%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2020 intégrale.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

%Énorme rajout juste pour avoir l'addition posé en colonne avec trois termes.
\makeatletter
% new option for symbol in \opmanyadd
% top, bottom, center (as for \opadd)
% Top, Bottom, Center (single symbol)
\def\pOP@vmanyoperator#1{\edef\@tempa{#1}%
	\ifx\@tempa\op@string@top
	\let\op@vmanyoperator\op@string@top
	\else\ifx\@tempa\op@string@bottom
	\let\op@vmanyoperator\op@string@bottom
	\else\ifx\@tempa\op@string@center
	\let\op@vmanyoperator\op@string@center
	\else\ifx\@tempa\op@string@Top
	\let\op@vmanyoperator\op@string@Top
	\else\ifx\@tempa\op@string@Bottom
	\let\op@vmanyoperator\op@string@Bottom
	\else\ifx\@tempa\op@string@Center
	\let\op@vmanyoperator\op@string@Center
	\else
	\op@error{Parameter vmanyoperator accept only `top', `center',
		`bottom', ^^J \space
		`Top', `Center', and `Bottom'. Here, the value is `#1'}%
	{Value must be `top', `center', `bottom', `Top', `Center',
		or `Bottom'}%
	\fi\fi\fi\fi\fi\fi
}
\def\op@string@Top{Top}
\def\op@string@Bottom{Bottom}
\def\op@string@Center{Center}
% initial value
\opset{vmanyoperator=center}
%
\newcount\OMA@nbop
\newcommand\opmanyadd[1][nil]{%
	\begingroup
	\opset{#1}%
	\OMA@nbop \z@
	\opcopy{0}{OMA@result}%
	\op@manyadd
}
\newcommand\op@manyadd[1]{%
	\advance \OMA@nbop \@ne
	\op@split{#1}{a}%
	\op@split{#1}{OMA@op\the\OMA@nbop}%
	\ifop@deletezero
	\op@unzero{OMA@op\the\OMA@nbop}%
	\fi
	\opadd*{OMA@result}{#1}{OMA@result}%
	\op@split{OMA@result}{OMA@result}%
	\@ifnextchar\bgroup{\op@manyadd}{\op@manyaddend}
}
\newcommand\op@manyaddend{%
	% integer width
	\op@count@i = \csname OP@OMA@op1@i\endcsname
	\count@ \@ne
	\loop
	\ifnum\count@ < \OMA@nbop
	\advance\count@ \@ne
	\op@count@i = \op@max{\the\op@count@i}
	{\csname OP@OMA@op\the\count@ @i\endcsname}%
	\repeat
	\op@count@i = \op@max{\the\op@count@i}{\OP@OMA@result@i}%
	\advance\op@count@i \@ne
	% decimal width
	\op@count@ii = \csname OP@OMA@op1@d\endcsname
	\count@ \@ne
	\loop
	\ifnum\count@ < \OMA@nbop
	\advance\count@ \@ne
	\op@count@ii = \op@max{\the\op@count@ii}
	{\csname OP@OMA@op\the\count@ @d\endcsname}%
	\repeat
	\op@count@ii = \op@max{\the\op@count@ii}{\OP@OMA@result@d}%
	% total width
	\op@count@z = \op@count@i
	\advance\op@count@z \op@count@ii
	\setbox1=\hbox to\op@count@z\opcolumnwidth{%
		% rule
		\ophline(0,0.75){\the\op@count@z}%
		% single 'add' symbol
		\ifx\op@vmanyoperator\op@string@Top
		\oplput(0,\the\OMA@nbop){\op@addsymbol}%
		\else\ifx\op@vmanyoperator\op@string@Bottom
		\oplput(0,1){\op@addsymbol}%
		\else\ifx\op@vmanyoperator\op@string@Center
		\count@ \OMA@nbop
		\divide \count@ \tw@
		\ifodd\OMA@nbop
		\advance\count@ \@ne
		\oplput(0,\the\count@){\op@addsymbol}%
		\else
		\oplput(0,\the\count@.5){\op@addsymbol}%
		\fi
		\fi\fi\fi
		\count@ \tw@
		\op@count@iii \@ne
		\loop
		% multiple 'add' symbols
		\ifx\op@vmanyoperator\op@string@top
		\oplput(0,\the\count@){\op@addsymbol}%
		\else\ifx\op@vmanyoperator\op@string@bottom
		\oplput(0,\the\op@count@iii){\op@addsymbol}%
		\else\ifx\op@vmanyoperator\op@string@center
		\oplput(0,\the\op@count@iii.5){\op@addsymbol}%
		\fi\fi\fi
		\ifnum \count@ < \OMA@nbop
		\advance \count@ \@ne
		\advance \op@count@iii \@ne
		\repeat
		% operand(s) and result
		\vbox{%
			\count@ \@ne
			\loop
			\op@makebox{\the\op@count@i}
			{\the\op@count@ii}
			{operandstyle.\the\count@}
			{OMA@op\the\count@}%
			\hbox{\box0}%
			\ifnum \count@ < \OMA@nbop
			\advance \count@ \@ne
			\repeat
			\op@makebox{\the\op@count@i}{\the\op@count@ii}{resultstyle}{OMA@result}%
			\hbox{\box0}%
		}%
	}%
	\leavevmode
	\dimen0=\OMA@nbop\oplineheight
	\ifx\op@voperation\op@string@center
	\lower0.5\dimen0\box1
	\else\ifx\op@voperation\op@string@top
	\lower\dimen0\box1
	\else
	\box1
	\fi\fi
	\endgroup
}
\makeatother

\begin{document}
	
\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci à Mme Colle-Guedel et à Mme Malassé pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\subsubsection{Partie A: boîte de sauce tomate.}

\begin{sujet}
	
	Un fabricant de sauce tomate utilise des boîtes de conserve de forme cylindrique de diamètre $99\ \mathrm{mm}$ et de hauteur $118\ \mathrm{mm}$.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_01_boite.png}
		
	\end{center}
	
	Le format de ces boîtes est appelé $\displaystyle \frac{4}{4}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Rappel du volume d'un cylindre: \[ V = Aire\ de\ la\ base \times hauteur. \]
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Dans tout cet exercice, on négligera l’épaisseur du métal.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le volume, en $\mathrm{cm}^3$, d’une boîte de conserve $\displaystyle \frac{4}{4}$. Arrondir le résultat à l’unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $V_1$ de la boîte.}
		
		Puisque la base de ce cylindre est un disque de rayon $\frac{99}{2}\ \mathrm{mm}$, d'après la formule qui nous est rappelée:
		
		\begin{align*}
		V_1 &= \left[ \pi \left(\frac{99}{2}\ \mathrm{mm} \right)^2 \right] \times \left( 118\ \mathrm{mm} \right)\\
		&= \pi \times \left( \frac{99}{2} \right)^2 \times 118\ \mathrm{mm}^2 \cdot \mathrm{mm}\\
		&= \np{289129,5}\pi\ {\color{orange}\mathrm{mm}}^3\\
		&= \np{289129,5}\pi \left({\color{orange} \frac{1}{10}\ \mathrm{cm}} \right)^3\\
		&= \np{289129,5}\pi \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{cm}^3\\
		&\approx \np{908,32711}\ \mathrm{cm}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_1 \approx 908\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La contenance affichée sur la boîte est $850\ \mathrm{mL}$. Vérifier qu’une boîte remplie à $95\ \%$ contient bien au moins $850\ \mathrm{mL}$ de sauce tomate.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $V_2$ correspondant à $95\ \%$ du volume de la boîte précédente.}
		
		\begin{align*}
		V_2 &= \frac{95}{100} \times V_1\\
		&= \frac{95}{100} \times \np{289,1295}\pi\ {\color{orange}\mathrm{cm}^3}\\
		&= \frac{95}{100} \times \np{289,1295}\pi\ {\color{orange}\mathrm{mL}}\\
		&\approx 862,9107\ \mathrm{mL}
		\end{align*}
		
		Nous avons bien $V_2>850\ \mathrm{mL}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La boîte contient au moins $850\ \mathrm{mL}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère une nouvelle boîte de même hauteur et dont le diamètre est le double de la précédente. Le volume de la nouvelle boîte est-il le double du volume d’une boîte $\displaystyle \frac{4}{4}$? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous pourrions faire les calculs numériques pour comparer les volumes de boîtes mais nous allons démontrer que ce résultat est inexacte pour tous les cylindres.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que doubler le diamètre ne signifie pas doubler le volume.}
		
		Notons $d$ le diamètre de la base du cylindre et $h$ sa hauteur. Alors son volume est:
		
		\begin{align*}
		V_3 &= \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \times h\\
		&= \frac{1}{4} \pi d^2h
		\end{align*}
		
		Le volume obtenu en doublant le diamètre est:
		
		\begin{align*}
		V_4 &= \pi \left( \frac{2d}{2} \right)^2 \times h\\
		&= \pi d^2h
		\end{align*}
		
		Nous remarquons que: $4V_3= V_4$ et donc (hormis dans le cas de volumes nuls):
		
		\begin{conclusion}
			
			lorsque le diamètre double le volume du cylindre ne double pas.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère une autre boîte de conserve de diamètre $73\ \mathrm{mm}$ et de hauteur $54\ \mathrm{mm}$. Le format de cette boîte s’appelle $\displaystyle \frac{1}{4}$. Calculer le volume de cette boîte cylindrique arrondi au $\mathrm{cm}^3$ puis justifier l’appellation du format $\displaystyle \frac{1}{4}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Calculons le volume $V_5$ de cette nouvelle boîte.}
			
			Reprenons le raisonnement de la question I.A.1
			
			\begin{align*}
			V_5 &= \left[ \pi \left(\frac{73}{2}\ \mathrm{mm} \right)^2 \right] \times \left( 54\ \mathrm{mm} \right)\\
			&= \pi \times \left( \frac{73}{2} \right)^2 \times 54\ \mathrm{mm}^2 \cdot \mathrm{mm}\\
			&= \np{71941,5}\pi\ {\color{orange}\mathrm{mm}}^3\\
			&= \np{71941,5}\pi \left({\color{orange} \frac{1}{10}\ \mathrm{cm}} \right)^3\\
			&= \np{71941,5}\pi \times \frac{1}{1000}\ \mathrm{cm}^3\\
			&\approx \np{226,0108}\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_5 \approx 226\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Nous remarquons que $V_5 \approx \frac{1}{4} V_1$. Et donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				le format de cette boîte est appelé $\displaystyle \frac{1}{4}$ car le volume de cette boîte est un quart du volume de la boîte appelée $\displaystyle \frac{4}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: minimisation du coût de fabrication d’une boîte de conserve.}

\begin{sujet}
	
	Le fabricant doit produire des boîtes de conserve cylindriques de volume fixé $908\ \mathrm{cm}^3$. Il souhaite minimiser le coût du métal, pour cela il cherche à minimiser l’aire totale $A$ de la boîte; celle-ci correspond à la somme de l’aire des disques de base et de l’aire de la surface latérale du cylindre. Il étudie l’évolution de l’aire de métal totale $A$, en centimètre carré, en fonction du rayon $r$, en centimètre, du disque de base.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dessiner à main levée un patron d’une boîte de conserve cylindrique en repassant de la même couleur les éléments de même longueur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		~
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\r{1};
			\def\h{1};
			\draw[red] ({-2*3.1415*\r/2},\h)--({-2*3.1415*\r/2},{-\h});
			\draw[red] ({2*3.1415*\r/2},{\h})--({2*3.1415*\r/2},{-\h});
			\draw[blue] ({-2*3.1415*\r/2},{\h})--({2*3.1415*\r/2},{\h});
			\draw[blue] ({-2*3.1415*\r/2},{-\h})--({2*3.1415*\r/2},{-\h});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\r*cos(\x)},{\r*sin(\x)+(\h+\r)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\r*cos(\x)},{\r*sin(\x)-(\h+\r)});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant que le volume de la boîte est de $908\ \mathrm{cm}^3$, donner l’expression de la hauteur $h$, exprimée en centimètre, de la boîte en fonction du rayon $r$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $h$ en fonction de $r$.}
		
		Le volume du cylindre est en centimètre cube
		
		\begin{align*}
		V_6 &= 908\\
		\intertext{Autrement dit, $h$ et $r$ étant exprimés en centimètre:}
		\pi r^2h &= 908\\
		\intertext{ce qui équivaut successivment à:}
		\frac{\pi r^2h}{\color{orange}\pi r^2} &= \frac{908}{\color{orange}\pi r^2},\quad \text{en supposant } r>0
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$h=\frac{908}{\pi r^2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour calculer l’aire totale des cylindres de rayons différents, on a construit à l’aide d’un tableur la feuille de calcul suivante :
		
		{\hspace*{-1.3cm}
			\includegraphics[scale=0.23]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_02_tableur.png}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sans justifier, parmi les cinq propositions données ci-dessous, recopier celle qui a été saisie dans la cellule $\texttt{C}2$ et étirée vers le bas jusqu’à la cellule $\texttt{C}21$.
			
			\begin{enumerate}[\text{Proposition} 1: ]
				\item \framebox{$=\texttt{PI}()*\texttt{A}1*\texttt{A}1$}
				
				\item \framebox{$=\texttt{PI}()*\texttt{A}2*\texttt{A}2$}
				
				\item \framebox{$=\texttt{PI}()*49,5*49,5$}
				
				\item \framebox{$=\texttt{PI}()*1*1$}
				
				\item \framebox{$=\texttt{PI}()*\texttt{B}2*\texttt{B}2$}
			\end{enumerate}
			
			Rappel:\og $\texttt{PI}()$ \fg{}  \emph{correspond à la valeur du nombre $\pi$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous devons reconstruire la formule de l'aire du disque donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				La proposition 2 convient.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose que les colonnes \texttt{A}, \texttt{B}, \texttt{C} et \texttt{D} sont déjà remplies. Proposer une formule à saisir dans la cellule $\texttt{E}2$ et copiée par glissement vers le bas jusqu’à la cellule $\texttt{E}21$, donnant l’aire totale du cylindre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il faut prendre en compte l'aire de la partie latérale rectangulaire, $\texttt{D}2$, et l'aire des deux bases, $\texttt{C}2$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Formule en $\texttt{E}2$: \framebox{$= \texttt{D}2+ 2*\texttt{C}2$}.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En utilisant la feuille de calcul ci-dessus, conjecturer un encadrement d’amplitude minimale du rayon, correspondant au coût minimal de métal pour la fabrication de cette boîte de conserve.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons un encadrement du rayon correspondant à une aire minimale $A_m$.}
			
			La plus petite aire calculée est de $520,3\ \mathrm{cm}^2$. Nous pouvons supposer (si les variations de l'aire ne sont pas trop étranges) que la valeur minimale $A_m$ est au voisinage de $520,3\ \mathrm{cm}^3$: soit entre $554,5\ \mathrm{cm}^2$ et $520,3\ \mathrm{cm}^3$ soit entre $520,3\ \mathrm{cm}^2$ et $528,9\ \mathrm{cm}^2$.
			
			Autrement dit le minimum est obtenu pour un rayon soit entre $4\ \mathrm{cm}$ et $5\ \mathrm{cm}$ soit entre $5\ \mathrm{cm}$ et $6\ \mathrm{cm}$.
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				l'aire du cylindre semble minimale pour un rayon compris entre $4\ \mathrm{cm}$ et $6\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour affiner la précision, on a représenté graphiquement, ci-dessous, l’aire totale $A$ en fonction du rayon $r$:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{13.2};
			\def\yZ{8.6};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.2cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above left,fill=white]{Rayon ($\mathrm{cm}$)};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below right,fill=white]{Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
			\foreach \x in {0,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4+0.2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {0,1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{515+5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:13.1] plot(\x,{(1816/(4+2*\x/10) + 2*3.1415*(4+2*\x/10)*(4+2*\x/10)-515)/5});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Répondre aux questions (a) à (e) par lecture graphique.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’aire totale $A$ est-elle proportionnelle au rayon $r$? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Un petit raisonnement par l'absurde.}
			
			\medskip
			Si l'aire était proportionnelle au rayon alors la fonction $r \mapsto A$ serait une fonction linéaire. Or la courbe représentative d'une fonction linéaire est une droite et donc cela contredirait la représentation graphique qui nous est fournie.
			
			Nécessairement:
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire totale n'est pas proportionnelle au rayon.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer l’aire totale pour un rayon de $4,24\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{13.2};
				\def\yZ{8.6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.2cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above left,fill=white]{Rayon ($\mathrm{cm}$)};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below right,fill=white]{Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4+0.2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{515+5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:13.1] plot(\x,{(1816/(4+2*\x/10) + 2*3.1415*(4+2*\x/10)*(4+2*\x/10)-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] (1.2,0) --(1.2,{(1816/(4+2*1.2/10) + 2*3.1415*(4+2*1.2/10)*(4+2*1.2/10)-515)/5}) --(0,{(1816/(4+2*1.2/10) + 2*3.1415*(4+2*1.2/10)*(4+2*1.2/10)-515)/5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le rayon est de $4,24\ \mathrm{cm}$ l'aire totale est de $541,2\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer les rayons correspondant à une aire totale de $530\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{13.2};
				\def\yZ{8.6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.2cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above left,fill=white]{Rayon ($\mathrm{cm}$)};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below right,fill=white]{Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4+0.2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{515+5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:13.1] plot(\x,{(1816/(4+2*\x/10) + 2*3.1415*(4+2*\x/10)*(4+2*\x/10)-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] (0,{(530-515)/5}) --(13.2,{(530-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] (2.6,0) --(2.6,{(530-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] (10.22,0) --(10.22,{(530-515)/5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire totale est de $530\ \mathrm{cm}^2$ si le rayon mesure $4,52\ \mathrm{cm}$ ou $6,04\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer l’aire totale minimale.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{13.2};
				\def\yZ{8.6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.2cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above left,fill=white]{Rayon ($\mathrm{cm}$)};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below right,fill=white]{Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4+0.2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{515+5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:13.1] plot(\x,{(1816/(4+2*\x/10) + 2*3.1415*(4+2*\x/10)*(4+2*\x/10)-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] ({0},{(1816/(4+2*((5.25-4)*10/2)/10) + 2*3.1415*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)-515)/5})-- ({13.2},{(1816/(4+2*((5.25-4)*10/2)/10) + 2*3.1415*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)-515)/5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire totale minimale est de $519\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le rayon correspondant.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{13.2};
				\def\yZ{8.6};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.2cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above left,fill=white]{Rayon ($\mathrm{cm}$)};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[below right,fill=white]{Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,13}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4+0.2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{515+5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:13.1] plot(\x,{(1816/(4+2*\x/10) + 2*3.1415*(4+2*\x/10)*(4+2*\x/10)-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] ({0},{(1816/(4+2*((5.25-4)*10/2)/10) + 2*3.1415*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)-515)/5})-- ({13.2},{(1816/(4+2*((5.25-4)*10/2)/10) + 2*3.1415*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)-515)/5});
				\draw[red, very thick, dashed] ({(5.25-4)*10/2},0)-- ({(5.25-4)*10/2},{(1816/(4+2*((5.25-4)*10/2)/10) + 2*3.1415*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)*(4+2*((5.25-4)*10/2)/10)-515)/5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le rayon correspondant à une aire totale minimale mesure $5,24\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer, par un calcul, la hauteur correspondante. Arrondir au millimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons établi à la question I.B.2 que, pour $r$ et $h$ exprimés en centimètres: 
			
			\begin{align*}
			h &= \frac{908}{\pi r^2}\\
			\intertext{Nous en déduisons:}
			h &= \frac{908}{\pi \times 5,24^2}\\
			&\approx 10,5262
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Lorsque l'aire totale du cylindre est minimale la hauteur est de $10,5\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: livraison des boîtes.}

\begin{sujet}
	
	Le fabricant de sauce tomate souhaite expédier par carton ses boîtes de conserve modèle $\displaystyle \frac{4}{4}$ de diamètre $99\ \mathrm{mm}$, de hauteur $118\ \mathrm{mm}$ et de masse $880\ \mathrm{g}$. Il a le choix entre les $3$ types de cartons ci-dessous (les boîtes sont posées sur leur base dans les cartons):
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\begin{center} \textbf{Carton 1} \end{center}
			
			Un seul étage contenant $5$ boîtes en longueur et $5$ boîtes en largeur.
			\\
			\hline
			\begin{center} \textbf{Carton 2} \end{center}
			
			Trois étages contenant chacun $4$ boîtes en
			longueur et $2$ boîtes en largeur.
			\\
			\hline
			\begin{center} \textbf{Carton 3} \end{center}
			
			Trois étages contenant chacun $3$ boîtes en
			longueur et $3$ boîtes en largeur.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Le transporteur lui impose deux conditions :
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item La masse du carton ne doit pas dépasser $22\ \mathrm{kg}$.
		
		\item La somme des dimensions longueur + largeur + hauteur ne doit pas dépasser $100\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{enumerate}
	
	Quel(s) carton(s) peut-il choisir? Justifier la réponse pour chaque type de carton.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Comparons les différents cartons.}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		& Carton 1 & Carton 2 & Carton 3
		\\
		\hline
		Masse & $1 \times 5\times 5  \times 0,880\ \mathrm{kg}=22\ \mathrm{kg}$ & $3 \times 4 \times 2 \times 0,880\ \mathrm{kg}= 21,12\ \mathrm{kg}$ & $3\times 3 \times 3 \times 0,880\ \mathrm{kg}= 23,76\ \mathrm{kg}$
		\\
		\hline
		Somme des dimensions & $1\times 11,8\ \mathrm{cm} + 5 \times 9,9\ \mathrm{cm} +5\times 9,9\ \mathrm{cm}= 110,8\ \mathrm{cm}$ & $3 \times 11,8\ \mathrm{cm} + 4 \times 9,9\ \mathrm{cm} +2 \times 9,9\ \mathrm{cm}= 94,8\ \mathrm{cm}$ & $3 \times 11,8\ \mathrm{cm} + 3\times 9,9\ \mathrm{cm} +3 \times 9,9\ \mathrm{cm}=94,8$
		\\
		\hline
		Condition de masse est-elle vérifiée? & Oui & Oui & Non
		\\
		\hline
		Condition de longueur est-elle vérifiée? & Non & Oui & Oui
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	\begin{conclusion}
		
		Seul le carton 2 convient car il respecte simultanément les deux conditions imposées.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Un couple souhaite aménager les combles de sa maison, représentés par la partie grisée du schéma ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\def\l{3};
		\def\L{2.5};
		\def\d{3};
		\def\h{2};
		\coordinate (M) at (0,0);
		\coordinate (N) at ({\l},0);
		\coordinate (P) at ({\l+\L},{\d});
		\coordinate (Q) at ({\L},{\d});
		\coordinate (K) at (0,{\h});
		\coordinate (B) at ({\l},{\h});
		\coordinate (H) at ({\l+\L},{\d+\h});
		\coordinate (L) at ({\L},{\d+\h});
		\coordinate (K) at (0,{\h});
		\coordinate (A) at ({\l/2},{\h});
		\coordinate (C) at ({\l/2},{\h+2*\h/3});
		\coordinate (D) at ({\L+\l/2},{\d+\h+2*\h/3});
		\coordinate (E) at ({\L+\l/2},{\d+\h});
		\draw (M)--(N)--(P) --(H) --(B) --(K) --(L) --(D) --(H);
		\draw (K)--(B);
		\draw (K)--(M);
		\draw (N)--(B);
		\draw (K)--(C);
		\draw (C)--(B);
		\draw (A)--(C)--(D);
		\draw[dashed] (P)--(Q)--(M);
		\draw[dashed] (Q)--(L)--(H);
		\draw[dashed] (E)--(D);
		\fill[color=black, opacity=0.20] (K) --(B) --(H) --(D) --(L)--cycle;
		\draw (A) node[below] {$A$};
		\draw (B) node[below left] {$B$};
		\draw (K) node[left]{$K$};
		\draw (H) node[above right] {$H$};
		\draw (L) node[above left] {$L$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	$KBHL$ est un rectangle et le point $A$ est le milieu de $[BK]$.
	
	\medskip
	Le triangle $ABC$ ci-dessous représente une coupe de profil d’une partie des combles.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (4.32,0);
		\coordinate (C) at (0,3.90);
		\coordinate (D) at ({4.32-1.80/3.9*4.32},0);
		\coordinate (E) at ({4.32-1.80/3.9*4.32},1.80);
		\draw (A)--(B)--(C)--(A);
		\draw [dashed] (E)--(D);
		\draw (A) node {$\times$};
		\draw (D) node {$\times$};
		\draw (B) node {$\times$};
		\draw (E) node {$\times$};
		\draw (C) node {$\times$};
		\draw (A) node [below left] {$A$};
		\draw (D) node [below] {$D$};
		\draw (B) node [below right] {$B$};
		\draw (E) node [above right] {$E$};
		\draw (C) node [above left] {$C$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	On donne les informations suivantes:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item la droite $(AC)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$;
		
		\item $AB = 432\ \mathrm{cm}$ et $AC = 390\ \mathrm{cm}$;
		
		\item Les points $D$ et $E$ sont tels que $D$ appartient au segment $[AB]$, $E$ appartient au segment $[BC]$, la droite $(DE)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$ et $DE = 1,80\ \mathrm{m}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $BC = 5,82\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $BC$.}
		
		$ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore:
		
		\begin{align*}
		BC^2 &= AB^2+AC^2\\
		\intertext{Nous en déduisons successivement:}
		BC^2 &= \left( 432\ {\color{orange}\mathrm{cm}} \right)^2 + \left( 390\ {\color{blue}\mathrm{cm}} \right)^2 \\
		&= \left( 432{\color{orange}\times \frac{1}{100}\ \mathrm{m}} \right)^2 + \left( 390{\color{blue}\times \frac{1}{100}\ \mathrm{m}} \right)^2 \\
		&= 4,32^2\ \mathrm{m}^2 + 3,90^2\ \mathrm{m}^2 \\
		&= \left( 4,32^2\ \mathrm{m}^2 \right) + \left( 3,90^2\ \mathrm{m}^2 \right) \\
		&= \left( 4,32^2+3,90^2 \right)\ \mathrm{m}^2\\
		&= 33,8724\ \mathrm{m}^2
		\intertext{Puisque $BC$ est une longueur donc une grandeur positive:}
		BC & = \sqrt{33,8724\ \mathrm{m}^2}\\
		&= \sqrt{33,8724}\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$BC = 5,82\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le couple cherche à connaître la superficie Carrez des combles, c’est-à-dire la surface pour laquelle la hauteur sous plafond est supérieure ou égale à $1,80\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le segment $[DE]$, perpendiculaire au sol, représente une hauteur sous plafond de $1,80\ \mathrm{m}$. À quelle distance du point $A$, arrondie au centimètre, se trouve le point $D$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $AD$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Calculons $DB$.
				
				\begin{enumerate}[.]
					\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} Les points $A$, $D$ et $B$ d'une part, et les points $C$, $E$, $B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
					
					\item {\color{orange}Hypothèse du théorème de Thalès.} Puisque $(AC) \perp (AB)$ et $(DE) \perp (AB)$ donc $(AC) \parallel (DE)$.
				\end{enumerate}
				
				Nous en déduisons d'après le théorème de Thalès que \[ \frac{DB}{AB} = \frac{DE}{AC}. \]
				
				Cette égalité équivaut successivement à
				
				\begin{align*}
				\frac{DB}{AB} {\color{orange} \times AB} &= \frac{DE}{AC} {\color{orange} \times AB}\\
				DB &= \frac{1,80\ \mathrm{m}}{3,90\ \mathrm{m}} \times \left( 4,32\ \mathrm{m} \right)\\
				DB &= \frac{1,80}{3,90} \times 4,32\ \mathrm{m}\\
				DB &= \frac{648}{325}\ \mathrm{m} 
				\end{align*}
				
				\item Déduisons-en $AD$:
				
				\begin{align*}
				AD &= AB- DB\\
				&= \left( 4,32\ \mathrm{m}\right) - \left( \frac{648}{325}\ \mathrm{m} \right)\\
				&\approx 2,3261\ \mathrm{m}
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le point $D$ est à $2,33\ \mathrm{m}$ du point $A$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La longueur $[BH]$ de la maison mesure $20\ \mathrm{m}$. En déduire la superficie Carrez des combles, arrondie au mètre carré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la superficie Carrez $S_c$.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\l{3};
				\def\L{2.5};
				\def\d{3};
				\def\h{2};
				\coordinate (M) at (0,0);
				\coordinate (N) at ({\l},0);
				\coordinate (P) at ({\l+\L},{\d});
				\coordinate (Q) at ({\L},{\d});
				\coordinate (K) at (0,{\h});
				\coordinate (B) at ({\l},{\h});
				\coordinate (H) at ({\l+\L},{\d+\h});
				\coordinate (L) at ({\L},{\d+\h});
				\coordinate (K) at (0,{\h});
				\coordinate (A) at ({\l/2},{\h});
				\coordinate (C) at ({\l/2},{\h+2*\h/3});
				\coordinate (D) at ({\L+\l/2},{\d+\h+2*\h/3});
				\coordinate (E) at ({\L+\l/2},{\d+\h});
				\coordinate (D1) at ({\l/2+ \l/2*1.8/3.9},{\h});
				\draw[green] (D1) node[below] {$D$};
				\coordinate (D2) at ({\l/2- \l/2*1.8/3.9},{\h});
				\coordinate (D4) at ({\l/2+ \l/2*1.8/3.9+\L},{\h+\d});
				\coordinate (D3) at ({\l/2- \l/2*1.8/3.9+\L},{\h+\d});
				\draw[green,very thick] (D4) -- (D1) -- (D2) -- (D3);
				\fill[green,opacity=0.2] (D4) -- (D1) -- (D2) -- (D3);
				\draw (M)--(N)--(P) --(H) --(B) --(K) --(L) --(D) --(H);
				\draw (K)--(B);
				\draw (K)--(M);
				\draw (N)--(B);
				\draw (K)--(C);
				\draw (C)--(B);
				\draw (A)--(C)--(D);
				\draw[dashed] (P)--(Q)--(M);
				\draw[dashed] (Q)--(L)--(H);
				\draw[dashed] (E)--(D);
				\fill[color=black, opacity=0.20] (K) --(B) --(H) --(D) --(L)--cycle;
				\draw (A) node[below] {$A$};
				\draw (B) node[below left] {$B$};
				\draw (K) node[left]{$K$};
				\draw (H) node[above right] {$H$};
				\draw (L) node[above left] {$L$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			La surface au sol pour laquelle la hauteur sous plafond est supérieure ou égale à $1,80\ \mathrm{m}$, est un rectangle de $2 AD = 2 \times  2,33\ \mathrm{m}$ de large et $20\ \mathrm{m}$ de long donc
			
			\begin{align*}
			S_c &= \left( 2 \times 2,33\ \mathrm{m} \right) \times \left( 20\ \mathrm{m} \right)\\
			&= 2 \times 2,33 \times 20\ \mathrm{m}^2 \\
			&= 93,2\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La surface correspondant à la loi Carrez est $93\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Lors d’un vide-grenier, les organisateurs proposent aux visiteurs d’acheter des tickets de tombola.
	
	Le prix d’un ticket est fixé à deux euros. $\np{4 000}$ tickets ont été imprimés et vendus.
	
	Les lots ont tous été achetés par les organisateurs.
	
	La répartition des tickets et des lots est donnée par l’extrait de tableur suivant:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			\rowcolor{orange!20}Nombre de tickets gagnants & Lot & Valeur du lot 
			\\
			\hline
			$1$ & Téléviseur & $899\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			$5$ & Lecteur Blu-ray & $250\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			$10$ & Smartphone & $125\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			$14$ & Bracelet connecté & $59\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			$30$ & Grille-pain & $15\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			$100$ & Peluche & $0,50\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
			& Ticket perdant & $0\ \text{\euro}$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
	Isabelle achète un ticket de tombola.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que la probabilité qu’elle gagne un lot est de $0,04$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}En lisant les questions de l'exercice nous remarquons que ce ne sont pas tant le tickets qui nous intéresse que la valeur des lots éventuellement obtenus. Nous allons donc, pour faciliter les notations des événements introduire une variable aléatoire. Il est bien sûr possible s'en passer.}
		
		\medskip Notons $X$ la variable aléatoire qui à chaque ticket associe la valeur du lot correspondant en euro.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(X>0)$.}
		
		Nous pouvons supposer que tout les tickets ont la même chance d'être tirés. Il y a donc équiprobabilité ente les tickets.
		
		$\{ X>0 \}$ est réalisé par $1+5+10+14+30+100=160$ issues (ticket) et l'univers tout entier contient $\np{4000}$ issues (ticket) donc \[ \mathbb{P}(X>0) = \frac{160}{4000}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(X>0)=0,04$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité qu’Isabelle gagne une peluche ? Donner la réponse sous la forme d’une fraction irréductible, puis d’un pourcentage.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(X=0,50)$.}
		
		Il y a équiprobabilité entre les ticket, $\{ X=0,50 \}$ est réalisé par $100$ issues et l'univers en comporte $\np{4000}$ donc: \[ \mathbb{P}(X=0,50)= \frac{100}{4000}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(X=0,50)= \frac{1}{40}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Soit $p$ le pourcentage correspondant à une probabilité de $\frac{1}{40}$.
		
		Nous avons
		
		\begin{align*}
		\frac{1}{40} &= \frac{p}{100}\\
		\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
		\frac{1}{40} {\color{orange}\times 100} &= \frac{p}{100}  {\color{orange}\times 100}\\
		2,5 &= p
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$p=2,5\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la probabilité qu’elle gagne un lot dont la valeur est au moins $100\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(X \geqslant 100)$.}
		
		Il y a équiprobabilité entre les ticket, $\{ X\geqslant 100 \}$ est réalisé par $10+5+1=16$ issues et l'univers en comporte $\np{4000}$ donc: \[ \mathbb{P}(X\geqslant 100)= \frac{16}{4000}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(X \geqslant 100)= 0,004$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En ne considérant que les tickets gagnants, calculer la valeur moyenne d’un lot. On donnera la valeur arrondie au centime.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la valeur moyenne $\overline{x}$ d'un lot en ne considérant que les ticket gagnants.}
		
		En utilisant la formule de la moyenne pondérée:
		
		\begin{align*}
		\overline{x} &= \frac{n_1x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_r x_r}{n_1+n_2+ \dots +n_r}\\
		&= \frac{1 \times 899 +5 \times 250 + \dots + 100 \times 0,50}{1 + 5 + \dots + 100}\\
		&= 29,53125
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La valeur moyenne d'un lot est de $29,53\ \text{\euro}$, en ne considérant que les tickets gagnants.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère que l’achat des lots est le seul coût engagé. Quelle somme d’argent a rapporté cette tombola?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la somme $S$ que rapporte la tombola.}
		
		En admettant que tout les ticket sont vendus, leur vente rapporte $\np{4000} \times 2\ \text{\euro}= \np{8000}\ \text{\euro}$.
		
		Un lot valant en moyenne $29,53125\ \text{\euro}$, le coût occasionné par l'achat des lots est: $160 \times 29,53125\ \text{\euro}= \np{4725}\ \text{\euro}$.
		
		Donc
		
		\begin{align*}
		S &= \left( \np{8000}\ \text{\euro} \right) - \left( \np{4725}\ \text{\euro} \right)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$S= \np{3275}\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’organisateur de la tombola propose un deuxième tirage aux personnes ayant obtenu un ticket perdant. Il leur est proposé de choisir une carte parmi trois. Une de ces trois cartes permet de gagner un lot publicitaire. Quelle est la probabilité qu’une personne ayant acheté un ticket gagne un lot publicitaire?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $T$ l'événement \og Obtenir un ticket perdant\fg{} et $P$ l'événement \og Obtenir un lot publicitaire\fg{}.
		
		La situation peut être modélisée par l'arbre:
		
		\begin{center} 
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\coordinate (A1) at (4,3);
			\coordinate (A2) at (4,1);
			\coordinate (A3) at (4,-1);
			\coordinate (A4) at (4,-3);
			\coordinate (B1) at (0,2);
			\coordinate (B2) at (0,-2);
			\coordinate (C1) at (-4,0);
			\draw node (A11) at (A1) {$P$};	
			\draw node (A12) at (A2) {$\overline{P}$};
			\draw node (B11) at (B1) {$T$};
			\draw node (B12) at (B2) {$\overline{T}$};
			\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{1}{3}$};
			\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{2}{3}$};
			\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3840}{4000}$};
			\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{160}{4000}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(T\cap P)$.}
		
		$\mathbb{P}(T)>0$ donc d'après la formule des probabilités composées {\color{orange}(principe multiplicatif)}:
		
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(T \cap P) &= \mathbb{P}(T) \times \mathbb{P}_T(P)\\
		&= \frac{3840}{4000} \times \frac{1}{3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(T \cap P)=0;32$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici deux programmes de calcul, le premier est codé avec le logiciel Scratch:
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\underline{Programme A.} & \underline{Programme B.}
		\\
		\hline
		&\\
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_03_scratch.png}
		\end{minipage}
		&
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item Choisir un nombre.
				\item Ôter $4$ à ce nombre.
				\item Effectuer le produit du résultat obtenu par le double du nombre de départ.
			\end{enumerate}
		\end{minipage}
		\\
		&\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que le nombre $10$, appliqué au programme A, permet d’obtenir $20$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la sortie du programme A lorsqu'on choisit $10$ en entrée.}
		
		Dessinons le tableau d'état des variables:
		
		\medskip
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Instruction & $a$ & $b$ & $c$ & $d$
				\\
				\hline
				mettre $a$ à \emph{réponse} & $10$ & & & 
				\\
				\hline
				mettre $b$ à $a-4$ & $10$ & $10-4=6$ &&
				\\
				\hline
				mettre $c$ à $b \times b$ & $10$ & $6$ & $6 \times 6=36$ & 
				\\
				\hline
				mettre $d$ à $c-16$ & $10$ & $6$ & $36$ & $36-16=20$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'on choisit $10$ en entrée le programme renvoie $20$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel résultat obtient-on, en appliquant le nombre $5,2$ au programme B?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la sortie du programme B lorsqu'on choisit $5,2$ en entrée.}
		
		Dessinons le tableau d'état des variables:
		
		\medskip
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|}
				\hline
				Instruction & $x$ 
				\\
				\hline
				Choisir un nombre $x$ & $5,2$ 
				\\
				\hline
				Ôter $4$ à ce nombre & $5,2-4=1,2$ 
				\\
				\hline
				Effectuer le produit ... & $1,2 \times ( 2 \times 5,2)=12,48$ 
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'on choisit $5,2$ en entrée le programme renvoie $12,48$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En appliquant un même nombre de départ, les programmes A et B peuvent-ils donner un résultat identique?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons si les programmes, pour une même valeur $x$ entrée, peuvent renvoyer le même nombre.}
		
		{\color{orange}Nous allons procéder par analyse-synthèse.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Analyse.} En appliquant le programme A au nombre $x$ (comme avec le tableau d'état des variables précédent) nous obtenons en sortie: $(x-4)^2-16$.
			
			En appliquant le programme B au nombre $x$ (comme avec le tableau d'état des variables précédent) nous obtenons en sortie: $2x(x-4)$.
			
			Nous recherchons une valeur de $x$ telle que
			
			\begin{align*}
			(x-4)^2-16 &= 2x(x-4) \\
			\intertext{La précédente égalité équivaut successivement à:}
			(x-4)^2-16 {\color{orange}-2x(x-4)} &= 2x(x-4) {\color{orange}-2x(x-4)}\\
			(x-4)^2-16 - 2x(x-4) &= 0 \\
			x^2-2 \times x \times 4 +4^2-16-2x\times x -2x \times (-4) &= 0\\
			x^2-8x +16-16 -2x^2+8x &= 0\\
			-x^2 &= 0 \\
			x &= 0
			\end{align*}
			
			\item {\color{orange}Synthèse.} On vérifie immédiatement qu'en choisissant $0$ en entrée les deux programmes renvoient $0$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			La seule valeur pour laquelle les programmes renvoient le même nombre est $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le ou les nombre(s) que l’on doit choisir au départ pour obtenir $0$ comme résultat avec le programme A.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation $(x-4)^2-16=0$.}
		
		\begin{align*}
		(x-4)^2-16=0 &\Leftrightarrow (x-4)^2-4^2=0 \\
		&\Leftrightarrow \left[ (x-4) -4 \right] \left[ (x-4)+4 \right]=0 \\
		&\Leftrightarrow (x-8)x=0 \\
		&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x-8=0 \\
		&\Leftrightarrow x=0 \quad \text{ou} \quad x=8
		\end{align*}
		
		$0$ et $8$ sont bien des nombres entiers nous pouvons donc conclure
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour obtenir $0$ avec le programme A il faut choisir $8$ ou $0$ au départ.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante propose, en cycle 3, le calcul $13,25 \times 10$.
	
