%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2024 groupe 4.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2024 groupe 4.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2024_maths/crpe_2024_maths_externe_sujet_4_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2024_maths/crpe_2024_maths_externe_sujet_4_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la
	réponse.
	
	\emph{Une réponse sans justification ne sera pas prise en considération lors de la correction.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La répartition des salaires mensuels des employés d’une entreprise est présentée dans
le diagramme en barres ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_01_diagramme_barres.png}
		\end{center}
		
		Affirmation 1: le salaire médian dans cette
entreprise est de $\np{1 800}\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la médiane $Me$ de la série.}
		
		{\color{orange}Il n'y a pas de méthode directement graphique de lecture de la médiane. Il faut extraire l'information du diagramme afin de l'exploiter.}
		
		Par lecture graphique:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Salaires & $1200$ & $1400$ & $1600$ & $1800$ & $2000$ & $2300$ & $3200$
				\\
				\hline
				Effectifs & $11$ & $4$ & $7$ & $5$ & $2$ & $1$ & $1$ 
				\\
				\hline
				E.C.C. & $11$ & $15$ & $22$ & $27$ & $29$ & $30$ & $31$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La série des salaires est rangée dans l'ordre croissant.
			\item $\frac{N}{2} = \frac{31}{2}=15,5$ donc (série impaire, $Me$ est la seizième valeur de la série ordonnée.
			\item D'après les effectifs cumulés croissants, $Me=1600\ \text{\euro}$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation 2: le quotient d’un nombre décimal par un nombre décimal non nul est un
nombre décimal.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{notabene}
		Un nombre est décimal s'il est possible de l'écrire comme un quotient $\frac{a}{10^n}$ où $a$ est un entier et $n$ un entier naturel.
		
		Considérons donc deux nombres décimaux $\frac{a}{10^n}$ et $\frac{b}{10^m}$ où $a,b\in\mathbb{Z}$ et $n,m\in \mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			\frac{\frac{a}{10^n}}{\frac{b}{10^m}} &= \frac{a}{10^n} \times \frac{10^m}{b}\\
			&= \frac{a \times 10^m}{b \times 10^n}
		\end{align*}
		\end{notabene}
		
		$\frac{1}{10}$ et $\frac{3}{10}$ sont des nombres décimaux car de la forme  $\frac{a}{10^n}$ avec $a$ est un entier et $n$ un entier naturel. 
		
		Or
		\begin{align*}
			\frac{\frac{1}{10}}{\frac{3}{10}} &=  \frac{1}{10} \times \frac{10}{3}\\
			&= \frac{1 \times 10}{10 \times 3}\\
			&= \frac{1}{3}
		\end{align*}
		
		donc le quotient des nombres décimaux $\frac{1}{10}$ et $\frac{3}{10}$ n'est pas un nombre décimal.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Paul mange les deux cinquièmes d’un paquet de $40$ gâteaux. Il donne les trois huitièmes
de ce qu’il reste à sa sœur.
		
		Affirmation 3: Paul a donné $15$ gâteaux à sa sœur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Deux démarches sont possibles: soit vérifier avec la réponse proposée soit déterminer le nombre de gâteaux donnés.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons le nombre $n_g$ de gâteaux donnés.}
		
		Puisque Paul mange les deux cinquièmes d'un paquet de $40$, le nombre de gâteaux mangés est
		\begin{align*}
			\frac{2}{5} \times 40 &= 16\\
			\intertext{Le nombre de gâteaux restant est donc de}
			40-16 &=24\\
			\intertext{Puisqu'il donne les trois huitièmes de ce qu'il reste}
			n_G &= \frac{3}{8} \times 24\\
			&= 9
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Nous aurions pu multiplier les proportions entre-elles. Trois huitièmes de trois cinquième de $40$ égale: $\frac{3}{5} \times \frac{3}{8} \times 40=9$}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers.
		
		\smallskip On effectue la division euclidienne du nombre $a$ par $13$. 
		
		Le reste obtenu est $9$.
		
		\smallskip On effectue la division euclidienne du nombre $b$ par $13$. 
		
		Le reste obtenu est $4$.
		
		\smallskip
		Affirmation 4: le nombre $a + b$ est divisible par $13$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Les quatre nombres intervenant dans la division euclidienne (par exemple: $14=3 \times 4+2$) sont le dividende ($14$), le diviseur ($3$), le quotient ($4$) et le reste ($2$). L'énoncé nous parle du dividende, du diviseur et du reste; nommons donc les quotients.}
		
		Notons
		\begin{align*}
			a &= 13 \times q_a+9 \quad {\color{red}(1)}\\
			b &= 13 \times q_b+4 \quad {\color{red}(2)}
		\end{align*}
		
		où $q_a$ et $q_b$ sont des entiers naturels.
		
		En additionnant membre à membre les égalités $\color{red}(1)$ et $\color{red}(2)$ on obtient l'égalité
		\begin{align*}
			a+b &= 13 \times q_a+9+13 \times q_b +4\\
			a+b &= {\color{WildStrawberry}13 \times }q_a+{\color{WildStrawberry}13\times}q_b+9+4\\
			a+b &= {\color{WildStrawberry}13 \times }(a+b)+13
			\intertext{\color{orange}Une petite astuce classique de présentation pour permettre la factorisation:}
			a+b &= 13 \times (q_a+q_b)+13{\color{red}\times 1}\\
			a+b &= {\color{WildStrawberry}13 \times} (q_a+q_b)+{\color{WildStrawberry}\times} 1\\
			a+b &= {\color{WildStrawberry}13 \times}(q_a+q_b+1)
		\end{align*}
		
