%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2020 sujet 7} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 7.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_7_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_7_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci M. Meynier pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Dans le domaine de la bureautique, les feuilles de papier ont généralement une forme de rectangle et se répartissent suivant plusieurs formats. Le plus usuel est le format A4.
	
	\medskip
	On appelle format A0 une feuille rectangulaire de longueur $1189\ \mathrm{mm}$ et de largeur $841\ \mathrm{mm}$. Si on prend une feuille de format A0 et qu’on la découpe suivant sa longueur en deux rectangles de même dimension, on obtient deux feuilles au format A1. En découpant en deux rectangles de même dimension une feuille au format A1 suivant sa longueur, on obtient deux feuilles au format A2. On recommence avec le même principe pour les autres formats.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\xB{15};
			\def\yB{0};
			\def\xC{30};
			\def\yC{0};
			\def\lo{11.89};
			\def\la{8.41};
			%Première feuille
			\coordinate (A1) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (A2) at ({\xA+\la},{\yA});
			\coordinate (A3) at ({\xA+\la},{\yA+\lo});
			\coordinate (A4) at ({\xA},{\yA+\lo});
			\coordinate (A5) at ({\xA+\la/2},{\yA+\lo/2});
			\draw (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle;
			\fill [color=gray,opacity=0.4] (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle;
			\draw (A5) node {\textbf{A0}};
			%Flèche
			\draw [>=latex,->,line width=2mm,color=gray, opacity=1] ({\xA+\la+1},{\yA+\lo/2}) -- ({\xB-1},{\yB+\lo/2});
			%Deuxième feuille
			\coordinate (B1) at ({\xB},{\yB});
			\coordinate (B2) at ({\xB+\la},{\yB});
			\coordinate (B3) at ({\xB+\la},{\yB+\lo/2});
			\coordinate (B4) at ({\xB+\la},{\yB+\lo});
			\coordinate (B5) at ({\xB},{\yB+\lo});
			\coordinate (B6) at ({\xB},{\yB+\lo/2});
			\draw (B1) -- (B2) -- (B4) -- (B5) --cycle;
			\fill [color=gray,opacity=0.4] (B1) -- (B2) -- (B4) -- (B5) --cycle;
			\draw (B3) -- (B6);
			\coordinate (B7) at ({\xB+\la/2},{\yB+\lo/4});
			\draw (B7) node {\textbf{A1}};
			\coordinate (B8) at ({\xB+\la/2},{\yB+3*\lo/4});
			\draw (B8) node {\textbf{A1}};
			%Flèche
			\draw [>=latex,->,line width=2mm,color=gray, opacity=1] ({\xB+\la+1},{\yB+\lo/2}) -- ({\xC-1},{\yC+\lo/2});
			%Troisème feuille
			\coordinate (C1) at ({\xC},{\yC});
			\coordinate (C2) at ({\xC+\la/2},{\yC});
			\coordinate (C3) at ({\xC+\la},{\yC});
			\coordinate (C4) at ({\xC+\la},{\yC+\lo/2});
			\coordinate (C5) at ({\xC+\la},{\yC+\lo});
			\coordinate (C6) at ({\xC+\la/2},{\yC+\lo});
			\coordinate (C7) at ({\xC},{\yC+\lo});
			\coordinate (C8) at ({\xC},{\yC+\lo/2});
			\draw (C1) -- (C3) -- (C5) -- (C7) -- cycle;
			\fill [color=gray,opacity=0.4] (C1) -- (C3) -- (C5) -- (C7) -- cycle;
			\draw (C2) -- (C6);
			\draw (C4) -- (C8);
			\coordinate (C9) at ({\xC+\la/4},{\yC+\lo/4});
			\draw (C9) node {\textbf{A2}};
			\coordinate (C10) at ({\xC+3*\la/4},{\yC+\lo/4});
			\draw (C10) node {\textbf{A2}};
			\coordinate (C11) at ({\xC+3*\la/4},{\yC+3*\lo/4});
			\draw (C11) node {\textbf{A2}};
			\coordinate (C12) at ({\xC+\la/4},{\yC+3*\lo/4});
			\draw (C12) node {\textbf{A2}};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: dimensions de formats.}

\begin{sujet}
	
	\hspace*{-1cm}
	\begin{tabularx}{1.08\linewidth}{|m{1.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		Format du papier & A0 & A1 & A2 & A3 & A4 & A5 
		\\
		\hline
		Taille (en $\mathrm{mm}$) & $841 \times 1189$ & $594 \times 841$ & $420 \times 594$ & $297 \times 420$ & & 
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer en mètre carré, l’aire d’une feuille de format A0. On arrondira au décimètre
		carré.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}_0$ de la feuille de format A0.}
		
		Puisqu'il s'agit d'un rectangle dont nous connaissons les dimensions:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_0 &= \left( 841 \ \mathrm{mm} \right) \times \left( 1189 \ \mathrm{mm} \right)\\
			&= 841 \times 1189\ \mathrm{mm} \cdot \mathrm{mm}\\
			&= \np{999949}\ {\color{orange}\mathrm{mm}^2}\\
			&= \np{999949} {\color{orange}\left( \frac{1}{\np{1000}}\ \mathrm{m} \right)^2}\\
			&= \np{999949} \left( \frac{1}{\np{1000}} \right)^2\ \mathrm{m}^2\\
			&= \np{0,999949}\ \mathrm{m}^2
		\end{align*}
		
