%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Vrac
\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. \lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter). Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
\lstset{language=Python}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement bareme
\newenvironment{notes}{\color{violet}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!3} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}


%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%en tête puis pied de page
\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/}{CRPE 2016 sujet 1} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%Les couleurs déjà utilisées: blue = liens url, purple = mot importants, brown = correction, cyan = notes, green= exercices du manuel correspondant à la partie, orange=definition, purple = exercice, violet=proposition, corollaire et démonstration

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notes}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

\begin{document}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2016 groupe 1.}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2016_maths/crpe_2016_maths_externe_sujet_1_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2016_maths/crpe_2016_maths_externe_sujet_1_sujet.pdf}{pdf}.
		
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}


\subsection{Première partie. \hfill (13 points)}

\begin{sujet}

Monsieur Durand souhaite faire construire une piscine. Cette piscine est représentée sur le schéma ci-dessous, qui n'est pas à l'échelle.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (2,2.5);
		\coordinate (B) at (2,1);
		\coordinate (C) at (9,0);
		\coordinate (D) at (9,2.5);
		\coordinate (E) at (0,1.5);
		\coordinate (F) at (0,0);
		\coordinate (G) at (7,-1);
		\coordinate (H) at (7,1.5);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw (B)node {$\bullet$};
		\draw (C)node {$\bullet$};
		\draw (D)node {$\bullet$};
		\draw (E)node {$\bullet$};
		\draw (F)node {$\bullet$};
		\draw (G)node {$\bullet$};
		\draw (H)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[above]{$A$};
		\draw (B)node[below]{$B$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (E)node[left]{$E$};
		\draw (F)node[below left]{$F$};
		\draw (G)node[below]{$G$};
		\draw (H)node[above]{$H$};
		\draw[blue, thick](E)--(A)--(D)--(H)--(E);
		\draw[blue, thick](E)--(F);
		\draw[blue, thick](F)--(G)--(C);
		\draw[blue, thick](G)--(H);
		\draw[blue, thick](C)--(D);
		\draw[blue, thick, dashed](F)--(B)--(A);
		\draw[blue, thick, dashed](B)--(C);
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\begin{itemize}
	\item La surface horizontale apparente $EADH$ est rectangulaire;
	\item le fond $FBCG$, également rectangulaire, est en pente douce;
	\item les parois verticales $EABF$ et $HDCG$ sont rectangulaires;
	\item la paroi verticale $ABCD$ est un trapèze rectangle en $A$ et $D$;
	\item la paroi verticale $EFGH$ est un trapèze rectangle en $E$ et $H$.
	\end{itemize}

La piscine peut être vue comme un prisme droit de bases trapézoïdales $ABCD$ et $EFGH$.

\medskip
\textbf{\underline{Dimensions de la piscine de Monsieur Durand.}}

La profondeur minimale $EF$ et la profondeur maximale $HG$ de la piscine sont fixées: \[ EEF=1,10 \ \mathrm{m} \quad \text{et} \quad HG=1,50 \ \mathrm{m}. \] 
La longueur $EH$ et la largeur $AE$ de la piscine restent à déterminer.

Pour des raisons d'esthétique, Monsieur Durand souhaite que \textbf{la longueur de la piscine soit $1,6$ fois sa largeur}.

\medskip
\begin{tabular}{|m{10cm}|}
\hline On rappelle les formules suivantes:
\[\text{Aire du trapèze}=\frac{(\text{grande base}+\text{petite base})\times hauteur}{2}\]
\[ \text{Volume du prisme droit}=\text{aire de la base} \times \text{hauteur} \]
\\\hline \end{tabular}

\end{sujet}

\subsubsection{A. Volume de la piscine.}

	\begin{enumerate}
	\item \textbf{Étude graphique.}
	
	\begin{sujet}
	
	\medskip
	Le graphique donné ci-après représente le volume, en mètre cube, de la piscine en fonction de sa largeur, en mètre.

