%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2018 sujet 3} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}
	
	\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2018 groupe 3.}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2018_maths/crpe_2018_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2018_maths/crpe_2018_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
		\emph{$5$ points au maximum pourront être retirés pour tenir compte de la correction syntaxique et de la
		qualité écrite de la production du candidat.}
		
		\emph{Une note globale égale ou inférieure à 10 est éliminatoire.}
		
	\end{sujet}
	
\subsection{\color{purple}Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Une piste d'athlétisme est formée de huit couloirs. La largeur de chaque couloir est de $1,22$ mètre. Chacun des neuf bords des huit couloirs est composé de deux lignes droites de $100$ mètres et de deux demi-cercles. Le couloir $1$ est celui le plus à l'intérieur, le $8$ étant celui
	le plus à l'extérieur. Le bord intérieur du couloir $1$ est composé de deux lignes droites de $100$ mètres et de deux demi-cercles de rayon $31,83$ mètres.
	
	Dans tout l’exercice on négligera la largeur des bandes de peinture délimitant les couloirs. Pour les courses de sprint ($100\ \mathrm{m}$, $200\ \mathrm{m}$ ou $400\ \mathrm{m}$), il y a huit coureurs et chacun occupe
	un couloir.
	
	Un coureur devant rester dans son couloir tout au long de la course, on considère que la distance qu'il parcourt est celle correspondant à la ligne la plus intérieure de son couloir.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\draw(0,0)node{\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2018_maths_externe_sujet_3_01_stade.png}};
			\draw (-2.3,0.4)node[fill=white,rotate=270]{\footnotesize $31,83\ \mathrm{m}$};
		\end{tikzpicture}
				
	\end{center}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que la distance d’un tour de piste complet parcourue par le coureur du couloir $1$ est d’environ $400\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la longueur, $L_1$, d'un tour complet de la piste $1$.}
		
		La piste $1$ est formée d'un cercle de rayon $r=31,83\ \mathrm{m}$ et de deux lignes droites de longueurs $100\ \mathrm{m}$.
		
		Donc
		
		\begin{align*}
			L_1 &= 2\pi r +2\times 100\\
			&= 2 \pi \times (31,83\ \mathrm{m}) +2 \times (100\ \mathrm{m})\\
			&= 2 \pi \times 31,83 +2 \times 100\ \mathrm{m})\\
			&\approx 399,993\ \mathrm{m}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$L_1 \approx 400\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dessiner le couloir $n^{\circ}1$ (avec ses deux bords) à l’échelle $1/1200$. Indiquer les calculs effectués pour réaliser la construction.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Dessinons le premier couloir à l'échelle.}
		
		La longueur $31,83\ \mathrm{m}$ en taille réelle est représentée par la longueur
		
		\begin{align*}
			\frac{1}{1200} \times 31,83\ \mathrm{m} &= \frac{1}{1200} \times 31,83 {\color{orange}\times 1\ \mathrm{m}}\\
			&= \frac{1}{1200}\times 31,83 {\color{orange}\times 100\ \mathrm{cm}}\\
			&= \frac{1}{12}\times 31,83\ \mathrm{cm}\\
			&= 2,6525\ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		De même le rayon incluant la largeur du couloir devient
		
		\begin{align*}
			\frac{1}{1200} \times (31,83+1,22)\ \mathrm{m} &= \frac{1}{12}\times 33,05\ \mathrm{cm}\\
			&\approx 2,75416\ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		De même les $100\ \mathrm{m}$ seront représentés par une longueur de
		
