%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}


\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}

\usepackage[a5paper]{geometry} %ACTIVER POUR A5
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering} %ACTIVER POUR A5

\usepackage{array}%pour centrer dans un tableau

\usepackage{colortbl}%pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{} , 	\columncolor{}

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

\usepackage{tkz-tab}

\usetikzlibrary{arrows}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique
\usepackage{tabularx}%quelques amélioraions de l"environnement tabular

\usepackage{xspace}%met un espace si nécessaire dépend de la ponctuation: \xspace

\usepackage{fancyhdr}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}
\newenvironment{sujet}{}{\medskip}
\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}
\newenvironment{exercicesdumanuel}{\color{violet}\noindent \underline{Exercice supplémentaire.}}{~\newline}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\color{blue}Exercice \theExercice} \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{blue}\small}{\medskip}

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}

}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 

\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 

\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 

}{}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
	{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.75\linewidth} \begin{center} }
	{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour souligné l'objetif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}

\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
\ifs
\begin{Form}
\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
\end{Form}
\xspace
\else
#2
\fi
\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize CRPE 2016 groupe 3 }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2016 groupe 3.}

\subsection{\color{purple}Première partie. \hfill (13 points)}

\begin{sujet}

\begin{tabular}{m{5cm}m{5cm}}
On donne trois points $A$, $B$,$C$ tels que $AB=8\ \mathrm{cm}$, $AC=6\ \mathrm{cm}$; les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

\emph{(le dessin ci-contre n'est pas à l'échelle)}.

&

\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
		\def\longueurperp{0.5};		
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (8,0);
		\coordinate (C) at (0,6);
		\draw (A)node{$+$};
		\draw (B)node{$+$};
		\draw (C)node{$+$};
		\draw (A)node[below left]{$A$};
		\draw (B)node[right]{$B$};
		\draw (C)node[above left]{$C$};
		\draw[blue, thick](B)--(A)--(C);		\fill[color=gray , opacity=0.5] (0,0)--(\longueurperp,0)--(\longueurperp,\longueurperp)--(0,\longueurperp)--cycle;
		\draw[thin] (\longueurperp,0)--(\longueurperp,\longueurperp)--(0,\longueurperp);
\end{tikzpicture}

\\ \end{tabular}

On place:
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item un point $D$ appartenant au segment $[AB]$ distinct de $A$ et $B$;
	\item le point $E$ du segment $[BC]$ et de la perpendiculaire à ma droite $(AB)$ passant par $D$;
	\item le point $F$, intersection du segment $[AC]$ et de la perpendiculaire à la droite $(AC)$ passant par $E$.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
		\def\xD{2};
		\def\longueurperp{0.5};		
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (8,0);
		\coordinate (C) at (0,6);
		\coordinate (D) at (\xD,0);
		\coordinate (E) at (\xD,{-(3/4)*\xD+6});
		\coordinate (F) at (0,{-(3/4)*\xD+6});
		\draw (A)node{$+$};
		\draw (B)node{$+$};
		\draw (C)node{$+$};
		\draw (D)node{$+$};
		\draw (E)node{$+$};
		\draw (F)node{$+$};
		\draw (A)node[below left]{$A$};
		\draw (B)node[right]{$B$};
		\draw (C)node[above left]{$C$};
		\draw (D)node[below]{$D$};
		\draw (E)node[above right]{$E$};
		\draw (F)node[left]{$F$};
		\draw[blue, thick](B)--(D)--(F)--(C);
		\draw[dashed] (D)--(A)--(F);
		\fill[color=gray , opacity=0.5] (0,0)--(\longueurperp,0)--(\longueurperp,\longueurperp)--(0,\longueurperp)--cycle;
		\draw[thin] (\longueurperp,0)--(\longueurperp,\longueurperp)--(0,\longueurperp);
		\draw[dashed] (B)--(C);
		\draw[dashed] (D)--(E);		\fill[color=gray , opacity=0.5] (\xD,0)--({\xD+\longueurperp},0)--({\xD+\longueurperp},\longueurperp)--(\xD,\longueurperp)--cycle;
		\draw[thin] ({\xD+\longueurperp},0)--({\xD+\longueurperp},\longueurperp)--(\xD,\longueurperp);
		\draw[dashed] (E)--(F);	\fill[color=gray , opacity=0.5] (0,{-(3/4)*\xD+6})--(0,{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp})--({\longueurperp},{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp})--({\longueurperp},{-(3/4)*\xD+6})--cycle;
		\draw[thin] (0,{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp})--({\longueurperp},{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp})--({\longueurperp},{-(3/4)*\xD+6});
		\draw (4,-2) node{Figure 1};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\textbf{Le but du problème est de déterminer la position du point $D$ pour laquelle la distance $DF$ est minimale.}

