%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2022 sujet 2} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}


\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2022 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
		\medskip
		{\color{red}Merci à Mme Elsa R. et Mme Codvelle pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de grande section propose à ses élèves un jeu pour travailler la décomposition et la recomposition de nombres. Le jeu se compose de deux dés cubiques équilibrés et de corps de fourmis à compléter avec des pattes comme sur le dessin ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			&
			\\
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2022_maths_externe_sujet_2_01_fourmi_1.png}
			&
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2022_maths_externe_sujet_2_02_fourmi_2.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	Sur les six faces du premier dé sont inscrits les nombres suivants: $1$ ; $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ et $5$.
	
	Sur les six faces du deuxième dé sont inscrits les nombres suivants: $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ et $5$.
	
	On donne à chaque élève un corps de fourmi et $6$ pattes à fixer sur le corps.
	
	\medskip
	Au début de la partie, chaque élève choisit un nombre compris entre $2$ et $10$. Ce nombre reste le même durant toute la partie. À tour de rôle, chaque élève joue. Il lance les deux dés:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item si la somme des nombres inscrits sur les faces supérieures des deux dés est égale au nombre choisi par cet élève, alors celui-ci fixe une patte à sa fourmi et relance les dés.
		
		\item sinon, c’est au joueur suivant de lancer les dés.
		
	\end{enumerate}
	
	Il donne ensuite les dés au joueur suivant.
	
	La partie se termine lorsqu’un élève a gagné, en fixant les six pattes de sa fourmi.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève choisit un nombre et lance les dés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles sont les différentes sommes qu’il peut obtenir?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Indiquons toutes les sommes possibles avec ces deux dés sous forme d'un tableau (en distinguant les deux faces $1$ et $2$:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					\backslashbox{\color{blue} dé $1$}{\color{red} dé $2$} & \color{red} $1$ & \color{red} $2$ & \color{red} $3$ & \color{red} $4$ & \color{red} $5$ & \color{red} $5$
					\\
					\hline
					\color{blue} $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $6$
					\\
					\hline
					\color{blue} $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $6$
					\\
					\hline
					\color{blue} $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $7$
					\\
					\hline
					\color{blue} $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $8$
					\\
					\hline
					\color{blue} $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $9$
					\\
					\hline
					\color{blue} $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $10$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des sommes possibles est $X(\Omega) =\{ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6;\ 7;\ 8;\ 9;\ 10 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la probabilité qu’il obtienne $8$ est égale à $\dfrac{4}{36}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $E$: \og obtenir une somme de $8$\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E)$.}
			
			Tous les couples de faces des deux dés (en distinguant les deux faces $1$ du premier dé et les deux faces $5$ du second).
			
			Il est donc naturel de modéliser avec une équiprobabilité: toutes les cases du précédent tableau ont la même probabilité d'être obtenus.
			
			Ainsi $E$ est réalisé par $4$ issues sur un total de $36$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(E) &= \frac{4}{36}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E)=\frac{1}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un autre élève choisit le nombre $6$ et lance les dés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité qu’il gagne une patte pour sa fourmi dès son premier lancer?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $F$: \og obtenir une somme de $6$\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(F)$.}
			
			Il y a équiprobabilité entre les couples de faces, $F$ est réalisé par $8$ issues (couples de faces) sur un total de $36$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(F) &= \frac{8}{36}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(F)=\frac{2}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité qu’il gagne deux pattes pour sa fourmi en $2$ lancers?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $F_1$: \og obtenir une somme de $6$ au premier lancer\fg{} et $F_2$: \og obtenir une somme de $6$ au second lancer\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(F_1 \cap F_2)$.}
			
			Il est raisonnable d'estimer que le résultat du second lancer est indépendant de celui du premier donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(F_1 \cap F_2) &= \mathbb{P}(F_1) \times \mathbb{P}(F_2)\\
				\intertext{D'après la question précédente:}
				\mathbb{P}(F_1 \cap F_2) &= \frac{4}{9} \times \frac{4}{9}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(F_1 \cap F_2)=\frac{16}{81}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Eden et Axelle commencent une partie. Eden choisit le nombre $6$ et Axelle choisit un autre
		nombre.
		
	\end{sujet}
	
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Qui a le plus de chance de gagner la partie? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En raisonnant comme dans les questions précédentes nous pouvons déterminer les probabilités de toutes les sommes possibles:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					Sommes & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$
					\\
					\hline
					&&&&&&&&&
					\\
					Probabilité & $\dfrac{2}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{4}{36}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{8}{36}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{4}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{2}{36}$
					\\
					&&&&&&&&&
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			Puisque $6$ est la somme qui a la plus grande probabilité
			
			\begin{conclusion}
				
				Eden a le plus de chance de gagner la partie.
				
			\end{conclusion}
						
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Eden est-il sûr de gagner la partie? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il est possible que la somme choisir par Axelle soit obtenue $6$ fois d'affilée (constitution de la fourmi entière) sans que Eden ne gagne une seule fois.
			
			\begin{conclusion}
				
				Eden n'est pas sûr de gagner la partie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans le cadre d’une liaison écoles-collège, une professeure d’EPS et une professeure des écoles organisent une course à vélo dont le parcours est composé de quatre tronçons en ligne droite.
	
