%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{diagbox} % Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2018 sujet 2} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}
	
\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2018 groupe 2.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2018_maths/crpe_2018_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2018_maths/crpe_2018_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
		
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
		\emph{$5$ points au maximum pourront être retirés pour tenir compte de la correction syntaxique et de la
		qualité écrite de la production du candidat.}
		
		\emph{Une note globale égale ou inférieure à 10 est éliminatoire.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{\color{purple}Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, on cherche à optimiser la quantité de métal nécessaire à la fabrication de canettes de $33$ centilitres ($\mathrm{cL}$).
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: canette classique.}

\begin{sujet}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{7cm}m{4cm}}
		
		On modélise une \og canette classique \fg{} par le cylindre de révolution représenté ci-contre. Le volume d’un tel cylindre s’obtient en multipliant l’aire de sa base par sa hauteur.
		
		\medskip
		Vérifier que le volume de ce cylindre, de
		diamètre $6,6\ \mathrm{cm}$ et de hauteur $9,8\ \mathrm{cm}$, est supérieur à $33\ \mathrm{cL}$.
		
		&
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
				\draw(-3.3,0)--(-3.3,9.8);
				\draw(3.3,0)--(3.3,9.8);
				\draw[samples=100,domain=180:360] plot({3.3*cos(\x)},{(3.3/2)*sin(\x )});
				\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({3.3*cos(\x)},{(3.3/2)*sin(\x )});
				\draw[samples=100,domain=0:360] plot({3.3*cos(\x)},{9.8+(3.3/2)*sin(\x )});
				\draw[>=latex,<->](-3.3,0)--(3.3,0)node[midway,above]{$6,6\ \mathrm{cm}$};
				\draw[>=latex,<->](3.8,9.8)--(3.8,0)node[midway,right]{$9,8\ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons le volume $\mathscr{V}_1$ de la canette.}
	
	Puisque la base de la canette est un disque de diamètre $d=6,6\ \mathrm{cm}$, et donc de raton $r=\frac{6,6}{2}=3,3\ \mathrm{cm}$, et de hauteur $h=9,8\ \mathrm{cm}$, son volume est
	
	\begin{align*}
		\mathscr{V}_1 &= \left( \pi r^2 \right) \times h\\
		&= \pi (3,3\ \mathrm{cm})^2 \times (9,8\ \mathrm{cm})\\
		&= \pi 3,3^2 \times 9,8\ \mathrm{cm}^3\\
		&= 106,722\pi\ \mathrm{cm}^3\\
		&= 106,722\pi \times {\color{orange}1\ \mathrm{cm}^3}\\
		&= 106,722\pi \times {\color{orange}0,001\ \mathrm{dm}^3}\\
		&= 0,106722\pi\ \mathrm{dm}^3\\
		&= 0,106722\pi\times {\color{orange}1\ \mathrm{dm}^3}\\
		&= 0,106722\pi\times {\color{orange}1\ \mathrm{L}}\\
		&= 0,106722\pi\times {\color{orange}100\ \mathrm{cL}}\\
		&\approx 33,527\ \mathrm{cL}
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		Le volume de la canette est supérieur à $33\ \mathrm{cL}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie B: canette \og slim \fg{}.}

\begin{sujet}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{m{4cm}m{7cm}}
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\draw(-2.8,0)--(-2.8,10.8);
			\draw(2.8,0)--(2.8,10.8);
			\draw[samples=100,domain=180:360] plot({2.8*cos(\x)},{(2.8/2)*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({2.8*cos(\x)},{(2.8/2)*sin(\x )});
			\draw[samples=100,domain=0:360] plot({2.8*cos(\x)},{10.8+(2.8/2)*sin(\x )});
			\draw[>=latex,<->](-2.8,0)--(2.8,0)node[midway,above]{$5,6\ \mathrm{cm}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		&
		
		Un nouveau format de canette est apparu dernièrement sur le marché. Ces canettes allongées, dites \og slim \fg{}, sont plus hautes et plus fines que les précédentes, pour une même contenance.
		
		Le cylindre représenté ci-contre en modélise une. Son diamètre est de $5,6\ \mathrm{cm}$.
		
		\medskip
		Déterminer au millimètre près la plus petite hauteur possible du cylindre pour que la canette contienne au moins $33\ \mathrm{cL}$.
		
