%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill \small {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2020 intégrale.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
%\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} 

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}


\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Un professeur des écoles, organise avec sa classe de CM1 une randonnée à vélo. Le parcours $BCEFCDB$ est représenté ci-contre.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\BC{7.5};
			\def\CD{8.5};
			\def\CF{6};
			\def\EF{3.2};
			\def\CE{6.8};
			\def\xB{-\BC};
			\def\yB{0};
			\def\xD{-\BC};
			\def\yD{-sqrt(\CD*\CD-\BC*\BC)};
			\def\xC{0};
			\def\yC{0};
			\def\xE{\CE};
			\def\yE{0};
			\def\angleECF{acos(\BC/\CD)};
			\def\xF{\CF*cos(\angleECF)};
			\def\yF{\CF*sin(\angleECF)};
			\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
			\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
			\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
			\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
			\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
			\draw (B) -- (D) -- (C) -- (F) -- (E);
			\draw (B) node [above left] {$B$};
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (C) node [above left] {$C$};
			\draw (F) node [above right] {$F$};
			\draw (E) node [below right] {$E$};
			\draw ({\xB+0.5},{\yB}) -- ({\xB+0.5},{\yB-0.5}) -- ({\xB},{\yB-0.5});
			\fill[color=gray , opacity=0.25] ({\xB+0.5},{\yB}) -- ({\xB+0.5},{\yB-0.5}) -- ({\xB},{\yB-0.5}) -- ({\xB},{\yB}) -- cycle;
			\draw  (B) -- (C) node [midway, above] {$7,5\ \mathrm{km}$};
			\draw  (C) -- (E) node [midway, below] {$6,8\ \mathrm{km}$};
			\draw  (F) -- (E) node [midway, sloped, above] {$3,2\ \mathrm{km}$};
			\draw [>=latex, <->, sloped] ({\xF},{\yF+0.5}) -- ({\xC},{\yC+0.5}) node [midway, above] {$6\ \mathrm{km}$};
			\draw [>=latex, <->, sloped] ({\xD},{\yD-0.5}) -- ({\xC},{\yC-0.5}) node [midway, below] {$8,5\ \mathrm{km}$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que l'angle $\widehat{CFE}$ est droit.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons si $\widehat{CFE}$ est droit.}
		
		D'une part: \[ CF^2+FE^2=6^2+3,2^2= 46,24,\] et d'autre part: \[ CE^2=6,8^2=46,24.\]
		
		Ainsi $CF^2+FE^2 = CE^2$ et, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $CFE$ est rectangle en $F$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\widehat{CFE}$ est pas droit.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la longueur totale du parcours.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la longueur de $BCEFCDB$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Calculons $DB$.
			
			$BCD$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore, \[ DB^2+BC^2=DC^2. \]
			
			Nous en déduisons successivement:
			
			\begin{align*}
				DB^2+7,5^2 &= 8,5^2\\
				DB^2+7,5^2 {\color{orange}-7,5^2} &= 8,5^2{\color{orange}-7,5^2}\\
				BD^2 &= 16
				\intertext{Enfin, $BD$ étant une longueur donc un nombre positif:}
				BD &= 4
			\end{align*}
			
			\item Nous pouvons maintenant déterminer la longueur du parcours entier:
			
			\begin{align*}
				BCEFCDB &= BC+CE+EF+FC+CD+DB\\
				&= 7,5+6,8+3,2+6+8,5+4\\
				&= 36
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le parcours fait $36\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que la vitesse moyenne du groupe est de $14\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$, la classe fera-t-elle le parcours en moins de $2\ \mathrm{h}\ 45\ \mathrm{min}$? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la distance parcourue en $2\ \mathrm{h}\ 45\ \mathrm{min}$.}
		
		La distance parcourue en $2\ \mathrm{h}\ 45\ \mathrm{min}$ à $14\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ est 
		
		\begin{align*}
			d &= \left( 2\ \mathrm{h}+ {\color{orange}45\ \mathrm{min}} \right) \times \left( 14\ \mathrm{km}/\mathrm{h} \right) \\
			&= \left( 2\ \mathrm{h}+ {\color{orange}\frac{3}{4}\ \mathrm{h}} \right) \times \left( 14\ \mathrm{km}/\mathrm{h} \right) \\		
			&= \left( 2,75\ \mathrm{h} \right) \times \left( 14\ \mathrm{km}/\mathrm{h} \right) \\
			&= 2,75 \times 14\ \mathrm{h} \cdot \mathrm{km}/\mathrm{h}\\
			&= 38,5\ \mathrm{km}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			En $2\ \mathrm{h}\ 45\ \mathrm{min}$ la classe aura fini le parcours.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quatre personnes A, B, C, D se partagent une somme d’argent. On appelle $a$, $b$, $c$ et $d$ les montants respectivement reçus par A, B, C et D. On sait par ailleurs que:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item $a$ représente $\frac{1}{4}$ de la somme totale;
			
			\item $b$ représente $\frac{1}{3}$ de la somme totale;
			
			\item C et D se partagent ce qui reste en prenant chacun le même montant.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la proportion que représente $c$ par rapport à la somme totale.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la proportion représentée par $c$.}
			
			Notons $T$ la somme totale:
						
			\begin{align*}
				T &= a+b+c+d\\
				\intertext{donc}
				T &= \frac{1}{4} \times T+ \frac{1}{3} \times T + c+c\\
				T &= \left( \frac{1}{4}+\frac{1}{3} \right) T+2c\\
				T &= \frac{7}{12} T +2c\\
				T {\color{orange}-\frac{7}{12} T} &= \frac{7}{12} T+2c {\color{orange}-\frac{7}{12} T}\\
				\frac{5}{12} T &= 2c\\
				{\color{orange}\frac{1}{2} \times }\frac{5}{12} T &= {\color{orange}\frac{1}{2} \times } 2c\\
				\frac{5}{24}T &= c			
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$c$ représente $\frac{5}{24}$ de la somme totale.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			D reçoit $55\ \text{\euro}$. Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Puisque $c=d$
				
				\begin{conclusion}
					
					$c=55\ \text{\euro}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Puisque $c$ représente $\frac{5}{24}$ du total:
				
				\begin{align*}
					c &= \frac{5}{24} \times T\\
					{\color{orange}\frac{24}{5} \times } c &= {\color{orange}\frac{24}{5} \times } \frac{5}{24} \times T\\
					\frac{24}{5} \times 55\ \text{\euro} &= T\\
					264\ \text{\euro} &= T
				\end{align*}
				
				Or:
				
				\begin{align*}
					a &= \frac{1}{4} \times T\\
					\intertext{donc}
					a &= \frac{1}{4}\times 264\ \text{\euro}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$a=66\ \text{\euro}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item De même
				
				\begin{align*}
					b &= \frac{1}{3} \times T\\
					\intertext{donc}
					b &= \frac{1}{3}\times 264\ \text{\euro}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$b=88\ \text{\euro}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
				
		\end{correction}
				
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quatre personnes E, F, G, H se partagent une somme d'argent $s$. On appelle $e$, $f$, $g$ et $h$ les montants respectivement reçus par E, F, G et H. On sait par ailleurs que:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item E perçoit le triple de F;
			
			\item $g+h$ représente $\frac{1}{3}$ de la somme totale;
			
			\item $g=h$.
			
		\end{enumerate}
		
		Exprimer la part de chacun en fonction de $s$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons les différentes proportions demandées.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
			
			\begin{align*}
				g+h &= \frac{1}{3}s\\
				\intertext{or $g=h$ donc} 
				2g &= \frac{1}{3} s\\ 
				{\color{orange}\frac{1}{2} \times} 2g &= {\color{orange}\frac{1}{2} \times} \frac{1}{3} s
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$g=\frac{1}{6}s$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque $g=h$
			
			\begin{conclusion}
				
				$h=\frac{1}{6}s$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item On a
			
			\begin{align*}
				e+f+g+h &= s\\
				e+f+ \frac{1}{3}s &= s\\
				e+f+ \frac{1}{3}s {\color{orange}-\frac{1}{3}s} &= s {\color{orange}-\frac{1}{3}s}\\
				e+f &= \frac{2}{3}s\\
				\intertext{Or $e=3f$ donc}
				3f+f &= \frac{2}{3}s\\
				4f &= \frac{2}{3}s\\
				{\color{orange}\frac{1}{4} \times} 4f &= {\color{orange}\frac{1}{4} \times} \frac{2}{3}s
			\end{align*}
			 
			 \begin{conclusion}
			 	
			 	$f=\frac{1}{6}s$.
			 	
			 \end{conclusion}
		 	
		 	\item Puisque $e=3f=3 \times \frac{1}{6}s$ donc
		 	
		 	\begin{conclusion}
		 		
		 		$e=\frac{1}{2}s$.
		 		
		 	\end{conclusion}
	 		
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	On donne le programme ci-contre qui permet de tracer des triangles de tailles différentes.
	
	Ce programme comporte une variable nommée \og côté \fg{}. Les longueurs sont données en pixels.
	
	{\hspace*{-0.5cm}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_1_04_scratch_programme.sb3}{
	\begin{tabular}{m{6cm}m{6cm}}
		Script. & Bloc Triangle.
		\\
		\begin{scratch}[scale=1]
			\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
			\blockpen{effacer tout}
			\blockpen{relever le stylo}
			\blockmove{aller à x:\ovalnum{-75} y:\ovalnum{50}}
			\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{côté} à \ovalnum{100}}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{5} fois}{
				\blockmoreblocks{Triangle}
				\blockmove{avancer de \ovalvariable{côté} pas}
				\blockvariable{ajouter \ovalnum{-20} à \selectmenu{côté}}
			}
		\end{scratch}
		&		
		\begin{scratch}[scale=1]
			\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Triangle}}
			\blockpen{stylo en position d'écriture}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}{
				\blockmove{avancer de \ovalvariable{côté} pas}
				\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
			}
		\end{scratch}
	\end{tabular}
	}}
	
	On rappelle que l’instruction
	\begin{scratch}[scale=1]
		\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
	\end{scratch}
	signifie que l’on se dirige vers la droite.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Les programmes de cet exercice sont téléchargeables ici: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_1_04_scratch_programme.sb3}{lien de téléchargement}.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Répondre aux questions suivantes sans justifier.
		
		L’utilisateur clique sur le drapeau.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles sont les coordonnées du point de départ du tracé?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{scratch}[scale=1]
				\blockmove{aller à x:\ovalnum{-75} y:\ovalnum{50}}
			\end{scratch}
			donc
			
			\begin{conclusion}
				
				Le point de départ é pour coordonnées: $(-75;50)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Combien de triangles sont dessinés par le script?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{scratch}[scale=1]
				\blockmoreblocks{Triangle}
			\end{scratch}
			est répété $5$ fois donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$5$ triangles sont dessinés par le script
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la nature des triangles dessinés?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\draw (0,0) -- (8,0) node [midway, sloped] {$>$};
					\draw (3,{sqrt(27)}) -- (6,0) node [midway, sloped] {$>$};
					\draw (3,{sqrt(27)}) -- (0,0) node [midway, sloped] {$>$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:120] plot({6+cos(\x)},{0+sin(\x)});
					\draw [blue] ({6+cos(60)+0.5},{0+sin(60)+0.5}) node {$120\degres$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=120:180] plot({6+cos(\x)},{0+sin(\x)});
					\draw [red] ({6+cos(150)-0.5},{0+sin(150)+0.5}) node {$60\degres$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=240:300] plot({3+cos(\x)},{sqrt(27)+sin(\x)});
					\draw [red] ({3+cos(270)},{sqrt(27)+sin(270)-0.5}) node {$60\degres$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=0:60] plot({0+cos(\x)},{0+sin(\x)});
					\draw [red] ({0+cos(30)+0.5},{0+sin(30)+0.5}) node {$60\degres$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les triangles dessinés sont équilatéraux.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la longueur (en pas) d’un côté du deuxième triangle tracé?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			De 
			\begin{scratch}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{côté} à \ovalnum{100}}
			\end{scratch}
			puis
			\begin{scratch}
				\blockmove{ajouter \ovalnum{-20} à \selectmenu{côté}}
			\end{scratch}
			nous déduisons que
			
			\begin{conclusion}
				
				la longueur d'un côté du deuxième triangle est $80$ pas.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tracer le dessin obtenu par ce programme en prenant comme échelle $1\ \mathrm{cm}$ pour $20$ pas.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Je n'ai pas pu faire en taille réelle. La longueur des côtés des triangles est: $5\ \mathrm{cm}$, $4\ \mathrm{cm}$, $3\ \mathrm{cm}$, $2\ \mathrm{cm}$ et $1\ \mathrm{cm}$.}
		
		{\hspace{-1.5cm}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\La{100/20};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\def\Lb{(100-20)/20};
			\coordinate (B) at ({\xA+\La},{\yA});
			\coordinate (A1) at ({\xA+\La/2},{\yA+sqrt(3)/2*\La});
			\draw (A) -- (B) -- (A1) -- (A);
			\def\Lc{(100-40)/20};
			\coordinate (C) at ({\xA+\La+\Lb},{\yA});
			\coordinate (B1) at ({\xA+\La+\Lb/2},{\yA+sqrt(3)/2*\Lb});
			\draw (B) -- (C) -- (B1) -- (B);
			\def\Ld{(100-60)/20};
			\coordinate (D) at ({\xA+\La+\Lb+\Lc},{\yA});
			\coordinate (C1) at ({\xA+\La+\Lb+\Lc/2},{\yA+sqrt(3)/2*\Lc});
			\draw (C) -- (D) -- (C1) -- (C);
			\def\Le{(100-80)/20};
			\coordinate (E) at ({\xA+\La+\Lb+\Lc+\Ld},{\yA});
			\coordinate (D1) at ({\xA+\La+\Lb+\Lc+\Ld/2},{\yA+sqrt(3)/2*\Ld});
			\draw (D) -- (E) -- (D1) -- (D);
			\draw [samples=100,domain=40:80] plot({0+\La*cos(\x)},{0+\La*sin(\x)});
			\draw [samples=100,domain=100:140] plot({\La+\La*cos(\x)},{0+\La*sin(\x)});
		\end{tikzpicture}
		}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si au lieu de triangles on voulait obtenir des hexagones réguliers, que devrait-on changer dans les instructions du bloc triangle?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{scratch}[scale=1]
			\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Triangle}}
			\blockpen{stylo en position d'écriture}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}{
				\blockmove{avancer de \ovalvariable{côté} pas}
				\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
			}
		\end{scratch}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Dans une école, un jardin pédagogique est constitué d’un terrain rectangulaire $ABEC$ dont l’aire est égale à $100\ \mathrm{m}^2$.
	
	\medskip
	Des enseignants de l’école décident de planter avec les élèves différentes cultures sur ce
	terrain: des fraisiers, des pieds de tomates et des radis.
	
	La répartition dans le terrain est la suivante:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_1_05_plantation.png}};
			\draw (-3,-4) node {$6,5\ \mathrm{m}$};
			\draw (0.8,-4) node {$2\ \mathrm{m}$};
			\draw (3.5,-4) node {$4\ \mathrm{m}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	L’entrée est un demi-disque délimité par le demi-cercle de diamètre $[DF]$ (zone hachurée sur la figure ci-dessus). Elle doit rester libre de toute plantation.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que la largeur du terrain correspondant au segment $[CA]$ est égale à $8\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tracer un plan du terrain avec les différentes zones à l’échelle $1:80$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $AC$.}
		
		L'aire du terrain rectangulaire est de $100\ \mathrm{m}^2$ donc
		
		\begin{align*}
			AC \times CE &= 10\ \mathrm{m}^2\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			AC \times \left( 6,5\ \mathrm{m}+2 \ \mathrm{m} + 4\ \mathrm{m} \right) &= 100\ \mathrm{m}^2\\
			AC \times \left( 12,5\ \mathrm{m} \right) &= 100\ \mathrm{m}^2\\
			\frac{AC \times \left( 12,5\ \mathrm{m} \right)}{\color{orange}12,5\ \mathrm{m}} &= \frac{100\ \mathrm{m}^2}{\color{orange}12,5\ \mathrm{m}}\\
			AC &= \frac{100}{12,5}\ \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{m}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AC=8\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le directeur de l’école veut installer une bordure sur les trois côtés autour de la zone 1 où on plante des tomates.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $AD=\sqrt{106,25}\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $AD$.}
			
			Puisque $ACD$ est rectangle en $C$, d'après le théorème de Pythagore,
			
			\begin{align*}
				AD^2 &= AC^2+CD^2\\
				&= 6,5^2+8^2\\
				&= 106,25
				\intertext{$AD$ étant une longueur, doncun nombre positif,}
				AD &= \sqrt{106,25}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$AD=\sqrt{106,25}\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la longueur de la bordure qu'il doit acheter. On donnera le résultat en mètre arrondi à l'unité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la longueur, $\ell_b$, de la bordure.}
			
			\begin{align*}
				\ell_b &= AC+CD+DA\\
				&= 6,5\ \mathrm{m} + \sqrt{106,25}\ \mathrm{m}+ 8\ \mathrm{m}\\
				&\approx 24,8\ \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				En arrondissant à l'unité $\ell_b \approx 24,8\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Les bordures sont vendues par rouleaux de $4$ mètres. Déterminer le nombre de rouleaux nécessaire pour entourer la zone $1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre de rouleaux $n_r$.}
			
			Procédons à une division:
			
			\begin{align*}
				24,8 &= 8 \times 4 +0,8
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faut $9$ rouleaux pour entourer la zone $1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On veut déterminer l’aire de chacune des zones.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire de la zone $1$, en mètre carré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_1$ de la zone 1.}
			
			$ACD$ est rectangle en $C$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_1 &= \frac{1}{2} \times CD \times CA\\
				&= \frac{1}{2} \times \left( 6,5\ \mathrm{m} \right) \times \left( 8\ \mathrm{m} \right)\\
				&= \frac{1}{2} \times 6,5 \times 8\ \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_1= 26\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire de la zone $2$, où on plante des radis, en mètre carré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_2$ de la zone 2.}
			
			$FEB$ est rectangle en $E$ donc
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_2 &= \frac{1}{2} \times FE \times EB\\
			&= \frac{1}{2} \times \left( 4\ \mathrm{m} \right) \times \left( 8\ \mathrm{m} \right)\\
			&= \frac{1}{2} \times 4 \times 8\ \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_2= 16\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire l’aire de la zone $3$, où on plante des fraisiers (sans la zone \og Entrée \fg{} hachurée sur la figure), en mètre carré. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie
			au dixième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_3$ de la zone 3.}
			
			L'aire de l'entrée e forme de demi-disque est $\mathscr{A}_e= \frac{1}{2} \times \pi \left( 1  \mathrm{m} \right)^2= \frac{\pi}{2}\ \mathrm{m}^2$ donc
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_3 &= 100\ \mathrm{m}^2 - \mathscr{A}_1 - \mathscr{A}_2- \frac{\pi}{2}\ \mathrm{m}^2\\
				&= 100\ \mathrm{m}^2 - 26\ \mathrm{m}^2 - 16\ \mathrm{m}^2 \frac{\pi}{2}\ \mathrm{m}^2\\
				&= \left( 100 -26-16-\frac{\pi}{2} \right)\ \mathrm{m} 
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_3= \left( 58-\frac{\pi}{2} \right) \ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
			
			\medskip
			En tronquant
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_3 &\approx 56,42\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				En arrondissant au dixième $\mathscr{A}_3\approx 56,4\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On s’intéresse à la culture des fraisiers.
		