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\def\xY{-0.25};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{6};
	\def\yZ{5.8};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
	\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x };
	\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathresult};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5.3] plot(\x,{(2.08*\x *\x)/10});	
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	Répondre par lecture graphique aux questions suivantes:
	
	\end{sujet}
	
		\begin{enumerate}
		\item \begin{sujet}
		
		Quel est le volume, en mètre cube, de la piscine si la largeur vaut $3\ \mathrm{m}$? Arrondir à l'unité.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.25};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{6};
			\def\yZ{5.8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x };
			\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathresult};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5.3] plot(\x,{(2.08*\x *\x)/10});
			\draw[red,very thick, dashed] (3,0)--(3,1.9)--(0,1.9);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			$19\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{conclusion}
		
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Quelles la largeur, en mètre, de la piscine si son volume est de $27\ \mathrm{m}^3$? Arrondir au dixième.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
			\def\xY{-0.25};
			\def\yY{-0.5};
			\def\xZ{6};
			\def\yZ{5.8};
			\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
			\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
			\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
			\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
			\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
			\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
			\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
			\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x };
			\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathresult};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5.3] plot(\x,{(2.08*\x *\x)/10});
			\draw[red,very thick, dashed] (3.6,0)--(3.6,2.7)--(0,2.7);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\begin{conclusion}
			
			$3,6\ \mathrm{m}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Donner un encadrement du volume, en mètre cube, de la piscine si sa largeur est comprise entre $4\ \mathrm{m}$ et $5\ \mathrm{m}$. Arrondir les valeurs utilisées à l'unité.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
		
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}
				\def\xY{-0.25};
				\def\yY{-0.5};
				\def\xZ{6};
				\def\yZ{5.8};
				\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
				\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
				\draw[step=0.1cm,lightgray!60, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=0.5cm, lightgray, very thin] (Y) grid (Z);
				\draw[step=1cm, gray,thin] (Y) grid (Z);
				\draw[ ->,thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
				\draw[ ->,thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\x };
				\foreach \y in {0.5,1,1.5, 2,2.5, 3,3.5,4,4.5,5,5.5}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{10*\y }\pgfmathresult};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:5.3] plot(\x,{(2.08*\x *\x)/10});
				\draw[red,very thick, dashed] (4,0)--(4,3.3)--(0,3.3);
				\draw[red,very thick, dashed] (5,0)--(5,5.2)--(0,5.2);
				\draw[red,very thick] (5,0)--(4,0);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			Le volume $\mathcal{V}$ vérifie alors:
			
			\begin{conclusion}
				
				$33\le \mathcal{V} \le 52 $.
				
			\end{conclusion}
		 			
		\end{correction}
		
			
		\end{enumerate}
	
	\item \textbf{Étude algébrique.}
	
	\medskip
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Démontrer que le volume de la piscine, exprimé en mètre cube, est donné par la formule  \[ V(x)=2,08x^2 \] où $x$ désigne la largeur, en mètre, de la piscine.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Exprimons $V$ en fonction de $x$.}
			
			La piscine est un prisme dont une base est le trapèze $ABCD$ rectangle en $A$ et en $D$. Donc l'aire de cette base est 
			\begin{align*}
				A_1 &= \frac{(AB+CD)\times AD}{2}\\
				\intertext{Par hypothèse la longueur égale $1,6$ fois la largeur de la piscine donc}
				A_1 &= \frac{(1,10+1,50)\times 1,6x}{2}
			\end{align*}
			
			Donc le volume de la piscine est:
			
			\begin{align*}
				V(x) &= AE\times A_1\\
				&= x\times \frac{(1,10+1,50)\times 1,6x}{2}\\
				&=x\frac{2,60\times 1,6 x}{2}\\
				&= 2,08x^2
			\end{align*}
			
			Nous avons bien démontré que 
			
			\begin{conclusion}
				
				$V(x)=2,08x^2$.
				
			\end{conclusion}
						
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer par le calcul la valeur exacte de la largeur de la piscine correspondant à un volume de $52\ \mathrm{m}^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
				
				Nous cherchons $x$ tel que $V(x)=52$.
				
