%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2021 sujet 4} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2021 groupe 4.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_4_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_4_sujet.pdf}{pdf}.
		
		\medskip
		{\color{red}Merci à Mme Duplessy, M. Herminet et M. Paltoglou pour leur relecture et leurs corrections.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans ce problème, les figures qui sont dessinées ne sont pas représentées en vraie grandeur.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	On souhaite partager un carré $ABCD$ de $10\ \mathrm{cm}$ de côté en trois parties comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Point A
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA}, {\yA});
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			%Longueur du côté du carré
			\def\AB{10};
			%point B
			\coordinate (B) at ({\xA+\AB},{\yA});
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			%point C
			\coordinate (C) at ({\xA+\AB},{\yA-\AB});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			%point D
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\AB});
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			%Valeur de x
			\def\x{6};
			%point M
			\coordinate (M) at ({\xA+\x}, {\yA-\AB});
			\draw (M) node [below right] {$M$};
			%point L
			\coordinate (L) at ({\xA+\AB}, {\yA-\x});
			\draw (L) node [below right] {$L$};
			%Coloriage quadrilatère
			\fill [color=gray, opacity=0.5] (A) -- (M) -- (C) -- (L) -- cycle;
			%Segments
			\draw (A) -- (B);
			\draw (B) -- (L) node [midway, sloped] {$\parallel$};
			\draw (L) -- (C)-- (M);
			\draw (M) -- (D) node [midway, sloped] {$\parallel$};
			\draw (D) -- (A);
			\draw (A) -- (M);
			\draw (A) -- (L);
			%écart du segment fléché au carré
			\def\delta{1};
			%Segment fléchés pour indiquer la longueur
			\draw [>=latex, <->] ({\xA},{\yA-\AB-\delta}) -- ({\xA+\x}, {\yA-\AB-\delta}) node [midway, below] {$x$};
			\draw [>=latex, <->] ({\xA+\AB+\delta}, {\yA-\x}) -- ({\xA+\AB+\delta},{\yA}) node [midway, right] {$x$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	$L$ est un point du segment $[BC]$ et $M$ est le point du segment $[CD]$ tel que $DM = BL$. On note $x$ la longueur, en centimètre, du segment $[BL]$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliquez pourquoi $0\leqslant x \leqslant 10$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions l'encadrement.}
		
		$M \in [DC]$ et $DC=10$ donc $0\leqslant x \leqslant 10$.
		
		Enfin $DM=x$, donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$0\leqslant x \leqslant 10$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que si $x=2$, alors l’aire du quadrilatère grisé $AMCL$ est égale à $80\ \mathrm{cm}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ALCM)$ de $ALCM$ lorsque $x=2$.}
		
		{\color{WildStrawberry}La partie grisée n'est pas une figure dont l'aire peut être calculée par une formule que nous serions supposés connaître. Nous allons partir de l'aire du carré $ABCD$ et enlever les aires des parties qui ne sont pas grisées.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			\item Calculons l'aire du carré $ABCD$.
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ABCD) &= AB^2\\
				&= \left( 10\ \mathrm{cm} \right)^2\\
				&= 10^2\ \mathrm{cm}^2\\
				&= 100\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			\item Calculons l'aire du triangle $AMD$.
			
			Puisque $AMD$ est rectangle en $D$:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(AMD) &= \frac{1}{2} \times AD \times DM\\
				&= \frac{1}{2} \times \left(10\ \mathrm{cm} \right) \times \left(2 \ \mathrm{cm} \right)\\
				&= \frac{1}{2} \times 10 \times 2 \ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}\\
				&= 10\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			\item Du fait de la symétrie de la configuration par rapport à $(AC)$ il est clair que $\mathscr{A}(AMD) = \mathscr{A}(ABL)$.
			
			\item Des points précédents nous déduisons:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ALCM) &= \mathscr{A}(ABCD) - \mathscr{A}(AMD) - \mathscr{A} (ABL)\\
				&= 100\ \mathrm{cm}^2 - 10\ \mathrm{cm}^2 - 10\ \mathrm{cm}^2\\
				&= (100-10-10)\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $x=2$ alors $\mathscr{A}(ALCM)=80\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire du quadrilatère grisé $AMCL$ si $\displaystyle x=\frac{3}{5}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathscr{A}(ALCM)$ lorsque $x=\frac{3}{5}$.}
		
		Toutes les longueurs étant exprimées en centimètres nous ferons désormais l'économie d'indiquer les unités utilisées.
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(AMD) &= \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{3}{5}\\
				&= 3
			\end{align*}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ALCM) &= 100- 3-3
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $x=\frac{3}{5}$ alors $\mathscr{A}(ALCM)=94\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que l’aire du quadrilatère grisé $AMCL$, exprimée en centimètre carré, en fonction de $x$, est égale à $100-10x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $\mathscr{A}(ALCM)$ en fonction de $x$.}
		
		procédons comme aux deux questions précédentes
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(AMD) &= \frac{1}{2} \times 10 \times x\\
				&= 5x
			\end{align*}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ALCM) &= 100-5x-5x
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(ALCM)=100-10x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer $x$ pour que les trois parties aient la même aire.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Nous avons déjà remarqué que les parties $AMD$ et $ABL$ ont la même aire.
		
