%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2017 sujet 4} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2017 groupe 4.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_4_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_4_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\subsubsection{Partie A: puissance électrique d’une éolienne.}

\begin{sujet}
	
	Le graphique ci-dessous représente les variations de la puissance électrique, exprimée en kilowatt ($\mathrm{kW}$) fournie par une certaine éolienne, en fonction de la vitesse du vent, exprimée en mètre par seconde ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$).
	
	\medskip
	La forme de la courbe dépend des caractéristiques mécaniques et électriques de l’éolienne.
	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\\
		\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_01_graphique_eolienne.png}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	{\tiny Reproduit d’après la source : \url{http://www.vestas.com/en/products/turbines/v112-3_3_mw}}
	
	\end{center}
	
	Répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la puissance électrique de l’éolienne quand la vitesse du vent est $11\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
				
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\draw (0,0) node[fill=white] {\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_01_graphique_eolienne.png}};
			\draw[orange,dashed,very thick] (-0.2,-1.7) -- (-0.2,1.4) -- (-4.1,1.4);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			Quand le vent est de $11\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ la puissance de l'éolienne est $\np{3000}\ \mathrm{kW}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À partir de quelle vitesse du vent la puissance électrique de l’éolienne est-elle supérieure à $500\ \mathrm{kW}$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
			
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\draw (0,0) node[fill=white] {\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_01_graphique_eolienne.png}};
			\draw[orange,dashed,very thick] (-4.1,-1.2) -- (5,-1.2);
			\draw[orange,dashed,very thick] (-1.8,-1.2) -- (-1.8,-1.7);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			La puissance est supérieure à $500\ \mathrm{kW}$ à partir de $6,5\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La puissance électrique de l’éolienne est-elle proportionnelle à la vitesse du vent? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Si la puissance était proportionnelle à la vitesse du vent, la fonction donnant la puissance en fonction du vent serait une fonction linéaire. Sa courbe représentative serait une droite passant par l'origine du repère.
		
		Puisque la courbe n'est pas une droite passant par l'origine:
		
		\begin{conclusion}
			
			la puissance électrique n'est pas proportionnelle à la vitesse du vent.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour quelles vitesses du vent la puissance électrique de l’éolienne est-elle comprise entre $\np{1 000}$ et $\np{2 000}\ \mathrm{kW}$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\draw (0,0) node[fill=white] {\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_01_graphique_eolienne.png}};
			\draw[orange,dashed,very thick] (-4.1,-0.7) -- (5,-0.7);
			\draw[orange,dashed,very thick] (-1.4,-0.7) -- (-1.4,-1.7);
			\draw[violet,dashed,very thick] (-4.1,0.35) -- (5,0.35);
			\draw[violet,dashed,very thick] (-0.8,0.35) -- (-0.8,-1.7);
			\draw[red,very thick] (-1.4,-1.7) -- (-0.8,-1.7);
			\draw[red] (-1.4,-1.7) node{\large $[$};
			\draw[red] (-0.8,-1.7) node{\large $]$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			La puissance sera comprise entre $\np{1 000}$ et $\np{2 000}\ \mathrm{kW}$ si la vitesse est comprise entre $7,5\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$ et $9,5\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la puissance électrique maximale que peut fournir l'éolienne?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\draw (0,0) node[fill=white] {\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_01_graphique_eolienne.png}};
			\draw[orange,dashed,very thick] (-4.1,1.9) -- (5,1.9);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			La puissance maximale est de $\np{3500}\ \mathrm{kW}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À partir de quelle vitesse du vent, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$, la puissance électrique de l’éolienne est-elle supérieure à $\np{3000}\ \mathrm{kW}$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\draw (0,0) node[fill=white] {\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_01_graphique_eolienne.png}};
			\draw[orange,dashed,very thick] (-4.1,1.4) -- (5,1.4);
			\draw[orange,dashed,very thick] (-0.2,1.4) -- (-0.2,-1.7);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		La puissance de l'éolienne est supérieur à $\np{3000}\ \mathrm{kW}$ si la vitesse du vent est supérieure à $11\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$.
		
		Or 
		
		\begin{align*}
			11\ \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1} &= 11 \times \left(\frac{1}{1000}\ \mathrm{km}\right) \times \left( \frac{1}{3600}\ \mathrm{h} \right)^{-1}\\
			&= 11 \times \frac{1}{1000} \times \left( \frac{1}{3600} \right)^{-1}\ \mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}\\
			&= 39,6\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}
		\end{align*}
		
		donc
		
		\begin{conclusion}
			
			la puissance de l'éolienne est supérieur à $\np{3000}\ \mathrm{kW}$ si la vitesse du vent est supérieure à $39,6\ \mathrm{km}\cdot \mathrm{h}^{-1}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\begin{notabene}
			
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\draw (0,0) node[fill=white] {\includegraphics[scale=0.35]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_01_graphique_eolienne.png}};
				\def\xY{-5.5};
				\def\yY{-3.5};
				\def\xZ{5.5};
				\def\yZ{3.5};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw[orange,dashed,very thick] (-4.1,1.4) -- (5,1.4);
				\draw[orange,dashed,very thick] (-0.2,1.4) -- (-0.2,-1.7);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{notabene}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B : calcul de la puissance récupérable d’une éolienne.}

\begin{sujet}
	
	On dispose des informations suivantes sur les éoliennes:
	
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}
		\hline
		La \textbf{puissance récupérable} d’une éolienne, exprimée en watt, notée $P_{\text{récupérable}}$, se calcule à l’aide de la formule: \[ P_{\text{récupérable}}= C_p \times P_{\text{disponible}} \] où $C_p$ est \textbf{le coefficient de performance} de l’éolienne et $P_{\text{disponible}}$ est la  \textbf{puissance disponible} de l’éolienne, exprimée en watt, fournie par le vent.
		
