%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2022 sujet 3} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2022 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci à Mme Jacquot pour toutes les corrections apportées ainsi qu'à M.Gendry.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Donner la
	bonne réponse en la justifiant.
	
	\emph{Une réponse erronée n’enlève pas de point. Une réponse non justifiée ne rapporte pas de
	point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel est le volume d’un cylindre d’une hauteur de 6 cm et de base un disque d’un diamètre de $8\ \mathrm{cm}$?
		
		\emph{On rappelle que le volume d’un cylindre se calcule avec la formule suivante:} \[ aire\ de \ la \ base \times hauteur. \]
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $48\pi\ \mathrm{cm}^3$.
			
			\task $96\pi\ \mathrm{cm}^3$.
			
			\task $144\pi\ \mathrm{cm}^3$.
			
			\task $384\pi\ \mathrm{cm}^3$.
		
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En utilisant la formule rappelée par l'énoncé (et puisque la base est u cercle de rayon $\frac{8\ \mathrm{cm}}{2}$) nous avons le volume:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V} &= \left[  \pi \left( \frac{8\ \mathrm{cm}}{2}\ \right)^2 \right] \times \left( 6 \ \mathrm{cm} \right)\\
			&= \pi \times \left( \frac{8}{2} \right)^2 \times 6\ \mathrm{cm}^2 \cdot \mathrm{cm}\\
			&= 96\pi \ \mathrm{cm}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse b.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le 1\ier{} juin, Nicolas lance une rumeur en la partageant avec trois personnes. Chaque jour, une personne prévenue la veille prévient trois nouvelles personnes qui ne sont pas encore informées.
		
		Combien de personnes apprennent
		la rumeur le $10$ juin?
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $\np{30}$.
			
			\task $\np{1000}$.
			
			\task $\np{59049}$.
			
			\task $\np{177147}$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En itérant: 
		
		\begin{itemize}
			\item le premier juin $3$ personnes sont prévenues,
			
			\item le deux juin $3 \times 3={\color{orange}3^2}=9$ personnes sont prévenues,
			
			\item les trois juin $3 \times 9={\color{orange}3^3}= 27$ personnes sont prévenues,
			
			\item ...
			
		\end{itemize}
		
		On remarque qu'au jour $n$ ce sont $3^n$ personnes qui sont prévenues.
		
		Donc le $10$ juin: $3^{10} = 59049$ personnes sont prévenues.
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse c.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le prix d’un article subit une hausse de $10\ \%$ suivie d’une baisse de $10\ \%$ quelques semaines plus tard. Au final:
		
		\begin{enumerate}[a)]
			\item le prix de l’article a baissé de $1\ \%$.
			
			\item l’article a retrouvé son prix initial.
			
			\item le prix de l’article a augmenté de $1\ \%$.
			
			\item le prix de l’article a augmenté de $5\ \%$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le taux dévolution global $t_g$ décrivant ces deux évolutions successives.}
		
		{\color{orange}Pour modéliser des augmentations ou diminutions successives le plus simple consiste à travailler avec des coefficients multiplicateurs.}
		
		\medskip
		Une hausse de $10\ \%$ correspond au coefficient multiplicateur de
		
		\begin{align*}
			CM_1 &= 1 + \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{10}{100}\\
			&= 1,10
		\end{align*}
		
		De même une même une baisse de $10\ \%$ correspond au coefficient multiplicateur
		
		\begin{align*}
			CM_2 &= 1+\frac{-10}{100}\\
			&= 0,9
		\end{align*}
		
		Le coefficient multiplicateur global correspondant aux deux évolutions successives est donc:
		
		\begin{align*}
			CM_g &= CM_1 \times CM_2\\
			&= 1,1 \times 0,9\\
			&= 0,99
		\end{align*}
		
		On peut maintenant traduire ce taux d'évolution en un coefficient multiplicateur:
		
		\begin{align*}
			t_g &= 100 \times (CM-1)\\
			&= 100 \times (0,99-1)\\
			&= -1
		\end{align*}
		
		Autrement dit le prix a, globalement baissé de $1\ \%$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse a.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$\dfrac{4}{25}$ est ...
		
		\begin{enumerate}[a)]
			\item un nombre réel mais n’est pas un nombre rationnel.
			
			\item un nombre rationnel mais n’est
			pas un nombre décimal.
			
			\item un nombre décimal mais n’est pas un nombre entier.
			
			\item un nombre entier.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\frac{4}{25}=0,16$ donc c'est un nombre décimal (il admet une écriture décimale finie) mais ce n'est pas un entier (puisqu'il est strictement compris entre $0$ et $1$).
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse c.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le quart de $\dfrac{4}{12}$ est ...
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $\dfrac{1}{3}$.
			
			\task $\dfrac{4}{3}$.
			
			\task $\dfrac{16}{48}$.
			
			\task $\dfrac{4}{48}$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Un quart de $x$ est $\frac{1}{4} \times x$. Donc} un quart de $\frac{4}{12}$ est 
		
		\begin{align*}
			\frac{1}{4} \times \frac{4}{12} &= \frac{1\times 4}{4 \times 12}\\
			&= \frac{4}{48}
		\end{align*}		
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse d.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$\displaystyle \frac{2}{3} \times 5+5 \times \frac{1}{3}$ est égale à
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $5$.
			
