%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2022 sujet 0} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}


\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2022 groupe 0.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_0_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2022_maths/crpe_2022_maths_externe_sujet_0_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 3 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $20$.}
		
		\emph{Le sujet est composé de six exercices indépendants.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il est donc supposé y avoir six exercices mais le sujet n'en comportait que cinq.
		
	\end{correction}
	
\end{center}

\subsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de moyenne section de maternelle souhaite créer un jeu sur le modèle du jeu de l’oie pour travailler avec ses élèves la construction du nombre et en particulier des décompositions et recompositions de nombres de $1$ à $6$.
	
	Il fabrique deux dés équilibrés selon les patrons suivants:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\cote{1};
			\foreach \u/\v/\figure in {0/0/3, 0/{\cote}/1, 0/{2*\cote}/3, 0/{3*\cote}/1, {-\cote}/{2*\cote}/2, {\cote}/{2*\cote}/{} } {
				\draw ({\u},{\v}) -- ({\u+\cote},{\v}) -- ({\u+\cote},{\v+\cote}) -- ({\u},{\v+\cote}) -- cycle;
				\draw ({\u+0.5*\cote},{\v+0.5\cote}) node {\figure};
			}
		\end{tikzpicture}
		\quad
		\begin{tikzpicture}
			\def\cote{1};
			\foreach \u/\v/\figure in {0/0/3, 0/{\cote}/2, 0/{2*\cote}/2, 0/{3*\cote}/{}, {-\cote}/{2*\cote}/1, {\cote}/{2*\cote}/3 } {
				\draw ({\u},{\v}) -- ({\u+\cote},{\v}) -- ({\u+\cote},{\v+\cote}) -- ({\u},{\v+\cote}) -- cycle;
				\draw ({\u+0.5*\cote},{\v+0.5\cote}) node {\figure};
			}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Il crée un parcours sur lequel les élèves déplacent un pion selon le protocole suivant:
	
	\begin{itemize}
		\item l’élève lance les deux dés;
		
		\item il avance son pion d’autant de cases que la somme des nombres inscrits sur les faces supérieures des deux dés ; s’il n’obtient aucun nombre sur les deux dés (deux faces vierges), il passe son tour.
		
	\end{itemize}
	
	Le plateau de jeu est matérialisé par une bande numérique comme ci-dessous.
	
	\medskip
	{\hspace*{-0.25cm}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.85]
		\def\cote{1};
		\foreach \u/\v/\figure in {-1/0/{départ} } {
			\draw ({\u},{\v}) -- ({\u+2*\cote},{\v}) -- ({\u+2*\cote},{\v+\cote}) -- ({\u},{\v+\cote}) -- cycle;
			\draw ({\u+\cote},{\v+0.25*\cote}) node {\figure};
		}
		\foreach \u/\v/\figure in {{\cote}/0/{$1$}, {2*\cote}/0/{$2$}, {3*\cote}/0/{$3$}, {4*\cote}/0/{$4$}, {5*\cote}/0/{$5$}, {6*\cote}/0/{$6$}, {7*\cote}/0/{$7$}, {8*\cote}/0/{$8$}, {9*\cote}/0/{$9$}, {10*\cote}/0/{$10$}, {11*\cote}/0/{$11$}, {12*\cote}/0/{$12$},} {
			\draw ({\u},{\v}) -- ({\u+\cote},{\v}) -- ({\u+\cote},{\v+\cote}) -- ({\u},{\v+\cote}) -- cycle;
			\draw ({\u+0.5*\cote},{\v+0.5\cote}) node {\figure};
		}
		\def\abs{0};
		\def\ord{0.5*\cote};
		\fill[color=gray] ({\abs-0.4*\cote},{\ord}) -- ({\abs+0.4\cote},{\ord}) -- ({\abs},{\ord+1*\cote}) -- cycle;
		\fill[color=gray] plot [domain=0:360] ({\abs+0.4*\cote * cos(\x)},{\ord+1*\cote+0.4*\cote * sin(\x)})
		-- cycle;
	\end{tikzpicture}
	}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On lance le dé vert seul. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 ?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Modélisation: notons $\Omega_1$ l'ensemble des $6$ faces du dé (en les distinguant toutes). L'univers est muni de la loi d'équiprobabilité, $\mathbb{P}_1$, puisque les dés sont équilibrés.
		
		Notons $E$ l'événement \og obtenir un $3$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_1(E)$.}
		
		$\Omega_1$ est muni de l'équiprobabilité, $E$ est réalisé par $2$ issues et $\Omega_1$ contient $6$ issues donc:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_1(E) &= \frac{2}{6}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_1(E)=\frac{1}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Dans la suite de l’exercice, afin de simplifier les réponses, on pourra considérer que les faces vierges correspondent au nombre $0$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève lance les deux dés, il calcule la somme des nombres obtenus.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles sommes peuvent être obtenues?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{WildStrawberry}Afin de nous ramener à l'équiprobabilité, et donc à un travail de dénombrement, nous allons modéliser en distinguant toutes les faces des dés. Par exemple les deux faces $3$ du dé vert seront distinguées.}
			
			Notons $\Omega_2$ l'univers formé des $36$ couples de faces des deux dés qu'il est possible d'obtenir et munissons-le de l'équiprobabilité $\mathbb{P}_2$.
			
			Schématisons l'expérience aléatoire par un tableau double entrée en indiquant ce qui nous intéresse à savoir les sommes en fonction des différentes faces.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
					
					\hline
					\backslashbox{dé bleu}{dé vert} & \cellcolor{Green!40} $0$	& \cellcolor{Green!40} $1$ & \cellcolor{Green!40} $1$ & \cellcolor{Green!40} $2$ & \cellcolor{Green!40} $3$ & \cellcolor{Green!40} $3$
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $0$ & $0$ & $1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $3$ 
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $1$ & $1$ & $2$ & $2$ & $3$ & $4$ & $4$ 
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $2$ & $2$ & $3$ & $3$ & $4$ & $5$ & $5$
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $2$ & $2$ & $3$ & $3$ & $4$ & $5$ & $5$
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $3$ & $3$ & $4$ & $4$ & $5$ & $6$ & $6$ 
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $3$ & $3$ & $4$ & $4$ & $5$ & $6$ & $6$ 
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\medskip
			{\color{WildStrawberry}Si on note $X$ variable aléatoire qui à chaque lancer des deux dés associe la somme des nombres affichés vérifie donc: $X \in \{ 0;1;2;3;4;5;6 \}$.}
			
			
			\begin{conclusion}
				
				Les sommes possibles sont: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité qu’il doive passer son tour?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $P$ l'événement \og passer son tour \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}_2(P)$.}
			
