%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2017 sujet 5} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2017 groupe 5.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_5_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_5_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Un problème de boîte.}
	
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: étude d’un cas particulier.}

\begin{sujet}
	
	Dans un carré de carton dont le côté mesure $25\ \mathrm{cm}$, on enlève aux quatre coins un carré de côté de longueur $2\ \mathrm{cm}$ comme sur la figure ci-dessous.
	
	On obtient ainsi le patron d’une boîte sans couvercle:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.15]
			\coordinate (A) at (0,0);
			\coordinate (B) at (25,0);
			\coordinate (C) at (25,25);
			\coordinate (D) at (0,25);
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
			\def\l{7};
			\coordinate (A1) at ({\l},0);
			\coordinate (A2) at ({\l},{\l});
			\coordinate (A3) at (0,{\l});
			\fill[color=gray , opacity=0.50] (A)--(A1)--(A2)--(A3)--cycle;
			\coordinate (B1) at (25, {\l});
			\coordinate (B2) at ({25-\l},{\l});
			\coordinate (B3) at ({25-\l},0);
			\fill[color=gray , opacity=0.50] (B)--(B1)--(B2)--(B3)--cycle;
			\coordinate (C1) at ({25-\l}, {25});
			\coordinate (C2) at ({25-\l},{25-\l});
			\coordinate (C3) at (25,{25-\l});
			\fill[color=gray , opacity=0.50] (C)--(C1)--(C2)--(C3)--cycle;
			\coordinate (D1) at ({0},{25-\l});
			\coordinate (D2) at ({\l},{25-\l});
			\coordinate (D3) at ({\l},{25});
			\fill[color=gray , opacity=0.50] (D)--(D1)--(D2)--(D3)--cycle;
			\draw[dashed] (A2) -- (B2) -- (C2) -- (D2) -- cycle;
			\draw (A1) -- (A2) -- (A3);
			\draw (B1) -- (B2) -- (B3);
			\draw (C1) -- (C2) -- (C3);
			\draw (D1) -- (D2) -- (D3);
			\draw[>=latex, <->] ({25-\l},{25-\l-\l/2}) -- ({25},{25-\l-\l/2}) node[midway, below] {$2\ \mathrm{cm}$};
			\draw[>=latex, <->] ({0},{-\l/4}) -- ({25},{-\l/4}) node[midway, below] {$25\ \mathrm{cm}$};
		\end{tikzpicture} \hspace{0.8cm}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\long{8};
			\def\haut{2};
			\def\xprofond{4};
			\def\yprofond{3};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node[below left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
			\draw (B) node[below right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\long+\xprofond},{\yA+\yprofond});
			\draw (C) node[below right] {$C$};
			\coordinate (G) at ({\xA+\long+\xprofond},{\yA+\yprofond+\haut});
			\draw (G) node[above right] {$G$};
			\coordinate (H) at ({\xA+\xprofond},{\yA+\yprofond+\haut});
			\draw (H) node[above right] {$H$};
			\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\haut});
			\draw (E) node[above left] {$E$};
			\draw (A) -- (B) -- (C) -- (G) -- (H) -- (E) -- (A);
			\coordinate (F) at ({\xA+\long},{\yA+\haut});
			\draw (F) node[below right] {$F$};
			\draw (E) -- (F) -- (G);
			\draw (F) -- (B);
			\coordinate (D) at ({\xA+\xprofond},{\yA+\yprofond});
			\draw (D) node[above right] {$D$};
			\draw (H) -- (D);
			\coordinate (D1) at ({\xA+\xprofond*\haut/\yprofond},{\yA+\haut});
			\draw[dashed] (A) -- (D1);
			\draw (D) -- (D1);
			\coordinate (D2) at ({\xA+\long+\xprofond-\xprofond*\haut/\yprofond},{\yA+\yprofond});
			\draw (D) -- (D2);
			\draw[dashed] (D2) -- (C);
			\fill[color=orange , opacity=0.20] (A)--(B)--(F)-- (E) -- cycle;
			\fill[color=orange , opacity=0.20] (C)--(B)--(F)-- (G) -- cycle;
			\fill[color=orange , opacity=0.20] (G)--(H)--(D)-- (C) -- cycle;
			\fill[color=orange , opacity=0.20] (A)--(E)--(H)-- (D) -- cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\textbf{On admet que la base $ABCD$ de la boîte est un carré.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que le volume de cette boîte est de $882\ \mathrm{cm}^3$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ de la boîte.}
		
		Cette boîte est un parallélépipède rectangle donc: 
		
		\begin{align*}
			\mathscr{V}_1 &= AB \times BC \times FB \\
			\intertext{Or}
			AB &= \left( 25 \ \mathrm{cm} \right) -\left( 2 \ \mathrm{cm} \right) - \left( 2 \ \mathrm{cm} \right)\\
			\intertext{et}
			AB &= BC\\
			\intertext{donc:}
			\mathscr{V}_1 &= \left( 21 \ \mathrm{cm}\right) \times \left( 21 \ \mathrm{cm} \right) \times \left( 2 \ \mathrm{cm} \right)\\
			&= 21 \times 21 \times 2 \ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{V}_1= 882\ \mathrm{cm}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que l’aire de la surface de carton utilisée pour réaliser la boîte est de $609\ \mathrm{cm}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}_1$ de la boîte.}
		
