%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2020 intégrale.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2021 groupe 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Dans tout ce problème, on s’intéresse à la société AMP’OUL, qui fabrique des ampoules à diodes électroluminescentes. Le fabricant propose trois modèles:
	
	\medskip
	{\hspace*{-1cm}
		\begin{tabularx}{1.05\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.8cm}|>{\centering\arraybackslash}m{2.8cm}|>{\centering\arraybackslash}m{1.2cm}|>{\centering\arraybackslash}X|>{\centering\arraybackslash}m{2cm}|}
			\hline
			\multicolumn{2}{|>{\centering\arraybackslash}c|}{Modèle} & Nombre de diodes & Dimensions & Coût de fabrication du support
			\\
			\hline
			A & \vspace{0.2cm}	 \includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_01_ampoule_1.png} & $9$ & \begin{tabular}{c}Cylindre\\ Diamètre $4,5\ \mathrm{cm}$\\ Hauteur $6\ \mathrm{cm}$
			\end{tabular} & $93$ centimes
			\\
			\hline
			B & \vspace{0.2cm}	 \includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_02_ampoule_2.png} & $25$ & \begin{tabular}{c}Pavé droit\\ Carré lumineux de $5\ \mathrm{cm}$ \\ de côté \\ Hauteur $6\ \mathrm{cm}$
			\end{tabular} & $98$ centimes
			\\
			\hline
			C & \vspace{0.2cm}	 \includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_03_ampoule_3.png} & $32$ & \begin{tabular}{c}Cylindre\\ Diamètre $5\ \mathrm{cm}$ \\ Hauteur $6\ \mathrm{cm}$
			\end{tabular} & $112$ centimes
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: coût de fabrication.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le modèle A est formé de $9$ diodes et de son support. Sachant que le coût d’une diode est de $18$ centimes, montrer que le coût de fabrication d’une ampoule de modèle A est de $2,55\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le coût de fabrication, $c_A$, pour le modèle A.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le coût des diodes est: $9 \times 0,18\ \text{\euro}= 1,62\ \text{\euro}$.
			
			\item Le coût du support est $0,93\ \text{\euro}$.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons le coût de fabrication:
		
		\begin{align*}
			c_A &= 1,62\ \text{\euro} + 0,93\ \text{\euro}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$c_A=2,55\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une feuille de calcul a été produite pour calculer les coûts de fabrication des ampoules:
		
		\medskip
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_04_tableur.png}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule peut-on écrire dans la cellule $\texttt{D}2$ puis étirer vers le bas, pour calculer le coût de fabrication d’une ampoule du modèle correspondant?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Une formule possible en $\texttt{D}2$ est:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=0,18*\texttt{B}2+\texttt{C}2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule peut-on écrire dans la cellule $\texttt{F}2$ puis étirer vers le bas pour obtenir le coût total de production des ampoules du modèle correspondant?
			
		\end{sujet}
		
		
		\begin{correction}
			
			Une formule possible en $\texttt{F}2$ est:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\texttt{D}2*\texttt{E}2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le coût total de production pour fabriquer $\np{19 000}$ ampoules de modèle A, $\np{14 900}$ ampoules de modèle B et $\np{3 094}$ ampoules de modèle C. On l’appellera la
		commande \og DUPONT \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le coût, $c_D$, de la commande Dupont.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le coût de fabrication d'une ampoule de modèle B est
			
			\begin{align*}
				c_B &= 25 \times 0,18\ \text{\euro} + 0,98\ \text{euro}\\
				&= 5,48\ \text{\euro}
			\end{align*}
			
			\item Le coût de fabrication d'une ampoule de modèle C est
			
			\begin{align*}
				c_C &= 32 \times 0,18\ \text{\euro} + 1,12\ \text{euro}\\
				&= 6,88\ \text{\euro}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Nous en déduisons:
		
		\begin{align*}
			c_D &= \np{19000} c_A + \np{14900}c_B + \np{3094} c_C\\
			&= \np{19000} \times 2,55\ \text{\euro} + \np{14900} \times 5,48\ \text{\euro}+ \np{3094} \times 6,88\ \text{\euro}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$c_D=\np{151388,72}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: emballage.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le volume d’une ampoule de modèle A. Donner le résultat arrondi au millimètre cube.
		
		\emph{On rappelle que le volume d’un cylindre dont l’aire de la base est $B$ et de hauteur $h$ est égale à $B\times h$.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathscr{V}_A$ le volume de l'ampoule A.}
		
		L'ampoule étant un cylindre son volume est donné par:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_A &= \pi R^2 \times h\\
			&= \pi \left( \frac{4,5}{2} \ \mathrm{cm} \right)^2 \times 6\ \mathrm{cm}\\
			&= \pi \times 2,25^2 \times 6\ \mathrm{cm}^3\\
			&= 30,375\pi\ \mathrm{cm}^3\\
			&\approx 95,425876\ \mathrm{cm}^3\ \text{en tronquant.}
		\end{align*}
		
		En arrondissant au $\mathrm{m}^3$:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_A \approx 95,426\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Les ampoules sont conditionnées dans des boîtes en carton parallélépipédiques, puis stockées sur des palettes. L’entreprise choisit, pour ses trois types d’ampoules, des boites parallélépipédiques de dimensions $L = 5\ \mathrm{cm}$, $\ell = 5\ \mathrm{cm}$ et $h = 7\ \mathrm{cm}$, au prix unitaire de $0,12\ \text{\euro}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La palette EURO vide, possède des dimensions standards, soit $L = \np{1 200}\ \mathrm{mm}$, $\ell = 800\ \mathrm{mm}$ et $h = 145\ \mathrm{mm}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_05_palette.png}};
			\draw [>=latex, <->]  (-3.1,0) -- (-1.5,-1.45) node [midway, below, sloped] {$\ell = 80\ \mathrm{mm}$};
			\draw [>=latex, <->] (-1.5,-1.55) -- (3,-0.1) node [midway, below, sloped] {$L=\np{1200}\ \mathrm{mm}$};
			\draw [>=latex, <->] (3.2,0) -- (3.2,0.45) node [midway, right] {$h=\np{145}\ \mathrm{mm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que le nombre maximum de boites d’ampoules sur un étage de palette est de
			$384$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre $n_e$ de boîte sur un étage de palette.}
			
			Pour que le nombre de boîtes disposées sur la palette soit maximal il faut les placer avec la face carrée (qui est celle d'aire minimale) à l'horizontale. 
			
			\medskip
			\begin{enumerate}[*]
				\item Comme $1200\ \mathrm{mm}= 120\ \mathrm{cm}=24 \times 5\ \mathrm{cm}$, il est possible de placer $24$ boîtes dans le sens de la longueur.
				
				\item Comme $800\ \mathrm{mm}= 80\ \mathrm{cm} = 16 \times 5\ \mathrm{cm}$, il est possible de placer $16$ boîtes dans le sens de la largeur.
				
			\end{enumerate}
			
			Sur un étage de palette le nombre de boîte est donc:
			
			\begin{align*}
				n_e &= 24 \times 16
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$n_e=\np{384}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sachant que la hauteur d’une palette chargée ne dépassera pas $1,20\ \mathrm{m}$ au total (palette comprise), combien d’étages de $384$ boites d’ampoules peut-on positionner au
			maximum sur une telle palette?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre $x_h$ d'étages qu'il sera possible de disposer sur une palette.}
			
			Puisque la hauteur de la palette est de $14,5\ \mathrm{cm}$ et que la hauteur totale ne doit pas excéder $120\ \mathrm{cm}$, nous devons avoir:			
			
			\begin{align*}
				14,5+x_h \times 7 &\leqslant 120\\
				\intertext{ce qui équivaut successivemetn à:}
				14,5+x_h \times 7 {\color{orange}-14,5} &\leqslant 120 {\color{orange}-14,5}\\
				x_h \times 7 &\leqslant 105,5\\
				\frac{x_h \times 7}{\color{blue}7} &\leqslant \frac{105,5}{\color{blue}7}\ \text{car }{\color{blue}7}>0\\
				x_h &\leqslant \frac{105,5}{7}
			\end{align*}
			
			Or, en tronquant, $\frac{105,5}{7} \approx 15,07$ donc, $x_h$ étant un nombre entier, $x_h\leqslant 15$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il est possible d'empiler $15$ étages au maximum.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Une palette contient seulement un modèle d’ampoule et coûte $15\ \text{\euro}$. Quel sera le coût en palettes pour la commande \og DUPONT\fg{}?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le coût $c_P$ en palettes.}
			
			Commençons par chercher le nombre de palettes nécessaire pour chaque type d'ampoules.
			
			Sur une palette il est possible de mettre $384 \times 15= 5760$ boîtes.
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Modèle A. $19000=5760 \times 3+1720$. Il faudra $4$ palettes.
				
				\item Modèle B. $14900=5760 \times 2+3380$. Il faudra $3$ palettes.
				
				\item Modèle C. $3094=5760 \times 0 + 3094$. Il faudra une palette.
				
			\end{enumerate}
			
			La commande nécessitera $4 + 3 + 1=8$ palettes.
			
			Le coût en palettes est donc: $c_P=8 \times 15\ \text{\euro}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$c_P=120\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel sera le coût total de l’emballage pour la commande \og DUPONT \fg{} (boîtes + palettes)?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le coût total $c_E$ d'emballage.}
		
		En plus des palettes il faut payer $0,12\ \text{\euro}$ pour chacune des $19000+14900+3094=36994$ boîtes, donc
		
		\begin{align*}
			c_E &= c_P +36994 \times 0,12\ \text{\euro}\\
			&= 120\ \text{\euro} + 36994 \times 0,12\ \text{\euro}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$c_E=4559,28\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: coût de fonctionnement.}

\begin{sujet}
	
	L’entreprise AMP’OUL emploie treize personnes: $8$ pour la chaîne de fabrication, $3$ pour l’emballage et l’organisation des livraisons (dont les salaires sont identiques), $2$ pour la comptabilité et la gestion (dont les salaires sont identiques).
	
	Les salaires nets suivants, en euros, ont été reçus par les salariés en février 2020:
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\multicolumn{4}{|c|}{Chaîne de fabrication}
		\\
		\hline
		$\np{1938,36}$ & $\np{1488,11}$ & $\np{1994,38}$ & $\np{2048,37}$
		\\
		\hline
		$\np{2192,48}$ & $\np{1998,93}$ & $\np{1539,45}$ & $\np{1948,37}$
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\smallskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|>{\centering\arraybackslash}m{1.2cm}|>{\centering\arraybackslash}X|>{\centering\arraybackslash}m{1.2cm}|}
		\hline
		Emballage et organisation des livraisons & $\np{1864,37}$ & Comptabilité et gestion & $\np{1593,38}$
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est l’étendue de cette série?
		
	\end{sujet}	
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'étendue de cette série.}
		
		Ordonnons les salaires:
		
		$\np{1488,11} < \np{1539,45} < \np{1593,38} < \np{1864,37} < \np{1938,36} < \np{1948,37} < \np{1994,38} < \np{1998,93} < \np{2048,37} < \np{2192,48}$
		
		Nous en déduisons:
		\begin{align*}
			e &= max - min\\
			&= \np{2192,48}- \np{1488,11}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$e= 704,37\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le salaire médian de cette entreprise.
		
	\end{sujet}	
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le salaire médian $Me$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La série ordonnée des $8+3+2=13$ salaires est $\np{1488,11} < \np{1539,45} < \np{1593,38} \leqslant \np{1593,38} < \np{1864,37} \leqslant \np{1864,37} \leqslant \np{1864,37} < \np{1938,36} < \np{1948,37} < \np{1994,38} < \np{1998,93} < \np{2048,37} < \np{2192,48}$.
			
			\item Puisque $\frac{13}{2}=6,5$ la médiane est la septième valeur de la série ordonnée.
			
			\item Nous voyons, dans la série ordonnée, que la septième valeur est $\np{1864,37}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$Me=\np{1864,37}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le salaire moyen dans cette entreprise.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le salaire moyen, $\overline{x}$, dans l'entreprise.}
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{\np{1488,11} + \np{1539,45} + 2 \times \np{1593,38} + 3 \times \np{1864,37}  +\dots + \np{2192,48}}{13}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{x} = \np{1840,64}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le coût global d’un salarié en février 2020 est donné par la formule suivante pour cette entreprise:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				$\displaystyle \text{Coût global d'un salarié} = \frac{\text{salaire net}}{0,78} \times 1,45$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Quel est le coût global en euros, pour un salarié de l’emballage et de l’organisation des livraisons?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le coût global, $c_{G}$, du salarié.}
		
		\begin{align*}
			c_{G} &= \frac{\np{1864,37}}{0,78} \times 1,45\\
			&\approx \np{3465,8160}\ \text{en tronquant.} 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$c_{G} \approx \np{3465,82}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite augmenter de $3\ \%$ le salaire net de l’employé gagnant $1488,11\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le salaire net de cet employé après augmentation?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le salaire $s'$ après augmentation.}
			
			Le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de $3\ \%$ est 
			
			\begin{align*}
				CM &= 1+\frac{t}{100}\\
				&= 1+ \frac{3}{100}\\
				&= 1,03
			\end{align*}
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				s' &= \np{1488,11} \times CM\\
				&= \np{1488,11} \times 1,03\\
				&= \np{1532,7533}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$s' \approx \np{1532,75}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le coût global de ce salaire après augmentation.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le coût global, $c'$, après augmentation.}
			
			\begin{align*}
				c' &= \frac{s'}{0,78} \times 1,45\\
				&= \frac{\np{1532,7533}}{0,78} \times 1,45\\
				&\approx \np{2849,34908}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$c'\approx \np{2849,35}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			De quel pourcentage le coût global a-t-il augmenté?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le taux d'évolution, $t_c$, du coût.}
			
			Notons $c$ le coût global avant augmentation.
			
			{\color{orange}
				\medskip
				\begin{align*}
					c' &= \frac{s'}{0,78} \times 1,45\\
					&= \frac{ CM \times s}{0,78} \times 1,45\\
					&= CM \times \frac{s}{0,78} \times 1,45\\
					&= CM \times c
				\end{align*}
				
				Donc le coût global a augment de $3\ \%$.
			}
			
			\medskip
			{\color{WildStrawberry}Voici une autre rédaction plus élémentaire.}
			
			\begin{align*}
				c &= \frac{s}{0,78} \times 1,45\\
				&= \frac{\np{1488,11}}{0,78} \times 1,45\\
				&\approx 2766,36
			\end{align*}
			
			D'où le taux d'évolution:
			\begin{align*}
				t_c &= \frac{c'-c}{c} \times 100\\
				&\approx \frac{2849,35-2766,36}{2766,36} \times 100\\
				&\approx 2,9999
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le coût global a augmenté de $3\ \%$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D: transport et livraison.}

\begin{sujet}
	
	L’entreprise AMP’OUL travaille avec deux sociétés de livraison, qui lui proposent des tarifs adaptés à ses besoins.
	
	\medskip
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Société & Tarif par palette (\euro) & Frais de gestion (\euro)
			\\
			\hline
			Société A & $12$ & $284$
			\\
			\hline
			Société B & $29$ & $115$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	On définit les fonctions $f$ et $g$ par les expressions algébriques suivantes:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $f(x) = 12 x + 284$,
		\item $g(x) = 29 x + 115$.
	\end{enumerate}
	
	Ainsi, si $x$ désigne un nombre de palettes alors $f(x)$ et $g(x)$ désignent respectivement le prix à payer pour la livraison de ces $x$ palettes par les sociétés A et B.
	
	On a tracé les courbes correspondant à $f$ et $g$ dans le repère ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.02]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{16.6};
		\def\yZ{580/2};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=25cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2,...,16}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {25,50,...,275}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:16] plot(\x,{(12*\x+284)/2});
		\draw[blue] (2.5,{350/2}) node {$C_1$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:15.6] plot(\x,{(29*\x+115)/2});
		\draw[red] (2.6,{140/2}) node {$C_2$};
		\draw (1.5,{530/2}) node[fill=white] {Prix (\euro)};
		\draw (13.5,{30/2}) node[fill=white] {Nombre de palettes};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Répondre, en vous aidant du graphique, aux questions suivantes:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Identifier la courbe qui correspond à chaque fonction.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Identifions les fonctions.}
			
			{\color{WildStrawberry}Il s'agit de deux fonctions affines. Nous pourrions les identifier avec leur coefficient directeur ou leur ordonnée à l'origine. Nous allons utiliser l'ordonnée à l'origine.}
			
			\medskip
			$f(0)=12 \times 0+284=284$ et $g(0)=29 \times 0 +115=115$ donc la courbe représentative de $f$ passe par le point de coordonnées $(0;284)$ et la courbe représentative de $g$ passe par le point de coordonnées $(0;115)$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$C_1$ est la courbe représentative de $f$ et $C_2$ celle de $g$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle société de livraison sera la plus économique pour une commande de $6$ palettes?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.02]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{16.6};
				\def\yZ{580/2};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=25cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,16}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {25,50,...,275}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:16] plot(\x,{(12*\x+284)/2});
				\draw[blue] (2.5,{350/2}) node {$C_1$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:15.6] plot(\x,{(29*\x+115)/2});
				\draw[red] (2.6,{140/2}) node {$C_2$};
				\draw (1.5,{530/2}) node[fill=white] {Prix (\euro)};
				\draw (13.5,{30/2}) node[fill=white] {Nombre de palettes};
				\draw [Green, very thick, dashed] (6,0) -- (6,{(12*6+284)/2});
				\draw [blue, very thick, dashed]  (6,{(12*6+284)/2}) -- (0,{(12*6+284)/2});
				\draw [red, very thick, dashed]   (6,{(29*6+115)/2}) -- (0,{(29*6+115)/2});
				\end{tikzpicture}}
			
			\begin{conclusion}
				
				La société B est la plus économique pour $6$ palettes.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour une commande donnée, quelle société de livraison sera la plus économique en fonction du nombre de palettes?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour une commande d'un maximum de $9$ palettes la société B est la plus économique sinon c'est la A.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Résoudre l’équation $f(x) = g(x)$. Utiliser cette résolution pour affiner la réponse à la question 1.(c).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation $f(x)=g(x)$.}
		
		Soit $x \in [0;+\infty[$.
		
		\begin{align*}
			f(x) &= g(x)\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			12x +284 &= 29x+115\\
			12x+284 {\color{orange}-29x} &= 29x+115 {\color{orange}-29x}\\
			-17x+284 &= 115\\
			-17x+284 {\color{orange}-284}&= 115 {\color{orange}-284}\\
			-17x &= -169\\
			\frac{-17x}{\color{orange}-17} &= \frac{-169}{\color{orange}-17}\\
			x &= \frac{169}{17}\\
			\intertext{Ainsi}
			x &\approx 9,941
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour une commande d'un maximum de $9$ palettes la société B est la plus économique sinon c'est la A.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Rémi joue avec un dé truqué. Il sait qu’il a la même probabilité d’obtenir $1$, $2$, $3$, $4$ ou $5$. Il sait également que la probabilité d’obtenir $6$ est de $\dfrac{1}{2}$.
	
	\smallskip
	Rémi lance le dé.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité qu’il obtienne $3$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(3)$.}
		
		Les issues $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$ ont toutes la même probabilité d'être réalisée que nous noterons $p$.
		
		Par définition d'une probabilité (sur un univers fini) la somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$ donc:
		
		\begin{align*}
			5 \times p+ \frac{1}{2} &= 1\\
			\intertext{ce qui équivaut succcessivement à:}
			5p+\frac{1}{2} {\color{orange}-\frac{1}{2}} &= 1 {\color{orange}-\frac{1}{2}}\\
			5p &= \frac{1}{2}\\
			\frac{5p}{\color{orange}5} &= \frac{\frac{1}{2}}{5}\\
			p &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{5}\\
			p &= \frac{1}{10}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(3)=0,1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle la probabilité d’obtenir un nombre pair?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		L'univers est  ici $\Omega=\{ 1;2;3;4;5;6 \}$.
		
		D'après la question précédente, la loi de probabilité sur cet univers peut être résume par le tableau:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				$\omega$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(\omega)$ & $0,1$ & $0,1$ & $0,1$ & $0,1$ & $0,1$ & $0,5$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		{\color{orange}Il n'y a pas équiprobabilité entre les issues dans cette modélisation. Nous ne pourrons donc pas utiliser les méthodes de dénombrement.}
		
		\medskip
		Notons $A$ l'événement \og obtenir un nombre pair\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		$A=\{ 2;4;6 \}$.
		
		Donc:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(2) + \mathbb{P}(4) + \mathbb{P}(6)\\
			&= 0,1+0,1+0,5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(A)=0,7$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Rémi souhaite obtenir un résultat strictement supérieur à $4$. A-t-il intérêt à utiliser son dé truqué ou un dé équilibré? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $B$ l'événement \og obtenir un nombre strictement supérieur à $4$.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		$B=\{ 5;6\}$.
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= \mathbb{P}(5) + \mathbb{P}(6)\\
			&= 0,1 + 0,5\\
			&= 0,6
		\end{align*}
		
		Avec un dé parfaitement équilibré (et donc avec la loi d'équiprobabilité $\mathbb{P}'$) $B$ étant réalisé par $2$ issues sur un total de $6$ la probabilité de $B$ serait:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}'(B) &= \frac{2}{6}\\
			&= \frac{1}{3}\\
			&= 0,333\dots
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour obtenir un résultat strictement supérieur à $4$ il a intérêt à utiliser son dé truqué.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Rémi doit lancer son dé truqué et un dé équilibré. Le résultat obtenu sera la somme des résultats obtenus sur chaque dé.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité qu’il obtienne $12$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La façon la plus simple de raisonner est de dessiner un arbre pondéré mais l'arbre étant très grand je me suis contenté de faire les calculs. Par acquis de conscience voici à quoi ressemblerait l'arbre.
				
				{\footnotesize
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
					%Écarts entre entre racine et premier niveau
					\def\xA{2};
					%Nombre de nœuds du premiers niveau
					\def\noA{6};
					%Nombre de nœuds du deuxième niveau
					\def\noB{36};
					%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
					\def\noBe{6};
					%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
					\def\xB{8+\xA};
					\def\yB{0.5};
					%Racine
					\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
					%Pour ne pas écrire les mots above et below
					\def\posA{above};
					\def\posB{below};
					%Position des nœuds du premier niveau
					%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
					\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/A1/1/$1$/$\np{0,1}$/\posA,
						nA2/A2/2/$2$/$\np{0,1}$/\posA,
						nA3/A3/3/$3$/$\np{0,1}$/\posA,
						nA4/A4/4/$4$/$\np{0,1}$/\posA,
						nA5/A5/5/$5$/$\np{0,1}$/\posA,
						nA6/A6/6/$6$/$\np{0,5}$/\posA
					}{
						\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
						\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
						\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
					\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
						nA1/nB1/B1/1/$1$/${1/6}$/\posA,
						nA1/nB2/B2/2/$2$/${1/6}$/\posA,
						nA1/nB3/B3/3/$3$/${1/6}$/\posA,
						nA1/nB4/B4/4/$4$/${1/6}$/\posA,
						nA1/nB5/B5/5/$5$/${1/6}$/\posA,
						nA1/nB6/B6/6/$6$/${1/6}$/\posA,	
						nA2/nB7/B7/7/$1$/${1/6}$/\posA,
						nA2/nB8/B8/8/$2$/${1/6}$/\posA,
						nA2/nB9/B9/9/$3$/${1/6}$/\posA,
						nA2/nB10/B10/10/$4$/${1/6}$/\posA,
						nA2/nB11/B11/11/$5$/${1/6}$/\posA,
						nA2/nB12/B12/12/$6$/${1/6}$/\posA,
						nA3/nB13/B13/13/$1$/${1/6}$/\posA,
						nA3/nB14/B14/14/$2$/${1/6}$/\posA,
						nA3/nB15/B15/15/$3$/${1/6}$/\posA,
						nA3/nB16/B16/16/$4$/${1/6}$/\posA,
						nA3/nB17/B17/17/$5$/${1/6}$/\posA,
						nA3/nB18/B18/18/$6$/${1/6}$/\posA,
						nA4/nB19/B19/19/$1$/${1/6}$/\posA,
						nA4/nB20/B20/20/$2$/${1/6}$/\posA,
						nA4/nB21/B21/21/$3$/${1/6}$/\posA,
						nA4/nB22/B22/22/$4$/${1/6}$/\posA,
						nA4/nB23/B23/23/$5$/${1/6}$/\posA,
						nA4/nB24/B24/24/$6$/${1/6}$/\posA,
						nA5/nB25/B25/25/$1$/${1/6}$/\posA,
						nA5/nB26/B26/26/$2$/${1/6}$/\posA,
						nA5/nB27/B27/27/$3$/${1/6}$/\posA,
						nA5/nB28/B28/28/$4$/${1/6}$/\posA,
						nA5/nB29/B29/29/$5$/${1/6}$/\posA,
						nA5/nB30/B30/30/$6$/${1/6}$/\posA,
						nA6/nB31/B31/31/$1$/${1/6}$/\posA,
						nA6/nB32/B32/32/$2$/${1/6}$/\posA,
						nA6/nB33/B33/33/$3$/${1/6}$/\posA,
						nA6/nB34/B34/34/$4$/${1/6}$/\posA,
						nA6/nB35/B35/35/$5$/${1/6}$/\posA,
						nA6/nB36/B36/36/$6$/${1/6}$/\posA
					}{
						\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
						\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
						\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
					};
					\end{tikzpicture}
				}
				
				Avec un petit effort d'imagination l'arbre est inutile.
				
			}
			
			\medskip
			Les deux lancers sont indépendants (d'après le contexte) donc on peut considérer que les lancers sont successifs: on lance d'abord le dé truqué et ensuite le dé équilibré.
			
			L'univers est donc formé de couples dont la première valeur est le résultat du lancer du dé truqué (avec la loi de probabilité $\mathbb{P}$ vue plus haut) et la seconde valeur est le résultat du lancer du dé équilibré (avec la loi de probabilité $\mathbb{P}'$ qui est l'équiprobabilité. Munissons cet ensemble de couples de la loi de probabilité $\mathbb{P}''$ induite par les lois $\mathbb{P}$ et $\mathbb{P}'$.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}''(6,6)$.}
			
			$\mathbb{P}(6)=0,5>$ donc, d'après la formule des probabilités composées 
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}''(6,6) &= \mathbb{P}'_{6}(6) \times \mathbb{P}(6)\\
				\intertext{Et puisque les lancers sont indépendants:}
				\mathbb{P}''(6,6) &= \mathbb{P}'(6) \times \mathbb{P}(6)\\
				&= 0,5 \times \frac{1}{6}\\
				&= \frac{1}{12}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La probabilité d'obtenir $12$ est $\frac{1}{12}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité qu’il obtienne $10$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Reprenons la modélisation précédente. 
			
			Notons $X$ la variable aléatoire qui a chaque couple associe la somme des valeurs.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}''(X=10)$.}
			
			$\{ X=10 \} = \{ 6,4), (5,5), (4,6) \}$.
			