		Autrement dit la division euclidienne de $a+b$ par $13$ donne un reste nul. Autrement dit $a+b$ est divisible par $13$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Nous aurions pu travailler directement sur le quotient en manipulant des fractions.
		\begin{align*}
			\frac{a}{13}=q_a+\frac{9}{13} &\text{et} \frac{b}{13}=q_b+\frac{4}{13}\\
			\frac{a}{13}+\frac{b}{13} &= q_a+\frac{9}{13} +q_b+\frac{4}{13}\\
			\intertext{Les fractions ayant les mêmes dénominateurs:}
			\frac{a+b}{13} &= q_a+q_b+\frac{4+9}{13}\\
			\frac{a+b}{13} &= q_a+q_b+1
		\end{align*}
		
		Ainsi nous obtenons bien un nombre entier en divisant $a+b$ par $13$.}
		
		\medskip
		{\color{WildStrawberry}Méthode schématique à la Singapour (mais je n'ai pas le temps de faire les schémas avec des patates pour illustrer).
		
		$a$ est formé d'un certain nombre de paquets de $13$ et $9$ unités.
		
		$b$ est formé d'un certain nombre de paquets de $13$ et de $4$ unités.
		
		En réunissant $a$ et $b$ on obtient davantage de paquets de $13$ et $9+3$ unités c'est-à-dire un nouveau paquet de $12$.}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation 5: l’image par une fonction linéaire de la somme de deux nombres est égale
à la somme des images de ces deux nombres.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $f$ une fonction linéaire. Il existe donc un nombre $a$ tel que $f(x)=ax$ pour tout nombre $x$.
		
		Considérons n'importe quel couple de nombres que nous noterons $x$ et $y$ et déterminons l'image de leur somme par $f$.
		\begin{align*}
			f(x+y) &= a(x+y)\\
			&= a \times x +a \times y\\
			&=ax+ay\\
			&= f(x)+f(y)
		\end{align*}
		
		L'image de la somme égale la somme des images.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 5 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront donnés sous la forme d’une fraction irréductible.}
	
	\medskip
	Une élève joue avec deux dés cubiques (dés à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$) non truqués.
	
	Elle lance deux dés. On appelle paire un tirage constitué de deux nombres identiques.
	
	À chaque lancer de deux dés, elle marque des points:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item si elle obtient une paire de $1$, elle gagne $\np{1 000}$ points;
		
		\item si elle obtient une autre paire, elle gagne $100$ fois la valeur d’un dé, soit $200$ points pour une paire de $2$, $300$ points pour une paire de $3$, etc. ;
		
		\item si elle obtient un résultat autre qu’une paire (par exemple $2$ sur un des dés et $5$ sur l’autre), elle gagne $50$ points.
	\end{enumerate}
	
	Le jeu se termine lorsque l’on obtient au moins $\np{1 000}$ points.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité de terminer le jeu avec un seul lancer?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la probabilité d'obtenir $\np{1000}$ points en un lancer.}
		
		Modélisons l'expérience probabiliste.
		
		Considérons que l'un des dés est bleu et l'autre rouge. Notons d'abord le nombre affiché par le dé bleu puis celui affiché par le dé rouge. Ainsi $(1;5)$ signifie obtenir $1$ avec le dé bleu et $5$ avec le dé rouge.
		
		Pour représenter tous les couples possibles et déterminer le nombre de points associés à chacun dessinons un tableau double entrée.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				\backslashbox{bleu}{rouge}& $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$\\
				\hline
				$1$ & $1000$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$
				\\
				\hline
				$2$ & $50$ & $200$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$
				\\
				\hline
				$3$ & $50$ & $50$ & $300$ & $50$ & $50$ & $50$
				\\
				\hline
				$4$ & $50$ & $50$ & $50$ & $400$ & $50$ & $50$
				\\
				\hline
				$5$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $500$ & $50$
				\\
				\hline
				$6$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $600$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Nous obtenons ainsi $6 \times 6=36$ couples de nombres qui ont tous la même probabilité d'être obtenus puisque les dés ne sont pas truqués.
		
		Il n'y a qu'un seul lancer parmi les $36$ lancers équiprobables qui permettent d'obtenir $1000$ points donc:
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité d'obtenir $1000$ point en un lancer est de $\frac{1}{36}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’élève a réalisé deux lancers et a obtenu exactement $650$ points.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer l’ensemble des résultats qu’elle a pu obtenir lors de ces deux lancers.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Précisons l'ensemble des résultats possibles.}
			
			{\color{orange}L'énoncé semble distinguer les points des résultats. Les premiers désignent le système de points décrit dans l'énoncé et le second les nombres affichés par les dés. Cependant faire une énumération de tous les couples possibles semble très fastidieux et nous nous contenterons d'une description en français.}
			
			\medskip
			Du fait des $50$ points apparaissant dans $650$ il est nécessaire que l'un des lancers n'ai pas été une paire.
			
			Dans ce cas l'autre lancer donnait $600$ points.
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				l'un des deux lancers donne une paire de $6$ et l'autre ne donne pas de paire.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de terminer le jeu avec un troisième lancer?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $A$ l'événement \og obtenir une victoire au troisième lancer après avoir obtenu $650$ points aux deux précédents.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			Si $x$ désigne le nombre de points obtenus au troisième lancer on doit avoir
			\begin{align*}
				x+650 &>100\\
				\intertext{Autrement dit:}
				x+650 {\color{WildStrawberry}-650} &> 1000 {\color{WildStrawberry}-650}\\
				x &> 350
			\end{align*}
			
			Ainsi $A$ est réalisé si le troisième lancer donne strictement plus que $350$. Autrement dit $A$ est réalisé si le troisième lancer est un double $4$ ou un double $5$ ou un double $6$ ou un double $1$.
			