		Le patron est formé d'un carré de côté $AB$ et de quatre rectangle semblables de côtés $AB$ et $FB$ donc
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_1 &= AB^2+4 \times AB \times FB\\
			&= \left( 21\ \mathrm{cm} \right)^2 + 4 \times \left( 21 \ \mathrm{cm} \right) \times \left( 2 \ \mathrm{cm} \right)\\
			&= 21^2 \ \mathrm{cm}^2 + 4 \times 21 \times 2\ \mathrm{cm} \cdot \mathrm{cm}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_1=609\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: étude du cas général.}

\begin{sujet}
	
	On note $x$ la longueur, en centimètre, du côté du carré enlevé à chaque coin d’un carré de carton dont le côté mesure $25\ \mathrm{cm}$.
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.1]
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (25,0);
		\coordinate (C) at (25,25);
		\coordinate (D) at (0,25);
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- cycle;
		\def\l{7};
		\coordinate (A1) at ({\l},0);
		\coordinate (A2) at ({\l},{\l});
		\coordinate (A3) at (0,{\l});
		\fill[color=gray , opacity=0.50] (A)--(A1)--(A2)--(A3)--cycle;
		\coordinate (B1) at (25, {\l});
		\coordinate (B2) at ({25-\l},{\l});
		\coordinate (B3) at ({25-\l},0);
		\fill[color=gray , opacity=0.50] (B)--(B1)--(B2)--(B3)--cycle;
		\coordinate (C1) at ({25-\l}, {25});
		\coordinate (C2) at ({25-\l},{25-\l});
		\coordinate (C3) at (25,{25-\l});
		\fill[color=gray , opacity=0.50] (C)--(C1)--(C2)--(C3)--cycle;
		\coordinate (D1) at ({0},{25-\l});
		\coordinate (D2) at ({\l},{25-\l});
		\coordinate (D3) at ({\l},{25});
		\fill[color=gray , opacity=0.50] (D)--(D1)--(D2)--(D3)--cycle;
		\draw[dashed] (A2) -- (B2) -- (C2) -- (D2) -- cycle;
		\draw (A1) -- (A2) -- (A3);
		\draw (B1) -- (B2) -- (B3);
		\draw (C1) -- (C2) -- (C3);
		\draw (D1) -- (D2) -- (D3);
		\draw[>=latex, <->] ({25-\l},{25-\l-\l/2}) -- ({25},{25-\l-\l/2}) node[midway, below] {$x$};
		\draw[>=latex, <->] ({0},{-\l/4}) -- ({25},{-\l/5}) node[midway, below] {$25\ \mathrm{cm}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelles sont les valeurs possibles pour $x$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque deux morceaux de longueur $x$, en centimètre, sont ôtés de chaque côté il faut que $2x\leqslant 25$. Donc $x\leqslant 12,5$.
		
		De plus $x$ étant une longueur c'est un nombre positif.
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$x\in [0;12,5]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On appelle $V$ la fonction donnant le volume, en centimètre cube, de la boîte en fonction de $x$.
		
		Montrer que: $V(x)= x(25-2x)^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'expression de $V$.}
		
		Soit $x \in [0;12,5]$.
		
		En procédant comme dans la première partie, et toutes les longueurs étant exprimées en centimètre:
		
		\begin{align*}
			V(x) &= AB \times BC \times FB\\
			&= (25-2x) \times (25-2x) \times x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V(x)= x(25-2x)^2$ quelque soit $x \in [0;12,5]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On appelle $A$ la fonction donnant l’aire, en centimètre carré, de la surface de carton utilisée pour réaliser la boîte en fonction de $x$.
		
		Exprimer $A(x)$ en fonction de $x$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'expression de $A$.}
		
		Soit $x \in [0;12,5]$.
		
		En procédant comme dans la première partie, et toutes les longueurs étant exprimées en centimètre:
		
		\begin{align*}
			A(x) &= AB^2 + AB \times FB\\
			&= (25-2x)^2 + 4 \times(25-2x) \times x
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$A(x)= (25-2x)^2+4x(25-2x)$ quelque soit $x \in [0;12,5]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Vérifier que les expressions trouvées en B.2) et B.3) permettent de retrouver les résultats obtenus dans la partie A.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons les volumes et aires pour $x=2$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item 
			
			\begin{align*}
				V({\color{orange}2}) &= {\color{orange}2}(25-2 \times {\color{orange}2})^2\\
				&= 881
			\end{align*}
			
			\item
			
			\begin{align*}
				A({\color{orange}2}) &= (25-2 \times {\color{orange}2})^2+ 4\times {\color{orange}2}(25-2\times {\color{orange}2}) \\
				&= 609
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			Nous avons bien $V(2)=\mathscr{V}_1$ et $A(2)=\mathscr{A}_1$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a construit avec un tableur une table de valeurs de la fonction $V$ (voir copie d’écran ci-après).
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{0.3cm}|r|r|}
				\hline
				\cellcolor{orange!20}& \cellcolor{orange!20} \texttt{A} & \cellcolor{orange!20} \texttt{B}
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 1 & \hspace{1cm} \texttt{x} & \hspace{1cm} \texttt{V(x)}
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 2 & 0 & 0
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 3 & 1 & 529
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 4 & 2 & 882
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 5 & 3 & 1083
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 6 & 4 & 1156
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 7 & 5 & 1125
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 8 & 6 & 1014
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 9 & 7 & 847
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 10 & 8 & 648
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 11 & 9 & 441
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 12 & 10 & 250
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 13 & 11 & 99
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 14 & 12 & 12
				\\
				\hline
				\cellcolor{orange!20} 15 & 12,5 & 0
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		Les questions qui suivent visent à résoudre le problème suivant:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{10cm}}
				\emph{quelle(s) valeur(s) de $x$ permet(tent) de fabriquer une boîte de volume égal à $1$ litre?}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle formule a pu être entrée en $\texttt{B}2$, puis recopiée vers le bas, pour calculer les valeurs de la colonne $\texttt{B}$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$=\texttt{A}2*(25-\texttt{A}2)\wedge 2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En s’appuyant sur cette table, dire si le problème (obtenir une boîte de volume égal à $1$ litre) possède ou non des solutions.
			
			Si des solutions existent, donner pour chacune un encadrement d’amplitude $1\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Par continuité des variations du volume lorsque $x$ augmente nous savons que nous obtenons les volumes intermédiaires à ceux apparaissant dans la table de valeurs.
			
			Or 
			
			\begin{align*}
				1\ \mathrm{L} &= 1\ {\color{orange}\mathrm{dm}}^3\\
				&= 1\times \left( {\color{orange}10\ \mathrm{cm}} \right)^3\\
				&=1 \times 10^3 \ \mathrm{cm}^3\\
				&= \np{1000}\ \mathrm{cm}^3
			\end{align*}
			
			donc nous cherchons des valeurs de $x$ pour lesquelles le volume est au alentour de $1000$.
			