			Donc:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}''(X=10) &= \mathbb{P}''(6,4) + \mathbb{P}''(5,5) + \mathbb{P}''(4,6)\\
				\intertext{Puis en procédant comme à la question précédente:}
				\mathbb{P}''(X=10) &= 0,5 \times \frac{1}{6} +0,1 \times \frac{1}{6} + 0,1 \times \frac{1}{6}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}''(X=10)=\frac{7}{60}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	$ABCDE$ est une pyramide régulière à base carrée $ABCD$ telle que $EO = AC$, $O$ étant l’intersection des deux diagonales du carré $ABCD$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.8]
		\def\xB{4};
		\def\yB{0};
		\def\lxA{4};
		\def\lyA{1};
		\def\lxC{2.5};
		\def\lyC{2};
		\def\lyE{6};
		\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
		\draw (B) node {$\bullet$};
		\draw (B) node [below] {$B$};
		\def\xA{\xB-\lxA};
		\def\yA{\yB+\lyA};
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\def\xC{\xB+\lxC};
		\def\yC{\yB+\lyC};
		\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
		\draw (C) node {$\bullet$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\def\xD{\xB-\lxA+\lxC};
		\def\yD{\yB+\yA+\lyC};
		\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
		\draw (D) node {$\bullet$};
		\draw (D) node [above left] {$D$};
		\draw [dashed] (A) -- (C);
		\draw [dotted] (D) -- (B);
		\draw [dotted] (A) -- (D);
		\draw [dashed] (D) -- (C);
		\def\xO{(\xA+\xC)/2};
		\def\yO{(\yA+\yC)/2};
		\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
		\draw (O) node {$\bullet$};
		\draw (O) node [above right] {$O$};
		\def\xE{\xO};
		\def\yE{\yO+\lyE};
		\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
		\draw (E) node {$\bullet$};
		\draw (E) node [above right] {$E$};
		\draw [dotted] (D) -- (E);
		\draw (B) -- (E) -- (A) -- (B) -- (C) -- (E);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	La longueur des côtés du carré $ABCD$ est de $4\ \mathrm{cm}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la valeur exacte de $EO$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque $EO=AC=2AO$ il suffit de 
		
		\medskip
		\objectif{calculons $AO$.}
		
		Puisque $AOB$ est rectangle en $O$, d'après le théorème de Pythagore:
		
		\begin{align*}
			AO^2+OB^2 &= AB^2\\
			\intertext{Comme de plus $AOB$ est isocèle en $O$:}
			2AO^2 &= AB^2\\
			\intertext{nous en déduisons successivement à:}
			2AO^2 &= 4^2\\
			\frac{2AO^2}{\color{orange}2} &= \frac{16}{\color{orange}2}\\
			AO^2 &= 8\\
			\intertext{Et puisque $AO$ est une longueur donc un nombre positif:}
			AO &= \sqrt{8}\\
			&= 2\sqrt{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$EO=4\sqrt{2}$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la valeur exacte de la longueur $AE$. En déduire que son arrondi au
		millimètre est de $6,3\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\objectif{Calculons $AE$.}
		
		Puisque $AOE$ est rectangle en $O$, d'après le théorème de Pythagore:
		
		\begin{align*}
			AE^2 &= AO^2+OE^2\\
			\intertext{Autrement dit:}
			AE^2 &= \left( 2\sqrt{2} \right)^2 + \left( 4\sqrt{2} \right)^2\\
			&= 40\\
			\intertext{$AE$ étant une longueur c'est un nombre positif:}
			AE &= \sqrt{40}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AE=2\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\begin{conclusion}
			
			$AE\approx 6,3\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tracer un patron de la pyramide $ABCDE$ en vraie grandeur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Ici à l'échelle $1/2$.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]				
			\def\xO{0};
			\def\yO{0};
			\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
			\draw (O) node [below] {$O$};
			\def\AB{4};
			\def\AO{2*sqrt{2}};
			\def\xA{\xO-\AB/2};
			\def\yA{\yO-\AB/2};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\def\AO{2*sqrt{2}};
			\def\xB{\xO+\AB/2};
			\def\yB{\yO-\AB/2};
			\coordinate (B) at ({\xB},{\yB});
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\def\xC{\xO+\AB/2};
			\def\yC{\yO+\AB/2};
			\coordinate (C) at ({\xC},{\yC});
			\draw (C) node [above right] {$C$};
			\def\xD{\xO-\AB/2};
			\def\yD{\yO+\AB/2};
			\coordinate (D) at ({\xD},{\yD});
			\draw (D) node [above left] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\draw [dashed] (A) -- (C);
			\draw [dashed] (B) -- (D);
			\def\h{sqrt(40-4)};
			\def\xEa{\xO};
			\def\yEa{\yO-\AB/2-\h};
			\coordinate (E1) at ({\xEa},{\yEa});
			\draw (E1) node [below] {$E_1$};
			\draw (A) -- (E1) node[midway, sloped] {$\parallel$} -- (B) node[midway, sloped] {$\parallel$};
			\def\xEb{\xO+\AB/2+\h};
			\def\yEb{\yO};
			\coordinate (E2) at ({\xEb},{\yEb});
			\draw (E2) node [right] {$E_2$};
			\draw (B) -- (E2) node[midway, sloped] {$\parallel$} -- (C)node[midway, sloped] {$\parallel$} ;
			\def\xEc{\xO};
			\def\yEc{\yO+\AB/2+\h};
			\coordinate (E3) at ({\xEc},{\yEc});
			\draw (E3) node [above] {$E_3$};
			\draw (C) -- (E3)node[midway, sloped] {$\parallel$}  -- (D)node[midway, sloped] {$\parallel$} ;
			\def\xEd{\xO-\AB/2-\h};
			\def\yEd{\yO};
			\coordinate (E4) at ({\xEd},{\yEd});
			\draw (E4) node [left] {$E_4$};
			\draw (D) -- (E4)node[midway, sloped] {$\parallel$}  -- (A)node[midway, sloped] {$\parallel$} ;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercices 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici deux programmes de calcul écrits avec le logiciel Scratch:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\
			\hfill \textbf{Programme A} \hfill ~
			\\
			\begin{scratch}
				\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
				\blocksensing{demander \ovalnum{Entrer un nombre} et attendre}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovalsensing{réponse}}
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{-4}}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalvariable{ma variable}}}
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{3}}
				\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{la réponse est} \ovalvariable{ma variable}}}
			\end{scratch}
			\\
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\
			\hfill \textbf{Programme B} \hfill ~
			\\
			\begin{scratch}
				\blockinit{quand \greenflag est cliqué}
				\blocksensing{demander \ovalnum{Entrer un nombre} et attendre}
				\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalsensing{réponse}}}
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{-9}}
				\blocklook{dire \ovaloperator{regrouper \ovalnum{la réponse est} \ovalvariable{ma variable}}}
			\end{scratch}
			\\
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	Dans les deux programmes, le nombre entré par l’utilisateur est stocké dans la variable \og réponse\fg{}.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On entre différents nombres dans les deux programmes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Avec le programme A, montrer que si on entre le nombre $5$, on obtient $6$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Considérons le tableau d'état des variables du programme.
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tabular}{|m{7cm}|c|c|}
					\hline & \ovalvariable{ma variable} & \ovalsensing{réponse} \\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blocksensing{demander \ovalnum{Entrer un nombre} et attendre}
					\end{scratch}
					& 
					& $5$				
					\\
					\hline	
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovalsensing{réponse}}
					\end{scratch}
					& $5$ & $5$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{-4}}
					\end{scratch}
					& $5+(-4)=1$ & $5$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalvariable{ma variable}}}
					\end{scratch}
					& $3 \times 1 =3$ & $5$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{3}}
					\end{scratch}
					& $3+3=6$ & $5$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
			
			Et comme le programme renvoie le contenu de \ovalvariable{ma variable}:
			
			\begin{conclusion}
				
				si on entre $5$ alors le programme A renvoie $6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le nombre obtenu si on entre le nombre $5$ avec le programme B?
			
		\end{sujet}
		
		
		\begin{correction}
			
			Considérons le tableau d'état des variables du programme.
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tabular}{|m{7cm}|c|c|}
					\hline & \ovalvariable{ma variable} & \ovalsensing{réponse} \\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blocksensing{demander \ovalnum{Entrer un nombre} et attendre}
					\end{scratch}
					& 
					& $5$				
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						
						\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalsensing{réponse}}}
					\end{scratch}
					& $3 \times 5=15$ & $5$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{-9}}
					\end{scratch}
					& $15-9=6$ & $5$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
			
			Et comme le programme renvoie le contenu de \ovalvariable{ma variable}:
			
			\begin{conclusion}
				
				si on entre $5$ alors le programme B renvoie $6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le nombre obtenu avec les programmes A et B si on entre le nombre $5,2$.
			
		\end{sujet}
		
		
		\begin{correction}
			
			Considérons le tableau d'état des variables du programme A:
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tabular}{|m{7cm}|c|c|}
					\hline & \ovalvariable{ma variable} & \ovalsensing{réponse} \\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blocksensing{demander \ovalnum{Entrer un nombre} et attendre}
					\end{scratch}
					& 
					& $5,2$				
					\\
					\hline	
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovalsensing{réponse}}
					\end{scratch}
					& $5,2$ & $5,2$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{-4}}
					\end{scratch}
					& $5,2+(-4)=1,2$ & $5,2$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalvariable{ma variable}}}
					\end{scratch}
					& $3 \times 1,2 =3,6$ & $5,2$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{3}}
					\end{scratch}
					& $3,6+3=6,6$ & $5,2$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
			
			\medskip
			Puis celui du programme B:			
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tabular}{|m{7cm}|c|c|}
					\hline & \ovalvariable{ma variable} & \ovalsensing{réponse} \\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blocksensing{demander \ovalnum{Entrer un nombre} et attendre}
					\end{scratch}
					& 
					& $5,2$				
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						
						\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalsensing{réponse}}}
					\end{scratch}
					& $3 \times 5,2=15,6$ & $5,2$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{-9}}
					\end{scratch}
					& $15,6-9=6,6$ & $5,2$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
			
			\medskip
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				si on entre $5,2$ alors les deux programmes A et B renvoient $6,6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle conjecture pouvez-vous émettre? Valider ou rejeter votre conjecture par une démonstration.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Les questions précédentes nous incitent à conjecturer:
			
			\begin{conclusion}
				
				il semble que les deux programmes renvoient le même résultat.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{orange}Cette conjecture est émise à partir de deux exemples seulement et des exemples qui n'ont peut être pas été choisis au hasard par les créateurs du sujet. Essayons une autre valeur comme $0$. Nous voyons que les deux programmes renvoient $0$. Le résultat semble général démontrons-le.}
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que les deux programmes renvoient le même résultat.}
			
			Si le nombre choisi est $x$ alors pour le programme A:
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tabular}{|m{7cm}|c|c|}
					\hline & \ovalvariable{ma variable} & \ovalsensing{réponse} \\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blocksensing{demander \ovalnum{Entrer un nombre} et attendre}
					\end{scratch}
					& 
					& $x$				
					\\
					\hline	
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovalsensing{réponse}}
					\end{scratch}
					& $x$ & $x$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{-4}}
					\end{scratch}
					& $x+(-4)=x-4$ & $x$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalvariable{ma variable}}}
					\end{scratch}
					& $3 \times (x-4)$ & $x$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{3}}
					\end{scratch}
					& $3(x-4)+3$ & $x$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
			
			\medskip
			et pour le programme B:			
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tabular}{|m{7cm}|c|c|}
					\hline & \ovalvariable{ma variable} & \ovalsensing{réponse} \\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blocksensing{demander \ovalnum{Entrer un nombre} et attendre}
					\end{scratch}
					& 
					& $x$				
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{mettre \selectmenu{ma variable} à \ovaloperator{\ovalnum{3}*\ovalsensing{réponse}}}
					\end{scratch}
					& $3 \times x$ & $x$
					\\
					\hline
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{ma variable} \ovalnum{-9}}
					\end{scratch}
					& $3x-9$ & $x$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			}
			
			Ainsi le programme A renvoie le nombre $A=3(x-4)-9$ et le B renvoie le nombre $B=3x-9$.
			
			Démontrons que les nombres $A$ et $B$ sont égaux.
			
			{\color{WildStrawberry}Pour montrer que ces deux expressions sont égales il faut les exprimer sous forme développée et réduite. Comme $B$ est déjà développé partons de $A$.}
			
			\medskip
			\begin{align*}
				A &= {\color{orange}3}(x-4)+3\\
				&= {\color{orange}3} \times x-{\color{orange}3} \times 4+3\\
				&= 3x-12+3\\
				&= 3x-9
			\end{align*}
			
			Ainsi $A=B$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons démontré que les programme renvient le même résultat.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel nombre faut-il entrer avec le programme B pour obtenir la réponse $14$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la valeur $x$ a choisir pour que le programme B (par exemple) renvoie $14$.}
		
		Nous souhaitons donc que $x$, le nombre de départ, vérifie:
		
		\begin{align*}
			3x-9 &= 14\\
			\intertext{{\color{WildStrawberry}C'est une équation linéaire il faut donc la résoudre en isolant l'inconnue $x$.} Cette équation équivaut successivement à:}
			3x-9 {\color{orange}+9} &= 14{\color{orange}+9}\\
			3x &= 23\\
			\frac{3x}{\color{Green}3} &= \frac{23}{\color{Green}3}\\
			x &= \frac{23}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut entrer $\frac{23}{3}$ pour que le programme renvoie $14$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le résultat obtenu avec le programme B est divisible par $3$ quel que soit le nombre entier entré dans le programme.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Pour démontrer un résultat général sur le résultat du programme il faut utiliser une expression générale du résultat du programme: $3x-9$.
			
			Le résultat sera divisible s'il peut s'écrire $3 \times ?$ ($?$ désignant un nombre entier).
			
			Il faut donc que nous trouvions $3x-9=3 \times ?$.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que le résultat est divisible par trois.}
		
		Soit $x$ un entier.
		
		{\color{WildStrawberry}Nous allons factoriser en utilisant la distributivité.}
		
		\begin{align*}
			3x-9 &= {\color{orange}3 \times } x- {\color{orange}3 \times } 3\\
			&= {\color{orange}3 \times } (x-3)
		\end{align*}  
		
		$x$ étant un entier $x-3$ est aussi un entier et nous pouvons conclure:
		
		\begin{conclusion}
			
			Si le nombre entré dans le programme est un entier le résultat est un multiple de $3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant propose, en cycle 3, une activité consistant à fabriquer une règle graduée en quarts d’unité à partir d’une bande unité.
	
	Chaque élève reçoit une bande unité manipulable et une bande vierge, tirées du livre \emph{Construire les nouveaux nombres au cycle 3} CANOPÉ/IREM LYON, 2018.
	
	Voici les réponses de quatre élèves.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\draw (A) node [right] {\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_07_eleve_1.png}};
		\draw (A) node [left] {A};
		\coordinate (B) at (0,-2);
		\draw (B) node [right] {\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_08_eleve_2.png}};
		\draw (B) node [left] {B};
		\coordinate (C) at (0,-4);
		\draw (C) node [right] {\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_09_eleve_3.png}};
		\draw (C) node [left] {C};
		\coordinate (D) at (0,-6);
		\draw (D) node [right] {\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_10_eleve_4.png}};
		\draw (D) node [left] {D};
		\coordinate (O) at (0,1.5);
		\draw (O) node [right] {\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_06_unite.png}};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les réponses proposées par les élèves en cherchant à expliciter leurs réussites et leurs erreurs.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer deux critères qui peuvent être présentés aux élèves pour construire correctement une règle graduée en quarts à l’aide de la bande unité.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant distribue la fiche ci-dessous à chacun de ses élèves de CM2.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
		\def\xY{-8.0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{8};
		\def\yZ{8};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw  [line width=0.1cm] (0,0) -- (0,8);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Puis, il leur distribue l’exercice suivant:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{7cm}|}
			\hline
			Reproduis et complète la figure par symétrie.
			\\
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-7.01};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{0};
				\def\yZ{8};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw  [line width=0.1cm] (0,0) -- (0,8);
				\draw [line width=0.05cm] (-6,3) -- (-5,2) -- (-2,2) -- (-1,3) -- (-3,3) -- (-3,6) -- (-5,3) -- cycle;
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer deux prérequis nécessaires pour réaliser cet exercice.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Identifier une variable didactique dans le choix de la forme proposée (le \og bateau \fg{}) par l’enseignant.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a reproduit, ci-dessous, les travaux de plusieurs élèves. Analyser ces productions en identifiant les réussites et en émettant des hypothèses sur les erreurs.
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{9cm}|}
				\hline
				Farid.
				\\
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
					\def\xY{-7.01};
					\def\yY{0};
					\def\xZ{8.01};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw  [line width=0.1cm] (0,0) -- (0,8);
					\draw [line width=0.05cm] (-6,3) -- (-5,2) -- (-2,2) -- (-1,3) -- (-3,3) -- (-3,6) -- (-5,3) -- cycle;
					\draw [line width=0.05cm] (2,3) -- (3,2) -- (6,2) -- (7,3) -- (5,3) -- (5,6) -- (3,3) -- cycle;
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\begin{tabular}{|m{9cm}|}
				\hline
				Lise.
				\\
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
					\def\xY{-7.01};
					\def\yY{0};
					\def\xZ{8.01};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw  [line width=0.1cm] (0,0) -- (0,8);
					\draw [line width=0.05cm] (-6,3) -- (-5,2) -- (-2,2) -- (-1,3) -- (-3,3) -- (-3,6) -- (-5,3) -- cycle;
					\draw [line width=0.05cm] (2,3) -- (3,2) -- (6,2) -- (7,3) -- (6,3) -- (4,6) -- (4,3) -- cycle;
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\begin{tabular}{|m{9cm}|}
				\hline
				Louanne.
				\\
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
					\def\xY{-7.01};
					\def\yY{0};
					\def\xZ{8.01};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw  [line width=0.1cm] (0,0) -- (0,8);
					\draw [line width=0.05cm] (-6,3) -- (-5,2) -- (-2,2) -- (-1,3) -- (-3,3) -- (-3,6) -- (-5,3) -- cycle;
					\draw [line width=0.05cm] (1,3) -- (2,2) -- (5,2) -- (6,3) -- (5,3) -- (5,6) -- (3,3) -- cycle;
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				\\
				\hline
			\end{tabular}			
			\begin{tabular}{|m{9cm}|}
				\hline
				Baptiste.
				\\
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
					\def\xY{-7.01};
					\def\yY{0};
					\def\xZ{8.01};
					\def\yZ{8};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
					\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw  [line width=0.1cm] (0,0) -- (0,8);
					\draw [line width=0.05cm] (-5,3) -- (-4,2) -- (-2,2) -- (-1,3) -- (-2,3) -- (-2,6) -- (-4,3) -- cycle;
					\draw [line width=0.05cm] (1,3) -- (2,2) -- (4,2) -- (5,3) -- (4,3) -- (2,6) -- (2,3) -- cycle;
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante propose la situation suivante en cycle 2: \og \emph{Pour le carnaval, la directrice d’école a acheté $71$ masques. Il y a $42$ masques de souris, $18$ masques de chats et des masques de chiens. Combien y a-t-il de masques de chiens?}\fg{}
	
	\medskip
	Les productions de $4$ élèves sont reproduites ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Élève A \hfill ~
			\\
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_11_eleve_a.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Élève B \hfill ~
			\\
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_12_eleve_b.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Élève C \hfill ~
			\\
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_13_eleve_c.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Élève D \hfill ~
			\\
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_14_eleve_d.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’appuyant sur l’extrait de la note de service proposé ci-dessous, analyser les propositions d’élèves en termes de réussites et d’échecs pour chacune des compétences \og modéliser \fg{} et \og calculer \fg{}.
		
		\medskip
		\emph{Extrait de la note de service n\degres 2018-052 du 25-4-2018 \og La résolution de problèmes à l’école élémentaire\fg{}.}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{12cm}|}
				\hline
				\textbf{\og Modéliser\fg{} et \og Calculer\fg{} sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l’école élémentaire} qui doivent guider l’action de l’enseignant pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés. En effet, lors de la résolution de problèmes, les principales difficultés rencontrées peuvent relever de:
				
				\begin{itemize}
					\item difficultés à \og modéliser\fg{}: l’élève n’arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l’énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s’appuie pas sur les opérations attendues;
					
					\item difficultés à \og calculer\fg{}: les calculs effectués, mentalement ou en les posant, sont erronés, les erreurs pouvant être dues à une méconnaissance de faits numériques ou à une maîtrise imparfaite des algorithmes de calculs utilisés.
					
				\end{itemize}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici un autre extrait de la note de service n\degres 2018-052 du 25-4-2018 \og La résolution de problèmes à l'école élémentaire\fg{}. Proposer une représentation que l’on peut envisager
		pour aider les élèves à modéliser ce problème.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{12cm}|}
				\hline
				\og La formalisation de ces exemples-types doit être l'occasion \textbf{d'introduire des représentations}, sous forme de schémas bien adaptés, permettant \textbf{la modélisation} des problèmes proposés. Ces représentations sont systématiquement utilisées lors des résolutions de problèmes menées face à la classe, afin de servir de référence aux élèves. Elles ne sont bien sûr jamais rendues obligatoires (en particulier pour les élèves en réussite qui n'en ont pas besoin), mais doivent servir de point d'appui, lors des séances d'enseignement, avec les élèves rencontrant des difficultés lors de la résolution d'un
				problème.\fg{}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En proposant le second problème ci-dessous, quelles erreurs risqueraient de ne pas être détectées?
		
		\emph{\og Pour le carnaval, la directrice d’école a acheté 42 masques de souris et 18 masques de chiens. Combien la directrice achète-t-elle de masques au total?\fg{}}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux pistes de remédiation qui pourraient être mises en œuvre pour l’élève C.
		Expliciter la démarche envisagée.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 4.}

\begin{sujet}
	
	Voici une situation proposée en moyenne section: le train des lapins.
	
	\textbf{Consigne donnée aux élèves:}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{m{14cm}}
			\emph{Regardez bien où est placé le lapin dans le \og train modèle\fg{} situé sur le tableau.}
			
			\emph{Vous allez devoir placer un lapin dans le même wagon sur votre train.}
			
			\emph{Vous pouvez revenir voir le \og train modèle\fg{} si vous le voulez.}
			
			\emph{Ensuite on vérifiera votre réponse en amenant votre train sous le \og train modèle\fg{}.}
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\medskip
	\textbf{Matériel disponible:}
	
	\begin{itemize}
		\item Train \og modèle \fg{} affiché au tableau.
		
		{\hspace*{-1.5cm}\includegraphics[scale=0.45]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_15_train_1.png}}
		
		\item Train vierge donné à chaque élève.
		
		{\hspace*{-1.5cm}\includegraphics[scale=0.45]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_16_train_2.png}}
		
		\item Lapins à découper.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_1_17_lapin.png}
			
		\end{center}
		
	\end{itemize}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel aspect du nombre est travaillé dans cet exercice?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner deux prérequis pour qu’un élève puisse réussir la tâche.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux variations pour simplifier cette situation.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux variations pour complexifier cette situation.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}


\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2021 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Romain et Aya souhaitent étudier quelques caractéristiques d’un terrain de rugby.
	
\end{sujet}


\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	La zone de jeu est un rectangle d’une longueur de $100\ \mathrm{m}$ et d’une largeur de $68 \ \mathrm{m}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire de la zone de jeu.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_{terrain}$ du terrain.}
		
		Puisque le terrain est rectangulaire:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_{terrain} &= 100\ \mathrm{m} \times 68\ \mathrm{m}\\
			&= 100 \times 68 \ \mathrm{m}\cdot\mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_{terrain}= \np{6800}\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la longueur de la diagonale de la zone de jeu. Donner la valeur exacte et vérifier qu’elle mesure environ $121\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la longueur de la diagonale du terrain.}
		
		Notons $ABCD$ le rectangle formé par le terrain.
		
		Le triangle $ABD$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore, nous avons \[ AB^2+AD^2=BD^2. \]
		
		Nous en déduisons successivement
		
		\begin{align*}
			BD^2 &= 100^2+68^2\\
			&= 14624\\
			\intertext{$BD$ étant une longueur c'est un nombre positif donc:}
			BD &= \sqrt{14624}
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$BD=4\sqrt{914}\ \mathrm{m}$
			
			$BD\approx 121\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Aya parcourt la diagonale de la zone de jeu en $18$ secondes. Calculer sa vitesse moyenne en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$, donner l’arrondi au centième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la vitesse moyenne $v$.}
		
		\begin{align*}
			v &\approx \frac{121\ \mathrm{m}}{18\ \mathrm{s}}\\
			&\approx \frac{121}{18}\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\\
			&\approx 6,722\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$v \approx 6,72\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Court-elle à une vitesse moyenne supérieure à $30\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Convertissons la vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$.}
		
		\begin{align*}
			v &\approx 6,72\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\\
			&\approx 6,72 \ \frac{\frac{1}{1000}\ \mathrm{m}}{\frac{1}{3600}\ \mathrm{h}}\\
			&\approx 6,72  \times \frac{\frac{1}{1000}}{\frac{1}{3600}}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\
			&\approx 6,72 \times \frac{3600}{1000}\ \mathrm{km}/\mathrm{h}\\
			&\approx 24,192\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Elle ne court pas à plus de $30\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La championne Elaine Thompson parcourt $100\ \mathrm{m}$ en $10,93\ \mathrm{s}$.
		
		En courant avec la même vitesse moyenne, combien de temps, en seconde, aurait mis Elaine Thompson pour parcourir la même diagonale? Arrondir au dixième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le temps $t_{Thompson}$ que mettrait la championne pour parcourir la diagonale.}
		
		Puisque la diagonale mesure $121\ \mathrm{m}$ et que la vitesse de la championne est $\frac{100\ \mathrm{m}}{10,93\ \mathrm{s}}$ nous en déduisons 
		
		\begin{align*}
			t_{Thompson} &= \frac{121\ \mathrm{m}}{\frac{100\ \mathrm{m}}{10,93\ \mathrm{s}}}\\
			&= \frac{\frac{121\ \mathrm{m}}{\color{orange}1}}{\frac{100\ \mathrm{m}}{10,93\ \mathrm{s}}}\\
			&= \frac{121\ \mathrm{m}}{\color{orange}1} \times \frac{10,93\ \mathrm{s}}{100\ \mathrm{m}}\\
			&= \frac{121\ \mathrm{m} \times 10,93\ \mathrm{s}}{{\color{orange}1} \times 100\ \mathrm{m}}\\
			&= \frac{121 \times 10,93}{100} \ \mathrm{s}\\
			&= 13,2253
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La diagonale aurait parcourue en $13,2\ \mathrm{s}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Aya souhaiterait connaître la hauteur des poteaux de but représentés ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_01_poteau.png}};
		\coordinate (poteau) at (1.5,2);
		\draw node (A) at (poteau) {poteau};
		\coordinate (barre) at (3,0.6);
		\draw node (B) at (barre) {barre transversale};
		\draw [>=latex,->] (A) -- (0.6,0.8);
		\draw [>=latex,->] (B) -- (0,-0.4);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Pour ce faire, elle se place en un point $T$, de telle sorte que l’extrémité $S$ de son ombre $[TS]$ coïncide avec celle de l’ombre $[PS]$ d’un des poteaux. Elle trace le schéma ci-dessous à main levée.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.5]
		\def\AT{1.74};
		\def\PT{9.51};
		\def\TS{2.78};
		\def\xP{0};
		\def\yP{0};
		\coordinate (P) at ({\xP},{\yP});
		\draw (P) node{$+$};
		\draw (P) node[below left]{$P$};
		\coordinate (T) at ({\xP+\PT},{\yP});
		\draw (T) node{$+$};
		\draw (T) node[below]{$T$};
		\coordinate (S) at ({\xP+\PT+\TS},{\yP});
		\draw (S) node{$+$};
		\draw (S) node[below right]{$S$};
		\coordinate (A) at ({\xP+\PT},{\yP+\AT});
		\draw (A) node{$+$};
		\draw (A) node[above right]{$A$};
		\coordinate (H) at ({\xP},{\yP+\AT*(\PT+\TS)/\TS});
		\draw (H) node{$+$};
		\draw (H) node[left]{$H$};
		\draw (P) -- (S) -- (H) -- cycle;
		\draw (T) -- (A);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}	
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Aya, représentée par le segment $[AT]$, mesure $1,74\ \mathrm{m}$; on a $AT = 1,74\ \mathrm{m}$.
		