			Les couples de nombres sont équiprobables, il y a $36$ couples possibles et $4$ réalise $A$ donc
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \frac{4}{36}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A) = \dfrac{1}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
		
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	On rappelle ci-dessous le fonctionnement du bloc\og s’orienter à\fg{} dans le langage Scratch.
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		&&&
		\\
		\setscratch{scale=0.9}
		\begin{scratch}
			\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90}}
		\end{scratch} 
		&
		\setscratch{scale=0.9}
		\begin{scratch}
			\blockmove{s’orienter à \ovalnum{-90}}
		\end{scratch}
		&
		\setscratch{scale=0.9}
		\begin{scratch}
			\blockmove{s’orienter à \ovalnum{0}}
		\end{scratch}
		&
		\setscratch{scale=0.9}
		\begin{scratch}
			\blockmove{s’orienter à \ovalnum{180}}
		\end{scratch}
		\\
		&&&
		\\
		\hline
		Ce bloc permet
d’orienter le lutin
vers la droite.
		&
		Ce bloc permet
d’orienter le lutin
vers la gauche.
		&
		Ce bloc permet d’orienter le lutin
vers le haut.
		&
		Ce bloc permet
d’orienter le lutin
vers le bas.
		\\
		\hline
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node [rotate=0] {\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_02_lutin.png}};
		\end{tikzpicture}
		&
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node [rotate=180] {\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_02_lutin.png}};
		\end{tikzpicture}
		&
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node [rotate=90] {\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_02_lutin.png}};
		\end{tikzpicture}
		&
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node [rotate=-90] {\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_02_lutin.png}};
		\end{tikzpicture}
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	On écrit sur Scratch les trois programmes donnés ci-dessous. Ils permettent de tracer des
segments en pressant une des trois touches du clavier a, b ou c.
	
	\medskip
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\\
		\setscratch{scale=0.9}
		\begin{scratch}[scale=1]
			\blockinit{Quand la touche \selectmenu{a} est pressée}
			\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90}}
			\blockpen{stylo en position d'écriture}
			\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
			\blockpen{relever le stylo}
		\end{scratch}
		\\
		\\
		\hline
		\emph{Programme de la touche a.}
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\\
		\setscratch{scale=0.9}
		\begin{scratch}[scale=1]
			\blockinit{Quand la touche \selectmenu{b} est pressée}
			\blockmove{s’orienter à \ovalnum{-90}}
			\blockpen{stylo en position d'écriture}
			\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
			\blockpen{relever le stylo}
		\end{scratch}
		\\
		\\
		\hline
		\emph{Programme de la touche b.}
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	\begin{tabularx}{0.45\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\\
		\setscratch{scale=0.9}
		\begin{scratch}[scale=1]
			\blockinit{Quand la touche \selectmenu{c} est pressée}
			\blockmove{s’orienter à \ovalnum{0}}
			\blockpen{stylo en position d'écriture}
			\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
			\blockpen{relever le stylo}
		\end{scratch}
		\\
		\\
		\hline
		\emph{Programme de la touche c.}
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Parmi les trois propositions ci-dessous, une seule ne pourra pas être réalisée par un
enchaînement des touches a, b, c. Laquelle? Expliquer.
		
		{\hspace{-1cm}
		\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{3cm}|>{\centering\arraybackslash}m{4cm}|>{\centering\arraybackslash}m{5cm}|}
			\hline Proposition 1 & Proposition 2 & Proposition 3
			\\
			\hline
			&&
			\\
			\includegraphics[scale=0.8]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_03_tracer_proposition_1.png}
			&
			\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_04_tracer_proposition_2.png}
			&
			\includegraphics[scale=0.8]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_05_tracer_proposition_3.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le programme de la touche a déplace le lutin en ligne droite vers la droite.
		
		Le programme de la touche b déplace le lutin en ligne droite vers la gauche.
		
		Le programme de la touche c déplace le lutin en ligne droite vers le haut.
		
		Le lutin ne peut donc se déplacer vers le bas.
		
		\begin{conclusion}
			
			La proposition 3 ne pourra pas être réalisée en appuyant sur les touches a, b ou c.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En prenant $1\ \mathrm{cm}$ pour $10$ pas, tracer la figure obtenue après avoir réalisé l’enchaînement
de touches suivant: c c c a a c c b b.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Chaque pesée sur une touche trace un segment de $20\ \mathrm{pas}=2\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (-1,-1) grid (5,11);
				\draw (0,0) node[red] {$\times$};
				\draw (0,0) node[below] {Départ};
				\draw (0,0) -- (0,6) -- (4,6) -- (4,10) -- (0,10);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a ajouté un quatrième programme ci-dessous,
appelé \emph{Programme d}, associé à la touche d.
		
		\begin{center}
			\setscratch{scale=0.9}
			%\setscratch{print}
			%\setscratch{text color=magenta}
			\begin{scratch}
				\blockinit{Quand la touche \selectmenu{d} est pressée}
				\blockmove{s’orienter à \ovalnum{180}}
				\blockpen{stylo en position d'écriture}
				\blockmove{avancer de \ovalnum{20} pas}
				\blockpen{relever le stylo}
			\end{scratch}
		\end{center}
		
		Donner un enchaînement de touches permettant
d’obtenir un rectangle de longueur $80$ pas et dont les
diagonales mesurent $100$ pas. Expliquer les étapes
du raisonnement suivi.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la longueur de la largeur du rectangle.}
		