		\begin{align*}
		\frac{1}{1200} \times 100\ \mathrm{m} &= \frac{1}{12} \times 100 \ \mathrm{cm}\\
		&= \frac{25}{3}\ \mathrm{cm}\\
		&= 8,333\dots\ \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		Enfin voici la représentation de la piste $1$ à l'échelle $1/1200$. {\color{orange}En fait ce dessin est encore réduit à l'échelle $7/10$ par rapport à ce qui est attendu par le sujet.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
			\def\cent{25/3};
			\def\rint{2.6525};
			\def\rext{2.75416};
			\coordinate (O) at(0,0);
			\draw (O) node{$\boldsymbol{\times}$};
			\draw[dashed][samples=100,domain=-3:13] plot({\x},0);
			\draw[dashed][samples=100,domain=-3:3] plot(0,{\x});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=90:270] plot({\rint * cos(\x)},{\rint * sin(\x)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=90:270] plot({\rext * cos(\x)},{\rext * sin(\x)});
			\coordinate (P) at({\cent},0);
			\draw (P) node{$\boldsymbol{\times}$};
			\draw[dashed][samples=100,domain=-3:3] plot({\cent},{\x});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-90:90] plot({\cent+\rint * cos(\x)},{\rint * sin(\x)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=-90:90] plot({\cent+\rext * cos(\x)},{\rext * sin(\x)});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:{\cent}] plot({\x},{\rint});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:{\cent}] plot({\x},{\rext});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:{\cent}] plot({\x},{-\rint});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:{\cent}] plot({\x},{-\rext});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On étudie dans les questions ci-dessous la configuration d’une course de $200\ \mathrm{m}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliquer pourquoi il y a un décalage au départ d’une course de $200\ \mathrm{m}$ comme sur la photographie ci-dessous:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2018_maths_externe_sujet_3_02_photographie.png}
			
		\end{center}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les coureur situés à l'extérieur du virage parcourent une plus grande distance, dans le virage, que les coureurs situés plus à l'intérieur.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur la représentation précédente,
		
		\begin{itemize}
			
			\item le point $A$ correspond à la position de départ du coureur dans le couloir $1$;
			\item le point $P$ correspond à la position de départ du coureur dans le couloir $6$. Pour ce coureur, le décalage correspond à la longueur de l'arc de cercle de centre $O$ et qui a pour extrémités le point $P$ et le point de la ligne $6$ situé sur la ligne \og Départ \fg{}.
		
		\end{itemize}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le décalage du coureur du couloir $6$ au centimètre près. 
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le décalage sur la ligne $6$.}
			
			Puisqu'il y a $5$ couloirs de largeur $1,22\ \mathrm{m}$ avant d'atteindre le point $P$
			
			\begin{align*}
				OP &= OA+(6-1)\times 1,22\\
				&= 31,83+5 \times 1,22\\
				&= 37,93
			\end{align*}
			
			Le demi-cercle de rayon $[OP]$ a donc une longueur, en mètres, de 
			
			\begin{align*}
				L_2 &= \frac{1}{2} \times 2 \pi \times OP\\
				&= \pi 37,93\ \mathrm{m}\\
				&\approx 119,1606\ \mathrm{m}
			\end{align*}
			
			Puisque la longueur du demi-cercle de rayon $[OA]$ est de $100\ \mathrm{m}$, le décalage, $\Delta_6$, exprimé en mètres, pour la ligne $6$ est
			
			\begin{align*}
				\Delta_6 &= L_2-100\\
				&\approx 119,1606 -100\ \mathrm{m}\\
				&\approx 19,1606\ \mathrm{m}
			\end{align*} 
			
			\begin{conclusion}
				
				Le décalage pour le couloir $6$ est de $19,16\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		On peut repérer la position de départ dans le couloir par l’angle $\widehat{AOP}$ que l'on appelle $\alpha$. Cet angle dépend du numéro $n$ du couloir.
		
	\end{sujet}
		
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{1}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la mesure de l’angle $\alpha$ pour le couloir $n^{\circ}6$. On donnera la mesure de l’angle arrondie au dixième de degré.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons une mesure de $\alpha$ en degré.}
			
			{\color{orange}Nous utilisons le fait que la longueur de l'arc de cercle est proportionnelle à l'angle de l'arc.}
			
			\medskip
			\begin{align*}
				\frac{\alpha}{180} &= \frac{\Delta_6}{L_2}\\
				\intertext{Ce qui équivaut successivement à}
				\frac{\alpha}{180} {\color{orange}\times 180} &= \frac{\Delta_6}{L_2}  {\color{orange}\times 180}\\
				\alpha &= \frac{\Delta_6 \times 180}{L_2}\\
				&= \frac{180 \times (L_2-100)}{L_2}\\
				&\approx \frac{180 \times 19,16}{119,16}\\
				&\approx 28,94
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\alpha \approx 29^{\circ}$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
	\begin{sujet}
		
		
		Voici la courbe d’une fonction permettant de déterminer la valeur de $\alpha$ en fonction du couloir $n$.
		
