%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement bareme
\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!3} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2019 sujet 5} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}
	
\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2019 groupe 5.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2019_maths/crpe_2019_maths_externe_sujet_5_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2019_maths/crpe_2019_maths_externe_sujet_5_sujet.pdf}{pdf}.
		
		\medskip
		{\color{red}Merci à Mme Lara pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			Rappels des formules de volumes de solides usuels.
			
			\begin{itemize}
				\item Volume du parallélépipède rectangle: $\displaystyle V=longueur \times largeur \times hauteur$.
				
				\item Volume du prisme droit et du cylindre: $\displaystyle V= aire\ de\ la\ base \times hauteur$.
				
				\item Volume de la pyramide et du cône: $\displaystyle V=\frac{1}{3} \times aire\ de\ la\ base \times hauteur$.
				
				\item Volume de la boule: $\displaystyle V= \frac{4}{3} \times \pi \times rayon^3$.
			\end{itemize}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	Dans tout ce problème, on s’intéresse à une boisson réalisée à partir d’un sirop et d’eau. Pour réaliser cette boisson à partir de ce sirop, le fabriquant préconise de mélanger:
	
	\begin{center} \og $1$ volume de sirop pour $7$ volumes d’eau \fg{}. \end{center}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: boisson à base de sirop.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En suivant la préconisation ci-dessus pour réaliser la boisson:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel volume de boisson (sirop $+$ eau) obtient-on avec $5\ \mathrm{cL}$ de sirop?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Je fais le choix d'adopter tout de suite des outils algébriques pour résoudre le problème.}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons le volume $V_b$ de boisson obtenu.}
			
			Notons $V_s$ le volume de sirop et $V_e$ le volume d'eau.
			
			Nous avons: $V_b=V_s+V_e$.
			
			Or il faut $1$ volume d'eau pour $7$ volumes d'eau donc: $V_e=7V_s$.
			
			Nous en déduisons: 
			
			\begin{align*}
				V_b &= V_s + 7V_s\\
				&= 8V_s\\
				\intertext{Comme d'après l'énoncé $V_s=5\ \mathrm{cL}$:}
				V_b &= 8 \times 5\ \mathrm{cL}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_b=40\ \mathrm{cL}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel volume de sirop faut-il pour obtenir $24\ \mathrm{cL}$ de boisson?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $V_s$ de sirop nécessaire.}
			
			Nous avons déjà remarqué à la question précédente que:
			
			\begin{align*}
				V_b &= 8V_s\\
				\intertext{Ce qui équivaut dans cette question à:}
				24\ \mathrm{cL} &= 8V_s\\
				\frac{24\ \mathrm{cL}}{\color{orange}8} &= \frac{8V_s}{\color{orange}8}\\
				\frac{24}{8}\ \mathrm{cL} &= V_s
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_s = 3\ \mathrm{cL}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Avec cette préconisation, quel pourcentage du volume de la boisson le volume de sirop représente-t-il?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le pourcentage, $p_1$, représenté par le sirop.}
		
		\begin{align*}
			p_1 &= \frac{V_s}{V_b} \times 100\\
			&= \frac{V_s}{V_s+V_e} \times 100\\
			&= \frac{V_s}{V_s+7V_s}\times 100\\
			&= \frac{\color{orange}V_s}{8{\color{orange}V_s}}\times 100\\
			&= \frac{1}{8}\times 100\\
			&= 12,5
		\end{align*}	
		
		\begin{conclusion}
			
			Le sirop représente $12,5\ \%$ du mélange en volume.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Dans les parties B, C et D, les verres sont modélisés par des cylindres et des cônes.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie B: des verres cylindriques.}

\begin{sujet}
	
	Vincent a des verres cylindriques dont les dimensions sont $6\ \mathrm{cm}$ pour le diamètre et $10,5\ \mathrm{cm}$ pour la hauteur.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.6,yscale=0.4]
			\draw (-3,0)--(-3,10.5);
			\draw (3,0)--(3,10.5);
			\draw[samples=100,domain=0:360] plot({3*cos(\x)},{0.5*3*sin(\x)+10.5});
			\draw[samples=100,domain=180:360] plot({3*cos(\x)},{0.5*3*sin(\x)});
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({3*cos(\x)},{0.5*3*sin(\x)});
			\draw[>=latex,<->] (-3,10.5)--(3,10.5) node[midway,above] {$6\ \mathrm{cm}$};
			\draw[>=latex,<->] (-3.5,0)--(-3.5,10.5) node[midway,left] {$10,5\ \mathrm{cm}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que la contenance du verre est environ $29,7\ \mathrm{cL}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la contenance, $V_1$ du verre.}
		
		Le verre est cylindrique et sa base est un disque. L'aire du disque formant la base est $\pi \left( \frac{6\ \mathrm{cm}}{2} \right)^2=9\pi\ \mathrm{cm}^2$. Donc:
		
		\begin{align*}
			V_1 &= \left( 10,5\ \mathrm{cm} \right) \times \left( 9\pi\ \mathrm{cm}^2 \right)\\
			&= 10,5 \times 9 \pi \ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}^2\\
			&= 94,5\pi\ {\color{orange}\mathrm{cm}^3}\\
			&= 94,5\pi\ {\color{orange}\mathrm{mL}}\\
			&= 94,5\pi\ {\color{orange}\frac{1}{10}\mathrm{cL}}\\
			&= 94,5\pi \times \frac{1}{10} \ \mathrm{cL}\\
			&\approx 29,6880\ \mathrm{cL}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_1 \approx 29,7\ \mathrm{cL}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vincent veut faire des marques sur ses verres afin d’aider ses enfants à réaliser une boisson composée de $3\ \mathrm{cL}$ de sirop.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À quelle hauteur, au millimètre près, doit-il positionner la marque correspondant au volume de sirop?
			
