%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 2.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Une directrice d’école primaire souhaite inscrire les élèves de l’école à une course solidaire d’action contre la faim afin de les sensibiliser à la sous-nutrition dans le monde.
	
	Il s’agit pour chaque élève de faire le plus de tours possible d’un parcours prédéfini. Pour chaque tour effectué, l’élève récolte une somme d’argent fixe qui sera versée à l’association
	caritative.
	
	\medskip
	La directrice décide de faire courir les élèves dans la cour de l’école, le long d’un parcours schématisé ci-dessous. Une partie du parcours est constituée d’un demi-cercle de diamètre $[CD]$ et les longueurs sont données en mètre.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\def\AF{3};
		\def\FE{8};
		\def\AB{5};
		\def\BC{4};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xF{0};
		\def\yF{-\AF};
		\def\xE{\FE};
		\def\yE{-\AF};
		\def\xD{\FE};
		\def\yD{0};
		\def\xC{\AB};
		\def\yC{\BC};
		\def\xB{\AB};
		\def\yB{0};
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
		\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
		\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
		\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
		\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
		\draw (C) -- (B) node [midway, left] {$40\ \mathrm{m}$};
		\draw (B) -- (A) node [midway, above] {$50\ \mathrm{m}$};
		\draw (A) -- (F) node [midway, left] {$30\ \mathrm{m}$};
		\draw (F) -- (E) node [midway, below] {$80\ \mathrm{m}$};
		\draw (E) -- (D);
		\draw (A) node [above left] {$A$};
		\draw (F) node [below left] {$F$};
		\draw (E) node [below right] {$E$};
		\draw (D) node [below right] {$D$};
		\draw (C) node [above left] {$C$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw [samples=100,domain=-53.13:{180-53.13}] plot({ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*cos(\x)+(\xC+\xD)/2},{ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*sin(\x)+(\yC+\yD)/2});
		\draw [>=latex, ->] ({\xA-0.5},{\yA}) -- ({\xA-0.5},{\yA-\AF/3}) node [midway, left] {\footnotesize Départ};
		\draw ({\xB-0.5},{\yB}) -- ({\xB-0.5},{\yB+0.5}) -- ({\xB},{\yB+0.5});
		\fill[color=gray , opacity=0.25] ({\xB-0.5},{\yB}) -- ({\xB-0.5},{\yB+0.5}) -- ({\xB},{\yB+0.5}) -- (B);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés et le quadrilatère $AFED$ est un rectangle. Les élèves partent du point $A$ et se déplacent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
	
	On a: $AB = 50\ \mathrm{m}$; $BC = 40\ \mathrm{m}$; $EF = 80\ \mathrm{m}$ et
	$FA = 30\ \mathrm{m}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la longueur du segment $[CD]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $CD$.}
		
		{\color{orange}Toutes les longueurs sont exprimées en mètre donc nous pouvons ne pas nous préoccuper des unités.}
		
		\medskip
		$BCD$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore, \[ BD^2+BC^2=CD^2. \]
		
		Or $BD=FE-AB=80-50=30$ donc
		
		\begin{align*}
			CD^2 &= 30^2+40^2\\
			&= 2500\\
			\intertext{Puisque $CD$ est une longueur, c'est un nombre positif et donc:}
			CD &= \sqrt{2500}\\
			&= 50
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$CD=50\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que la longueur du parcours, arrondie au mètre, est $309\ \mathrm{m}$. On utilisera cette valeur dans la suite de l’exercice.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la longueur $L$ du parcours.}
		
		\begin{align*}
			L &= AB +BC+ \wideparen{CD}+DE+EF+FA\\
			&= 50+40+ \wideparen{CD}+30+80+30
		\end{align*}
		
		Or $\wideparen{CD}$ est un demi-cercle de diamètre $[CD]$ donc sa longueur est {\color{orange}(la moitié du périmètre du cercle)}:
		
		\begin{align*}
			\wideparen{CD} &= \frac{1}{2} \times 2 \pi \frac{CD}{2}\\
			&= \frac{1}{2} \times 2 \pi \frac{50}{2}\\
			&\approx 78,539\ \text{en tronquant}
		\end{align*}
		
		Ainsi:
		\begin{align*}
		L &\approx 50+40+ 78,54+30+80+30\\
		&\approx 308,54
		\end{align*}
		
		En arrondissant à l'unité
		
		\begin{conclusion}
			
			$L \approx 309\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Construire un plan du parcours à l’échelle $1/800$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons toutes les longueurs mises à l'échelle.}
		
		Notons $A'B'$ la longueur $AB$ mise à l'échelle.
		
		\begin{align*}
			A'B' &= \frac{1}{800} \times 50\ {\color{WildStrawberry}\mathrm{m}}\\
			&= 50 \times {\color{WildStrawberry} \times 100\ \mathrm{cm}}\\
			&= 50 \times  \frac{1}{8}\ \mathrm{cm}\\
			&= 6,25\ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		{\color{orange}	Nous remarquons qu'il suffit de diviser la longueur réelle exprimée en mètre par $8$ pour obtenir la longueur mise à l'échelle en centimètre.}
		
