%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}	
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2018 sujet 5} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2018 supplémentaire de Paris-Créteil-Versailles.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2018_maths/crpe_2018_maths_externe_sujet_5_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2018_maths/crpe_2018_maths_externe_sujet_5_sujet.pdf}{pdf}.
				
		\medskip{\color{red}Merci à M. Asius, M. Pic (son \href{http://clementpic-guitare.blogspot.com/}{blog} et sa \href{http://www.facebook.com/coursguitareclement}{page Facebook}) et M. Gineste pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Le propriétaire d’une maison individuelle souhaite construire dans son jardin une dépendance du type abri de jardin.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1.3]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (D) at (5,0);
			\coordinate (F) at (0,2.6);
			\coordinate (G) at (5,2.6);
			\coordinate (O) at (7,1);
			\coordinate (C) at (9,2);
			\coordinate (H) at (7,3.6);
			\coordinate (K) at (9,4.6);
			\coordinate (B) at (4,2);
			\coordinate (E) at (4,4.6);
			\coordinate (L) at (7,5.1);
			\coordinate (M) at (2,5.1);
			\fill[red!20] (5,0)--(5,0.25)--(4.75,0.25)--(4.75,0)--(5,0);
			\draw[red] (5,0.25)--(4.75,0.25)--(4.75,0);
			\fill[red!20] (7,1)--(7,1.25)--({7-0.25*2/sqrt(5)},{1.25-0.25*1/sqrt(5)})--({7-0.25*2/sqrt(5)},{1.25-0.25*1/sqrt(5)-0.25})--(7,1);
			\draw[red] (7,1.25)--({7-0.25*2/sqrt(5)},{1.25-0.25*1/sqrt(5)})--({7-0.25*2/sqrt(5)},{1.25-0.25*1/sqrt(5)-0.25});
			\fill[red!20] (5,0)--(5,0.25)--({5+0.25*2/sqrt(5)},{0.25+0.25*1/sqrt(5)})--({5+0.25*2/sqrt(5)},{0.25+0.25*1/sqrt(5)-0.25})--(5,0);
			\draw[red] (5,0.25)--({5+0.25*2/sqrt(5)},{0.25+0.25*1/sqrt(5)})--({5+0.25*2/sqrt(5)},{0.25+0.25*1/sqrt(5)-0.25});
			\fill[red!20] (7,{1+2.6})--(7,{1.25+2.6})--({7-0.25*2/sqrt(5)},{1.25-0.25*1/sqrt(5)+2.6})--({7-0.25*2/sqrt(5)},{1.25-0.25*1/sqrt(5)-0.25+2.6})--(7,{1+2.6});
			\draw[red] (7,{1.25+2.6})--({7-0.25*2/sqrt(5)},{1.25-0.25*1/sqrt(5)+2.6})--({7-0.25*2/sqrt(5)},{1.25-0.25*1/sqrt(5)-0.25+2.6});
			\fill[red!20] (5,2.6)--({5+0.25*2/sqrt(2.5*2.5+4)},{2.6+0.25*2.5/sqrt(2.5*2.5+4)})--({5+0.25*2/sqrt(2.5*2.5+4)-0.25},{2.6+0.25*2.5/sqrt(2.5*2.5+4)})--({5-0.25},{2.6})--(5,2.6);
			\draw[red] ({5+0.25*2/sqrt(2.5*2.5+4)},{2.6+0.25*2.5/sqrt(2.5*2.5+4)})--({5+0.25*2/sqrt(2.5*2.5+4)-0.25},{2.6+0.25*2.5/sqrt(2.5*2.5+4)})--({5-0.25},{2.6});
			\draw (A)--(D)--(G)--(F)--(A);
			\draw (D)--(O)node[midway,sloped]{$\parallel$};
			\draw (C)--(O)node[midway,sloped]{$\parallel$};
			\draw (H)--(K)node[midway,sloped]{$\parallel$};
			\draw (G)--(H)node[midway,sloped]{$\parallel$};
			\draw (C)--(K);
			\draw (H)--(L);
			\draw[dotted] (H)--(O);
			\draw (F)--(M)--(L);
			\draw (G)--(L)--(K);
			\draw[dashed] (A)--(B)--(C);
			\draw[dashed] (F)--(E)--(K);
			\draw[dashed] (M)--(E)--(B);
			\draw (A) node{$\bullet$};
			\draw (D) node{$\bullet$};
			\draw (F) node{$\bullet$};
			\draw (G) node{$\bullet$};
			\draw (O) node{$\bullet$};
			\draw (C) node{$\bullet$};
			\draw (H) node{$\bullet$};
			\draw (K) node{$\bullet$};
			\draw (B) node{$\bullet$};
			\draw (E) node{$\bullet$};
			\draw (M) node{$\bullet$};
			\draw (L) node{$\bullet$};
			\draw (A) node[below left]{$A$};
			\draw (D) node[below]{$D$};
			\draw (F) node[above left]{$F$};
			\draw (G) node[below right]{$G$};
			\draw (O) node[below right]{$O$};
			\draw (C) node[below right]{$C$};
			\draw (H) node[below right]{$H$};
			\draw (K) node[above right]{$K$};
			\draw (B) node[below]{$B$};
			\draw (E) node[above right]{$E$};
			\draw (M) node[above left]{$M$};
			\draw (L) node[above right]{$L$};
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
	Les dimensions du bâtiment sont les suivantes: $AF = 2,6\ \mathrm{m}$; $AD = 5\ \mathrm{m}$; $DC = 6\ \mathrm{m}$ et $LO = 4,2\ \mathrm{m}$.
	
