%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2025 groupe 1.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2025 groupe 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2025_maths/crpe_2025_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2025_maths/crpe_2025_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	La directrice d’une école primaire prévoit d’organiser un voyage scolaire pour plusieurs classes de son école. L’effectif total de l’école est de $110$ élèves. Deux organismes proposent les devis suivants.
	
	\begin{tabular}{|m{5cm}|}
		\hline
		\textbf{Organisme A}
		\\
		\hline
		Base forfaitaire: $\np{1500}$ euros
		\\
		$100$ euros par élève
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	\hspace{1cm}
	\begin{tabular}{|m{5cm}|}
		\hline
		\textbf{Organisme B}
		\\
		\hline
		Base forfaitaire: $\np{2000}$ euros
		\\
		$85$ euros par élève
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
		Déterminer l’organisme qui propose le devis le plus avantageux financièrement pour $24$ élèves.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Devis organisme A: $1500\ \text{\euro}+24 \times 100\ \text{\euro}= 3900\ \text{\euro}$.
		
		Devis organisme B: $2000+ 24 \times 85 \ \text{\euro}= 4040\ \text{\euro}$.
		
		\begin{conclusion}
			Pour $24$ élèves le devis de l'organisme A est plus avantageux.
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question, on note $x$ le nombre d’élèves inscrits à ce voyage scolaire.
		
		Le nombre $x$ est un nombre entier compris entre $1$ et $110$.
		
		On note $f$ la fonction qui, au nombre d’élèves inscrits, associe le coût en euros du voyage scolaire si la directrice choisit l’organisme A.
		
		On note $g$ la fonction qui, au nombre d’élèves inscrits, associe le coût en euros du voyage scolaire si la directrice choisit l’organisme B.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner les expressions de $f(x)$ et de $g(x)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Il s'agit de reprendre les calculs de la question précédente en remplaçant $24$ par $x$ pour le nombre d'élèves et on voit apparaître deux fonctions affines.}
			
			\begin{conclusion}
				
				$f(x)=100x+1500$ et $g(x)=85x+2000$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résoudre l’équation $f(x)= \np{4 300}$ et interpréter la solution dans le contexte de l’exercice.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Résolvons l'équation $f(x)=4300$.}
			
			{\color{orange}Il s'agit d'une équation du premier degré la résolution se mène en isolant l'inconnue $x$.}
			
			\begin{align*}
				f(x) &= 4300\\
				\intertext{équivaut successivement à}
				100x+1500 &= 4300\\
				100x+1500 {\color{WildStrawberry}-1500} &= 4300 {\color{WildStrawberry}-1500}\\
				100x &= 2800\\
				\frac{100x}{\color{WildStrawberry}100} &= \frac{2800}{\color{WildStrawberry}100}\\
				x &= 28
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Avec un budget de $4300\ \text{\euro}$ il est possible, avec l'organisme A, de faire voyager $280$ personnes.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{orange}Pour la résolution de l'équation les calculatrices de lycée résolvent ce type d'équation.}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le nombre minimal d’élèves à partir duquel il est plus avantageux financièrement de choisir l’organisme B.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Déterminer s'il est plus avantageux de choisir l'organisme B revient à
			
			\medskip
			\objectif{résoudre l'inéquation $g(x)>f(x)$.}
			
			{\color{orange}Il s'agit d'une équation su premier degré, là encore, la résolution consiste à isoler $x$.}
			
			Cette dernière inéquation équivaut successivement à:
			\begin{align*}
				85x+2000 &< 100x+1500\\
				85x+2000{\color{WildStrawberry}-100x} &< 100x +1500 {\color{WildStrawberry}-100x}\\
				-15x +2000 &< 1500\\
				-15x+2000{\color{WildStrawberry}-2000} &< 1500 {\color{WildStrawberry}-2000}\\
				-15x &< -500\\
				\frac{-15x}{\color{WildStrawberry}-15} &> \frac{-500}{-15}\ \text{car } -15<0\\
				x &> \frac{100}{3}
			\end{align*}
			
			Or $\frac{100}{3} \approx 33,33$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				l'organisme B est plus avantageux à partir de $34$ élèves.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La mairie subventionne ce voyage scolaire à hauteur des $\dfrac{2}{5}$ de son coût total. La coopérative scolaire prendra à sa charge $50\ \%$ du reste du coût total.
		
