%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2022 sujet 1} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}


\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2022 groupe 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de cinq exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette version adaptée du biathlon, les élèves ont à parcourir, en courant, 4 grands tours tracés avec des plots sur un stade comme dans la figure ci-dessous. À l’issue de chacun des 3 premiers tours, ils se présentent au pas de tir et lancent 3 balles sur des cibles. S’ils atteignent 3 fois leur cible, ils n’ont pas de pénalité et repartent pour le grand tour suivant. En	revanche, pour chaque lancer manqué, ils doivent effectuer un petit tour avant de repartir sur le grand tour.
	
	Pour chaque élève on mesure la durée mise pour faire un parcours complet (grands tours + lancers + petits tours de pénalité le cas échéant). L’objectif est de mettre le moins de temps possible pour effectuer le parcours complet.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.45]{crpe_2022_maths_externe_sujet_1_01_image_foot.png}};
			\draw (-2,-3.5) node {\small D'après www.revue-eps.com janvier-février-mars 2016};
			\draw (5,-3.5) node {\large \textbf{Pas de tir}};
			\draw [>=latex, ->, line width=0.04cm] (5.4,-3.25) -- (4.5,-1.5);
			\draw (4.2,2.5) node {\Large \textbf{Petit tour}};
			\draw (-4,-2.5) node {\Large \textbf{Grand tour}};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie 1.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, les élèves s’entraînent à la course sur le grand tour, sans effectuer de lancer de balles.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour un élève de CE1, la longueur du grand tour est de $250\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On considère un élève, qui effectue les $4$ tours en $10$ minutes. Quelle est sa vitesse moyenne de course, en mètre par minute?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons la vitesse $v_1$ de cet élève en $\mathrm{m}/\mathrm{min}$.}
			
			\begin{align*}
				v_1 &= \frac{d}{t}\\
				&= \frac{4 \times 250\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{min}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_1=100\ \mathrm{m}/\mathrm{min}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Un autre élève a couru les $4$ tours à la vitesse moyenne de $150\ \mathrm{m}/\mathrm{min}$. Déterminer sa vitesse moyenne en kilomètre par heure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons la vitesse $v_2$ de cet élève en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$.}
			
			\begin{align*}
				v_2 &= 150\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\\
				&= 150\ \frac{\color{orange}\mathrm{m}}{\color{violet} \mathrm{s}}\\
				&= 150\ \frac{\color{orange}\frac{1}{1000}\ \mathrm{km}}{\color{violet}\frac{1}{60}\ \mathrm{h}}\\
				&= 150 \times \frac{\frac{1}{1000}}{\frac{1}{60}}\  \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\
				&= \frac{150\times 60}{1000}\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_2= 9\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans le tableau ci-dessous, les longueurs d’un grand tour pour des élèves de CM1 et de CM2 sont données, ainsi que les temps de course pour effectuer 4 grands tours, de deux élèves (un en CM1 et un en CM2).
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				\textbf{Élève} & \textbf{Longueur de 1 grand tour} & \textbf{Temps de course pour 4 grands tours}
				\\
				\hline
				Élève de CM1 & $400\ \mathrm{m}$ & $9$ minutes et $30$ secondes
				\\
				\hline
				Élève de CM2 & $500\ \mathrm{m}$ & $11$ minutes et $8$ secondes
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		Déterminer la vitesse moyenne (en mètre par minute, arrondie à l’unité) de chacun de ces deux élèves, lorsqu’ils ont réalisé les $4$ grands tours.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Exprimons la vitesse $v_3$ de l'élève de CM1 en $\mathrm{m}/\mathrm{min}$.}
			
			\begin{align*}
				9\ \mathrm{min} +30 \ \mathrm{s} &= 9\ \mathrm{min}+ 30 \times \frac{1}{60}\ \mathrm{min}\\
				&= 9,5\ \mathrm{min}
			\end{align*}
			
			Donc:
			
			\begin{align*}
				v_3 &= \frac{4 \times 400\ \mathrm{m}}{9,5\ \mathrm{min}}\\
				&= \frac{4 \times 400}{9,5}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}\\
				&\approx 168,421\ \mathrm{m}/\mathrm{min}\ \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_3\approx 168\ \mathrm{m}/\mathrm{min}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Exprimons la vitesse $v_4$ de l'élève de CM2 en $\mathrm{m}/\mathrm{min}$.}
			
			\begin{align*}
			11\ \mathrm{min} +8 \ \mathrm{s} &= 11\ \mathrm{min}+ 8 \times \frac{1}{60}\ \mathrm{min}\\
			&= \frac{167}{15}\ \mathrm{min}
			\end{align*}
			
			Donc:
			
			\begin{align*}
			v_4 &= \frac{4 \times 500\ \mathrm{m}}{\frac{167}{15}\ \mathrm{min}}\\
			&= \frac{2000}{\frac{167}{15}}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{min}}\\
			&\approx 179,6407\ \mathrm{m}/\mathrm{min}\ \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v_5\approx 180\ \mathrm{m}/\mathrm{min}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, des élèves de CE1 font l’épreuve de biathlon dans sa totalité :
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{m{10cm}}
			Les 4 grands tours + les 3 épreuves de lancers de 3 balles + les éventuels tours de pénalité.
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	On rappelle que pour un élève de CE1, la longueur du grand tour est de $250\ \mathrm{m}$.
	
