%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 1.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Un professeur des écoles, organise avec sa classe de CM1 une randonnée à vélo. Le parcours $BCEFCDB$ est représenté ci-contre.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\BC{7.5};
			\def\CD{8.5};
			\def\CF{6};
			\def\EF{3.2};
			\def\CE{6.8};
			\def\xB{-\BC};
			\def\yB{0};
			\def\xD{-\BC};
			\def\yD{-sqrt(\CD*\CD-\BC*\BC)};
			\def\xC{0};
			\def\yC{0};
			\def\xE{\CE};
			\def\yE{0};
			\def\angleECF{acos(\BC/\CD)};
			\def\xF{\CF*cos(\angleECF)};
			\def\yF{\CF*sin(\angleECF)};
			\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
			\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
			\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
			\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
			\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
			\draw (B) -- (D) -- (C) -- (F) -- (E);
			\draw (B) node [above left] {$B$};
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (C) node [above left] {$C$};
			\draw (F) node [above right] {$F$};
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			\draw ({\xB+0.5},{\yB}) -- ({\xB+0.5},{\yB-0.5}) -- ({\xB},{\yB-0.5});
			\fill[color=gray , opacity=0.25] ({\xB+0.5},{\yB}) -- ({\xB+0.5},{\yB-0.5}) -- ({\xB},{\yB-0.5}) -- ({\xB},{\yB}) -- cycle;
			\draw  (B) -- (C) node [midway, above] {$7,5\ \mathrm{km}$};
			\draw  (C) -- (E) node [midway, below] {$6,8\ \mathrm{km}$};
			\draw  (F) -- (E) node [midway, sloped, above] {$3,2\ \mathrm{km}$};
			\draw [>=latex, <->, sloped] ({\xF},{\yF+0.5}) -- ({\xC},{\yC+0.5}) node [midway, above] {$6\ \mathrm{km}$};
			\draw [>=latex, <->, sloped] ({\xD},{\yD-0.5}) -- ({\xC},{\yC-0.5}) node [midway, below] {$8,5\ \mathrm{km}$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que l'angle $\widehat{CFE}$ est droit.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons si $\widehat{CFE}$ est droit.}
		
		D'une part: \[ CF^2+FE^2=6^2+3,2^2= 46,24,\] et d'autre part: \[ CE^2=6,8^2=46,24.\]
		
		Ainsi $CF^2+FE^2 = CE^2$ et, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $CFE$ est rectangle en $F$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\widehat{CFE}$ est pas droit.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la longueur totale du parcours.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la longueur de $BCEFCDB$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Calculons $DB$.
			
			$BCD$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore, \[ DB^2+BC^2=DC^2. \]
			
			Nous en déduisons successivement:
			
			\begin{align*}
				DB^2+7,5^2 &= 8,5^2\\
				DB^2+7,5^2 {\color{orange}-7,5^2} &= 8,5^2{\color{orange}-7,5^2}\\
				BD^2 &= 16
				\intertext{Enfin, $BD$ étant une longueur donc un nombre positif:}
				BD &= 4
			\end{align*}
			
			\item Nous pouvons maintenant déterminer la longueur du parcours entier:
			
			\begin{align*}
				BCEFCDB &= BC+CE+EF+FC+CD+DB\\
				&= 7,5+6,8+3,2+6+8,5+4\\
				&= 36
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le parcours fait $36\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que la vitesse moyenne du groupe est de $14\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$, la classe fera-t-elle le parcours en moins de $2\ \mathrm{h}\ 45\ \mathrm{min}$? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la distance parcourue en $2\ \mathrm{h}\ 45\ \mathrm{min}$.}
		
