%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture
%décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture
%scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau:
%\rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour
%créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien}
%permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la
%cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en
%ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et
%\rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire
%l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement
%verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code
%comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal}
%\lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque
%programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document.
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué
%(option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un
%fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice}
	\medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice}
	\addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent
	\underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice}
	\medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{}
		pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip
	\color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro .
	} \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement exercice interrogation déjà donné
\newcounter{Exerciceinterrofait}
\setcounter{Exerciceinterrofait}{1}
\newenvironment{exerciceinterrofait}{
	\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté déjà
		fait\theExerciceinterrofait . } \addtocounter{Exerciceinterrofait}{1} \medskip
	\color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition
		\theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent
	\begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en
%mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème
		\theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition
		\theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme
		#1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire
		\theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration
		\theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\
		\begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20,
		align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE
		2017 sujet 3} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown =
%correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie,
%orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et
%démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exerciceinterrofait}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}
	
\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2017 groupe 3.}

\begin{center}
		
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_3_correction.pdf}{pdf}.
				
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_3_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
	
		\emph{Durée 4 heures (partie 3 incluse).}
		
		\emph{L'usage de la calculatrice est autorisé.}
	
	\end{sujet}

\end{center}

\subsection{\color{purple}Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	La fin mai 2016 a été marquée par un passage fortement pluvieux avec des cumuls de pluie exceptionnels dans certaines régions françaises, provoquant crues et inondations.

\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: étude d'une crue de la Vienne.}

\begin{sujet}
	
	\hspace*{-1cm}
	\begin{tikzpicture}
		[scale=1]
		\draw (0,-0.4)
		node{\includegraphics[scale=0.16]{crpe_2017_maths_externe_sujet_3_01_graphique.png}};
		\draw(0,-5) node{
			\begin{tabular}{m{6cm}}
			\hline
			Crues marquantes - Station Nouâtre
			\\
			\hline
			\end{tabular}
		};
		\draw[densely dashed](-3,-6)--(-2,-6); 
		\draw(1,-6)node{Crue du 18/12/2012: $5,7\ \mathrm{m}$}; 
		\draw[thick,loosely dashed](-3,-6.5)--(-2,-6.5); 
		\draw(1,-6.5)node{Crue du 03/03/2007: $8,23\ \mathrm{m}$};
		\draw[thick](-3,-7)--(-2,-7); 
		\draw(1,-7)node{Crue du 08/01/1982: $8,62\ \mathrm{m}$};
		\draw(-3.5,0.5)node[fill=white]{Nouâtre};
		\draw(-2.8,0.5)--(-2.2,0);
		\draw(0,-0.5)node[fill=white]{Chinon};
		\draw(0,-0.2)--(-1,0.3);
		\draw(-4.4,3.8) node{Hauteur en $\mathrm{m}$};
	\end{tikzpicture}
	
	\medskip
	À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle hauteur maximale la Vienne a-t-elle atteinte à Chinon entre le $29$ mai 2016 à $17\ \mathrm{h}$ et le $5$ juin 2016 à $17\ \mathrm{h}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La hauteur maximale de la Vienne à Chinon est de $5\ \mathrm{m}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À Nouâtre, entre le $29$ mai 2016 à $17\ \mathrm{h}$ et le $5$ juin 2016 à $17\ \mathrm{h}$, pendant combien de temps le niveau de l'eau a-t-il été	supérieur au niveau maximum de la crue du 18 décembre 2012? Donner la réponse en heures.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le niveau a été supérieur à $5,7\ \mathrm{m}$ pendant $48\ \mathrm{h}$.
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Combien d'heures se sont écoulées ente le pic de la crue de Nouâtre et celui de Chinon?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$18\ \mathrm{h}$ se sont écoulées entre le pic dans les deux villes.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			De Nouâtre ou de Chinon, quelle station est située le plus en amont de la	rivière? Justifier la réponse.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le pic étant à Nouâtre avant d'atteindre Chinon, nous pouvons affirmer que Nouâtre est plus en amont que Chinon.
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
		
\end{enumerate}	
	
\subsubsection{Partie B: précipitations et récupérateur d'eau.}

\begin{sujet}
	
	Un habitant de Poitiers utilise la toiture de son garage pour recueillir de l'eau pluie et la stocker dans une cuve enterrée.
	
	Vue du ciel, la toiture à la forme d'un rectangle de $4$ mètres sur $6,2$ mètres.
	
