%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 4.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 4.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_4_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_4_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Le sujet est composé de sept exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante organise une sortie scolaire autour de La Rochelle. Le voyage s’effectue par
 navette maritime en deux étapes:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item un trajet aller, appelé trajet A, qui part du port de La Rochelle (point $R$), se rend autour
du fort Boyard (point $F$), fait deux tours du fort puis se rend à St-Denis d’Oléron
(point $D$);
		
		\item un trajet retour, appelé trajet B, qui part de Saint-Denis d’Oléron (point $D$) et se rend
directement au port de La Rochelle (point $R$).
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_01_carte.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: étude des trajets.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne $DF = 13,80\ \mathrm{km}$, $DR = 23,41\ \mathrm{km}$ et $RF = 18,91\ \mathrm{km}$.
		
		Démontrer que le triangle $RDF$ est un triangle rectangle en $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $RDF$ est rectangle en $F$.}
		
		D'une part
		\begin{align*}
			DF^2+RF^2 &= 13,80^2+18,91^2\\
			&= 548,0281
		\end{align*}
		d'autre part
		\begin{align*}
			DR^2 &= 23,41^2\\
			&= 548,0281
		\end{align*}
		donc $DF^2+RF^2=DR^2$.
		
		Nous en déduisons, d'après la réciproque du théorème de Pythagore que
		
		\begin{conclusion}
			
			$RDF$ est rectangle en $F$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Le nœud est une unité de vitesse utilisée dans le domaine maritime. $1$ nœud correspond à $\np{1 852}$ mètres par heure.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que la vitesse moyenne de la navette sur le trajet B est de $10$ nœuds, calculer la durée du trajet B, en minute, arrondie à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la durée $t$ du trajet.}
		
		\begin{align*}
			v &= \frac{d}{t}\\
			\intertext{donc}
			t &= \frac{d}{v}\\
			&= \frac{23,41\ \mathrm{km}}{ 10\ \text{nœuds}}\\
			&= \frac{\np{23410}\ \mathrm{m}}{10 \times \np{1852}\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{h}^{-1}}\\
			&= \frac{\np{23410}}{10 \times \np{1852}} \ \frac{\mathrm{m}\cdot \mathrm{h}}{\mathrm{m}}\\
			&= \frac{\np{23410}}{10 \times \np{1852}} \times 60 \ \mathrm{min}\\
			&\approx 75,84\ \mathrm{min} 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le trajet dure $76$ minutes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le trajet A prévoit un détour vers le Fort Boyard. La navette effectue deux fois le tour du fort avant de repartir.
		
		On modélise le tour du fort par un trajet circulaire, de rayon $500$ m.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_02_boyard.png}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la longueur d’un tour du fort, ainsi modélisée, est d’environ $3142\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la longueur $L$ d'un tour du fort.}
			
			Le tour étant circulaire de rayon $500\ \mathrm{m}$:
			
			\begin{align*}
				L &= 2\pi \times 500\ \mathrm{m}\\
				&\approx 3141,59\ \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$L \approx \np{3142}\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la distance totale du trajet A. Donner le résultat en kilomètre, arrondi à l’unité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la distance $L_A$ du trajet A.}
			
			\begin{align*}
				L_A &= RF +2 L +FD\\
				&= 18,91 \ \mathrm{km}+ 2 \times 3142\ \mathrm{m} + 13,8\ \mathrm{km}\\
				&= 18,91 \ \mathrm{km}+ 2 \times 3,142\ \mathrm{km} + 13,8\ \mathrm{km}\\
				&= 38,994\ \mathrm{km}
			\end{align*}	
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_A \approx 39\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le trajet A dure au total $2\ \mathrm{h}$. Calculer la vitesse moyenne de la navette, exprimée en nœuds et arrondie à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la vitesse moyenne $v_A$ sur le trajet A.}
		
		\begin{align*}
			v_A &= \frac{L_A}{2 \ \mathrm{h}}\\
			&= \frac{29\ \mathrm{km}}{ 2\ \mathrm{h}}\\
			&= \frac{29}{2} \ \frac{\mathrm{km}}{ \mathrm{h}}\\
			&= 19,5\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}\\
			&= 19,5 \times \frac{1}{1,852}\ \text{nœud}\\
			&\approx 10,529\ \text{nœud}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_A\approx 11 \ \text{nœud}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: étude de tarifs.}

\begin{sujet}
	
	L’entreprise qui réalise ce trajet étudie le prix à fixer pour le voyage. 
	
