%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2019 sujet 3} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2019 groupe 3.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2019_maths/crpe_2019_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2019_maths/crpe_2019_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	L'Indice de Masse Corporelle (IMC) est une grandeur qui permet d'estimer la corpulence d'une personne en fonction de sa taille et de sa masse corporelle afin d'évaluer les risques liés au surpoids.
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}
		\hline
		Voici la formule permettant de calculer l'Indice de Masse Corporelle: \[ \mathrm{IMC}= \frac{p}{T^2} \] dans laquelle:
		
		\begin{enumerate}[]
			\item $\mathrm{IMC}$ désigne l'indice de Masse Corporelle exprimée en kilogramme par mètre carré($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^2$);
			\item $p$ désigne la masse exprimée en kilogramme ($\mathrm{kg}$);
			\item $T$ désigne la taille exprimée en mètre ($\mathrm{m}$).
		\end{enumerate}
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	 
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: utilisation et interprétation de l'Indice de Masse Corporelle chez l'adulte.}

\begin{sujet}
	
	Pour prévenir les risques liés aux problèmes de poids, l'Organisation Mondiale de la Santé a défini les intervalles standards suivants:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|c|}
			\hline
			\textbf{IMC} $(\mathrm{kg}/\mathrm{m}^2)$
			&
			\textbf{Interprétation}
			\\
			\hline
			moins de $16,5$ & anorexie
			\\
			\hline
			de $16,5$ à moins de $18,5$ & maigreur
			\\
			\hline
			de $18,5$ à moins de $25$ & corpulence normale
			\\ 
			\hline
			de $25$ à moins de $30$ & surpoids
			\\
			\hline
			de $30$ à moins de $35$ & obésité modérée
			\\
			\hline
			de $35$ à moins de $40$ & obésité sévère
			\\
			\hline
			plus de $40$ & obésité morbide
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		{\scriptsize (Source: \url{http://inpes.santepubliquefrance.fr/50000/pdf/docIMCAd.pdf})}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Claire mesure $160\ \mathrm{cm}$ et pèse $53\ \mathrm{kg}$. Calculer son $\mathrm{IMC}$. Quelle interprétation peut-on en faire?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'$\mathrm{IMC}$ de Claire.}
		
		D'après l'énoncé
		
		\begin{align*}
			\mathrm{IMC} &= \frac{p}{T^2}\\
			&= \frac{53\ \mathrm{kg}}{(160\ {\color{RoyalBlue}\mathrm{cm})^2}}\\
			&= \frac{53 \ \mathrm{kg}}{\left( 160\cdot {\color{RoyalBlue}\frac{1}{100}\mathrm{m}}\right)^2}\\
			&= \frac{53 \ \mathrm{kg}}{\left( 160\cdot \frac{1}{100}\right)^2\ \mathrm{m}^2}\\
			&= \frac{53}{1,6^2}\ \frac{\mathrm{kg}^2}{\mathrm{m}}\\
			&= 20,703125
		\end{align*}
		
		D'après le tableau ci-dessus cela s'interprète en disant que 
		
		\begin{conclusion}
			
			Claire est d'une corpulence normale.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On interroge huit hommes sur leur masse et leur taille afin de calculer leur $\mathrm{IMC}$.
		
		On obtient le tableau suivant:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_01_tableur.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule a pu être écrite en $\texttt{D}2$ puis étirée jusqu'en $\texttt{D}9$ pour calculer l'$\mathrm{IMC}$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La formule écrite en $\texttt{D}2$ est possiblement
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\texttt{B}2/(\texttt{C}2 \wedge 2)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Parmi ceux qui ont été interrogés, quel est le pourcentage d'hommes \og obèses \fg{} ou en \og surpoids \fg{}?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			
			\objectif{Calculons la proportion, $p_1$, d'hommes \og obèses \fg{} ou en \og surpoids \fg{}.}
			
			Un homme est \og obèse \fg{} ou en \og surpoids \fg{} si son $\mathrm{IMC}$ est supérieur ou égale $25$. Cette situation concerne $3$ personnes parmi les $9$ considérées.
			
			Donc:
			
			\begin{align*}
				p_1 &= \frac{3}{9}\\
				&= 0,333\dots
			\end{align*}
			
			Exprimons ce résultat sous forme de pourcentage.
			
			\begin{conclusion}
				
				$33,33\ \%$ sont \og obèses \fg{} ou en \og surpoids \fg{}.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Une personne a un $\mathrm{IMC}$ de $28$ et pèse $70\ \mathrm{kg}$. Combien de kilogramme doit-elle perdre pour avoir un $\mathrm{IMC}$ de $25$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la masse $m_2$ que devrait avoir la personne pour avoir un $\mathrm{IMC}$ de $25$.}
			
			Notons $T$ la taille de la personne.
			