		Les puissances récupérables et disponibles fournissent des valeurs théoriques qui ne tiennent pas compte des contraintes mécaniques (minimum ou maximum de vitesse du vent).
		\\
	\end{tabular}
	
	\noindent
	\begin{tabular}{|m{12.5cm}|}
		\begin{tabular}{m{7cm}m{5cm}}
			La puissance disponible se calcule à l’aide la formule: \[ P_{\text{disponible}}= \frac{1}{2} \times r \times S \times V^3 \] où
			
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				\item $r$ est la densité de l'air (l'industrie éolienne utilise la valeur $1,225\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$),
				
				\item $S$ est l’aire de la surface balayée par les pales de l’éolienne (en $\mathrm{m}^2$), c'est-à-dire l’aire d’un disque dont le diamètre $D$ est celui de l’éolienne (en $\mathrm{m}$),
				
				\item $V$ la vitesse du vent (en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$).
				
			\end{enumerate}
			
			&
			\begin{center}
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_02_dessin_eolienne.png}
			\end{center}
			\\
		\end{tabular}
		\\
		D’après les principes de la mécanique, la valeur maximale du coefficient de performance $C_p$ est $\displaystyle \frac{16}{27}$.
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Dans cette question, l’éolienne considérée a pour diamètre $112\ \mathrm{m}$ et pour coefficient de performance $0,52$.}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer l’aire de la surface balayée par les pales de cette éolienne.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons l'aire, $S_1$, balayée par les pales.}
			
			Puisqu'il s'agit d'un disque de diamètre $D$:
			
			\begin{align*}
			S_1 &= \pi \left( \frac{D}{2} \right)^2\\
			&= \pi \left( \frac{112\ \mathrm{m}}{2} \right)^2\\
			&= \pi \left( \frac{112}{2}\ \mathrm{m} \right)^2\\
			&= \pi \left( 56\ \mathrm{m} \right)^2\\
			&= \pi 56^2\ \mathrm{m}^2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$S_1=3136\pi\ \mathrm{m}^2 \approx 9852,03\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la puissance récupérable de cette éolienne, exprimée en watt, est $P_{\text{récupérable}}=998,816 \pi \times V^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $P_{\text{récupérable}}$.}
			
			\begin{align*}
				P_{\text{récupérable}} &= C_p \times P_{\text{disponible}}\\
				&= C_p \times \frac{1}{2} \times r \times S_1 \times V^3\\
				&= 0,52 \times \frac{1}{2} \times 1,225 \times 3136\pi \times V^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$P_{\text{récupérable}}= 998,816\pi \times V^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la puissance récupérable, exprimée en kilowatt, de cette éolienne pour un vent de $6\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$. On arrondira le résultat au centième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $P_{\text{récupérable}}(6)$.}
			
			\begin{align*}
				P_{\text{récupérable}}(6) &= 998,816\pi \times 6^3\ {\color{orange}\mathrm{W}}\\
				&= 215744,256\pi {\color{orange} \frac{1}{1000}\ \mathrm{kW}}\\
				&\approx 677,7805697\ \mathrm{kW}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$P_{\text{récupérable}}(6) \approx 677,78\ \mathrm{kW}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer pourquoi la puissance récupérable est multipliée par $8$ lorsque la vitesse du vent est multipliée par $2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}La puissance récupérable est proportionnelle au cube de la vitesse du vent c'est ce qui explique que lorsque le vent double, la puissance est multipliée par $2^3=8$.}
			
			\medskip
			\objectif{Déterminons la puissance récupérable lorsque le vent double.}
			
			Nous savons déjà que
			
			\begin{align*}
				P_{\text{récupérable}}({\color{orange}V}) &= C_p \times \frac{1}{2} \times r \times S_1 \times {\color{orange}V}^3\\
				\intertext{Donc:}
				P_{\text{récupérable}}({\color{orange}2V}) &= C_p \times \frac{1}{2} \times r \times S_1 \times \left( {\color{orange}2V}\right)^3\\
				&= C_p \times \frac{1}{2} \times r \times S_1 \times 2^3 \times V^3\\
				&= {\color{WildStrawberry}2^3} \times C_p \times \frac{1}{2} \times r \times S_1 \times V^3\\
				&= {\color{WildStrawberry}8} P_{\text{récupérable}}({\color{orange}V})
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Lorsque la vitesse du vent double la puissance est multipliée par $8$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			La puissance récupérable de cette éolienne est-elle proportionnelle à la vitesse du
			vent? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si la puissance et la vitesse du vent étaient proportionnelles lorsque la vitesse double devrait doubler aussi. Or ce n'est pas le cas d'après la question précédente, donc
			
			\begin{conclusion}
				
				puissance récupérable et vitesse du vent ne sont pas proportionnelles.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que d’une manière générale, pour une éolienne de diamètre $D$, on a \[ P_{\text{récupérable}}< 0,29 \times D^2 \times V^3. \]
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons l'inégalité proposée.}
		
		\begin{align*}
			C_p &\leqslant \frac{16}{27}\\
			\intertext{D'où, la puissance disponible étant positive {\color{orange}(le sens de l'inégalité est conservé)}:}
			C_p \times P_{\text{disponible}} &\leqslant \frac{16}{27} \times P_{\text{disponible}}\\
			\intertext{Compte tenu de la formule de $P_{\text{diponible}}$ nous avons successivement:}
			C_p \times \frac{1}{2} \times r \times S \times V^3 &\leqslant  \frac{16}{27} \times \frac{1}{2} \times r \times S \times V^3 \\
			P_{\text{récupérable}} &\leqslant \frac{16}{27} \times \frac{1}{2} \times 1,225 \times \pi\left( \frac{D}{2} \right)^2 \times V^3 \\
			P_{\text{récupérable}} &\leqslant \frac{16}{27} \times \frac{1}{2} \times 1,225 \times \pi \times \frac{1}{4} \times D^2 \times V^3 \\
			P_{\text{récupérable}} &\leqslant \frac{49}{540} \times \pi \times D^2 \times V^3\\
			\intertext{En calculant et en prenant une valeur approchée par excès au millième:}
			P_{\text{récupérable}} &\leqslant 0,286 \times D^2 \times V^3
		\end{align*}
		
		Finalement
		
		\begin{conclusion}
			
			$P_{\text{récupérable}}<0,29\times D^2 \times V^3$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: étude de la production éolienne en France en 2015.}

\begin{sujet}
	
	On appelle \textbf{puissance nominale} d’une éolienne la puissance électrique maximale qu’elle peut fournir.
	
