%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2021 sujet 5} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2021 groupe 5.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_5_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_5_sujet.pdf}{pdf}.
		
		\medskip
		{\color{red}Merci à M. Langlois, Mme Schulz et M. Herminet pour leurs corrections.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Voici un graphique présentant le nombre d’apiculteurs en France métropolitaine:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_01_apiculteurs_1.png}
			\\
			\vspace*{-0.1cm}
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_02_apiculteurs_2_bis.png}
			\\
			\vspace*{-0.12cm}
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_03_apiculteurs_3.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		{\flushright \small \emph{Extrait de \og France-Agricole-FranceAgriMer-MIEL-2018-Observatoire miel et GR 2017 \fg{}}}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le nombre d’apiculteurs qui possédaient entre $150$ ruches et $399$ ruches en France métropolitaine en 2017.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\np{1523}$ apiculteurs possédaient entre $150$ et $399$ ruches en 2017.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le nombre total d’apiculteurs en 2017 en France métropolitaine.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\np{49892} + \np{1939} + \np{1523} + \np{599}= \np{53953}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				En 2017 il y avait $\np{53953}$ apiculteurs.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le nombre d’apiculteurs qui possédaient entre $50$ ruches et $399$ ruches en France métropolitaine en 2016.
			
		\end{sujet}		
		
		\begin{correction}
			
			$\np{2020} + \np{2540} = \np{4560}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				En 2016 il y avait $\np{4560}$ apiculteurs avaient entre $50$ et $399$ ruches.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi la partie du diagramme concernant les apiculteurs possédant moins de $50$ ruches n’est pas représenté de la même façon que les autres parties.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a, approximativement $20$ fois plus d'apiculteurs ayant moins de $50$ ruches que dans les autres classes.
			
			\begin{conclusion}
				
				Le choix de la représentation découle de la disproportion dans le nombre d'apiculteurs dans cette classe.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour les apiculteurs ayant moins de $50$ ruches, le pourcentage d’augmentation entre 2016 et 2017 a été de $10,4\ \%$.
			
			Calculer le nombre d’apiculteurs en 2016 dans cette catégorie.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre, $n_{2016}$, d'apiculteurs en 2016.}
			
			{\color{WildStrawberry}Nous devons retrouver la valeur initiale, avant évolution. Pour cela nous allons utiliser le coefficient multiplicateur réciproque, qui n'est autre que l'inverse du coefficient multiplicateur de l'évolution.}
			
			\medskip
			Le coefficient multiplication correspondant à une augmentation de $10,4\ \%$ est
			
			\begin{align*}
				CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
				&= 1+\frac{10,4}{100}\\
				&= 1,104
			\end{align*}
			
			Nous avons donc: \[ n_{2016} \times CM = n_{2017}. \]
			
			Donc: \[ n_{2016} = CM_r n_{2017}, \] où $CM_=\frac{1}{CM}$ est le coefficient multiplicateur réciproque.
			
			Enfin:
			
			\begin{align*}
				n_{2016} &= \frac{1}{1,104} \times \np{49892}\\
				&\approx \np{45192,02}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\np{45192}$ apiculteurs avaient moins de $50$ ruches en 2016.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le pourcentage d’évolution du nombre d’apiculteurs possédant au moins $150$ ruches de 2016 à 2017, on arrondira le résultat au dixième d’unité de pourcentage.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons le taux d'évolution $t_{16\to17}$ du nombre d'apiculteurs possédant au moins $150$ ruches ente $2016$ et $2017$.}
		
		Le nombre d'apiculteurs ayant au moins $150$ ruches en 2016 est 
		
		\begin{align*}
			V_{16} &= 2540+608\\
			&= 3148
		\end{align*}
		
		\begin{align*}
			V_{17} &= 1523+599\\
			&= 2122
		\end{align*}
		
		\begin{align*}
			t_{16\to17} &= \frac{V_{17}-V_{16}}{V_{16}} \times 100\\
			&= \frac{2122-3148}{3148}\times 100\\
			&\approx -3259I1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$t_{16\to17} \approx -32,6\ \%$. Autrement dit le nombre d'apiculteurs a diminué de $32,6\ \%$.
			
		\end{conclusion}
					
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Dans une ruche, le miel est stocké par les abeilles dans des alvéoles. On considère que l’entrée de ces alvéoles a la forme d’un hexagone régulier, c’est-à-dire d’un hexagone non croisé, ayant tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit l’hexagone régulier $ABCDEF$. On note $x$ la longueur d’un de ses côtés. Cet hexagone est
		inscrit dans un cercle de centre $O$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[rotate=25]
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				\draw (O) node [below] {$O$};
				\draw ({\xO} , {\yO}) node {$\bullet$};
				\def\deg{60};
				\def\ray{2.5};
				\def\eps{0.3};
				\foreach \P/\n in { A/0, B/1, C/2, D/3, E/4, F/5} {
					\coordinate (\P) at ({\xO+\ray*cos(180+\n*\deg)} , {\yO+\ray*sin(180+\n*\deg)});
					\draw ({\xO+(\ray+\eps)*cos(180+\n*\deg)} , {\yO+(\ray+\eps)*sin(180+\n*\deg)}) node {$\P$};
					\draw ({\xO+\ray*cos(180+\n*\deg)} , {\yO+\ray*sin(180+\n*\deg)}) node {$\bullet$};
				};
				\draw (A) -- (B) -- (C);
				\draw (C) -- (D) node [midway, above left] {$x$};
				\draw (D) -- (E) -- (F) -- (A);
				\draw (F) -- (O) -- (E);
				\coordinate (G) at ({\xO+\ray*(cos(60)+cos(120))/2} , {\xO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2});
				\draw (G) node [below right] {$G$};
				\draw (G) -- (O);
				\def\epsi{0.3};
				\fill[color=gray , opacity=0.20] ({\xO-\epsi},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2}) -- ({\xO-\epsi},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2-\epsi}) -- ({\xO},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2-\epsi}) -- (G);
				\draw ({\xO-\epsi},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2}) -- ({\xO-\epsi},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2-\epsi}) -- ({\xO},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2-\epsi});
				\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\xO+\ray*cos(\x)},{\xO+\ray*sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que le triangle $FOE$ est un triangle équilatéral.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $FOE$ est équilatéral.}
			
			{\color{WildStrawberry}$FOE$ est équilatéral si et seulement si $FOE$ est isocèle en $O$ et $\widehat{EOF}=60\degres$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $[OF]$ et $[OE]$ sont des rayons du cercle donc $FOE$ est isocèle en $O$.
				
