%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2024 groupe 1.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2024 groupe 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2024_maths/crpe_2024_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2024_maths/crpe_2024_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant d’une classe de CM1 dans la commune de Rennes fait construire aux élèves
 un pluviomètre pour relever les quantités de précipitations pendant les dix mois de l’année
scolaire. Les élèves doivent amener une bouteille d’eau en plastique pour cette réalisation.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Pour réaliser son pluviomètre, Jules, un élève de la classe,
coupe la bouteille comme l’indique la figure ci-contre. Il construit
ensuite un axe gradué en partant du fond du pluviomètre avec
	des graduations d’unité $1\ \mathrm{cm}$.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2024_maths_externe_sujet_1_01_pluviometre.png}
	\end{center}

	Dans les questions 1 et 2, on assimile le pluviomètre de Jules à
un cylindre de diamètre $8,4\ \mathrm{cm}$ et de hauteur $15\ \mathrm{cm}$.
	
	\smallskip
	On rappelle que le volume d'un cylindre d’aire de base $B$ et de
hauteur $h$ est égal à $Bh$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Jules souhaite découper une étiquette rectangulaire de
largeur $2\ \mathrm{cm}$ qui fasse le tour du pluviomètre pour écrire son
prénom. Déterminer une valeur approchée par excès au
millimètre près de la longueur minimale de cette étiquette.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la longueur $\ell_e$ de l'étiquette.}
		
		$l_e$ est la longueur d'un cercle de diamètre $8,4\ \mathrm{cm}$ donc
		
		\begin{align*}
			l_e &= 2 \pi \frac{8,4\ \mathrm{cm}}{2}\\
			&= 8,4\pi \ \mathrm{cm}\\
			&\approx 26,389\ \mathrm{cm}, \text{ en tronquant à } 10^{-3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$l_e\approx 26,4\ \mathrm{cm}$ à $10^{-1}$ près par excès.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centilitre du volume en litres du
pluviomètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_p$ du pluviomètre.}
		
		Le pluviomètre étant cylindrique:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_p &= \pi \left( \frac{8,4\ \mathrm{cm}}{2} \right)^2 \times \left( 15\ \mathrm{cm} \right)\\
			&= \pi 4,2^2 \times 15\ \mathrm{cm}^3\\
			&= 264,6\pi\ \mathrm{cm}^3\\
			&= 264,6\pi\ \frac{\mathrm{dm}^3}{1000}\\
			&= \frac{264,6\pi}{1000}\ \mathrm{\ell}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_p=0,2646\pi \ \mathrm{\ell}$.
						
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Or, en tronquant: $0,2646\pi \approx 0,83126$ et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_p\approx 0,83\ \ell$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Inès a oublié sa bouteille. Jules lui propose de lui donner la partie haute de sa bouteille, en plaçant le bouchon en bas pour former son pluviomètre.
		
		\medskip
		Les trois courbes ci-dessous représentent le volume d’eau recueilli en $\mathrm{cm}^3$ en fonction de la hauteur d’eau mesurée en $\mathrm{cm}$. Identifier la courbe qui correspond au pluviomètre de Jules et celle qui correspond au pluviomètre d’Inès. Aucune justification n’est attendue.
		
		\medskip
		{\hspace*{-1.5cm}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2024_maths_externe_sujet_1_02_pluviometre_courbes_1.png}};
			\draw (0,2) node {\textbf{Courbe n\degres 1}};
			\draw (-1.4,0.75) node {\begin{tabular}{m{0.5cm}}Volume \\ d'eau \end{tabular}};
			\draw (1,-1) node {\begin{tabular}{m{0.5cm}}Hauteur \\ d'eau \end{tabular}};
			\draw (4.5,0) node {\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2024_maths_externe_sujet_1_03_pluviometre_courbes_2.png}};
			\draw (4.5,2) node {\textbf{Courbe n\degres 2}};
			\draw ({4.5-1.2},0.75) node {\begin{tabular}{m{0.5cm}}Volume \\ d'eau \end{tabular}};
			\draw ({4.5+1},-1) node {\begin{tabular}{m{0.5cm}}Hauteur \\ d'eau \end{tabular}};
			\draw (9,0) node {\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2024_maths_externe_sujet_1_04_pluviometre_courbes_3.png}};
			\draw (9,2) node {\textbf{Courbe n\degres 3}};
			\draw ({9-1.2},0.75) node {\begin{tabular}{m{0.5cm}}Volume \\ d'eau \end{tabular}};
			\draw ({9+1},-1) node {\begin{tabular}{m{0.5cm}}Hauteur \\ d'eau \end{tabular}};
		\end{tikzpicture}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le pluviomètre de Jules est cylindrique le volume d'eau est donc une fonction linéaire (proportionnalité) de la hauteur. Sa courbe représentative est une droite.
		