	\medskip
	\textbf{L’énergie électrique produite par l’éolienne} sur une durée $t$ se calcule en multipliant la puissance nominale $P$ de l’éolienne par la durée $t$ considérée et un \textbf{facteur de charge $f$} qui dépend de la région. Cette énergie électrique est notée $E$. Ainsi, \[ E=P \times t \times f. \]
	
	Si la puissance nominale est exprimée en watt ($\mathrm{W}$) et le temps en heure ($\mathrm{h}$), l’énergie électrique sera exprimée en Watt-heure ($\mathrm{Wh}$).
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La carte représentée ci-dessous donne, suivant les régions, le facteur de charge en 2015 pour la production éolienne:
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_03_carte_de_france.png}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On considère une éolienne de puissance nominale $4\ \mathrm{MW}$ implantée en région Centre-Val de Loire. Calculer, en $\mathrm{MWh}$, l’énergie électrique produite durant l’année 2015 par cette éolienne.
			
			\emph{On rappelle que $1$ mégawatt est égale à $1$ million de watts ou encore que $1\ \mathrm{MW} = 10^6\ \mathrm{W}$.}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $E$.}
			
			\begin{align*}
				E &= P \times t \times f\\
				&= \left( 4\ \mathrm{MW} \right) \times \left( 365 \times 24\ \mathrm{h} \right) \times \frac{25,8}{100}\\
				&= 4 \times 365 \times 24 \times \frac{25,8}{100} \ \mathrm{MW} \cdot \mathrm{h}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$9040,32\ \mathrm{MW}\cdot \mathrm{h}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			L’énergie électrique totale produite en 2015 dans l’ensemble de la région Centre-Val de Loire par les parcs éoliens est de $1,98 \times 10^6\ \mathrm{MWh}$. Calculer la puissance nominale totale des éoliennes installées dans cette région.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la puissance nominale totale $P_t$.}
			
			Nous savons que:
			
			\begin{align*}
				E &= P_t \times t \times f\\
				\intertext{Ceci équivaut successivement à:}
				1,98 \times 10^6 \ \mathrm{MW}\cdot \mathrm{h} &= P_t \times \left( 365 \times 24 \ \mathrm{h} \right) \times \frac{25,8}{100} \\
				1,98 \times 10^6 \ \mathrm{MW}\cdot \mathrm{h} &= P_t \times 2260,08\ \mathrm{h}\\
				\frac{1,98 \times 10^6 \ \mathrm{MW}\cdot \mathrm{h}}{\color{orange}2260,08\ \mathrm{h}} &= \frac{P_t \times 2260,08\ \mathrm{h}}{\color{orange}2260,08\ \mathrm{h}}\\
				\frac{1,98 \times 10^6}{2260,08}\ \mathrm{MW} &= P_t\\
				876,07518 &\approx P_t
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$P_t\approx 876\ \mathrm{MW}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		L’énergie électrique totale produite par l’éolien en France en 2015 est d’environ $21,9 \times 10^6\ \mathrm{MWh}$. Sachant que le taux moyen de couverture de la production d’énergie électrique en France en 2015 par la production éolienne est de $4,5\ \%$, calculer l’énergie électrique produite au total en France en 2015. Arrondir le résultat au million de $\mathrm{MWh}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la production totale d'énergie $E_t$.}
		
		\begin{align*}
			\frac{4,5}{100} \times E_t &= 21,9\times 10^6\ \mathrm{MW} \cdot \mathrm{h}\\
			0,045 \times E_t &= 21,9\times 10^6\ \mathrm{MW} \cdot \mathrm{h}\\
			\frac{0,045 \times E_t}{\color{orange}0,045} &= \frac{21,9\times 10^6\ \mathrm{MW} \cdot \mathrm{h}}{\color{orange}0,045}\\
			E_t &= \frac{21,9\times 10^6}{0,045}\ \mathrm{MW} \cdot \mathrm{h}\\
			E_t &\approx 486,666 \times 10^6\ \mathrm{MW}\cdot \mathrm{h}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$E_t\approx 487\times 10^{6}\ \mathrm{MW}\cdot \mathrm{h}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cet exercice comporte cinq affirmations. Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse fausse n'enlève pas de point, une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\underline{Affirmation}: Un quadrilatère qui a trois angles droits est un carré.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Un rectangle dont deux côtés consécutifs ont pour longueurs respectives $1$ et $2$ n'est pas un carré et a pourtant trois angles droits.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans une boucherie, on peut lire: \og $3$ steaks hachés achetés, $1$ steak en plus gratuit\fg{}.
		
		Solène demande $3\ \mathrm{kg}$ de viande hachée. Une fois la commande préparée, le boucher déclare: \og J’ai haché la viande que j'utilise pour les steaks, aussi je vous fais bénéficier de la promotion. Vous ne payez donc que $2\ \mathrm{kg}$ de viande.\fg{}
		
		\medskip
		\underline{Affirmation}: Le boucher se trompe; il aurait dû lui faire payer $2,250\ \mathrm{kg}$ de viande.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Par proportionnalité nous complétons le tableau suivant:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Payé en $\mathrm {kg}$ & $3$ & $2$
				\\
				\hline
				Reçu en $\mathrm{kg}$ & $4$ & $2,666...$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		
		\end{center}
		
		Il aurait dû lui faire payer $2,667\ \mathrm{kg}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie	.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère la figure ci-dessous.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=-8]
				\def\xI{0};
				\def\yI{0};
				\coordinate (I) at ({\xI},{\yI});
				\draw (I) node[below left] {$I$};
				\def\IJ{2};
				\coordinate (J) at ({\xI+\IJ	},{\yI});
				\draw (J) node[below right] {$J$};
				\def\IK{4};
				\coordinate (K) at ({\xI},{\yI+\IK});
				\draw (K) node[above left] {$K$};
				\draw (I) -- (J) -- (K) -- cycle;
				\def\IM{0.8};
				\coordinate (M) at ({\xI+\IM	},{\yI});
				\draw (M) node[below] {$M$};
				\def\IL{1.6};
				\coordinate (L) at ({\xI},{\yI+\IL});
				\draw (L) node[left] {$L$};
				\draw (L) -- (M);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		On sait que: $M \in [IJ]$; $L \in [IK]$; $IM = 0,8$; $IL = 1,6$; $LK = 2,4$ et $IJ = 2$.
		