	La cuve est constituée de deux demi-sphères de $124\ \mathrm{cm}$ de diamètre et d'un cylindre de révolution de diamètre $124\ \mathrm{cm}$ et de longueur $166\ \mathrm{cm}$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.4]
			\def\lon{16.6};
			\def\hau{6.2};
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (A) at (\lon,0);
			\coordinate (B) at (\lon,\hau);
			\coordinate (C) at (0,\hau);
			\coordinate (C2) at (\lon,{\hau/2});
			\coordinate (C1) at (0,{\hau/2});
			\draw(O)--(A);
			\draw(B)--(C);
			\draw(C1)node{$\times$};
			\draw(C2)node{$\times$};
			\draw[samples=100,domain=90:270] plot({(\hau/2)*cos(\x )},{(\hau/2) + (\hau/2)
				*sin(\x )});
			\draw[samples=100,domain=-90:90] plot({\lon+(\hau/2)*cos(\x )},{(\hau/2) +
				(\hau/2) *sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-180:180] plot({\lon+((\hau/2)*cos(\x
				))/2},{(\hau/2) + (\hau/2) *sin(\x )});
			\draw[dashed][samples=100,domain=-180:180] plot({(\hau/2)*cos(\x
				)/2},{(\hau/2) + (\hau/2) *sin(\x )});
			\draw[>=latex,<->](0,-1)--(\lon,-1)node[midway,below]{$166\ \mathrm{cm}$};
			\draw[>=latex,<->]({\lon +4}, 0)--({\lon +4},\hau)node[midway,right]{$124\
				\mathrm{cm}$};
			\draw({\lon+2},-2)node{\footnotesize \emph{Ce dessin n'est pas à l'échelle.}};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le dimanche $29$ mai 2016, il a été relevé une hauteur de $31,7\ \mathrm{mm}$	de précipitations à Poitiers (\emph{Source: Info Climat}).
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que le volume d'eau, en litre, tombé sur la toiture de la grange ce	jour là est environ $790\ \mathrm{L}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume $\mathscr{V}_1$ d'eau tombée sur le toit.}
			
			Le toit étant rectangulaire sa surface est de 
			
			\begin{align*}
				\mathscr{S}_1 &= 4 \times 6,2\\
				&= 24,8
			\end{align*}
			
			Puisque la hauteur de précipitations est de $0,0317\ \mathrm{m}$, le volume d'eau tombée sur le toit est donc
							
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_1 &= 0,0317 \times \mathscr{S}_1\\
				&= 0,78616
			\end{align*}
			
			Ainsi $\mathscr{V}_1=0,78616\ \mathrm{m}^3$. Et puisque $1\ \mathrm{m}^3= \np{1000}\ \mathrm{L}$, $\mathscr{V}_1 = 786,16\ \mathrm{L}$.
	
			Finalement
			
			\begin{conclusion}
				
				Le volume tombé sur la toiture est approximativement de $790\ \mathrm{L}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Sachant que $90\ \%$ de pluie tombée sur le toit du garage est récupérée dans la cuve, calculer le volume d'eau, en litre, réellement recueilli dans le réservoir ce jour là.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
				
			\objectif{Calculons le volume d'eau, $\mathscr{V}_2$, réellement recueilli.}
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_2 &= \frac{90}{100} \times \mathscr{V}_1\\
				&= \frac{90}{100} \times 786,16\\
				&= 707,544
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
					
				Le volume d'eau réellement recueilli est $707,544\ \mathrm{L}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
		\item 
		
		\begin{sujet}
				
			Est-il vrai que, ce jour là, un peu moins d'un quart de la citerne a été rempli? On rappelle que le volume d'une boule de rayon $R$ est donné par la formule $V=\frac{4}{3} \pi R^3$ et le volume d'un cylindre de révolution de hauteur $h$ et dont la base a pour rayon $R$ est $V=\pi R^2h$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
							
			\objectif{Déterminons le volume $\mathscr{V}_3$ de la citerne.}
			
			La citerne est formée de demi-sphère et d'un cylindre donc:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{V}_3 &= 2 \times \frac{1}{2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right) +
				(\pi R^2h)\\
				&= 2 \times \frac{1}{2} \left[ \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1,24}{2}
				\right)^3 \right] + \left[ \pi \left( \frac{1,24}{2} \right) ^2 1,66 \right] \\
				&\approx 3,0029688
			\end{align*}
			
			Donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				le volume de la citerne en litres est approximativement de $\np{3003}\ \mathrm{L}$.
			
