%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2021 sujet 3} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2021 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
		\medskip
		{\color{red}Merci à Mme Bobinec, M. Chandelier, Céline, Mme Monjole, Mme Duplessy pour la relecture et les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Suite à des problèmes récurrents d’alimentation en eau pour un des hameaux de sa commune, le maire projette de faire construire un château d’eau.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: choix du château d’eau.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Afin de faire un choix esthétique parmi trois modèles proposés, le maire décide de consulter ses concitoyens. Chaque foyer peut voter une fois, tous les foyers ont voté.
		
		Voici les résultats de la consultation:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				Types de château d’eau & Modèle A & Modèle B & Modèle C
				\\
				\hline
				Nombre de foyers & $12$ & $60$ & $18$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Calculer la proportion, en pourcentage, de voix recueillies parmi les foyers de ce hameau pour chacun des trois modèles proposés. Les pourcentages seront arrondis à l’unité de pourcentage.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons les proportions de voix.}
		
		Notons $p_A$ la proportion de voix recueillies par le modèle A.
		
		{\color{WildStrawberry}Pour une proportion l'idée est de faire $\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$.}
		
		En notant $E$ l'ensemble des habitants du hameau et $A$ l'ensemble de ceux qui ont choisi le modèle A nous avons:
		
		\begin{align*}
			p_A &= \frac{|A|}{|E|}\\
			\intertext{\color{WildStrawberry}en notant $|A|$ le cardinal de l'ensemble $A$, c'est-à-dire le nombre de personne ayant fait le choix du modèle A.}
			p_A &= \frac{12}{12+60+18}\\
			&= \frac{2}{15}\\
			&= 0,1333\dots\\
			&\approx 13 \ \%
		\end{align*}
		
		En procédant de même pour les deux autres modèles:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				Types de château d’eau & Modèle A & Modèle B & Modèle C
				\\
				\hline
				Proportion & $13\ \%$ & $67\ \%$ & $20\ \%$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour sélectionner le réservoir au volume le plus adapté, le maire décide d’étudier la consommation annuelle d'eau des foyers du hameau et observe qu’en 2019 elle était égale
		à $\np{10 500}\ \mathrm{m}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la consommation moyenne annuelle d’eau par foyer est d’environ $116,67\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la consommation moyenne $\overline{x}$.}
			
			{\color{WildStrawberry}La moyenne peut être obtenue par diverses formules. Ici il s'agit simplement de partager équitablement la consommation totale entre chaque foyer.}
			
			\begin{align*}
				\overline{x} &= \frac{\np{10500}\ \mathrm{m}^3}{12+60+18}\\
				&= \frac{350}{3}\ \mathrm{m}^3\\
				&= 116,666\dots\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overline{x} \approx 116,67\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant qu’un lotissement de $17$ logements va être bientôt terminé, le maire décide d’intégrer ces logements à son étude en attribuant à chacun d’entre eux la consommation annuelle d’eau moyenne par foyer du hameau.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la consommation annuelle estimée du hameau intégrant les nouveaux logements. On donnera le résultat en mètre cube, arrondi à l’unité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la consommation annuelle estimée du hameau $C_{ae}$.}
			
			Chacun des $17$ nouveaux foyers consommera $116,67\ \mathrm{m}^3$. La consommation de ces $17$ nouveaux foyers sera de 
			
			\begin{align*}
				17 \times 116,67\ \mathrm{m}^3 &= 1983,39\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			Donc en prennant en compte tout le hameau:
			
			\begin{align*}
				C_{ae} &= \np{10500}\ \mathrm{m}^3 + 1983,39\ \mathrm{m}^3\\
				&= \np{12483,39}\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$C_{ae}\approx \np{12483}\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Suite à son enquête et aux conseils d’un bureau d’étude, le maire souhaite choisir un réservoir pouvant contenir au minimum la consommation moyenne de $5$ jours du hameau
		intégrant les nouveaux logements.
		
	\end{sujet}

	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la consommation moyenne en $5$ jours de l’ensemble des foyers du hameau intégrant les nouveaux logements.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la consommation moyenne en $5$ jours $C_{5}$.}
			
			{\color{WildStrawberry}On fait implicitement l'hypothèse que la consommation quotidienne est toujours la même ce qui nous permet de répondre à la question par proportionnalité. De plus nous ferons l'hypothèse simplificatrice d'une année à $365$ jours plutôt qu'à $365,25$ jours.}
			
			\medskip
			Par proportionnalité:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|}
					\hline
					Jours & $365$ & $5$
					\\
					\hline
					Consommation ($\mathrm{m}^3$) & $\np{12483,39}$ & $171,01$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$C_5 \approx 171,01\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Une entreprise propose de construire un réservoir ayant la forme d’une sphère de $7$ mètres de diamètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\setcounter{enumii}{1}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le volume de ce réservoir. On donnera l’arrondi du volume au mètre cube.
			
			On rappelle que le volume $V$ d'une boule de rayon $r$ est donné par $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $V_s$ de la sphère.}
			
			D'après la formule de l'énoncé:
			
			\begin{align*}
				V_S &= \frac{4}{3} \pi r^3\\
				&= \frac{4}{3} \pi \left( \frac{7\ \mathrm{m}}{2} \right)^3\\
				&= \frac{4}{3} \pi \left( \frac{7}{2} \right)^3\ \mathrm{m}^3\\
				&\approx 179,59				
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_S\approx 180\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Ce réservoir répond-il aux souhaits du maire?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$V_S>171,01\ \mathrm{m}^3$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				ce réservoir répond aux souhaits du maire.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère que le réservoir choisi contient $180\ \mathrm{m}^3$ d’eau. Le débit de la pompe qui permet de le remplir est de $40\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$.
		
