%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 3.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’entier $\np{4 216}$ est-il un multiple de $17$? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Avec la calculatrice: $\np{4216} \div 17= 248$.
		
		Autrement dit $17 \times 248= \np{4216}$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\np{4216}$ est un multiple de $17$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Guillaume veut revoir sa leçon en prenant son petit déjeuner. Malheureusement, il a renversé son chocolat sur sa feuille. Le chiffre des unités et la justification de l’exemple du maître, sont illisibles...
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_01_tache.png}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Rappeler le critère de divisibilité par $3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			Un nombre est divisible par $3$ si
			
			\begin{conclusion}
				
				la somme des chiffres qui le compose est un multiple de $3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner toutes les valeurs possibles du chiffre des unités, caché par la tâche située à gauche.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $n$ le chiffre des unités du nombre de l'exemple. 
			
			Nous devons avoir $2+2+9+n=13+n$ qui est un multiple de $3$.
			
			Testons toutes les possibilités:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$n$ & $13+n$
					\\
					\hline
					$1$ & $14$
					\\
					\hline
					$2$ & $\color{WildStrawberry}15$
					\\
					\hline
					$3$ & $16$
					\\
					\hline
					$4$ & $17$
					\\
					\hline
					$5$ & $\color{WildStrawberry}18$
					\\
					\hline
					$6$ & $19$
					\\
					\hline
					$7$ & $20$
					\\
					\hline
					$8$ & $\color{WildStrawberry}21$
					\\
					\hline
					$9$ & $22$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le chiffre des unités caché est $2$ ou $5$ ou $8$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On admet qu’un nombre entier $n$ est divisible par $7$ si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités est un multiple de $7$, positif ou négatif.
		
		Par exemple, $294$ est divisible par $7$ car $29-4 \times 2 = 21$, et $21$ est divisible par $7$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En détaillant les étapes, vérifier que $413$ est bien divisible par $7$ en utilisant le critère indiqué ci-dessus.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que ${\color{orange}41}{\color{blue}3}$ est divisible par $7$.}
			
			${\color{orange}41} -2 \times{\color{blue}3}=35$ or $35=5 \times 7$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$423$ est divisible par $7$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le nombre $\np{5 292}$ est-il divisible par $7$? Répondre en appliquant, plusieurs fois si nécessaire, le critère précédent.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				529 -2 \times 2 &= 525\\
				52 - 2 \times 5 &= 42
			\end{align*}
			
			Or $42= 6 \times 7$ donc $42$ est un multiplie de $7$.
			
			Nous en déduisons que $525$ est un multiple de $7$.
			
			Nous en déduisons enfin que
			
			\begin{conclusion}
				
				$\np{5292}$ est un multiple de $7$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour déterminer si $\np{1 138 984}$ est divisible par $7$, on utilise le critère précédent à l’aide d’un tableur. On rappelle que la fonction ENT renvoie la partie entière d’un nombre.
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_02_tableur.png}
			\end{center}
			
			Dans la cellule $\texttt{B}1$ on a saisi la formule: \og $= \texttt{ENT}(\texttt{A}1/10)$ \fg{}.
			
			Observer la feuille de calcul puis indiquer des formules ayant pu être saisies dans les cellules $\texttt{C}1$ et $\texttt{D}1$ qui, étirées vers le bas de la feuille de calcul, permettent d’obtenir directement la feuille de calcul ci-dessus.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Dans $\texttt{C}1$: \og $=\texttt{A}1- 10* \texttt{B}1$\fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			
			\begin{conclusion}
				
				Dans $\texttt{D}1$: \og $=\texttt{B}1- 2* \texttt{C}1$\fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le nombre $\np{1 138 984}$ est-il divisible par $7$? Justifier en interprétant les résultats fournis par la feuille de calcul.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le $7$ (visible dans la cellule $\texttt{D}5$) est divisible par $7$ donc il en est de même successivement pour $112$, $\np{1120}$, $\np{11389}$, $\np{113890}$ et enfin $\np{1138984}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\np{1138984}$ est un multiple de $7$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Nadia se prépare pour le cross organisé par son école dont le parcours, $ABIFCDE$, est représenté
		ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.75, yscale=0.70, rotate=-45]
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node[above right] {$A$};
				\def\xB{0};
				\def\yB{-3};
				\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
				\draw (B) node[left] {$B$};
				\def\xC{4};
				\def\yC{0};
				\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
				\draw (C) node[above right] {$C$};
				\def\xE{sqrt(12.5*12.5-7.5*7.5)};
				\def\yE{0};
				\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
				\draw (E) node[below] {$E$};
				\def\xD{sqrt(12.5*12.5-7.5*7.5)};
				\def\yD{7.5};
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\draw (D) node[above right] {$D$};
				\def\xF{4-2.8};
				\def\yF{0};
				\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
				\draw (F) node[above right] {$F$};
				\def\xI{4-2.8};
				\def\yI{-2.1};
				\coordinate (I) at ({\xI},{\yI});
				\draw (I) node[below left] {$I$};
				\draw [dotted] (A) -- (F);
				\draw [dotted] (I) -- (C);
				\draw [dotted] (C) -- (E);
				\draw [thick] (A) -- (B) -- (I) -- (F) -- (C) -- (D) -- (E);
				\draw (A) -- ({\xA+0.5},{\yA}) -- ({\xA+0.5},{\yA-0.5}) -- ({\xA},{\yA-0.5});
				\fill[color=gray , opacity=0.20] (A) -- ({\xA+0.5},{\yA}) -- ({\xA+0.5},{\yA-0.5}) -- ({\xA},{\yA-0.5}) -- cycle;
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Les droites $(AE)$ et $(BD)$ se coupent en $C$.
		