				\medskip
				\objectif{Résolvons l'équation $V(x)=52$.}
	
				\begin{align*}
					V(x)=52 &\Leftrightarrow 2,08x^2=52\\
					&\Leftrightarrow \frac{2,08x^2}{\color{orange}2,08}=\frac{52}{\color{orange}2,08}\\
					&\Leftrightarrow x^2 = 25\\
					&\Leftrightarrow x^2{\color{orange}-25}=25{\color{orange}-25}\\
					&\Leftrightarrow x^2-5^2=0\\
					\intertext{On reconnaît une identité remarquable:}
					V(x)=52 &\Leftrightarrow (x-5)(x+5)=0\\
					&\Leftrightarrow x-5=0 \text{ ou } x+5=0\\
					&\Leftrightarrow x=5\text{ ou } x=-5
				\end{align*}
				
				$x$ désignant une longueur il ne peut être négatif. Nécessairement $x=5$.
				
				\begin{conclusion}
					
					La largeur de la piscine correspondant à un volume de $52\ \mathrm{m}^3$ est $5\ \mathrm{m}$.
					
				\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{B. Mise en eau.}

\begin{sujet}

Monsieur Durand a choisi pour sa piscine une largeur de $5\ \mathrm{m}$ et une longueur de $8\ \mathrm{m}$.

Cette piscine est maintenant construite.

\end{sujet}

	\begin{enumerate}
	\item \begin{sujet}
	
	Monsieur Durand souhaite que le niveau d'eau soit à $10\ \mathrm{cm}$ du bord de la piscine. Le schéma ci-dessous n'est pas à l'échelle.
	
	
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
		\def\delta{0.2};
		\coordinate (A) at (2,2.5);
		\coordinate (A1) at (2,{2.5-\delta});
		\coordinate (B) at (2,1);
		\coordinate (C) at (9,0);
		\coordinate (D) at (9,2.5);
		\coordinate (D1) at (9,{2.5-\delta});
		\coordinate (E) at (0,1.5);
		\coordinate (E1) at (0,{1.5-\delta});
		\coordinate (F) at (0,0);
		\coordinate (G) at (7,-1);
		\coordinate (H) at (7,1.5);
		\coordinate (H1) at (7,{1.5-\delta});
		\draw (A1) node {$\bullet$};
		\draw (D1)node {$\bullet$};
		\draw (E1)node {$\bullet$};
		\draw (H1)node {$\bullet$};
		\draw (A)node[above]{$A$};
		\draw (A1)node[below right]{$A'$};
		\draw (B)node[below]{$B$};
		\draw (C)node[right]{$C$};
		\draw (D)node[above right]{$D$};
		\draw (D1)node[below right]{$D'$};
		\draw (E)node[left]{$E$};
		\draw (E1)node[below left]{$E'$};
		\draw (F)node[below left]{$F$};
		\draw (G)node[below]{$G$};
		\draw (H)node[above]{$H$};
		\draw (H1)node[below left]{$H'$};
		\draw[blue, thick](E)--(A)--(D)--(H)--(E);
		\draw[blue, thin](E1)--(A1)--(D1)--(H1)--(E1);
		\draw[blue, thick](E)--(F);
		\draw[blue, thick](F)--(G)--(C);
		\draw[blue, thick](G)--(H);
		\draw[blue, thick](C)--(D);
		\draw[blue, thick, dashed](F)--(B)--(A);
		\draw[blue, thick, dashed](B)--(C);lor=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.20] (A1)--(D1)--(H1)--(E1)--cycle;	
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\end{sujet}
		
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que la piscine contient alors $48\ \mathrm{m}^3$ d'eau. On peut utiliser les résultats de la partie A.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume d'eau.}
			
			En reprenant les raisonnements de la partie A, le volume d'eau est:
			\begin{align*}
				V_1 &= EA\times \frac{(E'F+H'G)\times EA}{2}\\
				&= 5\times \frac{\left[ (1,10-0,1)+(1,50-0,1)\right] \times 8}{2}\\
				&= 48
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Le volume d'eau est bien de $48\ \mathrm{m}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Monsieur Durand utilise un tuyau d'arrosage dont le débit est de $18$ litres par minute. Quelle est la durée de remplissage de la piscine? Donner la réponse en jours, heures et minutes, arrondie à la minute.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons la durée de remplissage.}
			
