%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2022 sujet 4} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}


\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2022 groupe 4.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_4_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_4_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante construit pour ses élèves un jeu de $80$ cartes, avec $20$ cartes de chacune des quatre couleurs: rouge, bleu, jaune et vert. Pour chaque couleur, les cartes sont numérotées de $0$ à $9$ et chaque numéro apparaît sur deux cartes. L’enseignante donne une carte du jeu au hasard à Déborah.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			que la carte de Déborah soit bleue?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Modélisation: l'univers $\Omega$ est formé des $80$ cartes et, chaque carte ayant la même probabilité qu'une autre d'être obtenue, nous munissons $\Omega$ de l'équiprobabilité.
			
			Notons $B$: \og obtenir une carte bleue\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, $B$ est réalisé par $20$ issues et l'univers en contient $80$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(B) &= \frac{20}{80}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B)=\frac{1}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			que la carte de Déborah porte le numéro $2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $N$: \og obtenir une carte numéro 2\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(N)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, $N$ est réalisé par $8$ issues et l'univers en contient $80$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(N) &= \frac{8}{80}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(N)=\frac{1}{10}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		
		\begin{sujet}
			
			que la carte de Déborah soit bleue et porte le numéro $2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B\cap N)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, $B\cap N$ est réalisé par $2$ issues et l'univers en contient $80$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(B\cap N) &= \frac{2}{80}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B \cap N)=\frac{1}{40}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			que la carte de Déborah soit bleue ou porte le numéro $2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B \cup N)$.}
						
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(B \cup N) &= \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(N)-\mathbb{P}(B \cap N)\\
				&= \frac{1}{4} + \frac{1}{10} -\frac{1}{40}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B \cup N)=\frac{13}{40}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignante décide d’ajouter des cartes \emph{Joker} à son jeu. Combien doit-elle ajouter de cartes \emph{Joker} pour que la probabilité que Déborah reçoive une carte \emph{Joker} soit de $\dfrac{1}{6}$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $x$ le nombre de cartes rajoutées et $J$:\og obtenir un joker.\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $x$.}
		
		Il y a équiprobabilité, $J$ est réalisé par $x$ issues et l'univers en contient $80+x$ donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(J) &= \frac{x}{80+x}\\
			\intertext{Nous devons avoir:}
			\mathbb{P}(J) &= \frac{1}{6}\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{x}{80+x} &= \frac{1}{6}\\
			\intertext{\color{orange}en procédant à un produit en croix et puisque $80+x \ne 0$:}
			6x &= 80+x\\
			\intertext{\color{orange}nous reconnaissons une équation du premier degré, il suufit d'isoler l'inconnue:}
			6x {\color{orange}-x} &= 80+x {\color{orange}-x}\\
			5x &= 80\\
			\frac{5x}{\color{orange}5} &= \frac{80}{\color{orange}5}\\
			x &= 16
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Elle doit ajouter $16$ cartes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Une enquête réalisée dans le secteur des confitures (ensemble des produits de type confitures à base de fruits) a permis d’étudier l’évolution de l’offre entre 2009 et 2017.
	
	Le tableau ci-dessous présente la répartition par année des différentes familles de produits. Les effectifs indiqués correspondent au nombre de marques. Par exemple, en 2009, il y avait sur le marché $227$ marques différentes proposant des produits du type \og confitures, gelées ou
	marmelades\fg{}.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			FAMILLES DE PRODUITS & 2009 & 2017
			\\
			\hline
			Confitures, gelées ou marmelades & $227$ & $452$
			\\
			\hline
			Préparations à base de fruits & $12$ & $103$
			\\
			\hline
			Confitures, gelées ou marmelades allégées & $58$ & $121$
			\\
			\hline
			Préparations à base de purée de fruits & $29$ & $73$
			\\
			\hline
			Crèmes de marrons ou pruneaux & $11$ & $32$
			\\
			\hline
			TOTAL & $337$ & $781$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\smallskip
		{\tiny \url{Source : https://www.oqali.fr/content/download/3607/34342/version/1/file/OQALI_2019_Rapport_evolution_Confitures.pdf}}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On sait qu’entre 2009 et 2010 le nombre de marques de la famille \og Confitures, gelées ou marmelades allégées \fg{} a augmenté de $58,6\ \%$. Calculer le nombre de marques dans cette catégorie en 2010; on arrondira à l’entier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $58,6\ \%$ est 
			
			\begin{align*}
				CM_1 &= 1+ \frac{t}{100}\\
				&= 1+ \frac{58,6}{100}\\
				&= 1,586
			\end{align*}
			
			Donc le nombre de marques en 2010 est:
			
			\begin{align*}
				V_{2010/1} &= CM_1 \times V_{2009/1}\\
				&= 1,586 \times 58\\
				&= 91,988
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				En 2010 on compte $92$ marques dans la catégorie allégées.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On sait qu’entre 2010 et 2017 le nombre de marques de la famille \og Confitures,
			gelées ou marmelades \fg{} a augmenté de $52,7\ \%$. Quel était le nombre de marques dans cette catégorie en 2010? On arrondira le résultat à l’entier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $52,7\ \%$ est 
			
			\begin{align*}
			CM_2 &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{52,7}{100}\\
			&= 1,527
			\end{align*}
			