		\hspace*{-1cm}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1.3]
			\def\xY{0};
			\def\yY{0};
			\def\xZ{8.9};
			\def\yZ{8.5};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2,...,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=1:8.7] plot(\x,{(180*(3.1415*(31.83+(\x-1) *1.22)-100)/(3.1415*(31.83+(\x-1) *1.22)))/5});
			\draw(7.5,-0.75)node[fill=white]{Couloir};
			\draw(1,7.5)node[fill=white]{\begin{minipage}{1.6cm} Angle $\alpha$ (en degré)\end{minipage}};
			\end{tikzpicture}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\setcounter{enumii}{2}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Y a-t-il proportionnalité entre le numéro du couloir et la valeur de $\alpha$? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			La courbe représentative de la fonction donnant l'angle en fonction du couloir n'est pas une droite {\color{orange}(ou ne passe pas par l'origine du repère)} donc ce n'est pas une fonction linéaire. Et nous pouvons conclure:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\alpha$ n'est pas proportionnel au numéro du couloir.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique, donner un encadrement d’amplitude $2^{\circ}$ de la valeur de l'angle $\alpha$ pour le couloir $3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale={0.75*1.3},yscale=0.75]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{8.9};
				\def\yZ{8.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2,...,8}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{5*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=1:8.7] plot(\x,{(180*(3.1415*(31.83+(\x-1) *1.22)-100)/(3.1415*(31.83+(\x-1) *1.22)))/5});
				\draw(7.5,-0.85)node[fill=white]{Couloir};
				\draw(1,7.5)node[fill=white]{\begin{minipage}{1.6cm} Angle $\alpha$ (en degré)\end{minipage}};
				\draw[dashed,very thick,red] (3,0)--(3,{(180*(3.1415*(31.83+(3-1) *1.22)-100)/(3.1415*(31.83+(3-1) *1.22)))/5})--(0,{(180*(3.1415*(31.83+(3-1) *1.22)-100)/(3.1415*(31.83+(3-1) *1.22)))/5});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Pour le couloir $3$: $12^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 14^{\circ}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Un élève utilise un tableur pour déterminer automatiquement le décalage et l’angle en fonction du couloir.
			
			\begin{center}
				
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2018_maths_externe_sujet_3_03_tableur.png}
			\end{center}
			
			Parmi les formules suivantes, quelle formule, qu’il fera ensuite glisser dans toute la colonne, peut-il entrer dans la case B2 pour calculer le décalage? On
			rappelle que \og PI() \fg{} renvoie le nombre $\pi$.
			
			\begin{enumerate}[\textbf{Formule} A:]
				\item ~
				
				\begin{verbatim}
				=PI()*((A2)*1,22+31,83)-100
				\end{verbatim}
				
				\item ~
				
				\begin{verbatim}
				=PI()*((A2-1)*1,22+31,83)-100
				\end{verbatim}
				
				\item ~
				
				\begin{verbatim}
				=PI()*((A2)*1,22)-100
				\end{verbatim}
				
				\item ~
				
				\begin{verbatim}
				=PI()*((A2-1)*1,22)-100
				\end{verbatim}
				
				\item ~
				
				\begin{verbatim}
				=PI()*((A2)*1,22+31,83)
				\end{verbatim}
				
				\item ~
				
				\begin{verbatim}
				=PI()*((A2-1)*1,22+31,83)
				\end{verbatim}
				
				\item ~
				
				\begin{verbatim}
				=PI()*((A2)*1,22)
				\end{verbatim}
				
				\item ~
				
				\begin{verbatim}
				=PI()*((A2-1)*1,22)
				\end{verbatim}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			En reprenant le travail effectué à la question 4.(a) nous obtenons pour le couloir $p$:
			
			\begin{align*}
				\Delta_p &= \pi \times [OA+(p-1) \times 1,22] -100\\
				&= \pi((p-1) \times 1,22+31,83)-100
			\end{align*}
			