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons la hauteur minimale.}
	
	Remarquons que: $33\ \mathrm{cL}=33\times 0,01\ \mathrm{L}= 0,33\ \mathrm{dm}^3= 0,33 \times 1000\ \mathrm{cm}^3=330\ \mathrm{cm}^3$.
	
	Nous souhaitons que le volume $\mathscr{V}_2(h)$ de la canette, exprimé en $\mathrm{cm}^3$, vérifie:
	
	\begin{align*}
		\mathscr{V}_2(h) &\geqslant 330\\
		\intertext{Ce qui équivaut successivement à}
		\pi \left( \frac{5,6}{2} \right)^2 \times h &\geqslant 330\\
		7,84\pi h&\geqslant 330\\
		\intertext{{\color{orange}Il s'agit d'une inéquation du premier degré que nous résolvons en isolant l'inconnue.} Puisque $7,84\pi>0$:}
		\frac{7,84\pi h}{\color{orange}7,84\pi} &\geqslant \frac{330}{\color{orange}7,84\pi}\\
		h &\geqslant \frac{330}{7,84\pi}
	\end{align*}
	
	Or $\frac{330}{7,84\pi} \approx 13,398$ donc, en arrondissant au millimètre
	
	\begin{conclusion}
		
		la plus petite hauteur possible du cylindre est $13,4\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Partie C: étude du lien entre le rayon de la base d’une canette de $\mathbf{33}\ \mathrm{\mathbf{cL}}$ et l’aire de son patron.}

\begin{sujet}
	
	On appelle $r$ le rayon, en centimètre, de la base du cylindre modélisant une canette de $33\ \mathrm{cL}$ et $h$ sa hauteur, en centimètre.

\end{sujet}
	
\begin{enumerate}
			
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que $\displaystyle h=\frac{330}{\pi r^2}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $h$ en fonction de $r$.}
		
		{\color{orange}Nous avons déjà effectué ce travail à la question précédente. Reprenons-le.}
		
		\medskip
		Remarquons que: $33\ \mathrm{cL}=33\times 0,01\ \mathrm{L}= 0,33\ \mathrm{dm}^3= 0,33 \times 1000\ \mathrm{cm}^3=330\ \mathrm{cm}^3$.
		
		Notons $\mathscr{V}$ le volume de la canette, exprimé en $\mathrm{cm}^3$. Si $r$ et $h$ sont exprimés en centimètres alors:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V} &= 330\\
			\intertext{Ce qui équivaut à}
			\pi r^2 \times h &= 330\\
			\intertext{Si $r\ne 0$:}
			\frac{\pi r^2 h}{\color{orange}\pi r^2} &= \frac{330}{\color{orange}\pi r^2}\\
			h &=\frac{330}{\pi r^2}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Si $r$ et $h$ sont exprimés en centimètres et $r\ne 0$, alors: $\displaystyle h=\frac{330}{\pi r^2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La figure ci-dessus représente le patron du cylindre.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\def\r{3};
			\def\h{10};
			\def\L{3.1415*\r*2};
			\def\dec{4};
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at ({\L},0);
			\coordinate (C) at ({\L},{\h});
			\coordinate (D) at (0,{\h});
			\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\fill[color=gray , opacity=0.20][samples=100,domain=0:360] plot({\dec + \r*cos(\x)},{-\r +\r * sin(\x )});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\dec + \r*cos(\x)},{-\r +\r * sin(\x )});
			\fill[color=gray , opacity=0.20][samples=100,domain=0:360] plot({\dec + \r*cos(\x)},{\h+\r +\r * sin(\x )});
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\dec + \r*cos(\x)},{\h+\r +\r * sin(\x )});
			\draw[>=latex,<->] ({\dec},{-\r})--({\dec+\r},{-\r})node[midway,below]{$r$};;
			\draw[>=latex,<->] ({\dec},{\h+\r})--({\dec+\r},{\h+\r})node[midway,above]{$r$};
			\draw[>=latex,<->] (0,{\h-2})--({\L},{\h-2})node[midway,below]{$L$};
			\draw[>=latex,<->] ({\L+2},0)--({\L+2},{\h})node[midway,right]{$h$};
			\draw(6,{-2*\r-2})node{\emph{Cette figure n'est pas à l'échelle.}};
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		Celui-ci est formé de deux disques, et d’un rectangle de largeur $h$ et de longueur $L$, exprimée en centimètre. 
		
