%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

%######Tableau
\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}


\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement exercice interrogation
\newcounter{Exerciceinterro}
\setcounter{Exerciceinterro}{1}
\newenvironment{exerciceinterro}{
\medskip \noindent \underline{\color{purple}Exercice noté \theExerciceinterro . } \addtocounter{Exerciceinterro}{1} \medskip \color{blue}\small }{\medskip}

%environnement pour le résumé de la démonstration écrire en orange
\newenvironment{resume}{\color{orange}}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2017 sujet 1} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{exerciceinterro}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{resume}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2017 groupe 1.}

\begin{center}
		
	\begin{sujet}
	
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2017_maths/crpe_2017_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
			
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{\color{purple}Première partie (13 points).}

\subsubsection{Présentation du problème.}

\begin{sujet}
	
	Une entreprise de BTP est mandatée pour étudier la faisabilité de la réalisation d’une portion d’autoroute et d’un nouvel échangeur dans la région de Bordeaux / Brive-la-Gaillarde / Montauban.
	
	\includegraphics[scale=0.15]{crpe_2017_maths_externe_sujet_1_01_carte.png}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Représentation géométrique.}
		
		À vol d’oiseau, il y a $204,4\ \mathrm{km}$ entre Brive-la-Gaillarde et Bordeaux, $210\ \mathrm{km}$ entre Bordeaux et Montauban et $145,6\ \mathrm{km}$ entre Montauban et Brive-la-Gaillarde.
		
		On admet que cette situation géographique est modélisée par un triangle $ABC$, construit à une certaine échelle, dans lequel $A$ représente Bordeaux, $B$ représente Brive-la-Gaillarde et $C$ représente Montauban.
		
		Dans ce triangle, la longueur $AB$ est $7,3\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la longueur $AC$ est $7,5\ \mathrm{cm}$ et que la longueur $BC$ est $5,2\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $AC$ et $BC$.}
			
			Le coefficient de réduction qui permet de passer de la distance réelle (exprimé en mètres) à la distance à l'échelle (exprimée en mètres) est le coefficient de proportionnalité qui appliqué à la première ligne du tableau donne la seconde:
			
			\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
				\hline
				Distance réelle & \np{204400} & \np{210000} & \np{145600}
				\\
				\hline
				Distance sur la carte & $0,073$ & $ \frac{15}{2}\cdot 10^{-2}=0,07$ & $\frac{26}{5}\cdot 10^{-2}=0,052$
				\\
				\hline
				Segment & $AB$ & $AC$ & $BC$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
			Autrement dit le coefficient de proportionnalité est \[ c=\frac{0,073}{204400}=\frac{1}{28}\cdot 10^{-5} \] ce qui permet de compléter le tableau de proportionnalité.
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons établi que $AC=7,5\ \mathrm{cm}$ et $BC=5,2\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Construire le triangle $ABC$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
			\objectif{construisons le triangle $ABC$.}
			
			{\color{orange}Nous connaissons les trois longueurs du triangle. Sa construction à la règle et au compas est donc aisée. Ici à l'échelle un demi.}
			
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (7.3,0);
				\coordinate (C) at (5.65,4.9315);
				\draw (A) node[below]{$A$};
				\draw (B) node[below]{$B$};
				\draw (C) node[above]{$C$};
				\draw (A)--(B)--(C)--(A);
				\draw[blue, thick,dashed][samples=100,domain=25:50] plot({7.5*cos(\x)},{7.5*sin(\x  )});
				\draw[blue, thick,dashed][samples=100,domain=90:140] plot({7.3+5.2*cos(\x)},{5.2*sin(\x)});
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer l’échelle utilisée pour modéliser la situation.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons l'échelle utilisée.}
			
			{\color{orange}L'échelle est le quotient de la longueur réduite sur la longueur réelle exprimée sous forme d'une fraction avec le nombre $1$ au numérateur.}
			
			\[ \frac{0,073}{204400}=\frac{1}{28}\cdot 10^{-5}=\frac{1}{\np{2800000}} \]
			
			\begin{conclusion}
				
				L'échelle est $\displaystyle \frac{1}{\np{2800000}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Étude de faisabilité.}
		
		Dans le cadre d’un projet d’extension, la société d’exploitation mandate une entreprise de BTP pour étudier la construction d’une portion d’autoroute reliant Brive-la-Gaillarde et l’autoroute entre Bordeaux et Montauban. On cherche à construire la portion d’autoroute la plus courte possible.
		