		En procédant de même:
		
		\begin{center}			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Longueur réelle (en $\mathrm{m}$) & $50$ & $40$  & $80$ & $30$\\
				\hline
				Longueur à l'échelle en centimètre. & $6,25$ & $5$ & $10$ & $3,75$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Nous en déduisons le dessin à l'échelle {\color{orange}(aucune difficulté pour peu qu'on ait équerre et compas)}:	
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tikzpicture}
		\def\AF{3.75};
		\def\FE{10};
		\def\AB{6.25};
		\def\BC{5};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xF{0};
		\def\yF{-\AF};
		\def\xE{\FE};
		\def\yE{-\AF};
		\def\xD{\FE};
		\def\yD{0};
		\def\xC{\AB};
		\def\yC{\BC};
		\def\xB{\AB};
		\def\yB{0};
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
		\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
		\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
		\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
		\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
		\draw (C) -- (B) node [midway, left] {$5\ \mathrm{cm}$};
		\draw (B) -- (A) node [midway, above] {$6,25\ \mathrm{cm}$};
		\draw (A) -- (F) node [midway, left] {$5\ \mathrm{cm}$};
		\draw (F) -- (E) node [midway, below] {$10\ \mathrm{cm}$};
		\draw (E) -- (D);
		\draw (A) node [above left] {$A$};
		\draw (F) node [below left] {$F$};
		\draw (E) node [below right] {$E$};
		\draw (D) node [below right] {$D$};
		\draw (C) node [above left] {$C$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw [samples=100,domain=-53.13:{180-53.13}] plot({ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*cos(\x)+(\xC+\xD)/2},{ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*sin(\x)+(\yC+\yD)/2});
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw ({(\xC+\xD)/2},{(\yC+\yD)/2}) node {$\times$};
		\end{tikzpicture}
		}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Killian a effectué un tour complet en $3$ minutes.
		
		À quelle vitesse moyenne Killian a-t-il couru? On donnera le résultat en mètre par seconde arrondi au centième, puis en kilomètre par heure, arrondi au dixième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la vitesse moyenne $v_K$.}
		
		\begin{align*}
			v_K &= \frac{309\ \mathrm{m}}{3\ {\color{orange}\mathrm{min}}}\\
			&= \frac{309\ \mathrm{m}}{3{\color{orange}\times 60\ \mathrm{s}}} \\
			&= \frac{309}{3 \times 60}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\
			&\approx 1,716\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\ \text{en tronquant}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_K \approx 1,72\ \mathrm{m}/ \mathrm{s}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		
		\begin{align*}
		v_K &= \frac{309\ {\color{WildStrawberry}\mathrm{m}}}{3\ {\color{orange}\mathrm{min}}}\\
		&= \frac{309{\color{WildStrawberry} \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{km}}}{3{\color{orange}\times \frac{1}{60}\ \mathrm{h}}} \\
		&= \frac{309\times \frac{1}{1000}}{3\times \frac{1}{60}}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\
		&= 6,18\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_K \approx 6,2\ \mathrm{km}/ \mathrm{h}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que Sophia court à une vitesse constante de $7\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Combien de tours complets pourrait-elle effectuer à cette vitesse en $18$ minutes?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre $T_S$ de tours de Sophia en $18$ minutes.}
			
			{\color{orange}Nous allons exprimer toutes les grandeurs en mètre et minute.}
			
			La distance parcourue par Sophia en $18$ minutes est
			
			\begin{align*}
				d_S &= 7\ \frac{{\color{WildStrawberry}\mathrm{km}}}{\color{orange}\mathrm{h}} \times 18 \ \mathrm{min}\\
				&= 7\ \frac{{\color{WildStrawberry}1000 \ \mathrm{m}}}{\color{orange}60\ \mathrm{min}} \times 18 \ \mathrm{min}\\
				&= \frac{7\times 1000 \times 18}{60}\ \frac{\mathrm{m} \cdot \mathrm{min}}{\mathrm{min}}\\
				&= 2100\ \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			or chaque toue a une longueur de $309\ \mathrm{m}$ donc
			
			\begin{align*}
				T_S &= \frac{2100\ \mathrm{m}}{309\ \mathrm{m}}\\
				&= \frac{2100}{309}\\
				&\approx 6,796\ \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Sophia fera $6$ tours complets.
				 
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On désigne par S le point du parcours où Sophia se trouve au bout de 18 minutes de course. Placer le point S sur le plan réalisé à la question 3.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant à une division euclidienne: $2100=6 \times 309+246$.
			
