%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!40},   
	commentstyle=\color{green},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{codepurple},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2020 sujet 6} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 6.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_6_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_6_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci à M. Meynier, Mme Ducournau, M. Bouvillon et Mme Champagnat pour toutes les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans tout le problème, on considère le triangle $ABC$ rectangle en $A$, tel que $AB = 6\ \mathrm{cm}$ et $AC = 8\ \mathrm{cm}$.}

\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: étude d’une première disposition.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, trois points $I$, $K$ et $J$ sont définis de la façon suivante:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $I$ est un point du segment $[AB]$;
		
		\item $K$ est le point du segment $[BC]$ tel que $(KI)$ est perpendiculaire à $(AB)$;
		
		\item $J$ est le point du segment $[AC]$ tel que $(KJ)$ est perpendiculaire à $(AC)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Coordonnées de A
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Translation de A vers B
			\def\xAB{6};
			\def\yAB{0};
			%Translation de A vers C
			\def\xAC{0};
			\def\yAC{8};
			%Création des points A, B et C
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node{$\times$};
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\draw (B) node{$\times$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
			\draw (C) node{$\times$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			%ABC
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			%Translation de A vers I
			\def\xAI{2.4};
			\def\yAI{0};
			%Point I
			\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
			\draw (I) node{$\times$};
			\draw (I) node[below] {$I$};
			%Point K
			\coordinate (K) at ({\xAI},{8*(6-\xAI)/6});
			\draw (K) node{$\bullet$};
			\draw (K) node[above right] {$K$};
			%Point J
			\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
			\draw (J) node{$\bullet$};
			\draw (J) node[left] {$J$};
			%AIKJ
			\draw (I) -- (K) -- (J);
			%Marque angle droit
			\def\petitrait{0.1*\xAB};
			\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
		\end{tikzpicture}
		
		Figure 1.
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $AIKJ$ est un rectangle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions que $AIKJ$ est un rectangle.}
		
		{\color{orange}Nous admettrons que le quadrilatère $AIKJ$ est convexe.}
		
		\medskip
		$ABC$ est rectangle en $A$ donc $\widehat{IAJ}$ est droit.
		
		$(KI)$ est perpendiculaire à $(AB)$ donc $\widehat{KIA}$ est droit.
		
		$(KJ)$ est perpendiculaire à $(AC)$ donc $\widehat{AJK}$ est droit.
		
		Le quadrilatère convexe) $AIKJ$ ayant trois angles droits nous pouvons affirmer:
		