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			$\frac{708}{3003} \approx 0,2358 <0,25=\frac{1}{4}$
			
			\begin{conclusion}
				
				Moins d'un quart de la citerne a été rempli.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le tableau suivant donne la hauteur des précipitations relevée mensuellement à	Poitiers entre le $1^{\text{er}}$ janvier 2015 et le $31$ mai 2016. (\emph{Source: Info Climat}).
		
		\begin{center}
			
			
			\begin{tabular}{|m{1.8cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.7cm}|m{0.6cm}|}
				\hline
				& janv. 2015 & fév. 2015 & mars 2015 & avr. 2015 & mai 2015 & juin 2015 &
				juil. 2015 & août 2015 & sept. 2015
				\\
				\hline
				Cumul Précipitations en mm & $50,1$ & $59,7$ & $31,2$ & $43,5$ & $46,6$ & $94,4$ & $14,4$ & $151,6$ & $83,6$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\medskip		
			
			\begin{tabular}{|m{1.8cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|}
				\hline
				& oct. 2015 & nov. 2015 & déc 2015 & janv. 2016 & fév 2016 & mars 2016 & avr.	2016 & mai 2016 
				\\
				\hline
				Cumul Précipitations en mm & $26,0$ & $43,9$ & $18,8$ & $77,9$ & $84,3$ & $85,4$ & $33,9$ & $121,1$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
				
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le pourcentage d'augmentation des précipitations entre le mois de	mai 2015 et le mois de mai 2016.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
				
			\objectif{Déterminons le pourcentage d'augmentation.}
			
			\begin{align*}
				t &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100\\
				&= \frac{121,1-46,6}{46,6} \times 100\\
				&\approx 159,87
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Les précipitations ont augmentées de $159,87\ \%$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En supposant que la cuve soit vide à la fin du mois de septembre 2015. Quand sera-t-elle à nouveau pleine si le propriétaire n'utilise pas d'eau entre temps?	On rappelle que $90\ \%$ de la pluviométrie est récupérée dans la cuve.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}		
			
			\begin{center}
							
				\begin{tabular}{|m{1.8cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|m{0.6cm}|}
					\hline
					& oct. 2015 & nov. 2015 & déc 2015 & janv. 2016 & fév 2016 & mars 2016 & avr. 2016 & mai 2016 
					\\
					\hline
					Cumul Précipitations en mm & $26,0$ & $43,9$ & $18,8$ & $77,9$ & $84,3$ & $85,4$ & $33,9$ & $121,1$
					\\
					\hline
					E.C.C. & $26,0$ & $69,9$ & $88,7$ & $166,6$ & $250,9$ & $336,3$ & $370,2$ & $491,3$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: péniche et pont.}

\begin{sujet}
	
	Un pont a une arche en forme d'arc de cercle.
	
	Lors d'une crue, l'eau atteint les sommets $A$ et $B$ des piliers du pont.
	
	La hauteur maximale $IC$ entre le niveau de l'eau et le sommet de l'arche est alors de $5$ mètres. L'écartement $AB$ entre les deux piliers du pont est de $24$ mètres.
	
	La situation est modélisée par le schéma suivant, qui n'est pas à l'échelle, sur lequel $O$ est le centre de l'arc de cercle $\overset{\frown}{AB}$ et $(CO)$ est l'axe de symétrie de la figure.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
			\def\l{24/4};
			\def\cd{3};
			\def\an{90-atan(\l /5)};
			\def\rayon{sqrt((\l)*(\l)+ 25)};
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (I) at (0,5);
			\coordinate (J) at (0,{-\cd});
			\coordinate (A) at ({-\l},5);
			\coordinate (B) at ({\l},5);
			\coordinate (C) at (0,{\rayon});
			\coordinate (E) at ({\l},{-\cd});
			\coordinate (D) at ({-\l},{-\cd});
			\draw (O) node{$\times$};
			\draw (O) node[above right]{$O$};
			\draw (I) node{$\times$};
			\draw (I) node[below right]{$I$};
			\draw (A) node{$\times$};
			\draw (A) node[above left]{$A$};
			\draw (B) node{$\times$};
			\draw (B) node[above right]{$B$};
			\draw (C) node{$\times$};
			\draw (C) node[above right]{$C$};
			\draw (D)--(A)--(B)--(E);
			\draw (O)--(0,{\l+4});
			\draw[dashed][samples=100,domain={-\l}:0] plot(\x,{-tan(\an)*\x});
			\draw[samples=100,domain={\an}:{180-(\an)}] plot({\rayon * cos(\x)},{\rayon*
				sin(\x )});
			\draw (-5,10)node{Niveau de l'eau};
			\draw[>=latex,->] (-5,9.5)--({-\l /2},5);
			\draw (5,10)node{Arche du pont};
			\draw[>=latex,->] (5,9.5)--({\rayon * cos(70)},{\rayon* sin(70 )});
		\end{tikzpicture}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}
	