		Schématiquement nous avons la situation suivante:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (8,0);
				\coordinate (C) at (8,6);
				\coordinate (D) at (0,6);
				\draw (A) --(B) node [midway, below] {$80$ pas};
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
				\draw (A) node [below left] { $A$};
				\draw (B) node [below right] { $B$};
				\draw (C) node [above right] { $C$};
				\draw (D) node [above left] { $D$};
				\draw (B) -- (D) node [midway,sloped,above] {$100$ pas};
				\def\xangledroit{0};
				\def\yangledroit{0};
				\def\longueurangledroit{0.5};
				\draw[fill=green!30] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore:
		\begin{align*}
			BA^2+AC^2 &= BC^2\\
			\intertext{Nous en déduisons successivement:}
			BA^2+AC^2 {\color{WildStrawberry}-AC^2} &= BC^2 {\color{WildStrawberry}-AC^2}\\
			\intertext{En exprimant les longueurs en pas:}
			BA^2 &= 100^2-80^2\\
			BA^2 &= 3600\\
			\intertext{$BA$ étant une longueur et donc un nombre positif, nécessairement}
			BA &= \sqrt{3600}\\
			BA &= 60
		\end{align*}
		
		Nous pouvons maintenant indiquer les touches qui traceront, dans ce sens, $ABCD$:
		
		\begin{conclusion}
			
			a a a a c c c b b b b d d d
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Lors de la construction de sa maison, Claire décide de construire une dalle pour sa terrasse.
	
	Cette dalle a la forme d’un prisme droit de hauteur $15\ \mathrm{cm}$ dont la vue de dessus est donnée
par le schéma ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			\def\CE{5};
			\coordinate (A) at ({0},{5});
			\coordinate (B) at ({10},{5});
			\coordinate (C) at ({10},{0});
			\coordinate (D) at ({0},{0});
			\coordinate (E) at ({10+\CE},{0});
			\draw (A) -- (B) -- (E) -- (D) -- cycle;
			\draw [dashed] (B) -- (C);
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			\draw (C) node [below] {$C$};
			\draw (D) node [below left] {$D$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	$ABCD$ est un rectangle de longueur $DC = 10\ \mathrm{m}$ et de largeur $AD = 5\ \mathrm{m}$.
	
	Les points $D$, $C$ et $E$ sont alignés.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le volume de la dalle est égale à $9,825\ \mathrm{m}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que l’aire du polygone $ABED$ est $65,5\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}(ABED)$ du polygone $ABED$.}
			
			Puisque la dalle est un prisme droit dont $ABED$ est une bas son volume est le produit de $\mathscr{A}(ABED)$ par la hauteur $15\ \mathrm{cm}=0,15\ \mathrm{m}$ et donc 
			\begin{align*}
				9,825\ \mathrm{m}^3 &= \mathscr{A}(ABED) \times 0,15\ \mathrm{m}\\
				\intertext{Une équation du premier degré dont l'inconnue est l'aire:}
				\frac{9,825\ \mathrm{m}^3}{\color{WildStrawberry} 0,15\ \mathrm{m}} &= \frac{\mathscr{A}(ABED) \times 0,15\ \mathrm{m}}{\color{WildStrawberry} 0,15\ \mathrm{m}}\\
				\frac{9,825}{0,15}\ \frac{ \mathrm{m}^3}{\mathrm{m}} &= \mathscr{A}(ABED)
			\end{align*}
			
			Nous obtenons bien
			
			\begin{conclusion}
				
				$65,5\ \mathrm{m}^2 = \mathscr{A}(ABED)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la longueur du segment $[CE]$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $CE$.}
			
			{\color{orange}Une situation de plus en plus rare dans tous les concours et examens, il faut ici connaître des formules géométriques.}
			
			Le polygone est formé d'un rectangle $ABCD$ dont l'aire est $(10\ \mathrm{m}) \times (5 \ \mathrm{m})=10 \times 5\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{m}=50\ \mathrm{m}^2$ et d'un triangle rectangle en $C$ dont l'aire est $\frac{1}{2} \times CE\times BC= \frac{1}{2} \times CE \times (5\ \mathrm{m}=CE \times (2,5\ \mathrm{m})$ donc
			\begin{align*}
				65,5\ \mathrm{m}^2 &= 50\ \mathrm{m}^2+CE \times (2,5\ \mathrm{m})\\
				65,5\ \mathrm{m}^2 {\color{WildStrawberry}-50\ \mathrm{m}^2} &= 50\ \mathrm{m}^2+CE \times (2,5\ \mathrm{m}) {\color{WildStrawberry}-50\ \mathrm{m}^2}\\
				15,5\ \mathrm{m}^2 &= CE \times (2,5\ \mathrm{m})\\
				\frac{15,5\ \mathrm{m}^2}{\color{WildStrawberry}2,5\ \mathrm{m}} &= \frac{CE \times (2,5\ \mathrm{m})}{\color{WildStrawberry}2,5\ \mathrm{m}}\\
				\frac{15,5}{2,5}\ \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{m}} &= CE
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$CE=6,2\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Claire se fait livrer $12\ \mathrm{m}^3$ de béton. Elle coule la dalle de sa terrasse et décide d’utiliser le béton restant pour couler la dalle de sa cabane de jardin. Cette dalle a la forme d’un pavé droit de longueur $5\ \mathrm{m}$ et de largeur $3\ \mathrm{m}$.
		
		Peut-elle obtenir une dalle dont la hauteur est $15\ \mathrm{cm}$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_p$ de la dalle haute de $15\ \mathrm{cm}$.}
		
		Puisque la dalle a la forme d’un pavé droit de longueur $5\ \mathrm{m}$, de largeur $3\ \mathrm{m}$ et de hauteur $15\ \mathrm{cm}=0,15\ \mathrm{m}$, son volume (en coulant tout le béton) vérifie
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_p &= (5\ \mathrm{m}) \times (3\ \mathrm{m}) \times (0,15\ \mathrm{m})\\
			&= 5 \times 3 \times 0,15\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}\\
			&= 2,25\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		Le volume de béton restant est $12\ \mathrm{m}^3-9,825\ \mathrm{m}^3=2,175\ \mathrm{m}^3$ et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			il est impossible d'obtenir une dalle de hauteur $15\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Il est possible de raisonner autrement en résolvant une équation ou une inéquation en cherchant la hauteur $h$ obtenue en coulant le reste de béton.}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	L’entreprise TOUBETON vend le mètre cube de béton au prix de $130\ \text{\euro}$ HT (Hors Taxe). Elle facture $58\ \text{\euro}$ les frais de livraison par camion-toupie. Un camion-toupie a une contenance maximale de $7\ \mathrm{m}^3$.
	