	On admet que les sept quadrilatères $ABCD$, $ADGF$, $DCKG$, $CKEB$, $BEFA$, $GLMF$ et $KEML$ sont des rectangles.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: le bâtiment.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la surface au sol $ABCD$ du bâtiment.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ABCD)$ de $ABCD$.}
		
		Puisque $ABCD$ est un rectangle
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABCD) &= AD \times DC\\
			&= (5\ \mathrm{m})(6\ \mathrm{m})\\
			&= 5 \times 6\ \mathrm{m} \times \mathrm{m}\\
			&= 30\ \mathrm{m}^2
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(ABCD)=30\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que le volume du bâtiment est $102\ \mathrm{m}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ du bâtiment.}
		
		Pour calculer ce volume remarquons que le bâtiment est formé d'un parallélépipède rectangle et d'un prisme droit. Plus précisément, avec des notations évidentes:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_1 &= \mathscr{V}(ABCDFEKG) + \mathscr{V}(EFGKLM)\\
		\end{align*}
		
		Or $ABCDEFKG$ étant un parallélépipède rectangle:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}(ABCDEFKG) &= AD \times DC \times AF\\
			&= (5\ \mathrm{m})(6\ \mathrm{m})(2,6\ \mathrm{m})\\
			&= 5 \times 6 \times 2,6\ \mathrm{m} \times \mathrm{m} \times \mathrm{m}\\
			&= 78\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		et, $EFGKLM$ étant un prisme droit
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}(EFGKLM) &= {\color{OliveGreen}\mathscr{A}(LGK)} \times {\color{RoyalBlue}FG} \\
			\intertext{Puisque $LH$ est la hauteur de $LGK$ issue de $L$:}
			\mathscr{V}(EFGKLM) &= {\color{OliveGreen}\frac{1}{2} \times LH \times GK} + {\color{RoyalBlue}AD}
			\intertext{Puisque $H \in [LO]$, $LH=LO-HO$ et donc:}
			\mathscr{V}(EFGKLM) &= \frac{1}{2} \times (LO-{\color{orange}HO}) \times {\color{violet}GK} \times AD\\
			&= \frac{1}{2} \times (LO-{\color{orange}AF}) \times {\color{violet}DC} \times AD\\
			&= \frac{1}{2} \times (4,2\ \mathrm{m} - 2,6 \ \mathrm{m}) \times (6\ \mathrm{m}) \times (5\ \mathrm{m})\\
			&= \frac{1}{2} \times (4,2-2,6) \times 6 \times 5 \ \mathrm{m} \times \mathrm{m} \times \mathrm{m}\\
			&= 24\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_1 &= 78\ \mathrm{m}^3 + 24\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_1=102\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}
	
\subsubsection{Partie B: le toit.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Aire de la surface à couvrir.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la longueur $LG$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $LG$.}
			
			$GHL$ est rectangle en $H$, donc d'après le théorème de Pythagore
			
			\begin{align*}
				LG^2 &= GH^2+HL^2 \\
				&= DO^2+(LO-HO)^2\\
				&= \left( \frac{1}{2}DC \right)^2 + (LO-AF)^2\\
				&= \left( \frac{1}{2} \cdot 6 \right)^2 + (4,2-2,6)^2\\
				&= 11,56\\
				\intertext{$LG$ étant une longueur c'est un nombre positif, donc}
				LG &= \sqrt{11,56}\\
				&= 3,4
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$LG=3,4\ \mathrm{m}$
				
			\end{conclusion}				
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que l'aire du toit est $34\ \mathrm{m}^2$.	
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}_1$ du toit.}
			
			Le toit est constitué de deux rectangles donc
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}_1 &= \mathscr{A}(FGLM) + \mathscr{A}(LKEM)\\
				&= 2 \mathscr{A}(FGLM)\\
				&= 2 \times FG \times LG\\
				&= 2 \times AD \times LG\\
				&= 2(5\ \mathrm{m})(3,4\ \mathrm{m})\\
				&= 2\times 5 \times 3,4\ \mathrm{m}\times \mathrm{m}\\
				&= 34\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}_1=34\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
					
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le propriétaire souhaite, pour des raisons de coût, utiliser des tuiles dites \og mécaniques\fg{}
				
		Pour cela, la pente de la surface sur laquelle on pose les tuiles, mesurée par l’angle $\widehat{HGL}$ doit être comprise entre $25\degres$ et $60\degres$.
		
