%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2024 groupe 2.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2024 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2024_maths/crpe_2024_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2024_maths/crpe_2024_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Le directeur d'une école primaire organise un tournoi sportif pour les élèves de CE2 et de CM1 des écoles de la ville. Au total, on compte $72$ élèves de CE2 et $108$ élèves de CM1 répartis dans quatre écoles.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Le directeur souhaite que les équipes soient composées selon les règles suivantes:
	
	\begin{itemize}
		\item le nombre d'élèves de CE2 doit être identique dans toutes les équipes.
		
		\item le nombre d'élèves de CM1 doit être identique dans toutes les équipes.
	\end{itemize}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le directeur envisage dans un premier temps de constituer $14$ équipes avec un maximum
d’élèves des deux niveaux (sans nécessairement sélectionner tous les élèves).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner la composition de chaque équipe.
			
		\end{sujet}	
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Composition des $14$ équipes.}
			
			En procédant à des divisions euclidiennes: $72=5 \times 14+2$ et $108=7 \times 14+10$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Dans chaque équipe il y aurait $5$ élèves de CE2 et $7$ de CM1.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dans ces conditions, combien d’élèves ne participeront pas au tournoi?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Toujours d'après $72=5 \times 14+2$ et $108=7 \times 14+10$,
			
			\begin{conclusion}
				
				$2$ élèves de CE2 et $10$ élèves de CM1, donc un total de $12$ élèves, ne participeraient pas.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le directeur change d'avis : il souhaite que tous les élèves puissent participer.
		
		Pour cela, il cherche à déterminer le nombre d’équipes adéquat.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Peut-il constituer $8$ équipes? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Constitution de $8$ équipes.}
			
			Dans ce cas: $108=13 \times 8+4$. $4$ élèves de CM1 n'auraient pas d'équipe.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il ne peut pas constituer $8$ équipes.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Décomposer $72$ et $108$ en produit de facteurs premiers.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Décomposition en produit de facteur premiers.}
			
			{\color{orange}Les calculatrices de collège le font très bien.}
			
			\begin{conclusion}
				
				$72=2^3 \times 3^2$ et $108=2^2 \times 3^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la liste des diviseurs communs à $72$ et $108$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons les diviseurs communs de $72$ et $108$.}
			
			D'après la question précédente le plus grand commun diviseur de $72$ et $108$ est $2^2 \times 3^2$.
			
			Représentons tous les diviseurs de $2^2 \times 3^2$ sous forme d'arbre.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.6]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{3};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{9};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{3};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{2+\xA};
					\def\yB{1};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$2^0$/ /\posA,
						nA2/A2/2/$2^1$/ /\posB,
						nA3/A3/3/$2^2$/ /\posB
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$3^0$/ /\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$3^1$/ /\posB,
						nA1/nB3/B3/3/$3^2$/ /\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$3^0$/ /\posB,
						nA2/nB5/B5/5/$3^1$/ /\posA,
						nA2/nB6/B6/6/$3^2$/ /\posB,
						nA3/nB4/B4/7/$3^0$/ /\posB,
						nA3/nB5/B5/8/$3^1$/ /\posA,
						nA3/nB6/B6/9/$3^2$/ /\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};					
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$2^0 \times 3^0=1$/ /\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$2^0 \times 3^1=3$/ /\posB,
						nA1/nB3/B3/3/$2^0 \times 3^2=9$/ /\posA,
						nA2/nB4/B4/4/$2^1 \times 3^0=2$/ /\posB,
						nA2/nB5/B5/5/$2^1 \times 3^1=6$/ /\posA,
						nA2/nB6/B6/6/$2^1 \times 3^2=18$/ /\posB,
						nA3/nB4/B4/7/$2^2 \times 3^0=4$/ /\posB,
						nA3/nB5/B5/8/$2^2 \times 3^1=12$/ /\posA,
						nA3/nB6/B6/9/$2^2 \times 3^2=36$/ /\posB
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB+2},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des diviseurs communs à $72$ et $108$ est $\{ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 6;\ 9;\ 12;\ 18;\ 36 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel nombre d’équipes maximal le directeur peut-il constituer? Préciser alors la composition de chaque équipe.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre maximal d'équipes.}
			