		Déterminer le temps nécessaire pour remplir ce réservoir aux trois quarts. Donner la réponse en heure, minute et seconde.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le temps de remplissage $t_r$.}
		
		Nous pouvons raisonner par proportionnalité:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Volume ($\mathrm{m}^3$) & $40$ & $\frac{3}{4}\times180= 135$
				\\
				\hline
				Temps ($\mathrm{h}$) & $1$ & $3,375$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Ainsi
		
		\begin{align*}
			t_r &= 3,375\ \mathrm{h}\\
			&= 3\ \mathrm{h} + 0,375\ {\color{orange}\mathrm{h}}\\
			&= 3\ \mathrm{h} + 0,375{\color{orange}\times 60\ \mathrm{min}}\\
			&= 3\ \mathrm{m} + 22,5\ \mathrm{min}\\
			&= 3\ \mathrm{h} + 22\ \mathrm{min} + 0,5\ \mathrm{min}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$t_r= 3\ \mathrm{h} + 22\ \mathrm{min} + 30\ \mathrm{s}$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: nuisances et impact paysager.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour éviter toute polémique quant au lieu d’implantation du projet, le maire décide d’installer le château à égale distance des trois habitations les plus proches. Pour expliciter ce choix aux habitants, il souhaite représenter la situation par un tracé géométrique. Il désigne par
		les points $H_1$, $H_2$ et $H_3$ les trois habitations.
		
		On sait que les distances entre les habitations sont $H_1H_2= 1\ \mathrm{km}$, $H_2H_3 = 820\ \mathrm{m}$ et $H_1H_3 = 730\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Représenter la situation à l’échelle $1/\np{10 000}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En notant $H_1'$, $H_2'$ et $H_3'$ les points correspondant respectivement $H_1$, $H_2$ et $H_3$ après la mise à l'échelle nous avons, par exemple:
			
			\begin{align*}
				H_1'H_2' &= \frac{1}{\np{10000}} \times 1\ {\color{orange}\mathrm{km}}\\
				&= \frac{1}{\np{10000}} \times 1 {\color{orange}\times \np{100000}\ \mathrm{cm}}\\
				&= 10\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			De même {\color{WildStrawberry}ou en raisonnant par proportionnalité}
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					Réel ($\mathrm{km}$) & $1$ & $0,820$ & $0,730$
					\\
					\hline
					À l'échelle ($\mathrm{cm}$) & $10$ & $8,2$ & $7,3$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
		
			\begin{tikzpicture}
				\def\xHa{0};
				\def\yHa{0};
				\coordinate (H1) at ({\xHa},{\yHa});
				\draw (H1) node [below left] {$H_1'$};
				\def\HaHb{10};
				\coordinate (H2) at ({\xHa+\HaHb},{\yHa});
				\draw (H2) node [below right] {$H_2'$};
				\def\HbHc{8.2};
				\def\HaHc{7.3};
				\coordinate (H3) at ({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
				\draw (H3) node [above] {$H_3'$};
				\draw (H1) -- (H3) -- (H2) -- cycle;
				\draw[blue, dashed][samples=100,domain=30:70] plot({\xHa+\HaHc*cos(\x)},{\yHa+\HaHc*sin(\x)});
				\draw[blue, dashed][samples=100,domain=120:160] plot({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(\x)} , {\yHa+\HbHc*sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Placer le point $C$, tel qu’il soit à égale distance des trois points représentant les habitations. On veillera à laisser les traits de construction et on justifiera le tracé sur la copie.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si le point $C$ est équidistant des points $H_1$, $H_2$ et $H_3$ alors cela signifie qu'il est le centre du cercle circonscrit au triangle $H_1H_2H_3$. Autrement dit $C$ est le point d'intersection des médiatrices du triangle.
			
