%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2024 groupe 3.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2024 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2024_maths/crpe_2024_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2024_maths/crpe_2024_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Le sujet est composé de six exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cet exercice comporte deux parties indépendantes.}
	
	\emph{On donnera les résultats sous la forme de fraction irréductible.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Un sac opaque contient trois cartes indiscernables au toucher numérotées $3$, $4$ et $5$.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2024_maths_externe_sujet_3_01_cartes.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite former des nombres de trois chiffres à l’aide de ces cartes.
		
		L’expérience consiste à tirer successivement trois cartes sans les remettre dans le sac
après chaque tirage. Le chiffre des centaines correspond à la première carte tirée, le chiffre
des dizaines à la deuxième et le chiffre des unités à la dernière.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Énoncer tous les résultats possibles lorsque l’on réalise cette expérience.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'univers de cette expérience aléatoire.}
			
			{\color{orange}De façon à être exhaustif schématisons avec un arbre probabiliste.}
			
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{3};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{6};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{2};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Nombre de nœuds du troisième niveau
					\def\noC{6};
					%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
					\def\noCe{1};
					%Écarts entre nœuds du troisième niveau
					\def\xC{2+\xB};
					\def\yC{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$3$/ /\posA,
						nA2/A2/2/$4$/ /\posA,
						nA3/A3/3/$5$/ /\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$4$/ /\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$5$/ /\posB,
						nA2/nB3/B3/3/$3$/ /\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$5$/ /\posB,
						nA3/nB5/B5/5/$3$/ /\posA,
						nA3/nB6/B6/6/$4$/ /\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
					\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nB1/nC1/C1/1/$5$/ /\posA,
						nB2/nC2/C2/2/$4$/ /\posA,
						nB3/nC3/C3/3/$5$/ /\posA,
						nB4/nC4/C4/4/$3$/ /\posA,
						nB5/nC5/C5/5/$4$/ /\posA,
						nB6/nC6/C6/6/$3$/ /\posA
					}{
						\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
						\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
						\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les résultats possibles forment l'univers $\Omega=\{ 345; 354; 435; 453; 534; 543 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $P$ l'événement \og obtenir un nombre pair\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(P)$.}
			
			$P= \{ 354; 534 \}$.
			
			La situation (sac opaque et cartes indiscernables) peut être modélisée en utilisant une équiprobabilité. Or $P$ est réalisé par $2$ issues et l'univers en contient $6$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(P) &= \frac{2}{6}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(P)=\frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de ne pas obtenir un multiple de 5?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $N$ l'événement \og ne pas obtenir un multiple de $5$\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(N)$.}
			
			$N= \{ 354; 453; 534; 543 \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $N$ est réalisé par $4$ issues et l'univers en contient $6$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(N) &= \frac{4}{6}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(N)=\frac{2}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{orange}La formulation de l'événement peut inciter à considérer l'événement contraire $\overline{N}$ mais le bénéfice n'est pas évident.}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre divisible par 3?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $D$ l'événement \og obtenir un nombre divisible par $3$\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(D)$.}
			
			Un nombre est divisible par trois si la somme de ses chiffres est un nombre divisible par trois. Or $3+4+5=12$ est divisible par trois donc $D=\Omega$ (événement certain) et donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(D)=1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite désormais former un nombre à deux chiffres. On tire au hasard une première
carte pour obtenir le chiffre des dizaines. On remet cette carte dans le sac et on tire au
hasard une seconde carte pour obtenir le chiffre des unités.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre dont les deux chiffres sont identiques?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Modélisons l'expérience en commençant par schématiser avec un arbre probabiliste.
			
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{3};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{9};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{3};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$3$/ /\posA,
						nA2/A2/2/$4$/ /\posB,
						nA3/A3/3/$5$/ /\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$3$/ /\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$4$/ /\posB,
						nA1/nB3/B3/3/$5$/ /\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$3$/ /\posB,
						nA2/nB5/B5/5/$4$/ /\posA,
						nA2/nB6/B6/6/$5$/ /\posB,
						nA3/nB7/B7/7/$3$/ /\posB,
						nA3/nB8/B8/8/$4$/ /\posA,
						nA3/nB9/B9/9/$5$/ /\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Ainsi $\Omega'= \{ 33;34;35;43;44;45;52;54;55\}$ et enfin il est raisonnable de considérer que toutes les issues sont équiprobables.
			
			}
			
			\medskip
			Notons $I$ l'événement \og obtenir un nombre dont les deux chiffres sont identiques\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(I)$.}
			
			$I=\{ 33; 44; 55 \}$.
			