		\begin{conclusion}
			
			$AIKJ$ est un rectangle.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se place dans le cas où $AI = 2,4\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Tracer le triangle $ABC$ en vraie grandeur et placer les points $I$, $J$ et $K$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Voici une construction à la règle non graduée (hormis pour le point $I$) et  au compas.
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Coordonnées de A
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Translation de A vers B
			\def\xAB{6};
			\def\yAB{0};
			%Translation de A vers C
			\def\xAC{0};
			\def\yAC{8};
			%Création des points A, B et C
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node{$\times$};
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\draw (B) node{$\times$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
			\draw (C) node{$\times$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			%ABC
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			%Translation de A vers I
			\def\xAI{2.4};
			\def\yAI{0};
			%Point I
			\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
			%\draw (I) node{$\times$};
			%\draw (I) node[below right] {$I$};
			%Point K
			\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (K) node{$\bullet$};
			%\draw (K) node[above right] {$K$};
			%Point J
			\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (J) node{$\bullet$};
			%\draw (J) node[above left] {$J$};
			%AIKJ
			%\draw (I) -- (K);
			%Marque angle droit
			\def\petitrait{0.1*\xAB};
			\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
			%Point de construction E
			\def\xIE{-1};
			\def\yIE{0};
			\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
			\end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Coordonnées de A
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Translation de A vers B
			\def\xAB{6};
			\def\yAB{0};
			%Translation de A vers C
			\def\xAC{0};
			\def\yAC{8};
			%Création des points A, B et C
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node{$\times$};
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\draw (B) node{$\times$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
			\draw (C) node{$\times$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			%ABC
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			%Translation de A vers I
			\def\xAI{2.4};
			\def\yAI{0};
			%Point I
			\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
			\draw (I) node{$\times$};
			\draw (I) node[below right] {$I$};
			%Point K
			\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (K) node{$\bullet$};
			%\draw (K) node[above right] {$K$};
			%Point J
			\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (J) node{$\bullet$};
			%\draw (J) node[above left] {$J$};
			%AIKJ
			%\draw (I) -- (K);
			%Marque angle droit
			\def\petitrait{0.1*\xAB};
			\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
			%Point de construction E
			\def\xIE{-1};
			\def\yIE{0};
			\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Coordonnées de A
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Translation de A vers B
			\def\xAB{6};
			\def\yAB{0};
			%Translation de A vers C
			\def\xAC{0};
			\def\yAC{8};
			%Création des points A, B et C
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node{$\times$};
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\draw (B) node{$\times$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
			\draw (C) node{$\times$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			%ABC
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			%Translation de A vers I
			\def\xAI{2.4};
			\def\yAI{0};
			%Point I
			\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
			\draw (I) node{$\times$};
			\draw (I) node[below right] {$I$};
			%Point K
			\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (K) node{$\bullet$};
			%\draw (K) node[above right] {$K$};
			%Point J
			\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (J) node{$\bullet$};
			%\draw (J) node[above left] {$J$};
			%AIKJ
			%\draw (I) -- (K);
			%Marque angle droit
			\def\petitrait{0.1*\xAB};
			\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
			%Point de construction E
			\def\xIE{-1};
			\def\yIE{0};
			\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
			%Marques sur le segment [AB]
			\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
			\end{tikzpicture}		
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Coordonnées de A
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Translation de A vers B
			\def\xAB{6};
			\def\yAB{0};
			%Translation de A vers C
			\def\xAC{0};
			\def\yAC{8};
			%Création des points A, B et C
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node{$\times$};
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\draw (B) node{$\times$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
			\draw (C) node{$\times$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			%ABC
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			%Translation de A vers I
			\def\xAI{2.4};
			\def\yAI{0};
			%Point I
			\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
			\draw (I) node{$\times$};
			\draw (I) node[below right] {$I$};
			%Point K
			\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (K) node{$\bullet$};
			%\draw (K) node[above right] {$K$};
			%Point J
			\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (J) node{$\bullet$};
			%\draw (J) node[above left] {$J$};
			%AIKJ
			%\draw (I) -- (K);
			%Marque angle droit
			\def\petitrait{0.1*\xAB};
			\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
			%Point de construction E
			\def\xIE{-1};
			\def\yIE{0};
			\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
			%Marques sur le segment [AB]
			\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
			%Marques médiatrice passant par I
			\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=100:140] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-140:-100] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			%Médiatrice passant par I
			\draw [dashed] ({\xA+\xAI},{-0.4*8*(6-\xAI)/6}) -- ({\xA+\xAI},{1.6*8*(6-\xAI)/6});
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Coordonnées de A
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Translation de A vers B
			\def\xAB{6};
			\def\yAB{0};
			%Translation de A vers C
			\def\xAC{0};
			\def\yAC{8};
			%Création des points A, B et C
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node{$\times$};
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\draw (B) node{$\times$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
			\draw (C) node{$\times$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			%ABC
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			%Translation de A vers I
			\def\xAI{2.4};
			\def\yAI{0};
			%Point I
			\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
			\draw (I) node{$\times$};
			\draw (I) node[below right] {$I$};
			%Point K
			\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
			\draw (K) node{$\bullet$};
			\draw (K) node[above right] {$K$};
			%Point J
			\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (J) node{$\bullet$};
			%\draw (J) node[above left] {$J$};
			%AIKJ
			\draw (I) -- (K);
			%Marque angle droit
			\def\petitrait{0.1*\xAB};
			\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
			%Point de construction E
			\def\xIE{-1};
			\def\yIE{0};
			\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
			%Marques sur le segment [AB]
			\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
			%Marques médiatrice passant par I
			\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=100:140] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-140:-100] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			%Médiatrice passant par I
			\draw [dashed] ({\xA+\xAI},{-0.4*8*(6-\xAI)/6}) -- ({\xA+\xAI},{1.6*8*(6-\xAI)/6});
			\end{tikzpicture}		
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Coordonnées de A
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Translation de A vers B
			\def\xAB{6};
			\def\yAB{0};
			%Translation de A vers C
			\def\xAC{0};
			\def\yAC{8};
			%Création des points A, B et C
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node{$\times$};
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\draw (B) node{$\times$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
			\draw (C) node{$\times$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			%ABC
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			%Translation de A vers I
			\def\xAI{2.4};
			\def\yAI{0};
			%Point I
			\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
			\draw (I) node{$\times$};
			\draw (I) node[below right] {$I$};
			%Point K
			\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
			\draw (K) node{$\bullet$};
			\draw (K) node[above right] {$K$};
			%Point J
			\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (J) node{$\bullet$};
			%\draw (J) node[above left] {$J$};
			%AIKJ
			\draw (I) -- (K);
			%Marque angle droit
			\def\petitrait{0.1*\xAB};
			\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
			%Point de construction E
			\def\xIE{-1};
			\def\yIE{0};
			\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
			%Marques sur le segment [AB]
			\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
			%Marques médiatrice passant par I
			\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=100:140] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-140:-100] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			%Médiatrice passant par I
			\draw [dashed] ({\xA+\xAI},{-0.4*8*(6-\xAI)/6}) -- ({\xA+\xAI},{1.6*8*(6-\xAI)/6});
			%Marques sur la droite (IK)
			\draw[dashed][samples=100,domain=70:110] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-110:-70] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
			\end{tikzpicture}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Coordonnées de A
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			%Translation de A vers B
			\def\xAB{6};
			\def\yAB{0};
			%Translation de A vers C
			\def\xAC{0};
			\def\yAC{8};
			%Création des points A, B et C
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node{$\times$};
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\draw (B) node{$\times$};
			\draw (B) node[below right]{$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
			\draw (C) node{$\times$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			%ABC
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
			%Translation de A vers I
			\def\xAI{2.4};
			\def\yAI{0};
			%Point I
			\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
			\draw (I) node{$\times$};
			\draw (I) node[below right] {$I$};
			%Point K
			\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
			\draw (K) node{$\bullet$};
			\draw (K) node[above right] {$K$};
			%Point J
			\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
			%\draw (J) node{$\bullet$};
			%\draw (J) node[above left] {$J$};
			%AIKJ
			\draw (I) -- (K);
			%Marque angle droit
			\def\petitrait{0.1*\xAB};
			\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
			%Point de construction E
			\def\xIE{-1};
			\def\yIE{0};
			\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
			%Marques sur le segment [AB]
			\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
			%Marques médiatrice passant par I
			\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=100:140] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-140:-100] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
			%Médiatrice passant par I
			\draw [dashed] ({\xA+\xAI},{-0.4*8*(6-\xAI)/6}) -- ({\xA+\xAI},{1.6*8*(6-\xAI)/6});
			%Marques sur la droite (IK)
			\draw[dashed][samples=100,domain=70:110] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-110:-70] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
			%Marques médiatrice passant par K
			\draw[dashed][samples=100,domain=110:150] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6-2});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-150:-110] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6+2});
			\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6-2});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6+2});
			%Médiatrice passant par K
			\draw[dashed] ({-1+\xA},{8*(6-\xAI)/6}) -- ({1.8*(\xA+\xAI)},{8*(6-\xAI)/6});
			\end{tikzpicture}
			
			}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=1]
				%Coordonnées de A
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				%Translation de A vers B
				\def\xAB{6};
				\def\yAB{0};
				%Translation de A vers C
				\def\xAC{0};
				\def\yAC{8};
				%Création des points A, B et C
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				%ABC
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				%Translation de A vers I
				\def\xAI{2.4};
				\def\yAI{0};
				%Point I
				\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
				\draw (I) node{$\times$};
				\draw (I) node[below right] {$I$};
				%Point K
				\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
				\draw (K) node{$\bullet$};
				\draw (K) node[above right] {$K$};
				%Point J
				\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
				\draw (J) node{$\bullet$};
				\draw (J) node[above left] {$J$};
				%AIKJ
				\draw (I) -- (K) -- (J);
				%Marque angle droit
				\def\petitrait{0.1*\xAB};
				\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
				%Point de construction E
				\def\xIE{-1};
				\def\yIE{0};
				\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
				%Marques sur le segment [AB]
				\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				%Marques médiatrice passant par I
				\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=100:140] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-140:-100] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				%Médiatrice passant par I
				\draw [dashed] ({\xA+\xAI},{-0.4*8*(6-\xAI)/6}) -- ({\xA+\xAI},{1.6*8*(6-\xAI)/6});
				%Marques sur la droite (IK)
				\draw[dashed][samples=100,domain=70:110] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-110:-70] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
				%Marques médiatrice passant par K
				\draw[dashed][samples=100,domain=110:150] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6-2});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-150:-110] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6+2});
				\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6-2});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6+2});
				%Médiatrice passant par K
				\draw[dashed] ({-1+\xA},{8*(6-\xAI)/6}) -- ({1.8*(\xA+\xAI)},{8*(6-\xAI)/6});
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $IK = 4,8\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $IK$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Configuration de Thalès.}
				
				Les points $B$, $I$, $A$ d'une part et $B$, $K$ ,$C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
				
				\item {\color{orange}Hypothèse du théorème.}
				
				$(IK) \parallel (AC)$.
				
