%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{green},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement bareme
\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!3} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2020 sujet 1} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}
	
\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci à Mme Colle-Guedel et à Mme Malassé pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\subsubsection{Partie A: boîte de sauce tomate.}

\begin{sujet}
	
	Un fabricant de sauce tomate utilise des boîtes de conserve de forme cylindrique de diamètre $99\ \mathrm{mm}$ et de hauteur $118\ \mathrm{mm}$.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_01_boite.png}
		
	\end{center}
	
	Le format de ces boîtes est appelé $\displaystyle \frac{4}{4}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Rappel du volume d'un cylindre: \[ V = Aire\ de\ la\ base \times hauteur. \]
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Dans tout cet exercice, on négligera l’épaisseur du métal.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le volume, en $\mathrm{cm}^3$, d’une boîte de conserve $\displaystyle \frac{4}{4}$. Arrondir le résultat à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $V_1$ de la boîte.}
		
		Puisque la base de ce cylindre est un disque de rayon $\frac{99}{2}\ \mathrm{mm}$, d'après la formule qui nous est rappelée:
		
		\begin{align*}
			V_1 &= \left[ \pi \left(\frac{99}{2}\ \mathrm{mm} \right)^2 \right] \times \left( 118\ \mathrm{mm} \right)\\
			&= \pi \times \left( \frac{99}{2} \right)^2 \times 118\ \mathrm{mm}^2 \cdot \mathrm{mm}\\
			&= \np{289129,5}\pi\ {\color{orange}\mathrm{mm}}^3\\
			&= \np{289129,5}\pi \left({\color{orange} \frac{1}{10}\ \mathrm{cm}} \right)^3\\
			&= \np{289129,5}\pi \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{cm}^3\\
			&\approx \np{908,32711}\ \mathrm{cm}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_1 \approx 908\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La contenance affichée sur la boîte est $850\ \mathrm{mL}$. Vérifier qu’une boîte remplie à $95\ \%$ contient bien au moins $850\ \mathrm{mL}$ de sauce tomate.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $V_2$ correspondant à $95\ \%$ du volume de la boîte précédente.}
		
		\begin{align*}
			V_2 &= \frac{95}{100} \times V_1\\
			&= \frac{95}{100} \times \np{289,1295}\pi\ {\color{orange}\mathrm{cm}^3}\\
			&= \frac{95}{100} \times \np{289,1295}\pi\ {\color{orange}\mathrm{mL}}\\
			&\approx 862,9107\ \mathrm{mL}
		\end{align*}
		
		Nous avons bien $V_2>850\ \mathrm{mL}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La boîte contient au moins $850\ \mathrm{mL}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère une nouvelle boîte de même hauteur et dont le diamètre est le double de la précédente. Le volume de la nouvelle boîte est-il le double du volume d’une boîte $\displaystyle \frac{4}{4}$? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous pourrions faire les calculs numériques pour comparer les volumes de boîtes mais nous allons démontrer que ce résultat est inexacte pour tous les cylindres.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que doubler le diamètre ne signifie pas doubler le volume.}
		
		Notons $d$ le diamètre de la base du cylindre et $h$ sa hauteur. Alors son volume est:
		
		\begin{align*}
			V_3 &= \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \times h\\
			&= \frac{1}{4} \pi d^2h
		\end{align*}
		
		Le volume obtenu en doublant le diamètre est:
		
		\begin{align*}
			V_4 &= \pi \left( \frac{2d}{2} \right)^2 \times h\\
			&= \pi d^2h
		\end{align*}
		
		Nous remarquons que: $4V_3= V_4$ et donc (hormis dans le cas de volumes nuls):
		
		\begin{conclusion}
			
			lorsque le diamètre double le volume du cylindre ne double pas.
						
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère une autre boîte de conserve de diamètre $73\ \mathrm{mm}$ et de hauteur $54\ \mathrm{mm}$. Le format de cette boîte s’appelle $\displaystyle \frac{1}{4}$. Calculer le volume de cette boîte cylindrique arrondi au $\mathrm{cm}^3$ puis justifier l’appellation du format $\displaystyle \frac{1}{4}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Calculons le volume $V_5$ de cette nouvelle boîte.}
			
			Reprenons le raisonnement de la question I.A.1
					
			\begin{align*}
				V_5 &= \left[ \pi \left(\frac{73}{2}\ \mathrm{mm} \right)^2 \right] \times \left( 54\ \mathrm{mm} \right)\\
				&= \pi \times \left( \frac{73}{2} \right)^2 \times 54\ \mathrm{mm}^2 \cdot \mathrm{mm}\\
				&= \np{71941,5}\pi\ {\color{orange}\mathrm{mm}}^3\\
				&= \np{71941,5}\pi \left({\color{orange} \frac{1}{10}\ \mathrm{cm}} \right)^3\\
				&= \np{71941,5}\pi \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{cm}^3\\
				&\approx \np{226,0108}\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_5 \approx 226\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous remarquons que $V_5 \approx \frac{1}{4} V_1$. Et donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				le format de cette boîte est appelé $\displaystyle \frac{1}{4}$ car le volume de cette boîte est un quart du volume de la boîte appelée $\displaystyle \frac{4}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: minimisation du coût de fabrication d’une boîte de conserve.}

