%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{green},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement bareme
\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!3} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2016 sujet 4} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}
	
\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2016 groupe 4.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2016_maths/crpe_2016_maths_externe_sujet_4_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2016_maths/crpe_2016_maths_externe_sujet_4_sujet.pdf}{pdf}.
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\subsection{Première partie (13 points).}

\begin{sujet}
	
	L’arbelos est une figure géométrique qui doit son nom à un outil appelé tranchet du cordonnier. Cette figure a été étudiée par Archimède il y a plus de deux millénaires.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\r{2.5};
			\def\R{4};
			\draw[ thick][samples=100,domain=0:180] plot({\r*cos(\x)+\r+\xA},{\r*sin(\x)+\yA});
			\draw[ thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R*cos(\x)+\R+\xA},{\R*sin(\x)+\yA});
			\draw[ thick][samples=100,domain=0:180] plot({(\R-\r)*cos(\x)+(\R+\r)+\xA},{(\R-\r)*sin(\x)+\yA});
			\fill[pattern=north east lines, pattern color=violet] ({\xA},{\yA}) 
			-- plot [domain=180:360] ({\R*cos(-\x)+\R+\xA},{\R*sin(-\x)+\yA})
			-- plot [domain=0:180] ({(\R-\r)*cos(\x)+(\R+\r)+\xA},{(\R-\r)*sin(\x)+\yA})
			--plot [domain=0:180] ({\r*cos(\x)+\r+\xA},{\r*sin(\x)+\yA});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\color{orange}	Dans cet exercice toutes les longueurs sont exprimées en centimètres, c'est pourquoi nous n'indiquerons pas les unités dans les calculs.

\end{correction}

\subsubsection{Partie A: étude préliminaire, relations métriques dans un triangle rectangle.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Étude d’un cas particulier}.
		
		Soit $ABC$ un triangle de dimensions: $AB = 7,5\ \mathrm{cm}$; $BC = 6\ \mathrm{cm}$; $AC = 4,5\ \mathrm{cm}$.
		
		On appelle $H$ le pied de la hauteur issue du sommet $C$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\def\AC{4.5};
				\def\AB{7.5};
				\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
				\coordinate (B) at ({\xA+\AB},{\yA});
				\coordinate (C) at ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA+\AC*(sqrt(\AB*\AB-\AC*\AC)/\AB)});
				\coordinate (H) at ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA});
				\draw (A) node [below left]{$A$};
				\draw (B) node [below right]{$B$};
				\draw (C) node [above]{$C$};
				\draw (H) node [above left]{$H$};
				\draw (A) -- (B) node [midway,below] {$7,5$};
				\draw (A) -- (C) node [midway,above left] {$4,5$};
				\draw (C) -- (B) node [midway,above right] {$6$};
				\draw (C) -- (H);
				\def\delt{0.4};
				\draw ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA+\delt}) -- ({\xA+\AC*\AC/\AB+\delt},{\yA+\delt}) -- ({\xA+\AC*\AC/\AB+\delt},{\yA});
				\fill [gray, opacity=0.4] ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA+\delt}) -- ({\xA+\AC*\AC/\AB+\delt},{\yA+\delt}) -- ({\xA+\AC*\AC/\AB+\delt},{\yA}) -- ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA}) --cycle;
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. En déduire que l’aire du triangle $ABC$ est égale à $13,5\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $ABC$ est rectangle en $C$.}
			
			D'une part:
			
			\begin{align*}
				AC^2 +CB^2 &= 4,5^2+6^5\\
				&= 56,25
			\end{align*}
			
			et d'autre part:
			
			\begin{align*}
				AC^2 &= 7,5^2\\
				&= 56,25
			\end{align*}
			
			donc \[ AC^2+CB^2=AC^2. \]
			
			Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore
			
			\begin{conclusion}
				
				$ABC$ est rectangle en $C$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}(ABC)$ de $ABC$.}
			
			Puisque $ABC$ est rectangle en $C$ et que les longueurs sont toutes exprimées en centimètres:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ABC) &= \frac{1}{2} \times AC \times CB\\
				&= \frac{1}{2} \times 4,5 \times 6\\
				&= 13,5
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(ABC)=13,5\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En calculant d‘une autre façon l’aire du triangle $ABC$, en déduire que la longueur $CH$ est $3,6\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $CH$.}
			
			Puisque $CH$ est la hauteur issue de $C$:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(ABC) &= \frac{1}{2} \times CH \times AB\\
				\intertext{ce qui équivaut successivement à:}
				13,5 &= \frac{1}{2} \times CH \time 7,5\\
				13,5 &= 3,75 \times CH\\
				\frac{13,5}{\color{orange}3,75} &= \frac{3,75 \times CH}{\color{orange}3,75}\\
				3,6 &= CH
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$CH = 3,6\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer les longueurs $AH$ et $BH$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $AH$.}
			
			$AHC$ est rectangle en $H$ donc, d'après le théorème de Pythagore
			
			\begin{align*}
				AH^2+HC^2 & =AC^2\\
				\intertext{Nous en déduisons successivement:}
				AH^2 + 3,6^2 &= 4,5^2\\
				AH^2 + 12,96 &= 20,25\\
				AH^2+12,96 {\color{orange}-12,96} &= 20,25  {\color{orange}-12,96}\\
				AH^2 &= 7,29
				\intertext{Puisque $AH$ est une longueur, c'est un nombre positif et donc:}
				AH &= \sqrt{7,29}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$AH=2,7\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $HB$.}
			
			Puisque $H \in [AB]$:
			
			\begin{align*}
				HB &= AB-AH\\
				&= 7,5-2,7
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$HB=4,8\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier que dans ce triangle $CH^2 = AH \times BH$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Vérifions l'égalité proposée.}
			
			$CH^2=3,6^2=12,96$ et $AH \times HB=2,7 \times 4,8=12,96$. Donc:
			
			\begin{conclusion}
				
				$CH^2=AH \times BH$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Étude du cas général.}
		
		Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$.
		