		\item Aya est placée à $9,51 \ \mathrm{m}$ du poteau représenté par le segment $[PH]$; on a $PT = 9,51\ \mathrm{m}$.
		
		\item L’ombre d’Aya mesure $2,78\ \mathrm{m}$; on a
		$TS = 2,78\ \mathrm{m}$.
		
		\item L’ombre du poteau est représentée par le segment $[PS]$.
		
		\item On considère que les poteaux et Aya sont orthogonaux au sol.
		
	\end{enumerate}
	
	Déterminer la hauteur HP du poteau. Arrondir le résultat au dixième de mètre.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons $PH$.}
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} $S$, $T$ et $P$ d'une part, $S$, $A$ et $H$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.
		
		\item {\color{orange}Hypothèse pour la forme directe du théorème.} Puisque $(PH)\perp (PS)$ et $(TA) \perp (PS)$ nous en déduisons $(PH) \parallel (TA)$.
		
	\end{enumerate}
	
	Des points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{AT}{HP} = \frac{TS}{PS}.\]
	
	Nous en déduisons successivement (toutes les longueurs étant exprimées en mètres):
	
	\begin{align*}
		\frac{1,74}{HP} &= \frac{2,78}{PT+TS}\\
		\frac{1,74}{HP} &= \frac{2,78}{9,51+2,78}\\
		\frac{1,74}{HP} {\color{orange}\times HP}&= \frac{2,78}{9,51+2,78} {\color{orange}\times HP}\\
		1,74 &= \frac{2,78}{9,51+2,78} \times HP\\
		{\color{orange}\frac{12,29}{2,78} \times} 1,74 &= {\color{orange}\frac{12,29}{2,78} \times} \frac{2,78}{12,29} \times HP\\
		\frac{12,29}{2,78} \times 1,74 &=  HP\\
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		$HP \approx 7,7\ \mathrm{m}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	Romain veut frapper du pied dans le ballon pour le faire passer au-dessus de la barre transversale et entre les poteaux de but. On suppose que le ballon se déplace dans un plan orthogonal au plan du but.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		~
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.17]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_02_transformation.png}
		\end{center}
		
		Au moment du coup de pied, le ballon se trouve au sol, au point $O$, face aux poteaux à une distance de $40\ \mathrm{m}$ de la ligne de but.
		
		Romain tape trois coups de pied différents illustrés par les trajectoires de ballon données ci-dessous.
		
		Le ballon se déplace dans un plan orthogonal au plan des buts.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{9cm}}
				\hfill Coup de pied A.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_03_coup_de_pied_a.png}};
				\draw (-3,2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.1,-1.8) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{10cm}}
				\hfill Coup de pied B.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_04_coup_de_pied_b.png}};
				\draw (-3,2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.4,-1.8) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{11cm}}
				\hfill Coup de pied C.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_05_coup_de_pied_c.png}};
				\draw (-3,2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.7,-1.9) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Quel(s) coup(s) de pied permet(tent) à Romain de faire passer le ballon au-dessus de la barre transversale? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour que le ballon passe au-dessus de la barre transversale il faut qu'il soit à plus de $3\ \mathrm{m}$ de haut lorsqu'il a parcouru $40\ \mathrm{m}$ au sol.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{9cm}}
				\hfill Coup de pied A.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_03_coup_de_pied_a.png}};
				\draw (-3,2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.1,-1.8) node{\footnotesize Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] (2.88,-1.3) -- (2.88,-0.9) -- (-3.7,-0.9) node[left] {$2$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{10cm}}
				\hfill Coup de pied B.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_04_coup_de_pied_b.png}};
				\draw (-3.3,2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.4,-1.8) node{\footnotesize Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] (2.6,-1.3) -- (2.6,-1.3) -- (-4,-1.3) node[left] {$0$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{11cm}}
				\hfill Coup de pied C.\hfill~
				\\
				\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_05_coup_de_pied_c.png}};
				\draw (-3,7.2) node{\footnotesize Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (3.7,-1.9) node{\footnotesize Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] (2.03,-1.4) -- (2.03,0.35) -- (-4.6,0.35) node[left] {$8$};
				\end{tikzpicture}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Seul le coup de pied C permet de faire passer le ballon au-dessus de la barre transversale.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Romain se trouve maintenant à une distance de 55 m face au but.
		Il tente un coup de pied illustré par la trajectoire de ballon donnée ci-dessous.
		
		\medskip
		{\hspace*{-1cm}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=0.18]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{67};
			\def\yZ{27.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {5, 10,...,65}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {5,10,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:61] plot(\x,{-0.02*\x*\x+1.22*\x});
			\draw (5,30) node{Hauteur en $\mathrm{m}$};
			\draw (60,-3) node{Distance en $\mathrm{m}$};
			\end{tikzpicture}
		}
		
		\medskip
		Répondre aux questions suivantes par lecture graphique:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Romain a-t-il réussi à faire passer le ballon au-dessus de la barre transversale? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=0.18]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{67};
				\def\yZ{27.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,65}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:61] plot(\x,{-0.02*\x*\x+1.22*\x});
				\draw (5,30) node{Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (60,-3) node{Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] (55,{0}) -- (55,{-0.02*55*55+1.22*55}) -- (0,{-0.02*55*55+1.22*55});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			Le ballon franchit la ligne de la barre transversale à plus de $6\ \mathrm{m}$ donc très au-delà des $3\ \mathrm{m}$ de hauteur de la barre transversale.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il a réussi à faire passer le ballon au-dessus de la barre transversale.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À quelle hauteur maximale le ballon s’est-il élevé?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=0.18]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{67};
				\def\yZ{27.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,65}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:61] plot(\x,{-0.02*\x*\x+1.22*\x});
				\draw (5,30) node{Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (60,-3) node{Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] (30.5,{0}) -- (30.5,{18.605}) -- (0,{18.605});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le ballon a atteint une hauteur maximale de $18,5\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À quelle distance, derrière la ligne de but, le ballon est-il retombé à terre? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Dire que le ballon retombera au sol c'est dire que sa hauteur sera de $0\ \mathrm{m}$.
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.18,yscale=0.18]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{67};
				\def\yZ{27.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.01cm,gray!40!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!60!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,65}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:61] plot(\x,{-0.02*\x*\x+1.22*\x});
				\draw (5,30) node{Hauteur en $\mathrm{m}$};
				\draw (60,-3) node{Distance en $\mathrm{m}$};
				\draw [red, dashed, very thick] ({1.22/0.02},{0}) -- ({1.22/0.02},{0}) -- (0,{0});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			Le ballon est retombé à $61\ \mathrm{m}$ du lanceur or la ligne de but est à $55\ \mathrm{m}$ du lanceur donc
			
			\begin{conclusion}
				
				le ballon est retombé $6\ \mathrm{m}$ derrière la ligne de but.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Pour la suite du problème, on admet que le ballon suit la trajectoire donnée par la courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=-0,02x^2+1,22x$ représente la hauteur du ballon en mètre pour une longueur au sol $x$ en mètre.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Romain étudie cette fonction $f$ grâce à une feuille de calcul d’un tableur; voici un extrait du	travail obtenu:
		
		\medskip	
		{\hspace*{-1cm}
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_06_feuille_de_calcul.png}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule a-t-il entrée dans la cellule $\texttt{B}2$ puis étirée pour compléter ce tableau?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La formule de calcul entrée en $\texttt{B}2$ est:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=-0,02*\texttt{B}1\wedge 2+1,22*\texttt{B}1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle valeur devrait-il obtenir dans la cellule $\texttt{F}2$? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le contenu de $\texttt{F}2$.}
			
			\begin{align*}
				f(25) &= -0,02 \times 25^2 +1,22 \times 25\\
				&= 18
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La valeur affichée en $\texttt{F}2$ devrait être $18$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle cellule permet de confirmer que le ballon est bien passé au-dessus de la barre transversale? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{conclusion}
			
			La cellule $\texttt{H}2$ permet de confirmer que le ballon passe au-dessus de la barre transversale.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Utiliser l'expression algébrique de la fonction $f$ pour déterminer à quelle distance derrière la ligne de but le ballon est retombé à terre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le ballon retombera lorsque sa hauteur sera de $0\ \mathrm{m}$. Autrement dit lorsque $f(x)=0$.}
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons $(E):\ -0,02x^2+1,22=0$.}
		
		{\color{WildStrawberry}Il s'agit de résoudre une équation qui n'est pas linéaire. A priori la première chose à tenter est de se ramener à une équation produit-nul et donc éventuellement factoriser.}
		
		\begin{align*}
			(E) &\Leftrightarrow -0,02x^2+1,2xx=0\\
			&\Leftrightarrow -0,02x {\color{orange}\times x}+1,22{\color{orange}x} =0\\
			&\Leftrightarrow (-0,02x+1,22){\color{orange}\times x}\\
			&\Leftrightarrow -0,02x+1,22=0\ \text{ou}\ x=0\\
			&\Leftrightarrow -0,02x+1,22{\color{orange}-1,22}=0 {\color{orange}-1,22}\ \text{ou}\ x=0\\
			&\Leftrightarrow -0,02x=-1,22 \ \text{ou}\ x=0\\
			&\Leftrightarrow \frac{-0,02x}{\color{orange}-0,02}=\frac{-1,22}{\color{orange}-0,02} \ \text{ou}\ x=0\\
			&\Leftrightarrow x=61\ \text{ou}\ x=0
		\end{align*}
		
		Le cas $x=0$ correspond au point de départ du ballon donc la seule solution qui convienne est $x=61$. Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			le ballon retombera $6\ \mathrm{m}$ derrière la ligne de but.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	La figure ci-dessous représente une vue en perspective d’un silo de stockage.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_07_silo.png}
		
	\end{center}
	
	Le silo est composé de deux parties:
	\begin{itemize}
		\item la partie supérieure est un parallélépipède rectangle de volume $V_1$;
		
		\item la partie inférieure est une pyramide tronquée d’une hauteur de $1,2\ \mathrm{m}$ et de volume $V_2= 2\ \mathrm{m}^3$.
		
	\end{itemize}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que le volume total $V_T$ du silo est de $12,26\ \mathrm{m}^3$, calculer la hauteur du parallélépipède rectangle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la hauteur $h_1$ du parallélépipède rectangle.}
		
		D'une part:
		
		\begin{align*}
			V_1 &= V_T-V_2\\
			&= 12,26\ \mathrm{m}^3-2\ \mathrm{m}^3\\
			&= 10,26\ \mathrm{m}^3\  {\color{blue}(1)}
		\end{align*}
		
		et d'autre part, en utilisant la formule du volume d'un pavé droit:
		
		\begin{align*}
			V_1 &= h_1 \times \ell \times L\\
			&= h_1 \times 1,5\ \mathrm{m} \times 1,8\ \mathrm{}\\
			&= h_1 \times 2,7\ \mathrm{m}^2\  {\color{blue}(2)}
		\end{align*}
		
		De  ${\color{blue}(1)}$ et  ${\color{blue}(2)}$ nous déduisons par transitivité:
		
		\begin{align*}
			10,26\ \mathrm{m}^3 &= h_1 \times 2,7\ \mathrm{m}^2\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{10,26\ \mathrm{m}^3}{\color{orange}2,7\ \mathrm{m}^2} &= \frac{h_1 \times 2,7\ \mathrm{m}^2}{\color{orange}2,7\ \mathrm{m}^2}\\
			\frac{10,26}{2,7}\ \mathrm{m} &= h_1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$h_1=3,8\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire la hauteur totale du silo.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la hauteur $h_T$ du silo.}
		
		Puisque la hauteur de la pyramide est $1,2\ \mathrm{m}$ la hauteur du silo est
		
		\begin{align*}
			h_T &= 1,2\ \mathrm{m} + h_1\\
			&= 1,2\ \mathrm{m} +3,8\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$h_1=5\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour un même volume et une même hauteur, quel serait le diamètre d’un silo cylindrique?
		
		Arrondir au dixième de $\mathrm{m}$.
		
		\emph{On rappelle que le volume d’un cylindre dont l’aire de la base est $B$ et de hauteur $h$ est égal
			à $B \times h$.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $r$ le rayon d'un cylindre de hauteur $5\ \mathrm{m}$ et de volume $12,26\ \mathrm{m}^3$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $r$.}
		
		Nous avons donc
		
		\begin{align*}
			12,26\ \mathrm{m}^3 &= \pi \times r^2 \times 5\ \mathrm{m}^2\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{12,26\ \mathrm{m}^3}{\color{orange}\pi \times 5\ \mathrm{m}} &= \frac{\pi \times r^2 \times 5\ \mathrm{m}}{\color{orange}\pi \times 5\ \mathrm{m}}\\
			\frac{12,26}{\pi \times 5}\ \mathrm{m}^2 &= r^2\\
			\intertext{Puisque $r$ représente une longueur c'est un nombre positif:}
			\sqrt{\frac{12,26}{5\pi}}\ \mathrm{m} &= r
			\intertext{Ainsi en tronquant:}
			r &\approx 0,883456\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le diamètre du silo cylindrique serait de $1,8\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	La cheffe d’une entreprise a commandé à son gestionnaire une étude sur les salaires de ses
	employés pour l’année 2020.
	L’entreprise est installée sur deux sites:
	
	\begin{itemize}
		
		\item le site de Toulouse où travaillent $19$ employés;
		
		\item le site de Montauban où travaillent $12$ employés.
		
	\end{itemize}
	
	La répartition des salaires nets des employés du site de Toulouse est représentée par le diagramme en barres ci-dessous, les salaires étant rangés dans l’ordre croissant.
	
	Une tasse de café est renversée sur le document réalisé par le gestionnaire et une tache vient masquer certaines informations concernant le site de Toulouse.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\draw (0,0) node{\begin{tabular}{m{8cm}}
			\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_08_salaires_1.png}
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_09_salaires_2.png}
			\end{center}
			\end{tabular}};	
		\fill[color=Brown , opacity=1] (2.3,-2.15) -- (3,-2.2) -- (3.7,-2.15) -- (3.7,-1.6) -- (3.1,-1.7) -- (2.8,-1.8) -- (2.3,-1.9)
		-- cycle;
		\end{tikzpicture}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Informations sur les salaires à
			\\
			\textbf{Montauban} en 2020:
			\\
			\\
			Salaire moyen: 1520 \euro
			\\
			12 employés
			\\
			Salaire maximum: 2300 \euro
			\\
			Salaire minimum : 1410 \euro
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La cheffe d’entreprise affirme que plus de $40\ \%$ des personnes travaillant à Toulouse gagnent plus de $2000\ \text{\euro}$. Est-ce vrai? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après le graphique $4+3+1=8$ personne travaillent à Toulouse.
		
		Puisqu'il y a $19$ employés à Toulouse cela représente une proportion, exprimée en pourcentage, de \[ \frac{8}{19} \times 100\approx 42,11. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation du chef est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur le site de Toulouse, l’étendue des salaires est égale à $1890\ \text{\euro}$ et le salaire moyen est de $1935\ \text{euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur du plus haut salaire de Toulouse.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			L'étendue est définie par: $e=max-min$.
			
			Donc ici: 
			
			\begin{align*}
				1890 &= max-1410
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				1890 {\color{orange}+1410} &= max-1410 {\color{orange}+1410}\\
				3300 &= max
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le salaire maximal dans l'entreprise est de $\np{3000}\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur des salaires correspondant à l’avant-dernière barre du graphique présentant la répartition des salaires à Toulouse en 2020.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le salaire $x$ correspondant à l'avant dernière barre du graphique.}
			
			Le salaire moyen à Toulouse est:
			
			\medskip
			{\hspace*{-1.5cm}$\displaystyle 1935 = \frac{2 \times 1410 + 4 \times 1590 + +3 \times 1760 + 2 \times 1920 +4 \times 2100 + 3 \times x +1 \times 3300}{2+4+4+3+1}$.}
			
			\begin{align*}
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				1935 &= \frac{3x+300000}{19}\\
				1935 {\color{orange}\times 19} &=  \frac{3x+30000}{19}{\color{orange}\times 19}\\
				36765 &= 3x+30000\\
				36765 {\color{violet}-30000} &= 3x+30000 {\color{violet}-30000}\\
				6765 &= 3x\\
				\frac{6765}{\color{Green}3} &= \frac{3x}{\color{Green}3}\\
				2255 &= x
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le salaire recherché est de $2255\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le salaire médian des employés de Toulouse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le salaire médian à Toulouse.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Les salaires dans le diagramme en barres sont déjà dans l'ordre croissant.
			
			\item Il y a $19$ employés et $\frac{19}{2}=9,5$ donc le salaire médian est le dixième salaire.
			
			\item Or, en cumulant les effectifs, $2+4+3=9$ et $2+4+3+2=11$ donc $Me=1920$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			le salaire médian à Toulouse est de $1920\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le salaire moyen en 2020 de l’ensemble du personnel de cette entreprise. Arrondir à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le salaire moyen $\overline{x}$ dans l'entreprise.}
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{19 \times 1935+12 \times 1520}{19+12}\\
			&\approx 1774,354\ \text{en tronquant.}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le salaire moyen est de $\np{1774}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En 2021, la cheffe d’entreprise souhaiterait octroyer une augmentation de $10\ \%$ à tous les employés travaillant à Montauban.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel sera alors le montant du salaire minimum à Montauban en 2021?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le salaire minimal $m'$ après augmentation.}
			
			Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $10\ \%$ est: $CM=1+\frac{10}{100}=1,1$.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				m' &= 1,1 \times 1410
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$m'=1551$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			De quel pourcentage aurait-il fallu augmenter les salaires de Montauban pour que le salaire moyen soit le même sur les deux sites? Justifier. On donnera le résultat arrondi au dixième d’unité de pourcentage.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le coefficient multiplicateur, $CM_1$, qu'il faut appliquer aux salaires de Montauban pour que les salaires moyens soient les mêmes sur les deux sites.}
			
			
			\begin{align*}
				CM_1 &= \frac{V_A}{V_D}\\
				&= \frac{1935}{1520}\\
				&\approx 1,27302\ \text{en tronquant.}
			\end{align*}
			
			Par linéarité de la moyenne {\color{orange}(autrement dit l'augmentation appliquée à chaque salaire se traduit par la même augmentation appliquée à la moyenne des salaires)} il faut que le salaire soit multiplié par $1,2730$.
			
			Le taux d'évolution correspondant à ce coefficient multiplicateur est 
			
			\begin{align*}
				t_1 &\approx  100 \times (CM_1-1)\\
				&= 100 \times (1,2730-1)\\
				&\approx 27,30
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				il aurait fallut une augmentation de $27,3\ \%$.
				
			\end{conclusion}	
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	On veut réaliser des dessins constitués de la répétition de motifs décrits dans les blocs de programme suivants.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Bloc A \hfill~
			\\
			\begin{scratch}
				\initmoreblocks{définir{\namemoreblocks{Bloc A}}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{5} fois}
				{
					\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
					\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{72} degrés}
				}
			\end{scratch}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Bloc B \hfill~
			\\
			\begin{scratch}
				\initmoreblocks{définir{\namemoreblocks{Bloc B}}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{3} fois}
				{
					\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
					\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
				}
			\end{scratch}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Bloc C \hfill~
			\\
			\begin{scratch}
				\initmoreblocks{définir{\namemoreblocks{Bloc C}}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
				{
					\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
					\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
				}
			\end{scratch}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Ces blocs ont permis de construire les trois figures ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\hfill Dessin 1 \hfill~
				\\
				\includegraphics[scale=0.65]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_10_dessin_scratch_1.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\hfill Dessin 2\hfill~
				\\
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_11_dessin_scratch_2.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\hfill Dessin 3 \hfill~
				\\
				
				\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_12_dessin_scratch_3.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Pour chacun des blocs A, B et C, donner le numéro de la figure correspondant.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le nombre de répétition correspond au nombre de côtés du polygone.}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le bloc A trace le dessin 2.
			
			Le bloc B trace le dessin 1.
			
			Le bloc C trace le dessin 3.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Recopier et modifier le bloc A pour obtenir un hexagone régulier dont les côtés mesurent $50$ pixels.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Il faudra $6$ segments et comme on peut le remarquer sur les précédents l'angle est $360\degres$ divisé par le  nombre de côtés.}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\hfill Bloc A modifié \hfill~
				\\
				\begin{scratch}
					\initmoreblocks{définir{\namemoreblocks{Bloc A}}}
					\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
					{
						\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
						\blockmove{tourner \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
					}
				\end{scratch}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour réaliser une figure plus complexe, on utilise le programme ci-dessous où le \og Bloc A\fg{} représente un motif.
		
		\begin{center}
			\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_2_14_programme_scratch.sb3}{\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_13_programme_scratch.png}}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Cliquez sur le programme ci-dessus pour le télécharger.
		
	\end{correction}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle transformation géométrique permet de passer d’un motif au suivant? Préciser les éléments caractéristiques.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Lors du tracé du pentagone avec le Bloc A, le lutin part du point de coordonnées $(0;0)$ puis y retourne. Ainsi tous les pentagones commencent à partir de l'origine. Comme chaque tracé est suivi d'une rotation de $60\degres$ nous pouvons conclure:
			
			\begin{conclusion}
				
				On passe d'un motif au suivant par une rotation de centre le point de coordonnées $(0;0)$ et d'angle $60\degres$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Combien de motifs \og Bloc A \fg{} composent cette figure?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$6 \times 60=360$ donc à la fin du dessin du sixième motif on revient en position de départ.
			
			\begin{conclusion}
				
				Cette figure est composée de $6$ motifs.
				
			\end{conclusion}
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_15_dessin_scratch.png}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On entre le script donné ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_2_17_programme_scratch.sb3}{\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_16_programme_scratch.png}}
		\end{center}
		
		Dessiner la figure obtenue en choisissant comme échelle $1\ \mathrm{cm}$ pour $20$ pixels.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Cliquez sur le programme ci-dessus pour le télécharger.
		
	\end{correction}
	
	\begin{correction}
		
		Voici la figure obtenue (ici dessinée encore à la moitié de ce qui était demandée, mais les longueurs indiquées sont celles attendues).
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\draw (0,0) -- (15,0) -- (15,2.5) -- (0,2.5) -- cycle;
			\foreach \x in {1,2,3,4,5} \draw ({\x*2.5},0) -- ({\x*2.5},2.5);
			\draw [>=latex, <->] (0,-0.5) -- (2.5,-0.5) node[midway, below] {$2,5\ \mathrm{cm}$};
			\draw [>=latex, <->] (-0.5,0) -- (-0.5,2.5) node[midway, left] {$2,5\ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\medskip
		Avec le logiciel on obtient:
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_18_dessin_scratch.png}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations suivantes indiquer, en le justifiant, si elle est vraie ou fausse.
	
	\emph{Une réponse correcte sans justification ne rapporte aucun point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On lance trois fois une pièce non truquée. On obtient trois fois pile.
		
		\textbf{Affirmation 1}: \og La probabilité d’obtenir face au quatrième lancer est $0,5$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les différents lancers sont indépendants les uns des autres. Le résultat du quatrième lancer ne dépend pas des résultats des ris précédents.
		
		Ainsi il s'agit d'un lancer de pile ou face avec une pièce équilibrée et la probabilité d'obtenir face est donc $\frac{1}{2}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On dispose de deux urnes. Dans chacune d’entre elles, il y a trois boules rouges et une boule verte; ces boules sont indiscernables au toucher. On tire une boule dans une urne et une boule dans une autre.
		
		\textbf{Affirmation 2}:\og La probabilité d’obtenir deux boules vertes est $\displaystyle \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$ soit $\displaystyle \frac{1}{2}$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les deux tirages sont indépendants l'un de l'autre si bien que nous pouvons considérer les tirages comme successifs.
		
		Schématisons la situation par un arbre pondéré probabiliste.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{4};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$V$/$\frac{1}{4}$/\posA,
				nA2/A2/2/$\overline{V}$/$\frac{3}{4}$/\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$V$/$\frac{1}{4}$/\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$\overline{V}$/$\frac{3}{4}$/\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$V$/$\frac{1}{4}$/\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$\overline{V}$/$\frac{3}{4}$/\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		D'après le principe multiplicatif (ou la formule des probabilités composées):
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P} (VV) &= \frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\\
			&= \frac{1}{16}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de $1$ à $6$ et on fait la somme des nombres obtenus sur les faces supérieures.
		
		\textbf{Affirmation 3}: \og La probabilité d’obtenir $3$ est égale à celle d’obtenir $2$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Schématisons le lancer avec un tableau double entrée que nous remplirons des sommes des chiffres affichés par les deux dés.}
		
		Pour Arthur:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$2$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$5$ & \cellcolor{red!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & \cellcolor{orange!60}$2$ & \cellcolor{cyan!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & \cellcolor{cyan!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		$\Omega$ est l'ensemble des couples de chiffres obtenus (en distinguant toutes les faces par un coloriage par exemple).
		
		Les dés étant équilibrés il est raisonnable de faire l'hypothèse que chaque couple de faces représenté par une case du tableau à la même probabilité qu'un autre couple. Il y a équiprobabilité entre les couples. L'univers comporte $36$ issues.
		
		\medskip
		Notons $A_2$ (resp. $A_3$) l'événement \og obtenir $2$ \fg{} (resp. \og obtenir $3$ \fg{}).
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A_2)$ (resp. $\mathbb{P}(A_3)$).}
		
		I y a équiprobabilité entre les couples. $A_2$ (resp. $A_3$) est réalisé par $1$ (resp. $2$) issues. L'univers comporte $36$ issues. Nous en déduisons: \[ \mathbb{P}(A_2)= \frac{1}{36} \quad \text{et} \quad \mathbb{P}(A_3)= \frac{2}{36}. \]
		
		Donc: $\mathbb{P}(A_2) < \mathbb{P}(A_3)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est constituée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Une professeure de CE1 demande à ses élèves d’effectuer les calculs suivants sans poser les opérations.
	
	\[ 38+5 \quad 15+9+15+11 \quad 32+49. \]
	
	Voici les productions de $3$ élèves relevées par la professeure:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Élève 1\hfill~
			\\
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_19_eleve_1.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Élève 2\hfill~
			\\
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_20_eleve_2.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\hfill Élève 3\hfill~
			\\
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_21_eleve_3.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser chacune des procédures mises en œuvre par les élèves 1, 2 et 3 en mettant en avant les connaissances qu’elles nécessitent.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux autres procédures que la professeure pourrait enseigner aux élèves pour calculer $32 + 49$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de CM2 propose les exercices suivants.
	
