{B}8)$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une formule qui peut être saisie dans la cellule \texttt{C}3 puis recopiée vers le bas pour compléter la colonne \texttt{C}. Aucune justification n’est attendue.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$=2,5*\texttt{B}3$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	La pratique du saut en longueur comprend une course d’élan suivie d’un saut. Une planche d’appel est placée sur la piste d’élan. Si le pied de l’athlète touche ou dépasse cette planche, le saut n’est pas mesuré. Dans ces deux cas, on dit que l’athlète a \og mordu \fg{}. Si l’athlète n’a pas \og mordu \fg{}, on dit que le saut est réussi.
	
	Pour chaque saut de l’athlète Jean-Baptiste, on considère que:
	\begin{itemize}
		\item les événements \og toucher la planche \fg{}, \og dépasser la planche\fg{} et \og réussir le saut \fg{} sont équiprobables,
		
		\item le succès ou l’échec d’un saut n’influence pas le saut suivant.
	\end{itemize}
	
	\smallskip
	Jean-Baptiste, effectue deux sauts.
	
	\medskip
	\emph{Pour chaque question, les résultats seront donnés sous la forme d’une fraction irréductible.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la probabilité que Jean-Baptiste réussisse chacun de ses deux sauts.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Si la modélisation avec un arbre probabiliste pondéré comme on peut le faire en première est très simple, la modélisation avec des outils de collège (donc un tableau double entrée en utilisant l'équiprobabilité) l'est moins.}
	
		{\hspace*{-0.5cm}\begin{tabular}{|m{3cm}|m{2.5cm}|m{2.5cm}|m{2.5cm}|}
			\hline
			\backslashbox{Premier}{Second} & Toucher la planche & Dépasser la planche & Réussir le saut
			\\
			\hline
			Toucher la planche&&&
			\\
			\hline
			Dépasser la planche&&&
			\\
			\hline
			Réussir le saut&&&
			\\
			\hline
		\end{tabular}}
		
		Dans ce tableau chacune des cases vides représente un résultat possible concernant les deux sauts.
		
		Puisque les événements \og toucher la planche \fg{}, \og dépasser la planche\fg{} et \og réussir le saut \fg{} sont équiprobables, et puisque les deux sauts sont indépendants il y a équiprobabilité entre les cases du tableau.
		
		Ainsi il y a équiprobabilité, l'univers contient $9$ issues et l'événement réussir les deux saut est réalisé par une issue donc
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité de réussir les deux sauts est de $\frac{1}{9}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la probabilité qu’il \og morde \fg{} au premier saut et qu’il réussisse le second saut.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En raisonnant comme précédemment à partir du tableau double entrée
	
		{\hspace*{-0.5cm}\begin{tabular}{|m{3cm}|m{2.5cm}|m{2.5cm}|m{2.5cm}|}
			\hline
			\backslashbox{Premier}{Second} & Toucher la planche & Dépasser la planche & Réussir le saut
			\\
			\hline
			Toucher la planche&&& \cellcolor{red}
			\\
			\hline
			Dépasser la planche&&& \cellcolor{red}
			\\
			\hline
			Réussir le saut&&&
			\\
			\hline
		\end{tabular}}
		
		 on peut affirmer:
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité qu’il \og morde \fg{} au premier saut et qu’il réussisse le second saut est de $\frac{2}{9}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la probabilité qu’il \og morde \fg{} exactement une fois.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En raisonnant comme précédemment
	
		{\hspace*{-0.5cm}\begin{tabular}{|m{3cm}|m{2.5cm}|m{2.5cm}|m{2.5cm}|}
			\hline
			\backslashbox{Premier}{Second} & Toucher la planche & Dépasser la planche & Réussir le saut
			\\
			\hline
			Toucher la planche & & & \cellcolor{red}
			\\
			\hline
			Dépasser la planche & & & \cellcolor{red}
			\\
			\hline
			Réussir le saut & \cellcolor{red}& \cellcolor{red} &
			\\
			\hline
		\end{tabular}}
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité qu’il \og morde \fg{} exactement une fois est de $\frac{4}{9}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la probabilité qu’il \og morde \fg{} au moins une fois lors de ses deux sauts.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En raisonnant comme précédemment
	
		{\hspace*{-0.5cm}\begin{tabular}{|m{3cm}|m{2.5cm}|m{2.5cm}|m{2.5cm}|}
			\hline
			\backslashbox{Premier}{Second} & Toucher la planche & Dépasser la planche & Réussir le saut
			\\
			\hline
			Toucher la planche & \cellcolor{red} & \cellcolor{red} &
			\\
			\hline
			Dépasser la planche & \cellcolor{red} & \cellcolor{red} &
			\\
			\hline
			Réussir le saut & & &
			\\
			\hline
		\end{tabular}}
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité qu’il \og morde \fg{} au moins une fois lors de ses deux sauts est de $\frac{4}{9}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Alice et Bob vivent dans deux maisons situées de part et d’autre d’un ruisseau. Ils décident de construire un pont sur le ruisseau pour se rendre d’une maison à l’autre. Pour placer le pont, ils hésitent entre les deux possibilités.
	