			\medskip
			\emph{La figure suivante est une réduction à l'échelle $7/10$ de la figure demandée.}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
				\def\xHa{0};
				\def\yHa{0};
				\coordinate (H1) at ({\xHa},{\yHa});
				\draw (H1) node [below left] {$H_1'$};
				\def\HaHb{10};
				\coordinate (H2) at ({\xHa+\HaHb},{\yHa});
				\draw (H2) node [below right] {$H_2'$};
				\def\HbHc{8.2};
				\def\HaHc{7.3};
				\coordinate (H3) at ({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
				\draw (H3) node [above] {$H_3'$};
				\draw (H1) -- (H3) -- (H2) -- cycle;
				%Arcs de cercles H1H2
				\def\raycons{6};
				\draw[blue, dashed][samples=100,domain=30:40] plot({\xHa+\raycons*cos(\x)},{\yHa+\raycons*sin(\x)});
				\draw[blue, dashed][samples=100,domain=140:155] plot({\xHa+\HaHb+\raycons*cos(\x)} , {\yHa+\raycons*sin(\x)});
				\def\raycons{6};
				\draw[blue, dashed][samples=100,domain=-40:-30] plot({\xHa+\raycons*cos(\x)},{\yHa+\raycons*sin(\x)});
				\draw[blue, dashed][samples=100,domain=-155:-140] plot({\xHa+\HaHb+\raycons*cos(\x)} , {\yHa+\raycons*sin(\x)});
				%Médiatrice de [H1H2]
				\draw[blue][samples=100,domain=-4:5] plot ({\xHa+\HaHb/2},{\yHa+\x});
				%M milieu de [H2H3]
				%\coordinate (M) at ({\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
				%\draw (M) node {$\bullet$};
				%Médiatrice de [H2H3]
				\draw[red][samples=100,domain=-0.5:1.1] plot ({\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))-\x*0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\x*0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
				%Arcs de cercles H2H3
				\def\rayconsa{4.5};
				\draw[red, dashed][samples=100,domain=-80:-60] plot({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*sin(\x)});;
				\draw[red, dashed][samples=100,domain=150:170] plot({\xHa+\HaHb+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\rayconsa*sin(\x)});	
				\draw[red, dashed][samples=100,domain=-30:00] plot({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*sin(\x)});;
				\draw[red, dashed][samples=100,domain=90:130] plot({\xHa+\HaHb+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\rayconsa*sin(\x)});
				%Coordonnées de C
				\coordinate (C) at ({\xHa+\HaHb/2},{\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))  +  (  \xHa+\HaHb/2  -  (\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  )  /  (-0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  *  (0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  });
				\draw [black] (C) node{$\mathbf{\times}$};	
				\draw [black] (C) node [above left] {$C$};
			\end{tikzpicture}			
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant la figure construite, estimer la distance entre le château d’eau et chacune des $3$ habitations.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\emph{La figure suivante est une réduction à l'échelle $7/10$ de la figure demandée.}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
			\def\xHa{0};
			\def\yHa{0};
			\coordinate (H1) at ({\xHa},{\yHa});
			\draw (H1) node [below left] {$H_1'$};
			\def\HaHb{10};
			\coordinate (H2) at ({\xHa+\HaHb},{\yHa});
			\draw (H2) node [below right] {$H_2'$};
			\def\HbHc{8.2};
			\def\HaHc{7.3};
			\coordinate (H3) at ({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
			\draw (H3) node [above] {$H_3'$};
			\draw (H1) -- (H3) -- (H2) -- cycle;
			%Arcs de cercles H1H2
			\def\raycons{6};
			%\draw[blue, dashed][samples=100,domain=30:40] plot({\xHa+\raycons*cos(\x)},{\yHa+\raycons*sin(\x)});
			%\draw[blue, dashed][samples=100,domain=140:155] plot({\xHa+\HaHb+\raycons*cos(\x)} , {\yHa+\raycons*sin(\x)});
			\def\raycons{6};
			%\draw[blue, dashed][samples=100,domain=-40:-30] plot({\xHa+\raycons*cos(\x)},{\yHa+\raycons*sin(\x)});
			%\draw[blue, dashed][samples=100,domain=-155:-140] plot({\xHa+\HaHb+\raycons*cos(\x)} , {\yHa+\raycons*sin(\x)});
			%Médiatrice de [H1H2]
			\draw[blue][samples=100,domain=-4:5] plot ({\xHa+\HaHb/2},{\yHa+\x});
			%M milieu de [H2H3]
			%\coordinate (M) at ({\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
			%\draw (M) node {$\bullet$};
			%Médiatrice de [H2H3]
			\draw[red][samples=100,domain=-0.5:1.1] plot ({\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))-\x*0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\x*0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
			%Arcs de cercles H2H3
			\def\rayconsa{4.5};
			%\draw[red, dashed][samples=100,domain=-80:-60] plot({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*sin(\x)});;
			%\draw[red, dashed][samples=100,domain=150:170] plot({\xHa+\HaHb+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\rayconsa*sin(\x)});	
			%\draw[red, dashed][samples=100,domain=-30:00] plot({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*sin(\x)});;
			%\draw[red, dashed][samples=100,domain=90:130] plot({\xHa+\HaHb+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\rayconsa*sin(\x)});
			%Coordonnées de C
			\coordinate (C) at ({\xHa+\HaHb/2},{\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))  +  (  \xHa+\HaHb/2  -  (\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  )  /  (-0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  *  (0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  });
			\draw [black] (C) node{$\mathbf{\times}$};	
			\draw [black] (C) node [above left] {$C$};
			%Indique la distance
			\draw [black, >=latex, <->] (C) -- (H1) node [midway, above, sloped] {\pgfmathparse{sqrt( (\HaHb/2*\HaHb/2) + (0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))  +  (  \xHa+\HaHb/2  -  (\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  )  /  (-0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  *  (0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))) * (0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))  +  (  \xHa+\HaHb/2  -  (\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  )  /  (-0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  *  (0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))) ) }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\end{tikzpicture}
			
			Donc par proportionnalité
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|}
					\hline
					Réel ($\mathrm{km}$) & $1$ & $0,508$
					\\
					\hline
					À l'échelle ($\mathrm{cm}$) & $10$ & $5,08$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Entre le château d'eau et les habitations la distance est approximativement de $510\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	
	\begin{sujet}
		
		Afin de masquer la vue du château d’eau, un des habitants décide de planter une haie. Afin de choisir l’essence d’arbres à planter, il souhaite connaître la hauteur que devront atteindre ces arbres pour masquer la vue du château d’eau depuis sa terrasse.
		
		La figure ci-après, qui n’est pas à l’échelle, représente la situation. Cet habitant est au point $G$ sur sa terrasse, le château d’eau est implanté au point $K$ et on a noté $H$ le point où il souhaite planter une haie pour masquer le château d’eau.
		
		On connaît les dimensions suivantes: $KG = 510\ \mathrm{m}$, $GI = 1,80\ \mathrm{m}$ et $HG = 20\ \mathrm{m}$. La hauteur $KB$ est de $45$ mètres.
		
		Le point $I$ correspond à l’œil de l’homme et le point $J$ correspond à la hauteur que doivent atteindre les arbres pour masquer la vue du château d’eau.
		