			Il lui restait $309\ \mathrm{m}-246\ \mathrm{m}= 63\ \mathrm{m}$ pour finir un tour. Sur le trajet $[CB]$ elle avait déjà parcouru $50\ \mathrm{m} + 40\ \mathrm{m}-63\ \mathrm{m} = 27\ \mathrm{m}$.
			
			Par conséquent $S$ est à $\frac{27}{8}\ \mathrm{cm}= 3,375\ \mathrm{cm}$ de $C$ sur le trajet $[CB]$.
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}
				\def\AF{3.75};
				\def\FE{10};
				\def\AB{6.25};
				\def\BC{5};
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\def\xF{0};
				\def\yF{-\AF};
				\def\xE{\FE};
				\def\yE{-\AF};
				\def\xD{\FE};
				\def\yD{0};
				\def\xC{\AB};
				\def\yC{\BC};
				\def\xB{\AB};
				\def\yB{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
				\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
				\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
				\draw (C) -- (B) node [midway, right] {$5\ \mathrm{cm}$};
				\draw (B) -- (A) node [midway, above] {$6,25\ \mathrm{cm}$};
				\draw (A) -- (F) node [midway, left] {$5\ \mathrm{cm}$};
				\draw (F) -- (E) node [midway, below] {$10\ \mathrm{cm}$};
				\draw (E) -- (D);
				\draw (A) node [above left] {$A$};
				\draw (F) node [below left] {$F$};
				\draw (E) node [below right] {$E$};
				\draw (D) node [below right] {$D$};
				\draw (C) node [above left] {$C$};
				\draw (B) node [below right] {$B$};
				\draw [samples=100,domain=-53.13:{180-53.13}] plot({ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*cos(\x)+(\xC+\xD)/2},{ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*sin(\x)+(\yC+\yD)/2});
				\draw [dashed] (C) -- (D);
				\draw ({(\xC+\xD)/2},{(\yC+\yD)/2}) node {$\times$};
				\draw ({\AB},{\yC-27/40*\BC}) node {$\times$};
				\draw ({\AB},{\yC-27/40*\BC}) node [right] {$S$};
				\draw [>=latex, <->] ({\AB-0.5},{\yC-27/40*\BC}) -- ({\xC-0.5},{\yC}) node[midway, left] {$3,375\ \mathrm{cm}$};
				\end{tikzpicture}
			}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’école est composée de $325$ élèves. Le tableau ci-dessous indique le nombre de tours complets effectués par les élèves.
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Nombre de tours & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8
			\\
			\hline
			Nombre d’élèves & 52 & 52 & 78 & 65 & 39 & 26 & 13
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le nombre moyen de tours complets effectués?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre moyen $\overline{x}$ de tours.}
			
			{\color{orange}La série étant regroupée par modalité (les valeurs différentes et les effectifs correspondant ) nous allons utiliser la formule de la moyenne pondérée.}
			
			\begin{align*}
				\overline{x} &= \frac{n_1x_1+n_2x_2+ \dots + n_px_p}{n_1+n_2+\dots +n_p}\\
				&= \frac{52 \times 2 + 52 \times 3 + \dots +13  \times 8}{52+52+\dots +13}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overline{x} =4,36$ tours.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l’étendue de cette série statistique?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'étendue $e$.}
			
			\begin{align*}
				e &= \max - \min\\
				&= 8-2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$e=6$ tours.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la médiane de cette série statistique.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la médiane $Me$.}
			
			\noindent
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				Nombre de tours & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8
				\\
				\hline
				Nombre d’élèves & 52 & 52 & 78 & 65 & 39 & 26 & 13
				\\
				\hline
				E.C.C. & 52 & 104 & 182 & 247 & 286 & 312 & 325
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Ordonner la série.} La série des nombres de tours est déjà rangée dans l'ordre croissant.
				
				\item {\color{orange}Position de $Me$.} $\frac{N}{2}= \frac{325}{2}=162,5$, la série étant impaire $Me$ est la $163$-ième valeur de la série ordonnée.
				
				\item {\color{orange}Lecture de la valeur de $Me$.} D'après les effectifs cumulés croissants, 
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$Me=4$ tours.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Interpréter le résultat de la question (c).
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Interprétation de la médiane dans la version verre à moitié vide.}
			
			\begin{conclusion}
				
				$50\ \%$ des élèves ont fait moins de $4$ tours complets.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le premier et le troisième quartile de cette série.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $Q_1$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item La série est ordonnée (dans le tableau).
				
				\item $\frac{N}{4}= \frac{325}{4}=81,25$ donc $Q_1$ est la $82$i-ième valeur de la série ordonnée.
				
				\item D'après les E.C.C.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$Q_1=3$ tours.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons $Q_3$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item La série est ordonnée (dans le tableau).
				
				\item $\frac{3N}{4}= \frac{325}{4}=243,75$ donc $Q_3$ est la $244$i-ième valeur de la série ordonnée.
				