		Et puisque $1\ {\color{WildStrawberry}\mathrm{dm}^2}=1\ {\color{WildStrawberry} \left( \frac{1}{10} \ \mathrm{m} \right)^2}= \left( \frac{1}{10} \right)^2 \ \mathrm{m}^2= 0,01\ \mathrm{m}^2$,
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_0 \approx 1,00\ \mathrm{m}^2$.
			'
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que le format A4 a pour dimensions, en centimètre, $21 \times 29,7$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque la feuille A4 s'obtient en découpant la feuille A3 suivant la longueur, sa longueur est la moitié de celle de la feuille A3: $\frac{420\ \mathrm{mm}}{2}=210\ \mathrm{mm} = 21\ \mathrm{cm}$. Et la longueur de la feuille A4 est alors la largeur de la feuille A3, c'est-à-dire $297\ \mathrm{mm}=29,7\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La feuille de format A4 a pour dimensions, en centimètres, $21 \times 29,7$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer les dimensions du format A5 en millimètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le format A4 en millimètre est, d'après la question précédente $210 \times 297$. Or $\frac{297}{2}=148,5$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			les dimensions du format A5 en millimètre sont $148,5 \times 210$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: étude de deux cylindres de révolution.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|m{6cm}m{1cm}m{3cm}|}
		\hline
		\begin{minipage}{\linewidth}
			Rappel:
			
			Volume $V$ du cylindre de révolution de rayon $R$ et hauteur $h$: \[ V=\pi \times R^2 \times h. \]
			
		\end{minipage}
		&
		&
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				\def\xC1{0};
				\def\yC1{0};
				\def\ray{1};
				\def\haut{2.5};
				\coordinate (C1) at ({\xC1},{\yC1});
				\coordinate (C2) at ({\xC1+\ray},{\yC1});
				\coordinate (C3) at ({\xC1+\ray},{\yC1+\haut});
				\coordinate (C4) at ({\xC1},{\yC1+\haut});
				\coordinate (C5) at ({\xC1-\ray},{\yC1+\haut});
				\coordinate (C6) at ({\xC1-\ray},{\yC1});
				\draw (C2) -- (C3);
				\draw (C5) -- (C6);
				\draw[>=latex,<->,dashed] (C3) -- (C4);
				\def\reduc{0.5};
				\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({\xC1+ cos(\x)},{\yC1+ \reduc*sin(\x)});
				\draw[samples=100,domain=180:360] plot({\xC1+ cos(\x)},{\yC1+ \reduc*sin(\x)});
				\draw[samples=100,domain=0:360] plot({\xC1+ cos(\x)},{\yC1+ \haut+ \reduc*sin(\x)});
				\def\decal{0.5};
				\draw[>=latex,<->] ({\xC1+\ray+\decal},{\yC1}) -- ({\xC1+\ray+\decal},{\yC1+\haut}) node [midway,right] {$h$};
				\draw[>=latex,<->] ({\xC1},{\yC1+\haut+1.5*\decal}) -- ({\xC1+\ray},{\yC1+\haut+1.5*\decal}) node [midway,above] {$R$};
			\end{tikzpicture}
		\end{minipage}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	
	On dispose d'une feuille A3. On peut l'enrouler de deux façons différentes en mettant bord à bord deux côtés opposés:
	
	\begin{itemize}
		\item en reliant $[AB]$ et $[DC]$ on obtient le cylindre $\mathbf{C}_1$.
		
		\item en reliant $[AD]$ et $[BC]$ on obtient le cylindre $\mathbf{C}_2$.
		
	\end{itemize}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\long{4};
			\def\larg{3};
			%Rectangle
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
			\draw (A) node {$+$};
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\draw (B) node {$+$};
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\draw (C) node {$+$};
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\draw (D) node {$+$};
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			%C1
			\def\rayA{\larg/(2*3.1415926535)};
			\def\reducA{0.6};
			\def\xcA{\xA};
			\def\ycA{\yA-\larg-1.5};
			\draw[samples=100,domain=0:360] plot({ \xcA+\reducA*\rayA*cos(\x)},{ \ycA+\rayA*sin(\x)});
			\coordinate (E1) at ({\xcA},{\ycA+\rayA});
			\coordinate (E2) at ({\xcA+\long},{\ycA+\rayA});
			\draw (E1) -- (E2);
			\coordinate (E3) at ({\xcA+\long},{\ycA-\rayA});
			\coordinate (E4) at ({\xcA},{\ycA-\rayA});
			\draw (E3) -- (E4);
			\draw[samples=100,domain=-90:90] plot({ \xcA+\long+\reducA*\rayA*cos(\x)},{ \ycA+\rayA*sin(\x)});
			\draw[dashed][samples=100,domain=90:270] plot({ \xcA+\long+\reducA*\rayA*cos(\x)},{ \ycA+\rayA*sin(\x)});
			\draw ({\xcA-1},{\ycA}) node{$\mathbf{C}_1$};
			%Flèche C1
			\draw [>=latex,line width=0.05cm,<-] ({\xcA+\long/2},{\ycA+0.7}) -- ({\xcA+\long/2},{\ycA+1.3});
			%C2
			\def\rayB{\long/(2*3.1415926535)};
			\def\reducB{0.6};
			\def\xcB{\xA+\long+2};
			\def\ycB{\yA};
			\draw[samples=100,domain=0:360] plot({ \xcB+\rayB*cos(\x)},{ \ycB+\reducB*\rayB*sin(\x)});
			\coordinate (F1) at ({\xcB-\rayB},{\ycB});
			\coordinate (F2) at ({\xcB-\rayB},{\ycB-\larg});
			\draw (F1) -- (F2);
			\coordinate (F3) at ({\xcB+\rayB},{\ycB-\larg});
			\coordinate (F4) at ({\xcB+\rayB},{\ycB});
			\draw (F3) -- (F4);
			\draw[samples=100,domain=180:360] plot({ \xcB+\rayB*cos(\x)},{ \ycB-\larg+\reducB*\rayB*sin(\x)});
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({ \xcB+\rayB*cos(\x)},{ \ycB-\larg+\reducB*\rayB*sin(\x)});
			\draw ({\xcB},{\ycB-\larg-1}) node{$\mathbf{C}_2$};
			%Flèche C2
			\draw [>=latex,line width=0.05cm,->] ({\xcB-1.6},{\ycB-\larg/2}) -- ({\xcB-1},{\ycB-\larg/2});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On s’intéresse au cylindre $\mathbf{C}_1$, dont la hauteur est $42$ centimètres.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que vaut le rayon de la base de ce cylindre? Arrondir au millimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Remarquons que la figure est trompeuse puisque les longueurs et largeurs de $ABCD$ semblent inversées.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons le rayon $R_1$ de la base de $ \mathbf{C}_1$.}
			
