%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{green},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2020 sujet 3} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci à M. Vanche et Mme Guyard pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Des enseignants souhaitent créer un potager pédagogique dans la cour de leur école, en voici un plan ci-après (qui n’est pas à l’échelle).
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_01_terrain}
		
	\end{center}
	
	Le potager $AEFG$ doit respecter les contraintes suivantes:
	\begin{itemize}
		\item être de forme rectangulaire,
		
		\item avoir une aire de $90\ \mathrm{m}^2$,
		
		\item être le long des murs d’enceinte $[DA]$ et $[AB]$,
		
		\item être bordé par un grillage le long des deux autres côtés,
		
		\item disposer d’une porte de $1\ \mathrm{m}$ de large.
	\end{itemize}
	
	\medskip
	On souhaite de plus que le coté $[AG]$ mesure entre $5\ \mathrm{m}$ et $20\ \mathrm{m}$.
	
	\medskip
	L’ouverture pour la porte correspond au segment $[GP]$.
	
	\medskip
	Le potager est donc le rectangle $AEFG$ où $E$ est un point du segment $[AB]$ et $G$ est un point du 	segment $[AD]$ avec $5\ \mathrm{m} \leqslant AG \leqslant 20\ \mathrm{m}$.
	
	\medskip
	Pour des raisons de coût, les enseignants cherchent à déterminer les dimensions du potager afin que la longueur totale du grillage soit la plus petite possible.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: le grillage et le potager.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que si $AG$ est égale à $5\ \mathrm{m}$, alors la longueur de grillage est de $22\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Supposons que $AG=5\ \mathrm{m}$ et démontrons qu'alors la longueur, $\ell(AG)$, du grillage est $22\ \mathrm{m}$.}
			
			Nous remarquons que $\ell(AG) = PF +EF$.
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item Déterminons $AE$.
				
				L'aire $AEFG$ est de $90\ \mathrm{m}^2$ donc:
				
				\begin{align*}
					\mathscr{A}(AEFG) &= 90\ \mathrm{m}^2\\
					\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
					AG \times AE &= 90\ \mathrm{m}^2\\
					\left( 5 \ \mathrm{m} \right) \times AE &= 90\ \mathrm{m}^2\\
					\frac{\left( 5 \ \mathrm{m} \right) \times AE}{\color{orange}5 \ \mathrm{m}} &= \frac{90\ \mathrm{m}^2}{\color{orange}5 \ \mathrm{m}}\\
					AE &= 18\ \mathrm{m}
				\end{align*}
				
				\item Déterminons $PF$.
				
				\begin{align*}
					PF &= AE-\left( 1\ \mathrm{m} \right)\\
					&= \left( 18\ \mathrm{m} \right) - \left( 1\ \mathrm{m} \right)\\
					&= 17\ \mathrm{m}
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Comme par hypothèse $AG=EF=5\ \mathrm{m}$ nous en déduisons:
			
			\begin{align*}
				\ell(AG) &= PF+EF\\
				&= \left( 17\ \mathrm{m} \right) + \left( 5\ \mathrm{m} \right)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $AG=5\ \mathrm{m}$ alors $\ell(AG)=22\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose maintenant que $AG$ est égale à $7,5\ \mathrm{m}$. Calculer la longueur du grillage nécessaire.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant comme à la question précédente:
			
			\begin{align*}
				\ell(AG) &= PF+EF\\
				&=  \frac{90}{7,5} -1 + 7,5\ \mathrm{m}\ 
			\end{align*}
						
			\begin{conclusion}
				
				Si $AG=7,5\ \mathrm{m}$ alors $\ell(AG)=18,5\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans la suite, on note $x$ la longueur de $[AG]$, exprimée en mètre, et on appelle $L$ la fonction
		qui à tout nombre positif compris entre $5$ et $20$, associe $L(x)$ la longueur du grillage, exprimée en mètre, nécessaire pour clôturer le potager.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Prouver que $\displaystyle L(x)= x + \frac{90}{x} -1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $AG=x$ alors, en reprenant le raisonnement de la question 1.(a) nous obtenons bien:
			
			\begin{conclusion}
				
				$L(x)=x+\frac{90}{x}-1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour chacune des expressions suivantes indiquer si elle est une autre expression de $L(x)$. Justifier vos réponses.
			
			\begin{enumerate}
				\item $\displaystyle x+\frac{89}{x}$.
				
				\item $\displaystyle x+\frac{90-x}{x}$.
				
				\item $\displaystyle \frac{x^2-x+90}{x}$.
				
				\item $\displaystyle \frac{x^2+89}{x}$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}
				\item Pour $x=2$: $2+\frac{89}{2}= 47,5$ et $L(2)=2+\frac{90}{2}-1=46$.
				