		Les points $M$ et $N$ sont situés à $1,80\ \mathrm{m}$ du sol. On a ainsi, $MI = KG = 510\ \mathrm{m}$ et $NI = HG = 20\ \mathrm{m}$.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_01_haie_1.png}
			\vspace{-0.01cm}
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_02_haie_2.png}
		\end{center}
		
		Calculer la hauteur minimale HJ des arbres pour que cet habitant ne voie plus le château d’eau lorsqu’il se tient debout sur sa terrasse. On arrondira le résultat au centimètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $JN$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Les points $I$, $N$, $M$ d'une part et $I$, $J$, $B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item $(JN)$ et $(MB)$ sont des verticales donc $(JN) \parallel (MB)$.
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{JN}{BM} = \frac{IN}{IM}. \]
		
		Ce qui équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
			\frac{JN}{BM} {\color{orange}\times BM} &= \frac{IN}{IM} {\color{orange}\times BM}\\
			JN &= \frac{20\ \mathrm{m}}{510\ \mathrm{m}} \times (KB-KM)\\
			JN &= \frac{20}{510} \times \left( 45\ \mathrm{m}-1,80\ \mathrm{m} \right)\\
			JN &= \frac{20}{510} \times  43,2\ \mathrm{m}\\
			&= \frac{144}{85}\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons:
		
		\begin{align*}
			HJ &= HN+NJ\\
			&= 1,80\ \mathrm{m} + \frac{144}{85} \ \mathrm{m}\\
			&\approx 3,49411\ \mathrm{m} \ \text{par troncature.}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$HJ \approx 3,49\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: entretien du château d’eau.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le réservoir d’eau choisi a une contenance de $180\ \mathrm{m}^3$. L’ingénieur informe le maire que l’eau du château d’eau, bien que puisée dans une source, doit être chlorée. Il faut prévoir $0,1\ \mathrm{mg}$ de chlore par litre d’eau.
		
		Déterminer la quantité de chlore, en gramme, à prévoir au minimum pour $180\ \mathrm{m}^3$ d’eau.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la quantité $Q_c$ de chlore nécessaire.}
		
		\begin{align*}
			Q_c &= \left( 180\ {\color{orange}\mathrm{m}^3} \right) \times \left( 0,1 \ \mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1} \right)\\
			&= \left( 180\ {\color{orange}\times 1000\ \mathrm{L}} \right) \times \left( 0,1 \ \mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1} \right)\\
			&= 180 \times 1000 \times 0,1\ \mathrm{L} \cdot \mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1}\\
			&= 18000\ \mathrm{mg}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$Q_c= 18\ \mathrm{g}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour assurer l’entretien annuel de ce château d’eau, la commune sollicite deux entreprises.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			
			\item La société \emph{Qualiteau} propose un forfait annuel de $700\ \text{\euro}$ pour les déplacements puis toute intervention est facturée $350\ \text{\euro}$.
			
			\item La société \emph{Calmwater} propose également un forfait annuel pour les déplacements au tarif de $500\ \text{\euro}$ puis toute intervention est facturée $450\ \text{\euro}$.
			
		\end{enumerate}
		
		On note $x$ le nombre d’interventions annuelles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que le montant annuel $Q(x)$ à payer à la société \emph{Qualiteau}, en fonction de $x$, est donné par l'expression $Q(x)=350x+700$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Pour une année il faudra payer l'abonnement de $700\ \text{\euro}$ auquel il faudra ajouter $350\ \text{\euro}$ pour chaque intervention. Donc pour $x$ interventions:
			
			\begin{conclusion}
				
				$Q(x)=350 \times x+ 700$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer, en fonction de $x$, le montant annuel $C(x)$ à payer à la société \emph{Calmwater}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant comme à la question précédente
			
			\begin{conclusion}
				
				$C(x)=450x+500$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement les fonctions $Q$ et $C$. On prendra en abscisse $2\ \mathrm{cm}$ pour une intervention et en ordonnée $1\ \mathrm{cm}$ pour $200\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{
				\color{WildStrawberry}La représentation graphique d'une fonction $f$ est formée de tous les points de coordonnées $(x;f(x))$.
					
				Les fonctions que nous devons représenter sont des fonctions affines donc leurs courbe représentatives sont des droites. Il nous suffit de trouver les coordonnées de deux points distincts pour chacune d'entre elles.
			}
			
			{
				\color{orange} $Q(0)=700$ et $Q(5)=2450$. $C(0)=500$ et $C(5)=2750$.				
			}
			
			{\hspace*{-1.5cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-0.25};
				\def\yY{-0.25};
				\def\xZ{11.1};
				\def\yZ{15};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{200*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{350/200*(\x/2)+700/200});
				\draw[blue] (1,5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_Q$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{450/200*(\x/2)+500/200});
				\draw[red] (1,2.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_C$};
				\draw [orange] ({0},{700/200}) node {\large $\times$};
				\draw [orange] ({5*2},{2450/200}) node {\large $+$};
				\draw [orange] ({0},{500/200}) node {\large $\times$};
				\draw [orange] ({5*2},{2750/200}) node {\large $+$};
				\end{tikzpicture}
			}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À partir du graphique construit à la question 2.c., lire le nombre d’interventions annuelles pour lequel le montant de la facture sera le même pour les deux sociétés.
			