\end{sujet}
\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		La longueur du tour de pénalité est de $20\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sachant que le tour de pénalité forme un cercle, déterminer son rayon. Arrondir au centimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le rayon $r_p$ du cercle de pénalité.}
			
			On a donc en exprimant toutes les données en mètre: $2\pi r_p = 20$.
			
			Cette équation équivaut successivement à
			
			\begin{align*}
				\frac{1\pi r_p}{\color{orange}2\pi} &= \frac{20}{\color{orange}2\pi}\\
				r_p &= \frac{10}{\pi}
				\intertext{Donc en tronquant:}
				r_p &\approx 3,183
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$r_p\approx 3,18\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Un élève de CE1, qui court à la vitesse moyenne de $150\ \mathrm{m}/\mathrm{min}$, prend le départ de l’épreuve. On suppose que pour effectuer $3$ lancers, il passe, à chaque fois, $30$ secondes sur le pas de tir.
			
			Quelle sera la durée totale que met cet élève pour réaliser le parcours complet, s’il ne rate aucune cible au premier tour et qu’il rate une cible au $2\ieme{}$ tour puis deux cibles au $3\ieme{}$ tour? Donner la réponse en minutes et secondes.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Le temps mis pour faire un grand tour est
				
				\begin{align*}
					t_g &= \frac{250\ \mathrm{m}}{150\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{min}^{-1}}\\
					&= \frac{250}{150}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m} \cdot \mathrm{min}^{-1}}\\
					&= \frac{5}{3}\ \mathrm{min}
				\end{align*}
				
				\item Donc pour faire les quatre grands tours il lui faudra $t_{4g}=4 \times \frac{5}{3}\ \mathrm{min}= \frac{20}{3}\ \mathrm{min}$.
				
				\item Les trois séries de trois lancers lui prendrons un temps de $t_{3l}=3 \times 30\ \mathrm{s}= 90\ \mathrm{s}=90\times \frac{1}{60}\ \mathrm{min}= 1,5\ \mathrm{min}$.
				
				\item Le temps mis pour faire un tour de pénalité est:
				
				\begin{align*}
					t_p &= \frac{20\ \mathrm{m}}{150\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{min}^{-1}}\\
					&= \frac{2}{15}\ \mathrm{min}
				\end{align*}
				
				\item Le temps mis pour faire tous les tours de pénalité est:
				
				\begin{align*}
					t_{3p} &= (1+2) \times t_p\\
					&= 3 \times \frac{2}{15}\ \mathrm{min}\\
					&= 0,4\ \mathrm{min}
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Le temps de parcours total est donc de
			
			\begin{align*}
				t_{total} &= t_{4g} + t_{3l} + t_{3p}\\
				&= \frac{20}{3}\ \mathrm{min} + 1,5\ \mathrm{min} + 0,4\ \mathrm{min}\\
				&=\frac{257}{30}\ \mathrm{min}\\
				&=\frac{514}{60}\ \mathrm{min}\\
				\intertext{Or $514= 8 \times 60+34$ donc:}
				t_{total} &= 8\ \mathrm{min}+34 \ \mathrm{s}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le parcours est réalisé en $8\ \mathrm{min}$ et $34\ \mathrm{s}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le professeur des écoles souhaite aider ses élèves à développer une stratégie pour
		améliorer leurs résultats. Il relève les performances d’un même élève de CE1 qui fait 3 fois l’épreuve de biathlon dans sa totalité en modifiant certains paramètres à chaque essai.
		
		Dans le tableau ci-dessous, $V_{\mathrm{moy}}$ est la vitesse moyenne de cet élève sur les périodes de course ($4$ grands tours + éventuels tours de pénalités).
		
		\medskip
		{\hspace{-1cm}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2022_maths_externe_sujet_1_02_tableur.png}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La formule saisie en $\texttt{H}3$ puis recopiée vers le bas est \[ =1000+(\texttt{C}3+\texttt{E}3+\texttt{G}3)*20. \]
			
			Expliquer le terme $(\texttt{C}3+\texttt{E}3+\texttt{G}3)*20$ dans le contexte de l’exercice.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\texttt{C}3+\texttt{E}3+\texttt{G}3$ est le nombre de tours de pénalités donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$(\texttt{C}3+\texttt{E}3+\texttt{G}3)*20$ est la distance supplémentaire courue du fait des pénalités.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une formule qui pourra être introduite dans la cellule $\texttt{J}3$, de telle sorte qu’elle puisse être recopiée vers le bas pour effectuer le calcul pour les autres essais.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il s'agit de calculer la vitesse moyenne sans tenir compte des temps de tirs donc, le résultat étant attendu en $\mathrm{m}/\mathrm{min}$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$= \texttt{H}3 /(\texttt{I}3/60)$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une formule qui pourra être introduite dans la case \og durée totale \fg{} $\texttt{K}3$, de telle
			sorte qu’elle puisse être recopiée vers le bas pour effectuer le calcul pour les autres
			essais.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons déjà remarqué qu'il faut $90\ \mathrm{s}$ pour lancer les neufs balles.
			