		Sachant qu’on peut planter $6$ pieds de fraisiers par $\mathrm{m}^2$ et qu’un pied de fraisier produit en moyenne $650$ grammes de fraises par année, quelle masse de fraises les élèves peuvent-ils espérer récolter? On donnera le résultat en kilogramme, arrondi à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la masse totale $m_f$ de fraises.}
		
		Puisqu'on peut planter $6$ fraisier par mètre carré, le nombre total de fraisier est, en prenant une valeur approchée par défaut: \[ 6 \times 56,4 \approx 338. \]
		
		Nous en déduisons la masse totale de fraises escomptée: 
		
		\begin{align*}
			m_f &\approx 338 \times 650\ \mathrm{g}\\
			&\approx 219700 \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{kg}\\
			&\approx 219,7\ \mathrm{kg}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$m_f \approx 220\ \mathrm{kg}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Fin juin, l’école décide de récolter des fraises pour faire de la confiture. Les élèves récoltent ainsi $25\ \mathrm{kg}$ de fraises.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La recette de confiture de fraise dit que la quantité de sucre nécessaire doit correspondre à $55\ \%$ de la masse totale avant cuisson. Quelle masse de sucre, arrondi au kilogramme, le directeur doit-il acheter pour respecter cette recette?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la masse $m_s$ de sucre.}
		
		La masse de sucre doit représenté $55\ \%$ de la masse totale $m_T$ autrement dit
		
		\begin{align*}
			m_s &= \frac{55}{100} \times m_T\\
			\intertext{Par conséquent la masse de fraisse représente $45\ \%$ de la masse totale:}
			\frac{45}{100} \times m_T &= 25\ \mathrm{kg}\\
			\intertext{Nous pouvons en déduire la masse totale:}
			{\color{orange}\frac{100}{45} \times} \frac{45}{100}m_T &= {\color{orange}\frac{100}{45} \times} 25\ \mathrm{kg}\\
			m_T &= \frac{500}{9}\ \mathrm{kg}\\
			\intertext{Nous en déduisons la masse de sucre:}
			m_s &= \frac{55}{100} \times \frac{500}{9}\ \mathrm{kg}\\
			&= \frac{275}{9}\ \mathrm{kg}\\
			&\approx 30,55\ \mathrm{kg}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			En arrondissant à l'entier par excès $m_s\approx 31\ \mathrm{kg}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que $3\ \mathrm{kg}$ de fraises permettent de réaliser $4,8\ \mathrm{L}$ de confiture, combien de litres
		de confiture peut-on réaliser?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $V_c$ de confiture.}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Masse (en $\mathrm{kg}$) & $3$ & $25$
				\\
				\hline
				Volume (en $\mathrm{L}$) & $4,8$ & $V_c$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Puisqu'il y a proportionnalité, nous pouvons utiliser un produit en croix:
		
		\begin{align*}
			V_c &= \frac{25 \times 4,8}{3} \ \mathrm{L}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_c=40\ \mathrm{L}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Il décide de conditionner cette confiture dans des pots cylindriques dont la base est un disque de diamètre $8,4\ \mathrm{cm}$ et dont la hauteur mesure $11\ \mathrm{cm}$.
		
		Sachant que les pots ne peuvent être remplis qu’au $8/9$ de leur capacité maximale, déterminer le nombre de pots de confiture qu’il devrait réaliser.
		
		\medskip
		\emph{On rappelle la formule suivante:}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{12cm}|}
				\hline
				\emph{Volume d’un prisme ou d’un cylindre: $V = B \times h$,}
				
				\emph{où $B$ désigne l’aire de la base du prisme ou du cylindre et $h$ sa hauteur.}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre $n_p$ de pot.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le volume d'un pot, cylindrique, est
			
			\begin{align*}
				V_p &= \pi \left( \frac{8,4\ \mathrm{cm}}{2} \right)^2 \times \left( 11\ \mathrm{cm} \right)\\
				&= 194,04\pi\ \mathrm{cm}^3\\
				&= 194,04\pi\times \frac{1}{1000}\ \mathrm{L}\\
				&= 0,19404\pi\ \mathrm{L}
			\end{align*}
			
			\item Le volume utilisable dans chaque pot est
			
			\begin{align*}
				V_u &= \frac{8}{9} \times V_p\\
				&= \frac{8}{9} \times 0,19404\pi\ \mathrm{L}\\
				&\approx 0,5420\ \mathrm{L}
			\end{align*}
			
			\item Connaissant la contenance de chaque pot nous pouvons trouver le nombre de pots nécessaires:
			
			\begin{align*}
				n_p &= \frac{40 \ \mathrm{L}}{0,542\ \mathrm{L}}\\
				&\approx 73,8
			\end{align*}
			
			En arrondissant:
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faut prévoir $74$ pots.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant souhaite décorer sa salle de classe avec une frise chronologique allant de la chute de l’Empire romain (476) à nos jours. Cette frise devra couvrir trois murs de la salle de classe rectangulaire en commençant par le coin nord-ouest et en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre. La frise passe au-dessus de la porte et s’étend ainsi sur les murs nord, est et sud.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_1_06_frise.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour effectuer cette frise l'enseignant prévoit d'assembler bord à bord des feuilles de format A4 ($21 \times 29,7\ \mathrm{cm}$) dans le sens de la longueur.
		
		Montrer qu’il faudra $83$ feuilles pour réaliser la frise.
		
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre de feuilles nécessaires.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La frise aura une longueur de
			
			\begin{align*}
				8,8\ \mathrm{m}+ 7\ \mathrm{m} + 8,8\ \mathrm{m} &= 24,6\ \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\item Nous en déduisons le nombre de feuilles nécessaires
			
			\begin{align*}
				\frac{24,6\ \mathrm{m}}{29,7\ \mathrm{cm}} &= \frac{24,6\times 100 \mathrm{cm}}{29,7\ \mathrm{cm}}\\
				&= 82,828282\dots
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faudra $83$ feuilles.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Par combien de centimètres est représentée une année sur cette frise chronologique?
		
		Arrondir au millimètre près.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'échelle de la frise.}
		
		La frise doit représenter $2023-476=1547$.
		
		Nous avons une situation de proportionnalité
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Années & $1547$ & $1$
				\\
				\hline
				Longueur & $2460\ \mathrm{cm}$ & ?
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		En faisant un produit en croix: \[ \frac{1 \times 2460}{1547}\approx 1,590. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			Chaque année sera représentée par $1,6\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L'enseignant a répertorié dans une feuille de calcul automatisé des dates importantes qu'il aimerait faire figurer sur cette frise.
		
		{\hspace*{-1.5cm}
			\includegraphics[scale=0.47]{crpe_2023_maths_externe_sujet_1_07_tableur.png}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une formule à valider dans la cellule $\texttt{C}2$, pouvant être étirée vers le bas afin de trouver tous les résultats de la colonne $\texttt{C}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En $\texttt{C}2$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$= (\texttt{B}2-476)*1,6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sachant que la formule validée dans la cellule $\texttt{D}2$ est \og $=\texttt{ENT}(\texttt{C}2/29,7)+1$ \fg{}, déterminer à quoi correspondent les nombres de la colonne $\texttt{D}$ au sein de la salle de classe.
			
			\emph{On rappelle que \og $\texttt{ENT}(x)$\fg{} renvoie la partie entière du nombre $x$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La colonne $\texttt{D}$ indique le nombre de feuilles entières à utiliser depuis le début de la frise.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur quel mur de la classe se trouvera l’événement \og l’accostage de Christophe Colomb sur le continent américain \fg{}, marquant la fin du Moyen-Âge, si on le positionne sur la frise?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La longueur de la frise jusqu'à l'année 1492 est \[ (1492-496) \times 1,6\ \mathrm{cm}= 1593,6\ \mathrm{cm}. \]
			
			\item $8,8\ \mathrm{m}= 8,8\times 100\ \mathrm{cm}= 880\ \mathrm{cm}$.
			
			De même: $7\ \mathrm{m}=700\ \mathrm{cm}$.
			
			Or $800\ \mathrm{cm}+ 700\ \mathrm{cm}= 1500\ \mathrm{cm}<1593,6\ \mathrm{cm}$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la date sera sur le mur sud.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	Dans une école élémentaire de $150$ élèves, $80$ sont des filles. Le directeur veut mettre en place un \og orchestre à l’école \fg{}. Il réalise une enquête auprès des familles de l’école afin de connaître les élèves qui pratiquent déjà un instrument de musique.
	
	\medskip
	À l’issue de l’enquête, il apparaît que $24\ \%$ des élèves sont musiciens.
	
	Parmi ces élèves, $16$ sont des garçons.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Reproduire et compléter le tableau suivant.
		
		{\hspace*{-1.4cm}
		\begin{tabularx}{1.17\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			& Nombres d'élèves musiciens & Nombre d'élèves non-musiciens & Total
			\\
			\hline
			Nombre de filles & &&
			\\
			\hline
			Nombre de garçons &&&
			\\
			\hline
			Total &&& $150$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		{\hspace*{-1.4cm}
			\begin{tabularx}{1.17\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				& Nombres d'élèves musiciens & Nombre d'élèves non-musiciens & Total
				\\
				\hline
				Nombre de filles & $20$ $\footnotesize \color{LimeGreen}(1)$  & $60$ $\footnotesize \color{LimeGreen}(2)$ & $\color{blue}80$
				\\
				\hline
				Nombre de garçons & $\color{WildStrawberry}16$ & $54$ $\footnotesize \color{LimeGreen}(3)$ & $70$ $\footnotesize \color{LimeGreen}(4)$
				\\
				\hline
				Total & $\color{orange}36$ & $114$ & $150$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Nombre de filles: $\color{blue}80$.
			
			\item $24\ \%$ des élèves sont musiciens: $\frac{24}{100} \times 150= {\color{orange}36}$.
			
			\item Parmi les élèves musiciens $\color{WildStrawberry}16$ sont des garçons.
			
		\end{enumerate}
		
		Les autres les valeurs se déduisent par sommes ou différences dans l'ordre $\footnotesize \color{LimeGreen}(1)$, $\footnotesize \color{LimeGreen}(2)$, $\footnotesize \color{LimeGreen}(3)$ puis $\footnotesize \color{LimeGreen}(4)$ (d'autres ordres sont possibles).
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question, on écrira les résultats sous forme de fractions irréductibles.
		
		On interroge un élève au hasard.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité pour que ce soit un garçon?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $G$ l'événement \og l'élève choisi est un garçon\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(G)$.}
			
			Modélisons l'expérience aléatoire: $\Omega$, l'univers, est l'ensemble des élèves, et nous le munissons de l'équiprobabilité.
			
			\medskip
			$G$ est réalisé par $70$ issues, $\Omega$ en en contient $150$ donc \[ \mathbb{P}(G)= \frac{70}{150}. \]
			
			Des décompositions en facteurs premiers $70= 2 \times 5 \times$ et $150= 2 \times 3 \times 5^2$ nous déduisons la forme irréductible de la réponse:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(G)=\frac{7}{15}$.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que ce soit une fille musicienne?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $FM$: \og l'élève est une fille musicienne\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(FM)$.}
			
			$FM$ étant réalisé par $20$ issues donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(FM) &= \frac{20}{150}\\
				&= \frac{2^2\times 5}{2 \times 3 \times 5^2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(FM)=\frac{2}{15}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que ce soit un élève non-musicien?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $M$: \og l'élève est un musicien \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{M})$.}
			
			$\overline{M}$ est réalisé par $114$ issues donc
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(M) &= \frac{114}{150}\\
			&= \frac{2 \times 3 \times 19}{2 \times 3 \times 5^2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(M)=\frac{19}{25}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’élève interrogé est un garçon. Quelle est la probabilité qu’il soit musicien?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Avec les probabilités conditionnelles:}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_G(M)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_G(M) &= \frac{\mathbb{P}(G \cap M)}{\mathbb{P}(G)}\\
			&= \frac{\frac{16}{150}}{\frac{70}{150}}\\
			&= \frac{16}{70}\\
			&= \frac{2^4}{3 \times 5 \times 7}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_G(M)=\frac{16}{70}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Il est possible de raisonner en changer de modélisation.}
		
		Notons $\Omega'$ l'ensemble $70$ garçons et munissons-le de l'équiprobabilité.
		
		Dans cet univers $M$ est réalisé par $16$ donc \[ \mathbb{P}'(M)=\frac{16}{70}. \]
		
	\end{correction}
		
	\item 	
	
	\begin{sujet}
		
		$30\ \%$ des filles musiciennes jouent d’un instrument à vent. Quel pourcentage cela représente-t-il par rapport à l’effectif total de l’école?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la proportion de musiciennes d'instruments à vent dans l'école.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le nombre de filles jouant d'un instrument à vent est \[ \frac{30}{100} \times 20= 6. \]
			
			\item La proportion représentée par les $6$ filles est \[ \frac{6}{150}= \frac{1}{25}.\]
			
		\end{enumerate}
		
		Enfin, comme $\frac{1}{25}= \frac{4}{100}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$4\ \%$ des élèves sont des filles jouant d'un instrument à vent.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Une directrice d’école primaire souhaite inscrire les élèves de l’école à une course solidaire d’action contre la faim afin de les sensibiliser à la sous-nutrition dans le monde.
	
	Il s’agit pour chaque élève de faire le plus de tours possible d’un parcours prédéfini. Pour chaque tour effectué, l’élève récolte une somme d’argent fixe qui sera versée à l’association
	caritative.
	