		\end{sujet}
				
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la hauteur $h$ de la marque pour le sirop.}
			
			Il faut que la marque corresponde à un cylindre de volume de $3\ \mathrm{cL}$ donc, en reprenant le calcul de l'aire de la base effectué précédemment:
			
			\begin{align*}
				3\ \mathrm{cL} &= \left( 9\pi\ \mathrm{cm}^2 \right) \times h\\
				\intertext{Cette égalité équivaut successivement à:}
				\frac{3\ \mathrm{cL}}{\color{orange}9\pi\ \mathrm{cm}^2} &= \frac{\left( 9\pi\ \mathrm{cm}^2 \right) \times h}{\color{orange}9\pi\ \mathrm{cm}^2}\\
				\frac{3}{9\pi}\ \frac{\color{WildStrawberry}\mathrm{cL}}{\mathrm{cm}^2} &= h\\
				\frac{3}{9\pi}\ \frac{\color{WildStrawberry}10\ \mathrm{mL}}{\mathrm{cm}^2} &= h\\
				\frac{3}{9\pi}\ \frac{\color{WildStrawberry}10\ \mathrm{cm}^3}{\mathrm{cm}^2} &= h\\
				\frac{3}{9\pi}\times 10\ \mathrm{cm} &= h\\
				\intertext{Donc:}
				h &\approx 1,0610\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La marque doit être placée à $1,06\ \mathrm{cm}$ de haut.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			S’il respecte la préconisation d’un volume de sirop pour sept volumes d’eau, à quelle hauteur, au millimètre près, doit-il positionner la marque correspondant au volume total de la boisson?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $V_{b1}$ total de boisson.}
			
			Comme nous l'avions noté à la question A1.(a): $V_{b1}=8 V_{s1}$ où $V_{s1}$ désigne le volume en sirop.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				V_{b1} &= 8 \times 3\ \mathrm{cL}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$V_{b1}=24\ \mathrm{cL}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: des verres coniques.}

\begin{sujet}
	
	Pour l’anniversaire de ses enfants, Vincent n’a pas assez de verres cylindriques, il sort donc ses anciens verres coniques. Un exemplaire est représenté ci-dessous.
	
	
	\begin{itemize}
		
		\item $[AB]$ représente le diamètre de la base du cône, sa longueur est $12\ \mathrm{cm}$;
		
		\item $O$ est le milieu de $[AB]$;
		
		\item La longueur du segment $[SB]$ est $10\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{itemize}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.3,yscale=0.3]
		\def\hauteur{sqrt(10*10+6*6)};
		\draw (0,0)--(-6,{\hauteur});
		\draw (0,0)--(6,{\hauteur});
		\draw[samples=100,domain=0:360] plot({6*cos(\x)},{0.3*6*sin(\x)+\hauteur});
		\draw[samples=100,domain=100:440] plot({6*cos(\x)},{0.3*6*sin(\x)});
		\draw (-6,{\hauteur})--(6,{\hauteur});
		\draw[dashed] (0,0)--(0,{\hauteur});
		\draw (0,{\hauteur-0.5})--(0.5,{\hauteur-0.5})--(0.5,{\hauteur});
		\draw (-6,{\hauteur}) node[left]{$A$};
		\draw (6,{\hauteur}) node[right]{$B$};
		\draw (0,{\hauteur}) node[above]{$O$};
		\draw (0,0) node[below right]{$S$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la hauteur $SO$ d’un verre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $SO$.}
		
		$SOB$ est rectangle en $O$ donc, d'après le théorème de Pythagore \[ SB^2= SO^2+OB^2. \]
		
		Cette égalité équivaut successivement à
		
		\begin{align*}
			10^2 &= SO^2 + \left( \frac{AB}{23} \right)^2\\
			100 &= SO^2+\left( \frac{12}{2} \right)^2\\
			100 &= SO^2 + 36\\
			100 {\color{orange}-36} &= SO^2 + 36 {\color{orange}-36}\\
			64 &= SO^2\\
			\intertext{Puisque $SO$ est une longueur c'est un nombre positif et nous en déduisons:}
			SO &= \sqrt{64}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$SO= 8\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel volume maximal de boisson, exprimé en centilitre et arrondi au dixième près, un verre peut-il contenir?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $V_2$ maximal d'un verre.}
		
		Il s'agit d'un cône donc son volume est
		
		\begin{align*}
			V_2 &= \frac{1}{3} \times SO \times \left( \pi \times OB^2 \right)\\
			&= \frac{1}{3} \times SO \times \pi \times \left( \frac{AB}{2} \right)^2\\
			&= \frac{1}{3} \times (8\ \mathrm{cm}) \times \pi \times \left( \frac{12\ \mathrm{cm}}{2} \right)^2\\
			&= 96 \pi\ {\color{orange}\mathrm{cm}^3}\\
			&= 96\pi \ {\color{orange}\mathrm{mL}}\\
			&= 96\pi \ {\color{orange}\frac{1}{10}\ \mathrm{cL}}\\
			&= \frac{48}{5}\pi\ \mathrm{cL}\\
			&\approx 30,159\ \mathrm{cL}\\
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_2\approx 30,2\ \mathrm{cL}$ en arrondissant aux dixième près.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Comme précédemment, Vincent veut marquer ses verres coniques de manière à réaliser des boissons à partir d’un volume donné de sirop. On a représenté sur le schéma ci-dessous le petit cône occupé par ce volume donné de sirop dans le fond du verre.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.3,yscale=0.3]
			\def\hauteur{sqrt(10*10+6*6)};
			\draw (0,0)--(-6,{\hauteur});
			\draw (0,0)--(6,{\hauteur});
			\draw[samples=100,domain=0:360] plot({6*cos(\x)},{0.3*6*sin(\x)+\hauteur});
			\draw[samples=100,domain=100:440] plot({6*cos(\x)},{0.3*6*sin(\x)});
			\draw (-6,{\hauteur})--(6,{\hauteur});
			\draw[dashed] (0,0)--(0,{\hauteur});
			\draw (0,{\hauteur-0.5})--(0.5,{\hauteur-0.5})--(0.5,{\hauteur});
			\draw (-6,{\hauteur}) node[left]{$A$};
			\draw (6,{\hauteur}) node[right]{$B$};
			\draw (0,{\hauteur}) node[above]{$O$};
			\draw (0,0) node[below right]{$S$};
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({3*cos(\x)},{0.3*3*sin(\x)+\hauteur/2});
			\draw[samples=100,domain=180:360] plot({3*cos(\x)},{0.3*3*sin(\x)+\hauteur/2});
			\draw (0,{\hauteur/2}) node[left]{$C$};
			\draw (3,{\hauteur/2}) node[right]{$D$};
			\draw[dashed] (0,{\hauteur/2})--(3,{\hauteur/2});
			\draw (0,{\hauteur/2-0.5})--(0.5,{\hauteur/2-0.5})--(0.5,{\hauteur/2});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		On note $v$ le volume de ce petit cône, $h$ la longueur SC et $r$ la longueur CD.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer $r$ en fonction de $h$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $r$ en fonction de $h$.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item {\color{orange}Configuration de Thalès.} Les points $S$, $D$, $B$ d'une part et $S$, $C$, $O$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
				
				\item {\color{orange}Hypothèse.} De $(CD) \perp (SO)$ et $(OB) \perp (SO)$ nous déduisons $(CD) \parallel (OB)$. 
				