	Une étude de marché montre qu’en fixant le prix d’une place sur la navette à $30\ \text{\euro}$, l’entreprise vendrait $450$ places en moyenne par jour.
	
	La même étude montre que :
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item à chaque augmentation de $10$ centimes, l’entreprise vendra $3$ places de moins;
		
		\item à chaque diminution de $10$ centimes, l’entreprise vendra $3$ places de plus.
		
	\end{enumerate}
	
	On appelle recette journalière moyenne de l’entreprise le montant récolté lors de la vente des places.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item
	 
	\begin{sujet}
		
		Calculer la recette journalière moyenne si l’entreprise fixe le prix d’une place à $30\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la recette $R(30)$ si le prix est fixé à $30\ \text{euro}$.}
		
		\begin{align*}
			R(30) &= 450 \times 30\ \text{euro}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$R(30)=\np{13500}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si l’entreprise décide de fixer la place à $40\ \text{\euro}$, alors la recette journalière moyenne est de $\np{6 000}\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si le prix de la place est de $40\ \text{\euro}$ alors le nombre d'augmentations de $10\ \mathrm{centimes}=0,1\ \text{\euro}$ est
			
			\begin{align*}
				\frac{40-30}{0,10} &= 100
			\end{align*}
			
			Donc le nombre de places vendues est
			
			\begin{align*}
				450-100 \times 3 &= 150
			\end{align*}
						
			La recette est alors de
			
			\begin{align*}
				R(40) &= 150 \times 40\ \text{\euro} 
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R(40)=\np{6000}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la recette journalière moyenne si l’entreprise décide de fixer la place à $10\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si le prix de la place est de $10\ \text{\euro}$ alors le nombre de diminutions est de $10\ \mathrm{centimes}=0,1\ \text{\euro}$ est
			
			\begin{align*}
				\frac{30-10}{0,10} &= 200
			\end{align*}
			
			Donc le nombre de places vendues est
			
			\begin{align*}
				450+200 \times 3 &= 1050
			\end{align*}
			
			La recette est alors de
			
			\begin{align*}
				R(10) &= 1050 \times 10\ \text{\euro} 
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R(10)=\np{10500}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le graphique suivant donne la recette journalière prévue par l’étude de marché en fonction du prix d’une place.
		
		{\hspace*{-1.2cm}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1/4,yscale=1/2]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{0};
			\def\xcoinhautdroit{48};
			\def\ycoinbasgauche{0};
			\def\ycoinhautdroit{16.7};
			%Les deux grilles
			%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,black!40!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{};
			%fonction
			\draw[black, thick][samples=100,domain=0:45] plot({\x},{-30*(\x-45)*\x/1000});
			\foreach \x in {0, 2,...,47}\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,16} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}\hspace{0.05cm}000};
			\draw (42,-1.1) node[fill=white]{\footnotesize Prix d'une place (en \euro)};
			\draw (4.5,16.1) node[fill=white]{\footnotesize Recette (en \euro)};
		\end{tikzpicture}			
		}
		
		Répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner la recette journalière pour un prix unitaire de $10\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			~
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1/8,yscale=1/4]
					%extremites du graphique
					\def\xcoinbasgauche{0};
					\def\xcoinhautdroit{48};
					\def\ycoinbasgauche{0};
					\def\ycoinhautdroit{16.7};
					%Les deux grilles
					%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
					\draw[xstep=1cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,black!40!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
					%Les deux axes
					\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{};
					\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{};
					%fonction
					\draw[black, thick][samples=100,domain=0:45] plot({\x},{-30*(\x-45)*\x/1000});
					\foreach \x in {0, 2,...,47}\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1,2,...,16} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}\hspace{0.05cm}000};
					\draw [red,dashed,very thick] (10,0) -- (10,10.5) -- (0,10.5);
				\end{tikzpicture}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R(10)=\np{10500}\ \text{\euro}$. 
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le(s) prix unitaire(s) correspondant à une recette journalière de $\np{14 000}\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			~
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1/8,yscale=1/4]
				%extremites du graphique
				\def\xcoinbasgauche{0};
				\def\xcoinhautdroit{48};
				\def\ycoinbasgauche{0};
				\def\ycoinhautdroit{16.7};
				%Les deux grilles
				%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=1cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,black!40!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				%Les deux axes
				\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{};
				\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{};
				%fonction
				\draw[black, thick][samples=100,domain=0:45] plot({\x},{-30*(\x-45)*\x/1000});
				\foreach \x in {0, 2,...,47}\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,16} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}\hspace{0.05cm}000};
				\draw [red,dashed,very thick] (0,14) -- (46,14);
				\draw [red,dashed,very thick] (16,14) -- (16,0);
				\draw [red,dashed,very thick] (28.8,14) -- (28.8,0);
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour une recette de $\np{14000}\ \text{\euro}$ il faut un prix unitaire de $16$ ou $28,8$ euro. 
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel prix unitaire permet d’obtenir une recette journalière maximale ? Indiquer le montant de cette recette maximale.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			~
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1/8,yscale=1/4]
				%extremites du graphique
				\def\xcoinbasgauche{0};
				\def\xcoinhautdroit{48};
				\def\ycoinbasgauche{0};
				\def\ycoinhautdroit{16.7};
				%Les deux grilles
				%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=1cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,black!40!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				%Les deux axes
				\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{};
				\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{};
				%fonction
				\draw[black, thick][samples=100,domain=0:45] plot({\x},{-30*(\x-45)*\x/1000});
				\foreach \x in {0, 2,...,47}\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,16} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}\hspace{0.05cm}000};
				\draw [red,dashed,very thick] (22.5,0) -- (22.5,15.25);
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour une recette maximale il faut un prix unitaire de $22,5$ euro. La recette maximal est alors de $\np{15250}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Une mairie souhaite végétaliser la cour de son école.
	
	Sur un sol de copeaux de bois, la mairie souhaite installer des
appuis conçus à partir de parallélépipèdes rectangles.
	
	Les appuis sont obtenus à partir de blocs de bois écoresponsables, qui sont ensuite tronçonnés en partie de façon
à obtenir une assise rectangulaire $ABCD$ sur laquelle les
élèves peuvent s'appuyer.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_03_bloc_dimensions.png}};
			\coordinate (A) at (0.3,2);
			\draw (A) node [right] {$A$};
			\coordinate (B) at (-1,2.1);
			\draw (B) node [left] {$B$};
			\coordinate (C) at (-1.2,0.5);
			\draw (C) node [left] {$C$};
			\coordinate (D) at (0.1,0.4);
			\draw (D) node [right] {$D$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	La mairie décide d’installer dans la cour de l’école trente de
ces appuis.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer, en mètre cube, le volume de bois nécessaire
		avant tronçonnage, à la fabrication des trente appuis.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume total de bois nécessaire $V_t$.}
		
		Le volume d'un parallélépipède rectangle est
		
		\begin{align*}
			V_p &= \left( 40\ \mathrm{cm} \right) \times (1\ \mathrm{m}) \times (1,25\ \mathrm{m})\\
			&= \left( 0,40\ \mathrm{m} \right) \times (1\ \mathrm{m}) \times (1,25\ \mathrm{m})\\
			&= 0,40 \times 1 \times 1,25\ \mathrm{m}^3\\
			&= 0,5\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		Donc pour les trente appuis le volume est de
		
		\begin{align*}
			V_t &= 30 \times V_p\\
			&= 30 \times 0,5\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_t=15\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une fois tronçonnés, les blocs prennent donc la forme ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_04_bloc_assise.png}};
				\coordinate (A) at (-1.5,1.25);
				\node (B) at (A) {assise};
				\draw [>=latex,->] (B) -- (-0.4,0.7);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Les assises des appuis sont alors peintes en blanc.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que l’aire d’un rectangle à peindre en blanc est égale à $2120\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{S}(ABCD)$ de la surface d'une assise.}
			
			$ABCD$ est un rectangle pour calculer son aire il faut les longueurs de deux côtés consécutifs.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $CD=40 \ \mathrm{cm}$.
				