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{BI}{BA} = \frac{IK}{AC} \]
			
			Cette égalité équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				\frac{AB-AI}{AB} &= \frac{IK}{AC}\\
				\intertext{\color{orange}Les longueurs étant toutes exprimées en centimètres:}
				\frac{6-2,4}{6} &= \frac{IK}{8}\\
				\frac{3.6}{6} &= \frac{IK}{8}\\
				\frac{3.6}{6} {\color{orange}\times 8} &= \frac{IK}{8} {\color{orange}\times 8}\\
				4,8 &= IK
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$IK=4,8\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire du rectangle $AIKJ$, en centimètre carré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(AIKJ)$ du rectangle $AIKJ$.}
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(AIKJ) &= AI \times KJ\\
				& \left( 2,4\ \mathrm{cm} \right) \times \left( 4,8\ \mathrm{cm} \right)\\
				&= 2,4 \times 4,8\ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(AIKJ) = 11,52\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le point $I$ est mobile sur le segment $[AB]$, la longueur $AI$ est donc variable.
		
		On pose $AI = x$, où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $6$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer $BI$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $BI$.}
			
			$I \in [AB]$, $AB=6\ \mathrm{cm}$ et $AI=x$ (avec $x$ exprimé en centimètres) donc en centimètres:
			
			\begin{align*}
				BI &= AB-AI
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$BI=6-x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\displaystyle IK= 8-\frac{4}{3}x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $IK$.}
			
			En utilisant le théorème de Thalès comme à la question 2.(b) nous obtenons:
			
			
			\begin{align*}
			\frac{BI}{BA} &= \frac{IK}{AC} \\
			\intertext{Cette égalité équivaut successivement à:}
			\frac{AB-AI}{AB} &= \frac{IK}{AC}\\
			\frac{6-x}{6} &= \frac{IK}{8}\\
			\frac{6-x}{\color{WildStrawberry}6} {\color{orange}\times 8} &= \frac{IK}{8} {\color{orange}\times 8}\\
			\left(\frac{6}{\color{WildStrawberry}6}-\frac{x}{\color{WildStrawberry}6} \right) \times 8 &= IK\\
			\left( 1-\frac{1}{6}x \right){\color{PineGreen}8} &= IK\\
			1 \times {\color{PineGreen}8} -\frac{1}{6}x \times {\color{PineGreen}8} &= IK\\
			8 -\frac{8}{6}x &= IK \\
			8 -\frac{4 {\color{orange}\times 2}}{3 {\color{orange}\times 2}}x &= IK
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$IK=8 -\frac{4}{3}x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire une expression de l'aire de rectangle $AIKJ$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons l'aire $\mathscr{A}(AIKJ)$ du rectangle $AIKJ$ en fonction de $x$.}
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(AIKJ) &= AI \times IK\\
			&=  x \times \left( 8-\frac{4}{3}x \right)
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Nous pourrions nous contenter de cette expression factorisée qui répond à la question. Habituellement les expressions polynomiales, afin d'être aisément identifiables, se présentent sous forme développée, ordonnée et réduite.}
				
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(AIKJ) = -\frac{4}{3}x^2+8x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Est-il possible de trouver une position du point $I$ sur le segment $[AB]$ pour laquelle $AIKJ$ est un carré? Justifier la réponse et, si cela est possible, donner la longueur $AI$ correspondante.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Traduisons l'énoncé par une équation.}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons pour quelles valeurs de $x$ nous avons $AI=IK$.}
			
			\begin{align*}
				AI &= IK\\
				\intertext{équivaut successivement à:}
				x &= 8-\frac{4}{3}x\\
				x {\color{orange}+\frac{4}{3}x} &= 8-\frac{4}{3}x {\color{orange}+\frac{4}{3}x}\\
				\left( 1\frac{4}{3} \right) x &= 8\\
				\frac{7}{3} x &= 8\\
				\frac{7}{3} x {\color{orange} \times \frac{3}{7}} &= 8 {\color{orange} \times \frac{3}{7}}\\
				x &= \frac{24}{7}
			\end{align*}
			
			Comme $0\leqslant \frac{24}{7} \leqslant 6$ nous pouvons conclure.
			
			\begin{conclusion}
				
				$AIKJ$ est un carré si et seulement si $AI=\frac{24}{7}\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: étude d'une seconde disposition.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, quatre points $I$, $P$, $R$ et $Q$ sont définis de la façon suivante:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item $I$ est un point du segment $[AB]$;
		
		\item $P$ est le point du segment $[BC]$ tel que $(PI)$ est perpendiculaire à $(BC)$;
		
		\item $R$ est le point du segment $[AC]$ tel que $(RI)$ est parallèle à $(BC)$;
		
		\item $Q$ est le point du segment $[BC]$ tel que $(RQ)$ est perpendiculaire à $(BC)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Coordonnées de A
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Translation de A vers B
		\def\xAB{6};
		\def\yAB{0};
		%Translation de A vers C
		\def\xAC{0};
		\def\yAC{8};
		%Création des points A, B et C
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\draw (A) node{$\times$};
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
		\draw (B) node{$\times$};
		\draw (B) node[below right]{$B$};
		\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
		\draw (C) node{$\times$};
		\draw (C) node[above right]{$C$};
		%ABC
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		%Translation de A vers I
		\def\xAI{2.4};
		\def\yAI{0};
		%Point I
		\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
		\draw (I) node{$\times$};
		\draw (I) node[below] {$I$};
		%Marque angle droit
		\def\petitrait{0.1*\xAB};
		\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
		%Point R
		\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\xAI/\xAB*\yAC});
		\draw (R) node{$\times$};
		\draw (R) node[left] {$R$};
		%Point P
		\coordinate (P) at ({\xA+\xAI+(4.8-0.8*\xAI)*(4.8/6)},{\yA+\yAI+(4.8-0.8*\xAI)*sin(acos(4.8/6))});
		\draw (P) node{$\times$};
		\draw (P) node[above right] {$P$};
		%Point Q
		\coordinate (Q) at ({\xA+(4.8-0.8*\xAI)*(4.8/6)},{\yA+\xAI/\xAB*\yAC+(4.8-0.8*\xAI)*sin(acos(4.8/6))});
		\draw (Q) node{$\times$};
		\draw (Q) node[above right] {$Q$};
		%IPQR
		\draw (P) -- (I) -- (R) -- (Q);
		%Point H
		\coordinate (H) at ({\xA+4.8*(4.8/6)},{\yA+4.8*sin(acos(4.8/6))});
		\draw (H) node{$\times$};
		\draw (H) node[above right] {$H$};
		%[AH]
		\draw[dashed] (A) -- (H);
		%Angle droit
		\draw ({\xA+4.8*(4.8/6)-\petitrait*(4.8/6)},{\yA+4.8*sin(acos(4.8/6))-\petitrait*sin(acos(4.8/6))}) -- ({\xA+4.8*(4.8/6)-\petitrait*(4.8/6)+\petitrait*cos(90-acos(4.8/6))},{\yA+4.8*sin(acos(4.8/6))-\petitrait*sin(acos(4.8/6))-\petitrait*sin(90-acos(4.8/6))}) -- ({\xA+4.8*(4.8/6)-\petitrait*(4.8/6)+\petitrait*cos(90-acos(4.8/6))+\petitrait*sin(90-acos(4.8/6))},{\yA+4.8*sin(acos(4.8/6))-\petitrait*sin(acos(4.8/6))-\petitrait*sin(90-acos(4.8/6))+\petitrait*cos(90-acos(4.8/6))});
		\end{tikzpicture}
		
		Figure 2.
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $IPQR$ est un rectangle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions que $IPQR$ est un rectangle.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $R$ est le point du segment $[AC]$ tel que $(RI)$ est parallèle à $(BC)$ donc $IPQR$ est un trapèze de bases $[IR]$ et $PQ$.
			