		Sur la figure construite précédemment, on note $D$ le point du segment $[AC]$ tel que la distance $BD$ soit la plus courte possible. Le point $D$ représente l’emplacement de l’échangeur à construire.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Placer le point $D$ sur la figure et indiquer ce que représente la droite $(BD)$ dans le triangle $ABC$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Dessinons le point $D$.}
			
			Pour minimiser la distance de $B$ à $(AC)$ il faut projeter orthogonalement $B$ sur $(AC)$.
			
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (7.3,0);
				\coordinate (C) at (5.65,4.9315);
				\draw (A) node[below]{$A$};
				\draw (B) node[below]{$B$};
				\draw (C) node[above]{$C$};
				\draw (A)--(B)--(C)--(A);
				\def\AD{(0.5*((7.3*7.3-5.2*5.2)/7.5+7.5))/7.3};
				\def\theta{acos(\AD)};
				\coordinate (D) at ({7.3*\AD*cos(\theta)},{7.3*\AD*sin(\theta)});
				\draw (D) node[above]{$D$};
				\draw (B)--(D);
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				La droite $(BD)$ est la hauteur de $ABC$ issue de $B$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
 			Les formules trigonométriques et un théorème appelé théorème d’Al Kashi permettent d’établir l’égalité (admise): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 -2\times AC \times AD. \] En utilisant l’égalité ci-dessus, montrer que $AD = 5,5 \ \mathrm{cm}$.
 						
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $AD$.}
			
			L'égalité donnée est successivement équivalente à
			
			\begin{align*}
				BC^2 {\color{orange}-(AB^2+AC^2)} &= AB^2+AC^2-2\times AC \times AD {\color{orange}-(AB^2+AC^2)}\\
				BC^2-AB^2-AC^2 &= -2AC\times AD\\
				\intertext{$AC$ étant non nul}
				\frac{BC^2-AB^2-AC^2}{-2AC} &= AD\\
				\intertext{En utlisant les données numériques de l'énoncé (en centimètres)}
				\frac{5,2^2-7,3^2-7,5^2}{-2\times 7,5} &= AD\\
				5,5 &= AD
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$AD=5,5 \ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire les longueurs $CD$ et $BD$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $CD$.}
			
			$A$, $D$ et $C$ sont alignés dans cet ordre, donc $AD+DC=AC$.
			
			En tenant compte des données numériques déjà obtenues: $5,5+DC=7,5$.
			
			Cette dernière égalité est successivement équivalente à 
			
			\begin{align*}
				5,5 + DC {\color{orange} -5,5} &= 7,5 {\color{orange} -5,5}\\
				DC &= 2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$DC=2\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $BD$.}
			
			Puisque $(BD)$ est la hauteur de $ABC$ issue de $B$, $ABD$ est rectangle en $D$. Donc, d'après le théorème de Pythagore,
			
			\begin{align*}
				BD^2+AD^2 &= AB^2\\
				\intertext{ce qui est successivement équivalent à}
				BD^2 + 5,5^2 &= 7,3^2\\
				BD^2+5,5^2 {\color{orange}-5,5^2} &= 7,3^2 {\color{orange}-5,5^2}\\
				BD^2 &= 23,04\\
				\intertext{$BD$ désignant une longueur, c'est un nombre positif et donc:}
				BD &= \sqrt{23,04}\\
				BD &= 4,8
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$BD=4,8\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
						
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Validation du projet.}
		
		Il s'avère que l'échangeur ne peut être placé à cet endroit car il serait situé dans une zone protégée.
		