				\item Notons $H$ l'un des sommets du prisme découpé:
				
				\begin{center}
					
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
						\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_03_bloc_dimensions.png}};
						\coordinate (A) at (0.3,2);
						\draw (A) node [right] {$A$};
						\coordinate (B) at (-1,2.1);
						\draw (B) node [left] {$B$};
						\coordinate (C) at (-1.2,0.5);
						\draw (C) node [left] {$C$};
						\coordinate (D) at (0.1,0.4);
						\draw (D) node [right] {$D$};
						\coordinate (H) at (0.1,1.8);
						\draw [red] (H) node {$\bullet$};
						\draw [red] (H) node [below left] {$H$};
					\end{tikzpicture}
					
				\end{center}
				
				$AHD$ est un triangle rectangle en $H$ donc, d'après le théorème de Pythagore, $AH^2+HD^2=AD^2$.
				
				Or $AH=1\ \mathrm{m}-72\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{cm} -72 \ \mathrm{cm}=28\ \mathrm{cm}$ et $HD=1,25\ \mathrm{m}-80\ \mathrm{cm}= 125\ \mathrm{cm}-80\ \mathrm{cm}=45\ \mathrm{cm}$ donc, si $AD$ est exprimé en centimètre,
				
				\begin{align*}
					AD^2 &= 28^2+45^2\\
					&= 2809\\
					\intertext{$AD$ étant une longueur c'est un nombre postif et donc:}
					AD &= \sqrt{2809}\\
					&= 53
				\end{align*}
				
				Ainsi $AD=53\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{enumerate}
			
			Des points précédents nous déduisons:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{S}(ABCD) &= CD \times AD\\
				&= 40 \ \mathrm{cm} \times 53 \ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{S}(ABCD)=\np{2120}\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire totale des rectangles à peindre en blanc pour les $30$ appuis en mètre carré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire totale $\mathscr{S}_t$ à peindre.}
			
			$\mathscr{S}_t=30 \times \mathscr{S}(ABCD) =30 \times \np{2120}\ {\color{orange}\mathrm{cm}^2}=63600\times {\color{orange}\frac{1}{10000}\ \mathrm{m}^2}$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{S}_t= 6,36\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			D’après la fiche technique suivante, combien de pots de couleur blanche seront nécessaires?
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|m{7cm}|}
					\hline
					\hfill Fiche technique \hfill~
					\\
					\begin{itemize}
						\item Peinture laque glycero aspect satiné.
						\item Usage: intérieur, extérieur, monocouche.
						\item Rendement: $10\ \mathrm{m}^2/\mathrm{L}$.
						\item Protège des UV et intempéries.
						\item Conditionnement: $0,5\ \mathrm{L}$.
					\end{itemize}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $1$ litre permet de peindre $10\ \mathrm{m}^2$, un pot de $0,5\ \ell$ permet de peindre $5\ \mathrm{m}^2$.
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				pour peindre $6,36\ \mathrm{m}^2$ il faudra deux pots.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante propose à ses élèves un jeu de 52 cartes. Le jeu contient 13 cartes (As, 2,3, ..., 10, Valet, Dame, Roi) de chacune des familles suivantes: carreau, cœur, pique, trèfle.
	
	Cœur et carreau sont des familles de couleur rouge. Pique et trèfle sont de couleur noire.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignante donne une carte, choisie au hasard, à Ana.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que la carte d’Ana soit rouge?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Modélisons la situation. Sans indication spécifique on peut estimer que toutes les cartes ont la même probabilité d'être tirées: il y a équiprobabilité. Ainsi l'univers formé des $52$ cartes est muni de la loi uniforme.}
			
			\medskip
			La moitié des cartes étant rouges:
			
			\begin{conclusion}
				
				la probabilité d'obtenir une carte rouge est $\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que la carte d’Ana soit un pique?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Un quart des cartes étant des piques:
			
			\begin{conclusion}
				
				la probabilité d'obtenir un pique est $\frac{1}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que la carte d’Ana soit un valet?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a quatre valets parmi les $52$ cartes donc
						
			\begin{conclusion}
				
				la probabilité d'obtenir un valet est $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que la carte d’Ana soit une dame de couleur rouge?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a deux dames de couleur rouge parmi les $52$ cartes donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la probabilité d'obtenir un valet est $\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que la carte d’Ana soit une carte de couleur rouge ou une dame?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a $26$ cartes rouges et deux dames noires parmi les $52$ cartes donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la probabilité d'obtenir une carte de couleur rouge ou une dame est $\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignante décide d’ajouter des cartes Joker à son jeu. Combien doit-elle ajouter de
carte joker pour que la probabilité qu’Ana reçoive une carte Joker soit de $\dfrac{1}{14}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre $N$ de cartes joker rajoutées.}
		