			\item 
			$P$ est le point du segment $[BC]$ tel que $(PI)$ est perpendiculaire à $(BC)$ donc $\widehat{QPI}$ est droit.
			
			$Q$ est le point du segment $[BC]$ tel que $(RQ)$ est perpendiculaire à $(BC)$ donc $\widehat{RQP}$ est droit.
			
		\end{enumerate}
	 	
	 	$IPQR$ est un trapèze dont les deux angles d'une base sont droits donc
	 	
	 	\begin{conclusion}
	 		
	 		$IPQR$ est un rectangle.
	 		
	 	\end{conclusion}
	 			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $BC$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $BC$.}
		
		$ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore \[ BC^2 = AC^2+AB^2. \]
		
		Autrement dit, $BC$, $AB$ et $AC$ étant exprimés en centimètre:
		
		\begin{align*}
			BC^2 &= 8^2+6^2\\
			&= 100
			\intertext{$BC$ étant une longueur c'est un nombre positif donc:}
			BC &= \sqrt{100}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$BC=10\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 	
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi $\displaystyle \frac{AH \times BC}{2} = \frac{AC \times AB}{2}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Justifions l'égalité proposée.}
			
			{\color{orange}La formule usuelle de calcul de l'aire d'un triangle parle de \og la base \fg{} et de \og la hauteur \fg{}. Il s'agit d'une incorrection car en plus de l'aspect imprécis du terme base, n'importe quel côté du triangle peut être choisi comme base. Pour répondre à cette question nous allons exprimer l'aire du triangle de deux façons différentes en choisissant deux \og bases \fg{} différentes.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Puisque $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ l'aire, $\mathscr{A}(ABC)$, de $ABC$ est donnée par: $\mathscr{A}(ABC)= \frac{1}{2} \times AH \times BC$.
				
				\item Puisque $ABC$ est rectangle en $A$, $[AB]$ est la hauteur issue de $B$ de $ABC$ et donc: $\mathscr{A}(ABC)=\frac{1}{2} \times AB \times AC$.
				
			\end{enumerate}
			
			En égalant les deux formules trouvées pour $\mathscr{A}(ABC)$: \[ \frac{1}{2} \times AH \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times AC. \]
			
			{\color{orange}De façon générale: $\frac{1}{b} \times a =\frac{1 \times a}{b}= \frac{a}{b}$.
			
			Nous pouvons donc écrire la précédente formule de la façon suivante:}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\frac{AH \times BC}{2} = \frac{AB \times AC}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire $AH$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $AH$.}
			
			L'égalité obtenue à la question précédente équivaut successivement:
			
			\begin{align*}
				{\color{orange} 2 \times} \times AH \times BC &= {\color{orange} 2 \times} \frac{1}{2} \times AB \times AC \\
				AH \times BC &= AB \times AC\\
				\frac{AH \times BC}{\color{orange}BC} &= \frac{AB \times AC}{\color{orange}BC} \quad \text{car } BC\ne 0\\
				AH &= \frac{AB \times AC}{BC}\\
				AH &= \frac{6 \times 8}{10}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$AH= 4,8\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Le point $I$ est mobile sur le segment $[AB]$, la longueur $AI$ est donc variable. On pose $AI=x$, où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $6$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que les droites $(IP)$ et $(AH)$ sont parallèles.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Justifions que $(IP) \parallel (AH)$.}
			
			Par construction $(IP) \perp (BC)$ et, puisque $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ dans $ABC$, $(AH) \perp (BC)$, donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$(AH) \parallel (IP)$.
				
			\end{conclusion}
						
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $IP=4,8-0,8x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $IP$ en fonction de $x$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Configuration de Thalès.}
				
				Les points $B$, $I$, $A$ d'une part et $B$, $P$ ,$H$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
				
				\item {\color{orange}Hypothèse du théorème.}
				
				$(IP) \parallel (AH)$.
				
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{BI}{BA} = \frac{IP}{AH} \]
			
			Cette égalité équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				\frac{AB-AI}{AB} &= \frac{IP}{AH}\\
				\intertext{\color{orange}Les longueurs étant toutes exprimées en centimètres:}
				\frac{6-x}{6} &= \frac{IP}{4,8}\\
				\frac{6-x}{6} {\color{orange}\times 4,8} &= \frac{IP}{4,8} {\color{orange}\times 4,8}\\
				(6-x)\frac{4,8}{6} &= IP\\
				(6-x) \times 0,8 &= IP\\
				6 \times 0,8 - x \times 0,8 &= IP
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$IP=4,8 -0,8x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $\displaystyle \frac{IR}{BC}= \frac{AI}{AB}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Justifions que $ \frac{IR}{BC}= \frac{AI}{AB}$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Configuration de Thalès.}
				
				Les points $A$, $I$, $B$ d'une part et $A$, $R$ ,$C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
				
				\item {\color{orange}Hypothèse du théorème.}
				
				Puisque $IPQR$ est un rectangle $(IR) \parallel (BC)$.
				
