%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
%\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{Blue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{Blue}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{RoyalBlue}}{}

\newenvironment{remarques}{\color{Black!80}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2021 sujet 2} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
%\exclure{exercicecorrection}\exclure{correction}
\exclure{preuve}\exclure{corollaire}\exclure{lemme}\exclure{proposition}\exclure{theoreme}\exclure{culturegenerale}\exclure{remarques}\exclure{exemples}\exclure{definition}\exclure{lecon}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}


\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2021 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Romain et Aya souhaitent étudier quelques caractéristiques d’un terrain de rugby.
	
\end{sujet}


\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	La zone de jeu est un rectangle d’une longueur de $100\ \mathrm{m}$ et d’une largeur de $68 \ \mathrm{m}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire de la zone de jeu.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_{terrain}$ du terrain.}
		
		Puisque le terrain est rectangulaire:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_{terrain} &= 100\ \mathrm{m} \times 68\ \mathrm{m}\\
			&= 100 \times 68 \ \mathrm{m}\cdot\mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_{terrain}= \np{6800}\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la longueur de la diagonale de la zone de jeu. Donner la valeur exacte et vérifier qu’elle mesure environ $121\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la longueur de la diagonale du terrain.}
		
		Notons $ABCD$ le rectangle formé par le terrain.
		
		Le triangle $ABD$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore, nous avons \[ AB^2+AD^2=BD^2. \]
		
		Nous en déduisons successivement
		
		\begin{align*}
			BD^2 &= 100^2+68^2\\
			&= 14624\\
			\intertext{$BD$ étant une longueur c'est un nombre positif donc:}
			BD &= \sqrt{14624}
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$BD=4\sqrt{914}\ \mathrm{m}$
			
			$BD\approx 121\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Aya parcourt la diagonale de la zone de jeu en $18$ secondes. Calculer sa vitesse moyenne en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$, donner l’arrondi au centième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la vitesse moyenne $v$.}
		
		\begin{align*}
			v &\approx \frac{121\ \mathrm{m}}{18\ \mathrm{s}}\\
			&\approx \frac{121}{18}\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\\
			&\approx 6,722\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v \approx 6,72\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Court-elle à une vitesse moyenne supérieure à $30\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Convertissons la vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$.}
		
		\begin{align*}
			v &\approx 6,72\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\
			&\approx 6,72 \ \frac{\frac{1}{1000}\ \mathrm{m}}{\frac{1}{3600}\ \mathrm{h}}\\
			&\approx 6,72  \times \frac{\frac{1}{1000}}{\frac{1}{3600}}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\
			&\approx 6,72 \times \frac{3600}{1000}\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\\
			&\approx 24,192\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Elle ne court pas à plus de $30\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La championne Elaine Thompson parcourt $100\ \mathrm{m}$ en $10,93\ \mathrm{s}$.
		
		En courant avec la même vitesse moyenne, combien de temps, en seconde, aurait mis Elaine Thompson pour parcourir la même diagonale? Arrondir au dixième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le temps $t_{Thompson}$ que mettrait la championne pour parcourir la diagonale.}
		
		Puisque la diagonale mesure $121\ \mathrm{m}$ et que la vitesse de la championne est $\frac{100\ \mathrm{m}}{10,93\ \mathrm{s}}$ nous en déduisons 
		