	\medskip
	La directrice décide de faire courir les élèves dans la cour de l’école, le long d’un parcours schématisé ci-dessous. Une partie du parcours est constituée d’un demi-cercle de diamètre $[CD]$ et les longueurs sont données en mètre.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\def\AF{3};
		\def\FE{8};
		\def\AB{5};
		\def\BC{4};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xF{0};
		\def\yF{-\AF};
		\def\xE{\FE};
		\def\yE{-\AF};
		\def\xD{\FE};
		\def\yD{0};
		\def\xC{\AB};
		\def\yC{\BC};
		\def\xB{\AB};
		\def\yB{0};
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
		\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
		\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
		\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
		\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
		\draw (C) -- (B) node [midway, left] {$40\ \mathrm{m}$};
		\draw (B) -- (A) node [midway, above] {$50\ \mathrm{m}$};
		\draw (A) -- (F) node [midway, left] {$30\ \mathrm{m}$};
		\draw (F) -- (E) node [midway, below] {$80\ \mathrm{m}$};
		\draw (E) -- (D);
		\draw (A) node [above left] {$A$};
		\draw (F) node [below left] {$F$};
		\draw (E) node [below right] {$E$};
		\draw (D) node [below right] {$D$};
		\draw (C) node [above left] {$C$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw [samples=100,domain=-53.13:{180-53.13}] plot({ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*cos(\x)+(\xC+\xD)/2},{ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*sin(\x)+(\yC+\yD)/2});
		\draw [>=latex, ->] ({\xA-0.5},{\yA}) -- ({\xA-0.5},{\yA-\AF/3}) node [midway, left] {\footnotesize Départ};
		\draw ({\xB-0.5},{\yB}) -- ({\xB-0.5},{\yB+0.5}) -- ({\xB},{\yB+0.5});
		\fill[color=gray , opacity=0.25] ({\xB-0.5},{\yB}) -- ({\xB-0.5},{\yB+0.5}) -- ({\xB},{\yB+0.5}) -- (B);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Les points $A$, $B$ et $D$ sont alignés et le quadrilatère $AFED$ est un rectangle. Les élèves partent du point $A$ et se déplacent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
	
	On a: $AB = 50\ \mathrm{m}$; $BC = 40\ \mathrm{m}$; $EF = 80\ \mathrm{m}$ et
	$FA = 30\ \mathrm{m}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la longueur du segment $[CD]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $CD$.}
		
		{\color{orange}Toutes les longueurs sont exprimées en mètre donc nous pouvons ne pas nous préoccuper des unités.}
		
		\medskip
		$BCD$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore, \[ BD^2+BC^2=CD^2. \]
		
		Or $BD=FE-AB=80-50=30$ donc
		
		\begin{align*}
			CD^2 &= 30^2+40^2\\
			&= 2500\\
			\intertext{Puisque $CD$ est une longueur, c'est un nombre positif et donc:}
			CD &= \sqrt{2500}\\
			&= 50
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$CD=50\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que la longueur du parcours, arrondie au mètre, est $309\ \mathrm{m}$. On utilisera cette valeur dans la suite de l’exercice.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la longueur $L$ du parcours.}
		
		\begin{align*}
			L &= AB +BC+ \wideparen{CD}+DE+EF+FA\\
			&= 50+40+ \wideparen{CD}+30+80+30
		\end{align*}
		
		Or $\wideparen{CD}$ est un demi-cercle de diamètre $[CD]$ donc sa longueur est {\color{orange}(la moitié du périmètre du cercle)}:
		
		\begin{align*}
			\wideparen{CD} &= \frac{1}{2} \times 2 \pi \frac{CD}{2}\\
			&= \frac{1}{2} \times 2 \pi \frac{50}{2}\\
			&\approx 78,539\ \text{en tronquant}
		\end{align*}
		
		Ainsi:
		\begin{align*}
		L &\approx 50+40+ 78,54+30+80+30\\
		&\approx 308,54
		\end{align*}
		
		En arrondissant à l'unité
		
		\begin{conclusion}
			
			$L \approx 309\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Construire un plan du parcours à l’échelle $1/800$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons toutes les longueurs mises à l'échelle.}
		
		Notons $A'B'$ la longueur $AB$ mise à l'échelle.
		
		\begin{align*}
			A'B' &= \frac{1}{800} \times 50\ {\color{WildStrawberry}\mathrm{m}}\\
			&= 50 \times {\color{WildStrawberry} \times 100\ \mathrm{cm}}\\
			&= 50 \times  \frac{1}{8}\ \mathrm{cm}\\
			&= 6,25\ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		{\color{orange}	Nous remarquons qu'il suffit de diviser la longueur réelle exprimée en mètre par $8$ pour obtenir la longueur mise à l'échelle en centimètre.}
		
		En procédant de même:
		
		\begin{center}			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Longueur réelle (en $\mathrm{m}$) & $50$ & $40$  & $80$ & $30$\\
				\hline
				Longueur à l'échelle en centimètre. & $6,25$ & $5$ & $10$ & $3,75$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Nous en déduisons le dessin à l'échelle {\color{orange}(aucune difficulté pour peu qu'on ait équerre et compas)}:	
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tikzpicture}
		\def\AF{3.75};
		\def\FE{10};
		\def\AB{6.25};
		\def\BC{5};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xF{0};
		\def\yF{-\AF};
		\def\xE{\FE};
		\def\yE{-\AF};
		\def\xD{\FE};
		\def\yD{0};
		\def\xC{\AB};
		\def\yC{\BC};
		\def\xB{\AB};
		\def\yB{0};
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
		\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
		\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
		\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
		\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
		\draw (C) -- (B) node [midway, left] {$5\ \mathrm{cm}$};
		\draw (B) -- (A) node [midway, above] {$6,25\ \mathrm{cm}$};
		\draw (A) -- (F) node [midway, left] {$5\ \mathrm{cm}$};
		\draw (F) -- (E) node [midway, below] {$10\ \mathrm{cm}$};
		\draw (E) -- (D);
		\draw (A) node [above left] {$A$};
		\draw (F) node [below left] {$F$};
		\draw (E) node [below right] {$E$};
		\draw (D) node [below right] {$D$};
		\draw (C) node [above left] {$C$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw [samples=100,domain=-53.13:{180-53.13}] plot({ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*cos(\x)+(\xC+\xD)/2},{ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*sin(\x)+(\yC+\yD)/2});
		\draw [dashed] (C) -- (D);
		\draw ({(\xC+\xD)/2},{(\yC+\yD)/2}) node {$\times$};
		\end{tikzpicture}
		}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Killian a effectué un tour complet en $3$ minutes.
		
		À quelle vitesse moyenne Killian a-t-il couru? On donnera le résultat en mètre par seconde arrondi au centième, puis en kilomètre par heure, arrondi au dixième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la vitesse moyenne $v_K$.}
		
		\begin{align*}
			v_K &= \frac{309\ \mathrm{m}}{3\ {\color{orange}\mathrm{min}}}\\
			&= \frac{309\ \mathrm{m}}{3{\color{orange}\times 60\ \mathrm{s}}} \\
			&= \frac{309}{3 \times 60}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\
			&\approx 1,716\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\ \text{en tronquant}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_K \approx 1,72\ \mathrm{m}/ \mathrm{s}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		
		\begin{align*}
		v_K &= \frac{309\ {\color{WildStrawberry}\mathrm{m}}}{3\ {\color{orange}\mathrm{min}}}\\
		&= \frac{309{\color{WildStrawberry} \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{km}}}{3{\color{orange}\times \frac{1}{60}\ \mathrm{h}}} \\
		&= \frac{309\times \frac{1}{1000}}{3\times \frac{1}{60}}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\
		&= 6,18\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_K \approx 6,2\ \mathrm{km}/ \mathrm{h}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que Sophia court à une vitesse constante de $7\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Combien de tours complets pourrait-elle effectuer à cette vitesse en $18$ minutes?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre $T_S$ de tours de Sophia en $18$ minutes.}
			
			{\color{orange}Nous allons exprimer toutes les grandeurs en mètre et minute.}
			
			La distance parcourue par Sophia en $18$ minutes est
			
			\begin{align*}
				d_S &= 7\ \frac{{\color{WildStrawberry}\mathrm{km}}}{\color{orange}\mathrm{h}} \times 18 \ \mathrm{min}\\
				&= 7\ \frac{{\color{WildStrawberry}1000 \ \mathrm{m}}}{\color{orange}60\ \mathrm{min}} \times 18 \ \mathrm{min}\\
				&= \frac{7\times 1000 \times 18}{60}\ \frac{\mathrm{m} \cdot \mathrm{min}}{\mathrm{min}}\\
				&= 2100\ \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			or chaque toue a une longueur de $309\ \mathrm{m}$ donc
			
			\begin{align*}
				T_S &= \frac{2100\ \mathrm{m}}{309\ \mathrm{m}}\\
				&= \frac{2100}{309}\\
				&\approx 6,796\ \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Sophia fera $6$ tours complets.
				 
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On désigne par S le point du parcours où Sophia se trouve au bout de 18 minutes de course. Placer le point S sur le plan réalisé à la question 3.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant à une division euclidienne: $2100=6 \times 309+246$.
			
			Il lui restait $309\ \mathrm{m}-246\ \mathrm{m}= 63\ \mathrm{m}$ pour finir un tour. Sur le trajet $[CB]$ elle avait déjà parcouru $50\ \mathrm{m} + 40\ \mathrm{m}-63\ \mathrm{m} = 27\ \mathrm{m}$.
			
			Par conséquent $S$ est à $\frac{27}{8}\ \mathrm{cm}= 3,375\ \mathrm{cm}$ de $C$ sur le trajet $[CB]$.
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}
				\def\AF{3.75};
				\def\FE{10};
				\def\AB{6.25};
				\def\BC{5};
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\def\xF{0};
				\def\yF{-\AF};
				\def\xE{\FE};
				\def\yE{-\AF};
				\def\xD{\FE};
				\def\yD{0};
				\def\xC{\AB};
				\def\yC{\BC};
				\def\xB{\AB};
				\def\yB{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
				\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
				\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
				\draw (C) -- (B) node [midway, right] {$5\ \mathrm{cm}$};
				\draw (B) -- (A) node [midway, above] {$6,25\ \mathrm{cm}$};
				\draw (A) -- (F) node [midway, left] {$5\ \mathrm{cm}$};
				\draw (F) -- (E) node [midway, below] {$10\ \mathrm{cm}$};
				\draw (E) -- (D);
				\draw (A) node [above left] {$A$};
				\draw (F) node [below left] {$F$};
				\draw (E) node [below right] {$E$};
				\draw (D) node [below right] {$D$};
				\draw (C) node [above left] {$C$};
				\draw (B) node [below right] {$B$};
				\draw [samples=100,domain=-53.13:{180-53.13}] plot({ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*cos(\x)+(\xC+\xD)/2},{ sqrt(\BC*\BC+\AF*\AF)/2*sin(\x)+(\yC+\yD)/2});
				\draw [dashed] (C) -- (D);
				\draw ({(\xC+\xD)/2},{(\yC+\yD)/2}) node {$\times$};
				\draw ({\AB},{\yC-27/40*\BC}) node {$\times$};
				\draw ({\AB},{\yC-27/40*\BC}) node [right] {$S$};
				\draw [>=latex, <->] ({\AB-0.5},{\yC-27/40*\BC}) -- ({\xC-0.5},{\yC}) node[midway, left] {$3,375\ \mathrm{cm}$};
				\end{tikzpicture}
			}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’école est composée de $325$ élèves. Le tableau ci-dessous indique le nombre de tours complets effectués par les élèves.
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Nombre de tours & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8
			\\
			\hline
			Nombre d’élèves & 52 & 52 & 78 & 65 & 39 & 26 & 13
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le nombre moyen de tours complets effectués?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre moyen $\overline{x}$ de tours.}
			
			{\color{orange}La série étant regroupée par modalité (les valeurs différentes et les effectifs correspondant ) nous allons utiliser la formule de la moyenne pondérée.}
			
			\begin{align*}
				\overline{x} &= \frac{n_1x_1+n_2x_2+ \dots + n_px_p}{n_1+n_2+\dots +n_p}\\
				&= \frac{52 \times 2 + 52 \times 3 + \dots +13  \times 8}{52+52+\dots +13}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overline{x} =4,36$ tours.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l’étendue de cette série statistique?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'étendue $e$.}
			
			\begin{align*}
				e &= \max - \min\\
				&= 8-2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$e=6$ tours.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la médiane de cette série statistique.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la médiane $Me$.}
			
			\noindent
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				Nombre de tours & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8
				\\
				\hline
				Nombre d’élèves & 52 & 52 & 78 & 65 & 39 & 26 & 13
				\\
				\hline
				E.C.C. & 52 & 104 & 182 & 247 & 286 & 312 & 325
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Ordonner la série.} La série des nombres de tours est déjà rangée dans l'ordre croissant.
				
				\item {\color{orange}Position de $Me$.} $\frac{N}{2}= \frac{325}{2}=162,5$, la série étant impaire $Me$ est la $163$-ième valeur de la série ordonnée.
				
				\item {\color{orange}Lecture de la valeur de $Me$.} D'après les effectifs cumulés croissants, 
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$Me=4$ tours.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Interpréter le résultat de la question (c).
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Interprétation de la médiane dans la version verre à moitié vide.}
			
			\begin{conclusion}
				
				$50\ \%$ des élèves ont fait moins de $4$ tours complets.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le premier et le troisième quartile de cette série.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $Q_1$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item La série est ordonnée (dans le tableau).
				
				\item $\frac{N}{4}= \frac{325}{4}=81,25$ donc $Q_1$ est la $82$i-ième valeur de la série ordonnée.
				
				\item D'après les E.C.C.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$Q_1=3$ tours.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons $Q_3$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item La série est ordonnée (dans le tableau).
				
				\item $\frac{3N}{4}= \frac{325}{4}=243,75$ donc $Q_3$ est la $244$i-ième valeur de la série ordonnée.
				
				\item D'après les E.C.C.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$Q_3=5$ tours.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel pourcentage d’élèves a réussi à faire au moins $4$ tours?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}En première approximation, en utilisant la médiane, nous pourrions dire qu'environ $50\ \%$ des élèves ont fait au moins $4$ tours complets.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons le pourcentage $p$ d'élèves ayant fait au moins $4$ tours.}
			
			\begin{align*}
				p &= \frac{78+65+39+26+13}{325} \times 100\\
				&\approx 64,923\ \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$64,92\ \%$ des élèves ont fait au moins $4$ tours complets.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Un rectangle est défini dans le dictionnaire de la façon suivante:
	
	\begin{center}
		
		\og Un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont droits. \fg{}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un quadrilatère qui possède deux angles droits est-il un rectangle? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les trapèzes rectangles ne sont pas nécessairement des rectangles:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) -- (5,0) -- (3,3) -- (0,3) -- cycle;
				\draw ({0+0.5},{0}) -- ({0+0.5},{0+0.5}) -- ({0},{0+0.5});
				\fill[color=gray , opacity=0.25]  ({0+0.5},{0}) -- ({0+0.5},{0+0.5}) -- ({0},{0+0.5}) -- (0,0) --cycle;
				\draw ({0+0.5},{3}) -- ({0+0.5},{3-0.5}) -- ({0},{3-0.5});
				\fill[color=gray , opacity=0.25]  ({0+0.5},{3}) -- ({0+0.5},{3-0.5}) -- ({0},{3-0.5}) -- (0,3) --cycle;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les quadrilatères possédant deux angles droits ne sont pas tous des rectangles.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans une classe de CE2, une enseignante demande à ses élèves de compléter la phrase suivante: \og Un rectangle est un quadrilatère dont ... \fg{}.
		
		Voici deux réponses proposées:
		
		\begin{enumerate}[]
			\item Élève A: \og Un rectangle est un quadrilatère dont les côtés opposés sont de même longueur\fg{}.
			
			\item Élève B: \og Un rectangle est un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur \fg{}.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Préciser en quoi la réponse de l’élève A ne pourrait pas être admise comme définition mathématique du rectangle.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Tous les parallélogrammes ont des côtés opposés de même longueurs deux à deux cependant tous les parallélogrammes ne sont pas des rectangles.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\draw (0,0) -- (4,0) node [midway] {$\parallel$};
					\draw (1,3) -- (5,3) node [midway] {$\parallel$};
					\draw (0,0) -- (1,3) node [midway] {$\circ$};
					\draw (5,3) -- (4,0) node [midway] {$\circ$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Préciser en quoi la réponse de l’élève B ne pourrait pas être admise comme définition mathématique du rectangle.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Voici un quadrilatère dont les diagonales ont même longueur.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\draw [dashed] (0,-1) -- (4,2) node [midway,sloped] {$\parallel$};
					\draw [dashed] (0,1) -- (4,-2) node [midway,sloped] {$\parallel$};
					\draw (0,-1) -- (4,-2) -- (4,2) -- (0,1) -- cycle;
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Et pourtant cette figure n'est clairement pas un rectangle.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Qu’elle est la nature d’un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Je ne pense pas qu'une justification soit attendue pour une telle question. Si c'était le cas il faudrait établir que deux côtés consécutifs ont même longueur en utilisant le théorème de Pythagore.}
		
		\begin{conclusion}
			
			Un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires est un carré.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’appuyant sur le codage du quadrilatère ci-après dessiné à main levée, préciser la nature du quadrilatère en question en justifiant la réponse.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_2_02_rectangle_schema.png}};
				\draw (-2,1) node {$A$};
				\draw (-2,-1) node {$D$};
				\draw (2,1) node {$B$};
				\draw (2,-1) node {$C $};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il s'agit visiblement d'un quadrilatère non croisé dont les côtés ont tous la même longueur donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABCD$ est un losange.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici deux programmes de calcul:
	
	\begin{center}
		
		Programme A.
		