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\frac{IR}{BC} = \frac{AI}{AB}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $\displaystyle IR= \frac{5}{3}x$.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $IR$ en fonction de $x$.}
			
			L'égalité démontrée à la question précédente équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				\frac{IR}{10} &= \frac{x}{6}\\
				\frac{IR}{10} {\color{orange}\times 10} &= \frac{x}{6} {\color{orange}\times 10}\\
				IR &= \frac{10}{6} x\\
				IR &= \frac{{\color{orange}2 \times } 5}{ {\color{orange}2 \times } 3} x\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$IR= \frac{5}{3} x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$, qui, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0;6]$, associe l'aire du rectangle $AIKJ$ exprimée en centimètre carré (en lien avec la figure 1 de la situation de la partie A).
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{8};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.4cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {2, 4, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2, 4, ..., 12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{\x*(8-4/3*\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Répondre par lecture graphique aux questions suivantes:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l'aire du rectangle $AIKJ$ lorsque $AI=2\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-2};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{8};
				\def\yZ{14};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.4cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2, 4, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2, 4, ..., 12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{\x*(8-4/3*\x)});
				\draw[dashed,red,very thick] (2,0) -- (2,{2*(8-4/3*2)}) -- (0,{2*(8-4/3*2)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $AI=2\ \mathrm{cm}$ alors l'aire de $AIKJ$ est de $10,8\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle(s) valeur(s) de $AI$ l'aire du rectangle $AIKJ$ est-elle égale à $4\ \mathrm{cm}^2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-2};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{8};
				\def\yZ{14};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.4cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2, 4, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2, 4, ..., 12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{\x*(8-4/3*\x)});
				\draw[dashed,red,very thick] (0,4) -- (8,4);
				\draw[dashed,red,very thick] ({3-sqrt(6)},4) -- ({3-sqrt(6)},0);
				\draw[dashed,red,very thick] ({3+sqrt(6)},4) -- ({3+sqrt(6)},0);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire de $AIKJ$ est de $4\ \mathrm{cm}^2$ lorsque $AI= 0,5\ \mathrm{cm}$ ou $AI= 5,5\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle position du point $I$ l’aire du rectangle $AIKJ$ est-elle maximale?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-2};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{8};
				\def\yZ{14};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.4cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2, 4, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2, 4, ..., 12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{\x*(8-4/3*\x)});
				\draw[dashed,red,very thick] (0,12) -- (8,12);
				\draw[dashed,red,very thick] (3,12) -- (3,0);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire de $AIKJ$ est maximale lorsque $AI= 3\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g$, qui pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0;6]$, associe l'aire du rectangle $IPQR$, exprimée en centimètre carré (en lien avec la figure 2 de la situation de la partie B).
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{8};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.4cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {2, 4, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2, 4, ..., 12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{5/3*\x*(4.8-0.8*\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		La comparaison de ces deux courbes laisse penser que, pour un point $I$ fixé sur le côté $[AB]$, les aires des rectangles $AIKJ$ et $IPQR$ sont égales. Ce résultat est-il vrai? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Comparons les aires de $AIKJ$ et $IPQR$.}
		
		Nous avons établi à la question A.3.(c) que $\mathscr{A}(AIKJ) = -\frac{4}{3}x^2+8x$.
		
		\medskip
		D'autre part l'aire du rectangle $IPQR$ est
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(IPQR) &= IP \times IR\\
			\intertext{D'après les questions B.4.(a) et B.5.(b):}
			\mathscr{A}(IPQR) &= \left( 4,8-0,8x \right) \times \left( \frac{5}{3}x \right)\\
			&= 4,8 \times \frac{5}{3}x-0,8x \times \frac{5}{3}x\\
			&= 8x-\frac{4}{3}x^2
		\end{align*}
		
		Ainsi trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles les aires seraient égales équivaut à résoudre l'équation $-\frac{4}{3}x^2+8x= 8x-\frac{4}{3}x^2$. 
		
		Cette équation est évidemment vraie quelque soit la valeur de $x$ choisie.
		
		\begin{conclusion}
			
			Quelque soit la position du point $I$ choisie, les aires des deux rectangles sont égales.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Une entreprise veut créer de grands modèles de cartes originales. Elle décide également de produire des enveloppes carrées avec rabat triangulaire selon le modèle ci-contre.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			%x
			\def\longx{3};
			%A
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at (\xA,\yA);
			\draw (A) node[below left] {$A$};
			%B
			\coordinate (B) at ({\xA+\longx},{\yA});
			\draw (B) node[below right] {$B$};
			%C
			\coordinate (C) at ({\xA+\longx},{\yA+\longx});
			\draw (C) node[above right] {$C$};
			%D
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA+\longx});
			\draw (D) node[above left] {$D$};
			%Carré ABCD
			\draw (A) -- (B) node[midway,sloped] {\footnotesize $\parallel$};
			\draw (B) -- (C) node[midway,sloped] {\footnotesize $\parallel$};
			\draw (C) -- (D) node[midway,sloped] {\footnotesize $\parallel$};
			\draw (D) -- (A) node[midway,sloped] {\footnotesize $\parallel$};
			%E
			\coordinate (E) at ({\xA-sqrt(2*\longx*\longx)/2},{\yA+\longx/2});
			\draw (E) node[left] {$E$};
			%AED
			\draw (A) -- (E) node[midway,sloped] {\footnotesize |};
			\draw (E) -- (D) node[midway,sloped] {\footnotesize |};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	$ABCD$ est un carré; on note $x$ la longueur du
	segment $[AB]$ exprimée en centimètre.
	
	\medskip
	On donne les formules suivantes:
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		Aire total de papier d'un enveloppe: $2,2 \times \text{aire } ABCD$.
		\\
		Aire totale de papier d'une carte: $1,8 \times \text{aire } ABCD$.
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	\end{center}
	
	On dispose des documents suivants:
	
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\hfill \underline{Document 1.} \hfill~
			\\
			\begin{center}
			\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				Qualité & Grammage ($\mathrm{g} / \mathrm{m}^2$)
				\\
				\hline
				Papier \og luxe \fg{} & $120$ 
				\\
				\hline
				Papier \og super luxe \fg{} & $150$
				\\
				\hline
				Papier cartonné & $350$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			\end{center}
			\\
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{11cm}|}
			\hline
			\hfill \underline{Document 2.} \hfill~
			\\
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_01_facture.png}
			\end{center}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’entreprise choisit de fabriquer une enveloppe dont le côté $[AB]$ mesure $20\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que l’aire totale de papier nécessaire pour produire la carte et l’enveloppe est de $1600\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire totale $A_1$ de papier nécessaire pour produire carte et enveloppe.}
			
			L'aire du carré $ABCD$ est 
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ABCD) &= \left( 20 \ \mathrm{cm} \right) ^2\\
				&= 20^2 \ \mathrm{cm}^2\\
				&= 400 \ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			Donc, d'après les formules données:  
			
			\begin{align*}
				A_1 &= 2,2 \times \mathscr{A}(ABCD) + 1,8 \times \mathscr{A}(ABCD)\\
				&= 2,2 \times \left( 400\ \mathrm{cm}^2 \right) +1,8 \times \left( 400\ \mathrm{cm}^2 \right)\\
				&= \left( 2,2 \times 400 +1,8 \times 400 \right)\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$A_1 = \np{1600}\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le tarif de l’affranchissement de cette carte en tarif \og lettre verte - timbre vert \fg{} si l’enveloppe et la carte sont fabriquées en papier \og super luxe \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la masse, $P_1$, de l'enveloppe et de la lettre.}
			