	La figure ci-dessous représente le parcours et n’est pas à l’échelle. Les élèves partent du point $A$ et tournent dans le sens des aiguilles d’une montre. Les dimensions sont les suivantes: \[ AB=960\ \mathrm{m},\ BC=1,05\ \mathrm{km},\ CD=780\ \mathrm{m}\ \text{et}\ AD=660\ \mathrm{m}. \]
	
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A) at (1.3,3.9);
		\draw (A) node [above left] {$A$};
		\coordinate (B) at (4.75,3.9);
		\draw (B) node [above right] {$B$};
		\coordinate (C) at (4.1,0.15);
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\coordinate (D) at (1.7,1.6);
		\draw (D) node [below left] {$D$};
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		\draw (0.3,4.25) node {Départ};
		\draw [line width=0.1cm,>=latex,->] (1.5,4.25) -- (2.5,4.25);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le parcours a pour longueur $\np{3450}\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la longueur $\mathscr{L}_P$ du parcours.}
		
		\begin{align*}
			\mathscr{L}_p &= AB +ABC +CD+ DA\\
			&= 960\ \mathrm{m} + 1,05\ {\color{orange}\mathrm{km}}+ 780\ \mathrm{m} +660\ \mathrm{m}\\
			&= 960\ \mathrm{m} + 1,05\times 1000\  {\color{orange}\mathrm{m}}+ 780\ \mathrm{m} +660\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{L}_P= \np{3450}\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Durant l’épreuve, Léo a réalisé, en $48$ minutes, $2$ tours complets et un tiers de tour du parcours.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la distance parcourue par Léo.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la distance totale, $\mathscr{D}_L$, parcourue par Léo.}
			
			D'après l'énoncé:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{D}_L &= 2 \times \mathscr{L}_P + \frac{1}{3} \times \mathscr{L}_P\\
				&= 2 \times \np{3450}\ \mathrm{m} + \frac{1}{3} \times \np{3450}\ \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{D}_L = \np{8050}\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner la vitesse moyenne de Léo en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la vitesse moyenne, $v_L$, de Léo.}
			
			\begin{align*}
				v_L &= \frac{\mathscr{D}_L}{48\ {\color{orange}\mathrm{min}}}\\
				&= \frac{8050\ {\color{blue}\mathrm{m}}}{48{\color{orange}\times \frac{1}{60}\ \mathrm{h}}}\\
				&= \frac{8050{\color{blue}\times \frac{1}{1000}\ \mathrm{km}}}{\frac{48}{60}\ \mathrm{h}}\\
				&= \frac{\frac{8050}{1000}}{\frac{48}{60}}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{m}}\\
				&= \frac{161}{16}\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_L= 10,0625\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En gardant la même vitesse moyenne, Léo aura-t-il parcouru $15\ \mathrm{km}$ en moins d’une heure et demie? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le temps $t_L$ qu'aurait mis Léo à parcourir $15\ \mathrm{km}$.}
			
			\begin{align*}
				v_L &= \frac{15\ \mathrm{km}}{t_L}\\
				v_L {\color{orange} \times t_L} &= \frac{15\ \mathrm{km}}{t_L} {\color{orange} \times t_L}\\
				v_L \times t_L &= 15\ \mathrm{km}\\
				\frac{v_L \times t_L}{\color{blue}v_L} &= \frac{15\ \mathrm{km}}{\color{blue}v_L}\\
				t_L &= \frac{15\ \mathrm{km}}{10,0625\ \mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}}\\
				t_L &= \frac{15}{10,0625}\ \mathrm{km} \cdot \mathrm{km}^{-1} \cdot \mathrm{h}\\
				t_L &\approx 1,49068\ \mathrm{h}
			\end{align*}
			
			Donc $t_L<1,5\ \mathrm{h}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Léo aurait effectivement parcouru $15\ \mathrm{km}$ en moins d'une heure et demie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une épreuve en relais est ensuite proposée. Tara parcourt les distances $AB$ et $BC$ à une vitesse moyenne de $10\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ et Kevin parcourt les distances $CD$ et $DA$ à une vitesse moyenne de $6\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
		Quelle est la vitesse moyenne de ce binôme sur l’ensemble du parcours? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons leur vitesse moyenne $v_m$.}
		
		Commençons par déterminer le temps mis pour faire le parcours.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $AB+BC=960\ \mathrm{m} + 1050\ \mathrm{m}= 2010\ \mathrm{m}= 2,01\ \mathrm{km}$.
			
			Le temps mis par Tara pour parcourir cette distance est:
			
			\begin{align*}
				t_T &= \frac{ 2,01\ \mathrm{km}}{ 10 \ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1} }\\
				&= \frac{2,01}{10}\ \mathrm{h}\\
				&= 0,201\ \mathrm{h}
			\end{align*}
			
			\item $CD+DA=780\ \mathrm{m} +660\ \mathrm{m}= 1440\ \mathrm{m}= 1,44\ \mathrm{km}$
			
			Le temps mis par Kevin pour parcourir cette distance est:
			
			\begin{align*}i
				t_K &= \frac{ 1,44\ \mathrm{km}}{ 6 \ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1} }\\
				&= \frac{1,44}{6}\ \mathrm{h}\\
				&= 0,24\ \mathrm{h}
			\end{align*}
			
			\item Ainsi le temps de parcours total est $t_P=0,201\ \mathrm{h}+0,24\ \mathrm{h}= 0,441\ \mathrm{h}$.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons la vitesse moyenne
		
		\begin{align*}
			v_m &= \frac{3,45\ \mathrm{km}}{0,441\ \mathrm{h}}\\
			&\approx 7,8 23129252\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v_m\approx 7,823\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La diagonale $[BD]$ mesure $1,05\ \mathrm{km}$. Représenter le parcours à l’échelle $\dfrac{1}{\np{20 000}}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La longueur $BD$ sera représentée par une longueur de
			