			Le périmètre du disque formant la base de $\mathbf{C}_1$ est donné par:
			
			\begin{align*}
				2 \pi R_1 &= AD\\
				\intertext{La feuille étant au format A3, et puisque $AB= 42\ \mathrm{cm}$ (hauteur d'après l'énoncé):}
				2 \pi R_1 &= 297 \ \mathrm{mm}\\
				\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
				\frac{2\pi R_1}{\color{orange}2 \pi} &= \frac{297\ \mathrm{mm}}{\color{orange}2 \pi }\\
				R_1 &= \frac{297}{2\pi}\ \mathrm{mm}\\
				R_1 &\approx 47,2690\ \mathrm{mm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R_1 \approx 47\ \mathrm{mm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le volume du cylindre $\mathbf{C}_1$? Arrondir au centimètre cube.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Puisque aucune unité pour le volume n'est exigée calculons en centimètre cube et arrondissons le résultat à l'unité.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ de $\mathbf{C}_1$.}
			
			D'après la question précédente:
			
			\begin{align*}
				R_1 &= \frac{297}{2\pi}\ {\color{orange}\mathrm{mm}}\\
				&= \frac{297}{2\pi} {\color{orange} \times \left( \frac{1}{10}\ \mathrm{cm} \right)}\\
				&= \frac{297}{20\pi} \ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			Nous pouvons maintenant calculer le volume du cylindre.
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_1 &= \pi \times R_1^2 \times AB\\
				&= \pi \times \left( \frac{297}{20\pi} \ \mathrm{cm} \right)^2 \times \left( 420\ \mathrm{mm} \right)\\
				&= \pi \times \left( \frac{297}{20\pi} \ \mathrm{cm} \right)^2 \times \left( 42\ \mathrm{cm} \right)\\
				&= \pi \times \left( \frac{297}{20\pi} \right)^2 \times 42\ \mathrm{cm}^2 \cdot \mathrm{cm}\\
				&\approx 2948,168\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_1 \approx \np{2948}\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On s’intéresse au cylindre $\mathbf{C}_2$, dont la hauteur est $29,7$ centimètres.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que vaut le rayon de la base de ce cylindre? Arrondir au millimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le rayon $R_2$ de la base de $ \mathbf{C}_2$.}
			
			Le périmètre du disque formant la base de $\mathbf{C}_2$ est donné par:
			
			\begin{align*}
				2 \pi R_2 &= AB\\
				\intertext{D'après l'énoncé $AB= 42\ \mathrm{cm}$:}
				2 \pi R_2 &= 420 \ \mathrm{mm}\\
				\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
				\frac{2\pi R_2}{\color{orange}2 \pi} &= \frac{420\ \mathrm{mm}}{\color{orange}2 \pi }\\
				R_2 &= \frac{420}{2\pi}\ \mathrm{mm}\\
				R_2 &\approx 66,8450\ \mathrm{mm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R_2 \approx 67\ \mathrm{mm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le volume du cylindre $\mathbf{C}_2$. Arrondir au centimètre cube.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_2$ de $\mathbf{C}_2$.}
			
			D'après la question précédente:
			
			\begin{align*}
				R_2 &= \frac{420}{2\pi}\ {\color{orange}\mathrm{mm}}\\
				&= \frac{210}{\pi} {\color{orange} \times \left( \frac{1}{10}\ \mathrm{cm} \right)}\\
				&= \frac{21}{\pi} \ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			Nous pouvons maintenant calculer le volume du cylindre dont la hauteur est $AD= 29,7\ \mathrm{cm}$.
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_2 &= \pi \times R_2^2 \times AD\\
				&= \pi \times \left( \frac{21}{\pi} \ \mathrm{cm} \right)^2 \times \left( 29,7\ \mathrm{cm} \right)\\
				&= \pi \times \left( \frac{21}{\pi} \right)^2 \times 29,7\ \mathrm{cm}^2 \cdot \mathrm{cm}\\
				&\approx 4169,127\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_2 \approx \np{4169}\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Lequel de ces deux cylindres a le plus grand volume?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après les questions précédentes
		
		\begin{conclusion}
			
			le cylindre $\mathbf{C}_2$ a un plus grand volume.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: la pesée.}

\begin{sujet}
	
	Noé a entamé son paquet de feuilles. Il souhaite savoir combien il lui en reste. Pour cela, il pose sur une balance son paquet de feuilles sans l’emballage.
	
	La balance indique $\np{1 920}\ \mathrm{g}$. Il peut aussi lire sur l’emballage du paquet:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\begin{center}
				
				Papier très blanc écologique.
				
				Papier fabriqué à partir à $50\ \%$ de fibres recyclées provenant de collectes de vieux papiers post-consommation et à $50\ \%$ de fibres neuves issues de forêts certifiées PEFC.
				
				Format A4: $21 \times 29,7\ \mathrm{cm}$.
				
				Grammage: $80\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^2$.
				
				Velouté et planéité parfaits pour des présentations nettes et soignées.
				
				Ramette de 500 feuilles.
				