		Exprimer la longueur $L$ en fonction de $r$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Exprimons $L$ en fonction de $r$.}
		
		Puisqu'il s'agit du patron d'un cylindre de révolution $L$ est la circonférence du disque formant sa base. Par conséquent, avec les notations de l'énoncé
		
		\begin{conclusion}
			
			$L= 2\pi r$.
		
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que l’aire, en centimètre carré, de la partie rectangulaire du patron est $\displaystyle \frac{660}{r}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire, $\mathscr{A}$, de la partie rectangulaire en $\mathrm{cm}^2$.}
		
		Évidemment
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A} &= L \times h\\
			\intertext{D'après la question 2:}
			\mathscr{A} &= 2\pi r \times h\\
			\intertext{D'après la question 1:}
			\mathscr{A} &= 2 \pi r \times \frac{330}{\pi r^2}\\
			&= \frac{2 \times {\color{orange}\pi \times r} \times 330 }{{\color{orange}\pi \times r} \times r}\\
			\intertext{\color{orange}Nous remarquons des facteurs communs au numérateur et au dénominateur:}
			\mathscr{A} &= \frac{2 \times 330}{r}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\displaystyle \mathscr{A}=\frac{660}{r}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Exprimer l’aire totale $A$ du patron du cylindre, en centimètre carré, en fonction de $r$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $A$ en fonction de $r$.}
		
		En décomposant le patron suivant les deux disques et le rectangle de la figure proposée:
		
		\begin{align*}
			A &= 2 \times \pi r^2 +\mathscr{A}\\
			\intertext{D'après la question précédente:}
			&= 2 \pi r^2 + \frac{660}{r}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'aire en fonction de $r$ est, si $r\ne 0$: $\displaystyle A=2\pi r^2 + \frac{660}{r}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
			
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D: lecture graphique.}

\begin{sujet}
	
	On s’intéresse à la réalisation d’un cylindre de révolution de base de rayon $r$, exprimé en centimètre, et de contenance $33\ \mathrm{cL}$. L’aire, exprimée en centimètre carré, de la surface de métal nécessaire est modélisé par la fonction $f$ qui, à tout nombre $r$ strictement positif, associe $f(r)=2\pi r^2 + \frac{660}{r}$.
	
	La fonction $f$ est représentée ci-dessous:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{20};
		\def\yZ{14};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\foreach \x in {1, 2,...,20}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{0.5*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{50*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw[blue,very thick][samples=100,domain=1.9:20] plot(\x,{(2*3.1415*\x*\x*0.25 +660/(\x*0.5))/50});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{sujet}
	
	Répondre par lecture graphique aux questions suivantes:
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est l’aire de la surface de métal nécessaire pour un cylindre dont la base a pour rayon $1,5\ \mathrm{cm}$?
		
	\end{sujet}

	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{20};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\foreach \x in {2,4,...,20}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{0.5*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2,4,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{50*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{Rayon};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{Aire};
			\draw[blue,very thick][samples=100,domain=1.9:20] plot(\x,{(2*3.1415*\x*\x*0.25 +660/(\x*0.5))/50});
			\draw[very thick,dashed,red] (0,9)--(3,9)--(3,0);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Un cylindre de rayon $1,5\ \mathrm{cm}$ a une aire de $450\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À quelle(s) valeur(s) du rayon du cylindre correspond une aire de $300\ \mathrm{cm}^2$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
				\def\xY{-0.5};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{20};
				\def\yZ{14};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\foreach \x in {2,4,...,20}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{0.5*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {2,4,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{50*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{Rayon};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{Aire};
				\draw[blue,very thick][samples=100,domain=1.9:20] plot(\x,{(2*3.1415*\x*\x*0.25 +660/(\x*0.5))/50});
				\draw[very thick,dashed,red] (0,6)--(20,6);
				\draw[very thick,dashed,red] (5,6)--(5,0);
				\draw[very thick,dashed,red] (10.5,6)--(10.5,0);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Une aire de $300\ \mathrm{cm}^2$ correspond à un rayon de $2,5\ \mathrm{cm}$ ou de $5,25\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer laquelle de la canette \og classique \fg{} ou de la canette \og slim \fg{} utilise le moins de surface de métal pour sa réalisation. Justifier la réponse en donnant les lectures graphiques effectuées.
		