			\begin{align*}
				\ell_{BD} &= BD \times \frac{1}{20000}\\
				&= 1050\times \frac{1}{20000}\ \mathrm{m}\\
				&= 0,0525\ \mathrm{m}\\
				&= 0,0525 \times 100\ \mathrm{cm}\\
				&= 5,25\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			En procédant de même pour les autres longueurs:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
					\hline
					Nom & $AB$ & $BC$, $BD$ & $CD$ & $AD$
					\\
					\hline
					Distances réelles (en $\mathrm{m}$) & 960 & 1050 & 780 & 660
					\\
					\hline
					À l'échelle (en $\mathrm{cm}$) & $4,8$ & $5,25$ & $3,9$ & $3,3$ 
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			{\color{orange}Il n'y a plus qu'à dessiner $[AB]$, puis $D$ (comme troisième sommet de $ABD$ avec un compas), et enfin $C$ (comme troisième sommet de $BCD$ avec un compas).}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
					\def\xA{0};
					\def\yA{0};
					\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
					\def\xB{4.8};
					\def\yB{0};
					\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
					\def\thet{acos((3.3*3.3 +4.8*4.8- 5.25*5.25)/(2*4.8*3.3))};
					\def\xD{3.3*cos(\thet)};
					\def\yD{-3.3*sin(\thet)};
					\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
					\draw (A) -- (B) -- (D) -- (A) ;
					\def\alp{acos((5.25*5.25 +4.8*4.8- 3.3*3.3)/(2*4.8*5.25))};
					\def\bet{acos((5.25*5.25 +5.25*5.25- 3.9*3.9)/(2*5.25*5.25))};
					\def\xC{4.8-5.25*cos(\alp+\bet)};
					\def\yC{-5.25*sin(\alp + \bet)};
					\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
					\draw (B) -- (C) -- (D);
					\draw (A) node [above left] {$A$};
					\draw (B) node [above right] {$B$};
					\draw (C) node [below right] {$C$};
					\draw (D) node [below left] {$D$};
					\draw[dashed][samples=100,domain=-90:-70] plot({3.3*cos(\x)},{3.3*sin(\x)});
					\draw[dashed][samples=100,domain=210:230] plot({4.8+5.25*cos(\x)},{5.25*sin(\x)});
					\draw[dashed][samples=100,domain=-40:-20] plot({\xD + 3.9*cos(\x)},{\yD+3.9*sin(\x)});
					\draw[dashed][samples=100,domain=-110:-90] plot({4.8+5.25*cos(\x)},{5.25*sin(\x)});
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Amina a roulé à vélo pendant $25$ minutes à une vitesse moyenne de $11,5\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
			
			Placer sur la figure tracée à la question 4.a. le point $S$ à l’endroit où se trouve Amina au bout de sa course. Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la distance, $d_A$, parcourue par Amina.}
			
			\begin{align*}
				d_A &= v \times t\\
				&= \left( 11,5\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1} \right) \times \left( 25\ \mathrm{min} \right)\\
				&= \left( 11500\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{h}^{-1} \right) \times \left( \frac{25}{60}\ \mathrm{h} \right)\\
				&= 11500 \times \frac{25}{60}\ \mathrm{m} \cdot \mathrm{h}^{-1} \cdot \mathrm{h}\\
				&= \frac{14375}{3}\ \mathrm{m}\\
				&= 4791,666\dots\ \mathrm{m}\\
				\intertext{Nous remarquons que:}
				d_A &= 3450\ \mathrm{m}+ 960\ \mathrm{m} +381,666\dots\ \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			Ainsi Amina a parcourue un tour complet, la distance $AB$ et sur le trajet de $B$ à $C$ elle a encore parcourue $381,666\dots\ \mathrm{m}$.
			
			Or
			
			\begin{align*}
				381,666\dots\ \mathrm{m} \times \frac{1}{20000} &= 0,01908333\dots \ \mathrm{m}\\
				&= 1,908333\dots\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			donc
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\def\xB{4.8};
				\def\yB{0};
				\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
				\def\thet{acos((3.3*3.3 +4.8*4.8- 5.25*5.25)/(2*4.8*3.3))};
				\def\xD{3.3*cos(\thet)};
				\def\yD{-3.3*sin(\thet)};
				\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
				\draw (A) -- (B) -- (D) -- (A) ;
				\def\alp{acos((5.25*5.25 +4.8*4.8- 3.3*3.3)/(2*4.8*5.25))};
				\def\bet{acos((5.25*5.25 +5.25*5.25- 3.9*3.9)/(2*5.25*5.25))};
				\def\xC{4.8-5.25*cos(\alp+\bet)};
				\def\yC{-5.25*sin(\alp + \bet)};
				\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
				\draw (B) -- (C) -- (D);
				\draw (A) node [above left] {$A$};
				\draw (B) node [above right] {$B$};
				\draw (C) node [below right] {$C$};
				\draw (D) node [below left] {$D$};
				\def\xV{4.8+1.908333*(\xC-\xB)/sqrt( (\xC-\xB)*(\xC-\xB) + (\yC-\yB)*(\yC-\yB))};
				\def\yV{0+ 1.908333*(\yC-\yB)/sqrt( (\xC-\xB)*(\xC-\xB) + (\yC-\yB)*(\yC-\yB))};
				\coordinate (V) at ({\xV},{\yV});
				\draw (V) node [below right] {Amina};
				\draw (V) node {$\bullet$};
				\draw [>=latex,<->] ({\xV+0.25},{\yV-0.1}) -- ({\xB+0.25},{\yB-0.1}) node [midway, below, sloped] {$\approx 1,9\ \mathrm{cm}$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	On considère un pavé droit $ABCDA’B’C’D’$ avec $DD’ = 5\ \mathrm{cm}$; $DC = 6\ \mathrm{cm}$ et $DA = 7\ \mathrm {cm}$.
	
	On note $L$ le point d’intersection des diagonales $[AC]$ et $[BD]$.
	