	\medskip
	Voici les réponses proposées par quatre élèves :
	a) $1,325$ \quad b) $130,25$ \quad c) $13,250$ \quad d) $132,5$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les réponses erronées proposées par les élèves en cherchant à expliciter les erreurs qui ont pu conduire les élèves à proposer ces réponses.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À la demande de l’enseignante, les élèves proposent une trace écrite de la multiplication d’un nombre décimal par $10$.
		
		\medskip
		\textbf{Élève 1}: Pour multiplier par $10$, on ajoute un zéro à droite du nombre.
		
		\medskip
		\textbf{Élève 2}: Pour multiplier par $10$, on déplace la virgule d’un rang vers la droite.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi ces deux propositions ne peuvent pas être retenues par l’enseignante pour être notées dans les cahiers des élèves.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une institutionnalisation que l’enseignante pourrait faire noter dans les cahiers des élèves pour la multiplication d’un nombre décimal par $10$.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’appuyant sur l’extrait de la ressource d’accompagnement du programme de mathématiques (cycle 3, EDUSCOL, Fractions et nombres décimaux au cycle 3, Annexe 4), l’enseignant propose l’utilisation d’un glisse-nombre dont une utilisation est montrée ci-après. Il est composé d’une languette sur laquelle ont écrit les chiffres d’un nombre donné, que l’on peut ensuite faire glisser de façon à faire changer les chiffres de colonne.
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_04_glisse_nombre_1.png}
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_05_glisse_nombre_2.png}
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_06_glisse_nombre_3.png}
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_07_glisse_nombre_4.png}
		
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_08_glisse_nombre_5.png}
		
		\medskip
		En quoi cet outil peut-il aider les élèves ayant donné les réponses a), b) et c)?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Voici un extrait de la note de service n\degres 2018-052 du 25-4-2018 \og La résolution de problèmes à l'école élémentaire\fg{}.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{11cm}|}
			\hline
			\textbf{\og Modéliser \fg{} et \og calculer \fg{} sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l'école élémentaire} qui doivent guider l'action de l'enseignant pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés. En effet, lors de la résolution de problèmes, les principales difficultés rencontrées peuvent relever de:
			
			\begin{itemize}
				\item difficultés à \og modéliser\fg{}: l'élève n'arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l'énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s'appuie pas sur les opérations attendues;
				
				\item difficultés à \og calculer \fg{}: les calculs effectués, mentalement ou en les posant, sont erronés, la ou les erreurs pouvant être dues à une méconnaissance de faits numériques ou à une maîtrise imparfaite des algorithmes de calcul utilisés.
			\end{itemize}
			
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Un enseignant propose à ses élèves de CM2 le problème suivant: \og Théo achète un pain à $2,35\ \text{\euro}$ et deux viennoiseries valant chacune $1,15\ \text{\euro}$. Il donne un billet de $10\ \text{\euro}$ au vendeur. Combien le vendeur va-t-il rendre à Théo ?\fg{}.
	
	\medskip
	Voici les réponses proposées par quatre élèves:
	
	\hspace*{-1cm}
	\includegraphics[scale=0.36]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_09_quatre_reponses.png}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En vous appuyant sur l’extrait de la note de service proposé ci-dessus, analyser les 		quatre propositions d’élèves en termes de réussites et d’échecs pour chacune des compétences \og modéliser \fg{} et \og calculer \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux activités de remédiation que vous pourriez envisager pour aider l’élève A à réussir ce type de problème, une avec du matériel et une sans matériel.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que peut proposer l’enseignant à l’élève B pour qu’il puisse repérer son erreur?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère maintenant le problème suivant : \og Théo achète un pain à $2,50\ \text{\euro}$. Il donne un billet de $10\ \text{\euro}$ au vendeur. Combien le vendeur va-t-il rendre à Théo? \fg{}. En comparant les deux problèmes, donner une difficulté qu’un enseignant ne peut pas détecter en proposant ce problème à une étape.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de grande section, un enseignant propose à un groupe d’élèves de retrouver l’image correspondant à la description qu’il énonce.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\og Donnez-moi l’image où:
			\begin{enumerate}[A) ]
				\item Le koala est devant la tour de cubes.
				\item La princesse est derrière le cube.
				\item Le koala est sur le cube.
				\item Le koala est entre les deux tours de cubes.
				\item Le koala est sous le pont de cubes.\fg{}
			\end{enumerate} 
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering\arraybackslash}m{3.5cm}>{\centering\arraybackslash}m{5cm}>{\centering\arraybackslash}m{3cm}}
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_10_image_1.png}
		\end{minipage}
		& 
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_11_image_2.png}
		\end{minipage}
		&
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_12_image_3.png}
		\end{minipage}
		\\
		image 1 & image 2 & image 3
	\end{tabularx}
	
	\medskip	
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering\arraybackslash}m{4.25cm}>{\centering\arraybackslash}m{3.25cm}>{\centering\arraybackslash}m{4cm}}
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_13_image_4.png}
		\end{minipage}
		& 
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_14_image_5.png}
		\end{minipage}
		&
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_15_image_6.png}
		\end{minipage}
		\\
		image 4 & image 5 & image 6
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering\arraybackslash}m{2cm}>{\centering\arraybackslash}m{4cm}>{\centering\arraybackslash}m{4cm}>{\centering\arraybackslash}m{2cm}}
		&
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_16_image_7.png}
		\end{minipage}
		& 
		\begin{minipage}{\linewidth}
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_1_17_image_8.png}
		\end{minipage}
		&
		\\
		& image 7 & image 8 & 
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	Le tableau ci-dessous répertorie les différentes réponses données par les élèves.
	
	\begin{center}
		
		
		\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|>{\centering\arraybackslash}m{2.5cm}|}
			\hline
			Affirmations proposées & Réponses des élèves
			\\
			\hline
			A) Le koala est devant la tour de cubes. & 1 et 7
			\\
			\hline
			B) La princesse est derrière le cube. & 5
			\\
			\hline
			C) Le koala est sur le cube. & 6, 8 et 3
			\\
			\hline
			D) Le koala est entre les deux tours de cubes. & 2 et 4
			\\
			\hline
			E) Le koala est sous le pont de cubes. & 2 et 6
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner un intérêt et une limite de cette situation.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser chacune des réponses données aux affirmations C et E.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tous les élèves de la classe ont réussi à donner l’image de l’assertion B. Que peut-on en conclure?
		
	\end{sujet}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève fait correspondre l’image 7 à l’affirmation A en justifiant: \og Le koala regarde la tour. Il est devant. \fg{}. L’enseignant propose la manipulation des objets considérés.
		
		Justifier le choix de l’enseignant.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{red}Merci pour la relecture de Mme Bourgeois.}
		
	\end{correction}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Madame Martin souhaite participer à l’effort de protection de la planète et s’engager dans le développement durable.
	
	Elle a décidé d’installer des panneaux photovoltaïques, sur le toit de sa maison, pour produire sa propre énergie électrique ainsi qu’un récupérateur d’eau de pluie pour arroser son jardin.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: installation de panneaux photovoltaïques.}

\begin{sujet}
	
	Le toit de la maison de madame Martin a la forme d’un trapèze rectangle $ABCD$ représenté ci- dessous pour lequel on connaît les dimensions suivantes: \[ AB = 8\ \mathrm{m} \qquad AD = 7\ \mathrm{m} \qquad CB = 3\ \mathrm{m}. \]
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
		\def\xA{0};
		\coordinate (A) at ({\xA},0);
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\def\xB{8};
		\coordinate (B) at ({\xB},0);
		\draw (B) node[below right]{$B$};
		\def\yC{3};
		\coordinate (C) at ({\xB},{\yC});
		\draw (C) node[right]{$C$};
		\def\yD{7};
		\coordinate (D) at ({\xA},{\yD});
		\draw (D) node[above left]{$D$};
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yC});
		\draw (E) node[left]{$E$};
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		\draw (E) -- (C);
		\def\l{0.5};
		%Angle droit E
		\fill[color=gray , opacity=0.4] ({\xA+\l},{\yC}) -- ({\xA+\l},{\yC-\l}) -- ({\xA},{\yC-\l}) -- ({\xA},{\yC}) -- cycle;
		\draw ({\xA+\l},{\yC}) -- ({\xA+\l},{\yC-\l})-- ({\xA},{\yC-\l});
		%Angle droit A
		\fill[color=gray , opacity=0.4] ({\xA+\l},{0}) -- ({\xA+\l},{\l}) -- ({\xA},{\l}) -- ({\xA},{0}) -- cycle;
		\draw ({\xA+\l},{0}) -- ({\xA+\l},{\l}) -- ({\xA},{\l});
		%Angle droit B
		\fill[color=gray , opacity=0.4] ({\xB-\l},{0}) -- ({\xB-\l},{\l}) -- ({\xB},{\l}) -- ({\xB},{0}) -- cycle;
		\draw ({\xB-\l},{0}) -- ({\xB-\l},{\l}) -- ({\xB},{\l});
		%Le point P
		\def\yP{5};
		\coordinate (P) at ({\xA},{\yP});
		\draw (P) node[left]{$P$};
		%Angle droit P
		\fill[color=gray , opacity=0.4] ({\xA+\l},{\yP}) -- ({\xA+\l},{\yP-\l}) -- ({\xA},{\yP-\l}) -- ({\xA},{\yP}) -- cycle;
		\draw ({\xA+\l},{\yP}) -- ({\xA+\l},{\yP-\l})-- ({\xA},{\yP-\l});
		%Le point N
		\def\xN{\xB*(\yD-\yP)/(\yD-\yC)};
		\coordinate (N) at ({\xN},{\yP});
		\draw (N) node[above right]{$N$};
		%Angle droit N
		\fill[color=gray , opacity=0.4] ({\xN-\l},{\yP}) -- ({\xN-\l},{\yP-\l}) -- ({\xN},{\yP-\l}) -- ({\xN},{\yP}) -- cycle;
		\draw ({\xN-\l},{\yP}) -- ({\xN-\l},{\yP-\l})-- ({\xN},{\yP-\l});
		%Le point M
		\coordinate (M) at ({\xN},{0});
		\draw (M) node[below]{$M$};
		\fill[color=red, opacity=0.2] (P) -- (N) -- (M) -- (A) -- cycle;
		\draw (P) -- (N) -- (M);
		\end{tikzpicture}
		
		\emph{Vue du dessus du toit (la figure n'est pas à l'échelle).}
		
	\end{center}
	
	Le point $E$ est le point de $[AD]$ tel que $ABCE$ soit un rectangle.
	
	Le support dédié aux panneaux photovoltaïques correspond au rectangle $AMNP$ où $P$ est un point situé sur $[DE]$ et $N$ est l’intersection de la droite perpendiculaire à $(AD)$ passant par $P$ avec $(CD)$.
	
	On souhaite déterminer la position du point $P$ sur $[DE]$ pour que l’aire du support $AMNP$ soit la plus grande possible.
	
	On note $x$ la longueur du segment $[DP]$ exprimée en mètre et $A(x)$ l’aire du rectangle $AMNP$ exprimée en mètre carré.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliquer pourquoi $x$ doit être compris entre $0$ et $4$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$\left. \begin{array}{l} DA=7\ \mathrm{m} \\ EA=CB= 3\ \mathrm{m} \\ E \in [AD] \end{array} \right\}$, donc $DE = 4 \mathrm{m}$.
		
		Puisque $P \in [DE]$ et puisque $DE=4 \ \mathrm{m}$, $0\ \mathrm{m} \leqslant DE \leqslant 4\ \mathrm{m}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$x \in [0;4]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $PN$ est égale à $2x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $PN$ en fonction de $x$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} 
			
			Les points $D$, $P$, $E$ d'une part et $D$, $N$, $C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèse du théorème de Thalès.}
			
			$(AD) \perp (PN)$ et $(AD)\perp (EC)$ donc $(PN) \parallel (EC)$.
			
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédentes, et d'après le théorème de Thalès nous déduisons: \[ \frac{DP}{DE}= \frac{PN}{EC}. \]
		
		La précédente égalité équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
		\frac{DP}{DE} {\color{orange} \times EC} &= \frac{PN}{EC} {\color{orange} \times EC}\\
		\frac{x\ \mathrm{m}}{4\ \mathrm{m}} \times \left( 8\ \mathrm{m} \right) &= PN \\
		2x\ \mathrm{m} &= PN
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$PN=2x\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que, pour tout nombre $x$ compris entre $0$ et $4$, on a: $A(x) = 14x - 2x^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $A(x)$.}
		
		$AMNP$ est un rectangle donc son aire se calcul en faisant $PN \times AP$ \emph{i.e.}
		
		\begin{align*}
		A(X) &= 2x \times (7-x)\\
		&= 2x \times 7 - 2x \times x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$A(x) = -2x^2+14x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire du support, en mètre carré, si l’on choisit $x = 2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $A(2)$.}
		
		\begin{align*}
		A({\color{orange}2}) & = -2 \times {\color{orange}2^{\color{black}2}}+14 \times {\color{orange}2}\\
		&= 20
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $x=2$ l'aire du support est de $20\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le graphique ci-dessous représente l’aire du support, en mètre carré, en fonction de la longueur $x$ en mètre.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{4.9};
			\def\yZ{25.9};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {0,1, 2,...,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {0,1,2,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{\framebox{Longueur $x$ en $\mathrm{m}$}};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above left]{\framebox{Aire en $\mathrm{m}^2$}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{14*\x-2*\x*\x});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Répondre par lecture graphique aux questions suivantes:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l’aire, en mètre carré, du support si la longueur $x$ est égale à $3\ \mathrm{m}$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.9};
				\def\yZ{25.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{\framebox{Longueur $x$ en $\mathrm{m}$}};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above left]{\framebox{Aire en $\mathrm{m}^2$}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{14*\x-2*\x*\x});
				\draw[dashed,red,very thick] (3,0) -- (3,{14*3-2*3*3}) -- (0,{14*3-2*3*3});
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$A(3)=24$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle(s) valeur(s) de la longueur $x$, l’aire du support est-elle égale à $12\ \mathrm {m}^2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.9};
				\def\yZ{25.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{\framebox{Longueur $x$ en $\mathrm{m}$}};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above left]{\framebox{Aire en $\mathrm{m}^2$}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{14*\x-2*\x*\x});
				\draw[dashed,red,very thick] (0,12) -- (1,12) -- (1,0);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire est de $12\ \mathrm{m}^2$ lorsque $x=1\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle valeur de la longueur $x$, l’aire du support est-elle maximale?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{4.9};
				\def\yZ{25.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0,1, 2,...,4}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,25}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{\framebox{Longueur $x$ en $\mathrm{m}$}};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above left]{\framebox{Aire en $\mathrm{m}^2$}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4] plot(\x,{14*\x-2*\x*\x});
				\draw[dashed,red,very thick] (0,{14*3.5-2*3.5*3.5}) -- (3.5,{14*3.5-2*3.5*3.5}) -- (3.5,0);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire maximale est atteinte pour $x=3,5\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: les différentes énergies renouvelables.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Les informations présentées dans cette partie sont extraites du site \fg RTE, Réseau de transport d’électricité \fg{}.}
	
	\medskip
	Le tableau ci-dessous indique la production française d’énergie électrique renouvelable par filière en 2017, exprimée en térawatt-heure ($\mathrm{TWh}$).
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|m{4cm}|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Filière & Production
			\\
			\hline
			Filière éolienne & $24\ \mathrm{TWh}$
			\\
			\hline
			Filière solaire & $9,2\ \mathrm{TWh}$
			\\
			\hline
			Filière hydraulique & $48,6\ \mathrm{TWh}$
			\\
			\hline
			Filière des bioénergies & $7\ \mathrm{TWh}$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le pourcentage que représente l’énergie électrique produite par la filière solaire par rapport à l’énergie électrique produite par l’ensemble des filières des énergies renouvelables.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la proportion, $p_s$, de l'électrique solaire par rapport au reste de la production renouvelable.}
		
		Toutes les grandeurs étant la même unité:
		
		\begin{align*}
		p_s &= \frac{9,2}{24+9,2+48,6+7}\\
		&= \frac{23}{222}\\
		&\approx 0,103603
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$10,36\ \%$ de l'électricité de la filière renouvelable provient du solaire.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En 2017, l’électricité renouvelable a couvert $18,4\ \%$ de l’électricité consommée en France.
		
		Calculer la quantité totale d’électricité consommée en France en 2017. On donnera l’arrondi au dixième de térawatt-heure.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la quantité totale, $q_t$, d'électricité consommée en France.}
		
		\begin{tabular}{|*{3}{c|}}
			\cline{2-3} \multicolumn{1}{c|}{}& Électricité renouvelable & Toute forme d'électricité
			\\
			\hline
			Quantité (en $\mathrm{TWh}$)& $24+9,2+48,6+7=88,8$ & $q_t$
			\\
			\hline
			Proportion (en $\%$) & $18,4$ & $100$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\medskip
		Par proportionnalité:
		
		\begin{align*}
		q_t &= \frac{88,8 \times 100}{18,4}\\
		&\approx 482,6086
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La quantité totale d'électricité consommée en France en 2017 était de $482,6\ \mathrm{TWh}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: coût de l'énergie électrique.}

\begin{sujet}
	
	Chaque matin, madame Martin fait bouillir un demi-litre d’eau dans une bouilloire pour préparer son thé.
	
	En utilisant les informations ci-dessous, calculer le prix de l’énergie électrique, toutes taxes comprises, utilisée par madame Martin pour préparer son thé chaque matin durant toute l’année 2018.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\begin{center}\emph{Document 1: caractéristiques de la bouilloire électrique de madame Martin.}\end{center}
			\\
			Durée du chauffage pour $0,5\ \mathrm{L}$ d’eau: $1\ \mathrm{min}\ 26\ \mathrm{s}$.
			
			\smallskip
			Puissance : $2200\ \mathrm{W}$.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\begin{center}\emph{Document 2: énergie électrique.}\end{center}
			
			\[E = P \times t. \]
			
			$E$ désigne l’énergie en watt-heure ($\mathrm{Wh}$).
			
			\smallskip
			$P$ désigne la puissance en watt ($\mathrm{W}$).
			
			\smallskip
			$t$ désigne le temps en heure ($\mathrm{h}$).
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\begin{center}\emph{Document 3: prix de l’énergie électrique.}\end{center}
			\\
			Prix hors TVA d’un kilowatt-heure ($\mathrm{kWh}$): $0,0997\ \text{euro}$.
			
			\smallskip
			TVA sur l’énergie électrique: $20\ \%$.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons la dépense, $d_a$, électrique de madame Martin pour son thé pendant une année.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Calculons la consommation d'énergie, $E_b$, pour chauffer une bouilloire.
		
		\begin{align*}
		E_b &= P\times t\\
		&= \left( 2200\ \mathrm{W} \right) \times \left( 1\ {\color{WildStrawberry}\mathrm{min}} + 26\ {\color{orange}\mathrm{s}} \right)\\
		&= \left( 2200\ \mathrm{W} \right) \times \left( 1 {\color{WildStrawberry}\times \frac{1}{60}\ \mathrm{h}} + 26 {\color{orange}+ \frac{1}{3600} \ \mathrm{h}} \right)\\
		&= 2200 \times \left( \frac{1}{60}+ \frac{26}{3600} \right) \ \mathrm{W} \cdot \mathrm{h}\\
		&= \frac{473}{9}\ \mathrm{Wh}\\
		\end{align*}
		
		\item Calculons la consommation énergétique, $E_a$, pour l'année 2018.
		
		2018 étant une année régulière (non bissextile):
		
		\begin{align*}
		E_a &= 365 E_b\\
		&= 365 \times \frac{473}{9}\ \mathrm{W} \cdot \mathrm{h}\\
		&= \frac{172645}{9}\ {\color{orange}\mathrm{W}} \cdot \mathrm{h}\\
		&= \frac{172645}{9} {\color{orange}\times \frac{1}{1000}\ \mathrm{kW}} \cdot \mathrm{h}\\
		&= \frac{34529}{1800}\ \mathrm{kW} \cdot \mathrm{h} \quad {\color{blue}(1)}
		\end{align*}
		
		\item Calculons le prix, $p_k$, d'un kilowatt-heure avec la TVA.
		
		Une TVA de $20\ \%$ signifie une augmentation du prix de $20\ \%$. Le coefficient multiplicateur correspondant est:
		
		\begin{align*}
		CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
		&= 1+ \frac{20}{100}\\
		&= 1,2
		\end{align*}
		
		Donc
		
		\begin{align*}
		p_k &= 1,2 \times 0,0997\ \text{\euro}/ \mathrm{kWh}\\
		&= 0,11964\ \text{\euro}/ \mathrm{kWh} \quad {\color{blue}(2)}
		\end{align*}
		
		\item De ${\color{blue}(1)}$ et ${\color{blue}(2)}$ nous déduisons la somme dépensée annuellement:
		
		\begin{align*}
		d_a &= \left( \frac{34529}{1800}\ \mathrm{kWh} \right) \times \left( 0,11964\ \text{\euro}/ \mathrm{kWh} \right)\\
		&= \frac{34529}{1800} \times 0,11964\ \mathrm{kWh}\cdot \text{\euro}/\mathrm{kWh}\\
		&\approx 2,29502
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Pour chauffer son thé madame Martin a dépensé $2,30\ \text{\euro}$ en 2018.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie D: installation d’un récupérateur d’eau.}

\begin{sujet}
	
	Madame Martin choisit d’installer un récupérateur d’eau ayant la forme d’une pyramide à base rectangulaire tronquée, représentée par le solide $ABCDA’B’C’D’$ sur le schéma ci-dessous qui n’est pas à l’échelle. Le plan $(A’B’C’)$ est parallèle au plan $(ABC)$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
		%Coordonnées de A
		\def\xA{0};
		\def\yA{1};
		%Translations pour aller de A à B
		\def\xAB{8};
		\def\yAB{-1};
		%Translations pour aller de B à C
		\def\xBC{3};
		\def\yBC{1};
		%Les points A, B, C et D
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
		\coordinate (C) at ({\xA+\xAB+\xBC},{\yA+\yAB+\yBC});
		\coordinate (D) at ({\xA+\xBC},{\yA+\yBC});
		%Le parallélogramme ABCD
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		\draw (A) node[left] {$A$};
		\draw (B) node[below right] {$B$};
		\draw (C) node[above right] {$C$};
		\draw (D) node[above] {$D$};
		%Création du point S
		\def\xS{5};
		\def\yS{-15};
		\coordinate (S) at (\xS,\yS);
		\draw (S) node[below] {$S$};
		%Proportion de segments hachurée
		\def\coef{0.6};
		%Segment [AS]
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:{\coef}] plot({\x*(\xA-\xS) + \xS} , {\x*(\yA-\yS)+\yS});
		\draw[samples=100,domain={\coef}:1] plot({\x*(\xA-\xS) + \xS} , {\x*(\yA-\yS)+\yS});
		%Point A'
		\coordinate (A') at ({\coef*(\xA-\xS) + \xS} , {\coef*(\yA-\yS)+\yS});
		\draw (A') node[left] {$A'$};
		%Segment [BS]
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:{\coef}] plot({\x*(\xA+\xAB-\xS) + \xS} , {\x*(\yA+\yAB-\yS)+\yS});
		\draw[samples=100,domain={\coef}:1] plot({\x*(\xA+\xAB-\xS) + \xS} , {\x*(\yA+\yAB-\yS)+\yS});
		%Point B'
		\coordinate (B') at ({\coef*(\xA+\xAB-\xS) + \xS} , {\coef*(\yA+\yAB-\yS)+\yS});
		\draw (B') node[below right] {$B'$};
		%Segment [CS]
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:{\coef}] plot({\x*(\xA+\xAB+\xBC-\xS) + \xS} , {\x*(\yA+\yAB+\yBC-\yS)+\yS});
		\draw[samples=100,domain={\coef}:1] plot({\x*(\xA+\xAB+\xBC-\xS) + \xS} , {\x*(\yA+\yAB+\yBC-\yS)+\yS});
		%Point C'
		\coordinate (C') at ({\coef*(\xA+\xAB+\xBC-\xS) + \xS} , {\coef*(\yA+\yAB+\yBC-\yS)+\yS});
		\draw (C') node[right] {$C'$};
		%Segment [DS]
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:1] plot({\x*(\xA+\xBC-\xS) + \xS} , {\x*(\yA+\yBC-\yS)+\yS});
		%Point D'
		\coordinate (D') at ({\coef*(\xA+\xBC-\xS) + \xS} , {\coef*(\yA+\yBC-\yS)+\yS});
		\draw (D') node[above left] {$D'$};
		%Parallélogramme A'B'C'D'
		\draw (A') -- (B') -- (C');
		\draw[dashed] (C') -- (D') -- (A');
		%Le point H
		\coordinate (H) at ({(\xA+\xA+\xAB+\xBC)/2} , {(\yA+\yA+\yAB+\yBC)/2});
		\draw (H) node[above right] {$H$};
		\draw (H) node {\tiny $\bullet$};
		%Segment [HS]
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:1] plot({\x*((\xA+\xA+\xAB+\xBC)/2-\xS) + \xS} , {\x*((\yA+\yA+\yAB+\yBC)/2-\yS)+\yS});
		%Point H'
		\coordinate (H') at ({\coef*((\xA+\xA+\xAB+\xBC)/2-\xS) + \xS} , {\coef*((\yA+\yA+\yAB+\yBC)/2-\yS)+\yS});
		\draw (H') node[above right] {$H'$};
		\draw (H') node {\tiny $\bullet$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	On donne les dimensions suivantes: \[ AB = 1,9\ \mathrm{m} \qquad AD = 92\ \mathrm{cm} \qquad HH’= 1,84\ \mathrm{m} \qquad	SH = 4,60\ \mathrm{m}. \]
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donnez le volume $V_1$ de la pyramide $SABCD$, en mètre cube, arrondi au litre.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{8cm}|}
				\hline
				On rappelle la formule du volume d’une pyramide: \[ V = \frac{1}{3} \times aire\ de\ la\ base \times  hauteur. \]
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $V_1$.}
		
		Puisque la base est le rectangle $ABCD$:
		
		\begin{align*}
		V_1 &= \frac{1}{3} \times \left( AB \times AD \right) \times SH\\
		&= \frac{1}{3} \times \left[ \left( 1,9\ \mathrm{m} \right) \times \left( 92\ {\color{orange}\mathrm{cm}} \right) \right] \times \left( 4,60\ \mathrm{m} \right)\\
		&= \frac{1}{3} \times \left( 1,9\ \mathrm{m} \right) \times \left( 92 {\color{orange} \times \frac{1}{100}\ \mathrm{m}} \right) \times \left( 4,60\ \mathrm{m} \right)\\
		&= \frac{1}{3} \times 1,9 \times 92 \times \frac{1}{100} \times 4,60\ \mathrm{m} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}\\
		&= \frac{10051}{3750} \ \mathrm{m}^3\\
		&\approx 2,68026\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		Puisque $1\ \mathrm{L}= 1\ \mathrm{dm}^3$, il faut que nous arrondissions le résultat au millième de mètre cube:
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_1 \approx 2,680\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le coefficient de réduction permettant de passer de la pyramide $SABCD$ à la pyramide $SA’B’C’D’$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le coefficient $c_r$ demandé.}
			
			\begin{align*}
			c_r &= \frac{SH'}{SH}\\
			&= \frac{ SH-HH'}{SH}\\
			&= \frac{ \left( 4,60\ \mathrm{m} \right) - \left( 1,84\ \mathrm{m} \right)}{4,60\ \mathrm{m}}\\
			&= \frac{ 2,76\ \mathrm{m}}{4,60\ \mathrm{m}}\\
			&= \frac{ 2,76}{4,60}\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$c_r=0,6$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire le volume $V_2$ de la pyramide $SA’B’C’D’$, en mètre cube, arrondi au litre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons  $V_2$.}
			
			Puisque le coefficient de réduction appliqué aux longueurs est de $0,6$, le coefficient multiplicateur appliqué aux volumes est de $0,6^3$. Donc:
			
			\begin{align*}
			V_2 &= 0,6^3 \times V_1 \\
			&\approx 0,6^3 \times 2,680\ \mathrm{m}^3 \\
			&\approx 0,57888\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_2 \approx 0,579\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le volume $V$ du récupérateur d’eau est environ égal à $2,101\ \mathrm{m}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $V$.}
		
		\begin{align*}
		V &= V_1-V_2\\
		&\approx \left( 2,680\ \mathrm{m}^3 \right) -\left( 0,579\ \mathrm{m}^3 \right)\\
		&\approx \left( 2,680- 0,579 \right) \ \mathrm{m}^3 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V \approx 2,101\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Madame Martin possède un arrosoir d’une capacité de $12$ litres.
		
		Calculer le nombre d’arrosoirs qu’elle peut remplir complètement avec l’eau contenue dans son récupérateur plein.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le nombre, $n$, d'arrosoirs que madame Martin peut remplir avec une réservoir.}
		
		Exprimons $V$ en litres:
		\begin{align*}
		V &\approx 2,101\ {\color{orange}\mathrm{m}^3}\\
		&\approx 2,101 {\color{orange}\times 1000\ \mathrm{dm}^3}\\
		&\approx 2101\ {\color{WildStrawberry} \mathrm{dm}^3}\\
		&\approx 2101\ {\color{WildStrawberry} \mathrm{L}}
		\end{align*}
		
		Donc:
		
		\begin{align*}
		n &\approx  \frac{2101\ \mathrm{L}}{12\ \mathrm{L}}\\
		&\approx \frac{2101}{12}\ \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}}\\
		&\approx 175,0833
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$n \approx 175$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Pour gérer son parc d’éoliennes, un exploitant procède à des relevés de la vitesse du vent sur l’une d’entre elles. Durant l’année 2019, ces relevés ont été effectués toutes les minutes.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Combien de relevés ont été réalisés en 2019?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre, $n_r$, de relevés fabriqués.}
		
		2019 étant une année régulière elle comportait $365$ jours, chaque journée comporte $24$ heures et chaque heure comporte $60$ minutes donc:
		
		\begin{align*}
		n_r &= 365 \times 24 \times 60
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$n_r= \np{525600}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le tableau suivant donne plusieurs résultats statistiques issus de ces relevés:
		
		\begin{center}
			
			\noindent
			\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				étendue & médiane & moyenne & maximum
				\\
				\hline
				$23\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ & $14,3\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ & $13\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ & $24\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		On précise qu’une éolienne de ce parc:
		\begin{itemize}
			\item tourne dès que la vitesse du vent atteint $3\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$,
			
			\item a sa puissance électrique stabilisée dès que la vitesse du vent atteint $13\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$,
			
			\item s’arrête dès que la vitesse du vent est supérieure à $25\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$.
		\end{itemize}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le gérant prétend que les éoliennes de son parc n’ont pas fonctionné continuellement durant l’année 2019. A-t-il raison? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le minimum de cette série.}
			
			L'étendue est donnée par:
			
			\begin{align*}
			e &= max -min\\
			\intertext{donc:}
			min &= max-e\\
			&= \left( 24\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \right) - \left( 23\ \mathrm{m}/\mathrm{s} \right)\\
			&= 1\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
			\end{align*}
			
			La vitesse minimum fut de $1\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$, qui est inférieure strictement à $3\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$, il y a au moins eu un jour dans l'année pendant lequel l'éolienne n'a pas fonctionné.
			
			\begin{conclusion}
				
				Le gérant a raison.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Peut-il affirmer que les éoliennes ont délivré une puissance électrique stabilisée pendant au moins la moitié du temps? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La médiane est de $14,3\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ et le maximum est de $24\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ donc la moitié du temps la vitesse du vent était dans des conditions de puissance stabilisée (\emph{i.e.} entre $13\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $24\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$).
			
			\begin{conclusion}
				
				Les éoliennes ont délivré une puissance stabilisée pendant au moins la moitié de temps.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses \emph{en justifiant la réponse}.
	
	\medskip
	\emph{Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse fausse, incorrecte ou une absence de réponse n’enlève pas de point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 1}: \og le nombre $\np{4 700 001}$ est un nombre premier.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Évaluer la primalité d'un grand nombre est extrêmement fastidieux: il faut testé s'il est divisible par les nombres premiers inférieurs ou égaux à sa racine carrée.
			
			C'est tellement pénible qu'il est peu vraisemblable que ce soit ici le cas.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $\np{4 700 001}$ n'est pas premier.}
		
		{\color{orange}Il suffit de tester les différents critères de divisibilité connus.}
		
		$4+7+0+0+0+0+1=12$ et $12$ est divisible par $3$ don $\np{4 700 001}$ est divisible par $3$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 2}: \og les nombres $32^{12}$ et $16^{15} +3$ sont égaux. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Les calculs à la calculatrice semblent impossibles. Nous ne pouvons espérer, avec le peu de temps dont on dispose en examen, faire ces calculs manuellement. Il faut donc essayer autrement de comparer ces nombres.}
		
		\medskip
		\objectif{Comparons $32^{12}$ et $16^{15} +3$.}
		
		{\color{orange}Une façon comparer deux nombres consiste à étudier le signe de leur différence.}
		
		Nous avons les décompositions en facteurs premiers: $32=2^5$ et $16=2^4$.
		
		Par conséquent:
		
		\begin{align*}
		16^{15}+3-32^{12} &= \left( 2^4 \right) ^{15} + 3 - \left( 2^5 \right) ^{12}\\
		&= 2^{4 \times 15}+3-2^{5\times 12}\\
		&= 2^{60}+3-2^{60}\\
		&= 3
		\intertext{Clairement:}
		16^{15}+3-32^{12} &>0\\
		\intertext{Autrement dit:}
		16^{15}+3 &> 32^{12}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 3}: \og La somme des carrés de deux nombres entiers naturels consécutifs est toujours un nombre impair. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous allons démontrer le résultat en utilisant la caractérisation suivante: un entier est impair si et seulement si il peut s'écrire sous la forme $2k+1$ avec $k$ un entier naturel.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que la somme des carrés de deux nombres entiers naturels consécutifs est toujours un nombre impair.}
		
		Soit $n$ un entier naturel.
		
		$n+1$ est donc l'entier consécutif.
		
		Nous avons:
		
		\begin{align*}
		n^2+(n+1)^2 &= n^2+n^2+2\times n \times 1+1^2\\
		&= n^2+n^2+2n+1\\
		&= 2n^2+2n+1\\
		&= 2(n^2+n)+1\\
		&= 2k+1 \quad \text{avec } k=n^2+n \text{ un entier naturel}
		\end{align*}
		
		Autrement dit $n^2+(n+1)^2$ est un nombre impair.
		
		Nous avons démontré que la somme des carrés de tous les entiers consécutifs est un nombre impair.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 4}: \og Le triangle $ABC$ avec $AB = 6,4\ \mathrm{m}$, $BC = 4,8\ \mathrm{m}$ et $AC = 8\ \mathrm{m}$ est rectangle en $B$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Un rapide calcul à la calculatrice donne: $6,4^2+4,8^2=64$ et $8^2=64$. Nous savons donc ce que nous devons établir.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $ABC$ est rectangle en $B$.}
		
		D'une part:
		\begin{align*}
		AB^2+ BC^2 &= 6,4^2+4,8^2\\
		&= 64
		\end{align*}
		
		d'autre part
		
		\begin{align*}
		AC^2 &= 8^2\\
		&= 64
		\end{align*}
		
		d'où $AB^2+BC^2=AC^2$.
		
		Nous en déduisons, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, que $ABC$ est rectangle en $B$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Pour réaliser la rosace ci-dessous, 
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_01_rosace.png}
		
	\end{center}
	
	on a défini un motif \og Carré \fg{} et on a utilisé le programme ci-dessous.
	
	\begin{center}
		\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_2_02_scratch.sb3}{
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
				\blocklook{montrer}
				\blockmove{aller à x: \ovalnum{-120} y: \ovalnum{0}}
				\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
				\blockpen{effacer tout}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{6} fois}
				{
					\blockmoreblocks{Carré}
					\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés}
				}
				\blocklook{cacher}
			\end{scratch} \hspace{1cm}
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Carré}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
				{
					\blockpen{stylo en position d'écriture}
					\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
					\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
					\blockpen{relever le stylo}
				}
			\end{scratch}
		}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Cliquez sur le programme ci-dessus pour le télécharger.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Combien de motifs \og Carré \fg{} composent la rosace?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le programme contient l'indication explicite \og répéter $6$ fois\fg{}.
		
		\begin{conclusion}
			
			$6$ motifs \og Carré\fg{} composent la rosace.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle transformation géométrique permet de passer d’un motif \og Carré \fg{} au motif
		\og Carré \fg{} suivant?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le programme contient l'indication explicite \og tourner de $60$ degré\fg{} dans le sens directe comme l'indique la flèche.
		
		\begin{conclusion}
			
			On passe d'un motif \og Carré\fg{} au suivant par une rotation dont le centre est le centre de symétrie de la rosace et d'angle $60\degres$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Clément souhaite modifier le programme pour que la rosace soit composée de $10$ motifs comme ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_03_rosace.png}
			
		\end{center}
		
		Quelles modifications doit-il apporter au programme?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il faut modifier le nombre de répétition et l'angle de la rotation comme suit:
		
		\begin{center}
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\blockinit{Quand \greenflag est cliqué}
				\blocklook{montrer}
				\blockmove{aller à x: \ovalnum{-120} y: \ovalnum{0}}
				\blockmove{s'orienter à \ovalnum{90} degrés}
				\blockpen{effacer tout}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{10} fois}
				{
					\blockmoreblocks{Carré}
					\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{36} degrés}
				}
				\blocklook{cacher}
			\end{scratch} \hspace{1cm}
			\begin{scratch}[scale=0.8]
				\initmoreblocks{définir \namemoreblocks{Carré}}
				\blockrepeat{répéter \ovalnum{4} fois}
				{
					\blockpen{stylo en position d'écriture}
					\blockmove{avancer de \ovalnum{50}}
					\blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{90} degrés}
					\blockpen{relever le stylo}
				}
			\end{scratch}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Iness souhaite obtenir la figure ci-dessous où chaque motif est espacé de $10$ pixels.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_05_carres.png}
			
		\end{center}
		
		Par quelle instruction doit-elle remplacer l’instruction \begin{scratch}[scale=0.7] \blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés} \end{scratch} pour obtenir cette nouvelle figure?
		
		%\raisebox{-0.2cm}{\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_07_instruction_scratch.png}}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il suffit de remplacer \begin{scratch}[scale=0.7] \blockmove{tourner de  \turnleft{} de \ovalnum{60} degrés} \end{scratch} par \begin{scratch}[scale=0.7] \blockmove{avancer de \ovalnum{60}} \end{scratch}.
		
		%\raisebox{-0.2cm}{\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_07_instruction_scratch.png}} par \raisebox{-0.2cm}{\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_06_instruction_scratch.png}}.
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Kelly et Mourad ont chacun un dé cubique équilibré. Les faces de leurs dés sont soit rouges, soit bleues. Le dé de Mourad a $5$ faces rouges et $1$ face bleue.
	
	Chacun lance son dé.
	\begin{enumerate}[\tiny$\blacksquare$]
		\item Si les deux faces supérieures sont de la même couleur, alors c’est Mourad qui gagne.
		
		\item Si les deux faces supérieures sont de couleurs différentes, alors c’est Kelly qui gagne.
		