		$F \in [AC]$ et $I \in [BC]$.
		
		Les droites $(AB)$, $(FI)$ et $(DE)$ sont parallèles.
		
		$ABC$ est un  rectangle en $A$.
		
		$AB = 300\ \mathrm{m}$ ; $AC = 400\ \mathrm{m}$; $CD = 1250\ \mathrm{m}$ et $IC = 350\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la longueur $BC$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $BC$.}
			
			{\color{orange}Toutes les longueurs considérées sont exprimées dans la même unité, le mètre, on peut donc ne pas l'indiquer dans nos calculs sans que cela soit source d'erreur.}
			
			\medskip
			Puisque $ABC$ est rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore: \[ BC^2=AB^2+AC^2. \]
			
			Autrement dit
			\begin{align*}
				BC^2 &= 300^2+400^2\\
				&= \np{250000}\\
				\intertext{Puisque $BC$ est une longueur c'est un nombre positif et donc}
				BC &= \sqrt{\np{250000}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$BC=500\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer les longueurs $IF$ et $CF$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $CF$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $C$, $I$, $B$ d'une part et $C$, $I$, $B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre (puisque $F \in [AC]$ et $I \in [BC]$). Ainsi nous avons une configuration de Thalès.
				
				\item $(AB) \parallel (FI)$.	
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{CF}{AC} = \frac{IC}{BC}. \]
			
			Autrement dit:
			
			\begin{align*}
				\frac{CF}{400} &= \frac{350}{500}\\
				\intertext{Donc}
				\frac{CF}{400} {\color{orange} \times 400} &= \frac{350}{500} {\color{orange} \times 400}\\
				CF &= \frac{350}{500}  \times 400\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$CF= 280\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			
			\objectif{Calculons $IF$.}
			
			De même que ci-dessus \[ \frac{IF}{AB} = \frac{IC}{BC}. \]
			
			Autrement dit:
			
			\begin{align*}
			\frac{IF}{300} &= \frac{350}{500}\\
			\intertext{Donc}
			IF &= \frac{350}{500}  \times 300\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$IF= 210\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la longueur $ED$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\objectif{Calculons $ED$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $B$, $C$, $D$ d'une part et $A$, $C$, $E$ d'autre part sont alignés dans cet ordre (puisque les droites $(AE)$ et $(BD)$ se coupent en $C$). Ainsi nous avons une configuration de Thalès.
				
				\item $(AB) \parallel (ED)$.	
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{ED}{AB} = \frac{CD}{BC}. \]
			
			Autrement dit:
			\begin{align*}
				\frac{ED}{300} &= \frac{1250}{500}\\
				\intertext{Donc}
				ED &= \frac{1250}{500} \times 300
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$ED=750\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la longueur du parcours $ABIFCDE$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la longueur $\ell$ de la ligne brisée $ABIFCDE$.}
			
			\begin{align*}
				\ell &= AB + BI +IF+FC+CD+DE\\
				&= 300 + (BC-IC)+210+280+1250+750\\
				&= 300 + (500-350)+210+280+1250+750\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\ell= 2940\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quentin, un adolescent de 16 ans, fait du vélo. On a représenté ci-dessous la distance parcourue en fonction de la durée de parcours lors de sa dernière sortie.
		
		{\hspace*{-1cm}
			\begin{tikzpicture}[xscale=2.5,yscale=0.9]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{4.6};
			\def\yZ{11};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.4cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {0.5, 1,1.5,...,4.5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2,4,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw [very thick] (0,0) -- (1,2) --(2,{35.5/10}) -- (3,{65/10}) -- (4,{80/10}) -- (4.5,{95/10});
			\draw [violet, very thick, dashed] (0,9.5) -- (4.5,9.5);
			\draw [violet] (-0.2,9.5) node {$95$};
			\draw (1,10.5) node {Distance parcourue (en $\mathrm{km}$).};
			\draw (3.8,-1) node {Durée du parcours (en $\mathrm{h}$).};
			\foreach \a/\b in {0/0,1/2,2/{3.55},3/{6.5},4/8,{4.5}/{9.5}} \draw ({\a},{\b}) node {$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La durée du parcours en heure est-elle proportionnelle à la distance parcourue en kilomètre? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Les fonctions qui représente les situations de proportionnalité sont les fonctions linéaires. Or les courbes représentatives de fonctions linéaires sont des droites passant par l'origine du repère.
			