	Afin d’établir les factures, l’entreprise utilise la feuille de calcul d’un tableur ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_06_tableur.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le taux de la TVA sur le béton est de $20\ \%$. Déterminer une formule à saisir en \texttt{C}2 pour
obtenir le prix TTC qui s’actualise automatiquement en cas de changement du prix HT.
		
		\emph{On rappelle que le prix TTC s’obtient en ajoutant le montant de la TVA au prix HT.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la formule en $\texttt{C}2$.}
		
		Le taux de TVA est de $20\ \%$ donc le montant de la TVA est: $\frac{20}{100} \times \texttt{B}2$. Reste à lui ajouter le prix HT:
		
		\begin{conclusion}
			
			$=20/100*\texttt{B}2+\texttt{B}2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip{\color{orange}Nous aurions pu utiliser un coefficient multiplicateur: \[ =1.2*\texttt{B}2\] mais l'énoncé n'y incite pas.}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer une formule saisie dans la cellule E2 puis recopiée vers le bas pour obtenir le tableau complété par le prix total.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		
		\begin{conclusion}
			
			$=\texttt{A}2*\texttt{C}2+\texttt{D}2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour une livraison de $3\ \mathrm{m}^3$ de béton, que représentent, en pourcentage, les frais de livraison par rapport au prix total? Donner l’arrondi à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la proportion $p_l$ du prix de livraison par rapport au prix total.}
		
		{\color{orange}Pour calculer cette proportion il faut faire le rapport de la quantité de la partie et la quantité du tout.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Les frais de livraison sont de $58\ \text{\euro}$.
			
			\item Pour $3\ \mathrm{m}^3$ le prix total est de $526\ \text{\euro}$.
			
		\end{enumerate}
		
		Donc
		\begin{align*}
			p_l &= \frac{58\ \text{\euro}}{526\ \text{\euro}}
			&\approx 0,1102 \text{ en tronquant}
			&\approx 0,11 \text{ en arrondissant au centième}
		\end{align*}
		
		{\color{orange}Pour l'exprimer en pourcentage il reste à multiplier par $100$.}
		
		\begin{conclusion}
			
			$p_l=11\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		On rappelle que la contenance maximale du camion-toupie transportant le béton est de $7\ \mathrm{m}^3$. Quel sera le prix total payé par Claire pour se faire livrer les $12\ \mathrm{m}^3$ de béton?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le prix total.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Pour obtenir $12\ \mathrm{m}^3$ il faudra deux camions. Le premier sera complètement rempli ($7\ \mathrm{m}^3$. Le deuxième contiendra $12\ \mathrm{m}^3- 7\mathrm{m}^3=5\ \mathrm{m}^3$.
			
			\item Le prix en euro pour le premier camion (celui complètement rempli) est: $7 \times 156+58=1150$.
			
			\item Le prix en euro pour le second camion (celui contenant $5\ \mathrm{m}^3$) est: $5 \times 156+58=838$.
			
			\item Nous en déduisons le coût total en euro: $1150+858$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le coût total pour $12\ \mathrm{m}^3$ est $\np{1988}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans cette partie, les pourcentages seront arrondis à l’unité si nécessaire.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour terminer ses travaux de maçonnerie, Claire achète un mélange composé de $120\ \mathrm{kg}$ de sable et de $180\ \mathrm{kg}$ de gravier. Quelle est la proportion de sable dans ce mélange?
		
		Exprimer le résultat en pourcentage.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la proportion $p_s$ de sable dans le mélange.}
		\begin{align*}
			p_s &= \frac{120 \ \mathrm{kg}}{120\ \mathrm{kg} + 180\ \mathrm{kg}}\\
			&= 0,4
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$p_s=40\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La granulosité souhaitée par Claire impose $55\ \%$ de sable dans le mélange. Quelle quantité de sable doit-elle ajouter?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le mot \og granulosité \fg{} n'existe apparemment pas. Il faut lui substituer le mot granularité.}
		
		\medskip
		Notons $x$ la quantité de sable à ajouter.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $x$.}
		
		On souhaite avoir une proportion de sable $55\ \%$ dans le mélange autrement dit, en exprimant toutes les grandeurs en kilogramme:
		\begin{align*}
			\frac{x+120}{x+120+180} &= \frac{55}{100}\\
			\frac{x+120}{x+300} &= 0,55\\
			\intertext{\color{orange}Du fait du $x$ au dénominateur cette équation n'est pas du premier degré. Mais nous pouvons nous ramener à une équation du premier degré en faisant, par exemple, un produit en croix. Je choisis de procéder autrement mais la démarche est équivalente.}
			\frac{x+120}{x+300} {\color{WildStrawberry} \times (x+300)}&= 0,55 {\color{WildStrawberry} \times (x+300)}\\
			x+120 &= 0,55 \times x + 0,55 \times 300\\
			x+120 &= 0,55x+165\\
			x+120 {\color{WildStrawberry}-0,55x} &= 0,55x+165 {\color{WildStrawberry}-0,55x}\\
			(1-0,55)x+120 &= 165\\
			0,45x+120 {\color{WildStrawberry}-120} &= 165 {\color{WildStrawberry}-120}\\
			0,45 x &= 45\\
			\frac{0,45 x}{\color{WildStrawberry}0,45} &= \frac{45}{\color{WildStrawberry}0,45}\\
			x &= 100
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut ajouter $100\ \mathrm{kg}$ de sable.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Une fois la réponse trouvée (par n'importe quel moyen, en tâtonnant, à la calculatrice) on peut donner une réponse se contentant de vérifier que cela fonctionne en ajoutant $100\ \mathrm{kg}$ de sable.}
		
	\end{correction}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour obtenir un béton de qualité, il est conseillé d’ajouter $250\ \mathrm{kg}$ de ciment par tonne de
		mélange (sable et gravier).
		