				\item Soit $x \in [5;20]$.
				
				\begin{align*}
					L(x) &= x + \frac{90}{x} -1\\
					&= x + \frac{90}{x}-\frac{1 {\times \color{orange} x}}{\color{orange}x}\\
					&= x+\frac{90-x}{x}
				\end{align*}
				
				\item Soit $x \in [5;20]$.
				
				En reprenant le précédent calcul:
				
				\begin{align*}
					L(x) &= x+\frac{90-x}{x}\\
					&= \frac{x {\times \color{orange} x}}{\color{orange}x} + \frac{90-x}{x}\\
					&= \frac{x^2-x+90}{x}
				\end{align*}
				
				\item Pour $x=2$: $\frac{2^2+89}{2}= 47,5$ alors que $L(2)=46$.
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Seules ii. et iii. sont d'autres expressions de $L(x)$.
				
			\end{conclusion} 
				
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne ci-dessous une représentation graphique de la fonction $L$ dans un repère orthogonal.
		
		\hspace*{-1.5cm}
			\begin{tikzpicture}[xscale={0.23},yscale={0.5}]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{55.4};
				\def\yZ{18.1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=5cm,line width=0.04cm,gray!90!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,55}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x*0.4 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=2.6:22.2] plot({\x/0.4},{(\x+90/\x-1)/2});
				\draw[blue] (40,12) node[fill=white] {$y=L(x)$};
			\end{tikzpicture}
		
		\medskip
		Déterminer graphiquement:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			la longueur de grillage lorsque $AG = 18\ \mathrm{m}$;
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale={0.23*0.75},yscale={0.5*0.75}]
					\def\xY{0};
					\def\yY{0};
					\def\xZ{55.4};
					\def\yZ{18.1};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=5cm,line width=0.04cm,gray!90!white] (Y) grid (Z);
					\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
					\foreach \x in {5, 10,...,55}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x*0.4 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {5,10,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=2.6:22.2] plot({\x/0.4},{(\x+90/\x-1)/2});
					\draw[blue] (40,12) node[fill=white] {$y=L(x)$};
					\draw[red, very thick, dashed] ({18/0.4},0) -- ({18/0.4},{(18+90/18-1)/2}) -- (0,{(18+90/18-1)/2});
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$L(18)=22$ donc le grillage mesure $22\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			les valeurs possibles de $AG$ lorsque la longueur de grillage est de $20\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
				
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale={0.23*0.75},yscale={0.5*0.75}]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{55.4};
			\def\yZ{18.1};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=5cm,line width=0.04cm,gray!90!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {5, 10,...,55}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x*0.4 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {5,10,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=2.6:22.2] plot({\x/0.4},{(\x+90/\x-1)/2});
			\draw[blue] (40,12) node[fill=white] {$y=L(x)$};
			\draw[red, very thick, dashed] ({6/0.4},0) -- ({6/0.4},{(6+90/6-1)/2});
			\draw[red, very thick, dashed] ({15/0.4},0) -- ({15/0.4},{(15+90/15-1)/2});
			\draw[red, very thick, dashed] (0,{20/2}) -- ({22/0.4},{20/2});
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le grillage mesure $22\ \mathrm{m}$ si l'on choisit $AG=6\ \mathrm{m}$ ou $AG=15\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			la valeur de $AG$ pour que la longueur de grillage soit minimale.
			
		\end{sujet}
				
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale={0.23*0.75},yscale={0.5*0.75}]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{55.4};
				\def\yZ{18.1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=5cm,line width=0.04cm,gray!90!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,55}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x*0.4 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=2.6:22.2] plot({\x/0.4},{(\x+90/\x-1)/2});
				\draw[blue] (40,12) node[fill=white] {$y=L(x)$};
				\draw[red, very thick, dashed] ({3*sqrt(10)/0.4},0) -- ({3*sqrt(10)/0.4},{(3*sqrt(10)+90/(3*sqrt(10))-1)/2});
				\draw[red, very thick, dashed] (0,{(3*sqrt(10)+90/(3*sqrt(10))-1)/2}) -- ({22/0.4},{(3*sqrt(10)+90/(3*sqrt(10))-1)/2});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le grillage semble minimal lorsque  $AG=9,48\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: le compost et le potager.}

\begin{sujet}
	
	Le projet prévoit par ailleurs la fabrication et l’utilisation de compost pour entretenir le potager.
	
	Le bac à compost sera posé à l’extérieur du potager.
	