			La courbe n'étant pas une droite
			
			\begin{conclusion}
				
				il n'y a pas proportionnalité entre la durée et la distance parcourue.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Les réponses aux questions suivantes seront données avec la précision permise par le	graphique.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle distance Quentin a-t-il parcouru en $1\ \mathrm{h}$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			{\hspace*{-1.5cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2.5,yscale=0.9]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.6};
				\def\yZ{11};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.4cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0.5, 1,1.5,...,4.5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,4,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw [very thick] (0,0) -- (1,2) --(2,{35.5/10}) -- (3,{65/10}) -- (4,{80/10}) -- (4.5,{95/10});
				\draw [violet, very thick, dashed] (0,9.5) -- (4.5,9.5);
				\draw [violet] (-0.2,9.5) node {$95$};
				\draw (1,10.5) node {Distance parcourue (en $\mathrm{km}$).};
				\draw (3.8,-1) node {Durée du parcours (en $\mathrm{h}$).};
				\foreach \a/\b in {0/0,1/2,2/{3.55},3/{6.5},4/8,{4.5}/{9.5}} \draw ({\a},{\b}) node {$\bullet$};
				\draw [dashed,very thick,red] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				En une heure il a parcouru $20\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la vitesse moyenne de Quentin durant la première heure, en mètre par
			seconde, avec un arrondi au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la vitesse moyenne, $v_1$, pendant la première heure.}
			
			\begin{align*}
				v_1 &= \frac{20 \ \mathrm{km}}{1\ \mathrm{h}}\\
				&= \frac{20 \times 1000\ \mathrm{m}}{1 \times 60\ \mathrm{min}}\\
				&= \frac{20000\ \mathrm{m}}{60\times 60\ \mathrm{s}}\\
				&= \frac{50}{9}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\
				&\approx 5,555\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \ \text{en tronquant,}
			\end{align*}
			
			donc en arrondissant au centième
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_1 \approx 5,56\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle distance Quentin a-t-il parcouru en $1\ \mathrm{h} \ 45$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$1\ \mathrm{h} \ 45= 1,75\ \mathrm{h}$.
				
			{\hspace*{-1.5cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2.5,yscale=0.9]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.6};
				\def\yZ{11};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.4cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0.5, 1,1.5,...,4.5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,4,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw [very thick] (0,0) -- (1,2) --(2,{35.5/10}) -- (3,{65/10}) -- (4,{80/10}) -- (4.5,{95/10});
				\draw [violet, very thick, dashed] (0,9.5) -- (4.5,9.5);
				\draw [violet] (-0.2,9.5) node {$95$};
				\draw (1,10.5) node {Distance parcourue (en $\mathrm{km}$).};
				\draw (3.8,-1) node {Durée du parcours (en $\mathrm{h}$).};
				\foreach \a/\b in {0/0,1/2,2/{3.55},3/{6.5},4/8,{4.5}/{9.5}} \draw ({\a},{\b}) node {$\bullet$};
				\draw [dashed,very thick,red] (1.75,0) -- (1.75,3.2) -- (0,3.2);
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				En $1\ \mathrm{h}\ 45$ il a parcouru $32\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Estimer la vitesse de Quentin durant la troisième heure de son parcours, en kilomètre par heure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la vitesse, $v_2$, pendant la troisième heure.}
					
			{\hspace*{-2cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2.5,yscale=0.9]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.6};
				\def\yZ{11};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.4cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0.5, 1,1.5,...,4.5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,4,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw [very thick] (0,0) -- (1,2) --(2,{35.5/10}) -- (3,{65/10}) -- (4,{80/10}) -- (4.5,{95/10});
				\draw [violet, very thick, dashed] (0,9.5) -- (4.5,9.5);
				\draw [violet] (-0.2,9.5) node {$95$};
				\draw (1,10.5) node {Distance parcourue (en $\mathrm{km}$).};
				\draw (3.8,-1) node {Durée du parcours (en $\mathrm{h}$).};
				\foreach \a/\b in {0/0,1/2,2/{3.55},3/{6.5},4/8,{4.5}/{9.5}} \draw ({\a},{\b}) node {$\bullet$};
				\draw [dashed,very thick,red] (2,0) -- (2,3.6) -- (0,3.6);
				\draw [dashed,very thick,red] (3,0) -- (3,6.5) -- (0,6.5);
				\draw [>=latex, <->,very thick,red] (2,-0.8) -- (3,-0.8) node[midway,below] {$1 \mathrm{h}$};
				\draw [>=latex, <->,very thick,red] (-0.3,3.6) -- (-0.3,6.5) node[midway,left] {$29 \mathrm{km}$};
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{align*}
				v_2 &= \frac{29\ \mathrm{km}}{ 1 \mathrm{km}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_2= 29 \ \mathrm{km}/ \mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Peut-on affirmer que sa vitesse moyenne lors de la troisième heure est supérieure de plus de $40\ \%$ à sa vitesse moyenne lors de la première heure? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Comparons $v_1$ et $v_2$.}
			