\end{sujet}

\subsubsection{Partie A. Questions préliminaires.}

\begin{sujet}

\emph{Les deux résultats démontrés dans cette partie pourront être utilisés dans les parties suivantes.}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Démontrer que $BC=10\ \mathrm{cm}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$ABC$ est rectangle en $A$ donc, d'après le théorème de Pythagore \[ BC^2=AC^2+BA^2\]
	Or $AC=6$ et $AB=8$ donc \[ BC^2=100 \]
	Comme $BC$ est une longueur, c'est un nombre positif donc $BC=\sqrt{100}=10$.
	
	\end{correction}
	 
	\item \begin{sujet}
	
	Déterminer une mesure en degré de l'angle $\widehat{ABC}$ (on donnera le résultat arrondi à l'unité).
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$ABC$ est rectangle en $A$ donc \[ \cos \left( \widehat{ABC}\right)=\frac{AB}{BC} \]
	Donc $\cos \left( \widehat{ABC}\right)= \frac{4}{5}=0,8$.
	
	D'où une mesure en degré de l'angle arrondie au degré obtenue avec la calculatrice \[ \widehat{ABC}= 37^{\circ} \]
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Démontrer que $AE=DF$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Le quadrilatère $ADEF$ a trois angles droits et est donc un rectangle. Ses diagonales sont donc de même longueur \[ AE=DF \]
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Partie B. Étude analytique du problème.}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Cas particulier: on suppose que $AD=3\ \mathrm{cm}$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Calculer $BD$ puis en déduire $DE$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$BD=AB-AD=8-3=5$.
		
		\medskip
		Configuration de Thalès: les points $B$, $D$, $A$ d'une part et $B$, $E$, $C$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
		
		$(DE)//(AC)$ donc, d'après le théorème de Thalès \[ \frac{BD}{AB}=\frac{DE}{AC} \]
		Nous en déduisons \[ DE=AC\times \frac{BD}{AB}=6\times \frac{5}{8}=\frac{15}{4}=3,75 \]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Montrer que $DF=\sqrt{23,0625}$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$ADEF$ est un rectangle donc $DEF$ est rectangle en $E$ et, d'après le théorème de Pythagore \[ DE^2+EF^2=DF^2 \]
		Or $DE=\frac{15}{4}$ et $EF=AD=3$ donc, $DF$ étant une longueur donc positive \[ DF=\sqrt{\left( \frac{15}{4} \right)^2+3^2}=\sqrt{\frac{369}{16}}=\sqrt{23,0625} \]
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Cas général.
	
	\medskip
	Dans cette partie, on pose $AD=x$.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Quelles valeurs $x$ peut-il prendre?
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$D\in [AB]$ et $D$ est distinct de $A$ et $B$ donc $x\in]0;8[$.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Démontrer que $DE=6-0,75x$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Configuration de Thalès: les points $B$, $E$, $C$ d'une part et $B$, $D$, $A$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
		