			La durée totale en minutes est donc donnée par:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=(\texttt{I}3+\texttt{B}3+\texttt{D}3+\texttt{F}3)/60$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		Après calculs, on obtient le tableau complet ci-dessous:
				
		\medskip
		{\hspace{-1cm}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2022_maths_externe_sujet_1_03_tableur.png}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{3}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			Interpréter le tableau pour déterminer ce que l’élève a modifié entre l’essai 2 et
			l’essai 3.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Entre les essais 2 et 3 l'élève a augmenté sa vitesse de lancer des balles.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si on analyse les performances de l’élève aux essais 2 et 3, quelle hypothèse ce tableau permet-il de faire du point de vue des stratégies à adopter?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La durée totale a augmentée entre les essais 2 et 3.
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour effectuer un parcours plus rapidement il vaut mieux prendre le temps de bien viser les cibles et d'éviter les tours de pénalité.
				
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	On dispose d’un dé cubique non truqué dont les faces opposées sont identiques : deux faces numérotées $0$, deux faces numérotées $1$ et deux faces numérotées $2$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On effectue deux lancers et on lit, à chaque lancer, le chiffre inscrit sur la face supérieure. Les deux lancers permettent d’obtenir un nombre décimal : le résultat du premier lancer donne le chiffre des unités et celui du second lancer le chiffre des dixièmes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner la liste de tous les nombres que l’on peut obtenir.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Représentons l'ensemble des issues de cette expérience par un tableau (puisqu'il y a deux épreuves).
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
					\hline
					\backslashbox{$0,1$}{$1$}& 0 & 1 & 2
					\\
					\hline
					0 & $0,0$ & $1,0$ & $2,0$ 
					\\
					\hline
					1 & $0,1$ & $1,1$ & $2,1$ 
					\\
					\hline
					2 & $0,2$ & $1,2$ & $2,2$ 
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'ensemble des nombres possibles est $\{ 0;\ 0,1;\ 0,2;\ 1;\ 1,1;\ 1,2;\ 2;\ 2,1;\ 2,2 \}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que la probabilité d’obtenir $1,2$ est égale à $1/9$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			L'univers est l'ensemble $\Omega$ des nombres possibles précédemment indiqué. Il est raisonnable d'après les indications de l'énoncé (dé non truqué) de modéliser cette situation par une équiprobabilité.
			
			Par conséquent toutes les issues, y compris $1,2$ , ont la même probabilité d'être obtenues.
			
			D'après la question précédente l'univers comporte $9$ issues donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(1,2)=\frac{1}{9}$.
				 
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement inférieur à $1$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $C$ \og obtenir un nombre strictement inférieur à $1$\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
			
			$C=\{ 0;\ 0,1;\ 0,2 \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $C$ est réalisé par $3$ issues et l'univers en comporte $9$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(C) &= \frac{3}{9}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(C) = \frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre entier?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $D$ \og obtenir un nombre entier\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(D)$.}
			
			$D=\{ 0;\ 1;\ 2 \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $D$ est réalisé par $3$ issues et l'univers en comporte $9$ donc
						
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(D) = \frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre décimal?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $E$ \og obtenir un nombre décimal\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E)$.}
			
			Tous les nombres obtenus sont décimaux donc $E$ est l'événement certain:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E) = 1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item ~
	
	\begin{sujet}
		
		\begin{tabular}{m{7cm}m{4cm}}
			Le tapis représenté ci-contre est constitué de $36$ carrés de côté $10\ \mathrm{cm}$. Ces carrés définissent trois zones $Z_1$, $Z_2$ et $Z_3$ repérées par des couleurs différentes.
			
			Avec le même dé que précédemment, on effectue un lancer sur ce tapis et on regarde la face supérieure. Si le dé tombe à cheval sur deux zones, on le relance.
			On admet que la probabilité que le dé tombe dans une
			zone est proportionnelle à l’aire de la zone.
			&
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2022_maths_externe_sujet_1_04_carres.png}
		\end{tabular}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que le dé tombe dans la zone $Z_2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Puisque $\mathbb{P}(Z_2)$ est proportionnelle à l'aire de $Z_2$ qui est constituée de $12$ carrés sur un total de $36$:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(Z_2) &= \frac{12}{36}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(Z_2)=\frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que le dé tombe en zone $Z_2$ et donne le nombre $1$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $A$: \og obtenir le nombre $1$\fg{}.
			