			Calculons le taux d'évolution entre ces deux vitesses exprimé en pourcentage:
			
			\begin{align*}
				t &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100\\
				&= \frac{29-20}{20} \times 100\\
				&= 45
			\end{align*}
			
			Autrement dit $t>40$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Sa vitesse moyenne lors de la troisième heure est supérieure de plus de $40\ \%$ à sa vitesse moyenne lors de la première heure.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la vitesse moyenne de Quentin lors de cette sortie, en kilomètre par heure, avec un arrondi au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la vitesse moyenne $v_3$ durant la sortie.}
			
			\begin{align*}
				v_3 &= \frac{95\ \mathrm{km}}{4,5\ \mathrm{h}}\\
				&= \frac{19}{9}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
				&\approx 2,111\ \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_3 \approx 2,11\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de CM2 souhaite créer avec ses élèves des décorations pour la salle de classe.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un premier groupe fabriquera une guirlande constituée d’un motif proposé par l’enseignant dans le script ci-dessous.
		
		\medskip
		{\hspace{-1.5cm}
			\begin{tabular}{|m{13cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_04_scratch.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		}
		
		\medskip
		En voyant apparaître la figure,
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Pierre dit: \og c’est un losange\fg{}.
			\item Ana dit: \og ce n’est pas un rectangle\fg{}.
			\item Karim dit: \og c’est un quadrilatère \fg{}.
			\item Lucie dit: \og c’est un carré \fg{}.
		\end{enumerate}
		
		En utilisant le script et les propriétés des quadrilatères, dire si chaque affirmation est vraie ou fausse en justifiant.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Puisque la figure à quatre côtés
			
			\begin{conclusion}				
				
				l'affirmation \og c'est un quadrilatère\fg{} est vraie.
				
			\end{conclusion}				
			
			\item Puisque le quadrilatère à quatre côtés de même longueur, $100$ pas
			
			\begin{conclusion}
				
				l'affirmation \og c'est un losange \fg{} est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque le quadrilatère a trois angles droits (de $90\degres$)
			
			\begin{conclusion}
				
				l'affirmation \og c'est un rectangle \fg{} est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque le quadrilatère est à la fois un losange et un rectangle
			
			\begin{conclusion}
				
				l'affirmation \og c'est un carré \fg{} est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un second groupe fabriquera des étoiles. L’enseignant leur a montré comment dessiner une étoile à cinq branches sur GeoGebra en utilisant un
		pentagone:
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_05_etoile.png}
		\end{center}
		
		Pour pouvoir construire des pentagones avec la règle et le compas, il propose le programme de construction ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{12cm}|}
				\hline
				Tracer un segment [RS].
				
				Placer le point $O$ au milieu du segment $[RS]$.
				
				Tracer le cercle de diamètre $[RS]$.
				
				Soit $L$ un point de ce cercle tel que $(OL) \perp (RS)$.
				
				Placer le point $I$ au milieu du segment $[OS]$.
				
				Le cercle de centre $I$ et de rayon $IL$ coupe le segment $[RO]$ en $D$.
				
				$LD$ est la longueur des côtés du pentagone régulier inscrit dans le cercle de diamètre $[RS]$, placer les $5$ sommets du pentagone sur le cercle.
				
				Construire le pentagone.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		La longueur des côtés du pentagone obtenu est proportionnelle à la longueur du segment $[RS]$ choisi au départ. En choisissant un segment $[RS]$ de longueur $4\ \mathrm{cm}$, on obtient un pentagone dont les côtés mesurent $\sqrt{10-2\sqrt{5}}\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que pour obtenir un pentagone dont les côtés mesurent $7\ \mathrm{cm}$, il faut commencer par construire un segment $[RS]$ mesurant environ $11,9\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $RS$ de sorte que les cotés mesurent $7\ \mathrm{cm}$.}
			
			Puisque la longueur des côtés du pentagone obtenu est proportionnelle à $RS$ nous avons le tableau de proportionnalité suivant, où toutes les longueurs sont exprimées en centimètres:
			
			\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$RS$ & $4$ & $x$
				\\
				\hline
				Côté & $\sqrt{10-2\sqrt{5}}$ & $7$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\end{center}
			
			À l'aide d'un produit en croix: 
			
			\begin{align*}
				x &= \frac{4 \times 7}{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}\\
				&\approx 11,909\ \text{en tronquant.}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que le côté mesure $7\ \mathrm{cm}$ il faut que $RS \approx 11,9\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant le programme de construction précédent, construire un pentagone régulier $LMNPQ$ dont les côtés mesurent $7\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			Tracer un segment [RS].
			