		$(DE)//(AC)$ donc, d'après le théorème de Thalès \[ \frac{DE}{AC}=\frac{DB}{AB} \]
		Or $AC=6$, $DB=8-x$, $AB=8$, donc \[ DE=AC\times \frac{DB}{AB}=6\times \frac{8-x}{8}=6\frac{8}{8}-6\times \frac{1}{8}x=6-0,75x \]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En déduire que $DF^2=1,5625x^2-9x+36$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$DEF$ est rectangle en $E$, donc d'après le théorème de Pythagore \[ DF^2=DE^2 +EF^2 \]
		Autrement dit:
		\begin{align*}
		DF^2 &= (6-0,75x)^2+x^2\\
		&=6^2-2\times 6 \times 0,75x +(0,75x)^2+x^2\\
		&=36-9x+0,5625x^2+x^2\\
		&= 1,5625x^2-9x+36
		\end{align*}
				
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Vérifiez que l'on peut ainsi retrouver le résultat de la question \textbf{1.b}.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Si $AD=x=3$ alors $DF^2=1,5625\times 3^2-9\times 3+36= 23, 0625$. Puis, $DF$ étant une longueur donc positive, $DF=\sqrt{23,0625}$.
		
		\end{correction}
				
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Recherche de la valeur de $x$ pour laquelle $DF$ est minimale.
	
	\medskip
	On admet qu'il existe une position du point $D$ telle que $DF$ est minimale, et donc une valeur de $x$ pour laquelle $DF^2$ est minimal.
	
	\medskip
	Afin de déterminer la position du point $D$ recherchée, on utilise un tableur
	
	\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_3_1_image.png}
	
	Tableau 1
	\end{center}
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Une fois la colonne \texttt{A} et la cellule \texttt{B}1 remplies, indiquer quelle est, parmi les propositions suivantes, la formule rentrée en cellule  \texttt{B}2 et ayant permis par recopie le remplissage de la colonne  \texttt{B}.
			\begin{itemize}
			\item Proposition 1: $=1,5625*0^2-9*0+36$
			\item Proposition 2: $=1,5625*\texttt{A}2\wedge 2-9*\texttt{A}2+36$
			\item Proposition 3: $=1,5625*x\wedge 2-9*x+36$
			\item Proposition 4: $=1,5625*\texttt{A}1\wedge 2-9*\texttt{A}1+36$
			\end{itemize}
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Remarque la valeur $x=0$ est impossible dans le cadre géométrique initialement étudié.
		
		\medskip
		Il s'agit de la proposition 2: $=1,5625*\texttt{A}2\wedge 2-9*\texttt{A}2+36$
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Expliquer pourquoi l'utilisateur, après avoir observé les valeurs apparaissant dans la colonne \texttt{B} du tableau 1, a choisi de poursuivre la recherche avec les valeurs données dans la colonne \texttt{D} du tableau 2 ci-après.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		D'après le tableau 1 $23,2656 < DF^2_{\text{minimum}} < 23,6406$. Ce qui correspond à $2,5\le x \le 3,5$.
		
		Pour affiner la précision de l'encadrement il est possible d'essayer avec diverses valeurs de $x$ en choisissant de d'incrémenter $x$ de $0,1$.
		On obtiendra ainsi un nouvel encadrement d'amplitude $0,2$.
		Il est alors possible de recommencer la démarche en choisissant un pas plus fin $0,01$.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		L'utilisateur affine encore les calculs, en remplissant les colonnes \texttt{G} et \texttt{H} du tableau. En déduire un encadrement d'amplitude $0,02$ de la valeur de $x$ pour laquelle $DF^2$ est minimal.
		
		\begin{center}
		\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_3_2_image.png}
		\end{center}
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$DF^2$ est minimal pour une valeur de $x$ dans l'intervalle $2,87< x <2,89$.
		
		\end{correction}
				
		\end{enumerate}
	
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C. Résolution du problème par une méthode géométrique.}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Construire une droite $\Delta$ et un point $O$ n'appartenant pas à $\Delta$. Placer le point $H$, intersection entre la droite $\Delta$ et la perpendiculaire à $\Delta$ passant par $O$, puis placer sur la droite $\Delta$ un point $M$ distinct de $H$.
	