			$48\ \mathrm{m}^3=\np{48000}\ \mathrm{dm}^3=\np{48000} \ \mathrm{L}$. Le débit étant de $18\ \mathrm{L}.\mathrm{min}^{-1}$, il faudra, en minutes:
			\begin{align*}
				t_1 &= \frac{\np{48000}}{18}\\
				&= \frac{8000}{3}\\
				&\approx \np{2667}
			\end{align*}
			
			Or: \[\begin{array}{l} 2667=44\times 60 +27\\
			44=1\times 24+20 \end{array} \] donc 
			
			\begin{conclusion}
				
				le remplissage de la piscine durera $1$ jour, $20$ heures et $27$ minutes.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Un dimanche matin à $8\ \mathrm{h}$, le volume d'eau de la piscine est de $48\ \mathrm{m}^3$. Le dimanche suivant à $8\ \mathrm{h}$, Monsieur Durand constate que le niveau d'eau a baissé de $5\ \mathrm{cm}$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Déterminer la quantité d'eau perdue en une semaine.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le volume d'eau perdu en une semaine.}
			
			Le volume d'eau évaporée forme un parallélépipède rectangle dont le volume est:
			
			\begin{align*}
				V_2 &= 0,05\times EA\times EH\\
				&= 0,05\times 5\times 8\\
				&= 2
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$2\ \mathrm{m}^3$ d'eau ont été perdu en une semaine.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Quel est le pourcentage de la quantité d'eau initiale cela représente-t-il? Arrondir le résultat au dixième.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons la proportion d'eau perdue en une semaine.}
			
			Proportion correspondante:
			
			\begin{align*}
				p &= \frac{2}{48}\\
				&= \frac{1}{24}\\
				&\approx 0,042
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				Environ $4,2\ \%$ du volume initiale est perdu en une semaine.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate} 
	
\subsubsection{C. Dallage du sol autour de la piscine.}

\begin{sujet}
	
	Monsieur Durand veut faire poser des dalles carrées autour de la piscine sur une largeur de $120\ \mathrm{cm}$ comme indiqué sur le schéma ci-après où on a représenté dans le coins supérieur gauche la disposition des premières dalles convenue avec le carreleur.
	
	\textbf{Les dalles utilisées sont toutes identiques et la longueur, en centimètres, de leur côté est un nombre entier.}
	
	On néglige l'épaisseur des joints.
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\coordinate (A) at (0,0);
		\coordinate (B) at (6,0);
		\coordinate (C) at (6,4);
		\coordinate (D) at (0,4);
		\coordinate (E) at (1,1);
		\coordinate (F) at (5,1);
		\coordinate (G) at (5,3);
		\coordinate (H) at (1,3);
		\draw (A) node {$\bullet$};
		\draw[blue, thick](A)--(B)--(C)--(D)--(A);
		\draw[blue, thick](E)--(F)--(G)--(H)--(E);
		\draw[dashed](0,1)--(E)node[midway]{$\circ$};
		\draw[dashed](1,0)--(E)node[midway]{$\circ$};
		\draw[dashed](5,0)--(F)node[midway]{$\circ$};
		\draw[dashed](6,1)--(F)node[midway]{$\circ$};
		\draw[dashed](6,3)--(G)node[midway]{$\circ$};
		\draw[dashed](5,4)--(G)node[midway]{$\circ$};
		\draw[dashed](0,3)--(H)node[midway]{$\circ$};
		\draw[dashed](1,4)--(H)node[midway]{$\circ$};
		\fill[color=gray , opacity=0.3] (E)--(F)--(G)--(H)--cycle;	
		\draw(0,3.8)--(0.4,3.8)--(0.4,4);
		\draw(0,3.6)--(0.2,3.6)--(0.2,4);
		\fill[color=gray , opacity=0.2] (D)--(0,3.6)--(0.2,3.6)--(0.2,3.8)--(0.4,3.8)--(0.4,4)--cycle;	
		\draw (2.5,2)node{piscine};
		\draw[>=latex,<->](0.75,1)--(0.75,3)node[above, midway, rotate=90]{$500\ \mathrm{cm}$};
		\draw[>=latex,<->](1,3.25)--(5,3.25)node[above, midway]{$800\ \mathrm{cm}$};
		\draw[>=latex,<->](4.75,0)--(4.75,1)node[left, midway]{$120\ \mathrm{cm}$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Monsieur Durand souhaite ne pas avoir à couper de dalles. Quelles sont toutes les valeurs possibles pour la longueur du côté des dalles carrées.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $n$ la longueur en centimètres du côté d'une dalle.
		