		\begin{conclusion}
			
			La courbe $C_3$ correspond au pluviomètre de Jules.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		D'après la photo montrant le haut de la bouteille, la hauteur d'eau va d'abord rapidement augmenter puis augmenter plus lentement.
		
		\begin{conclusion}
			
			La courbe $C_2$ correspond au pluviomètre de Inès.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	L’ensemble de la classe utilise un pluviomètre similaire à celui élaboré par Jules. En fin d’année scolaire, les élèves font le bilan des relevés effectués chaque mois.
	
	Dans le cadre d’un projet visant à comparer les différents climats en France, la même expérience est menée dans une école de la commune de Lyon.
	
	\medskip
	\begin{tabular}{|m{8cm}|}
		\hline
		\textbf{Document 1.}
		
		\medskip
		Relevés mensuels de précipitations dans le pluviomètre de Jules durant l'année scolaire 2022/2023 à Rennes.
		
		\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			Mois & Hauteur d'eau en $\mathrm{mm}$
			\\
			\hline
			Septembre & $65$
			\\
			\hline
			Octobre & $103$ 
			\\
			\hline
			Novembre & $24$
			\\
			\hline
			Décembre & $122$
			\\
			\hline
			Janvier & $53$
			\\
			\hline
			Février & $44$
			\\
			\hline
			Mars & $19$
			\\
			\hline
			Avril & $27$
			\\
			\hline
			Mai & $57$
			\\
			\hline
			Juin & $134$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\end{center}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	\begin{tabular}{|m{8cm}|}
		\hline
		\textbf{Document 2.}
		
		\medskip
		Bilan des relevés mensuels de précipitations dans un pluviomètre de l'école lyonnaise pour les dix mois de l'année scolaire 2022/2023.
		
		\medskip
		Résultats mensuels de septembre 2022 à juin 2023.
		
		\medskip
		Moyenne: $70,6\ \mathrm{mm}$.
		
		Médiane: $58\ \mathrm{mm}$.
		
		Hauteur minimale: $18\ \mathrm{mm}$.
		
		Hauteur maximale: $179\ \mathrm{mm}$.
		
		Les valeurs relevées sont toutes différentes.
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Parmi ces deux villes, déterminer celle qui a connu les plus fortes précipitations mensuelles en moyenne durant les dix mois de l’année scolaire 2022-2023.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Comparons les moyennes.}
		
		Calculons la précipitation moyenne à Rennes $\overline{x}_R$ en $\mathrm{mm}$.
		
		\begin{align*}
			\overline{x}_R &= \frac{65+103+\dots +134}{10}\\
			&= 64,8
		\end{align*}
		
		Or la pluviométrie moyenne à Lyon est de $70,6\ \mathrm{mm}$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			les précipitations ont été plus importantes en moyenne à Lyon qu'à Rennes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer et comparer les étendues des précipitations mensuelles à Rennes et à Lyon durant cette période.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Comparons les étendues.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Pour Rennes l'étendue est 
			
			\begin{align*}
				e_R &= 134\ \mathrm{mm}-19\ \mathrm{mm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$e_R=115\ \mathrm{mm}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Pour Lyon l'étendue est 
			
			\begin{align*}
				e_L &= 179\ \mathrm{mm}-18\ \mathrm{mm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$e_L=161\ \mathrm{mm}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Comparons les étendues:
			
			\begin{conclusion}
				
				l'étendue est plus importante à Lyon, \emph{i.e.} les écarts de pluviométrie mensuels sont plus importants à Lyon.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
		
	\begin{sujet}
		
		L’affirmation suivante est-elle exacte? Justifier.
		