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès, \[ \frac{SC}{SO} = \frac{CD}{OB}. \]
			
			Cette égalité équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				\frac{SC}{SO} {\color{orange}\times OB} &= \frac{CD}{OB} {\color{orange}\times OB} \\
				\frac{h}{SO}\cdot \frac{AB}{2} &= CD\\
				\intertext{Par conséquent, avec des longueurs exprimées en centimètres:}
				CD &= \frac{h}{8\ \mathrm{cm}} \cdot \frac{12\ \mathrm{cm}}{2}\\
				&= \frac{3}{4}h
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$r= \frac{3}{4}h$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\displaystyle v=\frac{3\pi}{16} h^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $v$ en fonction de $h$.}
			
			est un cône donc son volume est
			
			\begin{align*}
				v &= \frac{1}{3} \times SC \times \left( \pi CD^2 \right)\\
				&= \frac{1}{3} \times h \times \left( \pi r^2 \right)\\
				&= \frac{1}{3} \times h \times \pi \left( \frac{3}{4} h \right)^2
			\end{align*}
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$v= \frac{3}{16} \pi h^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On donne ci-dessous, la représentation graphique de la fonction $f$ qui à $x$ associe $\frac{3\pi}{16}x^3$. Expliquer comment ce graphique permet d’obtenir une valeur approchée de la hauteur $h$ en centimètres correspondant à un volume de $3\ \mathrm{cL}$, et donner cette valeur.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-1.2};
				\def\xZ{4.8};
				\def\yZ{4.8};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0.5,1,...,4.5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4.35] plot(\x,{3*3.1415/16*\x*\x*\x/10});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Remarquons tout d'abord que $3\ \mathrm{cL}=30\ \mathrm{mL}=30\ \mathrm{cm}^3$.
		
			La représentation graphique indique le volume en fonction de la hauteur du liquide donc pour retrouver la hauteur il faut rechercher un antécédent de $30$ par $f$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-1.2};
				\def\xZ{4.8};
				\def\yZ{4.8};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {0.5,1,...,4.5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,4}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:4.35] plot(\x,{3*3.1415/16*pow(\x,3)/10});
				\draw[red,dashed,very thick] (0,{30/10})--({pow(30/(3*3.1415/16),1/3)},{30/10})--({pow(30/(3*3.1415/16),1/3)},0);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que le volume soit de $3\ \mathrm{cL}$ il faut que $h=3,7\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire que la longueur $DS$ qui permet de marquer le niveau du sirop sur le verre pour un volume de sirop de $3\ \mathrm{cL}$, est environ $4,6\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $DS$.}
			
			Le triangle $SCD$ est rectangle en $C$ donc, d'après le théorème de Pythagore: \[ DS^2=DC^2+CS^2. \]
			
			Autrement dit en reprenant les notations de l'énoncé:
			
			\begin{align*}
				DS^2 &= r^2+h^2\\
				\intertext{Nous en déduisons, d'après la question C.3.(a) à:}
				DS^2 &= \left( \frac{3}{4} \right)^2+h^2\\
				&= \frac{9}{16}h^2+h^2\\
				&=  \frac{25}{16}h^2\\
				\intertext{$DS$ est une longueur donc un nombre positif, d'où:}
				DS &= \sqrt{\frac{25}{16}h^2}\\
				&= \sqrt{\frac{25}{16}} \times \sqrt{h^2}\\
				&= \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} \times  |h|\\
				&= \frac{5}{4}h \quad \text{car } h\geqslant 0
				\intertext{Puisque par lecture graphique nous avons obtenu $h=3,7\ \mathrm{cm}$:}
				DS &= \frac{5}{4} \times 3,7\ \mathrm{cm}\\
				&= 4,625\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que le volume soit de $3\ \mathrm{cL}$ il faut que $DS \approx 4,6\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vincent affirme que pour respecter les préconisations d’un volume de sirop pour sept volumes d’eau dans un verre de ce type, il suffit que le niveau de la boisson soit deux fois plus haut que celui du sirop seul. Que penser de cette affirmation?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la proportion, $p_2$, de sirop du mélange en utilisant le procédé de Vincent.}
			
			Notons $h_s$ la hauteur remplie de sirop.
			
			Puisque la boisson est complétée jusqu'à un hauteur de $2h_s$ avec de l'eau:
			
			\begin{align*}
				p_2 &= \frac{\frac{3}{16}\pi h_s^3}{\frac{3}{16}\pi \left( 2h_s \right)^3}\\
				&= \frac{\frac{3}{16}\pi h_s^3}{\frac{3}{16}\pi 2^3h_s ^3}\\
				&= \frac{\frac{3}{16}\pi h_s^3}{\frac{3}{16}\pi h_s ^3\times 8}\\
				&= \frac{1}{8} \\
			\end{align*}
			
			Nous retrouvons le rapport $1$ pour $8$ entre le volume de sirop et le volume total de boisson.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation de Vincent est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Où faut-il positionner sur le segment $[SB]$ la marque repérant le volume total de boisson? Justifier la réponse.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			D'après la question précédente il faut que le niveau, la hauteur, de boisson soit deux fois plus haut que celui de sirop. Il faut donc que la boisson atteigne une hauteur de $2h$.
			