			Vérifier le résultat trouvé par un calcul.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			{\hspace*{0cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
				\def\xY{-0.25};
				\def\yY{-0.25};
				\def\xZ{11.1};
				\def\yZ{15};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{200*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{350/200*(\x/2)+700/200});
				\draw[blue] (1,5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_Q$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{450/200*(\x/2)+500/200});
				\draw[red] (1,2.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_C$};
				\draw [OliveGreen, dashed, very thick] ({2*2},{0/200}) -- ({2*2},{(450*2+500)/200}); 
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\medskip
			\objectif{Résolvons $C(x)=Q(x)$ dans l'ensemble des nombres réels positifs.}
			
			\begin{align*}
				C(x)=Q(x) &\Leftrightarrow 450x+500 = 350x+700\\
				&\Leftrightarrow 450x+500 {\color{orange}-500} = 350x+700 {\color{orange}-500}\\
				&\Leftrightarrow 450x=350x+200\\
				&\Leftrightarrow 450 {\color{orange}-350x} = 350x +200 {\color{orange}-350x}\\
				&\Leftrightarrow 100x &= 200\\
				&\Leftrightarrow \frac{100x}{\color{orange}100} = \frac{200}{\color{orange}100}\\
				&\Leftrightarrow x=2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La facture sera la même pour deux interventions annuelles.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle société devient alors la plus avantageuse pour la commune pour un nombre supérieur d’interventions?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par lecture graphique, pour plus de deux interventions annuelles, la courbe représentative de $Q$ est en dessous de celle de $C$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				pour plus de deux interventions l'entreprise \emph{Qualiteau} est plus avantageuse.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une troisième entreprise, la société \emph{Bellacqua}, vient de s’implanter dans la région. Elle ne facture aucun déplacement mais propose un tarif par intervention de $550\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer, en fonction de $x$ le montant annuel $B(x)$ à payer à la société \emph{Bellacqua}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$B(x)=550x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dans le repère orthogonal construit à la question 2.c., représenter graphiquement le tarif de la société \emph{Bellacqua} en fonction du nombre $x$ d’interventions.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La fonction $B$ est une fonction affine donc sa courbe représentative est une droite. De plus $B(0)=0$ et $B(5)=2750$.}
			
			{\hspace*{-1.5cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-0.25};
				\def\yY{-0.25};
				\def\xZ{11.1};
				\def\yZ{15};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{200*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{350/200*(\x/2)+700/200});
				\draw[blue] (1,5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_Q$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{450/200*(\x/2)+500/200});
				\draw[red] (1,2.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_C$};
				\draw[PineGreen, thick][samples=100,domain=0:11] plot(\x,{550/200*(\x/2)});
				\draw[PineGreen] (2,1) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
				\draw [orange] ({0},{0/200}) node {\large $\times$};
				\draw [orange] ({5*2},{2750/200}) node {\large $+$};
				\end{tikzpicture}
			}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La commune souhaiterait faire travailler la société \emph{Bellacqua}. Lire sur le graphique le nombre maximum d’interventions pour lequel le prix à payer sera plus intéressant que celui des deux autres sociétés. Justifier la démarche.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Tant que la courbe représentative de $B$ reste en dessous de celles de $C$ et $Q$ cela signifie que les valeurs prisent par $B$ sont inférieures à celles de $C$ et $Q$. 
			
			
			{\hspace*{0cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
				\def\xY{-0.25};
				\def\yY{-0.25};
				\def\xZ{11.1};
				\def\yZ{15};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{200*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{350/200*(\x/2)+700/200});
				\draw[blue] (1,5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_Q$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{450/200*(\x/2)+500/200});
				\draw[red] (1,2.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_C$};
				\draw[PineGreen, thick][samples=100,domain=0:11] plot(\x,{550/200*(\x/2)});
				\draw[PineGreen] (2,1) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
				\draw [Orange, dashed, very thick] ({7/2*2},{550*7/2)/200}) -- ({7/2*2},{0});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			Donc d'après la représentation graphique il faut moins de $3,5$ interventions.
			
			\begin{conclusion}
				
				\emph{Bellacqua} pourra être choisie pour un maximum de trois interventions.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Voici un programme de calcul:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item Choisir un nombre entier positif.
		
		\item Calculer le carré $C_1$ du nombre entier qui le suit.
		
		\item Calculer le carré $C_2$ du nombre entier qui le précède.
		
		\item Calculer la différence $C_1-C_2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier qu’en prenant $5$ comme nombre de départ, on obtient $20$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $C0$ le nombre choisi et dressons le tableau d'état des variables correspondant à cet algorithme.
		
		{\hspace*{-1.2cm}
			\small
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Instructions & $C_0$ & $C_1$ & $C_2$ & $C_1-C_2$
				\\
				\hline
				Choisir un entier positif & $5$ &&&
				\\
				\hline
				Calcul du carré de l'entier qui suit $C_0$ & $5$ & $6^2=36$ &&
				\\
				\hline
				Calcul du carré de l'entier qui précède $C_0$ & $5$ & $36$ & $4^2=16$ &
				\\
				\hline
				Calcul de $C_1-C_2$ & $5$ & $36$ & $16$ & $36-16=20$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			En entrant $5$ le programme de calcul renvoie $20$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On appelle $x$ le nombre de départ, montrer que le résultat obtenu est égal à $4x$.
		
	\end{sujet}
	
	
	\begin{correction}
		
		Notons $C0$ le nombre choisi et dressons le tableau d'état des variables correspondant à cet algorithme.
		