			L'univers $\Omega'$ est muni d'une équiprobabilité, $\Omega'$ contient $9$ issues et $I$ est réalisé par $3$ issues donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(I) &= \frac{3}{9}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(I)=\frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d’obtenir un multiple de $9$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $M$ l'événement \og obtenir un multiple de $9$\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(M)$.}
			
			$M=\{ 45; 54 \}$.
			
			L'univers $\Omega'$ est muni d'une équiprobabilité, $\Omega'$ contient $9$ issues et $M$ est réalisé par $2$ issues donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(M)=\frac{2}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à $40$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			Notons $A$ l'événement \og obtenir un nombre inférieur ou égale à $40$\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			$A=\{ 33; 34; 35 \}$.
			
			L'univers $\Omega'$ est muni d'une équiprobabilité, $\Omega'$ contient $9$ issues et $A$ est réalisé par $3$ issues donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \frac{3}{9}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)=\frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Un sac opaque contient des boules bleues, des boules rouges et des boules jaunes indiscernables au toucher. Il y a deux fois moins de boules jaunes que de boules rouges.
	
	On sait que la proportion des boules rouges dans le sac est de $\dfrac{1}{4}$.
	
	On tire une boule au hasard.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité que la boule tirée soit de couleur jaune?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la probabilité de $J$: \og obtenir une boule jaune\fg{}.}
		
		{\color{orange}Dans des situations d'équiprobabilité proportion et probabilité se confondent. Il faut donc déterminer la proportion des boules.}
		
		En notant $p_J$ et $p_R$ les proportions respectivement de boules jaunes et rouges on a
		
		\begin{align*}
			p_J &= \frac{1}{2}p_R\\
			&= \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\\
			&= \frac{1}{8}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(J)=\frac{1}{8}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité que la boule tirée soit de couleur bleue?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la probabilité de l'événement $B$: \og obtenir une boule bleue\fg{}.}
		
		Notons $p_B$ la proportion de boules bleues dans l'urne. On a: $\mathbb{P}(B)=p_B$ du fait de l'équiprobabilité.
		
		Or nous savons que la somme des proportions des différentes couleurs fait $1$ on a donc successivement
		
		\begin{align*}
			p_J+{\color{WildStrawberry}p_R}+p_B &= 1\\
			p_J+ {\color{WildStrawberry}2p_J}+p_B &= 1\\
			\frac{1}{8}+ 2 \times \frac{1}{8}+p_B &= 1\\
			\frac{3}{8}+p_B &= 1\\
			\frac{3}{8}+ p_B{\color{orange}-\frac{3}{8}} &= 1 {\color{orange}-\frac{3}{8}}\\
			p_B &= \frac{5}{8}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(B)=\frac{5}{8}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la composition du sac sachant qu’il y a $7$ boules jaunes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre de boules de chaque couleur.}
		
		Complétons le tableau suivant par proportionnalité.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				Couleur & Jaune & Rouge & Bleu
				\\
				\hline
				Proportion & $\frac{1}{8}$ & $\frac{1}{4}$ & $\frac{5}{8}$
				\\
				\hline
				Nombre & $7$ & $2 \times 7=14$ & $5 \times 7=35$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le sac contient $7$ boules jaunes, $14$ rouges et $35$ bleues.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Des équipes enseignantes souhaitent adhérer à un site d’éditeur pour télécharger des vidéos pédagogiques de vulgarisation scientifique. Deux offres F et G sont envisageables.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\textbf{Offre F.}
			
			$0,70\ \text{\euro}$ par téléchargement de vidéo.
			
			\medskip
			\textbf{Offre G.}
			
			Abonnement forfaitaire de $13\ \text{\euro}$ auquel s’ajoute un montant fixe par téléchargement.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’équipe enseignante d’une première école opte pour l’offre F.
		
		Déterminer l’expression de la fonction $f$ qui, au nombre de vidéos téléchargées, associe le coût en euros.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $f$.}
		
		Par proportionnalité,
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $x$ désigne le nombre de vidéos téléchargées alors $f(x)=0,70x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		L’équipe enseignante d’une seconde école opte pour l’offre G. Les enseignants ont téléchargé $142$ vidéos pour un montant de $98,20\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le montant fixe par téléchargement avec l’offre G.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le montant fixe $a$ par téléchargement.}
			
			On a:
			
			\begin{align*}
				142 \times a +13 &= 98,20\\
				\intertext{Équation du premier degré qui équivaut successivement à:}
				142 \times a +13 {\color{orange}-13} &= 98,20 {\color{orange}-13}\\
				142a &= 85,20\\
				\frac{142a}{\color{orange}142} &= \frac{85,20}{\color{orange}142} \\
				a &=6
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Chaque téléchargement coûte $0,60\ \text{\euro}$ avec l'offre G.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On note $g$ la fonction qui, au nombre de vidéos téléchargées, associe le coût en euros avec l’offre G. On admet que l’expression de $g$ est donnée par $g(x)=\dfrac{3}{5}x+13$.
			