	Ce bac est assimilé à un parallélépipède rectangle à base carrée de $1,6\ \mathrm{m}$ de côté et hauteur $1,2\ \mathrm{m}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Point A
			\def\xA{0};
			\def\yA{1};
			\coordinate (A) at (\xA,\yA);
			%Translation A vers B
			\def\xAB{6};
			\def\yAB{-1};
			%Point B
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			%Translation B vers C
			\def\xBC{3};
			\def\yBC{1.5};
			%Point C
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAB+\xBC},{\yA+\yAB+\yBC});
			%Point D
			\coordinate (D) at ({\xA+\xBC},{\yA+\yBC});
			%Translation A vers E
			\def\yAE{4};
			%Point E
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\yAE});
			%Point F
			\coordinate (F) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAE+\yAB});
			%Point G
			\coordinate (G) at ({\xA+\xAB+\xBC},{\yA+\yAE+\yAB+\yBC});
			%Point H
			\coordinate (H) at ({\xA+\xBC},{\yA+\yAE+\yBC});
			%Traits pleins
			\draw (A) -- (B) node[midway,below,sloped] {$1,6\ \mathrm{m}$};
			\draw (B) -- (C) node[midway,below,sloped] {$1,6\ \mathrm{m}$};
			\draw (A) -- (E) node[midway,left] {$1,2\ \mathrm{m}$};
			\draw (B) -- (F);
			\draw (C) -- (G) -- (H) -- (E) -- (F) -- (G);
			%Traits en pontillés
			\draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
			\draw[dashed] (D) -- (H);
			%Coloriage
			\fill[color=gray , opacity=0.35] (A) -- (B) -- (F) -- (E) -- cycle;
			\fill[color=gray , opacity=0.35] (D) -- (C) -- (G) -- (H) -- cycle;
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (A) -- (D) -- (H) -- (E) -- cycle;
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel est le volume du bac exprimé en $\mathrm{m}^3$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ du bac.}
		
		Le bac ayant la forme d'un parallélépipède rectangle son volume s'obtient comme le produit des longueur, largeur et hauteur:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_1 &= \left( 1,2\ \mathrm{m} \right) \times \left( 1,6\ \mathrm{m} \right) \times \left( 1,6\ \mathrm{m} \right)\\
			&= 1,2 \times 1,6 \times 1,6 \ \mathrm{m} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_1 = 3,072\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le compost se transforme naturellement et son volume diminue de $20\ \%$ par mois.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En remplissant le bac en totalité, quel sera le volume de compost au bout d’un mois?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume, $\mathscr{V}_2$, de compost au bout de un mois.}
			
			En un mois le volume diminue de $20\ \%$ le coefficient multiplicateur correspondant est
			
			\begin{align*}
				CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
				&= 1+ \frac{-20}{100}\\
				&= 0,8
			\end{align*}
			
			Nous en déduisons le volume au bout d'un mois:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_2 &= CM \times \mathscr{V}_1\\
				&= 0,8 \times 3,072\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_2 = 2,4576\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Les enseignants ont calculé l’évolution du volume de compost disponible à la fin de chaque mois d’un bac rempli. Voici ce qui a été trouvé:
		
		\hspace*{-1.4cm}{\footnotesize
		\begin{tabularx}{1.18\linewidth}{|m{0.1cm}|m{1.2cm}|*{11}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			& \cellcolor{gray!40} \hfill \texttt{A} \hfill~ & \cellcolor{gray!40} \texttt{B} & \cellcolor{gray!40} \texttt{C} & \cellcolor{gray!40} \texttt{D} & \cellcolor{gray!40} \texttt{E} & \cellcolor{gray!40} \texttt{F} & \cellcolor{gray!40} \texttt{G} & \cellcolor{gray!40} \texttt{H} & \cellcolor{gray!40} \texttt{I} & \cellcolor{gray!40} \texttt{J} & \cellcolor{gray!40} \texttt{K} & \cellcolor{gray!40} \texttt{L}
			\\
			\hline
			\cellcolor{gray!40} $1$ & {\tiny Nombre de mois} & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$
			\\
			\hline
			\cellcolor{gray!40} $2$ & {\tiny Volume de compost en $\mathrm{m}^3$} & $3,072$ & $2,4576$ & $1,9661$ & $1,5729$ & $1,2583$ & $1,0066$ & $0,8053$ & $0,6442$ & $0,5154$ & $0,4123$ & $0,3299$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule faut-il saisir dans la cellule $\texttt{C}2$ pour remplir ensuite l’ensemble de la ligne $2$ en étirant la cellule $\texttt{C}2$ jusqu’à la cellule $\texttt{L}2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La formule à saisir en $\texttt{C}2$ est
			
			\begin{conclusion}
				
				$=0,8*\texttt{B}2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Plus longtemps dure la maturation du compost, meilleure sera sa qualité.
			