		{\hspace*{-1.5cm}
			\small
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Instructions & $C_0$ & $C_1$ & $C_2$ & $C_1-C_2$
				\\
				\hline
				Choisir un entier positif & $x$ &&&
				\\
				\hline
				Calcul du carré de l'entier qui suit $C_0$ & $x$ & $(x+1)^2$ &&
				\\
				\hline
				Calcul du carré de l'entier qui précède $C_0$ & $x$ & $(x+1)^2$ & $(x-1)^2$ &
				\\
				\hline
				Calcul de $C_1-C_2$ & $x$ & $(x+1)^2$ & $(x-1)^2$ & $(x+1)^2-(x-1)^2$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		}
		
		Or, grâce à une identité remarquable {\color{WildStrawberry}nous aurions pu faire le choix de tout développer, là encore, avec des identités remarquables, mais la factorisation semble moins longue)}:
		\begin{align*}
		(x+1)^2-(x-1)^1 &= \left[ (x+1)-(x-1) \right] \times \left[ (x+1)+(x-1) \right] \\
		&= \left[ x+1-x+1 \right] \times \left[ x+1+x-1 \right] \\
		&= 2 \times 2x
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{conclusion}
			
			en entrant $x$ le programme de calcul renvoie $4x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Est-il possible d'obtenir $842$? Si oui, donner le nombre de départ. Sinon, expliquer pourquoi.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons $4x=842$ dans $\mathbb{N}$.}
		
		{\color{WildStrawberry}Procédons à un raisonnement par analyse-synthèse.}
		
		Nous recherchons un nombre $x$ tel que
		
		\begin{align*}
			4x &= 842\\
			\intertext{Cette équation équivaut successivement à:}
			\frac{4x}{\color{orange}4} &= \frac{842}{\color{orange}4}\\
			x &= \frac{421}{2}
		\end{align*}
		
		Il n'y a donc qu'un nombre possible c'est $\frac{421}{2}$, mais, $421$ n'étant pas pair, $\frac{421}{2}$ n'est pas un entier.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il n'est pas possible d'obtenir $842$ avec le programme.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{WildStrawberry}Ou plus sobrement: il est clair que $842$ n'est pas un multiple de $4$.}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le nombre de départ pour que le programme ait comme résultat $2^{98}$. On justifiera la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons $4x=842$ dans $\mathbb{N}$.}
				
		Nous recherchons un nombre $x$ tel que
		
		\begin{align*}
			4x &= 2^{98}\
			\intertext{Cette équation équivaut successivement à:}
			\frac{4x}{\color{orange}4} &= \frac{2^{98}}{\color{orange}4}\\
			x &= \frac{2^{98}}{2^{2}}\\
			x &= 2^{98-2}\\
			x &= 2^{96}
		\end{align*}
		
		Et comme $2^{98}$ est bien un entier naturel:
		
		\begin{conclusion}
			
			pour que le programme renvoie $2^{98}$ il faut choisir $2^{96}$ comme nombre de départ.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Parmi les trois captures d'écran issues du logiciel SCRATCH, donner, sans justifier, le(s) script(s) qui correspond(ent) au programme de calcul proposé.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				Script 1.
				\\
			\begin{scratch}[scale=1]
				\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
				\blocksensing{demander \ovalnum{Donner un entier supérieur à 0} et attendre}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}+\ovalnum{1}}*\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}+\ovalnum{1}} - \ovaloperator{\ovalsensing{réponse}-\ovalnum{1}}*\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}-\ovalnum{1}}}}
				\blocklook{Dire \ovalvariable{a}}
				\blockcontrol{stop \selectmenu{ce script}}
			\end{scratch}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				Script 2.
				\\
			\begin{scratch}[scale=1]
				\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
				\blocksensing{demander \ovalnum{Donner un entier supérieur à 0} et attendre}
				\blockvariable{cacher la variable \selectmenu{a}}
				\blockvariable{cacher la variable \selectmenu{b}}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}-\ovalnum{1}}*\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}-\ovalnum{1}}}}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}+\ovalnum{1}}*\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}+\ovalnum{1}}}}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovalvariable{a}-\ovalvariable{b}}}
				\blocklook{Dire \ovalvariable{a}}
				\blockcontrol{stop \selectmenu{ce script}}
			\end{scratch}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
				
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				Script 3.
				\\
			\begin{scratch}[scale=1]
				\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
				\blocksensing{demander \ovalnum{Donner un entier supérieur à 0} et attendre}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovalsensing{réponse}+\ovalnum{1}}}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovalvariable{a}*\ovalvariable{a}}}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovalsensing{réponse}-\ovalnum{1}}}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovalvariable{b}*\ovalvariable{b}}}
				\blocklook{Dire \ovaloperator{\ovalvariable{a}-\ovalvariable{b}}}
				\blockcontrol{stop \selectmenu{ce script}}
			\end{scratch}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Vous pouvez télécharger les scripts: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_3_03_script_1.sb3}{script 1}, \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_3_04_script_2.sb3}{script 2} et \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_3_05_script_3.sb3}{script 3}.
		
		\medskip
		Le script 2 calcul $(x-1)^2-(x+1)^2$ sinon
		
		\begin{conclusion}
			
			les scripts 1 et 3 correspondent au programme de calcul proposé.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	On considère une classe composée de $30$ élèves. Certains sont enfants uniques, c’est-à-dire n’ayant ni frère ni sœur, d'autres ne le sont pas.
	
