%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2019 sujet 2} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2019 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2019_maths/crpe_2019_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2019_maths/crpe_2019_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
		\medskip
		{\color{red}Remerciements à Mme Morval, M. Thouvenin et Mme Duplessy pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Le propriétaire d'une maison décide de crée un appentis pour stocker du bois de chauffage. Un schéma de ce qu'il souhaite réalisé est donné ci-dessous:
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_01_appentis.png}
		
	\end{center}
	
	Le rectangle $ABFE$ représente une dalle de béton.
	
	Le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze rectangle.
	
	\medskip
	Les contraintes de sa maison et de son terrain lui imposent les dimensions suivantes: $AE= 4,8\ \mathrm{m}$, $AB=1,5\ \mathrm{m}$, $AD=2,4\ \mathrm{m}$ et $BC=3,2\ \mathrm{m}$.
	
	\medskip
	Le volume utile de cet appentis est la partie dans laquelle il pourra stocker son bois sachant que, pour rester au sec, il devra se trouver sur la dalle de béton et sous le toit.
	
	Le volume utile représente donc un prisme droit dont la base est le trapèze rectangle $ABCD$.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: surface de l'appentis et étude du volume utile.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans le cadre de sa déclaration préalable de travaux le propriétaire doit déterminer la surface au sol de l'appentis. Calculer l'aire du rectangle $ABFE$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ABFE)$ de $ABFE$.}
		
		Puisqu'il s'agit d'un rectangle
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABFE) &= AE \times AB \\
			&= (4,8\ \mathrm{m}) \times (1,5\ \mathrm{m})\\
			&= 4,8 \times 1,5\ \mathrm{m}\times \mathrm{m}\\
			&= 7,2 \ \mathrm{m}^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(ABFE)= 7,2 \ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On appelle $I$ le point du segment $[BC]$ tel que $ABID$ est un rectangle. Calculer la longueur $CD$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La situation présentée est en trois dimension mais pour résoudre cette question nous nous plaçons dans le plan $(ABD)$.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
					\coordinate (A) at (0,0);
					\coordinate (B) at (1.5,0);
					\coordinate (C) at (1.5,3.2);
					\coordinate (D) at (0,2.4);
					\coordinate (I) at (1.5,2.4);
					\draw (D)--(A)--(B)--(C)--(D)--(I);
					\draw (A) node[below left]{$A$};
					\draw (B) node[below right]{$B$};
					\draw (C) node[above right]{$C$};
					\draw (D) node[left]{$D$};
					\draw (I) node[right]{$I$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			Le schéma n'étant pas demandé il faut se contenter d'une esquisse sur un brouillon.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $CD$.}
			
			Par construction $IDC$ est rectangle en $I$, donc, d'après le théorème de Pythagore \[ DI^2+IC^2=DC^2. \]
			
			D'où, puisque $ABID$ est un rectangle et que $I \in [BC]$:
			\begin{align*}
				DC^2 &= {\color{green}DI^2}+{\color{violet}IC^2} \\
				&= {\color{green}AB^2}+{\color{violet}(BC-IB)^2}\\
				&= AB^2+(BC-{\color{red}IB})^2\\
				&= AB^2+(BC-{\color{red}AD})^2\\
				&= 1,5^2+(3,2-2,4)^2\\
				&= 2,89
			\end{align*}
			
			Puisque $DC$ est une longueur c'est un nombre positif donc
			
			\begin{align*}
				DC &= \sqrt{2,89}\\
				&= 1,7
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$CD=1,7\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la surface du toit $CDHG$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(CDHG)$ du rectangle $CDHG$.}
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(CDHG) &= CD \times {\color{violet}HD}\\
				&= CD \times {\color{violet}AE}\\
				&= (1,7\ \mathrm{m}) \times (4,8\ \mathrm{m})\\
				&= 1,7 \times 4,8\ \mathrm{m} \times \mathrm{m}\\
				&= 8,16\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l'angle $\widehat{CDI}$, correspondant à la pente du toit. Arrondir la réponse au degré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}En tenant compte des données de l'énoncé et de la question précédente nous savons que:
				
				\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=2]
					\coordinate (A) at (0,0);
					\coordinate (B) at (1.5,0);
					\coordinate (C) at (1.5,3.2);
					\coordinate (D) at (0,2.4);
					\coordinate (I) at (1.5,2.4);
					\draw (D)--(I) node[midway,below]{$1,5\ \mathrm{m}$}; 
					\draw (C)--(I) node[midway,right]{$3,2-2,4=0,8\ \mathrm{m}$}; \draw (D)--(C) node[midway,above left]{$1,7\ \mathrm{m}$};
					\draw (C) node[above right]{$C$};
					\draw (D) node[left]{$D$};
					\draw (I) node[right]{$I$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons une mesure de l'angle $\widehat{CDI}$.}
			