		\og Dans la commune de Lyon, il y a 5 mois de l’année scolaire 2022-2023 pendant lesquels les précipitations mensuelles ont été supérieures ou égales à $70,6\ \mathrm{mm}$\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$70,6\ \mathrm{mm}$ est la médiane de la série des hauteurs sur $10$ mois, comme de plus toutes les précipitations sont différentes
		
		\begin{conclusion}
			
			il y a bien 5 mois de l'année au cours desquels les précipitations ont été supérieures à $70,6\ \mathrm{mm}$.
		
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
	
	\emph{Une réponse sans justification ne sera pas prise en considération lors de la correction.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation 1: le nombre $0,28$ est un nombre rationnel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$0,28=\frac{28}{100}$ donc $0,28$ peut s'écrire comme un quotient de nombres entier et donc c'est un rationnel.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère deux nombres réels strictement positifs $a$ et $b$.
		
		Affirmation 2: la quotient de $a$ par $b$ est strictement inférieur au nombre $a$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Si $a=1$ et $b=0,1$ alors $a$ et $b$ sont bien des nombres réels strictement positifs et $\frac{a}{b}=\frac{1}{0,1}=10$ donc, dans ce cas, $\frac{a}{b} >a$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation 3: le produit de deux entiers naturels impairs est un entier naturel impair.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Deux nombres sont impairs si et seulement si il est possible de les écrire sous la forme $2n+1$ et $2m+1$ avec $n$ et $m$ des entiers.
		Alors leur produit est
		
		\begin{align*}
			(2n+1)(2m+1) &= 2n \times 2m +2n \times 1 +1 \times 2m+1 \times 1\\
			&= 2\times 2nm+2n+2m+1\\
			&= 2\left( 2nm+n+m\right)+1
		\end{align*}
		
		Or $2nm+n+m$ est un entier donc $2\left( 2nm+n+m\right)+1$ est un nombre impair.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans le repère ci-dessous, la droite $(d)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $f$. La droite $(d)$ passe par les points de coordonnées $(1 ; 0,5)$ et $(0 ; 2)$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-1.6};
				\def\yY{-1.9};
				\def\xZ{3.2};
				\def\yZ{4.3};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				%\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {-1,1, 2,3}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {-1,1,2,3,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1.5:2.5] plot(\x,{-6/4*\x+2});
				\draw[blue] (2.70,-1.5) node {$(d)$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Affirmation 4: pour tout nombre réel $x$, $f(x)=2x-1,5$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$2 \times 0-1,5=-1,5 \ne 2$ donc, avec la formule algébrique proposée pour $f$, l$d$ ne passerait pas par le point de coordonnées $(0;2°$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La figure ci-dessous n’est pas en vraie grandeur.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2024_maths_externe_sujet_1_05_cercles.png}
		\end{center}
		
		On a tracé deux cercles de centre $A$:
		
		\begin{itemize}
			\item le cercle $(C_1)$ de rayon $7,8\ \mathrm{cm}$,
			
			\item le cercle $(C_2)$ de rayon $2,4\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{itemize}
		
		Le segment $[DE]$ mesure $2,9\ \mathrm{cm}$.
		
		$A$, $D$ et $B$ sont alignés.
		
		$A$, $E$ et $C$ sont alignés.
		
		Affirmation 5: la longueur $BC$ arrondie au millimètre est égale à $9,4\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Pour consolider l’addition de deux nombres entiers en début de cycle 2, un enseignant propose à des élèves d’une classe de CP d’utiliser des dés.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Les dés utilisés par les élèves sont assimilés à des cubes de côté 19 mm dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$. Ils sont conçus de telle sorte que la somme des nombres indiqués sur deux faces opposées est égale à $7$.
	
	Construire un agrandissement de coefficient $2$ d’un patron d’un tel dé en attribuant un numéro à chacune des faces.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Le jeu consiste à lancer deux dés et à additionner les nombres obtenus sur les faces
supérieures. On considère que ces deux dés sont équilibrés.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner tous les résultats possibles de cette expérience aléatoire.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la probabilité de l’événement: \og La somme obtenue est égale à 4\fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle somme a la plus grande probabilité d’apparaître?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est cette probabilité?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	Plus tard dans l’année, l’enseignant utilise une variante du jeu pour faire calculer des différences. Le jeu consiste désormais à lancer deux dés et à déterminer l’écart entre les deux
nombres obtenus sur les faces supérieures, c’est-à-dire la différence entre le plus grand et le
plus petit de ces deux nombres.
	