			Calculer $g(4)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $g(4)$.}
			
			\begin{align*}
				g(4) &= \frac{3}{5} \times 4+13
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$g(4)=15,4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dans le contexte de l’exercice, que représente l’image de 10 par la fonction $g$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$g(10)$ est le coût du téléchargement de $10$ vidéos avec l'offre G.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’équipe enseignante d’une troisième école a opté pour l’offre G et a payé $95,20\ \text{\euro}$. Combien de vidéos a-t-elle téléchargées?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre $n_G$ de vidéos téléchargées.}
			
			D'après l'énoncé:
			
			\begin{align*}
				g(n_G) &= 95,20\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à}
				\frac{3}{5} n_G+13 &= 95,20\\
				\frac{3}{5}n_G+13 {\color{orange}-13} &= 95,20 {\color{orange}-13}\\
				\frac{3}{5}n_G &= 82,20\\
				{\color{orange}\frac{5}{3} \times } \frac{3}{5}n_G &= {\color{orange}\frac{5}{3} \times } 82,20
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$n_G=137$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À partir de combien de vidéos l’offre G devient-elle plus intéressante que l’offre F ? Justifier votre réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Dire que l'offre G est plus intéressante que l'offre F c'est dire que $g(n)<f(n)$.
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons l'inéquation $g(n)<f(n)$.}
		
		\begin{align*}
			g(n) &< f(n)\\
			\intertext{équivaut à}
			\frac{3}{5}x+13 &< 0,7n\\
			\intertext{\color{orange}Nous reconnaissons une inéquation du premier degré sa résolution consiste donc à isoler l'inconnue $n$}
			\frac{3}{5}n+13 {\color{WildStrawberry}-0,7n} &< 0,7n {\color{WildStrawberry}-0,7n}\\
			\left( \frac{3}{5}-0,7 \right)n+13 &<0\\
			\intertext{\color{orange}Les calculatrices gèrent très bien les fractions:}
			-0,1n +13 &<0\\
			-0,1n+13 {\color{WildStrawberry}-13} &{\color{orange}<} 0 {\color{WildStrawberry}-13}\\
			-0,1n &<-13\\
			\intertext{Puisque $-0,1$ est strictement négatif:}
			\frac{-0,1n}{\color{WildStrawberry}-0,1} &{\color{orange}>} \frac{-13}{\color{WildStrawberry}-0,1}\\
			n &>130
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'offre G devient plus intéressant que l'offre $F$ à partir de la cent-trente-et-unième vidéo.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La feuille de tableur ci-après détermine le montant de la dépense en fonction du nombre de vidéos téléchargées selon l’offre choisie.
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			& \hfill \texttt{A} \hfill ~ & \texttt{B} & \texttt{C} & \texttt{D} & \texttt{E} & \texttt{F}
			\\
			\hline
			1 & Nombre de vidéos téléchargées & $50$ & $100$ & $150$ & $200$ & $250$
			\\
			\hline
			2 & Dépense en \euro{} avec l'offre F & $43$ & $73$ & $103$ & $133$ & $163$
			\\
			\hline
			3 & Dépense en \euro{} avec l'offre G &&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule peut être saisie dans la cellule \texttt{B}2 et étirée sur toute la ligne pour obtenir le montant de la dépense avec l’offre F?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\texttt{A}2*0,7$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Un tarif promotionnel permet de bénéficier d’une réduction de $20\ \%$ sur le montant total avec l’offre G. Quelle formule peut être saisie dans la cellule \texttt{B}3 et étirée sur toute la ligne pour obtenir le montant de la dépense avec l’offre G en tenant compte de la réduction?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Dire qu'il y a une baisse de $20\ \%$ c'est dire que le tarif est multiplié par le coefficient multiplicateur
			
			\begin{align*}
				CM_1 &= 1+ \frac{t}{100}\\
				&= 1+\frac{-20}{100}\\
				&= 0,8
			\end{align*}
			
			On en déduit:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=(3/5*\texttt{B}2+13)*0,8$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
	
	Une réponse sans justification ne sera pas prise en considération lors de la correction.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Toute fraction est un nombre décimal.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Donnons un contre-exemple. $\frac{1}{3}$ est une fraction mais pas un nombre décimal.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tout nombre entier relatif est un nombre décimal.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $a$ un nombre entier relatif. $a=\frac{a}{10^0}$ donc peut s'écrire comme le quotient d'un entier et d'une puissance de $10$ donc c'est un décimal.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le carré d’un nombre impair est impair.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $n$ un nombre entier impair. Puisque $n$ est impair, il existe un nombre entier $k$ tel que $n=2k+1$.
		