		La pente $\widehat{HGL}$ du toit permet-elle d’utiliser ce type de tuiles?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons une mesure de $\widehat{HGL}$.}
		
		Puisque $HGL$ est rectangle en $G$:
		
		\begin{align*}
			\cos (\widehat{HGL}) &= \frac{HG}{HL}\\
			&= \frac{\frac{DC}{2}}{HL}\\
			&= \frac{\frac{6}{2}}{3,4}\\
			\intertext{Nous en déduisons avec la calculatice une mesure de l'angle:}
			\widehat{HGL} &\approx 28,0724
		\end{align*}
		
		L'angle $\widehat{HGL}$ mesure approximativement $28\degres$ et $25 \leqslant 28 \leqslant 60$, donc
		
		\begin{conclusion}
			
			le propriétaire pourra utiliser des tuiles mécaniques.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le propriétaire opte pour des tuiles plates rectangulaires \og petit moule\fg{} ayant une largeur de $23,5\ \mathrm{cm}$ et une longueur de $32\ \mathrm{cm}$.
		
		Le propriétaire recherche des informations pour estimer le nombre de tuiles à acheter.
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			\item Un site internet estime que pour ce type de tuiles il faut prévoir $20$ tuiles au mètre carré pour prendre en compte les découpes et les chevauchements.
			
			\item Un magazine professionnel estime qu’il faut déterminer le nombre de tuiles nécessaires pour couvrir la surface du toit et prévoir un tiers de tuiles en plus pour prendre en compte les découpes et les chevauchements.
			
		\end{enumerate}
		
		Avec laquelle de ces deux estimations obtient-on le nombre de tuiles le plus élevé?
	
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le nombre maximum de tuiles.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Puisque chaque mètre carré nécessite $20$ tuiles et que la surface du toit mesure $34\ \mathrm{m}^2$: $n_1=34 \times 20= 680$ tuiles seront nécessaires.
			
			\item Déterminons le nombre de tuiles nécessaires pour recouvrir le toit.
			
			La surface d'une tuile est
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_2 &= (23,5\ \mathrm{cm}) \times (32\ \mathrm{cm})\\
			&= \left( 23,5\times \frac{1}{100}\ \mathrm{m} \right) \times \left( 32 \times \frac{1}{100}\ \mathrm{m} \right)\\
			&= 23,5 \times \frac{1}{100} \times 32 \times \frac{1}{100} \ \mathrm{m}\times \times \mathrm{m}\\
			&= 0,0752\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			Pour recouvrir le toit le nombre $n_2$ de tuiles nécessaire est
			
			\begin{align*}
			n_2 &= \frac{34}{0,0752}\\
			&\approx 452,127
			\end{align*}
			
			En arrondissant $n_2 \approx 452$.
			
			\medskip
			Mais il faut augmenter ce nombre de un tiers donc le nombre total de tuile doit être
			
			\begin{align*}
			n_3 &= n_2+ \frac{1}{3}n_2\\
			&= n_2 \left( 1 +\frac{1}{3} \right)\\
			&\approx 602,8368 \\
			&\approx 603
			\end{align*}			
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			C'est avec l'estimation du site internet que l'on obtient le plus de tuiles.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour faire couvrir le toit avec ces tuiles, le propriétaire hésite entre deux possibilités:
		
		\textbf{Possibilité 1}: faire effectuer la totalité des travaux par une entreprise. Elle demande $60\ \text{\euro}$ pour couvrir un mètre carré de toit, matériaux compris.
		
		\textbf{Possibilité 2}: il achète lui-même $700$ tuiles (il décide d’en prendre un peu plus pour plus de sécurité) au prix de $1,35\ \text{\euro}$ l’unité et fait effectuer la pose par une entreprise qui facture $900\ \text{\euro}$ pour cette pose.
		
		\medskip
		Quelle possibilité coûte le moins cher au propriétaire?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le montant des deux possibilités.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Première possibilité.
			
			La surface du toit mesure $34\ \mathrm{m}^2$ et chaque mètre carré coûterait $60\ \text{\euro}$, donc le coût total serait de $60 \times 34= 2010\ \text{\euro}$.
			
			\item Seconde possibilité.
			
			Il faut compter les $700$ tuiles à $1,35\ \text{\euro}$ l'une auxquels s'ajoutent les $900\ \text{\euro}$ pour la pose. Le coût total serait alors de $700 \times 1,35+900=1845\ \text{\euro}$.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			La possibilité 2 coûte le moins cher.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: les frontons.}

\begin{sujet}
	
	Pour décorer la partie de forme triangulaire le propriétaire décide de poser une poutre verticale tous les mètres pour obtenir un effet de \og colombage\fg{} sur les deux frontons.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=1,yscale=0.5]
			\coordinate (G) at (0,0);
			\coordinate (R) at (2,0);
			\coordinate (P) at (2,2);
			\coordinate (H) at (3,0);
			\coordinate (L) at (3,3);
			\coordinate (K) at (6,0);
			\draw (G)--(K)--(L)--(G);
			\draw (1,0)--(1,1);
			\draw (R)--(P);
			\draw (H)--(L);
			\draw (4,0)--(4,2);
			\draw (5,0)--(5,1);
			\draw (G) node{$\bullet$};
			\draw (G) node[above left]{$G$};
			\draw (R) node{$\bullet$};
			\draw (R) node[below]{$R$};
			\draw (P) node{$\bullet$};
			\draw (P) node[above left]{$P$};
			\draw (H) node{$\bullet$};
			\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (L) node{$\bullet$};
			\draw (L) node[above]{$L$};
			\draw (K) node{$\bullet$};
			\draw (K) node[above right]{$K$};
			\draw[>=latex,<->] (0,-1)--(6,-1) node[midway,below]{$6\ \mathrm{m}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la longueur $PR$. On donnera le résultat en mètre, arrondi au centimètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $PR$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Configuration de Thalès.}
			
			Les points $G$, $P$, $L$ d'une part et $G$, $R$, $H$ sont alignés dans cet ordre.
			