		D'après le schéma il faut que $n$ soit un diviseur commun à $500$, $800$ et $120$, autrement dit est un diviseur de leur pgcd.
		
		{\color{orange}Pour trouver tous les diviseurs nous allons utiliser leur décomposition en facteurs premiers.}
		
		Or \[ \left\{\begin{array}{l} 500=2^2\times 5^3\\
		800 = 2^5\times 5^2\\
		120= 2^3\times 3 \times 5
		\end{array} \right. \]
		donc: $\mathrm{pgcd} (500,800,120)=2^2\times 5$.
		
		Dessinons un arbre probabiliste qui recensera toutes les utilisations de chacun des facteurs possibles:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
				%Écarts entre entre racine et premier niveau
				\def\xA{2};
				%Nombre de nœuds du premiers niveau
				\def\noA{3};
				%Nombre de nœuds du deuxième niveau
				\def\noB{6};
				%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
				\def\noBe{2};
				%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
				\def\xB{2+\xA};
				\def\yB{1};
				%Racine
				\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
				%Pour ne pas écrire les mots above et below
				\def\posA{above};
				\def\posB{below};
				%Position des nœuds du premier niveau
				%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
				\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/A1/1/$2^0$//\posA,
					nA2/A2/2/$2^1$//\posB,
					nA3/A3/3/$2^2$//\posB
				}{
					\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
					\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
					\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
				%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
				\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
					nA1/nB1/B1/1/$5^0$//\posA,
					nA1/nB2/B2/2/$5^1$//\posB,
					nA2/nB3/B3/3/$5^0$//\posA,
					nA2/nB4/B4/4/$5^1$//\posB,
					nA3/nB5/B5/5/$5^0$//\posA,
					nA3/nB6/B6/6/$5^1$//\posB
				}{
					\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
					\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
					\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
				};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
				
		Chaque chemin de l'arbre correspond à un diviseur possible du pgcd.
		
		Enfin {\color{orange}les diviseurs sont écrits suivant l'ordre dans lequel on les obtient en lisant l'arbre de haut en bas}:
		
		\begin{conclusion}
			
			$n\in \{ 1;\ 5;\ 2;\ 10;\ 4;\ 20 \}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Monsieur Durand choisit des dalles carrées de $20\ \mathrm{cm}$ de côté .
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
	
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Combien de dalles seront utilisées?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons le nombre de dalles nécessaires.}
			
			Pour un carré de côté $120\ \mathrm{cm}$ il utilisera $\frac{120}{20}\times \frac{120}{20}=36$ dalles.
			
			Pour un rectangle de dimensions $500\ \mathrm{cm}$ et $120\ \mathrm{cm}$ il utilisera $\frac{500}{20}\times \frac{120}{20}=150$ dalles.
			
			Pour un rectangle de dimensions $800\ \mathrm{cm}$ et $120\ \mathrm{cm}$ il utilisera $\frac{800}{20}\times \frac{120}{20}=240$ dalles.
			