			\end{center}
			
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est l’aire d’une feuille de format A4 en centimètre carré?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire, $\mathscr{A}_4$, d'une feuille au format A4.}
		
		D'après la question A.2:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_4 &= \left( 21\ \mathrm{cm} \right) \left( 29,7\ \mathrm{cm} \right)\\
			&= 21 \times 29,7\ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}
		\end{align*}		
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_4 = 623,7\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la masse d’une ramette de $500$ feuilles? Arrondir au gramme.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La masse d'une feuille est de 
		
		\begin{align*}
			m_4 &= \mathscr{A}_4 \times \left( 80\ \mathrm{g} \cdot {\color{orange} \mathrm{m}^{-2}} \right)\\
			&= \left( 623,7 \ \mathrm{cm}^2 \right) \times \left( 80\ \mathrm{g}\cdot {\color{orange}\left( 100\ \mathrm{cm} \right)^{-2}} \right)\\
			&= \left( 623,7 \ \mathrm{cm}^2 \right) \times \left( 80\ \mathrm{g}\cdot {\color{orange}\left( \frac{1}{100^2}\ \mathrm{cm}^{-2} \right)} \right)\\
			&= 623,7 \times 80 \times \frac{1}{100^2}\ \mathrm{cm}^2 \cdot \mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-2}\\
			&= 4,9896\ \mathrm{g}
		\end{align*}		
		
		Nous en déduisons la masse des $500$ feuilles:
		
		\begin{align*}
			m_5 &= 500 \times m_4\\
			&= 500 \times 4,9896\ \mathrm{g}\\
			&= 2494,8 \ \mathrm{g}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$m_5 \approx 2495\ \mathrm{g}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Estimer le nombre de feuilles restantes dans le paquet de Noé.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Estimons le nombre $n_4$ de feuilles restantes dans le paquet.}
		
		\begin{align*}
			n_4 &= \frac{1920\ \mathrm{g}}{m_4}\\
			&\approx \frac{1920\ \mathrm{g}}{5\ \mathrm{g}}\\
			&\approx \frac{1920}{5}\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{g}}\\
			&\approx 384
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il reste, approximativement, $384$ feuilles dans le paquet.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D: calculs de dimensions de format.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			On appellera \og rapport d’une feuille\fg{} le quotient entre sa longueur et sa largeur.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Dans la feuille de calcul d’un tableur ci-dessous, on a indiqué les formats du papier. On a renseigné la ligne correspondant au format A0 et on a choisi l’arrondi à l’unité pour les nombres des colonnes \texttt{C} et \texttt{D}, jusqu’à la ligne 9.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_01_tableur.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner les formules qu’il convient de saisir dans les cellules $\texttt{C}4$ et $\texttt{D}4$ qui permettront de déterminer automatiquement les valeurs des dimensions des formats d’une feuille respectivement de format A1, A2, A3, A4, A5 et A6, en copiant par glissement les colonnes $\texttt{C}$ et $\texttt{D}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La largeur de la feuille plus petite s'obtient en divisant la longueur de la plus grande par $2$ donc,
		
		\begin{conclusion}
			
			en $\texttt{C}4$, il faut saisir: $=\texttt{D}3/2$
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		
		La longueur de la feuille plus petite égale la largeur de la plus grande donc,
		
		\begin{conclusion}
			
			en $\texttt{D}4$, il faut saisir: $=\texttt{C}3$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle formule faut-il saisir dans la cellule $\texttt{E}3$, pour compléter la colonne $\texttt{E}$, en copiant et glissant?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque le rapport est le quotient entre la longueur et la largeur de la feuille:
		
		\begin{conclusion}
			
			en $\texttt{E}3$ il faut saisir: $= \texttt{D}3/\texttt{C}3$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici les résultats obtenus dans la colonne $\texttt{E}$:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.32]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_02_tableur.png}
			
		\end{center}
		
		On remarque que ces valeurs sont proches de $\sqrt{2}$ (on rappelle que $\sqrt{2} = 1,4142136 \dots$).
		
		Démontrer que si une feuille a pour rapport $\sqrt{2}$ alors, en coupant cette feuille au milieu dans la longueur, on obtient deux feuilles ayant chacune pour rapport $\sqrt{2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Imaginons choisie une feuille $A$ dont la largeur est $\ell$ et la longueur $L$ de sorte que $\frac{L}{\ell}=\sqrt{2}$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que la feuille $A'$ obtenu en coupant $A$ au milieu de sa longueur a aussi pour rapport $\sqrt{2}$.}
		
		Notons $\ell'$ et $L'$ respectivement les largeur et longueur de $A'$.
		
		Nous avons donc: $\ell'=\frac{L}{2}$ et $L'=\ell$.
		
		Par conséquent
		
		\begin{align*}
			\frac{L'}{\ell'} &= \frac{\ell}{\frac{L}{2}}\\
			&= \frac{\frac{\ell}{\color{orange}1}} {\frac{L}{2}}\\
			&= \frac{\ell}{1} \times \frac{2}{L}\\
			&= \frac{2\ell}{L}\\
			&= 2 \frac{\ell}{L}\\
			\intertext{Or $\frac{L}{\ell}=\sqrt{2}$ donc $\frac{\ell}{L}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et}
			\frac{L'}{\ell'} &= 2\frac{1}{\sqrt{2}}\\
			&= \frac{\sqrt{2}^2}{\sqrt{2}}\\
			&= \sqrt{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $A$ a pour rapport $\sqrt{2}$ alors $A'$ a aussi pour rapport $\sqrt{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie E: un angle droit.}

\begin{sujet}
	
	On dispose d’une feuille rectangulaire $ABCD$ telle que
	$AB = \sqrt{2}$ et $BC = 1$ (figure 1).
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\long{sqrt(2)};
			\def\larg{1};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (Z) at ({\xA+\long/2},{\yA-\larg -0.25});
			\draw (Z) node{Figure 1};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	On appelle $E$ le milieu de $[DC]$ et $F$ l’intersection des droites $(AE)$ et $(BD)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On appelle $G$ le milieu de $[BC]$. Démontrer que la longueur $AG$ vaut $\frac{3}{2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\long{sqrt(2)};
			\def\larg{1};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (Z) at ({\xA+\long/2},{\yA-\larg -0.25});
			\coordinate (G) at ({\long},{-\larg/2});
			\draw (G) node [right] {$G$};
			\draw (A) -- (G);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\objectif{Calculons $AG$.}
		
