%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriété}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2017 sujet 2} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2017 groupe 2.}

\begin{center}
		
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
		\medskip{\color{red}Merci à M. Claudien Jérôme et Mme Lara pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée 4 heures (partie 3 incluse).}
		
		\emph{L'usage de la calculatrice est autorisé.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\emph{Les figures données ne sont pas à l’échelle.}
	
	\medskip
	La figure ci-dessous modélise un jardin dont l'aménagement doit être repensé.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
			\coordinate (D) at (0,0);
			\coordinate (C) at (7,0);
			\coordinate (A) at (0,3);
			\coordinate (B) at (5,3);
			\coordinate (E) at (5,0);
			\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
			\draw[dashed] (E)--(B);
			\draw (A) node[above]{$A$};
			\draw (B) node[above]{$B$};
			\draw (C) node[below right]{$C$};
			\draw (E) node[below]{$E$};
			\draw (D) node[below left]{$D$};
			\def\longperp{0.5};
			\draw (\longperp,0)--(\longperp,\longperp)--(0,\longperp);
			\fill[color=gray , opacity=0.15] (D)--(\longperp,0)--(\longperp,\longperp)--(0,\longperp)--cycle;
			\draw ({5+\longperp},0)--({5+\longperp},\longperp)--(5,\longperp);
			\fill[color=gray , opacity=0.15] (E)--({5+\longperp},0)--({5+\longperp},\longperp)--(5,\longperp)--cycle;
			\draw (\longperp,3)--(\longperp,{3-\longperp})--(0,{3-\longperp});
			\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(\longperp,3)--(\longperp,{3-\longperp})--(0,{3-\longperp})--cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Le trapèze $ABCD$ est tel que: les droites $(AB)$ et $(DC)$ sont parallèles; les droites $(AD)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires; $AB = 50\ \mathrm{m}$, $AD = 30\ \mathrm{m}$ et $DC=70\ \mathrm{m}$.
	
	$E$ est le point du segment $[DC]$ tel que $ABED$ est un rectangle.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: premier projet d'aménagement.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un premier temps, le propriétaire désire clôturer le jardin.
		
		Calculer la longueur de clôture nécessaire sachant qu’il prévoit l’installation d’un portail de $3,10\ \mathrm{m}$ de large. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au mètre.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La seule longueur inconnue du périmètre est $BC$.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $BC$.}
		
		$BCE$ est rectangle en $E$, puisque $ABED$ est un rectangle, donc, d'après le théorème de Pythagore 
		
		\begin{align*}
			BC^2 &= BE^2+EC^2\\
			\intertext{Puisque d'une part $BE=AD=30$ et d'autre part $E\in [DC]$:}
			BC^2 &= 30^2 + (DC-DE)^2\\\intertext{Or $DC=70$ et $DE=AB=50$ donc:}
			BC^2 &= 30^2+(70-50)^2\\
			&= 2900
			\intertext{$BC$ étant une longueur et donc un nombre positif:}
			BC &= \sqrt{1300}\\
			&= \sqrt{2^2 \times 5^2 \times 13}\\
			&= 10 \sqrt{13}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$BC=10\sqrt{13}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Nous en déduisons le périmètre du jardin
		
		\begin{align*}
			P &= AB+BC+CD+AD-3,10\\
			&= 50 + 10\sqrt{13}+70+30-3,10\\
			&= 146,9+10\sqrt{29}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$P=146,9+10\sqrt{13}\approx 183\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un deuxième temps, il partage son jardin en trois parties:
		 