		La distance parcourue en $2\ \mathrm{h}\ 45\ \mathrm{min}$ à $14\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ est 
		
		\begin{align*}
			d &= \left( 2\ \mathrm{h}+ {\color{orange}45\ \mathrm{min}} \right) \times \left( 14\ \mathrm{km}/\mathrm{h} \right) \\
			&= \left( 2\ \mathrm{h}+ {\color{orange}\frac{3}{4}\ \mathrm{h}} \right) \times \left( 14\ \mathrm{km}/\mathrm{h} \right) \\		
			&= \left( 2,75\ \mathrm{h} \right) \times \left( 14\ \mathrm{km}/\mathrm{h} \right) \\
			&= 2,75 \times 14\ \mathrm{h} \cdot \mathrm{km}/\mathrm{h}\\
			&= 38,5\ \mathrm{km}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			En $2\ \mathrm{h}\ 45\ \mathrm{min}$ la classe aura fini le parcours.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quatre personnes A, B, C, D se partagent une somme d’argent. On appelle $a$, $b$, $c$ et $d$ les montants respectivement reçus par A, B, C et D. On sait par ailleurs que:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $a$ représente $\frac{1}{4}$ de la somme totale;
			
			\item $b$ représente $\frac{1}{3}$ de la somme totale;
			
			\item C et D se partagent ce qui reste en prenant chacun le même montant.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la proportion que représente $c$ par rapport à la somme totale.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la proportion représentée par $c$.}
			
			Notons $T$ la somme totale:
						
			\begin{align*}
				T &= a+b+c+d\\
				\intertext{donc}
				T &= \frac{1}{4} \times T+ \frac{1}{3} \times T + c+c\\
				T &= \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{3} \right) T+2c\\
				T &= \frac{7}{12} T +2c\\
				T {\color{orange}-\frac{7}{12} T} &= \frac{7}{12} T+2c {\color{orange}-\frac{7}{12} T}\\
				\frac{5}{12} T &= 2c\\
				{\color{orange}\frac{1}{2} \times }\frac{5}{12} T &= {\color{orange}\frac{1}{2} \times } 2c\\
				\frac{5}{24}T &= c			
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$c$ représente $\frac{5}{24}$ de la somme totale.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			D reçoit $55\ \text{\euro}$. Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Puisque $c=d$
				
				\begin{conclusion}
					
					$c=55\ \text{\euro}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Puisque $c$ représente $\frac{5}{24}$ du total:
				
				\begin{align*}
					c &= \frac{5}{24} \times T\\
					{\color{orange}\frac{24}{5} \times } c &= {\color{orange}\frac{24}{5} \times } \frac{5}{24} \times T\\
					\frac{24}{5} \times 55\ \text{\euro} &= T\\
					264\ \text{\euro} &= T
				\end{align*}
				
				Or:
				
				\begin{align*}
					a &= \frac{1}{4} \times T\\
					\intertext{donc}
					a &= \frac{1}{4}\times 264\ \text{\euro}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$a=66\ \text{\euro}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item De même
				
				\begin{align*}
					b &= \frac{1}{3} \times T\\
					\intertext{donc}
					b &= \frac{1}{3}\times 264\ \text{\euro}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$b=88\ \text{\euro}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
				
		\end{correction}
				
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quatre personnes E, F, G, H se partagent une somme d'argent $s$. On appelle $e$, $f$, $g$ et $h$ les montants respectivement reçus par E, F, G et H. On sait par ailleurs que:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item E perçoit le triple de F;
			
			\item $g+h$ représente $\frac{1}{3}$ de la somme totale;
			
			\item $g=h$.
			
		\end{enumerate}
		
		Exprimer la part de chacun en fonction de $s$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons les différentes proportions demandées.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
			
			\begin{align*}
				g+h &= \frac{1}{3}s\\
				\intertext{or $g=h$ donc} 
				2g &= \frac{1}{3} s\\ 
				{\color{orange}\frac{1}{2} \times} 2g &= {\color{orange}\frac{1}{2} \times} \frac{1}{3} s
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$g=\frac{1}{6}s$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque $g=h$
			
			\begin{conclusion}
				
				$h=\frac{1}{6}s$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item On a
			
			\begin{align*}
				e+f+g+h &= s\\
				e+f+ \frac{1}{3}s &= s\\
				e+f+ \frac{1}{3}s {\color{orange}-\frac{1}{3}s} &= s {\color{orange}-\frac{1}{3}s}\\
				e+f &= \frac{2}{3}s\\
				\intertext{Or $e=3f$ donc}
				3f+f &= \frac{2}{3}s\\
				4f &= \frac{2}{3}s\\
				{\color{orange}\frac{1}{4} \times} 4f &= {\color{orange}\frac{1}{4} \times} \frac{2}{3}s
			\end{align*}
			 
			 \begin{conclusion}
			 	
			 	$f=\frac{1}{6}s$.
			 	