			\begin{align*}
				\cos \left( \widehat{CDI} \right) &= \frac{DI}{DC} \\
				&= \frac{1,5}{1,7} \\
				\intertext{Avec la calculatrice:}
				\widehat{CDI} &\approx 28,07
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\widehat{CDI} \approx 28^{\circ}$.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Construire $A'B'C'D'$ une représentation  du quadrilatère $ABCD$ à l'échelle $1/50$ en précisant les calculs qui ont permis cette construction.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Dessinons $ABCD$ à l'échelle $1/50$.}
			
			\begin{tabular}{|m{2cm}|m{2cm}|m{6cm}|}
				\hline
				Longueur & Réelle & À l'échelle $1/50$.
				\\
				\hline
				$AD$ & $2,4\ \mathrm{m}$ & \[ \frac{1}{50} \times 2,4\ \mathrm{m}=\frac{2,4}{50} \times 100\ \mathrm{cm}= 4,8 \ \mathrm{cm} \]
				\\
				\hline
				$BC$ & $3,2\ \mathrm{m}$ & \[ \frac{1}{50} \times 3,2\ \mathrm{m}=\frac{3,2}{50} \times 100\ \mathrm{cm}= 6,4 \ \mathrm{cm} \]
				\\
				\hline
				$AB$ & $1,5\ \mathrm{m}$ & \[ \frac{1}{50} \times 1,5\ \mathrm{m}=\frac{1,5}{50} \times 100\ \mathrm{cm}= 3 \ \mathrm{cm} \]
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\medskip
			Nous en déduisons la figure.
						
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}[scale=2]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (1.5,0);
				\coordinate (C) at (1.5,3.2);
				\coordinate (D) at (0,2.4);
				\draw (D)--(A)--(B)--(C)--(D);
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\draw (B) node[below right]{$B$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				\draw (D) node[left]{$D$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l'aire du trapèze $ABCD$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Pour calculer l'aire du trapèze nous pourrions calculer les aires d'abord de $ICD$, puis de $ABID$, mais nous allons utiliser la formule de l'aire d'un trapèze.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ABCD)$ de $ABCD$.}
			
			Puisqu'il s'agit d'un trapèze:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ABCD) &= \frac{1}{2}(AD+BC)\times AB\\
				&= \frac{1}{2} (2,4\ \mathrm{m}+3,2\ \mathrm{m}) \times (1,5\ \mathrm{m})\\
				&= \frac{1}{2}(5,6\ \mathrm{m}) \times (1,5\ \mathrm{m})\\
				&= \frac{1}{2}\times 5,6 \times 1,5\ \mathrm{m} \times \mathrm{m}\\
				&= 4,2\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(ABCD)=4,2\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Pour être sûr de passer l'hiver au chaud, le propriétaire doit disposer de $15$ stères de bois. Le stère est une unité de mesure, utilisée pour le bois de chauffage, valant $1\ \mathrm{m}^3$. Aura-t-il assez de place pour stocker ces $15$ stères de bois?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Nous admettrons que la partie sous pente de l'abri peut également accueillir du bois.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ du prisme $ABCDEFGH$.}
			
			En utilisant la formule du volume d'un prisme
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_1 &= AE \times \mathscr{A}(ABCD) \\
				&= (4,8\ \mathrm{m}) \times (4,2 \ \mathrm{m}^2)\\
				&= 4,8 \times 4,2 \ \mathrm{m} \times \mathrm{m}^2\\
				&= 20,16\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il aura assez de place pour stocker ces $15$ stères de bois.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: réalisation de la dalle.}

\begin{sujet}
	
	Pour réaliser la dalle en béton, on creuse la terre au niveau du rectangle $ABFE$ sur une profondeur de $25\ \mathrm{cm}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Lorsqu'on extrait de la terre du sol, son volume augmente de $30\ \%$ du fait qu'elle n'est plus tassée.
		
		Pour évacuer cette terre, le propriétaire utilise sa propre remorque qui contient au maximum $0,7\ \mathrm{m}^3$.
		
		Combien de voyages sont-ils nécessaires pour évacuer complètement la terre?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre de voyages nécessaires.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Calculons le volume du trou.
			
			Il s'agit d'un parallélépipède dont une base est $ABFE$ et la hauteur correspondante mesure $25\ \mathrm{cm}$, donc son volume est
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_2 &= \mathscr{A}(ABFE) \times (25\ {\color{green}\mathrm{cm}})\\
				&= (7,2\ \mathrm{m}^2) \times \left(25\ {\color{green} \times \frac{1}{100}\ \mathrm{m}}\right) \\
				&= 7,2\times 25 \times \frac{1}{100}\ \mathrm{m}^2 \times \mathrm{m}\\
				&= 1,8 \ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\item Déterminons le volume de terre à transporter.
			
			Le volume de la terre augmente de $30\ \%$ {\color{orange}(nous pouvons utiliser un coefficient multiplicateur)} donc il égale
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_3 &= \left( 1+ \frac{30}{100} \right) \times \mathscr{V}_2 \\
				&= 1,30 \times 1,8\ \mathrm{m}^3\\
				&= 2,34\ \mathrm{m}^3
			\end{align*}
			
			\item Déterminons le nombre de fois qu'il faudra remplir la remorque  pour transporter toute la terre.
			