			Par lecture de la table: si $x=2$ alors le volume est de $882\ \mathrm{cm}^3$ et si $x=3$ alors le volume est de $1083\ \mathrm{cm}^3$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				il existe une première solution comprise entre $2$ et $3$ centimètres.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			
			Par lecture de la table: si $x=6$ alors le volume est de $1014\ \mathrm{cm}^3$ et si $x=7$ alors le volume est de $847\ \mathrm{cm}^3$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				il existe une seconde solution comprise entre $6$ et $7$ centimètres.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Décrire une démarche utilisant le tableur permettant d’obtenir un encadrement plus précis (d’amplitude $0,1\ \mathrm{cm}$) de la (des) solution(s).
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous pourrions refaire la même table mais en mettant dans la colonne \texttt{A} des valeurs allant de $0,1$ en $0,1$ en partant de $0$.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici une représentation graphique de la fonction $V$:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
			\def\xY{-0};
			\def\yY{-0};
			\def\xZ{13};
			\def\yZ{13};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[xstep=0.5cm,ystep=0.5cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\foreach \x in {0,1, 2, ..., 12}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {0,1,2,...,12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$00$};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12.5] plot(\x,{\x*(25-2*\x)*(25-2*\x)/100});
			\draw (10,-1) node {Côté du carré en $\mathrm{cm}$.};
			\draw (3,13.5) node {Volume de la boîte en $\mathrm{cm}^3$.};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		
		\begin{sujet}
			
			À l’aide de ce graphique, expliquer comment on peut retrouver une valeur approchée du résultat trouvé à la question A.1)
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Recherchons graphiquement le volume maximal.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
				\def\xY{-0};
				\def\yY{-0};
				\def\xZ{13};
				\def\yZ{13};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm,ystep=0.5cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\foreach \x in {0,1, 2, ..., 12}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$00$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12.5] plot(\x,{\x*(25-2*\x)*(25-2*\x)/100});
				\draw (10,-1) node {Côté du carré en $\mathrm{cm}$.};
				\draw (3,13.5) node {Volume de la boîte en $\mathrm{cm}^3$.};
				\draw [very thick,red,dashed] (2,0) -- (2,{2*(25-2*2)*(25-2*2)/100}) -- (0,{2*(25-2*2)*(25-2*2)/100});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Par lecture graphique $\mathscr{V}_1 \approx 880\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Lire sur le graphique le volume maximal que l’on peut obtenir (avec la précision permise par le graphique), et la valeur de $x$ correspondante.
			
		\end{sujet}
		
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Recherchons l'image de $2$ par $V$ graphiquement.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
				\def\xY{-0};
				\def\yY{-0};
				\def\xZ{13};
				\def\yZ{13};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm,ystep=0.5cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\foreach \x in {0,1, 2, ..., 12}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$00$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12.5] plot(\x,{\x*(25-2*\x)*(25-2*\x)/100});
				\draw (10,-1) node {Côté du carré en $\mathrm{cm}$.};
				\draw (3,13.5) node {Volume de la boîte en $\mathrm{cm}^3$.};
				\draw [very thick,red,dashed] ({4.1+2/60},0) -- ({4.1+2/60},{(4.1+2/60)*(25-2*(4.1+2/60))*(25-2*(4.1+2/60))/100});
				\draw [very thick,red,dashed] (0,{(4.1+2/60)*(25-2*(4.1+2/60))*(25-2*(4.1+2/60))/100}) -- (13,{(4.1+2/60)*(25-2*(4.1+2/60))*(25-2*(4.1+2/60))/100});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Par lecture graphique le volume maximal est de $\np{1160}\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique déterminer les valeurs de $x$ (approchées au millimètre) pour lesquelles la boîte a pour volume $1\ \mathrm{L}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Recherchons les antécédents de $1000$ par $V$.}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.7,yscale=0.7]
				\def\xY{-0};
				\def\yY{-0};
				\def\xZ{13};
				\def\yZ{13};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[xstep=0.5cm,ystep=0.5cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\foreach \x in {0,1, 2, ..., 12}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {0,1,2,...,12}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$00$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12.5] plot(\x,{\x*(25-2*\x)*(25-2*\x)/100});
				\draw (10,-1) node {Côté du carré en $\mathrm{cm}$.};
				\draw (3,13.5) node {Volume de la boîte en $\mathrm{cm}^3$.};
				\draw [very thick,red,dashed] (0,10) -- (13,10);
				\draw [very thick,red,dashed] (2.5,10) -- (2.5,0);
				\draw [very thick,red,dashed] (6.096118,10) -- (6.096118,0);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le volume est de $1\ \mathrm{L}$ pour $x\approx 2,5$ ou $x \approx 6,1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: couvercle de la boîte.}

\begin{sujet}
	
	Un artisan pâtissier souhaite utiliser ce type de patron pour construire des boîtes pour emballer des chocolats. Il choisit d’enlever à chaque coin des carrés de $6\ \mathrm{cm}$ de côté.
	
	Il fabrique par ailleurs des couvercles de forme pyramidale.
	
