%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{green},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement bareme
\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!3} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2020 sujet 2} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%Énorme rajout juste pour avoir l'aaddition posé en colonne avec trois termes.
\makeatletter
% new option for symbol in \opmanyadd
% top, bottom, center (as for \opadd)
% Top, Bottom, Center (single symbol)
\def\pOP@vmanyoperator#1{\edef\@tempa{#1}%
	\ifx\@tempa\op@string@top
	\let\op@vmanyoperator\op@string@top
	\else\ifx\@tempa\op@string@bottom
	\let\op@vmanyoperator\op@string@bottom
	\else\ifx\@tempa\op@string@center
	\let\op@vmanyoperator\op@string@center
	\else\ifx\@tempa\op@string@Top
	\let\op@vmanyoperator\op@string@Top
	\else\ifx\@tempa\op@string@Bottom
	\let\op@vmanyoperator\op@string@Bottom
	\else\ifx\@tempa\op@string@Center
	\let\op@vmanyoperator\op@string@Center
	\else
	\op@error{Parameter vmanyoperator accept only `top', `center',
		`bottom', ^^J \space
		`Top', `Center', and `Bottom'. Here, the value is `#1'}%
	{Value must be `top', `center', `bottom', `Top', `Center',
		or `Bottom'}%
	\fi\fi\fi\fi\fi\fi
}
\def\op@string@Top{Top}
\def\op@string@Bottom{Bottom}
\def\op@string@Center{Center}
% initial value
\opset{vmanyoperator=center}
%
\newcount\OMA@nbop
\newcommand\opmanyadd[1][nil]{%
	\begingroup
	\opset{#1}%
	\OMA@nbop \z@
	\opcopy{0}{OMA@result}%
	\op@manyadd
}
\newcommand\op@manyadd[1]{%
	\advance \OMA@nbop \@ne
	\op@split{#1}{a}%
	\op@split{#1}{OMA@op\the\OMA@nbop}%
	\ifop@deletezero
	\op@unzero{OMA@op\the\OMA@nbop}%
	\fi
	\opadd*{OMA@result}{#1}{OMA@result}%
	\op@split{OMA@result}{OMA@result}%
	\@ifnextchar\bgroup{\op@manyadd}{\op@manyaddend}
}
\newcommand\op@manyaddend{%
	% integer width
	\op@count@i = \csname OP@OMA@op1@i\endcsname
	\count@ \@ne
	\loop
	\ifnum\count@ < \OMA@nbop
	\advance\count@ \@ne
	\op@count@i = \op@max{\the\op@count@i}
	{\csname OP@OMA@op\the\count@ @i\endcsname}%
	\repeat
	\op@count@i = \op@max{\the\op@count@i}{\OP@OMA@result@i}%
	\advance\op@count@i \@ne
	% decimal width
	\op@count@ii = \csname OP@OMA@op1@d\endcsname
	\count@ \@ne
	\loop
	\ifnum\count@ < \OMA@nbop
	\advance\count@ \@ne
	\op@count@ii = \op@max{\the\op@count@ii}
	{\csname OP@OMA@op\the\count@ @d\endcsname}%
	\repeat
	\op@count@ii = \op@max{\the\op@count@ii}{\OP@OMA@result@d}%
	% total width
	\op@count@z = \op@count@i
	\advance\op@count@z \op@count@ii
	\setbox1=\hbox to\op@count@z\opcolumnwidth{%
		% rule
		\ophline(0,0.75){\the\op@count@z}%
		% single 'add' symbol
		\ifx\op@vmanyoperator\op@string@Top
		\oplput(0,\the\OMA@nbop){\op@addsymbol}%
		\else\ifx\op@vmanyoperator\op@string@Bottom
		\oplput(0,1){\op@addsymbol}%
		\else\ifx\op@vmanyoperator\op@string@Center
		\count@ \OMA@nbop
		\divide \count@ \tw@
		\ifodd\OMA@nbop
		\advance\count@ \@ne
		\oplput(0,\the\count@){\op@addsymbol}%
		\else
		\oplput(0,\the\count@.5){\op@addsymbol}%
		\fi
		\fi\fi\fi
		\count@ \tw@
		\op@count@iii \@ne
		\loop
		% multiple 'add' symbols
		\ifx\op@vmanyoperator\op@string@top
		\oplput(0,\the\count@){\op@addsymbol}%
		\else\ifx\op@vmanyoperator\op@string@bottom
		\oplput(0,\the\op@count@iii){\op@addsymbol}%
		\else\ifx\op@vmanyoperator\op@string@center
		\oplput(0,\the\op@count@iii.5){\op@addsymbol}%
		\fi\fi\fi
		\ifnum \count@ < \OMA@nbop
		\advance \count@ \@ne
		\advance \op@count@iii \@ne
		\repeat
		% operand(s) and result
		\vbox{%
			\count@ \@ne
			\loop
			\op@makebox{\the\op@count@i}
			{\the\op@count@ii}
			{operandstyle.\the\count@}
			{OMA@op\the\count@}%
			\hbox{\box0}%
			\ifnum \count@ < \OMA@nbop
			\advance \count@ \@ne
			\repeat
			\op@makebox{\the\op@count@i}{\the\op@count@ii}{resultstyle}{OMA@result}%
			\hbox{\box0}%
		}%
	}%
	\leavevmode
	\dimen0=\OMA@nbop\oplineheight
	\ifx\op@voperation\op@string@center
	\lower0.5\dimen0\box1
	\else\ifx\op@voperation\op@string@top
	\lower\dimen0\box1
	\else
	\box1
	\fi\fi
	\endgroup
}
\makeatother

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{red}Merci pour la relecture de Mme Bourgeois.}
		
	\end{correction}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Madame Martin souhaite participer à l’effort de protection de la planète et s’engager dans le développement durable.
	