		Le reste est à la charge des familles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la proportion que représente la part prise en charge par les familles par rapport au coût total. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la proportion $p$ de la part des familles.}
			
			La part qui n'est pas subventionnée par la mairie est de $1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$.
			
			$50\ \%$ de ces $\frac{3}{5}$ sont pris en charge par la coopérative. {\color{orange}Il s'agit d'appliquer une proportion donc de multiplier par cette proportion.} La part restant à la charge des parents est donc $p=\frac{50}{100} \times \frac{3}{5}=\frac{3}{10}$.
			
			{\color{orange}La fraction $\frac{3}{10}$ est irréductible d'après la calculatrice. Pour le démontrer donnons la décomposition en facteurs premiers des numérateurs et dénominateurs pour justifier qu'il s'agit bien de la forme irréductible.}
			
			$p=\frac{3}{2 \times 5}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$p=\frac{3}{10}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La directrice inscrit $44$ élèves à ce voyage et choisit l’organisme B.
			
			Calculer le montant par élève financé par la coopérative. Arrondir le résultat à l’euro.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Réponse en trois temps: d'abord trouver le coût du voyage puis calculer le montant financé par la coopérative et enfin trouver le coût par élève.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons le montant $C$ financé, par élève, par la coopérative.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Le coût du voyage avec l'organisme B est
				\begin{align*}
					g(44) &= 85 \times 44+2000\\
					&= 5740
				\end{align*}
				
				\item $50\ \%$ des $\frac{3}{5}$ du coût total sont à la charge de la coopérative donc {\color{orange}(il s'agit d'appliquer des proportions, c'est-à-dire de les multiplier)} la coopérative déboursera $\frac{50}{100} \times \frac{3}{5} \times 5740\ \text{\euro}= 1722\ \text{\euro}$.
				
				\item Enfin $44$ élèves participant au voyage, pour chaque enfant, la coopérative déboursera: $C= \frac{1722\ \text{\euro}}{44}\approx 39,136\ \text{\euro}$.
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$C \approx 39\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante met à disposition de chaque élève trois jetons équilibrés. Sur chaque jeton le nombre $1$ est inscrit sur une des faces et le nombre $0$ sur l’autre.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève lance les trois jetons et ajoute les nombres qui apparaissent sur chacune des faces. Quelle est la probabilité qu’il obtienne une somme égale à $3$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Une expérience aléatoire originale pour le concours puisqu'elle est constituée de trois épreuves et non de deux. Il est donc impossible de modéliser cette expérience par un tableau double entrée. Il nous reste la possibilité de l'arbre probabiliste ou d'une énumération exhaustive des issues. Concernant la loi de probabilité il s'agit d'une loi binomiale qui est très hors programme donc nous ne profiterons pas de cette facilité.}
		
		Notons $A$ l'événement \og obtenir une somme égale à $3$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		{\color{orange}Modélisons les issues de l'expérience par des triplets de $0$ ou de $1$. Dans l'arbre suivant chaque niveau correspond aux résultats possibles sur un jeton. En bout de ligne est indiquer la somme.}
			