			$\Omega_2$ est muni de l'équiprobabilité, $P$ est réalisé par $1$ issue et l'univers, $\Omega_2$, contient $36$ issues donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}_2(P) = \frac{1}{36}$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité qu’il doive avancer de $3$ cases?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $F$ l'événement \og avancer de trois cases \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}_2(F)$.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
					
					\hline
					\backslashbox{dé bleu}{dé vert} & \cellcolor{Green!40} $0$	& \cellcolor{Green!40} $1$ & \cellcolor{Green!40} $1$ & \cellcolor{Green!40} $2$ & \cellcolor{Green!40} $3$ & \cellcolor{Green!40} $3$
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $0$ & $0$ & $1$ & $1$ & $2$ & \cellcolor{red!40} $3$ & \cellcolor{red!40} $3$ 
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $1$ & $1$ & $2$ & $2$ & \cellcolor{red!40} $3$ & $4$ & $4$ 
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $2$ & $2$ & \cellcolor{red!40} $3$ & \cellcolor{red!40} $3$ & $4$ & $5$ & $5$
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $2$ & $2$ & \cellcolor{red!40} $3$ & \cellcolor{red!40} $3$ & $4$ & $5$ & $5$
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $3$ & \cellcolor{red!40} $3$ & $4$ & $4$ & $5$ & $6$ & $6$ 
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $3$ & \cellcolor{red!40} $3$ & $4$ & $4$ & $5$ & $6$ & $6$ 
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			$\Omega_2$ est muni de l'équiprobabilité, d'après le tableau $F$ est réalisé par $8$ issues et l'univers, $\Omega_2$, contient $36$ issues donc:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}_2(F) &= \frac{9}{36}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}_2(F) = \frac{1}{4}$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la probabilité de chacun des résultats possibles.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant comme à la question précédente nous obtenons:
			
			\begin{conclusion}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline 
					Somme & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
					\\
					\hline
					Probabilité & $\dfrac{1}{36}$ & $\dfrac{3}{36}$ & $\dfrac{5}{36}$ & $\dfrac{9}{36}$ & $\dfrac{8}{36}$ & $\dfrac{6}{36}$ & $\dfrac{4}{36}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			
			Quelle est la probabilité que le résultat du dé vert soit strictement supérieur à celui du dé bleu?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $G$ l'événement \og le résultat du vert est strictement supérieur à celui du dé bleu \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}_2(G)$.}
			
			{\color{WildStrawberry}Utilisons le tableau pour dénombrer les issues qui nous intéressent même si les sommes ne servent à rien.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
					
					\hline
					\backslashbox{dé bleu}{dé vert} & \cellcolor{Green!40} $0$	& \cellcolor{Green!40} $1$ & \cellcolor{Green!40} $1$ & \cellcolor{Green!40} $2$ & \cellcolor{Green!40} $3$ & \cellcolor{Green!40} $3$
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $0$ & $0$ & \cellcolor{red!40} $1$ & \cellcolor{red!40} $1$ & \cellcolor{red!40} $2$ & \cellcolor{red!40} $3$ & \cellcolor{red!40} $3$ 
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $1$ & $1$ & $2$ & $2$ & \cellcolor{red!40} $3$ & \cellcolor{red!40} $4$ & \cellcolor{red!40} $4$ 
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $2$ & $2$ & $3$ & $3$ & $4$ & \cellcolor{red!40} $5$ & \cellcolor{red!40} $5$
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $2$ & $2$ & $3$ & $3$ & $4$ & \cellcolor{red!40} $5$ & \cellcolor{red!40} $5$
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $3$ & $3$ & $4$ & $4$ & $5$ & $6$ & $6$ 
					\\
					\hline
					\cellcolor{Blue!40} $3$ & $3$ & $4$ & $4$ & $5$ & $6$ & $6$ 
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			$\Omega_2$ est muni de l'équiprobabilité, d'après le tableau $G$ est réalisé par $12$ issues et l'univers, $\Omega_2$, contient $36$ issues donc:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}_2(F) &= \frac{12}{36}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}_2(F) = \frac{1}{3}$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Après deux tours de jeu, un élève est arrivé sur la case $10$. Quelle est la probabilité qu’il se soit arrêté sur la case $4$ au premier tour?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $H$ l'événement \og obtenir $4$ au premier tour \fg{} et $K$ l'événement \og arriver sur la case $10$ au deuxième tour\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_K(H)$ la probabilité que l'élève s'arrête sur la case $4$ sachant qu'il est arrivé sur la case $10$ au deuxième tour.}
		
		{\color{WildStrawberry}Avec les probabilités conditionnelles tout ce passe comme si l'univers était modifié.}
		
		Puisque l'élève est arrivé sur la case $10$ il a forcément obtenu un nombre strictement supérieur à $3$.
		
		Donc l'univers n'est plus $\Omega_2$ mais pas l'univers $\Omega_3$ regroupant les issues correspondant aux cases colorées ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
				
				\hline
				\backslashbox{dé bleu}{dé vert} & \cellcolor{Green!40} $0$	& \cellcolor{Green!40} $1$ & \cellcolor{Green!40} $1$ & \cellcolor{Green!40} $2$ & \cellcolor{Green!40} $3$ & \cellcolor{Green!40} $3$
				\\
				\hline
				\cellcolor{Blue!40} $0$ & $0$ & $1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $3$ 
				\\
				\hline
				\cellcolor{Blue!40} $1$ & $1$ & $2$ & $2$ & $3$ & \cellcolor{magenta!40} $4$ & \cellcolor{magenta!40} $4$ 
				\\
				\hline
				\cellcolor{Blue!40} $2$ & $2$ & $3$ & $3$ & \cellcolor{magenta!40} $4$ & \cellcolor{magenta!40} $5$ & \cellcolor{magenta!40} $5$
				\\
				\hline
				\cellcolor{Blue!40} $2$ & $2$ & $3$ & $3$ & \cellcolor{magenta!40} $4$ & \cellcolor{magenta!40} $5$ & \cellcolor{magenta!40} $5$
				\\
				\hline
				\cellcolor{Blue!40} $3$ & $3$ & \cellcolor{magenta!40} $4$ & \cellcolor{magenta!40} $4$ & \cellcolor{magenta!40} $5$ & \cellcolor{magenta!40} $6$ & \cellcolor{magenta!40} $6$ 
				\\
				\hline
				\cellcolor{Blue!40} $3$ & $3$ & \cellcolor{magenta!40} $4$ & \cellcolor{magenta!40} $4$ & \cellcolor{magenta!40} $5$ & \cellcolor{magenta!40} $6$ & \cellcolor{magenta!40} $6$ 
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Les issues ayant toutes la même chance d'être obtenues nous munissons $\Omega_3$ de l'équiprobabilité $\mathbb{P}$. Ainsi $\Omega_3$ contient $18$ issues.
		