		Le ciment est vendu par sacs de $35\ \mathrm{kg}$, au prix de $7,75\ \text{\euro}$ le sac.
		
		Quel sera le prix payé par Claire pour son ciment?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Les parties semblent indépendantes et cette question est donc à lier avec la question précédente. Il est rare qu'une question dépende d'un résultat précédent qui n'est pas donné dans l'énoncé.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons le prix $p_c$ payer pour le ciment.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item Le mélange a une masse de $120\ \mathrm{kg}+180\ \mathrm{kg} + 100\ \mathrm{kg}=400\ \mathrm{kg}$.
			
			\item Par proportionnalité on en déduit la quantité de ciment nécessaire pour cette masse:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|}
					\hline
					Ciment (en $\mathrm{kg}$) & $250$ & $\color{WildStrawberry}\frac{250}{1000} \times 400=100$
					\\
					\hline
					Mélange (en $\mathrm{kg}$) & $1000$ & $400$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\item Puisque $\frac{100\ \mathrm{kg}}{35\ \mathrm{kg}}\approx 2,8$ il faudra $3$ sacs de ciments pour avoir suffisamment de ciment.
			
			\item Chaque sac coûtant $7,75\ \text{\euro}$,
			\begin{align*}
				p_c &= 3 \times 7,75\ \text{\euro}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$p_c=23,25\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Dans le cadre d’un travail en géométrie dans une classe de CM2, une
enseignante présente le pavage ci-dessous que l’on trouve dans quelques
rues de la ville du Caire.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_07_pavage.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Étude du pavage.}
		
		\medskip
		L’hexagone de la \emph{figure 1} représente le motif de base du pavage. Il est construit à partir du pentagone $ABCDE$ noté $M$.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_08_figure_1.png}
		\end{center}
		
		Les pentagones notés $M$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ sont superposables.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par quelle transformation peut-on obtenir le motif $M_3$ à partir du motif élémentaire $M$? En préciser les caractéristiques.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la transformation transformant $M$ en $M_3$.}
			
			{\color{orange}Les transformations à disposition du candidat sont: symétrie axiale, translation, rotation, homothétie, symétrie centrale (encore que cette dernière soit un cas particulier de rotation).}
			
			Deux possibilités
			
			\begin{conclusion}
				
				$M_3$ est l'image de $M$ par la symétrie axiale d'axe $(AB)$,
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			et
			
			\begin{conclusion}
				
				$M_3$ et l'image de $M$ par la symétrie de centrale de centre le milieu de $[AB]$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Une autre formulation de cette dernière réponse $M_3$ est l'image de $M$ par la rotation de centre le milieu de $[AB]$ et d'angle $180\degres$.
			
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par quelle transformation peut-on obtenir le motif $M_1$ à partir du motif élémentaire $M$? En préciser les caractéristiques.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la transformation qui transforme $M$ en $M_1$.}
			
			{\color{orange}On cherche une transformation dans la liste précédente. Le segment commun $[BC]$ aux deux pentagones suggère une symétrie axiale ou un rotation. La symétrie est rapidement écartée en considérant les angles.}
			
			\begin{conclusion}
				
				La transformation transformant $M$ en $M_1$ est la rotation de centre $C$ et de rayon $90\degres$ (dans le sens direct donc).
			
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Calcul des angles du pentagone.}
		
		\medskip
		Les cinq côtés du pentagone $ABCDE$ (\emph{figure 2}) ont la même longueur. Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{AED}$ sont droits.
		
		On donne $AB = 5\ \mathrm{cm}$.
		
		%\begin{notabene}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\demigrandelongueur{5*sin(41/2+45)};
				\def\demipetitelongueur{2.5};
				\def\petitehauteur{5*sin(180-(180-41)/2-45)};
				\def\grandehauteur{5*cos(41/2+45)+\petitehauteur};
				\coordinate (A) at (0,{\grandehauteur});
				\coordinate (E) at ({-\demigrandelongueur},{\petitehauteur});
				\coordinate (B) at ({\demigrandelongueur},{\petitehauteur});
				\coordinate (D) at ({-\demipetitelongueur},0);
				\coordinate (C) at ({\demipetitelongueur},0);
				\draw (A) -- (B) node[midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw (B) -- (C) node[midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw (C) -- (D) node[midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw (D) -- (E) node[midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw (E) -- (A) node[midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw (A) node[above] {$A$};
				\draw (E) node[left] {$E$};
				\draw (B) node[right] {$B$};
				\draw (C) node[below right] {$C$};
				\draw (D) node[below left] {$D$};
				\def\xangledroit{-\demigrandelongueur};
				\def\yangledroit{\petitehauteur};
				\def\longueurangledroit{0.5};
				\draw[fill=green!30,rotate around={{-180+(180-41)/2+45}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
				\draw (0,-1) node {\emph{Figure 2.}};
				\def\xangledroit{\demigrandelongueur};
				\def\yangledroit{\petitehauteur};
				\def\longueurangledroit{0.5};
				\draw[fill=green!30,rotate around={{-180-(90-180+(180-41)/2+45-90)-90}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		%\end{notabene}
		
		\begin{notabene}
			\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2024_maths_externe_sujet_4_09_figure_2.png}
			