	\end{enumerate}
	
	Kelly et Mourad se posent la question suivante:
	\emph{est-il possible de colorier les faces du dé de Kelly de sorte que les deux joueurs aient a même probabilité de gagner?}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Kelly propose de colorier $4$ faces de son dé en rouge et $2$ en bleu.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que la probabilité que Mourad gagne est égale à $\displaystyle \frac{11}{18}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $A$ l'événement \og Mourad gagne \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			Schématisons l'expérience par un arbre probabiliste pondéré dans lequel le premier niveau correspond au dé de Kelly et le second celui de Mourad.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Création des nœuds
				\foreach \A/\ord/\n in {A1/3/R, A2/1/B, A3/-1/R, A4/-3/B} \node (\A) at (8,\ord){$\n$};
				\foreach \B/\ord/\n in {B1/2/R, B2/-2/B} \node (\B) at (4,\ord) {$\n$};
				\foreach \C/\ord/\n in {C0/5/Gagnant:, C1/3/Mourad, C2/1/Kelly, C3/-1/Kelly, C4/-3/Mourad} \node (\C) at (12,\ord){\n};
				\foreach \D/\ord/\n in {D0/5/\text{Probabilité:}, D1/3/\frac{10}{36}, C2/1/\frac{4}{26}, C3/-1/\frac{10}{36}, C4/-3/\frac{2}{36}} \node (\D) at (16,\ord){$\n$};
				%Branches entre les nœuds
				%\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4} \draw (\B) -- (\A);
				%\foreach \B in {B1, B2} \draw (0,0) -- (\B);
				\draw (B1) -- (A1) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{5}{6}$};
				\draw (B1) -- (A2) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{1}{6}$};
				\draw (B2) -- (A3) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{5}{6}$};
				\draw (B2) -- (A4) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{1}{6}$};
				\draw (0,0) -- (B1) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{4}{6}$};
				\draw (0,0) -- (B2) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{2}{6}$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			{\color{orange}Nous modélisons l'expérience en choisissant $\Omega = \left\{ RR,\ RB,\ BR,\ BB \right\}$ et la loi de probabilité est celle indiquée sur le schéma et qui est obtenue en utilisant le principe multiplicatif.}
			
			\medskip
			$A= \left\{ RR,\ BB \right\}$ donc:
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}(RR) + \mathbb{P}(BB) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			\mathbb{P}(A) &= \frac{4}{6} \times \frac{5}{6} + \frac{2}{6} \times \frac{1}{6}\\
			&= \frac{20}{36} + \frac{2}{36}\\
			&= \frac{22}{36}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \mathbb{P}(A)=\frac{11}{18}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le coloriage proposé permet-il de répondre affirmativement à la question que Kelly et Mourad se posent? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $B$ l'événement \og Kelly gange \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			Clairement $A$ et $B$ sont des événements contraires donc:
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(B) &= 1- \mathbb{P}(A)\\
			&= 1 -\frac{11}{18}\\
			&= \frac{7}{18}
			\end{align*}
			
			Donc $\mathbb{P}(B) \ne \mathbb{P}(A)$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Le coloriage proposé n'est pas une solution du problème.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On appelle $x$ le nombre de faces coloriées en rouge sur le dé de Kelly.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la probabilité que Mourad gagne est égale à $\displaystyle \frac{2x+3}{18}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $C_x$ l'événement \og Mourad gagne \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(C_x)$.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Création des nœuds
				\foreach \A/\ord/\n in {A1/3/R, A2/1/B, A3/-1/R, A4/-3/B} \node (\A) at (8,\ord){$\n$};
				\foreach \B/\ord/\n in {B1/2/R, B2/-2/B} \node (\B) at (4,\ord) {$\n$};
				\foreach \C/\ord/\n in {C0/5/Gagnant:, C1/3/Mourad, C2/1/Kelly, C3/-1/Kelly, C4/-3/Mourad} \node (\C) at (12,\ord){\n};
				\foreach \D/\ord/\n in {D0/5/\text{Probabilité:}, D1/3/\frac{5x}{36}, C2/1/\frac{x}{26}, C3/-1/\frac{5(6-x)}{36}, C4/-3/\frac{6-x}{36}} \node (\D) at (16,\ord){$\n$};
				%Branches entre les nœuds
				%\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4} \draw (\B) -- (\A);
				%\foreach \B in {B1, B2} \draw (0,0) -- (\B);
				\draw (B1) -- (A1) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{5}{6}$};
				\draw (B1) -- (A2) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{1}{6}$};
				\draw (B2) -- (A3) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{5}{6}$};
				\draw (B2) -- (A4) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{1}{6}$};
				\draw (0,0) -- (B1) node[midway, above, sloped] {\footnotesize$ \frac{x}{6}$};
				\draw (0,0) -- (B2) node[midway, below, sloped] {\footnotesize$ \frac{6-x}{6}$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			$C_x= \left\{ RR,\ BB \right\}$ donc:
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(C_x) &= \mathbb{P}(RR) + \mathbb{P}(BB) \\
			\intertext{D'après le principe multiplicatif:}
			\mathbb{P}(C_x) &= \frac{x}{6} \times \frac{5}{6} + \frac{6-x}{6} \times \frac{1}{6}\\
			&= \frac{5x}{36} + \frac{6-x}{36}\\
			&= \frac{5x+6-x}{36}\\
			&= \frac{4x+6}{36}\\
			&= \frac{{\color{orange}2 \times} 2x + {\color{orange}2 \times} 3}{36}\\
			&= \frac{{\color{orange}2 \times}(2x+3)}{{\color{orange}2 \times} 18}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \mathbb{P}(C_x)=\frac{2x+3}{18}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la valeur de $x$ pour répondre à la question que Kelly et Mourad se posent.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Résolvons l'équation $\frac{2x+3}{18}=\frac{1}{2}$.}
			
			{\color{orange}Nous reconnaissons une équation linéaire du premier degré, la résolution algébrique consiste à isoler l'inconnue.}
			
			\begin{align*}
			\frac{2x+3}{18} &=\frac{1}{2}\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			{\color{orange} 18 \times } \frac{2x+3}{18} &={\color{orange} 18 \times } \frac{1}{2}\\
			2x+3 &= 9\\
			2x+3 {\color{WildStrawberry}-3} &= 9 {\color{WildStrawberry}-3}\\
			2x &= 6\\
			\frac{2x}{\color{orange}2} &= \frac{6}{\color{orange}2}\\
			x &= 3
			\end{align*}
			
			{\color{orange}La solution trouvée est bien un entier entre $1$ et $6$ nous pouvons donc conclure.}
			
			\begin{conclusion}
				
				La seule valeur possible pour laquelle les deux joueurs ont la même chance de gagner est $x=3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Voici un extrait de la note de service n\degres 2018-052 du 25-4-2018 \og La résolution de problèmes
	à l'école élémentaire \fg{}.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{11cm}|}
			\hline
			\emph{\og Modéliser \fg{} et \og calculer \fg{} sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l'école élémentaire} qui doivent guider l'action de l'enseignant pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés. En effet, lors de la résolution de problèmes, les principales difficultés rencontrées peuvent relever de:
			
			\begin{itemize}
				
				\item difficultés à \og modéliser \fg{}: l'élève n'arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l'énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s'appuie pas sur les opérations attendues;
				
				\item difficultés à \og calculer \fg{}: les calculs effectués, mentalement ou en les posant, sont erronés, la ou les erreurs pouvant être dues à une méconnaissance de faits numériques ou à une maîtrise imparfaite des algorithmes de calcul utilisés.
				
			\end{itemize}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Un enseignant propose à ses élèves de CE1 le problème suivant issu d’une évaluation nationale de 2012 (DEPP): \og \emph{L’album de Rémi et Chloé peut contenir $100$ photos. Rémi veut ranger $24$ photos et Chloé $16$. Combien de places restera-t-il pour de nouvelles photos?} \fg{}.
	
	\medskip
	Voici les réponses proposées par $5$ élèves:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Élève A.
			&
			Élève B.
			\\
			&
			\\
			\opmanyadd{100}{24}{16} 
			
			C'est $140$.
			&
			
			
			\begin{tabular}{m{1.5cm}m{1.5cm}}
				\begin{minipage}{1.5cm}
					\oplput(1,2){1}\oplput(2,2){0}\oplput(3,2){0}
					\oplput(0,1.5){$-$}
					\oplput(2,1){2}\oplput(3,1){4}
					\ophline(0,0.8){4}
					\oplput(2,0){8}\oplput(3,0){4}
				\end{minipage} 
				&
				\begin{minipage}{1.5cm}
					\oplput(1,2){8}\oplput(2,2){4}
					\oplput(0,1.5){$-$}
					\oplput(1,1){1}\oplput(2,1){6}
					\ophline(0,0.8){3}
					\oplput(1,0){7}\oplput(2,0){2}
				\end{minipage}
			\end{tabular}
			
			Il reste $72$ places.
			\\
			&
			\\
			\hline
			Élève C.
			&
			Élève D
			\\
			&
			\\
			$24+16=40$
			
			$100-40=60$
			
			$60$ places.
			&
			$100-24=76-16=60$
			
			Il y a encore $60$ places.
			\\
			&
			\\
			\hline
			\multicolumn{1}{c|}{}
			&
			Élève E.
			\\
			\multicolumn{1}{c|}{}
			&
			$24-16=8$
			
			Réponse $=8$.
			\\
			\multicolumn{1}{c|}{}
			&
			\\
			\cline{2-2} 
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’appuyant sur l’extrait de la note de service proposé ci-dessus, analyser les cinq propositions d’élèves en termes de réussites et d’échecs pour chacune des compétences \og modéliser \fg{} et \og calculer \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux activités de remédiation que l’on pourrait envisager pour aider l’élève A à réussir ce type de problème, une avec  matériel et une sans matériel.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une activité de remédiation que l’on pourrait envisager pour aider l’élève B à comprendre son erreur.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère maintenant le problème suivant: \og \emph{L’album de Rémi peut contenir $100$ photos. Rémi veut ranger $24$ photos. Combien de places restera-t-il pour de nouvelles photos?} \fg{}. En proposant ce second problème à la place du problème initial quelles erreurs risqueraient de ne pas être détectées? En citer deux.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant d’une classe de CM2 propose l’exercice suivant à ses élèves:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			L’aire d’un rectangle est de $16\ \mathrm{cm}^2$.
			
			Trouve une longueur et une largeur possibles pour ce rectangle.
			
			Quel est alors son périmètre?
			
			Cherche le plus de solutions possibles.
			\\
			\hline
		\end{tabular}	
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer au moins deux notions qu’un élève doit avoir travaillées pour pouvoir résoudre le problème ci-dessus.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer quatre couples de réponses (longueur et largeur du rectangle, avec une longueur supérieure ou égale à la largeur) attendus d’un élève de CM2 aux deux premières questions.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer au moins deux difficultés qu’un élève peut rencontrer pour déterminer des couples de solutions.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève propose comme couple de solutions les longueurs $4\ \mathrm{cm}$ et $4\ \mathrm{cm}$. Un de ses camarades lui dit \og Ta solution est fausse, car la figure est un carré. \fg{}
		
		Proposer des éléments que l’enseignant peut apporter à ces deux élèves pour les aider à trancher.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un autre élève, qui a effectué la division ci-dessous, propose comme couple de solutions les longueurs $5,33\ \mathrm{cm}$ et $3\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_08_potence.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Faire une hypothèse sur le raisonnement que l’élève a conduit pour proposer ce résultat.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que révèle cette procédure sur les acquis de l’élève?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comment montrer à cet élève que cette réponse ne convient pas?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle exploitation l’enseignant pourrait-il faire en classe de cette proposition?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant propose à ses élèves de CM2 l’exercice suivant.
	
	\medskip
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		Dans le livre de recettes de cuisine de Corentin, on donne la recette pour faire $15$ crêpes ou $25$ crêpes:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{4cm}|}
				\hline
				\textbf{Pour $15$ crêpes.}
				\\
				$300\ \mathrm{g}$ de farine
				
				$3$ œufs
				
				$75\ \mathrm{cL}$ de lait
				
				$3$ cuillères à soupes d'huile
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			\qquad	
			\begin{tabular}{|m{4cm}|}
				\hline
				\textbf{Pour $25$ crêpes.}
				\\
				$500\ \mathrm{g}$ de farine
				
				$5$ œufs
				
				$125\ \mathrm{cL}$ de lait
				
				$5$ cuillères à soupes d'huile
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Mais Corentin veut faire $10$ crêpes seulement.
		
		\textbf{Donne la quantité d'ingrédients nécessaires pour faire $10$ crêpes.}
		\\
		\\
		Madame Lucas veut préparer $60$ crêpes pour la fête d'anniversaire de sa fille. Elle a emprunté le livre de recettes de Corentin.
		
		\textbf{Quels sont les quantités d'ingrédients nécessaires pour faire $60$ crêpes?}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la principale notion du programme travaillée dans cet exercice?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser le choix des nombres de crêpes dans cet exercice.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliciter trois procédures correctes attendues des élèves pour calculer la masse de farine pour $10$ crêpes.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour cette question, la production d’un élève est proposée ci-dessous:
		
		\hspace*{-1.25cm}
		\includegraphics[scale=0.43]{crpe_2020_maths_externe_sujet_2_09_eleve.png}
		
		\medskip
		Relever la ou les erreurs rencontrées et proposer une aide possible pour chacune d’entre elles.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci à M. Vanche et Mme Guyard pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Des enseignants souhaitent créer un potager pédagogique dans la cour de leur école, en voici un plan ci-après (qui n’est pas à l’échelle).
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_01_terrain}
		
	\end{center}
	
	Le potager $AEFG$ doit respecter les contraintes suivantes:
	\begin{itemize}
		\item être de forme rectangulaire,
		
		\item avoir une aire de $90\ \mathrm{m}^2$,
		
		\item être le long des murs d’enceinte $[DA]$ et $[AB]$,
		
		\item être bordé par un grillage le long des deux autres côtés,
		
		\item disposer d’une porte de $1\ \mathrm{m}$ de large.
	\end{itemize}
	
	\medskip
	On souhaite de plus que le coté $[AG]$ mesure entre $5\ \mathrm{m}$ et $20\ \mathrm{m}$.
	
	\medskip
	L’ouverture pour la porte correspond au segment $[GP]$.
	
	\medskip
	Le potager est donc le rectangle $AEFG$ où $E$ est un point du segment $[AB]$ et $G$ est un point du 	segment $[AD]$ avec $5\ \mathrm{m} \leqslant AG \leqslant 20\ \mathrm{m}$.
	
	\medskip
	Pour des raisons de coût, les enseignants cherchent à déterminer les dimensions du potager afin que la longueur totale du grillage soit la plus petite possible.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: le grillage et le potager.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que si $AG$ est égale à $5\ \mathrm{m}$, alors la longueur de grillage est de $22\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Supposons que $AG=5\ \mathrm{m}$ et démontrons qu'alors la longueur, $\ell(AG)$, du grillage est $22\ \mathrm{m}$.}
			
			Nous remarquons que $\ell(AG) = PF +EF$.
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item Déterminons $AE$.
				
				L'aire $AEFG$ est de $90\ \mathrm{m}^2$ donc:
				
				\begin{align*}
					\mathscr{A}(AEFG) &= 90\ \mathrm{m}^2\\
					\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
					AG \times AE &= 90\ \mathrm{m}^2\\
					\left( 5 \ \mathrm{m} \right) \times AE &= 90\ \mathrm{m}^2\\
					\frac{\left( 5 \ \mathrm{m} \right) \times AE}{\color{orange}5 \ \mathrm{m}} &= \frac{90\ \mathrm{m}^2}{\color{orange}5 \ \mathrm{m}}\\
					AE &= 18\ \mathrm{m}
				\end{align*}
				
				\item Déterminons $PF$.
				
				\begin{align*}
					PF &= AE-\left( 1\ \mathrm{m} \right)\\
					&= \left( 18\ \mathrm{m} \right) - \left( 1\ \mathrm{m} \right)\\
					&= 17\ \mathrm{m}
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Comme par hypothèse $AG=EF=5\ \mathrm{m}$ nous en déduisons:
			
			\begin{align*}
				\ell(AG) &= PF+EF\\
				&= \left( 17\ \mathrm{m} \right) + \left( 5\ \mathrm{m} \right)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $AG=5\ \mathrm{m}$ alors $\ell(AG)=22\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On suppose maintenant que $AG$ est égale à $7,5\ \mathrm{m}$. Calculer la longueur du grillage nécessaire.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En procédant comme à la question précédente:
			
			\begin{align*}
				\ell(AG) &= PF+EF\\
				&=  \frac{90}{7,5} -1 + 7,5\ \mathrm{m}\ 
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $AG=7,5\ \mathrm{m}$ alors $\ell(AG)=18,5\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans la suite, on note $x$ la longueur de $[AG]$, exprimée en mètre, et on appelle $L$ la fonction
		qui à tout nombre positif compris entre $5$ et $20$, associe $L(x)$ la longueur du grillage, exprimée en mètre, nécessaire pour clôturer le potager.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Prouver que $\displaystyle L(x)= x + \frac{90}{x} -1$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si $AG=x$ alors, en reprenant le raisonnement de la question 1.(a) nous obtenons bien:
			
			\begin{conclusion}
				
				$L(x)=x+\frac{90}{x}-1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour chacune des expressions suivantes indiquer si elle est une autre expression de $L(x)$. Justifier vos réponses.
			
			\begin{enumerate}
				\item $\displaystyle x+\frac{89}{x}$.
				
				\item $\displaystyle x+\frac{90-x}{x}$.
				
				\item $\displaystyle \frac{x^2-x+90}{x}$.
				
				\item $\displaystyle \frac{x^2+89}{x}$.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}
				\item Pour $x=2$: $2+\frac{89}{2}= 47,5$ et $L(2)=2+\frac{90}{2}-1=46$.
				
				\item Soit $x \in [5;20]$.
				
				\begin{align*}
					L(x) &= x + \frac{90}{x} -1\\
					&= x + \frac{90}{x}-\frac{1 {\times \color{orange} x}}{\color{orange}x}\\
					&= x+\frac{90-x}{x}
				\end{align*}
				
				\item Soit $x \in [5;20]$.
				
				En reprenant le précédent calcul:
				
				\begin{align*}
					L(x) &= x+\frac{90-x}{x}\\
					&= \frac{x {\times \color{orange} x}}{\color{orange}x} + \frac{90-x}{x}\\
					&= \frac{x^2-x+90}{x}
				\end{align*}
				
				\item Pour $x=2$: $\frac{2^2+89}{2}= 47,5$ alors que $L(2)=46$.
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				Seules ii. et iii. sont d'autres expressions de $L(x)$.
				
			\end{conclusion} 
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne ci-dessous une représentation graphique de la fonction $L$ dans un repère orthogonal.
		
		\hspace*{-1.5cm}
		\begin{tikzpicture}[xscale={0.23},yscale={0.5}]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{55.4};
		\def\yZ{18.1};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=5cm,line width=0.04cm,gray!90!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {5, 10,...,55}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x*0.4 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {5,10,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=2.6:22.2] plot({\x/0.4},{(\x+90/\x-1)/2});
		\draw[blue] (40,12) node[fill=white] {$y=L(x)$};
		\end{tikzpicture}
		
		\medskip
		Déterminer graphiquement:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			la longueur de grillage lorsque $AG = 18\ \mathrm{m}$;
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale={0.23*0.75},yscale={0.5*0.75}]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{55.4};
				\def\yZ{18.1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=5cm,line width=0.04cm,gray!90!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,55}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x*0.4 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=2.6:22.2] plot({\x/0.4},{(\x+90/\x-1)/2});
				\draw[blue] (40,12) node[fill=white] {$y=L(x)$};
				\draw[red, very thick, dashed] ({18/0.4},0) -- ({18/0.4},{(18+90/18-1)/2}) -- (0,{(18+90/18-1)/2});
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$L(18)=22$ donc le grillage mesure $22\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			les valeurs possibles de $AG$ lorsque la longueur de grillage est de $20\ \mathrm{m}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale={0.23*0.75},yscale={0.5*0.75}]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{55.4};
				\def\yZ{18.1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=5cm,line width=0.04cm,gray!90!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,55}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x*0.4 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=2.6:22.2] plot({\x/0.4},{(\x+90/\x-1)/2});
				\draw[blue] (40,12) node[fill=white] {$y=L(x)$};
				\draw[red, very thick, dashed] ({6/0.4},0) -- ({6/0.4},{(6+90/6-1)/2});
				\draw[red, very thick, dashed] ({15/0.4},0) -- ({15/0.4},{(15+90/15-1)/2});
				\draw[red, very thick, dashed] (0,{20/2}) -- ({22/0.4},{20/2});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le grillage mesure $22\ \mathrm{m}$ si l'on choisit $AG=6\ \mathrm{m}$ ou $AG=15\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			la valeur de $AG$ pour que la longueur de grillage soit minimale.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale={0.23*0.75},yscale={0.5*0.75}]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{55.4};
				\def\yZ{18.1};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=5cm,line width=0.04cm,gray!90!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {5, 10,...,55}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x*0.4 }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {5,10,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=2.6:22.2] plot({\x/0.4},{(\x+90/\x-1)/2});
				\draw[blue] (40,12) node[fill=white] {$y=L(x)$};
				\draw[red, very thick, dashed] ({3*sqrt(10)/0.4},0) -- ({3*sqrt(10)/0.4},{(3*sqrt(10)+90/(3*sqrt(10))-1)/2});
				\draw[red, very thick, dashed] (0,{(3*sqrt(10)+90/(3*sqrt(10))-1)/2}) -- ({22/0.4},{(3*sqrt(10)+90/(3*sqrt(10))-1)/2});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le grillage semble minimal lorsque  $AG=9,48\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: le compost et le potager.}

\begin{sujet}
	
	Le projet prévoit par ailleurs la fabrication et l’utilisation de compost pour entretenir le potager.
	
	Le bac à compost sera posé à l’extérieur du potager.
	
	Ce bac est assimilé à un parallélépipède rectangle à base carrée de $1,6\ \mathrm{m}$ de côté et hauteur $1,2\ \mathrm{m}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Point A
		\def\xA{0};
		\def\yA{1};
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		%Translation A vers B
		\def\xAB{6};
		\def\yAB{-1};
		%Point B
		\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
		%Translation B vers C
		\def\xBC{3};
		\def\yBC{1.5};
		%Point C
		\coordinate (C) at ({\xA+\xAB+\xBC},{\yA+\yAB+\yBC});
		%Point D
		\coordinate (D) at ({\xA+\xBC},{\yA+\yBC});
		%Translation A vers E
		\def\yAE{4};
		%Point E
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\yAE});
		%Point F
		\coordinate (F) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAE+\yAB});
		%Point G
		\coordinate (G) at ({\xA+\xAB+\xBC},{\yA+\yAE+\yAB+\yBC});
		%Point H
		\coordinate (H) at ({\xA+\xBC},{\yA+\yAE+\yBC});
		%Traits pleins
		\draw (A) -- (B) node[midway,below,sloped] {$1,6\ \mathrm{m}$};
		\draw (B) -- (C) node[midway,below,sloped] {$1,6\ \mathrm{m}$};
		\draw (A) -- (E) node[midway,left] {$1,2\ \mathrm{m}$};
		\draw (B) -- (F);
		\draw (C) -- (G) -- (H) -- (E) -- (F) -- (G);
		%Traits en pontillés
		\draw[dashed] (C) -- (D) -- (A);
		\draw[dashed] (D) -- (H);
		%Coloriage
		\fill[color=gray , opacity=0.35] (A) -- (B) -- (F) -- (E) -- cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.35] (D) -- (C) -- (G) -- (H) -- cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (A) -- (D) -- (H) -- (E) -- cycle;
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel est le volume du bac exprimé en $\mathrm{m}^3$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ du bac.}
		
		Le bac ayant la forme d'un parallélépipède rectangle son volume s'obtient comme le produit des longueur, largeur et hauteur:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_1 &= \left( 1,2\ \mathrm{m} \right) \times \left( 1,6\ \mathrm{m} \right) \times \left( 1,6\ \mathrm{m} \right)\\
			&= 1,2 \times 1,6 \times 1,6 \ \mathrm{m} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_1 = 3,072\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le compost se transforme naturellement et son volume diminue de $20\ \%$ par mois.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En remplissant le bac en totalité, quel sera le volume de compost au bout d’un mois?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume, $\mathscr{V}_2$, de compost au bout de un mois.}
			
			En un mois le volume diminue de $20\ \%$ le coefficient multiplicateur correspondant est
			
			\begin{align*}
				CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
				&= 1+ \frac{-20}{100}\\
				&= 0,8
			\end{align*}
			
			Nous en déduisons le volume au bout d'un mois:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_2 &= CM \times \mathscr{V}_1\\
				&= 0,8 \times 3,072\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_2 = 2,4576\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		Les enseignants ont calculé l’évolution du volume de compost disponible à la fin de chaque mois d’un bac rempli. Voici ce qui a été trouvé:
		
		\hspace*{-1.4cm}{\footnotesize
			\begin{tabularx}{1.18\linewidth}{|m{0.1cm}|m{1.2cm}|*{11}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				& \cellcolor{gray!40} \hfill \texttt{A} \hfill~ & \cellcolor{gray!40} \texttt{B} & \cellcolor{gray!40} \texttt{C} & \cellcolor{gray!40} \texttt{D} & \cellcolor{gray!40} \texttt{E} & \cellcolor{gray!40} \texttt{F} & \cellcolor{gray!40} \texttt{G} & \cellcolor{gray!40} \texttt{H} & \cellcolor{gray!40} \texttt{I} & \cellcolor{gray!40} \texttt{J} & \cellcolor{gray!40} \texttt{K} & \cellcolor{gray!40} \texttt{L}
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $1$ & {\tiny Nombre de mois} & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$
				\\
				\hline
				\cellcolor{gray!40} $2$ & {\tiny Volume de compost en $\mathrm{m}^3$} & $3,072$ & $2,4576$ & $1,9661$ & $1,5729$ & $1,2583$ & $1,0066$ & $0,8053$ & $0,6442$ & $0,5154$ & $0,4123$ & $0,3299$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule faut-il saisir dans la cellule $\texttt{C}2$ pour remplir ensuite l’ensemble de la ligne $2$ en étirant la cellule $\texttt{C}2$ jusqu’à la cellule $\texttt{L}2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La formule à saisir en $\texttt{C}2$ est
			
			\begin{conclusion}
				
				$=0,8*\texttt{B}2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Plus longtemps dure la maturation du compost, meilleure sera sa qualité.
			
			Au bout de $5$ mois la classe décide d’utiliser le compost pour les $40\ \mathrm{m}^2$ de plants de salades du jardin. Y a-t-il suffisamment de compost pour en épandre sur une épaisseur de $3\ \mathrm{cm}$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_3$ correspondant à parallélépipède rectangle de surface au sol $40\ \mathrm{m}^2$ et de hauteur $3\ \mathrm{cm}$.}
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_3 &= \left( 3 \ \mathrm{cm} \right) \times \left( 40\ \mathrm{m} \right)\\
				&= 3 \times 40 \ {\color{orange}\mathrm{cm}} \cdot \mathrm{m}^2\\
				&= 120 {\color{orange}\times \frac{1}{100} \ \mathrm{m}} \cdot \mathrm{m}^3\\
				&= \frac{120}{100}\ \mathrm{m}^3\\
				&= 1,2\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			Or au bout de cinq mois le volume de compost n'est, d'après le tableur, que de $1,0066\ \mathrm{m}^3$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				il n'y a pas assez de compost pour en épandre comme souhaité.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: achat des graines à planter.}

\begin{sujet}
	
	En période 4, les élèves décident de planter des pieds de salade. Dans le commerce, plusieurs tarifs sont proposés:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{2.5cm}|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Tarif A & prix d’une barquette de $5$ plants: $1,20\ \text{\euro}$.
			\\
			\hline
			Tarif B & prix d’un plant: $0,25\ \text{\euro}$, et à partir de $50$ plants une réduction de $5\ \%$ est
			faite sur l’ensemble de la commande.
			\\
			\hline
			Tarif C & achat de carte de fidélité: $3\ \text{\euro}$, puis $0,20\ \text{\euro}$ le plant.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel tarif va être le plus avantageux pour l’achat de $40$ plants?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre de plants achetés avec $30\ \text{\euro}$ de $40$ plants.}
		
		\begin{enumerate}[\text{Tarif }A. ]
			\item $40$ plants remplissent $\frac{40}{5}=8$ barquettes. Le coût sera donc de $8 \times \left( 1,20\ \text{\euro} \right) = 8 \times 1,20\ \text{\euro}= 9,6\ \ \text{\euro}$.
			
			\item $40$ plants sont insuffisants pour bénéficier de la réduction. Leur coût sera donc de $40\ \times \left( 0,25\ \text{\euro} \right)= 40 \times 0,25 \ \text{\euro} = 10\ \text{\euro}$.
			
			\item Chaque plant coûtant $40\ \text{\euro}$ et tenant compte du coût de la carte de fidélité, le coût sera de: $\left( 3\ \text{\euro} \right) + 40\times \left( 0,20\ \text{\euro} \right) = \left( 3+40 \times 0,20 \right) \ \text{\euro} = 11\ \text{\euro}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour $40$ plants le tarif A est plus avantageux.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’école dispose d’un budget de $30\ \text{\euro}$. Quel tarif permet d’acheter le plus de pieds de salade?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre de plants achetés avec $30\ \text{\euro}$.}
		
		\begin{enumerate}[\text{Tarif }A. ]
			\item Avec $30\ \text{\euro}$ il est possible d'acheter $\frac{30\ \text{\euro}}{1,20\ \text{\euro}}= 25$ barquettes ce qui correspond à $25 \times 5= 125$ plants.
			
			\item Supposons qu'avec $30\ \text{\euro}$ le nombre de plants est strictement inférieur à $50$ alors le nombre de plants est précisément: $\frac{30\ \text{\euro}}{0,25\ \text{\euro}} = 120$. Ceci contredit notre hypothèse que le nombre de plants vendus est strictement inférieur à $50$.
			
			\medskip
			Supposons donc dorénavant que le nombre de plants obtenus avec $30\ \text{\euro}$ est supérieur à $50$.
			
			Une diminution de $5\ \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de 
			
			\begin{align*}
				CM_2 &= 1+\frac{t}{100} \\
				&= 1+ \frac{-5}{100}\\
				&= 0,95
			\end{align*}
			
			Donc chaque plant est payé $0,95 \times \left( 0,25\ \text{\euro} \right) = 0,2375\ \text{\euro}$.
			
			Par conséquent avec $30\ \text{\euro}$ le nombre de plants achetés est: $\frac{30\ \text{\euro}}{0,2375\ \text{\euro}} \approx 126, 3157$. Autrement dit $126$ plants.
			
			\item Notons $x$ le nombre de plants acheté.
			
			Nous avons
			
			\begin{align*}
				0,2x+3 &= 30\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				0,2x+3 {\color{orange}-3} &= 30 {\color{orange}-3}\\
				0,2x &= 27\\
				\frac{0,2x}{\color{orange}0,2} &= \frac{27}{\color{orange}0,2} \\
				x &= 135
			\end{align*}
			
			Avec $30\ \text{euro}$ il est possible d'acheter $135$ plants.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour $30\ \text{\euro}$ le tarif C permet d'acheter le plus de plants.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À partir de l’achat de combien de plants le tarif C devient-il plus intéressant que le tarif B?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Comparons les coûts pour les tarifs B et C pour $x$ plants vendus avec $0\leqslant x$.}
		
		{\color{orange}Raisonnons par disjonction des cas suivant que $x$ est plus petit ou plus grand que $50$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Supposons tout d'abord que $0\leqslant x < 50$.
			
			Pour le tarif B le coût exprimé en euro est: $\mathcal{C}_B(x)=0,25x$.
			
			Pour le tarif C le coût exprimé en euro est: $\mathcal{C}_C(x)=0,2x+3$.
			
			Dire que le coût avec le tarif B est inférieur au coût avec C équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				\mathcal{C}_B(x) &\leqslant \mathcal{C}_C(x)\\
				0,25x &\leqslant 0,2x+3\\
				0,25x {\color{orange}-0,2x} &\leqslant 0,2x+3 {\color{orange}-0,2x}\\
				0,05x &\leqslant 3\\
				\frac{0,05x}{\color{orange}0,05} &\leqslant \frac{3}{\color{orange}0,05} \quad \text{car } 0,05>0\\
				x &\leqslant 60
			\end{align*}
			
			Ce qui est toujours vrai puisque nous sommes dans le cas $x\leqslant 50$.
			
			\item Supposons maintenant que $50\leqslant  x$.
			
			Pour le tarif B le coût exprimé en euro est donc: $\mathcal{C}_B(x)= 0,2375x$.
			
			Pour le tarif C le coût exprimé en euro est encore: $\mathcal{C}_C(x)=0,2x+3$.
			
			Dire que le coût avec le tarif B est inférieur au coût avec C équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				\mathcal{C}_B(x) &\leqslant \mathcal{C}_C(x)\\
				0,2375x &\leqslant 0,2x+3\\
				0,2375x {\color{orange}-0,2x} &\leqslant 0,2x+3 {\color{orange}-0,2x}\\
				0,0375 x &\leqslant 3\\
				\frac{0,0375x}{\color{orange}0,0375} &\leqslant \frac{3}{\color{orange}0,0375} \quad \text{car } 0,0375>0\\
				x &\leqslant 80
			\end{align*}
			
			Ainsi le coût avec le tarif $B$ reste inférieur tant que l'on achète moins de $81$ plants de salade.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			À partir de $80$ plants de salade le tarif $C$ est plus avantageux.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Le programme ci-dessous a été écrit avec le logiciel Scratch.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_02_scratch.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que si l’utilisateur rentre le nombre $5$ alors le lutin va dire $165$ pendant $20$ secondes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Considérons le tableau d'état des variables.
		
		\begin{center}
			
			\medskip
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}
				& \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_16_variable_1.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_17_variable_2.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_18_variable_3.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_19_variable_4.png}
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_12_instruction_1.png} & $5$ &&&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_13_instruction_2.png} & $5$ & $5+6=11$ &&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_14_instruction_3.png} & $5$ & $11$ & $3 \times 5=15$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_15_instruction_4.png} & $5$ & $11$ & $15$ & $11 \times 15= 165$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'utilisateur entre $5$ le lutin dira $165$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que va dire le lutin pendant $20$ secondes si l’utilisateur rentre le nombre $2+\frac{7}{10}$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Considérons le tableau d'état des variables.
		
		\hspace*{-1cm}
		\medskip
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}
			& \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_16_variable_1.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_17_variable_2.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_18_variable_3.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_19_variable_4.png}
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_12_instruction_1.png} & $2+\frac{7}{10}=\frac{27}{10}$ &&&
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_13_instruction_2.png} & $\frac{27}{10}$ & $6+\frac{27}{10}=\frac{87}{10}$ &&
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_14_instruction_3.png} & $\frac{27}{10}$ & $\frac{87}{10}$ & $3 \times \frac{27}{10} = \frac{81}{10}$ &
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_15_instruction_4.png} & $\frac{27}{10}$ & $\frac{87}{10}$ & $\frac{81}{10}$ & $\frac{87}{10} \times \frac{81}{10}= \frac{7047}{100}$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'utilisateur entre $2+\frac{7}{10}$ le lutin dira $\frac{7047}{100}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quels nombres ont pu être rentrés dans \og réponse \fg{} si le lutin dit: \og $0$ \fg{}	pendant $20$ secondes?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la valeur $z$ entrée dans \og réponse \fg{}.}
		
		Si nous reprenons le tableau d'état des variables:
		
		\begin{center}
			
			\medskip
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{}
				& \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_16_variable_1.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_17_variable_2.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_18_variable_3.png} & \includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_19_variable_4.png}
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_12_instruction_1.png} & $z$ &&&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_13_instruction_2.png} & $z$ & $6+z$ &&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_14_instruction_3.png} & $z$ & $6+z$ & $3 z$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_15_instruction_4.png} & $z$ & $6+z$ & $3z$ & $(6+z) \times 3z$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			Ainsi le nombre retourné est $0$ si et seulement si:
			
			\begin{align*}
				(6+z)3z &= 0\\
				\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
				6+z=0 &\quad \text{ou} \quad 3z=0\\
				z=-6 &\quad \text{ou} \quad z=0
			\end{align*}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour que le nombre retourné soit $0$ il faut et il suffit que les nombres entrés soient $0$ ou $-6$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans cet exercice, tous les dés sont équilibrés.
	
	\medskip
	Arthur possède deux dés classiques (les faces sont numérotées de $1$ à $6$).
	
	\medskip
	Juliette possède deux dés très particuliers: un patron de chacun de ces deux dés est donné ci-dessous:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\draw (0,0) -- (4,0) -- (4,1) -- (0,1) -- cycle;
		\draw (1,-1) -- (2,-1) -- (2,2) -- (1,2) -- cycle;
		\draw (3,0) -- (3,1);
		\draw (0.5,0.5) node{$1$};
		\draw (1.5,0.5) node{$2$};
		\draw (2.5,0.5) node{$3$};
		\draw (3.5,0.5) node{$4$};
		\draw (1.5,1.5) node{$2$};
		\draw (1.5,-0.5) node{$3$};
		\end{tikzpicture} \qquad
		\begin{tikzpicture}
		\draw (0,0) -- (4,0) -- (4,1) -- (0,1) -- cycle;
		\draw (1,-1) -- (2,-1) -- (2,2) -- (1,2) -- cycle;
		\draw (3,0) -- (3,1);
		\draw (0.5,0.5) node{$1$};
		\draw (1.5,0.5) node{$4$};
		\draw (2.5,0.5) node{$6$};
		\draw (3.5,0.5) node{$8$};
		\draw (1.5,1.5) node{$3$};
		\draw (1.5,-0.5) node{$3$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Arthur et Juliette définissent une règle du jeu: chacun d’eux lance ses deux dés puis additionne les deux nombres qu’il a obtenus.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Lors de leur premier lancer, Juliette et Arthur ont tous deux obtenu une somme égale à $5$. Qui, de Juliette ou d’Arthur, avait le plus de chances d’obtenir $5$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Schématisons le lancer d'Arthur avec un tableau double entrée que nous remplirons des sommes des chiffres affichés par les deux dés.}
		
		Pour Arthur:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$2$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$5$ & \cellcolor{red!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		\medskip		
		Pour Juliette:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$6$ & \cellcolor{red!60}$8$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & $2$ & $4$ & $4$ & $5$ & $7$ & $9$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & $3$ & $5$ & $5$ & $6$ & $8$ & $10$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & $3$ & $5$ & $5$ & $6$ & $8$ & $10$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $4$ & $6$ & $6$ & $7$ & $9$ & $11$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $4$ & $6$ & $6$ & $7$ & $9$ & $11$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $5$ & $7$ & $7$ & $8$ & $10$ & $12$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		$\Omega_A$ est l'ensemble des couples de chiffres obtenus (en distinguant toutes les faces par un coloriage par exemple) pour Arthur.
		
		De même pour $\Omega_J$.
		
		Les dés étant équilibrés il est raisonnable de faire l'hypothèse que chaque couple de faces représenté par une case du tableau à la même probabilité qu'un autre couple. Il y a équiprobabilité entre les couples. Et dans les deux cas, Arthur ou Juliette, l'univers comporte $36$ issues.
		
		\medskip
		Notons $A_5$ (resp. $J_5$) l'événement \og Arthur (resp. Juliette) obtient un $5$ \fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A_5)$ (resp. $\mathbb{P}(J_5)$).}
		
		I y a équiprobabilité entre les couples. $A_5$ (resp. $J_5$) est réalisé par $4$ (resp. $6$) issues. L'univers comporte $36$ issues. Nous en déduisons: \[ \mathbb{P}(A_5)= \frac{4}{36} \quad \text{et} \quad \mathbb{P}(J_5)= \frac{6}{36}. \]
		
		Donc: $\mathbb{P}(A_5) < \mathbb{P}(J_5)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La probabilité est plus grande que Juliette obtienne $5$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Arthur prétend que, s’il lance ses dés classiques, la somme ayant la plus grande probabilité d’être obtenue est $7$. Est-ce exact? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Comparons les probabilités des différentes sommes possibles.}
		
		Notons $X_A$ la variable aléatoire qui à un lancer de dés de Arthur associe la somme des chiffres obtenus.
		
		D'après le tableau de la question précédente: $X_A \in \{ 2, 3, \dots, 12 \}$. Et en raisonnant comme à la question précédente (équiprobabilité) nous obtenons aisément les probabilité suivantes:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.5cm}|*{11}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				\rowcolor{orange!20} Somme $x$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
				$\mathbb{P}(X=x)$ & $\frac{1}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{6}{36}$ & $\frac{5}{36}$ & $\frac{4}{36}$ & $\frac{3}{36}$ & $\frac{2}{36}$ & $\frac{1}{36}$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Arthur a raison: $7$ est la somme qui a la plus grande probabilité d'être obtenue.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Juliette dispose d’un tableau de synthèse résultant d’une simulation de $1000$ lancers de ses deux dés.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.94\linewidth}{|m{1.2cm}|*{11}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				\rowcolor{orange!20} Somme & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
				Effectif & $32$ & $51$ & $122$ & $174$ & $151$ & $151$ & $79$ & $81$ & $89$ & $48$ & $22$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En observant ce tableau, elle affirme que lorsqu’elle lance ses dés, la probabilité d’obtenir $6$ est égale à celle d’obtenir un $7$. Le tableau permet-il effectivement de l’affirmer?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Du fait des phénomène de fluctuation d'échantillonnage, si la probabilité d'obtenir $6$ semble assez proche de celle d'obtenir $7$,
			
			\begin{conclusion}
				
				le tableau ne permet pas d'affirmer que les probabilités d'obtenir $6$ égale celle d'obtenir $7$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{orange}Au vu des connaissances exigées pour le concours je pense que la réponse à cette question doit relever davantage de l'intuitif que du quantitatif.}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité d’obtenir un $6$ et celle d’obtenir un $7$ avec les dés de Juliette.
			