			Nous avons donc deux égalités:
			
			\begin{align*}
				\frac{70}{T^2}=28 &\quad \text{ et } \quad \frac{m_2}{T^2}=25\\
				\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
				\frac{70}{T^2}{\color{orange}\cdot T^2} =28 {\color{orange}T^2} &\quad \text{ et } \quad \frac{m_2}{T^2}{\color{orange}\cdot T^2}=25{\color{orange}T^2}\\
				70=28 T^2 &\quad \text{ et } \quad m_2=25 T^2\\
				\frac{70}{\color{RoyalBlue}28}=\frac{28 T^2}{\color{RoyalBlue}28} &\quad \text{ et } \quad \frac{m_2}{\color{orange}25}=\frac{25 T^2}{\color{orange}25}\\
				\frac{70}{28}= T^2 &\quad \text{ et } \quad \frac{m_2}{25}=T^2
			\end{align*}
			
			Donc, par transitivité:
			
			\begin{align*}
				\frac{70}{28} &= \frac{m_2}{25}\\
				\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
				\frac{70}{28} {\color{orange}\cdot 25} &= \frac{m_2}{25} {\color{orange}\cdot 25}\\
				\frac{70}{28}\cdot 25 &= m_2\\
				62,5 &= m_2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour que son $\mathrm{IMC}$ soit de $25$ soit poids devrait être de $62,5\ \mathrm{kg}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle masse minimale et quelle masse maximale peut avoir une personne mesurant $1,72\ \mathrm{m}$ pour avoir une \og corpulence normale\fg{}.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons un encadrement de la masse pour avoir une \og corpulence normale\fg{}.}
			
			D'après l'énoncé la personne a une corpulence normale si et seulement si
			
			\begin{align*}
				18,5 &\leqslant \mathrm{IMC} < 25\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				18,5 &\leqslant \frac{m}{T^2} < 25\\
				18,5 &\leqslant \frac{m}{1,72^2} < 25\\
				18,5 {\color{orange}\times 1,72^2} &\leqslant \frac{m}{1,72^2} {\color{orange}\times 1,72^2} < 25{\color{orange}\times 1,72^2}\\
				18,5 \times 1,72^2 &\leqslant m < 25\times 1,72^2 \\
				54,7304 &\leqslant m < 73,96
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour que sa corpulence soit \og normale \fg{} il faut que sa masse minimale soit de $54,73\ \mathrm{kg}$ et sa masse maximale de $73,96\ \mathrm{kg}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: l'obésité et le surpoids en France.}

\begin{sujet}
	
	En 2012 une enquête nationale sur l'obésité et le surpoids a été réalisée en France sur un échantillon de $\np{25714}$ personnes de $18$ ans et plus.
	
	Le tableau ci-dessous indique les résultats obtenus.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			&& Femmes &  Hommes
			\\
			\hline
			Pas de surpoids & $\mathrm{IMC}<25$ & $\np{7830}$ & $\np{5728}$
			\\
			\hline
			Surpoids & $25 \leqslant \mathrm{IMC}<30$ & $\np{3551}$ & $\np{4739}$
			\\
			\hline
			Obésité & $30\leqslant \mathrm{IMC}$ & $\np{2119}$ & $\np{1747}$
			\\
			\hline
			Total & & $\np{13500}$ & $\np{12214}$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
		{\scriptsize Source: \url{http://www.roche.fr/content/dam/roche_france/fr_FR/doc/obepi_2012.pdf})}
		
	\end{center}
	
	Une société proposant des solutions pour mincir décide d’entreprendre un démarchage téléphonique pour se constituer une clientèle.
	
	\medskip
	Elle appelle au hasard une personne de plus de $18$ ans. On considérera que la répartition de la population pouvant être appelée est dans la même proportion que celle de cet échantillon.
	
	On donnera les réponses en pourcentage arrondi à l’unité.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}L'énoncé nous indique d'interpréter les fréquences d'apparition dans l'échantillon comme la probabilité des événements pour la population toute entière.}
	
	
	Modélisons la loi de probabilité. Par exemple l'événement \og choisir une femme  dont l'$\mathrm{IMC}$ est strictement inférieur à $25$\fg{} a une probabilité de $\frac{\np{7830}}{\np{25714}}\approx 0,30$ (en arrondissant au centième ce qui correspond à un arrondi à l'unité sur un pourcentage).
	
	En réitérant nous obtenons les probabilités suivantes:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			& $F$ &  $H$
			\\
			\hline
			$\mathrm{IMC}<25$ & $0,30$ & $0,22$
			\\
			\hline
			$25 \leqslant \mathrm{IMC}<30$ & $0,14$ & $0,18$
			\\
			\hline
			$30\leqslant \mathrm{IMC}$ & $0,08$ & $0,07$
			\\
			\hline
			Somme & $0,52$ & $0,47$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{center}
	
	{\color{orange}Bien que les événements considérés constituent bien des systèmes complets d'événements, la probabilité totale n'est pas de $1$ du fait des arrondis.}
	
	\medskip
	Cette modélisation qui la plus rigoureuse est aussi un peu trop théorique pour ce concours. Nous l'utiliserons donc dans une seconde rédaction donnée à titre informatif.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité que cette personne soit en surpoids ou obèse?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Considérons l'univers constitué des $\np{25714}$ personnes interrogées. Il y a équiprobabilité dans le choix des personnes.
		