			\task $\dfrac{20}{9}$.
			
			\task $\dfrac{15}{15}$.
			
			\task $\dfrac{20}{90}$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Un calcul à la calculatrice permet de trouver la réponse. pour le justifier remarquons une factorisation:
		
		\begin{align*}
			\frac{2}{3} \times {\color{orange}5} + {\color{orange}5} \times \frac{1}{3} &= {\color{orange}5} \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right)\\
			&=5 \times 1\\
			&= 5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse a.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
		
		De plus, $AB = 8\ \mathrm{cm}$ et $AC = 10\ \mathrm{cm}$.
		
		L’aire du triangle $ABC$ est ...
		
		\begin{tasks}(4)
			\task $24\ \mathrm{cm}^2$.
			
			\task $40\ \mathrm{cm}^2$.
			
			\task $48\ \mathrm{cm}^2$.
			
			\task $80\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}$ du triangle $ABC$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item Le triangle est rectangle en $B$ donc la façon la plus simple de calculer son aire est de faire $\mathscr{A}= \frac{1}{2} \times AB \times BC$ puisque les hauteurs de l'angle droit se confondent à les hauteurs.
			
			\item Déterminons $BC$.
			
			$ABC$ est rectangle en $B$ donc, d'après le théorème de Pythagore
			
			\begin{align*}
				AB^2 + BC^2 &= AC^2\\
				\intertext{Nous en déduisons successivement:}
				8^2+BC^2 &= 10^2\\
				64+BC^2 &= 100\\
				BC^2 &= 36\\
				\intertext{$BC$ étant une longueur donc un nombre positif:}
				BC &= \sqrt{36}\\
				BC &= 6
			\end{align*}
			
			Ainsi $BC=6\ \mathrm{cm}$.
			
			\item Nous pouvons maintenant déterminer $\mathscr{A}$.
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A} &= \frac{1}{2} \times AB \times BC\\
				&= \frac{1}{2} \times 8\ \mathrm{cm} \times 6\ \mathrm{cm}\\
				&= \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}\\
				&= 24\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse a.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Célia s’entraîne à courir tous les jours de la semaine sur le même parcours.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Elle aimerait comparer ses résultats d’entraînement sur une semaine à ceux de sa sœur qui s’entraîne également sur le même parcours.
		
		{
			\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabular}{|m{5.5cm}|}
				\hline
				Résultats obtenus par Célia cette semaine:
				\\
				\\
				Lundi: $33\ \mathrm{min}$ et $12$ secondes.
				\\
				Mardi: $32\ \mathrm{min}$ et $4$ secondes.
				\\
				Mercredi: $40\ \mathrm{min}$ et $25$ secondes.
				\\
				Jeudi: $27\ \mathrm{min}$ et $11$ secondes.
				\\
				Vendredi: $30\ \mathrm{min}$.
				\\
				Samedi: $26\ \mathrm{min}$ et $38$ secondes.
				\\
				Dimanche: $29\ \mathrm{min}$ et $1$ secondes.
				\\
				\hline
			\end{tabular} 
			\hspace{0.4cm}
			\begin{tabular}{|m{5cm}|}
				\hline
				Résultats obtenus par sa sœur
				cette semaine:
				\\
				\\
				Moyenne: $31\ \mathrm{min}$ et $13$ secondes.
				\\
				Médiane: $30\ \mathrm{min}$.
				\\
				Étendue: $3\ \mathrm{min}$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comparer les durées moyennes de course.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la durée moyenne, $x_c$, de course de Célia.}
			
			Puisqu'elle a couru $7$ jours:
			
			\begin{align*}
				x_C &= \frac{33\ \mathrm{min} + 12\ \mathrm{s}+ 32\ \mathrm{min}+ 4 \ \mathrm{s}+ \dots + 29\ \mathrm{min} + 1 \ \mathrm{s}}{7}\\
				&= \frac{217\ \mathrm{min} + 91\ \mathrm{s}}{7}\\
				&= \frac{217}{7}\ \mathrm{min} + \frac{91}{7}\ \mathrm{s}\\
				&= 31\ \mathrm{min} +13\ \mathrm{s}
			\end{align*}
			
			Et puisque la moyenne de la sœur est de $31\ \mathrm{min}$ et $13$ secondes
			
			\begin{conclusion}
				
				les durées moyennes des sœurs sont les mêmes.
								
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comparer les durées médianes de course.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la médiane des temps de course de Célia.}
			
			\begin{enumerate} [*]
				\item Ordonnons les temps de course.
				\begin{itemize}
					
					\item Samedi: $26\ \mathrm{min}$ et $38$ secondes.
					
					\item Jeudi: $27\ \mathrm{min}$ et $11$ secondes.
					
					\item Dimanche: $29\ \mathrm{min}$ et $1$ secondes.
					
					\item Vendredi: $30\ \mathrm{min}$.
					
					\item Mardi: $32\ \mathrm{min}$ et $4$ secondes.
					