			Au bout de $5$ mois la classe décide d’utiliser le compost pour les $40\ \mathrm{m}^2$ de plants de salades du jardin. Y a-t-il suffisamment de compost pour en épandre sur une épaisseur de $3\ \mathrm{cm}$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_3$ correspondant à parallélépipède rectangle de surface au sol $40\ \mathrm{m}^2$ et de hauteur $3\ \mathrm{cm}$.}
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_3 &= \left( 3 \ \mathrm{cm} \right) \times \left( 40\ \mathrm{m} \right)\\
				&= 3 \times 40 \ {\color{orange}\mathrm{cm}} \cdot \mathrm{m}^2\\
				&= 120 {\color{orange}\times \frac{1}{100} \ \mathrm{m}} \cdot \mathrm{m}^3\\
				&= \frac{120}{100}\ \mathrm{m}^3\\
				&= 1,2\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			Or au bout de cinq mois le volume de compost n'est, d'après le tableur, que de $1,0066\ \mathrm{m}^3$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				il n'y a pas assez de compost pour en épandre comme souhaité.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: achat des graines à planter.}

\begin{sujet}
	
	En période 4, les élèves décident de planter des pieds de salade. Dans le commerce, plusieurs tarifs sont proposés:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.5cm}|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Tarif A & prix d’une barquette de $5$ plants: $1,20\ \text{\euro}$.
			\\
			\hline
			Tarif B & prix d’un plant: $0,25\ \text{\euro}$, et à partir de $50$ plants une réduction de $5\ \%$ est
			faite sur l’ensemble de la commande.
			\\
			\hline
			Tarif C & achat de carte de fidélité: $3\ \text{\euro}$, puis $0,20\ \text{\euro}$ le plant.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel tarif va être le plus avantageux pour l’achat de $40$ plants?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre de plants achetés avec $30\ \text{\euro}$ de $40$ plants.}
		
		\begin{enumerate}[\text{Tarif }A. ]
			\item $40$ plants remplissent $\frac{40}{5}=8$ barquettes. Le coût sera donc de $8 \times \left( 1,20\ \text{\euro} \right) = 8 \times 1,20\ \text{\euro}= 9,6\ \ \text{\euro}$.
			
			\item $40$ plants sont insuffisants pour bénéficier de la réduction. Leur coût sera donc de $40\ \times \left( 0,25\ \text{\euro} \right)= 40 \times 0,25 \ \text{\euro} = 10\ \text{\euro}$.
			
			\item Chaque plant coûtant $40\ \text{\euro}$ et tenant compte du coût de la carte de fidélité, le coût sera de: $\left( 3\ \text{\euro} \right) + 40\times \left( 0,20\ \text{\euro} \right) = \left( 3+40 \times 0,20 \right) \ \text{\euro} = 11\ \text{\euro}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour $40$ plants le tarif A est plus avantageux.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’école dispose d’un budget de $30\ \text{\euro}$. Quel tarif permet d’acheter le plus de pieds de salade?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre de plants achetés avec $30\ \text{\euro}$.}
		
		\begin{enumerate}[\text{Tarif }A. ]
			\item Avec $30\ \text{\euro}$ il est possible d'acheter $\frac{30\ \text{\euro}}{1,20\ \text{\euro}}= 25$ barquettes ce qui correspond à $25 \times 5= 125$ plants.
			
			\item Supposons qu'avec $30\ \text{\euro}$ le nombre de plants est strictement inférieur à $50$ alors le nombre de plants est précisément: $\frac{30\ \text{\euro}}{0,25\ \text{\euro}} = 120$. Ceci contredit notre hypothèse que le nombre de plants vendus est strictement inférieur à $50$.
			
			\medskip
			Supposons donc dorénavant que le nombre de plants obtenus avec $30\ \text{\euro}$ est supérieur à $50$.
						
			Une diminution de $5\ \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de 
			
			\begin{align*}
				CM_2 &= 1+\frac{t}{100} \\
				&= 1+ \frac{-5}{100}\\
				&= 0,95
			\end{align*}
			
			Donc chaque plant est payé $0,95 \times \left( 0,25\ \text{\euro} \right) = 0,2375\ \text{\euro}$.
			
			Par conséquent avec $30\ \text{\euro}$ le nombre de plants achetés est: $\frac{30\ \text{\euro}}{0,2375\ \text{\euro}} \approx 126, 3157$. Autrement dit $126$ plants.
			
			\item Notons $x$ le nombre de plants acheté.
			
			Nous avons
			
			\begin{align*}
				0,2x+3 &= 30\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				0,2x+3 {\color{orange}-3} &= 30 {\color{orange}-3}\\
				0,2x &= 27\\
				\frac{0,2x}{\color{orange}0,2} &= \frac{27}{\color{orange}0,2} \\
				x &= 135
			\end{align*}
			
			Avec $30\ \text{euro}$ il est possible d'acheter $135$ plants.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour $30\ \text{\euro}$ le tarif C permet d'acheter le plus de plants.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À partir de l’achat de combien de plants le tarif C devient-il plus intéressant que le tarif B?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Comparons les coûts pour les tarifs B et C pour $x$ plants vendus avec $0\leqslant x$.}
		
		{\color{orange}Raisonnons par disjonction des cas suivant que $x$ est plus petit ou plus grand que $50$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Supposons tout d'abord que $0\leqslant x < 50$.
			
			Pour le tarif B le coût exprimé en euro est: $\mathcal{C}_B(x)=0,25x$.
			
			Pour le tarif C le coût exprimé en euro est: $\mathcal{C}_C(x)=0,2x+3$.
			