	
	Dans le contexte de cette variante du jeu, proposer un exemple d’événement dont la
probabilité est égale à $\dfrac{1}{6}$.
	
\end{sujet}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (-3,-2);
			\coordinate (B) at (3,-2);
			\coordinate (C) at (3,2);
			\coordinate (D) at (-3,2);
			\draw (A)--(B);
			\draw (C)--(D);
			\draw [samples=100,domain=90:270] plot({2*cos(\x)-3},{2*sin(\x)});
			\draw [samples=100,domain=-90:90] plot({2*cos(\x)+3},{2*sin(\x)});
			\draw [dashed] (A)--(D);
			\draw [dashed] (B)--(C);
			\draw (C) node {$\bullet$};
			\draw (C) node[above] {départ};
			\draw [->,>=latex] (1.5,2.5) -- (-1.5,2.5);
			\def\r{0.5};
			\fill [violet,opacity=0.5] ({-3},{-2})--({-3+\r},{-2}) -- ({-3+\r},{-2+\r}) -- ({-3},{-2+\r});
			\draw ({-3},{-2})--({-3+\r},{-2}) -- ({-3+\r},{-2+\r}) -- ({-3},{-2+\r}) --cycle;
			\fill [violet,opacity=0.5] ({3},{-2})--({3-\r},{-2}) -- ({3-\r},{-2+\r}) -- ({3},{-2+\r});
			\draw ({3},{-2})--({3-\r},{-2}) -- ({3-\r},{-2+\r}) -- ({3},{-2+\r}) --cycle;
			\fill [violet,opacity=0.5] ({3},{2})--({3-\r},{2}) -- ({3-\r},{2-\r}) -- ({3},{2-\r});
			\draw ({3},{2})--({3-\r},{2}) -- ({3-\r},{2-\r}) -- ({3},{2-\r}) --cycle;
			\fill [violet,opacity=0.5] ({-3},{2})--({-3+\r},{2}) -- ({-3+\r},{2-\r}) -- ({-3},{2-\r});
			\draw ({-3},{2})--({-3+\r},{2}) -- ({-3+\r},{2-\r}) -- ({-3},{2-\r}) --cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Une enseignante entraîne les élèves de sa classe de CM1 à la course longue sur une piste
d’une longueur totale de $200\ \mathrm{m}$ ayant la forme ci-dessus.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Afin d’aider les élèves dans le relevé de leur performance, l’enseignante dispose huit plots
équidistants tout au long de la piste. Les élèves forment des binômes et se répartissent les
rôles: l’un d’entre eux court, l’autre l’observe et note la distance parcourue puis ils inversent
leurs rôles.
	
	L’enseignante demande aux élèves de courir pendant $5$ minutes et de compléter la fiche suivante. La distance retenue est la distance entre le point de départ et le dernier plot franchi. Voici les résultats d’un binôme:
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Prénom & Nombre de tours complets parcourus & Nombre de plots franchis dans le tour incomplet & Distance parcourue (en $\mathrm{m}$)
			\\
			\hline
			Lola & $4$ & $1$ & $825$
			\\
			\hline
			Joris & $3$ & $4$ & $700$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que Lola a bien parcouru la distance affichée dans le tableau.
			
		\end{sujet}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer sa vitesse moyenne en $\mathrm{m}/\mathrm{min}$.
			
		\end{sujet}	

		

	\end{enumerate}

	

	\item 
		
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la vitesse moyenne de Joris en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Exprimer, en pourcentage arrondi à l’unité, la distance supplémentaire parcourue par Lola
par rapport à celle parcourue par Joris.
		
	\end{sujet}

\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	L’enseignante utilise un tableur pour calculer la distance parcourue et la vitesse moyenne de
chaque élève de la classe.
	
	{\hspace*{-1cm}
	\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2024_maths_externe_sujet_1_06_tableur}
	}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner une formule qui peut être saisie dans la cellule D2 puis recopiée vers le bas pour
obtenir le tableau complété.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner une formule qui peut être saisie dans la cellule E2 puis recopiée vers le bas pour
obtenir le tableau complété.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignante rassemble les résultats des distances parcourues par les élèves dans le
tableau ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{10}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				Distance parcourue ($\mathrm{m}$) & $550$ & $575$ & $625$ & $650$ & $675$ & $700$ & $750$ & $775$ & $825$ & $850$
				\\
				\hline
				Effectif & $2$ & $1$ & $4$ & $2$ & $3$ & $6$ & $1$ & $3$ & $2$ & $1$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		Déterminer la distance moyenne parcourue par les élèves de cette classe.
		