				\item Puisque l'hexagone est régulier $\widehat{EOF}=\frac{1}{6}\times 360\degres= 60\degres$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$FOE$ est équilatéral.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		On admet que l'aire d'un triangle équilatéral ayant des côtés de longueur $x$ est $\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer l'aire de l'hexagone $ABCDEF$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}_1$ de l'hexagone.}
			
			L'hexagone est constitué de $6$ triangles équilatéraux tous isométriques à $FOE$. Donc
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_1 &= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} x^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \mathscr{A}_1 = \frac{3}{2}\sqrt{3}x^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		 
		\begin{sujet}
			
			La périmètre de l'hexagone régulier vaut $18\ \mathrm{mm}$. Montrer que l'aire de cet hexagone, arrondie au millième près, vaut $0,234\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathscr{A}_1$.}
			
			Le périmètre de l'hexagone est $18\ \mathrm{mm}$, autrement dit
			
			\begin{align*}
				6x &= 18\ \mathrm{mm}\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				\frac{6x}{\color{orange}6} &= \frac {18\ \mathrm{mm}}{\color{orange}6}\\
				x &= \frac{18}{6}\ \mathrm{mm}\\
				x &= 3\ \mathrm{mm}
			\end{align*}
			
			Avec la formule de la question précédente:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_1 &= \frac{3}{2} \sqrt{3} \left( 3\ \mathrm{mm} \right)^2\\
				&= \frac{3}{2} \sqrt{3} \times 3^2\ {\color{orange}\mathrm{mm}^2}\\
				&= \frac{27}{2}\sqrt{3}\ {\color{orange}\times \frac{1}{100}\ \mathrm{cm}^2 }\\
				&\approx 0,2338\ \mathrm{cm}^2 \quad \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_1 \approx 0,234\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les abeilles utilisent cette forme hexagonale régulière pour paver le plan:
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tikzpicture}[rotate=50]
			\def\xO{0};
			\def\yO{0};
			\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
			\draw (O) node [above] {$O$};
			\draw (O) node [below] {\footnotesize \textbf{Hexagone A}};
			\def\ray{1.2};
			\def\horiz{\ray*sqrt(3)/2};
			\fill[color=gray , opacity=0.20] ({\xO+\ray*cos(0)} , {\yO+\ray*sin(0)}) -- ({\xO+\ray*cos(60)} , {\yO+\ray*sin(60)}) -- ({\xO+\ray*cos(120)} , {\yO+\ray*sin(120)}) -- ({\xO+\ray*cos(180)} , {\yO+\ray*sin(180)}) -- ({\xO+\ray*cos(240)} , {\yO+\ray*sin(240)}) -- ({\xO+\ray*cos(300)} , {\yO+\ray*sin(300)}) -- cycle;
			\foreach \abs/\ord in {0/4, -1.5/3, -3/2, 0/2, 3/2, -1.5/1, 1.5/1, -3/0, 0/0, 3/0, -1.5/-1, 1.5/-1, 4.5/-1, 0/-2, 3/-2, -1.5/-3, 1.5/-3, 4.5/-3, 0/-4 } {
				\foreach \angle in {0,60,...,300} {
					\draw ({\xO+\ray*\abs+\ray*cos(\angle)} , {\yO+\horiz*\ord+\ray*sin(\angle)}) -- ({\xO+\ray*\abs+\ray*cos(\angle+60)} , {\yO+\horiz*\ord+\ray*sin(\angle+60)});
					\draw ({\xO+\ray*\abs+\ray*cos(\angle)} , {\yO+\horiz*\ord+\ray*sin(\angle)}) node {\footnotesize $\bullet$};
				};
			\draw ({\xO+\ray*\abs} , {\yO+\horiz*\ord}) node {\tiny $\bullet$};
			};
			\foreach \abs/\ord/\P in {0/2/O_5, -1.5/1/O_4, 1.5/1/O_6, 3/0/O_7, -1.5/-1/O_3, 1.5/-1/O_1, 4.5/-1/O_8, 0/-2/O_2 } {
				\draw ({\xO+\ray*\abs} , {\yO+\horiz*\ord}) node [above right] {$\P$};
			};
			\draw ({\xO+\ray*1.5} , {\yO+\horiz*(-1)}) node [below] {\footnotesize \textbf{Hexagone B}};
			\draw ({\xO+\ray*4.5} , {\yO+\horiz*(-3)}) node [below] {\footnotesize \textbf{Hexagone C}};
		\end{tikzpicture}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Caractériser trois transformations qui permettent de passer de l’\textbf{Hexagone A} à
			l’\textbf{Hexagone B}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			On peut passer de l'hexagone \textbf{A} à l'hexagone \textbf{B} par
			
			\begin{conclusion}
				
				
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					
					\item la translation de vecteur $\overrightarrow{OO_1}$,
					
					\item La symétrie centrale de centre le milieu de $[OO_1]$,
					
					\item la symétrie axiale d'axe $[O_2O_6]$.
					
				\end{enumerate}
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Caractériser une transformation qui permet de passer de l’\textbf{Hexagone A} à l’\textbf{Hexagone C}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			On peut passer de l'hexagone \textbf{A} à l'hexagone \textbf{C} par
			
			\begin{conclusion}
				
				la translation de vecteur $3\overrightarrow{OO_1}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On admet qu’une alvéole a la forme d’un prisme régulier à base hexagonale, et est ouverte sur une face pour permettre le passage de l’abeille.
		