			Donc le nombre de marques en 2017 est:
			
			\begin{align*}
			V_{2017/2} &= CM_2 \times V_{2010/2}\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			452 &= 1,527 \times V_{2010/2}\\
			\frac{452}{\color{orange}1,527} &= \frac{1,527 \times V_{2010/2}}{\color{orange}1,527}\\
			V_{2010/2} &\approx 296,0052
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				En 2010 on compte $296$ marques dans la catégorie confitures.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
		Calculer l’augmentation, en pourcentage, du nombre de marques des  \og Crèmes de marrons ou pruneaux \fg{} entre 2009 et 2017. On donnera le résultat arrondi au dixième d’unité de pourcentage.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le taux d'évolution est donné en pourcentage par
		
		\begin{align*}
			t_3 &= \frac{V_{2017/3}-V_{2009/3}}{V_{2033/3}} \times 100\\
			&= \frac{32-11}{11} \times 100\\
			&= 190,909090\dots
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le nombre de marques crèmes et marrons a augmenté de $191,0\ \%$ entre 2009 et 2017.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le diagramme circulaire ci-dessous représente la répartition des marques par familles de produits en 2009. Calculer la mesure, au degré près, de l’angle correspondant aux \og Confitures, gelées ou marmelades \fg.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
			\begin{tikzpicture}
			\def\rayon{2};
			\def\marron{11/337*360};
			\def\puree{29/337*360+11/337*360};
			\def\allegees{58/337*360+29/337*360+11/337*360};
			\def\base{12/337*360+58/337*360+29/337*360+11/337*360};
			\def\confitures{227/337*360+12/337*360+58/337*360+29/337*360+11/337*360};
			%Milieu arcs
			\foreach \type/\autre/\P in {0/\marron/Aa, \marron/\puree/Ba, \puree/\allegees/Ca, \allegees/\base/Da, \base/\confitures/Ea}{
				\coordinate (\P) at  ({\rayon*cos(\type+(\autre-(\type))/2+90)},{\rayon*sin(\type+(\autre-(\type))/2+90)});
			}
			%remplissage
			\foreach \type/\suivant/\colo/\pat in {0/\marron/gray/, \marron/\puree/black/{north west lines}, \puree/\allegees/white/{vertical lines}, \allegees/\base/black/, \base/\confitures/white/}{
				\fill[color=\colo , pattern=\pat]  (0,0) -- plot [domain={\type}:{\suivant}] ({\rayon*cos(\x+90)},{\rayon*sin(\x+90)}) --cycle;}
			%etiquettes
			\def\rayplus{1};
			\foreach \type/\autre/\P/\decal/\text in {0/\marron/Ab/2/{\begin{tabular}{m{3cm}} \footnotesize Crèmes de marrons ou pruneaux. \end{tabular}} , \marron/\puree/Bb/-1/{\begin{tabular}{m{3cm}} \footnotesize Préparations à base de purée de fruits. \end{tabular}}, \puree/\allegees/Cb/-1/{\begin{tabular}{m{1.5cm}} \footnotesize Confitures allégées. \end{tabular}}, \allegees/\base/Db/-1/{ \begin{tabular}{m{2cm}} \footnotesize Préparations à base de fruits. \end{tabular} }, \base/\confitures/Eb/	1/{\begin{tabular}{m{1.65cm}} \footnotesize Confitures, gelées ou marmelades. \end{tabular}} }{
				\coordinate (\P) at  ({(\rayon+\rayplus)*cos(\type+(\autre-(\type))/2+90)+\decal},{(\rayon+\rayplus)*sin(\type+(\autre-(\type))/2+90)});
				\draw node (\P) at (\P) {\text};
			}
			%segments
			\foreach \D/\A in {Aa/Ab, Ba/Bb, Ca/Cb, Da/Db, Ea/Eb}{
				\draw (\D) -- (\A);
			}
			%Rayons
			\foreach \type in {0, \marron, \puree, \allegees, \base, \confitures}{
				\draw [very thick] (0,0) -- ({\rayon*cos(\type+90)},{\rayon*sin(\type+90)});
			}
			%Cercle
			\draw[samples=100,domain=0:360,very thick] plot({\rayon*cos(\x)},{\rayon*sin(\x)});
			%titre
			\draw (0,{\rayon+\rayplus+0.6}) node {\textbf{Répartition des marques par familles de produits en 2009.}};
			\end{tikzpicture}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\end{center}
				