		\begin{itemize}
			\item Un espace réservé au potager représenté par le triangle rectangle $BCE$.
			\item Un espace de plantation florales représenté par le demi-disque hachuré de diamètre $[AB]$.
			\item un espace engazonné sur le reste du jardin.
		\end{itemize}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=1]
				\coordinate (D) at (0,0);
				\coordinate (C) at (7,0);
				\coordinate (A) at (0,3);
				\coordinate (B) at (5,3);
				\coordinate (E) at (5,0);
				\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
				\draw[dashed] (E)--(B);
				\draw (A) node[above]{$A$};
				\draw (B) node[above]{$B$};
				\draw (C) node[below right]{$C$};
				\draw (E) node[below]{$E$};
				\draw (D) node[below left]{$D$};
				\def\longperp{0.5};
				\draw (\longperp,0)--(\longperp,\longperp)--(0,\longperp);
				\fill[color=gray , opacity=0.15] (D)--(\longperp,0)--(\longperp,\longperp)--(0,\longperp)--cycle;
				\draw ({5+\longperp},0)--({5+\longperp},\longperp)--(5,\longperp);
				\fill[color=gray , opacity=0.15] (E)--({5+\longperp},0)--({5+\longperp},\longperp)--(5,\longperp)--cycle;
				\draw[samples=100,domain=180:360] plot({2.5*cos(\x)+2.5},{2.5*sin(\x)+3});
				\fill[pattern=north east lines] (B)--(A)--plot[samples=100,domain=180:360]({2.5*cos(\x)+2.5},{2.5*sin(\x)+3})--cycle;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Calculer l'aire arrondie au mètre carré de chacune des trois parties du jardin.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $\mathcal{A}_1$ l'aire du demi-disque, $\mathcal{A}_2$ l'aire de la partie restante du rectangle $ABED$ et $\mathcal{A}_3$ l'aire du triangle $BCE$.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $\mathcal{A}_1$.}
		
		Puisqu'il s'agit d'un demi-disque:
		
		\begin{align*}
			\mathcal{A}_1 &= \frac{1}{2} \pi \left( \frac{1}{2} AB \right)^2\\
			&= \frac{1}{2}\pi \left( \frac{1}{2} \times 50 \right)^2\\
			&= \frac{625}{2} \pi \\
			&\approx 981,7477
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathcal{A}_1\approx 982 \ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons $\mathcal{A}_2$.}
		
		$\mathcal{A}_2$ est l'aire du rectangle $ABED$ à laquelle on a ôté $\mathcal{A}_1$, donc
		
		\begin{align*}
			\mathcal{A}_2 &= AD \times AB -\mathcal{A}_1\\
			&= 30 \times 50 -\frac{625}{2} \pi \\
			&\approx 518,25229
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathcal{A}_2 \approx 518\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathcal{A}_3$.}
		
		$BEC$ est rectangle en $E$, donc
		
		\begin{align*}
			\mathcal{A}_3 &= \frac{1}{2} BE \times EC\\
			&= \frac{1}{2} AD \times (DC-AB)\\
			&= \frac{1}{2} 30 \times (70-50)\\
			&= 300
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathcal{A}_3=300 \ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: plantations.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour cette question, on considérera que l'aire de la partie engazonnée est de $520 \ \mathrm{m}^2$. Le propriétaire contacte un paysagiste qui propose, pour l'ensemencement du gazon, un tarif de $5$ euros le $\mathrm{m}^2$. Il offre une remise sur le prix total et ne facture que $1950$ euros. 
		
		Quel est le pourcentage de la remise accordée?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le pourcentage de remise accordé.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			\item Le coût de l'ensemencement avant réduction est de \[ 520 \times 5= 2600 \ \text{\euro} \]
			
			\item Le taux d'évolution en pourcentage entre les prix avant et après remise est
			
			\begin{align*}
				t &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100\\
				&= \frac{1950 -2600}{2600} \times 100 \\
				&= -25
			\end{align*}
			
		\end{enumerate}
		
		\begin{conclusion}
			
			La remise accordée est de $25\ \%$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Pour débuter son potager, le propriétaire a acheté $75$ plants de salade et $50$ pieds de tomates. Il se souvient que le prix d'un plant de salade était de $22$ centimes et qu'il a payé, en tout entre $50$ et $55$ euros.
		
		En déduire un encadrement, le plus précis possible, du prix d'un pied de tomates.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $x$ le prix en euros d'un pied de tomates.
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons un encadrement de $x$.}
		
		La somme totale dépensée est de \[ 75 \times 0,22 + 50 \times x \]
		