					\item Lundi: $33\ \mathrm{min}$ et $12$ secondes.
					
					\item Mercredi: $40\ \mathrm{min}$ et $25$ secondes.
					
				\end{itemize}
				
				\item $\frac{7}{2}=3,5$ donc la médiane est la quatrième valeur de la série ordonnée.
				
				\item Le temps médian de Célia est $30\ \mathrm{min}$.
				
			\end{enumerate}
			
			Puisque la médiane de sa sœur est $30\ \mathrm{min}$:
			
			\begin{conclusion}
				
				les deux sœurs ont le même temps médian.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Avec les informations ci-dessus, Célia affirme \og Je suis la seule de nous deux à avoir réussi à effectuer ce parcours en moins de $28$ minutes cette semaine \fg{}. Cette affirmation est-elle vraie ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Un raisonnement par l'absurde.}
			
			\medskip
			Si le minimum de la série de la sœur était de $28\ \mathrm{min}$ alors, l'étendue étant de $3\ \mathrm{min}$ le maximum serait de $31\ \mathrm{min}$.
			
			La moyenne étant inférieure ou égale au maximum ceci serait contradictoire. Nécessairement le minimum est strictement supérieur à $28\ \mathrm{min}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation est vraie.
				
			\end{conclusion}
					
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Avec les informations ci-dessus, sa sœur lui répond \og Moi, j’ai été la plus régulière de nous deux sur la semaine \fg{}. Expliquer ce commentaire.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Pour juger de la régularité il faut regarder si les valeurs sont très éloignées les unes des autres. Il faut donc utiliser un indicateur de dispersion. le seul dont nous disposions est l'étendue.}
			
			\medskip
			L'étendue de la série des durées de Célia est:
			
			\begin{align*}
				e &= 40\ \mathrm{min} + 25\ \mathrm{s} -\left( 26\ \mathrm{min} +38\ \mathrm{s} \right)\\
				&= (40-26)\ \mathrm{min} +(25-38)\ \mathrm{s}\\
				&= 14\ \mathrm{min} -13\ \mathrm{s}\\
				&= 13\ \mathrm{min} +(60-13)\ \mathrm{s}\\
				&= 13\ \mathrm{min} + 47\ \mathrm{s}
			\end{align*}
			
			L'étendue de Célia est (beaucoup) plus importante donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la sœur a été plus régulière.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le parcours d’entraînement de Célia est représenté ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node [below left] {$A$};
				\def\xB{5};
				\def\yB{0};
				\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
				\draw (B) node [below right] {$B$};
				\draw[blue, thick] (A) -- (B);
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(\xB-\xA)/2*cos(\x)+(\xB-\xA)/2},{(\xB-\xA)/2*sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Le diamètre [AB] du demi-cercle
		reliant le point A au point B a pour
		longueur $\np{2 300}\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Représenter le parcours à l’échelle $\dfrac{1}{20000}$. Justifier les mesures retenues pour réaliser la construction à l’échelle.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La mise à l'échelle consiste à appliquer de la proportionnalité sur les longueurs. Il faut trouver le bon coefficient (multiplicateur ou de proportionnalité).}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons la longueur $A'B'$ correspondant à $AB$ après la mise à l'échelle.}
			
			\begin{align*}
				A'B' &= \frac{1}{\np{20000}} \times AB\\
				&= \frac{1}{\np{20000}} \times \np{2300}\ {\color{orange}\mathrm{m}}\\
				&= \frac{\np{2300}}{\np{20000}} {\color{orange}\times 100\ \mathrm{cm}}\\
				&= 11,5\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			Ainsi le rayon du cercle que nous devons dessine est:
			
			\begin{align*}
				\frac{A'B'}{2} &= \frac{11,5\ \mathrm{cm}}{2}\\
				&= 5,75\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			Finalement:
			
			{\hspace*{-2cm}
				\begin{tikzpicture}
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node [below left] {$A$};
				\def\xB{11.5};
				\def\yB{0};
				\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
				\draw (B) node [below right] {$B$};
				\draw[blue, thick] (A) -- (B);
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(\xB-\xA)/2*cos(\x)+(\xB-\xA)/2},{(\xB-\xA)/2*sin(\x)});
				\draw [>=latex, <->] ({\xA},{\yA-1}) -- ({(\xB-\xA)/2)},{\yB-1}) node [midway, below] {$5,75\ \mathrm{cm}$};
				\end{tikzpicture}
			}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la distance du parcours, arrondie à l’unité, est d’environ $\np{5 913}\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}	
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la distance $d_p$ du parcours.}
			
			Le parcours ayant une forme de demi-cercle fermé:
			
			\begin{align*}
				d_p &= \np{2300}\ \mathrm{m} +\frac{1}{2} \times \left(   2 \pi \frac{\np{2300}\ \mathrm{m}}{2} \right)\\
				&\approx 5912,83\ \mathrm{m},\ \text{en tronquant.}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$d_p \approx 5913\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Aujourd’hui, Célia a bouclé le parcours sur une durée de $33$ minutes et $36$ secondes.
			