		\medskip
		\underline{Affirmation}: Les droites $(ML)$ et $(KJ)$ sont parallèles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item Les points $I$, $L$, $K$ d'une part et $I$, $M$, $J$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item D'une part
			
			\begin{align*}
				\frac{IM}{IJ} &= \frac{0,8}{2}\\
				&= 0,4
			\end{align*}
			
			et d'autre part
			
			\begin{align*}
				\frac{IL}{IK} &= \frac{1,6}{1,6+2,4}\\
				&= 0,4
			\end{align*}
			
			donc $\frac{IM}{IJ} =\frac{IL}{IK}$.
			
		\end{enumerate}
		
		Des deux points précédents nous déduisons, d'après la réciproque du théorème de Thalès, que: $(ML) \parallel (KJ)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\underline{Affirmation}: Le carré d’un nombre entier positif premier admet exactement trois
		diviseurs positifs.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $p$ un nombre premier. $p^2$ a pour diviseurs $1$, $p$, $p^2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;6]$ par: \[ f(x)=8x-\frac{4}{3} x^2 \] et on donne sa représentation graphique ci-dessous:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-0.9};
			\def\yY{-1.9};
			\def\xZ{6.9};
			\def\yZ{13.9};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white,dotted] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1,2,3,...,6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {-1,1,2,...,13}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{8*\x-4/3*\x*\x});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\underline{Affirmation}: $4$ a pour antécédent un nombre compris entre $10$ et $11$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Par lecture graphique:
		
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
			\def\xY{-0.9};
			\def\yY{-1.9};
			\def\xZ{6.9};
			\def\yZ{13.9};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			%\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white,dotted] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1,2,3,...,6}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {-1,1,2,...,13}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:6] plot(\x,{8*\x-4/3*\x*\x});
			\draw[red,very thick, dashed] (0,4) -- (6.9,4);
			\draw[red,very thick, dashed] (0.55051026,4) -- (0.55051026,0);
			\draw[red,very thick, dashed] (5.4494897,4) -- (5.4494897,0);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		nous voyons que les antécédents de $4$ sont entre $0$ et $1$ ou entre $5$ et $6$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Jules possède deux dés cubiques équilibrés avec des faces numérotées de $1$ à $6$ (un rouge et un vert). Il propose à Paola un jeu au cours duquel chacun des joueurs, à tour de rôle, lance simultanément les deux dés et gagne des points suivant les règles ci-dessous:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\textbf{Règle de la paire}:
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				
				\item Si, lors d'un lancer, un joueur fait deux $1$, c'est-à-dire une paire de $1$, il remporte $1000$ points.
				
				\item Si un joueur obtient une paire de $2$, il obtient $100$ fois la valeur de $2$, soit $200$ points.
				
				\item De même, si un joueur obtient une paire de $3$ ou de $4$ ou de $5$ ou de $6$, il obtient $100$ fois la valeur du dé.
				
			\end{enumerate}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\textbf{Règle des autres lancers}:
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				
				\item Si un joueur obtient un résultat autre qu'une paire, il obtient $50$ points.
				
			\end{enumerate}
			
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\textbf{Gain de la partie}:
			\begin{enumerate}[$\bullet$]
				
				\item Le gagnant de la partie est le premier à atteindre au moins un total de $1000$.
				
			\end{enumerate}
			
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		{\tiny \emph{Inspiré d’un exercice du manuel TRANSMATHS 3ème, 2016, Editions Nathan.}}
		
	\end{center}
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Paola lance les deux dés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité qu’elle obtienne exactement $400$ points?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Pour schématiser la situation nous allons utiliser un tableau double entrée en indiquant en entête de colonnes le nombre obtenu sur le dé vert et en entête de ligne le nombre obtenu avec le dé rouge.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					\backslashbox{R}{V} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 
					\\
					\hline
					1 & $(1,1)$ & $(1,2)$ & $(1,3)$ & $(1,4)$ & $(1,5)$ & $(1,6)$
					\\
					\hline
					$2$ & $(2,1)$ & $(2,2)$ & $(2,3)$ & $(2,4)$ & $(2,5)$ & $(2,6)$
					\\
					\hline
					$3$ & $(3,1)$ & $(3,2)$ & $(3,3)$ & $(3,4)$ & $(3,5)$ & $(3,6)$
					\\
					\hline
					$4$ & $(4,1)$ & $(4,2)$ & $(4,3)$ & $(4,4)$ & $(4,5)$ & $(4,6)$
					\\
					\hline
					$5$ & $(5,1)$ & $(5,2)$ & $(5,3)$ & $(5,4)$ & $(5,5)$ & $(5,6)$
					\\
					\hline
					$6$ & $(6,1)$ & $(6,2)$ & $(6,3)$ & $(6,4)$ & $(6,5)$ & $(6,6)$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			}
			
			L'univers $\Omega$ est formé de tous les couples d'entiers compris entre $1$ et $6$. $\Omega$ est muni de la loi d'équiprobabilité{\color{orange}: tous les couples ont la même probabilité d'être obtenus}. 
			
			\medskip
			{\color{orange}Dans les situations d'équiprobabilité les calculs de probabilités se ramènent à des dénombrement d'issues. Présentons donc les issues telles qu'elles nous intéressent, c'est-à-dire en indiquant les points:}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					\backslashbox{R}{V} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 
					\\
					\hline
					1 & $\np{1000}$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$
					\\
					\hline
					$2$ & $50$ & $200$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$
					\\
					\hline
					$3$ & $50$ & $50$ & $300$ & $50$ & $50$ & $50$
					\\
					\hline
					$4$ & $50$ & $50$ & $50$ &$ 400$ & $50$ & $50$
					\\
					\hline
					$5$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $500$ & $50$
					\\
					\hline
					$6$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $600$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			
			\end{center}
			
			Notons $E$: \og obtenir $400$ points.\fg{}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E)$.}
			
			Il y a équiprobabilité (entre les couples d'entiers), l'univers comporte $36$ issues, $E$ est réalisé par une seule issue (d'après le tableau) donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(E)=\frac{1}{36}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité qu’elle obtienne exactement $50$ points?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $F$: \og obtenir $50$ points.\fg{}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}(F)$.}
			