		Il reste à avoir, par exemple, $AMD$ et $ALCM$ de même aire.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $x$ de sorte que $\mathscr{A}(AMD)=\mathscr{A}(ALCM)$.}
		
		Dire que
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(AMD) &= \mathscr{A}(ALCM)\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			5x &= 100-10x\\
			5x {\color{orange}+10x} &= 100-10x {\color{orange}+10x}\\
			15x &= 100\\
			\frac{15x}{\color{orange}15} &= \frac{100}{15}\\
			x &= \frac{2^2\times 5^2}{3 \times 5}\\
			x &= \frac{2^2\times 5}{3}\\
			x &= \frac{20}{3}
		\end{align*}
		
		Et comme $\frac{20}{3} =6,666\dots$ on a bien $0\leqslant \frac{20}{3} \leqslant 10$.
		
		Nous pouvons donc conclure:
		
		\begin{conclusion}
			
			les trois parties ont la même aire si et seulement si $x=\frac{20}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, le triangle hachuré a été supprimé pour obtenir trois triangles $ADM$, $AML$ et $ALB$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Point A
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\coordinate (A) at ({\xA}, {\yA});
		\draw (A) node [above left] {$A$};
		%Longueur du côté du carré
		\def\AB{10};
		%point B
		\coordinate (B) at ({\xA+\AB},{\yA});
		\draw (B) node [above right] {$B$};
		%point C
		\coordinate (C) at ({\xA+\AB},{\yA-\AB});
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		%point D
		\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\AB});
		\draw (D) node [below left] {$D$};
		%Valeur de x
		\def\x{6};
		%point M
		\coordinate (M) at ({\xA+\x}, {\yA-\AB});
		\draw (M) node [below right] {$M$};
		%point L
		\coordinate (L) at ({\xA+\AB}, {\yA-\x});
		\draw (L) node [below right] {$L$};
		%Coloriage triangle
		\fill [color=gray, opacity=0.5] (A) -- (M) -- (L) -- cycle;
		%Hachures triangle
		\fill [color=gray, pattern=vertical lines] (C) -- (M) -- (L) -- cycle;
		%Segments
		\draw (A) -- (B);
		\draw (B) -- (L) node [midway, sloped] {$\parallel$};
		\draw (L) -- (C)-- (M);
		\draw (M) -- (D) node [midway, sloped] {$\parallel$};
		\draw (D) -- (A);
		\draw (A) -- (M) -- (L) -- cycle;
		%écart du segment fléché au carré
		\def\delta{1};
		%Segment fléchés pour indiquer la longueur
		\draw [>=latex, <->] ({\xA},{\yA-\AB-\delta}) -- ({\xA+\x}, {\yA-\AB-\delta}) node [midway, below] {$x$};
		\draw [>=latex, <->] ({\xA+\AB+\delta}, {\yA-\x}) -- ({\xA+\AB+\delta},{\yA}) node [midway, right] {$x$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que si $x=2$, alors l'aire du triangle hachuré $MCL$ est égale à $32\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}(MCL)$ du triangle $MCL$ lorsque $x=2$.}
			
			Là encore nous ne préciserons pas les unités, les longueurs étant touts exprimées en centimètre.
			
			\medskip
			$MCL$ est rectangle en $C$ donc:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(MCL) &= \frac{1}{2} \times MC \times CL\\
				\intertext{Du fait de la symétrie de la figure, $MCL$ est isocèle en $C$ et donc:}
				\mathscr{A} (MCL) &= \frac{1}{2} \times MC^2\\
				\intertext{Puisque $DC=10$, $DM=x$ et $M\in[DC]$:}
				\mathscr{A}(MCL) &= \frac{1}{2} \times \left( 10-x\right)^2\\
				\intertext{Comme $x=2$:}
				\mathscr{A}(MCL) &= \frac{1}{2} \times \left( 10-2 \right)^2\\
				&= 32
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(MCL)=32\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer l’aire, en centimètre carré, de la partie hachurée $MCL$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En reprenant le raisonnement de la question précédente mais sans substituer à $x$ la valeur $2$ nous obtenons:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(MCL)=\frac{1}{2} \left( 10-x \right)^2$ quelque soit $x \in[0;10]$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que l’aire du triangle grisé $AML$, exprimée en centimètre carré, est égale à $50-\frac{x^2}{2}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $\mathscr{A}(AML)$.}
			
			Remarquons que
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A} (AML) &= \mathscr{A}(AMCL) - \mathscr{A} (MCL)\\
				\intertext{Compte tenu des expressions obtenues pour $\mathscr{A}(AMCL)$ (question A.4) et $\mathscr{A}(MCL)$ (question précédente), nous en déduisons:}
				\mathscr{A}(AML) &= \left[ 100-10x \right] - \left[ \frac{1}{2} \left( 10-x \right)^2 \right] \\
				&= 100-10x-\left[ \frac{1}{2} \left( 10^2-2 \times 10 \times x+x^2 \right) \right] \\
				&= 100-10x-\left[ \frac{1}{2} \left( x^2-20x+100 \right)\right]\\
				&= 100-10x - \left[ \frac{1}{2}\times x^2-\frac{1}{2}\times 20x+ \frac{1}{2} \times 100 \right]\\
				&= 100-10x -\left[ \frac{1}{2}x^2 -10x+50 \right]\\
				&= 100-10x -\frac{1}{2}x^2+10x-50\\
				&=50-\frac{1}{2}x^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour tout $x \in [0;10],\ \mathscr{A}(MCL) = 50-\frac{x^2}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a représenté dans le repère ci-dessous les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies pour $x$ entre $0$ et $10$ par: \[ f(x)=5x,\quad g(x)=100-10x,\quad h(x)=50-\frac{x^2}{2}. \]
		