	Elle a décidé d’installer des panneaux photovoltaïques, sur le toit de sa maison, pour produire sa propre énergie électrique ainsi qu’un récupérateur d’eau de pluie pour arroser son jardin.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: installation de panneaux photovoltaïques.}

\begin{sujet}
	
	Le toit de la maison de madame Martin a la forme d’un trapèze rectangle $ABCD$ représenté ci- dessous pour lequel on connaît les dimensions suivantes: \[ AB = 8\ \mathrm{m} \qquad AD = 7\ \mathrm{m} \qquad CB = 3\ \mathrm{m}. \]
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
		\def\xA{0};
		\coordinate (A) at ({\xA},0);
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\def\xB{8};
		\coordinate (B) at ({\xB},0);
		\draw (B) node[below right]{$B$};
		\def\yC{3};
		\coordinate (C) at ({\xB},{\yC});
		\draw (C) node[right]{$C$};
		\def\yD{7};
		\coordinate (D) at ({\xA},{\yD});
		\draw (D) node[above left]{$D$};
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yC});
		\draw (E) node[left]{$E$};
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		\draw (E) -- (C);
		\def\l{0.5};
		%Angle droit E
		\fill[color=gray , opacity=0.4] ({\xA+\l},{\yC}) -- ({\xA+\l},{\yC-\l}) -- ({\xA},{\yC-\l}) -- ({\xA},{\yC}) -- cycle;
		\draw ({\xA+\l},{\yC}) -- ({\xA+\l},{\yC-\l})-- ({\xA},{\yC-\l});
		%Angle droit A
		\fill[color=gray , opacity=0.4] ({\xA+\l},{0}) -- ({\xA+\l},{\l}) -- ({\xA},{\l}) -- ({\xA},{0}) -- cycle;
		\draw ({\xA+\l},{0}) -- ({\xA+\l},{\l}) -- ({\xA},{\l});
		%Angle droit B
		\fill[color=gray , opacity=0.4] ({\xB-\l},{0}) -- ({\xB-\l},{\l}) -- ({\xB},{\l}) -- ({\xB},{0}) -- cycle;
		\draw ({\xB-\l},{0}) -- ({\xB-\l},{\l}) -- ({\xB},{\l});
		%Le point P
		\def\yP{5};
		\coordinate (P) at ({\xA},{\yP});
		\draw (P) node[left]{$P$};
		%Angle droit P
		\fill[color=gray , opacity=0.4] ({\xA+\l},{\yP}) -- ({\xA+\l},{\yP-\l}) -- ({\xA},{\yP-\l}) -- ({\xA},{\yP}) -- cycle;
		\draw ({\xA+\l},{\yP}) -- ({\xA+\l},{\yP-\l})-- ({\xA},{\yP-\l});
		%Le point N
		\def\xN{\xB*(\yD-\yP)/(\yD-\yC)};
		\coordinate (N) at ({\xN},{\yP});
		\draw (N) node[above right]{$N$};
		%Angle droit N
		\fill[color=gray , opacity=0.4] ({\xN-\l},{\yP}) -- ({\xN-\l},{\yP-\l}) -- ({\xN},{\yP-\l}) -- ({\xN},{\yP}) -- cycle;
		\draw ({\xN-\l},{\yP}) -- ({\xN-\l},{\yP-\l})-- ({\xN},{\yP-\l});
		%Le point M
		\coordinate (M) at ({\xN},{0});
		\draw (M) node[below]{$M$};
		\fill[color=red, opacity=0.2] (P) -- (N) -- (M) -- (A) -- cycle;
		\draw (P) -- (N) -- (M);
		\end{tikzpicture}
		
		\emph{Vue du dessus du toit (la figure n'est pas à l'échelle).}
		
	\end{center}
	
	Le point $E$ est le point de $[AD]$ tel que $ABCE$ soit un rectangle.
	
	Le support dédié aux panneaux photovoltaïques correspond au rectangle $AMNP$ où $P$ est un point situé sur $[DE]$ et $N$ est l’intersection de la droite perpendiculaire à $(AD)$ passant par $P$ avec $(CD)$.
	
	On souhaite déterminer la position du point $P$ sur $[DE]$ pour que l’aire du support $AMNP$ soit la plus grande possible.
	
	On note $x$ la longueur du segment $[DP]$ exprimée en mètre et $A(x)$ l’aire du rectangle $AMNP$ exprimée en mètre carré.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliquer pourquoi $x$ doit être compris entre $0$ et $4$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\left. \begin{array}{l} DA=7\ \mathrm{m} \\ EA=CB= 3\ \mathrm{m} \\ E \in [AD] \end{array} \right\}$, donc $DE = 4 \mathrm{m}$.
		
		Puisque $P \in [DE]$ et puisque $DE=4 \ \mathrm{m}$, $0\ \mathrm{m} \leqslant DE \leqslant 4\ \mathrm{m}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$x \in [0;4]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $PN$ est égale à $2x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $PN$ en fonction de $x$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} 
			
			Les points $D$, $P$, $E$ d'une part et $D$, $N$, $C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèse du théorème de Thalès.}
			
			$(AD) \perp (PN)$ et $(AD)\perp (EC)$ donc $(PN) \parallel (EC)$.
			
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédentes, et d'après le théorème de Thalès nous déduisons: \[ \frac{DP}{DE}= \frac{PN}{EC}. \]
		
		La précédente égalité équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
			\frac{DP}{DE} {\color{orange} \times EC} &= \frac{PN}{EC} {\color{orange} \times EC}\\
			\frac{x\ \mathrm{m}}{4\ \mathrm{m}} \times \left( 8\ \mathrm{m} \right) &= PN \\
			2x\ \mathrm{m} &= PN
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$PN=2x\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour tout nombre $x$ compris entre $0$ et $4$, on a: $A(x) = 14x - 2x^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $A(x)$.}
		
		$AMNP$ est un rectangle donc son aire se calcul en faisant $PN \times AP$ \emph{i.e.}
		
		\begin{align*}
			A(X) &= 2x \times (7-x)\\
			&= 2x \times 7 - 2x \times x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$A(x) = -2x^2+14x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire du support, en mètre carré, si l’on choisit $x = 2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $A(2)$.}
		