			Il y a équiprobabilité (entre les couples d'entiers), l'univers comporte $36$ issues, $F$ est réalisé par $36-6=30$ issues (d'après le tableau) donc \[ \mathbb{P}(F)=\frac{30}{36} \]
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}(F)=\frac{5}{6}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Paola a déjà joué deux tours et a obtenu $650$ points. Jules n’a toujours pas obtenu $1000$ points. Elle s’apprête à lancer les dés pour une troisième fois. Quelle est la probabilité qu’elle gagne la partie lors de son troisième lancer?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $G$: \og Paola gagnera la partie au troisième lancer\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(G)$.}
		
		Paola gagnera la partie si elle obtient un total supérieur à $\np{1000}$. Donc en notant $n$ le nombre de points obtenus au troisième lancé il faut que
		
		\begin{align*}
			650+n &\geqslant 1000\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
			650+n {\color{orange}-650} &\geqslant 1000 {\color{orange}-650}\\
			n &\geqslant 350
		\end{align*}
		
		{\color{orange}
			
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				\backslashbox{R}{V} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 
				\\
				\hline
				1 & $\color{red}\np{1000}$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$
				\\
				\hline
				$2$ & $50$ & $200$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$
				\\
				\hline
				$3$ & $50$ & $50$ & $300$ & $50$ & $50$ & $50$
				\\
				\hline
				$4$ & $50$ & $50$ & $50$ &$\color{red} 400$ & $50$ & $50$
				\\
				\hline
				$5$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $\color{red}500$ & $50$
				\\
				\hline
				$6$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $50$ & $\color{red}600$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		}
		
		Donc $G$ est, d'après le tableau, réalisé par $4$ issues.
		
		Comme de plus il y a équiprobabilité et que l'univers contient $36$ issues:
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(G) &= \frac{4}{36}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(G)=\frac{1}{9}$.
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la probabilité de gagner au moins $1000$ points en $1$ ou $2$ coups?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $H$: \og Obtenir au moins $1000$ points en $1$ ou $2$ coups.
		
		\medskip
		Voici un extrait de l'arbre pondéré correspondant aux deux lancers. Chaque niveau représente un lancer. Ne sont ici représentés que les chemins correspondant à un gain supérieur à $1000$ points.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.5,yscale=0.5]
			\coordinate (A1) at (4,8);
			\coordinate (A2) at (4,6);
			\coordinate (A3) at (4,4);
			\coordinate (A4) at (4,2);
			\coordinate (A5) at (4,0);
			\coordinate (A6) at (4,-2);
			\coordinate (A7) at (4,-4);
			\coordinate (A8) at (4,-6);
			\coordinate (A9) at (4,-8);
			\coordinate (A10) at (4,-10);
			\coordinate (A11) at (4,-12);
			\coordinate (A12) at (4,-14);
			\draw node (A1) at (A1) {$1000$};
			\draw node (A2) at (A2) {$600$};
			\draw node (A3) at (A3) {$500$};
			\draw node (A4) at (A4) {$400$};
			\draw node (A5) at (A5) {$1000$};
			\draw node (A6) at (A6) {$600$};
			\draw node (A7) at (A7) {$500$};
			\draw node (A8) at (A8) {$1000$};
			\draw node (A9) at (A9) {$600$};
			\draw node (A10) at (A10) {$1000$};
			\draw node (A11) at (A11) {$1000$};
			\draw node (A12) at (A12) {$1000$};
			\coordinate (B2) at (0,5);
			\draw node (B2) at (B2) {$600$};
			\coordinate (B3) at (0,-2);
			\draw node (B3) at (B3) {$500$};
			\coordinate (B4) at (0,-7);
			\draw node (B4) at (B4) {$400$};
			\coordinate (B5) at (0,-10);
			\draw node (B5) at (B5) {$300$};
			\coordinate (B6) at (0,-12);
			\draw node (B6) at (B6) {$200$};
			\coordinate (B7) at (0,-14);
			\draw node (B7) at (B7) {$50$};
			\coordinate (B1) at (0,8);
			\draw node (B1) at (B1) {$1000$};
			\coordinate (C) at (-10,-3);
			\draw (B2)--(A1)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B2)--(A2)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B2)--(A3)node[midway,sloped,below]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B2)--(A4)node[midway,sloped,below]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B3)--(A5)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B3)--(A6)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B3)--(A7)node[midway,sloped,below]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B4)--(A8)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B4)--(A9)node[midway,sloped,below]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B5)--(A10)node[midway,sloped,below]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B6)--(A11)node[midway,sloped,below]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (B7)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (C)--(B1)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (C)--(B2)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (C)--(B3)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (C)--(B4)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (C)--(B5)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (C)--(B6)node[midway,sloped,above]{\color{blue} \footnotesize $1/36$};
			\draw (C)--(B7)node[midway,sloped,below]{\color{blue} \footnotesize $30/36$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		 {\color{orange}Nous pouvons calculer la probabilité de $H$ en utilisant les règles de calculs sur les arbres pondérés: la probabilité d'un chemin et le produit des probabilités qui le jonchent (formule des probabilités composées) et la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent (définition de la probabilité d'un événement).}
		 
		 \begin{align*}
			 \mathbb{P}(H) &=  11 \times \frac{1}{36} \times  \frac{1}{36} + \frac{30}{36} \times \frac{1}{36}
		 \end{align*}
		 
		 \begin{conclusion}
		 	
		 	$\mathbb{P}(H)=\frac{41}{1296}$.
		 	