		Puisque la somme totale dépensée est entre $50$ et $55$ euros:
		
		\begin{align*}
			50 &\le 75 \times 0,22 +50 \times x \le 55\\
			\intertext{ce qui équivaut successivement à}
			50 &\le 16,5 +50 x \le 55\\
			50 {\color{orange}-16,5} &\le 16,5+50x {\color{orange}-16,5} \le 55 {\color{orange}-16,5}\\
			33,5 &\le 50x \le 38,5\\
			\intertext{puisque $50>0$ cela équivaut encore à}
			\frac{33,5}{\color{orange}50} &\le \frac{50x}{\color{orange}50} \le \frac{38,5}{\color{orange}50}\\
			0,67 &\le x \le 0,77
		\end{align*}		
		
		\begin{conclusion}
			
			Le prix d'un pied de tomate est entre $67$ et $77$ centimes.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: étude d'un agrandissement du potager.}

\begin{sujet}
	
	Après réflexion le propriétaire décide d'agrandir son potager. Sur le plan de son jardin, il place un point $M$ sur le côté $[AB]$ et trace la droite parallèle à $(AD)$ passant par $M$. Elle coupe le segment $[DC]$ en un point $G$. Le potager est maintenant représenté par le trapèze $MBCG$ et l'espace de plantations florales par le demi-disque de diamètre $[AM]$.
	
	\medskip
	On pose $AM=x$, où $x$ est exprimé en mètre.
	
	
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
		\def\AM{4};
		\coordinate (D) at (0,0);
		\coordinate (C) at (7,0);
		\coordinate (A) at (0,3);
		\coordinate (M) at (\AM,3);
		\coordinate (G) at (\AM,0);
		\coordinate (B) at (5,3);
		\coordinate (E) at (5,0);
		\draw (A)--(B)--(C)--(D)--(A);
		\draw[dashed] (M)--(G);
		\draw (A) node[above]{$A$};
		\draw (M) node[above]{$M$};
		\draw (B) node[above]{$B$};
		\draw (C) node[below right]{$C$};
		\draw (G) node[below]{$G$};
		\draw (D) node[below left]{$D$};
		\def\longperp{0.5};
		\draw (\longperp,0)--(\longperp,\longperp)--(0,\longperp);
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (D)--(\longperp,0)--(\longperp,\longperp)--(0,\longperp)--cycle;
		\draw ({\AM+\longperp},0)--({\AM+\longperp},\longperp)--(\AM,\longperp);
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (G)--({\AM+\longperp},0)--({\AM+\longperp},\longperp)--(\AM,\longperp)--cycle;
		\draw[samples=100,domain=180:360] plot({(\AM/2)*cos(\x)+\AM/2},{\AM/2*sin(\x)+3});
		\fill[pattern=north east lines] (M)--(A)--plot[samples=100,domain=180:360]({(\AM/2)*cos(\x)+\AM/2},{\AM/2*sin(\x)+3})--cycle;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		\begin{sujet}
			
			Donnez un encadrement des valeurs de $x$ possibles.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Donnons un encadrement de $x$.}
			
			$\left\{ \begin{array}{l} x=AM\\ M \in [AB] \\ AB= 50 \end{array}  \right. \Rightarrow x\in [0;50]$
			
			\begin{conclusion}
				
				$0\le x \le 50$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que l'aire du trapèze $MBCG$ est égale à $1800-30x$.
			 
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'aire de $MBCG$ en fonction de $x$.}
			
			{\color{orange}Deux méthodes sont possibles. Nous pouvons utiliser la formule pour l'aire d'un trapèze (\og petite base plus grande base fois hauteur divisé par deux \fg{}) ou bien sommer les aires du triangle $BEC$ et du rectangle $MBEG$.}
			
			\medskip
			L'aire recherchée est
			\begin{align*}
				\mathcal{A}(MBCG) &= \frac{1}{2} (MB+GC)\times MG\\
				&= \frac{1}{2} [ (AB-AM) + (DC-AM)] \times AD\\
				&= \frac{1}{2} [(50-x)+(70-x)] \times 30 \\
				&= \frac{1}{2} (120-2x ) \times 30\\
				&= 15 (120-2x)\\
				&= 1800-30x
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathcal{A}(MBCG)=1800-30x$.
				
			\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le propriétaire utilise un tableur pour effectuer des calculs d'aires des différentes parties du jardin en fonction de la distance $AM$.
		
		\medskip
		\hspace*{-1cm}
		\includegraphics[scale=0.44]{crpe_2017_maths_externe_sujet_2_01_tableur.png}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Une formule a été saisie dans la cellule B2 de la feuille de calcul et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la plage de cellules entre C2 et G2. Quelle peut être cette formule?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				\begin{verbatim}
				=1800-30*B1
				\end{verbatim}
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Parmi les quatre propositions suivantes, quelle est la formule qui a pu être saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la plage de cellules entre C3 et G3?
			