			Il faudra donc utiliser $4\times 36+2\times 150+2\times 240$ dalles.
			
			\begin{conclusion}
				
				Il devra utiliser $924$ dalles.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			
			{\color{orange}J'ai fait le choix de calculer le nombre de dalles nécessaires pour chacun des rectangles dessinés sur la figure de l'énoncé. Nous aurions pu aussi bien calculer directement calculer le nombre de dalles nécessaires pour le grand rectangle de dimensions: $120+800+120$ et $120+500+120$.}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			En déduire le nombre de dalles nécessaires, s'il avait choisit des dalles carrées de $5\ \mathrm{cm}$ de côté.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons le nombres dalles de $5\ \mathrm{cm}$ de côté nécessaire.}
			
			Pour recouvrir une dalle de $20\ \mathrm{cm}$ de côté il faut $16$ dalles de côté $5\ \mathrm{cm}$. Donc il faudrait $16$ fois plus de dalles que de de dalles de $20\ \mathrm{cm}$ de côté. 
			
			\begin{conclusion}
				
				Il faudrait donc $\np{14784}$ dalles de $5\ \mathrm{cm}$ de côté.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}

	\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie. \hfill (13 points)}

\begin{sujet}
	
	\begin{center} 
		
		\emph{Cette partie est constituée de quatre exercices indépendants.}
		
	\end{center}

\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	Voici deux programmes de calcul:
	
	\begin{tabular}{|m{5.5cm}|m{5.5cm}|}
		\hline
		Programme 1 & Programme 2 \\ \hline
			\begin{itemize}
			\item Ouvrir une feuille de calcul de tableur.
			\item Choisir un nombre.
			\item Entrer ce nombre en cellule $A1$.
			\item Saisir en cellule \texttt{B}1 la formule: \newline $=(2*\texttt{A}1+3)*(2*\texttt{A}1+3)-9$.
			\item Appuyez sur la touche \og Entrer\fg{}.
			\item Lire la valeur numérique affichée en cellule  \texttt{B}1.
			\end{itemize}
		
		&
		
			\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (-1,-2);
				\coordinate (C) at (1,-2);
				\coordinate (D) at (0,-5.5);
				\draw node (A1) at (A) {Choisir un nombre};
				\draw node[draw,minimum width=0.8cm,minimum height=0.5cm] (B1) at (B) {};
				\draw node[draw,minimum width=0.8cm,minimum height=0.5cm] (C1) at (C) {};
				\draw node[draw] (D1) at (D) {Résultat};
				\draw[>=latex,->] (A1)--(B1)node[midway, left, text width=1.6cm]{Multiplier par 4};
				\draw[>=latex,->] (A1)--(C1)node[midway, right]{Ajouter 3};
				\draw (0,-4)--(C1);
				\draw (0,-4)--(B1);
				\draw[>=latex,->] (0,-4)--(D1)node[midway, right,text width=2.5cm]{Multiplier les deux nombres obtenus};
			\end{tikzpicture}
			\end{center}
		
		\\ \hline 
	\end{tabular}

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
	
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que si on choisit $3$ comme nombre de départ, alors le résultat obtenu avec chaque programme est $72$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Démontrons que les deux programmes renvoient $72$.}
			
			{\color{orange}Nous pourrions faire un tableau d'état des variables. Cependant ici il s'agit d'un simple programme de calcul (pas de boucle ou de test conditionnel) il est donc pertinent de faire apparaître immédiatement l'expression algébrique correspondante.}
			
			\medskip 
			Notons $x$ la valeur choisie en entrée des deux programmes.
			
			\medskip
			Programme 1.
			
			Le résultat est $p_1(x)=(2x+3)^2-9$. Donc $p_1(3)=72$.
			
			\medskip
			Programme 2.
			