		\begin{align*}
			t_{Thompson} &= \frac{121\ \mathrm{m}}{\frac{100\ \mathrm{m}}{10,93\ \mathrm{s}}}\\
			&= \frac{\frac{121\ \mathrm{m}}{\color{orange}1}}{\frac{100\ \mathrm{m}}{10,93\ \mathrm{s}}}\\
			&= \frac{121\ \mathrm{m}}{\color{orange}1} \times \frac{10,93\ \mathrm{s}}{100\ \mathrm{m}}\\
			&= \frac{121\ \mathrm{m} \times 10,93\ \mathrm{s}}{{\color{orange}1} \times 100\ \mathrm{m}}\\
			&= \frac{121 \times 10,93}{100} \ \mathrm{s}\\
			&= 13,2253
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La diagonale aurait parcourue en $13,2\ \mathrm{s}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Aya souhaiterait connaître la hauteur des poteaux de but représentés ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_01_poteau.png}};
			\coordinate (poteau) at (1.5,2);
			\draw node (A) at (poteau) {poteau};
			\coordinate (barre) at (3,0.6);
			\draw node (B) at (barre) {barre transversale};
			\draw [>=latex,->] (A) -- (0.6,0.8);
			\draw [>=latex,->] (B) -- (0,-0.4);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Pour ce faire, elle se place en un point $T$, de telle sorte que l’extrémité $S$ de son ombre $[TS]$ coïncide avec celle de l’ombre $[PS]$ d’un des poteaux. Elle trace le schéma ci-dessous à main levée.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.5]
			\def\AT{1.74};
			\def\PT{9.51};
			\def\TS{2.78};
			\def\xP{0};
			\def\yP{0};
			\coordinate (P) at ({\xP},{\yP});
			\draw (P) node{$+$};
			\draw (P) node[below left]{$P$};
			\coordinate (T) at ({\xP+\PT},{\yP});
			\draw (T) node{$+$};
			\draw (T) node[below]{$T$};
			\coordinate (S) at ({\xP+\PT+\TS},{\yP});
			\draw (S) node{$+$};
			\draw (S) node[below right]{$S$};
			\coordinate (A) at ({\xP+\PT},{\yP+\AT});
			\draw (A) node{$+$};
			\draw (A) node[above right]{$A$};
			\coordinate (H) at ({\xP},{\yP+\AT*(\PT+\TS)/\TS});
			\draw (H) node{$+$};
			\draw (H) node[left]{$H$};
			\draw (P) -- (S) -- (H) -- cycle;
			\draw (T) -- (A);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Aya, représentée par le segment $[AT]$, mesure $1,74\ \mathrm{m}$; on a $AT = 1,74\ \mathrm{m}$.
		
		\item Aya est placée à $9,51 \ \mathrm{m}$ du poteau représenté par le segment $[PH]$; on a $PT = 9,51\ \mathrm{m}$.
		
		\item L’ombre d’Aya mesure $2,78\ \mathrm{m}$; on a
		$TS = 2,78\ \mathrm{m}$.
		
		\item L’ombre du poteau est représentée par le segment $[PS]$.
		
		\item On considère que les poteaux et Aya sont orthogonaux au sol.
		
	\end{enumerate}
	
	Déterminer la hauteur HP du poteau. Arrondir le résultat au dixième de mètre.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $PH$.}
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} $S$, $T$ et $P$ d'une part, $S$, $A$ et $H$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.
		
		\item {\color{orange}Hypothèse pour la forme directe du théorème.} Puisque $(PH)\perp (PS)$ et $(TA) \perp (PS)$ nous en déduisons $(PH) \parallel (TA)$.
		
	\end{enumerate}
	
	Des points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{AT}{HP} = \frac{TS}{PS}.\]
	
	Nous en déduisons successivement (toutes les longueurs étant exprimées en mètres):
	
	\begin{align*}
		\frac{1,74}{HP} &= \frac{2,78}{PT+TS}\\
		\frac{1,74}{HP} &= \frac{2,78}{9,51+2,78}\\
		\frac{1,74}{HP} {\color{orange}\times HP}&= \frac{2,78}{9,51+2,78} {\color{orange}\times HP}\\
		1,74 &= \frac{2,78}{9,51+2,78} \times HP\\
		{\color{orange}\frac{12,29}{2,78} \times} 1,74 &= {\color{orange}\frac{12,29}{2,78} \times} \frac{2,78}{12,29} \times HP\\
		\frac{12,29}{2,78} \times 1,74 &=  HP\\
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$HP \approx 7,7\ \mathrm{m}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	Romain veut frapper du pied dans le ballon pour le faire passer au-dessus de la barre transversale et entre les poteaux de but. On suppose que le ballon se déplace dans un plan orthogonal au plan du but.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		~
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.17]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_02_transformation.png}
		\end{center}
		
		Au moment du coup de pied, le ballon se trouve au sol, au point $O$, face aux poteaux à une distance de $40\ \mathrm{m}$ de la ligne de but.
		
		Romain tape trois coups de pied différents illustrés par les trajectoires de ballon données ci-dessous.
		