	La figure ci-dessous représente le schéma qu’Alice et Bob ont réalisé de leur quartier. Les points $A$ et $B$ représentent leurs maisons respectives, la droite $(IJ)$ représente le ruisseau et le point $P$ la position du pont. Sur ce schéma et dans tout l’exercice, on considère le ruisseau rectiligne et sa largeur négligeable.
	
	On sait que $IJ = 120\ \mathrm{m}$, $IA = 30\ \mathrm{m}$ et $JB = 46\ \mathrm{m}$. On note $x$ la longueur, en mètre, du segment $[IP]$.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_02_schema_pont.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Première possibilité}: le pont sera placé à l’intersection du segment reliant les deux maisons et du segment représentant le ruisseau. La figure 1 ci-dessous (qui n’est pas à l’échelle) représente la modélisation de cette première possibilité.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{2cm}\textbf{Figure 1.}\end{minipage}
			\begin{minipage}{8cm}\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_03_figure_1.png}\end{minipage}
		\end{center}
		
		Déterminer la longueur du segment $[IP]$ dans cette configuration. On donnera le résultat arrondi au mètre.

	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $IP$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} Les points $I$, $P$, $J$ d'une part et $A$, $P$, $B$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.
			\item {\color{orange}Condition pour l'utilisation du théorème de Thalès.} $(AI) \perp (IJ)$ et $(BJ) \perp (IJ)$ par construction donc $(AI) \parallel (BJ)$.
		\end{enumerate}
		
		Des points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{IP}{JP}=\frac{IA}{JB}.\]
		Cette dernière égalité équivaut successivement à:
		\begin{align*}
			\frac{x}{IJ-IP} &= \frac{30}{46}\\
			\frac{x}{120-x} &= \frac{30}{46}\\
			\intertext{Avec un produit en croix:}
			x \times 46 &= 30 \times (120-x)\\
			46x &= 30 \times 120-30 \times x\\
			46x &= 3600-30x\\
			46x {\color{WildStrawberry}+30x} &= 3600-30x{\color{WildStrawberry}+30x}\\
			76x &= 3600\\
			\frac{76x}{\color{WildStrawberry}76} &= \frac{3600}{\color{WildStrawberry}76}
		\end{align*}
		
		Donc $x \approx 47,3$ (en tronquant au dixième) et
		
		\begin{conclusion}
			
			$IP\approx 47\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Deuxième possibilité}: le pont sera placé sur le ruisseau à égale distance des deux maisons. La figure 2 ci-dessous (qui n’est pas à l’échelle) représente la modélisation de cette seconde possibilité.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{2cm}\textbf{Figure 2.}\end{minipage}
			\begin{minipage}{8cm}\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_04_figure_2.png}\end{minipage}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer $AP^2$ et $PB^2$ en fonction de $x$. En déduire que la longueur du segment $[IP]$, arrondie au mètre, est égale à $65\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item \objectif{Exprimons $AP^2$ en fonction de $x$.}
				
				$IAP$ est rectangle en $I$ donc, d'après le théorème de Pythagore: 
				\begin{align*}
					AP^2 &= AI^2+IP^2\\
					&= 30^2+x^2
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$AP^2=x^2+900$.
				
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Exprimons $PB^2$ en fonction de $x$.}
				
				$JBP$ est rectangle en $J$ donc, d'après le théorème de Pythagore: 
				\begin{align*}
					BP^2 &= BJ^2+JP^2\\
					&= 46^2+(120-x)^2\\
					&= 2116+120^2-2 \times 120 \times x +x^2\\
					&= x^2-240x+16516
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$BP^2=x^2-240x+16516$.
				
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Calculons $IP$.}
				
				Puisque $AP=BP$, d'après les questions précédentes on doit avoir: \[ x^2+900=x^2-240x+16516. \]
				
				Cette dernière équation équivaut successivement à:
				\begin{align*}
					x^2+900 {\color{WildStrawberry}-x^2+240x-900} &= x^2-240x+16516 {\color{WildStrawberry}-x^2+240x-900}\\
					240x &= 15616\\
					\frac{240x}{\color{WildStrawberry}240} &= \frac{15616}{\color{WildStrawberry}240}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$IP\approx 65\ \mathrm{m}$.
				
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le pont est construit selon la seconde possibilité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Alice part de chez elle pour se rendre chez Bob en suivant le chemin $[AP]$ puis $[PB]$. Elle marche à une vitesse moyenne de $4,5\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$. Combien de temps met-elle pour parcourir ce trajet? Donner le résultat en minutes et secondes, arrondi à la seconde.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Calculons $AP$.
				