			Procédons à la division
			
			\begin{align*}
				\frac{\mathscr{V}_3}{0,7\ \mathrm{m}^3} &= \frac{2,34\ \mathrm{m}^3}{0,7\ \mathrm{m}^3} \\
				&= \frac{2,34}{0,7}\\
				&\approx 3,34
			\end{align*}
			
			Il faudra donc remplir $3$ fois à plein la remorque et $1$ une fois partiellement.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il devra effectuer $4$ voyages.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le propriétaire souhaite faire réaliser la dalle par un entrepreneur. Le trou creusé sera entièrement rempli de béton jusqu'au niveau du sol.
		
		Le prix de la réalisation comporte le prix de la livraisons par camion toupie et le prix du béton. Le propriétaire consulte deux entrepreneurs:
		
		\begin{itemize}
			\item l'entrepreneur A propose un tarif à $98$ euros le mètre cube avec une livraison coûtant $150$ euros par camion toupie, un camion toupie pouvant contenir $7\ \mathrm{m}^3$.
			\item l'entrepreneur B propose un tarif à $75$ euros le mètre cube avec une livraison coûtant $240$ euros par camion toupie, un camion toupie pouvant contenir $10\ \mathrm{m}^3$.
		\end{itemize}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le prix facturé pour l'achat de $8\ \mathrm{m}^3$ de béton livrés par chacun des entrepreneurs.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le prix pour l'achat de $8\ \mathrm{m}^3$ de béton.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Avec l'entrepreneur A.
				
				Un mètre cube coûtant $98$ euros, pour $8$ mètre cube il faudra payer $8 \times 98= 784$ euros.
				
				Un camion pouvant contenir $7\ \mathrm{m}^3$ et puisque $8=1 \times 7 +1$ il faudra $2$ livraisons, il faudra payer $2 \times 150=300$ euros de livraison.
				
				Le montant total est donc de $784+300$ euros.
				
				\begin{conclusion}
					
					L'achat de $8\ \mathrm{m}^3$ avec l'entrepreneur A coûte $1084$ euros.
					
				\end{conclusion}
				
				\item Avec l'entrepreneur B.
				
				Un mètre cube coûtant $75$ euros, pour $8$ mètre cube il faudra payer $8 \times 75= 600$ euros.
				
				Un camion pouvant contenir $7\ \mathrm{m}^3$ et puisque $8=0 \times 10 +8$ il faudra $1$ livraison, il faudra payer $1 \times 240=240$ euros de livraison.
				
				Le montant total est donc de $840$ euros.
				
				\begin{conclusion}
					
					L'achat de $8\ \mathrm{m}^3$ avec l'entrepreneur B coûte $840$ euros.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On appelle $f$ la fonction qui, au volume de béton $x$, exprimé en $\mathrm{m}^3$, associe $f(x)$ le coût en euro proposé par l'entrepreneur A et $g$ la fonction qui, au volume de béton $x$, exprimé en $\mathrm{m}^3$, associe $g(x)$ le coût en euro proposé par l'entrepreneur B.
			
			Le graphique ci-dessous donne les représentations graphiques des deux fonctions $f$ et $g$ pour $x$ compris entre $0$ et $5,5$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{6.5};
				\def\yZ{7.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,7}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{100*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5.5] plot(\x,{(98*\x +150)/100});
				\draw[red] (0.5,3.5) node[fill=white] {$d_2$};
				\draw[red, very thick][samples=100,domain=0:5.5] plot(\x,{(75*\x +240)/100});
				\draw[blue] (1,1.4) node[fill=white] {$d_1$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Préciser, en justifiant la réponse, de quelle fonction $f$ ou $g$, les droites $d_1$ et $d_2$ sont les représentations graphiques.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Identifions la courbe représentative de chacune des fonctions.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item Première méthode.
				
				Nous pouvons faire le raisonnement théorique suivant. S'il s'agit d'acheter du béton il faudra forcément au moins payer la livraison c'est à dire $f(0)$ et $g(0)$. Or $f(0)=150$ et $g(0)=240$.
				
				Par lecture graphique nous voyons que $f(0)=150$ correspond à $d_1$.
				
				\medskip
				{\color{orange}Le raisonnement précédent n'est correct qu'en apparence, car si l'on achète $0\ \mathrm{m}^3$ de béton il n'y aura pas de livraison. Mais il y a là une fonction prolongeable par continuité.}
				
				\item Seconde méthode.
				
				Notons $x \in ]0;5,5]$ la quantité de béton commandée en mètre cube.
				