	On souhaite creuser ce pavé, en retirant une pyramide $OABCD$ de hauteur $[OL]$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
			%Paramètres de perspective cavalière
			\def\fui{30};
			\def\cm{0.5};
			%Données de l'énoncé.
			\def\DC{6};
			\def\DA{7*\cm};
			\def\DD{5};
			%La longueur variable OL.
			\def\OL{3};
			%Création des coordonnées des divers points.
			\def\xDb{0};
			\def\yDb{0};
			\coordinate (Db) at ({\xDb},{\yDb});
			\def\xCb{\DC};
			\def\yCb{0};
			\coordinate (Cb) at ({\xCb},{\yCb});
			\def\xBb{\DC+ \DA * cos(\fui)};
			\def\yBb{\DA * sin(\fui)};
			\coordinate (Bb) at ({\xBb},{\yBb});
			\def\xAb{\DA * cos(\fui)};
			\def\yAb{\DA * sin(\fui)};
			\coordinate (Ab) at ({\xAb},{\yAb});
			\def\xDa{0};
			\def\yDa{\DD};
			\coordinate (Da) at ({\xDa},{\yDa});
			\def\xCa{\DC};
			\def\yCa{\DD};
			\coordinate (Ca) at ({\xCa},{\yCa});
			\def\xBa{\DC+ \DA * cos(\fui)};
			\def\yBa{\DD+\DA * sin(\fui)};
			\coordinate (Ba) at ({\xBa},{\yBa});
			\def\xAa{\DA * cos(\fui)};
			\def\yAa{\DD+\DA * sin(\fui)};
			\coordinate (Aa) at ({\xAa},{\yAa});
			\def\xO{(\xDa+\xBa)/2};
			\def\yO{(\yDa+\yBa)/2-\OL};
			\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
			\def\xL{(\xDa+\xBa)/2};
			\def\yL{(\yDa+\yBa)/2};
			\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
			%Dessin des lignes polygonales.
			\draw [dashed] (Da) -- (O) -- (Ba);
			\draw [dashed] (Aa) -- (O) -- (Ca);
			\draw [dotted] (Db) -- (Ab) -- (Bb);
			\draw [dotted] (Ab) -- (Aa);
			\draw [dotted] (Db) -- (Ab) -- (Bb);
			\draw [dotted] (L) -- (O);
			\draw [dotted, thick] (Da) -- (Ba);
			\draw [dotted, thick] (Aa) -- (Ca);
			\draw (Da) -- (Ca) -- (Ba) -- (Aa) -- (Da) -- (Db) -- (Cb) -- (Bb) -- (Ba);
			\draw (Ca) -- (Cb);
			%Noms des points.
			\draw (Db) node [below] {$D'$};
			\draw (Cb) node [below right] {$C'$};
			\draw (Bb) node [right] {$B'$};
			\draw (Ab) node [above left] {$A'$};
			\draw (Da) node [above left] {$D$};
			\draw (Ca) node [above] {$C$};
			\draw (Ba) node [above right] {$B$};
			\draw (Aa) node [above right] {$A$};
			\draw (O) node [below] {$O$};
			\draw (L) node [above] {$L$};
		\end{tikzpicture}
			
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, on suppose que $OL = 4\ \mathrm{cm}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $AL \approx 4,6\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $AL$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Déterminons d'abord $AC$.
			
			Puisque le solide est un pavé droit, $ADC$ est rectangle en $D$. Par conséquent, d'après le théorème de Pythagore: \[ AC^2 = AD^2 +DC^2.\]
			
			Nous en déduisons (toutes les longueurs étant exprimées en centimètre):
			
			\begin{align*}
				AC^2 &= 7^2 + 6^2\\
				&= 85\\
				\intertext{Puisque $AC$ est une longueur, c'est un nombre positif et donc}
				AC &= \sqrt{85}
			\end{align*}
			
			\item Puisque le solide est un pavé droit $ABCD$ est un parallélogramme. Donc ses diagonales se coupent en leu milieu. Autrement dit $L$ est le milieu de $[AC]$. Par conséquent:
			
			\begin{align*}
				AL &= \frac{1}{2} AC\\
				&= \frac{1}{2}\sqrt{85}\ \mathrm{cm}\\
				&\approx 4,60977\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AL\approx 4,6\ \mathrm{cm}$.
			i
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Construire le triangle $ALO$ en vraie grandeur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Traçons le segment $[AC]$ tel que $AC\approx 9,2\ \mathrm{cm}$, puis sa médiatrice $d$ (passant par $L$) avec le compas, enfin plaçons sur cette médiatrice $O$ tel que $OL=4\ \mathrm{cm}$.}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\def\AL{sqrt(85)/2}:
				\def\xA{-\AL};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\def\xL{0};
				\def\yL{0};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\def\xC{\AL};
				\def\yC{0};
				\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
				\def\xO{0};
				\def\yO{4};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (A) node [below left] {$A$};
				\draw (A) node {$|$};
				\draw (C) node [below right] {$C$};
				\draw (C) node {$|$};
				\draw (L) node [below left] {$L$};
				\draw (O) node [above left] {$O$};
				\draw (O) node {$\times$};
				\draw (A) -- (C);
				\draw [blue, very thin] (A) -- (L) -- (O) -- cycle;
				\draw[dashed][samples=100,domain=25:50] plot({\xA+1.25*\AL*cos(\x)},{\yA+1.25*\AL*sin(\x)});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-50:-25] plot({\xA+1.25*\AL*cos(\x)},{\yA+1.25*\AL*sin(\x)});
				\draw[dashed][samples=100,domain={180-50}:{180-25}] plot({\xC+1.25*\AL*cos(\x)},{\yC+1.25*\AL*sin(\x)});
				\draw[dashed][samples=100,domain={-180+25}:{-180+50}] plot({\xC+1.25*\AL*cos(\x)},{\yC+1.25*\AL*sin(\x)});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-5:5] plot({0},{\x}) node [above right] {$d$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le volume de la pyramide $OABCD$.
			
			\emph{On rappelle que le volume d’une pyramide est égal au tiers du produit de l’aire de sa
			base par sa hauteur.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_p$ de la pyramide $OABCD$.}
			
			Puisque $OL$ est la hauteur de cette pyramide:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_p &= \frac{1}{3} \times OL \times \mathscr{A}(ABCD),
			\end{align*}
			
			où $\mathscr{A}(ABCD)$ désigne l'aire délimitée par le quadrilatère $ABCD$.
			