			Quelle a été sa vitesse moyenne en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$, arrondie au dixième près?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la vitesse moyenne $v_p$.}
			
			\begin{align*}
				v_p &= \frac{d_p}{t_p}
			\end{align*}
			
			où $t_p$ désigne le temps mis pour faire le parcours.
			
			Or
			
			\begin{align*}
				t_p &= 33\ {\color{orange}\mathrm{min}} + 36\ {\color{WildStrawberry}\mathrm{s}}\\
				&= 33{\color{orange}\times\frac{1}{60}\ \mathrm{h}} + 36 {\color{WildStrawberry}\times \frac{1}{3600}\ \mathrm{h}}\\
				&= \left( \frac{33}{60}+ \frac{36}{3600} \right)\ \mathrm{h}\\
				&=\frac{14}{25}\ \mathrm{h}\\
				&= 0,56\ \mathrm{h}
			\end{align*}
			
			et
			
			\begin{align*}
				d_p &\approx 5913\ {\color{orange}\mathrm{m}}\\
				&\approx 5913 {\color{orange}\times \frac{1}{1000}\ \mathrm{km}}\\
				&\approx 5,913\ \mathrm{km}
			\end{align*}
			
			donc
			
			\begin{align*}
				v_p &\approx \frac{5,913\ \mathrm{km}}{0,56\ \mathrm{h}}\\
				&= 10,5589\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1},\ \text{en tronquant.}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_p \approx 10,6\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Célia a l’habitude d’effectuer le parcours dans le sens des aiguilles d’une montre en partant du point $A$. Sur la représentation de la question 2.a., placer les points $L$, $M$ et $N$ correspondants respectivement au quart, à la moitié et aux trois quarts du parcours.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Plutôt que de travailler avec les longueurs réelles pour ensuite les convertir en longueur nous travaillerons avec les longueurs de la figure mise à l'échelle.}
			
			\medskip
			\begin{enumerate}[*]
				\item La longueur $P$ de la représentation du parcours est en centimètre, d'après la question 2.(a):
				
				\begin{align*}
					P &= 2 \times 5,75 + \frac{1}{2} \times 2\pi 5,75\\
					&= (2+\pi)5,75\\
					&\approx 29,6
				\end{align*}
				
				\item $\frac{1}{4} \times 29,6= 7,4$. 
				
				
				\item Ainsi on doit avoir l'arc de cercle $\wideparen{AL} \approx 7,4\ \mathrm{cm}$.
				
				Par rapport au demi-cercle d'extrémités $A$ et $B$ cela représente une proportion de
				
				\begin{align*}
					\alpha &\approx \frac{7,4}{\frac{1}{2} \times 2\pi5,75}\\
					&\approx 0,41
				\end{align*}
				
				Nous en déduisons l'angle correspondant:
				
				\begin{align*}
					\theta &\approx \alpha \times 180\\
					&\approx 73,74
				\end{align*}
				
				En notant $O$ le centre du demi-cercle, nous avons obtenu que $\widehat{AOL} \approx 74\degres$.
				
				\item Donc: $\widehat{AOM} \approx 148\degres$.
				
				\item Le point $N$ n'est a priori pas sur le demi-cercle.
				
				\begin{align*}
					AN &\approx 7,4
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Enfin:
			
			{\hspace*{-2cm}
				\begin{tikzpicture}
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node [below left] {$A$};
				\def\xB{11.5};
				\def\yB{0};
				\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
				\draw (B) node [below right] {$B$};
				\draw[blue, thick] (A) -- (B);
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:180] plot({(\xB-\xA)/2*cos(\x)+(\xB-\xA)/2},{(\xB-\xA)/2*sin(\x)});
				\draw [>=latex, <->] ({\xA},{\yA-1}) -- ({4.1},{\yB-1}) node [midway, below] {$4,1\ \mathrm{cm}$};
				\def\xO{\xB/2};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [below] {$O$};
				\def\xL{\xB/2+\xB/2*cos(180-74)};
				\def\yL{\xB/2*sin(180-74)};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\draw (L) node [above left] {$L$};
				\draw (O) -- (L);
				\draw[samples=100,domain={180-74}:180] plot({\xB/2+0.2*\xB/2*cos(\x)},{0.2*\xB/2*sin(\x)});
				\draw ({\xB/2+0.3*\xB/2*cos(180-37)},{0.3*\xB/2*sin(180-37)}) node {$74\degres$};
				\def\xM{\xB/2+\xB/2*cos(180-148)};
				\def\yM{\xB/2*sin(180-148)};
				\coordinate (M) at ({\xM},{\yM});
				\draw (M) node [above right] {$M$};
				\draw (O) -- (M);
				\draw[samples=100,domain={180-2*74}:{180-74}] plot({\xB/2+0.2*\xB/2*cos(\x)},{0.2*\xB/2*sin(\x)});
				\draw ({\xB/2+0.3*\xB/2*cos(180-74-37)},{0.3*\xB/2*sin(180-74-37)}) node {$74\degres$};
				\draw[samples=100,domain={180-2*74}:{180-74}] plot({\xB/2+0.18*\xB/2*cos(\x)},{0.18*\xB/2*sin(\x)});
				\def\xN{7.4};
				\def\yN{0};
				\coordinate (N) at ({\xN},{\yN});
				\draw (N) node [below right] {$N$};
				\draw (N) node {$\bullet$};
				\end{tikzpicture}
			}
			
			{\color{orange}Morale: pensez à apporter un rapporteur.}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans ce problème, les figures qui sont dessinées ne sont pas représentées à l’échelle.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: installation du potager.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante a le projet d’installer un potager rectangulaire $ADEF$ sur une parcelle de forme triangulaire $ABC$ dans l’enceinte de l’école.
	