				Puisque $x <7$ dans les deux cas il suffira d'un camion pour livrer le béton et en tenant compte du prix au mètre cube nous obtenons \[ \left\{ \begin{array}{l} f(x)=98x+150 \\ g(x)=75x+240 \end{array} \right. \]
				
				En particulier pour un mètre cube \[ \left\{ \begin{array}{l} f(1)=248 \\ g(1)=315 \end{array} \right. \] Ainsi $f(1)< g(1)$ et $d_1$ est donc la courbe représentative de $f$.
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$d_1$ est la courbe représentative de $f$ et $d_2$ celle de $g$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée du volume de béton que l'on peut commander avec la somme de $600$ euros.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{6.5};
				\def\yZ{7.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,7}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{100*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5.5] plot(\x,{(98*\x +150)/100});
				\draw[red] (0.5,3.5) node[fill=white] {$d_2$};
				\draw[red, very thick][samples=100,domain=0:5.5] plot(\x,{(75*\x +240)/100});
				\draw[blue] (1,1.4) node[fill=white] {$d_1$};
				\draw[green,very thick,dashed] (0,6)--(5.5,6);
				\draw[green,very thick,dashed] ({(600-150)/98},6)--({(600-150)/98},0);
				\draw[green,very thick,dashed] ({(600-240)/75},6)--({(600-240)/75},0);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Avec $600$ euros il est possible de commander $4,5$ mètre cube avec l'entrepreneur A et $4,8$ avec le B.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer graphiquement l'entrepreneur que le propriétaire doit choisir pour obtenir un prix de commande minimum pour réaliser la dalle de l'appentis. Calculer ensuite le prix qu'il devra alors payer.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
						
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1.5,yscale=1]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{6.5};
				\def\yZ{7.9};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,7}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{100*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5.5] plot(\x,{(98*\x +150)/100});
				\draw[red] (0.5,3.5) node[fill=white] {$d_2$};
				\draw[red, very thick][samples=100,domain=0:5.5] plot(\x,{(75*\x +240)/100});
				\draw[blue] (1,1.4) node[fill=white] {$d_1$};
				\draw[violet,very thick,dashed] (1.8,0)--(1.8,{(75*1.8+240)/100});
				\draw[violet,very thick,dashed] (0,{(98*1.8+150)/100})--(1.8,{(98*1.8+150)/100});
				\draw[violet,very thick,dashed] (0,{(75*1.8+240)/100})--(1.8,{(75*1.8+240)/100});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le propriétaire choisira l'entrepreneur A.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons le coût de la dalle.}
			
			\begin{align*}
				f(1,8) &= 98*1,8+150\\
				&= 326,4
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La dalle coûtera $326,4$ euros.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer, par le calcul, une valeur approchée, au dixième de mètre cube, du volume de béton à partir duquel il est préférable de changer d'entrepreneur pour une commande comprise entre $0$ et $7\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			On souhaite savoir pour quelle quantité $x \in ]0;5,5]$, le coût $f(x)$ reste inférieur à $g(x)$.
			
			\medskip
			\objectif{Résolvons l'inéquation $f(x)\leqslant g(x)$ pour $x \in ]0;7]$.}
			
			Soit $x \in ]0;7]$.
			
			\begin{align*}
				f(x) \leqslant g(x) &\Leftrightarrow 98x+150 \leqslant 75x+240\\
				\intertext{Il s'agit d'une équation linéaire du premier degré, nous la résolvons en isolant l'inconnue.}
				f(x) \leqslant g(x) &\Leftrightarrow 98x+150 {\color{orange}-150} \leqslant 75x+240 {\color{orange}-150}\\
				&\Leftrightarrow 98x \leqslant 75x+90 \\
				&\Leftrightarrow 98x {\color{orange}-75x} \leqslant 75x+90 {\color{orange}-75x}\\
				&\Leftrightarrow (98-75)x \leqslant 90 \\
				&\Leftrightarrow 23x \leqslant 90\\
				&\Leftrightarrow \frac{23x}{\color{orange}23} \leqslant \frac{90}{\color{orange}23}\\
				&\Leftrightarrow x \leqslant \frac{90}{23}
			\end{align*}
			
			Comme $\frac{90}{23} \approx 3,9130$
			
			\begin{conclusion}
				
				il est préférable de changer d 'entrepreneur à partir de $3,9\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			{\color{orange}La valeur approchée est ici l'arrondi, c'est-à-dire la valeur approchée par excès, mais l'énoncé laisse libre de choisir une valeur approchée par défaut.}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Le programme ci-dessous a été écrit avec le logiciel Scratch pour tracer une figure. Il utilise une variable appelée \og longueur\fg{}. L'unité de longueur est le pixel.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\draw(0,0) node{\large
				\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				{\normalsize Ligne}
				\\
				\hline
				1
				\\
				\hline
				2
				\\
				\hline
				3
				\\
				\hline
				4
				\\
				\hline
				5
				\\
				\hline
				6
				\\
				\hline
				7
				\\
				\hline
				8
				\\
				\hline
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			};
		\draw (2.9,0) node{\includegraphics[scale=0.33]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_02_scratch.png}};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	On suppose que le premier tracé se fait horizontalement vers la droite.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Construire sur la copie la figure obtenue en lançant le programme, en prenant $1\ \mathrm{cm}$ pour $10$ pixels.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A0) at (0,0);
				\coordinate (A1) at (3,0);
				\coordinate (A2) at (3,4);
				\coordinate (A3) at (-2,4);
				\coordinate (A4) at (-2,-2);
				\coordinate (A5) at (5,-2);
				\coordinate (A6) at (5,6);
				\coordinate (A7) at (-4,6);
				\coordinate (A8) at (-4,-4);
				\draw (A0)--(A1)--(A2)--(A3)--(A4)--(A5)--(A6)--(A7)--(A8);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle figure obtient-on si on supprime la ligne $6$ du programme?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Si on supprime la ligne $6$ du programme la variable \emph{longueur} n'est plus incrémentée de $10$ à chaque itération de la boucle.
		
		\begin{conclusion}
			
			La figure dessinée est alors un carré.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que doit-on modifier dans le programme précédent pour construire un octogone régulier ayant des côtés de longueur $40$ pixels?
		