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Nombre de nœuds du troisième niveau
			\def\noC{8};
			%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
			\def\noCe{2};
			%Écarts entre nœuds du troisième niveau
			\def\xC{2+\xB};
			\def\yC{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$0$//\posA,
				nA2/A2/2/$1$//\posA
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$0$//\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$1$//\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$0$//\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$1$//\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
			\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nB1/nC1/C1/1/$0$//\posA,
				nB1/nC2/C2/2/$1$//\posA,
				nB2/nC3/C3/3/$0$//\posA,
				nB2/nC4/C4/4/$1$//\posA,
				nB3/nC5/C5/5/$0$//\posA,
				nB3/nC6/C6/6/$1$//\posA,
				nB4/nC7/C7/7/$0$//\posA,
				nB4/nC8/C8/8/$1$//\posA
			}{
				\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
				\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
				\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Sommes
			\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nB1/nC1/D1/1/$0$//\posA,
				nB1/nC2/D2/2/$1$//\posA,
				nB2/nC3/D3/3/$1$//\posA,
				nB2/nC4/D4/4/$2$//\posA,
				nB3/nC5/D5/5/$1$//\posA,
				nB3/nC6/D6/6/$2$//\posA,
				nB4/nC7/D7/7/$2$//\posA,
				nB4/nC8/D8/8/$3$//\posA
			}{
				\coordinate (\C) at ({\xC+2},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
				\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Il y a équiprobabilité entre les $8$ triplets de nombres qu'on peut obtenir, $A$ est réalisé par un unique triplet donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(A)=\frac{1}{8}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Jeanne dit: \og Quand on lance les trois jetons, on est sûr que deux jetons au moins donneront le même résultat. \fg{} . A-t-elle raison? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Chaque jeton ne peut comporter que $0$ ou $1$ donc, même si les deux premiers jetons sont distincts, l'un valant $0$ l'autre $1$, le troisième vaudra $0$ ou $1$, c'est-à-dire l'une des valeurs déjà obtenue avec les deux premiers jetons.
		
		\begin{conclusion}
			
			Deux des jetons donnent le même résultat.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Olivier dit: \og Quand on lance les trois jetons, on a une chance sur deux d’obtenir trois faces identiques. \fg{}. A-t-il raison? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		L'événement $B$: \og obtenir trois faces identiques\fg{} est réalisé par deux triplets $(0,0,0)$ et $(1,1,1)$. Or il y a équiprobabilité et l'univers contient $8$ issues donc: $\mathbb{P}(B)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La probabilité d'obtenir trois faces identiques n'est pas de $\frac{1}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Une communauté de communes décide de construire une nouvelle piscine. Elle fait appel à une entreprise de travaux publics. Cette entreprise creuse une fosse dont la forme est un parallélépipède rectangle qui a pour longueur $30$ mètres, pour largeur $15$ mètres et pour profondeur $3$ mètres.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le volume de cette fosse ainsi creusée. On donnera le résultat en $\mathrm{m}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{calculons le volume $\mathscr{V}_1$ de la piscine.}
		
		{\color{orange}Le volume d'un pavé droit s'obtient en faisant le produit des hauteur, longueur et profondeur.}
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_1 &= \left( 30\ \mathrm{m} \right) \times \left( 15\ \mathrm{m} \right) \times \left( 3\ \mathrm{m} \right)\\
			&= 30 \times 15 \times 3\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_1 = \np{1350}\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le sol creusé est argileux. En raison du foisonnement (phénomène qui se produit lorsque la matière augmente de volume après avoir été retirée d’un terrain), le volume de terre qui a été retiré de la fosse augmente de $25\ \%$.
		
		Déterminer le volume de terre qui doit être évacué par l’entreprise de travaux publics. On a donnera le résultat en $\mathrm{m}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_2$ de terre à déblayer.}
		
		{\color{orange}L'expression \og augment de $25\ \%$\fg{} ne laisse aucun doute il s'agit d'un pourcentage représentant un taux d'évolution et non une proportion. Pour calculer nous allons donc utiliser un coefficient multiplicateur.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $25 \%$ est 
		\begin{align*}
			CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+\frac{25}{100}\\
			&= 1,25
		\end{align*}
		Et donc
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_2 &= 1,25 \times \mathscr{V}_1\\
			&= 1,25 \times 1350\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_2=\np{1687,5}\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’entreprise utilise un camion-benne qui peut transporter jusqu’à $30\ \mathrm{m}^3$ de terre par benne.
		