	Sur le dessin en perspective ci-dessous, $ABCDEFGH$ est la boîte obtenue et $JEFGH$, son couvercle, est une pyramide de sommet $J$, tel que $A$, $E$ et $J$ sont alignés.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
		\def\long{8};
		\def\haut{3};
		\def\xprofond{3};
		\def\yprofond{2};
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\draw (A) node[below left] {$A$};
		\coordinate (B) at ({\xA+\long},{\yA});
		\draw (B) node[below right] {$B$};
		\coordinate (C) at ({\xA+\long+\xprofond},{\yA+\yprofond});
		\draw (C) node[below right] {$C$};
		\coordinate (G) at ({\xA+\long+\xprofond},{\yA+\yprofond+\haut});
		\draw (G) node[above right] {$G$};
		\coordinate (H) at ({\xA+\xprofond},{\yA+\yprofond+\haut});
		\draw (H) node[below right] {$H$};
		\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\haut});
		\draw (E) node[above left] {$E$};
		\coordinate (F) at ({\xA+\long},{\yA+\haut});
		\draw (F) node[above] {$F$};
		\coordinate (D) at ({\xA+\xprofond},{\yA+\yprofond});
		\draw (D) node[below right] {$D$};
		\def\yEJ{5};
		\coordinate (J) at ({\xA},{\yA+\haut+\yEJ});
		\draw (J) node[left] {$J$};
		\draw (A) -- (B) -- (C) -- (G) -- (J) -- (E) -- (A);
		\draw (E) -- (F) -- (G);
		\draw (J) -- (F) -- (B);
		\draw[dashed] (A) -- (D) -- (C);
		\draw[dashed] (E) -- (H) -- (G);
		\draw[dashed] (J) -- (H) -- (D);
		\def\langle{0.5};
		\fill[gray, opacity=0.4] ({\xA},{\yA+\haut}) -- ({\xA+\langle},{\yA+\haut}) -- ({\xA+\langle},{\yA+\haut+\langle}) -- ({\xA},{\yA+\haut+\langle});
		\draw ({\xA+\langle},{\yA+\haut}) -- ({\xA+\langle},{\yA+\haut+\langle}) -- ({\xA},{\yA+\haut+\langle});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle doit être la hauteur $JE$ de la pyramide pour que le volume de la pyramide soit égal à celui de la boîte?
		
		On rappelle que le volume d’une pyramide dont la base a pour aire $A$ et dont la hauteur est $h$ est égal à: \[ V = \frac{A \times h}{3}. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la hauteur de la pyramide pour laquelle la boîte et la pyramide ont le même volume.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Calculons le volume de la boîte.
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_2 &= V(6)\\
				&= 6 \times (25 -2 \times 6)^2\\
				&= 1014
			\end{align*}
			
			\item Exprimons le volume $\mathscr{V}_3$ de la pyramide en fonction de la hauteur $h=EJ$.
			
			La base $EFGH$ de la pyramide étant un carré de côté $EF=AB$:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_3(h) &= \frac{AB^2 \times EJ}{3}\\
				&= \frac{(25-2 \times 6)^2 \times h}{3}\\
				&= \frac{169}{3} h
			\end{align*}
			
			\item Résolvons l'équation: $\mathscr{V}_2= \mathscr{V}_3(h)$.
			
			Cette dernière équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				1014 &= \frac{169}{3} h\\
				1014 {\color{orange} \times \frac{3}{169}} &= \frac{169}{3} h  {\color{orange} \times \frac{3}{169}}\\
				1014 \times \frac{3}{169} &= h\\
				18 &= h
			\end{align*}
						
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			La boîte et la pyramide ont la même hauteur lorsque $h=18\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour des raisons esthétiques, l’artisan choisit $JE = 8\ \mathrm{cm}$.
		
		Tracer sur la copie le patron de cette pyramide à l’échelle $1/4$.
		
		Coder ce patron pour faire apparaître les angles droits et les segments de même mesure.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Traçons un patron de la pyramide.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
				\def\xE{0};
				\def\yE{0};
				\def\AB{13};
				\coordinate (E) at ({\xE},{\yE});
				\coordinate (F) at ({\xE+\AB},{\yE});
				\def\h{8};
				\coordinate (J) at ({\xE},{\yE+\h});
				\draw (E) -- (J);
				\coordinate (H) at ({\xE-\AB},{\yE});
				\draw (F) -- (J) node[midway] {$\circ$};
				\draw (H) -- (J) node[midway] {$\circ$};
				\draw (E) -- (F) node[midway] {$\parallel$};
				\draw (E) -- (H) node[midway] {$\parallel$};
				\def\angle1{atan(\h/\AB)};
				\coordinate (G1) at ({\xE+\AB+\AB*cos(180-\angle1-90)},{\yE+\AB*sin(180-\angle1-90)});
				\draw (G1) -- (J)node[midway,sloped] {$\Delta$};
				\draw (F) -- (G1) node[midway,sloped] {$\parallel$};
				\coordinate (G2) at ({\xE-\AB+\AB*cos(\angle1+90)},{\yE+\AB*sin(\angle1+90)});
				\draw (J) -- (G2)node[midway,sloped] {$\Delta$};
				\draw (H) -- (G2) node[midway,sloped] {$\parallel$};
				\def\per{1};
				\fill[gray,opacity=0.4] ({\xE},{\yE+\per}) --+ ({\per},0) --+ ({\per},{-\per}) -- (0,0);
				\draw ({\xE},{\yE+\per}) --+ ({\per},0) --+ ({\per},{-\per});
				\fill[gray,opacity=0.4] ({\xE+\AB},{\yE}) -- ({\xE+\AB-\per*cos(\angle1)},{\yE+\per*sin(\angle1)}) -- ({\xE+\AB-\per*cos(\angle1)+\per*cos(90-\angle1)},{\yE+\per*sin(\angle1)+\per*sin(90-\angle1)}) -- ({\xE+\AB+\per*cos(90-\angle1)},{\yE + \per*sin(90-\angle1)});
				\draw ({\xE+\AB},{\yE}) -- ({\xE+\AB-\per*cos(\angle1)},{\yE+\per*sin(\angle1)}) -- ({\xE+\AB-\per*cos(\angle1)+\per*cos(90-\angle1)},{\yE+\per*sin(\angle1)+\per*sin(90-\angle1)}) -- ({\xE+\AB+\per*cos(90-\angle1)},{\yE + \per*sin(90-\angle1)});
				\fill[gray,opacity=0.4] ({\xE-\AB},{\yE}) -- ({\xE-\AB+\per*cos(\angle1)},{\yE+\per*sin(\angle1)}) -- ({\xE-\AB+\per*cos(\angle1)-\per*cos(90-\angle1)},{\yE+\per*sin(\angle1)+\per*sin(90-\angle1)}) -- ({\xE-\AB-\per*cos(90-\angle1)},{\yE + \per*sin(90-\angle1)});
				\draw ({\xE-\AB},{\yE}) -- ({\xE-\AB+\per*cos(\angle1)},{\yE+\per*sin(\angle1)}) -- ({\xE-\AB+\per*cos(\angle1)-\per*cos(90-\angle1)},{\yE+\per*sin(\angle1)+\per*sin(90-\angle1)}) -- ({\xE-\AB-\per*cos(90-\angle1)},{\yE + \per*sin(90-\angle1)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D: décoration de la boîte.}

\begin{sujet}
	
	L’artisan souhaite utiliser les chutes restantes après la construction du patron de la boîte de chocolats (des carrés de $6\ \mathrm{cm}$ de coté) pour y dessiner le logo de sa pâtisserie, inscrit dans un hexagone régulier comme sur la figure ci-dessous.
	