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les angles sont proportionnels au nombre de marques il suffit de compléter le tableau:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				& Marques & Angle en degré
				\\
				\hline
				Total & $337$ & $360$
				\\
				\hline
				Confitures & $227$ & $x$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Par un produit en croix:
		
		\begin{align*}
			337x &= 227 \times 360\\
			\frac{337x}{\color{orange}337} &= \frac{227 \times 360}{337}\\
			x &\approx 242,49
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'angle pour les confitures est de $242 \degres$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Un micro-entrepreneur se lance dans la fabrication artisanale de confitures de fruits. On appelle \textbf{préparation} le mélange avant cuisson de fruits et de sucre ajouté. La masse des autres ingrédients pouvant intervenir dans la recette sera négligée.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Il souhaite choisir une recette dont la préparation a une proportion de sucre ajouté comprise entre $20\ \%$ et $30\ \%$ pour obtenir une consistance satisfaisante après cuisson.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{8cm}|}
				\hline
				\textbf{Préparation 1}: $240\ \mathrm{g}$ de sucre ajouté pour $1\ \mathrm{kg}$ de fruits.
				\\
				\textbf{Préparation 2}: $\dfrac{3}{4}$ de fruits et $\dfrac{1}{4}$ de sucre ajouté.
				\\
				\\
				\textbf{Préparation 3}: $330\ \mathrm{g}$ de sucre ajouté pour $1,5\ \mathrm{kg}$ de préparation.
				\\
				\hline				
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Parmi ces trois préparations, laquelle ou lesquelles peut-il choisir pour respecter son choix? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la proportion de sucre dans les trois préparations.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Préparation 1.
			
			La proportion de sucre est
			
			\begin{align*}
				p_1 &= \frac{240\ \mathrm{g}}{240 \ \mathrm{g}+ 1\ \mathrm{kg}}\\
				&= \frac{240\ \mathrm{g}}{240\ \mathrm{g} + 1000\ \mathrm{g}}\\
				&= \frac{240}{1240}\\
				&\approx 0,19354
			\end{align*}
			
			Donc $p_1\approx 19,35\ \%$.
			
			D'où $p_1 \notin [20\ \%, 30\ \%]$.
			
			\begin{conclusion}
				
				La préparation 1 ne convient pas.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Préparation 2.
			
			$p_2=\frac{1}{4}=0,25=25\ \%$.
			
			Comme $p_2 \in [20\ \%, 30\ \%]$
			
			\begin{conclusion}
				
				la préparation 2 convient.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Préparation 3.
			
			La proportion de sucre est
			
			\begin{align*}
				p_3 &= \frac{330\ \mathrm{g}}{1,5\ \mathrm{kg}}\\
				&= \frac{330\ \mathrm{g}}{1500\ \mathrm{g}}\\
				&= \frac{330}{1500}\\
				&= 0,22
			\end{align*}
			
			Donc $p_3=22\ \%$. Et comme $p_3 \in [20\ \%,30\ \%]$
			
			\begin{conclusion}
				
				la préparation 3 convient.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le micro-entrepreneur choisit la préparation 2.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour $1\ \mathrm{kg}$ de fruits quelle masse de sucre, arrondie au gramme, devra-t-il ajouter?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la masse $x$ de sucre qu'il faut rajouter exprimée en gramme.}
			
			Puisque la proportion de fruit doit être de $\frac{3}{4}$ et qu'il y a $1000\ \mathrm{g}$ de sucre:
			
			\begin{align*}
				\frac{1000}{x+1000} &= \frac{3}{4}\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				1000 \times 4 &= (x+1000) \times 3, \ \text{car}\ x+1000\ne 0\\
				4000 &= x \times 3+1000 \times 3\\
				4000 &= 3x+3000\\
				4000 {\color{orange}-3000} &= 3x+3000 {\color{orange}-3000}\\
				1000 &= 3x\\
				\frac{1000}{\color{orange}3} &= \frac{3x}{\color{orange}3}\\
				x &= \frac{1000}{3}\\
				x &\approx 333,33 \dots
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faut ajouter $333\ \mathrm{g}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Il doit indiquer sur les étiquettes des pots de confitures: \og préparé avec ... $\mathrm{g}$ de fruits pour $100\ \mathrm{g}$ de produit fini \fg{}, le produit fini étant la confiture après cuisson. Le micro-entrepreneur estime que $100\ \mathrm{g}$ de préparation donneront $83\ \mathrm{g}$ de produit fini.
			
			Que devra-t-il inscrire sur son étiquette? Justifier. On arrondira la masse au gramme.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de $100\ \mathrm{g}$ à $83\ \mathrm{g}$ est 
				
				\begin{align*}
					CM_3 &= \frac{V_A}{V_D}\\
					&= \frac{83\ \mathrm{g}}{100\ \mathrm{g}}\\
					&= 0,83
				\end{align*}
				
				\item Nous avons, les grandeurs étant exprimées en gramme,
				
				\begin{align*}
					V_A &= CM_3 \times V_D\\
					\intertext{Nous en déduisons successivement:}
					100 &= 0,83 \times V_D\\
					\frac{100}{0,83} &= V_D\\
					V_D &\approx 120,4819
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il devra écrire: $120\ \mathrm{g}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour connaître la proportion exacte de sucre avant cuisson, il faut tenir compte aussi du sucre naturellement présent dans les fruits. En considérant que les fruits utilisés contiennent naturellement $10\ \%$ de sucre, montrer qu’avec la recette retenue, le pourcentage de sucre dans la préparation est égal à $32,5\ \%$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La proportion de sucre d'origine naturelle dans le mélange correspond à $10\ \%$ des trois quart du mélange: $\frac{10}{100} \times \frac{3}{4}=0,075=7,5\ \%$.
			