		Calculer le nombre minimal de bennes nécessaires pour évacuer toute la terre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le nombre minimal $n$ de bennes nécessaires.}
		
		{\color{orange}Procédons à une pseudo division euclidienne en utilisant la calculatrice: $1687,5/30=56,25$ et $1687,5-56*30=7,5$. Par conséquent:}
		\begin{align*}
			1687,5 &= 56 \times 30 +7,5
		\end{align*}
		
		{\color{orange}Petite interprétation: il faudra remplir $56$ camions et il restera $7,5\ \mathrm{m}^3$ de terre à transporter. Nous pouvons conclure.}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faudra au minimum $57$ camions.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	On admet que la piscine ainsi construite a la forme d’un parallélépipède rectangle. Sa longueur est $25$ mètres et sa largeur est $12,5$ mètres.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On remplit la piscine avec $\np{562 100}$ litres d'eau à 12°C. Un système de chauffage permet d’augmenter la température de l’eau à $25\degres\mathrm{C}$. Le volume d’eau augmente sous l’effet de la chaleur. La piscine contient alors $\np{564 000}$ litres d’eau à $25\degres\mathrm{C}$.
		
		Déterminer le pourcentage d’augmentation du volume d’eau de la piscine due à la chaleur. Donner le résultat sous la forme $p\ \%$, où la valeur de $p$ est arrondie au centième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}L'énoncé demande de trouver un pourcentage d'augmentation. Les pourcentage d'augmentation ou de diminution sont des nombres positifs: il n'existe pas d'augmentation ou de diminution de $-10\ \%$. Par contre le taux d'évolution est le pourcentage compté positivement pour une augmentation et négativement pour une diminution. Il s'agit ici d'une augmentation donc le pourcentage d'augmentation se confond avec le taux d'évolution.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons le taux d'évolution $t$ du volume d'eau.}
		
		\begin{align*}
			t &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100\\
			&= \frac{564000-562100}{562100} \times 100\\
			&\approx 0,33801 \text{ en tronquant à } 10^{-5}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			le volume d'eau augmente de $0,34\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la hauteur de l’eau dans cette piscine lorsque l’eau est chauffée à $25\degres\mathrm{C}$? On donnera le résultat en $\mathrm{m}$, arrondi au $\mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la hauteur $h$ d'eau.}
		
		Puisque la piscine est un parallélépipède rectangle le volume d'eau est donné par:
		\begin{align*}
			\left( 25\ \mathrm{m} \right) \times \left( 12,5\ \mathrm{m} \right) \times h &= 564 000\ \ell\\
			\intertext{Or $1000\ \ell=1\ \mathrm{m}^3$ donc}
			h \times 25\times 12,5\ \mathrm{m} \times \mathrm{m} &= 564\ \mathrm{m}^3\\
			h \times 312,5\ \mathrm{m}^2 &= 564\ \mathrm{m}^3\\
			\frac{h \times 312,5\ \mathrm{m}^2}{\color{WildStrawberry}312,5\ \mathrm{m}^2} &= \frac{564\ \mathrm{m}^3}{\color{WildStrawberry}312,5\ \mathrm{m}^2}\\
			h &= \frac{564}{312,5}\ \frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{m}^2}\\
			&= 1,8048\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$h\approx 1,80\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	Un professeur d’une classe de CM2 organise un cycle d’apprentissage pour la natation. On rappelle que la longueur de la piscine est de $25$ mètres.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève effectue $16$ longueurs en dix minutes. Déterminer la vitesse moyenne de cet élève en mètre par minute, puis en kilomètre par heure.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la vitesse moyenne $v_1$ de l'élève.}
		