		De plus il y a $8$ issues correspondant l'obtention d'un $4$ donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_K(H) &= \frac{8}{18}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_K(H)=\frac{4}{9}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Un nombre décimal est souvent défini de la façon suivante: \og Un nombre décimal est un nombre pouvant s’écrire sous la forme $dfrac{a}{10^n}$ où $a$ est un nombre entier et $n$ est un nombre entier positif.\fg{}.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On s’appuiera sur la \underline{définition précédente} pour répondre aux deux questions suivantes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $0,127$ est un nombre décimal.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Montrons que $0,127$ est un nombre décimal.}
			
			\[ 0,127=\frac{127}{1000}=\frac{127}{10^3}.\]
			
			Donc $0,127$ peut s'écrire sous la forme $\dfrac{a}{10^n}$ avec $a=127$ qui est un entier et $n=3$ un nombre entier positif.
			
			\begin{conclusion}
				
				$0,127$ est un nombre décimal.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\dfrac{1}{4}$ est un nombre décimal.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Montrons que $\dfrac{1}{4}$ est décimal.}
			
			\[ \frac{1}{4}=\frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = \frac{25}{10^2}. \]
			
			Comme $a=25\in \mathbb{Z}$ et $n=2\in\mathbb{N}$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\frac{1}{4} \in \mathbb{D}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans une classe de CM2 un enseignant demande aux élèves de dire ce qu’est un nombre décimal, voici trois réponses proposées par des élèves:
		
		\begin{itemize}
			
			\item Élève A : \og \emph{Un nombre décimal est un nombre avec une virgule.}\fg{}
			
			\item Élève B: \og \emph{Un nombre décimal est un nombre qui s’écrit avec une fraction qui a $10$ ou $100$ au dénominateur.} \fg{}
			
			\item Élève C: \og \emph{Un nombre décimal est un nombre qui n’est pas entier.} \fg{}
			
		\end{itemize}
		
		Expliquer pourquoi chacune des définitions proposées ne convient pas d’un point de vue mathématique. On pourra notamment s’appuyer sur des contre-exemples.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item La proposition de l'élève A ne convient pas car $\frac{1}{3}=0,333\dots$ est un nombre avec une virgule mais ce n'est pas un nombre décimal.
			
			\item La proposition de l'élève B ne convient pas car $0,127$ est un nombre décimal mais il ne peut pas s'écrire comme une fraction avec $10$ ou $100$ au dénominateur.
			
			\item La proposition de l'élève C ne convient pas car les nombres entiers sont des décimaux, par exemple, $3=\frac{30}{10^1}$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Parmi les nombres suivants dire, en justifiant, lesquels sont décimaux et lesquels ne le sont pas: $2,48$; $\dfrac{7}{25}$; $12$; $\dfrac{7}{9}$; $\dfrac{49}{14}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item $2,48=\frac{248}{10^2}$. Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$2,48 \in \mathbb{D}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $\frac{7}{25}=\frac{28}{10^2}$. Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\frac{7}{25} \in \mathbb{D}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $12=\frac{12}{10^0}$. Donc 
			
			
			\begin{conclusion}
				
				$12 \in \mathbb{D}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item  $\frac{7}{9}=0,777\dots$. Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				
				$\frac{7}{9} \in \mathbb{D}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item $\frac{49}{14}= \frac{7}{2}=\frac{35}{10}=\frac{35}{10^1}$. Donc
						
			\begin{conclusion}
				
				$\frac{49}{14} \in \mathbb{D}$.
				
			\end{conclusion}				
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le produit de deux nombres décimaux est-il toujours un nombre décimal? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soient $a \in \mathbb{Z}$,  $n\in\mathbb{N}$, $b \in \mathbb{Z}$ et $m \in \mathbb{N}$.
		
		\begin{align*}
			\frac{a}{10^n} \times \frac{b}{10^m} &= \frac{a\times b}{10^n \times 10^m}\\
			&= \frac{a\times b}{10^{n+m}}
		\end{align*}
		
		Comme $a \times b \in \mathbb{Z}$ et $n+m\in\mathbb{N}$, on a $\frac{a}{10^n} \times \frac{b}{10^m} \in \mathbb{D}$.
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			Le produit de deux nombres décimaux est encore un nombre décimal.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le quotient de deux nombres décimaux est-il toujours un nombre décimal? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$1$ et $3$ sont des nombres décimaux mais $\frac{1}{3}=0,333\dots \notin \mathbb{D}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Le quotient de deux nombres décimaux n'est pas nécessairement décimal.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}	

\subsection{Exercice 3.}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Alice veut réaliser une activité avec ses élèves de petite section de maternelle. Elle a besoin de découper $30$ disques de $14\ \mathrm{cm}$ de rayon dans des feuilles de dimensions $120\ \mathrm{cm}\times 80\ \mathrm{cm}$, c’est-à-dire de $120\ \mathrm{cm}$ de longueur sur $80\ \mathrm{cm}$ de largeur.
	
	Elle aimerait les dessiner en occupant l’espace de chaque feuille en commençant en haut à gauche puis en continuant comme dans la figure ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\def\rayon{0.4};
			\foreach \u in {0,1,...,7} {
				\draw[black, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\u*2*\rayon+\rayon*cos(\x)},{\rayon*sin(\x)});
			}
			\foreach \u in {0,1,2} {
				\draw[black, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\u*2*\rayon+\rayon*cos(\x)},{-2*\rayon+\rayon*sin(\x)});
			}			
			\foreach \u in {3} {
				\draw[black, thick] ({\u*2*\rayon},{-2*\rayon}) node {\Large ...};
			}
		\draw [very thick, black] ({-\rayon},{\rayon}) -- ({-\rayon+9*2*\rayon},{\rayon}) -- ({-\rayon+9*2*\rayon},{\rayon -3*2*\rayon}) -- ({-\rayon},{\rayon -3*2*\rayon}) -- cycle;
		\end{tikzpicture}
		
		\emph{Cette figure n'est pas à l'échelle.}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire de la feuille, en $\mathrm{cm}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_f$ de la feuille.}
		
		Il s'agit d'un rectangle donc
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_f &= 120\ \mathrm{cm} \times 80\ \mathrm{cm}\\
			&= 120 \times 80\ \mathrm{cm}^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_f=9600\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi Alice peut tracer au maximum $4$ disques dans la longueur de la feuille.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre $n_L$ de disque qui entre dans une longueur.}
			