				\item D'après les E.C.C.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$Q_3=5$ tours.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel pourcentage d’élèves a réussi à faire au moins $4$ tours?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}En première approximation, en utilisant la médiane, nous pourrions dire qu'environ $50\ \%$ des élèves ont fait au moins $4$ tours complets.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons le pourcentage $p$ d'élèves ayant fait au moins $4$ tours.}
			
			\begin{align*}
				p &= \frac{78+65+39+26+13}{325} \times 100\\
				&\approx 64,923\ \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$64,92\ \%$ des élèves ont fait au moins $4$ tours complets.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Un rectangle est défini dans le dictionnaire de la façon suivante:
	
	\begin{center}
		
		\og Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits. \fg{}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un quadrilatère qui possède deux angles droits est-il un rectangle? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les trapèzes rectangles ne sont pas nécessairement des rectangles:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) -- (5,0) -- (3,3) -- (0,3) -- cycle;
				\draw ({0+0.5},{0}) -- ({0+0.5},{0+0.5}) -- ({0},{0+0.5});
				\fill[color=gray , opacity=0.25]  ({0+0.5},{0}) -- ({0+0.5},{0+0.5}) -- ({0},{0+0.5}) -- (0,0) --cycle;
				\draw ({0+0.5},{3}) -- ({0+0.5},{3-0.5}) -- ({0},{3-0.5});
				\fill[color=gray , opacity=0.25]  ({0+0.5},{3}) -- ({0+0.5},{3-0.5}) -- ({0},{3-0.5}) -- (0,3) --cycle;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les quadrilatères possédant deux angles droits ne sont pas tous des rectangles.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans une classe de CE2, une enseignante demande à ses élèves de compléter la phrase suivante: \og Un rectangle est un quadrilatère dont ... \fg{}.
		
		Voici deux réponses proposées:
		
		\begin{enumerate}[]
			\item Élève A: \og Un rectangle est un quadrilatère dont les côtés opposés sont de même longueur\fg{}.
			
			\item Élève B: \og Un rectangle est un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur \fg{}.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Préciser en quoi la réponse de l’élève A ne pourrait pas être admise comme définition mathématique du rectangle.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Tous les parallélogrammes ont des côtés opposés de même longueurs deux à deux cependant tous les parallélogrammes ne sont pas des rectangles.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\draw (0,0) -- (4,0) node [midway] {$\parallel$};
					\draw (1,3) -- (5,3) node [midway] {$\parallel$};
					\draw (0,0) -- (1,3) node [midway] {$\circ$};
					\draw (5,3) -- (4,0) node [midway] {$\circ$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Préciser en quoi la réponse de l’élève B ne pourrait pas être admise comme définition mathématique du rectangle.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Voici un quadrilatère dont les diagonales ont même longueur.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\draw [dashed] (0,-1) -- (4,2) node [midway,sloped] {$\parallel$};
					\draw [dashed] (0,1) -- (4,-2) node [midway,sloped] {$\parallel$};
					\draw (0,-1) -- (4,-2) -- (4,2) -- (0,1) -- cycle;
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Et pourtant cette figure n'est clairement pas un rectangle.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Qu’elle est la nature d’un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Je ne pense pas qu'une justification soit attendue pour une telle question. Si c'était le cas il faudrait établir que deux côtés consécutifs ont même longueur en utilisant le théorème de Pythagore.}
		
		\begin{conclusion}
			
			Un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires est un carré.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’appuyant sur le codage du quadrilatère ci-après dessiné à main levée, préciser la nature du quadrilatère en question en justifiant la réponse.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_2_02_rectangle_schema.png}};
				\draw (-2,1) node {$A$};
				\draw (-2,-1) node {$D$};
				\draw (2,1) node {$B$};
				\draw (2,-1) node {$C $};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il s'agit visiblement d'un quadrilatère non croisé dont les côtés ont tous la même longueur donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABCD$ est un losange.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici deux programmes de calcul:
	
	\begin{center}
		
		Programme A.
		
		\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2023_maths_externe_sujet_2_03_scratch.png}
		
		\begin{scratch}[scale=1]
			\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
			\blocksensing{demander \ovalnum{donner un nombre} et attendre}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovalsensing{réponse}}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{2}*\ovalvariable{a}}+\ovalnum{5}}}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{c} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{5}*\ovalvariable{a}}-\ovalnum{4}}}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{d} à \ovaloperator{\ovalvariable{b}*\ovalvariable{c}}}
			\blocklook{dire \ovalvariable{d}}
		\end{scratch}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		Programme B.
		