		\begin{align*}
			v_1 &= \frac{16\times 25\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{min}}\\
			&= \frac{16 \times 25}{10}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}\\
			&= 40\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}\\
			&= 40\ \frac{\frac{1}{1000}\ \mathrm{km}}{\frac{1}{60}\ \mathrm{h}}\\
			&= 40\times \frac{\frac{1}{1000}}{\frac{1}{60}}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
		\end{align*}
		{\color{orange}Avec la calculatrice:}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_1=2,4\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}EN relisant un peu plus haut dans les calculs:}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_1=40\ \mathrm{m}/\mathrm{min}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un autre élève a nagé pendant $10$ minutes à la vitesse moyenne de $0,6$ mètre par seconde. Déterminer le nombre de longueurs complètes que cet élève a effectuées.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la distance $d_1$ parcourue par l'élève.}
		
		$10\ \mathrm{min}= 10\times 60\ \mathrm{s}=600\ \mathrm{s}$ donc
		
		\begin{align*}
			d_1 &= 600\ \mathrm{s}\times 0,6\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\
			&= 600 \times 0,6\ \frac{\mathrm{s}\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\
			&= 360 \ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		Ce qui correspond, en longueurs de piscine, à
		
		\begin{align*}
			l &= \frac{360\ \mathrm{m}}{25\ \mathrm{m}}\\
			&= 14,4
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			l'élève a effectué $14$ longueurs complètes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les résultats de neuf élèves ont été reportés dans la feuille de calcul ci-dessous.
		
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_01_tableur.png}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Indiquer une formule à saisir dans la cellule \texttt{B}3, de telle sorte qu’elle puisse être recopiée vers la droite pour effectuer le calcul de la distance parcourue par chaque élève.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\texttt{B}2*25$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la proportion d’élèves ayant parcouru $12$ longueurs ou plus. Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$6$ des $9$ élèves ont parcouru $12$ longueurs ou plus ce qui représente une proportion de
			\begin{align*}
				p &=\frac{6}{9}\\
				&= \frac{2 \times 3}{3 \times 3}\\
				&= \frac{2}{3}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$p=\frac{2}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la médiane du nombre de longueurs effectuées par ce groupe d’élèves. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la médiane, $Me$, de la série du nombre de longueurs.}
			
			$10<11 \leqslant 11 <12<13<14\leqslant 14 <15<16$.
			
			Il y a $9$ valeurs et $\frac{9}{2}=4,5$ donc la $Me$ est la cinquième valeur de la série ordonnée:
			
			\begin{conclusion}
				
				$Me=13$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le nombre moyen de longueurs effectuées par élève dans ce groupe. On donnera le résultat arrondi au dixième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{calculons le nombre moyen, $\overline{x}$, de longueurs par élève.}
			
			\begin{align*}
				\overline{x} &= \frac{15+14+10+11+12+14+11+13+16}{9}\\
				&= \frac{116}{9}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overline{x} \approx 12,9$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Un élève était absent lors de cette séance. Calculer le nombre de longueurs qu’il aurait dû parcourir pour que le nombre moyen de longueurs effectuées par élève soit $13$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $x$ le nombre de longueurs qu'aurait dû parcourir l'absent.
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons $x$}
			
			On souhaite avoir:
			\begin{align*}
				\frac{15+14+10+11+12+14+11+13+16+x}{10} &= 13\\
				\intertext{ce qui équivaut 	successivement à}
				\frac{116+x}{10} &= 13\\
				\intertext{\color{orange}Avec un produit en croix:}
				116+x &= 10 \times 13\\
				116+x &= 130\\
				116+x {\color{WildStrawberry}-116} &= 130  {\color{WildStrawberry}-116}\\
				x &= 14
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que la moyenne soit de $13$ il aurait fallu que l'absent fasse $14$ longueurs.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	On considère $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$ des nombres entiers naturels non nuls.
	