			En tenant compte de $25\ \%$ de sucre dans le mélange: $25+7,5= 32,5$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il y a $32,5\ \%$ de sucre dans le mélange.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	Le micro-entrepreneur s’intéresse dans cette partie à la rentabilité de son entreprise.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		La courbe ci-dessous est la représentation graphique $C_R$ de la fonction $R$ qui modélise la recette obtenue (en euros) en fonction du nombre de pots vendus.
		
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{12.8};
			\def\yZ{9.2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.2cm, ystep=0.2cm, line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x/\n in {1/100, 2/200, 3/300, 4/400, 5/500, 6/600, 7/700, 8/800, 9/900, 10/1000, 11/1100, 12/1200}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\n$};
			\foreach \y/\n in {1/500,2/1000, 3/1500, 4/2000, 5/2500, 6/3000, 7/3500, 8/4000, 9/4500}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  $\n$};
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:9.2] plot(\x,{\x});
			\draw[blue] (8,6.5) node {$C_R$};
			\draw (9,0.5) node {Nombre de pots vendus};
			\draw[blue] (8,6.5) node {$C_R$};
			\draw (1.2,8.5) 	node {\begin{tabular}{l}Recette \\ (en euros) \end{tabular}};
			\end{tikzpicture}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la nature de cette fonction? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La courbe représentative de la fonction est une droite donc il s'agit d'une fonction affine.
			
			Comme de plus cette droite passe par l'origine du repère nous pouvons préciser que
			
			\begin{conclusion}
				
				$R$ est une fonction linéaire.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant le graphique, estimer le prix auquel le micro-entrepreneur a décidé de vendre un pot de confiture.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{12.8};
			\def\yZ{9.2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.2cm, ystep=0.2cm, line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x/\n in {1/100, 2/200, 3/300, 4/400, 5/500, 6/600, 7/700, 8/800, 9/900, 10/1000, 11/1100, 12/1200}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\n$};
			\foreach \y/\n in {1/500,2/1000, 3/1500, 4/2000, 5/2500, 6/3000, 7/3500, 8/4000, 9/4500}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  $\n$};
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:9.2] plot(\x,{\x});
			\draw[blue] (8,6.5) node {$C_R$};
			\draw (9,0.5) node {Nombre de pots vendus};
			\draw (1.2,8.5) 	node {\begin{tabular}{l}Recette \\ (en euros) \end{tabular}};
			\draw [dashed, red, very thick] (1,0) -- (1,1) -- (0,1);
			\end{tikzpicture}
		
			$100$ génèrent une recette de $500\ \text{\euro}$ donc, par proportionnalité la recette correspondant à un pot est \[ R(1)= \frac{500}{100}. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				Le micro-entrepreneur a décidé de vendre chaque pot $5\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère que tous les pots fabriqués sont vendus.
		
		Les coûts de fabrication sont estimés par le micro-entrepreneur à $3,25\ \text{\euro}$ par pot de confiture, auxquels s’ajoute une charge fixe mensuelle de $500\ \text{\euro}$.
		
		On note $x$ le nombre de pots vendus et $F(x)$ le coût mensuel de production (intégrant les coûts de fabrication et les charges fixes) en fonction de $x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer $F(x)$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le coût de fabrication pour $x$ pots est, par proportionnalité, $x \times 3,25\ \text{\euro}$. Et comme l faut ajouter $500\ \text{\euro}$ de frais fixes
			
			\begin{conclusion}
				
				$F(x)=3,25 x +500$ pour tout nombre entier naturel $x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Reproduire sur la copie la courbe $C_R$ et représenter graphiquement dans le même repère la fonction $F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Pour dessiner la courbe représentative de $R$ qui est une demi-droite, il suffit de reporter deux points à partir de leurs coordonnées.}
						
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{12.8};
			\def\yZ{9.2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.2cm, ystep=0.2cm, line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x/\n in {1/100, 2/200, 3/300, 4/400, 5/500, 6/600, 7/700, 8/800, 9/900, 10/1000, 11/1100, 12/1200}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\n$};
			\foreach \y/\n in {1/500,2/1000, 3/1500, 4/2000, 5/2500, 6/3000, 7/3500, 8/4000, 9/4500}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  $\n$};
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:9.2] plot(\x,{\x});
			\draw[blue] (7,8.5) node {$C_R$};
			\draw (9,0.5) node {Nombre de pots vendus};
			\draw (1.2,8.5) 	node {\begin{tabular}{l}Recette \\ (en euros) \end{tabular}};
			\draw [orange] (1,1) node {$\times$};
			\draw [orange] (7,7) node {$\times$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:12.6] plot(\x,{3.25/5*\x+1});
			\draw[red] (11,7) node {$C_F$};
			\draw [orange] (0,1) node {$\times$};
			\draw [orange] (10,{3.75*2}) node {$\times$};
			\end{tikzpicture}
			
			{\color{orange}Traçons $C_F$.
			