			D'après la question précédente 
			
			\begin{conclusion}
				
				le nombre maximal d'équipe est $36$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Et dans ce cas, puisque $72\div 36=2$ et $108\div 36=3$,
			
			\begin{conclusion}
				
				dans chaque équipe il y a $2$ élèves de CE2 et $3$ élèves de CM1.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Le tableau ci-dessous indique la répartition des élèves de CE2 et de CM1 qui participent au
tournoi selon leur école de scolarisation:
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		& École Aimé Césaire & École Irène Jolio-Curie & École Lucie Aubrac & École Victor Hugo
		\\
		\hline
		Effectif de CE2 & $20$ & $22$ & $14$ & $16$
		\\
		\hline
		Effectif de CM1 & $24$ & $19$ & $34$ & $31$
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Parmi les élèves de l'école Irène Joliot-Curie qui participent au tournoi, quelle est la
 proportion d'élèves de CE2? Donner le résultat en pourcentage arrondi à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la proportion, $p_1$, de CE2 de Jolio-Curie.}
		
		\begin{align*}
			p_1 &= \frac{22}{22+19}\\
			&\approx 0,53658 \text{ en tronquant.}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$p_1= 54\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le nombre moyen d'élèves en classe de CM1 sur l’ensemble des quatre écoles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le nombre moyen, $\overline{x}_1$ d'élèves en CM1.}
		
		\begin{align*}
			\overline{x}_1 &= \frac{24+19+34+31}{4}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{x}_1=27$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On choisit un élève au hasard parmi tous les élèves qui participent au tournoi. Quelle est
la probabilité qu'il soit en CM1?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $A$: \og choisir un élève de CM1\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		L'univers est constitué des $72+108=180$ élèves. Munissons cet univers d'une équiprobabilité. Comme de plus $A$ est réalisé par $108$ issues
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &= \frac{108}{180}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(A)=0,6$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On choisit un élève au hasard parmi les élèves de CE2 qui participent au tournoi. Quelle est la probabilité qu'il soit scolarisé à l'école Aimé Césaire ? Donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $B$: \og choisir un élève de Aimé Césaire\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		L'univers est constitué des $72$ élèves. Munissons cet univers d'une équiprobabilité. Comme de plus $B$ est réalisé par $20$ issues
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= \frac{20}{72}\\
			&= \frac{2^2 \times 5}{2^3 \times 3^2}\\
			&= \frac{5}{2 \times 3^2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(B)=\frac{5}{18}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Sur le schéma ci-dessous le triangle $PRC$ rectangle en $R$ représente une cour d’école.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5,rotate=10]
			\def\PA{5.6};
			\def\AR{2};
			\def\PS{7};
			\def\prop{0.1};
			\coordinate (R) at (0,0);
			\coordinate (A) at ({0},{\AR});
			\coordinate (P) at ({0},{\AR+\PA});
			\coordinate (S) at ({sqrt(\PS*\PS-\PA*\PA)},{\AR});
			\coordinate (C) at ({sqrt(\PS*\PS-\PA*\PA)*(\AR+\PA)/\PA},{0});
			\draw (A) -- (S) -- (P) -- cycle;
			\draw (A) -- (R) -- (C) -- (S);
			\fill [color=gray,opacity=0.2] (A) -- (P) -- (S);
			\fill [color=black, opacity=0.4] ({0},{0}) -- ({0+\prop*\PA},{0}) -- ({0+\prop*\PA},{0+\prop*\PA}) -- ({0},{0+\prop*\PA});
			\fill [color=black, opacity=0.4] ({0},{0+\AR}) -- ({0+\prop*\PA},{0+\AR}) -- ({0+\prop*\PA},{0+\prop*\PA+\AR}) -- ({0},{0+\prop*\PA+\AR});
			\fill [pattern=north east lines] (R) -- (C) -- (S) -- (A);
			\draw (A) node[left] {$A$};
			\draw (R) node[below left] {$R$};
			\draw (P) node[above] {$P$};
			\draw (S) node[above right] {$S$};
			\draw (C) node[below right] {$C$};
			\coordinate (ZBC) at ({sqrt(\PS*\PS-\PA*\PA)/2},{\AR/2});
			\coordinate (ZB) at ({sqrt(\PS*\PS-\PA*\PA)*2/3},{-\AR});
			\draw node (ZB) at (ZB) {Zone bétonnée};
			\draw (ZBC) node {$\bullet$};
			\draw (ZBC) -- (ZB);
			\coordinate (ZNC) at ({sqrt(\PS*\PS-\PA*\PA)/2},{\AR*3/2});
			\coordinate (ZN) at ({sqrt(\PS*\PS-\PA*\PA)*3/2},{\AR*2});
			\draw node (ZN) at (ZN) {Zone naturelle};
			\draw (ZNC) node {$\bullet$};
			\draw (ZNC) -- (ZN);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
 	
 	Les points $P$, $A$ et $R$ sont alignés.
 	
 	Les points $P$, $S$ et $C$ sont alignés.
 	
 	$PA = 28\ \mathrm{m}$, $AR = 10\ \mathrm{m}$, $PS = 35\ \mathrm{m}$.
 	
 	\medskip
 	Il est prévu d'aménager sur cette cour:
 	
 	\begin{itemize}
 		\item une zone naturelle engazonnée représentée par le triangle $PAS$ rectangle en $A$;
 		
 		\item une zone bétonnée représentée par la partie $RASC$.
 		
 	\end{itemize}
 	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tracer le plan de la cour d’école en choisissant comme échelle $1\ \mathrm{cm}$ pour $5\ \mathrm{m}$.
		