\begin{sujet}
	
	Le fabricant doit produire des boîtes de conserve cylindriques de volume fixé $908\ \mathrm{cm}^3$. Il souhaite minimiser le coût du métal, pour cela il cherche à minimiser l’aire totale $A$ de la boîte; celle-ci correspond à la somme de l’aire des disques de base et de l’aire de la surface latérale du cylindre. Il étudie l’évolution de l’aire de métal totale $A$, en centimètre carré, en fonction du rayon $r$, en centimètre, du disque de base.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dessiner à main levée un patron d’une boîte de conserve cylindrique en repassant de la même couleur les éléments de même longueur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\r{1};
				\def\h{1};
				\draw[red] ({-2*3.1415*\r/2},\h)--({-2*3.1415*\r/2},{-\h});
				\draw[red] ({2*3.1415*\r/2},{\h})--({2*3.1415*\r/2},{-\h});
				\draw[blue] ({-2*3.1415*\r/2},{\h})--({2*3.1415*\r/2},{\h});
				\draw[blue] ({-2*3.1415*\r/2},{-\h})--({2*3.1415*\r/2},{-\h});
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\r*cos(\x)},{\r*sin(\x)+(\h+\r)});
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\r*cos(\x)},{\r*sin(\x)-(\h+\r)});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que le volume de la boîte est de $908\ \mathrm{cm}^3$, donner l’expression de la hauteur $h$, exprimée en centimètre, de la boîte en fonction du rayon $r$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $h$ en fonction de $r$.}
		
		Le volume du cylindre est en centimètre cube
		
		\begin{align*}
			V_6 &= 908\\
			\intertext{Autrement dit, $h$ et $r$ étant exprimés en centimètre:}
			\pi r^2h &= 908\\
			\intertext{ce qui équivaut successivment à:}
			\frac{\pi r^2h}{\color{orange}\pi r^2} &= \frac{908}{\color{orange}\pi r^2},\quad \text{en supposant } r>0
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$h=\frac{908}{\pi r^2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour calculer l’aire totale des cylindres de rayons différents, on a construit à l’aide d’un tableur la feuille de calcul suivante :
		
		{\hspace*{-1.3cm}
		\includegraphics[scale=0.23]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_02_tableur.png}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sans justifier, parmi les cinq propositions données ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule $\texttt{C}2$ et étirée vers le bas jusqu’à la cellule $\texttt{C}21$.
			
			\begin{enumerate}[\text{Proposition} 1: ]
				\item \framebox{$=\texttt{PI}()*\texttt{A}1*\texttt{A}1$}
				
				\item \framebox{$=\texttt{PI}()*\texttt{A}2*\texttt{A}2$}
				
				\item \framebox{$=\texttt{PI}()*49,5*49,5$}
				
				\item \framebox{$=\texttt{PI}()*1*1$}
				
				\item \framebox{$=\texttt{PI}()*\texttt{B}2*\texttt{B}2$}
			\end{enumerate}
			
			Rappel:\og $\texttt{PI}()$ \fg{}  \emph{correspond à la valeur du nombre $\pi$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous devons reconstruire la formule de l'aire du disque donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				La proposition 2 convient.
				
			\end{conclusion}
						
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose que les colonnes \texttt{A}, \texttt{B}, \texttt{C} et \texttt{D} sont déjà remplies. Proposer une formule à saisir dans la cellule $\texttt{E}2$ et copiée par glissement vers le bas jusqu’à la cellule $\texttt{E}21$, donnant l’aire totale du cylindre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il faut prendre en compte l'aire de la partie latérale rectangulaire, $\texttt{D}2$, et l'aire des deux bases, $\texttt{C}2$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Formule en $\texttt{E}2$: \framebox{$= \texttt{D}2+ 2*\texttt{C}2$}.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant la feuille de calcul ci-dessus, conjecturer un encadrement d’amplitude minimale du rayon, correspondant au coût minimal de métal pour la fabrication de cette boîte de conserve.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons un encadrement du rayon correspondant à une aire minimale $A_m$.}
			
			La plus petite aire calculée est de $520,3\ \mathrm{cm}^2$. Nous pouvons supposer (si les variations de l'aire ne sont pas trop étranges) que la valeur minimale $A_m$ est au voisinage de $520,3\ \mathrm{cm}^3$: soit entre $554,5\ \mathrm{cm}^2$ et $520,3\ \mathrm{cm}^3$ soit entre $520,3\ \mathrm{cm}^2$ et $528,9\ \mathrm{cm}^2$.
			
			Autrement dit le minimum est obtenu pour un rayon soit entre $4\ \mathrm{cm}$ et $5\ \mathrm{cm}$ soit entre $5\ \mathrm{cm}$ et $6\ \mathrm{cm}$.
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				l'aire du cylindre semble minimale pour un rayon compris entre $4\ \mathrm{cm}$ et $6\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour affiner la précision, on a représenté graphiquement, ci-dessous, l’aire totale $A$ en fonction du rayon $r$:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{13.2};
			\def\yZ{8.6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.2cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above left,fill=white]{Rayon ($\mathrm{cm}$)};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below right,fill=white]{Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
			\foreach \x in {0,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4+0.2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {0,1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{515+5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:13.1] plot(\x,{(1816/(4+2*\x/10) + 2*3.1415*(4+2*\x/10)*(4+2*\x/10)-515)/5});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Répondre aux questions (a) à (e) par lecture graphique.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’aire totale $A$ est-elle proportionnelle au rayon $r$? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Un petit raisonnement par l'absurde.}
			
			\medskip
			Si l'aire était proportionnelle au rayon alors la fonction $r \mapsto A$ serait une fonction linéaire. Or la courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite et donc cela contredirait la représentation graphique qui nous est fournie.
			