	Les points $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ sont tels que:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $AB = 24\ \mathrm{m}$, $AC = 10\ \mathrm{m}$ et $BC = 26\ \mathrm{m}$;
		
		\item $D\in [AB]$, $E \in [BC]$ et $F \in [AC]$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.3, rotate=20]
			\def\AB{24};
			\def\AC{10};
			\def\x{4};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node[ below left] {$A$};
			\def\xB{\AB};
			\def\yB{0};
			\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
			\draw (B) node[ below right] {$B$};
			\def\xC{0};
			\def\yC{\AC};
			\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
			\draw (C) node[ above left] {$C$};
			\def\xD{\x};
			\def\yD{0};
			\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
			\draw (D) node[ below] {$D$};
			\def\xE{\x};
			\def\yE{\AC*(\AB-\x)/\AB};
			\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
			\draw (E) node[ above right] {$E$};
			\def\xF{0};
			\def\yF{\AC*(\AB-\x)/\AB};
			\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
			\draw (F) node[ below left] {$F$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			\draw [pattern=north west lines] (A) -- (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
		\end{tikzpicture}
		
		\emph{La figure ci-dessus n’est pas à l’échelle.}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous connaissons les longueurs des trois côtés de ce triangle donc, pour vérifier qu'il est rectangle, il suffit d'utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $ABC$ est rectangle en $A$.}
		
		D'une part (toutes les grandeurs étant exprimées en mètres): 
		
		\begin{align*}
			CA^2+AB^2 &= 10^2 + 24^2\\
			CA ^2 &= 676 \quad {\color{blue}(1)}
		\end{align*}
		
		et d'autre part:
		
		\begin{align*}
			CB^2 &= 26^2\\
			CB^2 &= 676 \quad {\color{blue}(2)}
		\end{align*}
		
		donc, de  ${\color{blue}(1)}$ et $ {\color{blue}(2)}$, on déduit {\color{orange}l'égalité qui nous permet d'utiliser la réciproque du théorème de Pythagore}): \[ CA^2+AB^2 = CB^2. \]
		
		Donc, d'après le théorème de Pythagore:
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABC$ est rectangle en $A$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Dans la suite de cette partie, on souhaite déterminer où positionner le point $D$ sur $[AB]$ pour que l’aire du rectangle hachuré $ADEF$ soit la plus grande possible.
		
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette partie on considère que $AD = 4,8\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la longueur $DE$ est égale $8\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Pour calculer cette longueur et au su des angles droits nous pouvons penser à de la trigonométrie, au théorème de Thalès, au théorème de Pythagore.
			
			Nous n'avons pas d'information sur les angles non droits donc pas de trigonométrie.
			
			Nous ne connaissons pas $BE$ donc pas de Pythagore.}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons $DE$ en utilisant le théorème de Thalès.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} 
				
				Les points $B$, $D$, $A$ d'une part et $B$, $C$, $E$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
				
				\item {\color{orange}Parallélisme.} Puisque, par construction , $ADEF$ est un rectangle, $(AF) \parallel (DE)$. Autrement dit $(AC) \parallel (DE)$.
				
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{BD}{AB} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{CA}.\]
			
			En ne conservant que ce qui nous intéresse:
			
			\begin{align*}
				\frac{BD}{AB} &= \frac{ED}{CA}\\
				\frac{AB-AD}{24} &= \frac{ED}{10}\\
				\frac{24-4,8}{24} {\color{orange}\times 10} &= \frac{ED}{10} {\color{orange}\times 10}\\
				8 &= ED
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$ED=8\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire l’aire du rectangle $ADEF$ en $\mathrm{m}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(4,8)$ de $ADEF$.}
			
			Puisque $ADEF$ est un rectangle:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(4,8) &= AD \times DE\\
				&= 4,8\ \mathrm{m} \times 8\ \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(4,8)=38,4\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		 
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On note $x$ la longueur, exprimée en mètre, du segment $[AD]$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $DE=10 - \dfrac{5}{12}x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant comme à la question 2.(a):
			
			\begin{align*}
				DE &= 10 \times \frac{24-x}{24}\\
				&= 10 \left( \frac{24}{24} - \frac{x}{24} \right)\\
				&= 10\left( 1-\frac{1}{24}x \right)\\
				&= 10 \times 1 - 10 \times \frac{1}{24}x\\
				&= 10-\frac{10}{24}x
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$DE= 10 - \frac{5}{12}x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire l'aire du rectangle $ADEF$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant comme dans la question 2.(b):
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(x) &= AD \times DE
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(x)= x \times \left( 10 - \frac{5}{12}x \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le graphique ci-dessous représente l’aire, exprimée en mètre carré, du rectangle $ADEF$ en fonction de la longueur $x$ en mètre.
		