			Il y a équiprobabilité entre les faces du dé, $2$ d'ente elles réalisent $A$ et il y a $6$ faces au total donc: $\mathbb{P}(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A\cap Z_2)$.}
			
			Nous pouvons nous représenter les choses sous forme d'un arbre:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{2};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{4};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$Z_2$/$\frac{1}{3}$/\posA,
					nA2/A2/2/$\overline{Z_2}$/$\frac{2}{3}$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$A$/$\frac{1}{3}$/\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$\overline{A}$/$\frac{2}{3}$/\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$A$/$\frac{1}{3}$/\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$\overline{A}$/$\frac{2}{3}$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Le principe multiplicatif permet alors de conclure: $\mathbb{P}(A\cap Z_2)= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}= \frac{1}{9}$.
			
			\medskip
			Plus formellement: il est raisonnable dans ce contexte de considérer que le nombre affiché et la zone du tapis obtenue sont des événements indépendants.
			
			Dans ce cas:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A \cap Z_2) &= \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(Z_2)\\
				&= \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A \cap Z_2)=\frac{1}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité que le dé tombe en zone $Z_2$ et donne un nombre pair?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $B$: \og obtenir un nombre pair\fg{}.
			
			Il y a équiprobabilité entre les faces du dé, $4$ d'ente elles réalisent $B$ et il y a $6$ faces au total donc: $\mathbb{P}(B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B\cap Z_2)$.}
			
			$B$ et $Z_2$ sont indépendants donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(B \cap Z_2) &= \mathbb{P}(B) \times \mathbb{P}(Z_2)\\
				&= \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B \cap Z_2)=\frac{2}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant d’une classe de CM2 a proposé ce problème à ses élèves.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			Dans un bocal, un enfant a des billes vertes, des billes rouges et des billes bleues. Il a 4 fois plus de billes rouges que de billes vertes et il a 3 billes vertes de plus que de billes bleues.
			
			En tout il a 51 billes.
			
			Combien a-t-il de billes de chaque couleur ?
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		
		\begin{tabular}{m{12cm}}
			\emph{\footnotesize D’après un problème du Guide pour enseigner la résolution de problèmes au cours moyen, Ministère de l’éducation nationale, 2021.}
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici la réponse proposée par Samira, une élève de la classe de CM2:
		
		\smallskip
		{\hspace{-0.75cm}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\			
			\includegraphics[scale=0.36]{crpe_2022_maths_externe_sujet_1_05_samira.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		}
		
		\smallskip
		Proposer une version corrigée du schéma utilisé par Samira pour résoudre le problème.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\foreach \x/\y in { 0/0, 0/-2, 2/-2, 4/-2, 6/-2 } {
					\coordinate (A) at (\x,\y);
					\draw [black] (A)  --+ (2,0)  --+ (2,1) --+ (0,1) -- cycle;
					\fill [color=gray, opacity=0.25] (A)  --+ (2,0)  --+ (2,1) --+ (0,1) -- cycle;
					}
				\foreach \y/\couleur in {0.5/Vertes, -1.5/Rouges, -3.5/Bleues}{
					\draw (-1.75,\y) node {\couleur};
					}
				\coordinate (B) at (0,-4);
				\draw [black] (B)  --+ (2,0)  --+ (2,1) --+ (0,1) -- cycle;
				\fill [color=gray, opacity=0.25] (B)  --+ (1.5,0)  --+ (1.5,1) --+ (0,1) -- cycle;
				\draw (1.75,-3.5) node {$3$};
				\draw (8.75,1) -- (9,1) -- (9,-4) -- (8.75,-4);
				\draw (11,-1.5) node {$51$ billes};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En notant $v$ le nombre de billes vertes, déterminer, en fonction de $v$, le nombre de
			billes rouges et le nombre de billes bleues.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $r$ est le nombre de billes rouges alors:
			
			\begin{conclusion}
				
				$r = 4v$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Si $b$ est le nombre de billes bleues alors
			
			\begin{conclusion}
				
				$b=v-3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Mettre le problème en équation et la résoudre pour répondre algébriquement à la question posée dans l’énoncé.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			On doit avoir \[ v+b+r=51.\]
			
			Ce qui revient, d'après la question précédente, à \[ v+v-3+4v=51.\]
			
			Cette dernière équation du premier degré équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				6v-3 &= 51\\
				6v-3 {\color{orange}+3} &= 51 {\color{orange}+3}\\
				6v &= 54\\
				\frac{6v}{\color{orange}6} &= \frac{54}{\color{orange}6}\\
				v &= 9
			\end{align*}
			
			Donc: $r=4 \times 9=36$,
			
			et: $b= 9-3=6$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il y a $9$ billes vertes, $36$ rouges et $6$ bleues.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Le programme ci-dessous (programme 1) a été écrit avec
	le logiciel Scratch.
	