			Or $ABCD$ est un rectangle donc:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ABCD) &= DA \times DC\\
				&= \left( 7\ \mathrm{cm} \right) \times \left( 6\ \mathrm{cm} \right)\\
				&= 7 \times 6\ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}\\
				&= 42\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			Nous en déduisons
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_p &= \frac{1}{3} \times 4\ \mathrm{cm} \times 42\ \mathrm{cm}^2\\
				&= \frac{1}{3} \times 4 \times 42 \ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_p=56\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le volume du pavé creusé.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_{pc}$ du pavé creusé.}
			
			En notant $\mathscr{V}_{\text{pavé}}$ le volume du pavé droit nous avons
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_{pc} &= \mathscr{V}_{\text{pavé}} - \mathscr{V}_p
			\end{align*}
			
			Or:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_{\text{pavé}} &= DD' \times DC \times DA\\
				&= 5\ \mathrm{cm} \times 6\ \mathrm{cm} \times 7\ \mathrm{cm}\\
				&= 5 \times 6 \times 7\ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}\\
				&= 210\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			donc
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_{pc} &= 210\ \mathrm{cm}^3 - 56\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_{pc}=154\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, on pose $OL = x$, où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $5$. Le pavé creusé que l’on obtient est le socle en bois d’un trophée. Sur ce socle, on pose une pyramide en verre $OEFGH$ qui est un agrandissement de la pyramide $OABCD$ de rapport $2$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Paramètres de perspective cavalière
		\def\fui{30};
		\def\cm{0.5};
		%Données de l'énoncé.
		\def\DC{6};
		\def\DA{7*\cm};
		\def\DD{5};
		%La longueur variable OL.
		\def\OL{3.5};
		%Création des coordonnées des divers points.
		\def\xDb{0};
		\def\yDb{0};
		\coordinate (Db) at ({\xDb},{\yDb});
		\def\xCb{\DC};
		\def\yCb{0};
		\coordinate (Cb) at ({\xCb},{\yCb});
		\def\xBb{\DC+ \DA * cos(\fui)};
		\def\yBb{\DA * sin(\fui)};
		\coordinate (Bb) at ({\xBb},{\yBb});
		\def\xAb{\DA * cos(\fui)};
		\def\yAb{\DA * sin(\fui)};
		\coordinate (Ab) at ({\xAb},{\yAb});
		\def\xDa{0};
		\def\yDa{\DD};
		\coordinate (Da) at ({\xDa},{\yDa});
		\def\xCa{\DC};
		\def\yCa{\DD};
		\coordinate (Ca) at ({\xCa},{\yCa});
		\def\xBa{\DC+ \DA * cos(\fui)};
		\def\yBa{\DD+\DA * sin(\fui)};
		\coordinate (Ba) at ({\xBa},{\yBa});
		\def\xAa{\DA * cos(\fui)};
		\def\yAa{\DD+\DA * sin(\fui)};
		\coordinate (Aa) at ({\xAa},{\yAa});
		\def\xO{(\xDa+\xBa)/2};
		\def\yO{(\yDa+\yBa)/2-\OL};
		\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
		\def\xL{(\xDa+\xBa)/2};
		\def\yL{(\yDa+\yBa)/2};
		\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
		%Dessin des lignes polygonales.
		\draw [dashed] (Da) -- (O) -- (Ba);
		\draw [dashed] (Aa) -- (O) -- (Ca);
		\draw [dotted] (Db) -- (Ab) -- (Bb);
		\draw [dotted] (Ab) -- (Aa);
		\draw [dotted] (Db) -- (Ab) -- (Bb);
		\draw [dotted] (L) -- (O);
		\draw [dotted, thick] (Da) -- (Ba);
		\draw [dotted, thick] (Aa) -- (Ca);
		\draw (Da) -- (Ca) -- (Ba) -- (Aa) -- (Da) -- (Db) -- (Cb) -- (Bb) -- (Ba);
		\draw (Ca) -- (Cb);
		%Noms des points.
		\draw (Db) node [below] {$D'$};
		\draw (Cb) node [below right] {$C'$};
		\draw (Bb) node [right] {$B'$};
		\draw (Ab) node [above left] {$A'$};
		\draw (Da) node [below left] {$D$};
		\draw (Ca) node [above] {$C$};
		\draw (Ba) node [below right] {$B$};
		\draw (Aa) node [above right] {$A$};
		\draw (O) node [below] {$O$};
		\draw (L) node [above] {$L$};
		%Création des coordonnées des nouveaux points.
		\def\xH{2*((\xDa)-(\xO))+(\xO)};
		\def\yH{2*((\yDa)-(\yO))+(\yO)};
		\coordinate (H) at ({\xH},{\yH});
		\def\xG{2*((\xCa)-(\xO))+(\xO)};
		\def\yG{2*((\yCa)-(\yO))+(\yO)};
		\coordinate (G) at ({\xG},{\yG});
		\def\xF{2*((\xBa)-(\xO))+(\xO)};
		\def\yF{2*((\yBa)-(\yO))+(\yO)};
		\coordinate (F) at ({\xF},{\yF});
		\def\xE{2*((\xAa)-(\xO))+(\xO)};
		\def\yE{2*((\yAa)-(\yO))+(\yO)};
		\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
		%Dessin des nouvelles lignes polygonales.
		\draw (H) -- (G) -- (F) -- (E) --cycle;
		\draw (H) -- (Da);
		\draw (G) -- (Ca);
		\draw (F) -- (Ba);
		\draw [dashed] (E) -- (Aa);
		%Noms des nouveaux points.
		\draw (H) node [above left] {$H$};
		\draw (G) node [above] {$G$};
		\draw (F) node [above right] {$F$};
		\draw (E) node [above right] {$E$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Exprimer le volume de la pyramide $OABCD$ en fonction de $x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En reprenant le raisonnement de A.3.(a), avec $OL=x$, nous obtenons que 
		
		\begin{conclusion}
			
			le volume, exprimé en $\mathrm{cm}^3$, est $\mathscr{V}_p= 14x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le volume du socle en bois est $210-14x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En reprenant le raisonnement de A.3.(b) nous obtenons que:
		
		\begin{conclusion}
			
			le volume, exprimé en $\mathrm{cm}^3$, est $\mathscr{V}_{pc}= 210- 14x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le volume de la pyramide en verre $OEFGH$ est $112x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque $OEFGH$ est un agrandissement de $OABCD$ de rapport $2$, le volume, $\mathscr{V}_P$, de $OEFGH$ est, en centimètre cube:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_P &= 2^3 \times \mathscr{V}_p\\
			&= 2^3 \times 14x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_P=112x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle valeur choisir pour $x$, pour que le volume de la pyramide en verre soit égal au double du volume du socle en bois?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		On souhaite $x$ tel que: $\mathscr{V}_P=2 \mathscr{V}_{pc}$.
		