		{\hspace*{-1.3cm}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.08]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{31.2};
			\def\yZ{73};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=1cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,30}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {5,10,...,70}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:24] plot(\x,{(10-5/12*\x)*\x});
			\draw (25,-10) node {\footnotesize Longueur $AD$ en $\mathrm{m}$};

			\draw (4,70) node [fill=white] {\footnotesize \begin{tabular}{c} Aire de \\ $ADEF$ en $\mathrm{m}^2$\end{tabular}};
			\end{tikzpicture}
		}
		
		\medskip
		À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l’aire du potager si la longueur $AD$ vaut $5\ \mathrm{m}$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale={2/3*0.4},yscale={2/3*0.08}]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{31.2};
				\def\yZ{73};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,30}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,...,70}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:24] plot(\x,{(10-5/12*\x)*\x});
				\draw (25,-10) node {\footnotesize Longueur $AD$ en $\mathrm{m}$};
				
				\draw (4,70) node [fill=white] {\footnotesize \begin{tabular}{c} Aire de \\ $ADEF$ en $\mathrm{m}^2$\end{tabular}};
				\draw [red, dashed, very thick] (5,0) -- (5,40) -- (0,40);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $AD=5 \ \mathrm{m}$ le potager a une aire de $40\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur $AD$ l’aire du potager est-elle égale à $45\ \mathrm{m}^2$?
			
		\end{sujet}	
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale={2/3*0.4},yscale={2/3*0.08}]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{31.2};
				\def\yZ{73};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,30}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,...,70}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:24] plot(\x,{(10-5/12*\x)*\x});
				\draw (25,-10) node {\footnotesize Longueur $AD$ en $\mathrm{m}$};
				
				\draw (4,70) node [fill=white] {\footnotesize \begin{tabular}{c} Aire de \\ $ADEF$ en $\mathrm{m}^2$\end{tabular}};
				\draw [red, dashed, very thick] (6,0) -- (6,45);
				\draw [red, dashed, very thick] (0,45) -- (31,45);
				\draw [red, dashed, very thick] (18,0) -- (18,45);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire égalera $45\ \mathrm{m}^2$ si l'on choisi $AD=6\ \mathrm{m}$ ou $AD=18\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur $AD$ l’aire du potager est-elle supérieure ou égale à $50\ \mathrm{m}^2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale={2/3*0.4},yscale={2/3*0.08}]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{31.2};
				\def\yZ{73};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,30}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,...,70}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:24] plot(\x,{(10-5/12*\x)*\x});
				\draw (25,-10) node {\footnotesize Longueur $AD$ en $\mathrm{m}$};
				
				\draw (4,70) node [fill=white] {\footnotesize \begin{tabular}{c} Aire de \\ $ADEF$ en $\mathrm{m}^2$\end{tabular}};
				\draw [red, dashed, very thick] (7,0) -- (7,50);
				\draw [red, dashed, very thick] (0,50) -- (31,50);
				\draw [red, dashed, very thick] (17,0) -- (17,50);
				\draw[green, very thick][samples=100,domain=7:17] plot(\x,{(10-5/12*\x)*\x});
				\draw [green, very thick] (7,0) -- (17,0);
				\draw [green] (7,0) node {$[$};
				\draw [green] (17,0) node {$]$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire sera supérieure ou égale à $50\ \mathrm{m}^2$ si $7 \leqslant AD \leqslant 17$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l’aire maximale du potager? Donner la longueur et la largeur du rectangle $ADEF$ correspondant.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale={2/3*0.4},yscale={2/3*0.08}]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{31.2};
				\def\yZ{73};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,30}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\tiny  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,...,70}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\tiny  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:24] plot(\x,{(10-5/12*\x)*\x});
				\draw (25,-10) node {\footnotesize Longueur $AD$ en $\mathrm{m}$};
				
				\draw (4,70) node [fill=white] {\footnotesize \begin{tabular}{c} Aire de \\ $ADEF$ en $\mathrm{m}^2$\end{tabular}};
				\draw [red, dashed, very thick] (12,0) -- (12,60) -- (0,60);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire maximale est de $60\ \mathrm{m}^2$ et cela advient lorsque $AD=12\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: choix du terreau.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, le jardin est assimilé à un rectangle qui a pour longueur $12\ \mathrm{m}$ et pour largeur $5\ \mathrm{m}$. On souhaite entourer le jardin d’une bordure de $30\ \mathrm{cm}$ de hauteur afin de remplir le pavé droit obtenu d’un mélange de terre et de terreau. On négligera, dans cette partie, l’épaisseur de la bordure du jardin.
	