			Dire que le coût avec le tarif B est inférieur au coût avec C équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				\mathcal{C}_B(x) &\leqslant \mathcal{C}_C(x)\\
				0,25x &\leqslant 0,2x+3\\
				0,25x {\color{orange}-0,2x} &\leqslant 0,2x+3 {\color{orange}-0,2x}\\
				0,05x &\leqslant 3\\
				\frac{0,05x}{\color{orange}0,05} &\leqslant \frac{3}{\color{orange}0,05} \quad \text{car } 0,05>0\\
				x &\leqslant 60
			\end{align*}
			
			Ce qui est toujours vrai puisque nous sommes dans le cas $x\leqslant 50$.
			
			\item Supposons maintenant que $50\leqslant  x$.
			
			Pour le tarif B le coût exprimé en euro est donc: $\mathcal{C}_B(x)= 0,2375x$.
			
			Pour le tarif C le coût exprimé en euro est encore: $\mathcal{C}_C(x)=0,2x+3$.
			
			Dire que le coût avec le tarif B est inférieur au coût avec C équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
			\mathcal{C}_B(x) &\leqslant \mathcal{C}_C(x)\\
			0,2375x &\leqslant 0,2x+3\\
			0,2375x {\color{orange}-0,2x} &\leqslant 0,2x+3 {\color{orange}-0,2x}\\
			0,0375 x &\leqslant 3\\
			\frac{0,0375x}{\color{orange}0,0375} &\leqslant \frac{3}{\color{orange}0,0375} \quad \text{car } 0,0375>0\\
			x &\leqslant 80
			\end{align*}
			
			Ainsi le coût avec le tarif $B$ reste inférieur tant que l'on achète moins de $81$ plants de salade.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			À partir de $80$ plants de salade le tarif $C$ est plus avantageux.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Le programme ci-dessous a été écrit avec le logiciel Scratch.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_02_scratch.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que si l’utilisateur rentre le nombre $5$ alors le lutin va dire $165$ pendant $20$ secondes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Considérons le tableau d'état des variables.
		
		\begin{center}
			
			\medskip
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}
				 & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_16_variable_1.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_17_variable_2.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_18_variable_3.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_19_variable_4.png}
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_12_instruction_1.png} & $5$ &&&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_13_instruction_2.png} & $5$ & $5+6=11$ &&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_14_instruction_3.png} & $5$ & $11$ & $3 \times 5=15$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_15_instruction_4.png} & $5$ & $11$ & $15$ & $11 \times 15= 165$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'utilisateur entre $5$ le lutin dira $165$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que va dire le lutin pendant $20$ secondes si l’utilisateur rentre le nombre $2+\frac{7}{10}$?
		
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		Considérons le tableau d'état des variables.
		
		\hspace*{-1cm}
			\medskip
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}
				& \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_16_variable_1.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_17_variable_2.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_18_variable_3.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_19_variable_4.png}
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_12_instruction_1.png} & $2+\frac{7}{10}=\frac{27}{10}$ &&&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_13_instruction_2.png} & $\frac{27}{10}$ & $6+\frac{27}{10}=\frac{87}{10}$ &&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_14_instruction_3.png} & $\frac{27}{10}$ & $\frac{87}{10}$ & $3 \times \frac{27}{10} = \frac{81}{10}$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_15_instruction_4.png} & $\frac{27}{10}$ & $\frac{87}{10}$ & $\frac{81}{10}$ & $\frac{87}{10} \times \frac{81}{10}= \frac{7047}{100}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'utilisateur entre $2+\frac{7}{10}$ le lutin dira $\frac{7047}{100}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quels nombres ont pu être rentrés dans \og réponse \fg{} si le lutin dit: \og $0$ \fg{}	pendant $20$ secondes?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la valeur $z$ entrée dans \og réponse \fg{}.}
		
		Si nous reprenons le tableau d'état des variables:
		
		\begin{center}
			
			\medskip
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}
				& \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_16_variable_1.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_17_variable_2.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_18_variable_3.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_19_variable_4.png}
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_12_instruction_1.png} & $z$ &&&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_13_instruction_2.png} & $z$ & $6+z$ &&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_14_instruction_3.png} & $z$ & $6+z$ & $3 z$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_15_instruction_4.png} & $z$ & $6+z$ & $3z$ & $(6+z) \times 3z$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			Ainsi le nombre retourné est $0$ si et seulement si:
			
			\begin{align*}
				(6+z)3z &= 0\\
				\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
				6+z=0 &\quad \text{ou} \quad 3z=0\\
				z=-6 &\quad \text{ou} \quad z=0
			\end{align*}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour que le nombre retourné soit $0$ il faut et il suffit que les nombres entrés soient $0$ ou $-6$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans cet exercice, tous les dés sont équilibrés.
	
	\medskip
	Arthur possède deux dés classiques (les faces sont numérotées de $1$ à $6$).
	