		On admet que la partie visible de chacune des alvéoles est un hexagone régulier dont le côté mesure $3\ \mathrm{mm}$ et que la profondeur des alvéoles, notée $h$, mesure $11,5\ \mathrm{mm}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
				\def\xO{0};
				\def\yO{0};
				\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
				%\draw (O) node [below] {$O$};
				\def\deg{60};
				\def\degdec{0};
				\def\ray{2.5};
				\def\eps{0.3};
				\foreach \P/\n in {A/1,B/2,C/3,D/4,E/5,F/0} {
					\coordinate (\P) at ({\xO+\ray*cos(\degdec+180+\n*\deg)} , {\yO+\ray*sin(\degdec+180+\n*\deg)});
					\draw ({\xO+(\ray+\eps)*cos(\degdec+180+\n*\deg)} , {\yO+(\ray+\eps)*sin(\degdec+180+\n*\deg)}) node {\tiny $\P$};
				};
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
				\def\deltx{6};
				\def\delty{5};
				\foreach \P/\n in {A/1,B/2,C/3,D/4,E/5,F/0} {
					\coordinate (\P') at ({\xO+\deltx+\ray*cos(\degdec+180+\n*\deg)} , {\yO+\delty+\ray*sin(\degdec+180+\n*\deg)});
				};
				\draw (B') -- (C') -- (D') -- (E');
				\draw[dashed]  (E') -- (F') -- (A') -- (B');
				\foreach \P in {B,C,D,E} {
					\draw (\P) -- (\P');
				};
				\foreach \P in {A,F} {
					\draw [dashed] (\P) -- (\P');
				};
			\end{tikzpicture}		
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la contenance d’une alvéole est environ $270\ \mathrm{mm}^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ d'une alvéole.}
			
			Puisque l'alvéole à une forme de prisme son volume est
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_1 &= \mathscr{B} \times h,\quad\text{ou } \mathscr{B} \text{ est l'aire de la base.}\\
				\intertext{Or la base est ici hexagonale, donc, d'après la quesion B.1.(b):}
				\mathscr{V}_1 &= \frac{3}{2}\sqrt{3} \left(3 \ \mathrm{mm} \right)^2 \times 11,5\ \mathrm{mm}\\
				&= \frac{3}{2}\sqrt{3}\times 3^2  \times 11,5 \ \mathrm{mm}^3\\
				&\approx 268,90089\ \mathrm{mm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_1 \approx 270\ \mathrm{mm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la contenance d’une alvéole en millilitre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				1\ \mathrm{mm}^3 &= 1\times \left( \frac{1}{100}\ \mathrm{dm} \right)^3\\
				&= 1 \times \left( \frac{1}{100} \right)^3 \ \mathrm{dm}^3\\
				&= 10^{-6}\ \mathrm{L}\\
				&= 10^{-6} \times 1000\ \mathrm{mL}\\
				&= 10^{-3}\ \mathrm{mL}
			\end{align*}
			
			Par conséquent la contenance d'une alvéole est de 
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_1 &\approx 270 \times 10^{-3} \ \mathrm{mL}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_1 \approx 0,27\ \mathrm{mL}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Construire un patron d’une alvéole à l’échelle $6:1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Dessinons un patron d'une alvéole à l'échelle imposée.}
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					Taille réelle & $1$ & $3\ \mathrm{mm}$ & $11,5\ \mathrm{mm}$
					\\
					\hline
					Taille à l'échelle & $6$ & $18\ \mathrm{mm}$ & $69\ \mathrm{mm}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			{\color{orange}La figure n'est pas à l'échelle demandée car ça ne rentrait pas. Elle est à $80\ \%$ de la taille demandée.}
		
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				\def\cote{1.8};
				\def\longue{6.9};
				\draw ({-\longue/2},{-3*\cote}) -- ({\longue/2},{-3*\cote}) -- ({\longue/2},{3*\cote}) -- ({-\longue/2},{3*\cote}) --cycle;
				\draw ({-\longue/2},{-2*\cote}) -- ({\longue/2},{-2*\cote});
				\draw ({-\longue/2},{-1*\cote}) -- ({\longue/2},{-1*\cote});
				\draw ({-\longue/2},{-0*\cote}) -- ({\longue/2},{-0*\cote});
				\draw ({-\longue/2},{1*\cote}) -- ({\longue/2},{1*\cote});
				\draw ({-\longue/2},{2*\cote}) -- ({\longue/2},{2*\cote});
				\draw ({-\longue/2},{0*\cote}) -- ({-\longue/2-sqrt(3)/2*\cote+0.5*\cote},{sqrt(3)/2*\cote}) -- ({-\longue/2-sqrt(3)/2*\cote-0.5*\cote},{sqrt(3)/2*\cote}) -- ({-\longue/2-2*sqrt(3)/2*\cote},{0*\cote}) -- ({-\longue/2-2*sqrt(3)/2*\cote},{-1*\cote}) -- ({-\longue/2-sqrt(3)/2*\cote-0.5*\cote},{-1*\cote-sqrt(3)/2*\cote}) -- ({-\longue/2-sqrt(3)/2*\cote+0.5*\cote},{-1*\cote-sqrt(3)/2*\cote}) -- ({-\longue/2},{-1*\cote});
				%\draw[dashed][samples=100,domain=0:360] plot({\cote*cos(\x)-\longue/2-sqrt(3)/2*\cote},{\cote*sin(\x)-\cote/2});
			\end{tikzpicture}
				
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	Une ruche Dadant est un modèle de ruche à cadres. Elle porte le nom de son inventeur, Charles Dadant (1817-1902). Un cadre de ruche Dadant est un rectangle de dimensions $41\ \mathrm{cm} \times 26,5\ \mathrm{cm}$; dans ce qui suit, on négligera l’épaisseur du cadre. Une ruche contient $10$ ou $12$ cadres rectangulaires qui vont accueillir les alvéoles sur les faces avant et arrière de chaque cadre.
	