		Le ballon se déplace dans un plan orthogonal au plan des buts.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{9cm}}
				\hfill Coup de pied A.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
					\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_03_coup_de_pied_a.png}};
					\draw (-3,2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
					\draw (3.1,-1.8) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{10cm}}
				\hfill Coup de pied B.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_04_coup_de_pied_b.png}};
				\draw (-3,2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.4,-1.8) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{11cm}}
				\hfill Coup de pied C.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_05_coup_de_pied_c.png}};
				\draw (-3,2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.7,-1.9) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Quel(s) coup(s) de pied permet(tent) à Romain de faire passer le ballon au-dessus de la barre transversale? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour que le ballon passe au-dessus de la barre transversale il faut qu'il soit à plus de $3\ \mathrm{m}$ de haut lorsqu'il a parcouru $40\ \mathrm{m}$ au sol.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{9cm}}
				\hfill Coup de pied A.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_03_coup_de_pied_a.png}};
				\draw (-3,2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.1,-1.8) node{\footnotesize Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] (2.88,-1.3) -- (2.88,-0.9) -- (-3.7,-0.9) node[left] {$2$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{10cm}}
				\hfill Coup de pied B.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_04_coup_de_pied_b.png}};
				\draw (-3.3,2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.4,-1.8) node{\footnotesize Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] (2.6,-1.3) -- (2.6,-1.3) -- (-4,-1.3) node[left] {$0$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{11cm}}
				\hfill Coup de pied C.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_05_coup_de_pied_c.png}};
				\draw (-3,7.2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.7,-1.9) node{\footnotesize Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] (2.03,-1.4) -- (2.03,0.35) -- (-4.6,0.35) node[left] {$8$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Seul le coup de pied C permet de faire passer le ballon au-dessus de la barre transversale.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Romain se trouve maintenant à une distance de 55 m face au but.
		Il tente un coup de pied illustré par la trajectoire de ballon donnée ci-dessous.
		
		\medskip
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=0.18]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{67};
		\def\yZ{27.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {5, 10,...,65}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {5,10,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:61] plot(\x,{-0.02*\x*\x+1.22*\x});
		\draw (5,30) node{Hauteur en $\mathrm{m}$};
		\draw (60,-3) node{Distance en $\mathrm{m}$};
		\end{tikzpicture}
		}
		
		\medskip
		Répondre aux questions suivantes par lecture graphique:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Romain a-t-il réussi à faire passer le ballon au-dessus de la barre transversale? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=0.18]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{67};
				\def\yZ{27.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,65}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:61] plot(\x,{-0.02*\x*\x+1.22*\x});
				\draw (5,30) node{Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (60,-3) node{Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] (55,{0}) -- (55,{-0.02*55*55+1.22*55}) -- (0,{-0.02*55*55+1.22*55});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			Le ballon franchit la ligne de la barre transversale à plus de $6\ \mathrm{m}$ donc très au-delà des $3\ \mathrm{m}$ de hauteur de la barre transversale.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il a réussi à faire passer le ballon au-dessus de la barre transversale.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À quelle hauteur maximale le ballon s’est-il élevé?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=0.18]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{67};
				\def\yZ{27.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,65}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:61] plot(\x,{-0.02*\x*\x+1.22*\x});
				\draw (5,30) node{Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (60,-3) node{Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] (30.5,{0}) -- (30.5,{18.605}) -- (0,{18.605});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le ballon a atteint une hauteur maximale de $18,5\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À quelle distance, derrière la ligne de but, le ballon est-il retombé à terre? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Dire que le ballon retombera au sol c'est dire que sa hauteur sera de $0\ \mathrm{m}$.
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=0.18]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{67};
				\def\yZ{27.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,65}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:61] plot(\x,{-0.02*\x*\x+1.22*\x});
				\draw (5,30) node{Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (60,-3) node{Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] ({1.22/0.02},{0}) -- ({1.22/0.02},{0}) -- (0,{0});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			Le ballon est retombé à $61\ \mathrm{m}$ du lanceur or la ligne de but est à $55\ \mathrm{m}$ du lanceur donc
			
			\begin{conclusion}
				
				le ballon est retombé $6\ \mathrm{m}$ derrière la ligne de but.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Pour la suite du problème, on admet que le ballon suit la trajectoire donnée par la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=-0,02x^2+1,22x$ représente la hauteur du ballon en mètre pour une longueur au sol $x$ en mètre.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Romain étudie cette fonction $f$ grâce à une feuille de calcul d’un tableur; voici un extrait du	travail obtenu:
		