	\end{sujet}

\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	La piste est représentée par le trait continu sur le
schéma ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\coordinate (A) at (-3,-2);
			\coordinate (B) at (3,-2);
			\coordinate (C) at (3,2);
			\coordinate (D) at (-3,2);
			\draw [very thick] (A)--(B);
			\draw [very thick] (C)--(D);
			\draw [very thick] [samples=100,domain=90:270] plot({2*cos(\x)-3},{2*sin(\x)});
			\draw [very thick] [samples=100,domain=-90:90] plot({2*cos(\x)+3},{2*sin(\x)});
			\draw [dashed] (A)--(D);
			\draw [dashed] (B)--(C);
			\draw (C) node {$\bullet$};
			\draw (C) node[above] {départ};
			\draw [->,>=latex] (1.5,2.5) -- (-1.5,2.5);
			\def\r{0.5};
			\fill [violet,opacity=0.5] ({-3},{-2})--({-3+\r},{-2}) -- ({-3+\r},{-2+\r}) -- ({-3},{-2+\r});
			\draw ({-3},{-2})--({-3+\r},{-2}) -- ({-3+\r},{-2+\r}) -- ({-3},{-2+\r}) --cycle;
			\fill [violet,opacity=0.5] ({3},{-2})--({3-\r},{-2}) -- ({3-\r},{-2+\r}) -- ({3},{-2+\r});
			\draw ({3},{-2})--({3-\r},{-2}) -- ({3-\r},{-2+\r}) -- ({3},{-2+\r}) --cycle;
			\fill [violet,opacity=0.5] ({3},{2})--({3-\r},{2}) -- ({3-\r},{2-\r}) -- ({3},{2-\r});
			\draw ({3},{2})--({3-\r},{2}) -- ({3-\r},{2-\r}) -- ({3},{2-\r}) --cycle;
			\fill [violet,opacity=0.5] ({-3},{2})--({-3+\r},{2}) -- ({-3+\r},{2-\r}) -- ({-3},{2-\r});
			\draw ({-3},{2})--({-3+\r},{2}) -- ({-3+\r},{2-\r}) -- ({-3},{2-\r}) --cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Elle a été obtenue à partir d’un rectangle et de deux
demi-cercles dont les diamètres sont égaux à la largeur du rectangle.
	
	Le format du rectangle, c’est-à-dire le quotient $\dfrac{\text{longueur du rectangle}}{\text{largeur du rectangle}}$, est égale à $\dfrac{5}{3}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question, on suppose que la longueur du rectangle est de $20\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la largeur du rectangle est alors de $12\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer un arrondi au mètre de la longueur de la piste.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la longueur et la largeur du rectangle afin que la piste ait une longueur totale
de $200\ \mathrm{m}$. Arrondir au centimètre chaque dimension.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Un géoplan est une planche carrée qui
	comporte des picots espacés régulièrement
autour desquels peuvent être accrochés des
 élastiques de longueurs variées.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.8]{crpe_2024_maths_externe_sujet_1_07_geoplan.png}
	\end{center}
	
	Un enseignant propose à des élèves d’une
	classe de CM d’utiliser un géoplan dans le
but de réaliser des figures géométriques.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	L’enseignant donne la consigne suivante à un groupe d’élèves: \og Vous réaliserez le tour du
géoplan en formant des carrés les plus petits possibles. Utilisez un élastique différent pour la
construction de chaque carré. Ces carrés seront ainsi placés au plus près des bords du
géoplan\fg{}.
	
	Sur l’image ci-dessous, l’élève a commencé en construisant
les trois premiers carrés du tour du géoplan.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0.5,0.5) -- (5.5,0.5) -- (5.5,5.5) -- (0.5,5.5) -- cycle;
			\foreach \u in{1,2,...,5}{
				\foreach \v in {1,2,...,5}{
					\draw ({\u},{\v}) node {$\bullet$};
				}
			}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}