	Dans cette partie on considère uniquement des ruches Dadant à $12$ cadres.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En assimilant chaque alvéole à un carré dont les côtés mesurent 5 mm, montrer que l’on peut estimer qu’une telle ruche peut héberger $\np{100 000}$ alvéoles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre $n_r$ d'alvéole hébergés dans une ruche.}
		
		Une alvéole occupe une surface de $\left( 5\ \mathrm{mm} \right)^2 = 5^2 \ \mathrm{mm}^2= 25\ \mathrm{mm}^2$.
		
		Or la surface d'un cadre est de
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_2 &= \left( 41 \ \mathrm{cm} \right) \times \left( 26,5\ \mathrm{cm} \right)\\
			&= \left( 410\ \mathrm{mm} \right) \times \left( 265\ \mathrm{mm} \right)\\
			&= 410 \times 265\ \mathrm{mm}\cdot \mathrm{mm}\\
			&= \np{108650}\ \mathrm{mm}^2
		\end{align*}
		
		donc le nombre d'alvéole hébergées par les deux côtés du cadre est:
		
		\begin{align*}
			n_c &= 2 \times \frac{\np{108650}\ \mathrm{mm}^2}{25\ \mathrm{mm}^2}\\
			&= \np{8692}
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons pour $12$ cadres:
		
		\begin{align*}
			n_r &= 12 \times n_c\\
			&= 12 \times \np{8692}\\
			&= \np{104304}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Une ruche héberge approximativement $\np{100000}$ alvéoles.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le volume de miel, arrondi au litre, que peuvent contenir l’ensemble des $\np{100 000}$ alvéoles d’une ruche Dadant à $12$ cadres est $27\ \mathrm{L}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le volume de miel $\mathscr{V}_2$ dans une ruche.}
		
		D'après la question B.3.(b) le volume de miel dans les $\np{100000}$ alvéoles est:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_2 &= \np{100000} \times 0,27\ {\color{orange}\mathrm{mL}}\\
			&= \np{100000} \times 0,27\ {\color{orange}\frac{1}{1000}\ \mathrm{L}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_2=\np{27}\ \mathrm{L}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On dispose des deux documents ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{6cm}|}
				\hline
				\textbf{Une sortie d’une abeille butineuse.}\\
				\\
				Nombre de fleurs butinées: $20$ à $300$.\\
				Durée de la sortie: $20$ minutes.\\
				Distance parcourue: $1\ \mathrm{km}$.\\
				Vitesse de l’abeille en vol: $27\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.\\
				Masse de nectar récolté: $6\times 10^{-5}\ \mathrm{kg}$.\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{6cm}|}
				\hline
				\textbf{Miel.}
				\\
				\\
				Masse volumique: $1,4\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}$.\\
				Quantité de nectar nécessaire pour fabriquer $1\ \mathrm{kg}$ de miel: $4\ \mathrm{kg}$.\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Répondre aux questions suivantes en utilisant les documents ci-dessus et les questions précédentes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle masse de nectar doivent récolter les abeilles pour obtenir $25\ \mathrm{g}$ de miel?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il s'agit d'une situation de proportionnalité. Schématisons la par un tableau.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
				\hline
				$1\ \mathrm{kg}= \np{1000}\ \mathrm{g}$ & $25\ \mathrm{g}$
				\\
				\hline
				$4\ \mathrm{kg} = \np{4000}\ \mathrm{g}$ & $x\ \mathrm{g}$
				\\
				\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			{\color{orange}Les changements d'unités ne sont pas indispensables ici puisque les proportions sont des nombres sans unités. Cependant cela peut faciliter un raisonnement consistant à se ramener à l'unité.}
			
			\medskip
			Donc $x=25 \times \frac{4000}{1000}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour obtenir $25\ \mathrm{g}$ il faut récolter $100\ \mathrm{g}$ de nectar.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle masse de nectar doivent récolter les abeilles pour obtenir $100\ \mathrm{mL}$ de miel?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Raisonnons là encore par proportionnalité. Nous savons que la masse volumique du miel est de $1,4\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}$. Autrement dit chaque litre à une masse de $1,4\ \mathrm{kg}$.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
				\hline
					$1,4\ \mathrm{kg}$ & $x\ \mathrm{kg}$
					\\
					\hline
					$1\ \mathrm{L}=\np{1000}\ \mathrm{mL}$ & $100\ \mathrm{mL}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Donc: $x=\frac{1,4\ \mathrm{kg}}{\np{1000}\ \mathrm{mL}} \times 100\ \mathrm{mL}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour obtenir $100\ \mathrm{mL}$ de miel les abeilles doivent récolter $0,14\ \mathrm{kg}$ de nectar.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Estimer la masse de miel que peuvent contenir l’ensemble des alvéoles d’une ruche Dadant à $12$ cadres.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question C.2. la ruche contient $27\ \mathrm{L}$ or chaque litre a une masse de $1,4\ \mathrm{kg}$ donc la masse de miel est
			
			\begin{align*}
				m_1 &= 27 \ \mathrm{L} \times 1,4 \ \mathrm{kg}/ \mathrm{L}\\
				&= 27 \times 1,4\ \mathrm{L} \cdot \mathrm{kg}/ \mathrm{L}\\
				&= 37,8\ \mathrm{kg}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				la masse contenue dans une ruche est $37,8\ \mathrm{kg}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer qu’une estimation de la distance parcourue par l’ensemble des abeilles pour obtenir $1$ kilogramme de miel est de $\np{67 000}\ \mathrm{km}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item \objectif{Déterminons le nombre, $n_s$, de sorties nécessaires pour obtenir $1\ \mathrm{kg}$ de miel.}
				
				Pour obtenir un $1\ \mathrm{kg}$ de miel il faut récolter $4\ \mathrm{kg}$ de nectar.
				