			 \end{conclusion}
		 	
		 	\item Puisque $e=3f=3 \times \frac{1}{6}s$ donc
		 	
		 	\begin{conclusion}
		 		
		 		$e=\frac{1}{2}s$.
		 		
		 	\end{conclusion}
	 		
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	On donne le programme ci-contre qui permet de tracer des triangles de tailles différentes.
	
	Ce programme comporte une variable nommée \og côté \fg{}. Les longueurs sont données en pixels.
	
	{\hspace*{-0.5cm}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_1_04_scratch_programme.sb3}{
	\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		Script. & Bloc Triangle.
		\\
		\begin{scratch}[scale=1]
			\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
			\blockpen{effacer tout}
			\blockpen{relever le stylo}
			\blockmove{aller à x:\ovalnum{-75} y:\ovalnum{50}}
			\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{côté} à \ovalnum{100}}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{5} fois}{
				\blockmoreblocks{Triangle}
				\blockmove{avancer de \ovalvariable{côté} pas}
				\blockvariable{ajouter \ovalnum{-20} à \selectmenu{côté}}
			}
		\end{scratch}
		&		
		\begin{scratch}[scale=1]
			\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Triangle}}
			\blockpen{stylo en position d'écriture}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}{
				\blockmove{avancer de \ovalvariable{côté} pas}
				\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
			}
		\end{scratch}
	\end{tabular}
	}}
	
	On rappelle que l’instruction
	\begin{scratch}[scale=1]
		\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
	\end{scratch}
	signifie que l’on se dirige vers la droite.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Les programmes de cet exercice sont téléchargeables ici: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_1_04_scratch_programme.sb3}{lien de téléchargement}.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Répondre aux questions suivantes sans justifier.
		
		L’utilisateur clique sur le drapeau.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles sont les coordonnées du point de départ du tracé?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{scratch}[scale=1]
				\blockmove{aller à x:\ovalnum{-75} y:\ovalnum{50}}
			\end{scratch}
			donc
			
			\begin{conclusion}
				
				Le point de départ é pour coordonnées: $(-75;50)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Combien de triangles sont dessinés par le script?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{scratch}[scale=1]
				\blockmoreblocks{Triangle}
			\end{scratch}
			est répété $5$ fois donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$5$ triangles sont dessinés par le script
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la nature des triangles dessinés?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\draw (0,0) -- (8,0) node [midway, sloped] {$>$};
					\draw (3,{sqrt(27)}) -- (6,0) node [midway, sloped] {$>$};
					\draw (3,{sqrt(27)}) -- (0,0) node [midway, sloped] {$>$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:120] plot({6+cos(\x)},{0+sin(\x)});
					\draw [blue] ({6+cos(60)+0.5},{0+sin(60)+0.5}) node {$120\degres$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=120:180] plot({6+cos(\x)},{0+sin(\x)});
					\draw [red] ({6+cos(150)-0.5},{0+sin(150)+0.5}) node {$60\degres$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=240:300] plot({3+cos(\x)},{sqrt(27)+sin(\x)});
					\draw [red] ({3+cos(270)},{sqrt(27)+sin(270)-0.5}) node {$60\degres$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=0:60] plot({0+cos(\x)},{0+sin(\x)});
					\draw [red] ({0+cos(30)+0.5},{0+sin(30)+0.5}) node {$60\degres$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les triangles dessinés sont équilatéraux.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la longueur (en pas) d’un côté du deuxième triangle tracé?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			De 
			\begin{scratch}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{côté} à \ovalnum{100}}
			\end{scratch}
			puis
			\begin{scratch}
				\blockmove{ajouter \ovalnum{-20} à \selectmenu{côté}}
			\end{scratch}
			nous déduisons que
			
			\begin{conclusion}
				
				la longueur d'un côté du deuxième triangle est $80$ pas.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tracer le dessin obtenu par ce programme en prenant comme échelle $1\ \mathrm{cm}$ pour $20$ pas.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Je n'ai pas pu faire en taille réelle. La longueur des côtés des triangles est: $5\ \mathrm{cm}$, $4\ \mathrm{cm}$, $3\ \mathrm{cm}$, $2\ \mathrm{cm}$ et $1\ \mathrm{cm}$.}
		