			$F$ est une fonction affine avec $a=3,25$ et $b=500$. Donc $C_F$ est une droite (ou une partie de droite).
			
			Puisque l'ordonnée à l'origine est $b=500$, $C_F$ passe par le point de coordonnées $(0; 3,25)$.
			
			De plus pour, par exemple, $x=1000$ alors $F(100)= 3,25 \times 1000 +500=3750$. Donc $C_F$ passe par le point de coordonnées $(1000;3750)$.
			}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique, estimer le nombre de pots vendus à partir duquel le micro-entrepreneur dégage un bénéfice.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{12.8};
			\def\yZ{9.2};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.2cm, ystep=0.2cm, line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x/\n in {1/100, 2/200, 3/300, 4/400, 5/500, 6/600, 7/700, 8/800, 9/900, 10/1000, 11/1100, 12/1200}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\n$};
			\foreach \y/\n in {1/500,2/1000, 3/1500, 4/2000, 5/2500, 6/3000, 7/3500, 8/4000, 9/4500}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  $\n$};
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:9.2] plot(\x,{\x});
			\draw[blue] (7,8.5) node {$C_R$};
			\draw (9,0.5) node {Nombre de pots vendus};
			\draw (1.2,8.5) 	node {\begin{tabular}{l}Recette \\ (en euros) \end{tabular}};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:12.6] plot(\x,{3.25/5*\x+1});
			\draw[red] (11,7) node {$C_F$};
			\draw [dashed, red, very thick] (2.8,0) -- (2.8,2.8) -- (0,2.8);
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le micro-entrepreneur dégage un bénéfice à partir de $280$ pots vendus.
				
			\end{conclusion}				
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Trouver le résultat exact par un calcul.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Résolvons l'équation $F(x) \leqslant R(x)$.}
			
			$R$ est une fonction linéaire, ce qui correspond à une situation de proportionnalité, or nous savons que la vente d'un pot donne une recette de $5\ \text{\euro}$ donc: $R(x)=5x$.
			
			\begin{align*}
				F(x) &\leqslant R(x)\\
				3,25x+500 &\leqslant 5x\\
				3,25x +550 {\color{orange}-5x} &\leqslant 5x {\color{orange}-5x}\\
				-1,75x+550 &\leqslant 0\\
				-1,75x+500 {\color{orange}-500} &\leqslant 0{\color{orange}-500}\\
				-1,75x &\leqslant -500\\
				\frac{-1,75x}{\color{orange}-1,75} &\geqslant \frac{-500}{\color{orange}-1,75} \ \text{car } -1,75<0\\
				x &\geqslant \frac{500}{1,75}
			\end{align*}
			
			Or $\frac{500}{1,75} \approx 285,714$ en tronquant donc
			
			\begin{conclusion}
				
				il dégagera un bénéfice à partir de $286$ pots vendus.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D.}

\begin{sujet}
	
	On rappelle la formule suivante:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{11cm}|}
			\hline
			Volume d’un prisme ou d’un cylindre: $V= B \times h$.
			\\
			où $B$ désigne l’aire de la base du prisme ou du cylindre et $h$ sa hauteur.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Les confitures produites sont conditionnées dans des pots. Les pots sont remplis au maximum à $90\ \%$ de leur volume.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le pot n\degres 1 est un cylindre, de hauteur $8\ \mathrm{cm}$ et de diamètre $7\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le volume du pot n\degres 1, en centimètre cube, arrondi à l’entier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ du pot.}
			