			\emph{Avec $RS=12\ \mathrm{cm}$.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Placer le point $O$ au milieu du segment $[RS]$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Tracer le cercle de diamètre $[RS]$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\ell/2*cos(\x)},{\ell/2*sin(\x)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Soit $L$ un point de ce cercle tel que $(OL) \perp (RS)$.
			
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\ell/2*cos(\x)},{\ell/2*sin(\x)});
				\def\xL{0};
				\def\yL{\ell/2};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\draw (L) node [above] {$L$};
				\draw (L) node {$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Placer le point $I$ au milieu du segment $[OS]$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\ell/2*cos(\x)},{\ell/2*sin(\x)});
				\def\xL{0};
				\def\yL{\ell/2};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\draw (L) node [above] {$L$};
				\draw (L) node {$\times$};
				\def\xI{\ell/4};
				\def\yI{0};
				\coordinate (I) at ({\xI},{\yI});
				\draw (I) node [below] {$I$};
				\draw (I) node {$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Le cercle de centre $I$ et de rayon $IL$ coupe le segment $[RO]$ en $D$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\ell/2*cos(\x)},{\ell/2*sin(\x)});
				\def\xL{0};
				\def\yL{\ell/2};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\draw (L) node [above] {$L$};
				\draw (L) node {$\times$};
				\def\xI{\ell/4};
				\def\yI{0};
				\coordinate (I) at ({\xI},{\yI});
				\draw (I) node [below] {$I$};
				\draw (I) node {$\times$};
				\def\rayon{sqrt(5/16)*\ell};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\rayon*cos(\x)+\ell/4},{\rayon*sin(\x)});
				\def\xD{\ell/4-\rayon};
				\def\yD{0};
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\draw (D) node [below] {$D$};
				\draw (D) node {$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			$LD$ est la longueur des côtés du pentagone régulier inscrit dans le cercle de diamètre $[RS]$, placer les $5$ sommets du pentagone sur le cercle.
			
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\ell/2*cos(\x)},{\ell/2*sin(\x)});
				\def\xL{0};
				\def\yL{\ell/2};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\draw (L) node [above] {$L$};
				\draw (L) node {$\times$};
				\def\xI{\ell/4};
				\def\yI{0};
				\coordinate (I) at ({\xI},{\yI});
				\draw (I) node [below] {$I$};
				\draw (I) node {$\times$};
				\def\rayon{sqrt(5/16)*\ell};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\rayon*cos(\x)+\ell/4},{\rayon*sin(\x)});
				\def\xD{\ell/4-\rayon};
				\def\yD{0};
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\draw (D) node [below] {$D$};
				\draw (D) node {$\times$};
				\def\cote{sqrt((\rayon-\ell/4)*(\rayon-\ell/4)+(\ell/2)*(\ell/2))};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\cote*cos(\x)},{\cote*sin(\x)+\ell/2});
				\draw (L) -- (D);
				\foreach \M/\n in{A/1,B/2,C/3,E/4}{
					\coordinate (\M) at ({\ell/2*cos(90+\n*72)},{\ell/2*sin(90+\n*72)});
					\draw (\M) node {$\times$};
				}
				\draw [thick, red] (L) -- (A) -- (B) -- (C) -- (E) -- cycle;
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Puis, il leur montre l’étoile à cinq branches ci-dessous, obtenue en utilisant le logiciel Scratch:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_06_scratch_etoile.png}};
				\draw (5,-2.5) node {Point de départ de la construction.};
				\draw [>=latex,->] (5,-2) -- (1.2,-0.9);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{2}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Recopier et compléter les lignes $7$ et $9$ du script utilisé pour construire l’étoile.
			
			\emph{On rappelle que lorsque le lutin est orienté à $90\degres$ cela signifie qu’il va se déplacer vers la droite.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_07_scratch_a_trous.png}};
					\node (A) at (-3.5,-0.3) {Ligne $7$};
					\draw [>=latex, ->] (A) -- (-2.3,-0.3);
					\node (B) at (-3.5,-1.8) {Ligne $9$};
					\draw [>=latex, ->] (B) -- (-2.3,-1.8);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le périmètre, en pas, de cette étoile?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			L'étoile est formée de $10$ segments faisant tous $80$ pas donc
			