		On obtient les courbes $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}_3$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.1]
			\def\xY{-0.8};
			\def\yY{-9};
			\def\xZ{10.4};
			\def\yZ{104};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white, dotted] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {10,20,...,100}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5*\x});
			\draw[blue] (3,20) node[fill=white] {$\mathscr{C}_3$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{100-10*\x});
			\draw[blue] (2,90) node[fill=white] {$\mathscr{C}_1$};
			\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{50-\x*\x/2});
			\draw[blue] (3,50) node[fill=white] {$\mathscr{C}_2$};
			\foreach \x/\y in{ 0/0, 10/50, 10/0, 0/50, 0/100} \draw [blue] (\x,\y) node {\small $\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Chacune des fonctions $f$, $g$ et $h$ permet de déterminer, en fonction de $x$, l’aire d’un des polygones $ADM$, $AMCL$ et $AML$ de la figure précédente. Associer à chaque fonction le polygone dont elle permet de déterminer l’aire. Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Comme nous l'avons établi en résolvant la question A.4:
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$est l'aire de $AMD$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			D'après la question A.4:
			
			\begin{conclusion}
				
				$g$ est l'aire de $AMCL$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			D'après la question B.1.c:
			
			\begin{conclusion}
				
				$h$ est l'aire de $AML$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Associer chaque courbe $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}_3$ à la fonction quelle représente. Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Identifions la courbe représentative de chaque fonction.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item {\color{WildStrawberry}Première méthode: en reconnaissant la nature de la fonction à partir de son expression algébrique.}
				
				Nous pouvons reconnaître les courbe représentatives à partir des natures des fonctions.
				
				$h$ est une fonction polynomiale de degré deux donc sa courbe représentative est une parabole. Il ne peut s'agir que de $\mathscr{C}_2$.
				
				$f$ et $g$ sont des fonctions affines donc leurs courbes représentatives sont des droites: $\mathscr{C}_1$ ou $\mathscr{C_3}$. De plus le coefficient directeur de $f$ est positif ($5$) alors que celui de $g$ est négatif $-10$) donc la courbe représentative de $f$ monte et celle de $g$ descend.
				
				\item {\color{WildStrawberry}Tester un calcul d'image.}
				
				En calculant nous obtenons: $f(3)=5 \times 3=15$, $g(3)=100-10 \times 3=70$ et $h(3)=50-\frac{3^2}{2}=45,5$.
				
				Par lecture graphique nous pouvons identifier les courbes correspondant à ces calculs d'images.
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.1]
					\def\xY{-0.8};
					\def\yY{-9};
					\def\xZ{10.4};
					\def\yZ{104};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
					\draw[xstep=0.5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white, dotted] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
					\foreach \x in {1, 2,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {10,20,...,100}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
					\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5*\x});
					\draw[blue] (3,20) node[fill=white] {$\mathscr{C}_3$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{100-10*\x});
					\draw[blue] (2,90) node[fill=white] {$\mathscr{C}_1$};
					\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{50-\x*\x/2});
					\draw[blue] (3,50) node[fill=white] {$\mathscr{C}_2$};
					\foreach \x/\y in{ 0/0, 10/50, 10/0, 0/50, 0/100} \draw [blue] (\x,\y) node {\small $\bullet$};
					\draw [orange, dashed, very thick] (3,0) -- (3,15) -- (0,15);
					\draw [orange, dashed, very thick] (3,15) -- (3,45.5) -- (0,45.5);
					\draw [orange, dashed, very thick] (3,45.5) -- (3,70) -- (0,70);
					\end{tikzpicture}
				\end{center}				
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les courbes représentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$ sont respectivement $\mathscr{C}_3$, $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer graphiquement l’aire du triangle grisé $AML$ pour $x=3$.
			