\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que le rayon $OA$ de l'arche est $16,9\ \mathrm{m}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $OA$.}
		
		Puisque $(CO)$ est l'axe de symétrie de la figure, $AIO$ est rectangle en $I$.
	
		Donc, d'après le théorème de Pythagore: $AO^2=OI^2+IA^2$.
			
		Ce qui équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
			OA^2 &= \left( OA-IC \right)^2+ \left( \frac{AB}{2} \right)^2\\
			OA^2 &= \left( OA-5 \right)^2+ \left( \frac{24}{2} \right)^2\\
			OA^2 &= OA^2-2 \times OA \times 5 +5^2+ 12^2\\
			OA^2 &= OA^2-10\cdot OA +169\\
			OA^2 &= OA^2-2 \times OA \times 5 +5^2+ 12^2\\
			OA^2 {\color{orange}-OA^2} &= OA^2-10\cdot OA +169  {\color{orange}-OA^2}\\
			0 &= -10\cdot OA +169\\
			0 {\color{orange}10 \cdot OA} &= -10 \cdot OA +169 {\color{orange}10 \cdot
				OA}\\
			10\cdot OA &= 169\\
			\frac{10\cdot OA}{\color{orange}10} &= \frac{169}{\color{orange}10}\\
			OA &= 16,9
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$OA=16,9\ \mathrm{m}$
			
		\end{conclusion}		
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	On assimile la coupe de la partie émergée d'une péniche, vue de face, à un rectangle de $4$  mètres de haut et de $12$ mètres de large.

	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\coordinate (E) at (0,0);
			\coordinate (F) at (0,2);
			\coordinate (G) at (5,2);
			\coordinate (H) at (5,0);
			\fill[gray!30] (E)--(F)--(G)--(H)--(E);
			\draw (E)--(F)--(G)--(H)--(E);
			\draw (-2,0)--(E);
			\draw (7,0)--(H);
			\draw (E) node[below left]{$E$};
			\draw (F) node[above left]{$F$};
			\draw (G) node[above right]{$G$};
			\draw (H) node[below right]{$H$};
			\draw(2.5,1)node{\textbf{Péniche}};
			\draw(7,1)node{\footnotesize Surface de l'eau};
			\draw[>=latex,->](7,0.8)--(6,0);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	La situation est modélisée par le schéma ci-dessus, qui n'est pas à l'échelle	sur lequel on a $EH=12\ \mathrm{m}$ et $FE=4\ \mathrm{m}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Cette péniche peut-elle passer sous l'arche du pont sans dommages? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $M$ le point appartenant à $[AI]$ tel que $MI=6$, $N$ le point de l'arche du pont situé à la verticale de $M$ et $P$ le point de $[NM)$ tel que $ONP$ soit un triangle rectangle en $P$.
			