	$A$ est le centre du carré, $B$ et $C$ deux sommets consécutifs de l’hexagone régulier.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\rayon{3};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node {$+$};
			\draw (A) node[below left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\rayon*cos(30)},{\yA+\rayon*sin(30)});
			\draw (B) node[above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\rayon*cos(90)},{\yA+\rayon*sin(90)});
			\draw (C) node[above] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA+\rayon*cos(150)},{\yA+\rayon*sin(150)});
			\coordinate (E) at ({\xA+\rayon*cos(210)},{\yA+\rayon*sin(210)});
			\coordinate (F) at ({\xA+\rayon*cos(270)},{\yA+\rayon*sin(270)});
			\coordinate (G) at ({\xA+\rayon*cos(330)},{\yA+\rayon*sin(330)});
			\draw (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (F) -- (G) -- cycle;
			\draw[samples=100,domain=0:360] plot({\xA+\rayon*cos(\x)},{\yA+\rayon*sin(\x)});
			\coordinate (M) at ({\xA+\rayon},{\yA+\rayon});
			\coordinate (N) at ({\xA-\rayon},{\yA+\rayon});
			\coordinate (O) at ({\xA-\rayon},{\yA-\rayon});
			\coordinate (P) at ({\xA+\rayon},{\yA-\rayon});
			\draw (M) -- (N) -- (O) -- (P) -- cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Justifier que $ABC$ est un triangle équilatéral.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Puisque $[AB]$ et $[AC]$ sont deux rayons d'un même cercle: $AB=AC$. Donc $ABC$ est isocèle en $A$.
			
			\item Comme de plus l'hexagone est régulier $\widehat{BAC}$ mesure un sixième de l'angle plein: $\widehat{BAC}= \frac{1}{6} \times 360= 60$.
			
			\item Comme la somme des angles d'un triangle vaut $180\degres$:
			
			\begin{align*}
				\widehat{BAC} + \widehat{ACB} + \widehat{CBA} &= 180\\
				\intertext{Or $ABC$ étant isocèle en $A$: $\widehat{ACB}=\widehat{CBA}$, donc:}
				60+2\widehat{ACB} &= 180\\
				2\widehat{ACB} &= 120\\
				\widehat{ACB} &= 60\\
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		Ainsi tous les angles du triangle ont même mesure:
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABC$ est équilatéral.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Reproduire cette figure en vraie grandeur sur la copie.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Nous commençons par dessiner un carré de côté $6$.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\rayon{3};
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node {$+$};
			\draw (A) node[left] {$A$};
			\coordinate (B) at ({\xA+\rayon*cos(30)},{\yA+\rayon*sin(30)});
			\draw (B) node[above right] {$B$};
			\coordinate (C) at ({\xA+\rayon*cos(90)},{\yA+\rayon*sin(90)});
			\draw (C) node[above] {$C$};
			\coordinate (D) at ({\xA+\rayon*cos(150)},{\yA+\rayon*sin(150)});
			\coordinate (E) at ({\xA+\rayon*cos(210)},{\yA+\rayon*sin(210)});
			\coordinate (F) at ({\xA+\rayon*cos(270)},{\yA+\rayon*sin(270)});
			\coordinate (G) at ({\xA+\rayon*cos(330)},{\yA+\rayon*sin(330)});
			\draw (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (F) -- (G) -- cycle;
			\draw[samples=100,domain=0:360] plot({\xA+\rayon*cos(\x)},{\yA+\rayon*sin(\x)});
			\coordinate (M) at ({\xA+\rayon},{\yA+\rayon});
			\coordinate (N) at ({\xA-\rayon},{\yA+\rayon});
			\coordinate (O) at ({\xA-\rayon},{\yA-\rayon});
			\coordinate (P) at ({\xA+\rayon},{\yA-\rayon});
			\draw (M) -- (N) -- (O) -- (P) -- cycle;
			\draw[red,dashed] (M) -- (O);
			\draw[red,dashed] (N) -- (P);
			\draw[red] (C) node {$\times$};
			\draw [dashed,red] [samples=100,domain=190:230] plot ({\xA+\rayon*cos(90)+\rayon*cos(\x)},{\yA+\rayon*sin(90)+\rayon*sin(\x)});
			\draw [dashed,red] [samples=100,domain=260:280] plot ({\xA+\rayon*cos(150)+\rayon*cos(\x)},{\yA+\rayon*sin(150)+\rayon*sin(\x)});
			\draw [dashed,red] [samples=100,domain=320:350] plot ({\xA+\rayon*cos(210)+\rayon*cos(\x)},{\yA+\rayon*sin(210)+\rayon*sin(\x)});
			\draw [dashed,red] [samples=100,domain=20:60] plot ({\xA+\rayon*cos(270)+\rayon*cos(\x)},{\yA+\rayon*sin(270)+\rayon*sin(\x)});
			\draw [dashed,red] [samples=100,domain=80:100] plot ({\xA+\rayon*cos(330)+\rayon*cos(\x)},{\yA+\rayon*sin(330)+\rayon*sin(\x)});
			%Dessiner C
			\draw [dashed,red] [samples=100,domain=20:80] plot ({\xA-\rayon+1.3*\rayon*cos(\x)},{\yA+\rayon+1.3*\rayon*sin(\x)});
			\draw [dashed,red] [samples=100,domain=120:170] plot ({\xA+\rayon+1.3*\rayon*cos(\x)},{\yA+\rayon+1.3*\rayon*sin(\x)});
			\draw [dashed,red] [samples=100,domain={-1.5*\rayon}:{1.5*\rayon}] plot ({\xA},{\yA+\rayon+\x});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer l’aire de l’hexagone. On donnera la valeur exacte et l’arrondi au $\mathrm{mm}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		L'hexagone est formé de six triangles qui ont tous la même aire que $ABC$.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons l'aire, $\mathscr{A}(ABC)$ de $ABC$.}
		