		Sur la figure construite précédemment, $E$ désignera l'emplacement définitivement choisi pour l'échangeur et donc $[BE]$ la portion d'autoroute à réaliser.
		
		On appelle $E$ le point du segment $[AD]$ tel que $[ED]$ mesure $0,9\ \mathrm{cm}$
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		
			
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (7.3,0);
				\coordinate (C) at (5.65,4.9315);
				\draw (A) node[below]{$A$};
				\draw (B) node[below]{$B$};
				\draw (C) node[above]{$C$};
				\draw (A)--(B)--(C)--(A);
				\def\AD{5.5};
				\def\AB{7.3};
				\def\theta{acos(\AD/\AB)};
				\coordinate (D) at ({\AD*cos(\theta)},{\AD*sin(\theta)});
				\draw (D) node[above]{$D$};
				\draw (B)--(D);
				\coordinate (E) at ({(\AD-0.9)*cos(\theta)},{(\AD-0.9)*sin(\theta)});
				\draw (E) node[above]{$E$};
				\draw (B)--(E);
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
		\end{correction}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la mesure en degré, arrondie au centième de degré, de l'angle $\widehat{DBE}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la mesure de $\widehat{DBE}$.}
			
			$DBE$ est rectangle en $D$ donc
			
			\begin{align*}
				\frac{ED}{BD} &= \tan (\widehat{DBE})\\
				\intertext{D'où}
				\widehat{DBE} &= \arctan \left( \frac{0,9}{4,8} \right)\\
				&\approx 10,619
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\widehat{DBE}\approx 10,62\ {}^{\circ}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la longueur $BE$, arrondie au centième de centimètre.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $BE$.}
			
			Puisque $DBE$ est rectangle en $D$
			
			\begin{align*}
				\frac{DB}{BE} &= \cos \left( \widehat{DBE} \right)\\
				\intertext{et donc}
				\frac{4,8}{BE} &= \cos (1\widehat{DBE})\\
				\frac{4,8}{BE} {\color{orange}\times BE} &= \cos (\widehat{DBE})  {\color{orange}\times BE}\\
				4,8 &= BE \times \cos (\widehat{DBE})\\
				\frac{4,8}{\color{orange} \cos (\widehat{DBE})} &= \frac{BE \times \cos (\widehat{DBE})}{\color{orange}\cos (\widehat{DBE})}\\
				\frac{4,8}{\cos (\widehat{DBE})} &= BE
			\end{align*}
			
			Enfin
			
			\begin{conclusion}
				
				$BE \approx 4,88\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire la longueur, en kilomètre, arrondie au dixième de kilomètre près de la portion d'autoroute qui sera réalisée.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la longueur $l$ de la portion d'autoroute.}
			
			Puisque l'échelle est de $\frac{1}{\np{2800000}}$, $l$ exprimée en mètres est
			
			\begin{align*}
				l &= \np{2800000} \times \frac{BE}{100}\\
				&\approx \np{2800000} \times \frac{4,88}{100}
			\end{align*}
			
			et donc en kilomètres
			
			\begin{conclusion}
				
				$l\approx 136,6\ \mathrm{km}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		 \textbf{Tarification.}
		 
		 Après validation, le projet a été réalisé. La société d'exploitation des autoroutes propose des badges à ses usagers.
		 