		\begin{align*}
			A({\color{orange}2}) & = -2 \times {\color{orange}2^{\color{black}2}}+14 \times {\color{orange}2}\\
			&= 20
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $x=2$ l'aire du support est de $20\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le graphique ci-dessous représente l’aire du support, en mètre carré, en fonction de la longueur $x$ en mètre.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{4.9};
			\def\yZ{25.9};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {0,1, 2,...,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {0,1,2,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{\framebox{Longueur $x$ en $\mathrm{m}$}};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above left]{\framebox{Aire en $\mathrm{m}^2$}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{14*\x-2*\x*\x});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Répondre par lecture graphique aux questions suivantes:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l’aire, en mètre carré, du support si la longueur $x$ est égale à $3\ \mathrm{m}$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.9};
				\def\yZ{25.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{\framebox{Longueur $x$ en $\mathrm{m}$}};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above left]{\framebox{Aire en $\mathrm{m}^2$}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{14*\x-2*\x*\x});
				\draw[dashed,red,very thick] (3,0) -- (3,{14*3-2*3*3}) -- (0,{14*3-2*3*3});
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$A(3)=24$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur $x$, l’aire du support est-elle égale à $12\ \mathrm {m}^2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.9};
				\def\yZ{25.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{\framebox{Longueur $x$ en $\mathrm{m}$}};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above left]{\framebox{Aire en $\mathrm{m}^2$}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{14*\x-2*\x*\x});
				\draw[dashed,red,very thick] (0,12) -- (1,12) -- (1,0);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire est de $12\ \mathrm{m}^2$ lorsque $x=1\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle valeur de la longueur $x$, l’aire du support est-elle maximale?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.9};
				\def\yZ{25.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{\framebox{Longueur $x$ en $\mathrm{m}$}};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above left]{\framebox{Aire en $\mathrm{m}^2$}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{14*\x-2*\x*\x});
				\draw[dashed,red,very thick] (0,{14*3.5-2*3.5*3.5}) -- (3.5,{14*3.5-2*3.5*3.5}) -- (3.5,0);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire maximale est atteinte pour $x=3,5\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: les différentes énergies renouvelables.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Les informations présentées dans cette partie sont extraites du site \fg RTE, Réseau de transport d’électricité \fg{}.}
	
	\medskip
	Le tableau ci-dessous indique la production française d’énergie électrique renouvelable par filière en 2017, exprimée en térawatt-heure ($\mathrm{TWh}$).
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|m{4cm}|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Filière & Production
			\\
			\hline
			Filière éolienne & $24\ \mathrm{TWh}$
			\\
			\hline
			Filière solaire & $9,2\ \mathrm{TWh}$
			\\
			\hline
			Filière hydraulique & $48,6\ \mathrm{TWh}$
			\\
			\hline
			Filière des bioénergies & $7\ \mathrm{TWh}$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le pourcentage que représente l’énergie électrique produite par la filière solaire par rapport à l’énergie électrique produite par l’ensemble des filières des énergies renouvelables.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la proportion, $p_s$, de l'électrique solaire par rapport au reste de la production renouvelable.}
		
		Toutes les grandeurs étant la même unité:
		
		\begin{align*}
			p_s &= \frac{9,2}{24+9,2+48,6+7}\\
			&= \frac{23}{222}\\
			&\approx 0,103603
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$10,36\ \%$ de l'électricité de la filière renouvelable provient du solaire.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
	
		En 2017, l’électricité renouvelable a couvert $18,4\ \%$ de l’électricité consommée en France.
		
		Calculer la quantité totale d’électricité consommée en France en 2017. On donnera l’arrondi au dixième de térawatt-heure.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la quantité totale, $q_t$, d'électricité consommée en France.}
		
		\begin{tabular}{|*{3}{c|}}
			\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{}& Électricité renouvelable & Toute forme d'électricité
			\\
			\hline
			Quantité (en $\mathrm{TWh}$)& $24+9,2+48,6+7=88,8$ & $q_t$
			\\
			\hline
			Proportion (en $\%$) & $18,4$ & $100$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\medskip
		Par proportionnalité:
		
		\begin{align*}
			q_t &= \frac{88,8 \times 100}{18,4}\\
			&\approx 482,6086
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La quantité totale d'électricité consommée en France en 2017 était de $482,6\ \mathrm{TWh}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: coût de l'énergie électrique.}

\begin{sujet}
	
	Chaque matin, madame Martin fait bouillir un demi-litre d’eau dans une bouilloire pour préparer son thé.
	
	En utilisant les informations ci-dessous, calculer le prix de l’énergie électrique, toutes taxes comprises, utilisée par madame Martin pour préparer son thé chaque matin durant toute l’année 2018.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\begin{center}\emph{Document 1: caractéristiques de la bouilloire électrique de madame Martin.}\end{center}
			\\
			Durée du chauffage pour $0,5\ \mathrm{L}$ d’eau: $1\ \mathrm{min}\ 26\ \mathrm{s}$.
			
			\smallskip
			Puissance : $2200\ \mathrm{W}$.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\begin{center}\emph{Document 2: énergie électrique.}\end{center}
			
			\[E = P \times t. \]
			
			$E$ désigne l’énergie en watt-heure ($\mathrm{Wh}$).
			
			\smallskip
			$P$ désigne la puissance en watt ($\mathrm{W}$).
			
			\smallskip
			$t$ désigne le temps en heure ($\mathrm{h}$).
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\begin{center}\emph{Document 3: prix de l’énergie électrique.}\end{center}
			\\
			Prix hors TVA d’un kilowatt-heure ($\mathrm{kWh}$): $0,0997\ \text{euro}$.
			
			\smallskip
			TVA sur l’énergie électrique: $20\ \%$.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons la dépense, $d_a$, électrique de madame Martin pour son thé pendant une année.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Calculons la consommation d'énergie, $E_b$, pour chauffer une bouilloire.
		
		\begin{align*}
			E_b &= P\times t\\
			&= \left( 2200\ \mathrm{W} \right) \times \left( 1\ {\color{WildStrawberry}\mathrm{min}} + 26\ {\color{orange}\mathrm{s}} \right)\\
			&= \left( 2200\ \mathrm{W} \right) \times \left( 1 {\color{WildStrawberry}\times \frac{1}{60}\ \mathrm{h}} + 26 {\color{orange}+ \frac{1}{3600} \ \mathrm{h}} \right)\\
			&= 2200 \times \left( \frac{1}{60}+ \frac{26}{3600} \right) \ \mathrm{W} \cdot \mathrm{h}\\
			&= \frac{473}{9}\ \mathrm{Wh}\\
		\end{align*}
		
		\item Calculons la consommation énergétique, $E_a$, pour l'année 2018.
		
		2018 étant une année régulière (non bissextile):
		
		\begin{align*}
			E_a &= 365 E_b\\
			&= 365 \times \frac{473}{9}\ \mathrm{W} \cdot \mathrm{h}\\
			&= \frac{172645}{9}\ {\color{orange}\mathrm{W}} \cdot \mathrm{h}\\
			&= \frac{172645}{9} {\color{orange}\times \frac{1}{1000}\ \mathrm{kW}} \cdot \mathrm{h}\\
			&= \frac{34529}{1800}\ \mathrm{kW} \cdot \mathrm{h} \quad {\color{blue}(1)}
		\end{align*}
		
		\item Calculons le prix, $p_k$, d'un kilowatt-heure avec la TVA.
		