		On appelle $H$ le pied de la hauteur issue du sommet $C$.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\AC{6.5};
			\def\AB{7.5};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\coordinate (B) at ({\xA+\AB},{\yA});
			\coordinate (C) at ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA+\AC*(sqrt(\AB*\AB-\AC*\AC)/\AB)});
			\coordinate (H) at ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA});
			\draw (A) node [below left]{$A$};
			\draw (B) node [below right]{$B$};
			\draw (C) node [above]{$C$};
			\draw (H) node [above left]{$H$};
			\draw (A) -- (B) node [midway,below] {};
			\draw (A) -- (C) node [midway,above left] {};
			\draw (C) -- (B) node [midway,above right] {};
			\draw (C) -- (H);
			\def\delt{0.4};
			\draw ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA+\delt}) -- ({\xA+\AC*\AC/\AB+\delt},{\yA+\delt}) -- ({\xA+\AC*\AC/\AB+\delt},{\yA});
			\fill [gray, opacity=0.4] ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA+\delt}) -- ({\xA+\AC*\AC/\AB+\delt},{\yA+\delt}) -- ({\xA+\AC*\AC/\AB+\delt},{\yA}) -- ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA}) --cycle;
			\def\theta{acos(\AC/\AB)};
			\fill [gray, opacity=0.4] ({\xA+\AC*\AC/\AB},{\yA+\AC*(sqrt(\AB*\AB-\AC*\AC)/\AB)}) -- ({\xA+(\AC-\delt)*\AC/\AB},{\yA+(\AC-\delt)*sin(acos(\AC/\AB))}) --++ ({-\delt*cos(\theta+90)},{-\delt*sin(\theta+90)}) --++ ({\delt*cos(\theta)},{\delt*sin(\theta)}) -- cycle;
			\draw ({\xA+(\AC-\delt)*\AC/\AB},{\yA+(\AC-\delt)*sin(acos(\AC/\AB))}) --++ ({-\delt*cos(\theta+90)},{-\delt*sin(\theta+90)}) --++ ({\delt*cos(\theta)},{\delt*sin(\theta)});
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que les angles $\widehat{CBH}$ et $\widehat{ACH}$ ont même mesure.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\color{orange}Suivant en cela l'usage nous confondrons les angles et leur mesure.}
			
			\medskip
			\objectif{Justifions que $\widehat{CBH}$ et $\widehat{ACH}$ ont même mesure.}
			
			Notons $\theta$ une mesure en degré de $\widehat{ACH}$.
			
			Puisque $\widehat{ACB}$ est droit, $\widehat{HCB}=90-\theta$.
			
			Puisque la somme des mesures des angles d'un triangle est $180$ et que $\widehat{BHC}=90$, \[ \widehat{CBH}= 180-90- (90-\theta). \]
			
			Autrement dit: $\widehat{CBH}=\theta$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$\widehat{CBH} = \widehat{ACH}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire à l'aide des relations trigonométriques que: \[ \frac{CH}{BH} = \frac{AH}{CH} \] puis que $HC^2=AH \times BH$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que $HC^2=AH \times BH$.}
			
			$ACH$ est rectangle en $H$ donc \[ \tan \left( \widehat{ACH}\right) = \frac{AH}{CH}. \]
			
			$BCH$ est rectangle en $H$ donc \[ \tan \left( \widehat{CBH}\right) = \frac{CH}{BH}. \]
			
			Or, d'après la question précédente $\widehat{CBH}= \widehat{ACh}$, donc \[ \frac{AH}{CH} =\frac{CH}{BH}. \]
			
			En procédant à un produit en croix:
			
			\begin{conclusion}
				
				$AH \times BH=CH^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B: étude de l’aire d’un arbelos dans un cas particulier.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, on fixe $AB = 10\ \mathrm{cm}$.
	
	On considère un point $H$ appartenant au segment $[AB]$, et on note $x = BH$.
		
	\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\r{2.5};
		\def\R{4};
		\draw[ thick][samples=100,domain=0:180] plot({\r*cos(\x)+\r+\xA},{\r*sin(\x)+\yA});
		\draw[ thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R*cos(\x)+\R+\xA},{\R*sin(\x)+\yA});
		\draw[ thick][samples=100,domain=0:180] plot({(\R-\r)*cos(\x)+(\R+\r)+\xA},{(\R-\r)*sin(\x)+\yA});
		\fill[pattern=north east lines, pattern color=violet] ({\xA},{\yA}) 
		-- plot [domain=180:360] ({\R*cos(-\x)+\R+\xA},{\R*sin(-\x)+\yA})
		-- plot [domain=0:180] ({(\R-\r)*cos(\x)+(\R+\r)+\xA},{(\R-\r)*sin(\x)+\yA})
		--plot [domain=0:180] ({\r*cos(\x)+\r+\xA},{\r*sin(\x)+\yA});
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\draw (A) node{$\bullet$};
		\draw (A) node[below] {$A$};
		\coordinate (H) at ({\xA+2*\r},{\yA});
		\draw (H) node{$\bullet$};
		\draw (H) node[below] {$H$};
		\coordinate (B) at ({\xA+2*\R},{\yA});
		\draw (B) node{$\bullet$};
		\draw (B) node[below] {$B$};
		\draw (A) -- (H);
		\draw (B) -- (H) node [midway,above] {$x$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Étude graphique de l'aire.}
		
		La représentation graphique de la fonction $\mathcal{A}$ exprimant l’aire de l’arbelos en fonction de la distance $BH$ est donnée ci-dessous.
		
		{\hspace*{-0.25cm}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.8,yscale=0.5]
		\def\xY{0};
		\def\yY{0};
		\def\xZ{11.5};
		\def\yZ{22};
		\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
		\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
		\draw[step=1cm,ystep=1.570796cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
		\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2,...,11}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
		\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,{\y*3.141592})--(-0.1cm,{\y*3.141592}) node[left,fill=white]{\footnotesize  $\pi$};
		\foreach \y in {2,3,...,6}	\draw[thick](0.1cm,{\y*3.141592})--(-0.1cm,{\y*3.141592}) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$\pi$};
		\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{25*3.141592/4-3.141592/4*(\x-5)*(\x-5)});
		\draw (1.5,21) node[fill=white] {Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
		\draw (11,-1.5) node[fill=white] {$x(\mathrm{cm})$};
		\end{tikzpicture}
		}
		
		Les réponses aux questions suivantes seront données par lecture graphique.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner en fonction de $\pi$ l’aire de l’arbelos lorsque $x = 4$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.25]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{11.5};
				\def\yZ{22};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm,ystep=1.570796cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,11}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,{\y*3.141592})--(-0.1cm,{\y*3.141592}) node[left,fill=white]{\footnotesize  $\pi$};
				\foreach \y in {2,3,...,6}	\draw[thick](0.1cm,{\y*3.141592})--(-0.1cm,{\y*3.141592}) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$\pi$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{25*3.141592/4-3.141592/4*(\x-5)*(\x-5)});
				\draw (1.5,21) node[fill=white] {Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\draw (11,-1.5) node[fill=white] {$x(\mathrm{cm})$};
				\draw [red, very thick, dashed] (4,0) -- (4,{25*3.141592/4-3.141592/4*(4-5)*(4-5)})-- (0,{25*3.141592/4-3.141592/4*(4-5)*(4-5)});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(4)=6\pi$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelles valeurs de $BH$ l’aire de l’arbelos est-elle égale à $2\pi\ \mathrm{cm}^2$?
			