		La probabilité d'obtenir une des $N$ cartes joker parmi les $52+N$ cartes est (en supposant toujours l'équiprobabilité):
		
		\begin{align*}
			\frac{N}{52+N} &= \frac{1}{14}\\
			\intertext{On en déduit par un produit en croix:}
			14N &= 52+N\\
			\intertext{équation du premier degré qui équivaut successivement à:}
			14N {\color{orange}-N} &= 52+N  {\color{orange}-N}\\
			13N &= 52\\
			\frac{13N}{\color{orange}N} &= \frac{52}{\color{orange}13}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$N=4$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	On considère les deux scripts ci-dessous.
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw (-3.75,4) node {\textbf{Script principal.}};
		\draw (-3,0) node {
		\begin{scratch}[scale=0.9]
			\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
			\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
			\blockpen{stylo en position d'écriture}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}{
				\blockmove{avancer de \ovalnum{100}}
				\blockmoreblocks{Carré}
				\blockmove{avancer de \ovalnum{-100}}	
				\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
			}
		\end{scratch}
		};
		\draw (-6,0.5) node {Ligne A};
		\draw (-6,-2.75) node {Ligne B};
		\draw (3.25,3.5) node {\textbf{Bloc Carré.}};
		\draw (4,1) node {		\begin{scratch}[scale=0.9]
			\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Carré}}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}{
				\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
				\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
			}
		\end{scratch}
		};
	\draw (1,1.5) node {Ligne C};
	\end{tikzpicture}
	
	On rappelle que l’instruction
	\begin{scratch}[scale=1]
		\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
	\end{scratch}
	signifie que l’on se dirige vers la droite.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Les programmes de cet exercice sont téléchargeables ici: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_4_05_scratch_programme.sb3}{lien de téléchargement}.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Représenter sur la copie la figure réalisée par le script principal. Le lutin se déplace selon le nombre de pixels défini. On représentera $25$ pixels par $1 \ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
				\draw (0,1) -- (-1,1) -- (-1,2) -- (0,2) -- (0,-2) -- (1,-2) -- (1,-1) -- (0,-1);
				\draw (-1,0) -- (-1,-1) -- (-2,-1) -- (-2,0) -- (2,0) -- (2,1) -- (1,1) -- (1,0);
				\draw [>=latex,<->] (0.25,1) -- (0.25,2) node [midway,right] {$2\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (0.25,0) -- (0.25,1) node [midway,right] {$2\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (0,2.25) -- (-1,2.25) node [midway,above] {$2\ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite réaliser la figure ci-dessous en modifiant les scripts ci-dessus.
		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_06_scratch_drapeaux.png}};
			\draw (0.7,0.2) node {$O$};
			\draw (1.8,2.3) node {$A$};
			\draw (0.9,3) node {$B$};
			\draw (0.3,1.8) node {$C$};
			\draw (1.3,1.2) node {$D$};
			\draw (-1,2.5) node {$E$};
			\draw (-1.9,1.9) node {$F$};
			\draw (-1.3,0.8) node {$G$};
			\draw (-0.3,1.8) node {$H$};
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles modifications doit-on apporter aux lignes A, B et C pour obtenir cette figure?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			On modifie le programme de la façon suivante:
			