			Toutes les longueurs étant exprimées en centimètres:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_1 &= B \times h\\
				&= \left( \pi R^2 \right) \times 8\\
				&= \left( \pi \left(\frac{7}{2} \right)^2 \right) \times 8\\
				&= 98\pi\\
				&\approx 307,876
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_1 \approx 308\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel volume maximum de confiture, en centimètre cube, arrondi à l’entier, peut-il contenir?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $90\ \%$ du pot peut être rempli, le volume maximum de confiture est
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_{1m} &= \frac{90}{100} \times \mathscr{V}_1\\
				&\approx \frac{90}{100} \times 308\\
				&\approx 277,2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_{1m}\approx 277\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le pot n\degres 2 est un prisme (figure A) dont la base (figure B) est un hexagone régulier de centre $O$. Sa hauteur est de $8\ \mathrm{cm}$ et les côtés de l’hexagone régulier mesurent $4\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
				\def\dec{2.7};
				\coordinate (A) at (2,0.6);
				\coordinate (B) at (3.6,0.5);
				\coordinate (C) at (4.6,1.6);
				\coordinate (D) at (3.9,2.7);
				\coordinate (E) at (2.3,2.8);
				\coordinate (F) at (1.3,1.8);
				\coordinate (G) at ({2},{0.6 + \dec});
				\coordinate (H) at ({3.6 },{0.5 + \dec});
				\coordinate (I) at ({4.6},{1.6 + \dec});
				\coordinate (J) at ({3.9},{2.7 + \dec});
				\coordinate (K) at ({2.3 },{2.8 + \dec});
				\coordinate (L) at ({1.3 },{1.8 + \dec});
				\draw [very thick] (F) -- (A) -- (B) -- (C);
				\draw [very thick, dashed] (C) -- (D) -- (E) -- (F);
				\draw [very thick] (G) -- (H) -- (I) -- (J) -- (K) -- (L) -- cycle;
				\draw [very thick] (A) -- (G); 
				\draw [very thick] (B) -- (H);
				\draw [very thick] (C) -- (I);
				\draw [very thick, dashed] (D) -- (J);
				\draw [very thick, dashed] (E) -- (K);
				\draw [very thick] (F) -- (L);
				\draw (3,{\dec+3.5}) node {Figure A: pot n\degres 2};
			\end{tikzpicture} \hspace{0.4cm} \begin{tikzpicture}[scale=0.9]
				\def\rayon{2};
				\def\point{2.5};
				\coordinate (O) at (0,0);
				\draw (0,0.7) node [above] {$O$};
				\foreach \P/\thet in {A/0, B/1, C/2, D/3, E/4, F/5}{
					\coordinate (\P) at ({\rayon*cos(\thet*360/6-120)},{\rayon*sin(\thet*360/6-120)});
					\draw (\P) node {$\bullet$};
					\draw ({\point*cos(\thet*360/6-120)},{\point*sin(\thet*360/6-120)}) node {$\P$};
					\draw (\P) -- (O);
				}
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
				\draw (0,{\rayon + 1}) node {Figure B: base du pot.};
				\coordinate (H) at (0,{-sqrt(3)/2*\rayon});
				\draw (H) node[below] {$H$};
				\draw [dashed] (O) -- (H);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		On admet que les six triangles $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODE$, $OEF$ et $OFA$ sont des triangles équilatéraux. On admet également que l’aire d’un triangle équilatéral ayant des côtés de longueur $x$ est $\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que l’aire de l’hexagone $ABCDEF$ est égale à $24\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_{hex}$ de l'hexagone.}
			
			L'hexagone est formé de $6$ triangles équilatéraux dont l'aire est $\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$ où $x$ est la longueur d'un côté \emph{i.e.} $4\ \mathrm{cm}$.
			
			Nous en déduisons l'aire exprimée en centimètre carré:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_{hex} &= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} x^2\\
				&= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2\\
				&= 24\sqrt{3}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_{hex} =24 \sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire le volume du pot n\degres 2, en centimètre cube, arrondi à l’entier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_2$ du pot n\degres 2.}
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_{2m} &= 24\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2 \times 8\ \mathrm{cm}\\
				&= 24 \times 8 \sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2 \times \mathrm{cm}\\
				&= 192\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^3\\
				&\approx 332,5537\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_{2m} \approx 333\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel volume maximum de confiture, en centimètre cube, arrondi à l’entier, peut-il contenir?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $90\ \%$ du pot peut être rempli, le volume maximum de confiture est
			
			\begin{align*}
			\mathscr{V}_{2m} &= \frac{90}{100} \times \mathscr{V}_2\\
			&\approx \frac{90}{100} \times 333\\
			&\approx 299,7
			\end{align*}i
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_{2m}\approx 300\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Le problème suivant est proposé en classe de cycle 3:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Vincent achète $24$ cartes à jouer pour compléter sa collection. Certaines coûtent $1,25\ \text{\euro}$ pièce et d’autres le double. Sa dépense totale s’élève à $48,75\ \text{\euro}$.
			
			\smallskip
			Combien de cartes de chaque type a-t-il achetées?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un enseignant souhaite utiliser un tableur pour effectuer les calculs. Il propose la feuille de calcul suivante:
		
		{\hspace*{-1.5cm} \includegraphics[scale=0.4]{crpe_2022_maths_externe_sujet_4_01_feuille_de_calcul.png}}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En observant la feuille de calcul ci-dessus, donner la solution du problème.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous observons que le total désiré est atteint dans la cellule $\texttt{E}12$. Nous pouvons lire le nombre de cartes à $1,25\ \text{\euro}$ correspondant en $\texttt{A}12$ et celui de cartes à $2,50\ \text{\euro}$ en $\texttt{C}12$:
			
			\begin{conclusion}
				
				il faut $9$ cartes à $1,25\ \text{\euro}$ et $15$ cartes à $2,50\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Recopier et compléter la ligne $16$ de la feuille de calcul.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item On descend dans la colonne $\texttt{B}$ en ajoutant $1,25$ à chaque ligne.
				