		\end{sujet}
		
		
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.25]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{11.5};
				\def\yZ{22};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm,ystep=1.570796cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,11}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,{\y*3.141592})--(-0.1cm,{\y*3.141592}) node[left,fill=white]{\footnotesize  $\pi$};
				\foreach \y in {2,3,...,6}	\draw[thick](0.1cm,{\y*3.141592})--(-0.1cm,{\y*3.141592}) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$\pi$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{25*3.141592/4-3.141592/4*(\x-5)*(\x-5)});
				\draw (1.5,21) node[fill=white] {Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\draw (11,-1.5) node[fill=white] {$x(\mathrm{cm})$};
				\draw [red, very thick, dashed]  (11,{2*3.141592})-- (0,{2*3.141592});
				\draw [red, very thick, dashed]  (0.9,0)-- (0.9,{2*3.141592});
				\draw [red, very thick, dashed]  (9.1,0)-- (9.1,{2*3.141592});
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire égale $2\pi\ \mathrm{cm}^2$ lorsque $x$ est choisi égale à $0,9$ ou $9,1$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour quelles valeurs de $BH$ l’aire est-elle comprise entre $0$ et $4\pi\ \mathrm{cm}^2$?
			
		\end{sujet}
				
		\begin{correction}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.25]
				\def\xY{0};
				\def\yY{0};
				\def\xZ{11.5};
				\def\yZ{22};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=1cm,ystep=1.570796cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
				\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2,...,11}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
				\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,{\y*3.141592})--(-0.1cm,{\y*3.141592}) node[left,fill=white]{\footnotesize  $\pi$};
				\foreach \y in {2,3,...,6}	\draw[thick](0.1cm,{\y*3.141592})--(-0.1cm,{\y*3.141592}) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$\pi$};
				\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=2:8] plot(\x,{25*3.141592/4-3.141592/4*(\x-5)*(\x-5)});
				\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:2] plot(\x,{25*3.141592/4-3.141592/4*(\x-5)*(\x-5)});
				\draw[orange, thick][samples=100,domain=8:10] plot(\x,{25*3.141592/4-3.141592/4*(\x-5)*(\x-5)});
				\draw (1.5,21) node[fill=white] {Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
				\draw (11,-1.5) node[fill=white] {$x(\mathrm{cm})$};
				\draw [red, very thick, dashed] (0,{4*3.141592})-- (11,{4*3.141592});
				\draw [red, very thick] (0,0)-- (2,0);
				\draw [red, very thick] (8,0)-- (10,0);
				\draw [red] (2,0) node {$]$};
				\draw [red] (0,0) node {$[$};
				\draw [red] (8,0) node {$[$};
				\draw [red] (10,0) node {$]$};
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire est comprise entre $0$ et $4\pi$ lorsque $x \in [0;2] \cup [8;10]$. 
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{enumerate}
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Pour quelles valeurs de $BH$ l’aire de l’arbelos est-elle maximale?
				
			\end{sujet}			
			
			\begin{correction}
				
				\begin{center}
					\begin{tikzpicture}[xscale=0.4,yscale=0.25]
					\def\xY{0};
					\def\yY{0};
					\def\xZ{11.5};
					\def\yZ{22};
					\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
					\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
					\draw[step=1cm,ystep=1.570796cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
					\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
					\foreach \x in {1, 2,...,11}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
					\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,{\y*3.141592})--(-0.1cm,{\y*3.141592}) node[left,fill=white]{\footnotesize  $\pi$};
					\foreach \y in {2,3,...,6}	\draw[thick](0.1cm,{\y*3.141592})--(-0.1cm,{\y*3.141592}) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}$\pi$};
					\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{};
					\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{};
					\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:10] plot(\x,{25*3.141592/4-3.141592/4*(\x-5)*(\x-5)});
					\draw (1.5,21) node[fill=white] {Aire ($\mathrm{cm}^2$)};
					\draw (11,-1.5) node[fill=white] {$x(\mathrm{cm})$};
					\draw [red, very thick, dashed] (11,{6.25*3.141592})-- (0,{6.25*3.141592});
					\draw [red, very thick, dashed] (5,0)-- (5,{6.25*3.141592});
					\end{tikzpicture}
				\end{center}
				
				\begin{conclusion}
					
					l'aire de l'arbelos est maximale lorsque $BH=5\ \mathrm{cm}$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
			\item 
			
			\begin{sujet}
				
				Donner en fonction de $\pi$ la valeur de cette aire maximale.
				
			\end{sujet}
			
			\begin{correction}
				
				\begin{conclusion}
					
					L'aire maximale est approximativement $6,25 \pi$.
					
				\end{conclusion}
				
			\end{correction}
			
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Vérification algébrique.}
		
		On rappelle que l’aire d’un disque de diamètre $d$ est égale à $\displaystyle \frac{1}{4}\pi d^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quelles valeurs $x$ peut-il prendre?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			$H \in [AB]$, $AB=10\ \mathrm{cm}$ et $HB=x$ donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$x\in [0;10]$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Exprimer l'aire de l'arbelos $\mathcal{A}(x)$ en fonction de $x$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $\mathscr{A}(x)$.}
			
			L'arbélos est formé d'un grand demi-disque dont on ôte deux demi-disques plus petits donc:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{A}(x) &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \pi AB^2- \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \pi AH^2 -\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \pi HB^2\\
				&= \frac{1}{8} \pi 10^2 -\frac{1}{8} \pi (10-x)^2- \frac{1}{8} \pi x^2\\
				\intertext{\color{orange}Nous pourrions nous arréter ici, cependant en prévision de la question précédente nous allons donner la forme développée, ordonnée et réduite de cette expression polynomiale.}
				\mathscr{A}(x) &= \frac{25}{2}\pi -\frac{1}{8} \pi \left( 10^2-2 \times 10 \times x +x^2 \right) -\frac{1}{8}\pi x\\
				&= \frac{25}{2}\pi -\frac{1}{8} \pi \left( 100 -20x+x^2 \right) -\frac{1}{8}\pi x^2\\
				&= \frac{25}{2}\pi-\frac{1}{8} \pi  \times 100 +\frac{1}{8}\pi \times 20 x -\frac{1}{8}\pi x^2-\frac{1}{8}\pi x^2\\
				&= -\frac{1}{4}\pi x^2+\frac{5}{2} \pi x
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{A}(x)= -\frac{1}{4}\pi x^2+\frac{5}{2}\pi x$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que l'on peut écrire: \[ \mathcal{A}(x)= \frac{25\pi}{4}- \frac{\pi}{4} (x-5)^2. \]
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que l'expression proposée pour $\mathscr{A}(x)$ convient.}
			