		\end{sujet}
				
		\begin{correction}
			
			En reprenant les résultats des deux questions précédentes nous pouvons annoter le graphique.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.1]
				\def\xY{-0.8};
				\def\yY{-9};
				\def\xZ{10.4};
				\def\yZ{104};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white, dotted] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {10,20,...,100}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5*\x});
				\draw[blue] (3,20) node[fill=white] {$\mathscr{C}_3$, $f$ , $AMD$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{100-10*\x});
				\draw[blue] (2,90) node[fill=white] {$\mathscr{C}_1$, $g$, $AMCL$};
				\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{50-\x*\x/2});
				\draw[blue] (3,50) node[fill=white] {$\mathscr{C}_2$, $h$, $AML$};
				\foreach \x/\y in{ 0/0, 10/50, 10/0, 0/50, 0/100} \draw [blue] (\x,\y) node {\small $\bullet$};
				\draw [orange, dashed, very thick] (3,0) -- (3,45.5) -- (0,45.5);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}	
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire de $AML$ égale $45\ \mathrm{cm}^2$ lorsque $x=3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l’aire du quadrilatère grisé $AMCL$ de la partie A est égale à $25\ \mathrm{cm}^2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.1]
				\def\xY{-0.8};
				\def\yY{-9};
				\def\xZ{10.4};
				\def\yZ{104};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white, dotted] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {10,20,...,100}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5*\x});
				\draw[blue] (3,20) node[fill=white] {$\mathscr{C}_3$, $f$ , $AMD$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{100-10*\x});
				\draw[blue] (2,90) node[fill=white] {$\mathscr{C}_1$, $g$, $AMCL$};
				\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{50-\x*\x/2});
				\draw[blue] (3,50) node[fill=white] {$\mathscr{C}_2$, $h$, $AML$};
				\foreach \x/\y in{ 0/0, 10/50, 10/0, 0/50, 0/100} \draw [blue] (\x,\y) node {\small $\bullet$};
				\draw [orange, dashed, very thick] (7.5,0) -- (7.5,25) -- (0,25);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}	
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire de $AMCL$ égale $25\ \mathrm{cm}^2$ lorsque $x=7,5$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 		
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour que les trois triangles $ABL$, $ADM$ et $AML$ de la partie B aient la même aire. Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$ABL$ et $ADM$ ont la même aire donc la question pourrait être: déterminer $x$ pour que les aires de $AMD$ et $AML$ soient égales.
			
			Or ces aires sont égales lorsque les fonctions les représentant ont la même image ce qui correspond aux points d'intersections de leur courbes représentatives:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.1]
				\def\xY{-0.8};
				\def\yY{-9};
				\def\xZ{10.4};
				\def\yZ{104};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white, dotted] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {10,20,...,100}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5*\x});
				\draw[blue] (3,20) node[fill=white] {$\mathscr{C}_3$, $f$ , $AMD$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{100-10*\x});
				\draw[blue] (2,90) node[fill=white] {$\mathscr{C}_1$, $g$, $AMCL$};
				\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{50-\x*\x/2});
				\draw[blue] (3,50) node[fill=white] {$\mathscr{C}_2$, $h$, $AML$};
				\foreach \x/\y in{ 0/0, 10/50, 10/0, 0/50, 0/100} \draw [blue] (\x,\y) node {\small $\bullet$};
				\draw [orange, dashed, very thick] ({-5+5*sqrt(5)},0) -- ({-5+5*sqrt(5)},{(-5+5*sqrt(5))*5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}	
			
			et donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				les aires de $ABL$, $ADM$ et $AML$ sont égales lorsque $x=6,2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	On veut maintenant partager un carré de $10\ \mathrm{cm}$ de côté en deux parties. L’une d’entre elles est un disque intérieur ayant pour centre celui du carré et pour rayon $r$. La seconde partie est l’extérieur du disque, grisée sur la figure ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Point A
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\coordinate (A) at ({\xA}, {\yA});
		%Longueur du côté du carré
		\def\AB{10};
		%point B
		\coordinate (B) at ({\xA+\AB},{\yA});
		%point C
		\coordinate (C) at ({\xA+\AB},{\yA-\AB});
		%point D
		\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\AB});
		%Dessin du carré
		\fill[color=gray , opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		%Dessin du carré
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		%Dessin du disque
		\def\retraitAB{3};
		\fill[color=white , opacity=1] [samples=100,domain=0:360] plot({\xA+\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*cos(\x)},{\yA-\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*sin(\x)});
		\draw[thick][samples=100,domain=0:360] plot({\xA+\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*cos(\x)},{\yA-\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*sin(\x)});
		%Rayon du cercle
		\def\anglerayon{20};
		\draw [thick] ({\xA+\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*cos(\anglerayon)},{\yA-\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*sin(\anglerayon)}) -- ({\xA+\AB/2},{\yA-\AB/2}) node [midway, below] {$r$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Entre quelles valeurs le rayon $r$ peut-il varier? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le plus grand diamètre possible pour le cercle est la longueur du côté du carré, c'est-à-dire $10\ \mathrm{cm}$, par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			$0 \leqslant r \leqslant 5$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer pour quelle valeur du rayon $r$, exprimée en centimètre, l’aire du disque est égal au quart de celle du carré. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $\mathscr{A}_1$ l'aire du carré et $\mathscr{A}_2$ celle du cercle.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $r$ tel que: $\mathscr{A}_2= \frac{1}{4} \mathscr{A}_1$.}
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_2 &= \frac{1}{4} \mathscr{A}_1\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			\pi r^2 &= \frac{1}{4} \times 10^2\\
			\pi r^2 &= 25\\
			\frac{\pi r^2}{\color{orange}\pi} &= \frac{25}{\color{orange}\pi}\\
			r^2 &= \frac{25}{\pi}\\
			\intertext{Puisque $r$ est une longueur c'est un nombre positif donc:}
			r &= \sqrt{\frac{25}{\pi}}\\
			r &= \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{\pi}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour que l'aire du cercle soit le quart de l'aire du carré il faut que $r=\frac{5}{\sqrt{\pi}}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		En arrondissant au centième:
		