			\item {\color{orange}Hypothèse du théorème de Thalès.}
			
			Par construction les droites $PR)$ et $(LH)$ sont parallèles.
			
		\end{enumerate}
		
		Des points précédents nous déduisons, grâce au théorème de Thalès, \[ \frac{PR}{LH}= \frac{GR}{GH}. \]
		
		Visiblement par construction $\frac{GR}{GH} = \frac{2}{3}$.
		
		Comme de plus $LH=LO-HO=LO-FA=4,2 - 2,6=1,6\ \mathrm{m}$, nous en déduisons successivement
		
		\begin{align*}
			\frac{PR}{1,6} &= \frac{2}{3}\\
			\frac{PR}{1,6} {\color{orange}\cdot 1,6} &= \frac{2}{3} {\color{orange}\cdot 1,6}\\
			PR &= \frac{16}{15}\\
			&= 1,0666\dots 
		\end{align*}
		
		Enfin
		
		\begin{conclusion}
			
			$PR\approx 1,07\ \mathrm{m}$, en arrondissant au centimètre.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le vendeur affirme que le propriétaire aura besoin d’une longueur de bois égale à trois fois la longueur $LH$ pour décorer un fronton. A-t-il raison ?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=1,yscale=0.5]
			\coordinate (G) at (0,0);
			\coordinate (R) at (2,0);
			\coordinate (P) at (2,2);
			\coordinate (H) at (3,0);
			\coordinate (L) at (3,3);
			\coordinate (K) at (6,0);
			\coordinate (S) at (1,0);
			\coordinate (T) at (1,1);
			\draw (G)--(K)--(L)--(G);
			\draw (1,0)--(1,1);
			\draw (R)--(P);
			\draw (H)--(L);
			\draw (4,0)--(4,2);
			\draw (5,0)--(5,1);
			\draw (G) node{$\bullet$};
			\draw (G) node[above left]{$G$};
			\draw (R) node{$\bullet$};
			\draw (R) node[below]{$R$};
			\draw (P) node{$\bullet$};
			\draw (P) node[above left]{$P$};
			\draw (H) node{$\bullet$};
			\draw (H) node[below]{$H$};
			\draw (L) node{$\bullet$};
			\draw (L) node[above]{$L$};
			\draw (K) node{$\bullet$};
			\draw (K) node[above right]{$K$};
			\draw[>=latex,<->] (0,-1)--(6,-1) node[midway,below]{$6\ \mathrm{m}$};
			\draw (S) node{$\bullet$};
			\draw (S) node[below]{$S$};
			\draw (T) node{$\bullet$};
			\draw (T) node[above left]{$T$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		En raisonnant comme à la question précédente il est aisé d'établir que $ST= \frac{1}{3} LH$ et $PR= \frac{2}{3} LH$ donc $ST+PR=LH$,. Par symétrie il en sera de même sur la partie droite.
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faudra effectivement $3$ fois le longueur $LH$ de bois pour décorer un fronton.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D: maquette.}

\begin{sujet}
	
	Léo le fils du propriétaire a réalisé une maquette du bâtiment à l’échelle. La surface au sol de sa maquette, correspondant au rectangle $ABCD$, a une aire de $480\ \mathrm{cm}^2$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer l’échelle de la maquette.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'échelle de la maquette.}
		
		Déterminons la proportion, $p_1$, de la surface au sol de la maquette par rapport à celle du bâtiment.
		
		\begin{align*}
			p_1 &= \frac{480\ \mathrm{cm}^2}{30\ \mathrm{m}^2} \\
			&= \frac{480 \left( \frac{1}{100}\ \mathrm{m} \right)^2}{30\ \mathrm{m}^2}\\
			&= \frac{480 \times \left( \frac{1}{100} \right)^2\ \mathrm{m}^2}{30\ \mathrm{m}^2}\\
			&= \frac{480 \times \left( \frac{1}{100} \right)^2}{30}\\
			&= 0,0016
		\end{align*}
		
		Par conséquent la proportion $p_2$ des longueurs de la maquette par rapport à celles du bâtiment est
		
		\begin{align*}
			p_2 &= \sqrt{p_1}\\
			&= \sqrt{0,0016}\\
			&=0,04\\
			&= \frac{4}{100}
		\end{align*}
		
		Finalement 
		
		\begin{conclusion}
			
			La maquette est à l'échelle $4/100$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire le volume, en centimètre cube, de la maquette.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_2$ de la maquette.}
		
		Puisque le rapport de proportionnalité entre les longueurs de la maquette et du bâtiment est de $0,04$, le rapport de proportionnalité entre les volumes est
		
		\begin{align*}
			p_3 &= p_2^3\\
			&= 0,04^3\\
			&= 6,4\times 10^{-5}
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_2 &= \mathscr{V}_1 \times p_3\\
			&= (102\ \mathrm{m}^3) \times 6,4 \times 10^{-5}\\
			&= 102 \times 6,4 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}^3\\
			&= 0,006528\ \mathrm{m}^{3}\\
			&=0,006528\times \left( 100\ \mathrm{cm}\right)^{3}\\
			&= 0,006528\times 100^3\  \mathrm{cm}^{3}\\
			&= 6528\ \mathrm{cm}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_2 = 6528\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Pour chacun des problèmes suivants, indiquer laquelle des cinq réponses proposées répond à la question posée.
	