	Dans cette classe,
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item $40\ \%$ des élèves sont des garçons;
		
		\item un tiers des garçons sont des enfants uniques;
		
		\item $25\ \%$ des enfants uniques sont des garçons.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le nombre total de garçons dans cette classe.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre de garçon, $n_g$, dans cette classe.}
			
			{\color{WildStrawberry}Il s'agit d'appliquer une proportion.}
			
			\begin{align*}
				n_g &= \frac{40}{100} \times 30
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$n_g=12$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le nombre de garçons qui ne sont pas des enfants uniques.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminer le nombre, $n_{gnu}$, de garçons qui ne sont pas des enfants uniques.}
			
			$\frac{1}{3}$ des garçons sont des enfants uniques donc $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ des garçons ne sont pas de enfants uniques:
			
			\begin{align*}
				n_{gnu} &= \frac{2}{3} \times n_g\\
				&= \frac{2}{3} \times 12
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$n_{gnu}=8$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Reproduire, sur la copie, le tableau des effectifs de la classe ci-dessous puis le compléter.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & & & 
					\\
					\hline
					Enfant non unique & & &
					\\
					\hline
					Total & & & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après les questions précédentes:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & & & 
					\\
					\hline
					Enfant non unique & & $\color{orange}8$ &
					\\
					\hline
					Total & & $\color{orange}12$ & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			On complète alors par addition sur les lignes et les colonnes.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & & $\color{orange}4$ & 
					\\
					\hline
					Enfant non unique & & $8$ &
					\\
					\hline
					Total & $\color{orange}18$ & $12$ & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Puisque $25\ \%$, c'est-à-dire $\frac{1}{4}$ des enfants uniques sont des garçons, il y a donc $4 \times 4=16$ enfants uniques.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & & $4$ & $\color{orange}16$
					\\
					\hline
					Enfant non unique & & $8$ &
					\\
					\hline
					Total & $18$ & $12$ & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			On complète alors par addition sur les lignes et les colonnes.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & $\color{orange}12$ & $4$ & $16$
					\\
					\hline
					Enfant non unique & & $8$ & $\color{orange}14$
					\\
					\hline
					Total & $18$ & $12$ & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Finalement:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & $12$ & $4$ & $16$
					\\
					\hline
					Enfant non unique & $\color{orange}6$ & $8$ & $14$
					\\
					\hline
					Total & $18$ & $12$ & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On choisit au hasard un élève de cette classe.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité que cet élève soit un enfant unique. On arrondira le résultat au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{WildStrawberry}Choisissons un modèle probabiliste cohérent avec la situation.}
			
			Notons $\Omega$ l'ensemble des $30$ élèves et munissons-le de l'équiprobabilité (chaque enfant à la même chance d'être choisi).
			
			Notons encore $A$ l'événement \og obtenir un enfant unique \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			Puisqu'il y a équiprobabilité, que l'univers contient $30$ issues et que $A$ est réalisé par $16$ issues (d'après le tableau précédent):
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \frac{16}{30}\\
				&= \frac{8}{15}\\
				&\approx 0,533 \ \text{par troncature}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A) \approx 0,53$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité que cet élève soit un garçon n'ayant ni frère ni sœur. On arrondira le résultat au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			Notons encore $B$ l'événement \og obtenir un garçon qui est enfant unique \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			Puisqu'il y a équiprobabilité, que l'univers contient $30$ issues et que $B$ est réalisé par $4$ issues (d'après le tableau précédent):
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(B) &= \frac{4}{30}\\
				&= \frac{2}{15}\\
				&\approx 0,133 \ \text{par troncature}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B) \approx 0,13$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On sait que l'élève choisi est une fille. Calculer la probabilité qu'elle soit une fille unique.
			
			On arrondira le résultat au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{WildStrawberry}Choisissons un modèle probabiliste cohérent avec la situation.}
			
			Notons $\Omega'$ l'ensemble des $18$ filles et munissons-le de l'équiprobabilité (chaque fille à la même chance d'être choisie).
			
			Notons encore $C$ l'événement \og obtenir un enfant unique \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
			
			Puisqu'il y a équiprobabilité, que l'univers contient $18$ issues et que $C$ est réalisé par $12$ issues (d'après le tableau précédent):
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(C) &= \frac{12}{19}\\
				&= \frac{2}{3}\\
				&\approx 0,666 \ \text{par troncature}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(C) \approx 0,67$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{WildStrawberry}Il était bien sûr possible de raisonner en parlant de probabilité conditionnelle.}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Définition: Un nombre parfait est égal à la moitié de la somme de ses diviseurs. Par exemple, $6$ est parfait car ses diviseurs sont $1$, $2$, $3$ et $6$ et on a: $1 + 2 + 3 + 6 = 12$ qui correspond au double de $6$.}
		
		\textbf{Affirmation 1}: \og $28$ est un nombre parfait. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons les diviseurs de $28$.}
		
		Procédons à sa décomposition en facteurs premiers: $28=2^2 \times 7$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{3};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{6};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$2^0$//\posA,
				nA2/A2/2/$2^1$//\posB,
				nA3/A3/3/$2^2$//\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$7^0$//\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$7^1$//\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$7^0$//\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$7^1$//\posB,
				nA3/nB5/B5/5/$7^0$//\posA,
				nA3/nB6/B6/6/$7^1$//\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Donc l'ensemble des diviseurs de $28$ est $\{ 1; 7; 2; 14; 4; 28 \}$.
		
		Or $\frac{1+7+2+14+4+28}{2}=28$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 2}: \og Si un nombre est divisible par $6$ et par $9$ alors il est divisible par $54$. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Pour que ce résultat soit vrai il faudrait que $6$ et $9$ soient premiers ente eux. Ce n'est pas le cas démontrons que l'affirmation est fausse en exhibant un contre-exemple.}
		
		\medskip
		$18$ est divisible par $6$ et par $9$ mais il n'est clairement pas divisible par $54$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On augmente la longueur d’un rectangle de $10\ \%$ et on diminue sa largeur de $10\ \%$.
		
		\textbf{Affirmation 3}: \og L'aire du rectangle est inchangée. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Nous pouvons penser aux situations dévolution successives pour imaginer que ce ne serait peut être pas vrai.}
		
		\medskip
		Considérons un rectangle dont les côtés mesurent $\ell=20$ et $L=30$.
		