			Par conséquent la formule qui convient est
			
			\begin{conclusion}
				
				\begin{verbatim}
				=PI()*((A2-1)*1,22+31,83)-100
				\end{verbatim}
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
	\end{enumerate}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Au $1^{\text{er}}$ janvier 2018, le Jamaïcain Usain Bolt détient le record du monde du $200$ 	mètres en $19,19$ secondes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer sa vitesse moyenne en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Arrondir au dixième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons sa vitesse, $v_u$, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$.}
			
			\begin{align*}
				v_u &=\frac{200\ \mathrm{m}}{19,19\ \mathrm{s}}\\
				&= \frac{200 {\color{orange}\times 1 \ \mathrm{m}}}{19,19 {\color{orange}\times 1\ \mathrm{s}}}\\
				&= \frac{200 {\color{orange}\times \frac{1}{1000}\ \mathrm{km}}}{19,19 {\color{orange}\times \frac{1}{60 \times 60}\ \mathrm{h}}}\\
				&= \frac{\frac{200}{1000}}{\frac{19,19}{60 \times 60}}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\
				&\approx 37,519\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Sa vitesse moyenne est de $37,5\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			À cette vitesse-là, combien mettrait-il de temps pour effectuer un marathon dont la longueur est de $42,195\ \mathrm{km}$? On donnera la réponse en heures, minutes et secondes, arrondie à la seconde près.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le temps, $t_u$, mis pour faire un marathon.}
			
			\begin{align*}
				\frac{42,195\ \mathrm{km}}{37,5\ \mathrm{km}/\mathrm{h}} &= \frac{42,195}{37,5}\ \frac{\mathrm{km}\cdot \mathrm{h}}{\mathrm{km}}\\
				&= 1,1252\ \mathrm{h}\\
				&= 1\ \mathrm{h} +60 \times 0,1252\ \mathrm{mn}\\
				&= 1\ \mathrm{h} + 7,512\ \mathrm{mn}\\
				&= 1\ \mathrm{h} + 7\ \mathrm{mn} + 60 \times 0,512\ \mathrm{s}\\
				&= 1\ \mathrm{h} + 7\ \mathrm{mn} + 30,72\ \mathrm{s}\\
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Il parcourrait le marathon en $1\ \mathrm{h}\ 7 \mathrm{mn}\ 31\ \mathrm{s}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le précédent record du monde du $200$ mètres était détenu par l’américain Michael Johnson, \og La locomotive de Wako \fg{}, avec un temps de $19,32$ secondes aux Jeux Olympiques d’Atlanta en 1996. De quel pourcentage Usain Bolt a-t-il réduit le temps du record du monde du $200$ mètres?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le taux, $t_x$, d'évolution entre les deux temps.}
			