	Aucune justification n’est attendue.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Il y avait cinq perroquets dans la cage et leur prix moyen était de $5000\ \text{\euro}$. Un jour, pendant le
		nettoyage de la cage, le plus beau des perroquets s’est envolé. Le prix moyen des quatre perroquets restants est maintenant de $4000\ \text{\euro}$. Combien coûtait le perroquet qui s’est envolé?
		
		\begin{enumerate}[A: ]
			\item $\np{6000}\ \text{\euro}$
			\item $\np{100000}\ \text{\euro}$
			\item $\np{5500}\ \text{\euro}$
			\item $\np{2000}\ \text{\euro}$
			\item $\np{9000}\ \text{\euro}$
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $x$ le prix, inconnu du perroquet envolé.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $x$.}
		
		{\color{orange}Il s'agit d'une situation classique de moyenne de moyennes.}
		
		\medskip
		La moyenne est la somme des prix des perroquet divisé par le nombre total de perroquets. Autrement dit:
		
		\begin{align*}
			\frac{4 \times 4000+x}{5} &= 5000\\
			\intertext{{\color{orange}Il s'agit d'une équation linéiare du premier degré nous la résolvons en isolant l'inconnue $x$.} Cette équation équivaut successivement à:}
			\frac{16000+x}{5} {\color{orange}\cdot 5} &= 5000 {\color{orange}\times 5}\\
			16000+x &= 25000\\
			16000+x {\color{RoyalBlue}-16000} &= 25000-{\color{RoyalBlue}16000}\\
			x &= 9000
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse E.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Michel a $42$ cubes identiques dont la longueur d’une arête est de $1\ \mathrm{cm}$. Il construit un pavé en utilisant tous les cubes. Le périmètre de la face posée sur la table est de $18\ \mathrm{cm}$. Quelle est la hauteur du pavé?
		
		\begin{enumerate}[A: ]
			\item $1\ \mathrm{cm}$
			\item $2\ \mathrm{cm}$
			\item $3\ \mathrm{cm}$
			\item $4\ \mathrm{cm}$
			\item $5\ \mathrm{cm}$
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item {\color{orange}Analyse.}
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item La longueur $l$ et la profondeur $p$ du pavé vérifient $2(l+p) =18$ donc $1\leqslant l \leqslant 8$. De plus $l$ est un diviseur de $42$ donc $l \in \{ 1; 2; 3; 6; 7 \}$.
				
				\item De $2(l+p)=18$ nous déduisons également $p=9-l$.
			\end{enumerate}
			
			Des deux points précédents nous déduisons le tableau
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					$l$ & $1$ & $2$ & $3$ & $6$ & $7$
					\\
					\hline
					$p=9-l$ & $8$ & $7$ & $6$ & $3$ & $2$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			Mais $p\ne 8$ car $p$ est un diviseur de $42$.
			
			De même $l=3$ et $p=6$ (ou $l=6$ et$p=3$) est impossible car $3 \times 6$ n'est pas un diviseur de $42$.
			
			Ainsi, nécessairement, $l=2$ et $p=7$ ou $l=7$ et $p=2$. Dans ces deux cas la hauteur $h$ du pavé est: $h=\frac{42}{lp}= \frac{42}{2 \times7}= 3$.
			
			\item {\color{orange}Synthèse.}
			
			Les dimensions $l=2$, $p=7$ et $h=3$ (ou $l=2$, $p=7$ et $h=3$) conviennent effectivement.
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Réponse C.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Raphaël met $15$ minutes pour traverser la forêt et revenir sans s’arrêter. Sa vitesse moyenne à l’aller est de $5$ mètres par seconde et au retour de $4$ mètres par seconde. Quelle est la largeur de la forêt traversée ?
		
		\begin{enumerate}[A: ]
			\item $1,8\ \mathrm{km}$
			\item $2\ \mathrm{km}$
			\item $2,5\ \mathrm{km}$
			\item $4\ \mathrm{km}$
			\item $4,05\ \mathrm{km}$
		\end{enumerate}
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{correction}
	
	Notons $x$ la largeur de la forêt exprimée en mètres.
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $x$.}
	
	D'après l'énoncé
	
	\begin{align*}
		15\ \mathrm{mn} &= \frac{x\ \mathrm{m}}{5\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}} + \frac{x\ \mathrm{m}}{4\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}}\\
		\intertext{Cette équation équivaut successivement à:}
		15(60\ \mathrm{s}) &= \frac{x}{5} + \frac{x}{4} \ \mathrm{s}\\
		900\ \mathrm{s} &= \frac{9}{20} x\\
		\frac{20}{9} \times 900 &= x\\
		2000 &=x
	\end{align*}
	
	La largeur de la forêt est de  $2000\ \mathrm{m}$, c'est-à-dire $2\ \mathrm{km}$.
	