		{\hspace{-1.5cm}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\La{100/20};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\def\Lb{(100-20)/20};
			\coordinate (B) at ({\xA+\La},{\yA});
			\coordinate (A1) at ({\xA+\La/2},{\yA+sqrt(3)/2*\La});
			\draw (A) -- (B) -- (A1) -- (A);
			\def\Lc{(100-40)/20};
			\coordinate (C) at ({\xA+\La+\Lb},{\yA});
			\coordinate (B1) at ({\xA+\La+\Lb/2},{\yA+sqrt(3)/2*\Lb});
			\draw (B) -- (C) -- (B1) -- (B);
			\def\Ld{(100-60)/20};
			\coordinate (D) at ({\xA+\La+\Lb+\Lc},{\yA});
			\coordinate (C1) at ({\xA+\La+\Lb+\Lc/2},{\yA+sqrt(3)/2*\Lc});
			\draw (C) -- (D) -- (C1) -- (C);
			\def\Le{(100-80)/20};
			\coordinate (E) at ({\xA+\La+\Lb+\Lc+\Ld},{\yA});
			\coordinate (D1) at ({\xA+\La+\Lb+\Lc+\Ld/2},{\yA+sqrt(3)/2*\Ld});
			\draw (D) -- (E) -- (D1) -- (D);
			\draw [samples=100,domain=40:80] plot({0+\La*cos(\x)},{0+\La*sin(\x)});
			\draw [samples=100,domain=100:140] plot({\La+\La*cos(\x)},{0+\La*sin(\x)});
		\end{tikzpicture}
		}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si au lieu de triangles on voulait obtenir des hexagones réguliers, que devrait-on changer dans les instructions du bloc triangle?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{scratch}[scale=1]
			\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Triangle}}
			\blockpen{stylo en position d'écriture}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}{
				\blockmove{avancer de \ovalvariable{côté} pas}
				\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
			}
		\end{scratch}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Dans une école, un jardin pédagogique est constitué d’un terrain rectangulaire $ABEC$ dont l’aire est égale à $100\ \mathrm{m}^2$.
	
	\medskip
	Des enseignants de l’école décident de planter avec les élèves différentes cultures sur ce
	terrain: des fraisiers, des pieds de tomates et des radis.
	
	La répartition dans le terrain est la suivante:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_1_05_plantation.png}};
			\draw (-3,-4) node {$6,5\ \mathrm{m}$};
			\draw (0.8,-4) node {$2\ \mathrm{m}$};
			\draw (3.5,-4) node {$4\ \mathrm{m}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	L’entrée est un demi-disque délimité par le demi-cercle de diamètre $[DF]$ (zone hachurée sur la figure ci-dessus). Elle doit rester libre de toute plantation.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que la largeur du terrain correspondant au segment $[CA]$ est égale à $8\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tracer un plan du terrain avec les différentes zones à l’échelle $1:80$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $AC$.}
		
		L'aire du terrain rectangulaire est de $100\ \mathrm{m}^2$ donc
		
		\begin{align*}
			AC \times CE &= 10\ \mathrm{m}^2\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			AC \times \left( 6,5\ \mathrm{m}+2 \ \mathrm{m} + 4\ \mathrm{m} \right) &= 100\ \mathrm{m}^2\\
			AC \times \left( 12,5\ \mathrm{m} \right) &= 100\ \mathrm{m}^2\\
			\frac{AC \times \left( 12,5\ \mathrm{m} \right)}{\color{orange}12,5\ \mathrm{m}} &= \frac{100\ \mathrm{m}^2}{\color{orange}12,5\ \mathrm{m}}\\
			AC &= \frac{100}{12,5}\ \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{m}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AC=8\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le directeur de l’école veut installer une bordure sur les trois côtés autour de la zone 1 où on plante des tomates.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $AD=\sqrt{106,25}\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $AD$.}
			