	\medskip
	Juliette possède deux dés très particuliers: un patron de chacun de ces deux dés est donné ci-dessous:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\draw (0,0) -- (4,0) -- (4,1) -- (0,1) -- cycle;
			\draw (1,-1) -- (2,-1) -- (2,2) -- (1,2) -- cycle;
			\draw (3,0) -- (3,1);
			\draw (0.5,0.5) node{$1$};
			\draw (1.5,0.5) node{$2$};
			\draw (2.5,0.5) node{$3$};
			\draw (3.5,0.5) node{$4$};
			\draw (1.5,1.5) node{$2$};
			\draw (1.5,-0.5) node{$3$};
		\end{tikzpicture} \qquad
		\begin{tikzpicture}
		\draw (0,0) -- (4,0) -- (4,1) -- (0,1) -- cycle;
		\draw (1,-1) -- (2,-1) -- (2,2) -- (1,2) -- cycle;
		\draw (3,0) -- (3,1);
		\draw (0.5,0.5) node{$1$};
		\draw (1.5,0.5) node{$4$};
		\draw (2.5,0.5) node{$6$};
		\draw (3.5,0.5) node{$8$};
		\draw (1.5,1.5) node{$3$};
		\draw (1.5,-0.5) node{$3$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Arthur et Juliette définissent une règle du jeu: chacun d’eux lance ses deux dés puis additionne les deux nombres qu’il a obtenus.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Lors de leur premier lancer, Juliette et Arthur ont tous deux obtenu une somme égale à $5$. Qui, de Juliette ou d’Arthur, avait le plus de chances d’obtenir $5$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Schématisons le lancer d'Arthur avec un tableau double entrée que nous remplirons des sommes des chiffres affichés par les deux dés.}
		
		Pour Arthur:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$2$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$5$ & \cellcolor{red!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		\medskip		
		Pour Juliette:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$6$ & \cellcolor{red!60}$8$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & $2$ & $4$ & $4$ & $5$ & $7$ & $9$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & $3$ & $5$ & $5$ & $6$ & $8$ & $10$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & $3$ & $5$ & $5$ & $6$ & $8$ & $10$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $4$ & $6$ & $6$ & $7$ & $9$ & $11$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $4$ & $6$ & $6$ & $7$ & $9$ & $11$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $5$ & $7$ & $7$ & $8$ & $10$ & $12$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		$\Omega_A$ est l'ensemble des couples de chiffres obtenus (en distinguant toutes les faces par un coloriage par exemple) pour Arthur.
		
		De même pour $\Omega_J$.
		
		Les dés étant équilibrés il est raisonnable de faire l'hypothèse que chaque couple de faces représenté par une case du tableau à la même probabilité qu'un autre couple. Il y a équiprobabilité entre les couples. Et dans les deux cas, Arthur ou Juliette, l'univers comporte $36$ issues.
		
		\medskip
		Notons $A_5$ (resp. $J_5$) l'événement \og Arthur (resp. Juliette) obtient un $5$ \fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A_5)$ (resp. $\mathbb{P}(J_5)$).}
		
		I y a équiprobabilité entre les couples. $A_5$ (resp. $J_5$) est réalisé par $4$ (resp. $6$) issues. L'univers comporte $36$ issues. Nous en déduisons: \[ \mathbb{P}(A_5)= \frac{4}{36} \quad \text{et} \quad \mathbb{P}(J_5)= \frac{6}{36}. \]
		
		Donc: $\mathbb{P}(A_5) < \mathbb{P}(J_5)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La probabilité est plus grande que Juliette obtienne $5$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Arthur prétend que, s’il lance ses dés classiques, la somme ayant la plus grande probabilité d’être obtenue est $7$. Est-ce exact? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Comparons les probabilités des différentes sommes possibles.}
		
		Notons $X_A$ la variable aléatoire qui à un lancer de dés de Arthur associe la somme des chiffres obtenus.
		
		D'après le tableau de la question précédente: $X_A \in \{ 2, 3, \dots, 12 \}$. Et en raisonnant comme à la question précédente (équiprobabilité) nous obtenons aisément les probabilité suivantes:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{11}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				\rowcolor{orange!20} Somme $x$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(X=x)$ & $\frac{1}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{6}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{1}{36}$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Arthur a raison: $7$ est la somme qui a la plus grande probabilité d'être obtenue.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Juliette dispose d’un tableau de synthèse résultant d’une simulation de $1000$ lancers de ses deux dés.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.94\linewidth}{|m{1.2cm}|*{11}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				\rowcolor{orange!20} Somme & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
				Effectif & $32$ & $51$ & $122$ & $174$ & $151$ & $151$ & $79$ & $81$ & $89$ & $48$ & $22$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En observant ce tableau, elle affirme que lorsqu’elle lance ses dés, la probabilité d’obtenir $6$ est égale à celle d’obtenir un $7$. Le tableau permet-il effectivement de l’affirmer?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Du fait des phénomène de fluctuation d'échantillonnage, si la probabilité d'obtenir $6$ semble assez proche de celle d'obtenir $7$,
			
			\begin{conclusion}
				
				le tableau ne permet pas d'affirmer que les probabilités d'obtenir $6$ égale celle d'obtenir $7$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{orange}Au vu des connaissances exigées pour le concours je pense que la réponse à cette question doit relever davantage de l'intuitif que du quantitatif.}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité d’obtenir un $6$ et celle d’obtenir un $7$ avec les dés de Juliette.
			