		\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2023_maths_externe_sujet_2_03_scratch.png}
		
		\begin{scratch}[scale=1]
			\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
			\blocksensing{demander \ovalnum{donner un nombre} et attendre}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovalsensing{réponse}}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{2}*\ovalvariable{a}}+\ovalnum{5}}}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{c} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{5}*\ovalvariable{a}}-\ovalnum{4}}}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{d} à \ovaloperator{\ovalvariable{b}*\ovalvariable{c}}}
			\blocklook{dire \ovalvariable{d}}
		\end{scratch}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		Programme B.
		
		\begin{tabular}{|m{5cm}|}
			\hline
			Choisir un nombre.
			\\
			Prendre son double.
			\\
			Ajouter $5$.
			\\
			Calculer le carré du résultat.
			\\
			Retourner le résultat trouvé.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que si l’utilisateur saisit le nombre $2$, alors le programme A retourne le nombre $54$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tabular}{|m{6.5cm}|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& \ovalsensing{réponse} & \ovalvariable{a} & \ovalvariable{b} & \ovalvariable{c} & \ovalvariable{d}
				\\
				\hline
				\begin{scratch}
					\blocksensing{demander \ovalnum{donner un nombre} et attendre}
				\end{scratch} 
				& $2$ & &&&
				\\
				\hline
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovalsensing{réponse}}
				\end{scratch}
				& $2$ & $2$ & &&
				\\
				\hline
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{2}*\ovalvariable{a}}+\ovalnum{5}}}
				\end{scratch}
				& $2$ & $2$ & $9$ & &
				\\
				\hline
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{c} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{5}*\ovalvariable{a}}-\ovalnum{4}}}
				\end{scratch}
				& $2$ & $2$ & $9$ & $6$ &
				\\
				\hline
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{d} à \ovaloperator{\ovalvariable{b}*\ovalvariable{c}}}
				\end{scratch}
				& $2$ & $2$ & $9$ & $6$ & $54$
				\\
				\hline
		\end{tabular}
		}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le résultat obtenu avec le programme A si le nombre saisi par l’utilisateur est $1,15$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tabular}{|m{6.5cm}|c|c|c|c|c|}
			\hline
			& \ovalsensing{réponse} & \ovalvariable{a} & \ovalvariable{b} & \ovalvariable{c} & \ovalvariable{d}
			\\
			\hline
			\begin{scratch}
				\blocksensing{demander \ovalnum{donner un nombre} et attendre}
			\end{scratch} 
			& $1,15$ & &&&
			\\
			\hline
			\begin{scratch}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $1,15$ & $1,15$ & &&
			\\
			\hline
			\begin{scratch}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{2}*\ovalvariable{a}}+\ovalnum{5}}}
			\end{scratch}
			& $1,15$ & $1,15$ & $7,3$ & &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{c} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalnum{5}*\ovalvariable{a}}-\ovalnum{4}}}
			\end{scratch}
			& $1,15$ & $1,15$ & $7,3$ & $1,75$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{d} à \ovaloperator{\ovalvariable{b}*\ovalvariable{c}}}
			\end{scratch}
			& $1,15$ & $1,15$ & $7,3$ & $1,75$ & $12,775$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si le nombre saisi est $1,15$ le programme renvoie $12,775$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour quel(s) nombre(s) de départ le programme A retourne-t-il le nombre $0$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En reprenant le tableau d'état des variables, si le nombre saisi par l'utilisateur est $x$ le programme retourne: $(2x+5)(5x-4)=0$.
		
		Cette équation équivaut successivement à
		
		\begin{align*}
			2x+5=0 \quad &\text{ou} \quad 5x-4=0\\
			2x+5{\color{orange}-5} = 0 {\color{orange}-5} \quad &\text{ou} \quad 5x-4 {\color{orange}+4} = 0 {\color{orange}+4}\\
			2x=-5 \quad &\text{ou} \quad 5x=4\\
			\frac{2x}{\color{orange}2}= \frac{-5}{\color{orange}2} \quad &\text{ou} \quad \frac{5x}{\color{orange}5}=\frac{4}{\color{orange}5}\\
			x=-\frac{5}{2} \quad &\text{ou} \quad \frac{4}{5}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le programme retourne le nombre $0$ en choisissant $-\frac{5}{2}$ ou $\frac{4}{5}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si l’utilisateur saisit le nombre $3$, quel résultat le programme B retourne-t-il ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{5cm}|c|}
					\hline
					Choisir un nombre. & $3$
					\\
					\hline
					Prendre son double. & $6$
					\\
					\hline
					Ajouter $5$. & $11$
					\\
					\hline
					Calculer le carré du résultat. & $121$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si l'utilisateur choisi $3$ le programme renvoie $121$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si l’utilisateur saisit le nombre $\frac{3}{4}$, quel résultat le programme B retourne-t-il?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{5cm}|c|}
					\hline
					&\\
					Choisir un nombre. & $\frac{3}{4}$
					\\
					&\\
					\hline
					Prendre son double. & $\frac{3}{2}$
					\\
					&\\
					\hline
					Ajouter $5$. & $\frac{13}{2}$
					\\
					&\\
					\hline
					Calculer le carré du résultat. & $\frac{169}{4}$
					\\
					&\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si l'utilisateur choisi $\frac{3}{4}$ le programme renvoie $\frac{169}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On détermine les résultats suivants retournés par le programme B à l’aide d’une feuille de calcul automatisé.
		
		{\hspace*{-1.5cm}
			\includegraphics[scale=0.48]{crpe_2023_maths_externe_sujet_2_04_tableur.png}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle cellule du tableur permet de retrouver la réponse à la question 4.a. ci-dessus?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La cellule $\texttt{D}2$ permet de retrouver le résultat 4.(a).
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule a pu être saisie dans la cellule $\texttt{A}2$ de la feuille de calcul automatisé afin de la copier-glisser sur la ligne $2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En cellule $\texttt{A}2$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=(2*\texttt{A}1+5)\wedge2$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quel nombre de départ le programme B retourne-t-il le nombre zéro?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons pour quel nombre de départ $x$ le programme renvoie $0$.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{5cm}|c|}
					\hline
					Choisir un nombre. & $x$
					\\
					\hline
					Prendre son double. & $2x$
					\\
					\hline
					Ajouter $5$. & $2x+5$
					\\
					\hline
					Calculer le carré du résultat. & $(2x+5)^2$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			Ainsi nous voulons que: \[ (2x+5)^2=0.\]
			
			Cette équation équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				2x+5 &= 0\\
				2x+5 {\color{orange}-5} &= 0 {\color{orange}-5}\\
				2x = -5 \\
				\frac{2x}{\color{orange}2} &= \frac{-5}{\color{orange}2}\\
				x &= -\frac{5}{2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que le programme $B$ renvoie $0$ il faut choisir $-\frac{5}{2}$ comme nombre de départ.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Ce nombre de départ est-il rationnel? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\frac{-5}{2}$ est une fraction, c'est-à-dire le quotient d'un entier par un autre entier, donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$-\frac{5}{2}$ est un nombre rationnel.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Ce nombre de départ est-il décimal? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Justifions que $- \frac{5}{2}$ est décimal.}
			
			{\color{orange}Il y a de nombreuses approches: il admet une écriture décimale dont la partie décimale est finie, il s'écrit sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$, il s'écrit sous forme d'une fraction dont le dénominateur est un produit de puissances de $2$ et de $5$.}
			
			$-\frac{5}{2}=-2,5$ puisqu'il admet une écriture décimale dont la partie décimale est finie 
			
			\begin{conclusion}
				
				$-\frac{5}{2}$ est un nombre décimal.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour quel(s) nombre(s) de départ le programme A retourne-t-il le même résultat que le programme B?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}La question est ambiguë: faut-il que le nombre de départ soit le même pour le programme A et le programme B? Nous allons supposer que oui. Et la question revient à:}
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons l'équation $(2x+5)(5x-4)=(2x+5)^2$.}
		
		{\color{orange}On pourrait être tenté de simplifier par $2x+5$ mais ce serait exclue une solution au problème. Nous allons ici nous ramener à une équation produit nul.}
		
		L'équation équivaut successivement à:
		\begin{align*}
			(2x+5)(5x-4) {\color{orange}-(2x+5)^2}=(2x+5)^2 {\color{orange}-(2x+5)^2} &= 0\\
			(2x+5)(5x-4) - (2x+5)^2 &= 0\\
			{\color{orange}(2x+5)}(5x-4) - {\color{orange}(2x+5)} \times (2x+5) &= 0\\
			{\color{orange}(2x+5)} \left[ (5x-4)-(2x+5) \right] &=0 \\
			(2x+5) \left[ 5x-4-2x-5 \right] &= 0\\
			(2x+5)(3x-9) &= 0\\
			2x+5=0 \quad &\text{ou} \quad 3x-9=0\\
			2x+5 {\color{orange}-5}=0 {\color{orange}-5} \quad &\text{ou} \quad 3x-9 {\color{orange}+9}=0 {\color{orange}+9}\\
			2x=-5 \quad &\text{ou} \quad 3x=9\\
			\frac{2x}{\color{orange}2}=\frac{-5}{\color{orange}2} \quad &\text{ou} \quad \frac{3x}{\color{orange}3}=\frac{9}{\color{orange}3}\\
			x=-\frac{5}{2} \quad &\text{ou} \quad x=3
		\end{align*}
			
		\begin{conclusion}
			
			Les programmes renvoient les mêmes nombres si les nombres de départ sont $-\frac{5}{2}$ ou $3$.
			 
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Deux élèves de CM2, Jeanne et Teddy, jouent à la bataille navale. Il s’agit d’un jeu de société, appelé également \og touché-coulé \fg{}.
	
	Les deux joueurs doivent commencer par placer quatre navires horizontalement ou verticalement (sans chevauchement) sur leur grille de $8$ lignes et $8$ colonnes, tenue secrète: $1$ navire de deux cases, $2$ navires de trois cases et $1$ navire de quatre cases.
	
	Ils doivent ensuite tenter de faire \og couler \fg{} les navires adverses en \og touchant \fg{} toutes les cases de chaque navire de l’autre joueur. Pour cela, chacun, à son tour, énonce une case de la grille, sous le format \og lettre-nombre \fg{}, par exemple C2.
	
	Lorsqu’un joueur énonce une case, son adversaire répond:
	\begin{itemize}
		
		\item \og À l’eau!\fg{}, si la case énoncée est vide;
		
		\item \og Touché!\fg{}, si la case énoncée est occupée par un morceau de navire et si les autres parties du navire n’ont pas encore toutes été touchées;
		
		\item \og Touché-coulé!\fg{}, si la case énoncée est occupée par un morceau de navire et si toutes les autres parties du navire ont déjà été touchées.
		
	\end{itemize}
	
	Le gagnant est le joueur qui fait \og couler \fg{} chez son adversaire tous les navires (au sens de	toucher toutes les cases de chacun d’eux) avant que les siens ne le soient.
	
	\medskip
	Voici ci-dessous la grille de Teddy : les quatre bateaux sont schématisés par des rectangles gris.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_2_05_bataille_navale.png}
	\end{center}
	
	On suppose qu’à chaque tir, Jeanne choisit au hasard et de manière équiprobable une case de la grille qu’elle n’a pas énoncée précédemment.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Au premier essai :
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que Jeanne touche un bateau?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $T_1$: \og elle touche un bateau au premier tir\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(T_1)$.}
			
			
			L'univers est formé des $8 \times 8=64$ cases de la grille. Les choix d'une telle case sont supposés équiprobables. $T_1$ est réalisé par $12$ issues, à savoir les cases grisées: $(A,4)$, $(B,4)$, ...
			
			Donc \[ \mathbb{P}(T_1)= \frac{12}{64}. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(T_1)=\frac{3}{16}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que Jeanne ne touche aucun bateau?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(\overline{T_1})$.}
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(\overline{T_1}) &= 1 - \mathbb{P}(T_1)\\
				&= 1- \frac{3}{16}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(\overline{T_1}) = \frac{13}{16}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
			Un des bateaux a une chance sur seize d'être touché. De combien de cases est-il composé?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre $n_c$ de cases formant le bateau recherché.}
			
			Il y a équiprobabilité entre les cases, il y a $64$ cases au total, est l'événement $T_2$: \og le bateau recherché est touché est réalisé par $n_c$ cases donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(T_2) &= \frac{n_c}{64}\\
				\intertext{Or, d'après l'énoncé, $\mathbb{P}(T_2)= \frac{1}{16}$ donc}
				\frac{1}{16} &= \frac{n_c}{64}\\
				\intertext{Cette égalité équivaut successivement à:}
				\frac{1}{16} {\color{orange} \times 64} &= \frac{n_c}{64} {\color{orange} \times 64}\\
				4 &= n_c
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le bateau recherché est formé de $4$ cases.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Jeanne choisit une case de la colonne B. Quelle est la probabilité qu’elle touche un bateau ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $T_3$: \og toucher un bateau en tirant dans la colonne B\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}_2(T_3)$.}
			
			Nouvelle modélisation: l'univers est désormais formé des $8$ cases de la colonne B qui sont toutes équiprobables et l'événement $T_3$ regroupe les $4$ cases grisées de la colonne B donc
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}_2(T_3) & =\frac{4}{8}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}_2(T_3)=\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Au premier essai de la partie, Jeanne désigne la case \og E1 \fg{}. Teddy annonce \og Touché!\fg{}. Jeanne souhaite couler le bateau touché et choisit une case adjacente à la case \og E1\fg{}.
		
		Quelle est la probabilité qu’elle coule le bateau au coup suivant? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $T4$: \og couler le bateau au coup suivant\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_3(T_4)$.}
		
		Nouvelle modélisation: l'univers est désormais formé des $3$ cases qui entourent la cases E1 et qui permettent de placer un bateau et  qui sont toutes équiprobables et l'événement $T_4$ regroupe la seule case grisée adjacente à E1 donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_3(T_4)=\frac{1}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Teddy annonce \og À l'eau !\fg{} pour les deux premiers essais de Jeanne. Quelle est la probabilité de toucher un bateau pour son troisième essai?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}L'utilisation du présent dans l'énoncé des questions 3 et 4 crée une ambiguïté. Nous admettrons que la question 2 n'a pas eu lieu.}
		
		\medskip
		Notons $T_5$: \og toucher un bateau après deux coups dans l'eau suivant\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_4(T_5)$.}
		
		Nouvelle modélisation: l'univers est désormais formé des $64-2=62$ cases qui n'ont pas été visées et  qui sont toutes équiprobables et l'événement $T_5$ regroupe les $12$ cases grisées donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_4(T_5) &= \frac{12}{62}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_4(T_5)=\frac{6}{31}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Pour choisir une unité de température, les physiciens se sont heurtés à l’absence de \og température zéro\fg{} (le zéro absolu n’était pas connu à l’époque). Deux systèmes principaux ont été créés et restent utilisés: le degré Celsius ($\degres\mathrm{C}$) et le degré Fahrenheit ($\degres\mathrm{F}$).
	
	Voici ci-dessous une formule permettant de passer de la mesure d’une température en degré Fahrenheit (notée $F$) vers la mesure de la même température en degré Celsius (notée $C$) \[ C= (F-32) \times \frac{5}{9}. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En utilisant cette formule, convertir $95\degres \mathrm{F}$ en degré Celsius.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Convertissons des Fahrenheit vers les Celsius.}
		
		$95\degres\mathrm{F}$ exprimés en degrés Celsius donnent
		
		\begin{align*}
			C &= (95-32) \frac{5}{9}\\
			&= 35
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$95\degres\mathrm{F}= 35\degres\mathrm{C}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En utilisant cette formule, convertir $5\degres\mathrm{C}$ en degré Fahrenheit.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{sujet}
		
		\objectif{Déterminons la température $F$, exprimée en degré Fahrenheit, égale $5\degres\mathrm{C}$.}
		
		\begin{align*}
			5 &= (F-32) \times \frac{5}{9}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			5 {\color{orange} \times \frac{9}{5}} &= (F-32) \times \frac{5}{9} {\color{orange} \times \frac{9}{5}}\\
			9 &= F-32\\
			9+ {\color{orange}+32} &= F-32 {\color{orange}+32}\\
			41 &= F
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$5\degres\mathrm{C}=41\degres\mathrm{F}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Existe-t-il des températures pour lesquelles la mesure en degrés Celsius est égale à la mesure en degrés Fahrenheit? Donner toutes les réponses possibles en justifiant.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $F$ de sorte que $C=F$.}
		
		On veut
		
		\begin{align*}
			F &= (F-32) \times \frac{5}{9}\\
			\frac{9}{5}F &= F-32\\
			\frac{9}{5}F-F &= -32\\
			\frac{4}{5}F &= -32\\
			F &= -32 \times \frac{5}{4}\\
			F &= -40
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les mesures en Celsius et Fahrenheit sont égales dans un seul cas: $-40\degres\mathrm{C}=-40\degres\mathrm{F}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	Un professeur des écoles d’une classe de CE1 présente à ses élèves une règle de calcul qui permet de déterminer avec ses dix doigts et ses dix orteils le produit de deux nombres entiers compris entre $5$ et $10$ en utilisant les résultats des tables appris précédemment. Il s’appuie sur l’exemple suivant.
	
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		Effectuons $6\times 7$.
		
		\begin{itemize}
			\item Avec le pied et la main gauches, on lève les $5$ orteils et $1$ doigt, représentant ainsi le $6$.
			
			\item Avec le pied et la main droites, on lève les $5$ orteils et $2$ doigts, représentant ainsi le $7$.
			
		\end{itemize}
		
		Pour le calcul on ne regarde que les mains et on procède de la manière suivante:
		
		la somme du nombre de doigts levés nous indique un nombre de dizaines, le produit des doigts baissés nous indique un nombre d’unités. Ici on a: $(1 + 2)$ dizaines et $(4\times 3)$ unités, soit encore $3$ dizaines et $12$ unités. On obtient donc le nombre $42$.
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Appliquer cette règle pour calculer le produit $6 \times 8$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Effectuons $6\times 8$.
		
		\begin{itemize}
			\item Avec le pied et la main gauches, on lève les $5$ orteils et $1$ doigt, représentant ainsi le $6$.
			
			\item Avec le pied et la main droites, on lève les $5$ orteils et $3$ doigts, représentant ainsi le $8$.
			
			La somme du nombre de doigts levés nous indique un nombre de dizaines (ici $1+3={\color{WildStrawberry}4}$), le produit des doigts baissés nous indique un nombre d’unités (ici $4 \times 2={\color{Blue}8}$.
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$6 \times 8 = {\color{WildStrawberry}4}{\color{Blue}8}$.
					
			\end{conclusion}
			
		\end{itemize}
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		On note g le nombre de doigts levés de la main gauche et d le nombre de doigts levés de la main droite.
		