			Puisque $ACD$ est rectangle en $C$, d'après le théorème de Pythagore,
			
			\begin{align*}
				AD^2 &= AC^2+CD^2\\
				&= 6,5^2+8^2\\
				&= 106,25
				\intertext{$AD$ étant une longueur, doncun nombre positif,}
				AD &= \sqrt{106,25}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$AD=\sqrt{106,25}\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la longueur de la bordure qu'il doit acheter. On donnera le résultat en mètre arrondi à l'unité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la longueur, $\ell_b$, de la bordure.}
			
			\begin{align*}
				\ell_b &= AC+CD+DA\\
				&= 6,5\ \mathrm{m} + \sqrt{106,25}\ \mathrm{m}+ 8\ \mathrm{m}\\
				&\approx 24,8\ \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				En arrondissant à l'unité $\ell_b \approx 24,8\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Les bordures sont vendues par rouleaux de $4$ mètres. Déterminer le nombre de rouleaux nécessaire pour entourer la zone $1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre de rouleaux $n_r$.}
			
			Procédons à une division:
			
			\begin{align*}
				24,8 &= 8 \times 4 +0,8
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faut $9$ rouleaux pour entourer la zone $1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On veut déterminer l’aire de chacune des zones.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire de la zone $1$, en mètre carré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_1$ de la zone 1.}
			
			$ACD$ est rectangle en $C$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_1 &= \frac{1}{2} \times CD \times CA\\
				&= \frac{1}{2} \times \left( 6,5\ \mathrm{m} \right) \times \left( 8\ \mathrm{m} \right)\\
				&= \frac{1}{2} \times 6,5 \times 8\ \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_1= 26\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire de la zone $2$, où on plante des radis, en mètre carré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_2$ de la zone 2.}
			
			$FEB$ est rectangle en $E$ donc
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_2 &= \frac{1}{2} \times FE \times EB\\
			&= \frac{1}{2} \times \left( 4\ \mathrm{m} \right) \times \left( 8\ \mathrm{m} \right)\\
			&= \frac{1}{2} \times 4 \times 8\ \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_2= 16\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire l’aire de la zone $3$, où on plante des fraisiers (sans la zone \og Entrée \fg{} hachurée sur la figure), en mètre carré. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie
			au dixième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_3$ de la zone 3.}
			
			L'aire de l'entrée e forme de demi-disque est $\mathscr{A}_e= \frac{1}{2} \times \pi \left( 1  \mathrm{m} \right)^2= \frac{\pi}{2}\ \mathrm{m}^2$ donc
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_3 &= 100\ \mathrm{m}^2 - \mathscr{A}_1 - \mathscr{A}_2- \frac{\pi}{2}\ \mathrm{m}^2\\
				&= 100\ \mathrm{m}^2 - 26\ \mathrm{m}^2 - 16\ \mathrm{m}^2 \frac{\pi}{2}\ \mathrm{m}^2\\
				&= \left( 100 -26-16-\frac{\pi}{2} \right)\ \mathrm{m} 
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_3= \left( 58-\frac{\pi}{2} \right) \ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
			
			\medskip
			En tronquant
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_3 &\approx 56,42\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				En arrondissant au dixième $\mathscr{A}_3\approx 56,4\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On s’intéresse à la culture des fraisiers.
		
		Sachant qu’on peut planter $6$ pieds de fraisiers par $\mathrm{m}^2$ et qu’un pied de fraisier produit en moyenne $650$ grammes de fraises par année, quelle masse de fraises les élèves peuvent-ils espérer récolter? On donnera le résultat en kilogramme, arrondi à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la masse totale $m_f$ de fraises.}
		
		Puisqu'on peut planter $6$ fraisier par mètre carré, le nombre total de fraisier est, en prenant une valeur approchée par défaut: \[ 6 \times 56,4 \approx 338. \]
		
		Nous en déduisons la masse totale de fraises escomptée: 
		
		\begin{align*}
			m_f &\approx 338 \times 650\ \mathrm{g}\\
			&\approx 219700 \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{kg}\\
			&\approx 219,7\ \mathrm{kg}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$m_f \approx 220\ \mathrm{kg}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Fin juin, l’école décide de récolter des fraises pour faire de la confiture. Les élèves récoltent ainsi $25\ \mathrm{kg}$ de fraises.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La recette de confiture de fraise dit que la quantité de sucre nécessaire doit correspondre à $55\ \%$ de la masse totale avant cuisson. Quelle masse de sucre, arrondi au kilogramme, le directeur doit-il acheter pour respecter cette recette?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la masse $m_s$ de sucre.}
		