	\end{sujet}

	\begin{correction}
		
		Le rayon de la canette classique est $\frac{6,6}{2}=3,3\ \mathrm{cm}$.
		
		Le rayon de la canette slim est $\frac{5,6}=2,8\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{20};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\foreach \x in {2,4,...,20}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{0.5*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2,4,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{50*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{Rayon};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{Aire};
			\draw[blue,very thick][samples=100,domain=1.9:20] plot(\x,{(2*3.1415*\x*\x*0.25 +660/(\x*0.5))/50});
			\draw[very thick,dashed,red] (6.6,0)--(6.6,{(2*3.1415*6.6*6.6*0.25 +660/(6.6*0.5))/50})--(0,{(2*3.1415*6.6*6.6*0.25 +660/(6.6*0.5))/50});
			\draw(8,-2) node{\color{red}Canette classique};
			\draw[very thick,dashed,green] (5.6,0)--(5.6,{(2*3.1415*5.6*5.6*0.25 +660/(5.6*0.5))/50})--(0,{(2*3.1415*5.6*5.6*0.25 +660/(5.6*0.5))/50});
			\draw(8,-4) node{\color{green}Canette slim};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		L'aire pour une canette classique est environ de $280\ \mathrm{cm}^2$.
		
		L'aire pour une canette slim est environ de $260\ \mathrm{cm}^2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La canette classique utilise la plus petite surface de métal.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		À quelle valeur du rayon correspond la surface minimale de métal nécessaire à la fabrication d’une canette de $33\ \mathrm{cL}$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.3]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{20};
			\def\yZ{14};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\foreach \x in {2,4,...,20}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{0.5*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {2,4,...,14}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{50*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{Rayon};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{Aire};
			\draw[blue,very thick][samples=100,domain=1.9:20] plot(\x,{(2*3.1415*\x*\x*0.25 +660/(\x*0.5))/50});
			\def\min{(660/(4*3.1415))^(1/3)};
			\draw[very thick,dashed,red] ({2*\min},{(2*3.1415*\min*\min +660/(\min))/50})--({2*\min},0);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'aire est minimale pour un rayon de $3,6\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie E: utilisation d'un tableur.}

\begin{sujet}
	
	On souhaite, à l’aide d’un tableur, affiner la réponse obtenue à la question D.4 par lecture graphique.
	
	\medskip
	Voici une copie d’écran de la feuille de calcul utilisée:
	
	\hspace*{-1cm}
	\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2018_maths_externe_sujet_2_01_tableur.png}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Écrire une formule qui, entrée dans la cellule B2 et étirée vers la droite, permet d’obtenir les valeurs de $f(r)$ sur la ligne 2.
		
		\emph{Note}: la fonction PI() du tableur renvoie la valeur de $\pi$ avec une précision de $15$ décimales.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Il y a diverses variantes:
		
		\begin{verbatim}
		=2*PI()*B1^2+660/B1
		\end{verbatim}
		
		ou
		
		\begin{verbatim}
		=2*PI()*$B1*$B1+660/$B1
		\end{verbatim}
		
		Nous retiendrons celle-ci:
		
		\begin{conclusion}
			
			\begin{verbatim}
			=2*PI()*B1*B1+660/B1
			\end{verbatim}
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Utiliser cette feuille de calcul pour déterminer un encadrement, le plus précis possible, du rayon du cylindre permettant de minimaliser l’aire de la surface de métal nécessaire à la réalisation d’une canette de $33\ \mathrm{cL}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En s'inspirant de la courbe représentative qui nous indiquait un minimum et d'après le tableau de valeur de l'énoncé:
		
		\begin{conclusion}
			
			l'aire semble minimale pour $r\in [3,6;3,8]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la hauteur de la canette de $33\ \mathrm{cL}$ ayant une base de rayon $3,7\ \mathrm{cm}$.
		
		Arrondir le résultat au dixième de centimètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la hauteur correspondant à un rayon de $3,7\ \mathrm{cm}$.}
		
		D'après la question C.1.:
		
		\begin{align*}
			h &= \frac{330}{\pi r^2}\\
			&= \frac{330}{\pi \times 3,7^2}\\
			&\approx 7,67
		\end{align*}
		
		Enfin
		
		\begin{conclusion}
			
			Une canette de rayon $3,7\ \mathrm{cm}$ a une hauteur de $7,7\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie F.}

\begin{sujet}
	
	Les canettes sont fabriquées à partir d’une feuille plane de tôle d’aluminium d’épaisseur	$130$ micromètres ($\mathrm{\mu m}$). Un micromètre est égal à un millionième de mètre. La masse volumique de l’aluminium est $\numprint{2700}\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$.
	