		\medskip
		Notons $A$ l'événement \og la personne est en surpoids ou obèse\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		$A$ est réalisé par $\np{3551} + \np{4739} + \np{2119} + \np{1747}= \np{12156}$ issues, l'univers comporte $\np{25714}$ issues et il y a équiprobabilité donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &= \frac{\np{12156}}{\np{25714}}\\
			&\approx 0,4727
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(A)\approx 47\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
		{\color{orange}Les pourcentages sont en général évités en probabilités mais il s'agit là d'une exigence de l'énoncé.}
		
		\medskip
		{\color{orange}Seconde rédaction plus formelle.}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		\begin{align*}
			A &= \left( F \cap \{ 25 \leqslant \mathrm{IMC} <30 \} \right) \sqcup \left( F \cap \{ 30 \leqslant \mathrm{IMC} \} \right) \sqcup \\
			&~\vspace{1cm} \left( H \cap \{ 25 \leqslant \mathrm{IMC} <30 \} \right) \sqcup \left( H \cap \{ 30 \leqslant \mathrm{IMC} \} \right)\\
			\intertext{Donc:}
			\mathbb{P}(A) &= \mathbb{P}\left( F \cap \{ 25 \leqslant \mathrm{IMC} <30 \} \right) + \mathbb{P}\left( F \cap \{ 30 \leqslant \mathrm{IMC} \} \right) +\\
			&~\vspace{1cm} \mathbb{P}\left( H \cap \{ 25 \leqslant \mathrm{IMC} <30 \} \right) + \mathbb{P}\left( H \cap \{ 30 \leqslant \mathrm{IMC} \} \right)\\
			&= 0,14 + 0,18+ 0,08 +0,07\\
			&= 0,47
		\end{align*}
		
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(A)= 0,47$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La personne appelée est un homme. Quelle est la probabilité que cet homme soit en surpoids ou obèse?
		
	\end{sujet}
	
	
	\begin{correction}
		
		Reprenons la modélisation utilisée à la question précédente.
		
		\medskip
		{\color{orange}Nous savons que la personne interrogée est un homme nous utiliserons donc des probabilités conditionnelles.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_H(A)$.}
		
		L'événement $A \cap H$ (hommes en surpoids ou obèse) est réalisé par $\np{4739} + \np{1747}= \np{6486}$ issues, l'univers comporte $\np{12214}$ hommes et il y a équiprobabilité donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_H(A) &= \frac{\np{6486}}{\np{12214}}\\
			&\approx 0,5310
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_H(A)\approx 53\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Seconde rédaction.}
		
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_H(A)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_H(A) &= \frac{\mathbb{P}(A \cap H)}{\mathbb{P}(H)}\\
			&= \frac{0,18+0,07}{0,47}\\
			&\approx 0,5319
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_H(A)\approx 0,53$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La personne appelée est obèse. Quelle est la probabilité que cette personne soit un homme?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $B$ l'événement \og la personne est obèse \fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_B(H)$.}
		
		L'événement $B \cap H$ (hommes obèse) est réalisé par $\np{1747}$ issues, l'univers comporte $\np{2119} + \np{1747}= \np{3866}$ personnes obèses et il y a équiprobabilité donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_B(H) &= \frac{\np{1747}}{\np{3866}}\\
			&\approx 0,04518
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_B(H)\approx 45\ \%$.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une personne prétend que plus de $\displaystyle \frac{1}{6}$ de l’échantillon est obèse. A-t-elle raison? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la proportion $p_2$ de personnes obèses dans l'échantillon.}
		
		Il y a $\np{2119}+\np{1747}=\np{3866}$ personnes obèses dans l'échantillon et l'échantillon est de taille $\np{25714}$ donc
		
		\begin{align*}
			p_2 &= \frac{\np{3866}}{\np{25714}}\\
			&= 0,1503
		\end{align*}
		
		Or $\frac{1}{6} \approx 0,1666$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			il y a moins de $\frac{1}{6}$ de personnes obèses dans l'échantillon.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: utilisation et interprétation de l’Indice de Masse Corporelle chez l’enfant.}

\begin{sujet}
	
	Au départ, l’$\mathrm{IMC}$ a été conçu pour les adultes de $18$ ans et plus, mais il est important de dépister précocement un simple excès de poids, qui peut, par la suite, conduire à l’obésité. L’$\mathrm{IMC}$ est donc aussi calculé chez les enfants. Cette valeur est reportée ensuite sur un graphique présent dans son carnet de santé et qui est spécifique au sexe de l’enfant.
	
	\medskip{\scriptsize Source : \url{http://inpes.santepubliquefrance.fr/CFESBases/catalogue/pdf/IMC/courbes_enfants.pdf})}
	
	\medskip
	Voici le graphique représentant l'évolution de l'$\mathrm{IMC}$ d'Emma, aujourd'hui âgée de $19$ ans.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.45]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_18_courbe.png}
		
	\end{center}
	
	La zone grisée représente la zone de corpulence normale dans laquelle la plupart des enfants se situent.
	