			{\color{orange}Nous reconnaissons la forme canonique d'un trinôme du second degré. Nous pourrions donc calculer $\alpha$ et $\beta$. Cependant nous allons développer l'expression proposée pour vérifier qu'elle convient.}
			
			\begin{align*}
				\frac{25\pi}{4}- \frac{\pi}{4} (x-5)^2 &= \frac{25\pi}{4} -\frac{\pi}{4} \left( x^2-2 \times x \times 5 +5^2 \right)\\
				&= \frac{25\pi}{4} -\frac{\pi}{4} \left( x^2-10x+25 \right) \\
				&= \frac{25\pi}{4} -\frac{\pi}{4} \times x^2 +\frac{\pi}{4} \times 10x -\frac{\pi}{4} \times 25\\
				&= -\frac{\pi}{4}x^2+\frac{5}{2} \pi x\\
				&= \mathscr{A}(x)
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Nous avons bien: $-\frac{25\pi}{4}- \frac{\pi}{4} (x-5)^2 = \mathscr{A}(x)$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Vérifier par le calcul les valeurs déterminées graphiquement pour l'aire maximale de la question B 1.(d).
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le maximum de $\mathscr{A}$.}
			
			D'après la question précédente $\mathscr{A}$ est un trinôme du second degré dont nous connaissons la forme canonique et : $a=-\frac{\pi}{4}$, $\alpha = 5$, et $\beta =\frac{25\pi}{4}$.
			
			Puisque $a<0$ la parabole est orientée vers le bas et nous en déduisons son tableau de variation.
			
			{\color{orange}L'ensemble de définition de $\mathscr{A}$ a été déterminé à la question B 2.(a).}
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $\mathscr{A}$ /1.6}
				{$0$ ,$5$, $10$}
				\tkzTabVar {-/ $0$, + / $\frac{25\pi}{4}$, - / $0$ / }
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				L'aire maximale est $6,25\pi\ \mathrm{cm}^2$ et elle est atteinte pour $x=5\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: étude de l’aire d’un arbelos dans le cas général.}

\begin{sujet}
	
	On donne deux points distincts $A$ et $B$. On construit un demi-cercle de diamètre $[AB]$.
	
	Soit $C$ un point de ce demi-cercle distinct de $A$ et $B$.
	
	On appelle $H$ le pied de la hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $C$.
	
	On construit les deux demi-cercles de diamètre $[AH]$ et $[HB]$ situés dans le demi-plan délimité par la droite $(AB)$ contenant $C$.
	
	On note $x$ la longueur $BH$, $y$ la longueur $AH$ et $h$ la longueur $CH$.
	
	L’arbelos est la zone du plan grisée sur la figure.
	
 		\begin{center}
		
		\begin{tikzpicture}
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		%Rayon du premier petit demi-cercle
		\def\r{2.5};
		%Rayon du plus grand cercle
		\def\R{4};
		%demi-cerles
		\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\r*cos(\x)+\r+\xA},{\r*sin(\x)+\yA});
		\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R*cos(\x)+\R+\xA},{\R*sin(\x)+\yA});
		\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({(\R-\r)*cos(\x)+(\R+\r)+\xA},{(\R-\r)*sin(\x)+\yA});
		%Coloriage
		\fill[gray, opacity=0.2] ({\xA},{\yA}) 
		-- plot [domain=180:360] ({\R*cos(-\x)+\R+\xA},{\R*sin(-\x)+\yA})
		-- plot [domain=0:180] ({(\R-\r)*cos(\x)+(\R+\r)+\xA},{(\R-\r)*sin(\x)+\yA})
		--plot [domain=0:180] ({\r*cos(\x)+\r+\xA},{\r*sin(\x)+\yA});
		%Point A
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\draw (A) node[below] {$A$};
		%Point H
		\coordinate (H) at ({\xA+2*\r},{\yA});
		\draw (H) node[below] {$H$};
		%Point B
		\coordinate (B) at ({\xA+2*\R},{\yA});
		\draw (B) node[below] {$B$};
		%segments
		\draw (A) -- (H) node [midway,below] {$y$};
		\draw (B) -- (H) node [midway,below] {$x$};
		%Marque angle droit
		\def\delt{0.3};
		\draw ({\xA+2*\r},{\yA}) --++ ({\delt},{0}) --++ (0,{\delt}) --++ ({-\delt},0);
		%Point C
		\coordinate (C) at ({\xA+2*\r},{\yA+(sqrt((2*\r)*(2*\R-2*\r))});
		\draw (C) node[above right] {$C$};
		%segments
		\draw (A) -- (C);
		\draw (H) -- (C) node [midway, right]{$h$};
		\draw (B) -- (C);
		%Cercle
		\draw [samples=100,domain=0:360] plot({(sqrt((2*\r)*(2*\R-2*\r))/2*cos(\x)+\xA+2*\r},{(sqrt((2*\r)*(2*\R-2*\r))/2*sin(\x)+\yA+(sqrt((2*\r)*(2*\R-2*\r))/2});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Montrer que l'aire de l'arbelos est égale à $\displaystyle \frac{\pi}{4} xy$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'aire $\mathscr{A}$ de l'arbélos.}
		
		En raisonnant comme précédemment avec les aires des demi-disques:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A} &= \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\pi (x+y)^2 - \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \pi y^2- \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \pi x^2\\
			&= \frac{1}{8}\pi \left[ (x+y)^2 -y^2-x^2 \right] \\
			&= \frac{\pi}{8} \left[ x^2+2 \times x \times y +y^2-x^2-y^2 \right]\\
			&= \frac{\pi}{8}\times 2xy
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}=\frac{\pi}{4}xy$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		$[AB]$ est un diamètre du cercle et $C$ un point du cercle donc:
		
		\begin{conclusion}
			
			$ABC$ est rectangle en $C$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Utiliser la relation métrique établie à la question A 2.(b) pour montrer que l’aire de l’arbelos est égale à l’aire du disque de diamètre $[CH]$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Nous avons établi à la question  A 2.(b) que, puisque $ABC$ est rectangle en $C$, $xy=h^2$ donc, d'après la question C 1.:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}=\frac{\pi}{4}h^2$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie D: prolongements.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie, le segment $[AB]$ mesure $10\ \mathrm{cm}$. On le partage en $n$ segments d’égale longueur, $n$ étant un entier naturel non nul, puis on construit $n$ demi-disques de diamètres ces $n$ segments comme indiqué dans les exemples ci-dessous.
	