		$ABG$ est rectangle en $B$, donc, d'après le théorème de Pythagore \[ AG^2 = AB^2 + BG^2. \]
		
		Donc:
		\begin{align*}
			AG^2 &= \sqrt{2}^2+\left( \frac{1}{2} \right)^2\\
			&= 2 + \frac{1^2}{2^2}\\
			&= 2+\frac{1}{4}\\
			&= \frac{8}{4} +\frac{1}{4}\\
			&= \frac{9}{4}
		\end{align*}
		
		Puisque $AG$ est une longueur c'est un nombre positif donc
		
		\begin{align*}
			AG &= \sqrt{\frac{9}{4}}\\
			&= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AG=\frac{3}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $AEG$ est un triangle rectangle en $E$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\def\long{sqrt(2)};
				\def\larg{1};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node [above left] {$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
				\draw (B) node [above right] {$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
				\draw (C) node [below right] {$C$};
				\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
				\draw (D) node [below left] {$D$};
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
				\coordinate (Z) at ({\xA+\long/2},{\yA-\larg -0.25});
				\coordinate (G) at ({\long},{-\larg/2});
				\draw (G) node [right] {$G$};
				\coordinate (E) at ({\long/2},{-\larg});
				\draw (E) node [below] {$E$};
				\draw (A) -- (G) -- (E) -- cycle;
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\objectif{Démontrons que $AEG$ et rectangle en $E$.}
		
		En procédant comme à la question précédente:
		
		\begin{itemize}
			\item puisque $ADE$ est rectangle en $D$, $AE^2=\frac{3}{2}$,
			
			\item puisque $ECG$ est rectangle en $C$, $EG=\frac{3}{4}$.
			
		\end{itemize}
		
		Ainsi 
		
		\begin{align*}
			AE^2+EG^2 &= \frac{3}{2} + \frac{3}{4}\\
			&= \frac{9}{4}
		\end{align*}
		
		Or nous avions établi que $AG^2=\frac{9}{4}$, donc $AE^2+EG^2=AG^2$.
		
		Nous en déduisons, d'après la réciproque du théorème de Pythagore que
		
		\begin{conclusion}
			
			$AEG$ est rectangle en $E$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}		
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que les droites $(BD)$ et $(EG)$ sont parallèles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\long{sqrt(2)};
			\def\larg{1};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (Z) at ({\xA+\long/2},{\yA-\larg -0.25});
			\coordinate (G) at ({\long},{-\larg/2});
			\draw (G) node [right] {$G$};
			\coordinate (E) at ({\long/2},{-\larg});
			\draw (E) node [below] {$E$};
			\draw (B) -- (D);
			\draw (E) -- (G);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\objectif{Démontrons que $(BD) \parallel (EG)$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} Les points $D$, $E$, $C$ d'une part et $B$, $G$, $C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèse de la réciproque du théorème de Thalès.} 
			
			$E$ (resp. $G$) étant le milieu de $[DC]$ (resp. $[BC]$) nous avons $\frac{CE}{CD}=\frac{CG}{CB}=\frac{1}{2}$.
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que
		
		\begin{conclusion}
			
			$(BD) \parallel (EG)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que les droites $(BD)$ et $(AE)$ sont perpendiculaires en $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\long{sqrt(2)};
			\def\larg{1};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (Z) at ({\xA+\long/2},{\yA-\larg -0.25});
			\coordinate (G) at ({\long},{-\larg/2});
			\draw (G) node [right] {$G$};
			\coordinate (E) at ({\long/2},{-\larg});
			\draw (E) node [below] {$E$};
			\draw (B) -- (D);
			\draw (E) -- (G);
			\draw (A) -- (E);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		D'après la question 2: $(AE) \perp (EG)$,
		
		et d'après la question précédente: $(BD) \parallel (EG)$,
		
		donc $(AE) \perp (BD)$.
		
		\medskip
		Comme de plus, par construction le point d'intersection de $(AE)$ et $(BD)$ est $F$ nous pouvons conclure
		
		\begin{conclusion}
			
			$(BD)$ et $(AE)$ se coupent perpendiculairement en $F$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne le patron d’un cube pour lequel est écrite une lettre sur chacune des six faces:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\def\long{1};
				\foreach \y in {0,1,2,3,4} \draw ({\xA},{\yA-\y*\long}) -- ({\xA+ \long},{\yA-\y*\long});
				\foreach \y/\mot in {0/V,1/E,2/R,3/T} \draw ({\xA+\long/2},{\yA-\y*\long-\long/2}) node {\mot};
				\draw ({\xA},{\yA}) -- ({\xA},{\yA-4*\long});
				\draw ({\xA+\long},{\yA}) -- ({\xA+\long},{\yA-4*\long});
				\draw ({\xA},{\yA-\long}) -- ({\xA-\long},{\yA-\long}) -- ({\xA-\long},{\yA-2*\long}) -- ({\xA},{\yA-2*\long});
				\draw ({\xA-\long/2},{\yA-\long-\long/2}) node {L};
				\draw ({\xA+\long},{\yA-\long}) -- ({\xA+2*\long},{\yA-\long}) -- ({\xA+2*\long},{\yA-2*\long}) -- ({\xA+\long},{\yA-2*\long});
				\draw ({\xA+ \long + \long/2},{\yA-\long-\long/2}) node {O};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Pour chacun des cubes représentés en
		perspective ci-dessous, déterminer la lettre
		écrite sur les faces 1 et 2.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Première représentation du cube.
			
			\begin{center}
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_03_cube_perspective.png}
				
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La face $1$ est celle du E et la $2$ celle du O.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Seconde représentation du cube.
			
			\begin{center}
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_04_cube_perspective.png}
				
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La face $1$ est celle du T et la $2$ celle du O.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne à présent le patron d’un cube avec les faces décorées de figures géométriques particulières (figure 1 ci-dessous).
		
		\begin{center}
			
			\noindent
			\begin{tabular}{m{5cm}m{0.5cm}m{5cm}}
				
				\begin{center}
					
					\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_05_cube_patron.png}
					
						Figure 1.
					