		Cette égalité équivaut successivement à
		
		\begin{align*}
			112x &= 2 \times (210-14x)\\
			112x &= 2 \times 210 -2 \times 14x\\
			112x &= 420-28x\\
			112x {\color{orange} +28x} &= 420- 28x {\color{orange}+28x}\\
			140x &= 420\\
			\frac{140x}{\color{orange}140} &= \frac{420}{\color{orange}140}\\
			x &= 3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut choisir $x=3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout $x$ compris entre $0$ et $5$ par: \[ f(x)=210-14x \] et \[ g(x)= 112x. \]
		
		On a représenté dans un repère orthogonal ces deux fonctions.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=1]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{5.1};
			\def\yZ{6.20};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.20cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=1																				cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {0.5, 1,...,5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{100*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5] plot(\x,{1.12*\x});
			\draw[blue] (4.2,5.7) node {$D_2$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:5] plot(\x,{2.10-0.14*\x});
			\draw[red] (4.8,1.75) node {$D_1$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer quelle fonction ($f$ ou $g$) est représentée par chacune des droites $D_1$ et $D_2$? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$f$ et $g$ sont des fonctions affines. Cependant $g$ est linéaire donc sa courbe représentative passe par l'origine du repère. Nécessairement 
			
			\begin{conclusion}
				
				$D_2$ est la courbe représentative de $g$ et donc $D_1$ est celle de $f$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer avec la précision permise par le graphique les valeurs de $x$ pour lesquelles le volume du socle en bois est inférieur ou égal au volume de la pyramide en verre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=1]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{5.1};
				\def\yZ{6.20};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.20cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=1																				cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0.5, 1,...,5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{100*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5] plot(\x,{1.12*\x});
				\draw[blue] (4.2,5.7) node {$\mathscr{C}_g$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:5] plot(\x,{2.10-0.14*\x});
				\draw[red] (4.8,1.75) node {$\mathscr{C}_f$};
				\draw [dashed, green, very thick] ({5/3},0) -- ({5/3},{1.12*5/3});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le volume du socle en bois est inférieur ou égal au volume de la pyramide en verre pour $x\geqslant 1,65$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Retrouver le résultat précédent en posant puis en résolvant une inéquation.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				g(x) &\geqslant f(x)\\
				\intertext{équivaut successivement à:}
				112x &\geqslant 210-14x\\
				112x {\color{orange}+14x} &\geqslant 210-14x {\color{orange}+14x}\\
				126x &\geqslant 210\\
				\frac{126x}{126} &\geqslant \frac{210}{\color{orange}126}\\
				x &\geqslant \frac{5}{3}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$x\in \left[ \frac{5}{3}; 5 \right]$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Adam a réalisé le programme ci-dessous à l’aide du logiciel Scratch.
		\begin{center}
			\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_2_03_scratch.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=1]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blocksensing{demander \ovalnum{Choisis un nombre} et attendre}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{nombre départ} à \ovalsensing{réponse}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 1} à \ovaloperator{\ovalnum{2}*\ovalvariable{nombre départ}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 2} à \ovaloperator{\ovalvariable{valeur 1} + \ovalnum{3}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 3} à \ovaloperator{\ovalvariable{nombre départ} - \ovalnum{2}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{valeur 2} * \ovalvariable{valeur 3}}}
					\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{Le résultat du programme est} et \ovalvariable{résultat}}}
				\end{scratch}
			}
		\end{center}
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_2_03_scratch.sb3}{\emph{Cliquez sur ce lien pour télécharger le programme.}}
		
	\end{correction}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si le nombre de départ est $3$, le résultat est égal à 9.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Considérons un tableau d'état des variables du programme.
			
			{\hspace*{-1.5cm}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			\rotatebox{90}{Lignes de codes.}
			&
			\rotatebox{90}{
				\footnotesize
				\begin{scratch}
					\blocksensing{demander \ovalnum{Choisis un nombre} et attendre}
			\end{scratch}}	
			&
			\rotatebox{90}{
				\footnotesize
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{nombre départ} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}}				
			&
			\rotatebox{90}{
				\footnotesize
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 1} à \ovaloperator{\ovalnum{2}*\ovalvariable{nombre départ}}}
			\end{scratch}}
			&
			\rotatebox{90}{
				\footnotesize
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 2} à \ovaloperator{\ovalvariable{valeur 1} + \ovalnum{3}}}
			\end{scratch}}
			&
			\rotatebox{90}{
				\footnotesize
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 3} à \ovaloperator{\ovalvariable{nombre départ} - \ovalnum{2}}}
			\end{scratch}}
			&
			\rotatebox{90}{
				\footnotesize
				\begin{scratch}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{valeur 2} * \ovalvariable{valeur 3}}}
			\end{scratch}}
			\\
			\hline
			\footnotesize \ovalsensing{réponse} & $3$ & $3$ & $3$ & $3$ & $3$ & $3$
			\\
			\hline
			\footnotesize \ovalvariable{nombre départ} & & $3$ & $3$ & $3$ & $3$ & $3$
			\\
			\hline
			\footnotesize \ovalvariable{valeur 1} & && $2 \times 3=6$ & $6$ & $6$ & $6$ 
			\\
			\hline	
			\footnotesize \ovalvariable{valeur 2} & &&& $6+3=9$ & $9$ & $9$ 
			\\
			\hline
			\footnotesize \ovalvariable{valeur 3} & &&&& $3-2=1$ & $1$
			\\
			\hline
			\footnotesize \ovalvariable{résultat} & &&&&& $9 \times 1=9$
			\\
			\hline
			\end{tabular}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le nombre de départ est $3$ alors le résultat est $9$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le résultat donné par le programme si le nombre de départ est $2,4$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			~
						