		 \end{conclusion}
	 	
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Voici un programme de calcul:
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_04_scratch.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_4_05_scratch.sb2}{Lien de téléchargement du programme Scratch.}
	
\end{correction}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On applique ce programme de calcul au nombre $10$. Montrer que le résultat affiché à la fin est $40$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Dressons le tableau d'état des variables de cet algorithme.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|c|c|c|}
					\hline
					& $x$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_15_ligne_scratch_x.png} & $10$ &&&&
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_16_ligne_scratch_a.png} & $10$ & $2$&&&
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_17_ligne_scratch_b.png} & $10$ & $2$ & $6$ &&
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_18_ligne_scratch_c.png} & $10$ & $2$ & $6$ & $30$ &
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_19_ligne_scratch_d.png} & $10$ & $2$ & $6$ & $30$ & $40$
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_20_ligne_scratch_sortie.png} &&&&& $\color{WildStrawberry}40$
					\\
					\hline
				\end{tabular}	
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On applique ce programme de calcul au nombre $-2$. Quel va être le résultat affiché
			à la fin? Justifier.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Dressons le tableau d'état des variables de cet algorithme.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|m{4cm}|c|c|c|c|c|}
					\hline
					& $x$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_15_ligne_scratch_x.png} & $-2$ &&&&
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_16_ligne_scratch_a.png} & $-2$ & $-10$&&&
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_17_ligne_scratch_b.png} & $-2$ & $-10$ & $-30$ &&
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_18_ligne_scratch_c.png} & $-2$ & $-10$ & $-30$ & $-6$ &
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_19_ligne_scratch_d.png} & $-2$ & $-10$ & $-30$ & $-6$ & $12$
					\\
					\hline
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_20_ligne_scratch_sortie.png} &&&&& $\color{WildStrawberry}12$
					\\
					\hline
				\end{tabular}	
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une modification possible de l’algorithme est copiée ci-dessous, mais il manque une instruction à la $4\ieme{}$ ligne.
		
		\begin{center}
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_06_scratch.png}
			
		\end{center}
		
		Comment compléter la $4\ieme{}$ ligne, là où il y a un carré blanc, par l’expression la plus simple possible pour que cet algorithme affiche le même résultat que l’algorithme
		précédent quel que soit le nombre entré?
		
	\end{sujet}
	
	
	\begin{correction}
		
		Dressons le tableau d'état des variables de l'algorithme précédent en l'appliquant à un nombre quelconque $x$.
		
		\medskip
		{	
			\hspace*{-0.5cm}
			\footnotesize
			\begin{tabular}{|m{3cm}|c|c|c|c|c|}
				\hline
				& $x$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_15_ligne_scratch_x.png} & $x$ &&&&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_16_ligne_scratch_a.png} & $x$ & $x-8$&&&
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_17_ligne_scratch_b.png} & $x$ & $x-8$ & $(x-8)\times 3$ & &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_18_ligne_scratch_c.png} & $x$ & $x-8$ & $(x-8)\times 3$ & $(x-8)*3+24$ &
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_19_ligne_scratch_d.png} & $x$ & $x-8$ & $(x-8)\times 3$ & $(x-8)*3+24$ & $\left[ (x-8)*3+24 \right] +x$
				\\
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_20_ligne_scratch_sortie.png} &&&&& $\color{WildStrawberry} 4x$
				\\
				\hline
			\end{tabular}	
		}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut compléter la $4\ieme{}$ ligne par: $4*x$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Dounia et Yanis ont acheté un coffret contenant des sachets de thé. Ces sachets ont une forme que l’on peut modéliser par un tétraèdre régulier.
	
	\medskip
	On rappelle qu'un tétraèdre régulier est une pyramide dont les $3$ faces latérales et la base sont des triangles équilatéraux.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\def\xAB{-2.5};
			\def\yAB{-4};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\def\xAC{-0.5};
			\def\yAC{-5};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\yA+\yAC});
			\def\xAD{2};
			\def\yAD{-4};
			\coordinate (D) at ({\xA+\xAD},{\yA+\yAD});
			\def\xAH{0};
			\def\yAH{-4.3};
			\coordinate (H) at ({\xA+\xAH},{\yA+\yAH});
			\draw (B) -- (C) node[sloped, midway]{\footnotesize $\parallel$};
			\draw (B) -- (C) node[midway, below left]{$a$};
			\draw (C) -- (D) node[sloped, midway]{\footnotesize $\parallel$};
			\draw[dashed] (D) -- (B) node[sloped, midway]{\footnotesize $\parallel$};
			\draw (A) -- (B) node[sloped, midway]{\footnotesize $\parallel$};
			\draw (A) -- (C) node[sloped, midway]{\footnotesize $\parallel$};
			\draw (A) -- (D) node[sloped, midway]{\footnotesize $\parallel$};
			\draw [dashed] (A) -- (H) node[midway,right]{$h$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	De plus, on rappelle que, pour un tétraèdre régulier ayant ses côtés de longueur notée $a$:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item la hauteur $h$ correspondant à la base d’aire $A_{\text{Base}}$ est donnée par la formule $\displaystyle h = \frac{a\sqrt{6}}{3}$,
		