		\medskip	
		{\hspace*{-1cm}
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_06_feuille_de_calcul.png}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule a-t-il entrée dans la cellule $\texttt{B}2$ puis étirée pour compléter ce tableau?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La formule de calcul entrée en $\texttt{B}2$ est:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=-0,02*\texttt{B}1\wedge 2+1,22*\texttt{B}1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle valeur devrait-il obtenir dans la cellule $\texttt{F}2$? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le contenu de $\texttt{F}2$.}
			
			\begin{align*}
				f(25) &= -0,02 \times 25^2 +1,22 \times 25\\
				&= 18
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La valeur affichée en $\texttt{F}2$ devrait être $18$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle cellule permet de confirmer que le ballon est bien passé au-dessus de la barre transversale? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{conclusion}
			
			La cellule $\texttt{H}2$ permet de confirmer que le ballon passe au-dessus de la barre transversale.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Utiliser l'expression algébrique de la fonction $f$ pour déterminer à quelle distance derrière la ligne de but le ballon est retombé à terre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le ballon retombera lorsque sa hauteur sera de $0\ \mathrm{m}$. Autrement dit lorsque $f(x)=0$.}
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons $(E):\ -0,02x^2+1,22=0$.}
		
		{\color{WildStrawberry}Il s'agit de résoudre une équation qui n'est pas linéaire. A priori la première chose à tenter est de se ramener à une équation produit-nul et donc éventuellement factoriser.}
		
		\begin{align*}
			(E) &\Leftrightarrow -0,02x^2+1,2xx=0\\
			&\Leftrightarrow -0,02x {\color{orange}\times x}+1,22{\color{orange}x} =0\\
			&\Leftrightarrow (-0,02x+1,22){\color{orange}\times x}\\
			&\Leftrightarrow -0,02x+1,22=0\ \text{ou}\ x=0\\
			&\Leftrightarrow -0,02x+1,22{\color{orange}-1,22}=0 {\color{orange}-1,22}\ \text{ou}\ x=0\\
			&\Leftrightarrow -0,02x=-1,22 \ \text{ou}\ x=0\\
			&\Leftrightarrow \frac{-0,02x}{\color{orange}-0,02}=\frac{-1,22}{\color{orange}-0,02} \ \text{ou}\ x=0\\
			&\Leftrightarrow x=61\ \text{ou}\ x=0
		\end{align*}
		
		Le cas $x=0$ correspond au point de départ du ballon donc la seule solution qui convienne est $x=61$. Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			le ballon retombera $6\ \mathrm{m}$ derrière la ligne de but.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	La figure ci-dessous représente une vue en perspective d’un silo de stockage.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_07_silo.png}
		
	\end{center}
	
	Le silo est composé de deux parties:
	\begin{itemize}
		\item la partie supérieure est un parallélépipède rectangle de volume $V_1$;
		
		\item la partie inférieure est une pyramide tronquée d’une hauteur de $1,2\ \mathrm{m}$ et de volume $V_2= 2\ \mathrm{m}^3$.
		
	\end{itemize}
		
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que le volume total $V_T$ du silo est de $12,26\ \mathrm{m}^3$, calculer la hauteur du parallélépipède rectangle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la hauteur $h_1$ du parallélépipède rectangle.}
		
		D'une part:
		
		\begin{align*}
			V_1 &= V_T-V_2\\
			&= 12,26\ \mathrm{m}^3-2\ \mathrm{m}^3\\
			&= 10,26\ \mathrm{m}^3\  {\color{blue}(1)}
		\end{align*}
		
		et d'autre part, en utilisant la formule du volume d'un pavé droit:
		
		\begin{align*}
			V_1 &= h_1 \times \ell \times L\\
			&= h_1 \times 1,5\ \mathrm{m} \times 1,8\ \mathrm{}\\
			&= h_1 \times 2,7\ \mathrm{m}^2\  {\color{blue}(2)}
		\end{align*}
		
		De  ${\color{blue}(1)}$ et  ${\color{blue}(2)}$ nous déduisons par transitivité:
		
		\begin{align*}
			10,26\ \mathrm{m}^3 &= h_1 \times 2,7\ \mathrm{m}^2\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{10,26\ \mathrm{m}^3}{\color{orange}2,7\ \mathrm{m}^2} &= \frac{h_1 \times 2,7\ \mathrm{m}^2}{\color{orange}2,7\ \mathrm{m}^2}\\
			\frac{10,26}{2,7}\ \mathrm{m} &= h_1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$h_1=3,8\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire la hauteur totale du silo.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la hauteur $h_T$ du silo.}
		
		Puisque la hauteur de la pyramide est $1,2\ \mathrm{m}$ la hauteur du silo est
		
		\begin{align*}
			h_T &= 1,2\ \mathrm{m} + h_1\\
			&= 1,2\ \mathrm{m} +3,8\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$h_1=5\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour un même volume et une même hauteur, quel serait le diamètre d’un silo cylindrique?
		