		\begin{align*}
			n^2 &= (2k+1)^2\\
			&= (2k+1)(2k+1)\\
			&= 2k \times 2k+2k \times 1+1 \times 2k +1 \times 1\\
			&= 4k^2+2k+2k+1\\
			&= 4k^2+4k+1\\
			&= {\color{WildStrawberry}2 \times }2k^2+{\color{WildStrawberry}2 \times }2k+1\\
			&= {\color{WildStrawberry}2 \times} (2k^2+2k)+1
		\end{align*}
		
		$2k^2+2k$ étant un entier, $2(2k^2+2k)+1$ est de la forme $2m+1$ avec $m$ un nombre entier, autrement dit $n^2$ est un nombre impair.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		 
 	\end{correction}
 	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le produit de deux nombres est supérieur ou égal à chacun de ces deux nombres.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Donnons un contre exemple: $-1$ et $2$. $-1 \times 2=-2$ et $-2 < -1$ (et $-2<2$).
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Augmenter un prix de $15\ \%$ puis le diminuer de $15\ \%$ le ramène à sa valeur initiale.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $15\ \%$ est 
		
		\begin{align*}
			CM_2 &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+\frac{15}{100}\\
			&= 1,15
		\end{align*}
		
		celui correspondant ç une baisse de $15\ \%$ est
		
		\begin{align*}
			CM_3 &= 0,85
		\end{align*}
		
		Considérant un article coûtant $100$ euros. Après l'augmentation son prix est de $1,15 \times 100\ \text{\euro} =115\ \text{\euro}$ puis après la baisse il devient $0,85 \times 115\ \text{\euro}=97,75\ \text{\euro}$. Nous ne retrouvons pas les $100\ \text{\euro}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Dans le script du programme Scratch ci-dessous, on précise que \og longueur\fg{} est une variable.
	
	On rappelle que l’instruction
	\setscratch{scale=0.8}
	\begin{scratch}
		\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90}}
	\end{scratch}
	signifie s’orienter vers la droite.
	\begin{tabular}{m{5.5cm}m{0.15cm}m{5.5cm}}
	\setscratch{scale=0.9}
	\begin{scratch}[scale=1]
		\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Figure de base}}
		\blockpen{stylo en position d'écriture}
		\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}{
			\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur} pas}
			\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
		}
	\end{scratch}
	&&
	\setscratch{scale=0.9}
	\begin{scratch}[scale=1]
		\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
		\blockpen{effacer tout}
		\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{50}}
		\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}{
			\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90}}
			\blockmoreblocks{Figure de base}
			\blockpen{relever le stylo}
			\blockmove{avancer de \ovaloperator{\ovalvariable{longueur} + \ovalnum{200}} pas}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovaloperator{\ovalvariable{longueur} *\ovalnum{2}}}
		}
	\end{scratch}
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2024_maths/crpe_2024_maths_externe_sujet_3_02_scratch.sb3}{Le programme en Scratch peut être téléchargé via ce lien.}
	
	\medskip
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la nature de la figure obtenue en effectuant le bloc \og figure de base \fg{}?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la nature de la figure.}
		
		La figure est une ligne polygonale formée de $4$ segments contigus de même longueur. Comme de plus on effectue $4$ rotation de $90\degres$ la ligne est fermée. Nous avons un quadrilatère qui est un losange ($4$ ôtés de même longueur) et qui possède au moins un angle droit, autrement dit
		
		\begin{conclusion}
			
			la figure obtenue est un carré.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En prenant $1\ \mathrm{mm}$ pour $5$ pas, tracer la figure obtenue après avoir cliqué sur le drapeau vert.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Voici la figure obtenue avec le programme tout entier:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw ({0/50},{0/50}) -- ({50/50},{0/50}) -- ({50/50},{50/50}) -- ({0/50},{50/50}) --cycle;
				\draw ({200/50},{0/50}) -- ({(200+2*50)/50},{0/50}) -- ({(200+2*50)/50},{2*50/50}) -- ({200/50},{2*50/50}) --cycle;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite désormais que la figure de base soit un triangle équilatéral.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle(s) modification(s) doit-on effectuer dans le bloc \og figure de base\fg{}?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Voici comment modifier le bloc \og Figure de base\fg{}:
			
			\begin{center}
				\setscratch{scale=0.9}
				\begin{scratch}[scale=1]
					\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Figure de base}}
					\blockpen{stylo en position d'écriture}
					\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}{
						\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur} pas}
						\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
					}
				\end{scratch}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le rapport entre les aires des deux triangles obtenus?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le rapport des aires des triangles.}
			