\end{sujet}
	
\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner une valeur de $a$ pour laquelle $\dfrac{a}{45}$ est un nombre entier naturel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Il suffit de choisir pour $a$ un multiple de $45$. $a=45$ convient: $\frac{45}{45}=1\in\mathbb{N}$ ($\mathbb{N}$ désignant l'ensemble des entiers naturels).}
		
		\begin{conclusion}
			
			$a=45$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer toutes les valeurs de $b$ pour lesquelles $\dfrac{45}{b}$ est un entier naturel. Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour que $\frac{45}{b}$ soit un entier naturel il faut que $b$ soit un diviseur positif de $45$.
		
		{\color{orange}La façon le plus élégante de trouver tous les diviseurs de $45$ consiste à procéder à sa décomposition en facteurs premiers puis à trouver tous les produits de ces facteurs par le biais d'un arbre. Procédons de façon plus prosaïque en testant tous les entiers plus petits que $45$.}
		\begin{align*}
			1 \times 45 &= 45\\
			\intertext{\color{orange}On vérifie, par exemple avec la calculatrice que $45$ n'est pas divisible par $2$ puis on essaie avec $3$:}
			3 \times 15 &= 45\\
			\intertext{\color{orange}Puis on recommence jusqu'à rencontrer un facteur déjà vu.}
			5 \times {\color{WildStrawberry}9} &= 45\\
			{\color{WildStrawberry}9} \times 5 &= 45
		\end{align*}
		{\color{orange}Comme on a retrouvé le facteur $9$ c'est que nous avons déjà tous les facteurs dans les produits ci-dessus.}
		
		\begin{conclusion}
			
			$b$ peut être choisi parmi: $1$, $3$, $5$, $9$, $15$ et $45$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner une valeur de $c$ pour laquelle $\dfrac{c}{45}$ est un nombre décimal non entier naturel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le plus simple est ici de savoir qu'un nombre décimal peut s'écrire comme une fraction dont le dénominateur est un produit de puissances de $2$ et de $5$. Or le dénominateur de notre fraction est $45=3\times 3 \times 5$. Ce qui nous gène ce sont les deux facteurs $3$. Affectons les à $c$ pour qu'il y ait simplification: $\frac{9}{45}=\frac{1}{5}=0,2$.}
		
		\begin{conclusion}
			
			$c=9$ convient.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner une valeur de $d$ pour laquelle $\dfrac{45}{d}$ est un nombre décimal non entier naturel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}On peut résonner semblablement qu'à la question précédente. Mais le plus simple est de choisir un multiple de $10$ et de $45$: $\frac{45}{450}=\frac{1}{10}=0,1$.}
		
		\begin{conclusion}
			
			$d=450$ convient.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner une valeur de $e$ pour laquelle $\dfrac{e}{45}$ est un nombre rationnel non décimal.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Pour obtenir un rationnel non décimal il faut que le dénominateur de la forme irréductible contienne un facteur premier qui ne soit ni $2$ ni $5$. Or $45$ contient le facteur $3$ donc}
		
		\begin{conclusion}
			
			il est loisible de choisir $e=1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Les onze pièces ci-dessous s'obtiennent à partir d'un triangle équilatéral en \og creusant\fg{}, en \og bombant\fg{} ou en laissant rectilignes ses côtés. Les arcs de cercle joignant deux sommets ont tous la même longueur et le même rayon.
	