			\emph{Figure 2.}
			\end{center}
		\end{notabene}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{CAB}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons une mesure de $\widehat{CAB}$.}
			
			$ABC$ est isocèle rectangle en $B$, or la somme des angles d'un triangle vaut $180\degres$ donc une mesure de $\widehat{CAB}$ est $(180-90)/2$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\widehat{CAB} = 45\degres$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On admet que $\widehat{CAD}=41\degres$. Déterminer la mesure des cinq angles du pentagone $ABCDE$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la mesure des angles du pentagone.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Par construction
				
				\begin{conclusion}
					
					$\widehat{DEA} = \widehat{ABC}=90\degres$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item En raisonnant comme à la question précédente: $\color{red}\widehat{ADE}=\widehat{EAD}= \widehat{CAB}=\widehat{BCA}=45\degres$.
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\def\demigrandelongueur{5*sin(41/2+45)};
						\def\demipetitelongueur{2.5};
						\def\petitehauteur{5*sin(180-(180-41)/2-45)};
						\def\grandehauteur{5*cos(41/2+45)+\petitehauteur};
						\coordinate (A) at (0,{\grandehauteur});
						\coordinate (E) at ({-\demigrandelongueur},{\petitehauteur});
						\coordinate (B) at ({\demigrandelongueur},{\petitehauteur});
						\coordinate (D) at ({-\demipetitelongueur},0);
						\coordinate (C) at ({\demipetitelongueur},0);
						\draw (A) -- (B) node[midway,sloped] {$\parallel$};
						\draw (B) -- (C) node[midway,sloped] {$\parallel$};
						\draw (C) -- (D) node[midway,sloped] {$\parallel$};
						\draw (D) -- (E) node[midway,sloped] {$\parallel$};
						\draw (E) -- (A) node[midway,sloped] {$\parallel$};
						\draw (A) node[above] {$A$};
						\draw (E) node[left] {$E$};
						\draw (B) node[right] {$B$};
						\draw (C) node[below right] {$C$};
						\draw (D) node[below left] {$D$};
						\def\xangledroit{-\demigrandelongueur};
						\def\yangledroit{\petitehauteur};
						\def\longueurangledroit{0.5};
						\draw[fill=green!30,rotate around={{-180+(180-41)/2+45}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
						\draw (0,-1) node {\emph{Figure 2.}};
						\def\xangledroit{\demigrandelongueur};
						\def\yangledroit{\petitehauteur};
						\def\longueurangledroit{0.5};
						\draw[fill=green!30,rotate around={{-180-(90-180+(180-41)/2+45-90)-90}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
						\def\longueurarcdecercle{1};
						\draw[red,thick][samples=100,domain= {(180-41)/2}:{(180-41)/2+45}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)-\demipetitelongueur},{\longueurarcdecercle*sin(\x)});
						\draw[red,thick][samples=100,domain= {180-(180-41)/2-45}:{180-(180-41)/2}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)+\demipetitelongueur},{\longueurarcdecercle*sin(\x)});
						\draw (A) -- (D);
						\draw (A) -- (C);
						%\draw[blue,thick][samples=100,domain= {-90-41/2}:{-90+41/2}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)},{\longueurarcdecercle*sin(\x)+\grandehauteur});
						\draw[red,thick][samples=100,domain= {-90-41/2-45}:{-90-41/2}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)},{\longueurarcdecercle*sin(\x)+\grandehauteur});
						\draw[red,thick][samples=100,domain= {-90+41/2}:{-90+41/2+45}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)},{\longueurarcdecercle*sin(\x)+\grandehauteur});
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				D'après l'énoncé $\widehat{DAC}=41\degres$ et $ADC$ est isocèle en $A$ (nous pouvons considérer que c'est un implicite lié à la symétrie du pentagone) donc, la somme des angles du triangle valant $180\degres$: $\color{Green}\widehat{CAD} =\widehat{ACD} =(180-41)/2=69,5\degres$.
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}
						\def\demigrandelongueur{5*sin(41/2+45)};
						\def\demipetitelongueur{2.5};
						\def\petitehauteur{5*sin(180-(180-41)/2-45)};
						\def\grandehauteur{5*cos(41/2+45)+\petitehauteur};
						\coordinate (A) at (0,{\grandehauteur});
						\coordinate (E) at ({-\demigrandelongueur},{\petitehauteur});
						\coordinate (B) at ({\demigrandelongueur},{\petitehauteur});
						\coordinate (D) at ({-\demipetitelongueur},0);
						\coordinate (C) at ({\demipetitelongueur},0);
						\draw (A) -- (B) node[midway,sloped] {$\parallel$};
						\draw (B) -- (C) node[midway,sloped] {$\parallel$};
						\draw (C) -- (D) node[midway,sloped] {$\parallel$};
						\draw (D) -- (E) node[midway,sloped] {$\parallel$};
						\draw (E) -- (A) node[midway,sloped] {$\parallel$};
						\draw (A) node[above] {$A$};
						\draw (E) node[left] {$E$};
						\draw (B) node[right] {$B$};
						\draw (C) node[below right] {$C$};
						\draw (D) node[below left] {$D$};
						\def\xangledroit{-\demigrandelongueur};
						\def\yangledroit{\petitehauteur};
						\def\longueurangledroit{0.5};
						\draw[fill=green!30,rotate around={{-180+(180-41)/2+45}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
						\draw (0,-1) node {\emph{Figure 2.}};
						\def\xangledroit{\demigrandelongueur};
						\def\yangledroit{\petitehauteur};
						\def\longueurangledroit{0.5};
						\draw[fill=green!30,rotate around={{-180-(90-180+(180-41)/2+45-90)-90}:({\xangledroit},{\yangledroit})}] ({\xangledroit},{\yangledroit}) rectangle ({\xangledroit+\longueurangledroit},{\yangledroit+\longueurangledroit});
						\def\longueurarcdecercle{1};
						\draw[red,thick][samples=100,domain= {(180-41)/2}:{(180-41)/2+45}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)-\demipetitelongueur},{\longueurarcdecercle*sin(\x)});
						\draw[red,thick][samples=100,domain= {180-(180-41)/2-45}:{180-(180-41)/2}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)+\demipetitelongueur},{\longueurarcdecercle*sin(\x)});
						\draw (A) -- (D) node[midway] {$\circ$};
						\draw (A) -- (C) node[midway] {$\circ$};
						\draw[blue,thick][samples=100,domain= {-90-41/2}:{-90+41/2}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)},{\longueurarcdecercle*sin(\x)+\grandehauteur});
						\draw[red,thick][samples=100,domain= {-90-41/2-45}:{-90-41/2}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)},{\longueurarcdecercle*sin(\x)+\grandehauteur});
						\draw[red,thick][samples=100,domain= {-90+41/2}:{-90+41/2+45}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)},{\longueurarcdecercle*sin(\x)+\grandehauteur});
						\draw[Green,thick][samples=100,domain= {0}:{69.5}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)-\demipetitelongueur},{\longueurarcdecercle*sin(\x)});
						\draw[Green,thick][samples=100,domain= {180-69.5}:{180}] plot({\longueurarcdecercle*cos(\x)+\demipetitelongueur},{\longueurarcdecercle*sin(\x)});
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				\item Nous déduisons de ce qui précède, {\color{orange}et d'après la relation de Chasles}: $\widehat{CDE} =\widehat{CDA} + \widehat{ADE}= 69,5\degres +45\degres$ donc
				