	Expliquer alors pourquoi $OH<OM$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,0);
		\coordinate (O) at (2,2);
		\coordinate (H) at (2,0);
		\coordinate (M) at (4,0);
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below]{$B$};
		\draw (O)node[right]{$O$};
		\draw (O)node{$\bullet$};
		\draw (H)node[below left]{$H$};
		\draw (M)node[below]{$M$};
		\draw (M)node{$\bullet$};
		\draw[blue, thick](A)--(B) node[above right]{$\Delta$};
		\draw[dashed](2,3)--(2,-1);
		\draw[thin] (2.2,0)--(2.2,0.2)--(2,0.2);
	\end{tikzpicture}
	
	$[OM]$ est l'hypoténuse du triangle $OHM$ rectangle en $H$ donc sa longueur est supérieure à celles des autres côtés.
	
	Il est possible de justifier ceci en considérant le théorème de Pythagore qui permet d'affirmer  \[ OM^2=OH^2+HM^2 \]
	Donc: $OM^2>OH^2$.
	
	Comme $OM$ et $OH$ sont des longueurs donc positives et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$: $OM>OH$.
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Construire un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB= 8\ \mathrm{cm}$ et $AC=6\ \mathrm{cm}$.
		
		Utiliser la question précédente pour construire le point $E$ sur $[BC]$ de telle sorte que la distance $AE$ est minimale.
		
		Placer les points $D$ et $F$ de façon à retrouver la configuration de la figure 1, puis tracer le segment $[DF]$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=1]
		\def\xD{4.8*4.8/8};
		\def\longueurperp{0.2};		
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (8,0);
		\coordinate (C) at (0,6);
		\coordinate (D) at (\xD,0);
		\coordinate (E) at (\xD,{-(3/4)*\xD+6});
		\coordinate (F) at (0,{-(3/4)*\xD+6});
		\draw (A)node{$+$};
		\draw (B)node{$+$};
		\draw (C)node{$+$};
		\draw (D)node{$+$};
		\draw (E)node{$+$};
		\draw (F)node{$+$};
		\draw (A)node[below left]{$A$};
		\draw (B)node[right]{$B$};
		\draw (C)node[above left]{$C$};
		\draw (D)node[below]{$D$};
		\draw (E)node[above right]{$E$};
		\draw (F)node[left]{$F$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(A);
		\draw[dashed] (D)--(A)--(F);
		\fill[color=gray , opacity=0.5] (0,0)--(\longueurperp,0)--(\longueurperp,\longueurperp)--(0,\longueurperp)--cycle;
		\draw[thin] (\longueurperp,0)--(\longueurperp,\longueurperp)--(0,\longueurperp);
		\draw[dashed] (B)--(C);
		\draw[dashed] (D)--(E);		\fill[color=gray , opacity=0.5] (\xD,0)--({\xD+\longueurperp},0)--({\xD+\longueurperp},\longueurperp)--(\xD,\longueurperp)--cycle;
		\draw[thin] ({\xD+\longueurperp},0)--({\xD+\longueurperp},\longueurperp)--(\xD,\longueurperp);
		\draw[dashed] (E)--(F);	\fill[color=gray , opacity=0.5] (0,{-(3/4)*\xD+6})--(0,{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp})--({\longueurperp},{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp})--({\longueurperp},{-(3/4)*\xD+6})--cycle;
		\draw[thin] (0,{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp})--({\longueurperp},{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp})--({\longueurperp},{-(3/4)*\xD+6});
		\draw[dashed] (A)--(E);	\fill[color=gray , opacity=0.5] (\xD,{-(3/4)*\xD+6})
		--({\xD-\longueurperp*4.8/8},{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp*6.4/8})
		--({\xD-\longueurperp*4.8/8+\longueurperp*6.4/8},{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp*6.4/8-\longueurperp*4.8/8})
		--({\xD+\longueurperp*6.4/8},{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp*4.8/8})
		--cycle;
		\draw[thin] ({\xD-\longueurperp*4.8/8},{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp*6.4/8})
		--({\xD-\longueurperp*4.8/8+\longueurperp*6.4/8},{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp*6.4/8-\longueurperp*4.8/8})
		--({\xD+\longueurperp*6.4/8},{-(3/4)*\xD+6-\longueurperp*4.8/8});
		\draw (4,-2) node{Figure 2};
		\draw[thick, black] (D)--(F);
		\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		En exprimant l'aire du triangle $ABC$ de deux façons différentes, déterminer la longueur $AE$ et en déduire la longueur $DF$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Comme $ABC$ est rectangle en $A$ son aire est donnée par
		\begin{align*}
		\mathcal{A}(ABC) &= \frac{1}{2}\times AB \times AC\\
		&= \frac{1}{2} \times 8 \times 6\\
		&= 24
		\end{align*}
		