	En dessous, l'enfant est considéré en insuffisance pondérale et au-dessus en surpoids.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		D'après ce graphique, l'$\mathrm{IMC}$ chez l'enfant est-il proportionnel à l'âge? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Si l'$\mathrm{IMC}$ était proportionnel à l'âge alors la courbe serait une droite (passant par l'origine du repère) ce qui n'est pas donc:
		
		\begin{conclusion}
			
			l'$\mathrm{IMC}$ n'est pas proportionnel à l'âge.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À $12$ ans, quel est l'$\mathrm{IMC}$ maximum qu'une fille doit  avoir pour ne pas être considérée en surpoids?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_18_courbe.png}};
				\draw[dashed,very thick, red] (1.3,-3.9)--(1.3,0.45)--(-3.4,0.45);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				À $12$ ans l'$\mathrm{IMC}$ maximum qu'une fille doit  avoir pour ne pas être considérée en surpoids est $22$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À $7$ ans, entre quelles valeurs se situe l'$\mathring{IMC }$ d'une fille pour qu'elle soit de corpulence normale?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_18_courbe.png}};
				\draw[dashed,very thick, red] (-0.65,-3.9)--(-0.65,-3.1)--(-3.4,-3.1);
				\draw[dashed,very thick, red] (-0.65,-3.1)--(-0.65,-1.15)--(-3.4,-1.15);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			
			\begin{conclusion}
				
				À $7$ ans l'$\mathring{IMC }$ d'une fille, pour qu'elle soit de corpulence normale, est entre $13$ et $18$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À partir de quel âge une fille est-elle considérée en insuffisance pondérale avec un $\mathrm{IMC}$ de $15\ \mathrm{kg}/ \mathrm{m}^2$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_18_courbe.png}};
				\draw[dashed,very thick, red] (-3.4,-2.31)--(1.9,-2.31)--(1.9,-3.9);
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			
			\begin{conclusion}
				
				À partir de $13$ ans et demi une fille est considérée en insuffisance pondérale avec un $\mathrm{IMC}$ de $15\ \mathrm{kg}/ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelles sont les tranches d'âges sur lesquelles Emma avait un $\mathrm{IMC}$ inférieur ou égale à $16\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\draw (0,0) node{\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_18_courbe.png}};
			\draw[dashed,very thick, red] (-3.4,-1.93)--(3.7,-1.93);
			\draw[dashed,very thick, red] (-3.2,-1.93)--(-3.2,-3.9);
			\draw[dashed,very thick, red] (-2.62,-1.93)--(-2.62,-3.9);
			\draw[dashed,very thick, red] (0.53,-1.93)--(0.53,-3.9);
			\draw[very thick, green] (-3.2,-3.9)--(-3.4,-3.9);
			\draw[very thick, green] (-2.62,-3.9)--(0.53,-3.9);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		
		\begin{conclusion}
			
			Emma avait un $\mathrm{IMC}$ inférieur ou égale à $16\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2$ jusqu'à $6$ mois puis entre $2$ et $10$ ans. 
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D: alimentation.}

\begin{sujet}
	
	Les problèmes de poids peuvent être liés à l’alimentation.
	
	Il est donc intéressant de savoir lire les étiquettes des produits industriels.
	
	\medskip
	Le goûter de Frédéric, $8$ ans, est composé d’une portion de $30\ \mathrm{g}$ de gâteau et d’un verre de $200\ \mathrm{mL}$ de soda.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item Sur ce paquet de gâteaux on peut lire les informations suivantes:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|}
				\hline
				Valeurs nutritionnelles moyennes & Pour $100\ \mathrm{g}$
				\\
				\hline
				Matières grasses (lipides) & $16\ \mathrm{g}$
				\\
				dont acides gras saturés & $6,2\ \mathrm{g}$
				\\
				\hline
				Glucides & $54\ \mathrm{g}$
				\\
				dont sucres & $42\ \mathrm{g}$
				\\
				\hline
				Protéines & $5,5\ \mathrm{g}$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		\item Sur la bouteille de soda, il est indiqué que $100\ \mathrm{mL}$ contiennent $14,7\ \mathrm{g}$ de glucides dont $14,7\ \mathrm{g}$ de sucres et qu'il n'y a aucune matière grasse ni aucune protéine.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Recopier et compléter le tableau suivant.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|c|}
				\hline
				Valeurs nutritionnelles & $1$ portion de & $200\ \mathrm{mL}$  de & 
				\\
				moyennes pour le & $30\ \mathrm{g}$ de gâteau & soda & Total
				\\
				goûter de Frédéric & & &
				\\
				\hline
				Matières grasses (lipides) & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$
				\\
				dont acides gras saturés & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$
				\\
				\hline
				Glucides & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$
				\\
				dont sucres& $\dots$ & $\dots$ & $\dots$
				\\
				\hline
				Protéines & $\dots$ & $\dots$ & $\dots$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
				
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les quantités dans la portion représentent $\frac{30}{100}$ des quantités indiqués sur l'emballage {\color{orange}(pour $30\ \mathrm{g}$ et non $100\ \mathrm{g}$)}.
		