	\begin{center}
		
		\textbf{Programme 1.}
		
		\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_1_06_scratch.sb3}{
			\begin{scratch}[scale=1]
				\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{motif}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
					{
						\blockmove{avancer de \ovalvariable{c}}
						\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{45} degrés}
						\blockmove{avancer de \ovalvariable{c}}
						\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{135} degrés}
					}
		\end{scratch}}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Les programmes de cet exercice sont téléchargeables ici: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_1_06_scratch.sb3}{lien de téléchargement}.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En prenant $\mathrm{C} = 50$ et $1\ \mathrm{cm}$ pour $10$ pixels, tracer la figure construite en utilisant le Programme 1.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\def\c{5};
				\def\ang{45};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) --+ ({\c},0) --+ ({\c+\c*cos(\ang)},{\c*tan(\ang)}) --+ ({\c*cos(\ang)},{\c*tan(\ang)}) -- (A);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la nature de la figure tracée? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il s'agit de tracer continûment quatre segments: le tracé est une ligne polygonale formée de quatre segments de même longueur.
		
		La somme des angles des segments les uns par rapport aux autres étant de $45\degres +135\degres+45\degres +135\degres=360\degres$ la ligne polygonale qu'ils forment est fermée.
		
		Ainsi la figure est un quadrilatère, non croisé (du fait des angles), dont les côtés ont tous la même longueur. Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			la figure tracée est un losange.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On écrit le programme 2 en utilisant le bloc précédent, afin d’obtenir la figure représentée ci-après.
		
		{\hspace*{-1.5cm} \begin{tabular}{m{6.5cm}m{0.5cm}m{5cm}}
			
			\begin{tabular}{m{5cm}}
				\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2022_maths_externe_sujet_1_07_figure_scratch.png}
				\\
				Rappel:
				\\
				\includegraphics[scale=0.36]{crpe_2022_maths_externe_sujet_1_08_rappel}
			\end{tabular}
			&&
			\textbf{Programme 2.}
			
			\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_1_06_scratch.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=1]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
					\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90}}
					\blockpen{effacer tout}
					\blockpen{stylo en position d’écriture}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{C} à \ovalnum{30}}
					\blockrepeat{répéter \ovalvariable{N} fois}
					{
						\blockmoreblocks{motif}
						\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalvariable{A} degrés}
						\blockvariable{ajouter \ovalnum{30} à \selectmenu{C} }
					}
			\end{scratch}}
			
		\end{tabular}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles valeurs attribuer aux lettres A et N dans le programme 2 pour obtenir la figure correspondante?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La figure est formée de $4$ losanges donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$N=4$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Les $4$ losanges, en plus de l'agrandissement (avec $C$ qui augment de $30$), se déduisent les uns des autres par une rotation de $45\degres$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$A=45$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la valeur de la variable C une fois le programme exécuté?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Dans la boucle qui est répétée $n+4$ fois du programme 2 $C$ est augmenté de $30$. Donc à la fin du programme: $C=30+4 \times 30$.
			
			\begin{conclusion}
				
				En fin de programme $C=150$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		
		Comment peut-on modifier le programme 2 pour obtenir la figure ci-dessous pour laquelle chaque segment mesure $30$ pixels?
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2022_maths_externe_sujet_1_10_figure_scratch.png}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Voici une modification du programme 2: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_1_09_scratch.sb3}{lien pour télécharger.}
		
		\medskip
		Il faut choisir $A=90$ car les losanges se déduisent par des rotations successives d'angle $90\degres$.
		
		De plus il faut retirer la ligne de code qui agrandi la longueur $C$ du côté du losange.
		
		\begin{center}
			\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_1_09_scratch.sb3}{
			\begin{scratch}[scale=1]
			\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
			\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
			\blockmove{s’orienter à \ovalnum{90}}
			\blockpen{effacer tout}
			\blockpen{stylo en position d’écriture}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{C} à \ovalnum{30}}
			\blockvariable{mettre \selectmenu{A} à \ovalnum{90}}
			\blockrepeat{répéter \ovalvariable{N} fois}
			{
				\blockmoreblocks{motif}
				\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalvariable{A} degrés}
			}
		\end{scratch}}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	Un ballon-sonde est un ballon à gaz utilisé pour faire des mesures locales dans l’atmosphère.
	