				\item Sur une ligne, la somme des valeurs en $\texttt{A}$ et $\texttt{C}$ doit être de $24$.
				
				\item On descend dans la colonne $\texttt{D}$ en soustrayant $2,50$.
				
				\item Sur une ligne, la valeur en $\texttt{E}$ est la somme des valeurs en $\texttt{B}$ et en $\texttt{D}$.
				
			\end{enumerate}
			
			Finalement:
			
			\begin{conclusion}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					16 & $13$ & $16,25$ & $11$ & $27,5$ & $43,75$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles formules ont pu être écrites dans les cellules $\texttt{B}3$, $\texttt{C}3$, $\texttt{D}3$ et $\texttt{E}3$, pour être ensuite recopiées dans les autres lignes?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item En $\texttt{B}3$:
				
				\begin{conclusion}
					
					$=\texttt{A}3*1,25$
					
				\end{conclusion}
				
				\item En $\texttt{C}3$:
				
				\begin{conclusion}
					
					$=14-\texttt{A}3$
					
				\end{conclusion}
				
				\item En $\texttt{D}3$:
				
				\begin{conclusion}
					
					$=\texttt{C}3*2,50$
					
				\end{conclusion}
				
				\item En $\texttt{E}3$:
				
				\begin{conclusion}
					
					$=\texttt{B}3+ \texttt{D}3$
					
				\end{conclusion}
								
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une élève de CM2 propose la résolution suivante:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
				$24 \times 2,5\ \text{\euro} = 60\ \text{\euro}$\\
				\\
				$60\ \text{\euro} - 48,75\ \text{\euro}=11,25\ \text{\euro}$
				\\
				\\
				$1\ \text{carte à}\ 2,50\ \text{\euro}= 2\ \text{cartes à}\ 1,25\ \text{\euro}$\\
				\\
				$1125\div 125=9$\\
				\\
				$24-9=15$\\
				\\
				Vincent achète donc $9$ cartes à $1,25\ \text{\euro}$ et $15$ cartes à $2,50\ \text{\euro}$.\\
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Expliquer le raisonnement de cette élève.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Déchiffrons ligne par ligne:
		
		\begin{itemize}
			\item Si toutes les cartes coûtaient $2,5\ \text{\euro}$ cela ferait un total de $60\ \text{\euro}$.
			
			\item Cela signifie $11,25\ \text{\euro}$ de trop par rapport au total désiré.
			
			\item Or ces $11,25\ \text{\euro}$ correspondent à $9$ cartes à $1,25\ \text{\euro}$.
			
			\item Il s'agit d'enlever les $9$ cartes qui correspondent aux $11,25\ \text{\euro}$ de trop, il y aura donc $15$ cartes à $2,50\ \text{\euro}$.
			
		\end{itemize}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Répondre au problème en résolvant un système de deux équations à deux inconnues, en notant $x$ le nombre de cartes à $1,25$ euros et $y$ le nombre de cartes à $2,50$ euros.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque le nombre total de carte est $24$ et que la somme totale dépensée est de $48,75$, $x$ et $y$ sont solution du système \[ (S):\ \left\{ \begin{array}{cccccr} x &+& y &=& 24 & {\color{red}(1)} \\ 1,25 x & +& 2,50y &=& 48,75 & {\color{red}(2)} \end{array} \right. \]
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons le système $(S)$ par substitution.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item D'après ${\color{red}(1)}$: \[ x=24-y.\quad {\color{red}(3)}\]
			
			\item En substituant $x$ par cette expression dans ${\color{red}(2)}$: \[ 1,25 {\color{orange}(24-y)} +2,50 y = 48,75. \]
			
			Cette équation du premier degré d'inconnue $y$ équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				1,25 \times 24 - 1,25 \times y +2,50 y &= 48,75\\
				30-1,25y+2,5y &= 48,75\\
				30+1,25y &= 48,75\\
				30+1,25y {\color{orange}-30} &= 48,75 {\color{orange}-30}\\
				1,25y &= 18,75\\
				\frac{1,25y}{\color{orange}1,25} &= \frac{18,75}{\color{orange}1,25}\\
				y &= 15
			\end{align*}
			