		  Mme Dupuis, enseignante à Brive, emprunte cette nouvelle portion d'autoroute chaque jour, matin et soir. Elle hésite entre les deux propositions suivantes:
		  
		  \begin{center}
		  	
		  	\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
		  		\hline
		  		Tarif $1$ & Tarif $2$
		  		\\
		  		\hline
		  		Sans badge, un aller simple coûte $12,40\ \text{\euro}$. & Un badge coûte $30\ \text{\euro}$ par an et donne lieu a une réduction de $20\ \%$ par aller simple.
		  		\\
		  		\hline
		  	\end{tabularx}
		  	
		  \end{center}
		  
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Le graphique ci-dessous représente le coût global pour chaque tarif en fonction du nombre d'allers simples effectués.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
					\def\xY{-0.9};
					\def\yY{-0.5};
					\def\xZ{15};
					\def\yZ{9.5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above,fill=white]{};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[right,fill=white]{};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1, 2,...,14}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1,2,...,9}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:15] plot(\x,{(12.40/20)*\x});
					\draw[blue] (4,1) node[fill=white] {Tarif $1$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=0:15] plot(\x,{30/20+0.8*(12.40/20)*\x});
					\draw[red] (2,4) node[fill=white] {Tarif $2$};
					\draw (10,0.5) node[fill=white] {Nombre d'allers simples};
					\draw[red] (4,9) node[fill=white] {Coût global en euro};
				\end{tikzpicture}
				
				\emph{Figure 1: Coût global en euros en fonction du nombre d'allers simples.}
					
			\end{center}
			
			Déterminer graphiquement à partir de combien d'allers simples le tarif $2$ devient le plus avantageux.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
					\def\xY{-0.9};
					\def\yY{-0.5};
					\def\xZ{15};
					\def\yZ{9.5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[above,fill=white]{};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[right,fill=white]{};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1, 2,...,14}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1,2,...,9}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:15] plot(\x,{(12.40/20)*\x});
					\draw[blue] (4,1) node[fill=white] {Tarif $1$};
					\draw[red, thick][samples=100,domain=0:15] plot(\x,{30/20+0.8*(12.40/20)*\x});
					\draw[red] (2,4) node[fill=white] {Tarif $2$};
					\draw (10,-1) node[fill=white] {Nombre d'allers simples};
					\draw[red] (4,9) node[fill=white] {Coût global en euro};
					\draw[dashed,violet] (12.09677,0)--(12.09677,{12.09677*12.4/20});
					\draw [very thick, violet] (12.09677,0)--(15,0);
					\draw (12.09677,0)node{\color{violet} \Large $[$};
				\end{tikzpicture}
				
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le tarif $2$ devient plus avantageux à partir de $12$ allers simples.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
				
		\item 
			
		\begin{sujet}
			
			Exprimer en fonction du nombre d'allers simples $x$ le coût global $f(x)$, en euro, selon le tarif $1$.
			
		\end{sujet}
			
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $f(x)$.}
			
			Par proportionnalité, chaque aller simple coutant $12,40\ \text{\euro}$,
			
			\begin{conclusion}
				
				$f(x)=12,40x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer en fonction du nombre d'allers simples $x$ le coût global $g(x)$, en euro, selon le tarif $2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $g(x)$.}
				
			En reprenant le descriptif du tarif $2$:
			
			\begin{align*}
				g(x) &= 30+\left( 1 -\frac{20}{100} \right) \times 12,40
			\end{align*}
			
			Donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$g(x)= 9,92x+30$.
				
			\end{conclusion}
				
		\end{correction}
			
		\item
			
		\begin{sujet}
		
			 Retrouver par le calcul à partir de combien d'allers simples  le tarif $2$ devient le plus avantageux.
			 
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Résolvons $g(x) \le f(x)$ dans $\mathbb{N}$.}
			
			L'inégalité équivaut successivement à:
			
			\begin{align*}
				9,92x +30 &\le 12,4x\\
				9,92x +30 {\color{orange}-12,4x} &\le 12,4x  {\color{orange}-12,4}\\
				(9,92-12,4)x+30 &\le 0\\
				-2,48x+30  &\le 0\\
				-2,48x+30 {\color{orange} -30} &\le 0 {\color{orange} -30}\\
				-2,48x &\le -30\\
				\intertext{puisque $-2,48<0$:}
				\frac{-2,48x}{\color{orange}-2,48} &\ge \frac{-30}{\color{orange}-2,48}\\
				x &\ge \frac{375}{31}
			\end{align*}
			
			Or $\frac{375}{31} \approx 12,09677$, donc
			
			\begin{conclusion}
				
				Le tarif $2$ devient avantageux à partir de $13$ allers simples.
				