				\end{center}
				
				&&
				
				\begin{center}
					
					\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_06_cube_perspective.png}
					
					Figure 2.
					
				\end{center}
				
			\end{tabular}
						
		\end{center}
		
		Ce même cube est également représenté en perspective (figure 2).
		
		De combien de façons peut-on remplacer le $1$ et le $2$ sur le cube représenté en perspective cavalière? Donner toutes les réponses possibles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il est possible de remplacer le $1$ et le $2$ de deux façons:
		
		\begin{conclusion}
			
			première possibilité
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$1$ & $\bullet$
					\\
					\hline
					$2$ & $\square$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\medskip
			seconde possibilité
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$1$ & $\oplus$
					\\
					\hline
					$2$ & $\times$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	On considère le programme Scratch suivant:
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_07_scratch.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_7_08_scratch.sb2}{Lien pour télécharger le programme Scratch}.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si l’utilisateur saisit le nombre $17$, quelles seront les valeurs des variables $Q$ et $R$ en fin d’exécution?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Construisons le tableau d'état des variables de ce programme.}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_21_scratch_reponse.png} & \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_22_scratch_r.png} & \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_23_scratch_q.png} & \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_24_scratch_booleen.png}
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_15_scratch_demander.png} & $17$ & &&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_16_scratch_mettre_q.png} & $17$ & & $0$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_17_scratch_mettre_r_a_reponse.png} & $17$ & $17$ & $0$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_18_scratch_repeter.png} & $17$ & $17$ & $0$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_19_scratch_mettre_q.png} & $17$ & $17$ & $1$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_20_scratch_mettre_r.png} & $17$ & $10$ & $1$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_18_scratch_repeter.png} & $17$ & $10$ & $1$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_19_scratch_mettre_q.png} & $17$ & $10$ & $2$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_20_scratch_mettre_r.png} & $17$ & $3$ & $2$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_18_scratch_repeter.png} & $17$ & $3$ & $2$ & $1$ (vrai)
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'utilisateur choisi $17$, alors le programme renvoie $R=3$ et $Q=2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que représentent, par rapport au nombre saisi par l’utilisateur, les valeurs des variables $Q$ et $R$ obtenues en fin d’exécution?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$Q$ est un compteur de passage dans la boucle et à chaque passage dans la boucle $R$ est diminué de $7$. Autrement dit il s'agit de déterminer combien de fois il est possible de mettre $7$ dans $R$.
		
		Plus simplement
		
		\begin{conclusion}
			
			$Q$ est le quotient de la valeur choisie par l'utilisateur dans la division euclidienne par $7$, et $R$ son reste.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire les valeurs des variables $Q$ et $R$ obtenues en fin d’exécution lorsque l’utilisateur saisit le nombre $2020$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Procédons à la division euclidienne de $2020$ par $7$.}
		
		\begin{center}
			
			\opidiv{2020}{7}
			
		\end{center}
		
		Donc \[ 2020= 288 \times 7 +4. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'utilisateur choisi $2020$, alors le programme renvoie $R=4$ et $Q=288$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Le mathématicien suédois von Koch a imaginé en 1904 une figure géométrique obtenue à partir d’un triangle équilatéral par réitération d’une transformation appliquée à chaque côté d’un triangle. Cette figure s’appelle \emph{le flocon de von Koch}.
	
	Pour passer d’une figure à la suivante, chaque côté est partagé en trois segments de même longueur. On remplace le tiers central de chaque segment par un triangle équilatéral sans base. On répète cette opération sur la figure obtenue.
	