		Justifier les dimensions utilisées et laisser les traits de construction apparents.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Dessinons la figure.}
		
		Par proportionnalité:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Taille réelle & $5\ \mathrm{m}$ & $28\ \mathrm{m}$ & $10\ \mathrm{m}$ & $35\ \mathrm{m}$
				\\
				\hline
				À l'échelle & $1\ \mathrm{cm}$ & $5,6\ \mathrm{cm}$ & $2\ \mathrm{cm}$ & $7\ \mathrm{cm}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
	
	
	
	Une construction à la règle et au compas (sans équerre ni quadrillage) sous Géogébra (cliquez sur l'image pour télécharger le fichier) utilisant les trois précédentes longueurs:
	
	
	
	
	
	\begin{center}
	
		\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2024_maths/crpe_2024_maths_externe_sujet_1_10_scratch.png}{\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2024_maths_externe_sujet_2_02_geogebra.png}}
	
	\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $AS = 21\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $AS$.}
		
		Exprimons toutes les longueurs en mètre.
		
		$ASP$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore,
		
		\begin{align*}
			AS^2+PA^2 &= PS^2\\
			\intertext{On en déduit successivement:}
			AS^2 +PA^2 {\color{orange}-PA^2} &= PS^2{\color{orange}-PA^2}\\
			AS^2 &= 35^2-28^2\\
			&= 441\\
			\intertext{Or $AS$ est positif puisque c'est une longueur donc}
			AS &= \sqrt{441}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AS=21\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer RC.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $RC$.}
		
		Là encore nous exprimons toutes les longueurs en mètre.
		
		\medskip
		D'une part les points $P$, $A$ et $R$ et d'autre part les points $P$, $S$ et $C$ sont alignés dans cet ordre donc nous avons une configuration de Thalès.
		
		De plus, puisque $(AS)$ et $(RC)$ sont perpendiculaires à $(PR)$, on a $(AS) \parallel (RC)$. Donc d'après le théorème de Thalès
		
		\begin{align*}
			\frac{PA}{PR} &= \frac{AS}{RC}\\
			\intertext{Nous en déduisons successivement:}
			PA \times RC &= PR \times AS\\
			\frac{PA \times RC}{\color{orange}PA} &= \frac{PR \times AS}{\color{orange}PA}\\
			RC &= \frac{(PA+AR) \times AS}{PA}\\
			RC &=\frac{(28+10) \times 21}{28}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$RC=28,5\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que l’aire du quadrilatère $RASC$ est égale à $247,5\ \mathrm{m}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(RASC)$ de $RASC$.}
		
		$RASC$ est un trapèze de petite base $[AS]$, de grande base $[RC]$ et de hauteur $[AR]$ donc, en exprimant toutes les longueurs en mètre,
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(RASC) &= \frac{AS+RC}{2} \times AR\\
			&= \frac{21 + 28,5}{2} \times 10
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(RASC)=247,5\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	La commune souhaite recouvrir la zone bétonnée d’un revêtement en résine.
	
	La résine choisie est uniquement vendue en pots.
	
	Chaque pot permet de recouvrir $56\ \mathrm{m}^2$.
	
	La commune prévoit d’appliquer deux couches de résine.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
	 	
		Calculer le nombre de pots nécessaires pour recouvrir la zone bétonnée.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le nombre de pots $n_p$ nécessaires.}
		
		Il faudra recouvrir deux fois la surface de $247,5\ \mathrm{m}^2$ avec des pots recouvrant $56\ \mathrm{m}^2$ donc
		
		\begin{align*}
			n_p &= \frac{2 \times 247,5\ \mathrm{m}^2}{56\ \mathrm{m}^2}\\
			&\approx 8,839 \text{ en tronquant.}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faudra $9$ pots de peinture.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La commune peut choisir parmi les propositions de deux fournisseurs de résine.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{5cm}|m{5cm}|}
				\hline
				Fournisseur A & Fournisseur B
				\\
				\hline
				Ce fournisseur facture la résine et la pose de la résine à $215,75\ \text{\euro}$ le pot de résine. & Chaque pot de résine est vendu $138,50\ \text{\euro}$. Les frais de pose pour l’ensemble de la commande s’élèvent à $600\ \text{\euro}$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	 \end{sujet}
 	
 	\begin{enumerate}
 		\item 
 		
 		\begin{sujet}
 			
 			Soit $f$ la fonction qui au nombre $n$ de pots de résine achetés auprès du fournisseur A associe le prix total à payer en euros. Donner l’expression de $f(n)$.
 			
 		\end{sujet}
 		
 		\begin{correction}
 			
 			\objectif{Déterminons $f(n)$.}
 			
 			Pour chaque pot il faut payer $215,75\ \text{\euro}$ donc, par proportionnalité
 			
 			\begin{conclusion}
 				
 				$f(n)=215,75 \times n$.
 				