		Les quantités pour $200\ \mathrm{mL}$ représentent $2$ fois plus que les quantités indiquées pour $100\ \mathrm{mL}$.
		
		Nous en déduisons le tableau suivant.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|c|}
				\hline
				Valeurs nutritionnelles & $1$ portion de & $200\ \mathrm{mL}$  de & 
				\\
				moyennes pour le & $30\ \mathrm{g}$ de gâteau & soda & Total
				\\
				goûter de Frédéric & & &
				\\
				\hline
				Matières grasses (lipides) & $4,8$ & $0$ & $4,8$
				\\
				dont acides gras saturés & $1,86$ & $0$ & $1,86$
				\\
				\hline
				Glucides & $16,2$ & $29,4$ & $45,6$
				\\
				dont sucres& $12,6$ & $29,4$ & $42$
				\\
				\hline
				Protéines & $1,65$ & $0$ & $1,65$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour un morceau de sucre d’environ $6\ \mathrm{g}$, l’apport énergétique est en moyenne de $24\ \mathrm{Kcal}$ (Kilocalories).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est l’apport énergétique du sucre contenu dans le goûter de Frédéric?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'apport énergétique du sucre du goûter.}
			
			Nous somme dans un cas de proportionnalité.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{1.2cm}|c|c|c|}
					\hline
					Sucre ($\mathrm{g}$) & $6$ & $1$ & $42$
					\\
					\hline
					Énergie ($\mathrm{Kcal}$) & $24$ & $4$ & $168$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'apport énergétique du sucre contenu dans le goûter est de $168\ \mathrm{Kcal}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour un garçon de $8$ ans, l’apport énergétique quotidien conseillé, pour un niveau d’activité moyen, est de $\np{1 985}\ \mathrm{Kcal}$.
			
			Afin de diminuer le risque de surpoids, d'obésité et de caries dentaires, il est souhaitable, pour les adultes comme pour les enfants, que leur consommation de sucre représente au maximum $10\ \%$ de l’apport énergétique quotidien.
			
			{\scriptsize Source: \url{http://www.who.int/mediacentre/news/releases/2015/sugar-guideline/fr/})}
			
			\medskip
			À combien de morceaux de sucre correspond la masse de sucre que Frédéric ne devrait pas dépasser quotidiennement?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Estimons en nombre de sucres la quantité de sucre quotidienne maximum recommandée.}
			
			$10\ \%$ des $1985\ \mathrm{Kcal}$ peut provenir du sucre: \[ \frac{10}{100} \times 1985= 198,5 \ \mathrm{Kcal}. \]
			
			Sachant qu'un morceau de sucre contient $24\ \mathrm{Kcal}$: \[ 198,5 = 8*24 +6,5. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				Frédéric ne devrait pas dépasser quotidiennement $8$ morceaux de sucres.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le pourcentage des apports quotidiens recommandés que représente la quantité de sucre consommé par Frédéric durant son goûter.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la proportion $p_3$ de l'apport quotidien recommandé que représente le goûter.}
			
			$42\ \mathrm{g}$ correspondent à (cf \emph{supra}le tableau de proportionnalité) à $168 \ \mathrm{Kcal}$.
			
			L'apport quotidien recommandé étant de $1985$:
			
			\begin{align*}
				p_3 &= \frac{168}{1985}\\
				&\approx 0,084634 
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le goûter représente $8,46\ \%$ des apports quotidiens recommandés.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Cette partie est composée de trois exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	On considère la figure ci-dessous qui n’est pas représentée à l’échelle.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[rotate=20,scale=0.8]
			\coordinate (A) at (0,6);
			\coordinate (B) at (0,0);
			\coordinate (C) at (8,0);
			\coordinate (E) at (8,-3);
			\draw (B)--(A)--(E)--(C)--(B);
			\draw (A)--(C);
			\draw (A) node[left]{$A$};
			\draw (B) node[below]{$B$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (E) node[right]{$E$};
			\draw (5,-0.5) node[below]{$D$};
			\draw[thin,gray!80] (7.5,0)--(7.5,-0.5)--(8,-0.5);
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	On sait que:
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item $BC = 8\ \mathrm{cm}$;
		\item $AB = 6\ \mathrm{cm}$;
		\item $AC = 10\ \mathrm{cm}$;
		\item $AD = 8\ \mathrm{cm}$;
		\item $D$ appartient aux segments $[AE]$ et $[BC]$;
		\item les droites $(BC)$ et $(CE)$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
	
	\bigskip
	Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle $ACE$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange} Pour démontrer que $(AB) \perp (BC)$ nous allons démontrer que $ABC$ est rectangle en $B$.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $ABC$ est rectangle en $B$.}
		
		D'une part: $AB^2+BC^2=6^2+8^2=100$, et d'autre part: $AC^2=10^2=100$. Ainsi: $AB^2+BC^2=AC^2$ et donc, d'après le théorème de Pythagore {\color{orange}(en fait sa réciproque)}, nous pouvons affirmer que $ABC$ est rectangle en $B$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$(AB)\perp (BC)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire la longueur $BD$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $BD$.}
		