	On s’intéresse aux canettes classiques dont le rayon est de $3,3\ \mathrm{cm}$ et dont la surface de métal nécessaire est de $268,42\ \mathrm{cm}^2$, selon le tableau précédent.
	
	On admet que l’anneau pour ouvrir la canette et le rivet de liaison entre l’anneau et le couvercle ont une masse de $1,4\ \mathrm{g}$ et que la masse d’aluminium nécessaire pour souder le couvercle au reste de la canette est $1,9\ \mathrm{g}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer, au dixième de gramme près, la masse d’aluminium nécessaire pour fabriquer une cannette classique.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la masse d'une canette.}
		
		Déterminons la masse de la feuille d'aluminium $m_f$.
		
		La feuille peut être vue comme un prisme dont la base a une surface de $268,42\ \mathrm{cm}^2$ et dont la hauteur est $h=130 \times 10^{-6}\ \mathrm{m} = 130 \times 10^{-6} \times 100\ \mathrm{cm}=130\times 10^{-4}\ \mathrm{cm}= 0,013\ \mathrm{cm}$. Donc son volume est:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_f &= (268,42\ \mathrm{cm}^2) \times (0,013\ \mathrm{cm})\\
			&= 268,42 \times 0,013\ \mathrm{cm}^3\\
			&= 3,48946\ \mathrm{cm}^3\\
			&= 3,48946\times {\color{orange}1\ \mathrm{cm}^3}\\
			&= 3,48946\times {\color{orange}10^{-6}\ \mathrm{m}^3}\\
		\end{align*}
		
		Ce volume représente une masse de 
		
		\begin{align*}
			m_f &= \rho_{\mathrm{Al}} \times \mathscr{V}_f\\
			&= (2700\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3) \times (3,48946\times 10^{-6}\ \mathrm{m}^3)\\
			&= 2700\times 3,48946\times 10^{-6}\ \mathrm{kg}\\
			&= 0,00942542\ \mathrm{kg}\\
			&= 0,00942542\times {\color{orange}1\ \mathrm{kg}}\\
			&= 0,00942542\times {\color{orange}1000\ \mathrm{g}}\\
			&= 9,42542\ \mathrm{g}\\
		\end{align*}
		
		En tenant compte de l'anneau et de la soudure, la masse de la canette est donc en gramme:
		
		\begin{align*}
			m_{\text{canette}} &= 9,42542+1,4+1,9\\
			&= 12,721542
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La masse du canette est donc $12,7\ \mathrm{g}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Il faut $9\ \mathrm{kg}$ d’aluminium pour fabriquer un certain type de vélo. Estimer le nombre de cannettes classiques nécessaires pour obtenir l’aluminium pour fabriquer un tel vélo.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre $N_c$ de canettes qui égale la masse du vélo.}
		
		\begin{align*}
			N_c &= \frac{9\ \mathrm{kg}}{m_{\text{canette}}}\\
			&\approx \frac{9\times {\color{orange}1\ \mathrm{kg}}}{12,7\ \mathrm{g}}\\
			&\approx \frac{9 \times {\color{orange}1000\ \mathrm{g}}}{12,7\ \mathrm{g}}\\
			&\approx \frac{9000}{12,7}\\
			&\approx 708,66
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut $709$ canettes pour fabriquer un vélo.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Deuxième partie (13 points).}

\textbf{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Les informations présentées dans cet exercice sont extraites du site de l’Établissement Français du Sang qui gère le don du sang en France (\url{https://www.dondusang.net/}).}
	
	\begin{center}
		
		\textbf{Tableau 1: répartition de la population française selon le groupe sanguin et le rhésus.}
		
		\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2018_maths_externe_sujet_2_02_rhesus.png}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\textbf{Tableau 2: compatibilité sanguine des donneurs et des receveurs.}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2018_maths_externe_sujet_2_03_compatibilite.png}
		
	\end{center}
	
	\emph{Lecture: une personne de groupe $A$ rhésus négatif ($A-$) peut recevoir du sang d’un donneur du groupe $O$ rhésus négatif ou du groupe $A$ rhésus négatif. Il peut donner son sang à des personnes des groupes et rhésus $A+$, $A-$, $AB+$ et $AB-$.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population française soit \og donneur universel \fg{}?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons la probabilité qu'une personne soit donneur universel.}
		
		Puisqu'il y a $6\ \%=\frac{6}{100}=0,06$ de donneurs universels
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité qu'une personne soit donneur universel est $0,06$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population française soit \og receveur universel \fg{}?
		