			{\footnotesize \hspace*{-2cm}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					\rotatebox{90}{Lignes de codes.}
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blocksensing{demander \ovalnum{Choisis un nombre} et attendre}
					\end{scratch}}	
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blockvariable{mettre \selectmenu{nombre départ} à \ovalsensing{réponse}}
					\end{scratch}}				
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 1} à \ovaloperator{\ovalnum{2}*\ovalvariable{nombre départ}}}
					\end{scratch}}
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 2} à \ovaloperator{\ovalvariable{valeur 1} + \ovalnum{3}}}
					\end{scratch}}
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 3} à \ovaloperator{\ovalvariable{nombre départ} - \ovalnum{2}}}
					\end{scratch}}
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{valeur 2} * \ovalvariable{valeur 3}}}
					\end{scratch}}
					\\
					\hline
					\footnotesize \ovalsensing{réponse} & $2,4$ & $2,4$ & $2,4$ & $2,4$ & $2,4$ & $2,4$
					\\
					\hline
					\footnotesize \ovalvariable{nombre départ} & & & $2,4$ & $2,4$ & $2,4$ & $2,4$
					\\
					\hline
					\footnotesize \ovalvariable{valeur 1} & && $2 \times 2,4=4,8$ & $4,8$ & $4,8$ & $4,8$ 
					\\
					\hline	
					\footnotesize \ovalvariable{valeur 2} & &&& $4,8+3=7,8$ & $7,8$ & $7,8$ 
					\\
					\hline
					\footnotesize \ovalvariable{valeur 3} & &&&& $2,4-2=0,4$ & $0,4$
					\\
					\hline
					\footnotesize \ovalvariable{résultat} & &&&&& $7,8 \times 0,4=3,12$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le nombre de départ est $2,4$ alors le résultat est $3,12$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $x$ le nombre de départ.
			
			Montrer que le programme d’Adam retourne le nombre $2x^2-x-6$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			~
			
			{\hspace*{-2cm}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					\rotatebox{90}{Lignes de codes.}
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blocksensing{demander \ovalnum{Choisis un nombre} et attendre}
					\end{scratch}}	
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blockvariable{mettre \selectmenu{nombre départ} à \ovalsensing{réponse}}
					\end{scratch}}				
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 1} à \ovaloperator{\ovalnum{2}*\ovalvariable{nombre départ}}}
					\end{scratch}}
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 2} à \ovaloperator{\ovalvariable{valeur 1} + \ovalnum{3}}}
					\end{scratch}}
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blockvariable{mettre \selectmenu{valeur 3} à \ovaloperator{\ovalvariable{nombre départ} - \ovalnum{2}}}
					\end{scratch}}
					&
					\rotatebox{90}{
						\footnotesize
						\begin{scratch}
							\blockvariable{mettre \selectmenu{résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{valeur 2} * \ovalvariable{valeur 3}}}
					\end{scratch}}
					\\
					\hline
					\footnotesize \ovalsensing{réponse} & $x$ & $x$ & $x$ & $x$ & $x$ & $x$
					\\
					\hline
					\footnotesize \ovalvariable{nombre départ} & & & $x$ & $x$ & $x$ & $x$
					\\
					\hline
					\footnotesize \ovalvariable{valeur 1} & && $2 \times x=2x$ & $2x$ & $2x$ & $2x$ 
					\\
					\hline	
					\footnotesize \ovalvariable{valeur 2} & &&& $2x+3$ & $2x+3$ & $2x+3$ 
					\\
					\hline
					\footnotesize \ovalvariable{valeur 3} & &&&& $x-2$ & $x-2$
					\\
					\hline
					\footnotesize \ovalvariable{résultat} & &&&&& $(2x+3)(x-2)$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
			
			\medskip
			
			Or en développant, simplifiant puis réduisant:
			
			\begin{align*}
				(2x+3) (x-2) &= 2x \times x +2x \times (-2) +3 \times x +3 \times (-2)\\
				&= 2x^2-4x+3x-6\\
				&= 2x^2-x-6
			\end{align*}
			
			donc
			
			\begin{conclusion}
				
				si le nombre de départ est $x$ alors le résultat est $2x^2-x-6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pauline propose le programme de calcul suivant.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{6cm}|}
				\hline
				\begin{center}
					Choisis un nombre.
					
					Élève-le au carré.
					
					Soustrais 3.
					
					Multiplie par 2.
					
					Soustrais le nombre de départ.
				\end{center}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si le nombre de départ est $3$, le résultat obtenu est égal à $9$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Appliquons le programme en prenant $3$ pour nombre de départ.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					Choisis un nombre.
					&
					$3$
					\\
					\hline
					Élève-le au carré
					&
					$3^2=9$
					\\
					\hline
					Soustrais 3.
					&
					$9-3=6$
					\\
					\hline
					Multiplie par 2.
					&
					$6 \times 2=12$.
					\\
					\hline
					Soustrais le nombre de départ.
					&
					$12-3=9$.
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le nombre de départ est $3$ alors le résultat est $9$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le résultat donné par le programme si le nombre de départ est $\dfrac{7}{3}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Appliquons le programme en prenant $\frac{7}{3}$ pour nombre de départ.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					Choisis un nombre.
					&
					$\frac{7}{3}$
					\\
					\hline
					Élève-le au carré
					&
					$\left( \frac{7}{3} \right)^2=\frac{49}{9}$
					\\
					\hline
					Soustrais 3.
					&
					$\frac{49}{9}-3=\frac{22}{9}$
					\\
					\hline
					Multiplie par 2.
					&
					$\frac{22}{9} \times 2=\frac{44}{9}$.
					\\
					\hline
					Soustrais le nombre de départ.
					&
					$\frac{44}{9}-\frac{7}{3}=\frac{23}{9}$.
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le nombre de départ est $\frac{7}{3}$ alors le résultat est $\frac{23}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour un même nombre de départ, les programmes de calcul d’Adam et Pauline donnent le même résultat.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Appliquons le programme en prenant $x$ pour nombre de départ.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|}
				\hline
				Choisis un nombre.
				&
				$x$
				\\
				\hline
				Élève-le au carré
				&
				$x^2$
				\\
				\hline
				Soustrais 3.
				&
				$x^2-3$
				\\
				\hline
				Multiplie par 2.
				&
				$(x^2-3) \times 2$.
				\\
				\hline
				Soustrais le nombre de départ.
				&
				$2(x^2-3)-x$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Or en développant, simplifiant puis réduisant:
		
		\begin{align*}
			2(x^2-3)-x &= 2 \times x^2 -2 \times 3 -x\\
			&= 2x^2 -6 -x\\
			&= 2x^2-x-6
		\end{align*}
		
		donc on obtient bien le même résultat que pour le programme de la question 1.
		