 			\end{conclusion}
 			
 		\end{correction}
 		
 		\item 
 		
 		\begin{sujet}
 			
 			Soit $g$ la fonction qui au nombre $n$ de pots de résine achetés auprès du fournisseur B associe le prix total à payer en euros. Donner l’expression de $g(n)$.
 			
 		\end{sujet}
 		
 		\begin{correction}
 			
 			\begin{conclusion}
 				
 				$g(n)=138,5 \times n+600$.
 				
 			\end{conclusion}
 			
 		\end{correction}
 		
 	\end{enumerate}
 	
 	\item 
 	
 	\begin{enumerate}
 		\item 
 		
 		\begin{sujet}
 			
 			En exploitant le graphique ci-dessous, déterminer le fournisseur le plus intéressant pour la commune ainsi que le coût approximatif correspondant. Expliquer votre démarche.
 			
 			{\hspace*{-1cm}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.8]
				%extremites du graphique
				\def\xcoinbasgauche{0};
				\def\xcoinhautdroit{11.5};
				\def\ycoinbasgauche{0};
				\def\ycoinhautdroit{11.1};
				%Les deux grilles
				\draw[xstep=0.2cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!30!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=0.2cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!90!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=1cm, ystep=1.5cm, line width=0.015cm,black!70!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				%Les deux axes
				\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{};
				\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{};
				%repere orthonorme
				\coordinate (O) at ({0},{0});
				\draw (O) node[below left] {$0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,11} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,10} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y*2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$00$};
				%fonction
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.5] plot({\x},{(138.5*\x+600)/200});
				\draw[red, thick,dashed][samples=100,domain=0:10.2] plot({\x},{(215.75*\x)/200});
				\draw [red] (8.75,10.25) node [fill=white] {$C_1$};
				\draw [blue] (10.5,9.5) node [fill=white] {$C_2$};
			\end{tikzpicture}
			}
			
 			
 		\end{sujet}
 		
 		\begin{correction}
 			
 			\objectif{Déterminons le fournisseur le plus économique.}
 			
 			La commune doit faire poser $9$ pots de peinture. Or sur le graphique le nombre de pots est sur l'axe des abscisses et le coût correspondant, en euros, sur l'axe des ordonnées donc il suffit de lire le coût correspondant pour les deux fournisseurs.
 			
 			
 			Nous voyons que le coût est plus élevé pour la courbe $C_1$. Il faut donc choisir le fournisseur correspondant à $C_2$.
 			
 			\medskip
 			$C_1$ correspond à $f$ car $f(0)=215,75 \times 0=0$ alors que $g(0)=138,5 \times 0+600=600$.
 			
 			\begin{conclusion}
 				
 				Il faut choisir le fournisseur $B$.
 				
 			\end{conclusion}
 			
 		\end{correction}
 		
 		\item 
 		
 		\begin{sujet}
 			
 			Calculer le coût exact de ces travaux avec le fournisseur retenu.
 			
 		\end{sujet}
 		
 		\begin{correction}
 			
 			\objectif{Calculons $g(9)$.}
 			
 			$g(9)=138,5 \times 9+600=1846,5$
 			
 			\begin{conclusion}
 				
 				Les travaux coûteront $\np{1846,5}\ \text{\euro}$.
 				
 			\end{conclusion}
 			
 		\end{correction}
 		
 	\end{enumerate}
 	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	En prévision d’une éventuelle extension de la zone bétonnée, un troisième fournisseur est sollicité.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{7cm}|}
			\hline
			Fournisseur C
			\\
			\hline
			Chaque pot de résine est vendu $104,65\ \text{\euro}$.
			
			Les frais de pose pour l’ensemble de la commande s’élèvent à $995,75\ \text{\euro}$.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	Pour comparer les propositions des fournisseurs B et C selon le nombre de pots utilisés, la commune exploite la feuille de calcul ci-après:
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2024_maths_externe_sujet_2_03_tableur.png}
		
		\emph{Les coûts sont exprimés en euro.}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle formule a été saisie en cellule \texttt{C}2 puis étirée pour compléter la colonne \texttt{C}?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		
		\begin{conclusion}
			
			$=104,65*\texttt{A}2+995,75$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		À l’aide du tableau, déterminer à partir de combien de pots le fournisseur C semble être plus intéressant que le fournisseur B.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Jusqu'au onzième pot le coût avec le fournisseur B est plus intéressant. 
		
		\begin{conclusion}
			
			À partir du douzième pot le fournisseur C est plus intéressant.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrire et résoudre une inéquation qui permet de retrouver ce résultat.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $h(n)$ le coût pour $n$ pots avec le fournisseur C.
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons $h(n)<g(n)$.}
		
		\begin{align*}
			h(n) &< g(n)\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			104,65 \times n+995,75 &< 138,5 \times n+600\\
			104,65 \times n+995,75 {\color{orange}-138,5 \times n} &< 138,5 \times n+600 {\color{orange}-138,5 \times n}\\
			(104,65-138,5) \times n+995,75 &< 600\\
			-33,85 \times n +995,75 &< 600\\
			-33,85 \times n +995,75 {\color{orange}-995,75} &< 600 {\color{orange}-995,75}\\
			-33,85 \times n &< -395,75\\
			\frac{-33,85 \times n}{\color{orange}-33,85} &> \frac{-395,75}{\color{orange}-33,85} \text{ car } -33,85<0\\
		\end{align*}
		