		\end{sujet}		
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Comparons la probabilité d'obtenir $6$ et celle d'obtenir $7$.}
			
			Notons $X_J$ la variable aléatoire qui à un lancer de dés de Juliette associe la somme des chiffres obtenus.
			
			En utilisant le tableau de la question 1. nous pouvons affirmer que l'événement $\{ X_J=6\}$ est réalisé par $6$ issues tandis que $\{ X_J=7 \}$ est réalisé par $5$ issues. Compte tenu de l'équiprobabilité et du fait que l'univers contient $36$ issues: 
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle \mathbb{P}(X_J=6)= \frac{6}{36} \qquad  et \qquad \mathbb{P}(X_J=7)=\frac{5}{36}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Sarah choisit un nombre entier. À la somme des carrés des deux entiers qui lui succèdent, elle retranche la somme des carrés des deux entiers qui le précèdent.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer qu’en appliquant ce calcul à $7$, on trouve $84$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le résultat obtenu, $r(7)$, en choisissant $7$.}
		
		Les deux successeurs de $7$ sont $7+1=8$ et $7+2=9$. Donc leurs carrés sont $8^2=64$ et $9^2=81$.
		
		Les deux prédécesseurs de $7$ sont $7-1=6$ et $7-2=5$. Donc leurs carrés sont $6^2=36$ et $5^2=25$.		
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			r(7) &= (81+64)-(36+25)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$r(7)=84$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le résultat obtenu si l’on choisit le nombre $5$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le résultat obtenu, $r(5)$, en choisissant $5$.}
		
		Les deux successeurs de $5$ sont $5+1=6$ et $5+2=7$. Donc leurs carrés sont $6^2=36$ et $7^2=49$.
		
		Les deux prédécesseurs de $5$ sont $5-1=4$ et $5-2=3$. Donc leurs carrés sont $4^2=16$ et $3^2=9$.		
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			r(5) &= (49+36)-(16+9)
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$r(5)=60$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On reporte dans un tableau les résultats obtenus pour plusieurs calculs:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.94\linewidth}{|m{1.8cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				Nombre choisi & $-37$ & $0$ & $2$ & $7$ & $10$ & $30$
				\\
				\hline
				Résultat obtenu & $-444$ & $0$ & $24$ & $84$ & $120$ & $360$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		Conjecturer une méthode permettant de retrouver le nombre choisi connaissant le résultat.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il semble qu'il y ait proportionnalité entre la première et la seconde ligne.
		
		\begin{conclusion}
			
			Le nombre choisi peut être retrouvé en divisant par $12$ le résultat.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer la conjecture.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que, quelque soit l'entier $n$ choisi, le résultat est $12n$.}
		
		Soit $n \in \mathbb{N}$.
		
		Les deux successeurs de $n$ sont $n+1$ et $n+2$. Donc leurs carrés sont $(n+1)^2$ et $(n+2)^2$.
		
		Les deux prédécesseurs de $n$ sont $n-1$ et $n-2$. Donc leurs carrés sont $(n-2)^2$ et $(n-1)^2$.		
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			r(n) &= \left[ (n+2)^2+(n+1)^2 \right] - \left[ (n-1)^2+(n-2)^2 \right]\\
			&= \left[ n^2+2 \times n \times 2 + 2^2 +n^2+2 \times n \times 1 +1^2 \right] - \left[ n^2-2 \times n \times 2 + 2^2 +n^2-2 \times n \times 1 +1^2 \right]\\
			&=\left( n^2 +4n +4 + n^2+2n+1 \right) - \left( n^2-4n+4 +n^2-2n+1 \right)\\
			&= \left( 2n^2+6n+5 \right) - \left( 2n^2-6n+5 \right)\\
			&= 2n^2+6n+5-2n^2+6n-5\\
			&= 12n
		\end{align*}
		
		Nous avons démontré que
		
		\begin{conclusion}
			
			quelque soit l'entier naturel $n$ choisi le résultat est $12n$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_03_pavage.png}
		
	\end{center}
	
	Ce pavage est composé de $18$ pentagones tous superposables. Quatre d'entre eux ont été numérotés.
	
	\medskip
	Indiquer quelle transformation (translation, rotation, symétrie) permet de passer:
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		du pentagone $1$ au pentagone $2$;
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Une rotation de centre $A$ et d'angle $60\degres$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		du pentagone $2$ au pentagone $3$;
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Une symétrie centrale dont le centre est le milieu de $[BC]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		du pentagone $3$ au pentagone $4$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			La translation de vecteur $\overrightarrow{CD}$, ou encore la translation qui transforme $C$ en $D$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Préciser dans chaque cas les éléments qui définissent la transformation choisie. Aucune
	justification n'est attendue.
	
\end{sujet}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Une enseignante veut faire renforcer la capacité \og utiliser le nombre pour repérer une position \fg{} chez ses élèves de grande section. Elle leur propose l’activité ci-dessous.
	
	
	\hspace*{-1cm}
	\begin{tabular}{|m{13cm}|}
		\hline
		Un train modèle de $31$ wagons est décoré avec des images toutes différentes et facilement reconnaissables.
		
		L'élève dispose :
		\begin{itemize}
			
			\item d'un train personnel de même longueur, non décoré;
			
			\item d’images identiques à celles du train modèle.
			
		\end{itemize}
		
		L'élève doit décorer son train de la même façon que le train modèle.
		
		\medskip
		Phase 1:
		
		L’enseignant propose de faire l’activité en positionnant le train personnel juste en-dessous du train modèle. Quand l’élève a reproduit le train modèle, la correspondance terme à terme est
		introduite par le maître comme procédure de vérification.
		
		\includegraphics[scale=0.52]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_04_train_1.png}
		
		\medskip
		Phase 2:
		
		La consigne est identique mais le train modèle est placé à distance de l’élève, hors de son champ visuel. L’élève n’a pas le droit de déplacer son train pour le décorer. Cependant, l’élève pourra se déplacer autant de fois que nécessaire pour reproduire le modèle.
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelles vérifications permettent la phase 1 avant de proposer la phase 2 aux élèves?
		
		Formuler deux attendus pour la première phase.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Pour la phase 2, l’enseignant a imaginé les deux situations suivantes:
	
	\smallskip
	\hspace*{-0.35cm} \includegraphics[scale=0.52]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_05_train_2.png}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les deux trains ci-dessus permettent-ils de mobiliser de la même manière la capacité
		visée?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer les étapes que doit réaliser un élève pour réussir la tâche demandée dans la phase 2.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sacha sait compter jusqu’à 8. Décrire comment Sacha peut procéder pour placer avec succès chacune des trois images du train modèle 2.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comment Sacha peut-il savoir s’il a réussi?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Le problème suivant a été proposé en fin d’année à des élèves d’une classe de CE1:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			$18$ enfants sont réunis pour goûter. Chaque enfant reçoit $1$ gâteau et $4$ bonbons.
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				
				\item Combien de gâteaux a-t-on donnés?
				
				\item Combien de bonbons a-t-on donnés?
				
			\end{enumerate}
			
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyse des productions:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quels points communs et quelles différences peut-on mettre en évidence dans les procédures de Maëlys et de Malyan?
			
			\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Maëlys
				
				\includegraphics[scale=0.45 ]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_06_maelys.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Malyan
				
				\includegraphics[scale=0.4 ]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_07_malyan.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quels points communs et quelles différences peut-on mettre en évidence dans les procédures de Bérénice et de Mila?
			
			\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Bérénice
				
				\includegraphics[scale=0.4 ]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_09_mila.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Mila
				
				\includegraphics[scale=0.4 ]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_07_malyan.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’encadré ci-dessous donne la réponse de Martin au problème posé. L’enseignant propose alors à Martin un nouveau problème où le nombre d’enfants passe de $18$ à $32$. En quoi cette modification peut-elle influencer la production de Martin?
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Martin
				
				\includegraphics[scale=0.4 ]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_10_martin.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	\begin{sujet}
		
		En quoi la représentation de Maëlys peut-elle être une illustration des calculs effectués par Martin et Bérénice? Quelle propriété de la multiplication cette comparaison induit-elle?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici deux réponses d’élèves à la question \og Dans un nombre, à quoi sert la virgule?\fg{} posée par un enseignant dans une classe de CM1:
		
		\begin{itemize}
			
			\item Élève A: \og La virgule sert à montrer que c’est un nombre décimal. \fg{}
			
			\item Élève B: \og La virgule sert à séparer le nombre entier et la partie décimale. \fg{}
			
		\end{itemize}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour chacune des réponses proposées, expliquer pourquoi elle ne peut pas être retenue par l’enseignant pour la trace écrite à noter dans les cahiers d’élèves.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle réponse à la question posée, l’enseignant peut-il proposer à la classe?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici une production d’élève:
		
		\medskip
		\hspace*{-1.5cm}
		\includegraphics[scale=0.45]{crpe_2020_maths_externe_sujet_3_11_perimetre.png}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser la production de l’élève en relevant ses réussites et ses erreurs.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que peut-on proposer à l’élève pour l’aider à corriger ses éventuelles erreurs?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 4.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_4_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_4_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci à M. Meynier, JJ KK et M. Depoorter pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Monsieur Piti, professeur des écoles à Tahiti, organise un voyage scolaire au Chili avec ses élèves. Le vol Papeete - Santiago du Chili fait une escale sur l’Île de Pâques, où ils passeront quelques jours.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: géographie et histoire.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’Île de Pâques, qui compte environ $\np{6 400}$ habitants, est assimilée à un triangle $ABC$ rectangle et isocèle en $A$, tel que $AB = 18\ \mathrm{km}$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\draw (4,4) node {\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_01_ile_de_paques.png}};
			%\def\xY{-0.5};
			%\def\yY{-0.5};
			%\def\xZ{8.5};
			%\def\yZ{7};
			%\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			%\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			%\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			%\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			%\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			%\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			%\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};			
			\coordinate (C) at (0.4,1.6);
			\draw (C) node[below left]{$C$};
			\coordinate (A) at (2.4,6.2);
			\draw (A) node[above left]{$A$};
			\coordinate (B) at (7.6,4.2);
			\draw (B) node[above right]{$B$};
			\draw (A)--(C)--(B)--cycle;
			\fill[white] (4.6,1.2)--(4.6,2.2)--(7.6,2.2)--(7.6,1.2)--cycle;
			\draw (6.1,1.7)node{\begin{minipage}{3cm} \begin{center} \textbf{Carte de} \\ \textbf{l'Île de Pâques} \end{center} \end{minipage}};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le périmètre du triangle $ABC$, au kilomètre près; il s’agit d’une estimation de la longueur du tour de l’île.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le périmètre $p$ de $ABC$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Commençons par déterminer $CB$.
				
				$ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore
				
				\begin{align*}
				BC^2 &= AB^2+AC^2\\
				\intertext{Nous en déduisons successivement:}
				BC^2 &= 2AB^2,\quad \text{car $ABC$ est isocèle en $A$}\\
				&= 2 \left( 18\ \mathrm{km}\right)^2\\
				&= 2 \left( 18^2\ \mathrm{km}^2 \right)\\
				&= 2 \times 18^2 \ \mathrm{km}^2\\
				&= 648\ \mathrm{km}^2\\
				\intertext{Puisque $BC$ est une longueur donc positive nous en déduisons:}
				BC &= \sqrt{648\ \mathrm{km}^2}\\
				&= \sqrt{648}\ \mathrm{km}\\
				&= 18\sqrt{2}\ \mathrm{km}
				\end{align*}
				
				\item Enfin, pour le périmètre
				
				\begin{align*}
				p &= AB+AC+BC\\
				&=\left( 18 \ \mathrm{km}\right) +\left( 18\ \mathrm{km} \right) + \left(18\sqrt{2}\ \mathrm{km}\right)\\
				&= 36+18\sqrt{2}\ \mathrm{km}\\
				&\approx 61,4558 \ \mathrm{km}
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$p\approx 61\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}		
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer l’aire du triangle $ABC$, en kilomètre carré; il s’agit d’une estimation de la superficie de l’île.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ABC)$ du triangle $ABC$.}
			
			Puisque $ABC$ est rectangle en $A$:
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABC) &= \frac{1}{2} \times AB \times AC\\
			\intertext{Puisque $ABC$ est isocèle en $A$:}
			\mathscr{A}(ABC) &= \frac{1}{2} \times AB^2\\
			&= \frac{1}{2} \left( 18\ \mathrm{km} \right)^2\\
			&= \frac{1}{2} \times 18^2 \ \mathrm{km}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(ABC)= 162\ \mathrm{km}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire une estimation de la densité de population de l’Île de Pâques.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la densité de population $d$.}
			
			\begin{align*}
			d &= \frac{\np{6400}\ \mathrm{hab}}{162\ \mathrm{km^2}}\\
			&= \frac{\np{6400}}{162}\ \mathrm{hab} \cdot \mathrm{km}^{-2}\\
			&\approx 39,5061\ \mathrm{hab}\cdot \mathrm{km}^{-2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'île compte 40 habitants au $\mathrm{km}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’Île de Pâques est parsemée de \og moais \fg{}, statues monumentales datant de 1250 à 1500, que l’on ne trouve que sur cette île.
		
		Sur la figure ci-dessous, est représenté le moai de l’Ahu Ko Te Riku dont on cherche à estimer la hauteur.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_03_moai_bis.png}
			
			\emph{Cette figure n'est pas à l'échelle.}
			
		\end{center}
		
		À un moment ensoleillé de la journée, monsieur Piti se place en $H$, perpendiculairement au sol, de telle sorte que son ombre $[HS]$ coïncide avec l’ombre $[MS]$ du moai, comme sur la figure ci-dessus.
		
		Ainsi, les points $S$, $R$ et $O$ d’une part et les points $S$, $H$ et $M$, d’autre part, sont alignés. Les angles $\widehat{OMS}$ et $\widehat{RHS}$ sont droits.
		
		Monsieur Piti mesure $1,80\ \mathrm{m}$. Les élèves relèvent les mesures suivantes: $SH = 1,6\ \mathrm{m}$ et $HM = 2,9\ \mathrm{m}$.
		
		Calculer la hauteur de ce moai arrondie au décimètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $OM$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Les points $S$, $R$ et $O$ d’une part et les points $S$, $H$ et $M$, d’autre part, sont alignés dans cet ordre donc nous avons une configuration de Thalès.
			
			\item Les angles $\widehat{OMS}$ et $\widehat{RHS}$ sont droits donc $(OM) \parallel (RH)$
			
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès:
		
		\begin{align*}
		\frac{SH}{SM} &= \frac{RH}{OM}\\
		\intertext{En procédant à un produit en croix nous en déduisons:}
		SH \times OM &= RH \times SM\\
		\intertext{Et donc successivement:}
		\frac{SH \times OM}{\color{orange}SH} &= \frac{RH \times SM}{\color{orange}SH}\\
		OM &= \frac{RH \times (SH +HM)}{SH}\\
		&= \frac{\left( 1,8 \ \mathrm{m} \right) \times \left[ \left( 1,6\ \mathrm{m} \right) + \left( 2,9\ \mathrm{m} \right) \right]}{1,6\ \mathrm{m}}\\
		&= \frac{\left( 1,8 \ \mathrm{m} \right) \times \left( 4,5\ \mathrm{m} \right) }{1,6\ \mathrm{m}}\\
		&= \frac{1,8 \times 4,5}{1,6} \ \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{m}}\\
		&= 5,0625\ \mathrm{m}
		\end{align*}	
		
		\begin{conclusion}
			
			$OM\approx 5,1\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur l’Île de Pâques, on a répertorié les moais situés à l’intérieur et à l’extérieur de la carrière de Rano Raraku où ils étaient fabriqués. Monsieur Piti a recopié les données de l’UNESCO sur la feuille de calcul d’un tableur.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_04_tableur.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule monsieur Piti a-t-il pu saisir dans la cellule $\texttt{D}2$, pour pouvoir obtenir par étirement vers le bas les valeurs des autres cases de la colonne \texttt{D}?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Formule entrée en $\texttt{D}2$: $\texttt{B}2+\texttt{C}2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel pourcentage les moais non terminés représentent-ils par rapport à l’ensemble de ces moais répertoriés?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la proportion, $p_1$, de moais non terminés.}
			
			Il y a $61+38= 99$ moais inachevés.
			
			Il y a $168+107= 275$ moais au total.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
			p_1 &= \frac{99}{275}\\
			&=0,36
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$36\ \%$ des moais sont inachevés.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel pourcentage les moais couchés (entiers ou cassés) représentent-ils par rapport à l’ensemble des moais répertoriés à l’intérieur de la carrière?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la proportion, $p_2$, de moais couchés dans la carrière.}
			
			Il y a $44+4= 48$ moais couchés dans la carrière.
			
			Il y a $107$ moais au total dans la carrière.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
			p_2 &= \frac{48}{107}\\
			&\approx 0,44,86
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$44,86\ \%$ des moais de la carrière sont couchés.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Monsieur Piti décide de faire photographier par ses $24$ élèves les $84$ moais debout ou entiers couchés situés à l’extérieur de la carrière. Pour ce faire, il répartit les élèves en groupes. Chaque groupe comporte le même nombre d’élèves et doit photographier le même nombre de moais, chaque moai ne devant être photographié que par un groupe. Quelles sont toutes les possibilités de formation des groupes, et, dans chaque cas, combien de moais chaque groupe devra-t-il photographier?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Analyse: supposons qu'il soit possible de faire la répartition proposée par l'énoncé.}
				
				Notons $n$ le nombre de groupe, $m$ le nombre d'élèves dans un groupe et $p$ le nombre de moais que photographiera chaque groupe.
				
				Nous avons donc \[ \left\{ \begin{array}{l} nm=24 \\ np=84 \end{array} \right. \]
				
				Ainsi $n$ est un diviseur commune de 2$24$ et $84$. Or nous avons les décompositions en facteurs premiers suivantes: $24=2^3 \times 3$ et $84=2^2\times 3 \times 7$ donc $n$ est un diviseur de $2^2 \times 3$.
				
				Recherchons tous les diviseurs de $2^2 \times 3$ sous forme d'un arbre.
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
					\coordinate (A1) at (8,5);
					\coordinate (A2) at (8,3);
					\coordinate (A3) at (8,1);
					\coordinate (A4) at (8,-1);
					\coordinate (A5) at (8,-3);
					\coordinate (A6) at (8,-5);
					\coordinate (B1) at (4,4);
					\coordinate (B2) at (4,0);
					\coordinate (B3) at (4,-4);
					\coordinate (C1) at (0,0);
					\draw node (A11) at (A1) {$3^0$};
					\draw node (A12) at (A2) {$3^1$};
					\draw node (A13) at (A3) {$3^0$};
					\draw node (A14) at (A4) {$3^1$};
					\draw node (A15) at (A5) {$3^0$};
					\draw node (A16) at (A6) {$3^1$};
					\draw node (B11) at (B1) {$2^0$};
					\draw node (B12) at (B2) {$2^1$};
					\draw node (B13) at (B3) {$2^2$};
					\draw (B11)--(A11);
					\draw (B11)--(A12);
					\draw (B12)--(A13);
					\draw (B12)--(A14);
					\draw (B13)--(A15);
					\draw (B13)--(A16);
					\draw (C1)--(B11);
					\draw (C1)--(B12);
					\draw (C1)--(B13);
					\coordinate (D1) at (12,5);
					\coordinate (D2) at (12,3);
					\coordinate (D3) at (12,1);
					\coordinate (D4) at (12,-1);
					\coordinate (D5) at (12,-3);
					\coordinate (D6) at (12,-5);
					\draw node (D11) at (D1) {$1$};
					\draw node (D12) at (D2) {$3$};
					\draw node (D13) at (D3) {$2$};
					\draw node (D14) at (D4) {$6$};
					\draw node (D15) at (D5) {$4$};
					\draw node (D16) at (D6) {$12$};
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				Puisque $m=\frac{24}{n}$ et $p=\frac{84}{2}$:
				
				\begin{conclusion}
					
					\begin{tabular}{|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
						\hline
						Nombre de groupes $n$ & Nombre d'élèves $m$ & Nombre de moais $p$
						\\
						\hline
						$1$ & $24$ & $84$ 
						\\
						\hline
						$3$ & $8$ & $28$ 
						\\
						\hline
						$2$ & $12$ & $42$ 
						\\
						\hline
						$6$ & $4$ & $14$ 
						\\
						\hline
						$4$ & $6$ & $21$ 
						\\
						\hline
						$12$ & $2$ & $7$ 
						\\
						\hline
					\end{tabular}
				\end{conclusion}
				
				\item {\color{orange}synthèse.} Il est aisé de vérifier que les répartitions indiquées dans le tableau ci-dessus sont réellement possibles.
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne les coordonnées géographiques, arrondies au degré:
		
		\begin{itemize}
			\item de Tahiti: $(17\degres\ S ; 149\degres\ O)$ soit en écriture anglo-saxonne $(S\ 17\degres, W\ 149\degres)$;
			
			\item de l’Île de Pâques: $(27\degres\ S ; 109\degres\ O)$.
			
		\end{itemize}
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.20]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_05_globe.png}
			
		\end{center}
		
		L’Île de Pâques est aussi dénommée, en langue polynésienne, Rapa Nui.
		
		Les premiers habitants de l’Île de Pâques étaient originaires de l’Île de Rapa Iti située dans l’archipel des Australes (Polynésie Française).
		
		Les coordonnées géographiques de l’Île de
		Rapa Iti sont $(27\degres\ S ; 144\degres\ O)$.
		
		On souhaite estimer la distance du voyage effectué sur l’Océan Pacifique par ces premiers navigateurs polynésiens.
		
		Estimer la distance entre l’Île de Rapa Iti et l’Île de Rapa Nui en suivant le $27^{\mathrm{e}}$ parallèle sud, sachant que le rayon du $27^{\mathrm{e}}$ parallèle sud est environ $\np{5676}\ \mathrm{km}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la distance $d$ séparant Rapa Iti de Rapa Nui.}
		
		La situation peut être schématisée en dessinant un cercle pour le parallèle.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-10:{144-109+10}] plot({4*cos(\x)},{4*sin(\x)}) ;
			\draw({5.5*cos(18)},{5.5*sin(18)}) node{\color{blue}$27^{\mathrm{e}}$ parallèle};
			\draw[green] ({4*cos(0)},{4*sin(0)}) -- (0,0) node[midway, below]{$\np{5676}\ \mathrm{km}$};
			\draw (0,0) -- ({4*cos(144-109)},{4*sin(144-109)});
			\draw ({5.5*cos(0)},{5.5*sin(0)})node{Rapa Iti};
			\draw ({4*cos(0)},{4*sin(0)})node{$\bullet$};
			\draw  ({5.5*cos(144-109)},{5.5*sin(144-109)}) node{Rapa Nui};
			\draw  ({4*cos(144-109)},{4*sin(144-109)}) node{$\bullet$};
			\draw[red][samples=100,domain=0:{144-109}] plot({1*cos(\x)},{1*sin(\x)}) ;
			\draw[red] ({2.5*cos(10)},{2.5*sin(10)}) node {$144\degres - 109\degres = 35\degres$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Ainsi la distance entre les deux îles représente une proportion de $\frac{35}{360}$ de la longueur du $27^{\mathrm{e}}$ parallèle qui est un cercle.
		
		Par conséquent 
		
		\begin{align*}
		d &= \frac{35}{360} \times \left( 2 \pi 5676\ \mathrm{km} \right)\\
		&= \frac{35}{360} \times2 \pi 5676\ \mathrm{km}\\
		&\approx 3467,2711\ \mathrm{km}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$d\approx 3467\ \mathrm{km}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: le drapeau chilien.}

\begin{sujet}
	
	Voici le drapeau du Chili:
	
	\hspace*{-1cm}
	\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_06_drapeau.png}
	
	Avant de partir, monsieur Piti décide de faire fabriquer, à chacun des $24$ élèves, un drapeau en tissu. Il le schématise, comme ci-dessous, par six carrés identiques de $15\ \mathrm{cm}$ de côté. L’étoile blanche sera achetée pour être collée par-dessus le carré bleu. Chaque drapeau aura pour dimension $45\ \mathrm{cm} \times 30\ \mathrm{cm}$.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|c|}
			\hline
			bleu & blanc & blanc
			\\
			\hline
			rouge & rouge & rouge
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la longueur minimum de tissu de chaque couleur à acheter, sachant que le tissu est vendu en rouleau de $90\ \mathrm{cm}$ de large. On négligera les petites coutures.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Déterminons la longueur de tissu bleu nécessaire.}
			
			$90=6 \times 15$ donc sur une largeur de tissu il est possible de découper six carrés.
			
			Il faudra donc disposer $\frac{24}{6}=4$ carrés sur la longueur. Ceci représente une longueur de $4 \times 15\ \mathrm{cm}= 60\ \mathrm{cm}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faudra découper une longueur de $0,60\ \mathrm{m}$ de tissu bleu.
				
			\end{conclusion}
			
			\item {\color{orange}Remarquons que la question de découper en petits carrés ou en rectangles la partie rouge du drapeau ne se pose pas puisque les $90\ \mathrm{cm}$ sont aussi bien divisible par $15\ \mathrm{cm}$ que par $30\ \mathrm{cm}$.}
			
			Puisqu'il y a deux fois plus de carrés blancs que de carrés bleu
			
			\begin{conclusion}
				
				il faudra découper $1,20\ \mathrm{m}$ de tissu blanc.
				
			\end{conclusion}
			
			\item Puisqu'il y a trois fois plus de carrés rouges que de carrés bleu
			
			\begin{conclusion}
				
				il faudra découper $1,80\ \mathrm{m}$ de tissu rouge.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les tissus unicolores sont vendus $700\ \mathrm{F}$ (Franc Pacifique) le mètre et les étoiles, $250\ \mathrm{F}$ l’unité.
		
		Calculer le coût engendré par la confection des drapeaux des élèves en négligeant le prix du fil.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le coût, $c_D$, de la fabrication des drapeaux.}
		
		Il faut prendre en compte le coût du tissu:
		
		\begin{align*}
		c_T &= \left[ \left( 0,60\ \mathrm{m} \right)+ \left( 1,20\ \mathrm{m}\right) +\left( 1,80\ \mathrm{m} \right) \right] \times \left( 700\ \mathrm{F}/\mathrm{m} \right)\\
		&= \left( 3,60\ \mathrm{m} \right) \times \left( 700\ \mathrm{F}/\mathrm{m} \right) \\
		&= \np{2520}\ \mathrm{F}
		\end{align*}
		
		Mais aussi le coût des étoiles: 
		
		\begin{align*}
		c_E &= 24 \times 250\ \mathrm{F}\\
		&= \np{6000}\ \mathrm{F}
		\end{align*}
		
		Finalement le coût total est 
		
		\begin{align*}
		c_D &= c_T +c_E\\
		&= \left( \np{2520}\ \mathrm{F} \right) + \left( \np{6000}\ \mathrm{F} \right)\\
		\end{align*}
		
		et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$c_T=\np{8520}\ \mathrm{F}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Parie C: dans l'avion.}

\begin{sujet}
	
	Dans l’avion, l’écran du passager indique les informations du vol en direct, en différentes langues et unités. Monsieur Piti compare les données en anglais et en espagnol au même
	moment:
	
	\medskip
	\hspace*{-1cm}
	\begin{tabularx}{1.06\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\emph{Anglais} & \emph{Espagnol} & \emph{Traduction de M. Piti} 
		\\
		\hline
		Ground speed: \newline $530\ \mathrm{mph}$ & Velocidad: \newline $853\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ & Vitesse
		\\
		\hline
		Altitude: \newline $\np{35000}\ \mathrm{ft}$ & Altura: \newline $\np{10668}\ \mathrm{m}$ &  Altitude
		\\
		\hline
		Outside air temperature: \newline $-58\degres \ \mathrm{F}$ & Temperatura exterior: \newline $-50\degres \ \mathrm{C}$ & Température extérieure
		\\
		\hline
		Distance to destination: \newline $2497\ \mathrm{mi}$ & Distancia asta el destino: \newline $4018\ \mathrm{km}$ & Distance restante
		\\
		\hline
		Local time at \newline destination: $3:43\ \mathrm{pm}$ & La hora a la destinacion: \newline $15:43$ & Heure locale à destination
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	Monsieur Piti a traduit les mots en français (dernière colonne), mais les unités sont différentes.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la longueur d’un pied ($1\ \mathrm{ft}$) en millimètre?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons un pied en millimètre.}
		
		D'après l'énoncé:
		
		\begin{align*}
		\np{35000}\ \mathrm{ft} &= \np{10668}\ \mathrm{m} \\
		\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
		\frac{\np{35000}\ \mathrm{ft}}{\color{orange}\np{35000}} &= \frac{\np{10668}\ \mathrm{m}}{\color{orange}\np{35000}} \\
		\frac{\np{35000}}{\np{35000}}\ \mathrm{ft} &= \frac{\np{10668}}{\np{35000}}\ \mathrm{m} \\
		1\ \mathrm{ft} &= 0,3048\ {\color{orange}\mathrm{m}}\\
		1\ \mathrm{ft} &= 0,3048 {\color{orange}\times 1000\ \mathrm{mm}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$1\ \mathrm{ft} = 304,8 \ \mathrm{mm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si l’avion gardait cette vitesse constante, à quelle heure arriverait-il?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'heure d'arrivée.}
		
		Nous connaissons la vitesse de l'avion et la distance qu'il doit parcourir, par conséquent la durée du trajet restant est
		
		\begin{align*}
		d_r &= \frac{\np{4018}\ \mathrm{km}}{\np{853}\ \mathrm{km}/ \mathrm{h}}\\
		&= \frac{\np{4018}}{\np{853}}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}}\\
		&= \frac{\np{4018}}{\np{853}}\ \mathrm{h}\\
		&= \left(4+ \frac{606}{853} \right) \ \mathrm{h}\\
		&= \left(4\ \mathrm{h} \right)+ \left( \frac{606}{853}\times 60\ \mathrm{min} \right) \\
		&\approx \left(4\ \mathrm{h} \right)+ \left( 43\ \mathrm{min} \right) \\
		\end{align*}
		
		Par conséquent l'heure à l'arrivée sera, en arrondissant à la minute:
		
		\begin{align*}
		\left(15\ \mathrm{h} \right)+ \left( 43\ \mathrm{min} \right) + \left(4\ \mathrm{h} \right)+ \left( 43\ \mathrm{min} \right) &= \left[ (15+4)\ \mathrm{h} \right]+ \left[(43+43)\ \mathrm{min} \right]\\
		&= \left(19\ \mathrm{h} \right)+ \left( 86\ \mathrm{min} \right) \\
		&= \left(19\ \mathrm{h} \right)+ \left[ (1 \times 60 +26)\ \mathrm{min} \right] \\
		&= \left(19\ \mathrm{h} \right)+ \left(1\ \mathrm{h} \right) + \left( 26\ \mathrm{min} \right)
		\end{align*}
		
		Finalement:
		
		\begin{conclusion}
			
			Lorsqu'ils arriveront l'heure locale sera: $20\ \mathrm{h}$ et $26\ \mathrm{min}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit la fonction qui à la mesure, en degré Fahrenheit ($\degres F$), d’une température associe la mesure $f(t)$, en degré Celsius ($\degres C$), de cette température. On admet que $f$ est une fonction affine dont une expression est de la forme $f(t)=\frac{5}{9}t+b$, où $b$ est une constante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Contrairement à la question I.C.1, nous ne pouvons pas passer d'une unité à l'autre. En effet il n'y a pas proportionnalité entre les degrés Celsius et Fahrenheit. Le terme \og degré \fg{} et le symbole \degres sont là pour nous en avertir. Il ne s'agit pas d'unités mais d'échelles de mesure. Autrement dit le zéro est choisi de façon arbitraire.
		
		La seule unité (au sens du système international) de mesure de température est le kelvin noté $\mathrm{K}$ sans le \degres. Dans ce cas le zéro correspond au zéro absolu c'est-à-dire le niveau d'énergie (et donc d'agitation) minimal au niveau atomique.
		
	\end{correction}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la valeur de la constante $b$ est égale à $-\frac{160}{9}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Nous pourrions nous contenter de vérifier que la valeur proposée pour $b$ convient mais nous allons la déterminer comme si elle ne nous était pas donnée par l'énoncé.}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons $b$.}
			
			Du fait de la définition de $f$ donnée dans l'énoncé nous devons avoir:
			
			\begin{align*}
			f(-58) &= -50\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			\frac{5}{9} \times (-58)+b &= -50\\
			-\frac{290}{9} + b &= -50\\
			-\frac{290}{9} + b {\color{orange}+\frac{290}{9}} &= -50  {\color{orange}+\frac{290}{9}} 
			\end{align*}
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$\displaystyle b= -\frac{160}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelles températures les mesures en degré Celsius et en degré Fahrenheit sont-elles égales?
			
		\end{sujet}	
		
		\begin{correction}
			
			Interprétons la question posée par une équation.
			
			\medskip
			\objectif{Résolvons l'équation $f(t)=t$ d'inconnue $t$ un nombre réel.}
			
			\begin{align*}
			f(t)= t &\Leftrightarrow \frac{5}{9}t-\frac{160}{9} = t\\
			\intertext{\color{orange}Nous reconnaissons une équation inéaire du premier degré que nous résoudrons donc en isolant l'inconnue:}
			f(t)=t &\Leftrightarrow \frac{5}{9}t-\frac{160}{9} {\color{orange}-t} = t {\color{orange}-t}\\
			&\Leftrightarrow \left( \frac{5}{9}-1 \right) t-\frac{160}{9} = 0\\
			&\Leftrightarrow -\frac{4}{9} t-\frac{160}{9} {\color{WildStrawberry}+\frac{160}{9}} = 0 {\color{WildStrawberry}+\frac{160}{9}}\\
			&\Leftrightarrow -\frac{4}{9} t = \frac{160}{9}\\
			&\Leftrightarrow \frac{-\frac{4}{9} t}{\color{orange}-\frac{4}{9}} = \frac{\frac{160}{9}}{\color{orange}-\frac{4}{9}}\\
			&\Leftrightarrow t = -\frac{160}{9} \times \frac{9}{4}\\
			&\Leftrightarrow t= -40
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les deux échelles de mesure de température coïncident pour une température de $-40\degres$ (Celsius ou Fahrenheit).
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Les mesures en degré Celsius et en degré Fahrenheit sont-elles proportionnelles?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange} Nous pourrions choisir deux températures distinctes et vérifier qu'il n'y a pas proportionnalité entre les mesures en degrés Celsius et Fahrenheit de ces deux températures. Nous allons privilégier un argument classique en collège.}
			
			\medskip
			$f$ est une fonction affine mais n'est pas une fonction linéaire ($b \ne 0$), elle ne modélise donc pas une situation de proportionnalité.
			
			\begin{conclusion}
				
				Les mesures en degrés Celsius et Fahrenheit ne sont pas proportionnelles.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item  
		
		\begin{sujet}
			
			Trouver une formule pour convertir les degrés Celsius $t_C$ en degrés Fahrenheit $t_F$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $t_F$ en fonction de $t_C$.}
			
			Nous avons
			
			\begin{align*}
			f(t_F) &= t_C\\
			\intertext{Autrement dit:}
			\frac{5}{9}t_F-\frac{160}{9} &= t_C
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Dans la précédente égalité nous allons isoler $t_F$ comme si nous résolvions l'équation d'inconnue $t_F$.}
			
			\begin{align*}
			\frac{5}{9}t_F-\frac{160}{9} = t_C &\leftrightarrow \frac{5}{9}t_F-\frac{160}{9} {\color{orange}+\frac{160}{9}} = t_C {\color{orange}+\frac{160}{9}}\\
			&\Leftrightarrow \frac{5}{9}t_F = t_C +\frac{160}{9}\\
			&\Leftrightarrow {\color{WildStrawberry}\frac{9}{5} \times } \frac{5}{9}t_F = {\color{WildStrawberry}\frac{9}{5} \times } \left( t_C +\frac{160}{9} \right)\\
			&\Leftrightarrow t_F = \frac{9}{5}  t_C +\frac{9}{5} \times \frac{160}{9} \\
			\end{align*}
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$t_F=\frac{9}{5}t_C+32$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Un sablier est constitué de deux cônes identiques superposés comme sur le schéma ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
		\def\diamhaut{7};
		\def\hauteurhaut{6};
		\def\diambas{8};
		\def\ecrasementellipse{0.2};
		%Cône
		\draw[samples=100,domain={-\diambas/2}:{\diamhaut/2}] plot(\x,{\hauteurhaut/ (0.5* \diamhaut)*\x});
		\draw[samples=100,domain={-\diamhaut/2}:{\diambas/2}] plot(\x,{-\hauteurhaut/ (0.5* \diamhaut)*\x});
		\draw[samples=100,domain={0}:{360}] plot({0.5*\diamhaut*cos(\x)},{\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(\x) + \hauteurhaut});
		\draw[samples=100,domain={180}:{360}] plot({0.5*\diambas*cos(\x)},{\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(\x) - \diambas/\diamhaut*\hauteurhaut});
		\draw[dashed][samples=100,domain={0}:{180}] plot({0.5*\diambas*cos(\x)},{\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(\x) - \diambas/\diamhaut*\hauteurhaut});
		%Segments en pontillés
		\draw[dashed] (0,{\hauteurhaut}) -- (0,{-\diambas/\diamhaut*\hauteurhaut});
		\draw[dashed] ({-0.5*\diambas},{-\diambas/\diamhaut*\hauteurhaut}) -- ({0.5*\diambas},{-\diambas/\diamhaut*\hauteurhaut});
		\draw[dashed] ({-0.5*\diamhaut},{\hauteurhaut}) -- ({0.5*\diamhaut},{\hauteurhaut});
		%Disques indiquant le niveau de sable et coloration
		\def\proportionhaut{0.5};
		\draw[samples=100,domain={180}:{360}] plot({\proportionhaut*0.5*\diamhaut*cos(\x)},{\proportionhaut*\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(\x) + \proportionhaut*\hauteurhaut});
		\draw[dashed][samples=100,domain={0}:{180}] plot({\proportionhaut*0.5*\diamhaut*cos(\x)},{\proportionhaut*\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(\x) + \proportionhaut*\hauteurhaut});
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (0,0)--plot [domain=0:180] ({\proportionhaut*0.5*\diamhaut*cos(\x)},{\proportionhaut*\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(\x) + \proportionhaut*\hauteurhaut})--cycle;
		\def\proportionbas{0.7};
		\draw[samples=100,domain={180}:{360}] plot({\proportionbas*0.5*\diambas*cos(\x)},{\proportionbas*\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(\x) - \proportionbas*\diambas/\diamhaut*\hauteurhaut});
		\draw[dashed][samples=100,domain={0}:{180}] plot({\proportionbas*0.5*\diambas*cos(\x)},{\proportionbas*\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(\x) - \proportionbas*\diambas/\diamhaut*\hauteurhaut});
		\fill[color=gray , opacity=0.25] plot [domain=0:180]({\proportionbas*0.5*\diambas*cos(\x)},{\proportionbas*\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(\x) - \proportionbas*\diambas/\diamhaut*\hauteurhaut})
		--plot [domain=180:360]({0.5*\diambas*cos(\x)},{\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(\x) - \diambas/\diamhaut*\hauteurhaut})
		--cycle;
		%Noms des points
		\draw (1,0) node {$S$};
		\draw ({\proportionhaut*0.5*\diamhaut*cos(0)+1},{\proportionhaut*\ecrasementellipse*0.5*\diamhaut*sin(0) + \proportionhaut*\hauteurhaut}) node {$A'$};
		\draw ({0.5*\diamhaut+1},{\hauteurhaut}) node {$A$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Le sable est modélisé par les parties grisées. Il s’écoule au niveau du point $S$. 
	
	Dans les parties supérieure et inférieure du sablier, les surfaces supérieures des parties grises sont considérées horizontales et parallèles aux bases des cônes.
	