			\end{conclusion}
			
			\end{correction}
			
	\end{enumerate}
		
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\textbf{Les dangers de l'autoroute.}
		
		\noindent
		\begin{center}
		
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}
			\hline
			\begin{minipage}{\linewidth}
			
			\underline{Information:}
			
			Pour un véhicule, la distance d'arrêt $D_a$ correspond à la somme de la distance de réaction $D_r$ et la distance de freinage $D_f$: \[ D_a=D_r+D_f. \]
			
			La distance de réaction $D_r$ est la distance parcourue par le véhicule pendant le temps que met le conducteur pour réagir. Le temps de réaction est d'une seconde pour un conducteur en bonne forme et de deux secondes pour un conducteur fatigué.
			
			\medskip
			La distance de freinage, exprimée en mètre, est donnée par la formule $\displaystyle D_f=\frac{v^2}{254 \times C_{fl}}$, où $v$ est la vitesse en kilomètre par heure et $C_{fl}$ désigne le coefficient de frottement longitudinal. La distance obtenue est exprimée en mètre.
			
			On admet que le coefficient $C_{fl}$ vaut $0,8$ sur route sèche et que sur route mouillée ce coefficient est divisé par deux.
			
			\end{minipage}
				
			\\
			\hline
			
		\end{tabularx}
			
		\begin{flushright}
		
			\footnotesize inspiré de: \url{http://www.discip.crdp.ac-caen.fr/phch/college/troisieme/cours/distance_arret/Distance_arret.pdf}
			
		\end{flushright}
		
		\end{center}			
		
		\medskip
		Une voiture roule à $120\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$ sur l'autoroute. La chaussée est sèche et le conducteur est fatigué. Tout à coup, un cerf surgit sur la voie et s'arrête, tétanisé par les feux de la voiture. L'animal se trouve à $150\ \mathrm{m}$ de la voiture.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer la distance de réaction $D_r$, arrondie au dixième de mètre, pour cette voiture conduite par un conducteur fatigué.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $D_r$.}
			
			Le conducteur étant fatigué il met deux secondes à réagir \emph{i.e.} $\frac{2}{60 \times 60}\ \mathrm{h}$. Et puisqu'il roule à $120\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$:
			
			\begin{align*}
				D_r &= 120 \times \frac{2}{60 \times 60}\\
				&= \frac{1}{15}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$D_r \approx 66,7\ \mathrm{m}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			On donne ci-dessous la courbe correspondant à la distance de freinage $D_f$ sur route sèche en fonction de la vitesse. Indiquer si la collision avec le cerf pourra être évitée. Justifier.
			
			\medskip
			\hspace*{-1.4cm}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
					\def\xY{-0.5};
					\def\yY{-0.5};
					\def\xZ{16};
					\def\yZ{9.5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1, 2, ...,15}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{10*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1,2,...,9}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:16] plot(\x,{\x*\x/(254*0.8*0.2)});
					\draw (14,0.5) node[fill=white] {Vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$};
					\draw (3.5,9) node[fill=white] {Distance de freinage en $\mathrm{m}$};	
					\draw (7,-1.5) node[fill=white] {\emph{\small Distance de freinage en mètre, en fonction de la vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$.}};	
				\end{tikzpicture}
	
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons si la collision peut être évitée.}
			
			Elle sera évitée si $D_a \le 150$. Or 
			
			\begin{align*}
				D_a &= D_r +D_f\\
				&= \frac{100}{15} + D_f
			\end{align*}
			
			donc il faut que 
			
			\begin{align*}
				\frac{100}{15} + D_f &\le 150\\
				\intertext{Ce qui équivaut encore à}
				\frac{100}{15} + D_f {\color{orange} -\frac{100}{15}} &\le 150 {\color{orange} -\frac{100}{15}}\\
				D_f &\le 150 -\frac {100}{15}\\
				&\le \frac{280}{3}\\
				&\approx 93,3
			\end{align*}
			