			\begin{conclusion}
				
				L'étoile a un périmètre de $800$ pas.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant souhaite doubler le périmètre de son étoile. Recopier les quatre lignes à l’intérieur du bloc \og répéter \fg{}, ligne $8$ à $11$, en apportant les modifications nécessaires pour obtenir cette nouvelle étoile.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_06_scratch_etoile.png}};
				\coordinate (A) at (1.05,-0.7);
				\draw (A) node [below right] {$A$};
				\coordinate (B) at (3.8,-0.7);
				\draw (B) node [below right] {$B$};
				\coordinate (C) at (1.55,0.7);
				\draw (C) node [above right] {$C$};
				\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle;
				\coordinate (D) at (0.2,1.6);
				\draw (D) node [above] {$D$};
				\coordinate (E) at (2.4,3);
				\draw (E) node [above right] {$E$};
				\coordinate (F) at (5,-0.7);
				\draw (F) node [above right] {$F$};
				\draw [Green] (B) -- (F);
				\draw [orange] (C) -- (D);
				\draw [violet] (C) -- (B) node [midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw [violet] (A) -- (B) node [midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw [samples=100,domain=72:144] plot({0.5*cos(\x)+1.55},{0.5*sin(\x)+0.7});
				\draw [samples=100,domain=252:324] plot({0.5*cos(\x)+1.55},{0.5*sin(\x)+0.7});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			D'après le programme fourni $\widehat{DCE}=72\degres$ donc $\widehat{ACB}=72\degres$.
			
			Comme $ABC$ est isocèle en $B$, $\widehat{CAB}=72\degres$.
			
			Puisque la somme des mesures des angles d'un triangle égale $180\degres$, $\widehat{ABC}=180\degres-72\degres-72\degres=36\degres$.
			
			Finalement $\widehat{FBC}=180\degres-36\degres=144\degres$.
			
			\begin{center}
			\begin{scratch}[scale=1]				
				\blockmove{avancer de \ovalnum{160} pas}
				\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{144} degrés}
				\blockmove{avancer de \ovalnum{160}}
				\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{72} degrés}
			\end{scratch}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de Grande Section, l’enseignant propose à ses élèves le jeu suivant dans lequel il s’agit d’être le premier à avoir exactement 15 jetons (source : \emph{Découvrir les maths GS} - Éditions Hatier).
	Chaque élève lance deux dés bien équilibrés, identiques, à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$. 
	
	Il considère les deux nombres indiqués sur les faces supérieures de chacun des dés.
	
	Lorsque les deux dés indiquent le même nombre, l’élève prend autant de jetons que l’indique l’un des deux dés. Sinon, il prend autant de jetons que le plus grand des deux nombres ou le double de jetons du plus petit.
	
	Après avoir lancé les dés, un élève a la possibilité de passer son tour. Dans ce cas, il ne prend aucun jeton.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève lance les deux dés; il obtient un $3$ et un $2$. Combien de jetons peut-il prendre? Donner tous les cas possibles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les deux nombres étant distincts il peut prendre le nombre de jeton égale soit au plus grand des deux nombres obtenus, c'est-à-dire $3$, soit le double du plus petit donc $2 \times 2=4$, soit encore passer son tour et n'obtenir aucun jeton.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des cas possibles est $\{ 3;4 ;0 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dresser la liste des tirages permettant d’obtenir $3$ jetons.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En distinguant les deux dés, un tirage est assimilable à un couple de nombre entiers compris (au sens large) entre $1$ et $6$. Par exemple $(1,3)$ représente l'événement obtenir $1$ avec le premier dé et $3$ avec le second.
		
		{\color{orange}Intuitivement:}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des tirages permettant d'obtenir $3$ est $\{ (1,3), (2,3), (3,3), (3,2), (3,1) \}$. 
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Pour s'en convaincre nous pouvons représenter dans un tableau double entrée le nombre de jetons obtenus en fonction des résultats des dés (sans tenir compte de la possibilité de passer son tour qui rajouterai un zéro dans chaque casse du tableau.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
				\hline
				\backslashbox{$D_1$}{$D_2$}& 1 & 2
				& 3 & 4 & 5 & 6\\
				\hline
				1 & 1 & 2 &  \backslashbox{2}{3} & \backslashbox{2}{4} & \backslashbox{2}{5} & \backslashbox{2}{6}
				\\
				\hline
				2 & 2 & 2 &  \backslashbox{4}{3} & 4 & \backslashbox{4}{5} & \backslashbox{4}{6}
				\\
				\hline
				3 & \backslashbox{3}{2} & \backslashbox{3}{4} & 3 & \backslashbox{6}{4} & \backslashbox{6}{5} & 6
				\\
				\hline
				4 & \backslashbox{4}{2} & 4 & \backslashbox{4}{6} & 4 & \backslashbox{8}{5} & \backslashbox{8}{6}
				\\
				\hline
				5 & \backslashbox{5}{2} & \backslashbox{5}{4} & \backslashbox{5}{6} & \backslashbox{5}{8} & 5 & \backslashbox{10}{6}
				\\
				\hline
				6 & \backslashbox{6}{2} & \backslashbox{6}{4} & 6 & \backslashbox{6}{8} & \backslashbox{6}{10} & 6
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		}
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève lance les deux dés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la probabilité de l’événement \og les nombres obtenus sont un 3 et un 2 \fg{} est $\dfrac{1}{18}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $A$: \og les nombres obtenus sont un 3 et un 2 \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			Les deux dés étant bien équilibrés il semble naturel de modéliser la situation en choisissant pour univers l'ensemble des $36$ couples de nombres que donnent les dés et pour loi de probabilité la loi uniforme (équiprobabilité).
			