			Schématisons la partie du verre remplie de boisson de la façon suivante:
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.3,yscale=0.3]
				\def\hauteur{sqrt(10*10+6*6)};
				\draw (0,0)--(-6,{\hauteur});
				\draw (0,0)--(6,{\hauteur});
				%\draw[samples=100,domain=0:360] plot({6*cos(\x)},{0.3*6*sin(\x)+\hauteur});
				%\draw[samples=100,domain=100:440] plot({6*cos(\x)},{0.3*6*sin(\x)});
				\draw (-6,{\hauteur})--(6,{\hauteur});
				\draw[dashed] (0,0)--(0,{\hauteur});
				\draw (0,{\hauteur-0.5})--(0.5,{\hauteur-0.5})--(0.5,{\hauteur});
				%\draw (-6,{\hauteur}) node[left]{$A$};
				\draw (6,{\hauteur}) node[right]{$M$};
				\draw (0,{\hauteur}) node[above]{$N$};
				\draw (0,0) node[below right]{$S$};
				%\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({3*cos(\x)},{0.3*3*sin(\x)+\hauteur/2});
				%\draw[samples=100,domain=180:360] plot({3*cos(\x)},{0.3*3*sin(\x)+\hauteur/2});
				\draw (0,{\hauteur/2}) node[left]{$C$};
				\draw (3,{\hauteur/2}) node[right]{$D$};
				\draw[dashed] (0,{\hauteur/2})--(3,{\hauteur/2});
				\draw (0,{\hauteur/2-0.5})--(0.5,{\hauteur/2-0.5})--(0.5,{\hauteur/2});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Nous avons donc: $SN=2SC=2h$.
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons $SM$.}
			
			EN utilisant le théorème de Thalès comme à la question 3.(a) nous obtenons: \[ \frac{SC}{SN} = \frac{SD}{SM}. \]
			
			Donc: $\frac{SD}{SM}=\frac{1}{2}$.
			
			D'où (avec un produit en croix par exemple): $SM=2SD\approx 2 \times 4,6\ \mathrm{cm}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				La marque doit être faite à $9,2\ \mathrm{cm}$ de $S$ sur $[SB]$.
				
			\end{conclusion} 
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D: comparaison des deux verres.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, on s’intéresse au lien entre la hauteur de liquide versé et le volume contenu dans les verres précédemment étudiés.
	
	On note $h$ la hauteur de liquide versé.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.2,yscale=0.2]
		\def\hauteur{sqrt(10*10+6*6)};
		\draw (0,0)--(-6,{\hauteur});
		\draw (0,0)--(6,{\hauteur});
		\draw[samples=100,domain=0:360] plot({6*cos(\x)},{0.3*6*sin(\x)+\hauteur});
		\draw[samples=100,domain=100:440] plot({3*cos(\x)},{0.3*3*sin(\x)});
		\draw[samples=100,domain=180:360] plot({3/5*6*cos(\x)},{0.3*3/5*6*sin(\x)+\hauteur*3/5});
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({3/5*6*cos(\x)},{0.3*3/5*6*sin(\x)+\hauteur*3/5});
		\draw[>=latex,<->]({-3/5*6-0.5},0)--({-3/5*6-0.5},{3/5*\hauteur});
		\draw (-7.5,{3/5*\hauteur/2}) node{$h$ ($\mathrm{cm}$)};
		\def\dec{15};
		\draw ({-3-\dec},0)--({-3-\dec},10.5);
		\draw ({3-\dec},0)--({3-\dec},10.5);
		\draw[samples=100,domain=0:360] plot({3*cos(\x)-\dec},{0.5*3*sin(\x)+10.5});
		\draw[samples=100,domain=180:360] plot({3*cos(\x)-\dec},{0.5*3*sin(\x)});
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({3*cos(\x)-\dec},{0.5*3*sin(\x)});
		\draw[>=latex,<->] ({3+0.5-\dec},0)--({3+0.5-\dec},{3/5*\hauteur});
		\draw[samples=100,domain=180:360] plot({3*cos(\x)-\dec},{0.5*3*sin(\x)+3/5*\hauteur});
		\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({3*cos(\x)-\dec},{0.5*3*sin(\x)+3/5*\hauteur});
		\draw (-6,-5) node{\emph{Les dessins des verres ne sont pas à l'échelle.}};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	On donne ci-dessous les représentations graphiques $C_1$ et $C_2$, des volumes de liquide, en centilitre, contenu dans chaque type de verre en fonction de la hauteur $h$ de liquide, en centimètre.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.9,yscale=0.9]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{11.5};
		\def\yZ{6.5};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2,...,11}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10.5] plot(\x,{3.1415*3*3*\x/50});
		\draw[blue] (1,2) node[fill=white] {$C_1$};
		\draw[red, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{3*3.1415/16*\x*\x*\x/50});
		\draw[red] (6,1) node[fill=white] {$C_2$};
		\draw (9,0.3) node[fill=white] {\footnotesize hauteur de liquide (en $\mathrm{cm}$)};
		\draw (1.75,6) node[fill=white] {\footnotesize volume (en $\mathrm{cL}$)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Identifier à quel type de verre chaque courbe correspond. Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Identifions les courbes.}
		
		L'une des courbes est une droite il s'agit donc de la courbe représentative d'une fonction affine. Nous devons donc regarder les expressions algébriques des volumes des verres en fonction de $h$.
		
		Nous avons vu, à la question I.C.3.(b), que le volume du verre conique en fonction de la hauteur est $v=\frac{3}{16}\pi h^3$. Il ne s'agit pas d'une fonction affine.
		
		\begin{conclusion}
			
			Le volume du verre conique est représenté par la courbe $C_2$ et celui du verre cylindrique par la courbe $C_1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les deux courbes se coupent en un point différent de l’origine du repère.
		
		Lire sur le graphique une valeur approchée des coordonnées de ce point puis interpréter ces coordonnées dans le contexte de l’exercice.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.9,yscale=0.9]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{11.5};
			\def\yZ{6.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,11}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,6}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10.5] plot(\x,{3.1415*3*3*\x/50});
			\draw[blue] (1,2) node[fill=white] {$C_1$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:8] plot(\x,{3*3.1415/16*\x*\x*\x/50});
			\draw[red] (6,1) node[fill=white] {$C_2$};
			\draw (9,0.3) node[fill=white] {\footnotesize hauteur de liquide (en $\mathrm{cm}$)};
			\draw (1.75,6) node[fill=white] {\footnotesize volume (en $\mathrm{cL}$)};
			\draw[dashed,red] ({sqrt(48)},{0}) -- ({sqrt(48)},{9*3.1415*sqrt(48)/50}) -- ({0},{9*3.1415*sqrt(48)/50});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le point d'intersection a pour coordonnées $(6,9;19)$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\begin{conclusion}
			