				Chaque sortie permet de récolter $6 \times 10^{-5}\ \mathrm{kg}$ de nectar, donc (encore de la proportionnalité) pour obtenir $4\ \mathrm{kg}$ de miel le nombre de sorties nécessaires est:
				
				\begin{align*}
					n_s &= \frac{4\ \mathrm{kg}}{6 \times 10^{-5}\ \mathrm{kg}}\\
					&= \frac{4}{6 \times 10^{-5}}\\
					&\approx \np{66667}
				\end{align*}
				
				\item \objectif{Déterminons la distance parcourue pour récolter $4\ \mathrm{kg}$ de nectar.}
				
				À chaque sortie la distance parcourue est de $1\ \mathrm{km}$ donc la distance parcourue lors de $\np{66667}$ sorties est $\np{66667} \times 1\ \mathrm{kg}$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour obtenir $1\ \mathrm{kg}$ de miel les abeilles doivent parcourir approximativement $\np{67000}\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Estimer la distance parcourue par l’ensemble des abeilles pour remplir de miel l’ensemble des alvéoles d’une ruche Dadant à $12$ cadres (sans compter le miel consommé par les abeilles elles-mêmes).
						
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question C.3.(c) la ruche contient $37,8\ \mathrm{kg}$ et, d'après la question précédente, chaque kilogramme nécessite un parcours de $\np{67000}\ \mathrm{km}$ donc la distance parcouru, en kilomètre, pour remplir la ruche est:
			
			\begin{align*}
				37,8 \times \np{67000} &= \np{2532600}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour remplir une ruche les abeilles doivent parcourir $\np{2532600}\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Une urne contient des boules rouges, bleues, noires et vertes. On suppose que ces boules sont indiscernables au toucher.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_04_urne.png}
	\end{center}
	
	La probabilité de tirer une boule rouge est de $\dfrac{1}{4}$.
	
	La probabilité de tirer une boule verte est de $0,3$.
	
	La probabilité de tirer une boule noire est de $20\ \%$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On tire au hasard une boule dans cette urne. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Ici l'univers n'est pas descriptible par ses issues puisque nous ne connaissons pas le nombre de boules. Nous allons travailler avec le système complet d'événements correspondant aux différentes couleurs.}
		
		\medskip
		Notons $B$ l'événement \og obtenir une boule bleue\fg{} et de même $R$, $N$ et $V$.
		
		Considérons l'univers $\Omega = \{ N, R, B, V\}$ muni de la loi de probabilité décrite par l'énoncé.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		Puisque, par définition de la loi de probabilité:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(N)+\mathbb{P}(R)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(V) &= 1\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{20}{100}+ \frac{1}{4}+\mathbb{P}(B)+0,3 &= 1\\
			\mathbb{P}(B)+ \frac{3}{4} &= 1\\
			\mathbb{P}(B)+\frac{3}{4} {\color{orange}-\frac{3}{4}} &= 1 {\color{orange}-\frac{3}{4}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(B) = \frac{1}{4}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Il y a $140$ boules dans l’urne. Donner le nombre de boules de chaque couleur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le contexte de l'exercice laisse entendre que chaque boule à la même probabilité d'être tirée qu'une autre. Autrement dit il y a équiprobabilité entre les diverses boules. Par conséquent les probabilités se confondent avec les proportions.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons le nombre, $n_R$, de boules rouges.}
		
		Puisque $\frac{1}{4}$ des $140$ boules sont rouges:
		
		\begin{align*}
			n_R &= \frac{1}{4} \times 140\\
			&= 35
		\end{align*}
		
		En procédant de même pour les différentes couleurs:
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Couleur & $N$ & $R$ & $B$ & $V$
				\\
				\hline
				Nombre & $28$ & $35$ & $35$ & $42$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On effectue maintenant deux tirages successifs avec remise.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge puis une boule verte?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Schématisons l'expérience aléatoire par un arbre pondéré. Il y a $2$ tirages donc notre arbre aura deux niveaux. De plus comme le tirage se fait avec remise nous retrouverons les mêmes embranchements sur chaque niveau avec les mêmes probabilités: $\frac{28}{140}=0,2$, $\frac{35}{140}=0,25$ et $\frac{42}{140}=0,3$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{4};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{4};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{16};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{4};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{3+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$N$/$\np{0,2}$/\posA,
					nA2/A2/2/$R$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA3/A3/3/$V$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA4/A4/4/$B$/$\np{0,3}$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$N$/$\np{0,2}$/\posB,
					nA1/nB2/B2/2/$R$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA1/nB3/B3/3/$V$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA1/nB4/B4/4/$B$/$\np{0,3}$/\posB,
					nA2/nB5/B5/5/$N$/$\np{0,2}$/\posB,
					nA2/nB6/B6/6/$R$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA2/nB7/B7/7/$V$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA2/nB8/B8/8/$B$/$\np{0,3}$/\posB,
					nA3/nB9/B9/9/$N$/$\np{0,2}$/\posB,
					nA3/nB10/B10/10/$R$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA3/nB11/B11/11/$V$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA3/nB12/B12/12/$B$/$\np{0,3}$/\posB,
					nA4/nB13/B13/13/$N$/$\np{0,2}$/\posB,
					nA4/nB14/B14/14/$R$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA4/nB15/B15/15/$V$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA4/nB16/B16/16/$B$/$\np{0,3}$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(RV)$.}
			
			D'après le principe multiplicatif:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(RV) &= 0,25 \times 0,25
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(RV)= 0,0625$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge et une boule verte?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(R\cap V)$.}
			
			$R\cap V= \{ RV;VR \}$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(R \cap V) &= \mathbb{P}(RV) + \mathbb{P}(VR)\\
				\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
				\mathbb{P}(R \cap V) &= 0,25 \times 0,25 + 0,25 \times 0,25
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(R\cap V)= 0,125$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de tirer deux boules de la même couleur?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $E$ l'événement \og obtenir deux boules de la même couleur \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E)$.}
			
			$E = \{ NN, RR, VV,BB \}$.
			
			Donc:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(E) &= \mathbb{P}(NN) + \mathbb{P}(RR) + \mathbb{P}(VV) + \mathbb{P}(BB)\\
				\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
				\mathbb{P}(E)&= 0,2 \times 0,2 +0,25\times 0,25+0,25 \times 0,25 + 0,3 \times 0,3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E) = 0,255$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	On donne la copie d'écran de deux algorithmes réalisés à l'aide du logiciel Scratch.
	