			{\hspace*{-1.8cm}\begin{tikzpicture}
				\draw (-3.75,4) node {\textbf{Script principal.}};
				\draw (-3,0) node {
					\begin{scratch}[scale=0.9]
						\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
						\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
						\blockpen{stylo en position d'écriture}
						\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}{
							\blockmove{avancer de \ovalnum{100}}
							\blockmoreblocks{Carré}
							\blockmove{avancer de \ovalnum{-100}}	
							\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{36} degrés}
						}
					\end{scratch}
				};
				\draw (-6,0.5) node {Ligne A};
				\draw (-6,-2.75) node {Ligne B};
				\draw (3.25,3.5) node {\textbf{Bloc Carré.}};
				\draw (4,1) node {		\begin{scratch}[scale=0.9]
						\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Carré}}
						\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}{
							\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
							\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
						}
					\end{scratch}
				};
				\draw (1,1.5) node {Ligne C};
			\end{tikzpicture}}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une transformation géométrique, dont on donnera les caractéristiques, permettant de passer du carré $ABCD$ au carré $EFGH$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			~
			
			\begin{conclusion}
				
				La transformation permettant de passer de $ABCD$ à $EFGH$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $60\degres$ (ou $\frac{\pi}{3}$).
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Les effectifs et les salaires mensuels des différents employés d’une entreprise sont inscrits
dans la feuille de calcul suivante:
	
	\medskip
	\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_07_tableur.png}
	
	\medskip
	Dans la suite de l’exercice, on considère que les charges s’élèvent à $22\ \%$ du salaire brut. Le
salaire brut moins les charges est appelé salaire net.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est l’étendue des salaires mensuels bruts dans cette entreprise ?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'étendue des salaires.}
		
		\begin{align*}
			e &= \max -\min \\
			&= 5500-1923
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$e= 3577\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le salaire mensuel net de la directrice est de $\np{4 290}\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le salaire net $S_{dn}$ de la directrice.}
		
		Le montant des charges sur le salaire de la directrice est de 
		
		\begin{align*}
			\frac{22}{100} \times 5500\ \text{\euro} &= 1210\ \text{\euro}
		\end{align*}
		
		donc le salaire net est
		
		\begin{align*}
			S_{dn} &= 5500\ \text{\euro} -1210\ \text{\euro}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$S_{dn}=4290\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le comptable souhaite calculer le salaire mensuel net des autres employés.
				
		Quelle formule doit-il écrire dans la cellule B4 pour calculer les charges sociales d’un ouvrier? Cette formule doit pouvoir être étendue pour calculer les charges dans toutes les colonnes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		
		\begin{conclusion}
			
			En $\texttt{B}4$ on entre: $=\texttt{B}3*22/100$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle formule entrer dans la cellule $\texttt{B}5$ pour calculer le salaire net de l’ouvrier? Cette formule doit pouvoir être étendue pour calculer les salaires nets dans toutes les colonnes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		
		\begin{conclusion}
			
			En $\texttt{B}5$ on entre: $=\texttt{B}3-\texttt{B}4$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le salaire mensuel brut moyen dans cette entreprise. Arrondir à l’euro.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le salaire moyen brut $\overline{x}$.}
		
		On utilise la formule de la moyenne pondérée:
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{n_1x_1+n_2x_2+ \dots + n_rx_r}{n_1+n_2+\dots + n_r}\\
			&= \frac{4 \times 1923+5 \times 2307 +2 \times 2693+3 \times 4200 +1 \times 5500}{4+5+2+3+1}\\
			&\approx 2847,53
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{x} \approx 2848\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la médiane des salaires mensuels bruts de cette entreprise.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la médiane $Me$ des salaires bruts.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La série des salaires bruts est rangée dans l'ordre croissant dans l'énoncé.
			\item Il y a $4+5+2+3+1=15$ employés. $\frac{15}{2}=7,5$ donc la médiane est la huitième valeur (série impaire).
			\item En cumulant les effectifs: $4+5=9$ don la huitième valeur de la série ordonnée est $2307$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$Me=2307\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’entreprise envisage l’embauche d’un nouvel ingénieur. Celui-ci souhaite un salaire net de $\np{3 200}\ \text{\euro}$. À combien doit s’élever son salaire brut? Arrondir à l’euro.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $x$ le salaire brut de l'ingénieur.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $x$.}
		