		Arrondir au dixième de $\mathrm{m}$.
		
		\emph{On rappelle que le volume d’un cylindre dont l’aire de la base est $B$ et de hauteur $h$ est égal
		à $B \times h$.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $r$ le rayon d'un cylindre de hauteur $5\ \mathrm{m}$ et de volume $12,26\ \mathrm{m}^3$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $r$.}
		
		Nous avons donc
		
		\begin{align*}
			12,26\ \mathrm{m}^3 &= \pi \times r^2 \times 5\ \mathrm{m}^2\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{12,26\ \mathrm{m}^3}{\color{orange}\pi \times 5\ \mathrm{m}} &= \frac{\pi \times r^2 \times 5\ \mathrm{m}}{\color{orange}\pi \times 5\ \mathrm{m}}\\
			\frac{12,26}{\pi \times 5}\ \mathrm{m}^2 &= r^2\\
			\intertext{Puisque $r$ représente une longueur c'est un nombre positif:}
			\sqrt{\frac{12,26}{5\pi}}\ \mathrm{m} &= r
			\intertext{Ainsi en tronquant:}
			r &\approx 0,883456\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le diamètre du silo cylindrique serait de $1,8\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	La cheffe d’une entreprise a commandé à son gestionnaire une étude sur les salaires de ses
	employés pour l’année 2020.
	L’entreprise est installée sur deux sites:
	
	\begin{itemize}
		
		\item le site de Toulouse où travaillent $19$ employés;
		
		\item le site de Montauban où travaillent $12$ employés.
		
	\end{itemize}
	
	La répartition des salaires nets des employés du site de Toulouse est représentée par le diagramme en barres ci-dessous, les salaires étant rangés dans l’ordre croissant.
	
	Une tasse de café est renversée sur le document réalisé par le gestionnaire et une tache vient masquer certaines informations concernant le site de Toulouse.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\draw (0,0) node{\begin{tabular}{m{8cm}}
			\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_08_salaires_1.png}
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_09_salaires_2.png}
			\end{center}
		\end{tabular}};	
		\fill[color=Brown , opacity=1] (2.3,-2.15) -- (3,-2.2) -- (3.7,-2.15) -- (3.7,-1.6) -- (3.1,-1.7) -- (2.8,-1.8) -- (2.3,-1.9)
		-- cycle;
		\end{tikzpicture}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Informations sur les salaires à
			\\
			\textbf{Montauban} en 2020:
			\\
			\\
			Salaire moyen: 1520 \euro
			\\
			12 employés
			\\
			Salaire maximum: 2300 \euro
			\\
			Salaire minimum : 1410 \euro
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La cheffe d’entreprise affirme que plus de $40\ \%$ des personnes travaillant à Toulouse gagnent plus de $2000\ \text{\euro}$. Est-ce vrai? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après le graphique $4+3+1=8$ personne travaillent à Toulouse.
		
		Puisqu'il y a $19$ employés à Toulouse cela représente une proportion, exprimée en pourcentage, de \[ \frac{8}{19} \times 100\approx 42,11. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation du chef est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur le site de Toulouse, l’étendue des salaires est égale à $1890\ \text{\euro}$ et le salaire moyen est de $1935\ \text{euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur du plus haut salaire de Toulouse.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			L'étendue est définie par: $e=max-min$.
			
			Donc ici: 
			
			\begin{align*}
				1890 &= max-1410
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				1890 {\color{orange}+1410} &= max-1410 {\color{orange}+1410}\\
				3300 &= max
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le salaire maximal dans l'entreprise est de $\np{3000}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur des salaires correspondant à l’avant-dernière barre du graphique présentant la répartition des salaires à Toulouse en 2020.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le salaire $x$ correspondant à l'avant dernière barre du graphique.}
			
			Le salaire moyen à Toulouse est:
			
			\medskip
			{\hspace*{-1.5cm}$\displaystyle 1935 = \frac{2 \times 1410 + 4 \times 1590 + +3 \times 1760 + 2 \times 1920 +4 \times 2100 + 3 \times x +1 \times 3300}{2+4+4+3+1}$.}
			
			\begin{align*}
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				1935 &= \frac{3x+300000}{19}\\
				1935 {\color{orange}\times 19} &=  \frac{3x+30000}{19}{\color{orange}\times 19}\\
				36765 &= 3x+30000\\
				36765 {\color{violet}-30000} &= 3x+30000 {\color{violet}-30000}\\
				6765 &= 3x\\
				\frac{6765}{\color{Green}3} &= \frac{3x}{\color{Green}3}\\
				2255 &= x
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le salaire recherché est de $2255\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le salaire médian des employés de Toulouse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le salaire médian à Toulouse.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Les salaires dans le diagramme en barres sont déjà dans l'ordre croissant.
			