	\medskip
	{\hspace*{-0.75cm}
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_22_robot_1.png}
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_23_robot_2.png}
		\end{minipage}
	}		
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la principale notion travaillée dans cet exercice?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser la réponse de l’élève à la première question en précisant la propriété mathématique utilisée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser la réponse de l’élève à la seconde question en précisant la propriété mathématique utilisée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une autre procédure que les élèves de CM2 pourraient utiliser pour répondre à cette seconde question, en précisant la propriété mathématique utilisée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un enseignant de CM2 propose l’énoncé suivant:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Un robot parcourt $75\ \mathrm{cm}$ en $5$ pas. Quelle distance parcourt-il en $3$ pas?
				\\
				\hline				
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier le choix des nombres de cet énoncé et la procédure que l’enseignant souhaite ainsi encourager.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant souhaite que cet exercice serve de référence pour la classe. Il envisage de rédiger la correction qui sera affichée dans la classe. Faire une proposition du contenu de cette affiche.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de CM2 travaille avec ses élèves sur la comparaison des nombres décimaux.
	
	Ces derniers doivent entourer le nombre qu’ils estiment le plus grand en justifiant leur choix.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici les réponses de Rose et Ethan concernant la comparaison de $3,12$ et $5,2$.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Ethan
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_24_ethan.png}
			
			\item Rose
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_25_rose.png}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser la procédure utilisée par Ethan.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En quoi un travail de remédiation utilisant la droite graduée pourrait permettre à Ethan de s’approprier une procédure plus efficace?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser la procédure utilisée par Rose.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer deux autres paires de nombres permettant de vérifier que Rose maîtrise la
			compétence \og comparer deux nombres décimaux \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici les réponses de Louisa, Nolan et Loane concernant la comparaison de $13,01$ et $13,001$.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Louisa
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_26_louisa.png}
			
			\item Nolan
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_27_nolan.png}
			
			\item Loane
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_2_28_loane.png}
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En s’appuyant sur la justification donnée, analyser l’erreur de Louisa.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En s’appuyant sur la justification donnée, analyser l’erreur de Nolan.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant souhaite aider Loane à reformuler son explication. Proposer une reformulation attendue.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner deux représentations erronées que peut avoir un élève de CM2 pour la comparaison des nombres décimaux.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2021 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
		\medskip
		{\color{red}Merci à Mme Bobinec, M. Chandelier, Céline, Mme Monjole, Mme Duplessy pour la relecture et les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Suite à des problèmes récurrents d’alimentation en eau pour un des hameaux de sa commune, le maire projette de faire construire un château d’eau.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: choix du château d’eau.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Afin de faire un choix esthétique parmi trois modèles proposés, le maire décide de consulter ses concitoyens. Chaque foyer peut voter une fois, tous les foyers ont voté.
		
		Voici les résultats de la consultation:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				Types de château d’eau & Modèle A & Modèle B & Modèle C
				\\
				\hline
				Nombre de foyers & $12$ & $60$ & $18$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Calculer la proportion, en pourcentage, de voix recueillies parmi les foyers de ce hameau pour chacun des trois modèles proposés. Les pourcentages seront arrondis à l’unité de pourcentage.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons les proportions de voix.}
		
		Notons $p_A$ la proportion de voix recueillies par le modèle A.
		
		{\color{WildStrawberry}Pour une proportion l'idée est de faire $\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$.}
		
		En notant $E$ l'ensemble des habitants du hameau et $A$ l'ensemble de ceux qui ont choisi le modèle A nous avons:
		
		\begin{align*}
			p_A &= \frac{|A|}{|E|}\\
			\intertext{\color{WildStrawberry}en notant $|A|$ le cardinal de l'ensemble $A$, c'est-à-dire le nombre de personne ayant fait le choix du modèle A.}
			p_A &= \frac{12}{12+60+18}\\
			&= \frac{2}{15}\\
			&= 0,1333\dots\\
			&\approx 13 \ \%
		\end{align*}
		
		En procédant de même pour les deux autres modèles:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				Types de château d’eau & Modèle A & Modèle B & Modèle C
				\\
				\hline
				Proportion & $13\ \%$ & $67\ \%$ & $20\ \%$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour sélectionner le réservoir au volume le plus adapté, le maire décide d’étudier la consommation annuelle d'eau des foyers du hameau et observe qu’en 2019 elle était égale
		à $\np{10 500}\ \mathrm{m}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la consommation moyenne annuelle d’eau par foyer est d’environ $116,67\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la consommation moyenne $\overline{x}$.}
			
			{\color{WildStrawberry}La moyenne peut être obtenue par diverses formules. Ici il s'agit simplement de partager équitablement la consommation totale entre chaque foyer.}
			
			\begin{align*}
				\overline{x} &= \frac{\np{10500}\ \mathrm{m}^3}{12+60+18}\\
				&= \frac{350}{3}\ \mathrm{m}^3\\
				&= 116,666\dots\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\overline{x} \approx 116,67\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant qu’un lotissement de $17$ logements va être bientôt terminé, le maire décide d’intégrer ces logements à son étude en attribuant à chacun d’entre eux la consommation annuelle d’eau moyenne par foyer du hameau.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la consommation annuelle estimée du hameau intégrant les nouveaux logements. On donnera le résultat en mètre cube, arrondi à l’unité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la consommation annuelle estimée du hameau $C_{ae}$.}
			
			Chacun des $17$ nouveaux foyers consommera $116,67\ \mathrm{m}^3$. La consommation de ces $17$ nouveaux foyers sera de 
			
			\begin{align*}
				17 \times 116,67\ \mathrm{m}^3 &= 1983,39\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			Donc en prennant en compte tout le hameau:
			
			\begin{align*}
				C_{ae} &= \np{10500}\ \mathrm{m}^3 + 1983,39\ \mathrm{m}^3\\
				&= \np{12483,39}\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$C_{ae}\approx \np{12483}\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Suite à son enquête et aux conseils d’un bureau d’étude, le maire souhaite choisir un réservoir pouvant contenir au minimum la consommation moyenne de $5$ jours du hameau
		intégrant les nouveaux logements.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la consommation moyenne en $5$ jours de l’ensemble des foyers du hameau intégrant les nouveaux logements.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la consommation moyenne en $5$ jours $C_{5}$.}
			
			{\color{WildStrawberry}On fait implicitement l'hypothèse que la consommation quotidienne est toujours la même ce qui nous permet de répondre à la question par proportionnalité. De plus nous ferons l'hypothèse simplificatrice d'une année à $365$ jours plutôt qu'à $365,25$ jours.}
			
			\medskip
			Par proportionnalité:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|}
					\hline
					Jours & $365$ & $5$
					\\
					\hline
					Consommation ($\mathrm{m}^3$) & $\np{12483,39}$ & $171,01$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$C_5 \approx 171,01\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Une entreprise propose de construire un réservoir ayant la forme d’une sphère de $7$ mètres de diamètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\setcounter{enumii}{1}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le volume de ce réservoir. On donnera l’arrondi du volume au mètre cube.
			
			On rappelle que le volume $V$ d'une boule de rayon $r$ est donné par $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $V_s$ de la sphère.}
			
			D'après la formule de l'énoncé:
			
			\begin{align*}
				V_S &= \frac{4}{3} \pi r^3\\
				&= \frac{4}{3} \pi \left( \frac{7\ \mathrm{m}}{2} \right)^3\\
				&= \frac{4}{3} \pi \left( \frac{7}{2} \right)^3\ \mathrm{m}^3\\
				&\approx 179,59				
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_S\approx 180\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Ce réservoir répond-il aux souhaits du maire?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$V_S>171,01\ \mathrm{m}^3$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				ce réservoir répond aux souhaits du maire.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère que le réservoir choisi contient $180\ \mathrm{m}^3$ d’eau. Le débit de la pompe qui permet de le remplir est de $40\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h}$.
		
		Déterminer le temps nécessaire pour remplir ce réservoir aux trois quarts. Donner la réponse en heure, minute et seconde.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le temps de remplissage $t_r$.}
		
		Nous pouvons raisonner par proportionnalité:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Volume ($\mathrm{m}^3$) & $40$ & $\frac{3}{4}\times180= 135$
				\\
				\hline
				Temps ($\mathrm{h}$) & $1$ & $3,375$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Ainsi
		
		\begin{align*}
			t_r &= 3,375\ \mathrm{h}\\
			&= 3\ \mathrm{h} + 0,375\ {\color{orange}\mathrm{h}}\\
			&= 3\ \mathrm{h} + 0,375{\color{orange}\times 60\ \mathrm{min}}\\
			&= 3\ \mathrm{m} + 22,5\ \mathrm{min}\\
			&= 3\ \mathrm{h} + 22\ \mathrm{min} + 0,5\ \mathrm{min}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$t_r= 3\ \mathrm{h} + 22\ \mathrm{min} + 30\ \mathrm{s}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: nuisances et impact paysager.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour éviter toute polémique quant au lieu d’implantation du projet, le maire décide d’installer le château à égale distance des trois habitations les plus proches. Pour expliciter ce choix aux habitants, il souhaite représenter la situation par un tracé géométrique. Il désigne par
		les points $H_1$, $H_2$ et $H_3$ les trois habitations.
		
		On sait que les distances entre les habitations sont $H_1H_2= 1\ \mathrm{km}$, $H_2H_3 = 820\ \mathrm{m}$ et $H_1H_3 = 730\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Représenter la situation à l’échelle $1/\np{10 000}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En notant $H_1'$, $H_2'$ et $H_3'$ les points correspondant respectivement $H_1$, $H_2$ et $H_3$ après la mise à l'échelle nous avons, par exemple:
			
			\begin{align*}
				H_1'H_2' &= \frac{1}{\np{10000}} \times 1\ {\color{orange}\mathrm{km}}\\
				&= \frac{1}{\np{10000}} \times 1 {\color{orange}\times \np{100000}\ \mathrm{cm}}\\
				&= 10\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			De même {\color{WildStrawberry}ou en raisonnant par proportionnalité}
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					Réel ($\mathrm{km}$) & $1$ & $0,820$ & $0,730$
					\\
					\hline
					À l'échelle ($\mathrm{cm}$) & $10$ & $8,2$ & $7,3$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\def\xHa{0};
			\def\yHa{0};
			\coordinate (H1) at ({\xHa},{\yHa});
			\draw (H1) node [below left] {$H_1'$};
			\def\HaHb{10};
			\coordinate (H2) at ({\xHa+\HaHb},{\yHa});
			\draw (H2) node [below right] {$H_2'$};
			\def\HbHc{8.2};
			\def\HaHc{7.3};
			\coordinate (H3) at ({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
			\draw (H3) node [above] {$H_3'$};
			\draw (H1) -- (H3) -- (H2) -- cycle;
			\draw[blue, dashed][samples=100,domain=30:70] plot({\xHa+\HaHc*cos(\x)},{\yHa+\HaHc*sin(\x)});
			\draw[blue, dashed][samples=100,domain=120:160] plot({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(\x)} , {\yHa+\HbHc*sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Placer le point $C$, tel qu’il soit à égale distance des trois points représentant les habitations. On veillera à laisser les traits de construction et on justifiera le tracé sur la copie.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si le point $C$ est équidistant des points $H_1$, $H_2$ et $H_3$ alors cela signifie qu'il est le centre du cercle circonscrit au triangle $H_1H_2H_3$. Autrement dit $C$ est le point d'intersection des médiatrices du triangle.
			
			\medskip
			\emph{La figure suivante est une réduction à l'échelle $7/10$ de la figure demandée.}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
			\def\xHa{0};
			\def\yHa{0};
			\coordinate (H1) at ({\xHa},{\yHa});
			\draw (H1) node [below left] {$H_1'$};
			\def\HaHb{10};
			\coordinate (H2) at ({\xHa+\HaHb},{\yHa});
			\draw (H2) node [below right] {$H_2'$};
			\def\HbHc{8.2};
			\def\HaHc{7.3};
			\coordinate (H3) at ({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
			\draw (H3) node [above] {$H_3'$};
			\draw (H1) -- (H3) -- (H2) -- cycle;
			%Arcs de cercles H1H2
			\def\raycons{6};
			\draw[blue, dashed][samples=100,domain=30:40] plot({\xHa+\raycons*cos(\x)},{\yHa+\raycons*sin(\x)});
			\draw[blue, dashed][samples=100,domain=140:155] plot({\xHa+\HaHb+\raycons*cos(\x)} , {\yHa+\raycons*sin(\x)});
			\def\raycons{6};
			\draw[blue, dashed][samples=100,domain=-40:-30] plot({\xHa+\raycons*cos(\x)},{\yHa+\raycons*sin(\x)});
			\draw[blue, dashed][samples=100,domain=-155:-140] plot({\xHa+\HaHb+\raycons*cos(\x)} , {\yHa+\raycons*sin(\x)});
			%Médiatrice de [H1H2]
			\draw[blue][samples=100,domain=-4:5] plot ({\xHa+\HaHb/2},{\yHa+\x});
			%M milieu de [H2H3]
			%\coordinate (M) at ({\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
			%\draw (M) node {$\bullet$};
			%Médiatrice de [H2H3]
			\draw[red][samples=100,domain=-0.5:1.1] plot ({\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))-\x*0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\x*0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
			%Arcs de cercles H2H3
			\def\rayconsa{4.5};
			\draw[red, dashed][samples=100,domain=-80:-60] plot({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*sin(\x)});;
			\draw[red, dashed][samples=100,domain=150:170] plot({\xHa+\HaHb+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\rayconsa*sin(\x)});	
			\draw[red, dashed][samples=100,domain=-30:00] plot({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*sin(\x)});;
			\draw[red, dashed][samples=100,domain=90:130] plot({\xHa+\HaHb+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\rayconsa*sin(\x)});
			%Coordonnées de C
			\coordinate (C) at ({\xHa+\HaHb/2},{\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))  +  (  \xHa+\HaHb/2  -  (\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  )  /  (-0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  *  (0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  });
			\draw [black] (C) node{$\mathbf{\times}$};	
			\draw [black] (C) node [above left] {$C$};
			\end{tikzpicture}			
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant la figure construite, estimer la distance entre le château d’eau et chacune des $3$ habitations.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\emph{La figure suivante est une réduction à l'échelle $7/10$ de la figure demandée.}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
			\def\xHa{0};
			\def\yHa{0};
			\coordinate (H1) at ({\xHa},{\yHa});
			\draw (H1) node [below left] {$H_1'$};
			\def\HaHb{10};
			\coordinate (H2) at ({\xHa+\HaHb},{\yHa});
			\draw (H2) node [below right] {$H_2'$};
			\def\HbHc{8.2};
			\def\HaHc{7.3};
			\coordinate (H3) at ({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
			\draw (H3) node [above] {$H_3'$};
			\draw (H1) -- (H3) -- (H2) -- cycle;
			%Arcs de cercles H1H2
			\def\raycons{6};
			%\draw[blue, dashed][samples=100,domain=30:40] plot({\xHa+\raycons*cos(\x)},{\yHa+\raycons*sin(\x)});
			%\draw[blue, dashed][samples=100,domain=140:155] plot({\xHa+\HaHb+\raycons*cos(\x)} , {\yHa+\raycons*sin(\x)});
			\def\raycons{6};
			%\draw[blue, dashed][samples=100,domain=-40:-30] plot({\xHa+\raycons*cos(\x)},{\yHa+\raycons*sin(\x)});
			%\draw[blue, dashed][samples=100,domain=-155:-140] plot({\xHa+\HaHb+\raycons*cos(\x)} , {\yHa+\raycons*sin(\x)});
			%Médiatrice de [H1H2]
			\draw[blue][samples=100,domain=-4:5] plot ({\xHa+\HaHb/2},{\yHa+\x});
			%M milieu de [H2H3]
			%\coordinate (M) at ({\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
			%\draw (M) node {$\bullet$};
			%Médiatrice de [H2H3]
			\draw[red][samples=100,domain=-0.5:1.1] plot ({\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))-\x*0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))} , {\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\x*0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))});
			%Arcs de cercles H2H3
			\def\rayconsa{4.5};
			%\draw[red, dashed][samples=100,domain=-80:-60] plot({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*sin(\x)});;
			%\draw[red, dashed][samples=100,domain=150:170] plot({\xHa+\HaHb+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\rayconsa*sin(\x)});	
			%\draw[red, dashed][samples=100,domain=-30:00] plot({\xHa+\HaHb+\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))+\rayconsa*sin(\x)});;
			%\draw[red, dashed][samples=100,domain=90:130] plot({\xHa+\HaHb+\rayconsa*cos(\x)} , {\yHa+\rayconsa*sin(\x)});
			%Coordonnées de C
			\coordinate (C) at ({\xHa+\HaHb/2},{\yHa+0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))  +  (  \xHa+\HaHb/2  -  (\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  )  /  (-0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  *  (0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  });
			\draw [black] (C) node{$\mathbf{\times}$};	
			\draw [black] (C) node [above left] {$C$};
			%Indique la distance
			\draw [black, >=latex, <->] (C) -- (H1) node [midway, above, sloped] {\pgfmathparse{sqrt( (\HaHb/2*\HaHb/2) + (0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))  +  (  \xHa+\HaHb/2  -  (\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  )  /  (-0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  *  (0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))) * (0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc)))  +  (  \xHa+\HaHb/2  -  (\xHa+\HaHb+0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  )  /  (-0.5*\HbHc*sin(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))  *  (0.5*\HbHc*cos(acos((\HaHc*\HaHc-\HaHb*\HaHb-\HbHc*\HbHc)/(2*\HaHb*\HbHc))))) ) }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\end{tikzpicture}
			
			Donc par proportionnalité
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|}
					\hline
					Réel ($\mathrm{km}$) & $1$ & $0,508$
					\\
					\hline
					À l'échelle ($\mathrm{cm}$) & $10$ & $5,08$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Entre le château d'eau et les habitations la distance est approximativement de $510\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	
	\begin{sujet}
		
		Afin de masquer la vue du château d’eau, un des habitants décide de planter une haie. Afin de choisir l’essence d’arbres à planter, il souhaite connaître la hauteur que devront atteindre ces arbres pour masquer la vue du château d’eau depuis sa terrasse.
		
		La figure ci-après, qui n’est pas à l’échelle, représente la situation. Cet habitant est au point $G$ sur sa terrasse, le château d’eau est implanté au point $K$ et on a noté $H$ le point où il souhaite planter une haie pour masquer le château d’eau.
		
		On connaît les dimensions suivantes: $KG = 510\ \mathrm{m}$, $GI = 1,80\ \mathrm{m}$ et $HG = 20\ \mathrm{m}$. La hauteur $KB$ est de $45$ mètres.
		
		Le point $I$ correspond à l’œil de l’homme et le point $J$ correspond à la hauteur que doivent atteindre les arbres pour masquer la vue du château d’eau.
		
		Les points $M$ et $N$ sont situés à $1,80\ \mathrm{m}$ du sol. On a ainsi, $MI = KG = 510\ \mathrm{m}$ et $NI = HG = 20\ \mathrm{m}$.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_01_haie_1.png}
			\vspace{-0.01cm}
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_02_haie_2.png}
		\end{center}
		
		Calculer la hauteur minimale HJ des arbres pour que cet habitant ne voie plus le château d’eau lorsqu’il se tient debout sur sa terrasse. On arrondira le résultat au centimètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $JN$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Les points $I$, $N$, $M$ d'une part et $I$, $J$, $B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item $(JN)$ et $(MB)$ sont des verticales donc $(JN) \parallel (MB)$.
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{JN}{BM} = \frac{IN}{IM}. \]
		
		Ce qui équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
			\frac{JN}{BM} {\color{orange}\times BM} &= \frac{IN}{IM} {\color{orange}\times BM}\\
			JN &= \frac{20\ \mathrm{m}}{510\ \mathrm{m}} \times (KB-KM)\\
			JN &= \frac{20}{510} \times \left( 45\ \mathrm{m}-1,80\ \mathrm{m} \right)\\
			JN &= \frac{20}{510} \times  43,2\ \mathrm{m}\\
			&= \frac{144}{85}\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons:
		
		\begin{align*}
			HJ &= HN+NJ\\
			&= 1,80\ \mathrm{m} + \frac{144}{85} \ \mathrm{m}\\
			&\approx 3,49411\ \mathrm{m} \ \text{par troncature.}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$HJ \approx 3,49\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: entretien du château d’eau.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le réservoir d’eau choisi a une contenance de $180\ \mathrm{m}^3$. L’ingénieur informe le maire que l’eau du château d’eau, bien que puisée dans une source, doit être chlorée. Il faut prévoir $0,1\ \mathrm{mg}$ de chlore par litre d’eau.
		
		Déterminer la quantité de chlore, en gramme, à prévoir au minimum pour $180\ \mathrm{m}^3$ d’eau.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la quantité $Q_c$ de chlore nécessaire.}
		
		\begin{align*}
			Q_c &= \left( 180\ {\color{orange}\mathrm{m}^3} \right) \times \left( 0,1 \ \mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1} \right)\\
			&= \left( 180\ {\color{orange}\times 1000\ \mathrm{L}} \right) \times \left( 0,1 \ \mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1} \right)\\
			&= 180 \times 1000 \times 0,1\ \mathrm{L} \cdot \mathrm{mg} \cdot \mathrm{L}^{-1}\\
			&= 18000\ \mathrm{mg}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$Q_c= 18\ \mathrm{g}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour assurer l’entretien annuel de ce château d’eau, la commune sollicite deux entreprises.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			
			\item La société \emph{Qualiteau} propose un forfait annuel de $700\ \text{\euro}$ pour les déplacements puis toute intervention est facturée $350\ \text{\euro}$.
			
			\item La société \emph{Calmwater} propose également un forfait annuel pour les déplacements au tarif de $500\ \text{\euro}$ puis toute intervention est facturée $450\ \text{\euro}$.
			
		\end{enumerate}
		
		On note $x$ le nombre d’interventions annuelles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que le montant annuel $Q(x)$ à payer à la société \emph{Qualiteau}, en fonction de $x$, est donné par l'expression $Q(x)=350x+700$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Pour une année il faudra payer l'abonnement de $700\ \text{\euro}$ auquel il faudra ajouter $350\ \text{\euro}$ pour chaque intervention. Donc pour $x$ interventions:
			
			\begin{conclusion}
				
				$Q(x)=350 \times x+ 700$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer, en fonction de $x$, le montant annuel $C(x)$ à payer à la société \emph{Calmwater}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant comme à la question précédente
			
			\begin{conclusion}
				
				$C(x)=450x+500$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement les fonctions $Q$ et $C$. On prendra en abscisse $2\ \mathrm{cm}$ pour une intervention et en ordonnée $1\ \mathrm{cm}$ pour $200\ \text{\euro}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{
				\color{WildStrawberry}La représentation graphique d'une fonction $f$ est formée de tous les points de coordonnées $(x;f(x))$.
				
				Les fonctions que nous devons représenter sont des fonctions affines donc leurs courbe représentatives sont des droites. Il nous suffit de trouver les coordonnées de deux points distincts pour chacune d'entre elles.
			}
			
			{
				\color{orange} $Q(0)=700$ et $Q(5)=2450$. $C(0)=500$ et $C(5)=2750$.				
			}
			
			{\hspace*{-1.5cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-0.25};
				\def\yY{-0.25};
				\def\xZ{11.1};
				\def\yZ{15};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{200*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{350/200*(\x/2)+700/200});
				\draw[blue] (1,5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_Q$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{450/200*(\x/2)+500/200});
				\draw[red] (1,2.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_C$};
				\draw [orange] ({0},{700/200}) node {\large $\times$};
				\draw [orange] ({5*2},{2450/200}) node {\large $+$};
				\draw [orange] ({0},{500/200}) node {\large $\times$};
				\draw [orange] ({5*2},{2750/200}) node {\large $+$};
				\end{tikzpicture}
			}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À partir du graphique construit à la question 2.c., lire le nombre d’interventions annuelles pour lequel le montant de la facture sera le même pour les deux sociétés.
			
			Vérifier le résultat trouvé par un calcul.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			{\hspace*{0cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
				\def\xY{-0.25};
				\def\yY{-0.25};
				\def\xZ{11.1};
				\def\yZ{15};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{200*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{350/200*(\x/2)+700/200});
				\draw[blue] (1,5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_Q$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{450/200*(\x/2)+500/200});
				\draw[red] (1,2.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_C$};
				\draw [OliveGreen, dashed, very thick] ({2*2},{0/200}) -- ({2*2},{(450*2+500)/200}); 
				\end{tikzpicture}
			}
			
			\medskip
			\objectif{Résolvons $C(x)=Q(x)$ dans l'ensemble des nombres réels positifs.}
			
			\begin{align*}
				C(x)=Q(x) &\Leftrightarrow 450x+500 = 350x+700\\
				&\Leftrightarrow 450x+500 {\color{orange}-500} = 350x+700 {\color{orange}-500}\\
				&\Leftrightarrow 450x=350x+200\\
				&\Leftrightarrow 450 {\color{orange}-350x} = 350x +200 {\color{orange}-350x}\\
				&\Leftrightarrow 100x &= 200\\
				&\Leftrightarrow \frac{100x}{\color{orange}100} = \frac{200}{\color{orange}100}\\
				&\Leftrightarrow x=2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La facture sera la même pour deux interventions annuelles.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle société devient alors la plus avantageuse pour la commune pour un nombre supérieur d’interventions?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par lecture graphique, pour plus de deux interventions annuelles, la courbe représentative de $Q$ est en dessous de celle de $C$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				pour plus de deux interventions l'entreprise \emph{Qualiteau} est plus avantageuse.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une troisième entreprise, la société \emph{Bellacqua}, vient de s’implanter dans la région. Elle ne facture aucun déplacement mais propose un tarif par intervention de $550\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer, en fonction de $x$ le montant annuel $B(x)$ à payer à la société \emph{Bellacqua}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$B(x)=550x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Dans le repère orthogonal construit à la question 2.c., représenter graphiquement le tarif de la société \emph{Bellacqua} en fonction du nombre $x$ d’interventions.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La fonction $B$ est une fonction affine donc sa courbe représentative est une droite. De plus $B(0)=0$ et $B(5)=2750$.}
			
			{\hspace*{-1.5cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\xY{-0.25};
				\def\yY{-0.25};
				\def\xZ{11.1};
				\def\yZ{15};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{200*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{350/200*(\x/2)+700/200});
				\draw[blue] (1,5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_Q$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{450/200*(\x/2)+500/200});
				\draw[red] (1,2.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_C$};
				\draw[PineGreen, thick][samples=100,domain=0:11] plot(\x,{550/200*(\x/2)});
				\draw[PineGreen] (2,1) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
				\draw [orange] ({0},{0/200}) node {\large $\times$};
				\draw [orange] ({5*2},{2750/200}) node {\large $+$};
				\end{tikzpicture}
			}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La commune souhaiterait faire travailler la société \emph{Bellacqua}. Lire sur le graphique le nombre maximum d’interventions pour lequel le prix à payer sera plus intéressant que celui des deux autres sociétés. Justifier la démarche.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Tant que la courbe représentative de $B$ reste en dessous de celles de $C$ et $Q$ cela signifie que les valeurs prisent par $B$ sont inférieures à celles de $C$ et $Q$. 
			