	On s’intéresse au périmètre et à l’aire des figures formées de ces $n$ demi-disques, délimitées par le diamètre $[AB]$ et les $n$ demi-cercles (hachurées dans les deux exemples ci-dessous).
	
	Pour $n = 2$
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\xA{0};
			\def\yA{0};
			\def\R{4};
			\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
			\draw (A) node[below] {$A$};
			\coordinate (H) at ({\xA+\R},{\yA});
			\draw (H) node[below] {$H$};
			\coordinate (B) at ({\xA+2*\R},{\yA});
			\draw (B) node[below] {$B$};
			\draw (A) -- (B);
			\fill[pattern=north east lines, pattern] ({\xA},{\yA}) 
			-- plot [domain=0:180] ({\R/2*cos(\x)+\R/2+\xA},{\R/2*sin(\x)+\yA})
			-- plot [domain=0:180] ({\R/2*cos(\x)+3*\R/2+\xA},{\R/2*sin(\x)+\yA});
			\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R*cos(\x)+\R+\xA},{\R*sin(\x)+\yA});
			\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R/2*cos(\x)+\R/2+\xA},{\R/2*sin(\x)+\yA});
			\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R/2*cos(\x)+3*\R/2+\xA},{\R/2*sin(\x)+\yA});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	
	Pour $n = 4$
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\R{4};
		\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
		\draw (A) node[below] {$A$};
		\coordinate (K) at ({\xA+\R/2},{\yA});
		\draw (K) node[below] {$K$};
		\coordinate (H) at ({\xA+\R},{\yA});
		\draw (H) node[below] {$H$};
		\coordinate (L) at ({\xA+3*\R/2},{\yA});
		\draw (L) node[below] {$L$};
		\coordinate (B) at ({\xA+2*\R},{\yA});
		\draw (B) node[below] {$B$};
		\draw (A) -- (B);
		\fill[pattern=north east lines, pattern] ({\xA},{\yA}) 
		-- plot [domain=0:180] ({\R/4*cos(\x)+\R/4+\xA},{\R/4*sin(\x)+\yA})
		-- (K)
		-- plot [domain=0:180] ({\R/4*cos(\x)+3*\R/4+\xA},{\R/4*sin(\x)+\yA})
		-- (H)
		-- plot [domain=0:180] ({\R/4*cos(\x)+5*\R/4+\xA},{\R/4*sin(\x)+\yA})
		-- (L)
		-- plot [domain=0:180] ({\R/4*cos(\x)+7*\R/4+\xA},{\R/4*sin(\x)+\yA})
		-- (B);
		\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R*cos(\x)+\R+\xA},{\R*sin(\x)+\yA});
		\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R/4*cos(\x)+\R/4+\xA},{\R/4*sin(\x)+\yA});
		\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R/4*cos(\x)+3*\R/4+\xA},{\R/4*sin(\x)+\yA});
		\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R/4*cos(\x)+5*\R/4+\xA},{\R/4*sin(\x)+\yA});
		\draw[thick][samples=100,domain=0:180] plot({\R/4*cos(\x)+7*\R/4+\xA},{\R/4*sin(\x)+\yA});
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Dans le cas où $n = 2$, vérifier que le périmètre de la partie hachurée est égal à $5\pi + 10\ \mathrm{cm}$ et que son aire est égale à $6,25\pi\ \mathrm{cm}^2$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le périmètre $\mathscr{P}_2$ de la partie hachurée.}
		
		rappelons que le périmètre d'un cercle de diamètre $d$ est $\pi d$.
		
		Puisque que le périmètre est formé de deux demi-cercles de diamètre $\frac{10}{2}$ et du segment $[AB]$ de longueur $10$:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{P}_2 &= 2 \times \frac{1}{2}\times \pi \frac{10}{2} +10
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{P}_2=5\pi+10\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
				
		\medskip
		\objectif{Calculons l'aire $\mathscr{A}_2$ hachurée.}
		
		Nous savons que l'aire d'un demi-disque de diamètre $d$ est $\frac{\pi}{8}d^2$, donc pour deux demi-disque de diamètre $\frac{10}{2}$, l'aire hachurée est de 
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_2 &= 2 \times \left[ \frac{\pi}{8}\left( \frac{10}{2} \right)^2 \right]
		\end{align*} 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{A}_2=6,25 \pi\ \mathrm{cm}^2$;
			
		\end{conclusion}
				
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer les valeurs exactes du périmètre puis de l’aire de la partie hachurée dans le cas où $n = 4$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		En procédant comme précédemment:
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{P}_4= 5\pi +10\ \mathrm{cm}$.
			
			$\mathscr{A}_4= 3,125\pi\ \mathrm{cm}^2$.
		
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Étude du cas général.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que le périmètre de la surface hachurée est le même quelle que soit la valeur de $n$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Le diamètre d'un petit demi-disque dans un découpage en $n$ est $\frac{10}{n}$. 
			
			Donc la moitié du périmètre d'un disque est $\frac{1}{2} \times \pi \frac{10}{n}$.
			
			Nous en déduisons le périmètre total:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{P}_n &= n \times \frac{1}{2} \times \pi \frac{10}{n} +10
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{P}_n = 5\pi+10\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
						
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Monter que l’aire de la surface hachurée est égale à $\displaystyle \frac{25\pi}{2n}\ \mathrm{cm}^2$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			L'aire d'un demi-disque est $\frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\left( \frac{10}{n} \right)^2$ donc l'aire hachurée est:
			
			\begin{align*}
			\mathscr{A}_n &= n \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}\left( \frac{10}{n} \right)^2\\
			&= n \times \frac{1}{8} \times \frac{100}{n^2}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{P}_n=\frac{25\pi}{2n}\ \mathrm{cm}^2$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Trouver la plus petite valeur de $n$ pour que l’aire de la surface hachurée soit inférieure à $0,1\ \mathrm{cm}^2$.
		