			\item Il y a $19$ employés et $\frac{19}{2}=9,5$ donc le salaire médian est le dixième salaire.
			
			\item Or, en cumulant les effectifs, $2+4+3=9$ et $2+4+3+2=11$ donc $Me=1920$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			le salaire médian à Toulouse est de $1920\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le salaire moyen en 2020 de l’ensemble du personnel de cette entreprise. Arrondir à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le salaire moyen $\overline{x}$ dans l'entreprise.}
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{19 \times 1935+12 \times 1520}{19+12}\\
			&\approx 1774,354\ \text{en tronquant.}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le salaire moyen est de $\np{1774}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En 2021, la cheffe d’entreprise souhaiterait octroyer une augmentation de $10\ \%$ à tous les employés travaillant à Montauban.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel sera alors le montant du salaire minimum à Montauban en 2021?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le salaire minimal $m'$ après augmentation.}
			
			Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $10\ \%$ est: $CM=1+\frac{10}{100}=1,1$.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				m' &= 1,1 \times 1410
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$m'=1551$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			De quel pourcentage aurait-il fallu augmenter les salaires de Montauban pour que le salaire moyen soit le même sur les deux sites? Justifier. On donnera le résultat arrondi au dixième d’unité de pourcentage.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le coefficient multiplicateur, $CM_1$, qu'il faut appliquer aux salaires de Montauban pour que les salaires moyens soient les mêmes sur les deux sites.}
			
			
			\begin{align*}
				CM_1 &= \frac{V_A}{V_D}\\
				&= \frac{1935}{1520}\\
				&\approx 1,27302\ \text{en tronquant.}
			\end{align*}
			
			Par linéarité de la moyenne {\color{orange}(autrement dit l'augmentation appliquée à chaque salaire se traduit par la même augmentation appliquée à la moyenne des salaires)} il faut que le salaire soit multiplié par $1,2730$.
			
			Le taux d'évolution correspondant à ce coefficient multiplicateur est 
			
			\begin{align*}
				t_1 &\approx  100 \times (CM_1-1)\\
				&= 100 \times (1,2730-1)\\
				&\approx 27,30
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				il aurait fallut une augmentation de $27,3\ \%$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	On veut réaliser des dessins constitués de la répétition de motifs décrits dans les blocs de programme suivants.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Bloc A \hfill~
			\\
			\begin{scratch}
				\initmoreblocks{définir{\namemoreblocks{Bloc A}}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{5} fois}
				{
					\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
					\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{72} degrés}
				}
			\end{scratch}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Bloc B \hfill~
			\\
			\begin{scratch}
				\initmoreblocks{définir{\namemoreblocks{Bloc B}}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
				{
					\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
					\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
				}
			\end{scratch}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Bloc C \hfill~
			\\
			\begin{scratch}
				\initmoreblocks{définir{\namemoreblocks{Bloc C}}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
				{
					\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
					\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
				}
			\end{scratch}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Ces blocs ont permis de construire les trois figures ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\hfill Dessin 1 \hfill~
				\\
				\includegraphics[scale=0.65]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_10_dessin_scratch_1.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\hfill Dessin 2\hfill~
				\\
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_11_dessin_scratch_2.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\hfill Dessin 3 \hfill~
				\\
				
				\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_12_dessin_scratch_3.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Pour chacun des blocs A, B et C, donner le numéro de la figure correspondant.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le nombre de répétition correspond au nombre de côtés du polygone.}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le bloc A trace le dessin 2.
			
			Le bloc B trace le dessin 1.
			