		\medskip
		Comme $AE$ est la hauteur issue de $A$ de $ABC$
		\begin{align*}
		\mathcal{A}(ABC) &= \frac{1}{2}\times AE \times BC\\
		&= \frac{1}{2}\times AE \times 10 \\
		&=5AE
		\end{align*}
		
		En égalant les deux expressions trouvées pour $\mathcal{A}(ABC)$
		\begin{align*}
		24=5AE &\Leftrightarrow \frac{24}{5}=\frac{5AE}{5}\\
		&\Leftrightarrow AE=\frac{24}{5}
		\end{align*}
		
		Et comme $AE=DF$ finalement \[ DF= \frac{24}{5}=4.8 \]
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Calculer la distance $AD$ et conclure quant au problème de départ.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		La somme des mesures en degrés des angles d'un triangle égale $180^{\circ}$ donc\[ \widehat{DEB}=180-90-\widehat{ABC}=90-\widehat{ABC} \]
		Comme $\widehat{AEB}$ est droit \[ \widehat{AED}=90-\widehat{DEB}=\widehat{ABC} \]
		Comme $ADEF$ est un rectangle, par symétrie, \[ \widehat{AED}= \widehat{AFD} \]
		
		et donc \[ \widehat{AED}=\widehat{ABC} \]
				
		$ADF$ étant rectangle en $A$ \[ \frac{AD}{DF}= \sin \left( \widehat{ABC} \right) \]
		
		Et enfin 
		\begin{align*}
		AD &= DF \times \sin \left( \widehat{ABC} \right) \\
		&= DF\times \frac{AC}{BC}\\
		&= 4,8 \times \frac{6}{10}\\
		&= 2,88
		\end{align*} 
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\subsection{\color{purple}Deuxième partie. \hfill (13 points)}

Cette partie est composée de trois exercices indépendants.

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}

\emph{(D'après Dimathème 2de, édition 2000, Didier)}

\medskip
On admet que la vitesse de la lumière dans le vide est égale à $3\times 10^8\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ (mètres par seconde).

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Une unité astronomique ($1\ \mathrm{UA}$) est égale à la distance moyenne Terre-Soleil; elle vaut $150$ millions de kilomètres.
	
	Calculer le temps, exprimé en minute et seconde, nécessaire à un signal lumineux émis par le Soleil pour parvenir à la Terre, en supposant qu'il parcourt $1\ \mathrm{UA}$ dans le vide.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	\begin{align*}
	v =\frac{d}{t} \Leftrightarrow t=\frac{d}{v}\\
	\Leftrightarrow t=\frac{150.10^9}{3.10^8}\\
	\Leftrightarrow t=5.10^{2}
	\end{align*}
	
	Le signal met $8\ \mathrm{min}\ 20\ \mathrm{s}$ secondes pour atteindre la Terre.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Une année-lumière ($1\ \mathrm{AL}$) est la distance parcourue dans le vide par la lumière en une année julienne (c'est-à-dire $365,25$ jours).
	
	Calculer une valeur approchée, en kilomètre, d'une année-lumière.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$365,25\ \mathrm{jours}=365,25 \times 24 \times 60 \times 60 \ \mathrm{s}=\np{31557600}\ \mathrm{s}$.
	