	Le mélange est composé d’un tiers de terreau et de deux tiers de terre.
	
	\begin{center}
		
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\draw[blue] (0,0,2) node {\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2022_maths_externe_sujet_3_01_jardin.png}};
	\draw [>=latex, <->] (-6.1,-1.7) -- (0.2,-3) node [midway, below] {$12\ \mathrm{m}$};
	\draw [>=latex, <->] (0.7,-2.8) -- (3.5,-1.1) node [midway, below right] {$5\ \mathrm{m}$};
	\draw [>=latex, <->] (3.6,-0.9) -- (3.6,-0.1) node [midway, right] {$30\ \mathrm{cm}$};
	\end{tikzpicture}
	
	\begin{notabene}
		\begin{verbatim}
		\def\xY{-7};
		\def\yY{-5};
		\def\xZ{4};
		\def\yZ{2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\end{verbatim}
	\end{notabene}	
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le volume de terreau nécessaire pour le potager est de $6\ \mathrm{m}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}$ de terreau.}
		
		Puisqu'il s'agit d'un pavé droit le volume à remplir est:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_r &= \left( 12\ \mathrm{m}^2 \right) \times \left( 5\ \mathrm{m}  \right) \times \left( 30\ {\color{orange}\mathrm{cm}} \right)\\
			&= 12 \times 5 \times 30 {\color{orange} \times \frac{1}{100}\ \mathrm{m}} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}\\
			&= 18\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		Seul un tiers est à remplir donc:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V} &= \frac{1}{3} \mathscr{V}_r\\
			&= \frac{1}{3} \times 18\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}=6\ \mathrm{m}^3$.
		
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Trois magasins proposent les offres suivantes:
		
		\medskip
		{\hspace*{-1.65cm}
		\begin{tabular}{m{8.5cm}m{4.5cm}}
			\begin{minipage}{\linewidth}
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\hfill \textbf{Magasin 1} \hfill~
			\\
			\\
			Livraison: $20\ \text{\euro}$.
			\\
			\\
			$0,10\ \text{\euro}$ le litre de terreau
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\smallskip
		 
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\hfill \textbf{Magasin 3} \hfill~
			\\
			\\
			Livraison offerte pour tout achat supérieur à $50\ \text{\euro}$.
			\\
			\\
			$5,37\ \text{\euro}$ le sac de $50$ litres de terreau
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\end{minipage}
		
		&
		
		\begin{minipage}{\linewidth}
			
		\begin{tabular}{|m{4cm}|}
			\hline
			\hfill \textbf{Magasin 2} \hfill~
			\\
			\\
			Livraison offerte.
			\\
			\\
			$2,35\ \text{\euro}$ le sac de $20$ litres de terreau.
			\\
			\\
			$20\ \%$ de remise immédiate après l’achat d’une carte de fidélité au prix de $10\ \text{\euro}$.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\end{minipage}
		
		\end{tabular}
		}
		
		Quel magasin choisir pour avoir le tarif, livraison comprise, le plus économique possible pour les $6\ \mathrm{m}^3$ nécessaires ?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Comparons les trois offres.}
		
		Convertissons le volume de terreau en $\ell$.
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V} &= 6\ \mathrm{m}^3\\
			&= 6 \times 1000\ \mathrm{dm}^3\\
			&= 6000\ \ell
		\end{align*}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Pour le magasin 1 le coût est de
			
			\begin{align*}
				C_1 &= 20 +6000\times 0,10\\
				&= 620
			\end{align*}
						
			\item Magasin 2. 
			
			Une remise de $20\ \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de
			
			\begin{align*}
				CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
				&= i1+ \frac{-20}{100}\\
				&= 0,8
			\end{align*}
			
			$6000=300 \times 20$ il faudra donc $300$ sacs de $20\ \ell$.
			
			Nous en déduisons le coût:
			
			\begin{align*}
				C_3 &= 10 + 0,8 \times \left( 300 \times 2,35 \right)\\
				&= 574
			\end{align*}
			
			\item Pour le magasin 3: $6000=120 \times 50$. Il faudra donc $120$ sacs. Nous en déduisons le coût:
			
			\begin{align*}
				C_2 &= 120 \times 5,37\\
			&= 644,4
			\end{align*}
				
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le magasin 2 est le plus économique pour $6\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C : plantation des fleurs.}

\begin{sujet}
	
	Dans la perspective d’offrir des bouquets de fleurs pour la fête de l’école, l’enseignante souhaite planter des graines dans le potager. Dans la classe il y a $26$ élèves et chaque élève
	reçoit $20$ graines à semer.
	
	On a reporté ci-dessous ce que l’on peut lire sur le paquet de graines choisi.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{7cm}|}
			\hline
			Taux de germination des graines: $90\ \%$.
			\\
			\\
			Prix du paquet de graines: $4,53\ \text{\euro}$.
			\\
			\\
			Ce paquet contient $50$ graines.
			\\
			\\
			Période de semis: d'avril à juin.
			\\
			\\
			Hauteur adulte: $50\ \mathrm{cm}$.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	On rappelle que le taux de germination d’un paquet de graines indique le pourcentage de graines qui devraient germer et donc produire une fleur.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Combien de fleurs un élève peut-il espérer voir pousser?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Chaque élève reçoit $20$ graines et le taux de germination est de $90\ \%$ donc le nombre de graines que l'on peut espérer voir pousser est
		
		\begin{align*}
			n_g &= \frac{90}{100} \times 20
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$n_g=18$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel sera le budget à prévoir pour l’achat des graines?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}
			\item Chacun des $26$ élèves recevra $20$ graines il faut donc un total de $26 \times 20=520$ graines.
			