			
			{\hspace*{0cm}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.6]
				\def\xY{-0.25};
				\def\yY{-0.25};
				\def\xZ{11.1};
				\def\yZ{15};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=2cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2,4,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x/2 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{200*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{350/200*(\x/2)+700/200});
				\draw[blue] (1,5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_Q$};
				\draw[red, thick][samples=100,domain=0:11.1] plot(\x,{450/200*(\x/2)+500/200});
				\draw[red] (1,2.5) node[fill=white] {$\mathcal{C}_C$};
				\draw[PineGreen, thick][samples=100,domain=0:11] plot(\x,{550/200*(\x/2)});
				\draw[PineGreen] (2,1) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
				\draw [Orange, dashed, very thick] ({7/2*2},{550*7/2)/200}) -- ({7/2*2},{0});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			Donc d'après la représentation graphique il faut moins de $3,5$ interventions.
			
			\begin{conclusion}
				
				\emph{Bellacqua} pourra être choisie pour un maximum de trois interventions.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Voici un programme de calcul:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item Choisir un nombre entier positif.
		
		\item Calculer le carré $C_1$ du nombre entier qui le suit.
		
		\item Calculer le carré $C_2$ du nombre entier qui le précède.
		
		\item Calculer la différence $C_1-C_2$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier qu’en prenant $5$ comme nombre de départ, on obtient $20$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $C0$ le nombre choisi et dressons le tableau d'état des variables correspondant à cet algorithme.
		
		{\hspace*{-1.2cm}
			\small
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Instructions & $C_0$ & $C_1$ & $C_2$ & $C_1-C_2$
				\\
				\hline
				Choisir un entier positif & $5$ &&&
				\\
				\hline
				Calcul du carré de l'entier qui suit $C_0$ & $5$ & $6^2=36$ &&
				\\
				\hline
				Calcul du carré de l'entier qui précède $C_0$ & $5$ & $36$ & $4^2=16$ &
				\\
				\hline
				Calcul de $C_1-C_2$ & $5$ & $36$ & $16$ & $36-16=2$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			En entrant $5$ le programme de calcul renvoie $20$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On appelle $x$ le nombre de départ, montrer que le résultat obtenu est égal à $4x$.
		
	\end{sujet}
	
	
	\begin{correction}
		
		Notons $C0$ le nombre choisi et dressons le tableau d'état des variables correspondant à cet algorithme.
		
		{\hspace*{-1.5cm}
			\small
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Instructions & $C_0$ & $C_1$ & $C_2$ & $C_1-C_2$
				\\
				\hline
				Choisir un entier positif & $x$ &&&
				\\
				\hline
				Calcul du carré de l'entier qui suit $C_0$ & $x$ & $(x+1)^2$ &&
				\\
				\hline
				Calcul du carré de l'entier qui précède $C_0$ & $x$ & $(x+1)^2$ & $(x-1)^2$ &
				\\
				\hline
				Calcul de $C_1-C_2$ & $x$ & $(x+1)^2$ & $(x-1)^2$ & $(x+1)^2-(x-1)^2$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		}
		
		Or, grâce à une identité remarquable {\color{WildStrawberry}nous aurions pu faire le choix de tout développer, là encore, avec des identités remarquables, mais la factorisation semble moins longue)}:
		\begin{align*}
			(x+1)^2-(x-1)^1 &= \left[ (x+1)-(x-1) \right] \times \left[ (x+1)+(x-1) \right] \\
			&= \left[ x+1-x+1 \right] \times \left[ x+1+x-1 \right] \\
			&= 2 \times 2x
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{conclusion}
			
			en entrant $x$ le programme de calcul renvoie $4x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Est-il possible d'obtenir $842$? Si oui, donner le nombre de départ. Sinon, expliquer pourquoi.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons $4x=842$ dans $\mathbb{N}$.}
		
		{\color{WildStrawberry}Procédons à un raisonnement par analyse-synthèse.}
		
		Nous recherchons un nombre $x$ tel que
		
		\begin{align*}
			4x &= 842\\
			\intertext{Cette équation équivaut successivement à:}
			\frac{4x}{\color{orange}4} &= \frac{842}{\color{orange}4}\\
			x &= \frac{421}{2}
		\end{align*}
		
		Il n'y a donc qu'un nombre possible c'est $\frac{421}{2}$, mais, $421$ n'étant pas pair, $\frac{421}{2}$ n'est pas un entier.
		
		\begin{conclusion}
			
			Il n'est pas possible d'obtenir $842$ avec le programme.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{WildStrawberry}Ou plus sobrement: il est clair que $842$ n'est pas un multiple de $4$.}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le nombre de départ pour que le programme ait comme résultat $2^{98}$. On justifiera la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons $4x=842$ dans $\mathbb{N}$.}
		
		Nous recherchons un nombre $x$ tel que
		
		\begin{align*}
			4x &= 2^{98}\
			\intertext{Cette équation équivaut successivement à:}
			\frac{4x}{\color{orange}4} &= \frac{2^{98}}{\color{orange}4}\\
			x &= \frac{2^{98}}{2^{2}}\\
			x &= 2^{98-2}\\
			x &= 2^{96}
		\end{align*}
		
		Et comme $2^{98}$ est bien un entier naturel:
		
		\begin{conclusion}
			
			pour que le programme renvoie $2^{98}$ il faut choisir $2^{96}$ comme nombre de départ.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Parmi les trois captures d'écran issues du logiciel SCRATCH, donner, sans justifier, le(s) script(s) qui correspond(ent) au programme de calcul proposé.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				Script 1.
				\\
				\begin{scratch}[scale=1]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blocksensing{demander \ovalnum{Donner un entier supérieur à 0} et attendre}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}+\ovalnum{1}}*\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}+\ovalnum{1}} - \ovaloperator{\ovalsensing{réponse}-\ovalnum{1}}*\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}-\ovalnum{1}}}}
					\blocklook{Dire \ovalvariable{a}}
					\blockcontrol{stop \selectmenu{ce script}}
				\end{scratch}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				Script 2.
				\\
				\begin{scratch}[scale=1]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blocksensing{demander \ovalnum{Donner un entier supérieur à 0} et attendre}
					\blockvariable{cacher la variable \selectmenu{a}}
					\blockvariable{cacher la variable \selectmenu{b}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}-\ovalnum{1}}*\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}-\ovalnum{1}}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}+\ovalnum{1}}*\ovaloperator{\ovalsensing{réponse}+\ovalnum{1}}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovalvariable{a}-\ovalvariable{b}}}
					\blocklook{Dire \ovalvariable{a}}
					\blockcontrol{stop \selectmenu{ce script}}
				\end{scratch}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				Script 3.
				\\
				\begin{scratch}[scale=1]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blocksensing{demander \ovalnum{Donner un entier supérieur à 0} et attendre}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovalsensing{réponse}+\ovalnum{1}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{a} à \ovaloperator{\ovalvariable{a}*\ovalvariable{a}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovalsensing{réponse}-\ovalnum{1}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{b} à \ovaloperator{\ovalvariable{b}*\ovalvariable{b}}}
					\blocklook{Dire \ovaloperator{\ovalvariable{a}-\ovalvariable{b}}}
					\blockcontrol{stop \selectmenu{ce script}}
				\end{scratch}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Vous pouvez télécharger les scripts: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_3_03_script_1.sb3}{script 1}, \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_3_04_script_2.sb3}{script 2} et \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_3_05_script_3.sb3}{script 3}.
		
		\medskip
		Le script 2 calcul $(x-1)^2-(x+1)^2$ sinon
		
		\begin{conclusion}
			
			les scripts 1 et 3 correspondent au programme de calcul proposé.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	On considère une classe composée de $30$ élèves. Certains sont enfants uniques, c’est-à-dire n’ayant ni frère ni sœur, d'autres ne le sont pas.
	
	Dans cette classe,
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item $40\ \%$ des élèves sont des garçons;
		
		\item un tiers des garçons sont des enfants uniques;
		
		\item $25\ \%$ des enfants uniques sont des garçons.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le nombre total de garçons dans cette classe.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre de garçon, $n_g$, dans cette classe.}
			
			{\color{WildStrawberry}Il s'agit d'appliquer une proportion.}
			
			\begin{align*}
				n_g &= \frac{40}{100} \times 30
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$n_g=12$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le nombre de garçons qui ne sont pas des enfants uniques.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminer le nombre, $n_{gnu}$, de garçons qui ne sont pas des enfants uniques.}
			
			$\frac{1}{3}$ des garçons sont des enfants uniques donc $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ des garçons ne sont pas de enfants uniques:
			
			\begin{align*}
				n_{gnu} &= \frac{2}{3} \times n_g\\
				&= \frac{2}{3} \times 12
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$n_{gnu}=8$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Reproduire, sur la copie, le tableau des effectifs de la classe ci-dessous puis le compléter.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & & & 
					\\
					\hline
					Enfant non unique & & &
					\\
					\hline
					Total & & & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après les questions précédentes:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & & & 
					\\
					\hline
					Enfant non unique & & $\color{orange}8$ &
					\\
					\hline
					Total & & $\color{orange}12$ & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			On complète alors par addition sur les lignes et les colonnes.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & & $\color{orange}4$ & 
					\\
					\hline
					Enfant non unique & & $8$ &
					\\
					\hline
					Total & $\color{orange}18$ & $12$ & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Puisque $25\ \%$, c'est-à-dire $\frac{1}{4}$ des enfants uniques sont des garçons, il y a donc $4 \times 4=16$ enfants uniques.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & & $4$ & $\color{orange}16$
					\\
					\hline
					Enfant non unique & & $8$ &
					\\
					\hline
					Total & $18$ & $12$ & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			On complète alors par addition sur les lignes et les colonnes.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & $\color{orange}12$ & $4$ & $16$
					\\
					\hline
					Enfant non unique & & $8$ & $\color{orange}14$
					\\
					\hline
					Total & $18$ & $12$ & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Finalement:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{}& Fille & Garçon & Total
					\\
					\hline
					Enfant unique & $12$ & $4$ & $16$
					\\
					\hline
					Enfant non unique & $\color{orange}6$ & $8$ & $14$
					\\
					\hline
					Total & $18$ & $12$ & $30$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On choisit au hasard un élève de cette classe.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité que cet élève soit un enfant unique. On arrondira le résultat au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{WildStrawberry}Choisissons un modèle probabiliste cohérent avec la situation.}
			
			Notons $\Omega$ l'ensemble des $30$ élèves et munissons-le de l'équiprobabilité (chaque enfant à la même chance d'être choisi).
			
			Notons encore $A$ l'événement \og obtenir un enfant unique \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			Puisqu'il y a équiprobabilité, que l'univers contient $30$ issues et que $A$ est réalisé par $16$ issues (d'après le tableau précédent):
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \frac{16}{30}\\
				&= \frac{8}{15}\\
				&\approx 0,533 \ \text{par troncature}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(A) \approx 0,53$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité que cet élève soit un garçon n'ayant ni frère ni sœur. On arrondira le résultat au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons encore $B$ l'événement \og obtenir un garçon qui est enfant unique \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			Puisqu'il y a équiprobabilité, que l'univers contient $30$ issues et que $B$ est réalisé par $4$ issues (d'après le tableau précédent):
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(B) &= \frac{4}{30}\\
				&= \frac{2}{15}\\
				&\approx 0,133 \ \text{par troncature}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(B) \approx 0,13$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On sait que l'élève choisi est une fille. Calculer la probabilité qu'elle soit une fille unique.
			
			On arrondira le résultat au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{WildStrawberry}Choisissons un modèle probabiliste cohérent avec la situation.}
			
			Notons $\Omega'$ l'ensemble des $18$ filles et munissons-le de l'équiprobabilité (chaque fille à la même chance d'être choisie).
			
			Notons encore $C$ l'événement \og obtenir un enfant unique \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
			
			Puisqu'il y a équiprobabilité, que l'univers contient $18$ issues et que $C$ est réalisé par $12$ issues (d'après le tableau précédent):
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(C) &= \frac{12}{19}\\
				&= \frac{2}{3}\\
				&\approx 0,666 \ \text{par troncature}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(C) \approx 0,67$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{WildStrawberry}Il était bien sûr possible de raisonner en parlant de probabilité conditionnelle.}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Définition: Un nombre parfait est égal à la moitié de la somme de ses diviseurs. Par exemple, $6$ est parfait car ses diviseurs sont $1$, $2$, $3$ et $6$ et on a: $1 + 2 + 3 + 6 = 12$ qui correspond au double de $6$.}
		
		\textbf{Affirmation 1}: \og $28$ est un nombre parfait. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons les diviseurs de $28$.}
		
		Procédons à sa décomposition en facteurs premiers: $28=2^2 \times 7$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{3};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{6};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Pour ne pas écrire les mots above et below
			\def\posA{above};
			\def\posB{below};
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/A1/1/$2^0$//\posA,
				nA2/A2/2/$2^1$//\posB,
				nA3/A3/3/$2^2$//\posB
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
				nA1/nB1/B1/1/$7^0$//\posA,
				nA1/nB2/B2/2/$7^1$//\posB,
				nA2/nB3/B3/3/$7^0$//\posA,
				nA2/nB4/B4/4/$7^1$//\posB,
				nA3/nB5/B5/5/$7^0$//\posA,
				nA3/nB6/B6/6/$7^1$//\posB
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Donc l'ensemble des diviseurs de $28$ est $\{ 1; 7; 2; 14; 4; 28 \}$.
		
		Or $\frac{1+7+2+14+4+28}{2}=28$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 2}: \og Si un nombre est divisible par $6$ et par $9$ alors il est divisible par $54$. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Pour que ce résultat soit vrai il faudrait que $6$ et $9$ soient premiers ente eux. Ce n'est pas le cas démontrons que l'affirmation est fausse en exhibant un contre-exemple.}
		
		\medskip
		$18$ est divisible par $6$ et par $9$ mais il n'est clairement pas divisible par $54$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On augmente la longueur d’un rectangle de $10\ \%$ et on diminue sa largeur de $10\ \%$.
		
		\textbf{Affirmation 3}: \og L'aire du rectangle est inchangée. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Nous pouvons penser aux situations dévolution successives pour imaginer que ce ne serait peut être pas vrai.}
		
		\medskip
		Considérons un rectangle dont les côtés mesurent $\ell=20$ et $L=30$.
		
		{\color{WildStrawberry}Si nous détaillons ici le calcul des coefficients multiplicateurs les augmentations et diminutions de $10\ \%$ se calculent aisément mentalement.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de $10\ \%$ est
		
		\begin{align*}
			CM_b &= 1+\frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{-10}{100}\\
			&= 0,9
		\end{align*}
		
		Celui correspondant à une augmentation de $10\ \%$ est 
		
		\begin{align*}
			CM_a &= 1+\frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{10}{100}\\
			&= 1,1
		\end{align*}
		
		Après une diminution de $10\ \%$ sa largeur est $\ell'=0,9 \times 20=18$ et après une augmentation de $10\ \%$ sa longueur est $L'=1,1 \times 30=33$.
		
		$\ell \times L= 20 \times 30=600$ mais $\ell'\times L'=18 \times 33=594$.
		
		ainsi $\ell \times L \ne \ell' \times L'$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un rectangle a une longueur de $5\ \mathrm{cm}$ et une largeur de $4\ \mathrm{cm}$. On augmente la longueur de $10\ \%$ et on diminue la largeur de $10\ \%$.
		
		\textbf{Affirmation 4}: \og Le périmètre du rectangle diminue. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le périmètre du rectangle originale est 
		
		\begin{align*}
			p &= 2\times (L+\ell)\\
			&= 2 \left( 5\ \mathrm{cm} + 4 \ \mathrm{cm} \right)\\
			&= 2 \times 9\ \mathrm{cm}\\
			&= 18 \ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		En procédant comme à la question précédente:
		
		\begin{align*}
			L' &= 1,1 \times L\\
			&=1,1 \times 5\ \mathrm{cm}\\
			&= 5,5\ \mathrm{cm}
			\intertext{et}
			\ell' &= 0,9 \times \ell\\
			&= 0,9 \times 4\ \mathrm{cm}\\
			&= 3,6\ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		D'où le nouveau périmètre
		
		\begin{align*}
			p' &= 2\times (L'+\ell')\\
			&= 2 \left( 5,5\ \mathrm{cm} + 3,6 \ \mathrm{cm} \right)\\
			&= 2 \times 9,1\ \mathrm{cm}\\
			&= 18,2 \ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		Ainsi: $p <p'$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant en classe de grande section présente $6$ personnages installés en cercle et demande à $3$ élèves d’aller chercher en \og un voyage \fg{} autant de jetons (\og pas plus, pas moins \fg{}) que de personnages, sachant que les jetons sont positionnés à une dizaine de mètres des personnages.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_06_playmobil_1.png}
		
	\end{center}
	
	L’enseignant a noté le nombre de jetons apportés lors du premier voyage:
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Prénoms des élèves & Nombre de jetons apportés
			\\
			\hline
			Mathéo & $15$
			\\
			\hline
			Salomé & $7$
			\\
			\hline
			Fatoulala & $6$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Émettre deux hypothèses sur ce qui a pu conduire Salomé à se tromper.
			
		\end{sujet}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Afin d’aider Salomé, le maître propose la situation suivante:
			
			\medskip
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_07_playmobil_2.png}
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_08_playmobil_3.png}
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_09_playmobil_4.png}
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_10_playmobil_5.png}
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_11_playmobil_6.png}
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_12_playmobil_7.png}
			
			\medskip
			Expliquer en quoi cette situation pourrait aider cette élève à réussir la tâche proposée.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Émettre une hypothèse sur ce qui a pu conduire Mathéo à se tromper.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une situation qui pourrait aider à vérifier l’hypothèse émise à la question précédente.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une nouvelle tâche que l’enseignant pourrait proposer à Fatoulala, pour lui permettre d’aller plus loin dans ses apprentissages. Justifier cette proposition.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant propose à ses élèves de CM2 l’exercice suivant, issu du manuel \og Le nouvel À portée de maths \fg{} (Hachette, 2018).
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_13_manuel.png}
	\end{center}
	
	Voici $2$ productions d'élèves:
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_14_noe.png}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_15_juliette.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les deux productions en terme d’erreurs et de réussites.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’utilisation de papier quadrillé ou pointé pourrait-elle aider Noé? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner deux aides, non liées au papier utilisé, qui pourraient être proposées pour Noé.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Le problème ci-dessous a été donné à des élèves de CM2 par une enseignante.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			On commande pour la classe des cahiers et des livres.
			
			$6$ livres coûtent $150$ euros.
			
			Combien coûtent $9$ livres?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	Voici les réponses de deux élèves : Tama et Hina.
	
	\begin{center}
		
		Production de Tama.
		
		\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_16_tama.png}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		Production de Hina.
		
		\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2021_maths_externe_sujet_3_17_hina.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la principale notion mathématique travaillée dans ce problème?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser chacune des deux productions ci-dessus en repérant les réussites et les erreurs éventuelles et en explicitant les propriétés mathématiques mobilisées.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer trois procédures permettant à Tama de compléter correctement la case sous le $9$ en partant du tableau qu’elle a commencé à compléter et qui est reproduit ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				$1$ & $3$ & $6$ & $9$
				\\
				\hline
				& $75$ & $150$ & 
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignant(e) modifie l’énoncé en demandant de calculer le prix de $8$ livres.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer deux procédures qu’un élève de CM2 pourrait mobiliser pour trouver le prix à payer pour l’achat de ces $8$ livres.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant souhaite que les élèves utilisent le passage à l’unité. Proposer une
			modification à l’énoncé initial qui encourage l’utilisation de cette procédure.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2021 groupe 4.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_4_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_4_sujet.pdf}{pdf}.
		
		\medskip
		{\color{red}Merci à Mme Duplessy, M. Herminet et M. Paltoglou pour leur relecture et leurs corrections.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans ce problème, les figures qui sont dessinées ne sont pas représentées en vraie grandeur.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	On souhaite partager un carré $ABCD$ de $10\ \mathrm{cm}$ de côté en trois parties comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Point A
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\coordinate (A) at ({\xA}, {\yA});
		\draw (A) node [above left] {$A$};
		%Longueur du côté du carré
		\def\AB{10};
		%point B
		\coordinate (B) at ({\xA+\AB},{\yA});
		\draw (B) node [above right] {$B$};
		%point C
		\coordinate (C) at ({\xA+\AB},{\yA-\AB});
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		%point D
		\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\AB});
		\draw (D) node [below left] {$D$};
		%Valeur de x
		\def\x{6};
		%point M
		\coordinate (M) at ({\xA+\x}, {\yA-\AB});
		\draw (M) node [below right] {$M$};
		%point L
		\coordinate (L) at ({\xA+\AB}, {\yA-\x});
		\draw (L) node [below right] {$L$};
		%Coloriage quadrilatère
		\fill [color=gray, opacity=0.5] (A) -- (M) -- (C) -- (L) -- cycle;
		%Segments
		\draw (A) -- (B);
		\draw (B) -- (L) node [midway, sloped] {$\parallel$};
		\draw (L) -- (C)-- (M);
		\draw (M) -- (D) node [midway, sloped] {$\parallel$};
		\draw (D) -- (A);
		\draw (A) -- (M);
		\draw (A) -- (L);
		%écart du segment fléché au carré
		\def\delta{1};
		%Segment fléchés pour indiquer la longueur
		\draw [>=latex, <->] ({\xA},{\yA-\AB-\delta}) -- ({\xA+\x}, {\yA-\AB-\delta}) node [midway, below] {$x$};
		\draw [>=latex, <->] ({\xA+\AB+\delta}, {\yA-\x}) -- ({\xA+\AB+\delta},{\yA}) node [midway, right] {$x$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	$L$ est un point du segment $[BC]$ et $M$ est le point du segment $[CD]$ tel que $DM = BL$. On note $x$ la longueur, en centimètre, du segment $[BL]$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliquez pourquoi $0\leqslant x \leqslant 10$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions l'encadrement.}
		
		$M \in [DC]$ et $DC=10$ donc $0\leqslant x \leqslant 10$.
		
		Enfin $DM=x$, donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$0\leqslant x \leqslant 10$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que si $x=2$, alors l’aire du quadrilatère grisé $AMCL$ est égale à $80\ \mathrm{cm}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ALCM)$ de $ALCM$ lorsque $x=2$.}
		
		{\color{WildStrawberry}La partie grisée n'est pas une figure dont l'aire peut être calculée par une formule que nous serions supposés connaître. Nous allons partir de l'aire du carré $ABCD$ et enlever les aires des parties qui ne sont pas grisées.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			\item Calculons l'aire du carré $ABCD$.
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABCD) &= AB^2\\
			&= \left( 10\ \mathrm{cm} \right)^2\\
			&= 10^2\ \mathrm{cm}^2\\
			&= 100\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			\item Calculons l'aire du triangle $AMD$.
			
			Puisque $AMD$ est rectangle en $D$:
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(AMD) &= \frac{1}{2} \times AD \times DM\\
			&= \frac{1}{2} \times \left(10\ \mathrm{cm} \right) \times \left(2 \ \mathrm{cm} \right)\\
			&= \frac{1}{2} \times 10 \times 2 \ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}\\
			&= 10\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			\item Du fait de la symétrie de la configuration par rapport à $(AC)$ il est clair que $\mathscr{A}(AMD) = \mathscr{A}(ABL)$.
			
			\item Des points précédents nous déduisons:
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(ALCM) &= \mathscr{A}(ABCD) - \mathscr{A}(AMD) - \mathscr{A} (ABL)\\
			&= 100\ \mathrm{cm}^2 - 10\ \mathrm{cm}^2 - 10\ \mathrm{cm}^2\\
			&= (100-10-10)\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $x=2$ alors $\mathscr{A}(ALCM)=80\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire du quadrilatère grisé $AMCL$ si $\displaystyle x=\frac{3}{5}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathscr{A}(ALCM)$ lorsque $x=\frac{3}{5}$.}
		
		Toutes les longueurs étant exprimées en centimètres nous ferons désormais l'économie d'indiquer les unités utilisées.
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(AMD) &= \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{3}{5}\\
			&= 3
			\end{align*}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(ALCM) &= 100- 3-3
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $x=\frac{3}{5}$ alors $\mathscr{A}(ALCM)=94\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que l’aire du quadrilatère grisé $AMCL$, exprimée en centimètre carré, en fonction de $x$, est égale à $100-10x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $\mathscr{A}(ALCM)$ en fonction de $x$.}
		
		procédons comme aux deux questions précédentes
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(AMD) &= \frac{1}{2} \times 10 \times x\\
			&= 5x
			\end{align*}
			
			\item 
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(ALCM) &= 100-5x-5x
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(ALCM)=100-10x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer $x$ pour que les trois parties aient la même aire.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Nous avons déjà remarqué que les parties $AMD$ et $ABL$ ont la même aire.
		
		Il reste à avoir, par exemple, $AMD$ et $ALCM$ de même aire.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $x$ de sorte que $\mathscr{A}(AMD)=\mathscr{A}(ALCM)$.}
		
		Dire que
		
		\begin{align*}
		\mathscr{A}(AMD) &= \mathscr{A}(ALCM)\\
		\intertext{équivaut successivement à:}
		5x &= 100-10x\\
		5x {\color{orange}+10x} &= 100-10x {\color{orange}+10x}\\
		15x &= 100\\
		\frac{15x}{\color{orange}15} &= \frac{100}{15}\\
		x &= \frac{2^2\times 5^2}{3 \times 5}\\
		x &= \frac{2^2\times 5}{3}\\
		x &= \frac{20}{3}
		\end{align*}
		
		Et comme $\frac{20}{3} =6,666\dots$ on a bien $0\leqslant \frac{20}{3} \leqslant 10$.
		
		Nous pouvons donc conclure:
		
		\begin{conclusion}
			
			les trois parties ont la même aire si et seulement si $x=\frac{20}{3}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, le triangle hachuré a été supprimé pour obtenir trois triangles $ADM$, $AML$ et $ALB$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Point A
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\coordinate (A) at ({\xA}, {\yA});
		\draw (A) node [above left] {$A$};
		%Longueur du côté du carré
		\def\AB{10};
		%point B
		\coordinate (B) at ({\xA+\AB},{\yA});
		\draw (B) node [above right] {$B$};
		%point C
		\coordinate (C) at ({\xA+\AB},{\yA-\AB});
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		%point D
		\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\AB});
		\draw (D) node [below left] {$D$};
		%Valeur de x
		\def\x{6};
		%point M
		\coordinate (M) at ({\xA+\x}, {\yA-\AB});
		\draw (M) node [below right] {$M$};
		%point L
		\coordinate (L) at ({\xA+\AB}, {\yA-\x});
		\draw (L) node [below right] {$L$};
		%Coloriage triangle
		\fill [color=gray, opacity=0.5] (A) -- (M) -- (L) -- cycle;
		%Hachures triangle
		\fill [color=gray, pattern=vertical lines] (C) -- (M) -- (L) -- cycle;
		%Segments
		\draw (A) -- (B);
		\draw (B) -- (L) node [midway, sloped] {$\parallel$};
		\draw (L) -- (C)-- (M);
		\draw (M) -- (D) node [midway, sloped] {$\parallel$};
		\draw (D) -- (A);
		\draw (A) -- (M) -- (L) -- cycle;
		%écart du segment fléché au carré
		\def\delta{1};
		%Segment fléchés pour indiquer la longueur
		\draw [>=latex, <->] ({\xA},{\yA-\AB-\delta}) -- ({\xA+\x}, {\yA-\AB-\delta}) node [midway, below] {$x$};
		\draw [>=latex, <->] ({\xA+\AB+\delta}, {\yA-\x}) -- ({\xA+\AB+\delta},{\yA}) node [midway, right] {$x$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que si $x=2$, alors l'aire du triangle hachuré $MCL$ est égale à $32\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}(MCL)$ du triangle $MCL$ lorsque $x=2$.}
			
			Là encore nous ne préciserons pas les unités, les longueurs étant touts exprimées en centimètre.
			