			\begin{align*}
				t_x &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100\\
				&= \frac{19,19-19,32}{19,32} \times 100\\
				&\approx -0,672 \ \%
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Usain Bolt a réduit le temps du précédente record de $0,67\ \%$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Sur la figure ci-dessous, qui n’est pas dessinée en vraie grandeur, $\mathcal{C}$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $5\ \mathrm{cm}$. Le segment $[AB]$ est un diamètre de ce cercle. Les points $M$ et $N$ sont les intersections du cercle $\mathcal{C}$ avec la médiatrice du segment $[OB]$. Le point $I$ est le milieu de $[OB]$. Le point $S$ est le symétrique du point $M$ par rapport au point $O$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\draw[samples=100,domain=0:360] plot({5*cos(\x )},{5*sin(\x )});
		\draw (-4,4) node{$\mathcal{C}$};
		\def\angle1{-10};
		\coordinate (O) at (0,0);
		\draw (O) node{$\boldsymbol{\boldsymbol{\times}}$};
		\draw (O) node[above right]{$O$};
		\coordinate (A) at ({5*cos(180+\angle1)},{5*sin(180+\angle1)});
		\draw (A) node{$\boldsymbol{\times}$};
		\draw (A) node[left]{$A$};
		\coordinate (B) at ({5*cos(\angle1)},{5*sin(\angle1)});
		\draw (B) node{$\boldsymbol{\times}$};
		\draw (B) node[right]{$B$};
		\coordinate (I) at ({0.5*5*cos(\angle1)},{0.5*5*sin(\angle1)});
		\draw (I) node{$\boldsymbol{\times}$};
		\draw (I) node[below left]{$I$};
		\draw (A)--(B);
		\draw (O)--(I)node[sloped,midway]{$||$};
		\draw (I)--(B)node[sloped,midway]{$||$};
		\draw[samples=100,domain=-5:5] plot({0.5*5*cos(\angle1)+\x *cos(90+\angle1 )},{0.5*5*sin(\angle1)+\x*sin(90+\angle1)});
		\coordinate (M) at ({5*cos(60+\angle1)},{5*sin(60+\angle1)});
		\draw (M) node{$\boldsymbol{\times}$};
		\draw (M) node[above right]{$M$};
		\coordinate (N) at ({5*cos(60-\angle1)},{-5*sin(60-\angle1)});
		\draw (N) node{$\boldsymbol{\times}$};
		\draw (N) node[below right]{$N$};
		\coordinate (S) at ({-5*cos(60+\angle1)},{-5*sin(60+\angle1)});
		\draw (S) node{$\boldsymbol{\times}$};
		\draw (S) node[below left]{$S$};
		\def\carre{1};
		\draw ({0.5*(5+\carre)*cos(\angle1)},{0.5*(5+\carre)*sin(\angle1)})--({0.5*(5+\carre)*cos(\angle1)+0.5*\carre*cos(90+\angle1)},{0.5*(5+\carre)*sin(\angle1)+0.5*\carre*sin(90+\angle1)})--({0.5*(5)*cos(\angle1)+0.5*\carre*cos(90+\angle1)},{0.5*(5)*sin(\angle1)+0.5*\carre*sin(90+\angle1)});
		\draw (10,2)node{\begin{minipage}{3cm}\emph{Cette figure n'est pas dessinée en vraie grandeur.}\end{minipage}};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la nature du triangle $OMB$? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la nature de $OMB$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item Puisque $M$ appartient à la médiatrice de $[OB]$, $OM=MB$, autrement dit $OMB$ est isocèle en $M$.
			
			\item Puisque $[OB]$ et $[OM]$ sont des rayons de $\mathcal{C}$, $OMB$ est isocèle en $O$.
		
		\end{enumerate}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$OMB$ est équilatéral.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que le quadrilatère $AMBS$ est un rectangle.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la nature du quadrilatère $AMBS$.}
		
		{\color{orange}Il est possible de démontrer que les triangles $MBS$ et $SAM$ sont rectangles avec une hypoténuse commune mais il reste alors des cas particuliers possibles (cerf-volant, quadrilatère croisé) dont il faut discuter.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			\item $S$ étant le symétrique de $M$ par rapport à $O$, $[SM]$ est un diamètre de $\mathcal{C}$.
			\item Par construction $[AB]$ est un diamètre de $\mathcal{C}$.
		\end{enumerate}
		
		$[AB]$ et $[SM]$ sont des diamètres de $\mathcal{C}$ donc ils ont même longueur et se coupent en leur milieu $O$.
		
		Or un un quadrilatère dont les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu est un rectangle, donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$AMBS$ est un rectangle.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la valeur exacte de l’aire du rectangle $AMBS$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}(AMBS)$ de $AMBS$.}
		
		$AMBS$ étant un rectangle:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(AMBS) &= 2 \times \mathscr{A}(AMB)\\
			\intertext{$(IM)$ étant une hauteur de $AMB$:}
			\mathscr{A}(AMBS) &= 2 \times \left( \frac{1}{2} \times AB \times IM \right)
		\end{align*}
		
		Déterminons $IM$.
		
		$IBM$ est rectangle en $I$, donc, d'après le théorème de Pythagore: $IB^2+IM^2=MB^2$.
		