	Donc la distance parcourue par la lumière en une année est \[ 31557600 \times 3.10^8= \np{946728}.10^{10}\ \mathrm{m} \]
		
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Dans le système solaire, la planète la plus éloignée du Soleil est Neptune, et sa distance moyenne par rapport au Soleil est de $4,5$ milliards de kilomètres.
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Exprimer cette distance en $UA$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$4,5.10^{9}\ \mathrm{km} = \frac{4,5.10^9}{150.10^6}\ \mathrm{UA}= 30\ \mathrm{UA} $
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Si on réalisait une maquette du système solaire dans laquelle Neptune est placée à $1\ \mathrm{m}$ du Soleil faudrait-il placer la Terre? On donnera le résultat arrondi au millimètre.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		$\frac{1}{30}\approx 0,033\ \mathrm{m}$
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}

Dans cet exercice, quatre affirmations sont proposées.

Pour chacune, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, puis justifier la réponse.

\emph{Une réponse exacte mais non justifiée ne rapporte aucun point.}

\emph{Une réponse incorrecte n'enlève pas de point.}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Une bouteille d'eau pleine a une masse de $\np{1215}\ \mathrm{g}$.
	
	À moitié vide, elle a une masse de $840\ \mathrm{g}$.
	
	\textbf{Affirmation 1}: Cette bouteille vide pèse alors $465\ \mathrm{g}$.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Notons $x$ la masse de la bouteille vide et $M$ celle de la masse d'eau dans la bouteille lorsqu'elle est pleine.
	
	D'après l'énoncé \[ \left\{ \begin{array}{l} x+\frac{M}{2}= 840 \\ x+M=1215 \end{array} \right. \]
	
	De la seconde égalité nous déduisons $M=1215-x$ et substituant dans la première égalité $x+\frac{1215-x}{2}=840$. Cette dernière est une équation linéaire. Sa résolution =, en isolant l'inconnue $x$ conduit à $x=2\left( 840- \frac{1215}{2} \right)= 465$.
	
	On vérifie que si la bouteille pèse $460\ \mathrm{g}$ cela convient.
	
	L'affirmation est vraie.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Dans une classe de $25$ élèves, exactement $10$ élèves sont partis en vacances à la montagne l'hiver, exactement $8$ sont partis en vacances à la montagne l'été et exactement $5$ élèves sont partis en vacances à la montagne l'hiver et l'été.
	
	\textbf{Affirmation 2}: $12$ élèves de cette classe ne sont pas partis en vacances (ni l'hiver, ni l'été).
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Notons $A$ l'ensemble des élèves partis en vacances à la montagne l'hiver, $B$ l'ensemble des élèves partis en vacances à la montagne l'été.
	
	L'ensemble des élèves partis en vacances à la montagne est donc $A\cup B$. Le nombre de tels élèves est donc \[ \mathrm{Card}(A\cup B)=\mathrm{Card}(A)+\mathrm{Card}(B)-\mathrm{Card}(A\cap B)=10+8-5=13 \]
	
	L'ensemble des élèves qui ne sont pas partis, $\overline{A\cup B}$, comprend \[ \mathrm{Card}(\overline{A\cup B})=25-\mathrm{Card}(A\cup B)=25-13=12 \]
	
	L'affirmation est donc vraie.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	\textbf{Affirmation 3}: La droite ci-dessous, dans un repère orthogonal, représente la fonction affine $f$ définie par $f(x)=-3x+1$.
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	\def\xY{-2};
	\def\yY{-2};
	\def\xZ{4};
	\def\yZ{6};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) ;
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) ;
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm)node[below,fill=white]{$\x$} ;
	\foreach \y in {1}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{$\y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=-1:{5/3}] plot(\x,{3*\x +1});		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	Nous remarquons que le coefficient directeur de la droite dessinée est positif ce qui ne correspond pas à l'expression algébrique fournie.
	