		Combien mesure le périmètre pour cette valeur de $n$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'inéquation $\mathscr{A}_n\leqslant 0,1$.}
		
		\begin{align*}
			\mathscr{A}_n &\leqslant 0,1\\
			\intertext{équivaut successivement à:}
			\frac{25\pi}{2n} &\leqslant 0,1\\
			\frac{25\pi}{2n} {\color{orange}\times n} &\leqslant 0,1 {\color{orange}\times n} \quad \text{car } n>0\\
			12,5\pi &\leqslant 0,1 n \\
			\frac{12,5\pi}{\color{orange}0,1} &\leqslant \frac{0,1 n}{\color{orange}0,1} \quad \text{car } 0,1>0 \\
			125\pi &\leqslant n
		\end{align*}
		
		Comme $125\pi \approx 392,699$
		
		\begin{conclusion}
			
			l'aire de la surface hachurée sera inférieure à $0,1$ à partir de $n=393$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\begin{conclusion}
			
			Dans ce cas comme dans tous les autres le périmètre est de $5\pi +10\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie (13 points).}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On lance un dé bien équilibré et on considère les points portés sur la face supérieure.
		
		Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair de points?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Modélisation de l'expérience aléatoire. 
		
		$\Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ muni de la loi d'équiprobabilité.}
		
		Notons $A$: \og obtenir un nombre pair\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(A)$.}
		
		$A=\{ 2, 4, 6\}$.
		
		Il y a équiprobabilité, $A$ est réalisé par $3$ issues et l'univers en comporte $6$ donc \[ \mathbb{P}(A)= \frac{3}{6}. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(A)=\frac{1}{2}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On lance deux dés bien équilibrés et on effectue la somme des points portés sur les faces supérieures. Quelle est la probabilité d’obtenir $8$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Modélisation de l'expérience aléatoire.
		
		$\Omega$ est formé de tous les couples d 'entiers entre $1$ et $6$ correspondant aux résultats affichés sur les deux faces. L'univers est muni de l'équiprobabilité: chaque couple de nombres a la même probabilité d'être obtenu qu'un autre.}
		
		Notons $B$: \og obtenir une somme égalant $8$\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		{\color{orange}Nous devons trouver toutes les issues correspondant à l'événement $B$. Pour cela nous allons représenter toutes les sommes possibles sous forme d'un tableau double-entrée.
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{7}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
				\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& \cellcolor{red!60}$1$ & \cellcolor{red!60}$2$ & \cellcolor{red!60}$3$ & \cellcolor{red!60}$4$ & \cellcolor{red!60}$5$ & \cellcolor{red!60}$6$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & \cellcolor{blue!60}$8$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & \cellcolor{blue!60}$8$ & $9$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$4$ & $5$ & $6$ & $7$ & \cellcolor{blue!60}$8$ & $9$ & $10$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$5$ & $6$ & $7$ & \cellcolor{blue!60}$8$ & $9$ & $10$ & $11$
				\\
				\hline
				\cellcolor{green!60}$6$ & $7$ & \cellcolor{blue!60}$8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$
				\\
				\hline
			\end{tabularx}
			
		\end{center}
		}
		
		Il y a équiprobabilité $B$ est réalisé par $5$ issues, l'univers en comporte $36$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(B)=\frac{5}{36}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère un sac contenant $25$ jetons rouges et $17$ jetons bleus indiscernables au toucher. On tire deux jetons l’un après l’autre, sans remise. Quelle est la probabilité d’obtenir deux jetons de même couleur?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Modélisation de l'expérience aléatoire.
		
		$\Omega$ est formé de tous les couples, obtenus après les deux tirages, de couleurs rouges et bleus. $\Omega= \{ RR, RB, BR, BB \}$. La loi de probabilité n'est pas évidente.
		
		Pour calculer les probabilités nous allons utiliser un arbre pondéré. L'expérience est formée de deux épreuves à deux issues (tirer un jeton) donc l'arbre aura deux niveaux.}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				\def\deltx{2.5};
				\def\delty{2};
				\coordinate (A1) at ({2*\deltx},{3*\delty/2});
				\coordinate (A2) at ({2*\deltx},{1*\delty/2});
				\coordinate (A3) at ({2*\deltx},{-1*\delty/2});
				\coordinate (A4) at ({2*\deltx},{-3*\delty/2});
				\node (A1) at (A1) {$R$};
				\node (A2) at (A2) {$B$};
				\node (A3) at (A3) {$R$};
				\node (A4) at (A4) {$B$};
				\coordinate (B1) at ({1*\deltx},{\delty});
				\coordinate (B2) at ({1*\deltx},{-\delty});
				\node (B1) at (B1) {$R$};
				\node (B2) at (B2) {$B$};
				\draw (B1) -- (A1) node [midway, above, sloped] {$\frac{24}{41}$};
				\draw (B1) -- (A2) node [midway, below, sloped] {$\frac{17}{41}$};
				\draw (B2) -- (A3) node [midway, above, sloped] {$\frac{25}{41}$};
				\draw (B2) -- (A4) node [midway, below, sloped] {$\frac{16}{41}$};
				\draw (0,0) -- (B1) node [midway, above, sloped] {$\frac{25}{42}$};
				\draw (0,0) -- (B2) node [midway, below, sloped] {$\frac{17}{42}$};
				\coordinate (C0) at ({3*\deltx},{4*\delty/2});
				\coordinate (C1) at ({3*\deltx},{3*\delty/2});
				\coordinate (C2) at ({3*\deltx},{1*\delty/2});
				\coordinate (C3) at ({3*\deltx},{-1*\delty/2});
				\coordinate (C4) at ({3*\deltx},{-3*\delty/2});
				\node (C0) at (C0) {Issues};
				\node (C1) at (C1) {$RR$};
				\node (C2) at (C2) {$RB$};
				\node (C3) at (C3) {$BR$};
				\node (C4) at (C4) {$BB$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		Notons $E$: \og obtenir deux jetons de même couleur\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathbb{P}(E)$.}
		
		$E =\{ RR, BB \}$.
		
		Donc
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(E) &= \mathbb{P}(RR) + \mathbb{P}(BB)\\
			\intertext{Nous en déduisons d'après le principe multiplicatif (formule des probabilités composées):}
			\mathbb{P}(E) &= \frac{25}{42} \times \frac{24}{41} + \frac{17}{42} \times \frac{16}{41}
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(E)=\frac{436}{861}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	Louise affirme que si on augmente la longueur du côté d’un carré de $100\ \%$ alors son aire augmente de $200\ \%$.
	
	Tessa n’est pas d’accord avec elle et affirme que l’aire sera doublée.
	