		Nous en déduisons successivement
		
		\begin{align*}
			IB^2 + IM^2 {\color{orange}-IB^2} &= MB^2 {\color{orange} -IB^2}\\
			IM^2 &= MB^2-IB^2
		\end{align*}
		
		Or $OMB$ étant équilatéral $MB=OB=5\ \mathrm{cm}$, et $I$ étant le milieu de $[OB]$, $IB=\frac{5}{2}=2,5\ \mathrm{cm}$, donc
		
		\begin{align*}
			IM^2 &= 5^2-2,5^2\\
			&= 18,75
		\end{align*}
		
		$IM$ est une longueur donc un nombre positif d'où, nécessairement, $IM=\frac{5}{2} \sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
		
		\medskip
		Ainsi
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(AMBS) &= AB \times IM
			\\&= 10 \times \frac{5}{2}\sqrt{3}\\
			&= 25\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2	
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}(AMBS)=25\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$.
				
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que le quadrilatère $OMBN$ est un losange.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $OMBN$ est un losange.}
		
		$[OB]$ et $[MN]$ sont les médiatrices l'un de l'autre, donc 
		
		\begin{itemize}
			\item $[OB]$ et $[MN]$ se coupent en leur milieu et par conséquent $OMBN$ est un parallélogramme,
			\item $(OB)$ et $(MN)$ sont perpendiculaires et le parallélogramme $OMBN$ est donc un losange.
		\end{itemize}
	
		\begin{conclusion}
			
			$OMBN$ est un losange.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Indiquer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
	
	\emph{Une réponse inexacte ou non justifiée ne rapporte aucun point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 1}: $126$ possède exactement $10$ diviseurs.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Il y a plusieurs façons d'aborder cette question. La décomposition en facteurs premiers de $126$ par exemple est: $126 = 2^1 \times 3^2 \times 7^1$. Les diviseurs de $126$ sont donc les nombres de la forme ${\color{red}2}^{p_2} \times {\color{red}3}^ {p_3} \times {\color{red}7}^{p_7}$ avec $0 \leqslant p_2 \leqslant 1$, $0\leqslant p_3 \leqslant 2$ et $0 \leqslant p_7 \leqslant 1$. Il y a $2$ choix pour l'exposant de $\color{red}2$, $3$ choix pour celui de $\color{red}3$ et $2$ pour celui de $\color{red}7$. D'après le principe multiplicatif (lemme des bergers) il y a $2 \times 3 \times 2=12$ possibilités de diviseurs de $126$.}
		
		\medskip
		$1$, $2$, $3$, $6$, $7$, $9$, $14$, $18$, $21$, $42$, $63$, $126$ sont des diviseurs de $126$ et il y en a $12$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 1 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 2}: si un polygone non croisé $A$ a un périmètre supérieur au périmètre du polygone non croisé $B$ alors l’aire du polygone $A$ est supérieure à l’aire du polygone $B$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Le résultat est clairement faux en considérant des polygones éventuellement aplatis.}
		
		\medskip
		Dans l'exemple ci-dessous $A$ a un périmètre supérieur à celui de $B$ et pourtant son aire est plus petite.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
			\draw (0,0)--(4,0)--(2,2)--(4,4)--(0,4)--(0,0);
			\draw (5,0)--(9,0)--(9,4)--(5,4)--(5,0);
			\draw (-1,2)node{$A$};
			\draw (10,2)node{$B$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 3}: si des prix augmentent de $5\ \%$ par an, ils auront plus que doublé en $15$ ans.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le coefficient multiplicateur global.}
		
		Une hausse de $5\ \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de
		
		\begin{align*}
			CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{5}{100}\\
			&= 1,05
		\end{align*}
		
		Par conséquent le coefficient multiplicateur global au bout de $15$ ans est
		
		\begin{align*}
			CM_g &= \underset{15\ \text{facteurs}}{\underbrace{CM \times \dots \times CM}}\\
			&= CM^{15}\\
			&= 1,05^{15}\\
			&\approx 2,0789
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Affirmation 4}: les dimensions de mon échantillon de parfum sont cinq fois plus petites 	que celles de mon flacon habituel. Il y a donc 25 fois moins de parfum dans l’échantillon que dans le flacon habituel.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Si les trois dimensions de l'espace sont cinq fois plus petites les volumes sont donc $5 \times 5 \times 5 =125$ fois plus petits.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 4 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		
		Un élève qui utilise le site \og code.org \fg{} doit écrire un programme pour repasser au crayon noir les petits carrés en gris sur le dessin ci-contre.
		