		\begin{conclusion}
			
			$r \approx 2,82\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour déterminer l’aire du disque dans le carré en fonction de son rayon, on réalise avec un tableur la feuille de calcul suivante:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.41\linewidth}{|m{0.2cm}*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				\cellcolor{gray!40} & \cellcolor{gray!40} \hfill \texttt{A} \hfill~ & \cellcolor{gray!40} \texttt{B}
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $1$ & \textbf{Rayon} & \textbf{Aire}
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $2$ & $0$ & $0$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $3$ & $0,5$ & $0,78539816$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $4$ & $1$ & $3,14159265$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $5$ & $1,5$ & $7,06858347$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $6$ & $2$ & $12,5663706$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $7$ & $2,5$ & $19,6349541$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $8$ & $3$ & $28,2743339$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $9$ & $3,5$ & $38,48451$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $10$ & $4$ & $50,2654825$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $11$ & $4,5$ & $63,6172512$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $12$ & $5$ & $78,5398163$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule permettant de calculer l’aire du disque doit être écrite dans la cellule $\texttt{B}2$ pour être ensuite copiée par glissement vers le bas?
			
			\emph{Note: on pourra utiliser la fonction \texttt{PI}() du tableur qui renvoie une valeur approchée du nombre $\pi$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\texttt{PI}()*\texttt{A}2\wedge 2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduire de ce tableau, un encadrement d’amplitude minimale de la valeur $r_0$ du rayon du disque pour que l'aire du disque soit égale à l'aire de la surface grisée.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons un encadrement de $r_0$.}
			
			Dire que l'aire du disque égale l'aire du carré signifie qu'elle doit être égale à $\frac{10^2}{2}=50$.
			
			En considérant cette partie:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabularx}{0.41\linewidth}{|m{0.2cm}*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					\cellcolor{gray!40} $9$ & $3,5$ & $38,48451$
					\\
					\hline
					\cellcolor{gray!40} $10$ & $4$ & $50,2654825$
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
				
			\end{center}
			
			nous voyons que:
			
			\begin{conclusion}
				
				$3,5 \leqslant r_0 \leqslant 4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur exacte de $r_0$, exprimée en centimètre, puis donner l'arrondi au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $r_0$ tel que: $\mathscr{A}_2= \frac{1}{2} \mathscr{A}_1$.}
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_2 &= \frac{1}{2} \mathscr{A}_1\\
				\intertext{équivaut successivement à}
				\pi r_0^2 &= \frac{1}{2} \times 10^2\\
				\pi r_0^2 &= 50\\
				\frac{\pi r_0^2}{\color{orange}\pi} &= \frac{50}{\color{orange}\pi}\\
				r_0^2 &= \frac{50}{\pi}\\
				\intertext{Puisque $r_0$ est une longueur c'est un nombre positif donc:}
				r_0 &= \sqrt{\frac{50}{\pi}}\\
				r_0 &= \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{\pi}}\\
				r_0 &= \frac{\sqrt{2 \times 5^2}}{\sqrt{\pi}}\\
				r_0 &= \frac{\sqrt{2}\times \sqrt{5^2}}{\sqrt{\pi}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que l'aire du cercle soit le quart de l'aire du carré il faut que $r_0=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			En arrondissant au centième:
			
			\begin{conclusion}
				
				$r_0 \approx 3,99\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur exacte $r_1$ du rayon du disque telle que l’aire du disque soit égale au tiers de l’aire de la surface grisée et donner son arrondi au dixième de millimètre.
			
		\end{sujet}		
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $r_1$ tel que: $\mathscr{A}_2= \frac{1}{3} \left( \mathscr{A}_1 - \mathscr{A}_2 \right)$.}
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_2 &= \frac{1}{3} \left( \mathscr{A}_1 - \mathscr{A}_2 \right)\\
				\intertext{équivaut successivement à}
				\pi r_1^2 &= \frac{1}{3} \times \left( 10^2 - \pi r_1^2 \right)\\
				\pi r_1^2 &= \frac{1}{3} \times 100 -\frac{1}{3} \pi r_1^2\\
				\pi r_1^2 {\color{orange}+\frac{1}{3} \pi r_1^2} &= \frac{100}{3} -\frac{1}{3} \pi r_1^2 {\color{orange}+\frac{1}{3} \pi r_1^2}\\
				\frac{4}{3} \pi r_1^2 &= \frac{100}{3}\\
				{\color{orange}\frac{3}{4\pi} \times} \frac{4\pi r_1^2}{3} &= {\color{orange}\frac{3}{4\pi} \times} \frac{100}{3}\\
				r_1^2 &= \frac{100}{4 \pi}\\
				\intertext{Puisque $r_1$ est une longueur c'est un nombre positif donc:}
				r_1 &= \sqrt{\frac{100}{4\pi}}\\
				r_1 &= \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4\pi}}\\
				r_1 &= \frac{10}{\sqrt{4} \times \sqrt{\pi}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que l'aire du cercle soit le tiers de l'aire du carré il faut que $r_1=\frac{5}{\sqrt{\pi}}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			En arrondissant au centième:
			