		Une TVA de $20\ \%$ signifie une augmentation du prix de $20\ \%$. Le coefficient multiplicateur correspondant est:
		
		\begin{align*}
			CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{20}{100}\\
			&= 1,2
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			p_k &= 1,2 \times 0,0997\ \text{\euro}/ \mathrm{kWh}\\
			&= 0,11964\ \text{\euro}/ \mathrm{kWh} \quad {\color{blue}(2)}
		\end{align*}
		
		\item De ${\color{blue}(1)}$ et ${\color{blue}(2)}$ nous déduisons la somme dépensée annuellement:
		
		\begin{align*}
			d_a &= \left( \frac{34529}{1800}\ \mathrm{kWh} \right) \times \left( 0,11964\ \text{\euro}/ \mathrm{kWh} \right)\\
			&= \frac{34529}{1800} \times 0,11964\ \mathrm{kWh}\cdot \text{\euro}/\mathrm{kWh}\\
			&\approx 2,29502
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Pour chauffer son thé madame Martin a dépensé $2,30\ \text{\euro}$ en 2018.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie D: installation d’un récupérateur d’eau.}

\begin{sujet}
	
	Madame Martin choisit d’installer un récupérateur d’eau ayant la forme d’une pyramide à base rectangulaire tronquée, représentée par le solide $ABCDA’B’C’D’$ sur le schéma ci-dessous qui n’est pas à l’échelle. Le plan $(A’B’C’)$ est parallèle au plan $(ABC)$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
			%Coordonnées de A
			\def\xA{0};
			\def\yA{1};
			%Translations pour aller de A à B
			\def\xAB{8};
			\def\yAB{-1};
			%Translations pour aller de B à C
			\def\xBC{3};
			\def\yBC{1};
			%Les points A, B, C et D
			\coordinate (A) at (\xA,\yA);
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAB+\xBC},{\yA+\yAB+\yBC});
			\coordinate (D) at ({\xA+\xBC},{\yA+\yBC});
			%Le parallélogramme ABCD
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\draw (A) node[left] {$A$};
			\draw (B) node[below right] {$B$};
			\draw (C) node[above right] {$C$};
			\draw (D) node[above] {$D$};
			%Création du point S
			\def\xS{5};
			\def\yS{-15};
			\coordinate (S) at (\xS,\yS);
			\draw (S) node[below] {$S$};
			%Proportion de segments hachurée
			\def\coef{0.6};
			%Segment [AS]
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:{\coef}] plot({\x*(\xA-\xS) + \xS} , {\x*(\yA-\yS)+\yS});
			\draw[samples=100,domain={\coef}:1] plot({\x*(\xA-\xS) + \xS} , {\x*(\yA-\yS)+\yS});
			%Point A'
			\coordinate (A') at ({\coef*(\xA-\xS) + \xS} , {\coef*(\yA-\yS)+\yS});
			\draw (A') node[left] {$A'$};
			%Segment [BS]
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:{\coef}] plot({\x*(\xA+\xAB-\xS) + \xS} , {\x*(\yA+\yAB-\yS)+\yS});
			\draw[samples=100,domain={\coef}:1] plot({\x*(\xA+\xAB-\xS) + \xS} , {\x*(\yA+\yAB-\yS)+\yS});
			%Point B'
			\coordinate (B') at ({\coef*(\xA+\xAB-\xS) + \xS} , {\coef*(\yA+\yAB-\yS)+\yS});
			\draw (B') node[below right] {$B'$};
			%Segment [CS]
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:{\coef}] plot({\x*(\xA+\xAB+\xBC-\xS) + \xS} , {\x*(\yA+\yAB+\yBC-\yS)+\yS});
			\draw[samples=100,domain={\coef}:1] plot({\x*(\xA+\xAB+\xBC-\xS) + \xS} , {\x*(\yA+\yAB+\yBC-\yS)+\yS});
			%Point C'
			\coordinate (C') at ({\coef*(\xA+\xAB+\xBC-\xS) + \xS} , {\coef*(\yA+\yAB+\yBC-\yS)+\yS});
			\draw (C') node[right] {$C'$};
			%Segment [DS]
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:1] plot({\x*(\xA+\xBC-\xS) + \xS} , {\x*(\yA+\yBC-\yS)+\yS});
			%Point D'
			\coordinate (D') at ({\coef*(\xA+\xBC-\xS) + \xS} , {\coef*(\yA+\yBC-\yS)+\yS});
			\draw (D') node[above left] {$D'$};
			%Parallélogramme A'B'C'D'
			\draw (A') -- (B') -- (C');
			\draw[dashed] (C') -- (D') -- (A');
			%Le point H
			\coordinate (H) at ({(\xA+\xA+\xAB+\xBC)/2} , {(\yA+\yA+\yAB+\yBC)/2});
			\draw (H) node[above right] {$H$};
			\draw (H) node {\tiny $\bullet$};
			%Segment [HS]
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:1] plot({\x*((\xA+\xA+\xAB+\xBC)/2-\xS) + \xS} , {\x*((\yA+\yA+\yAB+\yBC)/2-\yS)+\yS});
			%Point H'
			\coordinate (H') at ({\coef*((\xA+\xA+\xAB+\xBC)/2-\xS) + \xS} , {\coef*((\yA+\yA+\yAB+\yBC)/2-\yS)+\yS});
			\draw (H') node[above right] {$H'$};
			\draw (H') node {\tiny $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	On donne les dimensions suivantes: \[ AB = 1,9\ \mathrm{m} \qquad AD = 92\ \mathrm{cm} \qquad HH’= 1,84\ \mathrm{m} \qquad	SH = 4,60\ \mathrm{m}. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez le volume $V_1$ de la pyramide $SABCD$, en mètre cube, arrondi au litre.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{8cm}|}
				\hline
				On rappelle la formule du volume d’une pyramide: \[ V = \frac{1}{3} \times aire\ de\ la\ base \times  hauteur. \]
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $V_1$.}
		