			\medskip
			Par lecture graphique nous obtenons qu'en roulant à $120\ \mathrm{km}/\mathrm{h}$, \[ D_f \approx 72\ \mathrm{m},\]
			
			\medskip
			\hspace*{-1.4cm}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
					\def\xY{-0.5};
					\def\yY{-0.5};
					\def\xZ{16};
					\def\yZ{9.5};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
					\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
					\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
					\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
					\foreach \x in {1, 2, ...,15}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{10*\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1,2,...,9}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:16] plot(\x,{\x*\x/(254*0.8*0.2)});
					\draw (14,0.5) node[fill=white] {Vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$};
					\draw (3.5,9) node[fill=white] {Distance de freinage en $\mathrm{m}$};	
					\draw (7,-1.5) node[fill=white] {\emph{\small Distance de freinage en mètre, en fonction de la vitesse en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$.}};	
					\draw[dashed,red] (12,0)--(12,{12*12/(254*0.8*0.2)})--(0,{12*12/(254*0.8*0.2)});
				\end{tikzpicture}
			
			\begin{conclusion}
				
				La collision sera évitée puisque le véhicule s'arrêtera à une vingtaine de mètres du cerf.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
	
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer une formule à écrire dans la cellule B3 du tableur ci-dessous pour calculer la distance de freinage $D_f$, en mètre, formule que l'on fera ensuite glisser pour l'étendre aux autres cellules de la colonne B du tableur.
			
			\begin{center}
			
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2017_maths_externe_sujet_1_02_tableur.png}
			
			\end{center}
			
		\end{sujet}
	
		\begin{correction}
			
			En reprenant la formule donnée par l'énoncé et puisque la route est sèche
			
			\begin{conclusion}
				
				En B3: \[ =A3*A3/(254*0,8). \]
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}			
	
\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Deuxième partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	Cette partie est composée de trois exercices indépendants.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Au mois de février 2017, on a interrogé \np{12 527} personnes de plus de 15 ans à la sortie du métro, à propos du nombre de fois où elles sont allées au restaurant pendant le mois de janvier 2017. Chaque personne sondée est enregistrée par un numéro, de 1 à \np{12 527}.
	
	Le tableau ci-dessous présente des résultats, selon la classe d’âge des personnes interrogées.
	
	\hspace*{-1cm}
	\begin{tabular}{|*{6}{m{1.8cm}|}}
		\cline{2-6} \multicolumn{1}{c|}{}& De 15 à 25 ans & De 26 à 44 ans & De 45 à 60 ans & Plus de 60 ans & Total
		\\
		\hline
		Pas du tout &  & $82$ & $415$ & $147$ & $666$
		\\
		\hline
		Un fois & $682$ & & $\np{1243}$ & $589$ & 
		\\
		\hline
		Deux fois & & $634$ & $552$ & $138$ & $\np{1737}$
		\\
		\hline
		Trois fois & $174$ & $95$ & & & $\np{1907}$
		\\
		\hline
		Quatre fois ou plus & $251$ & $418$ & $923$ & $317$ &
		\\
		\hline
		Total & $\np{1542}$ & & $\np{3517}$ & $\np{2445}$ & 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Reproduire et compléter le tableau ci-dessus.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Complétons le tableau en sommant pour obtenir les bons totaux et en sachant que $\np{12527}$ personnes au total ont été interrogées.
	