		Ayant établi que $ABD$ est rectangle en $B$, nous en déduisons, d'après le théorème de Pythagore, que 
		
		\begin{align*}
			AB^2+BD^2 &= AD^2\\
			\intertext{Or ceci équivaut successivement à:}
			AB^2+BD^2 {\color{RoyalBlue}-AB^2} &= AD^2 {\color{RoyalBlue}-AB^2} \\
			BD^2 &= 8^2-6^2 \\
			BD^2 &= 28
		\end{align*}		
		
		Et puisque $BD$ est une longueur c'est un nombre positif:
		
		\begin{align*}
			BD &= \sqrt{28}\\
			&{\color{orange}= \sqrt{2^2 \times 7}}\\
			&= 2\sqrt{7}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$BD=2\sqrt{7}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la longueur $CE$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la longueur $CE$.}
		
		{\color{orange}La forme de papillon laisse à penser que nous pourrions utiliser le théorème de Thalès. D'autant que nous avons déjà utilisé le théorème de Pythagore et sa réciproque).}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $CE$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Configuration de Thalès.
			
			Les points $A$, $D$, $E$ d'une part et $B$, $D$, $C$ d'autre part sont alignés dans le même ordre.
			
			\item Hypothèse de la réciproque du théorème de Thalès.
			
			\[ \left. \begin{array}{l} (AB) \perp (BC) \\ (CE) \perp (BC) \end{array} \right\} \Rightarrow (AB) \parallel (CE). \]
			
		\end{enumerate}
		
		Nous déduisons des points précédents, d'après le théorème de Thalès \[ \frac{CE}{AB} = \frac{CD}{BD}. \]
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			\frac{CE}{AB} {\color{RoyalBlue}\cdot AB} &= \frac{CD}{BD} {\color{RoyalBlue}\cdot AB}\\
			CE &= \frac{CD}{BD} \cdot AB\\
			&= \frac{BC-BD}{BD} \cdot AB\\
			&= \frac{8-2\sqrt{7}}{2\sqrt{7}} \cdot 6\\
			&= -6+\frac{24}{7}\sqrt{7}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$CE= -6+ \frac{24}{7}\sqrt{7}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}Je pense que pour cette question et la suivante les correcteurs se seraient contentés de valeurs approchées.}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer l’aire du triangle $ACE$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ACE)$ de $ACE$.}
		
		{\color{orange}La formule habituelle de calcul d'aire semble difficile à mettre en œuvre puisqu'aucune hauteur du triangle ne nous est déjà connu. 
		
		Nous allons découper la surface dont nous cherchons l'aire en parties dont l'aire est plus simple à déterminer.}
		
		\medskip
		Avec des notations transparentes:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(ACE) &= {\color{RoyalBlue}\mathscr{A}(ADC)} + \mathscr{A}(CDE) \\
			&= {\color{RoyalBlue}\mathscr{A}(ABC)-\mathscr{A}(ABD)}+\mathscr{A}(CDE)\\
		\end{align*}
		
		$ABC$ (respectivement $ABD$, resp. $CDE$) est un triangle rectangle en $B$ (resp $B$, resp. $C$) donc deux de ses hauteurs se confondent avec les côtés de l'angle droit et nous pouvons utiliser la formule usuelle pour calculer l'aire de ce triangle.
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABC) &= \frac{1}{2} AB \times BC\\
			&= \frac{1}{2} \times (6\ \mathrm{cm}) \times (8\ \mathrm{cm})\\
			&= 24
		\end{align*}
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABD) &= \frac{1}{2} AB \times BC\\
			&= \frac{1}{2} \times 6 \times  2\sqrt{7}\\
			&= 6\sqrt{7}
		\end{align*}
		
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(CDE) &= \frac{1}{2} CD \times CE\\
			&= \frac{1}{2} \times (8-2\sqrt{7}) \times  \left( -6 + \frac{24}{7} \sqrt{7} \right)\\
			&= -\frac{336}{7}+ \frac{38}{7} \sqrt{7}
		\end{align*}
		
		Nous déduisons
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(ACE) &= 24 -6\sqrt{7} -\frac{336}{7}+ \frac{38}{7} \sqrt{7}\\
			&= \left( 24 - \frac{336}{7} \right) + \left(\frac{38}{7} -6 \right) \sqrt{7} 
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(ACE) = -\frac{168}{7} + \frac{96}{7} \sqrt{7}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour tout nombre entier $n$, montrer que $30n+25$ est divisible par $5$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $n \in \mathbb{Z}$.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $30n+25$ est divisible par $5$.}
		
		\begin{align*}
			30n+25 &= {\color{RoyalBlue}5 \times }6n+ {\color{RoyalBlue}5 \times }5 \\
			&= {\color{RoyalBlue}5 } (6n+5)
		\end{align*}
		