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{5cm}m{0.5cm}m{5cm}}
		\begin{center}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_5_05_scratch_algorithme_1.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=0.8]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
					\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{3}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalvariable{Résultat}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}-\ovalnum{9}}}
					\blocklook{dire \ovalvariable{Résultat} pendant \ovalnum{2} secondes}
			\end{scratch}}
			
			\textbf{Algorithme 1} 
			
		\end{center}
		&&	
		\begin{center}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_5_06_scratch_algorithme_2.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=0.8]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
					\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{3}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalsensing{Réponse}}}
					\blocklook{dire \ovalvariable{Résultat} pendant \ovalnum{2} secondes}
			\end{scratch}}
			
			\textbf{Algorithme 2}
			
		\end{center}
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Cliquez sur les programmes ci-dessus pour les télécharger.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que si le nombre de départ est $2$, on obtient $16$ avec chacun des deux algorithmes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour le premier algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $2$ & $2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{3}}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			$2+3=5$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalvariable{Résultat}}}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			$5 \times 5 =25$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}-\ovalnum{9}}}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			$25-9=16$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		Pour le second algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $2$ & $2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{6}}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			$2+6=8$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalsensing{Réponse}}}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			$8 \times 2 =16$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si le nombre choisi en entrée est $2$ alors les deux algorithmes renvoient $16$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le nombre de départ est $1,2$. Quel(s) nombre(s) obtient-on avec chacun des deux algorithmes?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour le premier algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ & $2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{3}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			$1,2+3=4,2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalvariable{Résultat}}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			$4,2 \times 4,2 =17,64$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}-\ovalnum{9}}}
			\end{scratch}
			& $1	,2$ &
			$17,64-9=8,64$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		Pour le second algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ & $1,2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{6}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			$1,2+6=7,2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalsensing{Réponse}}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			$7,2 \times 1,2 =8,64$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
				
		\begin{conclusion}
			
			Si le nombre choisi en entrée est $1,2$ alors les deux algorithmes renvoient $8,64$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle conjecture peut-on émettre? Démontrer cette conjecture.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Nous conjecturons:
		
		\begin{conclusion}
			
			Il semble que les deux algorithme renvoie la même valeur.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Recherchons ce que renvoient les deux algorithmes pour une valeur en entrée égale à $x$.
		
		Pour le premier algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $x$ & $x$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{3}}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			$x+3$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalvariable{Résultat}}}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			$(x+3) \times (x+3)$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}-\ovalnum{9}}}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			$(x+3)^2 -9$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		Pour le second algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $x$ & $x$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{6}}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			$x+6$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalsensing{Réponse}}}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			$(x+6) \times x$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $(x+3)^2-9=(x+6) \times x$.}
		
		{\color{orange}La méthode consiste ici à développer, réduire et ordonner autant que possible les deux expressions ci-dessus pour s'assurer qu'elles sont égales.}
		
		D'une part:
		
		\begin{align*}
			(x+3)^2-9 &= x^2+2 \times x \times 3^2-9\\
			&= x^2-3x+9-9\\
			&= x^2-6x
		\end{align*}
		
		d'autre part:
		
		\begin{align*}
			(x+6) \times x &= x \times x +6 \times x\\
			&= x^2+6x
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$(x+3)^2-9=x^2+6x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Les dimensions du voilier de madame Guidel sont données ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_07_bateau.png}
	\end{center}
	
	$AE = 12\ \mathrm{m}$, $BG = 11\ \mathrm{m}$, $DE = CD = 1\ \mathrm{m}$, $BE = 5\ \mathrm{m}$.
	
	Les points $A$, $F$ et $G$ ainsi que les points $C$, $D$ et $F$ et les points $B$, $E$ et $G$ sont alignés.
	
	Les droites $(DF)$ et $(EG)$ sont parallèles.
	
	Les droites $(AE)$ et $(BG)$ sont perpendiculaires.
	
	\medskip
	La voile de l’avant, appelée foc, est représentée par le triangle $ABC$.
	
	La grand-voile est représentée par le triangle $ADF$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle $AEG$, déterminer la longueur de la bôme $[DF]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $DF$.}
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} $A$, $D$ et $E$ d'une part, $A$, $F$ et $G$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèse pour la forme directe du théorème.} $(DF) \parallel (EG)$.
			
		\end{enumerate}
		
		Des points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{AD}{AE} = \frac{DF}{EG}.\]
		
		Puisque $E \in [BG]$ \[ EG=BG-BE=11\ \mathrm{m}-5 \ \mathrm{m}=6\ \mathrm{m}\] et puisque $D \in [AE]$, \[ AD=AE-DE=12\ \mathrm{m} -1\ \mathrm{m}=11\ \mathrm{m}\] nous avons donc \[ \frac{11}{12}=\frac{DF}{6}.\]
		
		Nous en déduisons successivement
		
		\begin{align*}
			\frac{11}{12} {\color{orange}\times 6} &= \frac{DF}{6} {\color{orange}\times 6}\\
			5,5 &= DF
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$DF=5,5\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire de la grand-voile.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_{g}$ de la grand-voile.}
		
		{\color{orange}La grand-voile a une forme triangulaire nous devrions donc chercher une hauteur pour calculer son aire mais il s'agit en fait d'un triangle rectangle donc nous choisirons l'un des côtés de l'angle droit comme hauteur.}
		
		\medskip
		Puisque $(EG) \perp (AE)$ et $(EG) \parallel (DF)$, nécessairement $(DF)\perp (AE)$.
		