		\begin{tabular}{|m{5cm}|}
			\hline
			Choisir un nombre.
			\\
			Prendre son double.
			\\
			Ajouter $5$.
			\\
			Calculer le carré du résultat.
			\\
			Retourner le résultat trouvé.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que si l’utilisateur saisit le nombre $2$, alors le programme A retourne le nombre $54$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tabular}{|m{6.5cm}|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& \ovalsensing{réponse} & \ovalvariable{a} & \ovalvariable{b} & \ovalvariable{c} & \ovalvariable{d}
				\\
				\hline
				\begin{scratch}
					\blocksensing{demander \ovalnum{donner un nombre} et attendre}
				\end{scratch} 
				& $2$ & &&&
				\\
				\hline
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovalsensing{réponse}}
				\end{scratch}
				& $2$ & $2$ & &&
				\\
				\hline
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{2}*\ovalvariable{a}}+\ovalnum{5}}}
				\end{scratch}
				& $2$ & $2$ & $9$ & &
				\\
				\hline
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{c} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{5}*\ovalvariable{a}}-\ovalnum{4}}}
				\end{scratch}
				& $2$ & $2$ & $9$ & $6$ &
				\\
				\hline
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{d} à \ovaloperator{\ovalvariable{b}*\ovalvariable{c}}}
				\end{scratch}
				& $2$ & $2$ & $9$ & $6$ & $54$
				\\
				\hline
		\end{tabular}
		}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le résultat obtenu avec le programme A si le nombre saisi par l’utilisateur est $1,15$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tabular}{|m{6.5cm}|c|c|c|c|c|}
			\hline
			& \ovalsensing{réponse} & \ovalvariable{a} & \ovalvariable{b} & \ovalvariable{c} & \ovalvariable{d}
			\\
			\hline
			\begin{scratch}
				\blocksensing{demander \ovalnum{donner un nombre} et attendre}
			\end{scratch} 
			& $1,15$ & &&&
			\\
			\hline
			\begin{scratch}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $1,15$ & $1,15$ & &&
			\\
			\hline
			\begin{scratch}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{2}*\ovalvariable{a}}+\ovalnum{5}}}
			\end{scratch}
			& $1,15$ & $1,15$ & $7,3$ & &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{c} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{5}*\ovalvariable{a}}-\ovalnum{4}}}
			\end{scratch}
			& $1,15$ & $1,15$ & $7,3$ & $1,75$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{d} à \ovaloperator{\ovalvariable{b}*\ovalvariable{c}}}
			\end{scratch}
			& $1,15$ & $1,15$ & $7,3$ & $1,75$ & $12,775$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si le nombre saisi est $1,15$ le programme renvoie $12,775$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour quel(s) nombre(s) de départ le programme A retourne-t-il le nombre $0$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En reprenant le tableau d'état des variables, si le nombre saisi par l'utilisateur est $x$ le programme retourne: $(2x+5)(5x-4)=0$.
		
		Cette équation équivaut successivement à
		
		\begin{align*}
			2x+5=0 \quad &\text{ou} \quad 5x-4=0\\
			2x+5{\color{orange}-5} = 0 {\color{orange}-5} \quad &\text{ou} \quad 5x-4 {\color{orange}+4} = 0 {\color{orange}+4}\\
			2x=-5 \quad &\text{ou} \quad 5x=4\\
			\frac{2x}{\color{orange}2}= \frac{-5}{\color{orange}2} \quad &\text{ou} \quad \frac{5x}{\color{orange}5}=\frac{4}{\color{orange}5}\\
			x=-\frac{5}{2} \quad &\text{ou} \quad \frac{4}{5}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le programme retourne le nombre $0$ en choisissant $-\frac{5}{2}$ ou $\frac{4}{5}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si l’utilisateur saisit le nombre $3$, quel résultat le programme B retourne-t-il ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{5cm}|c|}
					\hline
					Choisir un nombre. & $3$
					\\
					\hline
					Prendre son double. & $6$
					\\
					\hline
					Ajouter $5$. & $11$
					\\
					\hline
					Calculer le carré du résultat. & $121$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si l'utilisateur choisi $3$ le programme renvoie $121$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si l’utilisateur saisit le nombre $\frac{3}{4}$, quel résultat le programme B retourne-t-il?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{5cm}|c|}
					\hline
					&\\
					Choisir un nombre. & $\frac{3}{4}$
					\\
					&\\
					\hline
					Prendre son double. & $\frac{3}{2}$
					\\
					&\\
					\hline
					Ajouter $5$. & $\frac{13}{2}$
					\\
					&\\
					\hline
					Calculer le carré du résultat. & $\frac{169}{4}$
					\\
					&\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si l'utilisateur choisi $\frac{3}{4}$ le programme renvoie $\frac{169}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On détermine les résultats suivants retournés par le programme B à l’aide d’une feuille de calcul automatisé.
		