		On rappelle qu'un polygone régulier est une polygone convexe dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont la même mesure.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_12_scratch_correction.png}
			
		\end{center}
		
		{\color{orange}Une illustration pour expliquer l'angle. Notons $O$ le centre de l'octogone et $A$, $B$ et $C$ trois sommets consécutifs.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=2]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (2,0);
				\coordinate (O) at (1,{tan(67.5)});
				\coordinate (C) at (4,0);
				\coordinate (D) at ({2+2*cos(45)},{2*sin(45)});
				\draw (A)--(B)--(O)--(A);
				\draw (B)--(D)--(O);
				\draw[dashed] (B)--(C);
				\draw (A) node[below left]{$A$};
				\draw (B) node[below]{$B$};
				\draw (D) node[right]{$C$};
				\draw (O) node[above]{$O$};
				\fill [color=blue , opacity=0.4] plot [domain=247.5:292.5] ({1+0.25*cos(\x )},{tan(67.5)+0.25*sin(\x )})--(O);
				\draw (1,{tan(67.5)-0.5})node{$\theta_1$};
				\fill [color=red , opacity=0.4] plot [domain=0:67.5] ({0.25*cos(\x )},{0.25*sin(\x )})--(A);
				\draw (0.4,0.3)node{$\theta_2$};
				\fill [color=red , opacity=0.4] plot [domain=111.5:180] ({2+0.25*cos(\x )},{0.25*sin(\x )})--(B);
				\draw (1.6,0.3)node{$\theta_3$};
				\fill [color=red , opacity=0.4] plot [domain=45:111.5] ({2+0.25*cos(\x )},{0.25*sin(\x )})--(B);
				\draw (2.1,0.5)node{$\theta_4$};
				\fill [color=blue , opacity=0.4] plot [domain=0:45] ({2+0.25*cos(\x )},{0.25*sin(\x )})--(B);
				\draw (2.5,0.25)node{$\theta_5$};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Remarquons que par construction $\theta_2=\theta_3=\theta_4$ et $\theta_1= \frac{360}{8}=45^{\circ}$.
		
		On en déduit (somme des mesures des angles du triangle) que $\theta_2=67,5^{\circ}$.
		
		Et on en déduit enfin $\theta_5=45^{\circ}$.
		}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Répondre aux quatre questions suivantes en utilisant le trois documents ci-après.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un véhicule a parcouru le tronçon du tunnel Noailles et la vitesse moyenne calculée est de $123\ \mathrm{km}/ \mathrm{h}$. Quelle sera la vitesse retenue?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la vitesse retenue.}
		
		Puisque la vitesse moyenne calculée par l'ordinateur est supérieure à $100\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$, d'après le document 3, la vitesse est diminuée de $5\ \%$.
		
		En utilisant un coefficient multiplicateur, nous trouvons la vitesse retenue:
		
		\begin{align*}
			v_{r1} &= \left(1 + \frac{t}{100} \right) v_{m1} \\
			&= \left( 1+ \frac{-5}{100} \right) \times 123\\
			&= 116,85
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La vitesse retenue est de $116,85\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un autre véhicule a parcouru la distance entre les deux points d'enregistrement en $4$ minutes. Quelle sera la vitesse retenue?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la vitesse retenue $v_{r2}$.}
		
		Puisqu'il a mis $4\ \mathrm{mn}$ à parcourir les $5,1\ \mathrm{km}$ séparant les points d'enregistrement sa vitesse moyenne fut de
		
		\begin{align*}
			v_{m2} &= \frac{5,1\ \mathrm{km}}{4\ {\color{RoyalBlue}\mathrm{mn}}}\\
			&= \frac{5,1\ \mathrm{km}}{4\cdot {\color{RoyalBlue}\frac{1}{60}\ \mathrm{h} }}\\
			&= \frac{5,1}{4\cdot \frac{1}{60}} \ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h} }\\
			&= 76,5\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}
		\end{align*}
		
		La vitesse moyenne étant inférieure à $100\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$, d'après le document 3 la vitesse retenue est
		
		\begin{align*}
			v_{r2} &= 76,5-5\\
			&= 71,5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La vitesse retenue sera de $71,5\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur une contravention reçue suite à un excès de vitesse sur ce tronçon, la vitesse retenue est $114\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$. Quelle était la vitesse moyenne calculée par l'ordinateur pour ce véhicule?
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Retrouvons la vitesse moyenne.}
		
		{\color{orange}Cette situation correspond à l'utilisation d'un coefficient multiplicateur réciproque. Nous allons résoudre la question en procédant naïvement à la résolution d'une équation.}
		