		Puisque la base est le rectangle $ABCD$:
		
		\begin{align*}
			V_1 &= \frac{1}{3} \times \left( AB \times AD \right) \times SH\\
			&= \frac{1}{3} \times \left[ \left( 1,9\ \mathrm{m} \right) \times \left( 92\ {\color{orange}\mathrm{cm}} \right) \right] \times \left( 4,60\ \mathrm{m} \right)\\
			&= \frac{1}{3} \times \left( 1,9\ \mathrm{m} \right) \times \left( 92 {\color{orange} \times \frac{1}{100}\ \mathrm{m}} \right) \times \left( 4,60\ \mathrm{m} \right)\\
			&= \frac{1}{3} \times 1,9 \times 92 \times \frac{1}{100} \times 4,60\ \mathrm{m} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}\\
			&= \frac{10051}{3750} \ \mathrm{m}^3\\
			&\approx 2,68026\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		Puisque $1\ \mathrm{L}= 1\ \mathrm{dm}^3$, il faut que nous arrondissions le résultat au millième de mètre cube:
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_1 \approx 2,680\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le coefficient de réduction permettant de passer de la pyramide $SABCD$ à la pyramide $SA’B’C’D’$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le coefficient $c_r$ demandé.}
			
			\begin{align*}
				c_r &= \frac{SH'}{SH}\\
				&= \frac{ SH-HH'}{SH}\\
				&= \frac{ \left( 4,60\ \mathrm{m} \right) - \left( 1,84\ \mathrm{m} \right)}{4,60\ \mathrm{m}}\\
				&= \frac{ 2,76\ \mathrm{m}}{4,60\ \mathrm{m}}\\
				&= \frac{ 2,76}{4,60}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$c_r=0,6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire le volume $V_2$ de la pyramide $SA’B’C’D’$, en mètre cube, arrondi au litre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons  $V_2$.}
			
			Puisque le coefficient de réduction appliqué aux longueurs est de $0,6$, le coefficient multiplicateur appliqué aux volumes est de $0,6^3$. Donc:
			
			\begin{align*}
				V_2 &= 0,6^3 \times V_1 \\
				&\approx 0,6^3 \times 2,680\ \mathrm{m}^3 \\
				&\approx 0,57888\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_2 \approx 0,579\ \mathrm{m}^3$.
			
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le volume $V$ du récupérateur d’eau est environ égal à $2,101\ \mathrm{m}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $V$.}
		
		\begin{align*}
			V &= V_1-V_2\\
			&\approx \left( 2,680\ \mathrm{m}^3 \right) -\left( 0,579\ \mathrm{m}^3 \right)\\
			&\approx \left( 2,680- 0,579 \right) \ \mathrm{m}^3 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V \approx 2,101\ \mathrm{m}^3$.
		
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Madame Martin possède un arrosoir d’une capacité de $12$ litres.
		
		Calculer le nombre d’arrosoirs qu’elle peut remplir complètement avec l’eau contenue dans son récupérateur plein.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le nombre, $n$, d'arrosoirs que madame Martin peut remplir avec une réservoir.}
		
		Exprimons $V$ en litres:
		\begin{align*}
			V &\approx 2,101\ {\color{orange}\mathrm{m}^3}\\
			&\approx 2,101 {\color{orange}\times 1000\ \mathrm{dm}^3}\\
			&\approx 2101\ {\color{WildStrawberry} \mathrm{dm}^3}\\
			&\approx 2101\ {\color{WildStrawberry} \mathrm{L}}
		\end{align*}
		
		Donc:
		
		\begin{align*}
			n &\approx  \frac{2101\ \mathrm{L}}{12\ \mathrm{L}}\\
			&\approx \frac{2101}{12}\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}}\\
			&\approx 175,0833
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$n \approx 175$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Pour gérer son parc d’éoliennes, un exploitant procède à des relevés de la vitesse du vent sur l’une d’entre elles. Durant l’année 2019, ces relevés ont été effectués toutes les minutes.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Combien de relevés ont été réalisés en 2019?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre, $n_r$, de relevés fabriqués.}
		
		2019 étant une année régulière elle comportait $365$ jours, chaque journée comporte $24$ heures et chaque heure comporte $60$ minutes donc:
		
		\begin{align*}
			n_r &= 365 \times 24 \times 60
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$n_r= \np{525600}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le tableau suivant donne plusieurs résultats statistiques issus de ces relevés:
		
		\begin{center}
			
			\noindent
			\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				étendue & médiane & moyenne & maximum
				\\
				\hline
				$23\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ & $14,3\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ & $13\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ & $24\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		On précise qu’une éolienne de ce parc:
		\begin{itemize}
			\item tourne dès que la vitesse du vent atteint $3\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$,
			
			\item a sa puissance électrique stabilisée dès que la vitesse du vent atteint $13\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$,
			
			\item s’arrête dès que la vitesse du vent est supérieure à $25\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$.
		\end{itemize}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le gérant prétend que les éoliennes de son parc n’ont pas fonctionné continuellement durant l’année 2019. A-t-il raison? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le minimum de cette série.}
			
			L'étendue est donnée par:
			
			\begin{align*}
				e &= max -min\\
				\intertext{donc:}
				min &= max-e\\
				&= \left( 24\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \right) - \left( 23\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \right)\\
				&= 1\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
			\end{align*}
			
			La vitesse minimum fut de $1\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$, qui est inférieure strictement à $3\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$, il y a au moins eu un jour dans l'année pendant lequel l'éolienne n'a pas fonctionné.
			
			\begin{conclusion}
				
				Le gérant a raison.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Peut-il affirmer que les éoliennes ont délivré une puissance électrique stabilisée pendant au moins la moitié du temps? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La médiane est de $14,3\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ et le maximum est de $24\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ donc la moitié du temps la vitesse du vent était dans des conditions de puissance stabilisée (\emph{i.e.} entre $13\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $24\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$).
			
			\begin{conclusion}
				
				Les éoliennes ont délivré une puissance stabilisée pendant au moins la moitié de temps.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses \emph{en justifiant la réponse}.
	
	\medskip
	\emph{Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse, incorrecte ou une absence de réponse n’enlève pas de point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 1}: \og le nombre $\np{4 700 001}$ est un nombre premier.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Évaluer la primalité d'un grand nombre est extrêmement fastidieux: il faut testé s'il est divisible par les nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée.
		
		C'est tellement pénible qu'il est peu vraisemblable que ce soit ici le cas.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $\np{4 700 001}$ n'est pas premier.}
		
		{\color{orange}Il suffit de tester les différents critères de divisibilité connus.}
		
		$4+7+0+0+0+0+1=12$ et $12$ est divisible par $3$ don $\np{4 700 001}$ est divisible par $3$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 2}: \og les nombres $32^{12}$ et $16^{15} +3$ sont égaux. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Les calculs à la calculatrice semblent impossibles. Nous ne pouvons espérer, avec le peu de temps dont on dispose en examen, faire ces calculs manuellement. Il faut donc essayer autrement de comparer ces nombres.}
		
		\medskip
		\objectif{Comparons $32^{12}$ et $16^{15} +3$.}
		
		{\color{orange}Une façon comparer deux nombres consiste à étudier le signe de leur différence.}
		
		Nous avons les décompositions en facteurs premiers: $32=2^5$ et $16=2^4$.
		