			Chaque disque ayant un rayon de $14\ \mathrm{cm}$ et la feuille ayant une longueur de $120\ \mathrm{cm}$ il faut que:
			
			\begin{align*}
				n_L \times (2 \times 14\ \mathrm{cm}) &\leqslant 120\ \mathrm{cm}\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				n_L \times 28\ \mathrm{cm} &\leqslant 120\ \mathrm{cm}\\
				\frac{n_L \times 28\ \mathrm{cm}}{\color{orange}28\ \mathrm{cm}} &\leqslant \frac{120\ \mathrm{cm}}{\color{orange}28\ \mathrm{cm}} \quad \text{car } 28>0\\
				n_L&\leqslant \frac{30}{7}
			\end{align*}
			
			Or, en tronquant, $\frac{30}{7}\approx 4,28$ donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				le nombre, entier, de disques entiers qu'il est possible de tracer est au maximum de $4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire le nombre maximum de disques qu’elle pourra tracer dans cette feuille.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre maximum de disque qu'il est possible de placer dans une largeur.}
			
			En procédant à une division euclidienne {\color{orange}(pour changer un peu de ce qui a été fait à la question précédente)}:
			
			\begin{align*}
				80 &= 2 \times 28 +24
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il est donc loisible de placer $2$ disques entiers dans le sens de la largeur.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Combien faut-il au minimum de feuilles pour dessiner les $30$ disques?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre de feuilles nécessaires.}
			
			Une feuille contient au maximum $4$ disques par lignes et $2$ lignes donc $2 \times 4=8$ disques.
			
			Puisqu'il faut $30$ disques le nombre de feuilles nécessaire s'obtient par division euclidienne:
			
			\begin{align*}
				30 &= 3 \times 8 +6
			\end{align*}
			
			En utilisant $3$ feuilles il manquera encore $6$ disques donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				il faudra $4$ feuilles.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Représenter à l'échelle $1/8$ une feuille de dimensions $120\ \mathrm{cm} \times 80\ \mathrm{cm}$ avec les disques qu'elle peut contenir.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque l'échelle est $1/8$:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{1.2cm}|c|c|c|}
				\hline
				Réel & $14\ \mathrm{cm}$ & $120\ \mathrm{cm}$ & $80\ \mathrm{cm}$
				\\
				\hline
				Échelle & $1,75\ \mathrm{cm}$ & $15\ \mathrm{cm}$ & $10\ \mathrm{cm}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale={1/8}]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (80,0);
				\coordinate (C) at (80,120);
				\coordinate (D) at (0,120);
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
				\draw [dashed] (14,0) -- (14,120);
				\draw [dashed] (0,14) -- (80,14);
				\draw (0,14) node [left] {$1,75\ \mathrm{cm}$};
				\draw (14,0) node [below] {$1,75\ \mathrm{cm}$};
				\foreach \a/\b in { 14/14, 42/14, 14/42, 42/42, 14/70, 42/70, 14/98, 42/98 } \draw [samples=100,domain=0:360] plot({14*cos(\x)+\a},{14*sin(\x)+\b});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire exacte d’un disque puis donner la valeur arrondie au centimètre carré près.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_d$ d'un disque.}
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_d &= \pi R^2\\
			&= \pi \times (14\ \mathrm{cm})^2\\
			&= \pi \times 14^2 \ \mathrm{cm}^2
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_d=196\pi\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		En arrondissant au centimètre carré:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_d \approx 616\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Dans la suite du problème, on considérera que l’aire d’un disque est de $616\ \mathrm{cm}^2$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l’aire de papier non utilisé si Alice découpe $8$ disques dans une feuille?
			
			Quelle proportion, exprimée en pourcentage et arrondie à l’unité de pourcentage, de l’aire totale de la feuille cela représente-t-il ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item D'après les questions A.1 et A.4 l'aire de la feuille en ôtant les huit disques est:
				
				\begin{align*}
					\mathscr{A}_c &\approx 9600\ \mathrm{cm}^2- 8 \times 616\ \mathrm{cm}^3 \\
					&\approx (9600-8 \times 616)\ \mathrm{cm}^2
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					L'aire des chutes sur une feuille est $\mathscr{A}_c\approx 4672\ \mathrm{cm}^2$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Déterminons la proportion $p$ des chutes pour une feuille.}
				
				\begin{align*}
					p &= \frac{4672\ \mathrm{cm}^2}{9600\ \mathrm{cm}^2}\\
					&= \frac{4672}{9600}\\
					&=\frac{73}{150}\\
					&\approx 0,48666 \quad \text{en tronquant}
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$49\ \%$ de chaque feuille utilisée pour faire $8$ disques est constituée de chutes.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l’aire de papier non utilisé après avoir découpé 30 disques ?
			
			Quelle proportion, exprimée en pourcentage et arrondie à l’unité de pourcentage, de l’aire totale des feuilles utilisées cela représente-t-il?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_{30}$ de papier non utilisé pour faire $30$ disques.}
			
			Sur trois des quatre feuilles l'aire de la chute est $\mathscr{A}_{c}$ mais sur la quatrième il n'y a que $6$ disques donc la chute est:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_{r} &= \approx 9600\ \mathrm{cm}^2- 6 \times 616\ \mathrm{cm}^3 \\
				&\approx (9600-6 \times 616)\ \mathrm{cm}^2\\
				&\approx 5904\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			Ainsi les chutes représentent:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_{30} &\approx 3 \times \mathscr{A}_c+\mathscr{r}\\
				&\approx 3 \times 4672\ \mathrm{cm}^2+5904\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_{30}\approx 19920\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour limiter le gaspillage de papier, Alice veut choisir le format qui permettra d’obtenir le moins de chutes (en $\mathrm{cm}^2$) tout en gardant la même disposition que précédemment. Elle a le choix entre plusieurs formats proposés par un fournisseur:
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				\textbf{Nom} & \textbf{Dimensions}
				\\
				\hline
				Raisin &
				$65\ \mathrm{cm}\times 50\ \mathrm{cm}$
				\\
				\hline
				Jésus & $75\ \mathrm{cm} \times 56\ \mathrm{cm}$
				\\
				\hline
				Impérial & $80\ \mathrm{cm} \times 60\ \mathrm{cm}$
				\\
				\hline
				Grand Aigle & $105\ \mathrm{cm} \times 75\ \mathrm{cm}$
				\\
				\hline
				Grand Monde & $120\ \mathrm{cm} \times 80\ \mathrm{cm}$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
		
		Pour obtenir les $30$ disques, le format Grand Aigle permet-il d’obtenir moins de chutes (en $\mathrm{cm}^2$) que le format Grand Monde? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le format Grand Aigle peut accueillir exactement le même nombre de disque et avec la même disposition que le format Grand Monde. Cependant ce dernier est d'une superficie plus réduite ce qui minimise les déchets:
		
		\begin{conclusion}
			
			le format Grand Aigle permet d'obtenir moins de chutes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	D’autres classes veulent réaliser la même activité. La directrice se demande quel format permettra d’obtenir moins de chutes en fonction du nombre de disques à découper.
	