			\medskip
			$MCL$ est rectangle en $C$ donc:
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(MCL) &= \frac{1}{2} \times MC \times CL\\
			\intertext{Du fait de la symétrie de la figure, $MCL$ est isocèle en $C$ et donc:}
			\mathscr{A} (MCL) &= \frac{1}{2} \times MC^2\\
			\intertext{Puisque $DC=10$, $DM=x$ et $M\in[DC]$:}
			\mathscr{A}(MCL) &= \frac{1}{2} \times \left( 10-x\right)^2\\
			\intertext{Comme $x=2$:}
			\mathscr{A}(MCL) &= \frac{1}{2} \times \left( 10-2 \right)^2\\
			&= 32
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(MCL)=32\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer l’aire, en centimètre carré, de la partie hachurée $MCL$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En reprenant le raisonnement de la question précédente mais sans substituer à $x$ la valeur $2$ nous obtenons:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(MCL)=\frac{1}{2} \left( 10-x \right)^2$ quelque soit $x \in[0;10]$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que l’aire du triangle grisé $AML$, exprimée en centimètre carré, est égale à $50-\frac{x^2}{2}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $\mathscr{A}(AML)$.}
			
			Remarquons que
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A} (AML) &= \mathscr{A}(AMCL) - \mathscr{A} (MCL)\\
			\intertext{Compte tenu des expressions obtenues pour $\mathscr{A}(AMCL)$ (question A.4) et $\mathscr{A}(MCL)$ (question précédente), nous en déduisons:}
			\mathscr{A}(AML) &= \left[ 100-10x \right] - \left[ \frac{1}{2} \left( 10-x \right)^2 \right] \\
			&= 100-10x-\left[ \frac{1}{2} \left( 10^2-2 \times 10 \times x+x^2 \right) \right] \\
			&= 100-10x-\left[ \frac{1}{2} \left( x^2-20x+100 \right)\right]\\
			&= 100-10x - \left[ \frac{1}{2}\times x^2-\frac{1}{2}\times 20x+ \frac{1}{2} \times 100 \right]\\
			&= 100-10x -\left[ \frac{1}{2}x^2 -10x+50 \right]\\
			&= 100-10x -\frac{1}{2}x^2+10x-50\\
			&=50-\frac{1}{2}x^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour tout $x \in [0;10],\ \mathscr{A}(MCL) = 50-\frac{x^2}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a représenté dans le repère ci-dessous les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies pour $x$ entre $0$ et $10$ par: \[ f(x)=5x,\quad g(x)=100-10x,\quad h(x)=50-\frac{x^2}{2}. \]
		
		On obtient les courbes $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}_3$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.1]
			\def\xY{-0.8};
			\def\yY{-9};
			\def\xZ{10.4};
			\def\yZ{104};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white, dotted] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {10,20,...,100}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5*\x});
			\draw[blue] (3,20) node[fill=white] {$\mathscr{C}_3$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{100-10*\x});
			\draw[blue] (2,90) node[fill=white] {$\mathscr{C}_1$};
			\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{50-\x*\x/2});
			\draw[blue] (3,50) node[fill=white] {$\mathscr{C}_2$};
			\foreach \x/\y in{ 0/0, 10/50, 10/0, 0/50, 0/100} \draw [blue] (\x,\y) node {\small $\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Chacune des fonctions $f$, $g$ et $h$ permet de déterminer, en fonction de $x$, l’aire d’un des polygones $ADM$, $AMCL$ et $AML$ de la figure précédente. Associer à chaque fonction le polygone dont elle permet de déterminer l’aire. Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Comme nous l'avons établi en résolvant la question A.4:
			
			\begin{conclusion}
				
				$f$est l'aire de $AMD$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			D'après la question A.4:
			
			\begin{conclusion}
				
				$g$ est l'aire de $AMCL$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			D'après la question B.1.c:
			
			\begin{conclusion}
				
				$h$ est l'aire de $AML$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Associer chaque courbe $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$ et $\mathscr{C}_3$ à la fonction quelle représente. Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Identifions la courbe représentative de chaque fonction.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item {\color{WildStrawberry}Première méthode: en reconnaissant la nature de la fonction à partir de son expression algébrique.}
				
				Nous pouvons reconnaître les courbe représentatives à partir des natures des fonctions.
				
				$h$ est une fonction polynomiale de degré deux donc sa courbe représentative est une parabole. Il ne peut s'agir que de $\mathscr{C}_2$.
				
				$f$ et $g$ sont des fonctions affines donc leurs courbes représentatives sont des droites: $\mathscr{C}_1$ ou $\mathscr{C_3}$. De plus le coefficient directeur de $f$ est positif ($5$) alors que celui de $g$ est négatif $-10$) donc la courbe représentative de $f$ monte et celle de $g$ descend.
				
				\item {\color{WildStrawberry}Tester un calcul d'image.}
				
				En calculant nous obtenons: $f(3)=5 \times 3=15$, $g(3)=100-10 \times 3=70$ et $h(3)=50-\frac{3^2}{2}=45,5$.
				
				Par lecture graphique nous pouvons identifier les courbes correspondant à ces calculs d'images.
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.1]
					\def\xY{-0.8};
					\def\yY{-9};
					\def\xZ{10.4};
					\def\yZ{104};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
					\draw[xstep=0.5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white, dotted] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
					\foreach \x in {1, 2,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {10,20,...,100}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
					\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5*\x});
					\draw[blue] (3,20) node[fill=white] {$\mathscr{C}_3$};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{100-10*\x});
					\draw[blue] (2,90) node[fill=white] {$\mathscr{C}_1$};
					\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{50-\x*\x/2});
					\draw[blue] (3,50) node[fill=white] {$\mathscr{C}_2$};
					\foreach \x/\y in{ 0/0, 10/50, 10/0, 0/50, 0/100} \draw [blue] (\x,\y) node {\small $\bullet$};
					\draw [orange, dashed, very thick] (3,0) -- (3,15) -- (0,15);
					\draw [orange, dashed, very thick] (3,15) -- (3,45.5) -- (0,45.5);
					\draw [orange, dashed, very thick] (3,45.5) -- (3,70) -- (0,70);
					\end{tikzpicture}
				\end{center}				
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les courbes représentatives des fonctions $f$, $g$ et $h$ sont respectivement $\mathscr{C}_3$, $\mathscr{C}_1$ et $\mathscr{C}_2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer graphiquement l’aire du triangle grisé $AML$ pour $x=3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En reprenant les résultats des deux questions précédentes nous pouvons annoter le graphique.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.1]
				\def\xY{-0.8};
				\def\yY{-9};
				\def\xZ{10.4};
				\def\yZ{104};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white, dotted] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {10,20,...,100}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5*\x});
				\draw[blue] (3,20) node[fill=white] {$\mathscr{C}_3$, $f$ , $AMD$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{100-10*\x});
				\draw[blue] (2,90) node[fill=white] {$\mathscr{C}_1$, $g$, $AMCL$};
				\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{50-\x*\x/2});
				\draw[blue] (3,50) node[fill=white] {$\mathscr{C}_2$, $h$, $AML$};
				\foreach \x/\y in{ 0/0, 10/50, 10/0, 0/50, 0/100} \draw [blue] (\x,\y) node {\small $\bullet$};
				\draw [orange, dashed, very thick] (3,0) -- (3,45.5) -- (0,45.5);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}	
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire de $AML$ égale $45\ \mathrm{cm}^2$ lorsque $x=3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l’aire du quadrilatère grisé $AMCL$ de la partie A est égale à $25\ \mathrm{cm}^2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.1]
				\def\xY{-0.8};
				\def\yY{-9};
				\def\xZ{10.4};
				\def\yZ{104};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white, dotted] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {10,20,...,100}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5*\x});
				\draw[blue] (3,20) node[fill=white] {$\mathscr{C}_3$, $f$ , $AMD$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{100-10*\x});
				\draw[blue] (2,90) node[fill=white] {$\mathscr{C}_1$, $g$, $AMCL$};
				\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{50-\x*\x/2});
				\draw[blue] (3,50) node[fill=white] {$\mathscr{C}_2$, $h$, $AML$};
				\foreach \x/\y in{ 0/0, 10/50, 10/0, 0/50, 0/100} \draw [blue] (\x,\y) node {\small $\bullet$};
				\draw [orange, dashed, very thick] (7.5,0) -- (7.5,25) -- (0,25);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}	
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire de $AMCL$ égale $25\ \mathrm{cm}^2$ lorsque $x=7,5$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 		
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour que les trois triangles $ABL$, $ADM$ et $AML$ de la partie B aient la même aire. Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$ABL$ et $ADM$ ont la même aire donc la question pourrait être: déterminer $x$ pour que les aires de $AMD$ et $AML$ soient égales.
			
			Or ces aires sont égales lorsque les fonctions les représentant ont la même image ce qui correspond aux points d'intersections de leur courbes représentatives:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.1]
				\def\xY{-0.8};
				\def\yY{-9};
				\def\xZ{10.4};
				\def\yZ{104};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm, ystep=5cm, line width=0.02cm,black!70!white, dotted] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,10}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {10,20,...,100}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick, dashed][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{5*\x});
				\draw[blue] (3,20) node[fill=white] {$\mathscr{C}_3$, $f$ , $AMD$};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{100-10*\x});
				\draw[blue] (2,90) node[fill=white] {$\mathscr{C}_1$, $g$, $AMCL$};
				\draw[blue, very thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{50-\x*\x/2});
				\draw[blue] (3,50) node[fill=white] {$\mathscr{C}_2$, $h$, $AML$};
				\foreach \x/\y in{ 0/0, 10/50, 10/0, 0/50, 0/100} \draw [blue] (\x,\y) node {\small $\bullet$};
				\draw [orange, dashed, very thick] ({-5+5*sqrt(5)},0) -- ({-5+5*sqrt(5)},{(-5+5*sqrt(5))*5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}	
			
			et donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				les aires de $ABL$, $ADM$ et $AML$ sont égales lorsque $x=6,2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	On veut maintenant partager un carré de $10\ \mathrm{cm}$ de côté en deux parties. L’une d’entre elles est un disque intérieur ayant pour centre celui du carré et pour rayon $r$. La seconde partie est l’extérieur du disque, grisée sur la figure ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Point A
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\coordinate (A) at ({\xA}, {\yA});
		%Longueur du côté du carré
		\def\AB{10};
		%point B
		\coordinate (B) at ({\xA+\AB},{\yA});
		%point C
		\coordinate (C) at ({\xA+\AB},{\yA-\AB});
		%point D
		\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\AB});
		%Dessin du carré
		\fill[color=gray , opacity=0.5] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		%Dessin du carré
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		%Dessin du disque
		\def\retraitAB{3};
		\fill[color=white , opacity=1] [samples=100,domain=0:360] plot({\xA+\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*cos(\x)},{\yA-\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*sin(\x)});
		\draw[thick][samples=100,domain=0:360] plot({\xA+\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*cos(\x)},{\yA-\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*sin(\x)});
		%Rayon du cercle
		\def\anglerayon{20};
		\draw [thick] ({\xA+\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*cos(\anglerayon)},{\yA-\AB/2+(\AB-\retraitAB)/2*sin(\anglerayon)}) -- ({\xA+\AB/2},{\yA-\AB/2}) node [midway, below] {$r$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Entre quelles valeurs le rayon $r$ peut-il varier? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le plus grand diamètre possible pour le cercle est la longueur du côté du carré, c'est-à-dire $10\ \mathrm{cm}$, par conséquent
		
		\begin{conclusion}
			
			$0 \leqslant r \leqslant 5$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer pour quelle valeur du rayon $r$, exprimée en centimètre, l’aire du disque est égal au quart de celle du carré. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $\mathscr{A}_1$ l'aire du carré et $\mathscr{A}_2$ celle du cercle.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $r$ tel que: $\mathscr{A}_2= \frac{1}{4} \mathscr{A}_1$.}
		
		\begin{align*}
		\mathscr{A}_2 &= \frac{1}{4} \mathscr{A}_1\\
		\intertext{équivaut successivement à}
		\pi r^2 &= \frac{1}{4} \times 10^2\\
		\pi r^2 &= 25\\
		\frac{\pi r^2}{\color{orange}\pi} &= \frac{25}{\color{orange}\pi}\\
		r^2 &= \frac{25}{\pi}\\
		\intertext{Puisque $r$ est une longueur c'est un nombre positif donc:}
		r &= \sqrt{\frac{25}{\pi}}\\
		r &= \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{\pi}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour que l'aire du cercle soit le quart de l'aire du carré il faut que $r=\frac{5}{\sqrt{\pi}}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		En arrondissant au centième:
		
		\begin{conclusion}
			
			$r \approx 2,82\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour déterminer l’aire du disque dans le carré en fonction de son rayon, on réalise avec un tableur la feuille de calcul suivante:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.41\linewidth}{|m{0.2cm}*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				\cellcolor{gray!40} & \cellcolor{gray!40} \hfill \texttt{A} \hfill~ & \cellcolor{gray!40} \texttt{B}
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $1$ & \textbf{Rayon} & \textbf{Aire}
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $2$ & $0$ & $0$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $3$ & $0,5$ & $0,78539816$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $4$ & $1$ & $3,14159265$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $5$ & $1,5$ & $7,06858347$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $6$ & $2$ & $12,5663706$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $7$ & $2,5$ & $19,6349541$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $8$ & $3$ & $28,2743339$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $9$ & $3,5$ & $38,48451$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $10$ & $4$ & $50,2654825$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $11$ & $4,5$ & $63,6172512$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $12$ & $5$ & $78,5398163$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule permettant de calculer l’aire du disque doit être écrite dans la cellule $\texttt{B}2$ pour être ensuite copiée par glissement vers le bas?
			
			\emph{Note: on pourra utiliser la fonction \texttt{PI}() du tableur qui renvoie une valeur approchée du nombre $\pi$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\texttt{PI}()*\texttt{A}2\wedge 2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déduire de ce tableau, un encadrement d’amplitude minimale de la valeur $r_0$ du rayon du disque pour que l'aire du disque soit égale à l'aire de la surface grisée.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons un encadrement de $r_0$.}
			
			Dire que l'aire du disque égale l'aire du carré signifie qu'elle doit être égale à $\frac{10^2}{2}=50$.
			
			En considérant cette partie:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabularx}{0.41\linewidth}{|m{0.2cm}*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					\cellcolor{gray!40} $9$ & $3,5$ & $38,48451$
					\\
					\hline
					\cellcolor{gray!40} $10$ & $4$ & $50,2654825$
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
				
			\end{center}
			
			nous voyons que:
			
			\begin{conclusion}
				
				$3,5 \leqslant r_0 \leqslant 4$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur exacte de $r_0$, exprimée en centimètre, puis donner l'arrondi au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $r_0$ tel que: $\mathscr{A}_2= \frac{1}{2} \mathscr{A}_1$.}
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_2 &= \frac{1}{2} \mathscr{A}_1\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			\pi r_0^2 &= \frac{1}{2} \times 10^2\\
			\pi r_0^2 &= 50\\
			\frac{\pi r_0^2}{\color{orange}\pi} &= \frac{50}{\color{orange}\pi}\\
			r_0^2 &= \frac{50}{\pi}\\
			\intertext{Puisque $r_0$ est une longueur c'est un nombre positif donc:}
			r_0 &= \sqrt{\frac{50}{\pi}}\\
			r_0 &= \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{\pi}}\\
			r_0 &= \frac{\sqrt{2 \times 5^2}}{\sqrt{\pi}}\\
			r_0 &= \frac{\sqrt{2}\times \sqrt{5^2}}{\sqrt{\pi}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que l'aire du cercle soit le quart de l'aire du carré il faut que $r_0=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			En arrondissant au centième:
			
			\begin{conclusion}
				
				$r_0 \approx 3,99\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur exacte $r_1$ du rayon du disque telle que l’aire du disque soit égale au tiers de l’aire de la surface grisée et donner son arrondi au dixième de millimètre.
			
		\end{sujet}		
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $r_1$ tel que: $\mathscr{A}_2= \frac{1}{3} \left( \mathscr{A}_1 - \mathscr{A}_2 \right)$.}
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_2 &= \frac{1}{3} \left( \mathscr{A}_1 - \mathscr{A}_2 \right)\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			\pi r_1^2 &= \frac{1}{3} \times \left( 10^2 - \pi r_1^2 \right)\\
			\pi r_1^2 &= \frac{1}{3} \times 100 -\frac{1}{3} \pi r_1^2\\
			\pi r_1^2 {\color{orange}+\frac{1}{3} \pi r_1^2} &= \frac{100}{3} -\frac{1}{3} \pi r_1^2 {\color{orange}+\frac{1}{3} \pi r_1^2}\\
			\frac{4}{3} \pi r_1^2 &= \frac{100}{3}\\
			{\color{orange}\frac{3}{4\pi} \times} \frac{4\pi r_1^2}{3} &= {\color{orange}\frac{3}{4\pi} \times} \frac{100}{3}\\
			r_1^2 &= \frac{100}{4 \pi}\\
			\intertext{Puisque $r_1$ est une longueur c'est un nombre positif donc:}
			r_1 &= \sqrt{\frac{100}{4\pi}}\\
			r_1 &= \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{4\pi}}\\
			r_1 &= \frac{10}{\sqrt{4} \times \sqrt{\pi}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que l'aire du cercle soit le tiers de l'aire du carré il faut que $r_1=\frac{5}{\sqrt{\pi}}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			En arrondissant au centième:
			
			\begin{conclusion}
				
				$r_1 \approx 2,82\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n'enlève pas de point.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans la figure ci-dessous, $ABC$ est un triangle, $D$ et $E$ sont des points des côtés $[AB]$ et $[AC]$ tels que: \[ AD = 9\ \mathrm{cm}, \quad DB = 6\ \mathrm{cm}, \quad AC = 10\ \mathrm{cm}, \quad EC = 4\ \mathrm{cm}. \]
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5, yscale=0.25]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\def\AD{9};
			\def\DB{6};
			\def\AC{10};
			\def\EC{4};
			\coordinate (E) at ({\xA+\AC-\EC},{\yA});
			\draw (E) node [below] {$E$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\AC},{\yA});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA+\AC-\EC},{\yA+sqrt(\AD*\AD-(\AC-\EC)*(\AC-\EC))});
			\draw (D) node [above] {$D$};
			\coordinate (B) at ({\xA+(\AC-\EC)/\AD*(\AD+\DB)},{\yA+sqrt(\AD*\AD-(\AC-\EC)*(\AC-\EC))/\AD*(\AD+\DB)});
			\draw (B) node [above] {$B$};
			\draw (D) -- (A) -- (C) -- (B) -- (D) -- (E);
			%angle droit
			\def\deltx{0.5};
			\def\delty{1};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] ({\xA+\AC-\EC},{\yA+\delty}) -- ({\xA+\AC-\EC-\deltx},{\yA+\delty}) -- ({\xA+\AC-\EC-\deltx},{\yA}) -- ({\xA+\AC-\EC},{\yA}) -- cycle;
			\draw ({\xA+\AC-\EC},{\yA+\delty}) -- ({\xA+\AC-\EC-\deltx},{\yA+\delty}) -- ({\xA+\AC-\EC-\deltx},{\yA}); 
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\textbf{Affirmation 1}: \og Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Un angle droit est visible sur la figure et on nous demande de vérifier qu'un triangle est rectangle. Il semble naturel de penser au théorème de Pythagore. Une rapide tentative nous montre que nous manquons de données pour ce théorème.
			
			La figure évoque par contre une configuration de Thalès et même la configuration classique d'un agrandissement de figure.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} Les points $A$, $D$, $B$ et $A$, $E$, $C$ sont alignés dans cet ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèses pour la réciproque du théorème de Thalès.} 
			
			Nous avons d'une part
			
			\begin{align*}
			\frac{AE}{AC} &= \frac{AC-AE}{AC}\\
			&= \frac{10-4}{10}\\
			&= \frac{6}{10}\\
			&= \frac{2 \times 3}{2 \times 5}\\
			&= \frac{3}{5}
			\end{align*}
			
			et d'autre part
			
			\begin{align*}
			\frac{AD}{AB} &= \frac{AD}{AD+DB}\\
			&= \frac{9}{9+6}\\
			&= \frac{9}{15}\\
			&= \frac{3 \times 3}{3 \times 5}\\
			&= \frac{3}{5}
			\end{align*}
			
			donc $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$.
			
		\end{enumerate}
		
		Nous déduisons des deux points précédents, d'après la réciproque du théorème de Thalès que $(DE) \parallel (BC)$.
		
		\medskip
		Comme de plus $(DE) \perp (AC)$ nous en déduisons $(BD) \perp (AC)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 2}: \og La somme de deux nombres entiers impairs consécutifs ne peut pas être un nombre premier.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Un nombre premier est un nombre qui a exactement deux diviseurs: $1$ et lui-même. Quelques essais permettent de remarquer que la somme de deux nombres impaires consécutifs est toujours divisible par $2$.}
		
		\medskip
		Soient $m$ et $n$ deux nombres entiers impairs consécutifs.
		
		nous avons alors:
		
		\begin{align*}
		m+{\color{orange}n} &= m+ {\color{orange}(m+2)}\\
		&= 2m+2\\
		&= 2\times m+2 \times 1\\
		&= 2(m+1)
		\end{align*}
		
		Donc $m+n$ est divisible par $2$. Par conséquent $m+n$ n'est pas premier.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose qu’une voiture perd chaque année $20\ \%$ de sa valeur.
		
		\textbf{Affirmation 3}: \og Dans $5$ ans, la voiture vaudra encore plus d’un tiers de sa valeur initiale. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}Pour déterminer l'évolution globale correspondant à des évolutions successives nous allons utiliser les coefficients multiplicateurs.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons le taux d'évolution globale $t_g$ en cinq ans.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de $20\ \%$ est 
		
		\begin{align*}
		CM_a &= 1+ \frac{t}{100}\\
		&= 1 + \frac{-20}{100}\\
		&= 0,8
		\end{align*}
		
		Donc le coefficient multiplicateur global correspondant à $5$ baisses de $20\ \%$ est 
		
		\begin{align*}
		CM_g &= CM_a \times CM_a \times CM_a \times CM_a \times CM_a\\
		&= CM_a^5\\
		&= 0,8^5 \\
		&= 0,32768
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons le taux d'évolution global:
		
		\begin{align*}
		t_g &= 100 \times (CM_g-1)\\
		&= 100 \times (0,32768-1)\\
		&= -67,232
		\end{align*}
		
		La valeur de la voiture a diminuée de $67,232\ \%$. Plus que $66,666\dots\ \%$ car, en effet $\frac{1}{3}=0,666\dots$
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans mon équipe, les trois quarts des joueurs sont mineurs et le tiers des majeurs a plus de $25$ ans.
		
		\textbf{Affirmation 4}: \og Un équipier sur six a entre 18 et 25 ans. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Un quart des joueurs sont majeurs et deux tiers de ce quart à moins de $25$ ans donc la proportion de personnes ayant entre $18$ et $25$ ans est:
		
		\begin{align*}
		\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} &= \frac{1}{6}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de $28$ élèves, on souhaite comparer les tailles des filles et des garçons. Voici les données dont on dispose:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Taille des treize filles en centimètre: \[ 149\ 155\
			161\ 142\ 167\ 163\ 157\ 150\ 165\ 152\ 161\ 159\ 160 \]
			\\
			\hline
			Taille des garçons: 
			
			Toutes les tailles sont des nombres entiers de centimètres et il n’y a pas deux garçons qui ont la même taille.
			
			On connaît également les indicateurs suivants: \[ \text{Étendue: } 29\ \mathrm{cm} \ 
			\text{Moyenne: } 159\ \mathrm{cm}\ \text{Médiane: } 161\ \mathrm{cm}. \]
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’écart, en centimètre, entre la taille moyenne des filles et la taille moyenne des garçons.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'écart, $\overline{e}$, entre la taille moyenne des filles, $\overline{x}_f$, et la taille moyenne des garçons, $\overline{x}_g$.}
		
		Par définition de la moyenne:
		
		\begin{align*}
		\overline{x}_f &= \frac{149 +155+161+ \dots +160}{13}\\
		&= 157
		\end{align*}
		
		D'où
		
		\begin{align*}
		\overline{e} &= \overline{x}_g- \overline{x}_f\\
		&= 159-157
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{e}=2\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans la classe, l’élève de plus petite taille mesure $140\ \mathrm{cm}$. Quelle est la taille de l’élève le plus grand?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le $\max$ de la classe.}
		
		Puisque la plus petite fille mesure $142\ \mathrm{cm}$ c'est donc un garçon qui mesure $140\ \mathrm{cm}$.
		
		L'étendue chez les garçons étant de $29\ \mathrm{cm}$, le plus grand garçon mesure $140\ \mathrm{cm} +29\ \mathrm{cm}=169\ \mathrm{cm}$.
		
		Comme la plus grande fille mesure $167\ \mathrm{cm}$ nous pouvons conclure.
		
		\begin{conclusion}
			
			$\max=169\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans la classe, combien d’élèves mesurent $162\ \mathrm{cm}$ ou plus?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Remarquons que $3$ filles mesurent $162\ \mathrm{cm}$ ou plus.
		
		Il y a $28-13=15$ garçons.
		
		De plus la médiane est de $161\ \mathrm{cm}$ ce qui signifie que $\frac{15}{2}+0,5=8$ garçons ont une taille supérieure ou égale à $161\ \mathrm{cm}$.
		
		Or tous les garçons ont des tailles distinctes donc il y a $7$ garçons dont la taille est supérieure ou égale à $162\ \mathrm{cm}$.
		
		\medskip
		En regroupant filles ($3$) et garçons ($7$):
		
		\begin{conclusion}
			
			il y a $10$ élèves qui mesurent plus de $162\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la taille moyenne, en centimètre, arrondie au millimètre, des élèves de cette classe.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la moyenne $\overline{x}$.}
		
		{\color{WildStrawberry}Il s'agit d'un calcul de moyenne de moyennes. Il faut être prudent et ne pas oublier de prendre en compte l'effectif correspondant à la moyenne.}
		
		\medskip
		\begin{align*}
		\overline{x} &= \frac{13 \times \overline{x}_f+15 \times \overline{x}_g}{28}\\
		&= \frac{13 \times 157+15 \times 159}{28}\\
		&= \frac{2213}{14}
		&\approx 158,07142
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{x} \approx 158,1\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Un élève veut obtenir la figure ci-contre à l’aide du logiciel de programmation Scratch:
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_01_scratch_triangle.png}
	\end{center}
	
	\emph{Le plus petit segment mesure 10 pixels et chaque segment mesure $10$ pixels de plus que le précédent.}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Pour télécharger le programme Scratch il suffit de cliquer dessus.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève écrit le programme suivant et obtient la figure ci-dessous.
		