		{\hspace*{-1.5cm}
			\includegraphics[scale=0.48]{crpe_2023_maths_externe_sujet_2_04_tableur.png}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle cellule du tableur permet de retrouver la réponse à la question 4.a. ci-dessus?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La cellule $\texttt{D}2$ permet de retrouver le résultat 4.(a).
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule a pu être saisie dans la cellule $\texttt{A}2$ de la feuille de calcul automatisé afin de la copier-glisser sur la ligne $2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En cellule $\texttt{A}2$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=(2*\texttt{A}1+5)\wedge2$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quel nombre de départ le programme B retourne-t-il le nombre zéro?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons pour quel nombre de départ $x$ le programme renvoie $0$.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{5cm}|c|}
					\hline
					Choisir un nombre. & $x$
					\\
					\hline
					Prendre son double. & $2x$
					\\
					\hline
					Ajouter $5$. & $2x+5$
					\\
					\hline
					Calculer le carré du résultat. & $(2x+5)^2$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			Ainsi nous voulons que: \[ (2x+5)^2=0.\]
			
			Cette équation équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				2x+5 &= 0\\
				2x+5 {\color{orange}-5} &= 0 {\color{orange}-5}\\
				2x = -5 \\
				\frac{2x}{\color{orange}2} &= \frac{-5}{\color{orange}2}\\
				x &= -\frac{5}{2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que le programme $B$ renvoie $0$ il faut choisir $-\frac{5}{2}$ comme nombre de départ.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Ce nombre de départ est-il rationnel? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\frac{-5}{2}$ est une fraction, c'est-à-dire le quotient d'un entier par un autre entier, donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$-\frac{5}{2}$ est un nombre rationnel.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Ce nombre de départ est-il décimal? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Justifions que $- \frac{5}{2}$ est décimal.}
			
			{\color{orange}Il y a de nombreuses approches: il admet une écriture décimale dont la partie décimale est finie, il s'écrit sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$, il s'écrit sous forme d'une fraction dont le dénominateur est un produit de puissances de $2$ et de $5$.}
			
			$-\frac{5}{2}=-2,5$ puisqu'il admet une écriture décimale dont la partie décimale est finie 
			
			\begin{conclusion}
				
				$-\frac{5}{2}$ est un nombre décimal.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour quel(s) nombre(s) de départ le programme A retourne-t-il le même résultat que le programme B?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}La question est ambiguë: faut-il que le nombre de départ soit le même pour le programme A et le programme B? Nous allons supposer que oui. Et la question revient à:}
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons l'équation $(2x+5)(5x-4)=(2x+5)^2$.}
		
		{\color{orange}On pourrait être tenté de simplifier par $2x+5$ mais ce serait exclue une solution au problème. Nous allons ici nous ramener à une équation produit nul.}
		
		L'équation équivaut successivement à:
		\begin{align*}
			(2x+5)(5x-4) {\color{orange}-(2x+5)^2}=(2x+5)^2 {\color{orange}-(2x+5)^2} &= 0\\
			(2x+5)(5x-4) - (2x+5)^2 &= 0\\
			{\color{orange}(2x+5)}(5x-4) - {\color{orange}(2x+5)} \times (2x+5) &= 0\\
			{\color{orange}(2x+5)} \left[ (5x-4)-(2x+5) \right] &=0 \\
			(2x+5) \left[ 5x-4-2x-5 \right] &= 0\\
			(2x+5)(3x-9) &= 0\\
			2x+5=0 \quad &\text{ou} \quad 3x-9=0\\
			2x+5 {\color{orange}-5}=0 {\color{orange}-5} \quad &\text{ou} \quad 3x-9 {\color{orange}+9}=0 {\color{orange}+9}\\
			2x=-5 \quad &\text{ou} \quad 3x=9\\
			\frac{2x}{\color{orange}2}=\frac{-5}{\color{orange}2} \quad &\text{ou} \quad \frac{3x}{\color{orange}3}=\frac{9}{\color{orange}3}\\
			x=-\frac{5}{2} \quad &\text{ou} \quad x=3
		\end{align*}
			
		\begin{conclusion}
			
			Les programmes renvoient les mêmes nombres si les nombres de départ sont $-\frac{5}{2}$ ou $3$.
			 
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Deux élèves de CM2, Jeanne et Teddy, jouent à la bataille navale. Il s’agit d’un jeu de société, appelé également \og touché-coulé \fg{}.
	
	Les deux joueurs doivent commencer par placer quatre navires horizontalement ou verticalement (sans chevauchement) sur leur grille de $8$ lignes et $8$ colonnes, tenue secrète: $1$ navire de deux cases, $2$ navires de trois cases et $1$ navire de quatre cases.
	
	Ils doivent ensuite tenter de faire \og couler \fg{} les navires adverses en \og touchant \fg{} toutes les cases de chaque navire de l’autre joueur. Pour cela, chacun, à son tour, énonce une case de la grille, sous le format \og lettre-nombre \fg{}, par exemple C2.
	
	Lorsqu’un joueur énonce une case, son adversaire répond:
	\begin{itemize}
		
		\item \og À l’eau!\fg{}, si la case énoncée est vide;
		
		\item \og Touché!\fg{}, si la case énoncée est occupée par un morceau de navire et si les autres parties du navire n’ont pas encore toutes été touchées;
		
		\item \og Touché-coulé!\fg{}, si la case énoncée est occupée par un morceau de navire et si toutes les autres parties du navire ont déjà été touchées.
		