	Dans le cadre du projet scientifique qu’elle anime pour sa classe de CM2, une professeure des écoles a reçu un
	petit ballon-sonde, représenté ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
			\def\xS{0};
			\def\yS{-9};
			\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
			\draw (S) node [below] {$S$};
			\def\xO{0};
			\def\yO{0};
			\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
			\draw (O) node [above left] {$O$};
			\def\xN{3};
			\def\yN{0};
			\coordinate (N) at ({\xN},{\yN});
			\draw (N) node [right] {$N$};
			\coordinate (M) at ({-\xN},{\yN});
			\def\bprim{2.5};
			\def\aprim{3};
			\def\bsecond{1};
			\def\asecond{3};
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({\asecond*cos(\x)+\xO},{\bsecond*sin(\x)+\yO});
			\draw[samples=100,domain=180:360] plot({\asecond*cos(\x)+\xO},{\bsecond*sin(\x)+\yO});
			\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\aprim*cos(\x)+\xO},{\bprim*sin(\x)+\yO});
			\draw [white] (O) -- ({\xS},{0.75*\yS}) node [midway, sloped, above right] {\color{black}$90\ \mathrm{cm}$};
			\draw [dashed] (O) -- (S);
			\draw [dashed] (O) -- (N) node [midway, sloped, above] {$30\ \mathrm{cm}$};
			\draw [thick] (N) -- (S) -- (M);
			\def\arc{2};
			\draw[dotted, thick][samples=100,domain={90+atan(\xN/\yS)}:90] plot({\arc*cos(\x)+\xS},{\arc*sin(\x)+\yS});
			\draw ({1.5*\arc*cos(90+0.5*atan(\xN/\yS))+\xS},{1.5*\arc*sin(90+0.5*atan(\xN/\yS))+\yS}) node {$\alpha$};
		\end{tikzpicture}
			
	\end{center}
	
	Son enveloppe, composée de matières plastiques et de latex, a la forme, une fois gonflée, d'un cône de révolution 	surmonté d'une demi-sphère.
	
	Les dimensions données sur la figure ci-dessus sont celles du ballon-sonde au sol, sur le lieu du lâcher situé au niveau de la mer.
	
	La pression atmosphérique diminuant avec l'altitude, le ballon se dilate en prenant de la hauteur et ses dimensions augmentent jusqu’à l’éclatement après une ascension de plus de vingt kilomètres.
	
	\medskip
	\emph{On pourra, si nécessaire, utiliser le formulaire ci-dessous.}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
		\def\xS{0};
		\def\yS{9};
		\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
		%\draw (S) node [above] {$S$};
		\def\xO{0};
		\def\yO{0};
		\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
		\draw (O) node [above left] {$O$};
		\draw (O) node {$\times$};
		\def\xN{3};
		\def\yN{0};
		\coordinate (N) at ({\xN},{\yN});
		%\draw (N) node [right] {$N$};
		\coordinate (M) at ({-\xN},{\yN});
		\def\bprim{2.5};
		\def\aprim{3};
		\def\bsecond{3};
		\def\asecond{3};
		%\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({\asecond*cos(\x)+\xO},{\bsecond*sin(\x)+\yO});
		\draw [thick] [samples=100,domain=0:360] plot({\asecond*cos(\x)+\xO},{\bsecond*sin(\x)+\yO});
		%\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\aprim*cos(\x)+\xO},{\bprim*sin(\x)+\yO});
		%\draw [white] (O) -- ({\xS},{0.75*\yS}) node [midway, right] {\color{black}$h$};
		%\draw [dashed] (O) -- (S);
		\draw [dashed] (O) -- (N) node [midway, sloped, above] {$r$};
		%\draw [thick] (N) -- (S) node [midway, above right] {$g$};
		%\draw [thick] (S) -- (M);
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Périmètre du disque
		
		\vspace{0.5cm}		
		
		$2\pi r$
		
		~
		
		&
		
		Aire du disque
		
		\vspace{0.5cm}
		
		$\pi r^2$.
		
		~
		
		\\
		\hline
		
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
		\def\xS{0};
		\def\yS{9};
		\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
		\draw (S) node [above] {$S$};
		\def\xO{0};
		\def\yO{0};
		\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
		\draw (O) node [above left] {$O$};
		\draw (O) node {$\times$};
		\def\xN{3};
		\def\yN{0};
		\coordinate (N) at ({\xN},{\yN});
		%\draw (N) node [right] {$N$};
		\coordinate (M) at ({-\xN},{\yN});
		\def\bprim{2.5};
		\def\aprim{3};
		\def\bsecond{1};
		\def\asecond{3};
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({\asecond*cos(\x)+\xO},{\bsecond*sin(\x)+\yO});
		\draw [thick] [samples=100,domain=180:360] plot({\asecond*cos(\x)+\xO},{\bsecond*sin(\x)+\yO});
		%\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\aprim*cos(\x)+\xO},{\bprim*sin(\x)+\yO});
		\draw [white] (O) -- ({\xS},{0.75*\yS}) node [midway, right] {\color{black}$h$};
		\draw [dashed] (O) -- (S);
		\draw [dashed] (O) -- (N) node [midway, sloped, above] {$r$};
		\draw [thick] (N) -- (S) node [midway, above right] {$g$};
		\draw [thick] (S) -- (M);
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$g$ est la longueur d’une génératrice
		du cône.
		
		&
		
		Volume du cône de révolution
		
		\vspace{0.5cm}		
		
		$\dfrac{1}{3} \pi r^2 h$.
		
		~
		
		&
		
		Aire de la surface latérale
		
		\vspace{0.5cm}
		
		$\pi r g$.
		