		\noindent
		\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
			\begin{center}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_4_02_scratch_triangle.sb3}{
					\begin{scratch}[scale=0.8]
						\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
						\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
						\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
						\blockpen{effacer tout}
						\blockpen{stylo en position d'écriture}
						\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{10}}
						\blockrepeat{répéter \ovalnum{15} fois}
						{
							\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur}}
							\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
							\blockvariable{ajouter à \selectmenu{longueur} \ovalnum{10}}
						}
						\blocklook{cacher}
				\end{scratch}}
			\end{center}
			&
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_03_scratch_octogone.png}
			\end{center}
		\end{tabular}
		
		Que doit-il modifier dans son programme pour obtenir la figure attendue ? Aucune justification n’est attendue.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_4_02_scratch_triangle.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=0.8]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
					\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
					\blockpen{effacer tout}
					\blockpen{stylo en position d'écriture}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{10}}
					\blockrepeat{répéter \ovalnum{15} fois}
					{
						\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur}}
						\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{120} degrés}
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{longueur} \ovalnum{10}}
					}
					\blocklook{cacher}
			\end{scratch}}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la longueur, exprimée en pixel, du dernier segment tracé?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{WildStrawberry}La longueur suit une progression arithmétique (on parle de suite arithmétique) de raison $10$: à chaque étape la longueur variable est augmentée de $10$.}
		
		\medskip
		La valeur initiale de la $longueur$ est $10$ puis dans la boucle elle est augmentée $15$ fois de $10$. Autrement dit la $longueur$ du dernier segment tracé est:
		
		\begin{align*}
		longueur &= 10+15 \times 10
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La longueur du dernier segment est $160$ pixels.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que doit-on modifier dans le programme précédent pour obtenir la spirale suivante ?
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.6]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_05_scratch_carre.png}
		\end{center}
		
		\emph{Le plus petit segment mesure $10$ pixels et chaque segment mesure $10$ pixels de plus que le précédent.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Voici une modification possible:
		
		\begin{center}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_4_06_scratch_carre.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=0.8]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blockmove{aller à x: \ovalnum{0} y: \ovalnum{0}}
					\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
					\blockpen{effacer tout}
					\blockpen{stylo en position d'écriture}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{longueur} à \ovalnum{10}}
					\blockrepeat{répéter \ovalnum{20} fois}
					{
						\blockmove{avancer de \ovalvariable{longueur}}
						\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
						\blockvariable{ajouter à \selectmenu{longueur} \ovalnum{10}}
					}
					\blocklook{cacher}
			\end{scratch}}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Extrait du Bulletin officiel n° 31 du 30-7-2020 pour le cycle 3: \og connaître des procédures élémentaires de calcul, notamment: multiplier par $5$, par $25$, par $50$, par $0,1$, par $0,5$ \fg{}.}
	
	\medskip
	Dans le cadre d’une séance de calcul mental, un enseignant propose à des élèves de CM1 de revenir sur les procédures qu’ils ont utilisées pour effectuer le calcul: $5 \times 14$. Ci-dessous sont présentées les productions de Paco, Léa, Julie et Ali.
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			\textbf{Paco}
			
			\medskip
			$\begin{aligned}
			& 5 \times 4 =20\\
			& 5 \times 1 = 5+2 =7\\
			& 14 \times 5 =70
			\end{aligned}$
			
			&
			
			\textbf{Léa}
			
			\medskip
			$\begin{aligned}
			& 10 \times 5 = 50 \\
			& 11 \times 5 = 50 \\
			& 12 \times 5 = 60 \\
			& 13 \times 5 = 65 \\
			& 14 \times 5 = 70
			\end{aligned}$
			
			\\
			\hline
			\textbf{Julie}
			
			\medskip
			$\begin{aligned}
			& 14 +14 +14 + 14 +14 =70
			\end{aligned}$
			
			&
			
			\textbf{Ali}
			
			\medskip
			$\begin{aligned}
			& 14 \times 5 =70
			\end{aligned}$
			
			J'ai trouvé ce résultat car j'ai fait 
			
			$\begin{aligned}
			& 5 \times 10 + 5 \times 4 =70
			\end{aligned}$
			
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour chacun des quatre élèves, analyser les procédures et expliciter les faits numériques sollicités.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que peut proposer l’enseignant pour encourager Julie à abandonner sa procédure additive?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Indépendamment des nombres en jeu, comment l’enseignant peut-il procéder pour introduire la procédure suivante: $5 \times 14 = 10 \times 14:2$?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une trace écrite à faire noter dans les cahiers lors de l’institutionnalisation de la procédure introduite dans la question 3.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante de CM2 propose le problème suivant à ses élèves:
	
	\og Un touriste prend un train à Paris à $6\ \mathrm{h}\ \mathrm{47}$, le train s’arrête une première fois en gare de Bourg-en-Bresse d’où il repart à $8\ \mathrm{h}\ \mathrm{39}$. Le train arrive en gare de Bellegarde-sur-Valserine 53 minutes plus tard. Quelle a été la durée totale du voyage? \fg{}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_07_mateo.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_08_lucille.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_09_lea.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un tableau, analyser chacune des $3$ productions d’élèves en termes de réussites et d’erreurs.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle aide peut-on apporter à Lucille pour qu’elle comprenne et remédie à son ou ses erreur(s)?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Parmi les procédures utilisées par ces $3$ élèves, laquelle privilégier pour une mise en commun en classe de CM2? Justifier ce choix.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici une situation proposée par le manuel \og Pour comprendre les maths\fg{} - Hachette éducation - CM1:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.17]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_10_hachette.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Cet exercice a été réussi par l’ensemble des élèves d’une classe de CM1.
		
		L’enseignant propose cette même situation avec les fractions: \[ \frac{13}{5};\ \frac{6}{10};\ \frac{12}{6};\ \frac{1}{2};\ \frac{9}{9} \]
		
		Voici les réponses de Léo:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.17]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_11_leo.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser les réponses proposées par Léo, en repérant ses erreurs et réussites.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer la différence de réussites aux deux tâches proposées.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici une nouvelle situation extraite du même manuel:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.19]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_12_carres.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner un intérêt et une limite de cet exercice par rapport à l’exercice proposé à la question 1 précédente.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant propose de comparer les figures \textbf{e}, \textbf{g} et une nouvelle figure \textbf{h}.
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_13_carres_h.png}
			\end{center}
			
			Quel est l’intérêt de proposer ces trois figures ?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’enseignant décide ensuite de proposer la figure \textbf{i}.
			
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_4_14_carres_i.png}
			\end{center}
			
			Lilou trouve $\dfrac{4}{8}$. Tom dit: \og ce n’est pas possible car c’est la figure \textbf{c} et elles ne sont pas pareilles.\fg{}
			
			Comment l’enseignant peut-il amener Tom à comprendre que son affirmation est fausse?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2021 groupe 5.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_5_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_5_sujet.pdf}{pdf}.
		
		\medskip
		{\color{red}Merci à M. Langlois, Mme Schulz et M. Herminet pour leurs corrections.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\subsubsection{Partie A.}

\begin{sujet}
	
	Voici un graphique présentant le nombre d’apiculteurs en France métropolitaine:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_01_apiculteurs_1.png}
			\\
			\vspace*{-0.1cm}
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_02_apiculteurs_2_bis.png}
			\\
			\vspace*{-0.12cm}
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_03_apiculteurs_3.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		{\flushright \small \emph{Extrait de \og France-Agricole-FranceAgriMer-MIEL-2018-Observatoire miel et GR 2017 \fg{}}}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le nombre d’apiculteurs qui possédaient entre $150$ ruches et $399$ ruches en France métropolitaine en 2017.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\np{1523}$ apiculteurs possédaient entre $150$ et $399$ ruches en 2017.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le nombre total d’apiculteurs en 2017 en France métropolitaine.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$\np{49892} + \np{1939} + \np{1523} + \np{599}= \np{53953}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				En 2017 il y avait $\np{53953}$ apiculteurs.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le nombre d’apiculteurs qui possédaient entre $50$ ruches et $399$ ruches en France métropolitaine en 2016.
			
		\end{sujet}		
		
		\begin{correction}
			
			$\np{2020} + \np{2540} = \np{4560}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				En 2016 il y avait $\np{4560}$ apiculteurs avaient entre $50$ et $399$ ruches.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi la partie du diagramme concernant les apiculteurs possédant moins de $50$ ruches n’est pas représenté de la même façon que les autres parties.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il y a, approximativement $20$ fois plus d'apiculteurs ayant moins de $50$ ruches que dans les autres classes.
			
			\begin{conclusion}
				
				Le choix de la représentation découle de la disproportion dans le nombre d'apiculteurs dans cette classe.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour les apiculteurs ayant moins de $50$ ruches, le pourcentage d’augmentation entre 2016 et 2017 a été de $10,4\ \%$.
			
			Calculer le nombre d’apiculteurs en 2016 dans cette catégorie.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre, $n_{2016}$, d'apiculteurs en 2016.}
			
			{\color{WildStrawberry}Nous devons retrouver la valeur initiale, avant évolution. Pour cela nous allons utiliser le coefficient multiplicateur réciproque, qui n'est autre que l'inverse du coefficient multiplicateur de l'évolution.}
			
			\medskip
			Le coefficient multiplication correspondant à une augmentation de $10,4\ \%$ est
			
			\begin{align*}
			CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+\frac{10,4}{100}\\
			&= 1,104
			\end{align*}
			
			Nous avons donc: \[ n_{2016} \times CM = n_{2017}. \]
			
			Donc: \[ n_{2016} = CM_r n_{2017}, \] où $CM_=\frac{1}{CM}$ est le coefficient multiplicateur réciproque.
			
			Enfin:
			
			\begin{align*}
			n_{2016} &= \frac{1}{1,104} \times \np{49892}\\
			&\approx \np{45192,02}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\np{45192}$ apiculteurs avaient moins de $50$ ruches en 2016.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le pourcentage d’évolution du nombre d’apiculteurs possédant au moins $150$ ruches de 2016 à 2017, on arrondira le résultat au dixième d’unité de pourcentage.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons le taux d'évolution $t_{16\to17}$ du nombre d'apiculteurs possédant au moins $150$ ruches ente $2016$ et $2017$.}
		
		Le nombre d'apiculteurs ayant au moins $150$ ruches en 2016 est 
		
		\begin{align*}
		V_{16} &= 2540+608\\
		&= 3148
		\end{align*}
		
		\begin{align*}
		V_{17} &= 1523+599\\
		&= 2122
		\end{align*}
		
		\begin{align*}
		t_{16\to17} &= \frac{V_{17}-V_{16}}{V_{16}} \times 100\\
		&= \frac{2122-3148}{3148}\times 100\\
		&\approx -3259I1
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$t_{16\to17} \approx -32,6\ \%$. Autrement dit le nombre d'apiculteurs a diminué de $32,6\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B.}

\begin{sujet}
	
	Dans une ruche, le miel est stocké par les abeilles dans des alvéoles. On considère que l’entrée de ces alvéoles a la forme d’un hexagone régulier, c’est-à-dire d’un hexagone non croisé, ayant tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit l’hexagone régulier $ABCDEF$. On note $x$ la longueur d’un de ses côtés. Cet hexagone est
		inscrit dans un cercle de centre $O$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[rotate=25]
			\def\xO{0};
			\def\yO{0};
			\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
			\draw (O) node [below] {$O$};
			\draw ({\xO} , {\yO}) node {$\bullet$};
			\def\deg{60};
			\def\ray{2.5};
			\def\eps{0.3};
			\foreach \P/\n in { A/0, B/1, C/2, D/3, E/4, F/5} {
				\coordinate (\P) at ({\xO+\ray*cos(180+\n*\deg)} , {\yO+\ray*sin(180+\n*\deg)});
				\draw ({\xO+(\ray+\eps)*cos(180+\n*\deg)} , {\yO+(\ray+\eps)*sin(180+\n*\deg)}) node {$\P$};
				\draw ({\xO+\ray*cos(180+\n*\deg)} , {\yO+\ray*sin(180+\n*\deg)}) node {$\bullet$};
			};
			\draw (A) -- (B) -- (C);
			\draw (C) -- (D) node [midway, above left] {$x$};
			\draw (D) -- (E) -- (F) -- (A);
			\draw (F) -- (O) -- (E);
			\coordinate (G) at ({\xO+\ray*(cos(60)+cos(120))/2} , {\xO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2});
			\draw (G) node [below right] {$G$};
			\draw (G) -- (O);
			\def\epsi{0.3};
			\fill[color=gray , opacity=0.20] ({\xO-\epsi},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2}) -- ({\xO-\epsi},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2-\epsi}) -- ({\xO},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2-\epsi}) -- (G);
			\draw ({\xO-\epsi},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2}) -- ({\xO-\epsi},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2-\epsi}) -- ({\xO},{\yO+\ray*(sin(60)+sin(120))/2-\epsi});
			\draw [samples=100,domain=0:360] plot({\xO+\ray*cos(\x)},{\xO+\ray*sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que le triangle $FOE$ est un triangle équilatéral.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $FOE$ est équilatéral.}
			
			{\color{WildStrawberry}$FOE$ est équilatéral si et seulement si $FOE$ est isocèle en $O$ et $\widehat{EOF}=60\degres$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $[OF]$ et $[OE]$ sont des rayons du cercle donc $FOE$ est isocèle en $O$.
				
				\item Puisque l'hexagone est régulier $\widehat{EOF}=\frac{1}{6}\times 360\degres= 60\degres$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$FOE$ est équilatéral.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		On admet que l'aire d'un triangle équilatéral ayant des côtés de longueur $x$ est $\dfrac{\sqrt{3}}{4}x^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer l'aire de l'hexagone $ABCDEF$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}_1$ de l'hexagone.}
			
			L'hexagone est constitué de $6$ triangles équilatéraux tous isométriques à $FOE$. Donc
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_1 &= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} x^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \mathscr{A}_1 = \frac{3}{2}\sqrt{3}x^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			La périmètre de l'hexagone régulier vaut $18\ \mathrm{mm}$. Montrer que l'aire de cet hexagone, arrondie au millième près, vaut $0,234\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathscr{A}_1$.}
			
			Le périmètre de l'hexagone est $18\ \mathrm{mm}$, autrement dit
			
			\begin{align*}
			6x &= 18\ \mathrm{mm}\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{6x}{\color{orange}6} &= \frac {18\ \mathrm{mm}}{\color{orange}6}\\
			x &= \frac{18}{6}\ \mathrm{mm}\\
			x &= 3\ \mathrm{mm}
			\end{align*}
			
			Avec la formule de la question précédente:
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_1 &= \frac{3}{2} \sqrt{3} \left( 3\ \mathrm{mm} \right)^2\\
			&= \frac{3}{2} \sqrt{3} \times 3^2\ {\color{orange}\mathrm{mm}^2}\\
			&= \frac{27}{2}\sqrt{3}\ {\color{orange}\times \frac{1}{100}\ \mathrm{cm}^2 }\\
			&\approx 0,2338\ \mathrm{cm}^2 \quad \text{en tronquant}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_1 \approx 0,234\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les abeilles utilisent cette forme hexagonale régulière pour paver le plan:
		
		{\hspace*{-1cm}
			\begin{tikzpicture}[rotate=50]
			\def\xO{0};
			\def\yO{0};
			\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
			\draw (O) node [above] {$O$};
			\draw (O) node [below] {\footnotesize \textbf{Hexagone A}};
			\def\ray{1.2};
			\def\horiz{\ray*sqrt(3)/2};
			\fill[color=gray , opacity=0.20] ({\xO+\ray*cos(0)} , {\yO+\ray*sin(0)}) -- ({\xO+\ray*cos(60)} , {\yO+\ray*sin(60)}) -- ({\xO+\ray*cos(120)} , {\yO+\ray*sin(120)}) -- ({\xO+\ray*cos(180)} , {\yO+\ray*sin(180)}) -- ({\xO+\ray*cos(240)} , {\yO+\ray*sin(240)}) -- ({\xO+\ray*cos(300)} , {\yO+\ray*sin(300)}) -- cycle;
			\foreach \abs/\ord in {0/4, -1.5/3, -3/2, 0/2, 3/2, -1.5/1, 1.5/1, -3/0, 0/0, 3/0, -1.5/-1, 1.5/-1, 4.5/-1, 0/-2, 3/-2, -1.5/-3, 1.5/-3, 4.5/-3, 0/-4 } {
				\foreach \angle in {0,60,...,300} {
					\draw ({\xO+\ray*\abs+\ray*cos(\angle)} , {\yO+\horiz*\ord+\ray*sin(\angle)}) -- ({\xO+\ray*\abs+\ray*cos(\angle+60)} , {\yO+\horiz*\ord+\ray*sin(\angle+60)});
					\draw ({\xO+\ray*\abs+\ray*cos(\angle)} , {\yO+\horiz*\ord+\ray*sin(\angle)}) node {\footnotesize $\bullet$};
				};
				\draw ({\xO+\ray*\abs} , {\yO+\horiz*\ord}) node {\tiny $\bullet$};
			};
			\foreach \abs/\ord/\P in {0/2/O_5, -1.5/1/O_4, 1.5/1/O_6, 3/0/O_7, -1.5/-1/O_3, 1.5/-1/O_1, 4.5/-1/O_8, 0/-2/O_2 } {
				\draw ({\xO+\ray*\abs} , {\yO+\horiz*\ord}) node [above right] {$\P$};
			};
			\draw ({\xO+\ray*1.5} , {\yO+\horiz*(-1)}) node [below] {\footnotesize \textbf{Hexagone B}};
			\draw ({\xO+\ray*4.5} , {\yO+\horiz*(-3)}) node [below] {\footnotesize \textbf{Hexagone C}};
			\end{tikzpicture}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Caractériser trois transformations qui permettent de passer de l’\textbf{Hexagone A} à
			l’\textbf{Hexagone B}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			On peut passer de l'hexagone \textbf{A} à l'hexagone \textbf{B} par
			
			\begin{conclusion}
				
				
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					
					\item la translation de vecteur $\overrightarrow{OO_1}$,
					
					\item La symétrie centrale de centre le milieu de $[OO_1]$,
					
					\item la symétrie axiale d'axe $[O_2O_6]$.
					
				\end{enumerate}
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Caractériser une transformation qui permet de passer de l’\textbf{Hexagone A} à l’\textbf{Hexagone C}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			On peut passer de l'hexagone \textbf{A} à l'hexagone \textbf{C} par
			
			\begin{conclusion}
				
				la translation de vecteur $3\overrightarrow{OO_1}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On admet qu’une alvéole a la forme d’un prisme régulier à base hexagonale, et est ouverte sur une face pour permettre le passage de l’abeille.
		
		On admet que la partie visible de chacune des alvéoles est un hexagone régulier dont le côté mesure $3\ \mathrm{mm}$ et que la profondeur des alvéoles, notée $h$, mesure $11,5\ \mathrm{mm}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.4]
			\def\xO{0};
			\def\yO{0};
			\coordinate (O) at ({\xO},{\yO});
			%\draw (O) node [below] {$O$};
			\def\deg{60};
			\def\degdec{0};
			\def\ray{2.5};
			\def\eps{0.3};
			\foreach \P/\n in {A/1,B/2,C/3,D/4,E/5,F/0} {
				\coordinate (\P) at ({\xO+\ray*cos(\degdec+180+\n*\deg)} , {\yO+\ray*sin(\degdec+180+\n*\deg)});
				\draw ({\xO+(\ray+\eps)*cos(\degdec+180+\n*\deg)} , {\yO+(\ray+\eps)*sin(\degdec+180+\n*\deg)}) node {\tiny $\P$};
			};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (F) -- cycle;
			\def\deltx{6};
			\def\delty{5};
			\foreach \P/\n in {A/1,B/2,C/3,D/4,E/5,F/0} {
				\coordinate (\P') at ({\xO+\deltx+\ray*cos(\degdec+180+\n*\deg)} , {\yO+\delty+\ray*sin(\degdec+180+\n*\deg)});
			};
			\draw (B') -- (C') -- (D') -- (E');
			\draw[dashed]  (E') -- (F') -- (A') -- (B');
			\foreach \P in {B,C,D,E} {
				\draw (\P) -- (\P');
			};
			\foreach \P in {A,F} {
				\draw [dashed] (\P) -- (\P');
			};
			\end{tikzpicture}		
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la contenance d’une alvéole est environ $270\ \mathrm{mm}^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ d'une alvéole.}
			
			Puisque l'alvéole à une forme de prisme son volume est
			
			\begin{align*}
			\mathscr{V}_1 &= \mathscr{B} \times h,\quad\text{ou } \mathscr{B} \text{ est l'aire de la base.}\\
			\intertext{Or la base est ici hexagonale, donc, d'après la quesion B.1.(b):}
			\mathscr{V}_1 &= \frac{3}{2}\sqrt{3} \left(3 \ \mathrm{mm} \right)^2 \times 11,5\ \mathrm{mm}\\
			&= \frac{3}{2}\sqrt{3}\times 3^2  \times 11,5 \ \mathrm{mm}^3\\
			&\approx 268,90089\ \mathrm{mm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_1 \approx 270\ \mathrm{mm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la contenance d’une alvéole en millilitre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
			1\ \mathrm{mm}^3 &= 1\times \left( \frac{1}{100}\ \mathrm{dm} \right)^3\\
			&= 1 \times \left( \frac{1}{100} \right)^3 \ \mathrm{dm}^3\\
			&= 10^{-6}\ \mathrm{L}\\
			&= 10^{-6} \times 1000\ \mathrm{mL}\\
			&= 10^{-3}\ \mathrm{mL}
			\end{align*}
			
			Par conséquent la contenance d'une alvéole est de 
			
			\begin{align*}
			\mathscr{V}_1 &\approx 270 \times 10^{-3} \ \mathrm{mL}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_1 \approx 0,27\ \mathrm{mL}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Construire un patron d’une alvéole à l’échelle $6:1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Dessinons un patron d'une alvéole à l'échelle imposée.}
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
					\hline
					Taille réelle & $1$ & $3\ \mathrm{mm}$ & $11,5\ \mathrm{mm}$
					\\
					\hline
					Taille à l'échelle & $6$ & $18\ \mathrm{mm}$ & $69\ \mathrm{mm}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			{\color{orange}La figure n'est pas à l'échelle demandée car ça ne rentrait pas. Elle est à $80\ \%$ de la taille demandée.}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\def\cote{1.8};
			\def\longue{6.9};
			\draw ({-\longue/2},{-3*\cote}) -- ({\longue/2},{-3*\cote}) -- ({\longue/2},{3*\cote}) -- ({-\longue/2},{3*\cote}) --cycle;
			\draw ({-\longue/2},{-2*\cote}) -- ({\longue/2},{-2*\cote});
			\draw ({-\longue/2},{-1*\cote}) -- ({\longue/2},{-1*\cote});
			\draw ({-\longue/2},{-0*\cote}) -- ({\longue/2},{-0*\cote});
			\draw ({-\longue/2},{1*\cote}) -- ({\longue/2},{1*\cote});
			\draw ({-\longue/2},{2*\cote}) -- ({\longue/2},{2*\cote});
			\draw ({-\longue/2},{0*\cote}) -- ({-\longue/2-sqrt(3)/2*\cote+0.5*\cote},{sqrt(3)/2*\cote}) -- ({-\longue/2-sqrt(3)/2*\cote-0.5*\cote},{sqrt(3)/2*\cote}) -- ({-\longue/2-2*sqrt(3)/2*\cote},{0*\cote}) -- ({-\longue/2-2*sqrt(3)/2*\cote},{-1*\cote}) -- ({-\longue/2-sqrt(3)/2*\cote-0.5*\cote},{-1*\cote-sqrt(3)/2*\cote}) -- ({-\longue/2-sqrt(3)/2*\cote+0.5*\cote},{-1*\cote-sqrt(3)/2*\cote}) -- ({-\longue/2},{-1*\cote});
			%\draw[dashed][samples=100,domain=0:360] plot({\cote*cos(\x)-\longue/2-sqrt(3)/2*\cote},{\cote*sin(\x)-\cote/2});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{sujet}
	
	Une ruche Dadant est un modèle de ruche à cadres. Elle porte le nom de son inventeur, Charles Dadant (1817-1902). Un cadre de ruche Dadant est un rectangle de dimensions $41\ \mathrm{cm} \times 26,5\ \mathrm{cm}$; dans ce qui suit, on négligera l’épaisseur du cadre. Une ruche contient $10$ ou $12$ cadres rectangulaires qui vont accueillir les alvéoles sur les faces avant et arrière de chaque cadre.
	
	Dans cette partie on considère uniquement des ruches Dadant à $12$ cadres.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En assimilant chaque alvéole à un carré dont les côtés mesurent 5 mm, montrer que l’on peut estimer qu’une telle ruche peut héberger $\np{100 000}$ alvéoles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre $n_r$ d'alvéole hébergés dans une ruche.}
		
		Une alvéole occupe une surface de $\left( 5\ \mathrm{mm} \right)^2 = 5^2 \ \mathrm{mm}^2= 25\ \mathrm{mm}^2$.
		