			Nécessairement:
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire totale n'est pas proportionnelle au rayon.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer l’aire totale pour un rayon de $4,24\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{13.2};
				\def\yZ{8.6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.2cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above left,fill=white]{Rayon ($\mathrm{cm}$)};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below right,fill=white]{Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4+0.2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{515+5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:13.1] plot(\x,{(1816/(4+2*\x/10) + 2*3.1415*(4+2*\x/10)*(4+2*\x/10)-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] (1.2,0) --(1.2,{(1816/(4+2*1.2/10) + 2*3.1415*(4+2*1.2/10)*(4+2*1.2/10)-515)/5}) --(0,{(1816/(4+2*1.2/10) + 2*3.1415*(4+2*1.2/10)*(4+2*1.2/10)-515)/5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le rayon est de $4,24\ \mathrm{cm}$ l'aire totale est de $541,2\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer les rayons correspondant à une aire totale de $530\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{13.2};
				\def\yZ{8.6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.2cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above left,fill=white]{Rayon ($\mathrm{cm}$)};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below right,fill=white]{Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4+0.2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{515+5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:13.1] plot(\x,{(1816/(4+2*\x/10) + 2*3.1415*(4+2*\x/10)*(4+2*\x/10)-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] (0,{(530-515)/5}) --(13.2,{(530-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] (2.6,0) --(2.6,{(530-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] (10.22,0) --(10.22,{(530-515)/5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire totale est de $530\ \mathrm{cm}^2$ si le rayon mesure $4,52\ \mathrm{cm}$ ou $6,04\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer l’aire totale minimale.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{13.2};
				\def\yZ{8.6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.2cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above left,fill=white]{Rayon ($\mathrm{cm}$)};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below right,fill=white]{Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4+0.2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{515+5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:13.1] plot(\x,{(1816/(4+2*\x/10) + 2*3.1415*(4+2*\x/10)*(4+2*\x/10)-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] ({0},{(1816/(4+2*((5.25-4)*10/2)/10) + 2*3.1415*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)-515)/5})-- ({13.2},{(1816/(4+2*((5.25-4)*10/2)/10) + 2*3.1415*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)-515)/5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire totale minimale est de $519\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le rayon correspondant.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{13.2};
				\def\yZ{8.6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.2cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above left,fill=white]{Rayon ($\mathrm{cm}$)};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below right,fill=white]{Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4+0.2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{515+5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:13.1] plot(\x,{(1816/(4+2*\x/10) + 2*3.1415*(4+2*\x/10)*(4+2*\x/10)-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] ({0},{(1816/(4+2*((5.25-4)*10/2)/10) + 2*3.1415*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)-515)/5})-- ({13.2},{(1816/(4+2*((5.25-4)*10/2)/10) + 2*3.1415*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] ({(5.25-4)*10/2},0)-- ({(5.25-4)*10/2},{(1816/(4+2*((5.25-4)*10/2)/10) + 2*3.1415*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)-515)/5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le rayon correspondant à une aire totale minimale mesure $5,24\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer, par un calcul, la hauteur correspondante. Arrondir au millimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons établi à la question I.B.2 que, pour $r$ et $h$ exprimés en centimètres: 
			
			\begin{align*}
				h &= \frac{908}{\pi r^2}\\
				\intertext{Nous en déduisons:}
				h &= \frac{908}{\pi \times 5,24^2}\\
				&\approx 10,5262
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Lorsque l'aire totale du cylindre est minimale la hauteur est de $10,5\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: livraison des boîtes.}

\begin{sujet}
	
	Le fabricant de sauce tomate souhaite expédier par carton ses boîtes de conserve modèle $\displaystyle \frac{4}{4}$ de diamètre $99\ \mathrm{mm}$, de hauteur $118\ \mathrm{mm}$ et de masse $880\ \mathrm{g}$. Il a le choix entre les $3$ types de cartons ci-dessous (les boîtes sont posées sur leur base dans les cartons):
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\begin{center} \textbf{Carton 1} \end{center}
			
			Un seul étage contenant $5$ boîtes en longueur et $5$ boîtes en largeur.
			\\
			\hline
			\begin{center} \textbf{Carton 2} \end{center}
			
			Trois étages contenant chacun $4$ boîtes en
			longueur et $2$ boîtes en largeur.
			\\
			\hline
			\begin{center} \textbf{Carton 3} \end{center}
			
			Trois étages contenant chacun $3$ boîtes en
			longueur et $3$ boîtes en largeur.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Le transporteur lui impose deux conditions :
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item La masse du carton ne doit pas dépasser $22\ \mathrm{kg}$.
		