	\end{sujet}

	\begin{correction}
	
		\objectif{Calculons la probabilité qu'une personne soit donneur universel.}
		
		Puisqu'il y a $3\ \%=\frac{3}{100}=0,03$ de receveurs universels
		
		\begin{conclusion}
			
			la probabilité qu'une personne soit receveur universel est $0,03$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la population française puisse donner son sang à une personne du groupe $B$, rhésus $+$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $E_1$: \og la personne peut donner à une personne du groupe $B+$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E_1)$.}
		
		Une personne réalise $E_1$ si elle est du groupe $O+$, $O-$, $B+$ ou $B-$. Les groupes de populations correspondants sont disjoints donc la proportion de la population qui réalise $E_1$ est \[ 36+6+9+1=52\ \%. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(E_1)=0,52$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On choisit au hasard une personne parmi les personnes du groupe $O$ dans la population française. Quelle est la probabilité que cette personne soit \og donneur universel \fg{}?
		
		Arrondir le résultat au centième.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous allons faire une rédaction utilisant les probabilités conditionnelles pour simplifier la rédaction. Un raisonnement semblable est possible avec les proportions.}
		
		\medskip
		Notons $E_2$: \og la personne est de groupe $O$\fg{} et $E_3$: \og la personne est donneur universel\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_{E_2}(E_3)$.}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}_{E_2}(E_3) &= \frac{\mathbb{P}_(E_2\cap E_3)}{\mathbb{P}_(E_2)}\\
			&= \frac{\mathbb{P}(E_3)}{\mathbb{P}(E_2)}\\
			&= \frac{0,06}{0,36+0,06}\\
			&= \frac{1}{7}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_{E_2}(E_3) = \frac{1}{7}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Au $1\up{er}$ janvier 2016, d’après l’INSEE, la population française était de $\numprint{66 627 602}$ personnes.
	
	Parmi ces personnes, $\numprint{43 217 325}$ personnes avaient entre $18$ et $70$ ans, critère requis pour 	pouvoir donner son sang.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{4}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Estimer le nombre de \og donneurs universels \fg{} en France au $1\up{er}$ janvier 2016.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le nombre de donneurs universels parmi les Français âgés de $18$ à $70$ ans est
		
		\begin{align*}
			N_u &= \frac{6}{100} \times \numprint{43 217 325}\\
			&= \numprint{2593039,5}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y a $\numprint{2593039}$ donneurs universels en France.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel pourcentage de la population française représentait, au $1\up{er}$ janvier 2016, la population susceptible de donner son sang?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la fréquence des potentiels donneurs de sang en France.}
		
		\begin{align*}
			f &= \frac{\numprint{43 217 325}}{\numprint{66 627 602}}\\
			&\approx 0,648639
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			Les donneurs de sang pourraient représenter $64,86\ \%$ de la population.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2018_maths_externe_sujet_2_04_carte.png}
	
	\end{center}
	
	Le programme ci-dessous a été écrit avec le logiciel Scratch pour faire se déplacer le lutin \og hélicoptère \fg{} de la case \og Nantes \fg{} à la case \og Paris \fg{} sur l’arrière-plan ci-dessus, c’est-à-dire pour \og avancer \fg{} de deux cases et \og monter \fg{} d’une case.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2018_maths_externe_sujet_2_05_scratch.png}
		
	\end{center}
	
	Un élève souhaite modifier le programme pour que l’hélicoptère se déplace de la case \og Nantes \fg{} à la case \og Lyon \fg{}. Par quels nombres doit-il remplacer les nombres \og 120 \fg{},
	\og 270 \fg{} et \og 60 \fg{}? Justifier votre réponse.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\begin{conclusion}
		
		Il faut avancer de $3\times 60=180$, tourner de $90$ degrés, avancer de $60$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Pour calculer de tête le carré d'un nombre entier se terminant par $5$:
	
	\begin{itemize}
		
		\item on prend le nombre de dizaines et on le multiplie par l’entier qui suit ce nombre de dizaines, cela donne le nombre de centaines du résultat;
		
		\item on écrit ensuite $25$ à droite du nombre de centaines pour obtenir le résultat.
		