			\medskip
			\hspace*{-0.25cm}
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				=PI()*B1*B1 & =PI()*B1*B1/8 & =PI()*B1*B1/2 & =PI()*B1*B1/4
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			\medskip
			\emph{Remarque: \emph{PI()} désigne le nombre $\pi$}.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la formule entrée en B3.}
			
			La plantation florale occupe le demi-disque de diamètre de longueur $x$. Par conséquent sont aire est
			
			\begin{align*}
				\mathcal{A} &= \frac{1}{2}\pi \left( \frac{x}{2} \right) ^2\\
				&= \frac{1}{2} \pi \frac{x^2}{4}\\
				&= \pi \frac{x^2}{8}
			\end{align*}
			
			Nous en déduisons la formule à insérer en B3:
			
			\begin{conclusion}
				
				\begin{verbatim}
				=PI()*B1*B1/8
				\end{verbatim}
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le propriétaire utilise un logiciel pour construire les représentations graphiques de ces trois fonctions donnant l'aire de chacune des parties du jardin en fonction de la distance $AM$. Il obtient le graphique donné ci-dessous.
		
		\hspace*{-1.75cm}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.45,yscale=0.5]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{29};
			\def\yZ{24};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1,2,...,28}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,23}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{50*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=10:29] plot(\x,{(1800-30*(\x *2) )/50});
			\draw (24,5)node[fill=white]{\color{blue}$C1$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:27.6] plot(\x,{(3.1415*(\x*2) *(\x*2) /8 )/50});
			\draw (24,20)node[fill=white]{\color{red}$C2$}; 
			\draw[violet, thick][samples=100,domain=0:29] plot(\x,{(0.5*(50+70)*30)/50-(1800-30*(\x *2) )/50-(3.1415*(\x*2) *(\x*2) /8 )/50});
			\draw (24,11.5)node[fill=white]{\color{violet}$C3$};
			\draw(24,1)node[fill=white]{Distance $AM$};
			\draw(1.5,21)node[fill=white]{Aires};
			\end{tikzpicture}
			
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Indiquer, sans justifier, à quelle partie du jardin correspond chacune des courbes $C1$, $C2$ et $C3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Nous avons vu que l'aire du trapèze $MBCG$ est une fonction affine. Sa représentation graphique est donc une droite, il s'agit donc de la courbe $C1$.
			
			Plus $M$ s'éloigne de $A$, plus l'aire du demi-disque augmente. Cette aire est donc représentée par la courbe $C2$.
			
			L'aire de la partie engazonnée est donc représentée par la courbe $C3$.
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Les courbes $C2$ et $C3$ se coupent en un point dont l'abscisse est environ $38$. À quoi cela correspond-il pour le jardin?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le fait que $C2$ et $C3$ se coupent pour une abscisse de $38$ s'interprète en disant que:
			
			\begin{conclusion}
				
				l'aire de la partie engazonnée et de la plantation florale sont égales lorsque $AM=38 \ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Par lecture graphique, déterminer une valeur approchée des aires respectives de l'espace de plantations florales et de la partie engazonnée lorsque l'aire du potager vaut $400\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\hspace*{-2.5cm}
			\begin{tikzpicture}[xscale=0.45,yscale=0.5]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{29};
			\def\yZ{24};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1,2,...,28}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{2*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2,...,23}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{50*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=10:29] plot(\x,{(1800-30*(\x *2) )/50});
			\draw (24,5)node[fill=white]{\color{blue}$C1$};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:27.6] plot(\x,{(3.1415*(\x*2) *(\x*2) /8 )/50});
			\draw (24,20)node[fill=white]{\color{red}$C2$}; 
			\draw[violet, thick][samples=100,domain=0:29] plot(\x,{(0.5*(50+70)*30)/50-(1800-30*(\x *2) )/50-(3.1415*(\x*2) *(\x*2) /8 )/50});
			\draw (24,11.5)node[fill=white]{\color{violet}$C3$};
			\draw(24,1)node[fill=white]{Distance $AM$};
			\draw(1.5,21)node[fill=white]{Aires};
			\draw[densely dashed,orange,very thick](0,8)--(29,8);
			\draw[densely dashed,orange,very thick](23.3,0)--(23.3,22);
			\draw[densely dashed,orange,very thick](0,10.79)--(23.3,10.79);
			\draw[densely dashed,orange,very thick](0,17)--(23.3,17);
			\end{tikzpicture}
			