		La masse de sucre doit représenté $55\ \%$ de la masse totale $m_T$ autrement dit
		
		\begin{align*}
			m_s &= \frac{55}{100} \times m_T\\
			\intertext{Par conséquent la masse de fraisse représente $45\ \%$ de la masse totale:}
			\frac{45}{100} \times m_T &= 25\ \mathrm{kg}\\
			\intertext{Nous pouvons en déduire la masse totale:}
			{\color{orange}\frac{100}{45} \times} \frac{45}{100}m_T &= {\color{orange}\frac{100}{45} \times} 25\ \mathrm{kg}\\
			m_T &= \frac{500}{9}\ \mathrm{kg}\\
			\intertext{Nous en déduisons la masse de sucre:}
			m_s &= \frac{55}{100} \times \frac{500}{9}\ \mathrm{kg}\\
			&= \frac{275}{9}\ \mathrm{kg}\\
			&\approx 30,55\ \mathrm{kg}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			En arrondissant à l'entier par excès $m_s\approx 31\ \mathrm{kg}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que $3\ \mathrm{kg}$ de fraises permettent de réaliser $4,8\ \mathrm{L}$ de confiture, combien de litres
		de confiture peut-on réaliser?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $V_c$ de confiture.}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Masse (en $\mathrm{kg}$) & $3$ & $25$
				\\
				\hline
				Volume (en $\mathrm{L}$) & $4,8$ & $V_c$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Puisqu'il y a proportionnalité, nous pouvons utiliser un produit en croix:
		
		\begin{align*}
			V_c &= \frac{25 \times 4,8}{3} \ \mathrm{L}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_c=40\ \mathrm{L}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Il décide de conditionner cette confiture dans des pots cylindriques dont la base est un disque de diamètre $8,4\ \mathrm{cm}$ et dont la hauteur mesure $11\ \mathrm{cm}$.
		
		Sachant que les pots ne peuvent être remplis qu’au $8/9$ de leur capacité maximale, déterminer le nombre de pots de confiture qu’il devrait réaliser.
		
		\medskip
		\emph{On rappelle la formule suivante:}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{12cm}|}
				\hline
				\emph{Volume d’un prisme ou d’un cylindre: $V = B \times h$,}
				
				\emph{où $B$ désigne l’aire de la base du prisme ou du cylindre et $h$ sa hauteur.}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre $n_p$ de pot.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le volume d'un pot, cylindrique, est
			
			\begin{align*}
				V_p &= \pi \left( \frac{8,4\ \mathrm{cm}}{2} \right)^2 \times \left( 11\ \mathrm{cm} \right)\\
				&= 194,04\pi\ \mathrm{cm}^3\\
				&= 194,04\pi\times \frac{1}{1000}\ \mathrm{L}\\
				&= 0,19404\pi\ \mathrm{L}
			\end{align*}
			
			\item Le volume utilisable dans chaque pot est
			
			\begin{align*}
				V_u &= \frac{8}{9} \times V_p\\
				&= \frac{8}{9} \times 0,19404\pi\ \mathrm{L}\\
				&\approx 0,5420\ \mathrm{L}
			\end{align*}
			
			\item Connaissant la contenance de chaque pot nous pouvons trouver le nombre de pots nécessaires:
			
			\begin{align*}
				n_p &= \frac{40 \ \mathrm{L}}{0,542\ \mathrm{L}}\\
				&\approx 73,8
			\end{align*}
			
			En arrondissant:
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faut prévoir $74$ pots.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant souhaite décorer sa salle de classe avec une frise chronologique allant de la chute de l’Empire romain (476) à nos jours. Cette frise devra couvrir trois murs de la salle de classe rectangulaire en commençant par le coin nord-ouest et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre. La frise passe au-dessus de la porte et s’étend ainsi sur les murs nord, est et sud.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_1_06_frise.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour effectuer cette frise l'enseignant prévoit d'assembler bord à bord des feuilles de format A4 ($21 \times 29,7\ \mathrm{cm}$) dans le sens de la longueur.
		