	\begin{conclusion}
		
		Réponse B.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Pour faire de la confiture, Grand-père ajoute à des mirabelles une masse de sucre égale aux quatre cinquièmes de la masse des fruits dénoyautés. La cuisson fait perdre $25\ \%$ de la masse du mélange. Après la cuisson, la confiture est conditionnée dans des pots de $500\ \mathrm{g}$. Les pots doivent être remplis pour une bonne conservation
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Aujourd’hui Grand-père a récolté des mirabelles; après les avoir dénoyautées, il a obtenu $5\ \mathrm{kg}$	de fruits. Combien de pots de confiture peut-il remplir?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous allons faire le raisonnement pour un nombre $x$ quelconque de kilogrammes de fruits car les questions suivantes nécessitent les mêmes calculs.}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons le nombre de pot obtenus avec $x$ kilogrammes de fruits.}
		
		La masse obtenue après ajout d'une masse de sucre égale aux quatre cinquième de la masse de fruit:
		
		\begin{align*}
			m_s(x) &= x+ \frac{4}{5}x\\
			&= \left( 1 + \frac{4}{5} \right) x\\
			&= 1,8x
		\end{align*}
		
		La cuisson faisant perdre $25\ \%$ de la masse, la masse après cuisson est de
		
		\begin{align*}
			m_c(x) &= \left( 1 + \frac{-25}{100} \right) m_s(x)\\
			&= 0,75 \times 1,8x\\
			&= 1,35 x
		\end{align*}
		
		Ainsi pour $5\ \mathrm{kg}$,
		
		\begin{align*}
			m_c(5) &= 1,35 \times 5\ \mathrm{kg}\\
			&= 6,75\ \mathrm{kg}\\
			&= 6,75 (1000\ \mathrm{g})\\
			&= 6750\ \mathrm{g}
		\end{align*}
		
		Pour connaître le nombre de pots nécessaires procédons à une division euclidienne \[ 6750= 13 \times 500 +250. \] 
		
		\begin{conclusion}
			
			Il peut remplir $13$ pots avec $5\ \mathrm{kg}$ de fruits.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La masse de confiture obtenue par le procédé suivi par Grand-père est-elle proportionnelle à la masse de mirabelles dénoyautées? Justifier votre réponse.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Nous avons obtenus à la question précédente que la masse de confiture obtenue pour $x$ kilogrammes de fruits est $m_c(x)=7,75x$. Il s'agit d'une application linéaire donc
		
		\begin{conclusion}
			
			la masse de confiture est proportionnelle à la masse de fruits.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Grand-père souhaite obtenir $18$ pots de confiture. Déterminer la masse $m$ minimum de mirabelles dénoyautées que Grand-père devra prévoir. On arrondira la masse à l’hectogramme près.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la masse $x$ de fruit nécessaire pour remplir $18$ pots.}
		
		Chaque pot contenant $500\ \mathrm{g}$, il faut donc $18 \times 500\ \mathrm{g}= 9000\ \mathrm{g}= 9 \ \mathrm{kg}$.
		
		Il faut donc que
		
		\begin{align*}
			m_c(x) &= 9\\
			\intertext{ce qui équivaut successiveent à:}
			1,35x &= 9\\
			\frac{1,35x}{\color{orange}1,35} &= \frac{9}{\color{orange}1,35}\\
			x &= \frac{20}{3} \\
			x &= 6,666\dots
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La masse de fruits à prévoir est de $6,7\ \mathrm{kg}$ (en arrondissant à l'hectogramme).
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Le programme ci-dessous est utilisé.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2018_maths_externe_sujet_5_01_scratch.png}
		
	\end{center}
	
	On rappelle qu’une \og liste\fg{} est une suite d’éléments, ici une suite de nombres. Par exemple, $(17 ; 245 ; 32)$ est une liste de trois nombres.
	
	On rappelle également que la fonction \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2018_maths_externe_sujet_5_02_modulo_1.png}, où $a$ et $b$ sont des entiers naturels, renvoie le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$.
	
	Ainsi, \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2018_maths_externe_sujet_5_03_modulo_2.png}, renvoie le nombre $1$ car $10 = 3 \times 3 + \mathbf{1}$, et \includegraphics[scale=0.3]{crpe_2018_maths_externe_sujet_5_04_modulo_3.png}, renvoie le nombre $0$ car $35 = 5 \times 7 + \mathbf{0}$.
	
\end{sujet}	

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Que va contenir la liste \og résultats\fg{} une fois le programme exécuté, si l’utilisateur entre le nombre $4$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Dire que le reste de la division euclidienne de $n$ par $i$ est $0$ signifie que $i$ est un diviseur de $n$.
		
		Ainsi la liste \emph{résultats} va contenir les diviseurs de $4$.
		
		\begin{conclusion}
			
			\emph{réponses} est la liste $(1,2,4)$.
			