		\item le volume $V$ est donné par la formule $\displaystyle V=\frac{A_{\text{Base}} \times h}{3}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le sachet de thé de Yanis a la forme d'un tétraèdre régulier $ABCD$ de côté $5,5\ \mathrm{cm}$ et est fabriqué en gaze de papier. On note $K$ le pied de la hauteur issue de $A$ dans le triangle $ABC$.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\def\xAB{-2.5};
			\def\yAB{-4};
			\coordinate (B) at ({\xA+\xAB},{\yA+\yAB});
			\def\xAC{-0.5};
			\def\yAC{-5};
			\coordinate (C) at ({\xA+\xAC},{\yA+\yAC});
			\def\xAD{2};
			\def\yAD{-4};
			\coordinate (D) at ({\xA+\xAD},{\yA+\yAD});
			\def\xAH{0};
			\def\yAH{-4.3};
			\coordinate (H) at ({\xA+\xAH},{\yA+\yAH});
			\draw[very thick] (B) -- (C);
			\draw (C) -- (D);
			\draw[dashed] (D) -- (B);
			\draw (A) -- (B);
			\draw (A) -- (C);
			\draw[very thick] (A) -- (D);
			\draw [dashed] (A) -- (H);;
			\def\xAK{(\xAB+\xAC)/2};
			\def\yAK{(\yAB+\yAC)/2};
			\coordinate (K) at ({\xA+\xAK},{\yA+\yAK});
			\draw (K) node[below left]{$K$};
			\draw (A) node[above]{$A$};
			\draw (B) node[left]{$B$};
			\draw (C) node[below left]{$C$};
			\draw (D) node[below right]{$D$};
			\draw [very thick] (A) -- (K);
			%Marque de l'angle droit
			\def\cm{0.3};
			\def\deltaxKA{-\cm*\xAK/(sqrt(\xAK*\xAK + \yAK*\yAK))};
			\def\deltayKA{-\cm*\yAK/(sqrt(\xAK*\xAK + \yAK*\yAK))};
			\def\deltaxBC{\cm*(-\xAB+\xAC)/(sqrt((-\xAB+\xAC)*(-\xAB+\xAC) + (-\yAB+\yAC)*(-\yAB+\yAC)))};
			\def\deltayBC{\cm*(-\yAB+\yAC)/(sqrt((-\xAB+\xAC)*(-\xAB+\xAC) + (-\yAB+\yAC)*(-\yAB+\yAC)))};
			\draw[thin]  ({\xA+\xAK+\deltaxKA},{\yA+\yAK+\deltayKA}) --+ ({\deltaxBC},{\deltayBC}) --+ ({\deltaxBC-\deltaxKA},{\deltayBC-\deltayKA});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Yanis remarque que seuls trois \og bords \fg{} sont collés (en gras sur le dessin: $[AK]$, $[BC]$ et $[AD]$). Il découpe la gaze le long de ces segments $[AD]$, $[AK]$, et $[BC]$, puis il met à plat. Il obtient un rectangle.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}
				\def\a{3};
				\def\xM{0};
				\def\yM{0};
				\coordinate (M) at ({\xM},{\yM});
				\def\xMN{2*\a};
				\def\yMN{0};
				\coordinate (N) at ({\xM+\xMN},{\yM+\yMN});
				\def\xMP{2*\a};
				\def\yMP{\a*sqrt(6)/3};
				\coordinate (P) at ({\xM+\xMP},{\yM+\yMP});
				\def\xMQ{0};
				\def\yMQ{\a*sqrt(6)/3};
				\coordinate (Q) at ({\xM+\xMQ},{\yM+\yMQ});
				\draw (M) -- (N) -- (P) -- (Q) -- cycle;
				\def\xMB{\a/2};
				\def\yMB{0};
				\coordinate (B) at ({\xM+\xMB},{\yM+\yMB});
				\draw (B) node[below]{$B$};
				\def\xMC{3*\a/2};
				\def\yMC{0};
				\coordinate (C) at ({\xM+\xMC},{\yM+\yMC});
				\draw (C) node[below]{$C$};
				\def\xMD{\a};
				\def\yMD{\a*sqrt(6)/3};
				\coordinate (D) at ({\xM+\xMD},{\yM+\yMD});
				\draw (D) node[above]{$D$};
				\draw (Q) -- (B) -- (D) -- (C) -- (P);
				\draw [thick] (B) -- (C) node[midway,sloped] {$\parallel$};
			\end{tikzpicture}
			
			\emph{Ce dessin n'est pas à l'échelle.}
			
		\end{center}
			
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer les dimensions de ce rectangle.
						
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{déterminons $A'A$ et $KA$.}
			
			\begin{center}
				
				\begin{tikzpicture}
				\def\a{3};
				\def\xM{0};
				\def\yM{0};
				\coordinate (M) at ({\xM},{\yM});
				\def\xMN{2*\a};
				\def\yMN{0};
				\coordinate (N) at ({\xM+\xMN},{\yM+\yMN});
				\def\xMP{2*\a};
				\def\yMP{\a*sqrt(6)/3};
				\coordinate (P) at ({\xM+\xMP},{\yM+\yMP});
				\def\xMQ{0};
				\def\yMQ{\a*sqrt(6)/3};
				\coordinate (Q) at ({\xM+\xMQ},{\yM+\yMQ});
				\draw (M) -- (N) -- (P) -- (Q) -- cycle;
				\def\xMB{\a/2};
				\def\yMB{0};
				\coordinate (B) at ({\xM+\xMB},{\yM+\yMB});
				\draw (B) node[below]{$B$};
				\def\xMC{3*\a/2};
				\def\yMC{0};
				\coordinate (C) at ({\xM+\xMC},{\yM+\yMC});
				\draw (C) node[below]{$C$};
				\def\xMD{\a};
				\def\yMD{\a*sqrt(6)/3};
				\coordinate (D) at ({\xM+\xMD},{\yM+\yMD});
				\draw (D) node[above]{$D$};
				\draw (Q) -- (B) -- (D) -- (C) -- (P);
				\draw [thick] (B) -- (C) node[midway,sloped] {$\parallel$};
				\draw (M) node[below left] {$K'$};
				\draw (N) node[below right] {$K$};
				\draw (P) node[above right] {$A$};
				\draw (Q) node[above left] {$A'$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{enumerate}[*]
				\item $A'A=2AD=2a=2 \times 5,5 \ \mathrm{cm}$.
				
				\begin{conclusion}
					
					$AA'= 11\ \mathrm{cm}$.
					
				\end{conclusion}				
				
				\item Le triangle $AKC$ est rectangle en $K$ donc, d'après le théorème de Pythagore:
				
				\begin{align*}
					AC^2 &= CK^2+KA^2\\
					\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
					a^2 &= \left( \frac{a}{2} \right)^2 + KA^2\\
					a^2 {\color{orange}-\left( \frac{a}{2} \right)^2} &= \left( \frac{a}{2} \right)^2 + KA^2 {\color{orange}-\left( \frac{a}{2} \right)^2}\\
					a^2-\frac{a^2}{2^2} &= KA^2\\
					a^2-\frac{1}{4}a^2 &= KA^2\\
					\frac{3}{4}a^2 &= KA^2\\
					\intertext{Puisque $KA$ est une longueur nous en déduisons:}
					\sqrt{\frac{3}{4}a^2} &= KA\\
					\sqrt{\frac{3}{4}} \times \sqrt{a^2} &= AK\\
					\frac{\sqrt{3}}{2} a &= KA\\
					\frac{\sqrt{3}}{2} \times 5,5\ \mathrm{cm}			
				\end{align*}
				
				\begin{conclusion}
					
					$KA= \frac{11}{4}\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{enumerate}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le volume du sachet de thé de Yanis. On donnera une valeur arrondie au dixième de centimètre cube.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $V$ du tétraèdre formé par le sachet de thé.}
			
			\begin{enumerate}[*]
				
				\item Commençons par déterminer l'aire $A_{\text{base}}$ d'une base du tétraèdre.
				