		\begin{center}
			
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\def\l{24/4};
				\def\lM{12/4};
				\def\cd{3};
				\def\an{90-atan(\l /5)};
				\def\rayon{sqrt((\l)*(\l)+ 25)};
				\coordinate (O) at (0,0);
				\coordinate (I) at (0,5);
				\coordinate (J) at (0,{-\cd});
				\coordinate (A) at ({-\l},5);
				\coordinate (B) at ({\l},5);
				\coordinate (C) at (0,{\rayon});
				\coordinate (E) at ({\l},{-\cd});
				\coordinate (D) at ({-\l},{-\cd});
				\coordinate (M) at ({-\lM},5);
				\coordinate (N) at ({-\lM},{sqrt(\rayon*\rayon-\lM*\lM)});
				\coordinate (P) at ({-\lM},0);
				\draw (O) node{$\times$};
				\draw (O) node[above right]{$O$};
				\draw (I) node{$\times$};
				\draw (I) node[below right]{$I$};
				\draw (A) node{$\times$};
				\draw (A) node[above left]{$A$};
				\draw (B) node{$\times$};
				\draw (B) node[above right]{$B$};
				\draw (C) node{$\times$};
				\draw (C) node[above right]{$C$};
				\draw (M) node{$\times$};
				\draw (M) node[below left]{$M$};
				\draw (M) node{$\times$};
				\draw (N) node[above left]{$N$};
				\draw (P) node{$\times$};
				\draw (P) node[below left]{$P$};
				\draw (D)--(A)--(B)--(E);
				\draw[densely dashed](P)--(O)--(N)--(P);
				\draw (O)--(0,{\l+4});
				\draw[dashed][samples=100,domain={-\l}:0] plot(\x,{-tan(\an)*\x});
				\draw[samples=100,domain={\an}:{180-(\an)}] plot({\rayon * cos(\x)},{\rayon*
					sin(\x )});
				\draw ({-\lM},0.5)--({-\lM+0.5},0.5)--({-\lM+0.5},0);
			\end{tikzpicture}
			
		\end{center}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $MN$.}
		
		$NOP$ est un triangle rectangle en $P$ donc, d'après le théorème de Pythagore,	\[ NP^2+PO^2= ON^2 \]
		
		Donc:
		
		\begin{align*}
			NP^2 &= OA^2- 6^2\\
			&= 16,9^2-6^2\\
			\intertext{$NP$ étant une longueur donc positive:}
			NP &= \sqrt{16,9^2-6^2}\\
			&= \sqrt{249,61}
		\end{align*}
		
		Nous en déduisons la hauteur
		
		\begin{align*}
			MN &= NP-PM\\
			&= NP-OI\\
			&= \sqrt{249,61}- \left( OA-CI \right)\\
			&= \sqrt{249,61} -( 16,9-5)\\
			&= \sqrt{249,61}- 11,9\\
			&\approx 3,899
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La péniche ne pourra pas passer sous l'arche sans dommage.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
	
\end{sujet}
	
\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse fausse n'enlève pas de points, une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour réaliser un collier de perles, Camille enfile $200$ perles en répétant le modèle suivant: une perle jaune, puis trois perles rouges, puis deux perles blanches.
		
		\textbf{Affirmation}: la couleur de la $147^{\text{ème}}$ perle sera roue.
			
	\end{sujet}

	\begin{correction}
		
		Pour déterminer le nombre de fois que la série de $6$ perles a été répétée procédons à une division euclidienne.
		
		\begin{align*}
			147 &= 6 \times 24+3\\
			&= 6 \times 24 +1+2
		\end{align*}
		
		Par conséquent la $147^{\text{ème}}$ perle est rouge
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Arthur a acheté un article bénéficiant d'une réduction de $30\ \%$ et a ainsi économisé $48\ \text{\euro}$.
		
		\textbf{Affirmation}: au final, il a payé $112\ \text{\euro}$ pour cet article.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$30\ \%$ du prix initial représente $48\ \text{\euro}$. Par conséquent le prix initial de l'article est $\frac{48}{30}\times 100$.
		
		Et puisque le prix après réduction représente $100-30=70\ \%$ du prix initial, le prix final est \[ \frac{48}{30}\times 100 \times \frac{70}{100}= 112 \]
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un randonneur marche pendant $12\ \mathrm{km}$ à $6\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ puis il marche pendant $12\ \ \mathrm{km}$ à $4\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
		\textbf{Affirmation}: pour les $24\ \mathrm{km}$ de randonnée, sa vitesse moyenne est de $5\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La durée de la marche, en heures, est $\frac{12}{6} + \frac{12}{4}=5$.  Par conséquent la vitesse moyenne est, en kilomètres par heure, $\frac{24}{5}=4,8$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		$ABCD$ est un quadrilatère ayant ses diagonales perpendiculaires et de même milieu.
		
		\textbf{Affirmation}: $ABCD$ est un carré.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Tous les losanges, et pas uniquement les carrés, correspondent à cette description.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Dans cet exercice, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible.}
	
	\medskip
	On dispose d'un dé cubique à $6$ faces numérotées de $1$ à $6$ et d'un dé tétraédrique à $4$ faces avec des sommets numérotés de $1$ à $4$ comme sur la photo ci-dessous, parfaitement équilibrés.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2017_maths_externe_sujet_3_02_tetraedre.png}
		
	\end{center}
	
	On lance les deux dés et on note le nombre lisible sur la face supérieure du dé à $6$ faces et le nombre lisible sur le sommet supérieur du dé à $4$ faces.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Avec quel dé la probabilité d'obtenir $3$ est-elle la plus grande?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la probabilité d'obtenir $3$ avec le dé à $6$ faces.}
			
			Dans le cas du dé à $6$ faces l'univers est $\Omega_1= \{ \ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 5;\ 6\ \}$ et la loi de probabilité, $\mathbb{P}_1$, est l'équiprobabilité (probabilité uniforme discrète) puisque le dé est parfaitement équilibré.
			