	\end{itemize}
	
	Le gagnant est le joueur qui fait \og couler \fg{} chez son adversaire tous les navires (au sens de	toucher toutes les cases de chacun d’eux) avant que les siens ne le soient.
	
	\medskip
	Voici ci-dessous la grille de Teddy : les quatre bateaux sont schématisés par des rectangles gris.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_2_05_bataille_navale.png}
	\end{center}
	
	On suppose qu’à chaque tir, Jeanne choisit au hasard et de manière équiprobable une case de la grille qu’elle n’a pas énoncée précédemment.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Au premier essai :
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que Jeanne
			touche un bateau?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $T_1$: \og elle touche un bateau au premier tir\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(T_1)$.}
			
			
			L'univers est formé des $8 \times 8=64$ cases de la grille. Les choix d'une telle case sont supposés équiprobables. $T_1$ est réalisé par $12$ issues, à savoir les cases grisées: $(A,4)$, $(B,4)$, ...
			
			Donc \[ \mathbb{P}(T_1)= \frac{12}{64}. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(T_1)=\frac{3}{16}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que Jeanne ne touche aucun bateau?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{T_1})$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(\overline{T_1}) &= 1 - \mathbb{P}(T_1)\\
				&= 1- \frac{3}{16}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\overline{T_1}) = \frac{13}{16}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
			Un des bateaux a une chance sur seize d'être touché. De combien de cases est-il composé?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre $n_c$ de cases formant le bateau recherché.}
			
			Il y a équiprobabilité entre les cases, il y a $64$ cases au total, est l'événement $T_2$: \og le bateau recherché est touché est réalisé par $n_c$ cases donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(T_2) &= \frac{n_c}{64}\\
				\intertext{Or, d'après l'énoncé, $\mathbb{P}(T_2)= \frac{1}{16}$ donc}
				\frac{1}{16} &= \frac{n_c}{64}\\
				\intertext{Cette égalité équivaut successivement à:}
				\frac{1}{16} {\color{orange} \times 64} &= \frac{n_c}{64} {\color{orange} \times 64}\\
				4 &= n_c
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le bateau recherché est formé de $4$ cases.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Jeanne choisit une case de la colonne B. Quelle est la probabilité qu’elle touche un bateau ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $T_3$: \og toucher un bateau en tirant dans la colonne B\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}_2(T_3)$.}
			
			Nouvelle modélisation: l'univers est désormais formé des $8$ cases de la colonne B qui sont toutes équiprobables et l'événement $T_3$ regroupe les $4$ cases grisées de la colonne B donc
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}_2(T_3) & =\frac{4}{8}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}_2(T_3)=\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Au premier essai de la partie, Jeanne désigne la case \og E1 \fg{}. Teddy annonce \og Touché!\fg{}. Jeanne souhaite couler le bateau touché et choisit une case adjacente à la case \og E1\fg{}.
		
		Quelle est la probabilité qu’elle coule le bateau au coup suivant? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $T4$: \og couler le bateau au coup suivant\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_3(T_4)$.}
		
		Nouvelle modélisation: l'univers est désormais formé des $3$ cases qui entourent la cases E1 et qui permettent de placer un bateau et  qui sont toutes équiprobables et l'événement $T_4$ regroupe la seule case grisée adjacente à E1 donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_3(T_4)=\frac{1}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Teddy annonce \og À l'eau !\fg{} pour les deux premiers essais de Jeanne. Quelle est la probabilité de toucher un bateau pour son troisième essai?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}L'utilisation du présent dans l'énoncé des questions 3 et 4 crée une ambiguïté. Nous admettrons que la question 2 n'a pas eu lieu.}
		
		\medskip
		Notons $T_5$: \og toucher un bateau après deux coups dans l'eau suivant\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_4(T_5)$.}
		
		Nouvelle modélisation: l'univers est désormais formé des $64-2=62$ cases qui n'ont pas été visées et  qui sont toutes équiprobables et l'événement $T_5$ regroupe les $12$ cases grisées donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_4(T_5) &= \frac{12}{62}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_4(T_5)=\frac{6}{31}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Pour choisir une unité de température, les physiciens se sont heurtés à l’absence de \og température zéro\fg{} (le zéro absolu n’était pas connu à l’époque). Deux systèmes principaux ont été créés et restent utilisés: le degré Celsius ($\degres\mathrm{C}$) et le degré Fahrenheit ($\degres\mathrm{F}$).
	