		Or $\frac{-395,75}{-33,85}\approx 11,6912$ en tronquant donc il faut que $n\geqslant 12$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut au moins $12$ pots pour que le fournisseur C soit plus avantageux.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici un programme de calcul:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{7cm}|}
			\hline
			Choisir un nombre de départ.
			\\
			Prendre le carré du nombre de départ.
			\\
			Ajouter le triple du nombre de départ.
			\\
			Soustraire 4 au résultat.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le résultat du programme de calcul est $36$ lorsque le nombre de départ choisi est $5$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Appliquons el programme de calcul en choisissant $5$.}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{7cm}|c|}
				\hline
				Choisir un nombre de départ. & $5$ 
				\\
				\hline
				Prendre le carré du nombre de départ. & $5^2=25$
				\\
				\hline
				Ajouter le triple du nombre de départ. & $25+3 \times 5=40$
				\\
				\hline
				Soustraire 4 au résultat. & $40-4=36$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si le nombre en entrée est $5$ le nombre en sortie est $36$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel résultat obtient-on avec ce programme de calcul en choisissant $\dfrac{5}{3}$ pour nombre de départ?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Appliquons el programme de calcul en choisissant $\frac{5}{3}$.}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{7cm}|c|}
				\hline
				&\\
				Choisir un nombre de départ. & $\frac{5}{3}$ 
				\\
				&\\
				\hline
				&\\
				Prendre le carré du nombre de départ. & $\left( \frac{5}{3} \right)^2=\frac{25}{9}$
				\\
				&\\
				\hline
				&\\
				Ajouter le triple du nombre de départ. & $\frac{25}{9}+3 \times \frac{5}{3}=\frac{70}{9}$
				\\
				&\\
				\hline
				&\\
				Soustraire 4 au résultat. & $\frac{70}{9}-4=\frac{34}{9}$
				\\
				&\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si le nombre en entrée est $\frac{5}{3}$ le nombre en sortie est $\frac{34}{9}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère le script ci-dessous rédigé avec le logiciel Scratch.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2024_maths_externe_sujet_2_04_scratch.png}
		\end{center}
		
		Recopier et compléter les lignes $4$ et $5$ du script pour qu’il exécute le programme de calcul.
		
		Aucune justification n’est attendue.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		
		\begin{conclusion}
			
			Ligne 4: mettre résultat à {\color{WildStrawberry}résultat} + {\color{WildStrawberry}3}*{\color{WildStrawberry}réponse}.
			
			Ligne 5: mettre résultat à {\color{WildStrawberry}résultat} - {\color{WildStrawberry}4}.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On appelle $x$ le nombre de départ. Exprimer en fonction de $x$ le résultat final.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons le résultat final en fonction du nombre de départ $x$.}
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|m{7cm}|c|}
					\hline
					Choisir un nombre de départ. & $x$ 
					\\
					\hline
					Prendre le carré du nombre de départ. & $x^2$
					\\
					\hline
					Ajouter le triple du nombre de départ. & $x^2+3x$
					\\
					\hline
					Soustraire 4 au résultat. & $x^2+3x-4$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le nombre en entrée est $x$ le nombre en sortie est $x^2+3x-4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que ce résultat peut aussi s’écrire sous la forme $(x-1)(x+4)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $(x-1) ( x+4)=x^2+3x-4$.}
			
			\begin{align*}
				(x-1)(x+4) &= x \times x+x \times 4 + (-1) \times x + (-1) \times 4\\
				&= x^2+4x-x-4\\
				&= x^2+3x-4
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le résultat du programme peut s'écrire sous la forme $(x-1)(x+4)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Écrire et résoudre l’équation qui permet de trouver le(s) nombre(s) à choisir au départ pour obtenir zéro comme résultat.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Résolvons l'équation $(x-1)(x+4)=0$.}
			
			\begin{align*}
				(x-1)(x+4) &= 0\\
				\intertext{équivaut successivement à}
				x-1=0 &\quad \text{ou}\quad  x+4=0\\
				x-1{\color{orange}+1}=0 {\color{orange}+1} &\quad \text{ou}\quad  x+4{\color{orange}-4}=0{\color{orange}-4}\\
				x=1 &\quad \text{ou}\quad  x=-4
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour obtenir $0$ comme résultat il faut choisir $-4$ ou $0$ au départ.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\textbf{Rappels}.
			