		~
		
		\\
		\hline
		
	\end{tabularx}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
		\def\xS{0};
		\def\yS{9};
		\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
		%\draw (S) node [above] {$S$};
		\def\xO{0};
		\def\yO{0};
		\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
		\draw (O) node [above left] {$O$};
		\draw (O) node {$\times$};
		\def\xN{3};
		\def\yN{0};
		\coordinate (N) at ({\xN},{\yN});
		%\draw (N) node [right] {$N$};
		\coordinate (M) at ({-\xN},{\yN});
		\def\bprim{3};
		\def\aprim{3};
		\def\bsecond{1};
		\def\asecond{3};
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({\asecond*cos(\x)+\xO},{\bsecond*sin(\x)+\yO});
		\draw [thick] [samples=100,domain=180:360] plot({\asecond*cos(\x)+\xO},{\bsecond*sin(\x)+\yO});
		\draw[thick][samples=100,domain=0:360] plot({\aprim*cos(\x)+\xO},{\bprim*sin(\x)+\yO});
		%\draw [white] (O) -- ({\xS},{0.75*\yS}) node [midway, right] {\color{black}$h$};
		%\draw [dashed] (O) -- (S);
		\draw [dashed] (O) -- (N) node [midway, sloped, above] {$r$};
		%\draw [thick] (N) -- (S) node [midway, above right] {$g$};
		%\draw [thick] (S) -- (M);
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Volume de la boule
		
		\vspace{0.5cm}		
		
		$\dfrac{4}{3} \pi r^3$.
		
		~
		
		&
		
		Aire de la sphère
		
		\vspace{0.5cm}
		
		$4\pi r^2$.
		
		~
		
		
	\\
	\hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer, en indiquant les étapes du calcul, que le volume exact du ballon-sonde au niveau de la mer, est égal à $\np{45 000}\pi\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_b$ du ballon.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item Le haut du ballon est formé d'une demi-boule dont le volume est
				
				\begin{align*}
					\mathscr{V}_1 &= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3\\
					&= \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \left( 30\ \mathrm{cm} \right)^3\\
					&= \frac{2}{3}\pi \times 30^3 \ \mathrm{cm}^3\\
					&= \np{18000}\pi\ \mathrm{cm}^3
				\end{align*}
				
				\item Le bas du ballon est formé d'un cône de révolution dont le volume est:
				
				\begin{align*}
					\mathscr{V}_2 &= \frac{1}{3} \pi r^2h\\
					&= \frac{1}{3} \pi \left( 30\ \mathrm{cm} \right)^2 \times (90\ \mathrm{cm})\\
					&= \frac{1}{3} \pi 30^2 \times 90 \ \mathrm{cm}^2 \cdot \mathrm{cm}\\
					&= \np{27000}\pi\ \mathrm{cm}^3
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Nous en déduisons
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_b &= \mathscr{V}_1 + \mathscr{V}_2\\
				&= \np{18000}\pi\ \mathrm{cm}^3 + \np{27000}\pi\ \mathrm{cm}^3\\
				&= (\np{18000} + \np{27000})\pi\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_b=\np{45000}\pi\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le volume du ballon sonde en litre, arrondi à l’entier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $\mathscr{V}_b$ en litre.}
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_b &= \np{45000}\pi\ {\color{orange}\mathrm{cm}^3}\\
				&= \np{45000}\pi\times \frac{1}{1000}\ \mathrm{L}\\
				&= 45\pi\ \mathrm{L}\\
				\intertext{En tronquant:}
				&\approx 141,371\ \mathrm{L}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_b \approx 141\ \mathrm{L}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer qu’une génératrice du cône mesure $\sqrt{\np{9000}}\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la longueur $SN$ d'une génératrice du cône.}
		
		Le cône étant de révolution hauteur, rayon, et génératrice dessinent un triangle  $SNO$ rectangle en $O$, donc, d'après le théorème de Pythagore (toutes les longueurs étant exprimées en centimètre):
		
		\begin{align*}
			SN^2 &= ON^2 + OS^2\\
			\intertext{On en déduit:}
			SN^2 &= 30^2 + 90^2\\
			&= \np{9000}
			\intertext{Puisque $SN$ une longueur donc positive:}
			SN &= \sqrt{\np{9000}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons bien $SN=\sqrt{\np{9000}}\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que l’enveloppe totale du ballon-sonde, au niveau de la mer, a une aire
		d’environ $1,5\ \mathrm{m}^2$ au dixième près.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_b$ de l'enveloppe du ballon.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item L'aire de la partie demi-sphérique est
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_1 &= \frac{1}{2} \times 4\pi r^2\\
				&= \frac{1}{2} \times 4 \pi (30\ \mathrm{cm})^2\\
				&=\frac{1}{2} \times 4 \times \pi \times 30^2 \ \mathrm{cm}^2\\
				&= \np{1800}\pi\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			\item L'aire latérale de la partie conique est
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_2 &= \pi rg\\
				&= \pi (30\ \mathrm{cm}) \times (\sqrt{\np{9000}}\ \mathrm{cm})\\
				&=  \pi \times 30 \times \sqrt{\np{9000}}\ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}\\
				&= 900\sqrt{10} \pi \ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_b &= \mathscr{1}_1 + \mathscr{A}_2\\
			&= \np{1800}\pi\ \mathrm{cm}^2 + 900\sqrt{10} \pi \ \mathrm{cm}^2\\
			&= (\np{1800}+ 900\sqrt{10}) \pi \ {î\color{orange}\mathrm{cm}^2}\\
			&= 900(2+ \sqrt{10}) \pi \times {\color{orange}\frac{1}{10000} \mathrm{m}^2}\\
			\intertext{En tronquant:}
			\mathscr{A}_b &\approx \np{1,459}\ \mathrm{cm}^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_b \approx 1,5\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Entre $0$ mètre d’altitude et $\np{4 500}$ mètres d'altitude, les longueurs du ballon-sonde augmentent de $25\ \%$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par quel nombre les longueurs initiales sont-elles multipliées?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $25\ \%$ est 
			