			Par lecture graphique:
			
			\begin{conclusion}
				
				lorsque l'aire du potager vaut $400\ \mathrm{m}^2$, l'aire de la plantation florale est de $850\ \mathrm{m}^2$ et l'aire de la partie gazonnée est de $540\ \mathrm{m}^2$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
	
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Par le calcul, déterminer les aires respectives de l'espace de plantations florales et de la partie gazonnée lorsque l'aire du potager vaut $750\ \mathrm{m}^2$. Arrondir ces aires au mètre carré.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons pour quelle valeur de $x$ l'aire du potager est de $750\ \mathrm{m}^2$.}
		
		Cela est vérifié lorsque \[ 1800-30x=750 \] ce qui équivaut successivement à:
		
		\begin{align*}
			1800-30x &= 750\\
			1800-30x {\color{orange}-1800} &= 750 {\color{orange}-1800}\\
			-30x &= -1050\\
			\frac{-30x}{\color{orange}-30} &= \frac{-1050}{-30}\\
			x &= 35
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'aire du potager est de $750\ \mathrm{m}^2$ si et seulement si $x=35$.
		
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons l'aire de la partie florale lorsque $x=35$.}
		
		Nous avons déjà déterminé l'aire de la partie florale à la question C.2.(b):
		
		\begin{align*}
			\mathcal{A}(x) &= \pi\frac{x^2}{8}\\
			\mathcal{A}(35) &= \pi \frac{35^2}{8}\\
			&\approx 481,056375
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'aire de la plantation florale est de $481\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons l'aire du potager lorsque $x=35$.}
		
		L'aire du potager est l'aire du trapèze $ABCD$ privée des aires du demi-disque et du trapèze $MBCG$:
		
		\begin{align*}
			\mathcal{A}_{pota} &= \frac{1}{2}(50+70) \times 30 -481 -750\\
			&= 569
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'aire du potager est de $569\ \mathrm{m}^2$.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Cette partie est composée de quatre exercices indépendants.}
		
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Indiquer si les affirmation suivantes sont vraies ou fausses en justifiant la réponse.
	
	\emph{Une réponse exacte non justifiée ne rapporte aucun point.}
	
	\emph{Une réponse fausse n'enlève aucun point.}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans un club sportif, les trois quart des adhérents sont mineurs (ils ont moins de $18$ ans) et le tiers des adhérents majeurs a plus de $25$ ans.
		
		Affirmation: un adhérent sur six a donc entre $18$ et $25$ ans.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la proportion d'adhérents entre $18$ et $25$ ans.}
		
		Un quart des adhérents sont majeurs et parmi ceux-là deux tiers ont moins de $25$ ans.
		
		La proportion d'adhérents entre $18$ et $25$ ans est donc de $\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{6}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Un adhérent sur six a donc entre $18$ et $25$ ans.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation: durant les soldes si on baisse le prix d'un article de $30\ \%$ puis de $20\ \%$, alors le prix de l'article a baissé de $50\ \%$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le taux d'évolution globale.}
		
		Une baisse de $30\ \%$ correspond à un coefficient multiplicateur de 
		
		\begin{align*}
			CM_1 &= 1 \frac{t}{100}\\
			&= 1+ \frac{-30}{100}\\
			&= 0,7
		\end{align*}
		
		De même le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de $20\ \%$ est
		
		\begin{align*}
			CM_2 &= 0,8
		\end{align*}
		
		Le coefficient multiplicateur global correspondant à ces deux baisses est donc
		
		\begin{align*}
			CM_g &= CM_1 \times CM_2\\
			&= 0,7 \times 0,8\\
			&= 0,56
		\end{align*}
		
		Le taux d'évolution globale est donc de:
		
		\begin{align*}
			t_g &= 100 \times (CM_g-1)\\
			&= 100 \times (0,56-1)\\
			&= -44
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le prix de l'article a diminué de $44\ \%$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère une série statistique de moyenne égale à $5$. On complète la série en ajoutant $5$ comme valeur supplémentaire.
		
		Affirmation: la moyenne de la série ne change pas.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		La somme $S$ des valeurs de la séries, le nombre $n$ de valeurs de la série et la moyenne $\overline{x}$ sont liés par $\overline{x}=\frac{S}{n}$. Donc: $S=5n$.
		