		\item La somme des dimensions longueur + largeur + hauteur ne doit pas dépasser $100\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{enumerate}
	
	Quel(s) carton(s) peut-il choisir? Justifier la réponse pour chaque type de carton.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Comparons les différents cartons.}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		& Carton 1 & Carton 2 & Carton 3
		\\
		\hline
		Masse & $1 \times 5\times 5  \times 0,880\ \mathrm{kg}=22\ \mathrm{kg}$ & $3 \times 4 \times 2 \times 0,880\ \mathrm{kg}= 21,12\ \mathrm{kg}$ & $3\times 3 \times 3 \times 0,880\ \mathrm{kg}= 23,76\ \mathrm{kg}$
		\\
		\hline
		Somme des dimensions & $1\times 11,8\ \mathrm{cm} + 5 \times 9,9\ \mathrm{cm} +5\times 9,9\ \mathrm{cm}= 110,8\ \mathrm{cm}$ & $3 \times 11,8\ \mathrm{cm} + 4 \times 9,9\ \mathrm{cm} +2 \times 9,9\ \mathrm{cm}= 94,8\ \mathrm{cm}$ & $3 \times 11,8\ \mathrm{cm} + 3\times 9,9\ \mathrm{cm} +3 \times 9,9\ \mathrm{cm}=94,8$
		\\
		\hline
		Condition de masse est-elle vérifiée? & Oui & Oui & Non
		\\
		\hline
		Condition de longueur est-elle vérifiée? & Non & Oui & Oui
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	\begin{conclusion}
		
		Seul le carton 2 convient car il respecte simultanément les deux conditions imposées.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Un couple souhaite aménager les combles de sa maison, représentés par la partie grisée du schéma ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\l{3};
			\def\L{2.5};
			\def\d{3};
			\def\h{2};
			\coordinate (M) at (0,0);
			\coordinate (N) at ({\l},0);
			\coordinate (P) at ({\l+\L},{\d});
			\coordinate (Q) at ({\L},{\d});
			\coordinate (K) at (0,{\h});
			\coordinate (B) at ({\l},{\h});
			\coordinate (H) at ({\l+\L},{\d+\h});
			\coordinate (L) at ({\L},{\d+\h});
			\coordinate (K) at (0,{\h});
			\coordinate (A) at ({\l/2},{\h});
			\coordinate (C) at ({\l/2},{\h+2*\h/3});
			\coordinate (D) at ({\L+\l/2},{\d+\h+2*\h/3});
			\coordinate (E) at ({\L+\l/2},{\d+\h});
			\draw (M)--(N)--(P) --(H) --(B) --(K) --(L) --(D) --(H);
			\draw (K)--(B);
			\draw (K)--(M);
			\draw (N)--(B);
			\draw (K)--(C);
			\draw (C)--(B);
			\draw (A)--(C)--(D);
			\draw[dashed] (P)--(Q)--(M);
			\draw[dashed] (Q)--(L)--(H);
			\draw[dashed] (E)--(D);
			\fill[color=black, opacity=0.20] (K) --(B) --(H) --(D) --(L)--cycle;
			\draw (A) node[below] {$A$};
			\draw (B) node[below left] {$B$};
			\draw (K) node[left]{$K$};
			\draw (H) node[above right] {$H$};
			\draw (L) node[above left] {$L$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	$KBHL$ est un rectangle et le point $A$ est le milieu de $[BK]$.
	
	\medskip
	Le triangle $ABC$ ci-dessous représente une coupe de profil d’une partie des combles.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (4.32,0);
			\coordinate (C) at (0,3.90);
			\coordinate (D) at ({4.32-1.80/3.9*4.32},0);
			\coordinate (E) at ({4.32-1.80/3.9*4.32},1.80);
			\draw (A)--(B)--(C)--(A);
			\draw [dashed] (E)--(D);
			\draw (A) node {$\times$};
			\draw (D) node {$\times$};
			\draw (B) node {$\times$};
			\draw (E) node {$\times$};
			\draw (C) node {$\times$};
			\draw (A) node [below left] {$A$};
			\draw (D) node [below] {$D$};
			\draw (B) node [below right] {$B$};
			\draw (E) node [above right] {$E$};
			\draw (C) node [above left] {$C$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	On donne les informations suivantes:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item la droite $(AC)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$;
		
		\item $AB = 432\ \mathrm{cm}$ et $AC = 390\ \mathrm{cm}$;
		
		\item Les points $D$ et $E$ sont tels que $D$ appartient au segment $[AB]$, $E$ appartient au segment $[BC]$, la droite $(DE)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ et $DE = 1,80\ \mathrm{m}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $BC = 5,82\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $BC$.}
		
		$ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore:
		
		\begin{align*}
			BC^2 &= AB^2+AC^2\\
			\intertext{Nous en déduisons successivement:}
			BC^2 &= \left( 432\ {\color{orange}\mathrm{cm}} \right)^2 + \left( 390\ {\color{blue}\mathrm{cm}} \right)^2 \\
			&= \left( 432{\color{orange}\times \frac{1}{100}\ \mathrm{m}} \right)^2 + \left( 390{\color{blue}\times \frac{1}{100}\ \mathrm{m}} \right)^2 \\
			&= 4,32^2\ \mathrm{m}^2 + 3,90^2\ \mathrm{m}^2 \\
			&= \left( 4,32^2\ \mathrm{m}^2 \right) + \left( 3,90^2\ \mathrm{m}^2 \right) \\
			&= \left( 4,32^2+3,90^2 \right)\ \mathrm{m}^2\\
			&= 33,8724\ \mathrm{m}^2
			\intertext{Puisque $BC$ est une longueur donc une grandeur positive:}
			BC & = \sqrt{33,8724\ \mathrm{m}^2}\\
			&= \sqrt{33,8724}\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$BC = 5,82\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le couple cherche à connaître la superficie Carrez des combles, c’est-à-dire la surface pour laquelle la hauteur sous plafond est supérieure ou égale à $1,80\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le segment $[DE]$, perpendiculaire au sol, représente une hauteur sous plafond de $1,80\ \mathrm{m}$. À quelle distance du point $A$, arrondie au centimètre, se trouve le point $D$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $AD$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Calculons $DB$.
				