		On doit avoir:
		
		\begin{align*}
			x- \frac{22}{100} \times x &= 3200\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\left( 1- \frac{22}{100} \right) x &= 3200\\
			0,78 x &= 3200\\
			\frac{0,78x}{\color{orange}0,78} &= \frac{3200}{\color{orange}0,78}\\
			x &= \frac{3200}{0,78}
			\intertext{Donc}
			x &\approx 4102,564
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$x\approx 4103\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son \og retourné \fg{} le nombre
obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Recopier et compléter le tableau suivant:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Nombre choisi & $43$ & $57$ & $52$ & $60$ & $16$
				\\
				\hline
				Nombre retourné & $34$ & $75$ & & & 
				\\
				\hline
				Différence entre le nombre choisi et son \og retourné\fg{} & &&&&
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Nombre choisi & $43$ & $57$ & $52$ & $60$ & $16$
				\\
				\hline
				Nombre retourné & $34$ & $75$ & $25$ & $6$ & $61$
				\\
				\hline
				Différence entre le nombre choisi et son \og retourné\fg{} & $9$ & $-18$ & $27$ & $54$ & $-45$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle conjecture peut-on faire sur la différence entre un nombre et son retourné?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il semble que la différence entre un nombre et son retourné soit un multiple de $9$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $N$ le nombre choisi, $u$ son chiffre des unités et $d$ son chiffre des dizaines.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer $N$ en fonction de $d$ et $u$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$N=10d+u$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer le \og retourné \fg{} $R$ du nombre choisi en fonction de $d$ et $u$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R=10u+d$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
			Montrer que la différence $N-R$ est égale à $9(d-u)$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				N-R &= 10d+u-(10u+d)\\
				&= 10d+10u-10u-d\\
				&= 9d-9u
			\end{align*}
			
			donc, en factorisant par $9$
			
			\begin{conclusion}
				
				$N-R=9(d-u)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 

		\begin{sujet}
			
			En déduire que la différence entre un nombre et son retourné est un multiple de $9$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question précédente: $N-R=9(d-u)$. Or $d-u$ est un nombre entier donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$N-R$ est un multiple de $9$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour obtenir une différence $N-R$ égale à $63$ quels nombres est-il possible de choisir au départ? Donner l’ensemble des solutions.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $N-R=63$ alors 
			
			\begin{align*}
				9(d-u) &= 63\\
				\frac{9(d-u)}{\color{orange}9} &= \frac{63}{\color{orange}9}\\
				d-u &= 7\\
				d &= 7+u
			\end{align*}
			
			Or $0\leqslant u \leqslant 9$ et $0\leqslant d \leqslant 9$ donc les couples possibles pour $(u,d)$ (dans cet ordre) sont $(0,7)$, $(1,8)$, $(2,9)$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que $N-R=63$ il faut choisir $70$, $81$ ou $92$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour obtenir une différence $N-R$ égale à $56$ quels nombres est-il possible de choisir au départ? Donner l'ensemble des solutions.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $N-R=56$ comme $56=2^3 \times 7$ n'est pas divisible par $9$ donc il n'existe pas de nombre qui convienne.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des nombres possibles est l'ensemble vide.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 7.}

\begin{sujet}
	
	Cet exercice est inspiré d’un problème proposé à des élèves de fin CM1 en 2015 aux
évaluations internationales TIMSS.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_08_dessin_glaces.png}
			\\	
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_09_dessin_glaces_2.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
		
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève propose la réponse suivante:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				$2 \times 14-22=6$\\
				\emph{Une glace fusée vaut $6$ zeds.}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Identifier l’erreur de l’élève.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il a obtenu le prix de deux glaces.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $x$ le prix en zed d’un cône et $y$ le prix en zed d’une glace fusée.
		
		Écrire les équations correspondantes au problème et en déduire le prix d’un cône et d’une glace fusée.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $x$ et $y$.}
		
		La ligne concernant Raphaël se traduit par \[ 2x+4y=22. \]
		
		La ligne concernant Lena se traduit par \[ x+3y=14. \]
		
		On a donc le système \[ \left\{ \begin{array}{ccccc} 2x &+& 4y &=& 22\\ x &+& 3y &=& 14 \end{array} \right.\]
		
		De la seconde équation nous déduisons $x=14-3y$.
		
		En substituant dans la première: $2(14-3y)+4y=22$, ce qui équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
			2 \times 14-2 \times 3y +4y &= 22\\
			28-6y+4y &= 22\\
			-2y & 22-28\\
			y &=3
		\end{align*}
		
		Puis de $x=14-3y$ nous déduisons, sachant que $y=3$, $x=14-3 \times 3=5$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Un cône coûte $5$ zeds et une glace fusée coûte $3$ zeds.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}



\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}