			Il y a équiprobabilité, l'univers comporte $36$ issues et $A=\{ (2,3), (3,2) \}$ est réalisé par deux issues donc \[ \mathbb{P}(A)=\frac{2}{36}. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)=\frac{1}{18}$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de l’événement \og au moins un des nombres obtenus est 3 \fg{}?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $B$: \og au moins un des nombres obtenus est 3 \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, l'univers comporte $36$ issues et \[ B=\{ (1,3),(2,3),(3,3),(4,3), (5,3), (6,3), (2,6), (3,5), (3,4), (3,2), (3,1) \} \] est réalisé par $11$ issues donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B)=\frac{11}{36}$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de l’événement \og les nombres obtenus permettent de prendre $4$ jetons \fg{}?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $C$: \og les nombres obtenus permettent de prendre $4$ jetons \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, l'univers comporte $36$ issues et, d'après ce tableau
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
					\hline
					\backslashbox{$D_1$}{$D_2$}& 1 & 2
					& 3 & 4 & 5 & 6\\
					\hline
					1 & 1 & 2 &  \backslashbox{2}{3} & \backslashbox{2}{\color{WildStrawberry}4} & \backslashbox{2}{5} & \backslashbox{2}{6}
					\\
					\hline
					2 & 2 & 2 &  \backslashbox{\color{WildStrawberry}4}{3} & \color{WildStrawberry}4 & \backslashbox{\color{WildStrawberry}4}{5} & \backslashbox{\color{WildStrawberry}4}{6}
					\\
					\hline
					3 & \backslashbox{3}{2} & \backslashbox{3}{\color{WildStrawberry}4} & 3 & \backslashbox{6}{\color{WildStrawberry}4} & \backslashbox{6}{5} & 6
					\\
					\hline
					4 & \backslashbox{\color{WildStrawberry}4}{2} & \color{WildStrawberry}4 & \backslashbox{\color{WildStrawberry}4}{6} & \color{WildStrawberry}4 & \backslashbox{8}{5} & \backslashbox{8}{6}
					\\
					\hline
					5 & \backslashbox{5}{2} & \backslashbox{5}{\color{WildStrawberry}4} & \backslashbox{5}{6} & \backslashbox{5}{8} & 5 & \backslashbox{10}{6}
					\\
					\hline
					6 & \backslashbox{6}{2} & \backslashbox{6}{\color{WildStrawberry}4} & 6 & \backslashbox{6}{8} & \backslashbox{6}{10} & 6
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			$C$ est réalisé par $13$ issues donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(C)=\frac{13}{36}$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Après un nouveau lancer des deux dés, un élève a pris $3$ jetons. Au lancer suivant, la probabilité qu’il prenne de nouveau $3$ jetons augmente-t-elle, reste-t-elle identique ou diminue-t-elle par rapport à la probabilité d’avoir pris $3$ jetons au tirage précédent? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il n'y a aucun lien entre deux lancés de dé. Les lancés sont indépendants. Ces sont des expériences aléatoires indépendantes et par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité reste identique.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En fin de partie, un élève possède $12$ jetons. Lors de son lancer de dés, il obtient un $1$ et un $4$. Pourquoi est-il préférable pour lui de passer son tour?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il peut prendre $2 \times 1=2$ jetons ou $4$ jetons.
		
		Il ne peut pas prendre $4$ jetons puisqu'il a déjà $12$ jetons et qu'il dépasserait l'objectif de $15$ jetons.
		
		S'il prend les $2$ jetons il en aura maintenant $14$ et il devra n'en obtenir qu'un seul ensuite. Or la probabilité d'obtenir un seul jeton est de $\frac{1}{36}$ et celle d'obtenir directement $3$ jetons est bien plus élevée.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il est préférable qu'il passe son tour en espérant obtenir un $3$ au tour suivant.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}[]
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 1:} \og $257$ est un nombre décimal. \fg{}		
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$257$ admet une écriture décimale dont la partie décimale ne comporte que des $0$.
		
		On peut aussi bien argumenté que $257$ peut s'écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$ puisque: $257= \frac{257}{10^0}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 2:} \og $\dfrac{7}{3}-8$ est un nombre rationnel. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La somme (ou différence) de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. Nous pouvons le vérifier dans ce cas particulier.
		
		\begin{align*}
			\frac{7}{3}-8 &= \frac{7}{3}- \frac{8}{1}\\
			&= \frac{7}{3} -\frac{8 {\color{orange}\times 3}}{1 {\color{orange}\times 3}}\\
			&= \frac{7}{3} -\frac{24}{3}\\
			&= \frac{7-24}{3}\\
			&= \frac{-17}{3}
		\end{align*}
		
		Nous avons obtenu un quotient d'entiers donc il s'agit bien d'une fraction;
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 3:} \og la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de trois.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Quelques essais permettent de conjecturer que le résultat est vrai. Démontrons-le.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que l'affirmation est vraie.}
		
		Soit $n$ un nombre entier. Les nombres entiers qui le suivent sont $n+1$ et $n+2$.
		