			Si les dimensions d'une figure sont multipliées par $2$ alors la surface est multipliée par $2^2$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Le rapport des aires des deux triangles obtenus est de $4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	On considère les deux programmes de calcul suivants:
	
	\begin{tabular}{|m{5.5cm}|m{5.5cm}|}
		\hline
		Programme A & Programme B
		\\
		\hline
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Choisir un nombre.
			\item L’élever au carré.
			\item Soustraire le quadruple du nombre choisi.
		\end{enumerate}
		&
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\coordinate (A) at (0,4);
			\coordinate (B) at (-2,2);
			\coordinate (C) at (2,2);
			\coordinate (D) at (0,0);
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20] (A) at (A) {Choisir un nombre};
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20]  (B) at (B) {Retrancher $9$};
			\draw [->,>=latex] (A) -- (B);
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20]  (C) at (C) {Ajouter $3$};
			\draw [->,>=latex] (A) -- (C);
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20]  (D) at (D) {Multiplier les résultats obtenus};
			\draw [->,>=latex] (B) -- (D);
			\draw [->,>=latex] (C) -- (D);
		\end{tikzpicture}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quels sont les résultats obtenus avec les programmes A et B lorsque l’on choisit $-3$ comme nombre initial?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons les résultats programmes en choisissant $-3$ en entrée.}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{5cm}|m{2cm}|}
				\hline
				Choisir un nombre.& $-3$
				\\
				\hline
				L’élever au carré.& $(-3)^2=9$
				\\
				\hline
				Soustraire le quadruple du nombre choisi.& $9-4\times (-3)=21$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		et 
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\coordinate (A) at (0,4);
			\coordinate (B) at (-4,2);
			\coordinate (C) at (4,2);
			\coordinate (D) at (0,0);
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20] (A) at (A) {Choisir un nombre: $-3$};
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20]  (B) at (B) {Retrancher $9$: $-3-9=-12$};
			\draw [->,>=latex] (A) -- (B);
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20]  (C) at (C) {Ajouter $3$: $-3+3=0$};
			\draw [->,>=latex] (A) -- (C);
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20]  (D) at (D) {Multiplier les résultats obtenus: $12 \times 0=0$};
			\draw [->,>=latex] (B) -- (D);
			\draw [->,>=latex] (C) -- (D);
		\end{tikzpicture}
		
		donc
		
		\begin{conclusion}
			
			si on choisi $-3$ en entrée, alors le programme A renvoie $21$ et le programme B renvoie $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $x$ le nombre initial choisi. Montrer que $x^2-6x-27$ correspond à l’expression obtenue en appliquant le programme B.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\coordinate (A) at (0,4);
			\coordinate (B) at (-4,2);
			\coordinate (C) at (4,2);
			\coordinate (D) at (0,0);
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20] (A) at (A) {Choisir un nombre: $x$};
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20]  (B) at (B) {Retrancher $9$: $x-9$};
			\draw [->,>=latex] (A) -- (B);
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20]  (C) at (C) {Ajouter $3$: $x+3$};
			\draw [->,>=latex] (A) -- (C);
			\node [draw,rectangle,fill=WildStrawberry!20]  (D) at (D) {Multiplier les résultats obtenus: $(x-9)(x+3)$};
			\draw [->,>=latex] (B) -- (D);
			\draw [->,>=latex] (C) -- (D);
		\end{tikzpicture}
		
		Or, en procédant à une double distributivité,
		\begin{align*}
			(x-9)(x+3) &= x \times x +x \times 3 +(-9) \times x +(-9) \times 3\\
			\intertext{En simplifiant l'écriture:}
			(x-9)(x+3) &= x^2+3x-9x-27\\
			\intertext{En réduisant:}
			(x-9)(x+3) &= x^2-6x-27
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			En appliquant le programme B à $x$ on obtient le nombre $x^2-6x-27$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quels sont le ou les nombres initiaux qui permettent d’obtenir le même résultat avec les deux programmes? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'ensemble des nombres donnant le même résultat.}
		
		Si $x$ est le nombre choisi en entrée alors le programme A renvoie $x^2-4x$ et le programme B $x^2-6x-27$.
		