		Montrer qu’il faudra $83$ feuilles pour réaliser la frise.
		
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre de feuilles nécessaires.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La frise aura une longueur de
			
			\begin{align*}
				8,8\ \mathrm{m}+ 7\ \mathrm{m} + 8,8\ \mathrm{m} &= 24,6\ \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\item Nous en déduisons le nombre de feuilles nécessaires
			
			\begin{align*}
				\frac{24,6\ \mathrm{m}}{29,7\ \mathrm{cm}} &= \frac{24,6\times 100 \mathrm{cm}}{29,7\ \mathrm{cm}}\\
				&= 82,828282\dots
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faudra $83$ feuilles.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Par combien de centimètres est représentée une année sur cette frise chronologique?
		
		Arrondir au millimètre près.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'échelle de la frise.}
		
		La frise doit représenter $2023-476=1547$.
		
		Nous avons une situation de proportionnalité
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Années & $1547$ & $1$
				\\
				\hline
				Longueur & $2460\ \mathrm{cm}$ & ?
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		En faisant un produit en croix: \[ \frac{1 \times 2460}{1547}\approx 1,590. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			Chaque année sera représentée par $1,6\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L'enseignant a répertorié dans une feuille de calcul automatisé des dates importantes qu'il aimerait faire figurer sur cette frise.
		
		{\hspace*{-1.5cm}
			\includegraphics[scale=0.47]{crpe_2023_maths_externe_sujet_1_07_tableur.png}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une formule à valider dans la cellule $\texttt{C}2$, pouvant être étirée vers le bas afin de trouver tous les résultats de la colonne $\texttt{C}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En $\texttt{C}2$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$= (\texttt{B}2-476)*1,6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sachant que la formule validée dans la cellule $\texttt{D}2$ est \og $=\texttt{ENT}(\texttt{C}2/29,7)+1$ \fg{}, déterminer à quoi correspondent les nombres de la colonne $\texttt{D}$ au sein de la salle de classe.
			
			\emph{On rappelle que \og $\texttt{ENT}(x)$\fg{} renvoie la partie entière du nombre $x$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La colonne $\texttt{D}$ indique le nombre de feuilles entières à utiliser depuis le début de la frise.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur quel mur de la classe se trouvera l’événement \og l’accostage de Christophe Colomb sur le continent américain \fg{}, marquant la fin du Moyen-Âge, si on le positionne sur la frise?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La longueur de la frise jusqu'à l'année 1492 est \[ (1492-496) \times 1,6\ \mathrm{cm}= 1593,6\ \mathrm{cm}. \]
			
			\item $8,8\ \mathrm{m}= 8,8\times 100\ \mathrm{cm}= 880\ \mathrm{cm}$.
			
			De même: $7\ \mathrm{m}=700\ \mathrm{cm}$.
			
			Or $800\ \mathrm{cm}+ 700\ \mathrm{cm}= 1500\ \mathrm{cm}<1593,6\ \mathrm{cm}$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la date sera sur le mur sud.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	Dans une école élémentaire de $150$ élèves, $80$ sont des filles. Le directeur veut mettre en place un \og orchestre à l’école \fg{}. Il réalise une enquête auprès des familles de l’école afin de connaître les élèves qui pratiquent déjà un instrument de musique.
	
	\medskip
	À l’issue de l’enquête, il apparaît que $24\ \%$ des élèves sont musiciens.
	
	Parmi ces élèves, $16$ sont des garçons.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Reproduire et compléter le tableau suivant.
		