		{\color{WildStrawberry}Si nous détaillons ici le calcul des coefficients multiplicateurs les augmentations et diminutions de $10\ \%$ se calculent aisément mentalement.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de $10\ \%$ est
		
		\begin{align*}
			CM_b &= 1+\frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{-10}{100}\\
			&= 0,9
		\end{align*}
		
		Celui correspondant à une augmentation de $10\ \%$ est 
		
		\begin{align*}
			CM_a &= 1+\frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{10}{100}\\
			&= 1,1
		\end{align*}
		
		Après une diminution de $10\ \%$ sa largeur est $\ell'=0,9 \times 20=18$ et après une augmentation de $10\ \%$ sa longueur est $L'=1,1 \times 30=33$.
		
		$\ell \times L= 20 \times 30=600$ mais $\ell'\times L'=18 \times 33=594$.
		
		ainsi $\ell \times L \ne \ell' \times L'$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un rectangle a une longueur de $5\ \mathrm{cm}$ et une largeur de $4\ \mathrm{cm}$. On augmente la longueur de $10\ \%$ et on diminue la largeur de $10\ \%$.
		
		\textbf{Affirmation 4}: \og Le périmètre du rectangle diminue. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le périmètre du rectangle originale est 
		
		\begin{align*}
			p &= 2\times (L+\ell)\\
			&= 2 \left( 5\ \mathrm{cm} + 4 \ \mathrm{cm} \right)\\
			&= 2 \times 9\ \mathrm{cm}\\
			&= 18 \ \mathrm{cm}
		\end{align*}
			
		En procédant comme à la question précédente:
		
		\begin{align*}
			L' &= 1,1 \times L\\
			&=1,1 \times 5\ \mathrm{cm}\\
			&= 5,5\ \mathrm{cm}
			\intertext{et}
			\ell' &= 0,9 \times \ell\\
			&= 0,9 \times 4\ \mathrm{cm}\\
			&= 3,6\ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		D'où le nouveau périmètre
		
		\begin{align*}
			p' &= 2\times (L'+\ell')\\
			&= 2 \left( 5,5\ \mathrm{cm} + 3,6 \ \mathrm{cm} \right)\\
			&= 2 \times 9,1\ \mathrm{cm}\\
			&= 18,2 \ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		Ainsi: $p <p'$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant en classe de grande section présente $6$ personnages installés en cercle et demande à $3$ élèves d’aller chercher en \og un voyage \fg{} autant de jetons (\og pas plus, pas moins \fg{}) que de personnages, sachant que les jetons sont positionnés à une dizaine de mètres des personnages.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_06_playmobil_1.png}
		
	\end{center}
	
	L’enseignant a noté le nombre de jetons apportés lors du premier voyage:
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Prénoms des élèves & Nombre de jetons apportés
			\\
			\hline
			Mathéo & $15$
			\\
			\hline
			Salomé & $7$
			\\
			\hline
			Fatoulala & $6$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Émettre deux hypothèses sur ce qui a pu conduire Salomé à se tromper.
			
		\end{sujet}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Afin d’aider Salomé, le maître propose la situation suivante:
			
			\medskip
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_07_playmobil_2.png}
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_08_playmobil_3.png}
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_09_playmobil_4.png}
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_10_playmobil_5.png}
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_11_playmobil_6.png}
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_12_playmobil_7.png}
			
			\medskip
			Expliquer en quoi cette situation pourrait aider cette élève à réussir la tâche proposée.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Émettre une hypothèse sur ce qui a pu conduire Mathéo à se tromper.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une situation qui pourrait aider à vérifier l’hypothèse émise à la question précédente.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une nouvelle tâche que l’enseignant pourrait proposer à Fatoulala, pour lui permettre d’aller plus loin dans ses apprentissages. Justifier cette proposition.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant propose à ses élèves de CM2 l’exercice suivant, issu du manuel \og Le nouvel À portée de maths \fg{} (Hachette, 2018).
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_13_manuel.png}
	\end{center}
	
	Voici $2$ productions d'élèves:
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_14_noe.png}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_15_juliette.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les deux productions en terme d’erreurs et de réussites.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’utilisation de papier quadrillé ou pointé pourrait-elle aider Noé? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner deux aides, non liées au papier utilisé, qui pourraient être proposées pour Noé.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Le problème ci-dessous a été donné à des élèves de CM2 par une enseignante.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			On commande pour la classe des cahiers et des livres.
			
			$6$ livres coûtent $150$ euros.
			
			Combien coûtent $9$ livres?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	Voici les réponses de deux élèves : Tama et Hina.
	
	\begin{center}
		
		Production de Tama.
		
		\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_16_tama.png}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		Production de Hina.
		
		\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_17_hina.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la principale notion mathématique travaillée dans ce problème?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser chacune des deux productions ci-dessus en repérant les réussites et les erreurs éventuelles et en explicitant les propriétés mathématiques mobilisées.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer trois procédures permettant à Tama de compléter correctement la case sous le $9$ en partant du tableau qu’elle a commencé à compléter et qui est reproduit ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				$1$ & $3$ & $6$ & $9$
				\\
				\hline
				& $75$ & $150$ & 
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignant(e) modifie l’énoncé en demandant de calculer le prix de $8$ livres.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer deux procédures qu’un élève de CM2 pourrait mobiliser pour trouver le prix à payer pour l’achat de ces $8$ livres.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant souhaite que les élèves utilisent le passage à l’unité. Proposer une
			modification à l’énoncé initial qui encourage l’utilisation de cette procédure.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}