			\medskip
			Il y a équiprobabilité, $\{ 3 \}$ est un événement réalisé par une issue, l'univers comporte $6$ issues, donc \[ \mathbb{P}_1(\{ 3 \})= \frac{1}{6}. \]
			
			\medskip
			\objectif{Calculons la probabilité d'obtenir $3$ avec le dé à $4$ faces.}
			
			Dans le cas du dé à $4$ faces l'univers est $\Omega_2= \{ \ 1;\ 2;\ 3;\ 4\ \}$ et la  loi de probabilité, $\mathbb{P}_2$, est l'équiprobabilité (probabilité uniforme discrète) puisque le dé est parfaitement équilibré.
			
			\medskip
			Il y a équiprobabilité, $\{ 3 \}$ est un événement réalisé par une issue, l'univers comporte $4$ issues, donc \[ \mathbb{P}_2(\{ 3 \})= \frac{1}{4}. \]
			
			\begin{conclusion}
				
				C'est avec le dé tétraédrique que la probabilité d'obtenir $3$ est la plus grande.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Avec quel dé la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ est-elle la plus grande?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $A$: \og obtenir un multiple de $3$\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}_1(A)$.}
			
			$A=\{ \ 3;\ 6 \ \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $A$ est réalisé par $2$ issues,  l'univers comporte $6$ issues, donc \[ \mathbb{P}_1(A)= \frac{2}{6}=\frac{1}{3}. \]
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}_2(A)$.}
			
			$A=\{ \ 3 \ \}$, donc, d'après la question précédente $\mathbb{P}_2(A)= \frac{1}{4}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				La probabilité d'obtenir un multiple de $3$ est plus grande avec le dé à $6$ faces.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d'obtenir avec le dé à $4$ faces un nombre supérieur ou égale au nombre obtenu avec le dé à $6$ faces?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Pour modéliser cette nouvelle situation, considérons \[ \Omega_3= \{ \ (1;1);\ (1;2);\ \dots ;\ (4;6)\ \} \] l'univers formé des couples composés du nombre obtenu avec le dé à $4$ faces puis du nombre obtenu avec le dé à $6$ faces.
			
			Nous pouvons représenter cet univers sous forme d'un tableau double entrée:
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
					\\
					\hline
					1 & $(1;1)$ & $(1;2)$ & $(1;3)$ & $(1;4)$ & $(1;5)$ & $(1;6)$
					\\
					\hline
					2 & $\color{orange}(2;1)$ & $(2;2)$ & $(2;3)$ & $(2;4)$ &&
					\\
					\hline
					3 & $\color{orange}(3;1)$ & $\color{orange}(3;2)$ & $(3;3)$ &&&
					\\
					\hline
					4 & $\color{orange}(4;1)$ & $\color{orange}(4;2)$ & $\color{orange}(4;3)$ &&&
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			
			\end{center}
			
			Les lancers de dés étant indépendants et les dés étant parfaitement équilibrés nous choisissons l'équiprobabilité, $\mathbb{P}_3$, pour modéliser cette situation.
			
			\medskip
			Notons $B$: \og obtenir avec le dé à $4$ faces un nombre supérieur à celui obtenu avec le dé à $6$ faces\fg{}. {\color{orange} Je choisis de comprendre le terme \og supérieur \fg{} dans son acception usuelle, \emph{i.e.} au sens de \og strictement supérieur à\fg{}.}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}_3(B)$.}
			
			$B= \{ \ (2;1); \ (3;1);\ (3;2);\ (4;1);\ (4;2);\ (4;3);\ \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $B$ est réalisé par $6$ issues et l'univers comporte $4 \times 6=24$ issues donc \[ \mathbb{P}_3(B) = \frac{6}{24}. \]
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}_3(B)=\frac{1}{4}$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On calcule la somme des nombres obtenus avec chacun des deux dés.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d'obtenir une somme paire?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Conservons la modélisation de la question précédente. Notons $C$: \og la somme est paire\fg{}.
			