			Le volume d'un cylindre d’aire de base $B$ et de hauteur $h$ est égal à $Bh$.
			
			Le volume d'une boule de rayon $R$ est égal $\dfrac{4}{3} \pi R^3$.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	Le cuisinier d’une cantine confectionne des gâteaux pour les $210$ élèves d’une école primaire.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le cuisinier prépare la pâte et la place dans un saladier en forme de demi-sphère de diamètre $42\ \mathrm{cm}$. Ce saladier est entièrement rempli.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que l’arrondi à l’unité du volume de pâte en $\mathrm{cm}^3$ contenu dans le saladier est égal à $\np{19 396}\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_S$ du saladier.}
			
			Puisque le saladier est une demi-sphère de rayon $\frac{1}{2}\times 42 \ \mathrm{cm}$
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_S &= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \left( \frac{1}{2} \times 42 \ \mathrm{cm} \right)^3\\
				&= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \left( \frac{42}{2} \right)^3 \ \mathrm{cm}^3\\
				&= 19396,2384 \ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_S\approx \np{19396}\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer ce volume en litre et en donner l’arrondi au dixième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $\mathscr{V}_S'$ en litres.}
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_S' &= \np{19396}\ {\color{orange}\mathrm{cm}^3}\\
				&= \np{19396}{\color{orange}\times 0,001\ \mathrm{dm}^3}\\
				&= 19,396\ \mathrm{dm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_S \approx 19,4\ \ell$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le cuisinier envisage d’utiliser des moules tous identiques, de forme cylindrique de $3\ \mathrm{cm}$ de rayon et de $5\ \mathrm{cm}$ de hauteur. Le cuisinier les remplira de pâte aux trois quarts de leur hauteur.
		
		Quel nombre maximal de moules peut-il remplir en utilisant toute la pâte?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre $n_1$ de moules qu'il pourra remplir.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le moule ayant une forme cylindrique son volume est 
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_1 &= \pi \left( 3\ \mathrm{cm} \right)^2 \times \left( 5\ \mathrm{cm} \right)\\
				&= \pi \times 3^2 \times 5\ \mathrm{cm}^2 \times \mathrm{cm}\\
				&= 45\pi \ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			Ainsi le volume de pâte contenu dans un moule est $\frac{3}{4} \mathscr{V}_1= \frac{3}{4} \times 45\pi\ \mathrm{cm}^3$.
			
			\item Nous en déduisons le nombre de moules que l'on peut remplir avec la pâte contenue dans un saladier:
			
			\begin{align*}
				n_1 &= \frac{19396\ \mathrm{cm}^3}{\frac{3}{4}\times 45\pi\ \mathrm{cm}^3}\\
				&\approx 152,44 \text{ en tronquant.}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il pourra remplir $152$ pots.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le cuisinier change d’avis et choisit d'autres moules. Ces moules ont la forme de pavé droit de dimensions $4\ \mathrm{cm}$ de largeur, $6\ \mathrm{cm}$ longueur et $5\ \mathrm{cm}$ de hauteur.
			
			À quelle hauteur doit-il les remplir pour faire $210$ gâteaux identiques en utilisant toute la pâte? Donner la valeur arrondie au millimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la hauteur $x$ à remplir.}
			
			Dans cette question toutes les longueurs sont exprimées en centimètres.
			
			Le volume de pâte dans un moule est de 
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_2(x) &= 4 \times 6 \times x\\
				&= 24x
			\end{align*}
			
			Si l'ont rempli $210$ moule en utilisant toute la pâte on doit avoir:
			
			\begin{align*}
				210 \times \mathscr{V}_2(x) &= \mathscr{V_S}\\
				\intertext{Autrement dit (en travaillant avec les valeurs approchées):}
				210 \times 24x &= 19396\\
				5040x &= 19396\\
				\frac{5040x}{\color{orange}5040} &= \frac{19396}{\color{orange}5040}\\
				x &\approx 3,848412
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faut remplir les moules jusqu'à une hauteur de $3,8\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quand la pâte cuit, la hauteur du gâteau augmente de $15\ \%$. Quelle sera la hauteur, arrondie au millimètre, de chaque gâteau après cuisson ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la hauteur $h$ après cuisson.}
			
			Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $15\ \%$ est
			\begin{align*}
				CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
				&= 1+ \frac{15}{100}\\
				&= 1,15
			\end{align*}
			
			d'où
			
			\begin{align*}
				h &= CM \times 3,8\ \mathrm{cm}\\
				&= 1,15 \times 3,8 \ \mathrm{cm}\\
				&=4,37\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$h \approx 4,4\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
	