	Il est aussi possible de tester une valeur particulière. L'image de $1$ devrait être $4$ ce qui ne correspond pas à l'expression algébrique.
	
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	\textbf{Affirmation 4}: Le PGCD de 2016 et 6102 est 2.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
	
	$2016=2^5\times 3^2\time 7$ et $6102=2\times 3^3 \times 13$. Donc leur PGCD est $2\times 3^2=18$.
	
	\medskip 
	En utilisant l'algorithme d'Euclide.
	
	\begin{align*}
	6102 &= 2016 \times 3+54\\
	2016 &=54 \times 37+\framebox{18}\\
	54 &= 18\ times 3
	\end{align*}
	
	Donc le PGCD de $2016$ et $6102$ est $18$.
	
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}

Un enseignant demande à ses élèves d'une classe de troisième d'appliquer le programme de calcul suivant:

	\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item choisi un nombre $a$ quelconque;
	\item le multiplier par $4$;
	\item ajouter $7$ à ce produit;
	\item mettre le tout au carré;
	\item écrire le résultat.
	\end{enumerate}

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item 
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Vérifier que le nombre obtenu sera $225$ si le nombre de départ est $2$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
	
		Construisons le tableau de fonctionnement de l'algorithme.
		
		\medskip
		\begin{tabular}{|m{3.2cm}|m{1.6cm}|}
		\hline
		Étapes & Variable $a$ \\ \hline
		Choisir $a$ & $2$ \\ \hline
		Multiplier par $4$ & $2\times 4= 8$\\ \hline
		Ajouter $7$ à ce produit & $8+7= 15$\\ \hline
		Mettre le tout au carré & $15^2=225$\\ \hline
		\end{tabular}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Déterminer le nombre obtenu, si le nombre de départ est $\frac{1}{2}$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
	
		Construisons le tableau de fonctionnement de l'algorithme.
		
		\medskip
		\begin{tabular}{|m{3.2cm}|m{1.6cm}|}
		\hline
		Étapes & Variable $a$ \\ \hline
		Choisir $a$ & $\frac{1}{2}$ \\ \hline
		Multiplier par $4$ & $\frac{1}{2}\times 4= 2$\\ \hline
		Ajouter $7$ à ce produit & $2+7= 9$\\ \hline
		Mettre le tout au carré & $9^2=81$\\ \hline
		\end{tabular}
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Montrer que pour le nombre de départ $a$, le nombre obtenu est $16a^2+56a+49$.
	
	\end{sujet}
		
	\begin{correction}

	Construisons le tableau de fonctionnement de l'algorithme.
	
	\medskip
	\begin{tabular}{|m{3.2cm}|m{1.6cm}|}
	\hline
	Étapes & Variable $a$ \\ \hline
	Choisir $a$ & $a$ \\ \hline
	Multiplier par $4$ & $a\times 4= 4a$\\ \hline
	Ajouter $7$ à ce produit & $4a+7$\\ \hline
	Mettre le tout au carré & $(4a+7)^2$\\ \hline
	\end{tabular}
	
	\medskip
	Développons, réduisons puis ordonnons l'expression $(4a+7)^2$.
	\begin{align*}
	(4a+7)^2 &= (4a)^2+2\times 4a \times 7 +7^2\\
	&= 16a^2+56a+49
	\end{align*}
	
	\end{correction}
	
	\item 
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Déterminer (s'ils existent) tous les nombres que l'on peut choisir au départ pour obtenir un résultat égal à $0$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		Autrement dit nous cherchons tous les les nombres réels $x$ tels que $16x^2+56x+49=0$.
		