		\begin{conclusion}
			
			Les deux programmes donnent le même résultat.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le ou les nombres de départ possibles pour que les résultats des programmes de calcul soient nuls. Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Au cours des questions précédentes nous avons obtenu diverses expressions littérales du résultat des programmes: $(2x+3)(x-2)$, $2x^2-x-6$, $2(x^2-3)-x$. Nous préférons l'expression qui fait apparaître une équation produit nul.}
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons l'équation: $(2x+3)(x-2)=0$.}
		
		\begin{align*}
			(2x+3)(x-2) &= 0\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			2x+3=0 \quad &\text{et} \quad x-2=0\\
			2x+3 {\color{orange}-3}=0 {\color{orange}-3} \quad &\text{et} \quad x-2 {\color{WildStrawberry}+2} = 0 {\color{WildStrawberry}+2}\\
			2x=-3 \quad &\text{et} \quad x=2\\
			\frac{2x}{\color{orange}2}=\frac{-3}{\color{orange}2} \quad &\text{et} \quad x=2\\
			x=-\frac{3}{2} \quad &\text{et} \quad x=2\\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le résultat sera zéro si et seulement si le nombre de départ est choisi dans l'ensemble $\left\{ -\frac{3}{2}; \ 2 \right\}$.
			 
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Adam souhaite automatiser les calculs de son programme pour les entiers naturels. Il utilise un tableur dont la copie d’écran est donnée ci-dessous.
		
		Quelle formule doit-il saisir dans la case $\texttt{B}2$ pour qu'il puisse l’étirer vers le bas sur l'ensemble de la colonne?
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2022_maths_externe_sujet_2_04_tableur.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Utilisons la formule donnée dans l'énoncé:
		
		\begin{conclusion}
			
			$=2*\texttt{A}2\wedge 2-\texttt{A}2-6$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	En Amérique centrale, les Mayas utilisaient un système de numération comprenant trois signes.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			\textbf{Le point} & $\bullet$
			\\
			\hline
			&
			\\
			\textbf{Le trait} & \includegraphics[scale=0.4]{crpe_2022_maths_externe_sujet_2_05_trait.png}
			\\
			\hline
			&
			\\
			\textbf{La coquille} & \includegraphics[scale=0.4]{crpe_2022_maths_externe_sujet_2_06_coquille.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\textbf{Le signe \og coquille \fg{} indique l’absence de quantité.}
	
	\medskip
	Quelques correspondances entre écriture Maya et écriture décimale sont données dans le tableau ci-dessous:
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2022_maths_externe_sujet_2_07_tableau.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner la valeur du signe \og point \fg{} et celle du signe \og trait \fg{} dans l’écriture de $7$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le point signifie $1$ et le trait signifie $5$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le système maya est un système vigésimal (système qui a pour base $20$). Donner l’écriture maya du nombre $21$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$21= 1 \times {\color{red}20} + 1 \times {\color{blue}1}$ donc:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\begin{matrix} {\color{red}\bullet} \\ {\color{blue}\bullet} \end{matrix}$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier l’écriture maya du nombre $37$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$37= 1 \times {\color{red}20} + 3 \times {\color{orange}5} + 2 \times {\color{blue}1}$ donc 
		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw [color=red] (0.3,0.9) node {$\bullet$};
			\draw [color=blue] (0.3,0.3) node {$\bullet \bullet$};
			\draw [line width=0.1cm, orange] (0,0) -- (0.6,0);
			\draw [line width=0.1cm, orange] (0,-0.3) -- (0.6,-0.3);
			\draw [line width=0.1cm, orange] (0,-0.6) -- (0.6,-0.6);
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner l’écriture des deux nombres suivants dans notre système de numération.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{sujet}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task ~
			
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2022_maths_externe_sujet_2_08_nombre_1.png}
			
			\task ~
			
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2022_maths_externe_sujet_2_09_nombre_2.png}
			
		\end{tasks}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{tasks}(2)
			\task 		
			$3 \times {\color{red}20} +2 \times {\color{orange}5} + 4 \times {\color{blue}1}= 74$.
			
			\task ~
			
			$1 \times {\color{green}400} + 3 \times {\color{violet}100} + 2 \times {\color{red}20} +1 \times {\color{orange}5} = 745$.
			
		\end{tasks}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner l’écriture maya du nombre $25$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$25= 1 \times {\color{red}20} + 1 \times {\color{orange}5}$.
					
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\draw [color=red] (0.3,0.9) node {$\bullet$};
				\draw [line width=0.1cm, orange] (0,0.3) -- (0.6,0.3);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner l’écriture maya du nombre $101$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$101= 1 \times {\color{violet}100} + 1 \times {\color{blue}1}$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\draw [line width=0.1cm, violet] (0,0.3) -- (0.6,0.3);
				\draw [line width=0.1cm, blue] (0.3,-0.6) node {$\bullet$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le système de numération maya est qualifié, tout comme le système de numération que nous utilisons, de système positionnel. Expliquer pourquoi.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Suivant l'endroit où sont placés les points ou les traits (haut ou bas) ils représentent des unités ou des vingtaines. On retrouve également l'utilisation d'un zéro de position sous la forme du coquillage.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}



\end{document}

\begin{tasks}(2)
	\task ~
	
	\begin{sujet}
		
		\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2022_maths_externe_sujet_2_08_nombre_1.png}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$3 \times {\color{red}20} +2 \times {\color{orange}5} + 4 \times {\color{blue}1}= 74$.
		
	\end{correction}
	
	\task ~
	
	\begin{sujet}
		
		\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2022_maths_externe_sujet_2_09_nombre_2.png}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$1 \times {\color{green}400} + 3 \times {\color{violet}100} + 2 \times {\color{red}20} +1 \times {\color{orange}5} = 745$.
		
	\end{correction}
	
\end{tasks}



\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}