		La moyenne d la nouvelle série est donc $\overline{x}'=\frac{S+5}{n+1}=\frac{5n+5}{n+1}=\frac{5(n+1)}{n+1}=5$.
		
		\begin{conclusion}
			
			La moyenne de la série ne change pas.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation: pour obtenir le carré d'un nombre entier, il suffit de multiplier le nombre entier qui le précède par le nombre entier qui le suit et lui ajouter $1$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}$. $(n+1)(n-1)+1=n^2-1^2+1=n^2$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est donc vraie.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Ce tableau présente la hauteur, en millimètre, des précipitations journalières au cours du mois d'avril 2016, sur l'aéroport Roland Garros de l'île de la Réunion.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{3cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			Hauteur des précipitations (en millimètre) & $0$ & $0,3$ & $1,3$ & $1,7$ & $2,5$ & $7$ & $13$ & $21$ & $28$ & $42$ 
			\\
			\hline
			Nombre de jours & $4$ & $6$ & $4$ & $4$ & $3$ & $3$ & $2$ & $1$ & $2$ & $1$
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer la valeur moyenne des précipitations journalières au cours du mois d'avril 2016.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Il s'agit d'une série regroupée par modalités, nous utiliserons donc la formule de la moyenne pondérée.}
		
		\medskip
		\objectif{Déterminons la hauteur moyenne.}
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{x_1n_1+ \cdots + x_rn_r}{n_1+\cdots + n_r}\\
			&= \frac{0 \times 4 + 0,3 \times 6+ \cdots +41 \times 1}{4+6+ \cdots +1}\\
			&\approx 6,24333\dots
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Les précipitation sont en moyenne de $6,24\ \mathrm{mm}$ par jour.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la valeur médiane de ces précipitations journalières. Interpréter ce résultat par une phrase.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la médiane de cette série.}
		
		Déterminons tout de suite les effectifs cumulés croissants.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{3cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
				\hline
				Hauteur des précipitations (en millimètre) & $0$ & $0,3$ & $1,3$ & $1,7$ & $2,5$ & $7$ & $13$ & $21$ & $28$ & $42$ 
				\\
				\hline
				Nombre de jours & $4$ & $6$ & $4$ & $4$ & $3$ & $3$ & $2$ & $1$ & $2$ & $1$
				\\
				\hline
				E.C.C. & $4$ & $10$ & $14$ & $18$ & $21$ & $24$ & $26$ & $27$ & $29$ & $30$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}		
		
		\medskip
		La série des hauteurs est rangée dans l'ordre croissant.
		
		Position de la médiane: $\frac{N}{2}= \frac{30}{2}=15$. La série est paire donc la médiane est entre la quinzième et la seizième valeurs.
		
		D'après les E.C.C. la médiane est donc \[ Me=\frac{1,7+1,7}{2}=1,7 \]
		
		\begin{conclusion}
			
			La valeur médiane des précipitations est de $1,7\ \mathrm{mm}$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est l'étendue de cette série?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons l'étendue de cette série.}
		
		\begin{align*}
			e &= max-min\\
			&= 42-0\\
			&= 42
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'étendue de cette série est de $42\ \mathrm{mm}$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le nombre de jours où la hauteur des précipitations est supérieure ou égale à $13\ \mathrm{mm}$, puis exprimer ce nombre en pourcentage par rapport au nombre de jours dans le mois.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la proportion de jours pour lesquels la précipitation est supérieure à $13\ \mathrm{mm}$.}
		
		Il y a $6$ jours sur un total de $30$ pendant lesquels des précipitations supérieures à $13\ \mathrm{mm}$ ont été enregistré. Ce qui représente une proportion de
		
		\begin{align*}
			p &= \frac{6}{30}\\
			&= 0,2
		\end{align*} 
		
		\begin{conclusion}
			
			Le pourcentage de jours pendant lesquels des précipitations supérieures à $13\ \mathrm{mm}$ ont été enregistrés est de $20\ \%$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Sachant qu'une piste de décollage de l'aéroport Roland Garros est rectangulaire et mesure $\np{3200}\ \mathrm{m}$ de long et $50\ \mathrm{m}$ de large, calculer, en mètre cube, puis en litre le volume de pluie tombée sur cette piste au cours du mois d'avril 2016.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le volume d'eau tombé sur la piste.}
		
		La hauteur des précipitations au cours du mois d'avril est de \[ 4 \times 0 +6 \times 0,3 +4 \times 1,3 +4 \times 1,7 + \cdots +1 \times 42 = 187,3\ \mathrm{mm} \]
		
		Autrement dit $0,1873\ \mathrm{m}$.
		