		Notons $H$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans $ABC$ et déterminons $AH$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\xH{0};
				\def\yH{0};
				\def\rayon{3};
				\coordinate (H) at ({\xH},{\yH});
				\coordinate (B) at ({\xH-\rayon/2},{\yH});
				\coordinate (A) at ({\xH},{\yH+sqrt(3)/2*\rayon});
				\coordinate (C) at ({\xH+\rayon/2},{0});
				\draw (A) -- (B) -- (C) -- cycle;
				\draw (A) -- (H);
				\draw (A) node[above]{$A$};
				\draw (B) node[below left]{$B$};
				\draw (C) node[below right]{$C$};
				\draw (H) node[below]{$H$};
				\def\per{0.25};
				\draw ({\xH},{\yH+\per}) -- ({\xH+\per},{\yH+\per}) -- ({\xH+\per},{\yH});
				\fill[gray, opacity=0.4] ({\xH},{\yH+\per}) -- ({\xH+\per},{\yH+\per}) -- ({\xH+\per},{\yH}) -- ({\xH},{\yH}) -- cycle;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		$ABH$ est rectangle en $H$ donc, d'après le théorème de Pythagore \[ BH^2+HA^2=AB^2. \]
		
		D'une part $AB=3$ et d'autre part, puisque $ABC$ est équilatéral et que ses hauteurs et ses médianes se confondent $H$ est le milieu de $[BC]$ et donc: $BH=\frac{3}{2}$. Ainsi: \[ \left( \frac{3}{2} \right)^2 + HA^2 = 3^2. \]
		
		D'où:
		
		\begin{align*}
			\left( \frac{3}{2} \right)^2 + HA^2 {\color{orange}-\left( \frac{3}{2} \right)^2} &= 3^2 {\color{orange} - \left( \frac{3}{2} \right)^2}\\
			AH^2 &= \frac{27}{4}\\
			\intertext{$AH$ est une longueur donc est positive:}
			AH &= \sqrt{\frac{27}{4}}\\
			&= \frac{3}{2} \sqrt{3}
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons
		\begin{align*}
			\mathscr{A}(ABC) &= \frac{1}{2}BC \times AH\\
			&= \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{3}{2} \sqrt{3}\\
			&= \frac{9}{4}\sqrt{3}
		\end{align*}
		
		Et enfin, toutes les longueurs étant exprimées en centimètres, l'aire de l'hexagone est donc
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_3 &= 6 \times \mathscr{A}(ABC)\\
			&= 6 \times \frac{9}{4} \sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2\\
			&= \frac{27}{2} \sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2\\
			&\approx 23,38268\ \mathrm{cm}^2
		\end{align*}
		
		Comme $1\ \mathrm{cm}^2=1 \times \left( 0,1 \ \mathrm{cm} \right)^2 = 0,01\ \mathrm{cm}^2$ en arrondissant au $\mathrm{mm}^2$
		
		\begin{conclusion}
			
			l'aire de l'hexagone est $27\sqrt{3} \approx 23,38\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	On peut lire sur la porte d’un magasin: \textbf{$-30\ \%$ sur tous les articles}.
	
\end{sujet}
\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le prix soldé d’un article qui valait $132\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons le prix soldé, $V_A$.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de $30\ \%$ est
		
		\begin{align*}
			CM_1 &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{-30}{100}\\
			&= 0,7
		\end{align*}
		
		Donc la valeur d'arrivée après la baisse est de
		
		\begin{align*}
			V_A &= CM \times V_D\\
			&= 0,7 \times 132
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$V_A = 92,4\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer le prix initial d’un article dont le prix soldé est $29,40\ \text{\euro}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Retrouvons la valeur de départ, $V_D$ de l'article.}
		
		\[ V_A =CM \times V_D.\]
		
		Or $V_A= 29,40$ et $CM=0,7$ donc:
		
		\begin{align*}
			29,40 &= 0,7 \times V_D\\
			\frac{29,40}{\color{orange}0,7} &= \frac{0,7 \times V_D}{\color{orange}0,7}\\
			42 &= V_D
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le prix initial de l'article était $42\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En fin de période de soldes ce magasin propose une réduction supplémentaire de $20\ \%$ sur les prix déjà soldés. Le propriétaire annonce alors une baisse de $50\ \%$. Cette annonce est-elle exacte?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Montrons avec un contre exemple que cela est inexacte.}
		
		Considérons un article de $V_1=100\ \text{\euro}$.
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de $20\ \%$ est $CM_2=0,8$ donc le prix après les baisses de $30$ puis $20\ \%$ est
		
		\begin{align*}
			V_2 &= CM_2 \left( CM \times 100 \right)\\
			&= 0,8 \times 0,7 \times 100\\
			&= 56
		\end{align*}
		
		Alors que s'il avait subit une baisse de $50\ \%$ il vaudrait évidemment $50\ \text{euro}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Cette annonce est inexacte.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un article avait augmenté au cours de l'année de $5\ \%$ et a été soldé à $30\ \%$ ensuite.
		
		Quel est alors le pourcentage de réduction par rapport au prix initial?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		\objectif{Déterminons le taux d'évolution global, $t_{g}$, correspondant à ces deux évolutions.}
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de $5\ \%$ est
		
		\begin{align*}
			CM_3 &= 1+ \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{5}{100}\\
			&= 1,05
		\end{align*}
		
		Donc le coefficient multiplicateur correspondant à ces deux évolutions successives est
		
		\begin{align*}
			CM_{g} &= CM_3 \times CM\\
			&= 1,05 \times 0,7\\
			&= 0,735
		\end{align*}
		
		Le taux d'évolution correspondant est donc
		
		\begin{align*}
			t_{g} &= 100 \times (CM_{g}-1)\\
			&= 100 \times (0,735-1)\\
			&= -26,5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le prix a baissé de $26,5\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	On considère l’algorithme ci-dessous programmé à l’aide du logiciel Scratch.
	