				Les faces du tétraèdre sont des triangles équilatéraux. Considérons pat exemple $ABC$.Puisque $K$ est le pied de la hauteur issue de $A$:
				
				\begin{align*}
					A_{\text{base}} &= \frac{1}{2} \times BC \times AK\\
					\intertext{Or $BC=a$ par construction et $AK=\frac{\sqrt{3}}{2} a$, d'après la question précédente, donc}
					A_{\text{base}} &= \frac{1}{2} \times a \times  \frac{\sqrt{3}}{2}a \\
					&= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
				\end{align*}
				
				
				\item Calculons maintenant $V$.
				
				D'après l'énoncé
				
				\begin{align*}
					V &= \frac{1}{3} \times A_{\text{base}} \times h\\
					&= \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \times \frac{a\sqrt{6}}{3}\\
					&= \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{6}}{3} \times a^2 \times a\\
					&= \frac{\sqrt{2}}{12} a^3\\
					&=\frac{\sqrt{2}}{12} \times \left( 5,5 \ \mathrm{cm} \right)^3\\
					&= \frac{\sqrt{2}}{12} \times 5,5^3 \ \mathrm{cm} ^3\\
					&\approx 19,6074\ \mathrm{cm}^3
				\end{align*}
				
			\end{enumerate}
			
			\begin{conclusion}
				
				$A_{\text{base}} \approx 58,8\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La marque pense proposer des sachets \og grand format \fg{}, présentés aussi sous la forme d’un tétraèdre régulier, mais d’un volume au moins deux fois plus grand que le sachet de thé choisi par Yanis.
		
		Dounia pense qu’en multipliant par $1,3$ les longueurs des côtés du tétraèdre $ABCD$, les conditions de la marque pour obtenir un sachet \og grand format \fg{} seront satisfaites.
		
		Justifier l’affirmation de Dounia.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Au cours de la question précédente nous avons établi que $V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^3$, donc si la longueur de l'arête est multipliée par $1,3$ le volume devient 
		
		\begin{align*}
			V &= \frac{\sqrt{2}}{12} \left(1,3a \right)^3\\
			&= 1,3^3 \times \frac{\sqrt{2}}{12}a^3\\
			&= 2,197 \times \frac{\sqrt{2}}{12}a^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le volume est multiplié par un peu plus de deux.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Cette partie est composée de quatre situations indépendantes.}
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Le problème suivant a été proposé à une classe de CP au mois de juin.
	
	\begin{center}
			
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\og À la récréation, Léo joue aux billes. Au début de la partie il possède $12$ billes. Il gagne $9$ billes. Combien a-t-il de billes à la fin de la partie?\fg{}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Voici quatre productions d'élèves:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Léane
			\\
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_07_leanne.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Enzo
			\\
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_08_enzo.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Zélie
			\\
			\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_09_zelie.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Miléna
			\\
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_10_milena.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour les productions de Léanne, Zélie et Miléna, indiquer les procédures probablement utilisées.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		La production d’Enzo permet-elle d’évaluer la maîtrise d’une procédure relevant du calcul? Justifier la réponse.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les procédures mises en œuvre pour chacun des élèves de cycle 2 pour effectuer le calcul en ligne $29 + 47$.
		
		\begin{enumerate}[]
			\item \underline{Élève A}
			
			$29+47= 29+1+46=30+46=76$.
			
			\item \underline{Élève B}
			
			$29+47= 60+16=76$.
			
			\item \underline{Élève C}
			
			$29+47= 69+7=76$.
			
		\end{enumerate}
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un élève de cycle 3 a écrit les opérations en ligne suivantes:
		
		\[\begin{array}{lr}
			96 + 53 + 4 = 96 + 4 + 53 = 100 + 53 = 153. & \text{(ligne a)}
			\\
			&\\
			14 \times 5 = 7 \times 2 \times 5 = 7 \times 10 = 70 & \text{(ligne b)}
			\\
			&\\
			6 \times 12 = 6 \times 10 + 2 \times 10 = 60 + 12 = 72 & \text{(ligne c)}
			\\
			&\\
		\end{array}\]
		
		Pour chaque ligne, quelle(s) propriété(s) des opérations est/sont mise(s) en œuvre par l’élève dans la procédure de calcul?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant propose le problème suivant à ses élèves de cycle 3:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			\og Sur une table, il y a un livre ouvert. Si j’ajoute le nombre indiquant le numéro de la page gauche avec celui qui indique le numéro de la page de droite, je trouve $129$. À quelles pages le livre est-il ouvert? \fg{}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		{\tiny Source : Circonscription de Metz Nord - \url{http://www4.ac-nancy-metz.fr/ien57metznord/spip.php?article205}}
		
	\end{center}
	
	Proposer deux procédures que peuvent mettre en œuvre des élèves pour résoudre ce problème.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 4.}

\begin{sujet}

	Dans une classe de CM2 un professeur propose de jouer au \og Compte est bon \fg{}:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Il s'agit d'obtenir $42$ en faisant des opérations avec les nombres: \[ 8 \quad 4 \quad 7 \quad 10 \quad 3. \] Ceux-ci ne sont utilisés qu'une fois et sans que l'on soit obligé de tous les utiliser.
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
		{\tiny (Source : 40 problèmes ouverts, Circonscription de Metz Nord - \url{http://www4.ac-nancy-
		metz.fr/ien57metznord/spip.php?article205})}
		
	\end{center}
	
	On considère les productions de quatre élèves de la classe:
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Production de Jérémy
			\\
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_11_jeremy.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Production de Coline
			\\
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_12_coline.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Production de Swan
			\\
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_13_swan.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|c|}
			\hline
			Production de Zoé
			\\
			\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2017_maths_externe_sujet_4_14_zoe.png}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyser les stratégies et repérer les réussites et les éventuelles erreurs de chacun des élèves.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans les programmes de mathématiques pour le cycle 3, apparaissent les six \og compétences travaillées \fg{} en mathématiques suivantes: chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer.
		
		Quelles sont les compétences particulièrement travaillées au cours de cette séance d’apprentissage? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}