			Les volumes des deux verres sont égaux lorsque $h=6,9\ \mathrm{cm}$ et le volume est alors de $19\ \mathrm{cL}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chacune des affirmations suivantes indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point. Une réponse erronée n'enlève pas de point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un train circule à la vitesse de $175\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
		\medskip
		\textbf{Affirmation 1}: \og Ce train est plus rapide qu’une balle de tennis qui traverse un terrain de tennis ($23\ \mathrm{m}$) en $0,46$ seconde.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons la vitesse, $v$, de la balle en $\mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$.}
		
		\begin{align*}
			v &= \frac{23\ \mathrm{m}}{0,46\ \mathrm{s}}\\
			&= \frac{23}{0,46}\ \frac{\color{orange}\mathrm{m}}{\color{red}\mathrm{s}}\\
			&= \frac{23}{0,46}\ \frac{\color{orange}\frac{1}{1000}\ \mathrm{km}}{\color{red}\frac{1}{3600}\ \mathrm{h}}\\
			&= \frac{23}{0,46}\cdot \frac{\color{red}3600}{\color{orange}1000}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\
			&= 180\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les $27$ élèves d’une classe ont fait germer une graine chacun. Les hauteurs des pousses obtenues, arrondies au centimètre près, sont regroupées dans le tableau suivant.
		
		\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			Hauteur en $\mathrm{cm}$ & $1$ & $3$ & $7$ & $10$ & $11$ & $13$ & $15$ & $19$ & $20$
			\\
			\hline
			Effectif & $1$ & $3$ & $6$ & $2$ & $3$ & $3$ & $5$ & $2$ & $2$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		\end{center}
		
		Les élèves ont déterminé la moyenne et la médiane de cette série. Un nouvel élève arrive avec sa pousse. On intègre la hauteur de sa pousse, arrondie au centimètre, dans la série.
		
		\medskip
		\textbf{Affirmation 2}: \og Quelle que soit la hauteur de sa pousse, arrondie au centimètre près, la médiane de la nouvelle série est la même que précédemment.\fg{}
		
		\medskip
		\textbf{Affirmation 3}: \og L’information "L’ajout de la hauteur de la nouvelle pousse, arrondie au centimètre, dans la série fait augmenter la moyenne de $0,25\ \mathrm{cm}$" permet de retrouver la hauteur, arrondie au centimètre près, de la pousse ajoutée. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item \objectif{Déterminons les médianes $Me_1$ et $Me_2$ de la série avant et après rajout de la pousse.}
			
			Initialement:
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					Hauteur en $\mathrm{cm}$ & $1$ & $3$ & $7$ & $10$ & $11$ & $13$ & $15$ & $19$ & $20$
					\\
					\hline
					Effectif & $1$ & $3$ & $6$ & $2$ & $3$ & $3$ & $5$ & $2$ & $2$
					\\
					\hline
					E.C.C. & $1$ & $4$ & $10$ & $12$ & $15$ & $18$ & $23$ & $25$ & $27$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{enumerate}[.]
				\item La série est ordonnée de façon croissante.
				\item $\frac{N}{2}=\frac{27}{2}=13,5$. La série est impaire donc la médiane est la quatorzième valeur de la série ordonnée.
				\item Donc $Me_1=11\ \mathrm{cm}$.
			\end{enumerate}
			
			\medskip
			Après rajout d'une pousse la série sera paire et $Me_2$ sera la moyenne de la quatorzième et de la quinzième valeurs. D'après le précédent tableau, que la pousse mesure moins ou plus que $11\ \mathrm{cm}$, les quatorzième et quinzième valeurs seront $11\ \mathrm{cm}$. La médiane sera inchangée.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation 2 est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
			\item \objectif{Déterminons la hauteur $h$ en centimètres de la pousse à ajouter pour que la moyenne $\overline{x}$, augmente de $0,25\ \mathrm{cm}$.}
			
			Nous savons que:
			
			\begin{align*}
				\overline{x} &= \frac{n_1 x_1 + n_2x_2+ \dots + n_rx_r}{n_1+n_2+ \dots + n_r}\\
				&= \frac{1 \times 1 +3 \times 3 + \dots +2 \times 20}{2+3+ \dots + 2}\\
				&= 11
			\end{align*}
			
			Nous voulons avoir:
			
			\begin{align*}
				\overline{x}+0,25 &= \frac{n_1 x_1 + n_2x_2+ \dots + n_rx_r+ h}{n_1+n_2+ \dots + n_r +1}\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				11+0,25 &= \frac{297+h}{28}\\
				{\color{orange}28 \times } 11,25 &= {\color{orange}28 \times} \frac{297+h}{28}\\
				315 &= 297+h\\
				315 {\color{orange}-297} &= 297+h {\color{orange}-297}\\
				18 &= h
 			\end{align*}
			
			Nous avons bien retrouvé la hauteur de la plante ajoutée.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation 3 est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La division euclidienne d’un nombre entier $A$ par $9$ a pour reste $7$. La division euclidienne d’un nombre entier $B$ par $6$ a pour reste $5$. $A$ est supérieur à $B$.
		
		\medskip
		\textbf{Affirmation 4}: \og Le reste dans la division euclidienne de $(A- B)$ par $3$ est donc $2$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La division euclidienne de $A$ par $9$ a pour reste $7$ si et seulement si il existe un entier $q_1$ tel que: $A= 9 \times q_1 + 7$.
		
		De même la division euclidienne de $B$ par $6$ a pour reste $5$ si et seulement si il existe un entier $q_2$ tel que: $B=6 \times q_2 +5$.
		
		Par conséquent
		
		\begin{align*}
			A-B &= 9q_1+7-\left( 6 \times q_2 +5 \right)\\
			&= 9q_1-6q_2+ 7-5\\
			&= {\color{orange}3} \times 3 q_1-{\color{orange}3} \times 2 q_2 +2\\
			&= {\color{orange}3} \left( 3q_1-2q_2 \right)+2
		\end{align*}
		
		En notant $q_3=3q_1-2q_2$. Puisque $q_3$ est un entier, que nous avons \[ \left\{ \begin{array}{l} A-B= 3 q_3+ {\color{orange}2} \\ 0\leqslant {\color{orange}2} <3 \end{array} \right., \] nous pouvons affirmer que le reste de la division euclidienne de $A-B$ par $3$ est $2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}L'hypothèse \og $A$ supérieur à $B$\fg{} si elle est rassurante (nous restons avec des entiers naturels et non des entiers relatifs) n'est cependant pas indispensable.}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Une urne contient deux boules blanches et une boule noire indiscernables au toucher.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item Rob tire une boule au hasard, note sa couleur, \textbf{la remet dans l’urne}, tire une seconde boule au hasard et note sa couleur.
		