	\end{sujet} 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que représentent dans ce contexte les nombres $(5-g)$ et $(5 -d)$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$5-g$ est le nombre de doigts baissés de la main gauche et $5-d$ celui de la main droite.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer l’égalité: $(5 + g)(5 + d) = 10(g + d) + (5 -g)(5-d)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons l'égalité proposée.}
			
			D'une part:
			
			\begin{align*}
				(5+g)(5+d) &= 5 \times 5 + 5 \times d + g \times 5 + g \times d\\
				&= 25 +5d +5g +gd\\
				&= gd +5d+5g+25
			\end{align*}
			
			d'autre part:
			
			\begin{align*}
				&\quad 10(g+d) +(5-g)(5-d)\\
				&= 10 \times d +10 \times g+5 \times 5 +5 \times (-d) +(-g) \times 5 + (-g) \times (-d)\\
				&= 10d + 10g+25-5d-5g+gd\\
				&= gd +5d+5g+25
			\end{align*}
			
			donc, par transitivité,
			
			\begin{conclusion}
				
				$(5 + g)(5 + d) = 10(g + d) + (5 -g)(5-d)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Conclure quant à la validité de la règle de calcul.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La règle de calcul est donc valable.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’entier $\np{4 216}$ est-il un multiple de $17$? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Avec la calculatrice: $\np{4216} \div 17= 248$.
		
		Autrement dit $17 \times 248= \np{4216}$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\np{4216}$ est un multiple de $17$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Guillaume veut revoir sa leçon en prenant son petit déjeuner. Malheureusement, il a renversé son chocolat sur sa feuille. Le chiffre des unités et la justification de l’exemple du maître, sont illisibles...
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_01_tache.png}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Rappeler le critère de divisibilité par $3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			Un nombre est divisible par $3$ si
			
			\begin{conclusion}
				
				la somme des chiffres qui le compose est un multiple de $3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner toutes les valeurs possibles du chiffre des unités, caché par la tâche située à gauche.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $n$ le chiffre des unités du nombre de l'exemple. 
			
			Nous devons avoir $2+2+9+n=13+n$ qui est un multiple de $3$.
			
			Testons toutes les possibilités:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$n$ & $13+n$
					\\
					\hline
					$1$ & $14$
					\\
					\hline
					$2$ & $\color{WildStrawberry}15$
					\\
					\hline
					$3$ & $16$
					\\
					\hline
					$4$ & $17$
					\\
					\hline
					$5$ & $\color{WildStrawberry}18$
					\\
					\hline
					$6$ & $19$
					\\
					\hline
					$7$ & $20$
					\\
					\hline
					$8$ & $\color{WildStrawberry}21$
					\\
					\hline
					$9$ & $22$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le chiffre des unités caché est $2$ ou $5$ ou $8$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On admet qu’un nombre entier $n$ est divisible par $7$ si et seulement si la différence entre son nombre de dizaines et le double de son chiffre des unités est un multiple de $7$, positif ou négatif.
		
		Par exemple, $294$ est divisible par $7$ car $29-4 \times 2 = 21$, et $21$ est divisible par $7$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En détaillant les étapes, vérifier que $413$ est bien divisible par $7$ en utilisant le critère indiqué ci-dessus.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que ${\color{orange}41}{\color{blue}3}$ est divisible par $7$.}
			
			${\color{orange}41} -2 \times{\color{blue}3}=35$ or $35=5 \times 7$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$423$ est divisible par $7$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le nombre $\np{5 292}$ est-il divisible par $7$? Répondre en appliquant, plusieurs fois si nécessaire, le critère précédent.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				529 -2 \times 2 &= 525\\
				52 - 2 \times 5 &= 42
			\end{align*}
			
			Or $42= 6 \times 7$ donc $42$ est un multiplie de $7$.
			
			Nous en déduisons que $525$ est un multiple de $7$.
			
			Nous en déduisons enfin que
			
			\begin{conclusion}
				
				$\np{5292}$ est un multiple de $7$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour déterminer si $\np{1 138 984}$ est divisible par $7$, on utilise le critère précédent à l’aide d’un tableur. On rappelle que la fonction ENT renvoie la partie entière d’un nombre.
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_02_tableur.png}
			\end{center}
			
			Dans la cellule $\texttt{B}1$ on a saisi la formule: \og $= \texttt{ENT}(\texttt{A}1/10)$ \fg{}.
			
			Observer la feuille de calcul puis indiquer des formules ayant pu être saisies dans les cellules $\texttt{C}1$ et $\texttt{D}1$ qui, étirées vers le bas de la feuille de calcul, permettent d’obtenir directement la feuille de calcul ci-dessus.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Dans $\texttt{C}1$: \og $=\texttt{A}1- 10* \texttt{B}1$\fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			
			\begin{conclusion}
				
				Dans $\texttt{D}1$: \og $=\texttt{B}1- 2* \texttt{C}1$\fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le nombre $\np{1 138 984}$ est-il divisible par $7$? Justifier en interprétant les résultats fournis par la feuille de calcul.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le $7$ (visible dans la cellule $\texttt{D}5$) est divisible par $7$ donc il en est de même successivement pour $112$, $\np{1120}$, $\np{11389}$, $\np{113890}$ et enfin $\np{1138984}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\np{1138984}$ est un multiple de $7$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Nadia se prépare pour le cross organisé par son école dont le parcours, $ABIFCDE$, est représenté
		ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.75, yscale=0.70, rotate=-45]
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node[above right] {$A$};
				\def\xB{0};
				\def\yB{-3};
				\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
				\draw (B) node[left] {$B$};
				\def\xC{4};
				\def\yC{0};
				\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
				\draw (C) node[above right] {$C$};
				\def\xE{sqrt(12.5*12.5-7.5*7.5)};
				\def\yE{0};
				\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
				\draw (E) node[below] {$E$};
				\def\xD{sqrt(12.5*12.5-7.5*7.5)};
				\def\yD{7.5};
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\draw (D) node[above right] {$D$};
				\def\xF{4-2.8};
				\def\yF{0};
				\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
				\draw (F) node[above right] {$F$};
				\def\xI{4-2.8};
				\def\yI{-2.1};
				\coordinate (I) at ({\xI},{\yI});
				\draw (I) node[below left] {$I$};
				\draw [dotted] (A) -- (F);
				\draw [dotted] (I) -- (C);
				\draw [dotted] (C) -- (E);
				\draw [thick] (A) -- (B) -- (I) -- (F) -- (C) -- (D) -- (E);
				\draw (A) -- ({\xA+0.5},{\yA}) -- ({\xA+0.5},{\yA-0.5}) -- ({\xA},{\yA-0.5});
				\fill[color=gray , opacity=0.20] (A) -- ({\xA+0.5},{\yA}) -- ({\xA+0.5},{\yA-0.5}) -- ({\xA},{\yA-0.5}) -- cycle;
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Les droites $(AE)$ et $(BD)$ se coupent en $C$.
		
		$F \in [AC]$ et $I \in [BC]$.
		
		Les droites $(AB)$, $(FI)$ et $(DE)$ sont parallèles.
		
		$ABC$ est un  rectangle en $A$.
		
		$AB = 300\ \mathrm{m}$ ; $AC = 400\ \mathrm{m}$; $CD = 1250\ \mathrm{m}$ et $IC = 350\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la longueur $BC$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $BC$.}
			
			{\color{orange}Toutes les longueurs considérées sont exprimées dans la même unité, le mètre, on peut donc ne pas l'indiquer dans nos calculs sans que cela soit source d'erreur.}
			
			\medskip
			Puisque $ABC$ est rectangle en $A$, d'après le théorème de Pythagore: \[ BC^2=AB^2+AC^2. \]
			
			Autrement dit
			\begin{align*}
				BC^2 &= 300^2+400^2\\
				&= \np{250000}\\
				\intertext{Puisque $BC$ est une longueur c'est un nombre positif et donc}
				BC &= \sqrt{\np{250000}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$BC=500\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer les longueurs $IF$ et $CF$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $CF$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $C$, $I$, $B$ d'une part et $C$, $I$, $B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre (puisque $F \in [AC]$ et $I \in [BC]$). Ainsi nous avons une configuration de Thalès.
				
				\item $(AB) \parallel (FI)$.	
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{CF}{AC} = \frac{IC}{BC}. \]
			
			Autrement dit:
			
			\begin{align*}
				\frac{CF}{400} &= \frac{350}{500}\\
				\intertext{Donc}
				\frac{CF}{400} {\color{orange} \times 400} &= \frac{350}{500} {\color{orange} \times 400}\\
				CF &= \frac{350}{500}  \times 400\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$CF= 280\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			
			\objectif{Calculons $IF$.}
			
			De même que ci-dessus \[ \frac{IF}{AB} = \frac{IC}{BC}. \]
			
			Autrement dit:
			
			\begin{align*}
			\frac{IF}{300} &= \frac{350}{500}\\
			\intertext{Donc}
			IF &= \frac{350}{500}  \times 300\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$IF= 210\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la longueur $ED$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\objectif{Calculons $ED$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $B$, $C$, $D$ d'une part et $A$, $C$, $E$ d'autre part sont alignés dans cet ordre (puisque les droites $(AE)$ et $(BD)$ se coupent en $C$). Ainsi nous avons une configuration de Thalès.
				
				\item $(AB) \parallel (ED)$.	
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{ED}{AB} = \frac{CD}{BC}. \]
			
			Autrement dit:
			\begin{align*}
				\frac{ED}{300} &= \frac{1250}{500}\\
				\intertext{Donc}
				ED &= \frac{1250}{500} \times 300
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$ED=750\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la longueur du parcours $ABIFCDE$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la longueur $\ell$ de la ligne brisée $ABIFCDE$.}
			
			\begin{align*}
				\ell &= AB + BI +IF+FC+CD+DE\\
				&= 300 + (BC-IC)+210+280+1250+750\\
				&= 300 + (500-350)+210+280+1250+750\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\ell= 2940\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quentin, un adolescent de 16 ans, fait du vélo. On a représenté ci-dessous la distance parcourue en fonction de la durée de parcours lors de sa dernière sortie.
		
		{\hspace*{-1cm}
			\begin{tikzpicture}[xscale=2.5,yscale=0.9]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{4.6};
			\def\yZ{11};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.4cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {0.5, 1,1.5,...,4.5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2,4,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw [very thick] (0,0) -- (1,2) --(2,{35.5/10}) -- (3,{65/10}) -- (4,{80/10}) -- (4.5,{95/10});
			\draw [violet, very thick, dashed] (0,9.5) -- (4.5,9.5);
			\draw [violet] (-0.2,9.5) node {$95$};
			\draw (1,10.5) node {Distance parcourue (en $\mathrm{km}$).};
			\draw (3.8,-1) node {Durée du parcours (en $\mathrm{h}$).};
			\foreach \a/\b in {0/0,1/2,2/{3.55},3/{6.5},4/8,{4.5}/{9.5}} \draw ({\a},{\b}) node {$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La durée du parcours en heure est-elle proportionnelle à la distance parcourue en kilomètre? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Les fonctions qui représente les situations de proportionnalité sont les fonctions linéaires. Or les courbes représentatives de fonctions linéaires sont des droites passant par l'origine du repère.
			
			La courbe n'étant pas une droite
			
			\begin{conclusion}
				
				il n'y a pas proportionnalité entre la durée et la distance parcourue.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Les réponses aux questions suivantes seront données avec la précision permise par le	graphique.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle distance Quentin a-t-il parcouru en $1\ \mathrm{h}$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			{\hspace*{-1.5cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2.5,yscale=0.9]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.6};
				\def\yZ{11};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.4cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0.5, 1,1.5,...,4.5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,4,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw [very thick] (0,0) -- (1,2) --(2,{35.5/10}) -- (3,{65/10}) -- (4,{80/10}) -- (4.5,{95/10});
				\draw [violet, very thick, dashed] (0,9.5) -- (4.5,9.5);
				\draw [violet] (-0.2,9.5) node {$95$};
				\draw (1,10.5) node {Distance parcourue (en $\mathrm{km}$).};
				\draw (3.8,-1) node {Durée du parcours (en $\mathrm{h}$).};
				\foreach \a/\b in {0/0,1/2,2/{3.55},3/{6.5},4/8,{4.5}/{9.5}} \draw ({\a},{\b}) node {$\bullet$};
				\draw [dashed,very thick,red] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				En une heure il a parcouru $20\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la vitesse moyenne de Quentin durant la première heure, en mètre par
			seconde, avec un arrondi au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la vitesse moyenne, $v_1$, pendant la première heure.}
			
			\begin{align*}
				v_1 &= \frac{20 \ \mathrm{km}}{1\ \mathrm{h}}\\
				&= \frac{20 \times 1000\ \mathrm{m}}{1 \times 60\ \mathrm{min}}\\
				&= \frac{20000\ \mathrm{m}}{60\times 60\ \mathrm{s}}\\
				&= \frac{50}{9}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\
				&\approx 5,555\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \ \text{en tronquant,}
			\end{align*}
			
			donc en arrondissant au centième
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_1 \approx 5,56\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle distance Quentin a-t-il parcouru en $1\ \mathrm{h} \ 45$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$1\ \mathrm{h} \ 45= 1,75\ \mathrm{h}$.
				
			{\hspace*{-1.5cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2.5,yscale=0.9]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.6};
				\def\yZ{11};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.4cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0.5, 1,1.5,...,4.5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,4,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw [very thick] (0,0) -- (1,2) --(2,{35.5/10}) -- (3,{65/10}) -- (4,{80/10}) -- (4.5,{95/10});
				\draw [violet, very thick, dashed] (0,9.5) -- (4.5,9.5);
				\draw [violet] (-0.2,9.5) node {$95$};
				\draw (1,10.5) node {Distance parcourue (en $\mathrm{km}$).};
				\draw (3.8,-1) node {Durée du parcours (en $\mathrm{h}$).};
				\foreach \a/\b in {0/0,1/2,2/{3.55},3/{6.5},4/8,{4.5}/{9.5}} \draw ({\a},{\b}) node {$\bullet$};
				\draw [dashed,very thick,red] (1.75,0) -- (1.75,3.2) -- (0,3.2);
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				En $1\ \mathrm{h}\ 45$ il a parcouru $32\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Estimer la vitesse de Quentin durant la troisième heure de son parcours, en kilomètre par heure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la vitesse, $v_2$, pendant la troisième heure.}
					
			{\hspace*{-2cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2.5,yscale=0.9]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.6};
				\def\yZ{11};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.4cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=2cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0.5, 1,1.5,...,4.5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,4,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw [very thick] (0,0) -- (1,2) --(2,{35.5/10}) -- (3,{65/10}) -- (4,{80/10}) -- (4.5,{95/10});
				\draw [violet, very thick, dashed] (0,9.5) -- (4.5,9.5);
				\draw [violet] (-0.2,9.5) node {$95$};
				\draw (1,10.5) node {Distance parcourue (en $\mathrm{km}$).};
				\draw (3.8,-1) node {Durée du parcours (en $\mathrm{h}$).};
				\foreach \a/\b in {0/0,1/2,2/{3.55},3/{6.5},4/8,{4.5}/{9.5}} \draw ({\a},{\b}) node {$\bullet$};
				\draw [dashed,very thick,red] (2,0) -- (2,3.6) -- (0,3.6);
				\draw [dashed,very thick,red] (3,0) -- (3,6.5) -- (0,6.5);
				\draw [>=latex, <->,very thick,red] (2,-0.8) -- (3,-0.8) node[midway,below] {$1 \mathrm{h}$};
				\draw [>=latex, <->,very thick,red] (-0.3,3.6) -- (-0.3,6.5) node[midway,left] {$29 \mathrm{km}$};
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{align*}
				v_2 &= \frac{29\ \mathrm{km}}{ 1 \mathrm{km}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_2= 29 \ \mathrm{km}/ \mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Peut-on affirmer que sa vitesse moyenne lors de la troisième heure est supérieure de plus de $40\ \%$ à sa vitesse moyenne lors de la première heure? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Comparons $v_1$ et $v_2$.}
			
			Calculons le taux d'évolution entre ces deux vitesses exprimé en pourcentage:
			
			\begin{align*}
				t &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100\\
				&= \frac{29-20}{20} \times 100\\
				&= 45
			\end{align*}
			
			Autrement dit $t>40$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Sa vitesse moyenne lors de la troisième heure est supérieure de plus de $40\ \%$ à sa vitesse moyenne lors de la première heure.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la vitesse moyenne de Quentin lors de cette sortie, en kilomètre par heure, avec un arrondi au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la vitesse moyenne $v_3$ durant la sortie.}
			
			\begin{align*}
				v_3 &= \frac{95\ \mathrm{km}}{4,5\ \mathrm{h}}\\
				&= \frac{19}{9}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
				&\approx 2,111\ \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_3 \approx 2,11\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de CM2 souhaite créer avec ses élèves des décorations pour la salle de classe.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un premier groupe fabriquera une guirlande constituée d’un motif proposé par l’enseignant dans le script ci-dessous.
		
		\medskip
		{\hspace{-1.5cm}
			\begin{tabular}{|m{13cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_04_scratch.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		}
		
		\medskip
		En voyant apparaître la figure,
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Pierre dit: \og c’est un losange\fg{}.
			\item Ana dit: \og ce n’est pas un rectangle\fg{}.
			\item Karim dit: \og c’est un quadrilatère \fg{}.
			\item Lucie dit: \og c’est un carré \fg{}.
		\end{enumerate}
		
		En utilisant le script et les propriétés des quadrilatères, dire si chaque affirmation est vraie ou fausse en justifiant.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Puisque la figure à quatre côtés
			
			\begin{conclusion}				
				
				l'affirmation \og c'est un quadrilatère\fg{} est vraie.
				