	Pour cela, elle utilise un tableur:
	
	\medskip
	{\hspace*{-1.25cm}
	\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2022_maths_externe_sujet_0_01_tableur.png}
	}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sans justifier, donner la formule qui a été saisie dans la cellule $\texttt{B}2$ et étirée vers le bas.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			$=616*\texttt{A}1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sans justifier, donner le format permettant d’éviter au mieux le gaspillage de papier si l’on veut réaliser $325$ disques.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour $325$ disques il faut choisir le format Jésus.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les deux seuls fournisseurs disponibles ne disposent plus que de feuilles au format \og Grand Monde \fg{}. La directrice veut choisir le fournisseur qui propose le tarif le plus avantageux pour acheter les feuilles nécessaires à la réalisation des disques. On a représenté graphiquement ci-dessous le prix en fonction du nombre de feuilles commandées chez chaque fournisseur:
		
		{\hspace*{-1.5cm}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
			\def\xY{-0.1};
			\def\yY{-0.1};
			\def\xZ{15.5};
			\def\yZ{11.25};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,15}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\foreach \u in {0,1,...,30} {
				\draw[red] ({\u/2},{3.55*\u/10}) node {$+$};
			}
			\foreach \u in {0,1,...,30} {
				\draw [blue] ({\u/2},{2.9*\u/10 +1.49}) node {$\times$};
			}
		\draw[red] (4,1.25) node{Fournisseur A};
		\draw[blue] (2.5,4.25) node{Fournisseur B};
		\draw (13,-1) node{Nombre de feuilles};
		\draw (-1.5,10.5) node{\begin{tabular}{c}Prix en\\ euros\end{tabular}};
			\end{tikzpicture}
		}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Chez un des deux fournisseurs le coût des feuilles est proportionnel au nombre de feuilles achetées. Lequel? On justifiera la réponse.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Les deux séries de points sont alignés. Les deux droites correspondant sont les courbes représentatives de deux fonction affines. Or une fonction affine représente une situation de proportionnalité si elle est linéaire et elle est linéaire si sa courbe représentative passe par l'origine du repère.
			
			\begin{conclusion}
				
				Le coût est proportionnel chez le fournisseur A.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Répondre aux questions suivantes par lecture graphique, sans justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le prix que va coûter l’achat de $15$ feuilles chez chaque fournisseur?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			{\hspace*{-2cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
				\def\xY{-0.1};
				\def\yY{-0.1};
				\def\xZ{15.5};
				\def\yZ{11.25};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,15}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\foreach \u in {0,1,...,30} {
					\draw[red] ({\u/2},{3.55*\u/10}) node {$+$};
				}
				\foreach \u in {0,1,...,30} {
					\draw [blue] ({\u/2},{2.9*\u/10 +1.49}) node {$\times$};
				}
				\draw[red] (4,1.25) node{Fournisseur A};
				\draw[blue] (2.5,4.25) node{Fournisseur B};
				\draw (13,-1) node{Nombre de feuilles};
				\draw (-1.5,10.5) node{\begin{tabular}{c}Prix en\\ euros\end{tabular}};
				\draw [very thick, Green] (7.5,0) -- (7.5,{2.9*15/10 +1.49});
				\draw [very thick, blue] (7.5,{2.9*15/10 +1.49}) -- (0,{2.9*15/10 +1.49});
				\draw [very thick, red] (7.5,{3.55*15/10}) -- (0,{3.55*15/10});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				$15$ feuilles coûtent $53\ \text{\euro}$ chez le fournisseur A et $58\ \text{\euro}$ chez le fournisseur B.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
				
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le nombre maximal de feuilles que l’on peut acheter chez chaque fournisseur si l’on dispose d’un budget de $45\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\hspace*{-2cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
				\def\xY{-0.1};
				\def\yY{-0.1};
				\def\xZ{15.5};
				\def\yZ{11.25};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,15}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\foreach \u in {0,1,...,30} {
					\draw[red] ({\u/2},{3.55*\u/10}) node {$+$};
				}
				\foreach \u in {0,1,...,30} {
					\draw [blue] ({\u/2},{2.9*\u/10 +1.49}) node {$\times$};
				}
				\draw[red] (4,1.25) node{Fournisseur A};
				\draw[blue] (2.5,4.25) node{Fournisseur B};
				\draw (13,-1) node{Nombre de feuilles};
				\draw (-1.5,10.5) node{\begin{tabular}{c}Prix en\\ euros\end{tabular}};
				\draw [very thick, Green] (0,4.5) -- (15.5,{4.5});
				\draw [very thick, blue] (5,{2.9*10/10 +1.49}) -- (5,{0});
				\draw [very thick, red] (6,{0}) -- (6,{3.55*12/10});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				Avec $45\ \text{euro}$ il est possible d'acheter $12$ feuilles chez le fournisseur A et $10$ chez le fournisseur B.
				 
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À partir de combien de feuilles est-il plus avantageux de commander chez le fournisseur B?
			
		\end{sujet}
				
		\begin{correction}
			
			{\hspace*{-2cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
				\def\xY{-0.1};
				\def\yY{-0.1};
				\def\xZ{15.5};
				\def\yZ{11.25};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,15}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,10}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\foreach \u in {0,1,...,30} {
					\draw[red] ({\u/2},{3.55*\u/10}) node {$+$};
				}
				\foreach \u in {0,1,...,30} {
					\draw [blue] ({\u/2},{2.9*\u/10 +1.49}) node {$\times$};
				}
				\draw[red] (4,1.25) node{Fournisseur A};
				\draw[blue] (2.5,4.25) node{Fournisseur B};
				\draw (13,-1) node{Nombre de feuilles};
				\draw (-1.5,10.5) node{\begin{tabular}{c}Prix en\\ euros\end{tabular}};
				\draw [very thick, Green] ({23/2},{2.9*23/10 +1.49}) -- ({23/2},{0});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le fournisseur B devient avantageux à partir de $23$ feuilles commandées.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a maintenant représenté sous forme de tableau les tarifs proposés par chaque fournisseur:
		
		\begin{center}
			\begin{tabularx}{1\linewidth}{|m{2.2cm}|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				& Coût d'une feuille (en \euro) & Frais de port (en \euro)
				\\
				\hline
				Fournisseur A & $3,55$ & Gratuit
				\\
				\hline
				Fournisseur B & $2,90$ & $14,90$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		\end{center}
				
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le prix que va coûter l’achat de $15$ feuilles chez chaque fournisseur?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le coût de $15$ feuilles, $u_A(15)$ et $u_B(15)$ chez les deux fournisseurs.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item 
				
				\begin{align*}
					u_A(15) &= 15 \times 3,55
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$u_A(15)= 53,25\ \text{\euro}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item 
				
				\begin{align*}
					u_B(15) &= 2,90 \times 15 +14,90
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$u_B(15)= 58,40\ \text{\euro}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le nombre de feuilles que l’on peut acheter chez chaque fournisseur si l’on dispose d’un budget de $312\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item \objectif{Résolvons $u_A(x)=312$.}
				
				\begin{align*}
					u_A(x) &= 312\\
					3,55 x &= 312\\
					\frac{3,55x}{\color{orange}3,55} &= \frac{312}{\color{orange}3,55}\\
					\intertext{Donc:}
					x &\approx 87,88
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					Avec $312\ \text{\euro}$ il est possible d'acheter $87$ feuilles chez le fournisseur A.
					