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_01_scratch.png}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_5_02_scratch.sb2}{Télécharger le programme Scratch}.
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On décide d’entrer le nombre $7$. Montrer que le résultat obtenu est $64$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Construisons le tableau d'état des variables correspondant.}
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			Instruction & réponse & $x$ & $y$ & dire
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_13_ligne_1_algorithme.png} & $7$ &&&
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_14_ligne_2_algorithme.png} & $7$ & $7$ &&
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_15_ligne_3_algorithme.png} & $7$ & $7$ & $7+2=9$ &
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_16_ligne_4_algorithme.png} & $7$ & $7$ & $9$ & $7 \times 9 +1=64$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le résultat obtenu est bien $64$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On choisit $19$ comme nombre de départ. Quel est alors le résultat?
		
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}
		
		\objectif{Construisons le tableau d'état des variables correspondant.}
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
			\hline
			Instruction & réponse & $x$ & $y$ & dire
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_13_ligne_1_algorithme.png} & $19$ &&&
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_14_ligne_2_algorithme.png} & $19$ & $19$ &&
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_15_ligne_3_algorithme.png} & $19$ & $19$ & $19+2=21$ &
			\\
			\hline
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_16_ligne_4_algorithme.png} & $19$ & $19$ & $21$ & $19 \times 21 +1=400$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le résultat obtenu en choisissant $19$ est $400$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que quel que soit le nombre impair choisi au départ le résultat est toujours le carré d’un nombre et un multiple de $4$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		Soit $n$ un entier impair.
		
		Puisque $n$ est impair il existe un entier $p$ tel que: $n=2p+1$.
		
		Dressons le tableau d'état des variables.
		
		{\hspace*{-1cm}
			\begin{tabular}{|c|c|c|m{2cm}|m{2cm}|}
				\hline
				Instruction & réponse & $x$ & $y$ & dire
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_13_ligne_1_algorithme.png} & $2p+1$ &&&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_14_ligne_2_algorithme.png} & $2p+1$ & $2p+1$ &&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_15_ligne_3_algorithme.png} & $2p+1$ & $2p+1$ & $2p+1+2=2p+3$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_16_ligne_4_algorithme.png} & $2p+1$ & $2p+1$ & $2p+3$ & $(2p+1) \times (2p+3)+1$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			}
			
			Ainsi le résultat est 
			
			\begin{align*}
				r &= (2p+1)(2p+3)+1\\
				&= 2p \times 2p +2p \times 3 +1 \times 2p + 1 \times 3 +1\\
				&= 4p^2+6p+2p+3+1\\
				&= 4p^2+8p+4\\
				&= 4(p^2+2p+1)\\
				&= 4(p+1)^2 \quad {\color{blue}(1)}\\
				&= \left[ 2(p+1) \right]^2 \quad {\color{blue}(2)}
			\end{align*}
			
			D'après ${\color{blue}(1)}$ et ${\color{blue}(2)}$ nous pouvons affirmer respectivement que
			
			\begin{conclusion}
				
				le résultat est un carré d'un entier et un multiple de $4$.
				
			\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Pour fêter le premier anniversaire de son ouverture, un magasin offre à ses clients des tickets à gratter. Certains tickets sont perdants, d’autres permettent de gagner des bons d’achat de $5\ \text{\euro}$, de $10\ \text{\euro}$ ou
	de $100\ \text{\euro}$.
	
	Au bout d’une journée, le commerçant comptabilise:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		
		\item $200$ tickets perdants,
		\item $444$ tickets à $5\ \text{\euro}$,
		\item $330$ tickets à $10\ \text{\euro}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Combien y avait-il de tickets à $100\ \text{\euro}$, sachant que la moyenne des gains était de $8,12\ \text{\euro}$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre, $n$, de tickets à $100\ \text{\euro}$.}
		
		Le gain moyen pour un ticket est de
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{n_1x_1+n_2x_2+ \dots +n_px_p}{n_1+n_2+ \dots + n_p}\\
			\intertext{Ce qui équivaut successivement à:}
			8,12 &= \frac{200 \times 0+444 \times 5+ 330 \times 10+n \times 100}{200+444 + 330+n}\\
			8,12 &= \frac{100n+5520}{n+974}\\
			8,12 {\color{orange} \times (n+974)} &= \frac{100n+5520}{n+974} {\color{orange} \times (n+974)}\\
			8,12n + 7908,88 &= 100n +5520\\
			8,12n + 7908,88 {\color{orange}-100n} &= 100n +5520 {\color{orange}-100n}\\
			-91,88n+7908,88 &= 5520\\
			-91,88n+7908,88 {\color{orange}-7908,88} &= 5520 {\color{orange}-7908,88}\\
			-91,88n &= -2388,88\\
			\frac{-91,88n}{\color{orange}-91,88} &= \frac{-2388,88}{\color{orange}-91,88}\\
			n &= 26
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il y avait $26$ ticket à $100\ \text{\euro}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si les tickets à $100\ \text{\euro}$ sont remplacés par des tickets $1000\ \text{\euro}$, quelle est la nouvelle moyenne des gains?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			\objectif{Calculons le gain moyen.}
			
			\begin{align*}
				\overline{x} &= \frac{200 \times 0+444 \times 5+ 330 \times 10+26 \times 1000}{200+444 + 330+26}\\
				&= 31,52
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le gain moyen est alors de $31,52\ \text{\euro}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi la médiane des gains n’est pas modifiée.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La médiane est la valeur du gain qui correspond à la limite entre la moitié constituée des plus petits gains et la moitié constituée des grands gains. Si les plus grandes valeurs sont augmentées cela ne modifie en rien la répartition en deux groupes, ni la valeur limite qu'est la médiane.}
			
			\medskip
			Notons $s$ la valeur des plus gros gains donc $100$ ou $1000$ euros.
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons la médiane de la série des gains.}
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
					\hline
					Gains & $0$ & $5$ & $10$ & $n$
					\\
					\hline
					Effectifs & $200$ & $444$ & $330$ & $26$
					\\
					\hline
					E.C.C. & $200$ & $644$ & $974$ & $1000$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item La série des gains est ordonnée dans le tableau.
				