		Nous cherchons donc les nombres $x$ tels que
		
		\begin{align*}
			x^2-4x &= x^2-6x-27\\
			\intertext{\color{orange}Nous avons une équation qui n'est pas du premier degré du fait des $x^2$. Cependant nous pouvons nous ramener à une équation du premier degré:}
			x^2-4x {\color{WildStrawberry}-x^2} &= x^2-6x-27 {\color{WildStrawberry}-x^2}\\
			-4x &= -6x-27
			\intertext{\color{orange}Ici nous reconnaissons une équation du premier degré, il reste donc à \og isoler les $x$ \fg{}}
			-4x {\color{WildStrawberry}+6x} &= -6x-27  {\color{WildStrawberry}+6x}\\
			2x &= -27\\
			\frac{2x}{\color{WildStrawberry}2} &= \frac{-27}{\color{WildStrawberry}2}\\
			x &= -\frac{27}{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La seule valeur initiale pour laquelle les deux programmes donnent le même résultat est $-\frac{27}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	On rappelle les formules suivantes:
	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|m{5cm}|m{5cm}|}
		\hline
		&\\
		Volume d’un cône de révolution:
		
		$\displaystyle \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$
		&
		Volume d’un cylindre:
		
		$\text{Aire de la base} \times \text{Hauteur}$
		\\
		&\\
		\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	
	Une classe de CM1 compte $24$ élèves. Leur enseignant souhaite leur faire construire des saupoudreurs et les remplir de poudre de stevia, un édulcorant naturel sans calorie.
	
	Les saupoudreurs sont constitués d’un cylindre surmonté d’un cône. Les dimensions sont indiquées sur la figure ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (Oprime) at (0,8);
			\coordinate (C) at (3,0);
			\coordinate (D) at (-3,0);
			\coordinate (B) at (3,8);
			\coordinate (A) at (-3,8);
			\coordinate (S) at (0,12);
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (O) node {$\bullet$};
			\draw (C) node {$\bullet$};
			\draw (D) node {$\bullet$};
			\draw (B) node {$\bullet$};
			\draw (Oprime) node {$\bullet$};
			\draw (S) node {$\bullet$};
			\draw (A) node [left] {$A$};
			\draw (O) node [above right] {$O$};
			\draw (C) node [right] {$C$};
			\draw (D) node [left] {$D$};
			\draw (B) node [right] {$B$};
			\draw (Oprime) node [above right] {$O'$};
			\draw (S) node [above right] {$S$};
			\draw (A) -- (D);
			\draw (B) -- (C);
			\draw (B) -- (S) -- (A);
			\draw [dashed] (D) -- (C);
			\draw [dashed] (A) -- (B);
			\draw [dashed] (O) -- (S);
			\draw [>=latex,<->] (0,-1.5) -- (3,-1.5) node [midway, below] {$3\ \mathrm{cm}$};
			\draw [>=latex,<->] (4.5,0) -- (4.5,8) node [midway, right] {$8\ \mathrm{cm}$};
			\draw [>=latex,<->] (-4,8) -- (-4,12) node [midway, right] {$4\ \mathrm{cm}$};
			\draw[samples=100,domain=-180:180] plot({3*cos(\x)},{1*sin(\x)+8});
			\draw[samples=100,domain=-180:180] plot({3*cos(\x)},{1*sin(\x)});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le volume exact du cône en $\mathrm{cm}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le Volume $\mathscr{V}_1$ du cône.}
		
		En utilisant la formule donnée dans l'énoncé, et puisque la base du cône est un disque:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_1 &= \frac{1}{3} \times \left( \pi O'B^2 \right)\times O'S\\
			&= \frac{1}{3} \times \left( \pi \times \left( 3\ \mathrm{cm}\right)^2 \right) \times (4\ \mathrm{cm})\\
			&= \frac{1}{3}\times \left( 3^2 \ \mathrm{cm}^2 \right) \times (4\ \mathrm{cm})\\
			&= \frac{1}{3} \times 3^2 \times 4 \ \mathrm{cm}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_1=12\pi\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	 
	\item 

	\begin{sujet}
		
		Déterminer le volume exact du cylindre en $\mathrm{cm}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_2$ du cylindre.}
		
		Là encore nous utilisons la formule donnée dans l'énoncé sachant que la base est un disque:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_2 &= \pi OC^2 \times BC\\
			&= \pi \times \left( 3\ \mathrm{cm}\right)^2 \times (8\ \mathrm{cm} )\\
			&= \pi \times 3^2 \times 8 \ \mathrm{cm}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_2= 72\pi\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que la génératrice $[SA]$ du cône mesure $5\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $SA$.}
		
		Le triangle $AO'S$ est rectangle en $O'$ donc, d'après le théorème de Pythagore,
		
		\begin{align*}
			SA^2 &= AO'^2+O'S^2\\
			\intertext{En exprimant les longueurs concernées en centimètre:}
			SA^2 &= 3^2+4^2\\
			SA^2 &= 25\\
			\intertext{Enfin, puisque $SA$ est une longueur et donc un nombre positif,}
			SA &= \sqrt{25}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$SA=5\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle quantité de stevia est nécessaire pour l’ensemble de la classe? Arrondir le résultat au litre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_3$ total de poudre nécessaire pour la classe.}
		