		\end{conclusion}	
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’utilisateur entre un nombre entier naturel non nul.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que va contenir la liste \og résultats\fg{} une fois le programme exécuté?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				\emph{réponses} est la liste des diviseur de l'entier naturel non nul entré.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que peut-on dire sur le nombre entré par l’utilisateur si la liste ne contient qu’un nombre une fois le programme exécuté?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le seul entier naturel qui n'est qu'un seul diviseur est $1$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Si la liste ne contient qu'un nombre, alors l'entier entré était $1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Que peut-on dire sur le nombre entré par l’utilisateur si la liste contient exactement deux nombres une fois le programme exécuté?
			
		\end{sujet}
				
		\begin{correction}
			
			Un entier naturel qui n'admet que deux diviseurs est un nombre premier.
			
			\begin{conclusion}
				
				Si la liste contient deux nombres, alors l'entier entré était un nombre premier.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	On a tracé un segment de $6,5\ \mathrm{cm}$. À partir de ce segment, on cherche à construire un triangle en utilisant les valeurs obtenues par le lancer de deux dés cubiques équilibrés de couleurs différentes dont les 6 faces sont numérotées de $1$ à $6$. La valeur obtenue par chacun des deux dés déterminera les longueurs, en centimètre, des deux autres côtés du triangle.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le lancer des dés donne les nombres \og 4 \fg{} et \og 5 \fg{}. Construire le triangle que ce lancer permet d’obtenir.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (6.5,0);
				\draw[blue,dashed][samples=100,domain=35:70] plot({4*cos(\x )},{4*sin(\x )});
				\draw[blue,dashed][samples=100,domain=130:155] plot({6.5+5*cos(\x )},{5*sin(\x )});
				\coordinate (C) at (2.565,3.07);
				\draw (A)--(B)--(C)--(A);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle condition doivent remplir les deux longueurs obtenues avec les dés pour que le triangle soit constructible?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il faut que l'inégalité triangulaire soit vérifiée. Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			il faut que la somme des deux nombres obtenus soit supérieure ou égale à $6,5$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité d’obtenir un triangle constructible en effectuant cette expérience aléatoire?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Modélisons le lancé de deux dés. 
		
		Les issues sont des couples d'entiers compris entre $1$ et $6$. L'univers est donc l'ensemble de ces couples.
		
		Le fait que les dés soient équilibrés nous incitent à modéliser la situation avec la loi uniforme c'es-à-dire l'équiprobabilité.
		
		\medskip
		Dire que le triangle est constructible signifie que la somme des nombres obtenus est supérieure ou égale à $6,5$. Notons $A$ l'événement correspondant.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		{\color{orange}Puisqu'il y a équiprobabilité le calcul de probabilité se ramène à un dénombrement.}
		
		Pour déterminer le nombre d'issues qui réalisent $A$ représentons toutes les sommes possible sous forme d'un tableau.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
				\\
				\hline
				$1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $\color{RoyalBlue}7$
				\\
				\hline
				$2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $\color{RoyalBlue}7$ & $\color{RoyalBlue}8$
				\\
				\hline
				$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $\color{RoyalBlue}7$ & $\color{RoyalBlue}8$ & $\color{RoyalBlue}9$
				\\
				\hline
				$4$ & $5$ & $6$ & $\color{RoyalBlue}7$ & $\color{RoyalBlue}8$ & $\color{RoyalBlue}9$ & $\color{RoyalBlue}10$
				\\
				\hline
				$5$ & $6$ & $\color{RoyalBlue}7$ & $\color{RoyalBlue}8$ & $\color{RoyalBlue}9$ & $\color{RoyalBlue}10$ & $\color{RoyalBlue}11$
				\\
				\hline
				$6$ & $\color{RoyalBlue}7$ & $\color{RoyalBlue}8$ & $\color{RoyalBlue}9$ & $\color{RoyalBlue}10$ & $\color{RoyalBlue}11$ & $\color{RoyalBlue}12$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Ainsi il y a équiprobabilité, $A$ est réalisé par $21$ issues et l'univers comporte $36$ issues donc
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A) &=\frac{21}{36}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(A)= \frac{7}{12}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On sait que l’on a obtenu un triangle constructible en effectuant cette expérience aléatoire.
		
		Quelle est la probabilité pour qu’il soit isocèle?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}L'expression \og On sait que\fg{} suggère qu'il faut utiliser une probabilité conditionnelle.}
		
		Notons $B$ l'événement \og obtenir un triangle isocèle\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_A(B)$.}
		
		$B= \{ (1,1),\ (2,2),\ (3,3),\ (4,4),\ (5,5),\ (6,6)\ \}$.
		
		Donc: $A \cap B= \{ (4,4),\ (5,5),\ (6,6)\ \}$.
		
		Il y a équiprobabilité, $A\cap B$ est réalisé par $3$ issues et l'univers comporte $36$ issues donc:
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(A \cap B) &= \frac{3}{36}
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_A(B) &= \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(A)}\\
			&= \frac{\frac{3}{36}}{\frac{21}{36}}\\
			&= \frac{3}{36} \left( \frac{21}{36} \right)^{-1}\\
			&= \frac{3}{36}\cdot \frac{36}{21} \\
			&= \frac{3}{21}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_A(B)=\frac{1}{7}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		{\color{orange}
			Il est possible d'avoir une approche plus élémentaire en considérant qu'il s'agit d'un changement de modélisation.
			