		Utilisons une forme factorisée de ce trinôme
		\begin{align*}
		16x^2+56x+49=0 &\Leftrightarrow (4x+7)^2=0\\
		&\Leftrightarrow 4x+7=0\\
		&\Leftrightarrow 4x+7-7=0-7\\
		&\Leftrightarrow 4x=-7\\
		&\Leftrightarrow \frac{4x}{4}=\frac{-7}{4}\\
		&\Leftrightarrow x=-\frac{7}{4}
		\end{align*}
		
		Pour que le résultat soit $0$, $-\frac{7}{4}$ est le seul choix possible au départ.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Déterminer (s'ils existent) tous les nombres que l'on peut choisir au départ pour obtenir un résultat égal à $49$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		De même que précédemment
		\begin{align*}
		16x^2+56x+49=49 &\Leftrightarrow 16x^2+56x+49-49 = 49-49\\
		&\Leftrightarrow 16x^2+56x=0\\
		&\Leftrightarrow (16x+56)x=0 \\
		&\Leftrightarrow x=0 \text{ ou }16x+56=0 \\
		&\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } 16x+56-56=0-56\\
		&\Leftrightarrow x=0 \text{ ou }16x=-56\\
		&\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } \frac{16x}{16}=\frac{-56}{16}\\
		\Leftrightarrow x=-\frac{7}{2}
		\end{align*}
		
		Pour que le résultat soit $49$, $-\frac{7}{2}$ et $0$ sont les seuls choix possibles au départ.
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Déterminer (s'ils existent) tous les nombres que l'on peut choisir au départ pour obtenir un résultat égal à $-1$.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		L'équation $(4x+7)^2=-1$ n'admet pas de solution (réelle) puisque le carré d'un nombre réel est un nombre positif.
		
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}

\end{document}

\section{Graphique}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize \pgfmathparse{\x /2}\pgfmathresult};
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{4*\y }\pgfmathresult};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
		-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
		-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
		-- (2,0) 
		--(-0.5,0)
		-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};		
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\section{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (5,-1);
		\coordinate (F) at (6,0);
		\coordinate (C) at (7,1);
		\coordinate (D) at (2,2);
		\coordinate (O) at (3.5,0.5);
		\coordinate (S) at (3.5,6);
		\coordinate (J) at (3.5,3.5);
		\coordinate (K) at (3,4.666);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (O)node {$\bullet$};
		\draw (S)node {$\bullet$};
		\draw (J)node {$\bullet$};
		\draw (K)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[below]{$A$};
		\draw (B)node[below right]{$B$};
		\draw (F)node[right]{$F$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (O)node[above right]{$O$};
		\draw (S)node[above]{$S$};
		\draw (J)node[above right]{$J$};
		\draw (K)node[below right]{$K$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
		\draw[blue, thick](A)--(S);
		\draw[blue, thick](B)--(S);
		\draw[blue, thick](C)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
		\draw[blue, thick](F)--(S);
		\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
		\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
		\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
		\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
		\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\section{Arbre.}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A1) at (3.2,2);
		\coordinate (A2) at (3.2,1.2);
		\coordinate (A3) at (3.2,-0.4);
		\coordinate (A4) at (3.2,-1.2);
		\coordinate (A5) at (3.2,-2);
		\coordinate (A6) at (3.2,-2.8);
		\coordinate (B1) at (1.6,1.7);
		\coordinate (B2) at (1.6,-1.7);
		\coordinate (C1) at (0,0);
		\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
		\draw node (A12) at (A2) {$2$};
		\draw node (A13) at (A3) {$1$};
		\draw node (A14) at (A4) {$2$};
		\draw node (A15) at (A5) {$3$};
		\draw node (A16) at (A6) {$4$};
		\draw node (B11) at (B1) {$N$};
		\draw node (B12) at (B2) {$B$};
		\draw node (C11) at (C1) {$\square$};
		\draw (B11)--(A11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw (B11)--(A12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,5$};
		\draw[color=red] (B12)--(A13)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A14)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A15)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (B12)--(A16)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$0,25$};
		\draw (C11)--(B11)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{3}{8}$};
		\draw[color=red] (C11)--(B12)node[midway]{\footnotesize\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

\section{Tab}

	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $f'(x)$ /0.8, $f(x)$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}

\section{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
	{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
		\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
		\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
		\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
		\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
		\end{tikzpicture}