		Donc $30n+25$ est divisible par $5$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour tout entier $n$, $30n+25$ est divisible par $5$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici un programme de calcul:
		
		\begin{tabular}{|m{8cm}|}
			\hline
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item Choisir un nombre entier.
				\item Multiplier par $3$.
				\item Ajouter $5$.
				\item Élever au carré.
				\item Soustraire $9$ fois le carré du nombre de départ.
			\end{enumerate}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que ce programme a pour résultat $265$ si le nombre entier choisi est $8$. Les calculs seront détaillés.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre renvoyé par le programme lorsque $8$ est choisi en entrée.}
			
			{\color{orange}Présentons les calcul sous forme d'un tableau d'état des variables en numérotant les lignes du programme de $1$ à $5$.}
			
			\medskip
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{3cm}|m{7cm}|}
					\hline
					Lignes d'instructions & Variable $n$
					\\
					\hline
					$1$ & $n=a=8$
					\\
					\hline
					$2$ & $3 \times n= 3\times 8 =24$
					\\
					\hline
					$3$ & $n+5 =24+5=29$
					\\
					\hline
					$4$ & $n^2=29^2=841$
					\\
					\hline
					$5$ & $n^2-9a^2=841-9 \times 8^2=265$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			{\color{orange}Ce programme de calcul n'est pas un programme au sens informatique c'est pourquoi nous avons dû ajouter une variable $a$ pour le rendre cohérent.}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le nombre choisi en entrée est $8$ le programme renvoie $265$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel résultat obtient-on si le nombre entier choisi est $(-56)$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombre renvoyé par le programme lorsque $-56$ est choisi en entrée.}
					
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{3cm}|m{7cm}|}
					\hline
					Lignes d'instructions & Variable $n$
					\\
					\hline
					$1$ & $n=a=-56$
					\\
					\hline
					$2$ & $3 \times n= 3\times (-56) =-168$
					\\
					\hline
					$3$ & $n+5 =-168+5=-163$
					\\
					\hline
					$4$ & $n^2=(-163)^2=26569$
					\\
					\hline
					$5$ & $n^2-9a^2=26569-9 \times (-56)^2=-1655$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Si le nombre choisi en entrée est $-56$ le programme renvoie $337$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que le résultat de ce programme de calculs, quel que soit le nombre de
			départ, est divisible par $5$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que le nombre renvoyé par le programme est toujours divisible par $5$.}
			
			Soit $n \in \mathbb{Z}$.
			
				
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|m{3cm}|m{7cm}|}
					\hline
					Lignes d'instructions & Variable $n$
					\\
					\hline
					$1$ & $n$
					\\
					\hline
					$2$ & $3n$
					\\
					\hline
					$3$ & $3n+5$
					\\
					\hline
					$4$ & $(3n+5)^2$
					\\
					\hline
					$5$ & $(3n+5)^2-9n^2$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			Le programme renvoie donc
			
			\begin{align*}
				(3n+5)^2-9n^2 &= (3n)^2+2 \times 3n \times 5 + 5^2-9n^2 \\
				&= 3^2n^2+30n+25-9n^2\\
				&=9n^2+30n+25-9n^2\\
				&= 30n+25
			\end{align*}
			
			Or, d'après la question 1. $30n+25$ est divisible par $25$, donc
			
			\begin{conclusion}
				
				quelque soit l'entier choisi en entré dans le programme le nombre retourné est toujours divisible par $5$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	La figure ci-dessous a été réalisée à l'aide du logiciel de programmation Scratch.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_02_scratch.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Parmi les programmes proposés ci-dessous, quel est celui qui permet de tracer ce dessin? Aucune justification n'est demandée.
					
		\medskip
		\hspace*{-1cm}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash} X|>{\centering\arraybackslash} X|}
			\hline
			{Programme A}
			&
			{Programme B}
			\\
			\hline \includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_03_scratch_a.png}
			&
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_04_scratch_b.png}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash} X|>{\centering\arraybackslash} X|}
			\hline
			{Programme C}
			&
			{Programme D}
			\\
			\hline			
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_05_scratch_c.png}
			&
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_06_scratch_d.png}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le programme C permet de tracer la figure souhaitée.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans ces programmes, l'angle de rotation est de $120^{\circ}$. Expliquer pourquoi.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Expliquons l'angle.}
		
		Un petit schéma valant mieux qu'un long discours (et puisque nou souhaitons tracer des triangles équilatéraux d'angles $60^{\circ}$):
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (1,0);
				\coordinate (C) at (0.5,{sqrt(3)/2)});
				\coordinate (D) at (2,0);
				\fill[color=gray , opacity=0.4] plot [domain=120:180] ({1+0.25*cos(\x)},{0.25*sin(\x)})
				-- (B)
				-- cycle;
				\draw (0.6,0.3)node{$60^{\circ}$};
				\fill[color=red , opacity=0.4] plot [domain=0:120] ({1+0.25*cos(\x)},{0.25*sin(\x)})
				-- (B)
				-- cycle;
				\draw (1.8,0.3)node{$180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$};
				\draw (A)--(B)--(C)--(A);
				\draw[dashed] (B)--(D);
			\end{tikzpicture}
				