				\begin{enumerate}[.]
					\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} Les points $A$, $D$ et $B$ d'une part, et les points $C$, $E$, $B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
					
					\item {\color{orange}Hypothèse du théorème de Thalès.} Puisque $(AC) \perp (AB)$ et $(DE) \perp (AB)$ donc $(AC) \parallel (DE)$.
				\end{enumerate}
				
				Nous en déduisons d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{DB}{AB} = \frac{DE}{AC}. \]
				
				Cette égalité équivaut successivement à
				
				\begin{align*}
					\frac{DB}{AB} {\color{orange} \times AB} &= \frac{DE}{AC} {\color{orange} \times AB}\\
					DB &= \frac{1,80\ \mathrm{m}}{3,90\ \mathrm{m}} \times \left( 4,32\ \mathrm{m} \right)\\
					DB &= \frac{1,80}{3,90} \times 4,32\ \mathrm{m}\\
					DB &= \frac{648}{325}\ \mathrm{m} 
				\end{align*}
				
				\item Déduisons-en $AD$:
				
				\begin{align*}
					AD &= AB- DB\\
					&= \left( 4,32\ \mathrm{m}\right) - \left( \frac{648}{325}\ \mathrm{m} \right)\\
					&\approx 2,3261\ \mathrm{m}
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le point $D$ est à $2,33\ \mathrm{m}$ du point $A$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La longueur $[BH]$ de la maison mesure $20\ \mathrm{m}$. En déduire la superficie Carrez des combles, arrondie au mètre carré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la superficie Carrez $S_c$.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\l{3};
				\def\L{2.5};
				\def\d{3};
				\def\h{2};
				\coordinate (M) at (0,0);
				\coordinate (N) at ({\l},0);
				\coordinate (P) at ({\l+\L},{\d});
				\coordinate (Q) at ({\L},{\d});
				\coordinate (K) at (0,{\h});
				\coordinate (B) at ({\l},{\h});
				\coordinate (H) at ({\l+\L},{\d+\h});
				\coordinate (L) at ({\L},{\d+\h});
				\coordinate (K) at (0,{\h});
				\coordinate (A) at ({\l/2},{\h});
				\coordinate (C) at ({\l/2},{\h+2*\h/3});
				\coordinate (D) at ({\L+\l/2},{\d+\h+2*\h/3});
				\coordinate (E) at ({\L+\l/2},{\d+\h});
				\coordinate (D1) at ({\l/2+ \l/2*1.8/3.9},{\h});
				\draw[green] (D1) node[below] {$D$};
				\coordinate (D2) at ({\l/2- \l/2*1.8/3.9},{\h});
				\coordinate (D4) at ({\l/2+ \l/2*1.8/3.9+\L},{\h+\d});
				\coordinate (D3) at ({\l/2- \l/2*1.8/3.9+\L},{\h+\d});
				\draw[green,very thick] (D4) -- (D1) -- (D2) -- (D3);
				\fill[green,opacity=0.2] (D4) -- (D1) -- (D2) -- (D3);
				\draw (M)--(N)--(P) --(H) --(B) --(K) --(L) --(D) --(H);
				\draw (K)--(B);
				\draw (K)--(M);
				\draw (N)--(B);
				\draw (K)--(C);
				\draw (C)--(B);
				\draw (A)--(C)--(D);
				\draw[dashed] (P)--(Q)--(M);
				\draw[dashed] (Q)--(L)--(H);
				\draw[dashed] (E)--(D);
				\fill[color=black, opacity=0.20] (K) --(B) --(H) --(D) --(L)--cycle;
				\draw (A) node[below] {$A$};
				\draw (B) node[below left] {$B$};
				\draw (K) node[left]{$K$};
				\draw (H) node[above right] {$H$};
				\draw (L) node[above left] {$L$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			La surface au sol pour laquelle la hauteur sous plafond est supérieure ou égale à $1,80\ \mathrm{m}$, est un rectangle de $2 AD = 2 \times  2,33\ \mathrm{m}$ de large et $20\ \mathrm{m}$ de long donc
			
			\begin{align*}
				S_c &= \left( 2 \times 2,33\ \mathrm{m} \right) \times \left( 20\ \mathrm{m} \right)\\
				&= 2 \times 2,33 \times 20\ \mathrm{m}^2 \\
				&= 93,2\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La surface correspondant à la loi Carrez est $93\ \mathrm{m}^2$.
							
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Lors d’un vide-grenier, les organisateurs proposent aux visiteurs d’acheter des tickets de tombola.
	
	Le prix d’un ticket est fixé à deux euros. $\np{4 000}$ tickets ont été imprimés et vendus.
	
	Les lots ont tous été achetés par les organisateurs.
	