				Nous savons que $AP^2=x^2+900$ or $x=65$ donc $AP^2=65^2+900=5125$. Enfin $AP$ étant une longueur c'est un nombre positif: $AP=\sqrt{5125}\approx 72$.
				
				\item Le temps mit pour parcourir $[AP]$ est donc de 
				\begin{align*}
					\frac{72\ \mathrm{m}}{4,5\ \mathrm{km}/\mathrm{h}} &= \frac{72\ \mathrm{m}}{4500\ \mathrm{m}}\ \mathrm{h}\\
					&= \frac{72}{4500}\times 60\ \mathrm{min}\\
					&= 0,96\ \mathrm{min}
				\end{align*}
				
				\item Calculons la durée du trajet.
				
				Le trajet complet durera donc $2 \times 0,96\ \mathrm{min}= 1,92\ \mathrm{min}= 1\ \mathrm{min}+0,92 \times 60\ \mathrm{s}= 1\ \mathrm{min}+55,2\ \mathrm{s}$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le trajet durera $1\ \mathrm{min}$ et $55\ \mathrm{s}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Bob part de chez lui en courant pour se rendre chez Alice en suivant le chemin $[BP]$ puis $[PA]$. Il met $57\ \mathrm{s}$ pour parcourir ce trajet. Déterminer sa vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Arrondir le résultat à l’unité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la vitesse $v$ de Bob.}
			
			\begin{align*}
				v &= \frac{2 \times 65\ \mathrm{m}}{57\ \mathrm{s}}\\
				&= \frac{130\frac{1}{1000}\ \mathrm{km}}{57\times \frac{1}{3600}\ \mathrm{h}}\\
				&= \frac{130}{1000} \times \frac{3600}{57}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
				\approx 8,21 \mathrm{km}/\mathrm{h}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v\approx 8\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	On considère le programme ci-dessous écrit à l’aide du logiciel Scratch.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_05_scratch_programme.png}
	\end{center}
	
	Lorsque le drapeau de la première instruction est cliqué, le lutin demande la valeur de a puis il trace une figure à l’écran. On admet que la figure tracée est un triangle rectangle isocèle.
	
	\medskip
	On rappelle que \og s’orienter à 90\fg{} signifie que le lutin s’oriente vers  droite.
	
	\begin{center}
		\begin{minipage}{4cm} \includegraphics[scale=0.6]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_06_scratch_oriente.png} \end{minipage} \begin{minipage}{4cm} \includegraphics[scale=0.6]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_07_scratch_lutin.png} 
		
		\textbf{Lutin}\end{minipage}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose pour cette question que $a=40$. Tracer sur la copie, à la règle graduée et au compas, la figure obtenue à l’écran en choisissant comme échelle $1\ \mathrm{cm}$ pour représenter $10$ pas. Laisser apparents les traits de construction. Aucune justification n’est attendue.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) -- (4,0) -- (0,4) --cycle;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Indiquer l’orientation du lutin à la fin du programme. Aucune justification n’est attendue.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il est orienté vers le bas.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il est orienté à $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On modifie le programme de trois façons différentes. On obtient les $3$ programmes ci-dessous.
		
		\begin{minipage}{6cm}
			\hfill \textbf{Programme A} \hfill ~
			
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_08_scratch_a.png}
		\end{minipage}		
		\begin{minipage}{6cm}
			\hfill \textbf{Programme B} \hfill~
			
			\includegraphics[scale=0.55]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_09_scratch_b.png}
		\end{minipage}			
		\begin{minipage}{6cm}
			\hfill \textbf{Programme C} \hfill ~
			
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_10_scratch_c.png}
		\end{minipage}
		
		Chacun des trois programmes permet d’obtenir l’une des quatre figures ci-dessous.
		
		\begin{minipage}{3cm}
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_11_scratch_1.png}
			
			\hfill \textbf{Figure 1}\hfill ~
		\end{minipage}	
		\begin{minipage}{4cm}
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_12_scratch_2.png}
			
			\hfill \textbf{Figure 2}\hfill ~
		\end{minipage}	
		\begin{minipage}{4cm}
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_13_scratch_3.png}
			
			\hfill \textbf{Figure 3}\hfill ~
		\end{minipage}
			
		\begin{minipage}{3cm}
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2025_maths_externe_sujet_2_14_scratch_4.png}
			
			\hfill \textbf{Figure 4}\hfill ~
		\end{minipage}
		
		Associer, sans justifier, chaque programme à la figure correspondante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le programme A correspond à la figure 3.
			
			Le programme B correspond à la figure 1.
			
			Le programme C correspond à la figure 4.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}