			Le bloc C trace le dessin 3.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Recopier et modifier le bloc A pour obtenir un hexagone régulier dont les côtés mesurent $50$ pixels.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Il faudra $6$ segments et comme on peut le remarquer sur les précédents l'angle est $360\degres$ divisé par le  nombre de côtés.}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\hfill Bloc A modifié \hfill~
				\\
				\begin{scratch}
					\initmoreblocks{définir{\namemoreblocks{Bloc A}}}
					\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
					{
						\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
						\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
					}
				\end{scratch}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour réaliser une figure plus complexe, on utilise le programme ci-dessous où le \og Bloc A\fg{} représente un motif.
		
		\begin{center}
			\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_2_14_programme_scratch.sb3}{\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_13_programme_scratch.png}}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Cliquez sur le programme ci-dessus pour le télécharger.
		
	\end{correction}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle transformation géométrique permet de passer d’un motif au suivant? Préciser les éléments caractéristiques.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Lors du tracé du pentagone avec le Bloc A, le lutin part du point de coordonnées $(0;0)$ puis y retourne. Ainsi tous les pentagones commencent à partir de l'origine. Comme chaque tracé est suivi d'une rotation de $60\degres$ nous pouvons conclure:
			
			\begin{conclusion}
				
				On passe d'un motif au suivant par une rotation de centre le point de coordonnées $(0;0)$ et d'angle $60\degres$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Combien de motifs \og Bloc A \fg{} composent cette figure?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$6 \times 60=360$ donc à la fin du dessin du sixième motif on revient en position de départ.
			
			\begin{conclusion}
				
				Cette figure est composée de $6$ motifs.
				
			\end{conclusion}
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_15_dessin_scratch.png}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On entre le script donné ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_2_17_programme_scratch.sb3}{\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_16_programme_scratch.png}}
		\end{center}
		
		Dessiner la figure obtenue en choisissant comme échelle $1\ \mathrm{cm}$ pour $20$ pixels.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Cliquez sur le programme ci-dessus pour le télécharger.
		
	\end{correction}
	
	\begin{correction}
		
		Voici la figure obtenue (ici dessinée encore à la moitié de ce qui était demandée, mais les longueurs indiquées sont celles attendues).
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\draw (0,0) -- (15,0) -- (15,2.5) -- (0,2.5) -- cycle;
				\foreach \x in {1,2,3,4,5} \draw ({\x*2.5},0) -- ({\x*2.5},2.5);
				\draw [>=latex, <->] (0,-0.5) -- (2.5,-0.5) node[midway, below] {$2,5\ \mathrm{cm}$};
				\draw [>=latex, <->] (-0.5,0) -- (-0.5,2.5) node[midway, left] {$2,5\ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\medskip
		Avec le logiciel on obtient:
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_18_dessin_scratch.png}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations suivantes indiquer, en le justifiant, si elle est vraie ou fausse.
	
	\emph{Une réponse correcte sans justification ne rapporte aucun point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On lance trois fois une pièce non truquée. On obtient trois fois pile.
		
		\textbf{Affirmation 1}: \og La probabilité d’obtenir face au quatrième lancer est $0,5$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les différents lancers sont indépendants les uns des autres. Le résultat du quatrième lancer ne dépend pas des résultats des ris précédents.
		
		Ainsi il s'agit d'un lancer de pile ou face avec une pièce équilibrée et la probabilité d'obtenir face est donc $\frac{1}{2}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On dispose de deux urnes. Dans chacune d’entre elles, il y a trois boules rouges et une boule verte; ces boules sont indiscernables au toucher. On tire une boule dans une urne et une boule dans une autre.
		
		\textbf{Affirmation 2}:\og La probabilité d’obtenir deux boules vertes est $\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ soit $\displaystyle \frac{1}{2}$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les deux tirages sont indépendants l'un de l'autre si bien que nous pouvons considérer les tirages comme successifs.
		
		Schématisons la situation par un arbre pondéré probabiliste.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$V$/$\frac{1}{4}$/\posA,
				nA2/A2/2/$\overline{V}$/$\frac{3}{4}$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$V$/$\frac{1}{4}$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{V}$/$\frac{3}{4}$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$V$/$\frac{1}{4}$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{V}$/$\frac{3}{4}$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		D'après le principe multiplicatif (ou la formule des probabilités composées):
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P} (VV) &= \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\\
			&= \frac{1}{16}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de $1$ à $6$ et on fait la somme des nombres obtenus sur les faces supérieures.
		