	\emph{Une réponse sans justification ne sera pas prise en considération lors de la correction.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le nombre $1,63$ est un nombre rationnel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$1,63=\frac{163}{100}$ donc $1,63$ est un nombre rationnel {\color{orange}comme quotient de nombres entiers. De même tous les nombres décimaux sont rationnels.}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tout nombre réel $x$ vérifiant $x< -4$ appartient à l’intervalle $] -\infty; -6]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous avons dessiné ci-dessous sur la droite numérique les nombres de l'intervalle $]-\infty;-6]$ en bleu et ceux vérifiant $x<-4$ en rouge.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw [thick,->] (-3,0) -- (3,0);
				\draw (-3.5,0) node {$-\infty$};
				\draw (3.5,0) node {$+\infty$};
				\draw [blue] (-3,0.25) -- (-1,0.25);
				\draw [blue] (-0.9,0.25) node {$[$};
				\draw [blue] (-1,0.75) node {$-6$};
				\draw [red] (-3,-0.25) -- (2,-0.25);
				\draw [red] (2.1,-0.25) node {$[$};
				\draw [red] (2,-0.75) node {$-4$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		{\color{orange}Nous observons que certains nombres strictement inférieurs à $-4$ n'appartiennent pas à l'intervalle.}
		
		\medskip
		$-5<-4$ et pourtant $-5 \notin ]- \infty;-6]$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			l'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le croquis ci-dessous représente un carré.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2024_maths_externe_sujet_2_05_coquis.png}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le croquis représente un quadrilatère  ayant quatre côtés de la même longueur donc il s'agit d'un losange. Comme ce losange a un angle droit c'est un carré.
		
		{\color{orange}On pouvait aussi bien faire le raisonnement suivant. Le croquis représente un quadrilatère  ayant quatre angles droits donc il s'agit d'un rectangle. Comme ce rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur c'est un carré.}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des questions ci-dessous, plusieurs réponses sont proposées, une seule est exacte. Pour chaque question, écrire sur la copie la lettre correspondant à la bonne réponse.
	
	Aucune justification n’est attendue.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L'équation $7x-9=0$ a pour solution
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{c>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			&&&&&&&
			\\
			A. & $1,29$ & B. & $-1,29$ & C. & $\dfrac{9}{7}$ & D. & $\dfrac{7}{9}$
			\\
			&&&&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}
		\objectif{Résolvons l'équation.}
		
		\begin{align*}
			7x-9 &= 0\\
			\intertext{Équivaut successivement à}
			7x-9{\color{WildStrawberry}+9} &= 0 {\color{WildStrawberry}+9}\\
			7x &= 9\\
			\frac{7x}{\color{WildStrawberry}7} &= \frac{9}{\color{WildStrawberry}7}\\
			x &= \frac{9}{7}	
		\end{align*}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse C.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L'inéquation $5-4x \geqslant 0$ a pour solutions les nombres $x$ tels que
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{c>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			&&&&&&&
			\\
			A. & $x\geqslant -1,25$ & B. & $x \geqslant 1,25$ & C. & $x \leqslant 0,8$ & D. & $x \leqslant 1,25$
			\\
			&&&&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}
			\objectif{Résolvons l'inéquation.}
			
			\begin{align*}
				5-4x &\geqslant 0\\
				\intertext{Équivaut successivement à}
				5-4x{\color{WildStrawberry}-5} &\geqslant 0 {\color{WildStrawberry}-5}\\
				-4x &\geqslant -5\\
				\frac{-4x}{\color{WildStrawberry}-4} &\leqslant  \frac{-5}{\color{WildStrawberry}-4} \text{ car $-4<0$}\\
				x &\leqslant 1,25	
			\end{align*}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse D.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère ce problème
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{10cm}}
				\emph{Zoé a $7$ crayons de plus que Léa. À elles deux, elles en ont 31.}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Soit $x$ le nombre de crayons de Zoé. Une équation qui permet de calculer le nombre de crayon de Zoé est:
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{c>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			&&&&&&&
			\\
			A. & $2x-7=31$ & B. & $2x+7=31$ & C. & $31-2x=7$ & D. & $x+7=31$
			\\
			&&&&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}
		
		\objectif{Déterminons l'équation adaptée.}
		
		Zoé a $7$ crayons de plus que Léa donc Léa a $x-7$ crayons.
		
		À elles deux elles en ont $31$ donc: $x+(x-7)=31$. Autrement dit: $2x-7=31$.
		
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse A.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère le problème suivant:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{10cm}}
				\emph{Je suis un nombre.}
				
				\emph{Si on me retranche $5$, puis on multiplie le résultat par $2$, le résultat est strictement supérieur à mon quadruple. Qui suis-je?}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Soit $x$ le nombre cherché.
		