		Par conséquent:
		
		\begin{align*}
			16^{15}+3-32^{12} &= \left( 2^4 \right) ^{15} + 3 - \left( 2^5 \right) ^{12}\\
			&= 2^{4 \times 15}+3-2^{5\times 12}\\
			&= 2^{60}+3-2^{60}\\
			&= 3
			\intertext{Clairement:}
			16^{15}+3-32^{12} &>0\\
			\intertext{Autrement dit:}
			16^{15}+3 &> 32^{12}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 3}: \og La somme des carrés de deux nombres entiers naturels consécutifs est toujours un nombre impair. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous allons démontrer le résultat en utilisant la caractérisation suivante: un entier est impair si et seulement si il peut s'écrire sous la forme $2k+1$ avec $k$ un entier naturel.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que la somme des carrés de deux nombres entiers naturels consécutifs est toujours un nombre impair.}
		
		Soit $n$ un entier naturel.
		
		$n+1$ est donc l'entier consécutif.
		
		Nous avons:
		
		\begin{align*}
			n^2+(n+1)^2 &= n^2+n^2+2\times n \times 1+1^2\\
			&= n^2+n^2+2n+1\\
			&= 2n^2+2n+1\\
			&= 2(n^2+n)+1\\
			&= 2k+1 \quad \text{avec } k=n^2+n \text{ un entier naturel}
		\end{align*}
		
		Autrement dit $n^2+(n+1)^2$ est un nombre impair.
		
		Nous avons démontré que la somme des carrés de tous les entiers consécutifs est un nombre impair.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 4}: \og Le triangle $ABC$ avec $AB = 6,4\ \mathrm{m}$, $BC = 4,8\ \mathrm{m}$ et $AC = 8\ \mathrm{m}$ est rectangle en $B$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Un rapide calcul à la calculatrice donne: $6,4^2+4,8^2=64$ et $8^2=64$. Nous savons donc ce que nous devons établir.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $ABC$ est rectangle en $B$.}
		
		D'une part:
		\begin{align*}
			AB^2+ BC^2 &= 6,4^2+4,8^2\\
			&= 64
		\end{align*}
		
		d'autre part
		
		\begin{align*}
			AC^2 &= 8^2\\
			&= 64
		\end{align*}
		
		d'où $AB^2+BC^2=AC^2$.
		
		Nous en déduisons, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, que $ABC$ est rectangle en $B$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Pour réaliser la rosace ci-dessous, 
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_01_rosace.png}
		
	\end{center}
	
	on a défini un motif \og Carré \fg{} et on a utilisé le programme ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_2_02_scratch.sb3}{
		\begin{scratch}[scale=0.8]
			\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
 			\blocklook{montrer}
			\blockmove{aller à x: \ovalnum{-120} y: \ovalnum{0}}
			\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
			\blockpen{effacer tout}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
				{
				\blockmoreblocks{Carré}
				\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
				}
			\blocklook{cacher}
		\end{scratch} \hspace{1cm}
		\begin{scratch}[scale=0.8]
			\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Carré}}
			\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
			{
				\blockpen{stylo en position d'écriture}
				\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
				\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
				\blockpen{relever le stylo}
			}
		\end{scratch}
		}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Cliquez sur le programme ci-dessus pour le télécharger.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Combien de motifs \og Carré \fg{} composent la rosace?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le programme contient l'indication explicite \og répéter $6$ fois\fg{}.
		
		\begin{conclusion}
			
			$6$ motifs \og Carré\fg{} composent la rosace.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle transformation géométrique permet de passer d’un motif \og Carré \fg{} au motif
		\og Carré \fg{} suivant?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le programme contient l'indication explicite \og tourner de $60$ degré\fg{} dans le sens directe comme l'indique la flèche.
		
		\begin{conclusion}
			
			On passe d'un motif \og Carré\fg{} au suivant par une rotation dont le centre est le centre de symétrie de la rosace et d'angle $60\degres$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Clément souhaite modifier le programme pour que la rosace soit composée de $10$ motifs comme ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_03_rosace.png}
			
		\end{center}
		
		Quelles modifications doit-il apporter au programme?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il faut modifier le nombre de répétition et l'angle de la rotation comme suit:
				
		\begin{center}
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
				\blocklook{montrer}
				\blockmove{aller à x: \ovalnum{-120} y: \ovalnum{0}}
				\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
				\blockpen{effacer tout}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{10} fois}
				{
					\blockmoreblocks{Carré}
					\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{36} degrés}
				}
				\blocklook{cacher}
			\end{scratch} \hspace{1cm}
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Carré}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
				{
					\blockpen{stylo en position d'écriture}
					\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
					\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
					\blockpen{relever le stylo}
				}
			\end{scratch}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Iness souhaite obtenir la figure ci-dessous où chaque motif est espacé de $10$ pixels.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_05_carres.png}
			
		\end{center}
		
		Par quelle instruction doit-elle remplacer l’instruction \begin{scratch}[scale=0.7] \blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés} \end{scratch} pour obtenir cette nouvelle figure?
		
		%\raisebox{-0.2cm}{\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_07_instruction_scratch.png}}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il suffit de remplacer \begin{scratch}[scale=0.7] \blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés} \end{scratch} par \begin{scratch}[scale=0.7] \blockmove{avancer de \ovalnum{60}} \end{scratch}.
		
		%\raisebox{-0.2cm}{\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_07_instruction_scratch.png}} par \raisebox{-0.2cm}{\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_06_instruction_scratch.png}}.
		
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Kelly et Mourad ont chacun un dé cubique équilibré. Les faces de leurs dés sont soit rouges, soit bleues. Le dé de Mourad a $5$ faces rouges et $1$ face bleue.
	
	Chacun lance son dé.
	\begin{enumerate}[\tiny$\blacksquare$]
		\item Si les deux faces supérieures sont de la même couleur, alors c’est Mourad qui gagne.
		
		\item Si les deux faces supérieures sont de couleurs différentes, alors c’est Kelly qui gagne.
		