	\end{itemize}
	
	Par exemple, $105$ est composé de $10$ dizaines et $5$ unités, son carré s'obtient:
	
	\begin{itemize}
		
		\item étape 1: en calculant $10 \times 11 = 110$, ce qui donne le nombre de centaines du résultat;
		
		\item étape 2: on écrit ensuite $25$ à droite de $110$ pour obtenir le résultat.
		
	\end{itemize}

	On a donc $105^2 = 11025$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer comment calculer mentalement $45^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $45^2$.}
		
		 $4\times 5=20$, donc:
		 
		 \begin{conclusion}
		 	
		 	$45^2 = 2025$.
		 	
		 \end{conclusion}
	 
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Soit $n$ un nombre entier se terminant par $5$, $n$ peut s’écrire: $10d + 5$ avec $d$ le nombre de dizaines.
		
		Établir la relation: \[ n^2 = 100d(d + 1) + 25. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons le résultat proposé.}
		
		\begin{align*}
			n^2 &= (10d+5)^2\\
			\intertext{\color{orange}Avec une identité remarquable:}
			n^2 &= (10d)^2+2 \times (10d) \times 5 +5^2\\
			&= 10^2 \times d^2 +2 \times 10 \times 5 \times d +25\\
			&= 100d^2+100d+25\\
			&= {\color{orange}100d\times} d + {\color{orange}100d\times} 1 +25\\
			&= {\color{orange}100d\times} (d+1) +25  
		\end{align*}
		
		Ainsi:
		
		\begin{conclusion}
			
			$n^2= 100d(d+1)+25$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliquer en quoi le résultat de la question 2 permet d’établir la technique de calcul mental présentée dans l’énoncé.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le nombre de centaine de $n^2$ est obtenu en multipliant le nombre de dizaine $d$ par l'entier qui le suit $d+1$, auquel il faut ajouter $25$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Comment, par extension de la technique de calcul mental présentée, calculer mentalement le carré de $3,5$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$3,5=\frac{35}{10}$ donc $3,5^2 = \left( \frac{35}{10} \right)^2=\frac{35^2}{100}$.
		
		Pour calculer $3,5^2$ il suffit d'utiliser la technique appliquée à $35$ est diviser par $100$ le résultat ainsi obtenu.
		
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	$ABE$ est un triangle rectangle en $E$.
	
	$AE = 5\ \mathrm{cm}$, $AB = 13\ \mathrm{cm}$.
	
	\medskip
	La droite $(BE)$ et la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$ se coupent en $C$.
	
	La droite $(AE)$ et la droite perpendiculaire à $(AC)$ passant par $C$ se coupent en $D$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Réaliser la figure en vraie grandeur.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Voici une construction uniquement à la règle et au compas.
		