	La répartition des tickets et des lots est donnée par l’extrait de tableur suivant:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			\rowcolor{orange!20}Nombre de tickets gagnants & Lot & Valeur du lot 
			\\
			\hline
			$1$ & Téléviseur & $899\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			$5$ & Lecteur Blu-ray & $250\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			$10$ & Smartphone & $125\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			$14$ & Bracelet connecté & $59\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			$30$ & Grille-pain & $15\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			$100$ & Peluche & $0,50\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			& Ticket perdant & $0\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
	Isabelle achète un ticket de tombola.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que la probabilité qu’elle gagne un lot est de $0,04$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}En lisant les questions de l'exercice nous remarquons que ce ne sont pas tant le tickets qui nous intéresse que la valeur des lots éventuellement obtenus. Nous allons donc, pour faciliter les notations des événements introduire une variable aléatoire. Il est bien sûr possible de s'en passer.}
		
		\medskip Notons $X$ la variable aléatoire qui à chaque ticket associe la valeur du lot correspondant en euro.
	
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(X>0)$.}
		
		Nous pouvons supposer que tout les tickets ont la même chance d'être tirés. Il y a donc équiprobabilité ente les tickets.
		
		$\{ X>0 \}$ est réalisé par $1+5+10+14+30+100=160$ issues (ticket) et l'univers tout entier contient $\np{4000}$ issues (ticket) donc \[ \mathbb{P}(X>0) = \frac{160}{4000}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(X>0)=0,04$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité qu’Isabelle gagne une peluche ? Donner la réponse sous la forme d’une fraction irréductible, puis d’un pourcentage.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(X=0,50)$.}
		
		Il y a équiprobabilité entre les ticket, $\{ X=0,50 \}$ est réalisé par $100$ issues et l'univers en comporte $\np{4000}$ donc: \[ \mathbb{P}(X=0,50)= \frac{100}{4000}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(X=0,50)= \frac{1}{40}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Soit $p$ le pourcentage correspondant à une probabilité de $\frac{1}{40}$.
		
		Nous avons
		
		\begin{align*}
			\frac{1}{40} &= \frac{p}{100}\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{1}{40} {\color{orange}\times 100} &= \frac{p}{100}  {\color{orange}\times 100}\\
			2,5 &= p
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$p=2,5\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la probabilité qu’elle gagne un lot dont la valeur est au moins $100\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(X \geqslant 100)$.}
		
		Il y a équiprobabilité entre les ticket, $\{ X\geqslant 100 \}$ est réalisé par $10+5+1=16$ issues et l'univers en comporte $\np{4000}$ donc: \[ \mathbb{P}(X\geqslant 100)= \frac{16}{4000}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(X \geqslant 100)= 0,004$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En ne considérant que les tickets gagnants, calculer la valeur moyenne d’un lot. On donnera la valeur arrondie au centime.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la valeur moyenne $\overline{x}$ d'un lot en ne considérant que les ticket gagnants.}
		
		En utilisant la formule de la moyenne pondérée:
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{n_1x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_r x_r}{n_1+n_2+ \dots +n_r}\\
			&= \frac{1 \times 899 +5 \times 250 + \dots + 100 \times 0,50}{1 + 5 + \dots + 100}\\
			&= 29,53125
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La valeur moyenne d'un lot est de $29,53\ \text{\euro}$, en ne considérant que les tickets gagnants.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère que l’achat des lots est le seul coût engagé. Quelle somme d’argent a rapporté cette tombola?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la somme $S$ que rapporte la tombola.}
		
		En admettant que tout les ticket sont vendus, leur vente rapporte $\np{4000} \times 2\ \text{\euro}= \np{8000}\ \text{\euro}$.
		
		Un lot valant en moyenne $29,53125\ \text{\euro}$, le coût occasionné par l'achat des lots est: $160 \times 29,53125\ \text{\euro}= \np{4725}\ \text{\euro}$.
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			S &= \left( \np{8000}\ \text{\euro} \right) - \left( \np{4725}\ \text{\euro} \right)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$S= \np{3275}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 

	\begin{sujet}
		
		L’organisateur de la tombola propose un deuxième tirage aux personnes ayant obtenu un ticket perdant. Il leur est proposé de choisir une carte parmi trois. Une de ces trois cartes permet de gagner un lot publicitaire. Quelle est la probabilité qu’une personne ayant acheté un ticket gagne un lot publicitaire?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $T$ l'événement \og Obtenir un ticket perdant\fg{} et $P$ l'événement \og Obtenir un lot publicitaire\fg{}.
		
		La situation peut être modélisée par l'arbre:
		
		\begin{center} 
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\coordinate (A1) at (4,3);
			\coordinate (A2) at (4,1);
			\coordinate (A3) at (4,-1);
			\coordinate (A4) at (4,-3);
			\coordinate (B1) at (0,2);
			\coordinate (B2) at (0,-2);
			\coordinate (C1) at (-4,0);
			\draw node (A11) at (A1) {$P$};	
			\draw node (A12) at (A2) {$\overline{P}$};
			\draw node (B11) at (B1) {$T$};
			\draw node (B12) at (B2) {$\overline{T}$};
			\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{1}{3}$};
			\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{2}{3}$};
			\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3840}{4000}$};
			\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{160}{4000}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(T\cap P)$.}
		