			\begin{conclusion}
				
				$r_1 \approx 2,82\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n'enlève pas de point.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans la figure ci-dessous, $ABC$ est un triangle, $D$ et $E$ sont des points des côtés $[AB]$ et $[AC]$ tels que: \[ AD = 9\ \mathrm{cm}, \quad DB = 6\ \mathrm{cm}, \quad AC = 10\ \mathrm{cm}, \quad EC = 4\ \mathrm{cm}. \]
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5, yscale=0.25]
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node [below left] {$A$};
				\def\AD{9};
				\def\DB{6};
				\def\AC{10};
				\def\EC{4};
				\coordinate (E) at ({\xA+\AC-\EC},{\yA});
				\draw (E) node [below] {$E$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\AC},{\yA});
				\draw (C) node [below right] {$C$};
				\coordinate (D) at ({\xA+\AC-\EC},{\yA+sqrt(\AD*\AD-(\AC-\EC)*(\AC-\EC))});
				\draw (D) node [above] {$D$};
				\coordinate (B) at ({\xA+(\AC-\EC)/\AD*(\AD+\DB)},{\yA+sqrt(\AD*\AD-(\AC-\EC)*(\AC-\EC))/\AD*(\AD+\DB)});
				\draw (B) node [above] {$B$};
				\draw (D) -- (A) -- (C) -- (B) -- (D) -- (E);
				%angle droit
				\def\deltx{0.5};
				\def\delty{1};
				\fill[color=gray , opacity=0.25] ({\xA+\AC-\EC},{\yA+\delty}) -- ({\xA+\AC-\EC-\deltx},{\yA+\delty}) -- ({\xA+\AC-\EC-\deltx},{\yA}) -- ({\xA+\AC-\EC},{\yA}) -- cycle;
				\draw ({\xA+\AC-\EC},{\yA+\delty}) -- ({\xA+\AC-\EC-\deltx},{\yA+\delty}) -- ({\xA+\AC-\EC-\deltx},{\yA}); 
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\textbf{Affirmation 1}: \og Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Un angle droit est visible sur la figure et on nous demande de vérifier qu'un triangle est rectangle. Il semble naturel de penser au théorème de Pythagore. Une rapide tentative nous montre que nous manquons de données pour ce théorème.
		
		La figure évoque par contre une configuration de Thalès et même la configuration classique d'un agrandissement de figure.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} Les points $A$, $D$, $B$ et $A$, $E$, $C$ sont alignés dans cet ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèses pour la réciproque du théorème de Thalès.} 
			
			Nous avons d'une part
			
			\begin{align*}
				\frac{AE}{AC} &= \frac{AC-AE}{AC}\\
				&= \frac{10-4}{10}\\
				&= \frac{6}{10}\\
				&= \frac{2 \times 3}{2 \times 5}\\
				&= \frac{3}{5}
			\end{align*}
			
			et d'autre part
			
			\begin{align*}
				\frac{AD}{AB} &= \frac{AD}{AD+DB}\\
				&= \frac{9}{9+6}\\
				&= \frac{9}{15}\\
				&= \frac{3 \times 3}{3 \times 5}\\
				&= \frac{3}{5}
			\end{align*}
			
			donc $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous déduisons des deux points précédents, d'après la réciproque du théorème de Thalès que $(DE) \parallel (BC)$.
		
		\medskip
		Comme de plus $(DE) \perp (AC)$ nous en déduisons $(BD) \perp (AC)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 2}: \og La somme de deux nombres entiers impairs consécutifs ne peut pas être un nombre premier.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs: $1$ et lui-même. Quelques essais permettent de remarquer que la somme de deux nombres impaires consécutifs est toujours divisible par $2$.}
		
		\medskip
		Soient $m$ et $n$ deux nombres entiers impairs consécutifs.
		
		nous avons alors:
		
		\begin{align*}
			m+{\color{orange}n} &= m+ {\color{orange}(m+2)}\\
			&= 2m+2\\
			&= 2\times m+2 \times 1\\
			&= 2(m+1)
		\end{align*}
		
		Donc $m+n$ est divisible par $2$. Par conséquent $m+n$ n'est pas premier.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose qu’une voiture perd chaque année $20\ \%$ de sa valeur.
		
		\textbf{Affirmation 3}: \og Dans $5$ ans, la voiture vaudra encore plus d’un tiers de sa valeur initiale. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Pour déterminer l'évolution globale correspondant à des évolutions successives nous allons utiliser les coefficients multiplicateurs.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons le taux d'évolution globale $t_g$ en cinq ans.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de $20\ \%$ est 
		
		\begin{align*}
			CM_a &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1 + \frac{-20}{100}\\
			&= 0,8
		\end{align*}
		
		Donc le coefficient multiplicateur global correspondant à $5$ baisses de $20\ \%$ est 
		
		\begin{align*}
			CM_g &= CM_a \times CM_a \times CM_a \times CM_a \times CM_a\\
			&= CM_a^5\\
			&= 0,8^5 \\
			&= 0,32768
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons le taux d'évolution global:
		
		\begin{align*}
			t_g &= 100 \times (CM_g-1)\\
			&= 100 \times (0,32768-1)\\
			&= -67,232
		\end{align*}
		
		La valeur de la voiture a diminuée de $67,232\ \%$. Plus que $66,666\dots\ \%$ car, en effet $\frac{1}{3}=0,666\dots$
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est fausse.
			 
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans mon équipe, les trois quarts des joueurs sont mineurs et le tiers des majeurs a plus de $25$ ans.
		