				\end{conclusion}
				
				
				\item \objectif{Résolvons $u_B(x)=312$.}
				
				\begin{align*}
					u_B(x) &= 312\\
					2,90 x +14,90 &= 312\\
					2,90x+14,90 {\color{orange}-14,90} &= 312 {\color{orange}-14,90}\\
					2,90x &= 297,1\\
					\frac{2,90x}{\color{orange}2,90} &= \frac{297,1}{\color{orange}2,90}\\
					\intertext{Donc:}
					x &\approx 102,44
				\end{align*}
								
				\begin{conclusion}
					
					Avec $312\ \text{\euro}$ il est possible d'acheter $102$ feuilles chez le fournisseur B.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À partir de combien de feuilles est-il plus avantageux de commander chez le fournisseur B? Justifier la réponse.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Dire que le fournisseur B est plus avantageux c'est dire que: $u_A(x) \geqslant u_B(x)$.
			
			\medskip
			\objectif{Résolvons l'inéquation $u_A(x) \geqslant u_B(x)$.}
			
			\begin{align*}
				3,55x &\geqslant 2,9x+14,9\\
				3,55x {\color{orange}-2,9x} &\geqslant 2,9x+14,9 {\color{orange}-2,9x}\\
				0,65x &\geqslant 14,9\\
				\frac{0,65x}{\color{orange}0,65} &\geqslant \frac{14,9}{\color{orange}0,65} \text{, car } 0,65>0
			\end{align*}
			
			Or $\frac{14,9}{0,65} \approx 22,92$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				le fournisseur $B$ est plus avantageux à partir de $23$ feuilles commandées.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sachant qu’il y a $325$ disques à dessiner et que l’on peut en mettre $8$ par feuille, quelle entreprise la directrice va-t-elle choisir? Quel sera le prix de cette
			commande ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$325=8 \times 40 +5$, il faut donc acheter $41$ feuilles.
			
			D'après la question précédente
			
			\begin{conclusion}
				
				il faut choisir le fournisseur B.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			$2,9 \times 41+14,9=133,8$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la commande coûtera $133,80\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Après avoir découpé les $30$ disques, Alice veut les border d’un fil de laine. Quelle longueur de laine devra-t-elle utiliser pour border tous les disques? On donnera le résultat en mètre, arrondi au décimètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la longueur $\ell$ de fil.}
		
		Le périmètre d'un disque est: 
		
		\begin{align*}
			p_d &= 2\pi R\\
			&= 2 \pi \times 14\ \mathrm{cm}\\
			&= 28\pi\ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		Donc, pour les $30$ disques:
		
		\begin{align*}
			\ell &= 30 \times p_d\\
			&= 30 \times 28\pi\ \mathrm{cm}\\
			&= 840\pi\ {\color{orange}\mathrm{cm}}\\
			&= 840\pi{\color{orange}\times \frac{1}{100}\ \mathrm{m}}\\
			&= 8,4\pi\ \mathrm{m}\\
			&\approx 26,389\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\ell \approx 26,4\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Alice met $48$ minutes à dessiner et découper les $30$ disques alors que son collègue Bertrand met $1$ heure et $12$ minutes à effectuer cette tâche.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le temps moyen que met Alice pour découper un disque (en minutes et secondes).
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le temps moyen $t_A$ mis par Alice.}
			
			\begin{align*}
				t_A &= \frac{48\ \mathrm{min}}{30}\\
				&=\frac{30+18}{30}\ \mathrm{min}\\
				&= 1\mathrm{min} + \frac{18 \times 2}{30\times 2}\ \mathrm{min}\\
				&= 1\ \mathrm{min} + 18 {\color{orange}\times \frac{1}{60}\ \mathrm{min}}\\
				&= 1\ \mathrm{min} + 18\ {\color{orange}\mathrm{s}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$t_A=1\ \mathrm{min} + 18\ \color{orange}\mathrm{s}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Combien de temps mettront-ils pour découper les $30$ disques ensemble? Donner le résultat en minute et seconde.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $n$ le nombre de disque découpé par Alice s'ils se partagent le travail.
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons $n$.}
			
			On a $t_A= 1,6\ \mathrm{min}$.
			
			Le temps moyen de fabrication pour Bertrand est: $t_B=\frac{1\ \mathrm{h} +12 \ \mathrm{min}}{30}= 2,4\ \mathrm{min}$
			
			Donc on doit avoir dans l'idéal un temps de travail égal pour les deux:
			
			\begin{align*}
				n\times t_A &= (30-n) \times t_B\\
				n \times 1,6 &= (30-n) \times 2,4\\
				1,6n+2,4n &= 30 \times 2,4\\
				4n &= 7,2\\
				n &= \frac{72}{4}\\
				n &= 18
			\end{align*}
			
			Donc le temps mis est: 
			
			\begin{align*}
				18 t_A &= 18 \times 1,6\ \mathrm{min}\\
				&= 28,8\ \mathrm{min}\\
				&= 28\ \mathrm{min} + 0,8\times 60 \ \mathrm{s}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faudra $28\ \mathrm{min}$ et $48\ \mathrm{s}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Soit $M$ un nombre entier naturel inférieur à $100$. On note $u$ le chiffre des unités du nombre $M$ et $d$ son chiffre des dizaines.
	
	Soit $N$ un nombre entier naturel inférieur à $100$, ayant le même chiffre $d$ des dizaines que $M$ et tel que son chiffre $v$ des unités vérifie $u + v = 10$.
	
	\medskip
	Par exemple, pour $M = 34$, alors $N = 36$ vérifie ces conditions.
	
	\medskip
	Pour $M$ et $N$ vérifiant les conditions ci-dessus, on propose d’utiliser l’algorithme ci-dessous pour calculer le produit $M \times N$.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\hfill \textbf{Algorithme de calcul.} \hfill ~
			\\
			\begin{itemize}
				
				\item On calcule le produit de $d$ et de l’entier suivant $d + 1$.
				
				\item On calcule le produit de $u$ et de $v$.
				
				\item On ajoute au produit de $u$ et de $v$, $100$ fois le produit de $d$ et de l’entier suivant $d + 1$.
				