		\end{sujet}		
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Comparons la probabilité d'obtenir $6$ et celle d'obtenir $7$.}
			
			Notons $X_J$ la variable aléatoire qui à un lancer de dés de Juliette associe la somme des chiffres obtenus.
			
			En utilisant le tableau de la question 1. nous pouvons affirmer que l'événement $\{ X_J=6\}$ est réalisé par $6$ issues tandis que $\{ X_J=7 \}$ est réalisé par $5$ issues. Compte tenu de l'équiprobabilité et du fait que l'univers contient $36$ issues: 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \mathbb{P}(X_J=6)= \frac{6}{36} \qquad  et \qquad \mathbb{P}(X_J=7)=\frac{5}{36}$.
				
			\end{conclusion}
						
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Sarah choisit un nombre entier. À la somme des carrés des deux entiers qui lui succèdent, elle retranche la somme des carrés des deux entiers qui le précèdent.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer qu’en appliquant ce calcul à $7$, on trouve $84$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le résultat obtenu, $r(7)$, en choisissant $7$.}
		
		Les deux successeurs de $7$ sont $7+1=8$ et $7+2=9$. Donc leurs carrés sont $8^2=64$ et $9^2=81$.
		
		Les deux prédécesseurs de $7$ sont $7-1=6$ et $7-2=5$. Donc leurs carrés sont $6^2=36$ et $5^2=25$.		
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			r(7) &= (81+64)-(36+25)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$r(7)=84$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le résultat obtenu si l’on choisit le nombre $5$.
		
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le résultat obtenu, $r(5)$, en choisissant $5$.}
		
		Les deux successeurs de $5$ sont $5+1=6$ et $5+2=7$. Donc leurs carrés sont $6^2=36$ et $7^2=49$.
		
		Les deux prédécesseurs de $5$ sont $5-1=4$ et $5-2=3$. Donc leurs carrés sont $4^2=16$ et $3^2=9$.		
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			r(5) &= (49+36)-(16+9)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$r(5)=60$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On reporte dans un tableau les résultats obtenus pour plusieurs calculs:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.94\linewidth}{|m{1.8cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				Nombre choisi & $-37$ & $0$ & $2$ & $7$ & $10$ & $30$
				\\
				\hline
				Résultat obtenu & $-444$ & $0$ & $24$ & $84$ & $120$ & $360$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		Conjecturer une méthode permettant de retrouver le nombre choisi connaissant le résultat.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il semble qu'il y ait proportionnalité entre la première et la seconde ligne.
		
		\begin{conclusion}
			
			Le nombre choisi peut être retrouvé en divisant par $12$ le résultat.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer la conjecture.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que, quelque soit l'entier $n$ choisi, le résultat est $12n$.}
		
		Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		Les deux successeurs de $n$ sont $n+1$ et $n+2$. Donc leurs carrés sont $(n+1)^2$ et $(n+2)^2$.
		
		Les deux prédécesseurs de $n$ sont $n-1$ et $n-2$. Donc leurs carrés sont $(n-2)^2$ et $(n-1)^2$.		
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			r(n) &= \left[ (n+2)^2+(n+1)^2 \right] - \left[ (n-1)^2+(n-2)^2 \right]\\
			&= \left[ n^2+2 \times n \times 2 + 2^2 +n^2+2 \times n \times 1 +1^2 \right] - \left[ n^2-2 \times n \times 2 + 2^2 +n^2-2 \times n \times 1 +1^2 \right]\\
			&=\left( n^2 +4n +4 + n^2+2n+1 \right) - \left( n^2-4n+4 +n^2-2n+1 \right)\\
			&= \left( 2n^2+6n+5 \right) - \left( 2n^2-6n+5 \right)\\
			&= 2n^2+6n+5-2n^2+6n-5\\
			&= 12n
		\end{align*}
		
		Nous avons démontré que
		
		\begin{conclusion}
			
			quelque soit l'entier naturel $n$ choisi le résultat est $12n$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_03_pavage.png}
		
	\end{center}
	
	Ce pavage est composé de $18$ pentagones tous superposables. Quatre d'entre eux ont été numérotés.
	
	\medskip
	Indiquer quelle transformation (translation, rotation, symétrie) permet de passer:
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		du pentagone $1$ au pentagone $2$;
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Une rotation de centre $A$ et d'angle $60\degres$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		du pentagone $2$ au pentagone $3$;
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Une symétrie centrale dont le centre est le milieu de $[BC]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		du pentagone $3$ au pentagone $4$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			La translation de vecteur $\overrightarrow{CD}$, ou encore la translation qui transforme $C$ en $D$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Préciser dans chaque cas les éléments qui définissent la transformation choisie. Aucune
	justification n'est attendue.
	