			Puisqu'ils sont façonnés avec le papier \og super luxe\fg{}:
			
			\begin{align*}
				P_1 &= \left( 150 \ \mathrm{g}\cdot \mathrm{m}^{-2} \right) \times A_1\\
				&= \left( 150 \ \mathrm{g}\cdot \mathrm{m}^{-2} \right) \times \left( \np{1600}\ \mathrm{cm}^2 \right)\\
				&= 150 \times \np{1600}\ \mathrm{g}\cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot {\color{orange}\mathrm{cm}^2}\\
				&= \np{240000}\ \mathrm{g} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot {\color{orange} \left( \frac{1}{100}\ \mathrm{m} \right)^2 }\\
				&= \np{240000} \times \left( \frac{1}{100} \right)^2\ \mathrm{g} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{m}^2\\
				&= 24\ \mathrm{g}
			\end{align*}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons le tarif, $T_1$, de l'affranchissement.}
			
			La missive pesant entre $20\ \mathrm{g}$ et $100\ \mathrm{g}$ si le tarif \og lettre verte \fg{} s'applique alors il faudra payer, d'après le document 2:
			
			\begin{conclusion}
				
				$T_1 = 1,76\ \text{\euro}$.
				 
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L'entreprise choisit du papier \og luxe \fg{} pour l'enveloppe et du papier cartonné pour la carte.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner en fonction de la longueur $x$, exprimée en $\mathrm{cm}$, la masse totale de papier utilisé pour produire l’enveloppe et la carte.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons la masse, $P_2$, de la missive.}
			
			En procédant comme à la question précédente, nous obtenons l'aire $A_2$, en mètre carré, de l'enveloppe:
			
			\begin{align*}
				A_2 &= 2,2 \times {\color{orange}\left( \frac{1}{100}x \right)^2}\\
				&= 2,2 \times {\color{orange}\left( \frac{1}{100} \right)^2 x^2}\\
				&= \frac{2,2}{\np{10000}}x^2
			\end{align*}
			
			Puisqu'il s'agit d'un papier \og luxe\fg{} la masse, exprimée en gramme, de l'enveloppe est
			
			\begin{align*}
				m_2 &= 120 \times A_2\\
				&= \frac{264}{10000}x^2
			\end{align*}
			
			Puis l'aire de la carte:
			
			\begin{align*}
				A_3 &= 1,8 \times {\color{orange}\left( \frac{1}{100}x \right)^2}\\
				&= 1,8 \times {\color{orange}\left( \frac{1}{100} \right)^2 x^2}\\
				&= \frac{1,8}{\np{10000}}x^2
			\end{align*}
			
			Puisqu'il s'agit d'un papier cartonné la masse, exprimée en gramme, de la carte est
			
			\begin{align*}
				m_3 &= 350 \times A_3\\
				&= \frac{630}{10000}x^2
			\end{align*}
			
			La masse de l'ensemble enveloppe et carte est donc
			
			\begin{align*}
				P_2 &= m_2+m_3\\
				&= \frac{264}{\np{10000}}x^2 + \frac{630}{10000}x^2\\
				&= \frac{894}{10000}x^2
			\end{align*}
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				La masse en gramme est $P_2=0,0894 x^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La masse de papier utilisé pour l’enveloppe et la carte est-elle proportionnelle à la longueur du segment $[AB]$? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}De nombreux arguments sont sans doute acceptables pour justifier notre réponse.
			
			La masse est fonction de l'aire du carré, or si la longueur du côté du carré est multipliée par $a$ alors sa surface est multipliée par $a^2$.
			
			Nous pourrions choisir deux longueurs distinctes de coté de carré et vérifier qu'il n'y a pas proportionnalité pour ces valeurs particulières.
			
			Je fais ici le choix d'un argument sur la nature des fonctions.}
			
			\medskip
			La masse de papier en fonction de la longueur $x$ obtenue à la question précédente est une fonction polynomiale de degré deux. Ce n'est donc pas une fonction linéaire qui correspondrait à une situation de proportionnalité.
			
			\begin{conclusion}
				
				La masse de papier n'est pas proportionnelle à $AB$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le bloc ci-dessous, réalisé sous Scratch, permet de dessiner un losange. Trois nombres $A$, $B$ et $C$ ont été effacés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi le nombre $A$ est $50$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Pour que le quadrilatère tracé soit un losange il faut que tous ses côtés aient la même longueur. Or le premier côté avait pour longueur $50$ donc, nécessairement
			
			\begin{conclusion}
				
				en $A$ il faut écrire $50$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que le nombre $B$ est $140$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Dans un parallélogramme, donc \emph{a fortiori}, dans un losange la somme des mesures de angles consécutifs est $180\degres$. Nous devons donc avoir
			
			\begin{align*}
				40+B &= 180\\
				\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
				40+B {\color{orange}-40} &= 180 {\color{orange}-40}\\
				B &= 140
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$B=140$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la plus petite valeur possible pour le nombre $C$ en expliquant.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Les quatre blocs d'instructions en bleu sont des blocs de mouvement qui tracent (\og avancer\fg{}) deux côtés du quadrilatère. Il suffit donc d'effectuer une nouvelle fois ce bloc 
			de $4$ instructions.
			
			\begin{conclusion}
				
				La plus petite valeur possible pour $C$ est $2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				\draw (3,3) node {\includegraphics[scale={0.32}]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_02_scratch.png}};
				\node[draw] (C) at (-1,3) {$C$};
				\node[draw] (B) at (7,3) {$B$};
				\node[draw] (A) at (6,1) {$A$};
				\draw (C) -- (2.2,3.8);
				\draw (B) -- (3.7,2);
				\draw (A) -- (3.1,1.4);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici trois figures et trois scripts écrits sous Scratch à l’aide du bloc précédent. Dans chacune des trois figures, le point marqué représente le point de départ du lutin. Associer à chaque figure le script qui permet de l’obtenir, aucune justification n’est attendue.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{c}
				Figure 1.
				\\
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]		
					\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_04_figure_1.png}};
					\draw (-0.65,0.65) node {$\bullet$};
					\end{tikzpicture}			
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{c}
				Figure 2.
				\\
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]		
					\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_05_figure_2.png}};
					\draw (-0.6,-0.6) node {$\bullet$};
					\end{tikzpicture}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{c}
				Figure 3.
				\\
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]		
					\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_06_figure_3.png}};
					\draw (-3.6,-0.45) node {$\bullet$};
					\end{tikzpicture}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{cm{0.5cm}c}
				Script A: && Script B:
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_07_script_a.png}
				&&
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_08_script_b.png}
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{m{4.75cm}m{0.5cm}m{4.755cm}}
				Script C: &&
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_09_script_c.png}
				&&
				On rappelle:
				