		$\mathbb{P}(T)>0$ donc d'après la formule des probabilités composées {\color{orange}(principe multiplicatif)}:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(T \cap P) &= \mathbb{P}(T) \times \mathbb{P}_T(P)\\
			&= \frac{3840}{4000} \times \frac{1}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(T \cap P)=0;32$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici deux programmes de calcul, le premier est codé avec le logiciel Scratch:
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\underline{Programme A.} & \underline{Programme B.}
		\\
		\hline
		&\\
		\begin{minipage}{\linewidth}
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_03_scratch.png}
		\end{minipage}
		&
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item Choisir un nombre.
				\item Ôter $4$ à ce nombre.
				\item Effectuer le produit du résultat obtenu par le double du nombre de départ.
			\end{enumerate}
		\end{minipage}
		\\
		&\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que le nombre $10$, appliqué au programme A, permet d’obtenir $20$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la sortie du programme A lorsqu'on choisit $10$ en entrée.}
		
		Dessinons le tableau d'état des variables:
		
		\medskip
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Instruction & $a$ & $b$ & $c$ & $d$
				\\
				\hline
				mettre $a$ à \emph{réponse} & $10$ & & & 
				\\
				\hline
				mettre $b$ à $a-4$ & $10$ & $10-4=6$ &&
				\\
				\hline
				mettre $c$ à $b \times b$ & $10$ & $6$ & $6 \times 6=36$ & 
				\\
				\hline
				mettre $d$ à $c-16$ & $10$ & $6$ & $36$ & $36-16=20$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'on choisit $10$ en entrée le programme renvoie $20$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel résultat obtient-on, en appliquant le nombre $5,2$ au programme B?
		
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la sortie du programme B lorsqu'on choisit $5,2$ en entrée.}
		
		Dessinons le tableau d'état des variables:
		
		\medskip
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|}
				\hline
				Instruction & $x$ 
				\\
				\hline
				Choisir un nombre $x$ & $5,2$ 
				\\
				\hline
				Ôter $4$ à ce nombre & $5,2-4=1,2$ 
				\\
				\hline
				Effectuer le produit ... & $1,2 \times ( 2 \times 5,2)=12,48$ 
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'on choisit $5,2$ en entrée le programme renvoie $12,48$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En appliquant un même nombre de départ, les programmes A et B peuvent-ils donner un résultat identique?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
		\objectif{Déterminons si les programmes, pour une même valeur $x$ entrée, peuvent renvoyer le même nombre.}
		
		{\color{orange}Nous allons procéder par analyse-synthèse.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Analyse.} En appliquant le programme A au nombre $x$ (comme avec le tableau d'état des variables précédent) nous obtenons en sortie: $(x-4)^2-16$.
			
			En appliquant le programme B au nombre $x$ (comme avec le tableau d'état des variables précédent) nous obtenons en sortie: $2x(x-4)$.
			
			Nous recherchons une valeur de $x$ telle que
			
			\begin{align*}
				(x-4)^2-16 &= 2x(x-4) \\
				\intertext{La précédente égalité équivaut successivement à:}
				(x-4)^2-16 {\color{orange}-2x(x-4)} &= 2x(x-4) {\color{orange}-2x(x-4)}\\
				(x-4)^2-16 - 2x(x-4) &= 0 \\
				x^2-2 \times x \times 4 +4^2-16-2x\times x -2x \times (-4) &= 0\\
				x^2-8x +16-16 -2x^2+8x &= 0\\
				-x^2 &= 0 \\
				x &= 0
			\end{align*}
			
			\item {\color{orange}Synthèse.} On vérifie immédiatement qu'en choisissant $0$ en entrée les deux programmes renvoient $0$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			La seule valeur pour laquelle les programmes renvoient le même nombre est $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le ou les nombre(s) que l’on doit choisir au départ pour obtenir $0$ comme résultat avec le programme A.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation $(x-4)^2-16=0$.}
		
		\begin{align*}
			(x-4)^2-16=0 &\Leftrightarrow (x-4)^2-4^2=0 \\
			&\Leftrightarrow \left[ (x-4) -4 \right] \left[ (x-4)+4 \right]=0 \\
			&\Leftrightarrow (x-8)x=0 \\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x-8=0 \\
			&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=8
		\end{align*}
		
		$0$ et $8$ sont bien des nombres entiers nous pouvons donc conclure
		
		\begin{conclusion}
			
			 Pour obtenir $0$ avec le programme A il faut choisir $8$ ou $0$ au départ.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante propose, en cycle 3, le calcul $13,25 \times 10$.
	
	\medskip
	Voici les réponses proposées par quatre élèves :
	a) $1,325$ \quad b) $130,25$ \quad c) $13,250$ \quad d) $132,5$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les réponses erronées proposées par les élèves en cherchant à expliciter les erreurs qui ont pu conduire les élèves à proposer ces réponses.
		
	\end{sujet}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À la demande de l’enseignante, les élèves proposent une trace écrite de la multiplication d’un nombre décimal par $10$.
		
		\medskip
		\textbf{Élève 1}: Pour multiplier par $10$, on ajoute un zéro à droite du nombre.
		