			Les sommes possibles sont indiquées dans le tableau ci-dessous.
			
			\begin{center}
				
				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
					\hline
					& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 
					\\
					\hline
					1 & 2& 3 & 4 & 5 & 6 & 7
					\\
					\hline
					2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8
					\\
					\hline
					3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9
					\\
					\hline
					4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10
					\\
					\hline
				\end{tabular}
				
			\end{center}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathbb{P}_3(C)$.}
			
			$C= \{ \ (1;1);\ (1;3);\ (1;5);\ (2;2);\ (2;4);\ (2;6);\ (3;1);\ (3;3);\ (3;5);\ (4;2);$ $(4;4);\ (4;6);\ \}$.
			
			Il y a équiprobabilité, $C$ est réalisé par $12$ issues et l'univers comporte $24$ issues donc \[ \mathbb{P}_3(C) = \frac{12}{24}. \]
			
			Ainsi
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathbb{P}_3(C)=\frac{1}{2}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelle est la probabilité d'obtenir une somme strictement supérieure à $3$?
		\end{sujet}
	
		\begin{correction}
		
		Conservons la modélisation de la question précédente. Notons $D$: \og la somme est strictement supérieure à $3$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}_3(D)$.}
		
		$\overline{D}= \{ \ (1;1);\ (1;2);\ (2;1)\ \}$. 
		
		Il y a équiprobabilité, $\overline{D}$ est réalisé par $3$ issues et l'univers comporte $24$ issues donc \[ \mathbb{P}_3(\overline{D}) = \frac{3}{24}=\frac{1}{8}. \]
		
		Or $\mathbb{P}_3(D)=1 - \mathbb{P}_3(D)=1-\frac{1}{8}$, donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}_3(D)=\frac{7}{8}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Un élève utilise le programme ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2017_maths_externe_sujet_3_03_programme.png}
		
	\end{center}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle réponse le logiciel va-t-il afficher si l'élève ente la valeur $5$? Expliquer pourquoi.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$3 \times 5+7=22$.
		
		Puisque $22 \ne 40$
		
		\begin{conclusion}
			
			le message affiché sera \og Et non $\dots$ encore!\fg{}.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quel nombre l'élève doit-il entrer pour obtenir en retour le message \og Bravo! Tu as trouvé le nombre mystère.\fg{}?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre mystère.}
		
		Notons $x$ le nombre mystère. D'après le programme $x$ vérifie
		
		\begin{align*}
			3x+7 &= 40\\
			\intertext{Or cette équation équivaut successivement à}
			3x+7 {\color{orange}-7} &= 40 {\color{orange}-7}\\
			3x &= 33\\
			\frac{3x}{\color{orange}3} &= \frac{33}{\color{orange}3}\\
			x &= 11
		\end{align*}
		
		Il n' y a donc qu'une seule possibilité:
		
		\begin{conclusion}
			
			le nombre  mystère est $11$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Pour calculer le débit $D$ d'une perfusion en gouttes par minute, les infirmiers utilisent la formule \[ D= \frac{V}{3\times T}, \] où $V$ est le volume, en millilitre, de la perfusion et $T$ le temps, en heure, que doit durer la perfusion.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À quel débit doit-être réglée la perfusion si le volume à transfuser est de $1,5$ litre en un jour? Arrondir la réponse à l'unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le débit.}
		
		\begin{align*}
			D &= \frac{V}{3 T}\\
			&= \frac{1,5\cdot 10^3}{3 \times 24}\\
			&= \frac{125}{6}\\
			&= 20,8333\dots
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La perfusion doit être réglée à $21$ gouttes par minute.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une perfusion est réglée sur un débit de $6$ gouttes par minute. Quel volume de liquide sera perfusé en une heure et quart?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le volume de liquide perfusé.}
		
		\begin{align*}
			D &= \frac{V}{3T} \\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à}
			6 &= \frac{V}{3 \times \left( 1 + \frac{1}{4} \right) }\\
			6 &= \frac{V}{\frac{15}{4}}\\
			6 {\color{orange} \times \frac{15}{4} } &= \frac{V}{\frac{15}{4} } {\color{orange} \times \frac{15}{4}}\\
			22,5 &= V
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le volume transféré sera de $22,5$ millilitres.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une perfusion a un volume de $250\ \mathrm{mL}$ et est réglée sur un débit de $8$ gouttes par minute. Quelle devrait être la durée de la perfusion? Donner la réponse sous la forme $x$ heures $y$ minutes.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la durée de la perfusion.}
		