			Dans cette nouvelle modélisation l'univers est formé des couples d'entiers compris entre $1$ et $6$ dont la somme est supérieure à $7$ (il s'agit des cas de triangles constructibles). Il y a équiprobabilité. Cet univers contient $21$ issues (correspondant au nombres en bleu du tableau de la question précédente).
			
			L'événement \og le triangle est isocèle \fg{} est réalisé par $3$ issues donc \[ \mathbb{P}_A(B)= \frac{3}{21}. \]
		}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Cette partie est composée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le problème suivant est proposé à une classe de CM2.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{10cm}|}
				\hline
				Une boîte de sucres contient des morceaux de sucre tous identiques.
				\\
				\begin{center}
					
					\begin{tabular}{|m{8cm}|}
						\hline
						$30$ morceaux de sucre pèsent $240$ grammes.
						
						$50$ morceaux de sucre pèsent $400$ grammes.
						
						Dans chaque cas, complète la réponse.
						\\
						\hline
					\end{tabular}
					
				\end{center}
				
				Question $1$: $60$ morceaux de sucre pèsent...
				
				Question $2$: $80$ morceaux de sucre pèsent...
				
				Question $3$: $20$ morceaux de sucre pèsent...
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
		Quelle est la principale notion du programme de cycle 3 abordée par ce problème?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici huit réponses d’élèves à ce problème, codées de A à H.
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|m{3cm}|}
			\hline
			& Réponse de l’élève & Écrits de recherche
			\\
			\hline
			A & $60$ morceaux de sucre pèsent ... $480$ grammes & $240 \times 2 = 480$
			\\
			\hline
			B & $60$ morceaux de sucre pèsent ...480 grammes & $400 + 80 = 480$
			\\
			\hline
			C & $60$ morceaux de sucre pèsent ...$\np{24 000}$ grammes & $400 \times 60 = \np{24 000}$
			\\
			\hline
			D & $20$ morceaux de sucre pèsent ...$160$ grammes & $400-240 =160$
			\\
			\hline
			E & $20$ morceaux de sucre pèsent ...$160$ grammes & $240 : 30 = 8$ \newline $20 \times 8=160$
			\\
			\hline
			F & $20$ morceaux de sucre pèsent ...$160$ grammes & $60:3=20$ \newline $480:3=160$
			\\
			\hline
			G & $20$ morceaux de sucre pèsent ...$230$ grammes & $240-10 = 230$
			\\
			\hline
			H & $80$ morceaux de sucre pèsent ...$640$ grammes & $240 + 400 = 640$
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Deux des réponses sont erronées. Les repérer et les analyser.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyser et classer les procédures des autres réponses.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’enseignant souhaite amener ses élèves à recourir à la procédure de retour à l’unité. Le problème suivant figure dans leur manuel:
		
		\og Pour la fête de fin d’année de l’école de rugby, on vend des paquets de chocolat. Karim achète $5$ paquets et paie $8 \ \text{\euro}$. Dellia veut acheter $15$ paquets, combien va-t-elle payer?\fg{}.
		
		Proposer une modification des données de cet énoncé pour lui permettre d’atteindre cet objectif.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Lors d’une séance de calcul, l’enseignant relève ces quatre réponses d’élèves:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{6cm}|m{6cm}|}
			\hline
			\[ \text{a. } 2,3 \times 10=2,30 \] & \[ \text{b. } \frac{1}{4}= 1,4 \]
			\\
			\hline
			\[ \text{c. } 45,6 < 45,13 \] & \[ \text{d. } 2,15 +17,2 = 19;17 \]
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour chaque réponse d’élève, émettre une conjecture sur le raisonnement erroné qui a pu conduire à l’erreur faite.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer deux situations de remédiation pour amener l’élève qui a donné la réponse c. à comprendre son erreur.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de CM2, un enseignant propose le problème ci-dessous:
	
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{13cm}|}
		\hline
		\begin{tabular}{m{4cm}m{4cm}m{4cm}}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2018_maths_externe_sujet_5_05_pesee_1.png}
			\end{center}
			&
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2018_maths_externe_sujet_5_06_pesee_2.png}
			\end{center}
			&
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2018_maths_externe_sujet_5_07_pesee_3.png}
			\end{center}
		\end{tabular}
		\\
		En utilisant les informations données par ces trois dessins, détermine combien pèsent Dédé, le petit Francis et le chien Boudin.
		\\
		\hline		
	\end{tabular}
	
	\hfill {\tiny D’après Deledicq A. et Missenard C., \emph{Encyclopédie Kangourou des mathématiques au collège}, ACL éditions, 1996.}
	
	\medskip
	Dans les programmes de mathématiques pour le cycle 3, les six compétences travaillées en mathématiques sont les suivantes : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer.
	
	\medskip
	Deux productions d’élèves sont présentées ci-dessous.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les productions de chaque élève au regard des deux compétences communiquer et raisonner.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En quoi les deux élèves ont-ils mobilisé la compétence modéliser?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		Production de Nina:
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2018_maths_externe_sujet_5_08_nina.png}
		
		\medskip
		Production de Yohan:
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2018_maths_externe_sujet_5_09_yohan.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\node [shading = axis,rectangle, left color=blue, right color=blue!30!white,shading angle=135, anchor=north, minimum width=\paperwidth, minimum height=5.5cm] (box) at (current page.north){};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}