		Or la surface d'un cadre est de
		
		\begin{align*}
		\mathscr{A}_2 &= \left( 41 \ \mathrm{cm} \right) \times \left( 26,5\ \mathrm{cm} \right)\\
		&= \left( 410\ \mathrm{mm} \right) \times \left( 265\ \mathrm{mm} \right)\\
		&= 410 \times 265\ \mathrm{mm}\cdot \mathrm{mm}\\
		&= \np{108650}\ \mathrm{mm}^2
		\end{align*}
		
		donc le nombre d'alvéole hébergées par les deux côtés du cadre est:
		
		\begin{align*}
		n_c &= 2 \times \frac{\np{108650}\ \mathrm{mm}^2}{25\ \mathrm{mm}^2}\\
		&= \np{8692}
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons pour $12$ cadres:
		
		\begin{align*}
		n_r &= 12 \times n_c\\
		&= 12 \times \np{8692}\\
		&= \np{104304}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Une ruche héberge approximativement $\np{100000}$ alvéoles.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le volume de miel, arrondi au litre, que peuvent contenir l’ensemble des $\np{100 000}$ alvéoles d’une ruche Dadant à $12$ cadres est $27\ \mathrm{L}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le volume de miel $\mathscr{V}_2$ dans une ruche.}
		
		D'après la question B.3.(b) le volume de miel dans les $\np{100000}$ alvéoles est:
		
		\begin{align*}
		\mathscr{V}_2 &= \np{100000} \times 0,27\ {\color{orange}\mathrm{mL}}\\
		&= \np{100000} \times 0,27\ {\color{orange}\frac{1}{1000}\ \mathrm{L}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_2=\np{27}\ \mathrm{L}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On dispose des deux documents ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{6cm}|}
				\hline
				\textbf{Une sortie d’une abeille butineuse.}\\
				\\
				Nombre de fleurs butinées: $20$ à $300$.\\
				Durée de la sortie: $20$ minutes.\\
				Distance parcourue: $1\ \mathrm{km}$.\\
				Vitesse de l’abeille en vol: $27\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.\\
				Masse de nectar récolté: $6\times 10^{-5}\ \mathrm{kg}$.\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{6cm}|}
				\hline
				\textbf{Miel.}
				\\
				\\
				Masse volumique: $1,4\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}$.\\
				Quantité de nectar nécessaire pour fabriquer $1\ \mathrm{kg}$ de miel: $4\ \mathrm{kg}$.\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Répondre aux questions suivantes en utilisant les documents ci-dessus et les questions précédentes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle masse de nectar doivent récolter les abeilles pour obtenir $25\ \mathrm{g}$ de miel?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il s'agit d'une situation de proportionnalité. Schématisons la par un tableau.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$1\ \mathrm{kg}= \np{1000}\ \mathrm{g}$ & $25\ \mathrm{g}$
					\\
					\hline
					$4\ \mathrm{kg} = \np{4000}\ \mathrm{g}$ & $x\ \mathrm{g}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			{\color{orange}Les changements d'unités ne sont pas indispensables ici puisque les proportions sont des nombres sans unités. Cependant cela peut faciliter un raisonnement consistant à se ramener à l'unité.}
			
			\medskip
			Donc $x=25 \times \frac{4000}{1000}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour obtenir $25\ \mathrm{g}$ il faut récolter $100\ \mathrm{g}$ de nectar.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle masse de nectar doivent récolter les abeilles pour obtenir $100\ \mathrm{mL}$ de miel?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Raisonnons là encore par proportionnalité. Nous savons que la masse volumique du miel est de $1,4\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}$. Autrement dit chaque litre à une masse de $1,4\ \mathrm{kg}$.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$1,4\ \mathrm{kg}$ & $x\ \mathrm{kg}$
					\\
					\hline
					$1\ \mathrm{L}=\np{1000}\ \mathrm{mL}$ & $100\ \mathrm{mL}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Donc: $x=\frac{1,4\ \mathrm{kg}}{\np{1000}\ \mathrm{mL}} \times 100\ \mathrm{mL}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour obtenir $100\ \mathrm{mL}$ de miel les abeilles doivent récolter $0,14\ \mathrm{kg}$ de nectar.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Estimer la masse de miel que peuvent contenir l’ensemble des alvéoles d’une ruche Dadant à $12$ cadres.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question C.2. la ruche contient $27\ \mathrm{L}$ or chaque litre a une masse de $1,4\ \mathrm{kg}$ donc la masse de miel est
			
			\begin{align*}
			m_1 &= 27 \ \mathrm{L} \times 1,4 \ \mathrm{kg}/ \mathrm{L}\\
			&= 27 \times 1,4\ \mathrm{L} \cdot \mathrm{kg}/ \mathrm{L}\\
			&= 37,8\ \mathrm{kg}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				la masse contenue dans une ruche est $37,8\ \mathrm{kg}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer qu’une estimation de la distance parcourue par l’ensemble des abeilles pour obtenir $1$ kilogramme de miel est de $\np{67 000}\ \mathrm{km}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item \objectif{Déterminons le nombre, $n_s$, de sorties nécessaires pour obtenir $1\ \mathrm{kg}$ de miel.}
				
				Pour obtenir un $1\ \mathrm{kg}$ de miel il faut récolter $4\ \mathrm{kg}$ de nectar.
				
				Chaque sortie permet de récolter $6 \times 10^{-5}\ \mathrm{kg}$ de nectar, donc (encore de la proportionnalité) pour obtenir $4\ \mathrm{kg}$ de miel le nombre de sorties nécessaires est:
				
				\begin{align*}
				n_s &= \frac{4\ \mathrm{kg}}{6 \times 10^{-5}\ \mathrm{kg}}\\
				&= \frac{4}{6 \times 10^{-5}}\\
				&\approx \np{66667}
				\end{align*}
				
				\item \objectif{Déterminons la distance parcourue pour récolter $4\ \mathrm{kg}$ de nectar.}
				
				À chaque sortie la distance parcourue est de $1\ \mathrm{km}$ donc la distance parcourue lors de $\np{66667}$ sorties est $\np{66667} \times 1\ \mathrm{kg}$.
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour obtenir $1\ \mathrm{kg}$ de miel les abeilles doivent parcourir approximativement $\np{67000}\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Estimer la distance parcourue par l’ensemble des abeilles pour remplir de miel l’ensemble des alvéoles d’une ruche Dadant à $12$ cadres (sans compter le miel consommé par les abeilles elles-mêmes).
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question C.3.(c) la ruche contient $37,8\ \mathrm{kg}$ et, d'après la question précédente, chaque kilogramme nécessite un parcours de $\np{67000}\ \mathrm{km}$ donc la distance parcouru, en kilomètre, pour remplir la ruche est:
			
			\begin{align*}
			37,8 \times \np{67000} &= \np{2532600}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour remplir une ruche les abeilles doivent parcourir $\np{2532600}\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Une urne contient des boules rouges, bleues, noires et vertes. On suppose que ces boules sont indiscernables au toucher.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_04_urne.png}
	\end{center}
	
	La probabilité de tirer une boule rouge est de $\dfrac{1}{4}$.
	
	La probabilité de tirer une boule verte est de $0,3$.
	
	La probabilité de tirer une boule noire est de $20\ \%$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On tire au hasard une boule dans cette urne. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Ici l'univers n'est pas descriptible par ses issues puisque nous ne connaissons pas le nombre de boules. Nous allons travailler avec le système complet d'événements correspondant aux différentes couleurs.}
		
		\medskip
		Notons $B$ l'événement \og obtenir une boule bleue\fg{} et de même $R$, $N$ et $V$.
		
		Considérons l'univers $\Omega = \{ N, R, B, V\}$ muni de la loi de probabilité décrite par l'énoncé.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		Puisque, par définition de la loi de probabilité:
		
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(N)+\mathbb{P}(R)+\mathbb{P}(B)+\mathbb{P}(V) &= 1\\
		\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
		\frac{20}{100}+ \frac{1}{4}+\mathbb{P}(B)+0,3 &= 1\\
		\mathbb{P}(B)+ \frac{3}{4} &= 1\\
		\mathbb{P}(B)+\frac{3}{4} {\color{orange}-\frac{3}{4}} &= 1 {\color{orange}-\frac{3}{4}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(B) = \frac{1}{4}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Il y a $140$ boules dans l’urne. Donner le nombre de boules de chaque couleur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le contexte de l'exercice laisse entendre que chaque boule à la même probabilité d'être tirée qu'une autre. Autrement dit il y a équiprobabilité entre les diverses boules. Par conséquent les probabilités se confondent avec les proportions.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons le nombre, $n_R$, de boules rouges.}
		
		Puisque $\frac{1}{4}$ des $140$ boules sont rouges:
		
		\begin{align*}
		n_R &= \frac{1}{4} \times 140\\
		&= 35
		\end{align*}
		
		En procédant de même pour les différentes couleurs:
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Couleur & $N$ & $R$ & $B$ & $V$
				\\
				\hline
				Nombre & $28$ & $35$ & $35$ & $42$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On effectue maintenant deux tirages successifs avec remise.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge puis une boule verte?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Schématisons l'expérience aléatoire par un arbre pondéré. Il y a $2$ tirages donc notre arbre aura deux niveaux. De plus comme le tirage se fait avec remise nous retrouverons les mêmes embranchements sur chaque niveau avec les mêmes probabilités: $\frac{28}{140}=0,2$, $\frac{35}{140}=0,25$ et $\frac{42}{140}=0,3$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{4};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{4};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{16};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{4};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{3+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$N$/$\np{0,2}$/\posA,
					nA2/A2/2/$R$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA3/A3/3/$V$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA4/A4/4/$B$/$\np{0,3}$/\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$N$/$\np{0,2}$/\posB,
					nA1/nB2/B2/2/$R$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA1/nB3/B3/3/$V$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA1/nB4/B4/4/$B$/$\np{0,3}$/\posB,
					nA2/nB5/B5/5/$N$/$\np{0,2}$/\posB,
					nA2/nB6/B6/6/$R$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA2/nB7/B7/7/$V$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA2/nB8/B8/8/$B$/$\np{0,3}$/\posB,
					nA3/nB9/B9/9/$N$/$\np{0,2}$/\posB,
					nA3/nB10/B10/10/$R$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA3/nB11/B11/11/$V$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA3/nB12/B12/12/$B$/$\np{0,3}$/\posB,
					nA4/nB13/B13/13/$N$/$\np{0,2}$/\posB,
					nA4/nB14/B14/14/$R$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA4/nB15/B15/15/$V$/$\np{0,25}$/\posB,
					nA4/nB16/B16/16/$B$/$\np{0,3}$/\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(RV)$.}
			
			D'après le principe multiplicatif:
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(RV) &= 0,25 \times 0,25
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(RV)= 0,0625$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge et une boule verte?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(R\cap V)$.}
			
			$R\cap V= \{ RV;VR \}$ donc
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(R \cap V) &= \mathbb{P}(RV) + \mathbb{P}(VR)\\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			\mathbb{P}(R \cap V) &= 0,25 \times 0,25 + 0,25 \times 0,25
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(R\cap V)= 0,125$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité de tirer deux boules de la même couleur?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $E$ l'événement \og obtenir deux boules de la même couleur \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E)$.}
			
			$E = \{ NN, RR, VV,BB \}$.
			
			Donc:
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(E) &= \mathbb{P}(NN) + \mathbb{P}(RR) + \mathbb{P}(VV) + \mathbb{P}(BB)\\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			\mathbb{P}(E)&= 0,2 \times 0,2 +0,25\times 0,25+0,25 \times 0,25 + 0,3 \times 0,3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E) = 0,255$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	On donne la copie d'écran de deux algorithmes réalisés à l'aide du logiciel Scratch.
	
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{5cm}m{0.5cm}m{5cm}}
		\begin{center}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_5_05_scratch_algorithme_1.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=0.8]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
					\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{3}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalvariable{Résultat}}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}-\ovalnum{9}}}
					\blocklook{dire \ovalvariable{Résultat} pendant \ovalnum{2} secondes}
			\end{scratch}}
			
			\textbf{Algorithme 1} 
			
		\end{center}
		&&	
		\begin{center}\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2021_maths/crpe_2021_maths_externe_sujet_5_06_scratch_algorithme_2.sb3}{
				\begin{scratch}[scale=0.8]
					\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
					\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
					\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{3}}
					\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalsensing{Réponse}}}
					\blocklook{dire \ovalvariable{Résultat} pendant \ovalnum{2} secondes}
			\end{scratch}}
			
			\textbf{Algorithme 2}
			
		\end{center}
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Cliquez sur les programmes ci-dessus pour les télécharger.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que si le nombre de départ est $2$, on obtient $16$ avec chacun des deux algorithmes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour le premier algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $2$ & $2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{3}}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			$2+3=5$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalvariable{Résultat}}}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			$5 \times 5 =25$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}-\ovalnum{9}}}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			$25-9=16$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		Pour le second algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $2$ & $2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{6}}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			$2+6=8$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalsensing{Réponse}}}
			\end{scratch}
			& $2$ &
			$8 \times 2 =16$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si le nombre choisi en entrée est $2$ alors les deux algorithmes renvoient $16$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le nombre de départ est $1,2$. Quel(s) nombre(s) obtient-on avec chacun des deux algorithmes?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour le premier algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ & $2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{3}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			$1,2+3=4,2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalvariable{Résultat}}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			$4,2 \times 4,2 =17,64$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}-\ovalnum{9}}}
			\end{scratch}
			& $1	,2$ &
			$17,64-9=8,64$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		Pour le second algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ & $1,2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{6}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			$1,2+6=7,2$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalsensing{Réponse}}}
			\end{scratch}
			& $1,2$ &
			$7,2 \times 1,2 =8,64$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si le nombre choisi en entrée est $1,2$ alors les deux algorithmes renvoient $8,64$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle conjecture peut-on émettre? Démontrer cette conjecture.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Nous conjecturons:
		
		\begin{conclusion}
			
			Il semble que les deux algorithme renvoie la même valeur.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Recherchons ce que renvoient les deux algorithmes pour une valeur en entrée égale à $x$.
		
		Pour le premier algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $x$ & $x$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{3}}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			$x+3$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalvariable{Résultat}}}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			$(x+3) \times (x+3)$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}-\ovalnum{9}}}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			$(x+3)^2 -9$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		Pour le second algorithme nous obtenons le tableau d'état des variables suivant.
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
			\hline
			Ligne de code. & Réponse. & Résultat.
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blocksensing{demander \ovalnum{Saisir un nombre} et attendre}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovalsensing{réponse}}
			\end{scratch}
			& $x$ & $x$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{ajouter à \selectmenu{Résultat} \ovalnum{6}}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			$x+6$
			\\
			\hline
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockvariable{mettre \selectmenu{Résultat} à \ovaloperator{\ovalvariable{Résultat}*\ovalsensing{Réponse}}}
			\end{scratch}
			& $x$ &
			$(x+6) \times x$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $(x+3)^2-9=(x+6) \times x$.}
		
		{\color{orange}La méthode consiste ici à développer, réduire et ordonner autant que possible les deux expressions ci-dessus pour s'assurer qu'elles sont égales.}
		
		D'une part:
		
		\begin{align*}
		(x+3)^2-9 &= x^2+2 \times x \times 3^2-9\\
		&= x^2-3x+9-9\\
		&= x^2-6x
		\end{align*}
		
		d'autre part:
		
		\begin{align*}
		(x+6) \times x &= x \times x +6 \times x\\
		&= x^2+6x
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$(x+3)^2-9=x^2+6x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Les dimensions du voilier de madame Guidel sont données ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_07_bateau.png}
	\end{center}
	
	$AE = 12\ \mathrm{m}$, $BG = 11\ \mathrm{m}$, $DE = CD = 1\ \mathrm{m}$, $BE = 5\ \mathrm{m}$.
	
	Les points $A$, $F$ et $G$ ainsi que les points $C$, $D$ et $F$ et les points $B$, $E$ et $G$ sont alignés.
	
	Les droites $(DF)$ et $(EG)$ sont parallèles.
	
	Les droites $(AE)$ et $(BG)$ sont perpendiculaires.
	
	\medskip
	La voile de l’avant, appelée foc, est représentée par le triangle $ABC$.
	
	La grand-voile est représentée par le triangle $ADF$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En utilisant le théorème de Thalès dans le triangle $AEG$, déterminer la longueur de la bôme $[DF]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $DF$.}
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} $A$, $D$ et $E$ d'une part, $A$, $F$ et $G$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèse pour la forme directe du théorème.} $(DF) \parallel (EG)$.
			
		\end{enumerate}
		
		Des points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{AD}{AE} = \frac{DF}{EG}.\]
		
		Puisque $E \in [BG]$ \[ EG=BG-BE=11\ \mathrm{m}-5 \ \mathrm{m}=6\ \mathrm{m}\] et puisque $D \in [AE]$, \[ AD=AE-DE=12\ \mathrm{m} -1\ \mathrm{m}=11\ \mathrm{m}\] nous avons donc \[ \frac{11}{12}=\frac{DF}{6}.\]
		
		Nous en déduisons successivement
		
		\begin{align*}
		\frac{11}{12} {\color{orange}\times 6} &= \frac{DF}{6} {\color{orange}\times 6}\\
		5,5 &= DF
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$DF=5,5\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire de la grand-voile.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_{g}$ de la grand-voile.}
		
		{\color{orange}La grand-voile a une forme triangulaire nous devrions donc chercher une hauteur pour calculer son aire mais il s'agit en fait d'un triangle rectangle donc nous choisirons l'un des côtés de l'angle droit comme hauteur.}
		
		\medskip
		Puisque $(EG) \perp (AE)$ et $(EG) \parallel (DF)$, nécessairement $(DF)\perp (AE)$.
		
		Puisque $ADF$ est un triangle rectangle en $D$:
		\begin{align*}
		\mathscr{A}_g &= \frac{1}{2} \times AD \times DF\\
		&= \frac{1}{2} \times 11\ \mathrm{m} \times 5,5\ \mathrm{m}\\
		&= \frac{1}{2} \times 11 \times 5,5\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{m}\\			
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_g=30,25\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Lorsque le vent forcit, on remplace le foc par une voile plus petite appelée trinquette. La trinquette est une réduction du foc de coefficient $\dfrac{4}{5}$ (appliquée aux longueurs).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire du triangle $ADC$ et du quadrilatère $BCDE$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ADC)$ de $ADC$.}
			
			$ADC$ est rectangle en $D$ donc
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(ADC) &= \frac{1}{2} \times AD \times DC\\
			&= \frac{1}{2} \times 11\ \mathrm{m} \times 1\ \mathrm{m}\\
			&= \frac{1}{2} \times 11 \times 1 \ \mathrm{m}\cdot \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(ADC)= 5,5\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(BCDE)$ de $BCDE$.}
			
			$BCDE$ est un trapèze rectangle en $E$ de bases $[BE]$ et $[CD]$ donc son aire est
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(BCDE) &= \frac{1}{2} \times (BE+CD) \times DE\\
			&= \frac{1}{2} \times (5\ \mathrm{m} + 1\ \mathrm{m} ) \times 1\ \mathrm{m}\\
			&= \frac{1}{2} \times 6\ \mathrm{m} \times 1 \ \mathrm{m}\\
			&= \frac{1}{2} \times 6 \times 1 \  \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(BCDE)=3\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que l'aire du foc $(ABC)$ est de $21,5\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ABC)$ de $ABC$.}
			
			$ABE$ est rectangle en $E$ donc son aire est
			
			\begin{align*}
			\mathscr{ABE} &= \frac{1}{2} \times AE \times EB\\
			&= \frac{1}{2} \times 12\ \mathrm{m} \times 5\ \mathrm{m}\\
			&= 30\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			Nous en déduisons
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABC) &= \mathscr{A}(ABE)-\mathscr{A}(ADC)-\mathscr{A}(BCDE)\\
			&= 30\ \mathrm{m}^2-5,5\ \mathrm{m}^2 -3 \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(ABC)=21,5\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire l'aire de la trinquette.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_t$ de la trinquette.}
			
			Si les longueurs, exprimées en $\mathrm{m}$, sont multipliées par $\frac{4}{5}$ alors les aires, exprimées en $\mathrm{m}^2$ sont multipliées par $\left( \frac{4}{5} \right)^2=\frac{16}{25}$.
			
			Donc:
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_t &= \frac{16}{25} \times \mathscr{A}(ABC)\\
			&= \frac{16}{25} \times 21,5\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_t=13,76\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour cette question, on admet que l’aire de la surface totale des voiles (grand-voile, foc et trinquette) est égale à $65,51\ \mathrm{m}^2$. La propriétaire hésite entre deux voileries pour la fabrication de ses voiles.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				\textbf{Maître voilier local}
				
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					
					\item Tarif: $86\ \text{\euro}/\mathrm{m}^2$.
					
					\item Qualité du tissu: $340\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^2$.
					
					\item  Livraison offerte.
					
				\end{enumerate}
				&
				\textbf{Usine en Asie}
				
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					
					\item Tarif de base: $64\ \text{euro}/\mathrm{m}^2$.
					
					\item Qualité du tissu: $340\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^2$.
					
					\item Taxes d'importation: $32\ \%$ du prix de base de la marchandise.
					
					\item Frais de port à la charge du client
					
				\end{enumerate}
				
				\\
				\hline
				\multicolumn{2}{|c|}{
					\textbf{Frais de port de l'Asie vers la France}
				}
				\\			
				\multicolumn{2}{|c|}{
					\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
						\hline
						Masse (en $\mathrm{kg}$, arrondie à l'unité) & Prix à payer
						\\
						\hline
						Entre $5$ et $10$ & $100 \ \text{\euro}$
						\\
						\hline
						Entre $11$ et $18$ & $150 \ \text{\euro}$
						\\
						\hline
						Entre $19$ et $25$ & $250 \ \text{\euro}$
						\\
						\hline
						Au-delà de $26\ \mathrm{kg}$ & Contacter le service client.
						\\
						\hline
					\end{tabularx}
				}
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		Déterminer la solution la plus économique en justifiant la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons les deux tarifs.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item En local.
			
			Par proportionnalité, le prix des voiles sera de 
			
			\begin{align*}
			86\ \text{\euro}/\mathrm{m}^2 \times 65,51\ \mathrm{m}^2 &= 86 \times 65,51\ \text{\euro}\\
			&= 5633,86\ \text{\euro}
			\end{align*}
			
			\item En Asie.
			
			Par proportionnalité, le prix des voiles sera de 
			
			\begin{align*}
			64\ \text{\euro}/\mathrm{m}^2 \times 65,51\ \mathrm{m}^2 &= 64 \times 65,51\ \text{\euro}\\
			&= 4192,64\ \text{\euro}
			\end{align*}
			
			Les taxes induisent une augmentation de $32\ \%$, ce qui correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\frac{32}{100}=1,32$.
			
			Donc après taxation le prix sera de
			
			\begin{align*}
			1,32 \times 4192,64\ \text{\euro} &= 5534,2848\ \text{\euro}
			\end{align*}
			
			La qualité du tissu étant de $0,34\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2$, la masse des voiles commandées est de
			
			\begin{align*}
			0,34\ \mathrm{kg}/ \mathrm{m}^2 \times 65,51\ \mathrm{m}^2 &= 0,34 \times 65,51\ \mathrm{kg}\\
			&= 22,2734\ \mathrm{kg}
			\end{align*}
			
			Il faudra donc payer $250\ \text{\euro}$ de frais de port.
			
			Finalement l'achat des voileries reviendra à
			
			\begin{align*}
			5534,2848\ \text{\euro}+250\ \text{\euro} &= 5784,2848
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'achat en local est plus économique.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Après avoir introduit les nombres décimaux et l’addition des nombres décimaux, un enseignant de CM1 propose à ses élèves le problème ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			Chez le fromager, Madame Costa a dépensé $41\ \text{\euro}$.
			
			Elle a acheté une part de comté à $18,28\ \text{euro}$, une part de beaufort à $15,72\ \text{\euro}$ et un reblochon.
			
			Combien a coûté le reblochon?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	On a retranscrit ci-dessous les réponses de quatre élèves.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_08_eleve_a.png}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_09_eleve_b.png}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_10_eleve_c.png}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_11_eleve_d.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier qu’il est possible de proposer un tel problème alors que la soustraction des nombres décimaux n’a pas encore été étudiée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’appuyant sur l’extrait de la note de service proposé ci-dessous, analyser les productions des quatre élèves en termes de réussites et d’erreurs pour chacune des compétences \og Modéliser \fg{} et \og Calculer \fg{}.
		
		\begin{center}
			
			\emph{Extrait de la note de service n°2018-052 du 25-4-2018 \og La résolution de problèmes à l’école élémentaire \fg{}.}
			
			\begin{tabular}{|m{12cm}|}
				\hline
				\emph{\textbf{\og Modéliser \fg{} et \og Calculer \fg{} sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l’école élémentaire} qui doivent guider l’action de l’enseignant pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés. En effet, lors de la résolution de problèmes, les principales difficultés rencontrées peuvent relever de:}
				
				\begin{itemize}
					\item \emph{difficultés à \og modéliser \fg{}: l’élève n’arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l’énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s’appuie pas sur les opérations attendues;}
					
					\item \emph{difficultés à \og calculer \fg{}: les calculs effectués, mentalement ou en les posant, sont erronés, les erreurs pouvant être dues à une méconnaissance de faits numériques ou à une maîtrise imparfaite des algorithmes de calculs utilisés.}
					
				\end{itemize}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une remédiation ou un accompagnement que l’enseignant pourrait mettre en place pour aider l’ \textbf{ÉLÈVE A} à résoudre ce type de problème.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de Moyenne Section de maternelle, un enseignant propose le jeu \og \textbf{\emph{Les piquants des hérissons}} \fg{}.
	L'enseignant propose à ses élèves de fabriquer, par groupes de $4$ élèves, des hérissons en pâte à modeler, chaque hérisson devant avoir cinq piquants. Il donne la consigne suivante: \og \emph{Vous allez composer des hérissons à $5$ piquants, pas plus, pas moins, en choisissant des petits piquants rouges ou des grands piquants verts. Un mélange des couleurs est possible. Vous devez faire le plus de hérissons possible, mais les hérissons doivent être différents, ils ne doivent pas avoir autant de piquants de la même couleur.}\fg{}
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_12_herisson.png}
	\end{center}
	
	\textbf{Matériel utilisé}:
	\begin{itemize}
		
		\item Pâte à modeler (corps du hérisson);
		
		\item Petites pailles rouges et grandes pailles vertes.
		
	\end{itemize}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Est-ce l’\og ordinal \fg{} ou l’usage \og cardinal \fg{} du nombre qui est mobilisé dans cette séance? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Après la manipulation, les élèves représentent leurs solutions sur des hérissons dessinés.
		
		L’enseignant récupère les quatre productions ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_13_herisson_groupe_1.png}
				\\
				Groupe 1.
				\\
				\hline
			\end{tabular}			
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_14_herisson_groupe_2.png}
				\\
				Groupe 2.
				\\
				\hline
			\end{tabular}			
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_15_herisson_groupe_3.png}
				\\
				Groupe 3.
				\\
				\hline
			\end{tabular}			
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_16_herisson_groupe_4.png}
				\\
				Groupe 4.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\begin{tabular}{|c|c|}
				\hline
				\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Légende:}}
				\\
				Petit piquant rouge & Grand piquant vert
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_17_piquant_rouge.png} & \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_18_piquant_vert.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Analyser les productions de chacun des groupes d’élèves en termes de réussites et d’erreurs.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Après avoir demandé aux élèves de trouver tous les hérissons différents possibles à $5$ piquants, l’enseignant propose aux élèves une nouvelle activité: les élèves doivent reconstituer des hérissons à $5$ piquants, à partir de cartes représentant des demi-hérissons.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2021_maths_externe_sujet_5_19_cartes.png}
		\end{center}
		
		Expliquer le lien, concernant les premiers apprentissages numériques, entre cette activité et la précédente.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une nouvelle activité sans lien avec la précédente permettant de travailler les différentes décompositions du nombre $5$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans les programmes en vigueur pour le cycle 3, (programmes consolidés à partir du BOEN n\degres 31 du 30 juillet 2020), il est inscrit dans les attendus du domaine Nombres et calculs: \og \emph{Comprendre et appliquer aux nombres décimaux les règles de la numération décimale
			de position} \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Rappeler ce que sont \og les règles de la numération décimale de position \fg{}, en précisant
			ce que sont l’aspect décimal et l’aspect positionnel dont il est fait mention. Les explications pourront s’appuyer sur des exemples.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer un exercice permettant de contribuer à l’évaluation de l’aptitude des élèves à \og comprendre et appliquer aux nombres décimaux les règles de la numération décimale de position \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un enseignant de CM1 souhaite interroger ses élèves, il hésite entre les trois questions suivantes:
		
		\begin{enumerate}[\textbf{Question} 1:]
			\item \og Donner un nombre décimal plus grand que 3,7 et plus petit que 3,9.\fg{}
			
			\item \og Donner un nombre décimal plus grand que $3,7$ et plus petit que $3,8$.\fg{}
			
			\item \og Donner un nombre décimal plus grand que $3,9$ et plus petit que $4,1$.\fg{}
			
		\end{enumerate}
		
		Donner les éventuels intérêts et inconvénients de chacune de ces trois questions pour évaluer la compréhension des élèves de ce que sont les décimaux et de l’écriture à virgule.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un enseignant de CM2 pose la question suivante à ses élèves: \og Comparer 12,76 et $12,745$. \fg{}. Ceux-ci sont en difficulté.
		
		Proposer une méthode en plusieurs étapes permettant aux élèves de comparer ces deux nombres pour déterminer lequel est le plus grand.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}