	\end{enumerate}
	
	Kelly et Mourad se posent la question suivante:
	\emph{est-il possible de colorier les faces du dé de Kelly de sorte que les deux joueurs aient a même probabilité de gagner?}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Kelly propose de colorier $4$ faces de son dé en rouge et $2$ en bleu.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la probabilité que Mourad gagne est égale à $\displaystyle \frac{11}{18}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $A$ l'événement \og Mourad gagne \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			Schématisons l'expérience par un arbre probabiliste pondéré dans lequel le premier niveau correspond au dé de Kelly et le second celui de Mourad.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
					%Création des nœuds
					\foreach \A/\ord/\n in {A1/3/R, A2/1/B, A3/-1/R, A4/-3/B} \node (\A) at (8,\ord){$\n$};
					\foreach \B/\ord/\n in {B1/2/R, B2/-2/B} \node (\B) at (4,\ord) {$\n$};
					\foreach \C/\ord/\n in {C0/5/Gagnant:, C1/3/Mourad, C2/1/Kelly, C3/-1/Kelly, C4/-3/Mourad} \node (\C) at (12,\ord){\n};
					\foreach \D/\ord/\n in {D0/5/\text{Probabilité:}, D1/3/\frac{10}{36}, C2/1/\frac{4}{26}, C3/-1/\frac{10}{36}, C4/-3/\frac{2}{36}} \node (\D) at (16,\ord){$\n$};
					%Branches entre les nœuds
					%\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4} \draw (\B) -- (\A);
					%\foreach \B in {B1, B2} \draw (0,0) -- (\B);
					\draw (B1) -- (A1) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{5}{6}$};
					\draw (B1) -- (A2) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{1}{6}$};
					\draw (B2) -- (A3) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{5}{6}$};
					\draw (B2) -- (A4) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{1}{6}$};
					\draw (0,0) -- (B1) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{4}{6}$};
					\draw (0,0) -- (B2) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{2}{6}$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			{\color{orange}Nous modélisons l'expérience en choisissant $\Omega = \left\{ RR,\ RB,\ BR,\ BB \right\}$ et la loi de probabilité est celle indiquée sur le schéma et qui est obtenue en utilisant le principe multiplicatif.}
			
			\medskip
			$A= \left\{ RR,\ BB \right\}$ donc:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(RR) + \mathbb{P}(BB) \\
				\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
				\mathbb{P}(A) &= \frac{4}{6} \times \frac{5}{6} + \frac{2}{6} \times \frac{1}{6}\\
				&= \frac{20}{36} + \frac{2}{36}\\
				&= \frac{22}{36}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{11}{18}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le coloriage proposé permet-il de répondre affirmativement à la question que Kelly et Mourad se posent? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $B$ l'événement \og Kelly gange \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			Clairement $A$ et $B$ sont des événements contraires donc:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(B) &= 1- \mathbb{P}(A)\\
				&= 1 -\frac{11}{18}\\
				&= \frac{7}{18}
			\end{align*}
			
			Donc $\mathbb{P}(B) \ne \mathbb{P}(A)$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Le coloriage proposé n'est pas une solution du problème.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On appelle $x$ le nombre de faces coloriées en rouge sur le dé de Kelly.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la probabilité que Mourad gagne est égale à $\displaystyle \frac{2x+3}{18}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $C_x$ l'événement \og Mourad gagne \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(C_x)$.}
						
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Création des nœuds
				\foreach \A/\ord/\n in {A1/3/R, A2/1/B, A3/-1/R, A4/-3/B} \node (\A) at (8,\ord){$\n$};
				\foreach \B/\ord/\n in {B1/2/R, B2/-2/B} \node (\B) at (4,\ord) {$\n$};
				\foreach \C/\ord/\n in {C0/5/Gagnant:, C1/3/Mourad, C2/1/Kelly, C3/-1/Kelly, C4/-3/Mourad} \node (\C) at (12,\ord){\n};
				\foreach \D/\ord/\n in {D0/5/\text{Probabilité:}, D1/3/\frac{5x}{36}, C2/1/\frac{x}{26}, C3/-1/\frac{5(6-x)}{36}, C4/-3/\frac{6-x}{36}} \node (\D) at (16,\ord){$\n$};
				%Branches entre les nœuds
				%\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4} \draw (\B) -- (\A);
				%\foreach \B in {B1, B2} \draw (0,0) -- (\B);
				\draw (B1) -- (A1) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{5}{6}$};
				\draw (B1) -- (A2) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{1}{6}$};
				\draw (B2) -- (A3) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{5}{6}$};
				\draw (B2) -- (A4) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{1}{6}$};
				\draw (0,0) -- (B1) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{x}{6}$};
				\draw (0,0) -- (B2) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{6-x}{6}$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
		
			$C_x= \left\{ RR,\ BB \right\}$ donc:
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(C_x) &= \mathbb{P}(RR) + \mathbb{P}(BB) \\
				\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
				\mathbb{P}(C_x) &= \frac{x}{6} \times \frac{5}{6} + \frac{6-x}{6} \times \frac{1}{6}\\
				&= \frac{5x}{36} + \frac{6-x}{36}\\
				&= \frac{5x+6-x}{36}\\
				&= \frac{4x+6}{36}\\
				&= \frac{{\color{orange}2 \times} 2x + {\color{orange}2 \times} 3}{36}\\
				&= \frac{{\color{orange}2 \times}(2x+3)}{{\color{orange}2 \times} 18}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \mathbb{P}(C_x)=\frac{2x+3}{18}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur de $x$ pour répondre à la question que Kelly et Mourad se posent.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Résolvons l'équation $\frac{2x+3}{18}=\frac{1}{2}$.}
			
			{\color{orange}Nous reconnaissons une équation linéaire du premier degré, la résolution algébrique consiste à isoler l'inconnue.}
			
			\begin{align*}
				\frac{2x+3}{18} &=\frac{1}{2}\\
				\intertext{équivaut successivement à:}
				{\color{orange} 18 \times } \frac{2x+3}{18} &={\color{orange} 18 \times } \frac{1}{2}\\
				2x+3 &= 9\\
				2x+3 {\color{WildStrawberry}-3} &= 9 {\color{WildStrawberry}-3}\\
				2x &= 6\\
				\frac{2x}{\color{orange}2} &= \frac{6}{\color{orange}2}\\
				x &= 3
			\end{align*}
			
			{\color{orange}La solution trouvée est bien un entier entre $1$ et $6$ nous pouvons donc conclure.}
			
			\begin{conclusion}
				
				La seule valeur possible pour laquelle les deux joueurs ont la même chance de gagner est $x=3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Voici un extrait de la note de service n\degres 2018-052 du 25-4-2018 \og La résolution de problèmes
	à l'école élémentaire \fg{}.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{11cm}|}
			\hline
			\emph{\og Modéliser \fg{} et \og calculer \fg{} sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l'école élémentaire} qui doivent guider l'action de l'enseignant pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés. En effet, lors de la résolution de problèmes, les principales difficultés rencontrées peuvent relever de:
			
			\begin{itemize}
				
				\item difficultés à \og modéliser \fg{}: l'élève n'arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l'énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s'appuie pas sur les opérations attendues;
				
				\item difficultés à \og calculer \fg{}: les calculs effectués, mentalement ou en les posant, sont erronés, la ou les erreurs pouvant être dues à une méconnaissance de faits numériques ou à une maîtrise imparfaite des algorithmes de calcul utilisés.
				