	\hspace*{-1cm}
	\begin{tabular}{|*{6}{m{1.8cm}|}}
		\cline{2-6} \multicolumn{1}{c|}{}& De 15 à 25 ans & De 26 à 44 ans & De 45 à 60 ans & Plus de 60 ans & Total
		\\
		\hline
		Pas du tout & $22$ & $82$ & $415$ & $147$ & $666$
		\\
		\hline
		Un fois & $682$ & \color{violet} $\np{3794}$ & $\np{1243}$ & $589$ & \color{violet} $\np{6308}$
		\\
		\hline
		Deux fois & $413$ & $634$ & $552$ & $138$ & $\np{1737}$
		\\
		\hline
		Trois fois & $174$ & $95$ & \color{violet} $384$ & \color{violet} $\np{1254}$ & $\np{1907}$
		\\
		\hline
		Quatre fois ou plus & $251$ & $418$ & $923$ & $317$ & \color{violet} $\np{1909}$
		\\
		\hline
		Total & $\np{1542}$ & \color{violet} $\np{5023}$ & $\np{3517}$ & $\np{2445}$ & \color{violet} $\np{12527}$
		\\
		\hline
	\end{tabular}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On tire au hasard un des numéros correspondant aux personnes interrogées, en supposant que chacun a la même probabilité d'être choisi.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la probabilité que ce numéro corresponde à une personne qui est allée exactement deux fois au restaurant pendant le mois de janvier 2017.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $E_1$ l'événement \og la personne choisie est allée exactement deux fois au restaurant\fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $P(E_1)$.}
			
			Le choix des numéros étant équiprobable, l'univers comportant $\np{12527}$ issues, $E_1$ étant réalisé par $\np{1737}$ issues
			
			\begin{conclusion}
				
				$P(E_1) = \frac{\np{1737}}{\np{12527}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la probabilité que ce numéro corresponde à une personne qui a moins de $45$ ans.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $E_2$ l'événement \og la personne choisie a moins de $45$ ans \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $P(E_2)$.}
			
			Le choix des numéros étant équiprobable, l'univers comportant $\np{12527}$ issues, $E_2$ étant réalisé par $\np{1545}+\np{5023}=\np{6565}$ issues
			
			\begin{conclusion}
				
				$P(E_2) = \frac{\np{6565}}{\np{12527}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la probabilité que ce numéro corresponde à une personne qui a plus de $60$ ans et qui est allée au moins trois fois au restaurant pendant le mois de janvier 2017.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Notons $E_3$ l'événement \og la personne choisie a plus de $60$ ans et est allée au moins trois fois au restaurant \fg{}.
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $P(E_3)$.}
			
			Le choix des numéros étant équiprobable, l'univers comportant $\np{12527}$ issues, $E_3$ étant réalisé par $\np{1254}+\np{317}=\np{1571}$ issues
			
			\begin{conclusion}
				
				$P(E_3) = \frac{\np{1571}}{\np{12527}}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	On utilise le programme ci-dessous.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.18]{crpe_2017_maths_externe_sujet_1_03_programme.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}	
		
		Quel résultat s'affiche si l'on choisit d'entrer le nombre $7$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$7< 10$ donc le résultat affiché est $5\times 7+3=38$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'on entre $7$ le programme retourne $38$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}	
		
		Quel résultat s'affiche si l'on choisit d'entrer le nombre $12,7$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$12,7> 10$ donc le résultat affiché est $2\times 12,7-7=18,4$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'on entre $12,7$ le programme retourne $18,4$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}	
		
		Quel résultat s'affiche si l'on choisit d'entrer le nombre $-6$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$-6< 10$ donc le résultat affiché est $5\times (-6)+3=-27$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Si l'on entre $6$ le programme retourne $-27$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}
	
\begin{sujet}
	
	Indiquer si les affirmations suivantes sont justes ou fausses en justifiant la réponse.
	