	On donne les trois premières étapes de construction:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=3]
			\def\lA{1};
			\begin{scope}
				\draw(0,0) node{};
			\end{scope}
			\foreach \ab/\ordo/\degr/\sca in {0/0/0/1 , {\lA}/0/120/1 , {\lA/2}/{sqrt(3)/2*\lA}/240/1}
			{\begin{scope}[shift={({\ab},{\ordo})} , rotate={\degr} , scale={\sca}]
				\def\chapeau{--++({\lA/3},0) --++({\lA/6},{-sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/6},{sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/3},{0})};
				\draw[thick] ({0},{0}) \chapeau;
				\draw[dotted,thick] ({\lA/3},0) -- ({2*\lA/3},0);
			\end{scope}}
		\draw ({\lA/2},{-\lA/3-\lA/6}) node {Figure 1.};
		\draw ({\lA/2},{sqrt(3)/2*\lA+\lA/6}) node {Étape 1.};
		%Étape 2
		\def\xB{1.5};
		\foreach \ab/\ordo/\degr/\sca in {{\xB}/0/0/{1/3} , {\xB+\lA/3}/0/{-60}/{1/3} , {\xB+\lA/3+\lA/6}/{-sqrt(3)/2*\lA/3}/{60}/{1/3} , {\xB+2*\lA/3}/0/0/{1/3} , {\xB+\lA}/0/120/{1/3} , {\xB+\lA-\lA/6}/{sqrt(3)*\lA/6}/60/{1/3} , {\xB+\lA-\lA/6+\lA/3*cos(60)}/{sqrt(3)*\lA/6+\lA/3*sin(60)}/180/{1/3} , {\xB+\lA/2+\lA/6}/{sqrt(3)/2*\lA*2/3}/120/{1/3} , {\xB+\lA/2}/{sqrt(3)/2*\lA}/240/{1/3} , {\xB+\lA/2-\lA/6}/{sqrt(3)/2*\lA*2/3}/180/{1/3} , {\xB+\lA/2-\lA/6-\lA/3}/{sqrt(3)*\lA/6+\lA/3*sin(60)}/300/{1/3} , {\xB+\lA/6}/{sqrt(3)/2*\lA/3}/240/{1/3}}
		{\begin{scope}[shift={({\ab},{\ordo})} , rotate={\degr} , scale={\sca}]
			\def\chapeau{--++({\lA/3},0) --++({\lA/6},{-sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/6},{sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/3},{0})};
			\draw[thick] ({0},{0}) \chapeau;
			\draw[dotted,thick] ({\lA/3},0) -- ({2*\lA/3},0);
			\end{scope}}
		\draw ({\xB+\lA/2},{-\lA/3-\lA/6}) node {Figure 2.};
		\draw ({\xB+\lA/2},{sqrt(3)/2*\lA+\lA/6}) node {Étape 2.};
		%Étape 0
		\draw[thick] ({-\xB+\lA-\lA},{0}) -- ({-\xB+\lA},0) -- ({-\xB+\lA-\lA/2},{sqrt(3)*\lA/2}) -- cycle;
		\draw ({-\xB+\lA/2},{-\lA/3-\lA/6}) node {Figure 0.};
		\draw ({-\xB+\lA/2},{sqrt(3)/2*\lA+\lA/6}) node {Étape 0.};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le nombre de côtés de la Figure 1, puis de la Figure 2.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Chacun des trois côtés de la figure $0$ est séparé en quatre côtés donc un total de $3 \times 4$ côtés
			
			\begin{conclusion}
				
				la figure 1 compte $12$ côtés.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			De nouveau chacun des côtés de la figure 1 est partagé en $4$ nouveaux côtés.
			
			\begin{conclusion}
				
				La figure 2 compte $48$ côtés.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le nombre de côtés de la Figure 3.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons remarqué que le nombre de côtés est multiplié par $4$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la figure 3 compte $192$ côtés.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer le nombre de côtés de la Figure $n$ obtenue à l’Étape $n$ pour un nombre entier positif $n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			Notons $N_k$ le nombre de côté de la figure $k$ quelque soit $k$ entier naturel.
			
			\medskip
			\objectif{Exprimons $N_n$ en fonction de $n$.}
			
			Nous avons remarqué que pour passer passer d'une étape à la suivante le nombre de côtés est multiplié par $4$, par conséquent $(N_n)$ est une suite géométrique de terme initial $N_0=3$ et de raison $q=4$.
			
			Nous en déduisons la formule explicite: \[ N_n= N_0 \times q^n. \]
			
			En tenant compte des données numériques: \[ N_n=3 \times 4^n. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				Ainsi, quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $N_n=3 \times 4^n$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On suppose que le côté du triangle équilatéral de la Figure 0 mesure $1\ \mathrm{cm}$.
	
	On appelle $L_0$, $L_1$, $L_2$, ..., $L_n$ les longueurs d’un côté des Figures $0$, $1$, $2$, ..., $n$.
	
	On appelle $P_0$, $P_1$, $P_2$, ..., $P_n$ les périmètres des Figures $0$, $1$ , $2$, ..., $n$.
	
	Par exemple, $L_0 = 1$ et $P_0 = 3$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $L_1 = \frac{1}{3}$, puis donner sous forme de fraction irréductible les valeurs de $L_2$ et $L_3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$. Chaque côté de la figure $n$ est partagé en trois segment de même longueur donc: $L_{n+1}=\frac{1}{3} \times L_n$.
			
			En particulier: $L_1=\frac{1}{3} \times L_0=\frac{1}{3} \times 1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_1=\frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			De même: $L_2=\frac{1}{3}L_1=\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}= \left( \frac{1}{3} \right)^2=\frac{1}{3^2}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_2=\frac{1}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
			{\color{orange}$\frac{1}{9}$ est bien la forme irréductible car les numérateurs et dénominateurs de $\frac{1}{3^2}$ correspondent à des décompositions en facteurs premiers et que plus aucune simplification n'est possible.}
			
			\medskip
			De même
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_3=\frac{1}{27}$.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une expression de $L_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons remarqué à la question précédente la formule de récurrence \[ L_{n+1}=\frac{1}{3} L_n \] quelque soit $n \in \mathbb{N}$, qui est la formule de récurrence définissant une suite géométrique.
			
			Nous en déduisons que $(L_n)$ est une suite géométrique de terme initial $L_0=1$ et de raison $q=\frac{1}{3}$.
			
			Par conséquent une formule explicite de $(L_n)$ est 
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_n=\frac{1}{3^n}$ quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $P_1 = 4$, puis donner les valeurs de $P_2$ et $P_3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous remarquons que, quelque soit l'entier naturel $n$, $P_n=N_n \times L_n$.
			
			Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$P_1= 4$, $P_2= \frac{16}{3}$ et $P_3 = \frac{64}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une expression de $P_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit n$\in\mathbb{N}$.
			
			\begin{align*}
				P_n &= N_n \times L_n \\
				&= 3 \times 4^n \times \frac{1}{3^n}\\
				&=4^n \times \frac{3}{3^n}
			\end{align*}
			
			Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\displaystyle P_n= \frac{4^n}{3^{n-1}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Peut-on trouver un nombre entier $n$ tel que le périmètre $P_n$ de la Figure $n$ soit supérieur à $1\ \mathrm{km}$? expliquer le raisonnement suivi.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons l'existence du $n$ cherché.}
				
		Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}$: $P_n= 3 \times \left( \frac{4}{3} \right)^n$. Par conséquent $(P_n)$ est une suite arithmétique de terme initial $P_0=3$ et de raison $q=\frac{4}{3}$.
		