	{\hspace*{-0.5cm}\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_02_triangles.png}}
	
	Aucune justification n’est demandée.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Indiquer la figure qui a la plus grande aire.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			La figure C a la plus grande aire.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Indiquer la figure qui a la plus petite aire.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			La figure H a la plus petite aire.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Indiquer quatre figures qui ont le même périmètre et des aires différentes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les figures C, H, I et J ont le même périmètre mais des aires différentes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Indiquer trois paires de figures qui ont la même aire mais des périmètres différents. Chaque figure ne peut être citée qu’une seule fois.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Couples de figures ayant même aire mais pas même périmètre: A et K, B et J, E et I.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	On considère la pyramide régulière $SABCD$, représentée ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_03_pyramide.png}
	\end{center}
	
	La base de la pyramide $SABCD$ est un carré $ABCD$ de côté $4\ \mathrm{cm}$.
	
	Les faces latérales $SAB$, $SBC$, $SCD$ et $SDA$ sont des triangles équilatéraux.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le triangle $ASC$ est rectangle isocèle en $S$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Calculons $AC$.
			
			$ABC$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore:
			
			\begin{align*}
				AC^2 &= AB^2+BC^2
				AC^2 &= 4^2+4^2\\
				\intertext{Or $AC$ est une longueur donc un nombre positif et}
				AC &= 4\sqrt{2}
			\end{align*}
			
			\item Par construction $ZA=SC=4$ donc $SAC$ est isocèle en $S$.
			
			\item Démontrons que $SAC$ est rectangle en $S$.
			
			$AC^2=32$ et $AS^2+SC^2=4^2+4^2=32$ donc $AC^2=AS^2+SC^2$ et par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $SAC$ est rectangle en $S$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$SAC$ est isocèle-rectangle en $S$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les trois figures ci-dessous ne sont pas dessinées en vraie grandeur. Pour chaque figure, indiquer si elle représente ou non un patron de la pyramide $SABCD$. Justifier les réponses.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{6cm}
				\hfill \textbf{Figure 1.} \hfill~
				
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_04_figure_1.png}
			\end{minipage}
			\begin{minipage}{4.5cm}
				\hfill \textbf{Figure 2.} \hfill~
				
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_05_figure_2.png}
			\end{minipage}
			\begin{minipage}{4cm}
				\hfill \textbf{Figure 3.} \hfill~
				
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_06_figure_3.png}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Dur de justifier sans tenter de reconstituer la pyramide.}
		
		Le côté T3 de la figure 2 ne convient pas. Le triangle T1 de la figure 3 n'est pas équilatéral.
		
		\begin{conclusion}
			
			La figure 1 est un patron de la pyramide mais pas les figures 2 et 3.
		
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La figure 4 ci-dessous est un patron de la pyramide $SABCD$. Il n’est pas représenté en vraie grandeur.
		
		\begin{center}
			\begin{minipage}{4cm}
				\hfill \textbf{Figure 4.} \hfill~
				
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_07_figure_4.png}
			\end{minipage}
		\end{center}
		
		Le programme incomplet ci-dessous réalisé à l’aide du logiciel Scratch permet de construire la figure 4 en partant du point $A$.
		
		\medskip
		En prenant $1\ \mathrm{cm}$ pour $20$ pas, déterminer, sans justifier, les valeurs à attribuer aux lettres $M$, $N$, $P$, $R$ et $T$ pour que le script proposé ci-dessous permette de construire cette figure.
		
		\medskip
		Le point de départ de la figure a pour coordonnées $(0;0)$.
		
		On rappelle que la commande \og s’orienter à 90\fg{} permet de s’orienter vers la droite.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_08_scratch_s_orienter.png} \hspace{2cm}
			\begin{minipage}{2.5cm}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_09_scratch_lutin.png}
			
			\hfill \textbf{Lutin} \hfill~
			\end{minipage}
		\end{center}
			
		{\hspace*{-1cm}\begin{tabular}{|m{6cm}|m{6cm}|}
			\hline
			\hfill \textbf{Script} \hfill~
			& \hfill \textbf{Blocs} \hfill~
			\\
			\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_10_scratch_script.png}
			&
			\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2025_maths_externe_sujet_1_11_scratch_blocs.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			$M=80$, $N=90$, $T=4$, $R=60$ et $P=80$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}