		&
		
		\begin{center}
						
			\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2018_maths_externe_sujet_3_04_code.png}
				
		\end{center}
	
	\end{tabular}
	
	\medskip
	Il propose le programme ci-dessous:
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2018_maths_externe_sujet_3_05_programme.png}
		
	\end{center}

	\noindent
	\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
		
		Quand il lance le programme, le dessin obtenu est le dessin ci-contre:
		
		&
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.1]{crpe_2018_maths_externe_sujet_3_06_code.png}
			
		\end{center}
		
	\end{tabular}
	
	\medskip
	Que faut-il modifier dans le programme pour obtenir le dessin attendu?
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Le saut pour dessiner un nouveau carré n'est pas suffisant.
	
	\begin{conclusion}
		
		Il faut que le saut en avant soit de $40$ pixels et non pas seulement de $20$.
		
	\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Soit $ABCDEFGH$ un cube d’arête $6\ \mathrm{cm}$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\arete{6};
		\def\coeff{0.65};
		\def\angle{25};
		\coordinate (A) at (0,0);
		\draw (A) node[below]{$A$};
		\coordinate (B) at (\arete,0);
		\draw (B) node[below]{$B$};
		\coordinate (C) at ({\arete+\arete*\coeff*cos(\angle)},{\arete*\coeff*sin(\angle)});
		\draw (C) node[below]{$C$};
		\coordinate (D) at ({\arete*\coeff*cos(\angle)},{\arete*\coeff*sin(\angle)});
		\draw (D) node[below]{$D$};
		\coordinate (E) at (0,\arete);
		\draw (E) node[above left]{$E$};
		\coordinate (F) at (\arete,\arete);
		\draw (F) node[above]{$F$};
		\coordinate (G) at ({\arete+\arete*\coeff*cos(\angle)},{\arete+\arete*\coeff*sin(\angle)});
		\draw (G) node[above]{$G$};
		\coordinate (H) at ({\arete*\coeff*cos(\angle)},{\arete+\arete*\coeff*sin(\angle)});
		\draw (H) node[above]{$H$};
		\draw (A)--(B)--(C)--(G)--(H);
		\draw (A)--(E)--(H);
		\draw (B)--(F)node[midway,sloped]{\small $|$};
		\draw (B)--(F)node[midway,below right]{$K$};
		\draw (G)--(F)node[midway,sloped]{\small $|$};
		\draw (G)--(F)node[midway,below right]{$J$};
		\draw (E)--(F)node[midway,sloped]{\small $|$};
		\draw (E)--(F)node[midway,below left]{$I$};
		\draw[dashed] (A)--(D)--(H);
		\draw[dashed] (D)--(C);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des arêtes $[FE]$, $[FG]$ et $[FB]$.
				
		Quelle est la nature du triangle $IJK$? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $IJK$ est équilatéral.}
		
		$IFK$ est rectangle en $F$ donc, d'après le théorème de Pythagore:
		
		\begin{align*}
			IK^2 &= IF^2+FK^2\\
			\intertext{De plus $IFK$ est isocèle en $F$ donc:}
			IK^2 &= 2 \times IF^2 \\
			&= 2 \times \left( \frac{6}{2} \right)^2\\
			&= 18\\
			\intertext{$IK$ étant une longueur donc positive:}
			IK &= \sqrt{18}\\
			&= 3 \sqrt{2}
		\end{align*}
		
		De même $KJ=IJ=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$IJK$ est équilatéral.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le volume du tétraèdre $FIJK$ est $4,5\ \mathrm{cm}^3$. On rappelle que le volume d’une pyramide est égal au tiers du produit de l’aire d’une base par la hauteur associée.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le volume $\mathscr{V}(FIJK)$ de $FIJK$.}
		