	Eva soutient, quant à elle, que l’aire augmentera de $300\ \%$.
	
	\medskip
	Qui a raison? Justifier la réponse.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons le taux d'évolution $t_c$ de l'aire lorsque son côté augmente de $100\ \%$.}
	
	{\color{orange}Il s'agit de passer par les coefficients multiplicateurs pour simplifier les calculs.}
	
	Notons $c$ la longueur du côté du carré initial et $\mathscr{A}_i$ son aire.
	
	Une augmentation de $100\ \%$ correspond à une multiplication par:
	\begin{align*}
		CM &= 1+ \frac{t}{100}\\
		&= 1+ \frac{100}{100}\\
		&= 2
	\end{align*}
	
	Puisque $c$ a été multiplié par $2$ l'aire finale du carré (après agrandissement) est:
	
	\begin{align*}
		\mathscr{A}_f &= \left( 2c \right)^2\\
		&= 2^2c^2\\
		&= 4c^2\\
		&= 4 \mathscr{A}_i
	\end{align*}
	
	Ainsi l'aire initiale a été multipliée par $4$. Le taux d'évolution correspondant à ce coefficient multiplicateur est
	
	\begin{align*}
		t_c &= 100 \times ( CM-1)\\
		&= 100 \times (4-3)\\
		&= 300
	\end{align*}
	
	\begin{conclusion}
		
		L'aire du carré a augmenté de $300\ \%$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	On considère le programme de calcul suivant:
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{m{10cm}}
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Choisir un nombre.
		
		\item Ajouter $6$.
		
		\item Multiplier par le nombre de départ.
		
		\item Ajouter $9$.
		
		\item Afficher le résultat.
		
	\end{enumerate}
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Monter que si le nombre de départ est $5$, le résultat affiché sera $64$.
			
		\end{sujet}
				
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la valeur retournée lorsque la valeur $5$ est choisie.}
			
			Construisons le tableau d'état des variables de ce programme en notant $x$ la valeur de départ choisie et $r$ la variable qui contiendra le résultat souhaité.
			
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|}
					\hline
					Instructions & $x$ & $r$
					\\
					\hline
					Choisir un nombre. & $5$ &
					\\
					\hline
					Ajouter $6$. & $5$ & $5+6=11$
					\\
					\hline
					Multiplier par le nombre de départ. & $5$ & $11 \times 5=55$
					\\
					\hline
					Ajouter $9$. & $5$ & $55+9=64$
					\\
					\hline
					Afficher le résultat. & & $64$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Lorsque $5$ est choisi le programme renvoie $64$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel nombre sera affiché si le nombre choisi au départ est $10$?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la valeur retournée lorsque la valeur $10$ est choisie.}
						
			\begin{center}
				\begin{tabular}{|c|c|c|}
					\hline
					Instructions & $x$ & $r$
					\\
					\hline
					Choisir un nombre. & $10$ &
					\\
					\hline
					Ajouter $6$. & $10$ & $10+6=16$
					\\
					\hline
					Multiplier par le nombre de départ. & $10$ & $16 \times 10=160$
					\\
					\hline
					Ajouter $9$. & $10$ & $160+9=169$
					\\
					\hline
					Afficher le résultat. & & $169$
					\\
					\hline
				\end{tabular}
			\end{center}
			
			\begin{conclusion}
				
				Lorsque $10$ est choisi le programme renvoie $169$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Un tableur a été utilisé pour mettre en œuvre ce programme de calcul. Une copie de l’écran est donnée ci-dessous.
	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
		\hline
		& \texttt{A} & \texttt{B} & \texttt{C} & \texttt{D} & \texttt{E} & \texttt{F} & \texttt{G} & \texttt{H}
		\\
		\hline
		$1$ & {\footnotesize nombre de départ} & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$
		\\
		\hline
		$2$ & {\footnotesize résultat} & $0$ & $1$ & $4$ & $9$ & $16$ & $25$ & $36$
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Une formule a été saisie dans la cellule $\texttt{B}2$ et recopiée ensuite vers la droite pour compléter la
		plage $\texttt{C}2:\texttt{H}2$.
		
		Parmi les formules suivantes, laquelle a été saisie?
		
		\framebox{$=\texttt{B}1+6*\texttt{B}1+9$} \framebox{$=(\texttt{B}1+6)*(\texttt{B}1+9)$} \framebox{$=(\texttt{B}1+6)*\texttt{B}1+9$}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la valeur retournée lorsque la valeur $x$ est choisie.}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|c|c|}
				\hline
				Instructions & $x$ & $r$
				\\
				\hline
				Choisir un nombre. & $x$ &
				\\
				\hline
				Ajouter $6$. & $x$ & $x+6$
				\\
				\hline
				Multiplier par le nombre de départ. & $x$ & $(x+6) \times x$
				\\
				\hline
				Ajouter $9$. & $x$ & $(x+6)x+9$
				\\
				\hline
				Afficher le résultat. & & $(x+6)x+9$
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			la formule choisie est \framebox{$=(\texttt{B}1+6)*\texttt{B}1+9$}.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En observant la copie d’écran ci-dessus, émettre une conjecture sur le résultat obtenu en fonction du nombre de départ choisi.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il semblerait que le nombre obtenu soit le carré de $x+3$ lorsque $x$ est le nombre choisi.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer cette conjecture.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Démontrons que $(x+3)^2=(x+6)x+9$.}
		
		Développons, ordonnons et réduisons les deux expressions.
		
		D'une part
		
		\begin{align*}
			(x+3)^2 &= x^2+2 \times x \times 3 + 3^2\\
			&= x^2+6x+9
		\end{align*}
		
		et d'autre part
		
		\begin{align*}
			(x+6)x+9 &= x\times x +6 \times x +9\\
			&= x^2+6x+9
		\end{align*}
		
		donc, par transitivité, nous avons bien
		
		\begin{conclusion}
			
			$(x+3)^2=(x+6)x+9$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
			
\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Un producteur de légumes sème des carottes sur deux parcelles différentes.
	
	Pour répondre aux demandes de l’industrie agroalimentaire, les carottes doivent respecter certains calibrages.
	
	On s’intéresse tout particulièrement à la longueur des carottes.
	