		\textbf{Affirmation 4}: \og Un équipier sur six a entre 18 et 25 ans. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Un quart des joueurs sont majeurs et deux tiers de ce quart à moins de $25$ ans donc la proportion de personnes ayant entre $18$ et $25$ ans est:
		
		\begin{align*}
			\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} &= \frac{1}{6}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de $28$ élèves, on souhaite comparer les tailles des filles et des garçons. Voici les données dont on dispose:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Taille des treize filles en centimètre: \[ 149\ 155\
			161\ 142\ 167\ 163\ 157\ 150\ 165\ 152\ 161\ 159\ 160 \]
			\\
			\hline
			Taille des garçons: 
			
			Toutes les tailles sont des nombres entiers de centimètres et il n’y a pas deux garçons qui ont la même taille.
			
			On connaît également les indicateurs suivants: \[ \text{Étendue: } 29\ \mathrm{cm} \ 
			\text{Moyenne: } 159\ \mathrm{cm}\ \text{Médiane: } 161\ \mathrm{cm}. \]
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’écart, en centimètre, entre la taille moyenne des filles et la taille moyenne des garçons.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'écart, $\overline{e}$, entre la taille moyenne des filles, $\overline{x}_f$, et la taille moyenne des garçons, $\overline{x}_g$.}
		
		Par définition de la moyenne:
		
		\begin{align*}
			\overline{x}_f &= \frac{149 +155+161+ \dots +160}{13}\\
			&= 157
		\end{align*}
		
		D'où
		
		\begin{align*}
			\overline{e} &= \overline{x}_g- \overline{x}_f\\
			&= 159-157
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{e}=2\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans la classe, l’élève de plus petite taille mesure $140\ \mathrm{cm}$. Quelle est la taille de l’élève le plus grand?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le $\max$ de la classe.}
		
		Puisque la plus petite fille mesure $142\ \mathrm{cm}$ c'est donc un garçon qui mesure $140\ \mathrm{cm}$.
		
		L'étendue chez les garçons étant de $29\ \mathrm{cm}$, le plus grand garçon mesure $140\ \mathrm{cm} +29\ \mathrm{cm}=169\ \mathrm{cm}$.
		
		Comme la plus grande fille mesure $167\ \mathrm{cm}$ nous pouvons conclure.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\max=169\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans la classe, combien d’élèves mesurent $162\ \mathrm{cm}$ ou plus?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Remarquons que $3$ filles mesurent $162\ \mathrm{cm}$ ou plus.
		
		Il y a $28-13=15$ garçons.
		
		De plus la médiane est de $161\ \mathrm{cm}$ ce qui signifie que $\frac{15}{2}+0,5=8$ garçons ont une taille supérieure ou égale à $161\ \mathrm{cm}$.
		
		Or tous les garçons ont des tailles distinctes donc il y a $7$ garçons dont la taille est supérieure ou égale à $162\ \mathrm{cm}$.
		
		\medskip
		En regroupant filles ($3$) et garçons ($7$):
		
		\begin{conclusion}
			
			il y a $10$ élèves qui mesurent plus de $162\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la taille moyenne, en centimètre, arrondie au millimètre, des élèves de cette classe.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la moyenne $\overline{x}$.}
		
		{\color{WildStrawberry}Il s'agit d'un calcul de moyenne de moyennes. Il faut être prudent et ne pas oublier de prendre en compte l'effectif correspondant à la moyenne.}
		
		\medskip
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{13 \times \overline{x}_f+15 \times \overline{x}_g}{28}\\
			&= \frac{13 \times 157+15 \times 159}{28}\\
			&= \frac{2213}{14}
			&\approx 158,07142
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{x} \approx 158,1\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Un élève veut obtenir la figure ci-contre à l’aide du logiciel de programmation Scratch:
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_01_scratch_triangle.png}
	\end{center}
	
	\emph{Le plus petit segment mesure 10 pixels et chaque segment mesure $10$ pixels de plus que le précédent.}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Pour télécharger le programme Scratch il suffit de cliquer dessus.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève écrit le programme suivant et obtient la figure ci-dessous.
		
		\noindent
		\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
			\begin{center}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_4_02_scratch_triangle.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=0.8]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
					\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
					\blockpen{effacer tout}
					\blockpen{stylo en position d'écriture}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{10}}
					\blockrepeat{répéter \ovalnum{15} fois}
					{
						\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur}}
						\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{longueur} \ovalnum{10}}
					}
					\blocklook{cacher}
				\end{scratch}}
			\end{center}
			&
			\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_03_scratch_octogone.png}
			\end{center}
		\end{tabular}
		
		Que doit-il modifier dans son programme pour obtenir la figure attendue ? Aucune justification n’est attendue.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_4_02_scratch_triangle.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=0.8]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
					\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
					\blockpen{effacer tout}
					\blockpen{stylo en position d'écriture}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{10}}
					\blockrepeat{répéter \ovalnum{15} fois}
					{
						\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur}}
						\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{longueur} \ovalnum{10}}
					}
					\blocklook{cacher}
			\end{scratch}}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la longueur, exprimée en pixel, du dernier segment tracé?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}La longueur suit une progression arithmétique (on parle de suite arithmétique) de raison $10$: à chaque étape la longueur variable est augmentée de $10$.}
		
		\medskip
		La valeur initiale de la $longueur$ est $10$ puis dans la boucle elle est augmentée $15$ fois de $10$. Autrement dit la $longueur$ du dernier segment tracé est:
		
		\begin{align*}
			longueur &= 10+15 \times 10
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La longueur du dernier segment est $160$ pixels.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que doit-on modifier dans le programme précédent pour obtenir la spirale suivante ?
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_05_scratch_carre.png}
		\end{center}
		