	Le cône du haut a pour diamètre $5\ \mathrm{cm}$ et pour hauteur $12\ \mathrm{cm}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire de la base du cône du haut, arrondie au millimètre carré près.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			\objectif{Calculons l'aire, $\mathscr{A}_1$, de la base du cône.}
			
			La base du cône est un disque de diamètre $5\ \mathrm{cm}$ donc
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_1 &= \pi \left( \frac{5\ \mathrm{cm}}{2} \right)^2\\
			&= \pi \times 2,5^2 \ \mathrm{cm}^2\\
			&= \frac{25}{4}\pi\ \mathrm{cm}^2\\
			&\approx 19,634954\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Arrondir au millimètre carré signifie ici arrondir à la seconde décimale car $1\ \mathrm{cm}^2=100 \ \mathrm{mm}^2$.}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_1 \approx 19,63\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le volume du cône du haut, arrondi au millimètre cube près.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{10cm}|}
					\hline
					Rappel de la formule du volume du cône:
					\\
					Volume du cône: $\displaystyle V=\frac{1}{3} \times aire\ de\ la\ base \times hauteur$.
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le volume, $\mathscr{V}_1$, du cône du haut.}
			
			En utilisant la formule rappelée dans l'énoncé et en utilisant les calculs de la question précédente:
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_1 &= \frac{1}{3} \times \left( \frac{25}{4}\pi\ \mathrm{cm}^2 \right) \times \left( 12 \ \mathrm{cm} \right)\\
			&= \frac{1}{3} \times \frac{25}{4} \pi \times 12 \ \mathrm{cm}^3\\
			&\approx 78,53981\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Arrondir au millimètre cube signifie ici arrondir à la troisième décimale.}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_1 \approx 78,540\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On s’intéresse à la position obtenue à un instant donné et représentée sur le schéma ci-dessus : le niveau de sable est tel que $A’$ est le milieu du segment $[AS]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le cône de sable restant dans le cône du haut est une réduction du cône du haut.
			
			Calculer son volume, arrondi au millimètre cube près.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_2$ du volume du cône de sable.}
			
			Puisque le cône de sable est une réduction à $\frac{1}{2}$ du cône du haut
			
			\begin{align*}
			\mathscr{V}_2 &= \left( \frac{1}{2} \right)^3 \times \mathscr{V}_1\\
			&\approx \frac{1}{2^3} \times 78,540\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V_1} \approx 9,844\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On admet que le volume de sable descendu est proportionnel au temps écoulé. Tout le sable s’écoule en $4$ minutes. Au départ le cône du haut était entièrement rempli de sable.
			
			Au bout de combien de temps le sable est-il dans la position représentée sur le schéma ci-dessus, avec $A’$ milieu du segment $[AS]$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le temps mis pour arriver à la position représentée.}
			
			D'après la question précédente $\left( \frac{1}{2} \right)^3 = \frac{1}{8}$ du volume de départ reste dans le sablier autrement dit $\frac{7}{8}$ du sable s'est déjà écoulé.
			
			Puisque le volume de sable et le temps écoulés sont proportionnels cela signifie qu'il s'est déjà écoulé $\frac{7}{8} \times 4\ \mathrm{min}= 3,5\ \mathrm{min}$.
			
			Autrement dit:
			
			\begin{conclusion}
				
				la position représentée est atteinte au bout de trois minutes et trente secondes.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici un programme de calcul:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (-3,-1);
			\coordinate (C) at (-3,-2);
			\coordinate (D) at (3,-1.5);
			\coordinate (E) at (0,-3);
			\coordinate (F) at (0,-4);
			\node[draw,fill=gray!30] (A1) at (A) {Choisir un nombre};
			\node[draw,fill=gray!30] (B1) at (B) {Multiplier par $2$};
			\node[draw,fill=gray!30] (C1) at (C) {Ajouter $1$};
			\node[draw,fill=gray!30] (D1) at (D) {Calculer son double};
			\node[draw,fill=gray!30] (E1) at (E) {Multiplier les deux termes};
			\node[draw,fill=gray!30] (F1) at (F) {Ajouter $9$};
			\draw [->,>=latex] (A1) -| (B1);
			\draw [->,>=latex] (B1) -- (C1);
			\draw [->,>=latex] (C1) |- (E1);
			\draw [->,>=latex] (A1)-| (D1);
			\draw [->,>=latex] (D1) |- (E1);
			\draw [->,>=latex] (E1) -- (F1);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Effectuer le programme de calcul en choisissant $2$ comme nombre de départ et montrer qu’on obtient $29$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (-3,-1);
				\coordinate (C) at (-3,-2);
				\coordinate (D) at (3,-1.5);
				\coordinate (E) at (0,-3);
				\coordinate (F) at (0,-4);
				\node[draw,fill=gray!30] (A1) at (A) {$\color{blue}2$};
				\node[draw,fill=gray!30] (B1) at (B) {${\color{blue}2}{\color{red}\times 2}= {\color{blue}4}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (C1) at (C) {${\color{blue}4} {\color{red}+1}= {\color{blue}5}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (D1) at (D) {${\color{blue}2}{\color{red}\times 2}= {\color{blue}4}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (E1) at (E) {${\color{blue}5} {\color{red}\times} {\color{blue}4}= {\color{blue}20}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (F1) at (F) {${\color{blue}20} {\color{red}+9} = {\color{blue}29}$};
				\draw [->,>=latex] (A1) -| (B1);
				\draw [->,>=latex] (B1) -- (C1);
				\draw [->,>=latex] (C1) |- (E1);
				\draw [->,>=latex] (A1)-| (D1);
				\draw [->,>=latex] (D1) |- (E1);
				\draw [->,>=latex] (E1) -- (F1);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}	
			
			\begin{conclusion}
				
				Si l'on entre $2$ le programme renvoie $29$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel résultat obtient-on en choisissant $\displaystyle \frac{2}{3}$ comme nombre de départ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (-3,-1);
				\coordinate (C) at (-3,-2);
				\coordinate (D) at (3,-1.5);
				\coordinate (E) at (0,-3);
				\coordinate (F) at (0,-4);
				\node[draw,fill=gray!30] (A1) at (A) {$\color{blue}\frac{2}{3}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (B1) at (B) {${\color{blue}\frac{2}{3}}{\color{red}\times 2}= {\color{blue}\frac{4}{3}}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (C1) at (C) {${\color{blue}\frac{4}{3}} {\color{red}+1}= {\color{blue}\frac{7}{3}}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (D1) at (D) {${\color{blue}\frac{2}{3}}{\color{red}\times 2}= {\color{blue}\frac{4}{3}}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (E1) at (E) {${\color{blue}\frac{7}{3}} {\color{red}\times} {\color{blue}\frac{4}{3}}= {\color{blue}\frac{28}{9}}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (F1) at (F) {${\color{blue}\frac{28}{9}} {\color{red}+9} = {\color{blue}\frac{109}{9}}$};
				\draw [->,>=latex] (A1) -| (B1);
				\draw [->,>=latex] (B1) -- (C1);
				\draw [->,>=latex] (C1) |- (E1);
				\draw [->,>=latex] (A1)-| (D1);
				\draw [->,>=latex] (D1) |- (E1);
				\draw [->,>=latex] (E1) -- (F1);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}	
			
			\begin{conclusion}
				
				Si l'on entre $\frac{2}{3}$ alors le programme renvoie $\frac{109}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer le résultat obtenu avec ce programme de calcul en prenant $x$ nombre de départ.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (-3,-1);
				\coordinate (C) at (-3,-2);
				\coordinate (D) at (3,-1.5);
				\coordinate (E) at (0,-3);
				\coordinate (F) at (0,-4);
				\node[draw,fill=gray!30] (A1) at (A) {$\color{blue}x$};
				\node[draw,fill=gray!30] (B1) at (B) {${\color{blue}x}{\color{red}\times 2} = {\color{blue}2x}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (C1) at (C) {${\color{blue}2x} {\color{red}+1}= {\color{blue}2x+1}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (D1) at (D) {${\color{blue}x}{\color{red}\times 2}= {\color{blue}2x}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (E1) at (E) {${\color{blue}\left( 2x+1 \right)} {\color{red}\times} {\color{blue}\left( 2x \right)}= {\color{blue}2x(2x+1)}$};
				\node[draw,fill=gray!30] (F1) at (F) {${\color{blue}2x(2x+1)} {\color{red}+9} = {\color{blue}2x(2x+1)+9}$};
				\draw [->,>=latex] (A1) -| (B1);
				\draw [->,>=latex] (B1) -- (C1);
				\draw [->,>=latex] (C1) |- (E1);
				\draw [->,>=latex] (A1)-| (D1);
				\draw [->,>=latex] (D1) |- (E1);
				\draw [->,>=latex] (E1) -- (F1);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}	
			
			\begin{conclusion}
				
				Si l'on entre $x$ alors le programme renvoie $2x(2x+1)+9$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On teste un autre programme de calcul avec le logiciel Scratch:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_07_scratch.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Effectuer le programme de calcul en choisissant $2$ comme nombre de départ et montrer qu’on obtient $25$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Construisons le tableau des variables de ce programme avec $2$ en entrée.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
					\hline
					Instruction & réponse & résultat
					\\
					\hline
					$1$ & $\color{blue}2$ & 
					\\
					\hline
					$2$ & $2$ & ${\color{blue}2}+3= {\color{WildStrawberry}5}$
					\\
					\hline
					$3$ & $2$ & ${\color{WildStrawberry}5} \times {\color{WildStrawberry}5}=25$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				En faisant tourner ce programme avec $2$ en entrée nous obtenons $25$ en sortie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel résultat obtient-on en choisissant $1,5$ comme nombre de départ?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Construisons le tableau des variables de ce programme avec $1,5$ en entrée.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{2cm}|m{2cm}|m{4cm}|}
					\hline
					Instruction & réponse & résultat
					\\
					\hline
					$1$ & $\color{blue}1,5$ & 
					\\
					\hline
					$2$ & $2$ & ${\color{blue}1,5}+3= {\color{WildStrawberry}4,5}$
					\\
					\hline
					$3$ & $2$ & ${\color{WildStrawberry}4,5} \times {\color{WildStrawberry}4,5}=20,25$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				En faisant tourner ce programme avec $1,5$ en entrée nous obtenons $20,25$ en sortie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer le résultat obtenu avec ce programme de calcul en prenant $x$ comme nombre de départ.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Construisons le tableau des variables de ce programme avec $x$ en entrée.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{2cm}|m{2cm}|m{4cm}|}
					\hline
					Instruction & réponse & résultat
					\\
					\hline
					$1$ & $\color{blue}x$ & 
					\\
					\hline
					$2$ & $2$ & ${\color{blue}x}+3= {\color{WildStrawberry}x+3}$
					\\
					\hline
					$3$ & $2$ & ${\color{WildStrawberry}\left( x+3 \right)} \times {\color{WildStrawberry}\left( x+3 \right)}= \left( x+3 \right)^2$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				En faisant tourner ce programme avec $2$ en entrée nous obtenons $25$ en sortie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de $x$ les deux programmes donnent le même résultat. Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Ces deux programmes renvoie la même réponse en entrant $x$ si et seulement si: $2x(2x+1)+9=(x+3)^2$.
		
		\medskip
		\objectif{Résolvons cette équation.}
		
		\begin{align*}
		2x(2x+1)+9 &= (x+3)^2\\
		\intertext{équivaut successivement à}
		2x\times 2x +2x \times 1+9 &= x^2 +2 \times x \times 3 +3^2\\
		4x^2+2x+9 &= x^2+6x+9\\
		\intertext{\color{orange}Il ne s'agit  \emph{a priori} pas d'une équation linéaire nous allons donc essayer de nous ramener à une équation produit-nul:}
		4x^2+2x+9 {\color{orange}-(x^2+6x+9)} &= x^2+6x+9 {\color{orange}-( x^2+6x+9)}\\
		4x^2+2x+9 -(x^2+6x+9) &= 0\\
		4x^2+2x+9 -x^2 -6x -9 &= 0\\
		3x^2-4x &=0\\
		3x \times {\color{orange}x} -6 {\color{orange}x} &= 0\\
		(3x-4)x &= 0\\
		3x-4=0 &\quad \text{ou} \quad x=0\\
		3x=4 &\quad \text{ou} \quad x=0\\
		x=\frac{4}{3} &\quad \text{ou} \quad x=0\\
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les deux programmes renvoient la même valeur lorsqu'on choisi en entrée $\frac{4}{3}$ ou $0$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Un professeur a donné un contrôle commun à trois de ses classes. Avant de rendre les copies à ses élèves, il a fait quelques calculs statistiques à partir de leurs notes.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour la classe A qui comptent $24$ élèves, il a relevé les informations suivantes:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|m{2cm}|}
				\hline
				Note minimale & Médiane & Moyenne & Étendue
				\\
				\hline
				$5$ & $11$ & $12$ & $14$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Dire si chacune des affirmations ci-dessous est vraie ou fausse, en justifiant les
		réponses.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			\og La note maximale est 20. \fg{}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La note minimale est $5$ et l'étendue est $14$ donc la note maximale est $5+14=19$.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation est fausse.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			\og Si on enlève une copie avec la note maximale et une copie avec la note minimale, la moyenne des notes restantes augmente. \fg{}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}$\frac{5+19}{2}=12$ donc enlever ces deux notes ne modifiera pas la moyenne. Détaillons cela.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons la moyenne $\overline{x}$ obtenue en enlevant la meilleur et la moins bonne note.}
			
			Puisque la moyenne des $24$ élèves est $12$, que la moins bonne note est $5$ t la meilleur $19$, nous avons
			
			\begin{align*}
			\frac{22 \overline{x}+5+19}{24} &= 12\\
			\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
			{\color{orange}24\times} \frac{22 \overline{x}+24}{24} &= {\color{orange}24\times} 12\\
			22 \overline{x}+24 &= 288\\
			22 \overline{x}+24 {\color{orange}-24} &= 288 {\color{orange}-24}\\
			22 \overline{x} &= 264\\
			\frac{22 \overline{x}}{\color{orange}22} &= \frac{264}{\color{orange}22}\\
			\overline{x} &= 12\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation est fausse.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			\og Au moins la moitié des élèves ont une note de 12 ou plus. \fg{}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La médiane est de $11$ donc la moitié des élèves ont eu une note supérieure ou égale à $11$.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation est fausse.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La classe B compte $16$ filles et $11$ garçons. À ce contrôle, la moyenne des filles est de $11,7$ et celle des garçons de $10,3$.
		
		Quelle est la moyenne des notes des élèves de la classe B à ce contrôle? Arrondir le résultat au dixième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Comme précédemment il faut faire une moyenne des moyennes.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons la moyenne $\overline{x}_B$ de la classe $B$.}
		
		\begin{align*}
		x_B &= \frac{16 \times 11,7 + 11 \times 10,3}{16+11} \\
		&\approx 11,129
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{x}_B \approx 11,1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La classe C compte $32$ élèves. Le professeur a calculé la moyenne des notes des élèves des deux classes A et C. Cette moyenne est de $11,2$.
		
		Quelle est la moyenne des notes des élèves de la classe $C$ à ce contrôle?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Là encore c'est une moyenne de moyennes.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons la moyenne $\overline{x}_C$ de la classe $C$.}
		
		Nous savons que
		
		\begin{align*}
		\frac{24 \times 12 + 32 \times \overline{x}_C}{24+32} &= 11,2 \\
		\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
		\frac{288+32\overline{x}_C}{56} &= 11,2\\
		{\color{orange}56 \times} \frac{288+32\overline{x}_C}{56} &= {\color{orange}56 \times}11,2\\
		288+32\overline{x}_C &= 627,2
		288+32\overline{x}_C {\color{orange}-288} &= 627,2 {\color{orange}-288}\\
		32 \overline{x}_C &= 339,2\\
		\frac{32 \overline{x}_C}{\color{orange}32} &= \frac{339,2}{\color{orange}32}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\overline{x}_C = 10,6$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Le problème suivant est proposé à des élèves de CP:
	
	\og Juliette a donné $5$ billes à Léo. Maintenant Léo a $9$ billes. Combien de billes avait Léo?\fg{}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici la production de l'élève $1$.
		
		\hspace*{-0.5cm}
		\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_08_eleve_1.png}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Comment interpréter les traces écrites de l’élève $1$ en termes de compréhension de la situation?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner deux exemples d’aides qui pourraient-être apportées à cet élève.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici la production de l’élève 2.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_09_eleve_2.png}
			
		\end{center}
		
		Cette production comporte à la fois des
		calculs et un schéma.
		
		Comment interpréter ces traces écrites en termes de maîtrise, par l’élève $2$, des compétences mathématiques: modéliser et représenter?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En fin de CP, on propose le problème suivant: \og Juliette a donné $35$ billes à Léo. Maintenant Léo a $52$ billes. Combien de billes avait Léo? \fg{}.
		
		Proposer une représentation de cette situation qui pourrait être enseignée à des élèves de CP pour les aider à résoudre le problème.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	On a proposé à des élèves de cycle 3 les trois problèmes suivants:
	
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		\textbf{Problème 1}
		\\
		Tom ramasse les œufs de ses poules. Ce matin, les poules ont pondu $39$ œufs. Il les range dans des boites de $12$ œufs.
		
		Combien de boites entières pourra-t-il remplir?
		\\
		\\
		\textbf{Problème 2}
		\\
		Lucie vient de dépenser $39\ \text{\euro}$ pour acheter $12$ brioches.
		
		Quel est le prix d’une brioche?
		\\
		\\
		\textbf{Problème 3}
		\\
		Au parc d’attraction, $39$ personnes sont montées dans un petit train. Chaque wagonnet comporte $12$ places et sont tous remplis au maximum sauf le dernier.
		\begin{enumerate}
			\item Combien y a-t-il de wagonnets dans ce train?
			\item Combien reste-t-il de places libres dans le dernier wagonnet?
		\end{enumerate}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	Voici la production d’Ethan:
	
	\begin{center}
		
		\textbf{Problème 1}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_10_probleme_1.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\textbf{Problème 2}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{|m{6.5cm}|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_11_probleme_2.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\textbf{Problème 3}
		
		\medskip
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_12_probleme_3.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour chaque problème, analyser la procédure mise en œuvre par Ethan puis repérer les erreurs et les réussites.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner un exemple de ce que l’enseignant pourrait proposer à Ethan pour qu’il prenne conscience que la réponse qu’il donne pour le problème 2 est erronée?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		De même, donner un exemple de ce que l’enseignant pourrait proposer à Ethan pour lui faire prendre conscience de ses erreurs pour la résolution du problème 3?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici un exercice proposé à des élèves de CM2.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Utilise les carreaux de la feuille pour représenter les nombres fractionnaires suivants sur une demi-droite graduée: \[ \frac{2}{5} \quad \frac{5}{10} \quad \frac{15}{10} \quad \frac{5}{5} \quad \frac{1}{5} \quad \frac{4}{10} \quad \frac{7}{5} \quad \frac{1}{2} \quad \frac{2}{10} \]
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer deux objectifs d’apprentissage que l’on peut associer à cet exercice.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer deux procédures que les élèves peuvent mettre en œuvre pour placer le nombre $\frac{1}{2}$?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer deux procédures que les élèves peuvent mettre en œuvre pour placer le nombre $\frac{7}{5}$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Dans la même séance, les élèves ont à réaliser l’exercice suivant:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Utilise les carreaux de la feuille pour représenter les nombres suivants: \[ 1+\frac{1}{3} \hspace{0.6cm} \frac{3}{3} \hspace{0.6cm} 2+\frac{1}{3} \hspace{0.6cm} 1+\frac{3}{3} \hspace{0.6cm} \frac{1}{3} \hspace{0.6cm} \frac{2}{3} \hspace{0.6cm} 1+\frac{5}{3} \hspace{0.6cm} \frac{7}{3} \]
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Pour avoir un axe plus lisible, le professeur ajoute la consigne suivante: \og Vous prendrez $6$ carreaux pour l’unité \fg{}.
	
	Voici les productions de $3$ élèves de la classe:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{7cm}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Élève 1
			\\
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_13_eleve_1.png}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{8cm}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Élève 2
			\\
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_14_eleve_2.png}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{9cm}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Élève 3
			\\
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_4_15_eleve_3.png}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Comparer les productions des élèves 1 et 3. Quelles sont les compétences acquises par 		chacun d’eux?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser la production de l’élève 2.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer un exemple d’une aide que l’enseignant peut apporter à cet élève pour lui faire prendre conscience de ses erreurs?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le professeur a ajouté la consigne \og Vous prendrez $6$ carreaux pour l’unité \fg{}. Était-ce une bonne initiative? Justifier votre réponse.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 5.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_5_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_5_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\subsubsection{Partie A: vitesse d'un train.}

\begin{sujet}
	
	Un train à grande vitesse quitte une gare. Dans ce qui suit nous allons nous intéresser au temps qu’il met pour atteindre la vitesse de $300\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
	
	On appelle la fonction qui, au temps $t$ écoulé depuis le départ, exprimé en minute, associe $v(t)$ la vitesse du train, à l’instant $t$, en kilomètre par heure.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le graphique ci-dessous donne la vitesse $v(t)$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ exprimée en fonction du nombre $t$ de minutes écoulées depuis le départ du train.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.4]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{15.5};
			\def\yZ{20.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\foreach \x in {0,1, 2,...,15}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {0,1,2,...,20}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5] plot(\x,{3.2*(\x*2)*(\x*2)/20});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=5:15.5] plot(\x,{320/20});
			\draw (13,-1.6) node{Temps en $\mathrm{min}$};
			\draw (-2.2,17) node[rotate=90]{Vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. Aucune justification n’est attendue.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer une valeur approchée à $10\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ près de $v(6)$ puis donner une interprétation du résultat.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.4]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{15.5};
				\def\yZ{20.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\foreach \x in {0,1, 2,...,15}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,20}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5] plot(\x,{3.2*(\x*2)*(\x*2)/20});
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=5:15.5] plot(\x,{320/20});
				\draw (13,-1.6) node{Temps en $\mathrm{min}$};
				\draw (-2.2,17) node[rotate=90]{Vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$};
				\draw[dashed,red,very thick] (3,0) -- (3,{3.2*(3*2)*(3*2)/20}) -- (0,{3.2*(3*2)*(3*2)/20});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Par lecture graphique $v(6) \approx 116\ \mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$v(6) \approx 120\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$ autrement dit $6$ minutes après son départ le train roule à $120\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Résoudre graphiquement $v(t) = 200$, pour $t$ compris entre $0$ et $25$, puis donner une interprétation du résultat.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.4]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{15.5};
				\def\yZ{20.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\foreach \x in {0,1, 2,...,15}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,20}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5] plot(\x,{3.2*(\x*2)*(\x*2)/20});
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=5:15.5] plot(\x,{320/20});
				\draw (13,-1.6) node{Temps en $\mathrm{min}$};
				\draw (-2.2,17) node[rotate=90]{Vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$};
				\draw[red, very thick,dashed][samples=100,domain=0:12.5] plot(\x,{200/20});
				\draw[red, very thick,dashed] ({sqrt(200/3.2)/2},0) -- ({sqrt(200/3.2)/2},{200/20});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le train atteint une vitesse de $200\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ au bout de $8$ minutes.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Encadrer par deux nombres entiers consécutifs le temps $t_0$, exprimé en minutes, pour lequel la vitesse est de $300\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.4]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{15.5};
				\def\yZ{20.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\foreach \x in {0,1, 2,...,15}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,20}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5] plot(\x,{3.2*(\x*2)*(\x*2)/20});
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=5:15.5] plot(\x,{320/20});
				\draw (13,-1.6) node{Temps en $\mathrm{min}$};
				\draw (-2.2,17) node[rotate=90]{Vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$};
				\draw[red, very thick,dashed][samples=100,domain=0:15] plot(\x,{300/20});
				\draw[red, very thick,dashed] ({sqrt(300/3.2)/2},0) -- ({sqrt(300/3.2)/2},{300/20});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$9 \leqslant t_0 \leqslant 10$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En s’appuyant sur des valeurs lues sur le graphique ci-dessus, déterminer la distance parcourue par le train entre la quinzième minute et la vingtième minute. On donnera une
		valeur arrondie au kilomètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la distance $d(15;20)$ parcourue par le train entre la quinzième et la vingtième minute.}
		
		Entre la quinzième et la vingtième minute le train se déplace à une vitesse constante de $320\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$. Par conséquent la distance parcourue est
		
		\begin{align*}
		d(15;20) &= v(15) \times \left[ \left(20\ \mathrm{min}\right) - \left(15\ \mathrm{min} \right) \right]\\
		&= \left( 320\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1} \right) \left( 5\ \mathrm{min} \right)\\
		&= 320 \times 5\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1} \cdot {\color{orange}\mathrm{min}}\\
		&= 1600\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1} \cdot {\color{orange}\frac{1}{60}\ \mathrm{h}}\\
		&= 1600\times \frac{1}{60}\ \mathrm{km}\\
		&= \frac{80}{3}\ \mathrm{km}\\
		&= 26,666\dots\ \mathrm{km}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$d(15;20)\approx 27\ \mathrm{km}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On propose le document suivant obtenu à l’aide d’un tableur:
		
		\medskip
		\hspace*{-0.8cm}
		\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_01_tableur.png}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que ce tableau permet de retrouver le résultat de la question 1.(c).
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La fonction $v$ est continue (autrement dit sa courbe représentative est une ligne d'un seul tenant, sans interruption) et croissante. Nous pourrions même préciser: strictement croissante pour $t$ entre $0$ et $10$.
			
			Or d'après le tableau $v(9) \leqslant 300 \leqslant v(10)$ donc nous retrouvons bien:
			
			\begin{conclusion}
				
				$9 \leqslant t_0 \leqslant 10$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner un encadrement d’amplitude $0,1$ minute du temps pour lequel la vitesse est de $300\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Donnons un encadrement d'amplitude $0,1$ de $t_0$.}
			
			Puisque $v$ est continue et croissante, et comme $v(9,6) \leqslant 300 \leqslant v(9,7)$
			
			\begin{conclusion}
				
				$9,6\leqslant t_0 \leqslant 9,7$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour un temps $t$ après le départ, exprimé en minute, compris entre $0$ et $10$, la vitesse de ce train en kilomètre par heure est donnée par la formule $v(t)=3,2t^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer $v(6)$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $v(6)$.}
			
			\begin{align*}
			v(6) &= 3,2 \times 6 ^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$v(6)=115,2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner la formule que l’on peut saisir dans la cellule $\texttt{B}2$ puis faire glisser vers la droite pour obtenir le tableau de la question 3.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Formule entrée en $\texttt{B}2$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=3,2*B1\wedge 2$
				
			\end{conclusion}
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer par le calcul la valeur exacte du temps $t_0$ tel que $v(t_0) = 300\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
			
			En déduire un encadrement de $t_0$ à la seconde près.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $t_0$.}
			
			\begin{align*}
			v(t_0) &= 300\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			3,2 t_0^2 &= 300 \\
			\frac{3,2 t_0^2}{\color{orange}3,2} &= \frac{300}{\color{orange}3,2} \\
			t_0^2 &= 93,75\\
			t_0= \sqrt{93,75} &\quad \text{ou} \quad t_0=-\sqrt{93,75}
			\end{align*}
			
			Or $t_0$ mesure le temps écoulé et est donc une grandeur positive, nécessairement
			
			\begin{conclusion}
				
				$t_0= \sqrt{93,75}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{orange}Une rédaction plus rigoureuse algébriquement utilise une identité remarquable:
				
				\begin{align*}
				v(t_0) &= 300\\
				\intertext{équivaut successivement à:}
				3,2 t_0^2 &= 300 \\
				\frac{3,2 t_0^2}{\color{WildStrawberry}3,2} &= \frac{300}{\color{WildStrawberry}3,2} \\
				t_0^2 &= 93,75\\
				t_0^2 {\color{WildStrawberry}-93,75} &= 93,75 {\color{WildStrawberry}-93,75}\\
				t_0^2 -\sqrt{93,75}^2 &= 0\\
				\left( t_0 -\sqrt{93,75} \right) \left( t_0+\sqrt{93,75} \right) &= 0\\
				t_0= \sqrt{93,75} &\quad \text{ou} \quad t_0=-\sqrt{93,75}
				\end{align*}
			}
			
			\medskip
			\objectif{Exprimons $t_0$ en minutes et secondes.}
			
			\begin{align*}
			\sqrt{93,75}\ \mathrm{min} &\approx 9,682 \mathrm{min}\\
			&\approx \left( 9 \ \mathrm{min} \right) + \left( 0,682\ {\color{orange}\mathrm{min}} \right)\\
			&\approx \left( 9 \ \mathrm{min} \right) + \left( 0,682 {\color{orange}\times 60\ \mathrm{s}} \right)\\
			&\approx \left( 9 \ \mathrm{min} \right) + \left( 40,92\ \mathrm{s} \right)\\
			\end{align*}
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$\left( 9 \ \mathrm{min} \right) + \left( 40\ \mathrm{s} \right) \leqslant t_0 \leqslant \left( 9 \ \mathrm{min} \right) + \left( 41\ \mathrm{s} \right)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève a écrit le programme suivant:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_02_scratch.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si l’utilisateur du programme entre le nombre $6$, quelle est la réponse donnée en retour?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le nombre $6$ est entré le programme renvoie $320$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si l’utilisateur du programme entre le nombre $15$, quelle est la réponse donnée en retour?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le nombre $15$ est entré le programme renvoie $720$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’élève souhaitait écrire un programme calculant la vitesse du train en fonction du temps depuis le départ. Quelle est son erreur?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La fonction $v$ est définie par morceaux d'abord pour $t \in [0;10]$ puis pour $t \in [10;+\infty[$. Sur $[0;10]$ $v$ est (la restriction d') une fonction polynomiale de degré deux puis sur $[10;+\infty[$ elle est constante égale à $320$.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'élève a interverti les formules qui s'appliquent sur $[0;10]$ et sur $[10;+\infty[$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une correction du programme pour qu’il donne la réponse attendue quel que soit le nombre entré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Il suffit de modifier la condition dans l'instruction conditionnelle \og si\fg{}. Autrement dit il faut remplacer
			
			\begin{center}
				
				\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_04_scratch_correction_2.png} \quad par \quad \includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_05_scratch_correction_3.png}.
				
			\end{center}
			
			Nous obtenons alors le programme:
			
			\begin{center}
				
				\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_03_scratch_correction_1.png}
				
			\end{center}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: traverses de chemin de fer.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le pouce international est une unité de longueur valant $2,54$ centimètres.
		
		Le pied est une unité de longueur égale à $12$ pouces.
		
		Dans la plupart des pays, deux rails de chemins de fer sont écartés de $4$ pieds et $8,5$ pouces. Cette distance est représentée par la lettre $e$ sur le schéma ci-dessous.
		
		Convertir cette distance en $\mathrm{cm}$, en arrondissant au millimètre.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\draw (0,2) -- (27,2);
			\draw (0,-2) -- (27,-2);
			\foreach \p in {5,12,19} \fill[color=red , opacity=0.25] ({\p-1},-3) -- ({\p+1},-3) -- ({\p+1},3) -- ({\p-1},3) -- cycle;
			\foreach \p in {5,12,19} \draw ({\p-1},-3) -- ({\p+1},-3) -- ({\p+1},3) -- ({\p-1},3) -- cycle;
			\foreach \p in {12,19} \draw[>=latex,<->] ({\p-1},-4) -- ({\p+1},-4) node[midway,below]{$0,28\ \mathrm{m}$};
			\draw[>=latex,<->] (13,-1.5) -- (18,-1.5) node[midway,above]{$d$};
			\draw[>=latex,<->] (8,-2) -- (8,2) node[midway,right]{$e$};
			\node[draw](r) at (25,-5){rail};
			\node[draw](t) at (25,5){traverse};
			\draw[thin] (19,2.5) to[bend left=20] (t);
			\draw[thin] (22,-2) to[bend right=20] (r);
			\draw (5,5) node{\emph{Ce schéma n'est pas à l'échelle.}};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Dans cet exercice j'utiliserai les notations canadiennes francophones des pouces et pieds c'est-à-dire respectivement $\mathrm{po}$ et $\mathrm{pi}$.}
		
		\medskip
		\objectif{Exprimons $e$ en centimètres.}
		
		D'après l'énoncé:
		
		\begin{align*}
		e &= \left( 4 \ {\color{orange}\mathrm{pi}} \right) + \left( 8,5\ \mathrm{po} \right)\\
		&= \left( 4 {\color{orange}\times 12\ \mathrm{po}} \right) + \left( 8,5\ \mathrm{po} \right)\\
		&= 56,5\ {\color{orange}\mathrm{po}}\\
		&= 56,5{\color{orange}\times 2,54\ \mathrm{cm}}\\
		&= 143,51\ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$e \approx 143,5\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère à présent une traverse en bois de chêne sec utilisée pour une voie de chemin de fer. Elle est modélisée par un pavé droit de $2,60\ \mathrm{m}$ de longueur, $28\ \mathrm{cm}$ de largeur et $14\ \mathrm{cm}$ d'épaisseur. La densité du chêne sec est de $690\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Construire un patron d’une traverse de chemin de fer à l’échelle $1/20$. On mettra en évidence les calculs effectués pour réaliser ce patron.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Dessinons un patron d'une traverse à l'échelle $1/20$.}
			
			Remarquons: $2,60\ {\color{orange}\mathrm{m}} = 2,60 {\color{orange} \times 100\ \mathrm{cm}} = 260\ \mathrm{cm}$.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
					\hline
					Taille réelle & $1$ & $14\ \mathrm{cm}$ & $28\ \mathrm{cm}$ & $260\ \mathrm{cm}$
					\\
					\hline
					À l'échelle & $\frac{1}{20}=0,05$ & $0,7\ \mathrm{cm}$ & $1,4\ \mathrm{cm}$ & $13\ \mathrm{cm}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			Par exemple: $\frac{1}{20} \times \left( 14\ \mathrm{cm} \right)= 0,7\ \mathrm{cm}$.
			
			Nous en déduisons le patron à l'échelle $1/20$:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A1) at (0,0);
				\coordinate (A2) at ({1.4},0);
				\coordinate (A3) at ({1.4+0.7},0);
				\coordinate (A4) at ({1.4+0.7+1.4},0);
				\coordinate (A5) at ({1.4+0.7+1.4+0.7},0);
				\coordinate (B1) at (0,13);
				\coordinate (B2) at ({1.4},13);
				\coordinate (B3) at ({1.4+0.7},13);
				\coordinate (B4) at ({1.4+0.7+1.4},13);
				\coordinate (B5) at ({1.4+0.7+1.4+0.7},13);
				\draw (A1) -- (B1) -- (B5) -- (A5) -- cycle;
				\draw (A2) -- (B2);
				\draw (A3) -- (B3);
				\draw (A4) -- (B4);
				\coordinate (D1) at (0,{-0.7});
				\coordinate (D2) at ({1.4},{-0.7});
				\draw (A1) -- (D1) -- (D2) -- (A2);
				\coordinate (E1) at (0,{13+0.7});
				\coordinate (E2) at ({1.4},{13+0.7});
				\draw (B1) -- (E1) -- (E2) -- (B2);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la masse d’une traverse en kilogramme. Donner la valeur exacte trouvée, puis la valeur arrondie à l’unité.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la masse $m_1$ d'une traverse.}
			
			En utilisant la densité du chêne qui constitue la traverse qui a la forme d'un parallélépipède rectangle:
			
			\begin{align*}
			m_1 &= {\color{WildStrawberry}\left( 690\ \mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3} \right)} \times {\color{RoyalBlue} \left( 14 \ \mathrm{cm} \right) \times \left( 28\ \mathrm{cm} \right) \times \left( 2,60\ \mathrm{m} \right)}\\
			&= 690 \times 14 \times 28 \times 2,60\ \mathrm{kg}\cdot {\color{orange}\mathrm{cm}^2} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{m}^{-3}\\
			&= \np{703248}\ \mathrm{kg} \cdot {\color{orange}\left(\frac{1}{100}\ \mathrm{m}\right)^2} \cdot \mathrm{m}^{-2}\\
			&= \np{703248}\times \frac{1}{100^2}\ \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^2 \cdot \mathrm{m}^{-2}\\
			&= 70,3248\ \mathrm{kg}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$m_1 \approx 70\ \mathrm{kg}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur le schéma ci-dessus, ne respectant pas l’échelle, on a noté $d$ la distance entre deux traverses. Sur une voie ferrée, on souhaite positionner $1520$ traverses par kilomètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la distance d, en expliquant la démarche choisie. On arrondira au centimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $d$ par une mise en équation.}
			
			Voici l'agencement (ou le motif pour reprendre la terminologie des frises et des pavages) qui doit être reproduit $\np{1520}$ fois par kilomètre:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
				\draw (11,2) -- (18,2);
				\draw (11,-2) -- (18,-2);
				\foreach \p in {12} \fill[color=red , opacity=0.25] ({\p-1},-3) -- ({\p+1},-3) -- ({\p+1},3) -- ({\p-1},3) -- cycle;
				\foreach \p in {12} \draw ({\p-1},-3) -- ({\p+1},-3) -- ({\p+1},3) -- ({\p-1},3) -- cycle;
				\foreach \p in {12} \draw[>=latex,<->] ({\p-1},-4) -- ({\p+1},-4) node[midway,below]{$0,28\ \mathrm{m}$};
				\draw[>=latex,<->] (13,-1.5) -- (18,-1.5) node[midway,above]{$d$};
				\node[draw](r) at (18,-5){rail};
				\node[draw](t) at (18,5){traverse};
				\draw[thin] (12,2.5) to[bend left=20] (t);
				\draw[thin] (17,-2) to[bend right=20] (r);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			Nous avons donc
			
			\begin{align*}
			\np{1520} \times \left[ \left( 0,28\ \mathrm{m} \right)+d \right] &= 1\ {\color{orange}\mathrm{km}}\\
			\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
			\np{1520} \times \left[ \left( 0,28\ \mathrm{m} \right)+d \right] &= 1 {\color{orange}\times \np{1000}\ \mathrm{m}}\\
			\frac{\np{1520} \times \left[ \left( 0,28\ \mathrm{m} \right)+d \right]}{\color{BlueViolet}\np{1520}} &= \frac{\np{1000}\ \mathrm{m}}{\color{BlueViolet} \np{1520}}\\
			\left( 0,28\ \mathrm{m} \right)+d &= \frac{25}{38}\ \mathrm{m}\\
			\left( 0,28\ \mathrm{m} \right)+d {\color{orange}-\left( 0,28\ \mathrm{m} \right)} &= \left( \frac{25}{38}\ \mathrm{m} \right)  {\color{orange}-\left( 0,28\ \mathrm{m} \right)}\\
			d &= \left( \frac{25}{38}-0,28\right)\ \mathrm{m} \\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$d \approx 0,38\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Reproduire, à l’échelle $1/20$ par rapport aux dimensions réelles, la figure avec les trois traverses ci-dessus. On mettra en évidence les calculs effectués pour réaliser cette figure.
			
		\end{sujet}
		
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Dessinons les trois traverses à l'échelle $1/20$.}
			
			Remarquons: $0,38\ {\color{orange}\mathrm{m}} = 0,38 {\color{orange} \times 100\ \mathrm{cm}} = 38\ \mathrm{cm}$.
			
			En notant $l$ et $L$ respectivement les largeurs et longueurs des traverses:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
					\hline
					Dénomination & $d$ & $l$ & $L$ & $e$
					\\
					\hline
					Taille réelle  & $38\ \mathrm{cm}$ & $28\ \mathrm{cm}$ & $260\ \mathrm{cm}$ & $143,5\ \mathrm{cm}$
					\\
					\hline
					À l'échelle & $1,9\ \mathrm{cm}$ & $1,4\ \mathrm{cm}$ & $13\ \mathrm{cm}$ & $7,175\ \mathrm{cm}$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=1]
				\def\l{13};
				\def\t{1.4};
				\def\d{1.9};
				\def\e{7.175};
				\draw (0,{\e/2}) -- ({3*(\t+\d)},{\e/2});
				\draw (0,{-\e/2}) -- ({3*(\t+\d)},{-\e/2});
				\foreach \p in {0,{\t+\d},{2*(\t+\d)}} \fill[color=red , opacity=0.25] ({\p},{-\l/2}) -- ({\p+\t},{-\l/2}) -- ({\p+\t},{\l/2}) -- ({\p},{\l/2}) -- cycle;
				\foreach \p in {0,{\t+\d},{2*(\t+\d)}} \draw ({\p},{-\l/2}) -- ({\p+\t},{-\l/2}) -- ({\p+\t},{\l/2}) -- ({\p},{\l/2}) -- cycle;
				\draw (4,7) node{\emph{Ce schéma est à l'échelle $1/20$.}};
				\draw[>=latex,<->,blue,dashed] ({\t},{-\e/2-1}) -- ({\t+\d},{-\e/2-1}) node[midway,below]{$d$};
				\draw[>=latex,<->,blue,dashed] ({\t+1},{-\e/2}) -- ({\t+1},{\e/2}) node[midway,right]{$e$};
				\draw[>=latex,<->,blue,dashed] ({-1},{-\l/2}) -- ({-1},{\l/2}) node[midway,left]{$L$};
				\draw[>=latex,<->,blue,dashed] ({0},{\e/2+1}) -- ({\t},{\e/2+1}) node[midway,above]{$l$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
	
	Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation 1: \og Le nombre $\frac{27}{45}$ est un nombre décimal.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}En tapant la division sur la calculatrice nous voyons que $\frac{27}{45}=0,6$. Il s'agit donc bien d'un nombre décimal. 
			