				\item La somme obtenue est le produit $M \times N$.
			\end{itemize}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier en détaillant les calculs que cet algorithme fonctionne pour $34 \times 36$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Effectuons les trois étapes de l'algorithme.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|m{5cm}|}
				\hline
				1 & $d\times (d+1)=3 \times (3+1)= 12$.
				\\
				\hline
				2 & $u \times v=4 \times 6= 24$.
				\\
				\hline
				3 & $u \times v+100 \times d(d+1)=24+100 \times 12=1224$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Or effectivement $34 \times 36= 1224$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			l'algorithme fonctionne pour $34 \times 36$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que cet algorithme de calcul donne effectivement le résultat escompté pour tous les couples de nombres $M$ et $N$ vérifiant les conditions mentionnées en début
		d’exercice. On pourra utiliser les égalités $M = 10d + u$ et $N = 10d + v$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $M \times N= u \times v+ 100\times d(d+1)$.}
		
		\begin{align*}
			M \times N &= (10d+u) \times (10d+v)\\
			&= 10d \times 10d +10d \times v+u \times 10d +u \times v\\
			&= 100d^2 +10d (v+u)+u \times v\\
			&= 100d^2 +10d \times 10 + u \times v\\
			&= 100d \times d +100d \times 1 + u\times v\\
			&= 100d\times (d+1) + u\times v
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'algorithme fonctionne bien.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer comment on peut utiliser cet algorithme de calcul, en détaillant les calculs, pour calculer mentalement $4,2 \times 4,8$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Effectuons les trois étapes de l'algorithme.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|m{5cm}|}
				\hline
				1 & $d\times (d+1)=4 \times (4+1)= 20$.
				\\
				\hline
				2 & $u \times v=2 \times 8= 16$.
				\\
				\hline
				3 & $0,01 \times u \times v+ d(d+1)=0,01 \times 16+ 20=20,16$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Or effectivement $34 \times 36= 1224$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			l'algorithme fonctionne pour $34 \times 36$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Exercice 5.}

\begin{sujet}
	
	On propose un jeu dans une cour de récréation.
	
	Pour cela on s’appuie sur des croix peintes au sol comme indiquée sur le schéma ci-dessous:
	
	\begin{itemize}
		\item la croix $M$ est située à $30\ \mathrm{m}$ du mur d’enceinte de l’école ($MR = 30\ \mathrm{m}$);
		
		\item la croix $L$ est située à $40\ \mathrm{m}$ du mur d’enceinte de l’école ($LS = 40\ \mathrm{m}$);
		
		\item les points $R$ et $S$ sont distants de $50\ \mathrm{m}$ ($RS = 50\ \mathrm{m}$).
		
	\end{itemize}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\MR{3};
			\def\LS{4};
			\def\RS{5};
			\def\xS{0};
			\def\yS{0};
			\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
			\draw (S) node [below left]{$S$};
			\def\xL{\xS+\LS};
			\def\yL{\yS};
			\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
			\draw (L) node [below right]{$L$};
			\draw (L) node {$\times$};
			\def\xR{\xS};
			\def\yR{\yS+\RS};
			\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
			\draw (R) node [above left]{$R$};
			\def\xM{\xS+\MR};
			\def\yM{\yS+\RS};
			\coordinate (M) at ({\xM},{\yM});
			\draw (M) node [above right]{$M$};
			\draw (M) node {$\times$};
			\draw [dashed] (S) -- (L) node [midway, below] {$40\ \mathrm{m}$};
			\draw [dashed] (R) -- (M) node [midway, above] {$30\ \mathrm{m}$};
			\def\deborde{0.5};
			\draw [very thick] ({\xR},{\yR+\deborde}) -- ({\xS},{\yS-\deborde}) node [midway, sloped, above] {\textbf{Mur}};
			\draw [>=latex, <->] ({\xS-\deborde},{\yS}) -- ({\xR-\deborde},{\yR}) node [midway, left] {$50\ \mathrm{m}$};
			\def\codage{0.25};
			\fill [color=gray , opacity=0.25] ({\xS},{\yS}) -- ({\xS+\codage},{\yS}) -- ({\xS+\codage},{\yS+\codage}) -- ({\xS},{\yS+\codage}) -- cycle;
			\draw ({\xS+\codage},{\yS}) -- ({\xS+\codage},{\yS+\codage}) -- ({\xS},{\yS+\codage});
			\fill [color=gray , opacity=0.25] ({\xR},{\yR}) -- ({\xR+\codage},{\yR}) -- ({\xR+\codage},{\yR-\codage}) -- ({\xR},{\yR-\codage}) -- cycle;
			\draw ({\xR+\codage},{\yR}) -- ({\xR+\codage},{\yR-\codage}) -- ({\xR},{\yR-\codage});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Mila, une élève, se trouve sur la croix $M$ et Lucien, un autre élève, se trouve sur la croix $L$. L’enseignante souhaite que Mila et Lucien courent tous les deux vers un même point de contact au mur; le gagnant sera le premier à toucher ce point sur le mur. Pour que l’épreuve soit équitable, l’enseignante souhaite que le point de contact soit à égale distance des positions initiales des deux élèves, c’est-à-dire des croix $L$ et $M$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Construire à l’échelle le plan de la cour avec les points $M$, $L$, $R$ et $S$ en choisissant comme échelle $1\ \mathrm{cm}$ pour $5\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					Longueur réelle & $30\ \mathrm{m}$ & $40\ \mathrm{m}$ & $50\ \mathrm{m}$
					\\
					\hline
					Longueur à l'échelle & $6\ \mathrm{cm}$ & $8\ \mathrm{cm}$ & $10\ \mathrm{cm}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\def\MR{3};
			\def\LS{4};
			\def\RS{5};
			\def\xS{0};
			\def\yS{0};
			\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
			\draw (S) node [below left]{$S$};
			\def\xL{\xS+\LS};
			\def\yL{\yS};
			\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
			\draw (L) node [below right]{$L$};
			\draw (L) node {$\times$};
			\def\xR{\xS};
			\def\yR{\yS+\RS};
			\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
			\draw (R) node [above left]{$R$};
			\def\xM{\xS+\MR};
			\def\yM{\yS+\RS};
			\coordinate (M) at ({\xM},{\yM});
			\draw (M) node [above right]{$M$};
			\draw (M) node {$\times$};
			\draw [dashed] (S) -- (L);
			\draw [dashed] (R) -- (M);
			\def\deborde{0.5};
			\draw ({\xR},{\yR+\deborde}) -- ({\xS},{\yS-\deborde});
			\def\codage{0.25};
			\draw ({\xS+\codage},{\yS}) -- ({\xS+\codage},{\yS+\codage}) -- ({\xS},{\yS+\codage});
			\draw ({\xR+\codage},{\yR}) -- ({\xR+\codage},{\yR-\codage}) -- ({\xR},{\yR-\codage});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sur la figure, construire le point $T$, milieu du segment $[ML]$. Tracer la droite perpendiculaire à $(ML)$ et passant par $T$. On note $C$ le point d’intersection de cette droite avec le mur.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La droite à tracer est la médiatrice de $[ML]$. Tracé à la règle et au compas. La figure suivante est à l'échelle 1/2 par rapport à celle demandée.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\MR{3};
				\def\LS{4};
				\def\RS{5};
				\def\xS{0};
				\def\yS{0};
				\coordinate (S) at ({\xS},{\yS});
				\draw (S) node [below left]{$S$};
				\def\xL{\xS+\LS};
				\def\yL{\yS};
				\coordinate (L) at ({\xL},{\yL});
				\draw (L) node [below right]{$L$};
				\draw (L) node {$\times$};
				\def\xR{\xS};
				\def\yR{\yS+\RS};
				\coordinate (R) at ({\xR},{\yR});
				\draw (R) node [above left]{$R$};
				\def\xM{\xS+\MR};
				\def\yM{\yS+\RS};
				\coordinate (M) at ({\xM},{\yM});
				\draw (M) node [above right]{$M$};
				\draw (M) node {$\times$};
				\draw [dashed] (S) -- (L);
				\draw [dashed] (R) -- (M);
				\def\deborde{0.5};
				\draw ({\xR},{\yR+\deborde}) -- ({\xS},{\yS-\deborde});
				\def\codage{0.25};
				\draw ({\xS+\codage},{\yS}) -- ({\xS+\codage},{\yS+\codage}) -- ({\xS},{\yS+\codage});
				\draw ({\xR+\codage},{\yR}) -- ({\xR+\codage},{\yR-\codage}) -- ({\xR},{\yR-\codage});;
				\def\xT{(\xM+\xL)/2};
				\def\yT{(\yM+\yL)/2};
				\coordinate (T) at ({\xT},{\yT});
				\draw (T) node [above left]{$T$};
				\draw (T) node {$\times$};
				\draw (M) -- (T) node [midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw (T) -- (L) node [midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw [samples=100,domain=-0.8:0.8] plot({(\xM+\xL)/2-((\yL)-(\yM))*\x},{(\yL+\yM)/2+((\xL)-(\xM))*\x});
				\def\rayon{4};
				\draw[dashed][samples=100,domain=200:240] plot({(\xM)+\rayon *cos(\x)},{(\yM)+\rayon *sin(\x)});
				\draw[dashed][samples=100,domain=320:340] plot({(\xM)+\rayon *cos(\x)},{(\yM)+\rayon *sin(\x)});
				\draw[dashed][samples=100,domain=140:160] plot({(\xL)+\rayon *cos(\x)},{(\yL)+\rayon *sin(\x)});
				\draw[dashed][samples=100,domain=30:60] plot({(\xL)+\rayon *cos(\x)},{(\yL)+\rayon *sin(\x)});
				\def\xC{\xS};
				\def\yC{\yR-3.2};
				\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
				\draw (C) node [above left]{$C$};
				\draw (C) node {$\times$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que le point $C$ est le point de contact cherché.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La droite $(CT)$ est la médiatrice de $[ML]$ puisqu'elle passe par le milieu du segment et est perpendiculaire à ce segment.
			