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\BE{sqrt(13*13-25)};
			\def\HE{5*\BE/13};
			\def\AH{sqrt(25-\HE*\HE)};
			\coordinate(E) at ({\AH},{\HE});
			\draw (E) node[left]{$E$};
			\coordinate(A) at (0,0);
			\draw (A) node[above left]{$A$};
			\coordinate(B) at (13,0);
			\draw (B) node[below]{$B$};
			\coordinate (M) at (6.5,0);
			\draw[dashed][samples=100,domain=135:165] plot({13+8*cos(\x)},{8*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=15:45] plot({8*cos(\x)},{8*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-135:-165] plot({13+8*cos(\x)},{8*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-15:-45] plot({8*cos(\x)},{8*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-5:5] plot(6.5,{\x});
			\draw[dashed][samples=100,domain=0:180] plot({6.5+6.5*cos(\x)},{6.5*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=50:80] plot({5*cos(\x)},{5*sin(\x )});
			\draw[samples=100,domain=-5:15] plot({\x },{0});
			\draw[samples=100,domain=-1.5:0.1] plot({\x *(13-\AH)+13},{-\HE*\x});
			\draw[samples=100,domain=-5:8] plot(0,{\x});
			\def\AC{13*\HE/(13-\AH)};
			\coordinate (C) at (0,{\AC});
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw[samples=100,domain=-5:7] plot({\x},{\AC});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-10:10] plot({2*cos(\x)},{2*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=170:190] plot({2*cos(\x)},{2*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=100:130] plot({2+5*cos(\x)},{5*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=50:80] plot({-2+5*cos(\x)},{5*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-130:-100] plot({2+5*cos(\x)},{5*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-80:-50] plot({-2+5*cos(\x)},{5*sin(\x )});
			\draw[samples=100,domain=-0.5:1.5] plot({\x*\AH},{\x *\HE});
			\def\xD{\AH*\AC/\HE};
			\coordinate (D) at ({\xD},{\AC});
			\draw (D) node[above]{$D$};
			\draw[dashed][samples=100,domain=260:280] plot({2*cos(\x)},{\AC+2*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=80:100] plot({2*cos(\x)},{\AC+2*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=15:35] plot({5*cos(\x)},{\AC-2+5*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-35:-15] plot({5*cos(\x)},{\AC+2+5*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain={180-15}:{180-35}] plot({5*cos(\x)},{\AC-2+5*sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain={180+35}:{180+15}] plot({5*cos(\x)},{\AC+2+5*sin(\x )});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer l’aire du triangle $CEA$; on donnera l’arrondi au dixième de $\mathrm{mm}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire de $AEC$.}
		
		{\color{orange}La démonstration qui suit est longue, mais elle n'utilise que des outils mathématiques élémentaires.}
		
		\medskip
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item Montrons d'abord que $CEA$ est une réduction de $AEB$ (les triangles sont semblables).
			
			\medskip
			Notons $\widehat{EBA}=\theta$.
			
			Puisque $EAB$ est rectangle en $E$, $\widehat{BAE}=90-\theta$.
			
			Puisque $ABC$ est rectangle en $A$, $\widehat{EAC}=90-\widehat{BAE}=90-(90-\theta)=\theta$.
			
			Puisque $CEA$ est rectangle en $E$, $\widehat{ACE}=180-\widehat{CEA}-\widehat{EAC}=180-90-\theta=90-\theta$.
			
			Ainsi $CEA$ et $AEB$ ont des angles de mêmes mesures.
			
			\item Déterminons $EB$.
			
			\medskip
			$AEB$ étant rectangle en $E$, d'après le théorème de Pythagore,
			
			\begin{align*}
			AE^2+EB^2 &= AB^2\\
			\intertext{d'où:}
			EB^2 &= AB^2-AE^2\\
			&= 13^2-5^2\\
			&= 144\\
			\intertext{et puisque $EB$ est une longueur c'est un nombre positif, donc}
			EB &= \sqrt{144}\\
			&= 12
			\end{align*}
			
			\item Déterminons l'aire, $\mathscr{A}$, de $AEB$.
			
			\medskip
			Puisque $AEB$ est rectangle en $E$:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A} &= \frac{1}{2} \times AE \times EB\\
				&= \frac{1}{2} \times 5 \times 12\\
				&= 30 
			\end{align*}
			
			\item Déterminons le coefficient de réduction $\alpha$.
			
			\medskip
			\begin{align*}
				\frac{AE}{EB} &= \frac{5}{12}
			\end{align*}
			
			\item Déterminons l'aire $\mathscr{A}'$ de $CEA$.
			
			\medskip
			Puisque $CEA$ est rectangle en $E$:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}' &= \frac{1}{2} \times CE \times EA\\
				&= \frac{1}{2} \times \left( \frac{5}{12} AE \right)  \times \left( \frac{5}{12} EB \right)\\
				&= \frac{1}{2} \times \left( \frac{5}{12} \times 5 \right) \times \left( \frac{5}{12} \times 12 \right)\\
				&= \frac{125}{24}\\
				\intertext{EN tenant compte des unités:}
				\mathscr{A}' &= \frac{125}{24} {\color{orange}1\ \mathrm{cm}^2}\\
				&= \frac{125}{24}{\color{orange}100\ \mathrm{mm}^2}\\
				&= 520,8333\dots \ \mathrm{mm}^2
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le triangle $CEA$ a une aire de $520,8\ \mathrm{mm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}

\end{enumerate}
	
\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab}

	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau sans une case.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$