		\medskip
		\textbf{Élève 2}: Pour multiplier par $10$, on déplace la virgule d’un rang vers la droite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi ces deux propositions ne peuvent pas être retenues par l’enseignante pour être notées dans les cahiers des élèves.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une institutionnalisation que l’enseignante pourrait faire noter dans les cahiers des élèves pour la multiplication d’un nombre décimal par $10$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’appuyant sur l’extrait de la ressource d’accompagnement du programme de mathématiques (cycle 3, EDUSCOL, Fractions et nombres décimaux au cycle 3, Annexe 4), l’enseignant propose l’utilisation d’un glisse-nombre dont une utilisation est montrée ci-après. Il est composé d’une languette sur laquelle ont écrit les chiffres d’un nombre donné, que l’on peut ensuite faire glisser de façon à faire changer les chiffres de colonne.
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_04_glisse_nombre_1.png}
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_05_glisse_nombre_2.png}
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_06_glisse_nombre_3.png}
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_07_glisse_nombre_4.png}
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_08_glisse_nombre_5.png}
		
		\medskip
		En quoi cet outil peut-il aider les élèves ayant donné les réponses a), b) et c)?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Voici un extrait de la note de service n\degres 2018-052 du 25-4-2018 \og La résolution de problèmes à l'école élémentaire\fg{}.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{11cm}|}
			\hline
			\textbf{\og Modéliser \fg{} et \og calculer \fg{} sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l'école élémentaire} qui doivent guider l'action de l'enseignant pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés. En effet, lors de la résolution de problèmes, les principales difficultés rencontrées peuvent relever de:
			
			\begin{itemize}
				\item difficultés à \og modéliser\fg{}: l'élève n'arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l'énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s'appuie pas sur les opérations attendues;
				
				\item difficultés à \og calculer \fg{}: les calculs effectués, mentalement ou en les posant, sont erronés, la ou les erreurs pouvant être dues à une méconnaissance de faits numériques ou à une maîtrise imparfaite des algorithmes de calcul utilisés.
			\end{itemize}
			
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Un enseignant propose à ses élèves de CM2 le problème suivant: \og Théo achète un pain à $2,35\ \text{\euro}$ et deux viennoiseries valant chacune $1,15\ \text{\euro}$. Il donne un billet de $10\ \text{\euro}$ au vendeur. Combien le vendeur va-t-il rendre à Théo ?\fg{}.
	
	\medskip
	Voici les réponses proposées par quatre élèves:
	
	\hspace*{-1cm}
	\includegraphics[scale=0.36]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_09_quatre_reponses.png}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En vous appuyant sur l’extrait de la note de service proposé ci-dessus, analyser les 		quatre propositions d’élèves en termes de réussites et d’échecs pour chacune des compétences \og modéliser \fg{} et \og calculer \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux activités de remédiation que vous pourriez envisager pour aider l’élève A à réussir ce type de problème, une avec du matériel et une sans matériel.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que peut proposer l’enseignant à l’élève B pour qu’il puisse repérer son erreur?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère maintenant le problème suivant : \og Théo achète un pain à $2,50\ \text{\euro}$. Il donne un billet de $10\ \text{\euro}$ au vendeur. Combien le vendeur va-t-il rendre à Théo? \fg{}. En comparant les deux problèmes, donner une difficulté qu’un enseignant ne peut pas détecter en proposant ce problème à une étape.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de grande section, un enseignant propose à un groupe d’élèves de retrouver l’image correspondant à la description qu’il énonce.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\og Donnez-moi l’image où:
			\begin{enumerate}[A) ]
				\item Le koala est devant la tour de cubes.
				\item La princesse est derrière le cube.
				\item Le koala est sur le cube.
				\item Le koala est entre les deux tours de cubes.
				\item Le koala est sous le pont de cubes.\fg{}
			\end{enumerate} 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering\arraybackslash}m{3.5cm}>{\centering\arraybackslash}m{5cm}>{\centering\arraybackslash}m{3cm}}
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_10_image_1.png}
		\end{minipage}
		& 
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_11_image_2.png}
		\end{minipage}
		&
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_12_image_3.png}
		\end{minipage}
		\\
		image 1 & image 2 & image 3
	\end{tabularx}
	
	\medskip	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering\arraybackslash}m{4.25cm}>{\centering\arraybackslash}m{3.25cm}>{\centering\arraybackslash}m{4cm}}
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_13_image_4.png}
		\end{minipage}
		& 
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_14_image_5.png}
		\end{minipage}
		&
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_15_image_6.png}
		\end{minipage}
		\\
		image 4 & image 5 & image 6
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering\arraybackslash}m{2cm}>{\centering\arraybackslash}m{4cm}>{\centering\arraybackslash}m{4cm}>{\centering\arraybackslash}m{2cm}}
		&
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_16_image_7.png}
		\end{minipage}
		& 
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_17_image_8.png}
		\end{minipage}
		&
		\\
		& image 7 & image 8 & 
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	Le tableau ci-dessous répertorie les différentes réponses données par les élèves.
	
	\begin{center}
		
		
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|}
			\hline
			Affirmations proposées & Réponses des élèves
			\\
			\hline
			A) Le koala est devant la tour de cubes. & 1 et 7
			\\
			\hline
			B) La princesse est derrière le cube. & 5
			\\
			\hline
			C) Le koala est sur le cube. & 6, 8 et 3
			\\
			\hline
			D) Le koala est entre les deux tours de cubes. & 2 et 4
			\\
			\hline
			E) Le koala est sous le pont de cubes. & 2 et 6
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner un intérêt et une limite de cette situation.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser chacune des réponses données aux affirmations C et E.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tous les élèves de la classe ont réussi à donner l’image de l’assertion B. Que peut-on en conclure?
		
	\end{sujet}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève fait correspondre l’image 7 à l’affirmation A en justifiant: \og Le koala regarde la tour. Il est devant. \fg{}. L’enseignant propose la manipulation des objets considérés.
		
		Justifier le choix de l’enseignant.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}