			Or les points de la médiatrice sont équidistants des extrémités du segment. En particulier $C$ est équidistant de $M$ et de $L$.
			
			Comme de plus c'est un point de $[RS]$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$C$ est le point de contact recherché.
				
			\end{conclusion}
						
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Mesurer la longueur $RC$ sur le plan et en déduire une estimation de la distance entre les points $R$ et $C$ dans la cour de récréation.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Sur la figure à l'échelle
			
			\begin{conclusion}
				
				la distance entre $R$ et $C$ mesure $3,2\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			
			Par proportionnalité:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$1\ \mathrm{cm}$ & $5\ \mathrm{m}$
					\\
					\hline
					$6,4\ \mathrm{cm}$ & $6,4 \times 5\ \mathrm{m}= 32\ \mathrm{m}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				La distance entre les points $R$ et $C$ dans la cours de récréation est approximativement de $16\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On note $x$ la distance, exprimée en mètre, entre les points $R$ et $C$ dans la cour de
		récréation.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer les longueurs $MC$ et $CL$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item \objectif{Exprimons $MC$ en fonction de $x$.}
				
				$RMC$ est rectangle en $R$ donc, d'après le théorème de Pythagore, on a \[ CR^2+RM^2= MC^2.\]
				
				Nous en déduisons successivement:
				
				\begin{align*}
					MC^2 &= x^2+ 30^2\\
					MC^2 &= x^2+900 
				\end{align*}
				
				Puisque $MC$ est une longueur c'est un nombre positif et donc:
				
				\begin{conclusion}
					
					$MC = \sqrt{x^2+900}$.
					
				\end{conclusion}
				
				\item \objectif{Exprimons $CL$ en fonction de $x$.}
				
				$CSL$ est rectangle en $S$ donc, d'après le théorème de Pythagore, on a \[ CS^2+SL^2= CL^2.\]
				
				Nous en déduisons successivement:
				
				\begin{align*}
				CL^2 &= (50-x)^2+ 40^2\\
				CL^2 &= (50-x)^2+1600
				\end{align*}
				
				Puisque $CL$ est une longueur c'est un nombre positif et donc:
				
				\begin{conclusion}
					
					$CL = \sqrt{(50-x)^2+1600}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 		
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la distance entre les points $R$ et $C$ dans la cour de récréation.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Analyse.}
				
				Supposons que nous ayons trouvé $C$.
				
				On a donc:
				
				\begin{align*}
					MC &= CL\\
					\intertext{D'où:}
					\sqrt{x^2+900} &= \sqrt{(50-x)^2+1600}\\
					x^2+900 &= (50-x)^2+1600\\
					x^2+900 &= \left( 50^2-2 \times 50 \times x + x^2 \right) +1600\\
					x^2+900 &= x^2-100x+2500+1600\\
					x^2+900 {\color{orange}-x^2} &= x^2-100x+4100 {\color{orange}-x^2}\\
					900 &= -100x+4100\\
					900 {\color{orange}-4100} &= 100x+4100 {\color{orange}-4100}\\
					-3200 &= -100x\\
					\frac{-3200}{\color{orange}-100} &= \frac{-100x}{-100}\\
					32 &= x
				\end{align*}
				
				\item {\color{orange}Synthèse.}
				
				$0\leqslant 32 \leqslant 50$ et  si $x=32$ alors on a bien $LC=LM$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}