		{\hspace*{-1.4cm}
		\begin{tabularx}{1.17\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			& Nombres d'élèves musiciens & Nombre d'élèves non-musiciens & Total
			\\
			\hline
			Nombre de filles & &&
			\\
			\hline
			Nombre de garçons &&&
			\\
			\hline
			Total &&& $150$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		{\hspace*{-1.4cm}
			\begin{tabularx}{1.17\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				& Nombres d'élèves musiciens & Nombre d'élèves non-musiciens & Total
				\\
				\hline
				Nombre de filles & $20$ $\footnotesize \color{LimeGreen}(1)$  & $60$ $\footnotesize \color{LimeGreen}(2)$ & $\color{blue}80$
				\\
				\hline
				Nombre de garçons & $\color{WildStrawberry}16$ & $54$ $\footnotesize \color{LimeGreen}(3)$ & $70$ $\footnotesize \color{LimeGreen}(4)$
				\\
				\hline
				Total & $\color{orange}36$ & $114$ & $150$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Nombre de filles: $\color{blue}80$.
			
			\item $24\ \%$ des élèves sont musiciens: $\frac{24}{100} \times 150= {\color{orange}36}$.
			
			\item Parmi les élèves musiciens $\color{WildStrawberry}16$ sont des garçons.
			
		\end{enumerate}
		
		Les autres les valeurs se déduisent par sommes ou différences dans l'ordre $\footnotesize \color{LimeGreen}(1)$, $\footnotesize \color{LimeGreen}(2)$, $\footnotesize \color{LimeGreen}(3)$ puis $\footnotesize \color{LimeGreen}(4)$ (d'autres ordres sont possibles).
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question, on écrira les résultats sous forme de fractions irréductibles.
		
		On interroge un élève au hasard.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité pour que ce soit un garçon?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $G$ l'événement \og l'élève choisi est un garçon\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(G)$.}
			
			Modélisons l'expérience aléatoire: $\Omega$, l'univers, est l'ensemble des élèves, et nous le munissons de l'équiprobabilité.
			
			\medskip
			$G$ est réalisé par $70$ issues, $\Omega$ en en contient $150$ donc \[ \mathbb{P}(G)= \frac{70}{150}. \]
			
			Des décompositions en facteurs premiers $70= 2 \times 5 \times$ et $150= 2 \times 3 \times 5^2$ nous déduisons la forme irréductible de la réponse:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(G)=\frac{7}{15}$.
				
			\end{conclusion}
			
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que ce soit une fille musicienne?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $FM$: \og l'élève est une fille musicienne\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(FM)$.}
			
			$FM$ étant réalisé par $20$ issues donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(FM) &= \frac{20}{150}\\
				&= \frac{2^2\times 5}{2 \times 3 \times 5^2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(FM)=\frac{2}{15}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que ce soit un élève non-musicien?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $M$: \og l'élève est un musicien \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{M})$.}
			
			$\overline{M}$ est réalisé par $114$ issues donc
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(M) &= \frac{114}{150}\\
			&= \frac{2 \times 3 \times 19}{2 \times 3 \times 5^2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(M)=\frac{19}{25}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’élève interrogé est un garçon. Quelle est la probabilité qu’il soit musicien?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Avec les probabilités conditionnelles:}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_G(M)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_G(M) &= \frac{\mathbb{P}(G \cap M)}{\mathbb{P}(G)}\\
			&= \frac{\frac{16}{150}}{\frac{70}{150}}\\
			&= \frac{16}{70}\\
			&= \frac{2^4}{3 \times 5 \times 7}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_G(M)=\frac{16}{70}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Il est possible de raisonner en changer de modélisation.}
		
		Notons $\Omega'$ l'ensemble $70$ garçons et munissons-le de l'équiprobabilité.
		
		Dans cet univers $M$ est réalisé par $16$ donc \[ \mathbb{P}'(M)=\frac{16}{70}. \]
		
	\end{correction}
		
	\item 
	
	
	\begin{sujet}
		
		$30\ \%$ des filles musiciennes jouent d’un instrument à vent. Quel pourcentage cela représente-t-il par rapport à l’effectif total de l’école?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la proportion de musiciennes d'instruments à vent dans l'école.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le nombre de filles jouant d'un instrument à vent est \[ \frac{30}{100} \times 20= 6. \]
			
			\item La proportion représentée par les $6$ filles est \[ \frac{6}{150}= \frac{1}{25}.\]
			
		\end{enumerate}
		
		Enfin, comme $\frac{1}{25}= \frac{4}{100}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$4\ \%$ des élèves sont des filles jouant d'un instrument à vent.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}