		Puisque $ADF$ est un triangle rectangle en $D$:
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_g &= \frac{1}{2} \times AD \times DF\\
			&= \frac{1}{2} \times 11\ \mathrm{m} \times 5,5\ \mathrm{m}\\
			&= \frac{1}{2} \times 11 \times 5,5\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{m}\\			
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_g=30,25\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Lorsque le vent forcit, on remplace le foc par une voile plus petite appelée trinquette. La trinquette est une réduction du foc de coefficient $\dfrac{4}{5}$ (appliquée aux longueurs).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire du triangle $ADC$ et du quadrilatère $BCDE$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ADC)$ de $ADC$.}
			
			$ADC$ est rectangle en $D$ donc
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ADC) &= \frac{1}{2} \times AD \times DC\\
				&= \frac{1}{2} \times 11\ \mathrm{m} \times 1\ \mathrm{m}\\
				&= \frac{1}{2} \times 11 \times 1 \ \mathrm{m}\cdot \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(ADC)= 5,5\ \mathrm{m}^2$.
			
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(BCDE)$ de $BCDE$.}
			
			$BCDE$ est un trapèze rectangle en $E$ de bases $[BE]$ et $[CD]$ donc son aire est
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(BCDE) &= \frac{1}{2} \times (BE+CD) \times DE\\
				&= \frac{1}{2} \times (5\ \mathrm{m} + 1\ \mathrm{m} ) \times 1\ \mathrm{m}\\
				&= \frac{1}{2} \times 6\ \mathrm{m} \times 1 \ \mathrm{m}\\
				&= \frac{1}{2} \times 6 \times 1 \  \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(BCDE)=3\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que l'aire du foc $(ABC)$ est de $21,5\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ABC)$ de $ABC$.}
			
			$ABE$ est rectangle en $E$ donc son aire est
			
			\begin{align*}
				\mathscr{ABE} &= \frac{1}{2} \times AE \times EB\\
				&= \frac{1}{2} \times 12\ \mathrm{m} \times 5\ \mathrm{m}\\
				&= 30\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			Nous en déduisons
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ABC) &= \mathscr{A}(ABE)-\mathscr{A}(ADC)-\mathscr{A}(BCDE)\\
				&= 30\ \mathrm{m}^2-5,5\ \mathrm{m}^2 -3 \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(ABC)=21,5\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire l'aire de la trinquette.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_t$ de la trinquette.}
			
			Si les longueurs, exprimées en $\mathrm{m}$, sont multipliées par $\frac{4}{5}$ alors les aires, exprimées en $\mathrm{m}^2$ sont multipliées par $\left( \frac{4}{5} \right)^2=\frac{16}{25}$.
			
			Donc:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_t &= \frac{16}{25} \times \mathscr{A}(ABC)\\
				&= \frac{16}{25} \times 21,5\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_t=13,76\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour cette question, on admet que l’aire de la surface totale des voiles (grand-voile, foc et trinquette) est égale à $65,51\ \mathrm{m}^2$. La propriétaire hésite entre deux voileries pour la fabrication de ses voiles.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				\textbf{Maître voilier local}
				
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					
					\item Tarif: $86\ \text{\euro}/\mathrm{m}^2$.
					
					\item Qualité du tissu: $340\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^2$.
					
					\item  Livraison offerte.
					
				\end{enumerate}
				&
				\textbf{Usine en Asie}
				
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					
					\item Tarif de base: $64\ \text{euro}/\mathrm{m}^2$.
					
					\item Qualité du tissu: $340\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^2$.
					
					\item Taxes d'importation: $32\ \%$ du prix de base de la marchandise.
					
					\item Frais de port à la charge du client
					
				\end{enumerate}
				
				\\
				\hline
				\multicolumn{2}{|c|}{
					\textbf{Frais de port de l'Asie vers la France}
				}
				\\			
				\multicolumn{2}{|c|}{
					\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
						\hline
						Masse (en $\mathrm{kg}$, arrondie à l'unité) & Prix à payer
						\\
						\hline
						Entre $5$ et $10$ & $100 \ \text{\euro}$
						\\
						\hline
						Entre $11$ et $18$ & $150 \ \text{\euro}$
						\\
						\hline
						Entre $19$ et $25$ & $250 \ \text{\euro}$
						\\
						\hline
						Au-delà de $26\ \mathrm{kg}$ & Contacter le service client.
						\\
						\hline
					\end{tabularx}
				}
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		Déterminer la solution la plus économique en justifiant la réponse.
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons les deux tarifs.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item En local.
			
			Par proportionnalité, le prix des voiles sera de 
			
			\begin{align*}
				86\ \text{\euro}/\mathrm{m}^2 \times 65,51\ \mathrm{m}^2 &= 86 \times 65,51\ \text{\euro}\\
				&= 5633,86\ \text{\euro}
			\end{align*}
			
			\item En Asie.
			
			Par proportionnalité, le prix des voiles sera de 
			
			\begin{align*}
				64\ \text{\euro}/\mathrm{m}^2 \times 65,51\ \mathrm{m}^2 &= 64 \times 65,51\ \text{\euro}\\
				&= 4192,64\ \text{\euro}
			\end{align*}
			
			Les taxes induisent une augmentation de $32\ \%$, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\frac{32}{100}=1,32$.
			
			Donc après taxation le prix sera de
			
			\begin{align*}
				1,32 \times 4192,64\ \text{\euro} &= 5534,2848\ \text{\euro}
			\end{align*}
			
			La qualité du tissu étant de $0,34\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2$, la masse des voiles commandées est de
			
			\begin{align*}
				0,34\ \mathrm{kg}/ \mathrm{m}^2 \times 65,51\ \mathrm{m}^2 &= 0,34 \times 65,51\ \mathrm{kg}\\
				&= 22,2734\ \mathrm{kg}
			\end{align*}
			
			Il faudra donc payer $250\ \text{\euro}$ de frais de port.
			
			Finalement l'achat des voileries reviendra à
			
			\begin{align*}
				5534,2848\ \text{\euro}+250\ \text{\euro} &= 5784,2848
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'achat en local est plus économique.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Après avoir introduit les nombres décimaux et l’addition des nombres décimaux, un enseignant de CM1 propose à ses élèves le problème ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			Chez le fromager, Madame Costa a dépensé $41\ \text{\euro}$.
			