		\textbf{Affirmation 3}: \og La probabilité d’obtenir $3$ est égale à celle d’obtenir $2$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Schématisons le lancer avec un tableau double entrée que nous remplirons des sommes des chiffres affichés par les deux dés.}
		
		Pour Arthur:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$2$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$5$ & \cellcolor{red!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & \cellcolor{orange!60}$2$ & \cellcolor{cyan!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & \cellcolor{cyan!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
				
		$\Omega$ est l'ensemble des couples de chiffres obtenus (en distinguant toutes les faces par un coloriage par exemple).
				
		Les dés étant équilibrés il est raisonnable de faire l'hypothèse que chaque couple de faces représenté par une case du tableau à la même probabilité qu'un autre couple. Il y a équiprobabilité entre les couples. L'univers comporte $36$ issues.
		
		\medskip
		Notons $A_2$ (resp. $A_3$) l'événement \og obtenir $2$ \fg{} (resp. \og obtenir $3$ \fg{}).
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A_2)$ (resp. $\mathbb{P}(A_3)$).}
		
		I y a équiprobabilité entre les couples. $A_2$ (resp. $A_3$) est réalisé par $1$ (resp. $2$) issues. L'univers comporte $36$ issues. Nous en déduisons: \[ \mathbb{P}(A_2)= \frac{1}{36} \quad \text{et} \quad \mathbb{P}(A_3)= \frac{2}{36}. \]
		
		Donc: $\mathbb{P}(A_2) < \mathbb{P}(A_3)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est constituée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Une professeure de CE1 demande à ses élèves d’effectuer les calculs suivants sans poser les opérations.
	
	\[ 38+5 \quad 15+9+15+11 \quad 32+49. \]
	
	Voici les productions de $3$ élèves relevées par la professeure:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Élève 1\hfill~
			\\
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_19_eleve_1.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Élève 2\hfill~
			\\
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_20_eleve_2.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Élève 3\hfill~
			\\
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_21_eleve_3.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser chacune des procédures mises en œuvre par les élèves 1, 2 et 3 en mettant en avant les connaissances qu’elles nécessitent.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux autres procédures que la professeure pourrait enseigner aux élèves pour calculer $32 + 49$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de CM2 propose les exercices suivants.
	
	\medskip
	{\hspace*{-0.75cm}
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_22_robot_1.png}
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_23_robot_2.png}
		\end{minipage}
	}		
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la principale notion travaillée dans cet exercice?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser la réponse de l’élève à la première question en précisant la propriété mathématique utilisée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser la réponse de l’élève à la seconde question en précisant la propriété mathématique utilisée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une autre procédure que les élèves de CM2 pourraient utiliser pour répondre à cette seconde question, en précisant la propriété mathématique utilisée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un enseignant de CM2 propose l’énoncé suivant:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Un robot parcourt $75\ \mathrm{cm}$ en $5$ pas. Quelle distance parcourt-il en $3$ pas?
				\\
				\hline				
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier le choix des nombres de cet énoncé et la procédure que l’enseignant souhaite ainsi encourager.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant souhaite que cet exercice serve de référence pour la classe. Il envisage de rédiger la correction qui sera affichée dans la classe. Faire une proposition du contenu de cette affiche.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de CM2 travaille avec ses élèves sur la comparaison des nombres décimaux.
	
	Ces derniers doivent entourer le nombre qu’ils estiment le plus grand en justifiant leur choix.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici les réponses de Rose et Ethan concernant la comparaison de $3,12$ et $5,2$.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Ethan
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_24_ethan.png}
			
			\item Rose
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_25_rose.png}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser la procédure utilisée par Ethan.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En quoi un travail de remédiation utilisant la droite graduée pourrait permettre à Ethan de s’approprier une procédure plus efficace?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser la procédure utilisée par Rose.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer deux autres paires de nombres permettant de vérifier que Rose maîtrise la
			compétence \og comparer deux nombres décimaux \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici les réponses de Louisa, Nolan et Loane concernant la comparaison de $13,01$ et $13,001$.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Louisa
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_26_louisa.png}
			
			\item Nolan
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_27_nolan.png}
			
			\item Loane
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_28_loane.png}
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En s’appuyant sur la justification donnée, analyser l’erreur de Louisa.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En s’appuyant sur la justification donnée, analyser l’erreur de Nolan.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant souhaite aider Loane à reformuler son explication. Proposer une reformulation attendue.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner deux représentations erronées que peut avoir un élève de CM2 pour la comparaison des nombres décimaux.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}