\end{sujet}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante veut faire renforcer la capacité \og utiliser le nombre pour repérer une position \fg{} chez ses élèves de grande section. Elle leur propose l’activité ci-dessous.
	
	
	\hspace*{-1cm}
	\begin{tabular}{|m{13cm}|}
		\hline
		Un train modèle de $31$ wagons est décoré avec des images toutes différentes et facilement reconnaissables.
		
		L'élève dispose :
		\begin{itemize}
			
			\item d'un train personnel de même longueur, non décoré;
			
			\item d’images identiques à celles du train modèle.
			
		\end{itemize}
		
		L'élève doit décorer son train de la même façon que le train modèle.
		
		\medskip
		Phase 1:
		
		L’enseignant propose de faire l’activité en positionnant le train personnel juste en-dessous du train modèle. Quand l’élève a reproduit le train modèle, la correspondance terme à terme est
		introduite par le maître comme procédure de vérification.
		
		\includegraphics[scale=0.52]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_04_train_1.png}
		
		\medskip
		Phase 2:
		
		La consigne est identique mais le train modèle est placé à distance de l’élève, hors de son champ visuel. L’élève n’a pas le droit de déplacer son train pour le décorer. Cependant, l’élève pourra se déplacer autant de fois que nécessaire pour reproduire le modèle.
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelles vérifications permettent la phase 1 avant de proposer la phase 2 aux élèves?
		
		Formuler deux attendus pour la première phase.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Pour la phase 2, l’enseignant a imaginé les deux situations suivantes:
	
	\smallskip
	\hspace*{-0.35cm} \includegraphics[scale=0.52]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_05_train_2.png}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les deux trains ci-dessus permettent-ils de mobiliser de la même manière la capacité
		visée?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer les étapes que doit réaliser un élève pour réussir la tâche demandée dans la phase 2.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sacha sait compter jusqu’à 8. Décrire comment Sacha peut procéder pour placer avec succès chacune des trois images du train modèle 2.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comment Sacha peut-il savoir s’il a réussi?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Le problème suivant a été proposé en fin d’année à des élèves d’une classe de CE1:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			$18$ enfants sont réunis pour goûter. Chaque enfant reçoit $1$ gâteau et $4$ bonbons.
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				
				\item Combien de gâteaux a-t-on donnés?
				
				\item Combien de bonbons a-t-on donnés?
				
			\end{enumerate}
			
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyse des productions:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quels points communs et quelles différences peut-on mettre en évidence dans les procédures de Maëlys et de Malyan?
			
			\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Maëlys
				
				\includegraphics[scale=0.45 ]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_06_maelys.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Malyan
				
				\includegraphics[scale=0.4 ]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_07_malyan.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
						
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quels points communs et quelles différences peut-on mettre en évidence dans les procédures de Bérénice et de Mila?
			
			\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Bérénice
				
				\includegraphics[scale=0.4 ]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_09_mila.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Mila
				
				\includegraphics[scale=0.4 ]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_07_malyan.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’encadré ci-dessous donne la réponse de Martin au problème posé. L’enseignant propose alors à Martin un nouveau problème où le nombre d’enfants passe de $18$ à $32$. En quoi cette modification peut-elle influencer la production de Martin?
		
		\begin{center}
			
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Martin
			
			\includegraphics[scale=0.4 ]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_10_martin.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	\begin{sujet}
		
		En quoi la représentation de Maëlys peut-elle être une illustration des calculs effectués par Martin et Bérénice? Quelle propriété de la multiplication cette comparaison induit-elle?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici deux réponses d’élèves à la question \og Dans un nombre, à quoi sert la virgule?\fg{} posée par un enseignant dans une classe de CM1:
		
		\begin{itemize}
			
			\item Élève A: \og La virgule sert à montrer que c’est un nombre décimal. \fg{}
			
			\item Élève B: \og La virgule sert à séparer le nombre entier et la partie décimale. \fg{}
			
		\end{itemize}
		
	\end{sujet}

	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour chacune des réponses proposées, expliquer pourquoi elle ne peut pas être retenue par l’enseignant pour la trace écrite à noter dans les cahiers d’élèves.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle réponse à la question posée, l’enseignant peut-il proposer à la classe?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici une production d’élève:
		
		\medskip
		\hspace*{-1.5cm}
		\includegraphics[scale=0.45]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_11_perimetre.png}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser la production de l’élève en relevant ses réussites et ses erreurs.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que peut-on proposer à l’élève pour l’aider à corriger ses éventuelles erreurs?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

%\begin{minipage}{5cm}
	\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
for i=1 #commentaire
	\end{lstlisting}
%\end{minipage}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}