			\end{conclusion}				
			
			\item Puisque le quadrilatère à quatre côtés de même longueur, $100$ pas
			
			\begin{conclusion}
				
				l'affirmation \og c'est un losange \fg{} est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque le quadrilatère a trois angles droits (de $90\degres$)
			
			\begin{conclusion}
				
				l'affirmation \og c'est un rectangle \fg{} est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisque le quadrilatère est à la fois un losange et un rectangle
			
			\begin{conclusion}
				
				l'affirmation \og c'est un carré \fg{} est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un second groupe fabriquera des étoiles. L’enseignant leur a montré comment dessiner une étoile à cinq branches sur GeoGebra en utilisant un
		pentagone:
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_05_etoile.png}
		\end{center}
		
		Pour pouvoir construire des pentagones avec la règle et le compas, il propose le programme de construction ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{12cm}|}
				\hline
				Tracer un segment [RS].
				
				Placer le point $O$ au milieu du segment $[RS]$.
				
				Tracer le cercle de diamètre $[RS]$.
				
				Soit $L$ un point de ce cercle tel que $(OL) \perp (RS)$.
				
				Placer le point $I$ au milieu du segment $[OS]$.
				
				Le cercle de centre $I$ et de rayon $IL$ coupe le segment $[RO]$ en $D$.
				
				$LD$ est la longueur des côtés du pentagone régulier inscrit dans le cercle de diamètre $[RS]$, placer les $5$ sommets du pentagone sur le cercle.
				
				Construire le pentagone.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		La longueur des côtés du pentagone obtenu est proportionnelle à la longueur du segment $[RS]$ choisi au départ. En choisissant un segment $[RS]$ de longueur $4\ \mathrm{cm}$, on obtient un pentagone dont les côtés mesurent $\sqrt{10-2\sqrt{5}}\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que pour obtenir un pentagone dont les côtés mesurent $7\ \mathrm{cm}$, il faut commencer par construire un segment $[RS]$ mesurant environ $11,9\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $RS$ de sorte que les cotés mesurent $7\ \mathrm{cm}$.}
			
			Puisque la longueur des côtés du pentagone obtenu est proportionnelle à $RS$ nous avons le tableau de proportionnalité suivant, où toutes les longueurs sont exprimées en centimètres:
			
			\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				$RS$ & $4$ & $x$
				\\
				\hline
				Côté & $\sqrt{10-2\sqrt{5}}$ & $7$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\end{center}
			
			À l'aide d'un produit en croix: 
			
			\begin{align*}
				x &= \frac{4 \times 7}{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}\\
				&\approx 11,909\ \text{en tronquant.}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que le côté mesure $7\ \mathrm{cm}$ il faut que $RS \approx 11,9\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant le programme de construction précédent, construire un pentagone régulier $LMNPQ$ dont les côtés mesurent $7\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			Tracer un segment [RS].
			
			\emph{Avec $RS=12\ \mathrm{cm}$.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Placer le point $O$ au milieu du segment $[RS]$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Tracer le cercle de diamètre $[RS]$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\ell/2*cos(\x)},{\ell/2*sin(\x)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Soit $L$ un point de ce cercle tel que $(OL) \perp (RS)$.
			
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\ell/2*cos(\x)},{\ell/2*sin(\x)});
				\def\xL{0};
				\def\yL{\ell/2};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\draw (L) node [above] {$L$};
				\draw (L) node {$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Placer le point $I$ au milieu du segment $[OS]$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\ell/2*cos(\x)},{\ell/2*sin(\x)});
				\def\xL{0};
				\def\yL{\ell/2};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\draw (L) node [above] {$L$};
				\draw (L) node {$\times$};
				\def\xI{\ell/4};
				\def\yI{0};
				\coordinate (I) at ({\xI},{\yI});
				\draw (I) node [below] {$I$};
				\draw (I) node {$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Le cercle de centre $I$ et de rayon $IL$ coupe le segment $[RO]$ en $D$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\ell/2*cos(\x)},{\ell/2*sin(\x)});
				\def\xL{0};
				\def\yL{\ell/2};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\draw (L) node [above] {$L$};
				\draw (L) node {$\times$};
				\def\xI{\ell/4};
				\def\yI{0};
				\coordinate (I) at ({\xI},{\yI});
				\draw (I) node [below] {$I$};
				\draw (I) node {$\times$};
				\def\rayon{sqrt(5/16)*\ell};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\rayon*cos(\x)+\ell/4},{\rayon*sin(\x)});
				\def\xD{\ell/4-\rayon};
				\def\yD{0};
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\draw (D) node [below] {$D$};
				\draw (D) node {$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			$LD$ est la longueur des côtés du pentagone régulier inscrit dans le cercle de diamètre $[RS]$, placer les $5$ sommets du pentagone sur le cercle.
			
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\ell{5};
				\def\xR{-\ell/2};
				\def\yR{0};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [left] {$R$};
				\draw (R) node {$\times$};
				\def\xS{\ell/2};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [right] {$S$};
				\draw (S) node {$\times$};
				\draw (R) -- (S);
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [ below left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\ell/2*cos(\x)},{\ell/2*sin(\x)});
				\def\xL{0};
				\def\yL{\ell/2};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\draw (L) node [above] {$L$};
				\draw (L) node {$\times$};
				\def\xI{\ell/4};
				\def\yI{0};
				\coordinate (I) at ({\xI},{\yI});
				\draw (I) node [below] {$I$};
				\draw (I) node {$\times$};
				\def\rayon{sqrt(5/16)*\ell};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\rayon*cos(\x)+\ell/4},{\rayon*sin(\x)});
				\def\xD{\ell/4-\rayon};
				\def\yD{0};
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\draw (D) node [below] {$D$};
				\draw (D) node {$\times$};
				\def\cote{sqrt((\rayon-\ell/4)*(\rayon-\ell/4)+(\ell/2)*(\ell/2))};
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\cote*cos(\x)},{\cote*sin(\x)+\ell/2});
				\draw (L) -- (D);
				\foreach \M/\n in{A/1,B/2,C/3,E/4}{
					\coordinate (\M) at ({\ell/2*cos(90+\n*72)},{\ell/2*sin(90+\n*72)});
					\draw (\M) node {$\times$};
				}
				\draw [thick, red] (L) -- (A) -- (B) -- (C) -- (E) -- cycle;
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Puis, il leur montre l’étoile à cinq branches ci-dessous, obtenue en utilisant le logiciel Scratch:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_06_scratch_etoile.png}};
				\draw (5,-2.5) node {Point de départ de la construction.};
				\draw [>=latex,->] (5,-2) -- (1.2,-0.9);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{2}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Recopier et compléter les lignes $7$ et $9$ du script utilisé pour construire l’étoile.
			
			\emph{On rappelle que lorsque le lutin est orienté à $90\degres$ cela signifie qu’il va se déplacer vers la droite.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
					\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_07_scratch_a_trous.png}};
					\node (A) at (-3.5,-0.3) {Ligne $7$};
					\draw [>=latex, ->] (A) -- (-2.3,-0.3);
					\node (B) at (-3.5,-1.8) {Ligne $9$};
					\draw [>=latex, ->] (B) -- (-2.3,-1.8);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le périmètre, en pas, de cette étoile?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			L'étoile est formée de $10$ segments faisant tous $80$ pas donc
			
			\begin{conclusion}
				
				L'étoile a un périmètre de $800$ pas.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant souhaite doubler le périmètre de son étoile. Recopier les quatre lignes à l’intérieur du bloc \og répéter \fg{}, ligne $8$ à $11$, en apportant les modifications nécessaires pour obtenir cette nouvelle étoile.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_3_06_scratch_etoile.png}};
				\coordinate (A) at (1.05,-0.7);
				\draw (A) node [below right] {$A$};
				\coordinate (B) at (3.8,-0.7);
				\draw (B) node [below right] {$B$};
				\coordinate (C) at (1.55,0.7);
				\draw (C) node [above right] {$C$};
				\draw (A) -- (B) -- (C) --cycle;
				\coordinate (D) at (0.2,1.6);
				\draw (D) node [above] {$D$};
				\coordinate (E) at (2.4,3);
				\draw (E) node [above right] {$E$};
				\coordinate (F) at (5,-0.7);
				\draw (F) node [above right] {$F$};
				\draw [Green] (B) -- (F);
				\draw [orange] (C) -- (D);
				\draw [violet] (C) -- (B) node [midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw [violet] (A) -- (B) node [midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw [samples=100,domain=72:144] plot({0.5*cos(\x)+1.55},{0.5*sin(\x)+0.7});
				\draw [samples=100,domain=252:324] plot({0.5*cos(\x)+1.55},{0.5*sin(\x)+0.7});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			D'après le programme fourni $\widehat{DCE}=72\degres$ donc $\widehat{ACB}=72\degres$.
			
			Comme $ABC$ est isocèle en $B$, $\widehat{CAB}=72\degres$.
			
			Puisque la somme des mesures des angles d'un triangle égale $180\degres$, $\widehat{ABC}=180\degres-72\degres-72\degres=36\degres$.
			
			Finalement $\widehat{FBC}=180\degres-36\degres=144\degres$.
			
			\begin{center}
			\begin{scratch}[scale=1]				
				\blockmove{avancer de \ovalnum{160} pas}
				\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{144} degrés}
				\blockmove{avancer de \ovalnum{160}}
				\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{72} degrés}
			\end{scratch}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de Grande Section, l’enseignant propose à ses élèves le jeu suivant dans lequel il s’agit d’être le premier à avoir exactement 15 jetons (source : \emph{Découvrir les maths GS} - Éditions Hatier).
	Chaque élève lance deux dés bien équilibrés, identiques, à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$. 
	
	Il considère les deux nombres indiqués sur les faces supérieures de chacun des dés.
	
	Lorsque les deux dés indiquent le même nombre, l’élève prend autant de jetons que l’indique l’un des deux dés. Sinon, il prend autant de jetons que le plus grand des deux nombres ou le double de jetons du plus petit.
	
	Après avoir lancé les dés, un élève a la possibilité de passer son tour. Dans ce cas, il ne prend aucun jeton.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève lance les deux dés; il obtient un $3$ et un $2$. Combien de jetons peut-il prendre? Donner tous les cas possibles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les deux nombres étant distincts il peut prendre le nombre de jeton égale soit au plus grand des deux nombres obtenus, c'est-à-dire $3$, soit le double du plus petit donc $2 \times 2=4$, soit encore passer son tour et n'obtenir aucun jeton.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des cas possibles est $\{ 3;4 ;0 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dresser la liste des tirages permettant d’obtenir $3$ jetons.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En distinguant les deux dés, un tirage est assimilable à un couple de nombre entiers compris (au sens large) entre $1$ et $6$. Par exemple $(1,3)$ représente l'événement obtenir $1$ avec le premier dé et $3$ avec le second.
		
		{\color{orange}Intuitivement:}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'ensemble des tirages permettant d'obtenir $3$ est $\{ (1,3), (2,3), (3,3), (3,2), (3,1) \}$. 
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Pour s'en convaincre nous pouvons représenter dans un tableau double entrée le nombre de jetons obtenus en fonction des résultats des dés (sans tenir compte de la possibilité de passer son tour qui rajouterai un zéro dans chaque casse du tableau.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
				\hline
				\backslashbox{$D_1$}{$D_2$}& 1 & 2
				& 3 & 4 & 5 & 6\\
				\hline
				1 & 1 & 2 &  \backslashbox{2}{3} & \backslashbox{2}{4} & \backslashbox{2}{5} & \backslashbox{2}{6}
				\\
				\hline
				2 & 2 & 2 &  \backslashbox{4}{3} & 4 & \backslashbox{4}{5} & \backslashbox{4}{6}
				\\
				\hline
				3 & \backslashbox{3}{2} & \backslashbox{3}{4} & 3 & \backslashbox{6}{4} & \backslashbox{6}{5} & 6
				\\
				\hline
				4 & \backslashbox{4}{2} & 4 & \backslashbox{4}{6} & 4 & \backslashbox{8}{5} & \backslashbox{8}{6}
				\\
				\hline
				5 & \backslashbox{5}{2} & \backslashbox{5}{4} & \backslashbox{5}{6} & \backslashbox{5}{8} & 5 & \backslashbox{10}{6}
				\\
				\hline
				6 & \backslashbox{6}{2} & \backslashbox{6}{4} & 6 & \backslashbox{6}{8} & \backslashbox{6}{10} & 6
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		}
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève lance les deux dés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la probabilité de l’événement \og les nombres obtenus sont un 3 et un 2 \fg{} est $\dfrac{1}{18}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $A$: \og les nombres obtenus sont un 3 et un 2 \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			Les deux dés étant bien équilibrés il semble naturel de modéliser la situation en choisissant pour univers l'ensemble des $36$ couples de nombres que donnent les dés et pour loi de probabilité la loi uniforme (équiprobabilité).
			
			Il y a équiprobabilité, l'univers comporte $36$ issues et $A=\{ (2,3), (3,2) \}$ est réalisé par deux issues donc \[ \mathbb{P}(A)=\frac{2}{36}. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A)=\frac{1}{18}$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de l’événement \og au moins un des nombres obtenus est 3 \fg{}?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $B$: \og au moins un des nombres obtenus est 3 \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, l'univers comporte $36$ issues et \[ B=\{ (1,3),(2,3),(3,3),(4,3), (5,3), (6,3), (2,6), (3,5), (3,4), (3,2), (3,1) \} \] est réalisé par $11$ issues donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B)=\frac{11}{36}$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de l’événement \og les nombres obtenus permettent de prendre $4$ jetons \fg{}?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $C$: \og les nombres obtenus permettent de prendre $4$ jetons \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, l'univers comporte $36$ issues et, d'après ce tableau
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
					\hline
					\backslashbox{$D_1$}{$D_2$}& 1 & 2
					& 3 & 4 & 5 & 6\\
					\hline
					1 & 1 & 2 &  \backslashbox{2}{3} & \backslashbox{2}{\color{WildStrawberry}4} & \backslashbox{2}{5} & \backslashbox{2}{6}
					\\
					\hline
					2 & 2 & 2 &  \backslashbox{\color{WildStrawberry}4}{3} & \color{WildStrawberry}4 & \backslashbox{\color{WildStrawberry}4}{5} & \backslashbox{\color{WildStrawberry}4}{6}
					\\
					\hline
					3 & \backslashbox{3}{2} & \backslashbox{3}{\color{WildStrawberry}4} & 3 & \backslashbox{6}{\color{WildStrawberry}4} & \backslashbox{6}{5} & 6
					\\
					\hline
					4 & \backslashbox{\color{WildStrawberry}4}{2} & \color{WildStrawberry}4 & \backslashbox{\color{WildStrawberry}4}{6} & \color{WildStrawberry}4 & \backslashbox{8}{5} & \backslashbox{8}{6}
					\\
					\hline
					5 & \backslashbox{5}{2} & \backslashbox{5}{\color{WildStrawberry}4} & \backslashbox{5}{6} & \backslashbox{5}{8} & 5 & \backslashbox{10}{6}
					\\
					\hline
					6 & \backslashbox{6}{2} & \backslashbox{6}{\color{WildStrawberry}4} & 6 & \backslashbox{6}{8} & \backslashbox{6}{10} & 6
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			$C$ est réalisé par $13$ issues donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(C)=\frac{13}{36}$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Après un nouveau lancer des deux dés, un élève a pris $3$ jetons. Au lancer suivant, la probabilité qu’il prenne de nouveau $3$ jetons augmente-t-elle, reste-t-elle identique ou diminue-t-elle par rapport à la probabilité d’avoir pris $3$ jetons au tirage précédent? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il n'y a aucun lien entre deux lancés de dé. Les lancés sont indépendants. Ces sont des expériences aléatoires indépendantes et par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité reste identique.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En fin de partie, un élève possède $12$ jetons. Lors de son lancer de dés, il obtient un $1$ et un $4$. Pourquoi est-il préférable pour lui de passer son tour?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il peut prendre $2 \times 1=2$ jetons ou $4$ jetons.
		
		Il ne peut pas prendre $4$ jetons puisqu'il a déjà $12$ jetons et qu'il dépasserait l'objectif de $15$ jetons.
		
		S'il prend les $2$ jetons il en aura maintenant $14$ et il devra n'en obtenir qu'un seul ensuite. Or la probabilité d'obtenir un seul jeton est de $\frac{1}{36}$ et celle d'obtenir directement $3$ jetons est bien plus élevée.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il est préférable qu'il passe son tour en espérant obtenir un $3$ au tour suivant.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chaque affirmation, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}[]
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 1:} \og $257$ est un nombre décimal. \fg{}		
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$257$ admet une écriture décimale dont la partie décimale ne comporte que des $0$.
		