		\medskip
		Comme nous l'avons déjà remarqué:
		
		\begin{align*}
			v_{r3} &= 0,95v_{m3}\\
			\intertext{C qui équivaut successivement à:}
			114\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1} &= 0,95v_{m3}\\
			\frac{114\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}}{\color{RoyalBlue}0,95} &= \frac{0,95v_{m3}}{\color{RoyalBlue}0,95}\\
			\frac{114}{0,95}\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1} &= v_{m3}\\
		\end{align*}
		
		Donc: $v_{m3}= 120\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La vitesse moyenne calculée était de $120\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La plaque d'immatriculation d'un véhicule est enregistrée à $9\ \mathrm{h}\ 17\ \mathrm{min}\ 56\ \mathrm{s}$ devant le premier radar, puis à $9\ \mathrm{h}\ 22\ \mathrm{min}\ 07\ \mathrm{s}$ devant le second radar. Le conducteur de ce véhicule sera-t-il sanctionné par une contravention?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la vitesse retenue $v_{r4}$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Déterminons la durée du trajet.
			
			\begin{align*}
				d_4 &= (9\ \mathrm{h}+ 22\ \mathrm{min}+07\ \mathrm{s})-(9\ \mathrm{h}+ 17\ \mathrm{min}+ 56\ \mathrm{s})\\
				&= (22\ \mathrm{min} + 07\ \mathrm{s})-(17\ \mathrm{min}+ 56\ \mathrm{s})\\
				&= (22\times 60\ \mathrm{s}+ 07\ \mathrm{s})-(17\times 60\ \mathrm{s}+ 56\ \mathrm{s})\\
				&= (1327\ \mathrm{s})-(1076\ \mathrm{s})\\
				&= 251\ \mathrm{s}\\
				\intertext{En procédant à une division euclidienne par $60\ \mathrm{s}$:}
				d_4 &= 4 \times 60+11\ \mathrm{s}\\
				&= 4\ \mathrm{mn}+11\ \mathrm{s}
			\end{align*}
			
			{\color{orange}Nous aurions pu trouver plus simplement la réponse en raisonnant comme le commerçant qui rend la monnaie, en rajoutant la monnaie au prix à payer jusqu'à obtenir le montant donné par le client. 
			
			\begin{align*}
				9\ \mathrm{h}+ 17\ \mathrm{min}+56\ \mathrm{s} + {\color{RoyalBlue}4\ \mathrm{s}} &= 9\ \mathrm{h}+ 18\ \mathrm{min}\\
				9\ \mathrm{h}+ 18\ \mathrm{min} + {\color{RoyalBlue}4\ \mathrm{mn}} &= 9\mathrm{h} + 22\ \mathrm{mn}\\
				9\mathrm{h} + 22\ \mathrm{mn} + {\color{RoyalBlue}+7\ \mathrm{s}} &= 9\ \mathrm{h}+ 22\ \mathrm{min}+07\ \mathrm{s}
			\end{align*}
			
			Il a fallu ajouter $4\ \mathrm{s} +4 \mathrm{mn} + 7\ \mathrm{s}= 4\ \mathrm{mn} + 11 \mathrm{s}$ à l'heure initiale pour obtenir l'heure finale.}
			
			\item Déterminons la vitesse moyenne.
			
			\begin{align*}
				v_{m4} &= \frac{5,1\ \mathrm{km}}{4\mathrm{mn} + 11\mathrm{s}}\\
				&= \frac{5,1\ \mathrm{km}}{4 \times 60 \mathrm{s} + 11\mathrm{s}}\\
				&= \frac{5,1\ \mathrm{km}}{251\ {\color{RoyalBlue}\mathrm{s}}}\\
				&= \frac{5,1\ \mathrm{km}}{251\cdot {\color{RoyalBlue}\frac{1}{3600}\ \mathrm{h}}}\\
				&= \frac{5,1}{251\cdot \frac{1}{3600}}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\
				&\approx 73,1474 \dots
			\end{align*}
			
			\item Déterminons la vitesse retenue.
			
			\begin{align*}
				v_{r4} &= v_{m4}-5\\
				&\approx 68,1474\dots
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		La vitesse retenue n'excédant pas $70\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$
		
		\begin{conclusion}
			
			dans ce cas le conducteur ne sera pas sanctionné par une contravention.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
		
	\begin{enumerate}[]
		\item Document 1: le radar tronçon du tunnel de Noailles.
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}
			\hline
			La portion de l'autoroute A20 entre Toulouse et Paris est équipée d'un radar tronçon sur une distance de $5,1\ \mathrm{km}$ à proximité du tunnel de Noailles. La vitesse est limitée à $70\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ lors des travaux de réfection du tunnel.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		\medskip
		
		\item Document 2: principe de fonctionnement d'un radar-tronçon.
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_03_radar.png}
			\flushright \emph{Source: www.leparisien.fr}
		\end{center}
		
		\item Document 3: calcul de la vitesse retenue pour la contravention.
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}
			\hline
			Un ordinateur calcule la vitesse moyenne de la voiture sur le tronçon puis détermine la vitesse retenue afin de prendre en compte les erreurs de précision du radar.
			