		\item Sam tire une boule au hasard, note sa couleur, et \textbf{sans la remettre dans l’urne} en tire une seconde au hasard, puis note sa couleur.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En notant $B_1$ et $B_2$ les deux boules blanches, et $N$ la boule noire, établir pour chacune des deux situations la liste de tous les couples de tirages possibles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}En numérotant les boules blanches, et donc en les distinguant l'énoncé incite à modéliser la situation par l'équiprobabilité. Et ce d'autant plus qu'il s'agit de faire du dénombrement dans la première question plutôt que des probabilités.}
		
		\medskip
		\objectif{Représentons chaque situation par un arbre.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le tirage avec remise de Rob.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
					\coordinate (A1) at (8,8);
					\coordinate (A2) at (8,6);
					\coordinate (A3) at (8,4);
					\coordinate (A4) at (8,2);
					\coordinate (A5) at (8,0);
					\coordinate (A6) at (8,-2);
					\coordinate (A7) at (8,-4);
					\coordinate (A8) at (8,-6);
					\coordinate (A9) at (8,-8);
					\draw node (A11) at (A1) {$B_1$};
					\draw node (A12) at (A2) {$B_2$};
					\draw node (A13) at (A3) {$N$};
					\draw node (A14) at (A4) {$B_1$};
					\draw node (A15) at (A5) {$B_2$};
					\draw node (A16) at (A6) {$N$};
					\draw node (A17) at (A7) {$B_1$};
					\draw node (A18) at (A8) {$B_2$};
					\draw node (A19) at (A9) {$N$};
					\coordinate (B1) at (4,6);
					\coordinate (B2) at (4,0);
					\coordinate (B3) at (4,-6);
					\draw node (B11) at (B1) {$B_1$};
					\draw node (B12) at (B2) {$B_2$};
					\draw node (B13) at (B3) {$N$};
					\draw (B11)--(A11);
					\draw (B11)--(A12);
					\draw (B11)--(A13);
					\draw (B12)--(A14);
					\draw (B12)--(A15);
					\draw (B12)--(A16);
					\draw (B13)--(A17);
					\draw (B13)--(A18);
					\draw (B13)--(A19);
					\coordinate (C1) at (0,0);
					\draw (C1)--(B11);
					\draw (C1)--(B12);
					\draw (C1)--(B13);
					\coordinate (D1) at (12,8);
					\coordinate (D2) at (12,6);
					\coordinate (D3) at (12,4);
					\coordinate (D4) at (12,2);
					\coordinate (D5) at (12,0);
					\coordinate (D6) at (12,-2);
					\coordinate (D7) at (12,-4);
					\coordinate (D8) at (12,-6);
					\coordinate (D9) at (12,-8);
					\draw node (D1) at (D1) {$(B_1,B_1)$};
					\draw node (D2) at (D2) {$(B_1,B_2)$};
					\draw node (D3) at (D3) {$(B_1,N)$};
					\draw node (D4) at (D4) {$(B_2,B_1)$};
					\draw node (D5) at (D5) {$(B_2,B_2)$};
					\draw node (D6) at (D6) {$(B_2,N)$};
					\draw node (D7) at (D7) {$(B_3,B_1)$};
					\draw node (D8) at (D8) {$(B_3,B_2)$};
					\draw node (D9) at (D9) {$(B_3,N)$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\item Le tirage sans remise de Sam.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
				\coordinate (A1) at (8,5);
				\coordinate (A2) at (8,3);
				\coordinate (A3) at (8,1);
				\coordinate (A4) at (8,-1);
				\coordinate (A5) at (8,-3);
				\coordinate (A6) at (8,-5);
				\draw node (A11) at (A1) {$B_2$};
				\draw node (A12) at (A2) {$N$};
				\draw node (A13) at (A3) {$B_1$};
				\draw node (A14) at (A4) {$N$};
				\draw node (A15) at (A5) {$B_1$};
				\draw node (A16) at (A6) {$B_2$};
				\coordinate (B1) at (4,4);
				\coordinate (B2) at (4,0);
				\coordinate (B3) at (4,-4);
				\draw node (B11) at (B1) {$B_1$};
				\draw node (B12) at (B2) {$B_2$};
				\draw node (B13) at (B3) {$B_3$};
				\draw (B11)--(A11);
				\draw (B11)--(A12);
				\draw (B12)--(A13);
				\draw (B12)--(A14);
				\draw (B13)--(A15);
				\draw (B13)--(A16);
				\coordinate (C1) at (0,0);
				\draw (C1)--(B11);
				\draw (C1)--(B12);
				\draw (C1)--(B13);
				\coordinate (D1) at (12,5);
				\coordinate (D2) at (12,3);
				\coordinate (D3) at (12,1);
				\coordinate (D4) at (12,-1);
				\coordinate (D5) at (12,-3);
				\coordinate (D6) at (12,-5);
				\draw node (D11) at (D1) {$(B_1,B_2)$};
				\draw node (D12) at (D2) {$(B_1,N)$};
				\draw node (D13) at (D3) {$(B_2,B_1)$};
				\draw node (D14) at (D4) {$(B_2,N)$};
				\draw node (D15) at (D5) {$(N,B_1)$};
				\draw node (D16) at (D6) {$(N,B_2)$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dorine affirme que la probabilité est la même pour les deux garçons d’obtenir une boule blanche lors de leur second tirage.
		
		A-t-elle raison ? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $A$ l'événement \og Obtenir une boule blanche au second tirage\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $\mathbb{P}(A)$ dans chacun des deux cas.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le tirage avec remise de Rob.
			
			$A= \{ (B_1,B_1);\  (B_1,B_2);\ (B_2,B_1);\ (B_2,B_1);\ (N,B_1);\ (N,B_1) \}$.
			
			Les boules étant indiscernables au toucher nous pouvons modéliser la situation par l'équiprobabilité: tous les couples ont la même probabilité d'être obtenus.
			