		On peut aussi bien argumenté que $257$ peut s'écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$ puisque: $257= \frac{257}{10^0}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 2:} \og $\dfrac{7}{3}-8$ est un nombre rationnel. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La somme (ou différence) de deux nombres rationnels est un nombre rationnel. Nous pouvons le vérifier dans ce cas particulier.
		
		\begin{align*}
			\frac{7}{3}-8 &= \frac{7}{3}- \frac{8}{1}\\
			&= \frac{7}{3} -\frac{8 {\color{orange}\times 3}}{1 {\color{orange}\times 3}}\\
			&= \frac{7}{3} -\frac{24}{3}\\
			&= \frac{7-24}{3}\\
			&= \frac{-17}{3}
		\end{align*}
		
		Nous avons obtenu un quotient d'entiers donc il s'agit bien d'une fraction;
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 3:} \og la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de trois.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Quelques essais permettent de conjecturer que le résultat est vrai. Démontrons-le.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que l'affirmation est vraie.}
		
		Soit $n$ un nombre entier. Les nombres entiers qui le suivent sont $n+1$ et $n+2$.
		
		Considérons leur somme:
		
		\begin{align*}
			n+(n+1)+(n+2) &= n+n+1+n+2\\
			&= 3n+3{\color{orange}\times 1}\\
			&= {\color{WildStrawberry}3}n+ {\color{WildStrawberry}3} \times 1\\
			&= {\color{WildStrawberry}3}(n+1)
		\end{align*}
		
		On a montré que, pour tout entier $n$, $n+(n+1)+(n+2)$ est un multiple de $3$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 4:} \og l'équation $(x+1)(x-2)=(x-3)(x+4)$ admet un nombre entier comme solution.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation.}
		\begin{align*}
			(x+1)(x-2) &= (x-3)(x+4)\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			(x+1)(x-2)-(x-3)(x+4) &= 0
			x\times x+x \times (-2)+1 \times x +1 \times (-2)-( x \times x + x \times 4 +(-3) \times x +(-3) \times 4) &= 0\\
			x^2-2x+x-2-(x^2+4x-3x-12) &= 0\\
			x^2-x-1-(x^2+x-12) &=0 \\
			x^2-x-1-x^2-x+12 &= 0\\
			-2x+11 &= 0\\
			-2x &= -11\\
			x &= \frac{-11}{-2}\\
			x &= \frac{11}{2}
		\end{align*}
		
		Puisque $\frac{11}{2}$ est une forme irréductible nous pouvons conclure
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 5:} \og augmenter une quantité de $15\ \%$ puis de $10\ \%$ revient à l’augmenter de son quart.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le taux d'évolution global correspondant aux deux augmentations.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $15\ \%$ est 
		
		\begin{align*}
			CM_1 &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{15}{100}
			&= 1,15
		\end{align*}
		
		De même pour une hausse de $10\ \%$ le coefficient multiplicateur est $CM_2=1,1$.
		
		Donc le coefficient multiplicateur global des deux hausses successives est
		
		\begin{align*}
			CM_g &= CM_1 \times CM_2\\
			&= 1,15 \times 1,1\\
			&= 1,265
		\end{align*}
		
		Donc le taux d'évolution global en pourcentage est de
		
		\begin{align*}
			t_g &= 100 \times (CM_g-1)\\
			&= 100 \times ( 1,265 -1)\\
			&= 26,5
		\end{align*}
		
		Or les taux d'évolution correspondant à une augmentation d'un quart est $25\ \%$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			l'affirmation 5 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 6:} \og un quadrilatère ayant un angle droit est un rectangle.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Donnons un contre-exemple
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) -- (3,0) -- (3,5) -- (0,3) -- cycle;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 6 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 7:} \og un triangle rectangle peut être équilatéral. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		L'un des angles d'un triangle rectangle a forcément une mesure de $90\degres$.
		
		Tous les angles d'un triangle équilatéral mesurent $60\degres$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 7 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 8:} \og par la fonction $f$ définie par $f(x) = -3x + 1$, l’antécédent de $4$ est $-11$. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$f(-11)=-3 \times (-11)+1=34 \ne 4$ donc $-11$ n'est pas un antécédente de $4$ par $f$ et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			l'affirmation 8 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 9:} \og le triangle ABC, schématisé ci-dessous, est rectangle. \fg{}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
				\foreach \M/\x/\y/\pos in {A/0/0/{left},B/7/4/{above},C/10/0/{below right}} { 
					\coordinate (\M) at ({\x},{\y});
					\draw (\M) node [\pos] {$\M$};
				}
				\draw (A) -- (B) node[midway,above,sloped] {$35\ \mathrm{cm}$};
				\draw (B) -- (C) node[midway,above,sloped] {$12\ \mathrm{cm}$};
				\draw (A) -- (C) node[midway,below,sloped] {$39\ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons si $ABC$ est rectangle.}
		
		Le plus grand côté de $ABC$ est $[AC]$ donc s'il est rectangle ce ne peut être qu'en $B$.
		
		Le problème se ramène à déterminer si $ABC$ est rectangle en $B$.
		
		D'une part $AB^2+BC^2= 35^2+12^=1329$ et d'autre part $39^2=1521$ donc, d'après la contraposée du théorème de Pythagore $ABC$ n'est pas rectangle en $B$.
		
		Et donc il n'est âs rectangle (tout court).
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 9 est fausse.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 10:} \og si on multiplie par $3$ les longueurs des côtés d’un rectangle, alors son aire est également multipliée par $3$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il s'agit d'un résultat classique: si les dimensions d'une surface sont multipliées par $3$ alors son aire est multipliée par $3^2=9$. C'est un résultat évident sur un carré un peu moins sur un triangle.
		
		Toujours est-il que l'aire n'est pas multipliée par $3$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 10 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2023 groupe 4.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_4_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_4_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Le sujet est composé de sept exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante organise une sortie scolaire autour de La Rochelle. Le voyage s’effectue par
 navette maritime en deux étapes:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item un trajet aller, appelé trajet A, qui part du port de La Rochelle (point $R$), se rend autour
du fort Boyard (point $F$), fait deux tours du fort puis se rend à St-Denis d’Oléron
(point $D$);
		
		\item un trajet retour, appelé trajet B, qui part de Saint-Denis d’Oléron (point $D$) et se rend
directement au port de La Rochelle (point $R$).
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_01_carte.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: étude des trajets.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne $DF = 13,80\ \mathrm{km}$, $DR = 23,41\ \mathrm{km}$ et $RF = 18,91\ \mathrm{km}$.
		
		Démontrer que le triangle $RDF$ est un triangle rectangle en $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $RDF$ est rectangle en $F$.}
		
		D'une part
		\begin{align*}
			DF^2+RF^2 &= 13,80^2+18,91^2\\
			&= 548,0281
		\end{align*}
		d'autre part
		\begin{align*}
			DR^2 &= 23,41^2\\
			&= 548,0281
		\end{align*}
		donc $DF^2+RF^2=DR^2$.
		
		Nous en déduisons, d'après la réciproque du théorème de Pythagore que
		
		\begin{conclusion}
			
			$RDF$ est rectangle en $F$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Le nœud est une unité de vitesse utilisée dans le domaine maritime. $1$ nœud correspond à $\np{1 852}$ mètres par heure.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que la vitesse moyenne de la navette sur le trajet B est de $10$ nœuds, calculer la durée du trajet B, en minute, arrondie à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la durée $t$ du trajet.}
		
		\begin{align*}
			v &= \frac{d}{t}\\
			\intertext{donc}
			t &= \frac{d}{v}\\
			&= \frac{23,41\ \mathrm{km}}{ 10\ \text{nœuds}}\\
			&= \frac{\np{23410}\ \mathrm{m}}{10 \times \np{1852}\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{h}^{-1}}\\
			&= \frac{\np{23410}}{10 \times \np{1852}} \ \frac{\mathrm{m}\cdot \mathrm{h}}{\mathrm{m}}\\
			&= \frac{\np{23410}}{10 \times \np{1852}} \times 60 \ \mathrm{min}\\
			&\approx 75,84\ \mathrm{min} 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le trajet dure $76$ minutes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le trajet A prévoit un détour vers le Fort Boyard. La navette effectue deux fois le tour du fort avant de repartir.
		
		On modélise le tour du fort par un trajet circulaire, de rayon $500$ m.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_02_boyard.png}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la longueur d’un tour du fort, ainsi modélisée, est d’environ $3142\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la longueur $L$ d'un tour du fort.}
			
			Le tour étant circulaire de rayon $500\ \mathrm{m}$:
			
			\begin{align*}
				L &= 2\pi \times 500\ \mathrm{m}\\
				&\approx 3141,59\ \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$L \approx \np{3142}\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la distance totale du trajet A. Donner le résultat en kilomètre, arrondi à l’unité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la distance $L_A$ du trajet A.}
			
			\begin{align*}
				L_A &= RF +2 L +FD\\
				&= 18,91 \ \mathrm{km}+ 2 \times 3142\ \mathrm{m} + 13,8\ \mathrm{km}\\
				&= 18,91 \ \mathrm{km}+ 2 \times 3,142\ \mathrm{km} + 13,8\ \mathrm{km}\\
				&= 38,994\ \mathrm{km}
			\end{align*}	
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_A \approx 39\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le trajet A dure au total $2\ \mathrm{h}$. Calculer la vitesse moyenne de la navette, exprimée en nœuds et arrondie à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la vitesse moyenne $v_A$ sur le trajet A.}
		
		\begin{align*}
			v_A &= \frac{L_A}{2 \ \mathrm{h}}\\
			&= \frac{29\ \mathrm{km}}{ 2\ \mathrm{h}}\\
			&= \frac{29}{2} \ \frac{\mathrm{km}}{ \mathrm{h}}\\
			&= 19,5\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}\\
			&= 19,5 \times \frac{1}{1,852}\ \text{nœud}\\
			&\approx 10,529\ \text{nœud}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_A\approx 11 \ \text{nœud}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: étude de tarifs.}

\begin{sujet}
	
	L’entreprise qui réalise ce trajet étudie le prix à fixer pour le voyage. 
	
	Une étude de marché montre qu’en fixant le prix d’une place sur la navette à $30\ \text{\euro}$, l’entreprise vendrait $450$ places en moyenne par jour.
	
	La même étude montre que :
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item à chaque augmentation de $10$ centimes, l’entreprise vendra $3$ places de moins;
		
		\item à chaque diminution de $10$ centimes, l’entreprise vendra $3$ places de plus.
		
	\end{enumerate}
	
	On appelle recette journalière moyenne de l’entreprise le montant récolté lors de la vente des places.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item
	 
	\begin{sujet}
		
		Calculer la recette journalière moyenne si l’entreprise fixe le prix d’une place à $30\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la recette $R(30)$ si le prix est fixé à $30\ \text{euro}$.}
		
		\begin{align*}
			R(30) &= 450 \times 30\ \text{euro}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$R(30)=\np{13500}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si l’entreprise décide de fixer la place à $40\ \text{\euro}$, alors la recette journalière moyenne est de $\np{6 000}\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si le prix de la place est de $40\ \text{\euro}$ alors le nombre d'augmentations de $10\ \mathrm{centimes}=0,1\ \text{\euro}$ est
			
			\begin{align*}
				\frac{40-30}{0,10} &= 100
			\end{align*}
			
			Donc le nombre de places vendues est
			
			\begin{align*}
				450-100 \times 3 &= 150
			\end{align*}
						
			La recette est alors de
			
			\begin{align*}
				R(40) &= 150 \times 40\ \text{\euro} 
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R(40)=\np{6000}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la recette journalière moyenne si l’entreprise décide de fixer la place à $10\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si le prix de la place est de $10\ \text{\euro}$ alors le nombre de diminutions est de $10\ \mathrm{centimes}=0,1\ \text{\euro}$ est
			
			\begin{align*}
				\frac{30-10}{0,10} &= 200
			\end{align*}
			
			Donc le nombre de places vendues est
			
			\begin{align*}
				450+200 \times 3 &= 1050
			\end{align*}
			
			La recette est alors de
			
			\begin{align*}
				R(10) &= 1050 \times 10\ \text{\euro} 
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R(10)=\np{10500}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le graphique suivant donne la recette journalière prévue par l’étude de marché en fonction du prix d’une place.
		
		{\hspace*{-1.2cm}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1/4,yscale=1/2]
			%extremites du graphique
			\def\xcoinbasgauche{0};
			\def\xcoinhautdroit{48};
			\def\ycoinbasgauche{0};
			\def\ycoinhautdroit{16.7};
			%Les deux grilles
			%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			\draw[xstep=1cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,black!40!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
			%Les deux axes
			\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{};
			\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{};
			%fonction
			\draw[black, thick][samples=100,domain=0:45] plot({\x},{-30*(\x-45)*\x/1000});
			\foreach \x in {0, 2,...,47}\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,16} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}\hspace{0.05cm}000};
			\draw (42,-1.1) node[fill=white]{\footnotesize Prix d'une place (en \euro)};
			\draw (4.5,16.1) node[fill=white]{\footnotesize Recette (en \euro)};
		\end{tikzpicture}			
		}
		
		Répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner la recette journalière pour un prix unitaire de $10\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			~
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1/8,yscale=1/4]
					%extremites du graphique
					\def\xcoinbasgauche{0};
					\def\xcoinhautdroit{48};
					\def\ycoinbasgauche{0};
					\def\ycoinhautdroit{16.7};
					%Les deux grilles
					%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
					\draw[xstep=1cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,black!40!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
					%Les deux axes
					\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{};
					\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{};
					%fonction
					\draw[black, thick][samples=100,domain=0:45] plot({\x},{-30*(\x-45)*\x/1000});
					\foreach \x in {0, 2,...,47}\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1,2,...,16} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}\hspace{0.05cm}000};
					\draw [red,dashed,very thick] (10,0) -- (10,10.5) -- (0,10.5);
				\end{tikzpicture}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R(10)=\np{10500}\ \text{\euro}$. 
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le(s) prix unitaire(s) correspondant à une recette journalière de $\np{14 000}\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			~
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1/8,yscale=1/4]
				%extremites du graphique
				\def\xcoinbasgauche{0};
				\def\xcoinhautdroit{48};
				\def\ycoinbasgauche{0};
				\def\ycoinhautdroit{16.7};
				%Les deux grilles
				%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=1cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,black!40!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				%Les deux axes
				\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{};
				\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{};
				%fonction
				\draw[black, thick][samples=100,domain=0:45] plot({\x},{-30*(\x-45)*\x/1000});
				\foreach \x in {0, 2,...,47}\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,16} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}\hspace{0.05cm}000};
				\draw [red,dashed,very thick] (0,14) -- (46,14);
				\draw [red,dashed,very thick] (16,14) -- (16,0);
				\draw [red,dashed,very thick] (28.8,14) -- (28.8,0);
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour une recette de $\np{14000}\ \text{\euro}$ il faut un prix unitaire de $16$ ou $28,8$ euro. 
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel prix unitaire permet d’obtenir une recette journalière maximale ? Indiquer le montant de cette recette maximale.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			~
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1/8,yscale=1/4]
				%extremites du graphique
				\def\xcoinbasgauche{0};
				\def\xcoinhautdroit{48};
				\def\ycoinbasgauche{0};
				\def\ycoinhautdroit{16.7};
				%Les deux grilles
				%\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				\draw[xstep=1cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,black!40!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
				%Les deux axes
				\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{};
				\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{};
				%fonction
				\draw[black, thick][samples=100,domain=0:45] plot({\x},{-30*(\x-45)*\x/1000});
				\foreach \x in {0, 2,...,47}\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,16} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}\hspace{0.05cm}000};
				\draw [red,dashed,very thick] (22.5,0) -- (22.5,15.25);
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour une recette maximale il faut un prix unitaire de $22,5$ euro. La recette maximal est alors de $\np{15250}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Une mairie souhaite végétaliser la cour de son école.
	
	Sur un sol de copeaux de bois, la mairie souhaite installer des
appuis conçus à partir de parallélépipèdes rectangles.
	
	Les appuis sont obtenus à partir de blocs de bois écoresponsables, qui sont ensuite tronçonnés en partie de façon
à obtenir une assise rectangulaire $ABCD$ sur laquelle les
élèves peuvent s'appuyer.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_03_bloc_dimensions.png}};
			\coordinate (A) at (0.3,2);
			\draw (A) node [right] {$A$};
			\coordinate (B) at (-1,2.1);
			\draw (B) node [left] {$B$};
			\coordinate (C) at (-1.2,0.5);
			\draw (C) node [left] {$C$};
			\coordinate (D) at (0.1,0.4);
			\draw (D) node [right] {$D$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	La mairie décide d’installer dans la cour de l’école trente de
ces appuis.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer, en mètre cube, le volume de bois nécessaire
		avant tronçonnage, à la fabrication des trente appuis.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume total de bois nécessaire $V_t$.}
		
		Le volume d'un parallélépipède rectangle est
		
		\begin{align*}
			V_p &= \left( 40\ \mathrm{cm} \right) \times (1\ \mathrm{m}) \times (1,25\ \mathrm{m})\\
			&= \left( 0,40\ \mathrm{m} \right) \times (1\ \mathrm{m}) \times (1,25\ \mathrm{m})\\
			&= 0,40 \times 1 \times 1,25\ \mathrm{m}^3\\
			&= 0,5\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		Donc pour les trente appuis le volume est de
		
		\begin{align*}
			V_t &= 30 \times V_p\\
			&= 30 \times 0,5\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_t=15\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une fois tronçonnés, les blocs prennent donc la forme ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_04_bloc_assise.png}};
				\coordinate (A) at (-1.5,1.25);
				\node (B) at (A) {assise};
				\draw [>=latex,->] (B) -- (-0.4,0.7);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Les assises des appuis sont alors peintes en blanc.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que l’aire d’un rectangle à peindre en blanc est égale à $2120\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{S}(ABCD)$ de la surface d'une assise.}
			
			$ABCD$ est un rectangle pour calculer son aire il faut les longueurs de deux côtés consécutifs.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $CD=40 \ \mathrm{cm}$.
				