				\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_10_orienter.png}
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{1.5cm}|m{0.4cm}|m{0.4cm}|m{0.4cm}|}
					\hline
					Figure & 1 & 2 & 3
					\\
					\hline
					Script & B & C & A
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Dans une urne, on place les boules suivantes : sur chaque boule sont écrits une lettre et un nombre.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\def\rayon{0.4};
			\foreach \a/\b\l/\n in {1/3/I/14, 2/3/V/25, 3/3/E/6, 4/3/L/8, 5/3/E/6, 6/3/S/16, 7/3/M/10, 1/2/T/11, 2/2/H/20, 3/2/E/6, 4/2/M/10, 5/2/A/12, 6/2/T/11, 7/2/I/14, 1/1/U/17, 2/1/E/6, 3/1/S/16, 4/1/V/25, 5/1/A/12, 6/1/Q/30} \draw (\a,\b) node{\footnotesize \begin{tabular}{c} \l \\ \n \end{tabular}};
			\foreach \a/\b\l/\n in {1/3/I/14, 2/3/V/25, 3/3/E/6, 4/3/L/8, 5/3/E/6, 6/3/S/16, 7/3/M/10, 1/2/T/11, 2/2/H/20, 3/2/E/6, 4/2/M/10, 5/2/A/12, 6/2/T/11, 7/2/I/14, 1/1/U/17, 2/1/E/6, 3/1/S/16, 4/1/V/25, 5/1/A/12, 6/1/Q/30} \fill[color=gray , opacity=0.25] plot [domain=0:360] ({\rayon*cos(\x)+\a},{\rayon*sin(\x)+\b});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère la série statistique composée des nombres écrits sur les boules placées dans l’urne. Calculer l’étendue, la médiane et la moyenne de cette série.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Déterminons l'étendue $e$.}
			
			{\color{orange}Pour déterminer l'étendue et la médiane nous aurons besoin d'ordonner la série. Ce n'est pas indispensable, mais pour faciliter la lisibilité de cette série nous allons également la regroupée par modalités, c'est-à-dire, dénombrer les valeurs identiques.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.6cm}|*{11}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					Nombre affiché & $6$ & $8$ & $10$ & $11$ & $12$ & $14$ & $16$ & $17$ & $20$ & $25$ & $30$ 
					\\
					\hline
					Effectif & $4$ & $1$ & $2$ & $2$ & $2$ & $2$ & $2$ & $1$ & $1$ & $2$ & $1$
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
				
			\end{center}
			
			\begin{align*}
				e &= max-min\\
				&= 30-6
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$e=24$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons la médiane, $Me$, de la série.}
			
			Complétons le précédent tableau avec les effectifs cumulés croissants:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.6cm}|*{11}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					Nombre affiché & $6$ & $8$ & $10$ & $11$ & $12$ & $14$ & $16$ & $17$ & $20$ & $25$ & $30$ 
					\\
					\hline
					Effectif & $4$ & $1$ & $2$ & $2$ & $2$ & $2$ & $2$ & $1$ & $1$ & $2$ & $1$
					\\
					\hline
					E.C.C. & $4$ & $5$ & $7$ & $9$ & $11$ & $13$ & $15$ & $16$ & $17$ & $19$ & $20$
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
				
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					\item {\color{orange}Ordre.} La série des nombres inscrits sur les boules est rangée dans l'ordre croissant.
					
					\item {\color{orange}Position de la médiane.} L'effectif total est $N=20$. $\frac{N}{2} = \frac{20}{2}=10$. Donc $Me$ est (série paire) entre la dixième et la onzième valeurs.
					
					\item {\color{orange}Calcul de la médiane.} 
					
					\begin{align*}
						Me &= \frac{12+12}{2}
					\end{align*}
					
					\begin{conclusion}
						
						$Me=12$.
						
					\end{conclusion}
					
					\item \objectif{Calculons la moyenne $\overline{x}$ de la série.}
					
					{\color{orange}Puisque nous avons regrouper la série par modalités nous allons calculer la moyenne avec la formule de moyenne pondérée.}
					
					\begin{align*}
						\overline{x} &= \frac{n_1x_1 + n_2x_2+ \dots + n_rx_r}{n_1+n_2+ \dots + n_r}\\
						&= \frac{ 4 \times 6 + 1 \times 8+ \dots + 1 \times 30}{4+1+ \dots +1}
					\end{align*}
					
					\begin{conclusion}
						
						$\overline{x} = 13,75$.
						
					\end{conclusion}
					
				\end{enumerate}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule dans l’urne.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la probabilité de \og tirer un nombre pair \fg{} est $\frac{3}{4}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Choisissons une modélisation, \emph{i.e.} un univers et une loi de probabilité, qui soit cohérente avec la situation.}
			
			Notons $\Omega$ l'ensemble de toutes les boules. Munissons $\Omega$ de la loi d'équiprobabilité: toutes les boules ont donc la même probabilité d'être tirées.
			
			\medskip
			Notons $E_1$ l'événement  \og tirer un nombre pair\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_1)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, d'après le tableau que nous avons construit à la question précédente $E_1$ est réalisé par $4+1+2+2+2+2+1+1=15$ issues (il y a $15$ boules portant des nombres pairs), $\Omega$ contient $20$ issues donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(E_1) &= \frac{15}{20}\\
				&= \frac{3\times {\color{orange}5}}{4 \times {\color{orange}5}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_1) = \frac{3}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			 
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité de \og tirer une voyelle ou un nombre pair \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La description de l'événement contient le connecteur logique \og ou \fg{} qui en termes ensembliste se traduit par la réunion. Nous devons donc considérer toutes les boules comportant un numéro pair mais aussi celles comportant un numéro impair et une voyelle.}
			
			\medskip
			Notons $E_2$ l'événement  \og tirer une voyelle ou un nombre pair\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_2)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, en dénombrant dans la liste des boules nous voyons que $E_2$ est réalisé par $16$ issues (il y a $15$ boules portant des nombres pairs et la boule portant U et 17), $\Omega$ contient $20$ issues donc
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(E_2) &= \frac{16}{20}\\
			&= \frac{4\times {\color{orange}4}}{5 \times {\color{orange}4}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_2) = \frac{4}{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité de \og tirer une voyelle et un nombre pair \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La description de l'événement contient le connecteur logique \og et \fg{} qui en termes ensembliste se traduit par l'intersection. Nous devons donc considérer toutes les boules comportant un numéro pair et (en même temps) une voyelle.}
			
			\medskip
			Notons $E_3$ l'événement  \og tirer une voyelle et un nombre pair\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_3)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, en dénombrant dans la liste des boules nous voyons que $E_3$ est réalisé par $8$ issues (toutes les boules avec des voyelles sauf celle avec U et 17), $\Omega$ contient $20$ issues donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(E_3) &= \frac{8}{20}\\
				&= \frac{2\times {\color{orange}4}}{5 \times {\color{orange}4}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_3) = \frac{2}{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	
	\begin{sujet}
		
		On tire successivement et sans remise $5$ boules. On obtient après les quatre premiers tirages les lettres M, A, T, H. Quelle est la probabilité d’obtenir grâce au cinquième tirage le mot \og M A T H S \fg{}?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		{\color{orange}Choisissons une nouvelle modélisation pour décrire cette situation.}
		
		Notons $\Omega'$ l'ensemble de toutes les boules restant dans l'urne après le tirage des lettres M, A, T, H. Munissons $\Omega'$ de la loi d'équiprobabilité: toutes les boules (restantes) ont donc la même probabilité d'être tirées.
		