		Chaque saupoudreur a un volume $\mathscr{V}_1+\mathscr{V_2}$, or il y a $24$ élèves dans la classe donc
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_3 &= 24 \times (\mathscr{V}_1 + \mathscr{V}_2 )\\
			&= 24 \left( 12\pi\ \mathrm{cm}^3 +72\pi\ \mathrm{cm}^3 \right)\\
			&= 24 \times 84\pi\ \mathrm{cm}^3\\
			&= 2016\pi\ {\color{orange}\mathrm{cm}^3}\\
			\intertext{Comme $1\ \mathrm{cm}^3=0,001\ \mathrm{dm}^3=1\ \ell$,}
			\mathscr{V}_3 &= 2016\pi {\color{orange}\times 0,001\ \ell}\\
			&= 2,016\pi\ \ell \\
			&\approx 6,33\ \ell \text{ en tronquant}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_3 \approx 6 \ \ell$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Afin de réaliser un patron de cône, l’enseignant dessine le croquis ci-dessous (croquis 1) où $\alpha$ est l’angle au centre du cercle de centre $S$ et de rayon $5\ \mathrm{cm}$ qui intercepte l’arc d’extrémités $A$
et $A'$.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\alph{230};
			\def\angledepart{-20};
			\def\codeangle{1};
			\coordinate (S) at (-8,0);
			\coordinate (M) at (0,0);
			\coordinate (N) at (3,0);
			\coordinate (P) at (-3,0);
			\coordinate (A) at ({5*cos(\angledepart)-8},{5*sin(\angledepart)});
			\coordinate (Aprime) at ({5*cos(\angledepart+\alph)-8},{5*sin(\angledepart+\alph});
			\draw (S) node {$\bullet$};
			\draw (M) node {$\bullet$};
			\draw (A) node {$\bullet$};
			\draw (Aprime) node {$\bullet$};
			\draw (S) node [below] {$S$};
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (Aprime) node [below right] {$A'$};
			\draw [dashed] (S) -- (P);
			\draw[samples=100,domain={\angledepart}:{\angledepart+\alph}] plot({5*cos(\x)-8},{5*sin(\x)});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-180:180] plot({3*cos(\x)},{3*sin(\x)});
			\draw [dashed] (M) -- (N) node [midway, above] {$3\ \mathrm{cm}$};
			\draw (A) -- (S) node [midway,below left] {$~~5\ \mathrm{cm}$};
			\draw (S) -- (Aprime);
			\draw[Green][samples=100,domain={\angledepart}:{\angledepart+\alph}] plot({\codeangle*cos(\x)-8},{\codeangle*sin(\x)});
			\fill[Green,opacity=0.3] (S) -- plot [samples=100,domain={\angledepart}:{\angledepart+\alph}] ({\codeangle*cos(\x)-8},{\codeangle*sin(\x)}) -- (S);
			\draw (-8,2) node {$\alpha$};
			\draw (0,-1) node {Base};
			\node [draw] (Cro) at (6,-2) {\large Croquis 1};
		\end{tikzpicture}
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la longueur de l’arc de cercle d’extrémités $A$ et $A'$. Justifier la réponse.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la longueur $L_1$ de l'arc d'extrémités $A$ et $A'$.}
			
			Puisque l'arc est obtenu en faisant le patron du cône, $L_1$ est la circonférence du disque de base de ce cône, et donc
			 
			\begin{align*}
				L_1 &= 2\pi \times O'B\\
				&= 2 \pi \times 3\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_1=6\pi\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{orange}L'énoncé ne spécifie rien et je fais le choix de donner une valeur exacte.}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la mesure de l’angle $\alpha$ au degré près.
						
			On rappelle que la longueur de l’arc de cercle d’extrémités $A$ et $A'$ est proportionnelle à l’angle au centre $\alpha$ et on pourra s’aider du tableau ci-dessous:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|m{4cm}|m{4cm}|}
					\hline
					Angle au centre en degré qui intercepte l’arc d’extrémités $A$ et $A'$.
					& Longueur de l’arc d’extrémités $A$ et $A'$ en $\mathrm{cm}$.
					\\
					\hline
					\hfill $\alpha$ \hfill~ & ......
					\\
					\hline
					\hfill $360$ \hfill ~ & ......
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{correction}
		
		La circonférence du disque de rayon $5\ \mathrm{cm}$ est $2 \times \pi \times 5\ \mathrm{cm}=10\pi\ \mathrm{cm}$.
		