			Si la vitesse retenue est au-dessus de la vitesse limite, l'automobiliste reçoit une contravention.
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		\medskip
		
		\noindent
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|}
			\hline
			Vitesse moyenne calculée par l'ordinateur
			&
			inférieure ou égale à $100\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$
			&
			supérieure à $100\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$
			\\
			\hline
			Vitesse retenue
			&
			On enlève $5\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ à la vitesse moyenne calculée
			&
			On diminue la vitesse moyenne calculée de $5\ \%$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	On dispose de plusieurs cubes pleins (non creux) de $5\ \mathrm{cm}$ d'arête. Certains sont en fer les autres sont en nickel. La masse volumique du fer est de $\np{7860}\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$, celle du nickel est de $\np{8900}\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$.
	
	On choisit un cube, on le pèse et on trouve que sa masse est $\np{1110}\ \mathrm{g}$.
	
	Ce cube est-il en fer ou en nickel?
		
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Calculons la masse d'un cube en fer.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Déterminons le volume, $\mathscr{V}_{Fe}$, d'un cube de fer.
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_{Fe} &= (5\ {\color{RoyalBlue}\mathrm{cm}})^3\\
			&= \left(5\times {\color{RoyalBlue}\frac{1}{100}\ \mathrm{m}} \right)^3\\
			&= \left(\frac{5}{100}\right)^3\ \mathrm{m}^3\\
			&= \np{0,000125}\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		\item Déterminons la masse, $m_{Fe}$, d'un cube de fer.
		
		En notant $\rho_{Fe}$ la masse volumique du fer:
		
		\begin{align*}
			m_{Fe} &= \mathscr{V}_{Fe} \rho_{Fe}\\
			&= (\np{0,000125}\ \mathrm{m}^3) \times (7860\ \mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3}) \\
			&= \np{0,000125} \times \np{7860} \ \mathrm{m}^{3} \times \mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3}\\
			&= \np{0,9825}\ \mathrm{kg}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
	Le cube choisi n'est donc pas en fer.
	
	\begin{conclusion}
		
		Le cube choisi est en nickel.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	La répartition de l’âge des membres d’un club d’aviron est donnée par le graphique ci-dessous:
		
		\medskip
		\hspace*{-0.5cm}	
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=1]
		\draw[gray,very thin] (0,0) grid[xstep=1,ystep=9] (17,9);
		\foreach \x /\y in {1/1,4/2, 7/3, 4/4, 4/5, 8/6, 16/7, 10/8, 6/9}\draw[line width=4mm,color=blue!50] (0,{\y-0.5})--(\x,{\y-0.5});
		\foreach \x in {0,1,...,17} \draw(\x,0)node[below]{\x};
		\foreach \y in {1,2,...,9} \draw(0,{\y-0.5})node[left]{\pgfmathparse{13+\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw (1,9.25) node{Âges (années)};
		\draw (16.5,-0.75) node{Effectifs};
		\end{tikzpicture}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer l’âge médian des membres du club. Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la médiane $Me$.}
		
		{\color{orange}Il n'est pas possible à partir du diagramme en barres de déterminer directement la médiane. Nous faisons le choix de présenter la série en regroupant par modalités les valeurs (et donc en considérant les effectifs) sous forme d'un tableau.}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\hline	
				Âges & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22
				\\
				\hline
				Effectifs & 1 & 4 & 7 & 4 & 4 & 8 & 16 & 10 & 6
				\\
				\hline
				E.C.C. & 1 & 5 & 12 & 16 & 20 & 28 & 44 & 54 & 60
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La série des modalités (âges) est rangée dans l'ordre croissant.
			\item {\color{orange}Position de la médiane dans les effectifs.} $\frac{N}{2}= \frac{60}{2}=30$. La série étant paire la médiane est entre trentième et la trente-et-unième valeur.
			\item {\color{orange}Calcul de la médiane}. D'après les effectifs cumulés croissants (E.C.C.) $Me= \frac{20+20}{2}$.
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			$Me=20\ \text{ans}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Quel est le pourcentage, arrondi à l’unité, de membres du club qui ont moins de 18 ans?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous faisons le choix d'interpréter la question comme nous le ferions dans le langage courant par strictement inférieur à $18$ ans.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons la proportion de membres de moins de $18$ ans.}
		
		D'après la ligne des E.C.C. il y a $16$ personnes qui ont strictement moins que $18$ ans. Et puisqu'il y a $60$ personne au total cela représente une proportion $p$ de: 
		
		\begin{align*}
			p &= \frac{16}{60}\\
			&= 0.2666\dots
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons le pourcentage
		
		\begin{conclusion}
			
			$27\ \%$ des membres ont moins de $18$ ans.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une tombola est organisée pour tous les membres du club. Chaque membre a reçu un billet au hasard. Le tirage au sort pour cette tombola désigne un seul gagnant.
		