			Elle a acheté une part de comté à $18,28\ \text{euro}$, une part de beaufort à $15,72\ \text{\euro}$ et un reblochon.
			
			Combien a coûté le reblochon?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	On a retranscrit ci-dessous les réponses de quatre élèves.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_08_eleve_a.png}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_09_eleve_b.png}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_10_eleve_c.png}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_11_eleve_d.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier qu’il est possible de proposer un tel problème alors que la soustraction des nombres décimaux n’a pas encore été étudiée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’appuyant sur l’extrait de la note de service proposé ci-dessous, analyser les productions des quatre élèves en termes de réussites et d’erreurs pour chacune des compétences \og Modéliser \fg{} et \og Calculer \fg{}.
		
		\begin{center}
			
			\emph{Extrait de la note de service n°2018-052 du 25-4-2018 \og La résolution de problèmes à l’école élémentaire \fg{}.}
			
			\begin{tabular}{|m{12cm}|}
				\hline
				\emph{\textbf{\og Modéliser \fg{} et \og Calculer \fg{} sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l’école élémentaire} qui doivent guider l’action de l’enseignant pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés. En effet, lors de la résolution de problèmes, les principales difficultés rencontrées peuvent relever de:}
				
				\begin{itemize}
					\item \emph{difficultés à \og modéliser \fg{}: l’élève n’arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l’énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s’appuie pas sur les opérations attendues;}
					
					\item \emph{difficultés à \og calculer \fg{}: les calculs effectués, mentalement ou en les posant, sont erronés, les erreurs pouvant être dues à une méconnaissance de faits numériques ou à une maîtrise imparfaite des algorithmes de calculs utilisés.}
					
				\end{itemize}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une remédiation ou un accompagnement que l’enseignant pourrait mettre en place pour aider l’ \textbf{ÉLÈVE A} à résoudre ce type de problème.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de Moyenne Section de maternelle, un enseignant propose le jeu \og \textbf{\emph{Les piquants des hérissons}} \fg{}.
	L'enseignant propose à ses élèves de fabriquer, par groupes de $4$ élèves, des hérissons en pâte à modeler, chaque hérisson devant avoir cinq piquants. Il donne la consigne suivante: \og \emph{Vous allez composer des hérissons à $5$ piquants, pas plus, pas moins, en choisissant des petits piquants rouges ou des grands piquants verts. Un mélange des couleurs est possible. Vous devez faire le plus de hérissons possible, mais les hérissons doivent être différents, ils ne doivent pas avoir autant de piquants de la même couleur.}\fg{}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_12_herisson.png}
	\end{center}
	
	\textbf{Matériel utilisé}:
	\begin{itemize}
		
		\item Pâte à modeler (corps du hérisson);
		
		\item Petites pailles rouges et grandes pailles vertes.
		
	\end{itemize}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Est-ce l’\og ordinal \fg{} ou l’usage \og cardinal \fg{} du nombre qui est mobilisé dans cette séance? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Après la manipulation, les élèves représentent leurs solutions sur des hérissons dessinés.
		
		L’enseignant récupère les quatre productions ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_13_herisson_groupe_1.png}
				\\
				Groupe 1.
				\\
				\hline
			\end{tabular}			
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_14_herisson_groupe_2.png}
				\\
				Groupe 2.
				\\
				\hline
			\end{tabular}			
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_15_herisson_groupe_3.png}
				\\
				Groupe 3.
				\\
				\hline
			\end{tabular}			
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_16_herisson_groupe_4.png}
				\\
				Groupe 4.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
					
			\begin{tabular}{|c|c|}
				\hline
				\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Légende:}}
				\\
				Petit piquant rouge & Grand piquant vert
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_17_piquant_rouge.png} & \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_18_piquant_vert.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Analyser les productions de chacun des groupes d’élèves en termes de réussites et d’erreurs.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Après avoir demandé aux élèves de trouver tous les hérissons différents possibles à $5$ piquants, l’enseignant propose aux élèves une nouvelle activité: les élèves doivent reconstituer des hérissons à $5$ piquants, à partir de cartes représentant des demi-hérissons.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_19_cartes.png}
		\end{center}
		
		Expliquer le lien, concernant les premiers apprentissages numériques, entre cette activité et la précédente.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une nouvelle activité sans lien avec la précédente permettant de travailler les différentes décompositions du nombre $5$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans les programmes en vigueur pour le cycle 3, (programmes consolidés à partir du BOEN n\degres 31 du 30 juillet 2020), il est inscrit dans les attendus du domaine Nombres et calculs: \og \emph{Comprendre et appliquer aux nombres décimaux les règles de la numération décimale
		de position} \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Rappeler ce que sont \og les règles de la numération décimale de position \fg{}, en précisant
			ce que sont l’aspect décimal et l’aspect positionnel dont il est fait mention. Les explications pourront s’appuyer sur des exemples.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer un exercice permettant de contribuer à l’évaluation de l’aptitude des élèves à \og comprendre et appliquer aux nombres décimaux les règles de la numération décimale de position \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un enseignant de CM1 souhaite interroger ses élèves, il hésite entre les trois questions suivantes:
		
		\begin{enumerate}[\textbf{Question} 1:]
			\item \og Donner un nombre décimal plus grand que 3,7 et plus petit que 3,9.\fg{}
			
			\item \og Donner un nombre décimal plus grand que $3,7$ et plus petit que $3,8$.\fg{}
			
			\item \og Donner un nombre décimal plus grand que $3,9$ et plus petit que $4,1$.\fg{}
			
		\end{enumerate}
		
		Donner les éventuels intérêts et inconvénients de chacune de ces trois questions pour évaluer la compréhension des élèves de ce que sont les décimaux et de l’écriture à virgule.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un enseignant de CM2 pose la question suivante à ses élèves: \og Comparer 12,76 et $12,745$. \fg{}. Ceux-ci sont en difficulté.
		
		Proposer une méthode en plusieurs étapes permettant aux élèves de comparer ces deux nombres pour déterminer lequel est le plus grand.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}