	\smallskip
	Après récolte, le producteur prélève un échantillon sur chacune des deux parcelles. Les résultats des mesures des longueurs des carottes de ces échantillons sont regroupés ci-dessous:
	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|m{5.5cm}|m{5.5cm}|}
		\hline
		\textbf{Parcelle A (400 carottes)} & \textbf{Parcelle B (500 carottes)}
		\\
		\hline
		premier quartile: $7\ \mathrm{cm}$ & premier quartile: $7\ \mathrm{cm}$
		\\
		\hline
		troisième quartile: $12\ \mathrm{cm}$ & troisième quartile: $9\ \mathrm{cm}$
		\\
		\hline
		médiane: $10\ \mathrm{cm}$ & médiane: $8,5\ \mathrm{cm}$
		\\
		\hline
		moyenne: $9,5\ \mathrm{cm}$ & moyenne: $8,8\ \mathrm{cm}$
		\\
		\hline
		étendue: $9\ \mathrm{cm}$ & étendue: $10\ \mathrm{cm}$
		\\
		\hline
		minimum: $4,5\ \mathrm{cm}$ & minimum: $5\ \mathrm{cm}$
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	
	Dans cet exercice, il s’agit de dire si chacune des affirmations est vraie ou fausse et de le justifier.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 1.} Au moins $75\ \%$ des carottes de l’échantillon prélevé sur la parcelle B mesurent moins de $10\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Pour la parcelle B, $Q_3=9\ \mathrm{cm}$ donc au moins $75\ \%$ des carottes mesurent moins de $9\ \mathrm{cm}$ donc
		
		\begin{conclusion}
			
			l'affirmation 1 est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 2.} La plus grande carotte de l’échantillon prélevé sur la parcelle A mesure $14\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Sur la parcelle A le minimum et $min=4,5\ \mathrm{cm}$ et l'étendue est $e=9\ \mathrm{cm}$ donc la taille maximale est $max=min+e=13,5\ \mathrm{cm}$.
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 2 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
\end{correction}

\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Pour les deux affirmations suivantes, on considère que le producteur regroupe les échantillons des deux parcelles.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\setcounter{enumi}{2}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 3.} La longueur moyenne d’une carotte est $9,15\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons la longueur moyenne, $\overline{x}$, d'une carotte.}
		
		{\color{orange}Il s'agit de faire une moyenne de moyennes donc prudence. Il faut considérer que la parcelle A contient $400$ carottes de $9,5\ \mathrm{cm}$ et la B $500$ carottes de $8,8\ \mathrm{cm}$.}
		
		\begin{align*}
			\overline{x} &= \frac{400 \times 9,5+500 \times 8,8}{400+500}\\
			&= \frac{82}{9} \\
			&= 9,111\dots
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation 3 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Affirmation 4.} La valeur médiane des longueurs des carottes est $6,9\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Les premiers quartiles des deux échantillons étant de $7$, nous pouvons affirmer que strictement moins de $25\ \%$ des carottes ont une taille inférieure à $6,9\ \mathrm{cm}$. Par conséquent 
		
		\begin{conclusion}
			
			l'affirmation 4 est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie (14 points).}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Dans une classe de CE1, l’exercice suivant a été proposé.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Une mère décide de partager \underline{équitablement} entre ses trois enfants \underline{les $20$ biscuits} d’un paquet.
			
			Combien de biscuits va-t-elle donner à chaque enfant?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Analyse du texte du problème.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Donner une difficulté que comporte la présentation de cet énoncé de problème et expliquer une conséquence possible.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Citer deux incidences sur la résolution du problème que le choix des nombres $3$ et $20$ va engendrer.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici les productions de quatre élèves:
		
		{\hspace*{-1cm}
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_4_01_leo.png}
		}
		
		\medskip
		Présenter dans un tableau:
		\begin{center}
			\begin{tabular}{m{10cm}}
				\begin{enumerate}[$\bullet$]
					
					\item La démarche probable de chaque élève.
					
					\item Les éventuelles erreurs de chacun.
					
					\item Une origine possible de chacune de ces erreurs.
					
					\item Les connaissances mathématiques illustrées par ces démarches.
					
				\end{enumerate}
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Voici quatre problèmes extraits du manuel de mathématiques de CM1 de la collection LITCHI (Istra, Paris 2014).
	
	{\hspace*{-1cm}
	\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_4_02_istra.png}
	}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Précisez pour chaque problème s’il s’agit de la recherche de la valeur d’une part, de la recherche du nombre de part ou de la recherche du reste.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Créer un exercice proposant la recherche de la valeur d’une part en reprenant les données numériques du problème A6.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle différence peut-on identifier entre les problèmes B5 et B6?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	Le problème suivant est posé à des élèves d’une classe de CM2.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{10cm}|}
			\hline
			Dans son verger de pommiers, Laurent a récolté $890\ \mathrm{kg}$ de pommes.
			
			Il les entrepose dans des caisses contenant chacune $23\ \mathrm{kg}$ de pommes.
			
			Combien de caisses Laurent va-t-il remplir?
			
			Que lui restera-t-il?
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la notion mathématique mise en jeu dans cet exercice? Quelle est l’écriture mathématique de l’opération en ligne?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En quoi les deux questions de l’énoncé du problème sont-elles importantes?
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	Voici les productions de trois élèves: Arthur, Océane et Dylan.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_4_03_arthur.png}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_4_04_oceane.png}
		
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_4_05_dylan.png}
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{2}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Relever les réussites d’Arthur et celles d’Océane.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		À partir de la démarche d’Arthur, proposer des étapes didactiques pour faire évoluer sa procédure.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Relever la ou les erreurs d’Océane, puis émettre des hypothèses sur son ou leur origine.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer deux erreurs de Dylan et, pour chacune donner des éléments d’analyse.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			\def\xY{-0.5};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{8.5};
			\def\yZ{7};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
			\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
			\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
			\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
			\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
				-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
				-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
				-- (2,0) 
				--(-0.5,0)
				-- cycle;
			\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
	\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		\coordinate (A1) at (4,3);
		\coordinate (A2) at (4,1);
		\coordinate (A3) at (4,-1);
		\coordinate (A4) at (4,-3);
		\coordinate (B1) at (2,2);
		\coordinate (B2) at (2,-2);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$3$};
		\draw node (A14) at (A4) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$1$};
		\draw node (B12) at (B2) {$2$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
		\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
		\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
		{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,d,+,}%
		\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\subsection{Tab2.}

		\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
		{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\begin{lstlisting}{language=Python}
		\textbf{Inititalisation}
		for i=1 to 14:
		print("oups")
		while 1<2:
		a=input()
		test
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
					}{
					6\;
					}
				}
				
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
					}
				}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


	\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
		\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
		\\
		\hline
		Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
		\\
		\hline
		Série $P$ &&&&&& 
		\\
		\hline
	\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}