			\item En substituant $y$ par cette valeur dans $\color{red}(3)$: \[ x=24-15=9. \]
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut acheter $9$ cartes à $1,25\ \text{\euro}$ et $15$ cartes à$2,50\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante travaille la notion de patron de solides avec ses élèves. Elle souhaite leur faire construire des dés cubiques, de $3\ \mathrm{cm}$ de côté.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève propose d’utiliser ce patron du cube:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
				\def\u{0};
				\def\v{0};
				\def\carre{1};
				\foreach \u/\v in {0/0,1/0,2/0,2/-1,3/-1,4/-1} {
					\draw ({\u},{\v}) -- ({\u+\carre},{\v}) -- ({\u+\carre},{\v+\carre}) -- ({\u},{\v+\carre}) -- cycle;
					}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		À l’aide du logiciel \emph{Scratch}, on souhaite écrire un algorithme permettant de construire ce patron. Le \emph{Lutin} est initialement orienté vers la droite et $1$ pas de \emph{Lutin} mesurera $0,05\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Recopier et compléter, avec les trois nombres manquants, le bloc \og carré \fg{} ci-dessous, permettant de construire le premier carré de gauche, en partant du sommet inférieur gauche.
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{minipage}{0.45\linewidth}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\u{0};
				\def\v{0};
				\def\carre{1};
				\foreach \u/\v in {0/0,1/0,2/0,2/-1,3/-1,4/-1} {
					\draw ({\u},{\v}) -- ({\u+\carre},{\v}) -- ({\u+\carre},{\v+\carre}) -- ({\u},{\v+\carre}) -- cycle;
				}
				\draw (0,0) node {\Huge$\times$};
				\draw (3,-2) node {\large Position initiale du lutin};
				\end{tikzpicture}
				\end{minipage}
				\hfill
				\begin{minipage}{0.45\linewidth}
				\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_4_02_block_carre.sb3}{
					\begin{scratch}[scale=1]
						\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{carré}}
						\blockpen{stylo en position d'écriture}
						\blockrepeat{répéter \ovalnum{...} fois}{
							\blockmove{avancer de \ovalnum{...} pas}
							\blockmove{tourner de  \turnright{} de \ovalnum{...} degrés}
							}
						\blockpen{relever le stylo}
						\blockmove{avancer de \ovalnum{60} pas}
					\end{scratch}
				}
				\end{minipage}
				}
				
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_4_02_block_carre.sb3}{\emph{Cliquez sur ce lien pour télécharger le programme.}}
			
			\medskip
			Un pas mesure $0,005\ \mathrm{cm}$ donc, pour obtenir un segment de $3\ \mathrm{cm}$, il faut avancer de: $\frac{3}{0,05}=60$ pas.
			
			De plus pour obtenir un carré il faut évidemment tourner à angle droit.
			
			\begin{center}
			\begin{scratch}[scale=1]
				\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{carré}}
				\blockpen{stylo en position d'écriture}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}{
					\blockmove{avancer de \ovalnum{60} pas}
					\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
				}
				\blockpen{relever le stylo}
				\blockmove{avancer de \ovalnum{60} pas}
			\end{scratch}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Reproduire le patron et indiquer la position du stylo, à la fin de ce bloc \og carré \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=1]
			\def\u{0};
			\def\v{0};
			\def\carre{1};
			\foreach \u/\v in {0/0,1/0,2/0,2/-1,3/-1,4/-1} {
				\draw ({\u},{\v}) -- ({\u+\carre},{\v}) -- ({\u+\carre},{\v+\carre}) -- ({\u},{\v+\carre}) -- cycle;
			}
			\draw (0,0) node {\Huge$\times$};
			\draw (3,-2) node {Position initiale du lutin};
			\draw[red] (1,0) node {\Huge$\times$};
			\draw [red] (3,2) node {Position finale du lutin};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le bloc \og carré \fg{} étant défini, ordonner, recopier et compléter les instructions ci-dessous pour que l’algorithme permette de construire ce patron de cube.
			
			\begin{center}
			\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
			
			\begin{minipage}{\linewidth}
				\begin{scratch}[scale=1]
				\blockmove{ajouter \ovalnum{ ... } à x}
				\end{scratch}
			\end{minipage}
			&
			\begin{minipage}{\linewidth}
				\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2022_maths_externe_sujet_4_04_repeat.png}
			\end{minipage}
			\\
				
			\begin{minipage}{\linewidth}
				\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2022_maths_externe_sujet_4_04_repeat.png}
			\end{minipage}
			&
			\begin{minipage}{\linewidth}
				\begin{scratch}[scale=1]
					\blockmove{ajouter \ovalnum{ ... } à y}
				\end{scratch}
			\end{minipage}
			\\
			&
			\end{tabular}
					
			\begin{scratch}[scale=1]
				\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
			\end{scratch}
			
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’algorithme ci-dessous permet de représenter un nouveau patron de cube. Dessiner ce patron à main levée.
		
		\begin{center}
			
			\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_4_03_nouveau_patron.sb3}{
			\begin{scratch}[scale=1]
				\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}{
					\blockrepeat{répéter \ovalnum{2} fois}{
						\blockmoreblocks{carré}
						}
					}
					\blockmove{ajouter \ovalnum{-60} à x}
					\blockmove{ajouter \ovalnum{-60} à y}
			\end{scratch}
			}
			
		\end{center}
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2022_maths_externe_sujet_4_05_nouveau_patron.png}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}