		\begin{align*}
			D &= \frac{V}{3 T} \\
			\intertext{équivaut successivement à}
			8 &= \frac{250}{3T}\\
			8 {\color{orange}\times T} &= \frac{250}{3T} {\color{orange} \times T},\quad \text{car } T\ne 0 \\
			8T &= \frac{250}{3}\\
			\frac{8T}{\color{orange}8} &= \frac{\frac{250}{3}}{\color{orange}8}\\
			T &= \frac{125}{12}\\
			T &= 10 +\frac{5}{12}\\
			T &= 10 + \frac{5 {\color{orange}\times 5}}{12 {\color{orange}\times 5}}\\
			T &=10 +\frac{25}{60}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			La perfusion durera $10$ heures et $25$ minutes.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}

\end{enumerate}

\end{document}
	
	\section{Modèles.}
	
	\subsection{Graphique}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\def\xY{-0.5};
		\def\yY{-0.5};
		\def\xZ{8.5};
		\def\yZ{7};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,black!30!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=0.5cm,line width=0.02cm,black!40!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=5cm,line width=0.05cm,black!50!white] (Y) grid (Z);
		\draw[step=1cm,line width=0.03cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm)
		node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x
			}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y)
		node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y
			}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
		\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
		\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5,
		{(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
		\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates
		{(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult
	
	Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}
	
	\subsection{Dessin.}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (A) at (0,0);
	\coordinate (B) at (5,-1);
	\coordinate (F) at (6,0);
	\coordinate (C) at (7,1);
	\coordinate (D) at (2,2);
	\coordinate (O) at (3.5,0.5);
	\coordinate (S) at (3.5,6);
	\coordinate (J) at (3.5,3.5);
	\coordinate (K) at (3,4.666);
	\draw (A) node {$\bullet$};
	\draw (B)node {$\bullet$};
	\draw (F)node {$\bullet$};
	\draw (C)node {$\bullet$};
	\draw (D)node {$\bullet$};
	\draw (O)node {$\bullet$};
	\draw (S)node {$\bullet$};
	\draw (J)node {$\bullet$};
	\draw (K)node {$\bullet$};
	\draw (A)node[below]{$A$};
	\draw (B)node[below right]{$B$};
	\draw (F)node[right]{$F$};
	\draw (C)node[right]{$C$};
	\draw (D)node[above right]{$D$};
	\draw (O)node[above right]{$O$};
	\draw (S)node[above]{$S$};
	\draw (J)node[above right]{$J$};
	\draw (K)node[below right]{$K$};
	\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
	\draw[blue, thick](A)--(S);
	\draw[blue, thick](B)--(S);
	\draw[blue, thick](C)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
	\draw[blue, thick](F)--(S);
	\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
	\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
	\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
	\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
	\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
	\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}
	
	\subsection{Arbre.}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red]
		(C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\subsection{Tab}
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$
		/1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	
	\subsection{Tab2.}
	
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
	\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /,
		+/$+\infty$ }
	\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
	\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
	\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
	\end{tikzpicture}
	
	\subsection{Python}
	
	\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\begin{minipage}{8cm}
			\begin{lstlisting}{language=Python}
			\textbf{Inititalisation}
			for i=1 to 14:
			print("oups")
			while 1<2:
			a=input()
			test
			\end{lstlisting}
		\end{minipage}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\subsection{Pseudocode}
	
	\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\begin{minipage}{8cm}
			\LinesNumbered
			\SetKw{entrer}{entrer}
			\SetKw{prend}{prend la valeur}
			\SetKw{afficher}{afficher}
			\begin{algorithm}[H]
				\SetAlgoLined
				\DontPrintSemicolon
				\entrer pi
				0\;
				\Tq{1}{
					2\;
					\eSi{3}{
						4\;
						5\;
					}{
						6\;
					}
				}
				
				\Pour{7}{
					\Si{8}{
						9\;
					}
				}
			\end{algorithm}
		\end{minipage}
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\subsection{Tableau sans une case.}
	
	
	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &
		Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	72,1&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	
	\subsection{Retrait dans la marge.}
	
	\hspace*{-1cm}
	
	\subsection{Note dans la marge}
	
	\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
	
	\subsection{Notation modulo.}
	
	$3 \equiv 1 \mod{2}$