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tracer à main levée les figures obtenues avec chacun des programmes non retenus à la question 1.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le $\ggg$ représente l'emplacement du lutin à la fin du tracer.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Programme A.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
					\foreach \r in {1,2,3,4} \draw (\r,0)--({\r+1},0)--({\r+0.5},{sqrt(3)/2})--(\r,0);
					\draw (5,0)node{$\ggg$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\item Programme B.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\foreach \r in {1,2,3,4} \draw (\r,0)--({\r+1},0)--({\r+0.5},{sqrt(3)/2})--(\r,0);
				\draw (4.5,{sqrt(3)/2})node[rotate=120]{$\ggg$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\item Programme C.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\foreach \r in {1,2,3,4,5} \draw (\r,0)--({\r+1},0)--({\r+0.5},{sqrt(3)/2})--(\r,0);
				\draw (6,0)--(7,0);
				\draw (7,0)node{$\ggg$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{enumerate}
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	L'exercice ci-dessous est proposé dans une classe de CE1. Les élèves doivent écouter l'énoncé du problème lu par l'enseignant puis rechercher une solution numérique à la question du problème pour l'entourer parmi $6$ propositions. Ils doivent produire des traces de leur recherche.
	
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|XX|}
		\hline
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{5cm}|}
				\hline
				Léo a $24\ \text{\euro}$ dans son porte monnaie. Il a $8\ \text{\euro}$ de plus que Lilou.
				
				Combien d'euros Lilou a-t-elle?
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		&
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_07_lilou.png}
			
		\end{center}
		
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En quoi les compétences modéliser et calculer sont-elles mobilisées pour résoudre ce problème?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Donner deux difficultés que les élèves pourraient rencontrer pour résoudre ce problème.
		
	\end{sujet}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Voici les productions de quatre élèves.	
		
		\begin{center}
			
			Kiara
			
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_08_kiara.png}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			Lucas
			
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_09_lucas.png}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			Maya
			
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_10_maya.png}
			
		\end{center}
		
		\begin{center}
			
			Arif
			
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_11_arif.png}
			
		\end{center}
	
		Pour chacun de ces travaux:
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser la trace écrite (procédures suivies, compétences mises en œuvre, erreurs éventuelles).
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Proposer une remédiation ou un accompagnement que l'enseignant pourrait mettre en place pour aider Lucas et Kiara à résoudre le problème.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Au cours du CE1, l'enseignant propose à nouveau l'exercice avec d'autres nombres afin de faire évoluer les représentations schématiques utilisées par les élèves.
		
		\begin{center}
				
			\begin{tabular}{|m{6cm}|}
				\hline
				Léo a $322\ \text{\euro}$ dans son porte monnaie. Il a $46\ \text{\euro}$ de plus que Lilou.
				
				Combien d'euros Lilou a-t-elle?
				\\				
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Proposer une représentation schématique que l'enseignant peut présenter aux élèves pour les aider à modéliser la situation.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant propose à ses élèves un exercice inspiré d’une activité extraite du manuel \og Cap Maths CM2\fg{}, (Hatier, 2010).
	
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.24]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_12_capmath.png}
			
		\end{center}
		\\
		Détermine les dimensions du plan agrandi et des meubles de la chambre sur ce plan agrandi.
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici un extrait de réponse d'un élève.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{8cm}|}
				\hline
				On a ajouté $6$ carreaux au grand côté, il faut donc ajouter $6$ carreaux à tous les côtés.
				
				[...]
				
				Pour le lit:
				
				grand côté $=6+6=12$ carreaux
				
				petit côté $=4+6=10$ carreaux
				
				[...]
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Comment, sans s'appuyer sur la bonne réponse, peut-on convaincre cet élève que sa réponse est fausse?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer trois procédures correctes qu'un élève de CM2 peut mettre en œuvre pour donner les dimensions correctes de l'étagère. Expliciter la propriété mathématique utilisée pour chaque procédure.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de CM2 propose les exercices suivants à ses élèves:
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_13_cm2.png}
		
	\end{center}
	
	On trouvera ci-dessous quatre productions d'élèves.
		
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_14_celestine.png}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_15_toufik.png}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_16_paola.png}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2019_maths_externe_sujet_3_17_miroslav.png}
		
	\end{center}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans cette question, on s'intéresse \underline{uniquement} à l'exercice 1.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour chacun des élèves, décrire les réussites et les erreurs éventuelles.
		
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle tâche, impliquant des fractions décimales, l'enseignant pourrait proposer à Miroslav, pour l'aider à corriger ses erreurs et renforcer sa compréhension de l'écriture décimale?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Dans certains anciens manuels scolaires, on trouve des exercices du type:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{9cm}|}
				\hline
				Range ces nombres par ordre croissant: \[ 7,32\ -\ 7,35\ - \ 12,42\ -\ 7,57\ - \ 12,05\ -\ 7,01 \]
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		En s'appuyant sur la production de Miroslav ou de Célestine, expliquer en quoi cet exercice ne permet pas d'évaluer de façon fiable la compétence \og Savoir comparer deux nombres décimaux\fg{}. Puis, proposer des modifications à l'exercice afin de le rendre plus pertinent.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les réussites et les erreurs de Célestine à l'exercice 2.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

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%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}