	Voici ci-dessous une formule permettant de passer de la mesure d’une température en degré Fahrenheit (notée $F$) vers la mesure de la même température en degré Celsius (notée $C$) \[ C= (F-32) \times \frac{5}{9}. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En utilisant cette formule, convertir $95\degres \mathrm{F}$ en degré Celsius.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Convertissons des Fahrenheit vers les Celsius.}
		
		$95\degres\mathrm{F}$ exprimés en degrés Celsius donnent
		
		\begin{align*}
			C &= (95-32) \frac{5}{9}\\
			&= 35
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$95\degres\mathrm{F}= 35\degres\mathrm{C}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En utilisant cette formule, convertir $5\degres\mathrm{C}$ en degré Fahrenheit.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{sujet}
		
		\objectif{Déterminons la température $F$, exprimée en degré Fahrenheit, égale $5\degres\mathrm{C}$.}
		
		\begin{align*}
			5 &= (F-32) \times \frac{5}{9}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			5 {\color{orange} \times \frac{9}{5}} &= (F-32) \times \frac{5}{9} {\color{orange} \times \frac{9}{5}}\\
			9 &= F-32\\
			9+ {\color{orange}+32} &= F-32 {\color{orange}+32}\\
			41 &= F
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$5\degres\mathrm{C}=41\degres\mathrm{F}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Existe-t-il des températures pour lesquelles la mesure en degrés Celsius est égale à la mesure en degrés Fahrenheit? Donner toutes les réponses possibles en justifiant.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $F$ de sorte que $C=F$.}
		
		On veut
		
		\begin{align*}
			F &= (F-32) \times \frac{5}{9}\\
			\frac{9}{5}F &= F-32\\
			\frac{9}{5}F-F &= -32\\
			\frac{4}{5}F &= -32\\
			F &= -32 \times \frac{5}{4}\\
			F &= -40
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les mesures en Celsius et Fahrenheit sont égales dans un seul cas: $-40\degres\mathrm{C}=-40\degres\mathrm{F}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	Un professeur des écoles d’une classe de CE1 présente à ses élèves une règle de calcul qui permet de déterminer avec ses dix doigts et ses dix orteils le produit de deux nombres entiers compris entre $5$ et $10$ en utilisant les résultats des tables appris précédemment. Il s’appuie sur l’exemple suivant.
	
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		Effectuons $6\times 7$.
		
		\begin{itemize}
			\item Avec le pied et la main gauches, on lève les $5$ orteils et $1$ doigt, représentant ainsi le $6$.
			
			\item Avec le pied et la main droites, on lève les $5$ orteils et $2$ doigts, représentant ainsi le $7$.
			
		\end{itemize}
		
		Pour le calcul on ne regarde que les mains et on procède de la manière suivante:
		
		la somme du nombre de doigts levés nous indique un nombre de dizaines, le produit des doigts baissés nous indique un nombre d’unités. Ici on a: $(1 + 2)$ dizaines et $(4\times 3)$ unités, soit encore $3$ dizaines et $12$ unités. On obtient donc le nombre $42$.
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Appliquer cette règle pour calculer le produit $6 \times 8$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Effectuons $6\times 8$.
		
		\begin{itemize}
			\item Avec le pied et la main gauches, on lève les $5$ orteils et $1$ doigt, représentant ainsi le $6$.
			
			\item Avec le pied et la main droites, on lève les $5$ orteils et $3$ doigts, représentant ainsi le $8$.
			
			La somme du nombre de doigts levés nous indique un nombre de dizaines (ici $1+3={\color{WildStrawberry}4}$), le produit des doigts baissés nous indique un nombre d’unités (ici $4 \times 2={\color{Blue}8}$.
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$6 \times 8 = {\color{WildStrawberry}4}{\color{Blue}8}$.
					
			\end{conclusion}
			
		\end{itemize}
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		On note g le nombre de doigts levés de la main gauche et d le nombre de doigts levés de la main droite.
		
	\end{sujet} 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que représentent dans ce contexte les nombres $(5-g)$ et $(5 -d)$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$5-g$ est le nombre de doigts baissés de la main gauche et $5-d$ celui de la main droite.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer l’égalité: $(5 + g)(5 + d) = 10(g + d) + (5 -g)(5-d)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons l'égalité proposée.}
			
			D'une part:
			
			\begin{align*}
				(5+g)(5+d) &= 5 \times 5 + 5 \times d + g \times 5 + g \times d\\
				&= 25 +5d +5g +gd\\
				&= gd +5d+5g+25
			\end{align*}
			
			d'autre part:
			
			\begin{align*}
				&\quad 10(g+d) +(5-g)(5-d)\\
				&= 10 \times d +10 \times g+5 \times 5 +5 \times (-d) +(-g) \times 5 + (-g) \times (-d)\\
				&= 10d + 10g+25-5d-5g+gd\\
				&= gd +5d+5g+25
			\end{align*}
			
			donc, par transitivité,
			
			\begin{conclusion}
				
				$(5 + g)(5 + d) = 10(g + d) + (5 -g)(5-d)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Conclure quant à la validité de la règle de calcul.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La règle de calcul est donc valable.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}