		Les probabilités trouvées seront arrondies au centième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité pour que le gagnant ait $22$ ans?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Commençons par choisir un modèle probabiliste.} Soit $\Omega$ l'ensemble de tous les membres du club l'univers de notre expérience. Il semble naturel de choisir la loi uniforme (équiprobabilité) dans cette situation chaque membre ayant autant de chance qu'un autre d'être choisi.
			
			Notons $A$ l'événement \og le gagnant a $22$ ans\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
			
			Il y a donc équiprobabilité, $A$ est réalisé par $6$ issues {\color{orange}($6$ membres ont $22$ ans)} et l'univers comporte $60$ issues {\color{orange}(il y a $60$ membres dans le club)}, donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(A) &= \frac{6}{60}\\
				&= \frac{1}{10}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La probabilité qu'un membre de $22$ ans soit choisi est $0,1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité pour que le gagnant ait au moins $18$ ans?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $B$ l'événement \og le gagnant a au moins $18$ ans\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
			
			Il y a équiprobabilité, $B$ est réalisé par $4+8+16+10+6=44$ issues {\color{orange}($44$ membres ont au moins $18$ ans)} et l'univers comporte $60$ issues {\color{orange}(il y a $60$ membres dans le club)}, donc
			
			\begin{align*}
				\mathbb{P}(B) &= \frac{44}{60}\\
				&= \frac{11}{15}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				La probabilité qu'un membre d'au moins $18$ ans soit choisi est $\frac{11}{15}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de CM2, un enseignant commence une séquence d'apprentissage par le problème suivant:
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|}
		\hline
		Il faut $6$ oranges pour obtenir $300\ \mathrm{mL}$ de jus d'orange.
		
		On admet que toutes les oranges fournissent la même quantité de jus.
		
		Quelle quantité de jus peut-on obtenir avec $9$ orange?
		\\
		\hline
	\end{tabularx}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		De quelle notion de mathématique relève ce problème? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Citer trois procédures que l'on peut attendre d'élèves de CM2 pour résoudre ce problème.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Modifier les données numériques de l'énoncé du problème afin d'amener les élèves à utiliser la procédure dite de passage à l'unité.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Dans une séquence ayant pour objectif de calculer avec des multiples de $25$, l'enseignant d'une classe de CE2 donne l'exercice ci-dessous:
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering\arraybackslash}X|}
		\hline
		Le compte est bon: il s'agit de trouver le nombre en gras, ou à défaut un nombre le plus proche possible, en utilisant les nombres situés en dessous. Chacun d'entre eux ne peut utilisé qu'une fois. Il est possible d'utiliser les quatre opérations. \[ \mathbf{98} \] \[ 25\ - \ 10\ - \ 4\ - \ 75\ - \ 50\ - \ 8 \]
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Ci-dessous sont présentées les productions de quatre élèves. Analyser chaque production A, B, C et D en termes de réussites et d'éventuelles erreurs.
		
		\begin{center}
			
			\begin{minipage}{8cm}
				
			\begin{center} Production A \end{center}
			
			\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_04_compte_bon.png}
			
			\end{minipage}
			
			\bigskip
			
			\begin{minipage}{8cm}
				
				\begin{center} Production B \end{center}
				
				\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_05_compte_bon.png}
				
			\end{minipage}
			
			\bigskip
			
			\begin{minipage}{8cm}
				
				\begin{center} Production C \end{center}
				
				\includegraphics[scale=0.25]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_06_compte_bon.png}
				
			\end{minipage}
		
			\bigskip
		
			\begin{minipage}{8cm}
				
				\begin{center} Production D \end{center}
				
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_07_compte_bon.png}
			
			\end{minipage}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quels sont les faits numériques, liés à l'objectif de l'enseignant, connus des élèves C et D.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer un nouvel exercice de \og compte est bon \fg{} ayant pour objectif de réinvestir la connaissance des multiples de $9$ et deux solutions attendues des élèves.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer deux avantages de l'activité \og Le compte est bon\fg{} dans l'apprentissage du calcul mental et deux points de vigilance que doit avoir un enseignant qui propose une activité \og Le compte est bon\fg{}.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Lors d'une séance de calcul en ligne, une enseignante de CM2 propose le calcul suivant: \[ 12,47+2,7 \]
	
	Voici les productions de quatre élèves:
	
	\medskip
	\noindent
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
		\hline
		Amina
		
		\includegraphics[scale=0.13]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_08_amina.png}
		&
		Tony
			
		\includegraphics[scale=0.13]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_09_tony.png}
		\\
		\hline
		Zoé	
		
		\includegraphics[scale=0.13]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_10_zoe.png}
		&
		Ugo
		
		\includegraphics[scale=0.13]{crpe_2019_maths_externe_sujet_2_11_hugo.png}
		\\
		\hline
	\end{tabularx}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En quoi le calcul en ligne est un mode de calcul complémentaire au calcul mental?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour chacun des élèves, expliciter les procédures utilisée set analyser les erreurs éventuelles.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel étayage l'enseignante pourrait-elle proposer à Zoé pour l'aider à corriger l'erreur qu'elle a faite?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}
\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}