			Nous avons plusieurs possibilité pour démontrer que l'affirmation est juste. Nous pouvons montrer que
			
			\begin{itemize}
				\item $\frac{27}{45}$ admet une écriture décimale ne comportant que de zéros à partir d'un certain rang
				
				\item dans la forme irréductible de $\frac{27}{45}$ son dénominateur n'a que $2$ ou $5$ comme facteurs premiers (et éventuellement $1$ si le nombre donné avait été un entier).
				
				\item $\frac{27}{45}$ égale une fraction dont le dénominateur est un multiple de $10$.
			\end{itemize}
			
			Je vais le faire de la première façon.
		}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $\frac{27}{45}$ est un nombre décimal.}
		
		Procédons à la division posée en potence de $27$ par $45$  \[\opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45} \]
		
		Donc $\frac{27}{45}$ admet une écriture décimale n'admettant que des zéros à partir d'un certain rang autrement dit $\frac{27}{45}$ est un nombre décimal.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion} 
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation 2: \og Si $a$ et $b$ sont deux nombres décimaux positifs non nuls, alors le résultat de la division de $a$ par $b$ est plus petit que $a$. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Un résultat général qui semble difficile à démontrer. En testant quelques valeurs nous voyons que cela ne fonctionne pas. 
			
			Pour démontrer qu'une règle générale (propriété universelle) est fausse il suffit de trouver un cas pour lequel çà ne fonctionne pas.}
		
		\medskip
		\objectif{Exhibons un contre-exemple.}
		
		$a=1$ et $b=0,1$ sont des nombres décimaux et $\frac{a}{b}=\frac{1}{0,1}=10$. Donc dans ce cas $a<\frac{a}{b}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation 3: \og La somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de $3$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Quelques essais semblent confirmer la proposition. Essayons de démontrer ce résultat général.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de $3$.}
		
		{\color{orange}Le résultat doit être démontrer pour n'importe quelle série de trois entiers consécutifs. Nous choisissons donc un entier quelconque mais sans lui donnée une valeur particulière pour que notre raisonnement garde sa valeur générale.}
		
		\medskip
		Soit $n \in \mathbb{Z}$.
		
		Alors $n$, $n+1$ et $n+2$ sont trois entiers consécutifs.
		
		Nous avons
		
		\begin{align*}
		n+(n+1)+(n+2) &= n+n+1+n+2\\
		&= {\color{orange}3}n +3\\
		&= {\color{orange}3}n +{\color{orange}3} {\color{WildStrawberry}\times 1}\\
		&= {\color{orange}3} (n+1)
		\end{align*}
		
		Donc la somme des trois entiers consécutifs est bien un multiple de trois. De plus ce résultat est bien général puisqu'il est vrai quelque soit la valeur choisie pour $n$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation 4: \og $42$ possède exactement $7$ diviseurs positifs.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons tous les diviseurs (positifs) de $42$.}
		
		Remarquons tout d'abord que la décomposition de $42$ en facteurs premiers est: $42= 2 \times 3 \times 7$.
		
		Présentons le diviseurs sous forme d'arbre:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			%Création des nœuds
			\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
			\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
			\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
			\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
			%Branches entre les nœuds
			\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
			\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
			\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Nous voyons que $42$ possède exactement $8$ diviseurs positifs.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation $4$ est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	On donne un triangle $RTS$ où $[RS]$ mesure $10\ \mathrm{cm}$ et $[RT]$ mesure $10,5\ \mathrm{cm}$.
	
	Le point $S’$ est le point de la droite $(RS)$ tel que $[SS’]$ mesure $4\ \mathrm{cm}$ et les points $R$, $S$ et $S’$ sont alignés dans cet ordre.
	
	Le point $T’$ est le point de la droite $(RT)$ tel que $[TT’]$ mesure $4\mathrm{cm}$ et les points $R$, $T$ et $T’$ sont alignés dans cet ordre.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\foreach \M/\x/\y in {R/3/9, S/1/3, S'/0/0, T'/9.5/2.5, T/7.5/4.5} \coordinate (\M) at (\x,\y);
		\draw (R) -- (S) node[midway,left] {$10\ \mathrm{cm}$};
		\draw (S) -- (S') node[midway,left] {$4\ \mathrm{cm}$};
		\draw (S') -- (T') node[midway,left] {};
		\draw (T') -- (T) node[midway,right] {$4\ \mathrm{cm}$};
		\draw (T) -- (R) node[midway,right] {$10,5\ \mathrm{cm}$};
		\draw (S) -- (T) node[midway,left] {};
		\draw (R) node[above]{$R$};
		\draw (S) node[above left]{$S$};
		\draw (S') node[below left]{$S'$};
		\draw (T') node[below right]{$T'$};
		\draw (T) node[above right]{$T$};
		\draw (5,10) node {\emph{La figure n'est pas à l'échelle.}};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les droites $(ST)$ et $(S’T’)$ sont-elles parallèles? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $(ST)$ et $(S'T')$ ne sont pas parallèles.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.}
			
			Les points $R$, $S$, $S'$ d'une part et $R$, $T$ et $T'$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèse.}
			
			D'une part:
			\begin{align*}
			\frac{RS}{RS'} &= \frac{RS}{RS+SS'}\\
			&= \frac{10}{10+4}\\
			&= \frac{5}{7}
			\end{align*}
			
			d'autre part:
			\begin{align*}
			\frac{RT}{RT'} &= \frac{RT}{RT+TT'}\\
			&= \frac{10,5}{10,5+4}\\
			&= \frac{3 \times 7}{29}
			\end{align*}
			
			donc, d'après l'irréductible des fractions: $\frac{RS}{RS'} \ne \frac{RT}{RT'}$.
			
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédentes nous déduisons, d'après la contraposée du théorème de Thalès que 
		
		\begin{conclusion}
			
			$(ST)$ et $(S'T')$ sont sécantes.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les autres mesures données restant les mêmes, déterminer la longueur que doit avoir le segment $[TT’]$ pour que $(ST)$ et $(S’T’)$ soient parallèles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En reprenant le contexte de la correction de la question précédente, il y aura parallélisme si et seulement si, d'après le théorème de Thalès:
		
		\begin{align*}
		\frac{RS}{RS'} &= \frac{RT}{RT'}\\
		\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
		\frac{10}{10+4} &= \frac{10,5}{10,5+TT'}\\
		\frac{5}{7} &= \frac{10,5}{10,5+TT'}\\
		\intertext{\color{orange}en procédant à un produit en croix:}
		5 (10,5 +TT') &= 7 \times 10,5\\
		\frac{5 (10,5 +TT')}{\color{orange}5} &= \frac{73,5}{\color{orange}5}\\
		10,5 +TT' &= 14,7\\
		10,5 +TT' {\color{orange}-10,5} &= 14,7 {\color{orange}-10,5}\\
		TT' &= 4,2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$(ST)$ et $(S'T')$ seront parallèles si et seulement si $TT'= 4,2\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Soit $N$ un nombre entier compris entre $100$ et $999$.
			
			$N$ s’écrit sous la forme $N=a \times 100+b \times 10+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers compris entre $0$ et $9$.
			
			Démontrer que si le nombre formé par le chiffre des dizaines et le chiffre des unités est divisible par $4$ alors $N$ est divisible par $4$. Par exemple, pour $732$, comme $32$ est divisible par $4$ alors $732$ est divisible par $4$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons le critère de divisibilité par $4$ proposé.}
			
			Supposons que $b \times 10+c$ est divisible par $4$.
			
			Autrement dit: il existe un entier naturel $q$ tel que $b\times 10+c=4q$.
			
			Alors
			
			\begin{align*}
			N &= a\times 100 + b\times 10 +c\\
			&= 100a +10b+c\\
			&= 100a +4q\\
			&= {\color{orange}4 \times }25a={\color{orange}4 \times}q\\
			&= {\color{orange}4 \times}(25a+q)
			\end{align*}
			
			Ainsi $N$ est bien divisible par $4$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le nombre formé par le chiffre des dizaines et le chiffre des unités est divisible par $4$ alors $N$ est divisible par $4$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Cette règle fonctionne-t-elle pour la divisibilité par $8$, c’est à dire, \og Si le nombre formé par le chiffre des dizaines et le chiffre des unités d’un nombre $N$ supérieur à $10$ est divisible par $8$ alors $N$ est divisible par $8$ \fg{}?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Le ton de la question est beaucoup moins péremptoire qu'à la question précédente ce qui nous incite à rechercher un contre-exemple.}
			
			\medskip
			\objectif{Démontrons que cette règle ne fonctionne pas pour la divisibilité par $8$.}
			
			Posons $N=308$.
			
			Nous avons bien
			
			\begin{itemize}
				\item $100 \leqslant N \leqslant 999$
				\item $N >10$,
				\item le nombre formé par le chiffre des dizaines et le chiffre des unités, à savoir $08$, est divisible par $8$,
			\end{itemize}
			
			et pourtant la décomposition en facteurs premiers de $308$ étant $2^2 \times 7 \times 11$, nous pouvons affirmer que $308$ ,est pas divisible par $8=2^3$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Cette règle ne fonctionne pas pour le divisibilité par $8$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère toujours un nombre entier $N$ compris entre $100$ et $999$ s’écrivant sous la forme $N= A \times 100 + b \times 10 +c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des entiers compris entre $0$ et $9$.
		
		Calculer $N-(a+b+c)$. Démontrer que si $a+b+c$ est divisible par $9$, alors $N$ l’est aussi.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que si $a+b+c$ est divisible par $9$ alors $N$ l'est aussi.}
		
		Supposons donc que $a+b+c$ est démontrons qu'alors, nécessairement, $N$ est aussi divisible par $9$. Ainsi nous savons qu'il existe un entier naturel $q$ tel que $a+b+c=9$.
		
		\medskip
		{\color{orange}Suivons à l'aveugle les consignes de l'énoncé:}
		\begin{align*}
		N-(a+b+c) &= 100a+10b+c-a-b-c\\
		&= 100a-1a +10b-1b +c-c\\
		&= 99a+9b\\
		&= {\color{orange}9} \times 11a +{\color{orange}9} \times b\\
		&= {\color{orange}9}(11a+b)\\
		\intertext{par conséquent:}
		N &= (a+b+c)+9(11a+b)
		\intertext{Or par hypothèse $a+b+c=9q$ donc}
		N &= {\color{WildStrawberry}9}q +{\color{WildStrawberry}9}(11a+b)\\
		&= {\color{WildStrawberry}9}\left[q +(11a+b) \right]\
		\end{align*}
		
		Tous les nombres intervenant dans cette écriture étant des entiers cela signifie que $N$ est divisible par $9$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Si la somme des chiffres de $N$ est divisible par $9$ alors $N$ est divisible par $9$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	On s’intéresse à l’expérience aléatoire suivante: on lance deux dés équilibrés à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ (un dé vert et un dé rouge). Le résultat de l’expérience est le plus grand des deux nombres sur les faces supérieures des dés.
	
	Par exemple, si le dé vert indique \og $3$ \fg{} sur sa face supérieure et le dé rouge indique \og $5$ \fg{}, le résultat de l’expérience est $5$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que la probabilité que le résultat de l’expérience soit $2$ est égale à $\frac{1}{12}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Schématisons la situation avec un tableau double entrée que nous remplirons du maximum des chiffres affichés par les deux dés.}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$2$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$5$ & \cellcolor{red!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & $2$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $3$ & $3$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $4$ & $4$ & $4$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		{\color{orange}Modélisons maintenant l'expérience aléatoire.}
		
		Notons $\Omega$ l'ensemble des couples d'entiers compris entre $1$ et $6$ représentant toutes les issues possibles lors du lancé des deux dés.
		
		Les dés étant équilibrés il est naturel de munir $\Omega$ de l'équiprobabilité: tous les couples de nombres ont la même probabilité d'être obtenus.
		
		\medskip
		{\color{orange}La présentation la plus élégante des différents événements intervenant dans l'exercice consisterai à introduire la variable aléatoire $X$ indiquant le maximum des deux faces. je fais un choix différent.}
		
		\medskip
		Notons $A$ l'événement obtenir un maximum égale à $2$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$2$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$5$ & \cellcolor{red!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & $1$ & \cellcolor{blue!60}$2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & \cellcolor{blue!60}$2$ & \cellcolor{blue!60}$2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $3$ & $3$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $4$ & $4$ & $4$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		Il y a équiprobabilité (entre les couples), $A$ est réalisé (d'après le tableau) par $3$ issues et l'univers $\Omega$ comporte (toujours d'après le tableau) $36$ issues donc: \[ \mathbb{P}(A) =\frac{3}{36}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(A) =\frac{1}{12}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité que le résultat de l’expérience soit $6$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $B$ l'événement obtenir un maximum de $6$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$2$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$5$ & \cellcolor{red!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & \cellcolor{blue!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & $2$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & \cellcolor{blue!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $3$ & $3$ & $3$ & $4$ & $5$ & \cellcolor{blue!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $4$ & $4$ & $4$ & $4$ & $5$ & \cellcolor{blue!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $5$ & \cellcolor{blue!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$6$ & \cellcolor{blue!60}$6$ & \cellcolor{blue!60}$6$ & \cellcolor{blue!60}$6$ & \cellcolor{blue!60}$6$ & \cellcolor{blue!60}$6$ & \cellcolor{blue!60}$6$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		Il y a équiprobabilité, $B$ est réalisé (d'après le tableau) par $11$ issues et l'univers $\Omega$ comporte $36$ issues donc:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(B) =\frac{11}{36}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que la probabilité que le résultat de l’expérience soit un nombre inférieur ou égal à $3$ est égale à $\frac{1}{4}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $C$ l'événement obtenir un maximum qui soit inférieur ou égale à $3$. Autrement dit $1$, $2$ ou $3$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$2$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$5$ & \cellcolor{red!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & \cellcolor{blue!60}$1$ & \cellcolor{blue!60}$2$ & \cellcolor{blue!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & \cellcolor{blue!60}$2$ & \cellcolor{blue!60}$2$ & \cellcolor{blue!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & \cellcolor{blue!60}$3$ & \cellcolor{blue!60}$3$ & \cellcolor{blue!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $4$ & $4$ & $4$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		Les issues qui nous intéressent forment un carré de trois cases de côté dans le tableau. Il y a donc $3\times 3=9$ issues.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(C)$.}
		
		Il y a équiprobabilité, $C$ est réalisé (d'après le tableau) par $9$ issues et l'univers $\Omega$ comporte $36$ issues donc: \[ \mathbb{P}(C)=\frac{9}{36}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(C) =\frac{1}{4}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que la probabilité que le résultat de l’expérience soit un nombre inférieur ou égal au nombre $n$, où $n$ est un nombre entier compris entre $1$ et $6$, est égale à $\frac{n^2}{36}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $D_n$ l'événement obtenir un maximum qui soit inférieur ou égale à $n$.
		
		En raisonnant comme à la question précédente nous remarquons que les issues qui nous intéressent dessinent un carré de $n$ cases de côté dans le tableau. Il y a donc $n \times n=n^2$ issues.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(D_n)$.}
		
		Il y a équiprobabilité, $D_n$ est réalisé (d'après le tableau) par $n^2$ issues et l'univers $\Omega$ comporte $36$ issues donc: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(D_n) =\frac{n^2}{36}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que la probabilité que le résultat de l’expérience soit le nombre $n$, où $n$ est un nombre entier compris entre $1$ et $6$, est $\frac{2n-1}{36}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous remarquons sur le tableau que, par exemple, la probabilité d'obtenir $3$ est $\mathbb{P}(D_3)-\mathbb{P}(D_2)$.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$2$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$5$ & \cellcolor{red!60}$6$
					\\
					\hline
					\cellcolor{green!60}$1$ & \cellcolor{blue!30}$1$ & \cellcolor{blue!30}$2$ & \cellcolor{blue!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$
					\\
					\hline
					\cellcolor{green!60}$2$ & \cellcolor{blue!30}$2$ & \cellcolor{blue!30}$2$ & \cellcolor{blue!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$
					\\
					\hline
					\cellcolor{green!60}$3$ & \cellcolor{blue!60}$3$ & \cellcolor{blue!60}$3$ & \cellcolor{blue!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$
					\\
					\hline
					\cellcolor{green!60}$4$ & $4$ & $4$ & $4$ & $4$ & $5$ & $6$
					\\
					\hline
					\cellcolor{green!60}$5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $5$ & $6$
					\\
					\hline
					\cellcolor{green!60}$6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$ & $6$
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
				
			\end{center}
			
			C'est l'idée qui est ici généralisée.
		}
		
		\medskip
		Notons $E_n$ l'événement obtenir $n$ pour $n$ entier compris entre $1$ et $6$.
		
		\medskip
		\objectif{Exprimons $\mathbb{P}(E_n)$ en fonction de $n$.}
		
		Raisonnons par disjonction des cas.
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Si $n=1$ alors $\frac{2n-1}{36}=\frac{1}{36}$. Nous obtenons bien $\mathbb{P}(E_1)$.
			
			\item Si $2 \leqslant n \leqslant 6$ alors en raisonnant sur les carrés dans le tableaux nous avons
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(E_n) &= \mathbb{P}(D_n)-\mathbb{P}(D_{n-1})\\
			\intertext{Et d'après la question précédente:}
			\mathbb{P}(E_n) &= \frac{n^2}{36}-\frac{(n-1)^2}{36}\\
			&= \frac{n^2-(n-1)^2}{36}\\
			&= \frac{n^2-(n^2 -2 \times n \times 1 +1^2)}{36}\\
			&= \frac{n^2-(n^2-2n+1)}{36}\\
			&= \frac{n^2-n^2+2n-1}{36}\\
			&= \frac{2n-1}{36}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Dans tous les cas nous avons bien:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathbb{P}(E_n)=\frac{2n-1}{36}$ pour tout $n \in \llbracket 1;6 \rrbracket$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant envisage de proposer l’énoncé suivant à des élèves de CM1.
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Voici un segment de $5\ \mathrm{cm}$.
			\\
			\\
			Complète la figure en traçant un rectangle $ABCD$ de longueur $5\ \mathrm{cm}$ et de largeur $3\ \mathrm{cm}$.
			\\
			\vspace{3cm}
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A) at (0,0);
				\draw (A) node {$\times$};
				\draw (A) node[above right] {$A$};
				\def\thet{7};
				\coordinate (B) at ({5*cos(\thet)},{5*sin(\thet)});
				\draw (B) node {$\times$};
				\draw (B) node[above right] {$B$};
				\draw (A) -- (B);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			\vspace{3cm}
			~
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner deux propriétés du rectangle que les élèves vont devoir mobiliser pour effectuer la construction demandée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer deux erreurs que les élèves de CM1 peuvent faire lors de la construction du rectangle.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Lors de la phase d’institutionnalisation, l’enseignant souhaite faire copier une phrase, dans le cahier des élèves, définissant le rectangle. Il interroge les élèves pour qu’ils fassent des propositions.
		
		Voici la proposition de trois élèves:
		
		Élève 1: \og \emph{Un rectangle est un polygone à quatre côtés avec les côtés opposés qui ont la même longueur.} \fg{}
		
		Élève 2: \og \emph{Un rectangle est un polygone qui a $4$ côtés et $4$ angles droits et avec des côtés plus longs que les autres sinon ça serait un carré.} \fg{}
		
		Élève 3: \og \emph{Un rectangle est un polygone qui a $4$ angles droits.} \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi chacune des trois réponses proposées ne convient pas mathématiquement pour définir un rectangle.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une définition qui pourrait être notée dans les cahiers des élèves.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant propose à ses élèves de CM2 l’exercice suivant, inspiré du manuel \og A portée de maths CM2 (édition Hachette éducation, 2008)\fg{}:
	
	\hspace*{-1cm}
	\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_06_fractions.png}
	
	\medskip
	Voici la production d’un élève:
	
	\hspace*{-1cm}
	\includegraphics[scale=0.3	]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_07_fractions_eleve.png}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les réponses proposées par l’élève.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner un exemple de ce que l’enseignant pourrait proposer pour permettre à l’élève de constater que ses réponses sont incorrectes.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant propose la situation ci-dessous en Grande Section (GS) de maternelle, inspirée du fichier \og Pour comprendre les mathématiques - CP \fg{}, cycle2, Hachette éducation, 2016.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_08_aquarium.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux procédures que les élèves de Grande Section peuvent mobiliser pour répondre à la question posée?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève de Grande Section ne fournit pas la réponse attendue. Proposer une autre tâche, sur le même champ mathématique, mais permettant à l’élève de valider ou d’invalider le résultat trouvé.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour quels types de calculs les compléments à $10$ seront-ils utiles au cycle 2? Donner deux exemples concrets d’utilisation des compléments à $10$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 4.}

\begin{sujet}
	
	Voici une situation proposée dans une classe de CE2, peu de temps après l’introduction de la table de multiplication par $7$:
	
	\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_09_suite.png}
	
	\begin{center}
		
		Élève A:
		
		\vspace*{0.1cm}
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_10_suite_eleve_a.png}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		Élève B:
		
		\vspace*{0.1cm}
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_11_suite_eleve_b.png}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		Élève C:
		
		\vspace*{0.1cm}
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_5_12_suite_eleve_c.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser chacune des productions en termes de réussites et d’erreurs.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner un exemple de correction de la série $2$ que l’enseignant pourrait proposer pour aider les élèves à soustraire $7$ en s’appuyant sur la connaissance des compléments à $10$.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 6.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_6_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_6_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci à M. Meynier, Mme Ducournau, M. Bouvillon et Mme Champagnat pour toutes les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Dans tout le problème, on considère le triangle $ABC$ rectangle en $A$, tel que $AB = 6\ \mathrm{cm}$ et $AC = 8\ \mathrm{cm}$.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: étude d’une première disposition.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, trois points $I$, $K$ et $J$ sont définis de la façon suivante:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $I$ est un point du segment $[AB]$;
		
		\item $K$ est le point du segment $[BC]$ tel que $(KI)$ est perpendiculaire à $(AB)$;
		
		\item $J$ est le point du segment $[AC]$ tel que $(KJ)$ est perpendiculaire à $(AC)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Coordonnées de A
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Translation de A vers B
		\def\xAB{6};
		\def\yAB{0};
		%Translation de A vers C
		\def\xAC{0};
		\def\yAC{8};
		%Création des points A, B et C
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\draw (A) node{$\times$};
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
		\draw (B) node{$\times$};
		\draw (B) node[below right]{$B$};
		\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
		\draw (C) node{$\times$};
		\draw (C) node[above right]{$C$};
		%ABC
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		%Translation de A vers I
		\def\xAI{2.4};
		\def\yAI{0};
		%Point I
		\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
		\draw (I) node{$\times$};
		\draw (I) node[below] {$I$};
		%Point K
		\coordinate (K) at ({\xAI},{8*(6-\xAI)/6});
		\draw (K) node{$\bullet$};
		\draw (K) node[above right] {$K$};
		%Point J
		\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
		\draw (J) node{$\bullet$};
		\draw (J) node[left] {$J$};
		%AIKJ
		\draw (I) -- (K) -- (J);
		%Marque angle droit
		\def\petitrait{0.1*\xAB};
		\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
		\end{tikzpicture}
		
		Figure 1.
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $AIKJ$ est un rectangle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions que $AIKJ$ est un rectangle.}
		
		{\color{orange}Nous admettrons que le quadrilatère $AIKJ$ est convexe.}
		
		\medskip
		$ABC$ est rectangle en $A$ donc $\widehat{IAJ}$ est droit.
		
		$(KI)$ est perpendiculaire à $(AB)$ donc $\widehat{KIA}$ est droit.
		
		$(KJ)$ est perpendiculaire à $(AC)$ donc $\widehat{AJK}$ est droit.
		
		Le quadrilatère convexe) $AIKJ$ ayant trois angles droits nous pouvons affirmer:
		
		\begin{conclusion}
			
			$AIKJ$ est un rectangle.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On se place dans le cas où $AI = 2,4\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Tracer le triangle $ABC$ en vraie grandeur et placer les points $I$, $J$ et $K$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Voici une construction à la règle non graduée (hormis pour le point $I$) et  au compas.
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Coordonnées de A
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				%Translation de A vers B
				\def\xAB{6};
				\def\yAB{0};
				%Translation de A vers C
				\def\xAC{0};
				\def\yAC{8};
				%Création des points A, B et C
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				%ABC
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				%Translation de A vers I
				\def\xAI{2.4};
				\def\yAI{0};
				%Point I
				\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
				%\draw (I) node{$\times$};
				%\draw (I) node[below right] {$I$};
				%Point K
				\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (K) node{$\bullet$};
				%\draw (K) node[above right] {$K$};
				%Point J
				\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (J) node{$\bullet$};
				%\draw (J) node[above left] {$J$};
				%AIKJ
				%\draw (I) -- (K);
				%Marque angle droit
				\def\petitrait{0.1*\xAB};
				\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
				%Point de construction E
				\def\xIE{-1};
				\def\yIE{0};
				\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
				\end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Coordonnées de A
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				%Translation de A vers B
				\def\xAB{6};
				\def\yAB{0};
				%Translation de A vers C
				\def\xAC{0};
				\def\yAC{8};
				%Création des points A, B et C
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				%ABC
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				%Translation de A vers I
				\def\xAI{2.4};
				\def\yAI{0};
				%Point I
				\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
				\draw (I) node{$\times$};
				\draw (I) node[below right] {$I$};
				%Point K
				\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (K) node{$\bullet$};
				%\draw (K) node[above right] {$K$};
				%Point J
				\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (J) node{$\bullet$};
				%\draw (J) node[above left] {$J$};
				%AIKJ
				%\draw (I) -- (K);
				%Marque angle droit
				\def\petitrait{0.1*\xAB};
				\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
				%Point de construction E
				\def\xIE{-1};
				\def\yIE{0};
				\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
				\end{tikzpicture}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Coordonnées de A
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				%Translation de A vers B
				\def\xAB{6};
				\def\yAB{0};
				%Translation de A vers C
				\def\xAC{0};
				\def\yAC{8};
				%Création des points A, B et C
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				%ABC
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				%Translation de A vers I
				\def\xAI{2.4};
				\def\yAI{0};
				%Point I
				\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
				\draw (I) node{$\times$};
				\draw (I) node[below right] {$I$};
				%Point K
				\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (K) node{$\bullet$};
				%\draw (K) node[above right] {$K$};
				%Point J
				\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (J) node{$\bullet$};
				%\draw (J) node[above left] {$J$};
				%AIKJ
				%\draw (I) -- (K);
				%Marque angle droit
				\def\petitrait{0.1*\xAB};
				\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
				%Point de construction E
				\def\xIE{-1};
				\def\yIE{0};
				\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
				%Marques sur le segment [AB]
				\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				\end{tikzpicture}		
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Coordonnées de A
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				%Translation de A vers B
				\def\xAB{6};
				\def\yAB{0};
				%Translation de A vers C
				\def\xAC{0};
				\def\yAC{8};
				%Création des points A, B et C
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				%ABC
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				%Translation de A vers I
				\def\xAI{2.4};
				\def\yAI{0};
				%Point I
				\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
				\draw (I) node{$\times$};
				\draw (I) node[below right] {$I$};
				%Point K
				\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (K) node{$\bullet$};
				%\draw (K) node[above right] {$K$};
				%Point J
				\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (J) node{$\bullet$};
				%\draw (J) node[above left] {$J$};
				%AIKJ
				%\draw (I) -- (K);
				%Marque angle droit
				\def\petitrait{0.1*\xAB};
				\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
				%Point de construction E
				\def\xIE{-1};
				\def\yIE{0};
				\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
				%Marques sur le segment [AB]
				\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				%Marques médiatrice passant par I
				\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=100:140] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-140:-100] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				%Médiatrice passant par I
				\draw [dashed] ({\xA+\xAI},{-0.4*8*(6-\xAI)/6}) -- ({\xA+\xAI},{1.6*8*(6-\xAI)/6});
				\end{tikzpicture}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Coordonnées de A
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				%Translation de A vers B
				\def\xAB{6};
				\def\yAB{0};
				%Translation de A vers C
				\def\xAC{0};
				\def\yAC{8};
				%Création des points A, B et C
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				%ABC
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				%Translation de A vers I
				\def\xAI{2.4};
				\def\yAI{0};
				%Point I
				\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
				\draw (I) node{$\times$};
				\draw (I) node[below right] {$I$};
				%Point K
				\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
				\draw (K) node{$\bullet$};
				\draw (K) node[above right] {$K$};
				%Point J
				\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (J) node{$\bullet$};
				%\draw (J) node[above left] {$J$};
				%AIKJ
				\draw (I) -- (K);
				%Marque angle droit
				\def\petitrait{0.1*\xAB};
				\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
				%Point de construction E
				\def\xIE{-1};
				\def\yIE{0};
				\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
				%Marques sur le segment [AB]
				\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				%Marques médiatrice passant par I
				\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=100:140] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-140:-100] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				%Médiatrice passant par I
				\draw [dashed] ({\xA+\xAI},{-0.4*8*(6-\xAI)/6}) -- ({\xA+\xAI},{1.6*8*(6-\xAI)/6});
				\end{tikzpicture}		
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Coordonnées de A
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				%Translation de A vers B
				\def\xAB{6};
				\def\yAB{0};
				%Translation de A vers C
				\def\xAC{0};
				\def\yAC{8};
				%Création des points A, B et C
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				%ABC
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				%Translation de A vers I
				\def\xAI{2.4};
				\def\yAI{0};
				%Point I
				\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
				\draw (I) node{$\times$};
				\draw (I) node[below right] {$I$};
				%Point K
				\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
				\draw (K) node{$\bullet$};
				\draw (K) node[above right] {$K$};
				%Point J
				\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (J) node{$\bullet$};
				%\draw (J) node[above left] {$J$};
				%AIKJ
				\draw (I) -- (K);
				%Marque angle droit
				\def\petitrait{0.1*\xAB};
				\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
				%Point de construction E
				\def\xIE{-1};
				\def\yIE{0};
				\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
				%Marques sur le segment [AB]
				\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				%Marques médiatrice passant par I
				\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=100:140] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-140:-100] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				%Médiatrice passant par I
				\draw [dashed] ({\xA+\xAI},{-0.4*8*(6-\xAI)/6}) -- ({\xA+\xAI},{1.6*8*(6-\xAI)/6});
				%Marques sur la droite (IK)
				\draw[dashed][samples=100,domain=70:110] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-110:-70] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
				\end{tikzpicture}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				%Coordonnées de A
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				%Translation de A vers B
				\def\xAB{6};
				\def\yAB{0};
				%Translation de A vers C
				\def\xAC{0};
				\def\yAC{8};
				%Création des points A, B et C
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				%ABC
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				%Translation de A vers I
				\def\xAI{2.4};
				\def\yAI{0};
				%Point I
				\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
				\draw (I) node{$\times$};
				\draw (I) node[below right] {$I$};
				%Point K
				\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
				\draw (K) node{$\bullet$};
				\draw (K) node[above right] {$K$};
				%Point J
				\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
				%\draw (J) node{$\bullet$};
				%\draw (J) node[above left] {$J$};
				%AIKJ
				\draw (I) -- (K);
				%Marque angle droit
				\def\petitrait{0.1*\xAB};
				\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
				%Point de construction E
				\def\xIE{-1};
				\def\yIE{0};
				\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
				%Marques sur le segment [AB]
				\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				%Marques médiatrice passant par I
				\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=100:140] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-140:-100] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				%Médiatrice passant par I
				\draw [dashed] ({\xA+\xAI},{-0.4*8*(6-\xAI)/6}) -- ({\xA+\xAI},{1.6*8*(6-\xAI)/6});
				%Marques sur la droite (IK)
				\draw[dashed][samples=100,domain=70:110] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-110:-70] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
				%Marques médiatrice passant par K
				\draw[dashed][samples=100,domain=110:150] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6-2});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-150:-110] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6+2});
				\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6-2});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6+2});
				%Médiatrice passant par K
				\draw[dashed] ({-1+\xA},{8*(6-\xAI)/6}) -- ({1.8*(\xA+\xAI)},{8*(6-\xAI)/6});
				\end{tikzpicture}
				
			}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=1]
				%Coordonnées de A
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				%Translation de A vers B
				\def\xAB{6};
				\def\yAB{0};
				%Translation de A vers C
				\def\xAC{0};
				\def\yAC{8};
				%Création des points A, B et C
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				%ABC
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				%Translation de A vers I
				\def\xAI{2.4};
				\def\yAI{0};
				%Point I
				\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
				\draw (I) node{$\times$};
				\draw (I) node[below right] {$I$};
				%Point K
				\coordinate (K) at ({\xA+\xAI},{\yA+8*(6-\xAI)/6});
				\draw (K) node{$\bullet$};
				\draw (K) node[above right] {$K$};
				%Point J
				\coordinate (J) at ({\xA},{8*(6-\xAI)/6});
				\draw (J) node{$\bullet$};
				\draw (J) node[above left] {$J$};
				%AIKJ
				\draw (I) -- (K) -- (J);
				%Marque angle droit
				\def\petitrait{0.1*\xAB};
				\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
				%Point de construction E
				\def\xIE{-1};
				\def\yIE{0};
				\coordinate (E) at ({\xA+\xAI+\xIE},{\yA+\yAI+\yIE});
				%Marques sur le segment [AB]
				\draw[dashed][samples=100,domain=160:200] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-20:20] plot({-\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI},{-\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI});
				%Marques médiatrice passant par I
				\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=100:140] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI+\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-140:-100] plot({-2*\xIE*cos(\x)+\xA+\xAI-\xIE},{-2*\xIE*sin(\x)+\yA+\yAI+\yIE});
				%Médiatrice passant par I
				\draw [dashed] ({\xA+\xAI},{-0.4*8*(6-\xAI)/6}) -- ({\xA+\xAI},{1.6*8*(6-\xAI)/6});
				%Marques sur la droite (IK)
				\draw[dashed][samples=100,domain=70:110] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-110:-70] plot({2*cos(\x)+\xA+\xAI},{2*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6});
				%Marques médiatrice passant par K
				\draw[dashed][samples=100,domain=110:150] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6-2});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-150:-110] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6+2});
				\draw[dashed][samples=100,domain=40:80] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6-2});
				\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-40] plot({2.5*cos(\x)+\xA+\xAI},{2.5*sin(\x)+\yA+8*(6-\xAI)/6+2});
				%Médiatrice passant par K
				\draw[dashed] ({-1+\xA},{8*(6-\xAI)/6}) -- ({1.8*(\xA+\xAI)},{8*(6-\xAI)/6});
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $IK = 4,8\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $IK$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Configuration de Thalès.}
				
				Les points $B$, $I$, $A$ d'une part et $B$, $K$ ,$C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
				
				\item {\color{orange}Hypothèse du théorème.}
				
				$(IK) \parallel (AC)$.
				
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{BI}{BA} = \frac{IK}{AC} \]
			
			Cette égalité équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
			\frac{AB-AI}{AB} &= \frac{IK}{AC}\\
			\intertext{\color{orange}Les longueurs étant toutes exprimées en centimètres:}
			\frac{6-2,4}{6} &= \frac{IK}{8}\\
			\frac{3.6}{6} &= \frac{IK}{8}\\
			\frac{3.6}{6} {\color{orange}\times 8} &= \frac{IK}{8} {\color{orange}\times 8}\\
			4,8 &= IK
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$IK=4,8\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire du rectangle $AIKJ$, en centimètre carré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(AIKJ)$ du rectangle $AIKJ$.}
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(AIKJ) &= AI \times KJ\\
			& \left( 2,4\ \mathrm{cm} \right) \times \left( 4,8\ \mathrm{cm} \right)\\
			&= 2,4 \times 4,8\ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(AIKJ) = 11,52\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le point $I$ est mobile sur le segment $[AB]$, la longueur $AI$ est donc variable.
		
		On pose $AI = x$, où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $6$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer $BI$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $BI$.}
			
			$I \in [AB]$, $AB=6\ \mathrm{cm}$ et $AI=x$ (avec $x$ exprimé en centimètres) donc en centimètres:
			
			\begin{align*}
			BI &= AB-AI
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$BI=6-x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\displaystyle IK= 8-\frac{4}{3}x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $IK$.}
			
			En utilisant le théorème de Thalès comme à la question 2.(b) nous obtenons:
			
			
			\begin{align*}
			\frac{BI}{BA} &= \frac{IK}{AC} \\
			\intertext{Cette égalité équivaut successivement à:}
			\frac{AB-AI}{AB} &= \frac{IK}{AC}\\
			\frac{6-x}{6} &= \frac{IK}{8}\\
			\frac{6-x}{\color{WildStrawberry}6} {\color{orange}\times 8} &= \frac{IK}{8} {\color{orange}\times 8}\\
			\left(\frac{6}{\color{WildStrawberry}6}-\frac{x}{\color{WildStrawberry}6} \right) \times 8 &= IK\\
			\left( 1-\frac{1}{6}x \right){\color{PineGreen}8} &= IK\\
			1 \times {\color{PineGreen}8} -\frac{1}{6}x \times {\color{PineGreen}8} &= IK\\
			8 -\frac{8}{6}x &= IK \\
			8 -\frac{4 {\color{orange}\times 2}}{3 {\color{orange}\times 2}}x &= IK
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$IK=8 -\frac{4}{3}x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire une expression de l'aire de rectangle $AIKJ$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons l'aire $\mathscr{A}(AIKJ)$ du rectangle $AIKJ$ en fonction de $x$.}
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(AIKJ) &= AI \times IK\\
			&=  x \times \left( 8-\frac{4}{3}x \right)
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Nous pourrions nous contenter de cette expression factorisée qui répond à la question. Habituellement les expressions polynomiales, afin d'être aisément identifiables, se présentent sous forme développée, ordonnée et réduite.}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(AIKJ) = -\frac{4}{3}x^2+8x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Est-il possible de trouver une position du point $I$ sur le segment $[AB]$ pour laquelle $AIKJ$ est un carré? Justifier la réponse et, si cela est possible, donner la longueur $AI$ correspondante.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Traduisons l'énoncé par une équation.}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons pour quelles valeurs de $x$ nous avons $AI=IK$.}
			
			\begin{align*}
			AI &= IK\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			x &= 8-\frac{4}{3}x\\
			x {\color{orange}+\frac{4}{3}x} &= 8-\frac{4}{3}x {\color{orange}+\frac{4}{3}x}\\
			\left( 1\frac{4}{3} \right) x &= 8\\
			\frac{7}{3} x &= 8\\
			\frac{7}{3} x {\color{orange} \times \frac{3}{7}} &= 8 {\color{orange} \times \frac{3}{7}}\\
			x &= \frac{24}{7}
			\end{align*}
			
			Comme $0\leqslant \frac{24}{7} \leqslant 6$ nous pouvons conclure.
			
			\begin{conclusion}
				
				$AIKJ$ est un carré si et seulement si $AI=\frac{24}{7}\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: étude d'une seconde disposition.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, quatre points $I$, $P$, $R$ et $Q$ sont définis de la façon suivante:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item $I$ est un point du segment $[AB]$;
		
		\item $P$ est le point du segment $[BC]$ tel que $(PI)$ est perpendiculaire à $(BC)$;
		
		\item $R$ est le point du segment $[AC]$ tel que $(RI)$ est parallèle à $(BC)$;
		
		\item $Q$ est le point du segment $[BC]$ tel que $(RQ)$ est perpendiculaire à $(BC)$.
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		%Coordonnées de A
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Translation de A vers B
		\def\xAB{6};
		\def\yAB{0};
		%Translation de A vers C
		\def\xAC{0};
		\def\yAC{8};
		%Création des points A, B et C
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\draw (A) node{$\times$};
		\draw (A) node[below left]{$A$};
		\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
		\draw (B) node{$\times$};
		\draw (B) node[below right]{$B$};
		\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\xA+\yAC});
		\draw (C) node{$\times$};
		\draw (C) node[above right]{$C$};
		%ABC
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
		%Translation de A vers I
		\def\xAI{2.4};
		\def\yAI{0};
		%Point I
		\coordinate (I) at ({\xA+\xAI},{\yA+\yAI});
		\draw (I) node{$\times$};
		\draw (I) node[below] {$I$};
		%Marque angle droit
		\def\petitrait{0.1*\xAB};
		\draw[thin] ({\xA+\petitrait},0) -- ({\xA+\petitrait},{\petitrait}) -- (0,{\petitrait});
		%Point R
		\coordinate (R) at ({\xA},{\yA+\xAI/\xAB*\yAC});
		\draw (R) node{$\times$};
		\draw (R) node[left] {$R$};
		%Point P
		\coordinate (P) at ({\xA+\xAI+(4.8-0.8*\xAI)*(4.8/6)},{\yA+\yAI+(4.8-0.8*\xAI)*sin(acos(4.8/6))});
		\draw (P) node{$\times$};
		\draw (P) node[above right] {$P$};
		%Point Q
		\coordinate (Q) at ({\xA+(4.8-0.8*\xAI)*(4.8/6)},{\yA+\xAI/\xAB*\yAC+(4.8-0.8*\xAI)*sin(acos(4.8/6))});
		\draw (Q) node{$\times$};
		\draw (Q) node[above right] {$Q$};
		%IPQR
		\draw (P) -- (I) -- (R) -- (Q);
		%Point H
		\coordinate (H) at ({\xA+4.8*(4.8/6)},{\yA+4.8*sin(acos(4.8/6))});
		\draw (H) node{$\times$};
		\draw (H) node[above right] {$H$};
		%[AH]
		\draw[dashed] (A) -- (H);
		%Angle droit
		\draw ({\xA+4.8*(4.8/6)-\petitrait*(4.8/6)},{\yA+4.8*sin(acos(4.8/6))-\petitrait*sin(acos(4.8/6))}) -- ({\xA+4.8*(4.8/6)-\petitrait*(4.8/6)+\petitrait*cos(90-acos(4.8/6))},{\yA+4.8*sin(acos(4.8/6))-\petitrait*sin(acos(4.8/6))-\petitrait*sin(90-acos(4.8/6))}) -- ({\xA+4.8*(4.8/6)-\petitrait*(4.8/6)+\petitrait*cos(90-acos(4.8/6))+\petitrait*sin(90-acos(4.8/6))},{\yA+4.8*sin(acos(4.8/6))-\petitrait*sin(acos(4.8/6))-\petitrait*sin(90-acos(4.8/6))+\petitrait*cos(90-acos(4.8/6))});
		\end{tikzpicture}
		
		Figure 2.
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $IPQR$ est un rectangle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Justifions que $IPQR$ est un rectangle.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item $R$ est le point du segment $[AC]$ tel que $(RI)$ est parallèle à $(BC)$ donc $IPQR$ est un trapèze de bases $[IR]$ et $PQ$.
			