		Puisque $q>1$ nous en déduisons que $(P_n)$ diverge vers $+\infty$.
		
		En particulier
		
		\begin{conclusion}
			
			il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $P_n\geqslant \np{100000}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Dans un démarche plus constructiviste nous pouvons essayer de déterminer un rang $n\in\mathbb{N}$ qui convienne.}
		
		\medskip
		$1\ \mathrm{km}= \np{100000}\ \mathrm{cm}$.
		
		\medskip
		\objectif{Cherchons $n$ tel que $P_n \geqslant \np{100000}$.}
		
		{\color{orange}La méthode  la plus propre pour trouver le rang $n$ pour lequel la valeur souhaitée est atteinte nécessite la fonction logarithme qui est dorénavant au programme de terminale. Nous allons adopter une résolution algorithmique.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Première méthode.
			
			En entrant la fonction $x \mapsto \frac{4^x}{3^{n-1}}$ dans la calculatrice nous obtenons ensuite un tableau de valeur. En faisant défiler les valeurs nous voyons que $P_{36} \approx \np{94388}$ et $P_{37} \approx \np{125850}$.
			
			\item Deuxième méthode.
			
			Nous pouvons aussi faire un algorithme. Par exemple en Python:
			
			\begin{center}
				\begin{minipage}{7cm}
					\lstset{emph={seuil}, emphstyle=\color{red},
						emph={[2]P,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
def seuil():
    P=3
    n=0
    while P<100000:
        n=n+1
        P=4**n/3**(n-1)
    return(n)
\end{lstlisting}
				\end{minipage}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Dans le cadre de la construction du nombre $3$ en petite section, les élèves élaborent des affichages à l’aide de gommettes. Les affiches sont reproduites ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_09_affiches.png}
		
	\end{center}
	
	Donner trois intérêts d’un tel affichage.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant veut évaluer la compréhension de l’écriture décimale par ses élèves de CM1. Il trouve les deux exercices ci-dessous dans un manuel.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Exercice 1: Ranger les nombres ci-dessous dans l’ordre croissant. \[ 4,32\quad 4,56\quad 3,25\quad 4,11\quad 4,78\quad 3,18 \]
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Exercice 2: Ranger les nombres ci-dessous dans l’ordre croissant. \[ 4,32\quad 4,7\quad 5\quad 4,09\quad 3,2\quad 3,18 \]
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Donner au moins deux conceptions erronées fréquentes des élèves que l’exercice 1 ne permet pas de repérer contrairement à l’exercice 2.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici un extrait de la note de service n\degres2018-052 du 25-4-2018 \og La résolution de problèmes à l’école élémentaire \fg{}.
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\textbf{\og Modéliser \fg{} et \og Calculer \fg{} sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l’école élémentaire} qui doivent guider l’action de l’enseignant pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés. En effet, lors de la résolution de problèmes, les principales difficultés rencontrées peuvent relever de:
		
		\begin{itemize}
			\item difficultés à \og modéliser \fg{}: l’élève n’arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l’énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s’appuie pas sur les opérations attendues;
			
			\item difficultés à \og calculer \fg{}: les calculs effectués, mentalement ou en les posant, sont erronés, les erreurs pouvant être dues à une méconnaissance de faits numériques ou à une maîtrise imparfaite des algorithmes de calculs utilisés.
		\end{itemize}
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	Dans une classe de CE2, l’enseignant propose le problème ci-dessous:
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{X|}}
		\hline
		Une bibliothécaire a reçu $12$ cartons de $35$ livres chacun. Elle a mis $125$ livres le matin sur les étagères de la bibliothèque et $217$ l’après-midi.
		\\
		Combien de livres doit-elle encore ranger?
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_10_eleve_1.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_11_eleve_2.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_12_eleve_3.png}
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_13_eleve_3.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En vous appuyant sur l’extrait de la note de service proposé ci-dessus, analyser les productions des élèves en termes de réussites et d’erreurs pour chacune des compétences \og Modéliser \fg{} et \og Calculer \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une remédiation ou un accompagnement que l’enseignant pourrait mettre en place pour aider l’élève 1 à résoudre ce type de problème.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 4.}

\begin{sujet}
	
	Lors d’un séjour en classe de mer, des élèves de CM2 ont mené des expériences pour récupérer du sel contenu dans l’eau de mer. Avec deux litres d’eau de mer, ils ont obtenu $70$ grammes de sel. L’enseignant décide d’utiliser ce résultat pour leur soumettre l’exercice suivant.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\\
			\underline{Exercice:}
			
			\begin{enumerate}[A. ]
				\item J’ai rapporté $6$ litres d’eau de mer de notre séjour scolaire. Quelle quantité de sel va-t-on obtenir en réalisant la même expérience qu’en classe de mer?
				
				\item Avec $7$ litres d’eau de mer, quelle serait la masse de sel obtenue?
				
				\item Si je veux récupérer $350$ grammes de sel, combien de litres d’eau de mer dois-je utiliser?
				
			\end{enumerate}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner trois procédures que l’on peut attendre d’élèves de CM2 pour répondre à la question B.?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a reproduit ci-dessous, la trace écrite d’un élève:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_14_trace.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sur quelle propriété mathématique l’élève s’appuie-t-il pour répondre à la première question de l’exercice?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sur quelle propriété mathématique l’élève s’appuie-t-il pour répondre à la question C.?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
%Création des nœuds
\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
%Branches entre les nœuds
\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
	\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
		emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
	def fonction(variable1):
	variable2=3
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}