			Or $A$ est réalisé par $6$ issues et l'univers comporte $9$ issue donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \frac{6}{9}\\
				&= \frac{2}{3}
			\end{align*}
			
			\item Le tirage sans remise de Sam.
			
			$A= \{ (B_1,B_2);\  (B_2,B_1);\ (N,B_1);\ (N,B_2) \}$.
			
			Les boules étant indiscernables au toucher nous pouvons modéliser la situation par l'équiprobabilité: tous les couples ont la même probabilité d'être obtenus.
			
			Or $A$ est réalisé par $4$ issues et l'univers comporte $6$ issue donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \frac{4}{6}\\
				&= \frac{2}{3}
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			La probabilité est la même pour les deux garçons d'obtenir une boule blanche au second tirage.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	On considère les programmes et les tracés ci-dessous.
	
	Les longueurs sont données en pixels.
	
	On rappelle que l’instruction: \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_01_scratch.png} signifie que le lutin s’oriente vers la droite.
	
	\medskip
	{\hspace*{-1cm}
	\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
		Programme 1 & Programme 2 & Programme 3
		\\
		
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_02_scratch_programme_1.png}
		&
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_03_scratch_programme_2.png}
		&
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_04_scratch_programme_3.png}
		
	\end{tabular}
	}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{m{5cm}m{1cm}m{5cm}}
			
			\begin{center}
				
				Tracé 1.
				
				\medskip
				\begin{tikzpicture}
					\foreach \x in {0,1,...,3} \draw ({\x},0)--({\x+0.25},0) --({\x+0.25},0.25)--({\x+0.5},0.25) --({\x+0.5},0.5)--({\x+0.75},0.5) --({\x+0.75},0.25) --({\x+1},0.25)--({\x+1},0);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			& &
			
			\begin{center}
				Tracé 2.
				
				\medskip
				\begin{tikzpicture}
					\foreach \x in {0,1,...,3} \draw ({\x},0.25)--({\x},0) --({\x+0.25},0)--({\x+0.25},0.25) --({\x+0.5},0.25)--({\x+0.5},0) --({\x+0.75},0) --({\x+0.75},0.25)--({\x+1},0.25);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sans justifier, associer à chacun de ces tracés le programme correspondant.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le tracé 1 correspond au programme 3.
			
			Le tracé 2 correspond au programme 1.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère maintenant celui des trois programmes qui ne correspond à aucun des deux tracés précédents.
		
		Sans justifier, représenter le tracé obtenu lorsqu’on lance ce programme.
		
		On prendra pour unité graphique le millimètre ($1$ millimètre par pixel).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{center}
			
			Tracé 3 correspondant au programme 2 à l'échelle demandée.
			
			\medskip
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) --(0,2) --(-2,2) --(-2,0) --(0,0) --(2,0) --(2,-2) --(0,-2) --(0,0);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Un objet pyramidal est construit par superposition de plaques de carton de $5\ \mathrm{mm}$ d’épaisseur, comme le montre l’exemple ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_05_pyramide.png}
		
	\end{center}
	
	On modélise chaque plaque par un parallélépipède rectangle.
	
	\begin{enumerate}[\tiny $\blacksquare$]
		\item Les dimensions de la première plaque sont: $12\ \mathrm{cm}$, $12\ \mathrm{cm}$ et $5\ \mathrm{mm}$.
		
		\item Les dimensions de la plaque suivante sont: $11,5\ \mathrm{cm}$, $11,5\ \mathrm{cm}$ et $5\ \mathrm{mm}$.
		
		\item Pour chacune des autres plaques, les grandes arêtes mesurent $5\ \mathrm{mm}$ de moins que celles de la plaque sur laquelle elle est posée.
		
		\item La dernière plaque est alors un cube de $5\ \mathrm{mm}$ d’arête.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la hauteur totale de l’objet? Justifier votre réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la hauteur totale de l'objet.}
		
		Notons, pour $n$ un entier naturel non nul, $u_n$ la longueur, en centimètre, de l'arête de la $n$-ième plaque empilée.
		
		À chaque étape la longueur de l'arête est diminuée de $0,5\ \mathrm{cm}$ donc: $u_{n+1}=u_n-0,5$. Nous reconnaissons une suite arithmétique de premier terme $u_1=12$ et de raison $r=-0,5$ donc: $u_n=12-0,5(n-1)$. Autrement dit $u_n=12,5-0,5n$.
		
		{\color{orange}Nous pouvons également raisonner de proche en proche: $u_1=12$, $u_2=12-0,5$, $u_3= 12-0,5-0,5=12-0,5 \times 2$, ...}
		
		Il faut arrêter de rajouter des plaques lorsque l'arête mesure $0,5\ \mathrm{cm}$ donc lorsque: 
		
		\begin{align*}
			u_n &= 0,5\\
			\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
			12,5-0,5n &= 0,5\\
			12,5-0,5n {\color{orange}-12} &= 0,5 {\color{orange}-12,5}\\
			-0,5n &= -12\\
			\frac{-0,5n}{\color{orange}-0,5} &= \frac{-12}{\color{orange}-0,5}\\
			n &= 24
		\end{align*}
		
		Ainsi la pyramide sera composée de $24$ plaques empilées. Sa hauteur sera donc de:
		
		\begin{align*}
			h &= 24 \times 0,5\\
			&= 12
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'objet mesure $12\ \mathrm{cm}$ de haut.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour calculer le volume de cet objet, on a construit la feuille de calcul ci-dessous.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_06_tableur.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer un intitulé pour chacune des colonnes \texttt{A}, \texttt{B} et \texttt{D} qui apparaîtrait respectivement dans les cellules \texttt{A}1, \texttt{B}1 et \texttt{D}1.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				\texttt{A}: numéro de la plaque.
				
				\texttt{B}: longueur de la plus grande arête de la plaque.
				