		\medskip
		Cette hauteur de précipitation étant tombée sur une surface de $3200\times 50=\np{160000}\ \mathrm{m}^2$ nous pouvons déterminer le volume en mètre cube
		
		\begin{align*}
			V &= 160000 \times 0,1873\\
			&= 29968
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Le volume des précipitations sur la piste au cours du mois d'avril est de $\np{29968}\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Puisque $1 \ \mathrm{l}= 1 \ \mathrm{dm}^3$, $1\ \mathrm{m}^3= \np{1000}\ \mathrm{l}$.
		
		Donc
		
		\begin{conclusion}
			
			le volume des précipitations sur la piste au cours du mois d'avril est de $\np{29968000}\ \mathrm{l}$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}

\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Déterminer, sans justifier, quelle figure géométrique est tracée lorsqu'on exécute chacun des programmes suivants.
	
	\begin{center}
		
		\textbf{Programme A.}
		
		\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2017_maths_externe_sujet_2_02_programme_a.png}
		
		\textbf{Programme B.}
		
		\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2017_maths_externe_sujet_2_03_programme_b.png}
		
	\end{center}

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	Le programme A commande le tracé d'un rectangle de côtés de longueurs $300$ et $70$.
	
	Le programme B commande le tracé d'un losange de côté de longueur $100$ et d'angles $50^{\circ}$ et $130^{\circ}$.
	
\end{correction}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Un batelier descend une rivière de $120\ \mathrm{km}$ en un certain nombre de jours $n$, puis il la remonte. La distance parcourue quotidiennement lors de la remontée est inférieure de $6\ \mathrm{km}$ à celle parcourue quotidiennement lors de la descente. Le batelier met au total un jour de plus pour remonter que pour descendre. On considère qu'il descend à vitesse constante et qu'il remonte à vitesse constante.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Exprimer en fonction de $n$, la distance, en kilomètre, parcourue quotidiennement pendant la descente et la distance, en kilomètre, parcourue quotidiennement pendant le remontée.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le batelier parcourant $120\ \mathrm{km}$ en $n$ jours,
		
		\begin{conclusion}
			
			la distance parcouru quotidiennement pendant la descente est de $\frac{120}{n}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Puisqu'à la remontée il parcours $6\ \mathrm{km}$ de moins chaque jour
		
		\begin{conclusion}
			
			la distance parcouru quotidiennement pendant la descente est de $\frac{120}{n}-6$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que $\frac{120}{n+1}=\frac{120}{n}-6$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		À la remontée le batelier parcourt les $120\ \mathrm{km}$ en $n+1$ jours, la distance parcourue quotidiennement est donc $\frac{120}{n+1}$.
		
		En tenant compte du résultat de la question précédente, nous pouvons affirmer que durant la remontée
		
		\begin{conclusion}
			
			$\frac{120}{n+1} = \frac{120}{n}-6$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déduire de la question précédente que $n(n+1)=20$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que: $n(n+1)=20$.}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}^*$.
		
		\begin{align*}
			\frac{120}{n+1} &= \frac{120}{n}-6\\
			\intertext{équivaut successivement à}
			\frac{120}{n+1} &= \frac{120-6\times n}{n}\\
			120 \times n &= (120-6n) \times (n+1)\\
			120n &=120 \times n +120 \times 1 +(-6n) \times n +(-6n) \times 1\\
			120n &=120n+120-6n^2-6n\\
			120n &= -6n^2+114n+120\\
			120n+6n^2-114n &= 120\\
			6n^2+6n &= 120\\
			6n(n+1) &= 120\\
			n(n+1) &= 20
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Quelque soit $n\in\mathbb{N}^*$, $n(n+1)=20$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire la valeur de $n$ et interpréter ce résultat.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons dans $\mathbb{N}^*$, $n(n+1)=20$.}
		
		Nous cherchons deux entiers naturels consécutifs,  $n$ et $n+1$, dont le produit égale $20$. Il n'y a qu'une possibilité $4$ et $5$.
		
		\begin{conclusion}
			
			$n=4$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Autrement dit:
		
		\begin{conclusion}
			
			le batelier descend la rivière en $4$ jours et la remonte en $5$.
			
		\end{conclusion}
	
	\end{correction}

\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}