		Les boules M, A, T et H ayant déjà été tirées il reste:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\def\rayon{0.4};
			\foreach \a/\b\l/\n in {1/3/I/14, 2/3/V/25, 3/3/E/6, 4/3/L/8, 5/3/E/6, 6/3/S/16, 3/2/E/6, 4/2/M/10, 6/2/T/11, 7/2/I/14, 1/1/U/17, 2/1/E/6, 3/1/S/16, 4/1/V/25, 5/1/A/12, 6/1/Q/30} \draw (\a,\b) node{\footnotesize \begin{tabular}{c} \l \\ \n \end{tabular}};
			\foreach \a/\b\l/\n in {1/3/I/14, 2/3/V/25, 3/3/E/6, 4/3/L/8, 5/3/E/6, 6/3/S/16, 7/3/M/10, 1/2/T/11, 2/2/H/20, 3/2/E/6, 4/2/M/10, 5/2/A/12, 6/2/T/11, 7/2/I/14, 1/1/U/17, 2/1/E/6, 3/1/S/16, 4/1/V/25, 5/1/A/12, 6/1/Q/30} \fill[color=gray , opacity=0.25] plot [domain=0:360] ({\rayon*cos(\x)+\a},{\rayon*sin(\x)+\b});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\medskip
		Notons $E_4$ l'événement  \og obtenir S au cinquième tirage\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_4)$.}
		
		Il y a équiprobabilité, $E_4$ est réalisé par $2$ issues (il y a deux boules portant la lettre S), $\Omega'$ contient $16$ issues donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(E_4) &= \frac{2}{16}\\
			&= \frac{1\times {\color{orange}1}}{8 \times {\color{orange}2}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(E_4) = \frac{1}{8}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de CM2 propose les exercices suivants:
	
	\begin{center}
		
		\underline{Exercice 1}
		
		\smallskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Si j’achète $4$ verres, je paie $6\ \text{\euro}$. Si j’achète $12$ verres comme les précédents, combien
			dois-je payer?
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		\medskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Réponse de l’élève: $6 \times 3=18$.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\underline{Exercice 2}
		
		\smallskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			On dispose d’un sac de billes identiques.
			
			On sait que la masse de $3$ billes est $51\ \mathrm{g}$ et que la masse de $5$ billes est $85\ \mathrm{g}$.
			
			Quelle est la masse de $8$ billes?
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		\medskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Réponse de l’élève: $51+85=136$.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\underline{Exercice 3}
		
		\smallskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Pour préparer un gâteau au chocolat, il faut: $90\ \mathrm{g}$ de beurre pour $6$ personnes et $120\ \mathrm{g}$ de beurre pour $8$ personnes.
			
			Quelle masse de beurre faut-il prévoir pour $20$ personnes?
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		\medskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Réponse de l’élève: $180+120=300$.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la notion du programme travaillée dans ces trois exercices?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour chaque exercice, analyser la réponse de l’élève et expliciter la procédure utilisée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliquer l’intérêt de proposer le troisième exercice après les deux premiers.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignant propose un nouvel énoncé.
				
		\begin{center}
			
			\underline{Exercice 4}
			\smallskip
			
			\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				Au marché, $5\ \mathrm{kg}$ de cèpes coûtent $100\ \mathrm{\euro}$. Combien coûtent $2\ \mathrm{kg}$?
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		Justifier le choix de ce nouvel énoncé et la procédure encouragée par cet exercice.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans le cadre d’une séance de numération, les problèmes suivants sont proposés à des élèves de CP en milieu d’année.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Problème 1:
			\\
			Camille met $46$ bonbons dans la boîte. Thomas en prend $14$.
			\\
			\textbf{Combien en reste-t-il dans la boîte?}
			\\
			\hline
			Problème 2:
			\\
			Camille met $57$ bonbons dans la boîte. Thomas en prend $34$.
			\\
			\textbf{Combien en reste-t-il dans la boîte?}
			\\
			\hline
			Problème 3:
			\\
			Camille met $52$ bonbons dans la boîte. Thomas en prend $28$.
			\\
			\textbf{Combien en reste-t-il dans la boîte?}
			\\
			\hline
			Problème 4:
			\\
			Camille met $92$ bonbons dans la boîte. Thomas en prend $37$.
			\\
			\textbf{Combien en reste-t-il dans la boîte?}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
		
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les différentes représentations des élèves pour le problème 2.
		
		\medskip
		{\hspace*{-0.5cm}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Élève A. & Élève B. & Élève C.
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_11_eleve_a.png}
			&
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_12_eleve_b.png}
			&
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_13_eleve_c.png}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À quelle difficulté nouvelle un élève est-il confronté en passant du problème 2 au problème 3?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			
			Que va devoir faire l’élève C s’il utilise la même représentation?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour le problème 3, l’élève B a répondu:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				$52-28=36$.
				
				Il reste $36$ bonbons.
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser la réponse de l’élève B.
			
		\end{sujet}
	
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel type d’aide pourrait être apporté par l’enseignant à cet élève?

		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’exercice suivant a été proposé dans le cadre d’une évaluation dans plusieurs classes de CM2 d’une même école.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				&\\
				
				\begin{minipage}{\linewidth}
					
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_14_cm2.png}
				\end{minipage}
				
				&
				
				\begin{minipage}{\linewidth}
					
					Le périmètre de la figure $ABCD$ est:
					
					$\square\ 29\ \mathrm{cm}$
					
					$\square\ 66\ \mathrm{cm}$
					
					$\square\ 54\ \mathrm{cm}$
					
					$\square\ 42\ \mathrm{cm}$
					
				\end{minipage}
				
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Identifier la compétence visée.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier le choix de chacune des réponses proposées aux élèves.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour chacune des trois réponses erronées possibles, proposer une aide à apporter aux élèves concernés pour leur permettre de comprendre leur erreur.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour une évaluation sur les décimaux, un enseignant souhaite proposer le calcul: \[ 127,31 \times 10 \] sous forme de QCM avec quatre réponses possibles.
		
		Proposer une série de quatre réponses au choix, composée de la bonne réponse et de trois distracteurs. Justifier le choix de chacun des trois distracteurs en s’appuyant sur les erreurs fréquentes des élèves.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

%\begin{minipage}{5cm}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
for i=1 #commentaire
	\end{lstlisting}
%\end{minipage}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}