		Considérons leur somme:
		
		\begin{align*}
			n+(n+1)+(n+2) &= n+n+1+n+2\\
			&= 3n+3{\color{orange}\times 1}\\
			&= {\color{WildStrawberry}3}n+ {\color{WildStrawberry}3} \times 1\\
			&= {\color{WildStrawberry}3}(n+1)
		\end{align*}
		
		On a montré que, pour tout entier $n$, $n+(n+1)+(n+2)$ est un multiple de $3$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 4:} \og l'équation $(x+1)(x-2)=(x-3)(x+4)$ admet un nombre entier comme solution.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation.}
		\begin{align*}
			(x+1)(x-2) &= (x-3)(x+4)\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			(x+1)(x-2)-(x-3)(x+4) &= 0
			x\times x+x \times (-2)+1 \times x +1 \times (-2)-( x \times x + x \times 4 +(-3) \times x +(-3) \times 4) &= 0\\
			x^2-2x+x-2-(x^2+4x-3x-12) &= 0\\
			x^2-x-1-(x^2+x-12) &=0 \\
			x^2-x-1-x^2-x+12 &= 0\\
			-2x+11 &= 0\\
			-2x &= -11\\
			x &= \frac{-11}{-2}\\
			x &= \frac{11}{2}
		\end{align*}
		
		Puisque $\frac{11}{2}$ est une forme irréductible nous pouvons conclure
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 5:} \og augmenter une quantité de $15\ \%$ puis de $10\ \%$ revient à l’augmenter de son quart.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le taux d'évolution global correspondant aux deux augmentations.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $15\ \%$ est 
		
		\begin{align*}
			CM_1 &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{15}{100}
			&= 1,15
		\end{align*}
		
		De même pour une hausse de $10\ \%$ le coefficient multiplicateur est $CM_2=1,1$.
		
		Donc le coefficient multiplicateur global des deux hausses successives est
		
		\begin{align*}
			CM_g &= CM_1 \times CM_2\\
			&= 1,15 \times 1,1\\
			&= 1,265
		\end{align*}
		
		Donc le taux d'évolution global en pourcentage est de
		
		\begin{align*}
			t_g &= 100 \times (CM_g-1)\\
			&= 100 \times ( 1,265 -1)\\
			&= 26,5
		\end{align*}
		
		Or les taux d'évolution correspondant à une augmentation d'un quart est $25\ \%$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			l'affirmation 5 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 6:} \og un quadrilatère ayant un angle droit est un rectangle.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Donnons un contre-exemple
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) -- (3,0) -- (3,5) -- (0,3) -- cycle;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 6 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 7:} \og un triangle rectangle peut être équilatéral. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		L'un des angles d'un triangle rectangle a forcément une mesure de $90\degres$.
		
		Tous les angles d'un triangle équilatéral mesurent $60\degres$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 7 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 8:} \og par la fonction $f$ définie par $f(x) = -3x + 1$, l’antécédent de $4$ est $-11$. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f(-11)=-3 \times (-11)+1=34 \ne 4$ donc $-11$ n'est pas un antécédente de $4$ par $f$ et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			l'affirmation 8 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 9:} \og le triangle ABC, schématisé ci-dessous, est rectangle. \fg{}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
				\foreach \M/\x/\y/\pos in {A/0/0/{left},B/7/4/{above},C/10/0/{below right}} { 
					\coordinate (\M) at ({\x},{\y});
					\draw (\M) node [\pos] {$\M$};
				}
				\draw (A) -- (B) node[midway,above,sloped] {$35\ \mathrm{cm}$};
				\draw (B) -- (C) node[midway,above,sloped] {$12\ \mathrm{cm}$};
				\draw (A) -- (C) node[midway,below,sloped] {$39\ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons si $ABC$ est rectangle.}
		
		Le plus grand côté de $ABC$ est $[AC]$ donc s'il est rectangle ce ne peut être qu'en $B$.
		
		Le problème se ramène à déterminer si $ABC$ est rectangle en $B$.
		
		D'une part $AB^2+BC^2= 35^2+12^=1329$ et d'autre part $39^2=1521$ donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore $ABC$ n'est pas rectangle en $B$.
		
		Et donc il n'est âs rectangle (tout court).
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 9 est fausse.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 10:} \og si on multiplie par $3$ les longueurs des côtés d’un rectangle, alors son aire est également multipliée par $3$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il s'agit d'un résultat classique: si les dimensions d'une surface sont multipliées par $3$ alors son aire est multipliée par $3^2=9$. C'est un résultat évident sur un carré un peu moins sur un triangle.
		
		Toujours est-il que l'aire n'est pas multipliée par $3$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 10 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}