		\emph{Le plus petit segment mesure $10$ pixels et chaque segment mesure $10$ pixels de plus que le précédent.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Voici une modification possible:
		
		\begin{center}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_4_06_scratch_carre.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=0.8]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
					\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
					\blockpen{effacer tout}
					\blockpen{stylo en position d'écriture}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{10}}
					\blockrepeat{répéter \ovalnum{20} fois}
					{
						\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur}}
						\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{longueur} \ovalnum{10}}
					}
					\blocklook{cacher}
			\end{scratch}}
		\end{center}
	
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Extrait du Bulletin officiel n° 31 du 30-7-2020 pour le cycle 3: \og connaître des procédures élémentaires de calcul, notamment: multiplier par $5$, par $25$, par $50$, par $0,1$, par $0,5$ \fg{}.}
	
	\medskip
	Dans le cadre d’une séance de calcul mental, un enseignant propose à des élèves de CM1 de revenir sur les procédures qu’ils ont utilisées pour effectuer le calcul: $5 \times 14$. Ci-dessous sont présentées les productions de Paco, Léa, Julie et Ali.
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			\textbf{Paco}
			
			\medskip
			$\begin{aligned}
				& 5 \times 4 =20\\
				& 5 \times 1 = 5+2 =7\\
				& 14 \times 5 =70
			\end{aligned}$
			
			&
			
			\textbf{Léa}
			
			\medskip
			$\begin{aligned}
				& 10 \times 5 = 50 \\
				& 11 \times 5 = 50 \\
				& 12 \times 5 = 60 \\
				& 13 \times 5 = 65 \\
				& 14 \times 5 = 70
			\end{aligned}$
			
			\\
			\hline
			\textbf{Julie}
			
			\medskip
			$\begin{aligned}
				& 14 +14 +14 + 14 +14 =70
			\end{aligned}$
			
			&
			
			\textbf{Ali}
			
			\medskip
			$\begin{aligned}
				& 14 \times 5 =70
			\end{aligned}$
			
			J'ai trouvé ce résultat car j'ai fait 
			
			$\begin{aligned}
				& 5 \times 10 + 5 \times 4 =70
			\end{aligned}$
			
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour chacun des quatre élèves, analyser les procédures et expliciter les faits numériques sollicités.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que peut proposer l’enseignant pour encourager Julie à abandonner sa procédure additive?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Indépendamment des nombres en jeu, comment l’enseignant peut-il procéder pour introduire la procédure suivante: $5 \times 14 = 10 \times 14:2$?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une trace écrite à faire noter dans les cahiers lors de l’institutionnalisation de la procédure introduite dans la question 3.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante de CM2 propose le problème suivant à ses élèves:
	
	\og Un touriste prend un train à Paris à $6\ \mathrm{h}\ \mathrm{47}$, le train s’arrête une première fois en gare de Bourg-en-Bresse d’où il repart à $8\ \mathrm{h}\ \mathrm{39}$. Le train arrive en gare de Bellegarde-sur-Valserine 53 minutes plus tard. Quelle a été la durée totale du voyage? \fg{}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_07_mateo.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_08_lucille.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_09_lea.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un tableau, analyser chacune des $3$ productions d’élèves en termes de réussites et d’erreurs.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle aide peut-on apporter à Lucille pour qu’elle comprenne et remédie à son ou ses erreur(s)?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Parmi les procédures utilisées par ces $3$ élèves, laquelle privilégier pour une mise en commun en classe de CM2? Justifier ce choix.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici une situation proposée par le manuel \og Pour comprendre les maths\fg{} - Hachette éducation - CM1:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.17]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_10_hachette.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Cet exercice a été réussi par l’ensemble des élèves d’une classe de CM1.
		
		L’enseignant propose cette même situation avec les fractions: \[ \frac{13}{5};\ \frac{6}{10};\ \frac{12}{6};\ \frac{1}{2};\ \frac{9}{9} \]
		
		Voici les réponses de Léo:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.17]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_11_leo.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser les réponses proposées par Léo, en repérant ses erreurs et réussites.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer la différence de réussites aux deux tâches proposées.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici une nouvelle situation extraite du même manuel:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.19]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_12_carres.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner un intérêt et une limite de cet exercice par rapport à l’exercice proposé à la question 1 précédente.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant propose de comparer les figures \textbf{e}, \textbf{g} et une nouvelle figure \textbf{h}.
			
			\begin{center}
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_13_carres_h.png}
			\end{center}
			
			Quel est l’intérêt de proposer ces trois figures ?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant décide ensuite de proposer la figure \textbf{i}.
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_14_carres_i.png}
			\end{center}
			
			Lilou trouve $\dfrac{4}{8}$. Tom dit: \og ce n’est pas possible car c’est la figure \textbf{c} et elles ne sont pas pareilles.\fg{}
			
			Comment l’enseignant peut-il amener Tom à comprendre que son affirmation est fausse?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nA1/A1/1/$2^0$/,
		nA2/A2/2/$2^1$/
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}
		
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nA1/A1/1/$2^0$/,
		nA2/A2/2/$2^1$/,
		nA3/A3/3/$2^2$/
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}