	Une réponse exacte, mais non justifiée, ne rapporte aucun point. Une réponse fausse n'enlève aucun point.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation: \og $117$ est un nombre premier. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$1+1+7=9$ et $9$ est divisible par $3$, donc $117$ est divisible par $3$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L' affirmation 1 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Affirmation: \og Pour n'importe quel nombre entier $n$, $(n+2)^2-(n-2)^2$ est un multiple de $8$.\fg{}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{align*}
				(n+2)^2- (n-2)^2 &= [ (n+2)-(n-2) ] \times [(n+2)+(n-2)]\\
				&= 4[2n]\\
				&= 8n
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation 2.(a) est vraie.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Affirmation: \og Pour n'importe quel nombre entier $n$, $(n+2)^2-(n-2)^2$ est un multiple de $32$.\fg{}
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Pour $n=1$, $(1+2)^2-(n-2)^2=8$ n'est pas un multiple de $32$.
			
			\begin{conclusion}
				
				L'affirmation 2.(b) est fausse.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
			
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation: \og Il existe au moins un nombre entier pair supérieur à $7$, divisible par $3$ mais divisible ni par $9$ ni par $4$. \fg{} 
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Par une démarche d'analyse synthèse nous obtenons la forme d'une réponse: $2 \times 3 \times n$ avec $n$ qui n'est divisible ni par $2$ ni par $3$.}
		
		\medskip
		$30=2\times 3 \times 5$ convient.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Affirmation: \og $6$ est l'unique solution de l'équation $(x-7)(x+4)=(x-7)(16-x)$. \fg{} 
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Même si $6$ est solution, elle ne peut être unique puisque $7$ est une solution évidente.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation $4$ est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On réduit respectivement la largeur et la longueur d'un rectangle de $20\ \%$ et de $10\ \%$.
		
		Affirmation: \og L'aire du rectangle ainsi obtenu a diminué de $28\ \%$ \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire du rectangle.}
		
		Notons $l$ et $L$ respectivement les largeur et longueur du rectangle.
		
		Le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de $20\ \%$ est
		\begin{align*}
			CM_1 &= 1+\frac{t_1}{100}\\
			&= 1+ \frac{-20}{100}\\
			&= 0,8
		\end{align*}
		
		De même le coefficient multiplicateur correspondant à une diminution de $19\ \%$ est \[ CM_2=0,9. \]
		
		L'aire du nouveau rectangle est donc
		
		\begin{align*}
			(0,8 \times l) \times ( 0,9 \times L) &= 0,72 \times l \times L
		\end{align*}
		
		Ainsi l'aire du rectangle a été multipliée par $0,72$. Le taux d'évolution, en pourcentage, correspondant est 
		
		\begin{align*}
			t &= 100 \times (CM-1)\\
			&= 100 \times (0,72-1)\\
			&= 28
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 5 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un rectangle a une longueur et une largeur qui mesurent respectivement $6\ \mathrm{cm}$ et $9\ \mathrm{cm}$. On réduit la largeur de $20\ \%$ et la longueur $10\ \%$.
		
		Affirmation: \og Le périmètre du rectangle ainsi obtenu a diminué de $15\ \%$. \fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Le périmètre du rectangle initial est \[ p_1=2 \times (6+9)=30.\]
		
		La nouvelle largeur est \[ l_2=\left( 1+\frac{-20}{100} \right) \times 6=0,8\times 6= 4,8. \]
		
		La nouvelle longueur est \[ L_2=\left( 1+\frac{-10}{100} \right) \times 9=0,9\times 9= 8,1. \]
		
		Le périmètre du nouveau rectangle est donc \[ p_2= 2 \times (4,8 +8,1)= 25,8. \]
		
		Le taux d'évolution, en pourcentage, entre les deux périmètres est donc de
		
		\begin{align*}
			t &= \frac{V_A-V_D}{V_D} \times 100 \\
			&= \frac{25,8-30}{30} \times 100\\
			&= -14
		\end{align*}
		
		Le périmètre a donc diminué de $14\ \%$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 6 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
		
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\section{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\section{Python}

\begin{lstlisting}
\textbf{Inititalisation}
for i=1 to 14:
	print("oups")
	while 1<2:
		a=input()
	test
\end{lstlisting}


\section{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\section{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}