		$(JF)$ est la hauteur issue de $J$ et $IFK$ est la base correspondante. Nous en déduisons
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}(FIJK) &= \frac{1}{3}JF \times \mathscr{A}(IFK)\\
			\intertext{Puisque $IFK$ est isocèle rectangle en $F$:}
			\mathscr{V}(FIJK) &= \frac{1}{3}JF \times \frac{1}{2} IF \times FK\\
			\intertext{Par construction:}
			\mathscr{V}(FIJK) &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} FK^3\\
			&= \frac{1}{6} \left( \frac{6}{2} \right)^3 \ \mathrm{cm}^3\\
			&= \frac{27}{6} \ \mathrm{cm}^3\\
			&= 4,5\ \mathrm{cm}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}(FIJK) =4,5\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Construire, en vraie grandeur, un patron du tétraèdre $FIJK$. On laissera les traits de construction.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Voici un patron à l'échelle.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=1]
			\coordinate (F) at (0,0);
			\draw (F) node{$\boldsymbol{\times}$};
			\draw (F) node[below left]{$F$};
			\draw[dashed][samples=100,domain=-4:4] plot(\x,0);
			\draw[dashed][samples=100,domain=-10:10] plot({2*cos(\x)},{2*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=170:190] plot({2*cos(\x)},{2*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=50:70] plot({-2+4*cos(\x)},{4*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain={180-70}:{180-50}] plot({2+4*cos(\x)},{4*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-50:-70] plot({-2+4*cos(\x)},{4*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain={-180+70}:{-180+50}] plot({2+4*cos(\x)},{4*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-4:4] plot(0,\x);
			\draw[dashed][samples=100,domain=-10:10] plot({3*cos(\x)},{3*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=80:100] plot({3*cos(\x)},{3*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=170:190] plot({3*cos(\x)},{3*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=260:280] plot({3*cos(\x)},{3*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain={-50+45}:{-70+45}] plot({3*sqrt(2)*cos(\x)},{-3+3*sqrt(2)*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain={180+45+50}:{180+45+70}] plot({3+3*sqrt(2)*cos(\x)},{3*sqrt(2)*sin(\x )});
			\coordinate (I) at (0,-3);
			\draw (I) node{$\boldsymbol{\times}$};
			\draw (I) node[below left]{$I$};
			\coordinate (K) at (-3,0);
			\draw (K) node{$\boldsymbol{\times}$};
			\draw (K) node[below left]{$K$};
			\coordinate (J) at (3,0);
			\draw (J) node{$\boldsymbol{\times}$};
			\draw (J) node[above right]{$J$};
			\coordinate (L) at (0,3);
			\draw (L) node{$\boldsymbol{\times}$};
			\draw (L) node[above left]{$J$};
			\coordinate (M) at ({3*sqrt(2)*cos(60-45)},{-3*sqrt(2)*cos(60-45)});
			\draw (M) node{$\boldsymbol{\times}$};
			\draw (M) node[below right]{$K$};
			\draw [blue,thick](J)--(K)--(L)--(I)--(K);
			\draw [blue,thick](J)--(I)--(M)--(J);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On coupe le cube en suivant le plan $(IJK)$, afin d’ôter le tétraèdre $FIJK$.
		
		On procède de la même façon avec chacun des sept autres sommets du cube. 
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.1]{crpe_2018_maths_externe_sujet_3_07_cuboctaedre.png}
			
		\end{center}
		
		Le solide obtenu après ces différentes coupes s’appelle un \og cuboctaèdre \fg{}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le volume de ce cuboctaèdre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_{cubo}$ du cuboctaèdre.}
			
			Ce solide s'obtient en retirant les tétraèdres formant ses sommets tels que $FIJK$. Par conséquent
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_{cubo} &= 6^3 -8 \times 4,5\\
				&= 180\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{V}_{cuvo}=180\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la longueur totale de ses arêtes.
			
			On donnera le résultat arrondi au millimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la longueur totale, $L_t$, de ses arêtes.}
			
			Le cuboctaèdre a $6 \times 4=24$ arêtes qui toutes mesurent $IK=3\sqrt{2}$.
			
			Donc
			
			\begin{align*}
				L_t &= 24 \times 3 \sqrt{2}\\
				&\approx 101,82337\ \mathrm{cm}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$L_t= 101,8\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}

	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$