				\begin{conclusion}
					
					$\widehat{CDE}=114,5\degres$ et de même $\widehat{BCD}=114,5\degres$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Par un procédé similaire: $\widehat{EAB} = \widehat{EAD}+\widehat{DAC} + \widehat{CAB}= 45\degres+ 41\degres + 45\degres$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$\widehat{EAB} =131\degres$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la somme des angles du pentagone $ABCDE$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En sommant les mesures d'angles:
			\begin{align*}
				\widehat{DEA} + \widehat{ABC} + \widehat{CDE} + \widehat{BCD} +\widehat{EAB} &= 2 \times 90\degres +2 \times 114,5\degres + 131\degres
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La somme des angles du pentagone est donc $540\degres$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la somme des angles d’un pentagone simple est égale à $540\degres$.
			
			\emph{On appelle pentagone simple un pentagone qui n’est pas un polygone croisé.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Tout pentagone non croisé et convexe peut être découpé en trois triangles et la somme des angles des triangles égale la somme des angles du pentagone: $3 \times 180\degres=540\degres$.
			
			{\color{orange}Je n'ai pas essayé pour un pentagone concave. Peut-être également possible.}
			
			\begin{conclusion}
				
				La somme des mesures des angles d'un pentagone convexe est $540\degres$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}


\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{8.5};
		\def\yZ{7};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
		\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-2};
		\def\xcoinhautdroit{4};
		\def\ycoinbasgauche{-4};
		\def\ycoinhautdroit{4};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		\draw (I) node[below left] {$I$};
		\draw (I) node {$\bullet$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		\draw (J) node[below left] {$J$};
		\draw (J) node {$\bullet$};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
		%Points
		\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
		%Tangentes horizontales
		\def\longueurtangente{0.7};
		\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
		%Ligne définie par des points
		\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\def\longueur{5};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{2};
		\def\angledefuite{30};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (5,-1);
	\coordinate (F) at (6,0);
	\coordinate (C) at (7,1);
	\coordinate (D) at (2,2);
	\coordinate (O) at (3.5,0.5);
	\coordinate (S) at (3.5,6);
	\coordinate (J) at (3.5,3.5);
	\coordinate (K) at (3,4.666);
	\draw (A) node {$\bullet$};
	\draw (B)node {$\bullet$};
	\draw (F)node {$\bullet$};
	\draw (C)node {$\bullet$};
	\draw (D)node {$\bullet$};
	\draw (O)node {$\bullet$};
	\draw (S)node {$\bullet$};
	\draw (J)node {$\bullet$};
	\draw (K)node {$\bullet$};
	\draw (A)node[below]{$A$};
	\draw (B)node[below right]{$B$};
	\draw (F)node[right]{$F$};
	\draw (C)node[right]{$C$};
	\draw (D)node[above right]{$D$};
	\draw (O)node[above right]{$O$};
	\draw (S)node[above]{$S$};
	\draw (J)node[above right]{$J$};
	\draw (K)node[below right]{$K$};
	\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
	\draw[blue, thick](A)--(S);
	\draw[blue, thick](B)--(S);
	\draw[blue, thick](C)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
	\draw[blue, thick](F)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
	\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
	\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
	\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{2};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{3};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
			nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
			nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{3};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{2};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Nombre de nœuds du troisième niveau
		\def\noC{12};
		%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
		\def\noCe{2};
		%Écarts entre nœuds du troisième niveau
		\def\xC{2+\xB};
		\def\yC{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
		\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
		}{
			\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
			\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
			\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Création des nœuds
		\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
		\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
		\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
		\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
		%Branches entre les nœuds
		\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
		\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
		\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
	\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
	\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
	\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
			def fonction(variable1):
			variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
	sudo apt update
	sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (AA) at (-9,6.5);
		\node (AA) at (AA) {};
		\coordinate (BB) at (9,6.5);
		\node (BB) at (BB) {};
		\coordinate (CC) at (9,-6.5);
		\node (CC) at (CC) {};
		\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
		\node (DD) at (DD) {};
		\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}