		Une inéquation qui permet de traduire ce problème est:
		
		{\hspace{-0.75cm}
		\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|*{4}{c>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			&&&&&&&
			\\
			A. & $x-5\times 2>4x$ & B. & $2x-5>4x$ & C. & $x-5>2x$ & D. & $2x-10>4$
			\\
			&&&&&&&
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}
		
		\objectif{Déterminons l'inéquation correspondant au programme de calcul.}
		
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			Choix du nombre & $x$
			\\
			\hline
			Si on me retranche $5$, & $x-5$
			\\
			\hline
			puis on multiplie le résultat par $2$,& $2(x-5)$
			\\
			\hline
			le résultat est strictement supérieur à mon quadruple. & $2(x-5)>4x$.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		Or, en divisant par $2$ qui est strictement positif, $\frac{2(x-5)}{2}>\frac{4x}{2}$ donc
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			réponse D.%Réponse C en vrai
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{8.5};
		\def\yZ{7};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
		\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%extremites du graphique
		\def\xcoinbasgauche{-2};
		\def\xcoinhautdroit{4};
		\def\ycoinbasgauche{-4};
		\def\ycoinhautdroit{4};
		%Les deux grilles
		\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
		%Les deux axes
		\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
		%repere orthonorme
		\coordinate (O) at ({0},{0});
		\draw (O) node[below left] {$O$};
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\coordinate (I) at ({1},{0});
		\draw (I) node[below left] {$I$};
		\draw (I) node {$\bullet$};
		\coordinate (J) at ({0},{1});
		\draw (J) node[below left] {$J$};
		\draw (J) node {$\bullet$};
		%fonction
		\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
		%Points
		\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
		%Tangentes horizontales
		\def\longueurtangente{0.7};
		\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
		%Ligne définie par des points
		\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\def\longueur{5};
		\def\hauteur{3};
		\def\profondeur{2};
		\def\angledefuite{30};
		\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Création des points du bas.
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
		%Création des points du haut
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
		\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
		%Nom des points du bas dans le sens direct
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw (E) node [above left] {$E$};
		\draw (F) node [above] {$F$};
		\draw (G) node [above right] {$G$};
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		%Les arêtes du bas
		\draw [] (A) -- (B);
		\draw [] (B) -- (C);
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (A);
		%Les arêtes verticales
		\draw [] (A) -- (E);
		\draw [] (B) -- (F);
		\draw [] (C) -- (G);
		\draw [dashed] (D) -- (H);
		%Les arête du haut
		\draw [] (E) -- (F);
		\draw [] (F) -- (G);
		\draw [] (G) -- (H);
		\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (5,-1);
	\coordinate (F) at (6,0);
	\coordinate (C) at (7,1);
	\coordinate (D) at (2,2);
	\coordinate (O) at (3.5,0.5);
	\coordinate (S) at (3.5,6);
	\coordinate (J) at (3.5,3.5);
	\coordinate (K) at (3,4.666);
	\draw (A) node {$\bullet$};
	\draw (B)node {$\bullet$};
	\draw (F)node {$\bullet$};
	\draw (C)node {$\bullet$};
	\draw (D)node {$\bullet$};
	\draw (O)node {$\bullet$};
	\draw (S)node {$\bullet$};
	\draw (J)node {$\bullet$};
	\draw (K)node {$\bullet$};
	\draw (A)node[below]{$A$};
	\draw (B)node[below right]{$B$};
	\draw (F)node[right]{$F$};
	\draw (C)node[right]{$C$};
	\draw (D)node[above right]{$D$};
	\draw (O)node[above right]{$O$};
	\draw (S)node[above]{$S$};
	\draw (J)node[above right]{$J$};
	\draw (K)node[below right]{$K$};
	\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
	\draw[blue, thick](A)--(S);
	\draw[blue, thick](B)--(S);
	\draw[blue, thick](C)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
	\draw[blue, thick](F)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
	\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
	\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
	\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{2};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{3};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
			nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
			nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		%Écarts entre entre racine et premier niveau
		\def\xA{2};
		%Nombre de nœuds du premiers niveau
		\def\noA{3};
		%Nombre de nœuds du deuxième niveau
		\def\noB{6};
		%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
		\def\noBe{2};
		%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
		\def\xB{2+\xA};
		\def\yB{1};
		%Nombre de nœuds du troisième niveau
		\def\noC{12};
		%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
		\def\noCe{2};
		%Écarts entre nœuds du troisième niveau
		\def\xC{2+\xB};
		\def\yC{1};
		%Racine
		\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
		%Pour ne pas écrire les mots above et below
		\def\posA{above};
		\def\posB{below};
		%Position des nœuds du premier niveau
		%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
		\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
			\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
			\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
		\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
			nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
			nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
		}{
			\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
			\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
			\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
		
		%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
		\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
			nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
			nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
		}{
			\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
			\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
			\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
		};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Création des nœuds
		\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
		\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
		\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
		\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
		%Branches entre les nœuds
		\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
		\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
		\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
	\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
	\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
	\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
			def fonction(variable1):
			variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
	sudo apt update
	sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (AA) at (-9,6.5);
		\node (AA) at (AA) {};
		\coordinate (BB) at (9,6.5);
		\node (BB) at (BB) {};
		\coordinate (CC) at (9,-6.5);
		\node (CC) at (CC) {};
		\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
		\node (DD) at (DD) {};
		\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}