			\item 
			$P$ est le point du segment $[BC]$ tel que $(PI)$ est perpendiculaire à $(BC)$ donc $\widehat{QPI}$ est droit.
			
			$Q$ est le point du segment $[BC]$ tel que $(RQ)$ est perpendiculaire à $(BC)$ donc $\widehat{RQP}$ est droit.
			
		\end{enumerate}
		
		$IPQR$ est un trapèze dont les deux angles d'une base sont droits donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$IPQR$ est un rectangle.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer $BC$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $BC$.}
		
		$ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore \[ BC^2 = AC^2+AB^2. \]
		
		Autrement dit, $BC$, $AB$ et $AC$ étant exprimés en centimètre:
		
		\begin{align*}
		BC^2 &= 8^2+6^2\\
		&= 100
		\intertext{$BC$ étant une longueur c'est un nombre positif donc:}
		BC &= \sqrt{100}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$BC=10\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 	
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi $\displaystyle \frac{AH \times BC}{2} = \frac{AC \times AB}{2}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Justifions l'égalité proposée.}
			
			{\color{orange}La formule usuelle de calcul de l'aire d'un triangle parle de \og la base \fg{} et de \og la hauteur \fg{}. Il s'agit d'une incorrection car en plus de l'aspect imprécis du terme base, n'importe quel côté du triangle peut être choisi comme base. Pour répondre à cette question nous allons exprimer l'aire du triangle de deux façons différentes en choisissant deux \og bases \fg{} différentes.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Puisque $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ l'aire, $\mathscr{A}(ABC)$, de $ABC$ est donnée par: $\mathscr{A}(ABC)= \frac{1}{2} \times AH \times BC$.
				
				\item Puisque $ABC$ est rectangle en $A$, $[AB]$ est la hauteur issue de $B$ de $ABC$ et donc: $\mathscr{A}(ABC)=\frac{1}{2} \times AB \times AC$.
				
			\end{enumerate}
			
			En égalant les deux formules trouvées pour $\mathscr{A}(ABC)$: \[ \frac{1}{2} \times AH \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times AC. \]
			
			{\color{orange}De façon générale: $\frac{1}{b} \times a =\frac{1 \times a}{b}= \frac{a}{b}$.
				
				Nous pouvons donc écrire la précédente formule de la façon suivante:}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\frac{AH \times BC}{2} = \frac{AB \times AC}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire $AH$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $AH$.}
			
			L'égalité obtenue à la question précédente équivaut successivement:
			
			\begin{align*}
			{\color{orange} 2 \times} \times AH \times BC &= {\color{orange} 2 \times} \frac{1}{2} \times AB \times AC \\
			AH \times BC &= AB \times AC\\
			\frac{AH \times BC}{\color{orange}BC} &= \frac{AB \times AC}{\color{orange}BC} \quad \text{car } BC\ne 0\\
			AH &= \frac{AB \times AC}{BC}\\
			AH &= \frac{6 \times 8}{10}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$AH= 4,8\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Le point $I$ est mobile sur le segment $[AB]$, la longueur $AI$ est donc variable. On pose $AI=x$, où $x$ est un nombre compris entre $0$ et $6$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{3}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que les droites $(IP)$ et $(AH)$ sont parallèles.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Justifions que $(IP) \parallel (AH)$.}
			
			Par construction $(IP) \perp (BC)$ et, puisque $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$ dans $ABC$, $(AH) \perp (BC)$, donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$(AH) \parallel (IP)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $IP=4,8-0,8x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $IP$ en fonction de $x$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Configuration de Thalès.}
				
				Les points $B$, $I$, $A$ d'une part et $B$, $P$ ,$H$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
				
				\item {\color{orange}Hypothèse du théorème.}
				
				$(IP) \parallel (AH)$.
				
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès: \[ \frac{BI}{BA} = \frac{IP}{AH} \]
			
			Cette égalité équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
			\frac{AB-AI}{AB} &= \frac{IP}{AH}\\
			\intertext{\color{orange}Les longueurs étant toutes exprimées en centimètres:}
			\frac{6-x}{6} &= \frac{IP}{4,8}\\
			\frac{6-x}{6} {\color{orange}\times 4,8} &= \frac{IP}{4,8} {\color{orange}\times 4,8}\\
			(6-x)\frac{4,8}{6} &= IP\\
			(6-x) \times 0,8 &= IP\\
			6 \times 0,8 - x \times 0,8 &= IP
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$IP=4,8 -0,8x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $\displaystyle \frac{IR}{BC}= \frac{AI}{AB}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Justifions que $ \frac{IR}{BC}= \frac{AI}{AB}$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Configuration de Thalès.}
				
				Les points $A$, $I$, $B$ d'une part et $A$, $R$ ,$C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
				
				\item {\color{orange}Hypothèse du théorème.}
				
				Puisque $IPQR$ est un rectangle $(IR) \parallel (BC)$.
				
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\frac{IR}{BC} = \frac{AI}{AB}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que $\displaystyle IR= \frac{5}{3}x$.
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $IR$ en fonction de $x$.}
			
			L'égalité démontrée à la question précédente équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
			\frac{IR}{10} &= \frac{x}{6}\\
			\frac{IR}{10} {\color{orange}\times 10} &= \frac{x}{6} {\color{orange}\times 10}\\
			IR &= \frac{10}{6} x\\
			IR &= \frac{{\color{orange}2 \times } 5}{ {\color{orange}2 \times } 3} x\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$IR= \frac{5}{3} x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$, qui, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0;6]$, associe l'aire du rectangle $AIKJ$ exprimée en centimètre carré (en lien avec la figure 1 de la situation de la partie A).
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{8};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.4cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {2, 4, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2, 4, ..., 12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{\x*(8-4/3*\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Répondre par lecture graphique aux questions suivantes:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est l'aire du rectangle $AIKJ$ lorsque $AI=2\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-2};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{8};
				\def\yZ{14};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.4cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2, 4, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2, 4, ..., 12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{\x*(8-4/3*\x)});
				\draw[dashed,red,very thick] (2,0) -- (2,{2*(8-4/3*2)}) -- (0,{2*(8-4/3*2)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si $AI=2\ \mathrm{cm}$ alors l'aire de $AIKJ$ est de $10,8\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle(s) valeur(s) de $AI$ l'aire du rectangle $AIKJ$ est-elle égale à $4\ \mathrm{cm}^2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-2};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{8};
				\def\yZ{14};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.4cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2, 4, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2, 4, ..., 12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{\x*(8-4/3*\x)});
				\draw[dashed,red,very thick] (0,4) -- (8,4);
				\draw[dashed,red,very thick] ({3-sqrt(6)},4) -- ({3-sqrt(6)},0);
				\draw[dashed,red,very thick] ({3+sqrt(6)},4) -- ({3+sqrt(6)},0);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire de $AIKJ$ est de $4\ \mathrm{cm}^2$ lorsque $AI= 0,5\ \mathrm{cm}$ ou $AI= 5,5\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelle position du point $I$ l’aire du rectangle $AIKJ$ est-elle maximale?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\def\xY{-2};
				\def\yY{-2};
				\def\xZ{8};
				\def\yZ{14};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.4cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {2, 4, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2, 4, ..., 12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{\x*(8-4/3*\x)});
				\draw[dashed,red,very thick] (0,12) -- (8,12);
				\draw[dashed,red,very thick] (3,12) -- (3,0);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire de $AIKJ$ est maximale lorsque $AI= 3\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g$, qui pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0;6]$, associe l'aire du rectangle $IPQR$, exprimée en centimètre carré (en lien avec la figure 2 de la situation de la partie B).
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\def\xY{-2};
			\def\yY{-2};
			\def\xZ{8};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.4cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=2cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {2, 4, 6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2, 4, ..., 12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{5/3*\x*(4.8-0.8*\x)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		La comparaison de ces deux courbes laisse penser que, pour un point $I$ fixé sur le côté $[AB]$, les aires des rectangles $AIKJ$ et $IPQR$ sont égales. Ce résultat est-il vrai? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Comparons les aires de $AIKJ$ et $IPQR$.}
		
		Nous avons établi à la question A.3.(c) que $\mathscr{A}(AIKJ) = -\frac{4}{3}x^2+8x$.
		
		\medskip
		D'autre part l'aire du rectangle $IPQR$ est
		
		\begin{align*}
		\mathscr{A}(IPQR) &= IP \times IR\\
		\intertext{D'après les questions B.4.(a) et B.5.(b):}
		\mathscr{A}(IPQR) &= \left( 4,8-0,8x \right) \times \left( \frac{5}{3}x \right)\\
		&= 4,8 \times \frac{5}{3}x-0,8x \times \frac{5}{3}x\\
		&= 8x-\frac{4}{3}x^2
		\end{align*}
		
		Ainsi trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles les aires seraient égales équivaut à résoudre l'équation $-\frac{4}{3}x^2+8x= 8x-\frac{4}{3}x^2$. 
		
		Cette équation est évidemment vraie quelque soit la valeur de $x$ choisie.
		
		\begin{conclusion}
			
			Quelque soit la position du point $I$ choisie, les aires des deux rectangles sont égales.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Une entreprise veut créer de grands modèles de cartes originales. Elle décide également de produire des enveloppes carrées avec rabat triangulaire selon le modèle ci-contre.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		%x
		\def\longx{3};
		%A
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		\draw (A) node[below left] {$A$};
		%B
		\coordinate (B) at ({\xA+\longx},{\yA});
		\draw (B) node[below right] {$B$};
		%C
		\coordinate (C) at ({\xA+\longx},{\yA+\longx});
		\draw (C) node[above right] {$C$};
		%D
		\coordinate (D) at ({\xA},{\yA+\longx});
		\draw (D) node[above left] {$D$};
		%Carré ABCD
		\draw (A) -- (B) node[midway,sloped] {\footnotesize $\parallel$};
		\draw (B) -- (C) node[midway,sloped] {\footnotesize $\parallel$};
		\draw (C) -- (D) node[midway,sloped] {\footnotesize $\parallel$};
		\draw (D) -- (A) node[midway,sloped] {\footnotesize $\parallel$};
		%E
		\coordinate (E) at ({\xA-sqrt(2*\longx*\longx)/2},{\yA+\longx/2});
		\draw (E) node[left] {$E$};
		%AED
		\draw (A) -- (E) node[midway,sloped] {\footnotesize |};
		\draw (E) -- (D) node[midway,sloped] {\footnotesize |};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	$ABCD$ est un carré; on note $x$ la longueur du
	segment $[AB]$ exprimée en centimètre.
	
	\medskip
	On donne les formules suivantes:
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Aire total de papier d'un enveloppe: $2,2 \times \text{aire } ABCD$.
			\\
			Aire totale de papier d'une carte: $1,8 \times \text{aire } ABCD$.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	On dispose des documents suivants:
	
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\hfill \underline{Document 1.} \hfill~
			\\
			\begin{center}
				\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					Qualité & Grammage ($\mathrm{g} / \mathrm{m}^2$)
					\\
					\hline
					Papier \og luxe \fg{} & $120$ 
					\\
					\hline
					Papier \og super luxe \fg{} & $150$
					\\
					\hline
					Papier cartonné & $350$
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
			\end{center}
			\\
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{11cm}|}
			\hline
			\hfill \underline{Document 2.} \hfill~
			\\
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_01_facture.png}
			\end{center}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’entreprise choisit de fabriquer une enveloppe dont le côté $[AB]$ mesure $20\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que l’aire totale de papier nécessaire pour produire la carte et l’enveloppe est de $1600\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire totale $A_1$ de papier nécessaire pour produire carte et enveloppe.}
			
			L'aire du carré $ABCD$ est 
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABCD) &= \left( 20 \ \mathrm{cm} \right) ^2\\
			&= 20^2 \ \mathrm{cm}^2\\
			&= 400 \ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			Donc, d'après les formules données:  
			
			\begin{align*}
			A_1 &= 2,2 \times \mathscr{A}(ABCD) + 1,8 \times \mathscr{A}(ABCD)\\
			&= 2,2 \times \left( 400\ \mathrm{cm}^2 \right) +1,8 \times \left( 400\ \mathrm{cm}^2 \right)\\
			&= \left( 2,2 \times 400 +1,8 \times 400 \right)\ \mathrm{cm}^2
			\end{align*}
			
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				$A_1 = \np{1600}\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le tarif de l’affranchissement de cette carte en tarif \og lettre verte - timbre vert \fg{} si l’enveloppe et la carte sont fabriquées en papier \og super luxe \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la masse, $P_1$, de l'enveloppe et de la lettre.}
			
			Puisqu'ils sont façonnés avec le papier \og super luxe\fg{}:
			
			\begin{align*}
			P_1 &= \left( 150 \ \mathrm{g}\cdot \mathrm{m}^{-2} \right) \times A_1\\
			&= \left( 150 \ \mathrm{g}\cdot \mathrm{m}^{-2} \right) \times \left( \np{1600}\ \mathrm{cm}^2 \right)\\
			&= 150 \times \np{1600}\ \mathrm{g}\cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot {\color{orange}\mathrm{cm}^2}\\
			&= \np{240000}\ \mathrm{g} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot {\color{orange} \left( \frac{1}{100}\ \mathrm{m} \right)^2 }\\
			&= \np{240000} \times \left( \frac{1}{100} \right)^2\ \mathrm{g} \cdot \mathrm{m}^{-2} \cdot \mathrm{m}^2\\
			&= 24\ \mathrm{g}
			\end{align*}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons le tarif, $T_1$, de l'affranchissement.}
			
			La missive pesant entre $20\ \mathrm{g}$ et $100\ \mathrm{g}$ si le tarif \og lettre verte \fg{} s'applique alors il faudra payer, d'après le document 2:
			
			\begin{conclusion}
				
				$T_1 = 1,76\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L'entreprise choisit du papier \og luxe \fg{} pour l'enveloppe et du papier cartonné pour la carte.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner en fonction de la longueur $x$, exprimée en $\mathrm{cm}$, la masse totale de papier utilisé pour produire l’enveloppe et la carte.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons la masse, $P_2$, de la missive.}
			
			En procédant comme à la question précédente, nous obtenons l'aire $A_2$, en mètre carré, de l'enveloppe:
			
			\begin{align*}
			A_2 &= 2,2 \times {\color{orange}\left( \frac{1}{100}x \right)^2}\\
			&= 2,2 \times {\color{orange}\left( \frac{1}{100} \right)^2 x^2}\\
			&= \frac{2,2}{\np{10000}}x^2
			\end{align*}
			
			Puisqu'il s'agit d'un papier \og luxe\fg{} la masse, exprimée en gramme, de l'enveloppe est
			
			\begin{align*}
			m_2 &= 120 \times A_2\\
			&= \frac{264}{10000}x^2
			\end{align*}
			
			Puis l'aire de la carte:
			
			\begin{align*}
			A_3 &= 1,8 \times {\color{orange}\left( \frac{1}{100}x \right)^2}\\
			&= 1,8 \times {\color{orange}\left( \frac{1}{100} \right)^2 x^2}\\
			&= \frac{1,8}{\np{10000}}x^2
			\end{align*}
			
			Puisqu'il s'agit d'un papier cartonné la masse, exprimée en gramme, de la carte est
			
			\begin{align*}
			m_3 &= 350 \times A_3\\
			&= \frac{630}{10000}x^2
			\end{align*}
			
			La masse de l'ensemble enveloppe et carte est donc
			
			\begin{align*}
			P_2 &= m_2+m_3\\
			&= \frac{264}{\np{10000}}x^2 + \frac{630}{10000}x^2\\
			&= \frac{894}{10000}x^2
			\end{align*}
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				La masse en gramme est $P_2=0,0894 x^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La masse de papier utilisé pour l’enveloppe et la carte est-elle proportionnelle à la longueur du segment $[AB]$? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}De nombreux arguments sont sans doute acceptables pour justifier notre réponse.
				
				La masse est fonction de l'aire du carré, or si la longueur du côté du carré est multipliée par $a$ alors sa surface est multipliée par $a^2$.
				
				Nous pourrions choisir deux longueurs distinctes de coté de carré et vérifier qu'il n'y a pas proportionnalité pour ces valeurs particulières.
				
				Je fais ici le choix d'un argument sur la nature des fonctions.}
			
			\medskip
			La masse de papier en fonction de la longueur $x$ obtenue à la question précédente est une fonction polynomiale de degré deux. Ce n'est donc pas une fonction linéaire qui correspondrait à une situation de proportionnalité.
			
			\begin{conclusion}
				
				La masse de papier n'est pas proportionnelle à $AB$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le bloc ci-dessous, réalisé sous Scratch, permet de dessiner un losange. Trois nombres $A$, $B$ et $C$ ont été effacés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi le nombre $A$ est $50$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Pour que le quadrilatère tracé soit un losange il faut que tous ses côtés aient la même longueur. Or le premier côté avait pour longueur $50$ donc, nécessairement
			
			\begin{conclusion}
				
				en $A$ il faut écrire $50$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que le nombre $B$ est $140$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Dans un parallélogramme, donc \emph{a fortiori}, dans un losange la somme des mesures de angles consécutifs est $180\degres$. Nous devons donc avoir
			
			\begin{align*}
			40+B &= 180\\
			\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
			40+B {\color{orange}-40} &= 180 {\color{orange}-40}\\
			B &= 140
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$B=140$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la plus petite valeur possible pour le nombre $C$ en expliquant.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Les quatre blocs d'instructions en bleu sont des blocs de mouvement qui tracent (\og avancer\fg{}) deux côtés du quadrilatère. Il suffit donc d'effectuer une nouvelle fois ce bloc 
			de $4$ instructions.
			
			\begin{conclusion}
				
				La plus petite valeur possible pour $C$ est $2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\draw (3,3) node {\includegraphics[scale={0.32}]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_02_scratch.png}};
			\node[draw] (C) at (-1,3) {$C$};
			\node[draw] (B) at (7,3) {$B$};
			\node[draw] (A) at (6,1) {$A$};
			\draw (C) -- (2.2,3.8);
			\draw (B) -- (3.7,2);
			\draw (A) -- (3.1,1.4);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici trois figures et trois scripts écrits sous Scratch à l’aide du bloc précédent. Dans chacune des trois figures, le point marqué représente le point de départ du lutin. Associer à chaque figure le script qui permet de l’obtenir, aucune justification n’est attendue.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{c}
				Figure 1.
				\\
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]		
					\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_04_figure_1.png}};
					\draw (-0.65,0.65) node {$\bullet$};
					\end{tikzpicture}			
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{c}
				Figure 2.
				\\
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]		
					\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_05_figure_2.png}};
					\draw (-0.6,-0.6) node {$\bullet$};
					\end{tikzpicture}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{c}
				Figure 3.
				\\
				\begin{tabular}{|c|}
					\hline
					\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]		
					\draw (0,0) node {\includegraphics[scale=0.7]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_06_figure_3.png}};
					\draw (-3.6,-0.45) node {$\bullet$};
					\end{tikzpicture}
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{cm{0.5cm}c}
				Script A: && Script B:
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_07_script_a.png}
				&&
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_08_script_b.png}
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{m{4.75cm}m{0.5cm}m{4.755cm}}
				Script C: &&
				\\
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_09_script_c.png}
				&&
				On rappelle:
				
				\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_10_orienter.png}
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{1.5cm}|m{0.4cm}|m{0.4cm}|m{0.4cm}|}
					\hline
					Figure & 1 & 2 & 3
					\\
					\hline
					Script & B & C & A
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Dans une urne, on place les boules suivantes : sur chaque boule sont écrits une lettre et un nombre.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\def\rayon{0.4};
		\foreach \a/\b\l/\n in {1/3/I/14, 2/3/V/25, 3/3/E/6, 4/3/L/8, 5/3/E/6, 6/3/S/16, 7/3/M/10, 1/2/T/11, 2/2/H/20, 3/2/E/6, 4/2/M/10, 5/2/A/12, 6/2/T/11, 7/2/I/14, 1/1/U/17, 2/1/E/6, 3/1/S/16, 4/1/V/25, 5/1/A/12, 6/1/Q/30} \draw (\a,\b) node{\footnotesize \begin{tabular}{c} \l \\ \n \end{tabular}};
		\foreach \a/\b\l/\n in {1/3/I/14, 2/3/V/25, 3/3/E/6, 4/3/L/8, 5/3/E/6, 6/3/S/16, 7/3/M/10, 1/2/T/11, 2/2/H/20, 3/2/E/6, 4/2/M/10, 5/2/A/12, 6/2/T/11, 7/2/I/14, 1/1/U/17, 2/1/E/6, 3/1/S/16, 4/1/V/25, 5/1/A/12, 6/1/Q/30} \fill[color=gray , opacity=0.25] plot [domain=0:360] ({\rayon*cos(\x)+\a},{\rayon*sin(\x)+\b});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère la série statistique composée des nombres écrits sur les boules placées dans l’urne. Calculer l’étendue, la médiane et la moyenne de cette série.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item \objectif{Déterminons l'étendue $e$.}
			
			{\color{orange}Pour déterminer l'étendue et la médiane nous aurons besoin d'ordonner la série. Ce n'est pas indispensable, mais pour faciliter la lisibilité de cette série nous allons également la regroupée par modalités, c'est-à-dire, dénombrer les valeurs identiques.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.6cm}|*{11}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					Nombre affiché & $6$ & $8$ & $10$ & $11$ & $12$ & $14$ & $16$ & $17$ & $20$ & $25$ & $30$ 
					\\
					\hline
					Effectif & $4$ & $1$ & $2$ & $2$ & $2$ & $2$ & $2$ & $1$ & $1$ & $2$ & $1$
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
				
			\end{center}
			
			\begin{align*}
			e &= max-min\\
			&= 30-6
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$e=24$.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons la médiane, $Me$, de la série.}
			
			Complétons le précédent tableau avec les effectifs cumulés croissants:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.6cm}|*{11}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					Nombre affiché & $6$ & $8$ & $10$ & $11$ & $12$ & $14$ & $16$ & $17$ & $20$ & $25$ & $30$ 
					\\
					\hline
					Effectif & $4$ & $1$ & $2$ & $2$ & $2$ & $2$ & $2$ & $1$ & $1$ & $2$ & $1$
					\\
					\hline
					E.C.C. & $4$ & $5$ & $7$ & $9$ & $11$ & $13$ & $15$ & $16$ & $17$ & $19$ & $20$
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
				
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					\item {\color{orange}Ordre.} La série des nombres inscrits sur les boules est rangée dans l'ordre croissant.
					
					\item {\color{orange}Position de la médiane.} L'effectif total est $N=20$. $\frac{N}{2} = \frac{20}{2}=10$. Donc $Me$ est (série paire) entre la dixième et la onzième valeurs.
					
					\item {\color{orange}Calcul de la médiane.} 
					
					\begin{align*}
					Me &= \frac{12+12}{2}
					\end{align*}
					
					\begin{conclusion}
						
						$Me=12$.
						
					\end{conclusion}
					
					\item \objectif{Calculons la moyenne $\overline{x}$ de la série.}
					
					{\color{orange}Puisque nous avons regrouper la série par modalités nous allons calculer la moyenne avec la formule de moyenne pondérée.}
					
					\begin{align*}
					\overline{x} &= \frac{n_1x_1 + n_2x_2+ \dots + n_rx_r}{n_1+n_2+ \dots + n_r}\\
					&= \frac{ 4 \times 6 + 1 \times 8+ \dots + 1 \times 30}{4+1+ \dots +1}
					\end{align*}
					
					\begin{conclusion}
						
						$\overline{x} = 13,75$.
						
					\end{conclusion}
					
				\end{enumerate}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On suppose que les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule dans l’urne.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la probabilité de \og tirer un nombre pair \fg{} est $\frac{3}{4}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Choisissons une modélisation, \emph{i.e.} un univers et une loi de probabilité, qui soit cohérente avec la situation.}
			
			Notons $\Omega$ l'ensemble de toutes les boules. Munissons $\Omega$ de la loi d'équiprobabilité: toutes les boules ont donc la même probabilité d'être tirées.
			
			\medskip
			Notons $E_1$ l'événement  \og tirer un nombre pair\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_1)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, d'après le tableau que nous avons construit à la question précédente $E_1$ est réalisé par $4+1+2+2+2+2+1+1=15$ issues (il y a $15$ boules portant des nombres pairs), $\Omega$ contient $20$ issues donc
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(E_1) &= \frac{15}{20}\\
			&= \frac{3\times {\color{orange}5}}{4 \times {\color{orange}5}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_1) = \frac{3}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité de \og tirer une voyelle ou un nombre pair \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La description de l'événement contient le connecteur logique \og ou \fg{} qui en termes ensembliste se traduit par la réunion. Nous devons donc considérer toutes les boules comportant un numéro pair mais aussi celles comportant un numéro impair et une voyelle.}
			
			\medskip
			Notons $E_2$ l'événement  \og tirer une voyelle ou un nombre pair\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_2)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, en dénombrant dans la liste des boules nous voyons que $E_2$ est réalisé par $16$ issues (il y a $15$ boules portant des nombres pairs et la boule portant U et 17), $\Omega$ contient $20$ issues donc
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(E_2) &= \frac{16}{20}\\
			&= \frac{4\times {\color{orange}4}}{5 \times {\color{orange}4}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_2) = \frac{4}{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la probabilité de \og tirer une voyelle et un nombre pair \fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La description de l'événement contient le connecteur logique \og et \fg{} qui en termes ensembliste se traduit par l'intersection. Nous devons donc considérer toutes les boules comportant un numéro pair et (en même temps) une voyelle.}
			
			\medskip
			Notons $E_3$ l'événement  \og tirer une voyelle et un nombre pair\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_3)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, en dénombrant dans la liste des boules nous voyons que $E_3$ est réalisé par $8$ issues (toutes les boules avec des voyelles sauf celle avec U et 17), $\Omega$ contient $20$ issues donc
			
			\begin{align*}
			\mathbb{P}(E_3) &= \frac{8}{20}\\
			&= \frac{2\times {\color{orange}4}}{5 \times {\color{orange}4}}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E_3) = \frac{2}{5}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	
	\begin{sujet}
		
		On tire successivement et sans remise $5$ boules. On obtient après les quatre premiers tirages les lettres M, A, T, H. Quelle est la probabilité d’obtenir grâce au cinquième tirage le mot \og M A T H S \fg{}?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		{\color{orange}Choisissons une nouvelle modélisation pour décrire cette situation.}
		
		Notons $\Omega'$ l'ensemble de toutes les boules restant dans l'urne après le tirage des lettres M, A, T, H. Munissons $\Omega'$ de la loi d'équiprobabilité: toutes les boules (restantes) ont donc la même probabilité d'être tirées.
		
		Les boules M, A, T et H ayant déjà été tirées il reste:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\def\rayon{0.4};
			\foreach \a/\b\l/\n in {1/3/I/14, 2/3/V/25, 3/3/E/6, 4/3/L/8, 5/3/E/6, 6/3/S/16, 3/2/E/6, 4/2/M/10, 6/2/T/11, 7/2/I/14, 1/1/U/17, 2/1/E/6, 3/1/S/16, 4/1/V/25, 5/1/A/12, 6/1/Q/30} \draw (\a,\b) node{\footnotesize \begin{tabular}{c} \l \\ \n \end{tabular}};
			\foreach \a/\b\l/\n in {1/3/I/14, 2/3/V/25, 3/3/E/6, 4/3/L/8, 5/3/E/6, 6/3/S/16, 7/3/M/10, 1/2/T/11, 2/2/H/20, 3/2/E/6, 4/2/M/10, 5/2/A/12, 6/2/T/11, 7/2/I/14, 1/1/U/17, 2/1/E/6, 3/1/S/16, 4/1/V/25, 5/1/A/12, 6/1/Q/30} \fill[color=gray , opacity=0.25] plot [domain=0:360] ({\rayon*cos(\x)+\a},{\rayon*sin(\x)+\b});
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\medskip
		Notons $E_4$ l'événement  \og obtenir S au cinquième tirage\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_4)$.}
		
		Il y a équiprobabilité, $E_4$ est réalisé par $2$ issues (il y a deux boules portant la lettre S), $\Omega'$ contient $16$ issues donc
		
		\begin{align*}
		\mathbb{P}(E_4) &= \frac{2}{16}\\
		&= \frac{1\times {\color{orange}1}}{8 \times {\color{orange}2}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(E_4) = \frac{1}{8}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de CM2 propose les exercices suivants:
	
	\begin{center}
		
		\underline{Exercice 1}
		
		\smallskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Si j’achète $4$ verres, je paie $6\ \text{\euro}$. Si j’achète $12$ verres comme les précédents, combien
			dois-je payer?
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		\medskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Réponse de l’élève: $6 \times 3=18$.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\underline{Exercice 2}
		
		\smallskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			On dispose d’un sac de billes identiques.
			
			On sait que la masse de $3$ billes est $51\ \mathrm{g}$ et que la masse de $5$ billes est $85\ \mathrm{g}$.
			
			Quelle est la masse de $8$ billes?
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		\medskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Réponse de l’élève: $51+85=136$.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\underline{Exercice 3}
		
		\smallskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Pour préparer un gâteau au chocolat, il faut: $90\ \mathrm{g}$ de beurre pour $6$ personnes et $120\ \mathrm{g}$ de beurre pour $8$ personnes.
			
			Quelle masse de beurre faut-il prévoir pour $20$ personnes?
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		\medskip
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Réponse de l’élève: $180+120=300$.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la notion du programme travaillée dans ces trois exercices?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour chaque exercice, analyser la réponse de l’élève et expliciter la procédure utilisée.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliquer l’intérêt de proposer le troisième exercice après les deux premiers.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignant propose un nouvel énoncé.
		
		\begin{center}
			
			\underline{Exercice 4}
			\smallskip
			
			\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				Au marché, $5\ \mathrm{kg}$ de cèpes coûtent $100\ \mathrm{\euro}$. Combien coûtent $2\ \mathrm{kg}$?
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		Justifier le choix de ce nouvel énoncé et la procédure encouragée par cet exercice.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans le cadre d’une séance de numération, les problèmes suivants sont proposés à des élèves de CP en milieu d’année.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Problème 1:
			\\
			Camille met $46$ bonbons dans la boîte. Thomas en prend $14$.
			\\
			\textbf{Combien en reste-t-il dans la boîte?}
			\\
			\hline
			Problème 2:
			\\
			Camille met $57$ bonbons dans la boîte. Thomas en prend $34$.
			\\
			\textbf{Combien en reste-t-il dans la boîte?}
			\\
			\hline
			Problème 3:
			\\
			Camille met $52$ bonbons dans la boîte. Thomas en prend $28$.
			\\
			\textbf{Combien en reste-t-il dans la boîte?}
			\\
			\hline
			Problème 4:
			\\
			Camille met $92$ bonbons dans la boîte. Thomas en prend $37$.
			\\
			\textbf{Combien en reste-t-il dans la boîte?}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les différentes représentations des élèves pour le problème 2.
		
		\medskip
		{\hspace*{-0.5cm}
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				Élève A. & Élève B. & Élève C.
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_11_eleve_a.png}
				&
				\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_12_eleve_b.png}
				&
				\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_13_eleve_c.png}
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
		}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À quelle difficulté nouvelle un élève est-il confronté en passant du problème 2 au problème 3?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			
			Que va devoir faire l’élève C s’il utilise la même représentation?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour le problème 3, l’élève B a répondu:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				$52-28=36$.
				
				Il reste $36$ bonbons.
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser la réponse de l’élève B.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel type d’aide pourrait être apporté par l’enseignant à cet élève?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’exercice suivant a été proposé dans le cadre d’une évaluation dans plusieurs classes de CM2 d’une même école.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline
				&\\
				
				\begin{minipage}{\linewidth}
					
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_6_14_cm2.png}
				\end{minipage}
				
				&
				
				\begin{minipage}{\linewidth}
					
					Le périmètre de la figure $ABCD$ est:
					
					$\square\ 29\ \mathrm{cm}$
					
					$\square\ 66\ \mathrm{cm}$
					
					$\square\ 54\ \mathrm{cm}$
					
					$\square\ 42\ \mathrm{cm}$
					
				\end{minipage}
				
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Identifier la compétence visée.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier le choix de chacune des réponses proposées aux élèves.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour chacune des trois réponses erronées possibles, proposer une aide à apporter aux élèves concernés pour leur permettre de comprendre leur erreur.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour une évaluation sur les décimaux, un enseignant souhaite proposer le calcul: \[ 127,31 \times 10 \] sous forme de QCM avec quatre réponses possibles.
		
		Proposer une série de quatre réponses au choix, composée de la bonne réponse et de trois distracteurs. Justifier le choix de chacun des trois distracteurs en s’appuyant sur les erreurs fréquentes des élèves.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2020 groupe 7.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_7_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_7_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci M. Meynier pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Dans le domaine de la bureautique, les feuilles de papier ont généralement une forme de rectangle et se répartissent suivant plusieurs formats. Le plus usuel est le format A4.
	
	\medskip
	On appelle format A0 une feuille rectangulaire de longueur $1189\ \mathrm{mm}$ et de largeur $841\ \mathrm{mm}$. Si on prend une feuille de format A0 et qu’on la découpe suivant sa longueur en deux rectangles de même dimension, on obtient deux feuilles au format A1. En découpant en deux rectangles de même dimension une feuille au format A1 suivant sa longueur, on obtient deux feuilles au format A2. On recommence avec le même principe pour les autres formats.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xB{15};
		\def\yB{0};
		\def\xC{30};
		\def\yC{0};
		\def\lo{11.89};
		\def\la{8.41};
		%Première feuille
		\coordinate (A1) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (A2) at ({\xA+\la},{\yA});
		\coordinate (A3) at ({\xA+\la},{\yA+\lo});
		\coordinate (A4) at ({\xA},{\yA+\lo});
		\coordinate (A5) at ({\xA+\la/2},{\yA+\lo/2});
		\draw (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle;
		\fill [color=gray,opacity=0.4] (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle;
		\draw (A5) node {\textbf{A0}};
		%Flèche
		\draw [>=latex,->,line width=2mm,color=gray, opacity=1] ({\xA+\la+1},{\yA+\lo/2}) -- ({\xB-1},{\yB+\lo/2});
		%Deuxième feuille
		\coordinate (B1) at ({\xB},{\yB});
		\coordinate (B2) at ({\xB+\la},{\yB});
		\coordinate (B3) at ({\xB+\la},{\yB+\lo/2});
		\coordinate (B4) at ({\xB+\la},{\yB+\lo});
		\coordinate (B5) at ({\xB},{\yB+\lo});
		\coordinate (B6) at ({\xB},{\yB+\lo/2});
		\draw (B1) -- (B2) -- (B4) -- (B5) --cycle;
		\fill [color=gray,opacity=0.4] (B1) -- (B2) -- (B4) -- (B5) --cycle;
		\draw (B3) -- (B6);
		\coordinate (B7) at ({\xB+\la/2},{\yB+\lo/4});
		\draw (B7) node {\textbf{A1}};
		\coordinate (B8) at ({\xB+\la/2},{\yB+3*\lo/4});
		\draw (B8) node {\textbf{A1}};
		%Flèche
		\draw [>=latex,->,line width=2mm,color=gray, opacity=1] ({\xB+\la+1},{\yB+\lo/2}) -- ({\xC-1},{\yC+\lo/2});
		%Troisème feuille
		\coordinate (C1) at ({\xC},{\yC});
		\coordinate (C2) at ({\xC+\la/2},{\yC});
		\coordinate (C3) at ({\xC+\la},{\yC});
		\coordinate (C4) at ({\xC+\la},{\yC+\lo/2});
		\coordinate (C5) at ({\xC+\la},{\yC+\lo});
		\coordinate (C6) at ({\xC+\la/2},{\yC+\lo});
		\coordinate (C7) at ({\xC},{\yC+\lo});
		\coordinate (C8) at ({\xC},{\yC+\lo/2});
		\draw (C1) -- (C3) -- (C5) -- (C7) -- cycle;
		\fill [color=gray,opacity=0.4] (C1) -- (C3) -- (C5) -- (C7) -- cycle;
		\draw (C2) -- (C6);
		\draw (C4) -- (C8);
		\coordinate (C9) at ({\xC+\la/4},{\yC+\lo/4});
		\draw (C9) node {\textbf{A2}};
		\coordinate (C10) at ({\xC+3*\la/4},{\yC+\lo/4});
		\draw (C10) node {\textbf{A2}};
		\coordinate (C11) at ({\xC+3*\la/4},{\yC+3*\lo/4});
		\draw (C11) node {\textbf{A2}};
		\coordinate (C12) at ({\xC+\la/4},{\yC+3*\lo/4});
		\draw (C12) node {\textbf{A2}};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: dimensions de formats.}

\begin{sujet}
	
	\hspace*{-1cm}
	\begin{tabularx}{1.08\linewidth}{|m{1.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		Format du papier & A0 & A1 & A2 & A3 & A4 & A5 
		\\
		\hline
		Taille (en $\mathrm{mm}$) & $841 \times 1189$ & $594 \times 841$ & $420 \times 594$ & $297 \times 420$ & & 
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer en mètre carré, l’aire d’une feuille de format A0. On arrondira au décimètre
		carré.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}_0$ de la feuille de format A0.}
		
		Puisqu'il s'agit d'un rectangle dont nous connaissons les dimensions:
		
		\begin{align*}
		\mathscr{A}_0 &= \left( 841 \ \mathrm{mm} \right) \times \left( 1189 \ \mathrm{mm} \right)\\
		&= 841 \times 1189\ \mathrm{mm} \cdot \mathrm{mm}\\
		&= \np{999949}\ {\color{orange}\mathrm{mm}^2}\\
		&= \np{999949} {\color{orange}\left( \frac{1}{\np{1000}}\ \mathrm{m} \right)^2}\\
		&= \np{999949} \left( \frac{1}{\np{1000}} \right)^2\ \mathrm{m}^2\\
		&= \np{0,999949}\ \mathrm{m}^2
		\end{align*}
		
		Et puisque $1\ {\color{WildStrawberry}\mathrm{dm}^2}=1\ {\color{WildStrawberry} \left( \frac{1}{10} \ \mathrm{m} \right)^2}= \left( \frac{1}{10} \right)^2 \ \mathrm{m}^2= 0,01\ \mathrm{m}^2$,
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_0 \approx 1,00\ \mathrm{m}^2$.
			'
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que le format A4 a pour dimensions, en centimètre, $21 \times 29,7$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque la feuille A4 s'obtient en découpant la feuille A3 suivant la longueur, sa longueur est la moitié de celle de la feuille A3: $\frac{420\ \mathrm{mm}}{2}=210\ \mathrm{mm} = 21\ \mathrm{cm}$. Et la longueur de la feuille A4 est alors la largeur de la feuille A3, c'est-à-dire $297\ \mathrm{mm}=29,7\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La feuille de format A4 a pour dimensions, en centimètres, $21 \times 29,7$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer les dimensions du format A5 en millimètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le format A4 en millimètre est, d'après la question précédente $210 \times 297$. Or $\frac{297}{2}=148,5$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			les dimensions du format A5 en millimètre sont $148,5 \times 210$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: étude de deux cylindres de révolution.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{6cm}m{1cm}m{3cm}|}
			\hline
			\begin{minipage}{\linewidth}
				Rappel:
				
				Volume $V$ du cylindre de révolution de rayon $R$ et hauteur $h$: \[ V=\pi \times R^2 \times h. \]
				
			\end{minipage}
			&
			&
			\begin{minipage}{\linewidth}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
				\def\xC1{0};
				\def\yC1{0};
				\def\ray{1};
				\def\haut{2.5};
				\coordinate (C1) at ({\xC1},{\yC1});
				\coordinate (C2) at ({\xC1+\ray},{\yC1});
				\coordinate (C3) at ({\xC1+\ray},{\yC1+\haut});
				\coordinate (C4) at ({\xC1},{\yC1+\haut});
				\coordinate (C5) at ({\xC1-\ray},{\yC1+\haut});
				\coordinate (C6) at ({\xC1-\ray},{\yC1});
				\draw (C2) -- (C3);
				\draw (C5) -- (C6);
				\draw[>=latex,<->,dashed] (C3) -- (C4);
				\def\reduc{0.5};
				\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({\xC1+ cos(\x)},{\yC1+ \reduc*sin(\x)});
				\draw[samples=100,domain=180:360] plot({\xC1+ cos(\x)},{\yC1+ \reduc*sin(\x)});
				\draw[samples=100,domain=0:360] plot({\xC1+ cos(\x)},{\yC1+ \haut+ \reduc*sin(\x)});
				\def\decal{0.5};
				\draw[>=latex,<->] ({\xC1+\ray+\decal},{\yC1}) -- ({\xC1+\ray+\decal},{\yC1+\haut}) node [midway,right] {$h$};
				\draw[>=latex,<->] ({\xC1},{\yC1+\haut+1.5*\decal}) -- ({\xC1+\ray},{\yC1+\haut+1.5*\decal}) node [midway,above] {$R$};
				\end{tikzpicture}
			\end{minipage}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	On dispose d'une feuille A3. On peut l'enrouler de deux façons différentes en mettant bord à bord deux côtés opposés:
	
	\begin{itemize}
		\item en reliant $[AB]$ et $[DC]$ on obtient le cylindre $\mathbf{C}_1$.
		