		Reprenons le tableau proposé:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{4cm}|m{4cm}|}
				\hline
				Angle au centre en degré qui intercepte l’arc d’extrémités $A$ et $A'$.
				& Longueur de l’arc d’extrémités $A$ et $A'$ en $\mathrm{cm}$.
				\\
				\hline
				\hfill $\alpha$ \hfill~ & $6\pi\ \mathrm{cm}$
				\\
				\hline
				\hfill $360$ \hfill ~ & $10\pi\ \mathrm{cm}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Nous en déduisons par proportionnalité 
		\begin{align*}
			\frac{\alpha}{360} &= \frac{6}{10}\\
			\alpha &= 360 \times \frac{6}{10}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\alpha=210\degres$. %EN vrai $216\degres$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Construire, à l’échelle $\dfrac{1}{2}$, le patron du saupoudreur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Avec règle, équerre, compas et rapporteur, nous dessinons le patrons.}
		
		Un rectangle de dimensions $4\ \mathrm{cm}$ et $9,4\ \mathrm{cm}$ pour le cylindre. Un cercle de rayon $1,5\ \mathrm{cm}$ pour le disque formant une base du cylindre.
		
		Un arc de cercle de rayon $2,5\ \mathrm{cm}$ d'angle au centre $216\degres$.
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw[blue] (0,0) -- (8,0) -- (8,{2*3.1416*3}) -- (0,{2*3.1416*3}) -- cycle;
			\draw[blue][samples=100,domain={-20}:{-20+216}] plot({5*cos(\x)-5},{5*sin(\x)+5});
			\draw[blue] ({5*cos(-20+216)-5},{5*sin(-20+216)+5}) -- (-5,5) -- ({5*cos(-20)-5},{5*sin(-20)+5});
			\draw[blue][samples=100,domain={-180}:{180}] plot({3*cos(\x)+8+3},{3*sin(\x)+3});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{8.5};
		\def\yZ{7};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
		\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-2};
		\def\xcoinhautdroit{4};
		\def\ycoinbasgauche{-4};
		\def\ycoinhautdroit{4};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		\draw (I) node[below left] {$I$};
		\draw (I) node {$\bullet$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		\draw (J) node[below left] {$J$};
		\draw (J) node {$\bullet$};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
		%Points
		\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
		%Tangentes horizontales
		\def\longueurtangente{0.7};
		\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
		%Ligne définie par des points
		\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\def\longueur{5};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{2};
		\def\angledefuite{30};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (5,-1);
	\coordinate (F) at (6,0);
	\coordinate (C) at (7,1);
	\coordinate (D) at (2,2);
	\coordinate (O) at (3.5,0.5);
	\coordinate (S) at (3.5,6);
	\coordinate (J) at (3.5,3.5);
	\coordinate (K) at (3,4.666);
	\draw (A) node {$\bullet$};
	\draw (B)node {$\bullet$};
	\draw (F)node {$\bullet$};
	\draw (C)node {$\bullet$};
	\draw (D)node {$\bullet$};
	\draw (O)node {$\bullet$};
	\draw (S)node {$\bullet$};
	\draw (J)node {$\bullet$};
	\draw (K)node {$\bullet$};
	\draw (A)node[below]{$A$};
	\draw (B)node[below right]{$B$};
	\draw (F)node[right]{$F$};
	\draw (C)node[right]{$C$};
	\draw (D)node[above right]{$D$};
	\draw (O)node[above right]{$O$};
	\draw (S)node[above]{$S$};
	\draw (J)node[above right]{$J$};
	\draw (K)node[below right]{$K$};
	\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
	\draw[blue, thick](A)--(S);
	\draw[blue, thick](B)--(S);
	\draw[blue, thick](C)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
	\draw[blue, thick](F)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
	\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
	\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
	\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{2};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{3};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
			nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
			nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{3};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{2};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Nombre de nœuds du troisième niveau
		\def\noC{12};
		%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
		\def\noCe{2};
		%Écarts entre nœuds du troisième niveau
		\def\xC{2+\xB};
		\def\yC{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
		\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
		}{
			\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
			\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
			\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Création des nœuds
		\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
		\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
		\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
		\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
		%Branches entre les nœuds
		\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
		\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
		\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
	\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
	\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
	\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
			def fonction(variable1):
			variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
	sudo apt update
	sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (AA) at (-9,6.5);
		\node (AA) at (AA) {};
		\coordinate (BB) at (9,6.5);
		\node (BB) at (BB) {};
		\coordinate (CC) at (9,-6.5);
		\node (CC) at (CC) {};
		\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
		\node (DD) at (DD) {};
		\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}