			\end{itemize}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Un enseignant propose à ses élèves de CE1 le problème suivant issu d’une évaluation nationale de 2012 (DEPP): \og \emph{L’album de Rémi et Chloé peut contenir $100$ photos. Rémi veut ranger $24$ photos et Chloé $16$. Combien de places restera-t-il pour de nouvelles photos?} \fg{}.
	
	\medskip
	Voici les réponses proposées par $5$ élèves:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Élève A.
			&
			Élève B.
			\\
			&
			\\
			\opmanyadd{100}{24}{16} 
			
			C'est $140$.
			&
			
			
			\begin{tabular}{m{1.5cm}m{1.5cm}}
			\begin{minipage}{1.5cm}
			\oplput(1,2){1}\oplput(2,2){0}\oplput(3,2){0}
			\oplput(0,1.5){$-$}
			\oplput(2,1){2}\oplput(3,1){4}
			\ophline(0,0.8){4}
			\oplput(2,0){8}\oplput(3,0){4}
			\end{minipage} 
			&
			\begin{minipage}{1.5cm}
			\oplput(1,2){8}\oplput(2,2){4}
			\oplput(0,1.5){$-$}
			\oplput(1,1){1}\oplput(2,1){6}
			\ophline(0,0.8){3}
			\oplput(1,0){7}\oplput(2,0){2}
			\end{minipage}
			\end{tabular}
			
			Il reste $72$ places.
			\\
			&
			\\
			\hline
			Élève C.
			&
			Élève D
			\\
			&
			\\
			$24+16=40$
			
			$100-40=60$
			
			$60$ places.
			&
			$100-24=76-16=60$
			
			Il y a encore $60$ places.
			\\
			&
			\\
			\hline
			\multicolumn{1}{c|}{}
			&
			Élève E.
			\\
			\multicolumn{1}{c|}{}
			&
			$24-16=8$
			
			Réponse $=8$.
			\\
			\multicolumn{1}{c|}{}
			&
			\\
			\cline{2-2} 
		\end{tabularx}
	
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’appuyant sur l’extrait de la note de service proposé ci-dessus, analyser les cinq propositions d’élèves en termes de réussites et d’échecs pour chacune des compétences \og modéliser \fg{} et \og calculer \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux activités de remédiation que l’on pourrait envisager pour aider l’élève A à réussir ce type de problème, une avec  matériel et une sans matériel.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une activité de remédiation que l’on pourrait envisager pour aider l’élève B à comprendre son erreur.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère maintenant le problème suivant: \og \emph{L’album de Rémi peut contenir $100$ photos. Rémi veut ranger $24$ photos. Combien de places restera-t-il pour de nouvelles photos?} \fg{}. En proposant ce second problème à la place du problème initial quelles erreurs risqueraient de ne pas être détectées? En citer deux.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant d’une classe de CM2 propose l’exercice suivant à ses élèves:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			L’aire d’un rectangle est de $16\ \mathrm{cm}^2$.
			
			Trouve une longueur et une largeur possibles pour ce rectangle.
			
			Quel est alors son périmètre?
			
			Cherche le plus de solutions possibles.
			\\
			\hline
		\end{tabular}	
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer au moins deux notions qu’un élève doit avoir travaillées pour pouvoir résoudre le problème ci-dessus.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer quatre couples de réponses (longueur et largeur du rectangle, avec une longueur supérieure ou égale à la largeur) attendus d’un élève de CM2 aux deux premières questions.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer au moins deux difficultés qu’un élève peut rencontrer pour déterminer des couples de solutions.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève propose comme couple de solutions les longueurs $4\ \mathrm{cm}$ et $4\ \mathrm{cm}$. Un de ses camarades lui dit \og Ta solution est fausse, car la figure est un carré. \fg{}
		
		Proposer des éléments que l’enseignant peut apporter à ces deux élèves pour les aider à trancher.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un autre élève, qui a effectué la division ci-dessous, propose comme couple de solutions les longueurs $5,33\ \mathrm{cm}$ et $3\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_08_potence.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Faire une hypothèse sur le raisonnement que l’élève a conduit pour proposer ce résultat.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que révèle cette procédure sur les acquis de l’élève?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comment montrer à cet élève que cette réponse ne convient pas?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle exploitation l’enseignant pourrait-il faire en classe de cette proposition?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant propose à ses élèves de CM2 l’exercice suivant.
	
	\medskip
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		Dans le livre de recettes de cuisine de Corentin, on donne la recette pour faire $15$ crêpes ou $25$ crêpes:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{4cm}|}
				\hline
				\textbf{Pour $15$ crêpes.}
				\\
				$300\ \mathrm{g}$ de farine
				
				$3$ œufs
				
				$75\ \mathrm{cL}$ de lait
				
				$3$ cuillères à soupes d'huile
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\qquad	
			\begin{tabular}{|m{4cm}|}
				\hline
				\textbf{Pour $25$ crêpes.}
				\\
				$500\ \mathrm{g}$ de farine
				
				$5$ œufs
				
				$125\ \mathrm{cL}$ de lait
				
				$5$ cuillères à soupes d'huile
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Mais Corentin veut faire $10$ crêpes seulement.
		
		\textbf{Donne la quantité d'ingrédients nécessaires pour faire $10$ crêpes.}
		\\
		\\
		Madame Lucas veut préparer $60$ crêpes pour la fête d'anniversaire de sa fille. Elle a emprunté le livre de recettes de Corentin.
		
		\textbf{Quels sont les quantités d'ingrédients nécessaires pour faire $60$ crêpes?}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la principale notion du programme travaillée dans cet exercice?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser le choix des nombres de crêpes dans cet exercice.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliciter trois procédures correctes attendues des élèves pour calculer la masse de farine pour $10$ crêpes.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour cette question, la production d’un élève est proposée ci-dessous:
		
		\hspace*{-1.25cm}
		\includegraphics[scale=0.43]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_09_eleve.png}
		
		\medskip
		Relever la ou les erreurs rencontrées et proposer une aide possible pour chacune d’entre elles.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}