				\item Notons $H$ l'un des sommets du prisme découpé:
				
				\begin{center}
					
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
						\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_03_bloc_dimensions.png}};
						\coordinate (A) at (0.3,2);
						\draw (A) node [right] {$A$};
						\coordinate (B) at (-1,2.1);
						\draw (B) node [left] {$B$};
						\coordinate (C) at (-1.2,0.5);
						\draw (C) node [left] {$C$};
						\coordinate (D) at (0.1,0.4);
						\draw (D) node [right] {$D$};
						\coordinate (H) at (0.1,1.8);
						\draw [red] (H) node {$\bullet$};
						\draw [red] (H) node [below left] {$H$};
					\end{tikzpicture}
					
				\end{center}
				
				$AHD$ est un triangle rectangle en $H$ donc, d'après le théorème de Pythagore, $AH^2+HD^2=AD^2$.
				
				Or $AH=1\ \mathrm{m}-72\ \mathrm{cm}=100\ \mathrm{cm} -72 \ \mathrm{cm}=28\ \mathrm{cm}$ et $HD=1,25\ \mathrm{m}-80\ \mathrm{cm}= 125\ \mathrm{cm}-80\ \mathrm{cm}=45\ \mathrm{cm}$ donc, si $AD$ est exprimé en centimètre,
				
				\begin{align*}
					AD^2 &= 28^2+45^2\\
					&= 2809\\
					\intertext{$AD$ étant une longueur c'est un nombre postif et donc:}
					AD &= \sqrt{2809}\\
					&= 53
				\end{align*}
				
				Ainsi $AD=53\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{enumerate}
			
			Des points précédents nous déduisons:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{S}(ABCD) &= CD \times AD\\
				&= 40 \ \mathrm{cm} \times 53 \ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{S}(ABCD)=\np{2120}\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire totale des rectangles à peindre en blanc pour les $30$ appuis en mètre carré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire totale $\mathscr{S}_t$ à peindre.}
			
			$\mathscr{S}_t=30 \times \mathscr{S}(ABCD) =30 \times \np{2120}\ {\color{orange}\mathrm{cm}^2}=63600\times {\color{orange}\frac{1}{10000}\ \mathrm{m}^2}$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{S}_t= 6,36\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			D’après la fiche technique suivante, combien de pots de couleur blanche seront nécessaires?
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|m{7cm}|}
					\hline
					\hfill Fiche technique \hfill~
					\\
					\begin{itemize}
						\item Peinture laque glycero aspect satiné.
						\item Usage: intérieur, extérieur, monocouche.
						\item Rendement: $10\ \mathrm{m}^2/\mathrm{L}$.
						\item Protège des UV et intempéries.
						\item Conditionnement: $0,5\ \mathrm{L}$.
					\end{itemize}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $1$ litre permet de peindre $10\ \mathrm{m}^2$, un pot de $0,5\ \ell$ permet de peindre $5\ \mathrm{m}^2$.
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				pour peindre $6,36\ \mathrm{m}^2$ il faudra deux pots.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante propose à ses élèves un jeu de 52 cartes. Le jeu contient 13 cartes (As, 2,3, ..., 10, Valet, Dame, Roi) de chacune des familles suivantes: carreau, cœur, pique, trèfle.
	
	Cœur et carreau sont des familles de couleur rouge. Pique et trèfle sont de couleur noire.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignante donne une carte, choisie au hasard, à Ana.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que la carte d’Ana soit rouge?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Modélisons la situation. Sans indication spécifique on peut estimer que toutes les cartes ont la même probabilité d'être tirées: il y a équiprobabilité. Ainsi l'univers formé des $52$ cartes est muni de la loi uniforme.}
			
			\medskip
			La moitié des cartes étant rouges:
			
			\begin{conclusion}
				
				la probabilité d'obtenir une carte rouge est $\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que la carte d’Ana soit un pique?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Un quart des cartes étant des piques:
			
			\begin{conclusion}
				
				la probabilité d'obtenir un pique est $\frac{1}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que la carte d’Ana soit un valet?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a quatre valets parmi les $52$ cartes donc
						
			\begin{conclusion}
				
				la probabilité d'obtenir un valet est $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que la carte d’Ana soit une dame de couleur rouge?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a deux dames de couleur rouge parmi les $52$ cartes donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la probabilité d'obtenir un valet est $\frac{2}{52}=\frac{1}{26}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que la carte d’Ana soit une carte de couleur rouge ou une dame?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a $26$ cartes rouges et deux dames noires parmi les $52$ cartes donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la probabilité d'obtenir une carte de couleur rouge ou une dame est $\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignante décide d’ajouter des cartes Joker à son jeu. Combien doit-elle ajouter de
carte joker pour que la probabilité qu’Ana reçoive une carte Joker soit de $\dfrac{1}{14}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre $N$ de cartes joker rajoutées.}
		
		La probabilité d'obtenir une des $N$ cartes joker parmi les $52+N$ cartes est (en supposant toujours l'équiprobabilité):
		
		\begin{align*}
			\frac{N}{52+N} &= \frac{1}{14}\\
			\intertext{On en déduit par un produit en croix:}
			14N &= 52+N\\
			\intertext{équation du premier degré qui équivaut successivement à:}
			14N {\color{orange}-N} &= 52+N  {\color{orange}-N}\\
			13N &= 52\\
			\frac{13N}{\color{orange}N} &= \frac{52}{\color{orange}13}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$N=4$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	On considère les deux scripts ci-dessous.
	
	\begin{tikzpicture}
		\draw (-3.75,4) node {\textbf{Script principal.}};
		\draw (-3,0) node {
		\begin{scratch}[scale=0.9]
			\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
			\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
			\blockpen{stylo en position d'écriture}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}{
				\blockmove{avancer de \ovalnum{100}}
				\blockmoreblocks{Carré}
				\blockmove{avancer de \ovalnum{-100}}	
				\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
			}
		\end{scratch}
		};
		\draw (-6,0.5) node {Ligne A};
		\draw (-6,-2.75) node {Ligne B};
		\draw (3.25,3.5) node {\textbf{Bloc Carré.}};
		\draw (4,1) node {		\begin{scratch}[scale=0.9]
			\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Carré}}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}{
				\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
				\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
			}
		\end{scratch}
		};
	\draw (1,1.5) node {Ligne C};
	\end{tikzpicture}
	
	On rappelle que l’instruction
	\begin{scratch}[scale=1]
		\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
	\end{scratch}
	signifie que l’on se dirige vers la droite.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Les programmes de cet exercice sont téléchargeables ici: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2023_maths/crpe_2023_maths_externe_sujet_4_05_scratch_programme.sb3}{lien de téléchargement}.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Représenter sur la copie la figure réalisée par le script principal. Le lutin se déplace selon le nombre de pixels défini. On représentera $25$ pixels par $1 \ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
				\draw (0,1) -- (-1,1) -- (-1,2) -- (0,2) -- (0,-2) -- (1,-2) -- (1,-1) -- (0,-1);
				\draw (-1,0) -- (-1,-1) -- (-2,-1) -- (-2,0) -- (2,0) -- (2,1) -- (1,1) -- (1,0);
				\draw [>=latex,<->] (0.25,1) -- (0.25,2) node [midway,right] {$2\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (0.25,0) -- (0.25,1) node [midway,right] {$2\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex,<->] (0,2.25) -- (-1,2.25) node [midway,above] {$2\ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite réaliser la figure ci-dessous en modifiant les scripts ci-dessus.
		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_06_scratch_drapeaux.png}};
			\draw (0.7,0.2) node {$O$};
			\draw (1.8,2.3) node {$A$};
			\draw (0.9,3) node {$B$};
			\draw (0.3,1.8) node {$C$};
			\draw (1.3,1.2) node {$D$};
			\draw (-1,2.5) node {$E$};
			\draw (-1.9,1.9) node {$F$};
			\draw (-1.3,0.8) node {$G$};
			\draw (-0.3,1.8) node {$H$};
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles modifications doit-on apporter aux lignes A, B et C pour obtenir cette figure?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			On modifie le programme de la façon suivante:
			
			{\hspace*{-1.8cm}\begin{tikzpicture}
				\draw (-3.75,4) node {\textbf{Script principal.}};
				\draw (-3,0) node {
					\begin{scratch}[scale=0.9]
						\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
						\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
						\blockpen{stylo en position d'écriture}
						\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}{
							\blockmove{avancer de \ovalnum{100}}
							\blockmoreblocks{Carré}
							\blockmove{avancer de \ovalnum{-100}}	
							\blockmove{tourner \turnright{} de \ovalnum{36} degrés}
						}
					\end{scratch}
				};
				\draw (-6,0.5) node {Ligne A};
				\draw (-6,-2.75) node {Ligne B};
				\draw (3.25,3.5) node {\textbf{Bloc Carré.}};
				\draw (4,1) node {		\begin{scratch}[scale=0.9]
						\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Carré}}
						\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}{
							\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
							\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
						}
					\end{scratch}
				};
				\draw (1,1.5) node {Ligne C};
			\end{tikzpicture}}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une transformation géométrique, dont on donnera les caractéristiques, permettant de passer du carré $ABCD$ au carré $EFGH$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			~
			
			\begin{conclusion}
				
				La transformation permettant de passer de $ABCD$ à $EFGH$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $60\degres$ (ou $\frac{\pi}{3}$).
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Les effectifs et les salaires mensuels des différents employés d’une entreprise sont inscrits
dans la feuille de calcul suivante:
	
	\medskip
	\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_07_tableur.png}
	
	\medskip
	Dans la suite de l’exercice, on considère que les charges s’élèvent à $22\ \%$ du salaire brut. Le
salaire brut moins les charges est appelé salaire net.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est l’étendue des salaires mensuels bruts dans cette entreprise ?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'étendue des salaires.}
		
		\begin{align*}
			e &= \max -\min \\
			&= 5500-1923
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$e= 3577\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le salaire mensuel net de la directrice est de $\np{4 290}\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le salaire net $S_{dn}$ de la directrice.}
		
		Le montant des charges sur le salaire de la directrice est de 
		
		\begin{align*}
			\frac{22}{100} \times 5500\ \text{\euro} &= 1210\ \text{\euro}
		\end{align*}
		
		donc le salaire net est
		
		\begin{align*}
			S_{dn} &= 5500\ \text{\euro} -1210\ \text{\euro}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$S_{dn}=4290\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le comptable souhaite calculer le salaire mensuel net des autres employés.
				
		Quelle formule doit-il écrire dans la cellule B4 pour calculer les charges sociales d’un ouvrier? Cette formule doit pouvoir être étendue pour calculer les charges dans toutes les colonnes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		
		\begin{conclusion}
			
			En $\texttt{B}4$ on entre: $=\texttt{B}3*22/100$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle formule entrer dans la cellule $\texttt{B}5$ pour calculer le salaire net de l’ouvrier? Cette formule doit pouvoir être étendue pour calculer les salaires nets dans toutes les colonnes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		
		\begin{conclusion}
			
			En $\texttt{B}5$ on entre: $=\texttt{B}3-\texttt{B}4$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le salaire mensuel brut moyen dans cette entreprise. Arrondir à l’euro.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le salaire moyen brut $\overline{x}$.}
		
		On utilise la formule de la moyenne pondérée:
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{n_1x_1+n_2x_2+ \dots + n_rx_r}{n_1+n_2+\dots + n_r}\\
			&= \frac{4 \times 1923+5 \times 2307 +2 \times 2693+3 \times 4200 +1 \times 5500}{4+5+2+3+1}\\
			&\approx 2847,53
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{x} \approx 2848\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la médiane des salaires mensuels bruts de cette entreprise.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la médiane $Me$ des salaires bruts.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La série des salaires bruts est rangée dans l'ordre croissant dans l'énoncé.
			\item Il y a $4+5+2+3+1=15$ employés. $\frac{15}{2}=7,5$ donc la médiane est la huitième valeur (série impaire).
			\item En cumulant les effectifs: $4+5=9$ don la huitième valeur de la série ordonnée est $2307$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$Me=2307\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’entreprise envisage l’embauche d’un nouvel ingénieur. Celui-ci souhaite un salaire net de $\np{3 200}\ \text{\euro}$. À combien doit s’élever son salaire brut? Arrondir à l’euro.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $x$ le salaire brut de l'ingénieur.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $x$.}
		
		On doit avoir:
		
		\begin{align*}
			x- \frac{22}{100} \times x &= 3200\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\left( 1- \frac{22}{100} \right) x &= 3200\\
			0,78 x &= 3200\\
			\frac{0,78x}{\color{orange}0,78} &= \frac{3200}{\color{orange}0,78}\\
			x &= \frac{3200}{0,78}
			\intertext{Donc}
			x &\approx 4102,564
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$x\approx 4103\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 6.}

\begin{sujet}
	
	On considère un nombre entier à deux chiffres et l’on appelle son \og retourné \fg{} le nombre
obtenu en permutant le chiffre des dizaines et celui des unités.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Recopier et compléter le tableau suivant:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Nombre choisi & $43$ & $57$ & $52$ & $60$ & $16$
				\\
				\hline
				Nombre retourné & $34$ & $75$ & & & 
				\\
				\hline
				Différence entre le nombre choisi et son \og retourné\fg{} & &&&&
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Nombre choisi & $43$ & $57$ & $52$ & $60$ & $16$
				\\
				\hline
				Nombre retourné & $34$ & $75$ & $25$ & $6$ & $61$
				\\
				\hline
				Différence entre le nombre choisi et son \og retourné\fg{} & $9$ & $-18$ & $27$ & $54$ & $-45$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle conjecture peut-on faire sur la différence entre un nombre et son retourné?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il semble que la différence entre un nombre et son retourné soit un multiple de $9$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $N$ le nombre choisi, $u$ son chiffre des unités et $d$ son chiffre des dizaines.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer $N$ en fonction de $d$ et $u$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$N=10d+u$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer le \og retourné \fg{} $R$ du nombre choisi en fonction de $d$ et $u$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R=10u+d$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
			Montrer que la différence $N-R$ est égale à $9(d-u)$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				N-R &= 10d+u-(10u+d)\\
				&= 10d+10u-10u-d\\
				&= 9d-9u
			\end{align*}
			
			donc, en factorisant par $9$
			
			\begin{conclusion}
				
				$N-R=9(d-u)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 

		\begin{sujet}
			
			En déduire que la différence entre un nombre et son retourné est un multiple de $9$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question précédente: $N-R=9(d-u)$. Or $d-u$ est un nombre entier donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$N-R$ est un multiple de $9$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour obtenir une différence $N-R$ égale à $63$ quels nombres est-il possible de choisir au départ? Donner l’ensemble des solutions.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $N-R=63$ alors 
			
			\begin{align*}
				9(d-u) &= 63\\
				\frac{9(d-u)}{\color{orange}9} &= \frac{63}{\color{orange}9}\\
				d-u &= 7\\
				d &= 7+u
			\end{align*}
			
			Or $0\leqslant u \leqslant 9$ et $0\leqslant d \leqslant 9$ donc les couples possibles pour $(u,d)$ (dans cet ordre) sont $(0,7)$, $(1,8)$, $(2,9)$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que $N-R=63$ il faut choisir $70$, $81$ ou $92$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour obtenir une différence $N-R$ égale à $56$ quels nombres est-il possible de choisir au départ? Donner l'ensemble des solutions.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $N-R=56$ comme $56=2^3 \times 7$ n'est pas divisible par $9$ donc il n'existe pas de nombre qui convienne.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des nombres possibles est l'ensemble vide.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 7.}

\begin{sujet}
	
	Cet exercice est inspiré d’un problème proposé à des élèves de fin CM1 en 2015 aux
évaluations internationales TIMSS.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_08_dessin_glaces.png}
			\\	
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2023_maths_externe_sujet_4_09_dessin_glaces_2.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
		
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève propose la réponse suivante:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				$2 \times 14-22=6$\\
				\emph{Une glace fusée vaut $6$ zeds.}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Identifier l’erreur de l’élève.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il a obtenu le prix de deux glaces.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $x$ le prix en zed d’un cône et $y$ le prix en zed d’une glace fusée.
		
		Écrire les équations correspondantes au problème et en déduire le prix d’un cône et d’une glace fusée.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $x$ et $y$.}
		
		La ligne concernant Raphaël se traduit par \[ 2x+4y=22. \]
		
		La ligne concernant Lena se traduit par \[ x+3y=14. \]
		
		On a donc le système \[ \left\{ \begin{array}{ccccc} 2x &+& 4y &=& 22\\ x &+& 3y &=& 14 \end{array} \right.\]
		
		De la seconde équation nous déduisons $x=14-3y$.
		
		En substituant dans la première: $2(14-3y)+4y=22$, ce qui équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
			2 \times 14-2 \times 3y +4y &= 22\\
			28-6y+4y &= 22\\
			-2y & 22-28\\
			y &=3
		\end{align*}
		
		Puis de $x=14-3y$ nous déduisons, sachant que $y=3$, $x=14-3 \times 3=5$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Un cône coûte $5$ zeds et une glace fusée coûte $3$ zeds.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2 )});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}