				\item Position de la médiane. $\frac{N}{2}= \frac{1000}{2} =500$. La série est paire donc la médiane se trouve entre la cinq-centième et la cinq-cent-unième valeurs de la série.
				
				\item Donc d'après les effectifs cumulés croissants:
				
				\begin{align*}
					Me &= \frac{5+5}{2}\\
					&= 2
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			Nous avons pu déterminer la médiane sans faire intervenir la valeur des gros gains (pourvu qu'ils restent les gros gain).
			
			\begin{conclusion}
				
				La médiane des gains n'est pas modifiée en augmentant les plus gros gains.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Lors d’une phase d’institutionnalisation, l'enseignante d’une classe de CM1 demande aux élèves de proposer une phrase pour dire ce qu’est un nombre décimal.
	
	Elle les invite à commencer leur phrase par \og Un nombre décimal est... \fg{}.
	
	\medskip
	Voici quatre propositions d’élèves:
	
	\medskip
	Omar:
	
	\begin{center}
		
		\og Un nombre décimal est un nombre avec une virgule. \fg{}
		
	\end{center}
	
	\medskip
	Lucie:
	
	\begin{center}
		
		\og Un nombre décimal est un nombre entre deux entiers. \fg{}
		
	\end{center}
	
	\medskip
	Léo:
	
	\begin{center}
		
		\og Un nombre décimal est un nombre avec une partie entière avant la virgule et une partie décimale après la virgule. \fg{}
		
	\end{center}
	
	\medskip
	Aminata:
	
	\begin{center}
		
		\og Un nombre décimal est une fraction avec 10 ou 100 en bas. \fg{}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Expliquer pour chacune des quatre propositions, pourquoi elle n’est pas satisfaisante du point de vue des mathématiques et ne peut pas être retenue par l’enseignante.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item La proposition d'Omar est fausse car $1,333\dots$ est un nombre avec une virgule mais n'est pas un nombre décimal.
			
			\item La proposition de Lucie est fausse car $1\leqslant \frac{1}{3} \leqslant 2$ et pourtant $\frac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.
			
			\item La proposition de Léo est fausse car, par exemple, $1,333\dots$ a une partie entière et une partie décimale et pourtant ce n'est pas un nombre décimal.
			
			\item La proposition d'Aminata est fausse car, par exemple, $\frac{1}{1000}$ est un nombre décimal écrit sous forme de fraction et pourtant sont dénominateur n'est ni $10$ ni $100$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer une phrase commençant par \og Un nombre décimal est... \fg{}, que l’enseignante pourrait faire écrire aux élèves dans leur cahier lors de cette phase d’institutionnalisation.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous forme d'une fraction dont le dénominateur est un multiple de $10$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est constituée de trois situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Le problème suivant, inspiré des propositions de la banque outil Eduscol, a été proposé à des
	élèves de CE2.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{m{10cm}}
			\og \emph{Jade monte au deuxième étage de la tour Eiffel. Elle a déjà monté $568$ marches. Il reste $136$ marches. Combien de marches y a-t-il pour monter au deuxième étage?} \fg{}
		\end{tabular}
				
	\end{center}
	
	Voici les productions de quatre élèves.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{c}
		Élève A.
		\\
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_03_eleve_a.png}
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{c}
		Élève B.
		\\
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_04_eleve_b.png}
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{c}
		Élève C.
		\\
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_05_eleve_c.png}
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{c}
			Élève D.
			\\
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_06_eleve_d.png}
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur quel type de problèmes porte cet exercice?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Les élèves A et C recourent à des schémas de la situation. Expliciter leur intérêt dans la procédure de l’élève.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser chacune des productions des élèves B, C et D. Émettre une hypothèse sur l’origine des erreurs éventuelles.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle aide peut-on proposer à l’élève C pour qu’il comprenne mieux la situation?
			
		\end{sujet}
		
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle aide peut-on proposer aux élèves B et D pour qu’ils puissent progresser?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Document 1}: \og Vivre les maths CE1 \fg{} Nathan, éditions 2015, chapitre 119, la soustraction posée à retenue.
	
	\medskip
	\textbf{Document 2}: \og Pour comprendre les mathématiques CE1 \fg{} Hachette éducation, éditions 2014, chapitre 136, la
	soustraction posée avec retenue.
	
	\medskip
	\textbf{Document 3}: copie d’une trace écrite du cahier de leçons d’un élève de CE1.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_07_document_1.png}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_08_document_2.png}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_09_document_3.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sur quelle(s) connaissance(s) mathématique(s) s’appuie chacune des méthodes proposées pour effectuer une soustraction dans les deux présentations des manuels (documents 1 et 2)?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle propriété mathématique justifie la méthode proposée dans le document 3?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans le cadre de l’apprentissage de la soustraction, donner un avantage et un inconvénient de chacune
		des présentations de la technique opératoire de la soustraction proposées dans les trois documents.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici trois extraits de manuels de mathématiques:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{m{12cm}}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_10_figure_1.png}
				
				\emph{Figure 1: Extrait du manuel A "Pour comprendre les mathématiques" - CM1, Hachette (2016).}
			\end{center}
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{m{12cm}}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_11_figure_2.png}
				
				\emph{Figure 2: Extrait du manuel B "Les nouveaux outils pour les maths" - CM1, Magnard (2016).}
			\end{center}
		\end{tabular}
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{m{12cm}}
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_5_12_figure_3.png}
				
				\emph{Figure 3: Extrait du manuel C "Maths" Cycle 3, Hatier (2016).}
			\end{center}
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Ces extraits de manuels abordent le même savoir mathématique. Quel est-il?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser ces extraits de manuels au regard de l’apprentissage visé.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Suivant l’approche sous-tendue par le manuel utilisé, quelles difficultés les élèves risquent-ils de rencontrer au cycle 3?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}