				\texttt{D}: volume de l'objet obtenu après avoir empilé autant de plaque que l'indique le numéro de la colonne \texttt{A}.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une formule qui a pu être saisie dans la cellule \texttt{C}2 et étirée vers le bas jusqu’à la cellule \texttt{C}25.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			À chaque étape il s'agit de calculer le volume d'un parallélépipède rectangle donc la formule que nous pouvons entrer en $\texttt{C}2$:
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\texttt{B}2 * \texttt{B}2 * 0,5$
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sans justifier, donner la proposition ci-dessous qui a pu être saisie dans la cellule \texttt{D}3 et étirée jusqu’en \texttt{D}25.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|}
					\hline
					Proposition 1 & $= \texttt{C}2 + \texttt{C}3$
					\\
					\hline
					Proposition 2 & $= \$\texttt{C}\$2 + \texttt{C}3$
					\\
					\hline
					Proposition 3 & $= \texttt{D}2 + \texttt{C}3$
					\\
					\hline
					Proposition 4 & $= 72 + \texttt{C}3$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				La proposition 3 convient.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À quoi correspond la valeur $\np{612,5}$ située dans la cellule $\texttt{D}25$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En $\texttt{D}2$ est indiqué le volume de la première plaque. En $\texttt{D}3$ est indiqué le volume du solide formé des deux premières plaques. De proche en proche nous obtenons ainsi qu'en $\texttt{D}25$ est indiqué le volume du solide formé de $24$ plaques empilées. Autrement dit:
			
			\begin{conclusion}
				
				le volume du solide est de $612,5\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une plaque d’un mètre carré de ce carton pèse $850\ \mathrm{g}$.
		
		Déterminer la masse volumique de ce carton en $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$. En déduire la masse, en gramme, de l’objet pyramidal.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la masse volumique, $\nu$, du carton.}
		
		Puisque le carton présente un épaisseur de $0,5\ \mathrm{cm}$ sa masse volumique est
		
		\begin{align*}
			\nu &= \frac{850\ {\color{orange}\mathrm{g}}}{\left( 1 \ \mathrm{m} \right) \left( 1 \ \mathrm{m} \right) \left( 0,5 \ {\color{blue}\mathrm{cm}} \right)}\\
			&= \frac{850\ {\color{orange}\frac{1}{1000}\ \mathrm{kg}}}{\left( 1 \ \mathrm{m} \right) \left( 1 \ \mathrm{m} \right) \left( 0,5 \ {\color{blue} \frac{1}{100} \ \mathrm{m}} \right)}\\
			&= \frac{0,850\ \mathrm{kg}}{0,005\ \mathrm{m}^3}\\
			&= \frac{0,850}{0,005}\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\nu = 170\ \mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la masse, $m$, de l'objet.}
		
		Puisque l'objet a un volume de $612,5\ \mathrm{cm}^3$ sa masse est:
		
		\begin{align*}
			m &= \left( 612,5\ {\color{orange}\mathrm{cm}^3} \right) \nu\\
			&= \left( 612,5 {\color{orange}\times \frac{1}{(100)^3}\ \mathrm{m}^3} \right) \left( 170\ \mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3} \right)\\
			&= 612,5\times \frac{1}{(100)^3} \times 170\ \mathrm{m}^3 \cdot \mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3}\\
			&= 0,104125\ {\color{blue}\mathrm{kg}}\\
			&= 0,104125 {\color{blue}\times 1000\ \mathrm{g}}
		\end{align*}
		
		Donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$m=104,125\ \mathrm{g}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Voici un problème proposé à des élèves de CE1:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			À la fin de l’année, toute l’école prend le bus pour aller visiter le zoo de la Barben.
			
			Il y a $100$ élèves dans cette école.
			
			Chaque bus peut emmener $23$ élèves.
			
			Combien faut-il de bus pour emmener tous les enfants de l’école?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Productions d’élèves:
	
	\medskip
	{\hspace*{-0.5cm}
	\begin{tabular}{|m{6cm}|m{6cm}|}
		\hline
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_07_jeanne.png}
		&
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_08_noah.png}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	}
	
	\medskip
	{\hspace*{-0.5cm}
	\begin{tabular}{|m{6cm}|m{6cm}|}
		\hline
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_09_victoria.png}
		&
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_10_pierrick.png}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	}
		
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour chacune de ces productions, expliciter les procédures mises en œuvre ainsi que les réussites et les erreurs éventuelles.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer deux autres procédures que pourraient utiliser des élèves de cycle 3 auxquels on proposerait ce problème.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	L’exercice ci-dessous a été donné dans le cadre d’une évaluation pour des élèves de CE2.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_11_regle.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	L’élève A a répondu que la bande mesure $15\ \mathrm{cm}$.
	
	L’élève B a répondu que la bande mesure $7\ \mathrm{cm}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Formuler des hypothèses permettant d’expliquer les erreurs des élèves A et B.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Au cycle 2, des élèves ont utilisé les instruments ci-dessous pour mesurer des bandes de papier. Expliciter leur intérêt dans les premiers apprentissages sur les mesures de longueurs.
			
			\medskip
			Instrument A.
			
			\hspace*{-1cm}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_12_regle_a.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\medskip
			Instrument B.
			
			\hspace*{-1cm}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_13_regle_b.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une difficulté que peuvent rencontrer les élèves en passant du maniement de l’instrument A au maniement de l’instrument B.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Le problème suivant a été proposé par un professeur à ses élèves de CM2.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\og Un professeur a acheté $15$ cahiers pour $30,60\ \text{\euro}$. Son collègue qui dispose d’un budget de $40\ \text{\euro}$ veut en acheter $20$. Aura-t-il assez pour payer? \fg{}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	Les productions de trois élèves sont présentées ci-après.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Décrire et analyser les procédures de résolution mises en œuvre par Ambre, Anaé et Mahé en identifiant les réussites et les erreurs éventuelles.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Décrire une autre procédure, utilisable par un élève de CM2, qui permet de résoudre le problème.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	{\hspace*{-1cm}
	\begin{tabular}{|m{6cm}|m{6cm}|}
		\hline
		Production d'Ambre & Production d'Anaé
		\\
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_14_ambre.png} & \includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_15_anae.png}
		\\
		\hline		
	\end{tabular}
	}
	
	{\hspace*{-0.75cm}
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		Production de Mahé
		\\
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_16_mahe.png} 
		\\
		\hline		
	\end{tabular}
	}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 4.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de CM1 donne à ses élèves l'exercice suivant:
	
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_17_axe.png}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliciter les savoirs mathématiques mobilisés dans cette situation.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les erreurs des deux élèves dont les copies sont reproduites ci-dessous:
		
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_18_agnes.png}
			\\
			Copie d'Agnès
			\\
			\hline
		\end{tabular}
				
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\\
			\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2019_maths_externe_sujet_5_19_nassim.png}
			\\
			Copie de Nassim
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}