			\begin{align*}
				CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
				&= 1+\frac{25}{100}\\
				&= 1,25
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les longueurs sont multipliées par $1,25$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que, à $\np{4500}$ mètres d’altitude, l’enveloppe totale du ballon-sonde a une aire d’environ $2,3\ \mathrm{m}^2$ arrondie au dixième près.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si les longueurs sont multipliées par $1,25$ alors les aires sont multipliées par $1,25^2$. la nouvelle aire de l'enveloppe du ballon est:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_B &= 1,25^2 \times \mathscr{A}_b\\
				&= 1,25^2 \times 0,09(2+\sqrt{10})\pi \mathrm{m}^2\\
				\intertext{En tronquant:}
				\mathscr{A}_B &\approx 2,280\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_B \approx 2,3\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner un arrondi, au litre près, du volume du ballon-sonde à $\np{4 500}$ mètres d'altitude.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si les longueurs sont multipliées par $1,25$ alors les volumes sont multipliés par $1,25^3$. le volume du ballon est:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_B &= 1,25^3 \times \mathscr{V}_b\\
				&= 1,25^3 \times 45\pi \mathrm{L}\\
				\intertext{En tronquant:}
				\mathscr{V}_B &\approx 276,11\ \mathrm{L}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_B \approx 276\ \mathrm{L}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On lâche le ballon à $0$ mètre d’altitude. On relève alors une température de $15\degres \mathrm{C}$. À $\np{4 500}$ mètres d'altitude, la température transmise est de $-12\degres C$. Entre $0$ et $\np{12 000}\ \mathrm{m}$ d’altitude, la température, en degré Celsius, en fonction de l’altitude $x$, en mètre, peut être modélisée par une fonction affine notée $t$.
		
		Montrer que pour tout $x$ entre $0$ et $\np{12 000}$, on a $t( x ) = -0,006 x + 15$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque la température est une fonction affine de l'altitude $x$, c'est qu'il existe des nombres $a$ et $b$ tels que: $t(x)=ax+b$.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Puisque $t(0)=15$:
			
			\begin{align*}
				a \times 0 +b &= 15\\
				b &= 15
			\end{align*}
			
			\item Puisque $t(4500)=-12$:
			
			\begin{align*}
				a \times 4500+ 15 &= -12\\
				4500a +15 {\color{orange}-15} &= -12 {\color{orange}-15}\\
				4500a &= -27\\
				\frac{4500a}{\color{orange}4500} &= \frac{-27}{\color{orange}4500}\\
				a &= -0,006
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			$t: x \mapsto -0,006x+15$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À partir de quelle altitude la température devient-elle négative? Justifier le résultat en
		résolvant une inéquation.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Nous cherchons pour quelles valeurs de $x$: \[ t(x)\leqslant0.\]
		
		Cette inéquation équivaut successivement à
		
		\begin{align*}
			-0,006x+15 &\leqslant 0\\
			-0,006x+15 {\color{orange}-15} &\leqslant 0 {\color{orange}-15}\\
			-0,006x &\leqslant -15\\
			\frac{-0,006x}{\color{orange}-0,006} &\geqslant \frac{-15}{\color{orange}-0,006} \ \text{car } -0,006<0\\
			x &\geqslant 2500
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La température devient négative à partir de $\np{2500}\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La professeure des écoles a réalisé, à l’aide d’un tableur, le calcul des températures en fonction de l’altitude du ballon-sonde.
		
		\medskip
		{\hspace*{-1cm}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2022_maths_externe_sujet_1_11_tableur.png}
		}
		
		\medskip
		En observant les données du tableau, sachant que le ballon part de $0$ mètre d’altitude, à quelle altitude se trouve-t-il lorsque la température a baissé de $30\degres C$?
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lorsque la température baisse de $30\degres$ elle est de $15\degres-30\degres=-15\degres$.
		
		D'après le tableur
		
		\begin{conclusion}
			
			la température aura baissé de $30\degres$ à $\np{5000}\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}