			\item Il y a $50$ graines par paquet et $520=10 \times 50 +20$ donc il faudra acheter $11$ paquet.
			
			\item Chaque paquet valant $4,53\ \text{\euro}$ il faudra payer: $11 \times 4,53\ \text{\euro}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut prévoir un budget de $49,83\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En plus des graines, des bulbes de tulipes et de jonquilles sont plantés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignante en plante sur un sixième du potager puis un peu plus loin sur un huitième de ce même potager.
			
			Un élève affirme que les bulbes représentent plus de $25\ \%$ du potager. A-t-il raison?
			
			Justifier votre réponse.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\frac{1}{6}$ et $\frac{1}{8}$ représentent donc $\frac{1}{6} + \frac{1}{8}= \frac{14}{48}= \frac{7}{24}$.
			
			Comparons cette fraction à $\frac{25}{100}$:
			
			\begin{align*}
				\frac{25}{100} - \frac{7}{24} &= -\frac{1}{24}
			\end{align*}
			
			Puisque $\frac{25}{100} - \frac{7}{24}<0$ il y a plus de $25\ \%$ du potager.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'élève a raison.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Elle met dans un panier $30$ bulbes de jonquilles et des bulbes de tulipes.
			
			La proportion de bulbes de jonquilles dans le panier est de $\dfrac{5}{6}$.
			
			Calculer le nombre de bulbes de tulipes dans ce panier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $x$ le nombre de bulbes dans le panier. Puisque $\frac{1}{6}$ des bulbes sont des tulipes.
			
			Nous avons \[ 30+ \frac{1}{6} x =x. \]
			
			Cette équation (du premier degré) équivaut successivement à
			
			\begin{align*}
				30 +\frac{1}{6}x {\color{orange}-\frac{1}{6}x} &= x {\color{orange}\frac{1}{6}x}\\
				30 &= \frac{5}{6}x\\
				{\color{orange}\frac{6}{5} \times} 30 & = {\color{orange}\frac{6}{5} \times} \frac{1}{6} x\\
				36 &= x
			\end{align*}
			
			Enfin $36-30=6$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il y a $6$ bulbes de tulipes.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Voici un programme écrit avec le logiciel Scratch.
	\begin{center}
		\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_3_02_scratch.sb3}{
			\begin{scratch}[scale=1, num blocks]
				\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
				\blockpen{effacer tout}
				\blockmove{aller à x:\ovalnum{0} y:\ovalnum{0}}
				\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}{
					\blockpen{stylo en position d'écriture}
					\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
					\blockpen{relever le stylo}
					\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
					\blockmove{tourner de  \turnright{} de \ovalnum{90} degrés}
					}
			\end{scratch}
		}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_3_02_scratch.sb3}{\emph{Cliquez sur ce lien pour télécharger le programme.}}

\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Représenter la figure obtenue lorsque le programme est exécuté. On prendra $1\ \mathrm{mm}$ pour $1$ pixel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) -- (1,0);
				\draw (2,0) -- (2,-1);
				\draw (2,-2) -- (1,-2);
				\draw (0,-2) -- (0,-1);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Marie souhaite obtenir la figure ci-dessous où chaque tiret mesure $10$ pixels et est séparé du précédent de $10$ pixels. Quelle(s) modification(s) doit-elle apporter au programme?
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2022_maths_externe_sujet_3_04_scratch_alignes.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{center}
			\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_3_03_scratch_alignes.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=1, num blocks]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blockpen{effacer tout}
					\blockmove{aller à x:\ovalnum{0} y:\ovalnum{0}}
					\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
					\blockrepeat{répéter \ovalnum{8} fois}{
						\blockpen{stylo en position d'écriture}
						\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
						\blockpen{relever le stylo}
						\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
					}
				\end{scratch}
			}
			
			\emph{Cliquez sur le programme pour le télécharger.}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Léo souhaite modifier le programme donné pour que l’on obtienne la figure ci-dessous. 
			
			Quelle(s) modification(s) doit-il apporter au programme de départ?
			
			\begin{center}
				
				\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2022_maths_externe_sujet_3_06_scratch_octogone.png}
				
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			\begin{center}
				\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_3_05_scratch_octogone.sb3}{
					\begin{scratch}[scale=1, num blocks]
						\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
						\blockpen{effacer tout}
						\blockmove{aller à x:\ovalnum{0} y:\ovalnum{0}}
						\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90}}
						\blockrepeat{répéter \ovalnum{8} fois}{
							\blockpen{stylo en position d'écriture}
							\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
							\blockpen{relever le stylo}
							\blockmove{avancer de \ovalnum{10}}
							\blockmove{tourner de  \turnright{} de \ovalnum{45} degrés}
						}
					\end{scratch}
				}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel type de transformation géométrique permet de passer d’un tiret à un autre?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il s'agit d'une rotation de $45\ \degres$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}