		\item en reliant $[AD]$ et $[BC]$ on obtient le cylindre $\mathbf{C}_2$.
		
	\end{itemize}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\long{4};
		\def\larg{3};
		%Rectangle
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
		\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
		\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
		\draw (A) node {$+$};
		\draw (A) node [above left] {$A$};
		\draw (B) node {$+$};
		\draw (B) node [above right] {$B$};
		\draw (C) node {$+$};
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\draw (D) node {$+$};
		\draw (D) node [below left] {$D$};
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		%C1
		\def\rayA{\larg/(2*3.1415926535)};
		\def\reducA{0.6};
		\def\xcA{\xA};
		\def\ycA{\yA-\larg-1.5};
		\draw[samples=100,domain=0:360] plot({ \xcA+\reducA*\rayA*cos(\x)},{ \ycA+\rayA*sin(\x)});
		\coordinate (E1) at ({\xcA},{\ycA+\rayA});
		\coordinate (E2) at ({\xcA+\long},{\ycA+\rayA});
		\draw (E1) -- (E2);
		\coordinate (E3) at ({\xcA+\long},{\ycA-\rayA});
		\coordinate (E4) at ({\xcA},{\ycA-\rayA});
		\draw (E3) -- (E4);
		\draw[samples=100,domain=-90:90] plot({ \xcA+\long+\reducA*\rayA*cos(\x)},{ \ycA+\rayA*sin(\x)});
		\draw[dashed][samples=100,domain=90:270] plot({ \xcA+\long+\reducA*\rayA*cos(\x)},{ \ycA+\rayA*sin(\x)});
		\draw ({\xcA-1},{\ycA}) node{$\mathbf{C}_1$};
		%Flèche C1
		\draw [>=latex,line width=0.05cm,<-] ({\xcA+\long/2},{\ycA+0.7}) -- ({\xcA+\long/2},{\ycA+1.3});
		%C2
		\def\rayB{\long/(2*3.1415926535)};
		\def\reducB{0.6};
		\def\xcB{\xA+\long+2};
		\def\ycB{\yA};
		\draw[samples=100,domain=0:360] plot({ \xcB+\rayB*cos(\x)},{ \ycB+\reducB*\rayB*sin(\x)});
		\coordinate (F1) at ({\xcB-\rayB},{\ycB});
		\coordinate (F2) at ({\xcB-\rayB},{\ycB-\larg});
		\draw (F1) -- (F2);
		\coordinate (F3) at ({\xcB+\rayB},{\ycB-\larg});
		\coordinate (F4) at ({\xcB+\rayB},{\ycB});
		\draw (F3) -- (F4);
		\draw[samples=100,domain=180:360] plot({ \xcB+\rayB*cos(\x)},{ \ycB-\larg+\reducB*\rayB*sin(\x)});
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({ \xcB+\rayB*cos(\x)},{ \ycB-\larg+\reducB*\rayB*sin(\x)});
		\draw ({\xcB},{\ycB-\larg-1}) node{$\mathbf{C}_2$};
		%Flèche C2
		\draw [>=latex,line width=0.05cm,->] ({\xcB-1.6},{\ycB-\larg/2}) -- ({\xcB-1},{\ycB-\larg/2});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On s’intéresse au cylindre $\mathbf{C}_1$, dont la hauteur est $42$ centimètres.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que vaut le rayon de la base de ce cylindre? Arrondir au millimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Remarquons que la figure est trompeuse puisque les longueurs et largeurs de $ABCD$ semblent inversées.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons le rayon $R_1$ de la base de $ \mathbf{C}_1$.}
			
			Le périmètre du disque formant la base de $\mathbf{C}_1$ est donné par:
			
			\begin{align*}
			2 \pi R_1 &= AD\\
			\intertext{La feuille étant au format A3, et puisque $AB= 42\ \mathrm{cm}$ (hauteur d'après l'énoncé):}
			2 \pi R_1 &= 297 \ \mathrm{mm}\\
			\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
			\frac{2\pi R_1}{\color{orange}2 \pi} &= \frac{297\ \mathrm{mm}}{\color{orange}2 \pi }\\
			R_1 &= \frac{297}{2\pi}\ \mathrm{mm}\\
			R_1 &\approx 47,2690\ \mathrm{mm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R_1 \approx 47\ \mathrm{mm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le volume du cylindre $\mathbf{C}_1$? Arrondir au centimètre cube.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Puisque aucune unité pour le volume n'est exigée calculons en centimètre cube et arrondissons le résultat à l'unité.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ de $\mathbf{C}_1$.}
			
			D'après la question précédente:
			
			\begin{align*}
			R_1 &= \frac{297}{2\pi}\ {\color{orange}\mathrm{mm}}\\
			&= \frac{297}{2\pi} {\color{orange} \times \left( \frac{1}{10}\ \mathrm{cm} \right)}\\
			&= \frac{297}{20\pi} \ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			Nous pouvons maintenant calculer le volume du cylindre.
			
			\begin{align*}
			\mathscr{V}_1 &= \pi \times R_1^2 \times AB\\
			&= \pi \times \left( \frac{297}{20\pi} \ \mathrm{cm} \right)^2 \times \left( 420\ \mathrm{mm} \right)\\
			&= \pi \times \left( \frac{297}{20\pi} \ \mathrm{cm} \right)^2 \times \left( 42\ \mathrm{cm} \right)\\
			&= \pi \times \left( \frac{297}{20\pi} \right)^2 \times 42\ \mathrm{cm}^2 \cdot \mathrm{cm}\\
			&\approx 2948,168\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_1 \approx \np{2948}\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On s’intéresse au cylindre $\mathbf{C}_2$, dont la hauteur est $29,7$ centimètres.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que vaut le rayon de la base de ce cylindre? Arrondir au millimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le rayon $R_2$ de la base de $ \mathbf{C}_2$.}
			
			Le périmètre du disque formant la base de $\mathbf{C}_2$ est donné par:
			
			\begin{align*}
			2 \pi R_2 &= AB\\
			\intertext{D'après l'énoncé $AB= 42\ \mathrm{cm}$:}
			2 \pi R_2 &= 420 \ \mathrm{mm}\\
			\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
			\frac{2\pi R_2}{\color{orange}2 \pi} &= \frac{420\ \mathrm{mm}}{\color{orange}2 \pi }\\
			R_2 &= \frac{420}{2\pi}\ \mathrm{mm}\\
			R_2 &\approx 66,8450\ \mathrm{mm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$R_2 \approx 67\ \mathrm{mm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le volume du cylindre $\mathbf{C}_2$. Arrondir au centimètre cube.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_2$ de $\mathbf{C}_2$.}
			
			D'après la question précédente:
			
			\begin{align*}
			R_2 &= \frac{420}{2\pi}\ {\color{orange}\mathrm{mm}}\\
			&= \frac{210}{\pi} {\color{orange} \times \left( \frac{1}{10}\ \mathrm{cm} \right)}\\
			&= \frac{21}{\pi} \ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			Nous pouvons maintenant calculer le volume du cylindre dont la hauteur est $AD= 29,7\ \mathrm{cm}$.
			
			\begin{align*}
			\mathscr{V}_2 &= \pi \times R_2^2 \times AD\\
			&= \pi \times \left( \frac{21}{\pi} \ \mathrm{cm} \right)^2 \times \left( 29,7\ \mathrm{cm} \right)\\
			&= \pi \times \left( \frac{21}{\pi} \right)^2 \times 29,7\ \mathrm{cm}^2 \cdot \mathrm{cm}\\
			&\approx 4169,127\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_2 \approx \np{4169}\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Lequel de ces deux cylindres a le plus grand volume?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		D'après les questions précédentes
		
		\begin{conclusion}
			
			le cylindre $\mathbf{C}_2$ a un plus grand volume.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: la pesée.}

\begin{sujet}
	
	Noé a entamé son paquet de feuilles. Il souhaite savoir combien il lui en reste. Pour cela, il pose sur une balance son paquet de feuilles sans l’emballage.
	
	La balance indique $\np{1 920}\ \mathrm{g}$. Il peut aussi lire sur l’emballage du paquet:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\begin{center}
				
				Papier très blanc écologique.
				
				Papier fabriqué à partir à $50\ \%$ de fibres recyclées provenant de collectes de vieux papiers post-consommation et à $50\ \%$ de fibres neuves issues de forêts certifiées PEFC.
				
				Format A4: $21 \times 29,7\ \mathrm{cm}$.
				
				Grammage: $80\ \mathrm{g}/\mathrm{m}^2$.
				
				Velouté et planéité parfaits pour des présentations nettes et soignées.
				
				Ramette de 500 feuilles.
				
			\end{center}
			
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est l’aire d’une feuille de format A4 en centimètre carré?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire, $\mathscr{A}_4$, d'une feuille au format A4.}
		
		D'après la question A.2:
		
		\begin{align*}
		\mathscr{A}_4 &= \left( 21\ \mathrm{cm} \right) \left( 29,7\ \mathrm{cm} \right)\\
		&= 21 \times 29,7\ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}
		\end{align*}		
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_4 = 623,7\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la masse d’une ramette de $500$ feuilles? Arrondir au gramme.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La masse d'une feuille est de 
		
		\begin{align*}
		m_4 &= \mathscr{A}_4 \times \left( 80\ \mathrm{g} \cdot {\color{orange} \mathrm{m}^{-2}} \right)\\
		&= \left( 623,7 \ \mathrm{cm}^2 \right) \times \left( 80\ \mathrm{g}\cdot {\color{orange}\left( 100\ \mathrm{cm} \right)^{-2}} \right)\\
		&= \left( 623,7 \ \mathrm{cm}^2 \right) \times \left( 80\ \mathrm{g}\cdot {\color{orange}\left( \frac{1}{100^2}\ \mathrm{cm}^{-2} \right)} \right)\\
		&= 623,7 \times 80 \times \frac{1}{100^2}\ \mathrm{cm}^2 \cdot \mathrm{g} \cdot \mathrm{cm}^{-2}\\
		&= 4,9896\ \mathrm{g}
		\end{align*}		
		
		Nous en déduisons la masse des $500$ feuilles:
		
		\begin{align*}
		m_5 &= 500 \times m_4\\
		&= 500 \times 4,9896\ \mathrm{g}\\
		&= 2494,8 \ \mathrm{g}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$m_5 \approx 2495\ \mathrm{g}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Estimer le nombre de feuilles restantes dans le paquet de Noé.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Estimons le nombre $n_4$ de feuilles restantes dans le paquet.}
		
		\begin{align*}
		n_4 &= \frac{1920\ \mathrm{g}}{m_4}\\
		&\approx \frac{1920\ \mathrm{g}}{5\ \mathrm{g}}\\
		&\approx \frac{1920}{5}\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{g}}\\
		&\approx 384
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il reste, approximativement, $384$ feuilles dans le paquet.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D: calculs de dimensions de format.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			On appellera \og rapport d’une feuille\fg{} le quotient entre sa longueur et sa largeur.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Dans la feuille de calcul d’un tableur ci-dessous, on a indiqué les formats du papier. On a renseigné la ligne correspondant au format A0 et on a choisi l’arrondi à l’unité pour les nombres des colonnes \texttt{C} et \texttt{D}, jusqu’à la ligne 9.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_01_tableur.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner les formules qu’il convient de saisir dans les cellules $\texttt{C}4$ et $\texttt{D}4$ qui permettront de déterminer automatiquement les valeurs des dimensions des formats d’une feuille respectivement de format A1, A2, A3, A4, A5 et A6, en copiant par glissement les colonnes $\texttt{C}$ et $\texttt{D}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La largeur de la feuille plus petite s'obtient en divisant la longueur de la plus grande par $2$ donc,
		
		\begin{conclusion}
			
			en $\texttt{C}4$, il faut saisir: $=\texttt{D}3/2$
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		
		La longueur de la feuille plus petite égale la largeur de la plus grande donc,
		
		\begin{conclusion}
			
			en $\texttt{D}4$, il faut saisir: $=\texttt{C}3$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle formule faut-il saisir dans la cellule $\texttt{E}3$, pour compléter la colonne $\texttt{E}$, en copiant et glissant?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque le rapport est le quotient entre la longueur et la largeur de la feuille:
		
		\begin{conclusion}
			
			en $\texttt{E}3$ il faut saisir: $= \texttt{D}3/\texttt{C}3$
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici les résultats obtenus dans la colonne $\texttt{E}$:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.32]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_02_tableur.png}
			
		\end{center}
		
		On remarque que ces valeurs sont proches de $\sqrt{2}$ (on rappelle que $\sqrt{2} = 1,4142136 \dots$).
		
		Démontrer que si une feuille a pour rapport $\sqrt{2}$ alors, en coupant cette feuille au milieu dans la longueur, on obtient deux feuilles ayant chacune pour rapport $\sqrt{2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Imaginons choisie une feuille $A$ dont la largeur est $\ell$ et la longueur $L$ de sorte que $\frac{L}{\ell}=\sqrt{2}$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que la feuille $A'$ obtenu en coupant $A$ au milieu de sa longueur a aussi pour rapport $\sqrt{2}$.}
		
		Notons $\ell'$ et $L'$ respectivement les largeur et longueur de $A'$.
		
		Nous avons donc: $\ell'=\frac{L}{2}$ et $L'=\ell$.
		
		Par conséquent
		
		\begin{align*}
		\frac{L'}{\ell'} &= \frac{\ell}{\frac{L}{2}}\\
		&= \frac{\frac{\ell}{\color{orange}1}} {\frac{L}{2}}\\
		&= \frac{\ell}{1} \times \frac{2}{L}\\
		&= \frac{2\ell}{L}\\
		&= 2 \frac{\ell}{L}\\
		\intertext{Or $\frac{L}{\ell}=\sqrt{2}$ donc $\frac{\ell}{L}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ et}
		\frac{L'}{\ell'} &= 2\frac{1}{\sqrt{2}}\\
		&= \frac{\sqrt{2}^2}{\sqrt{2}}\\
		&= \sqrt{2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $A$ a pour rapport $\sqrt{2}$ alors $A'$ a aussi pour rapport $\sqrt{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie E: un angle droit.}

\begin{sujet}
	
	On dispose d’une feuille rectangulaire $ABCD$ telle que
	$AB = \sqrt{2}$ et $BC = 1$ (figure 1).
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=2]
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\long{sqrt(2)};
		\def\larg{1};
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\draw (A) node [above left] {$A$};
		\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
		\draw (B) node [above right] {$B$};
		\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
		\draw (C) node [below right] {$C$};
		\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
		\draw (D) node [below left] {$D$};
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		\coordinate (Z) at ({\xA+\long/2},{\yA-\larg -0.25});
		\draw (Z) node{Figure 1};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	On appelle $E$ le milieu de $[DC]$ et $F$ l’intersection des droites $(AE)$ et $(BD)$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On appelle $G$ le milieu de $[BC]$. Démontrer que la longueur $AG$ vaut $\frac{3}{2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\long{sqrt(2)};
			\def\larg{1};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (Z) at ({\xA+\long/2},{\yA-\larg -0.25});
			\coordinate (G) at ({\long},{-\larg/2});
			\draw (G) node [right] {$G$};
			\draw (A) -- (G);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\objectif{Calculons $AG$.}
		
		$ABG$ est rectangle en $B$, donc, d'après le théorème de Pythagore \[ AG^2 = AB^2 + BG^2. \]
		
		Donc:
		\begin{align*}
		AG^2 &= \sqrt{2}^2+\left( \frac{1}{2} \right)^2\\
		&= 2 + \frac{1^2}{2^2}\\
		&= 2+\frac{1}{4}\\
		&= \frac{8}{4} +\frac{1}{4}\\
		&= \frac{9}{4}
		\end{align*}
		
		Puisque $AG$ est une longueur c'est un nombre positif donc
		
		\begin{align*}
		AG &= \sqrt{\frac{9}{4}}\\
		&= \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$AG=\frac{3}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $AEG$ est un triangle rectangle en $E$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\long{sqrt(2)};
			\def\larg{1};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (Z) at ({\xA+\long/2},{\yA-\larg -0.25});
			\coordinate (G) at ({\long},{-\larg/2});
			\draw (G) node [right] {$G$};
			\coordinate (E) at ({\long/2},{-\larg});
			\draw (E) node [below] {$E$};
			\draw (A) -- (G) -- (E) -- cycle;
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\objectif{Démontrons que $AEG$ et rectangle en $E$.}
		
		En procédant comme à la question précédente:
		
		\begin{itemize}
			\item puisque $ADE$ est rectangle en $D$, $AE^2=\frac{3}{2}$,
			
			\item puisque $ECG$ est rectangle en $C$, $EG=\frac{3}{4}$.
			
		\end{itemize}
		
		Ainsi 
		
		\begin{align*}
		AE^2+EG^2 &= \frac{3}{2} + \frac{3}{4}\\
		&= \frac{9}{4}
		\end{align*}
		
		Or nous avions établi que $AG^2=\frac{9}{4}$, donc $AE^2+EG^2=AG^2$.
		
		Nous en déduisons, d'après la réciproque du théorème de Pythagore que
		
		\begin{conclusion}
			
			$AEG$ est rectangle en $E$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}		
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que les droites $(BD)$ et $(EG)$ sont parallèles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\long{sqrt(2)};
			\def\larg{1};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (Z) at ({\xA+\long/2},{\yA-\larg -0.25});
			\coordinate (G) at ({\long},{-\larg/2});
			\draw (G) node [right] {$G$};
			\coordinate (E) at ({\long/2},{-\larg});
			\draw (E) node [below] {$E$};
			\draw (B) -- (D);
			\draw (E) -- (G);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\objectif{Démontrons que $(BD) \parallel (EG)$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} Les points $D$, $E$, $C$ d'une part et $B$, $G$, $C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèse de la réciproque du théorème de Thalès.} 
			
			$E$ (resp. $G$) étant le milieu de $[DC]$ (resp. $[BC]$) nous avons $\frac{CE}{CD}=\frac{CG}{CB}=\frac{1}{2}$.
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès que
		
		\begin{conclusion}
			
			$(BD) \parallel (EG)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire que les droites $(BD)$ et $(AE)$ sont perpendiculaires en $F$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\long{sqrt(2)};
			\def\larg{1};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node [above left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
			\draw (B) node [above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\long},{\yA-\larg});
			\draw (C) node [below right] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA},{\yA-\larg});
			\draw (D) node [below left] {$D$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\coordinate (Z) at ({\xA+\long/2},{\yA-\larg -0.25});
			\coordinate (G) at ({\long},{-\larg/2});
			\draw (G) node [right] {$G$};
			\coordinate (E) at ({\long/2},{-\larg});
			\draw (E) node [below] {$E$};
			\draw (B) -- (D);
			\draw (E) -- (G);
			\draw (A) -- (E);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		D'après la question 2: $(AE) \perp (EG)$,
		
		et d'après la question précédente: $(BD) \parallel (EG)$,
		
		donc $(AE) \perp (BD)$.
		
		\medskip
		Comme de plus, par construction le point d'intersection de $(AE)$ et $(BD)$ est $F$ nous pouvons conclure
		
		\begin{conclusion}
			
			$(BD)$ et $(AE)$ se coupent perpendiculairement en $F$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne le patron d’un cube pour lequel est écrite une lettre sur chacune des six faces:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\long{1};
			\foreach \y in {0,1,2,3,4} \draw ({\xA},{\yA-\y*\long}) -- ({\xA+ \long},{\yA-\y*\long});
			\foreach \y/\mot in {0/V,1/E,2/R,3/T} \draw ({\xA+\long/2},{\yA-\y*\long-\long/2}) node {\mot};
			\draw ({\xA},{\yA}) -- ({\xA},{\yA-4*\long});
			\draw ({\xA+\long},{\yA}) -- ({\xA+\long},{\yA-4*\long});
			\draw ({\xA},{\yA-\long}) -- ({\xA-\long},{\yA-\long}) -- ({\xA-\long},{\yA-2*\long}) -- ({\xA},{\yA-2*\long});
			\draw ({\xA-\long/2},{\yA-\long-\long/2}) node {L};
			\draw ({\xA+\long},{\yA-\long}) -- ({\xA+2*\long},{\yA-\long}) -- ({\xA+2*\long},{\yA-2*\long}) -- ({\xA+\long},{\yA-2*\long});
			\draw ({\xA+ \long + \long/2},{\yA-\long-\long/2}) node {O};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Pour chacun des cubes représentés en
		perspective ci-dessous, déterminer la lettre
		écrite sur les faces 1 et 2.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Première représentation du cube.
			
			\begin{center}
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_03_cube_perspective.png}
				
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La face $1$ est celle du E et la $2$ celle du O.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Seconde représentation du cube.
			
			\begin{center}
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_04_cube_perspective.png}
				
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La face $1$ est celle du T et la $2$ celle du O.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On donne à présent le patron d’un cube avec les faces décorées de figures géométriques particulières (figure 1 ci-dessous).
		
		\begin{center}
			
			\noindent
			\begin{tabular}{m{5cm}m{0.5cm}m{5cm}}
				
				\begin{center}
					
					\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_05_cube_patron.png}
					
					Figure 1.
					
				\end{center}
				
				&&
				
				\begin{center}
					
					\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_06_cube_perspective.png}
					
					Figure 2.
					
				\end{center}
				
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Ce même cube est également représenté en perspective (figure 2).
		
		De combien de façons peut-on remplacer le $1$ et le $2$ sur le cube représenté en perspective cavalière? Donner toutes les réponses possibles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il est possible de remplacer le $1$ et le $2$ de deux façons:
		
		\begin{conclusion}
			
			première possibilité
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$1$ & $\bullet$
					\\
					\hline
					$2$ & $\square$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\medskip
			seconde possibilité
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					$1$ & $\oplus$
					\\
					\hline
					$2$ & $\times$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	On considère le programme Scratch suivant:
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_07_scratch.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2020_maths/crpe_2020_maths_externe_sujet_7_08_scratch.sb2}{Lien pour télécharger le programme Scratch}.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Si l’utilisateur saisit le nombre $17$, quelles seront les valeurs des variables $Q$ et $R$ en fin d’exécution?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Construisons le tableau d'état des variables de ce programme.}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_21_scratch_reponse.png} & \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_22_scratch_r.png} & \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_23_scratch_q.png} & \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_24_scratch_booleen.png}
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_15_scratch_demander.png} & $17$ & &&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_16_scratch_mettre_q.png} & $17$ & & $0$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_17_scratch_mettre_r_a_reponse.png} & $17$ & $17$ & $0$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_18_scratch_repeter.png} & $17$ & $17$ & $0$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_19_scratch_mettre_q.png} & $17$ & $17$ & $1$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_20_scratch_mettre_r.png} & $17$ & $10$ & $1$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_18_scratch_repeter.png} & $17$ & $10$ & $1$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_19_scratch_mettre_q.png} & $17$ & $10$ & $2$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_20_scratch_mettre_r.png} & $17$ & $3$ & $2$ & $0$ (faux)
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_18_scratch_repeter.png} & $17$ & $3$ & $2$ & $1$ (vrai)
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'utilisateur choisi $17$, alors le programme renvoie $R=3$ et $Q=2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que représentent, par rapport au nombre saisi par l’utilisateur, les valeurs des variables $Q$ et $R$ obtenues en fin d’exécution?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$Q$ est un compteur de passage dans la boucle et à chaque passage dans la boucle $R$ est diminué de $7$. Autrement dit il s'agit de déterminer combien de fois il est possible de mettre $7$ dans $R$.
		
		Plus simplement
		
		\begin{conclusion}
			
			$Q$ est le quotient de la valeur choisie par l'utilisateur dans la division euclidienne par $7$, et $R$ son reste.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire les valeurs des variables $Q$ et $R$ obtenues en fin d’exécution lorsque l’utilisateur saisit le nombre $2020$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Procédons à la division euclidienne de $2020$ par $7$.}
		
		\begin{center}
			
			\opidiv{2020}{7}
			
		\end{center}
		
		Donc \[ 2020= 288 \times 7 +4. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'utilisateur choisi $2020$, alors le programme renvoie $R=4$ et $Q=288$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Le mathématicien suédois von Koch a imaginé en 1904 une figure géométrique obtenue à partir d’un triangle équilatéral par réitération d’une transformation appliquée à chaque côté d’un triangle. Cette figure s’appelle \emph{le flocon de von Koch}.
	
	Pour passer d’une figure à la suivante, chaque côté est partagé en trois segments de même longueur. On remplace le tiers central de chaque segment par un triangle équilatéral sans base. On répète cette opération sur la figure obtenue.
	
	On donne les trois premières étapes de construction:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=3]
		\def\lA{1};
		\begin{scope}
		\draw(0,0) node{};
		\end{scope}
		\foreach \ab/\ordo/\degr/\sca in {0/0/0/1 , {\lA}/0/120/1 , {\lA/2}/{sqrt(3)/2*\lA}/240/1}
		{\begin{scope}[shift={({\ab},{\ordo})} , rotate={\degr} , scale={\sca}]
			\def\chapeau{--++({\lA/3},0) --++({\lA/6},{-sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/6},{sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/3},{0})};
			\draw[thick] ({0},{0}) \chapeau;
			\draw[dotted,thick] ({\lA/3},0) -- ({2*\lA/3},0);
			\end{scope}}
		\draw ({\lA/2},{-\lA/3-\lA/6}) node {Figure 1.};
		\draw ({\lA/2},{sqrt(3)/2*\lA+\lA/6}) node {Étape 1.};
		%Étape 2
		\def\xB{1.5};
		\foreach \ab/\ordo/\degr/\sca in {{\xB}/0/0/{1/3} , {\xB+\lA/3}/0/{-60}/{1/3} , {\xB+\lA/3+\lA/6}/{-sqrt(3)/2*\lA/3}/{60}/{1/3} , {\xB+2*\lA/3}/0/0/{1/3} , {\xB+\lA}/0/120/{1/3} , {\xB+\lA-\lA/6}/{sqrt(3)*\lA/6}/60/{1/3} , {\xB+\lA-\lA/6+\lA/3*cos(60)}/{sqrt(3)*\lA/6+\lA/3*sin(60)}/180/{1/3} , {\xB+\lA/2+\lA/6}/{sqrt(3)/2*\lA*2/3}/120/{1/3} , {\xB+\lA/2}/{sqrt(3)/2*\lA}/240/{1/3} , {\xB+\lA/2-\lA/6}/{sqrt(3)/2*\lA*2/3}/180/{1/3} , {\xB+\lA/2-\lA/6-\lA/3}/{sqrt(3)*\lA/6+\lA/3*sin(60)}/300/{1/3} , {\xB+\lA/6}/{sqrt(3)/2*\lA/3}/240/{1/3}}
		{\begin{scope}[shift={({\ab},{\ordo})} , rotate={\degr} , scale={\sca}]
			\def\chapeau{--++({\lA/3},0) --++({\lA/6},{-sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/6},{sqrt(3)/2*\lA/3}) --++({\lA/3},{0})};
			\draw[thick] ({0},{0}) \chapeau;
			\draw[dotted,thick] ({\lA/3},0) -- ({2*\lA/3},0);
			\end{scope}}
		\draw ({\xB+\lA/2},{-\lA/3-\lA/6}) node {Figure 2.};
		\draw ({\xB+\lA/2},{sqrt(3)/2*\lA+\lA/6}) node {Étape 2.};
		%Étape 0
		\draw[thick] ({-\xB+\lA-\lA},{0}) -- ({-\xB+\lA},0) -- ({-\xB+\lA-\lA/2},{sqrt(3)*\lA/2}) -- cycle;
		\draw ({-\xB+\lA/2},{-\lA/3-\lA/6}) node {Figure 0.};
		\draw ({-\xB+\lA/2},{sqrt(3)/2*\lA+\lA/6}) node {Étape 0.};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner le nombre de côtés de la Figure 1, puis de la Figure 2.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Chacun des trois côtés de la figure $0$ est séparé en quatre côtés donc un total de $3 \times 4$ côtés
			
			\begin{conclusion}
				
				la figure 1 compte $12$ côtés.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			De nouveau chacun des côtés de la figure 1 est partagé en $4$ nouveaux côtés.
			
			\begin{conclusion}
				
				La figure 2 compte $48$ côtés.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer le nombre de côtés de la Figure 3.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons remarqué que le nombre de côtés est multiplié par $4$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				la figure 3 compte $192$ côtés.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer le nombre de côtés de la Figure $n$ obtenue à l’Étape $n$ pour un nombre entier positif $n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$.
			
			Notons $N_k$ le nombre de côté de la figure $k$ quelque soit $k$ entier naturel.
			
			\medskip
			\objectif{Exprimons $N_n$ en fonction de $n$.}
			
			Nous avons remarqué que pour passer passer d'une étape à la suivante le nombre de côtés est multiplié par $4$, par conséquent $(N_n)$ est une suite géométrique de terme initial $N_0=3$ et de raison $q=4$.
			
			Nous en déduisons la formule explicite: \[ N_n= N_0 \times q^n. \]
			
			En tenant compte des données numériques: \[ N_n=3 \times 4^n. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				Ainsi, quelque soit $n \in \mathbb{N}$, $N_n=3 \times 4^n$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On suppose que le côté du triangle équilatéral de la Figure 0 mesure $1\ \mathrm{cm}$.
	
	On appelle $L_0$, $L_1$, $L_2$, ..., $L_n$ les longueurs d’un côté des Figures $0$, $1$, $2$, ..., $n$.
	
	On appelle $P_0$, $P_1$, $P_2$, ..., $P_n$ les périmètres des Figures $0$, $1$ , $2$, ..., $n$.
	
	Par exemple, $L_0 = 1$ et $P_0 = 3$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $L_1 = \frac{1}{3}$, puis donner sous forme de fraction irréductible les valeurs de $L_2$ et $L_3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit $n \in \mathbb{N}$. Chaque côté de la figure $n$ est partagé en trois segment de même longueur donc: $L_{n+1}=\frac{1}{3} \times L_n$.
			
			En particulier: $L_1=\frac{1}{3} \times L_0=\frac{1}{3} \times 1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_1=\frac{1}{3}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			De même: $L_2=\frac{1}{3}L_1=\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}= \left( \frac{1}{3} \right)^2=\frac{1}{3^2}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_2=\frac{1}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
			{\color{orange}$\frac{1}{9}$ est bien la forme irréductible car les numérateurs et dénominateurs de $\frac{1}{3^2}$ correspondent à des décompositions en facteurs premiers et que plus aucune simplification n'est possible.}
			
			\medskip
			De même
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_3=\frac{1}{27}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une expression de $L_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons remarqué à la question précédente la formule de récurrence \[ L_{n+1}=\frac{1}{3} L_n \] quelque soit $n \in \mathbb{N}$, qui est la formule de récurrence définissant une suite géométrique.
			
			Nous en déduisons que $(L_n)$ est une suite géométrique de terme initial $L_0=1$ et de raison $q=\frac{1}{3}$.
			
			Par conséquent une formule explicite de $(L_n)$ est 
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_n=\frac{1}{3^n}$ quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Justifier que $P_1 = 4$, puis donner les valeurs de $P_2$ et $P_3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous remarquons que, quelque soit l'entier naturel $n$, $P_n=N_n \times L_n$.
			
			Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$P_1= 4$, $P_2= \frac{16}{3}$ et $P_3 = \frac{64}{9}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une expression de $P_n$ en fonction de $n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Soit n$\in\mathbb{N}$.
			
			\begin{align*}
			P_n &= N_n \times L_n \\
			&= 3 \times 4^n \times \frac{1}{3^n}\\
			&=4^n \times \frac{3}{3^n}
			\end{align*}
			
			Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\displaystyle P_n= \frac{4^n}{3^{n-1}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Peut-on trouver un nombre entier $n$ tel que le périmètre $P_n$ de la Figure $n$ soit supérieur à $1\ \mathrm{km}$? expliquer le raisonnement suivi.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons l'existence du $n$ cherché.}
		
		Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}$: $P_n= 3 \times \left( \frac{4}{3} \right)^n$. Par conséquent $(P_n)$ est une suite arithmétique de terme initial $P_0=3$ et de raison $q=\frac{4}{3}$.
		
		Puisque $q>1$ nous en déduisons que $(P_n)$ diverge vers $+\infty$.
		
		En particulier
		
		\begin{conclusion}
			
			il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $P_n\geqslant \np{100000}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Dans un démarche plus constructiviste nous pouvons essayer de déterminer un rang $n\in\mathbb{N}$ qui convienne.}
		
		\medskip
		$1\ \mathrm{km}= \np{100000}\ \mathrm{cm}$.
		
		\medskip
		\objectif{Cherchons $n$ tel que $P_n \geqslant \np{100000}$.}
		
		{\color{orange}La méthode  la plus propre pour trouver le rang $n$ pour lequel la valeur souhaitée est atteinte nécessite la fonction logarithme qui est dorénavant au programme de terminale. Nous allons adopter une résolution algorithmique.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Première méthode.
			
			En entrant la fonction $x \mapsto \frac{4^x}{3^{n-1}}$ dans la calculatrice nous obtenons ensuite un tableau de valeur. En faisant défiler les valeurs nous voyons que $P_{36} \approx \np{94388}$ et $P_{37} \approx \np{125850}$.
			
			\item Deuxième méthode.
			
			Nous pouvons aussi faire un algorithme. Par exemple en Python:
			
			\begin{center}
				\begin{minipage}{7cm}
					\lstset{emph={seuil}, emphstyle=\color{red},
						emph={[2]P,n}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
					\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
					def seuil():
					P=3
					n=0
					while P<100000:
					n=n+1
					P=4**n/3**(n-1)
					return(n)
					\end{lstlisting}
				\end{minipage}
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Dans le cadre de la construction du nombre $3$ en petite section, les élèves élaborent des affichages à l’aide de gommettes. Les affiches sont reproduites ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_09_affiches.png}
		
	\end{center}
	
	Donner trois intérêts d’un tel affichage.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant veut évaluer la compréhension de l’écriture décimale par ses élèves de CM1. Il trouve les deux exercices ci-dessous dans un manuel.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Exercice 1: Ranger les nombres ci-dessous dans l’ordre croissant. \[ 4,32\quad 4,56\quad 3,25\quad 4,11\quad 4,78\quad 3,18 \]
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Exercice 2: Ranger les nombres ci-dessous dans l’ordre croissant. \[ 4,32\quad 4,7\quad 5\quad 4,09\quad 3,2\quad 3,18 \]
			\\
			\hline			
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Donner au moins deux conceptions erronées fréquentes des élèves que l’exercice 1 ne permet pas de repérer contrairement à l’exercice 2.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici un extrait de la note de service n\degres2018-052 du 25-4-2018 \og La résolution de problèmes à l’école élémentaire \fg{}.
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		\textbf{\og Modéliser \fg{} et \og Calculer \fg{} sont deux compétences fondamentales pour la résolution de problèmes à l’école élémentaire} qui doivent guider l’action de l’enseignant pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés. En effet, lors de la résolution de problèmes, les principales difficultés rencontrées peuvent relever de:
		
		\begin{itemize}
			\item difficultés à \og modéliser \fg{}: l’élève n’arrive pas à faire le lien entre le problème posé et le modèle mathématique dont il relève, il ne comprend pas le sens de l’énoncé ou il ne propose pas de solution ou encore la solution proposée ne s’appuie pas sur les opérations attendues;
			
			\item difficultés à \og calculer \fg{}: les calculs effectués, mentalement ou en les posant, sont erronés, les erreurs pouvant être dues à une méconnaissance de faits numériques ou à une maîtrise imparfaite des algorithmes de calculs utilisés.
		\end{itemize}
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\medskip
	Dans une classe de CE2, l’enseignant propose le problème ci-dessous:
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{X|}}
		\hline
		Une bibliothécaire a reçu $12$ cartons de $35$ livres chacun. Elle a mis $125$ livres le matin sur les étagères de la bibliothèque et $217$ l’après-midi.
		\\
		Combien de livres doit-elle encore ranger?
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_10_eleve_1.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_11_eleve_2.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_12_eleve_3.png}
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_13_eleve_3.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En vous appuyant sur l’extrait de la note de service proposé ci-dessus, analyser les productions des élèves en termes de réussites et d’erreurs pour chacune des compétences \og Modéliser \fg{} et \og Calculer \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une remédiation ou un accompagnement que l’enseignant pourrait mettre en place pour aider l’élève 1 à résoudre ce type de problème.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 4.}

\begin{sujet}
	
	Lors d’un séjour en classe de mer, des élèves de CM2 ont mené des expériences pour récupérer du sel contenu dans l’eau de mer. Avec deux litres d’eau de mer, ils ont obtenu $70$ grammes de sel. L’enseignant décide d’utiliser ce résultat pour leur soumettre l’exercice suivant.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\\
			\underline{Exercice:}
			
			\begin{enumerate}[A. ]
				\item J’ai rapporté $6$ litres d’eau de mer de notre séjour scolaire. Quelle quantité de sel va-t-on obtenir en réalisant la même expérience qu’en classe de mer?
				
				\item Avec $7$ litres d’eau de mer, quelle serait la masse de sel obtenue?
				
				\item Si je veux récupérer $350$ grammes de sel, combien de litres d’eau de mer dois-je utiliser?
				
			\end{enumerate}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner trois procédures que l’on peut attendre d’élèves de CM2 pour répondre à la question B.?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a reproduit ci-dessous, la trace écrite d’un élève:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2020_maths_externe_sujet_7_14_trace.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sur quelle propriété mathématique l’élève s’appuie-t-il pour répondre à la première question de l’exercice?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sur quelle propriété mathématique l’élève s’appuie-t-il pour répondre à la question C.?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}