			Le résultat est $p_2(x)=4x(x+3)$. Donc $p_2(3)=72$.
			
			\begin{conclusion}
				
				Les deux programmes renvoient $72$ si l'on entre $3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer le résultat obtenu avec chaque programme si on choisit $-\frac{5}{4}$ comme nombre départ.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Comme précédemment on obtient
			
			\begin{conclusion} 
				
				$p_1\left( -\frac{5}{4} \right)=-\frac{35}{4}$ et $p_2\left( -\frac{5}{4} \right) =-\frac{35}{4}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Obtient-on toujours le même résultat avec les programmes $1$ et $2$ quel que soit le nombre choisi au départ? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Les résultats obtenus aux questions précédentes nous incitent à répondre par l'affirmative.}
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que, quelque soit le nombre $x$, $p_1(x)=p_2(x)$.}
		
		{\color{orange}Nous devons démontrer une propriété universelle (\og quelque soit \fg{}) notre rédaction commence donc par:}
		
		Soit $x\in \mathbb{R}$.
		
		{\color{orange}Nous savons que $p_1$ et $p_2$ sont des expressions polynomiales. Pour démontrer qu'elles sont égales nous allons déterminer la forme développée, réduite et ordonnée de chacune d'entre elles et vérifier que nous obtenons la même chose.}
		
		\begin{align*}
			p_1(x) &= (2x+3)^2-9\\
			&= (2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2 -9\\
			&= 4x^2+12x
		\end{align*}
		
		\begin{align*}
			p_2(x) &= 4x(x+3)\\
			&=4x\times x +4x\times 3\\
			&= 4x^2+12x
		\end{align*}
		
		Donc, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $p_1(x)=p_2(x)$.
		
		\begin{conclusion}
			
			Les deux programmes donnent le même résultat.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item \begin{sujet}
	
	Quel(s) nombre(s) faut-il choisir pour obtenir $0$ avec le programme $1$? Justifier.
	
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Résolvons l'équation $p_1(x)=0$.}
		
		Puisque les deux programmes donnent le même résultat:
		
		\begin{align*}
			p_1(x)=0 &\Leftrightarrow p-2(x)=0
			\intertext{\color{orange}L'expression de $p_2$ est plus intéressante puisqu'elle est factorisée et permet de se ramener à une équation produit-nul.}
			&\Leftrightarrow 4x(x+3)=0\\
			&\Leftrightarrow x=0 \text{ ou } x=-3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Pour obtenir $0$ il faut choisir $0$ ou $-3$.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 2.}

\begin{sujet}
	
	\emph{Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}
	
	\emph{Une réponse fausse n'enlève pas de points, une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Pour ce type d'exercice il n'y a pas de méthode qui marche à tout coup. Il faut soit deviner la réponse, soit la connaître (l'avoir déjà rencontrer) soit la conjecturer en faisant différents essais. Ces essais ne sont pas forcément une perte de temps: il peuvent fournir des contre-exemples.}
	
\end{correction}

\begin{enumerate}[\text{Affirmation }1:]
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\og Le produit de deux nombres décimaux strictement positifs $a$ et $b$ est plus grand qu'au moins un de ces nombres.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Il s'agit d'une propriété universelle qui est fausse. Pour démontrer qu'une propriété universelle est fausse il suffit d'exhiber un contre-exemple.}
		
		\[ \left\{ \begin{array}{l}a=0,1\\ b=0,1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} ab=0,01< a \\ ab=0,01 < b \end{array} \right. \]
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\og Pour tout entier naturel $n$ le nombre $(n+1)^2-(n-1)^2$ est un multiple de $4$.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Pour démontrer qu'une propriété universelle est vraie la rédaction commence le plus souvent par:}
		
		Soit $n\in\mathbb{N}$.
		
		{\color{orange}Pour montrer que c'est un multiple de $4$ il faudrait factoriser. Nous remarquons une identité remarquable:}
		
		\begin{align*}
			(n+1)^2-(n-1)^2 &= \left[ (n+1)-(n-1) \right] \left[ (n+1)-(n-1) \right]\\
			&= 2\times 2n\\
			&=4n
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est vraie.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		\og Pour tout entier naturel $n$ le nombre $(n-1)(n+1)-1$ est le carré d'un nombre entier.\fg{}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		{\color{orange}Trouvons un contre-exemple en essayant de petites valeur de $n$. Le plus petit entier naturel est $0$.}
		
		Si $n=0$ alors $(n-1)(n+1)-1=-2$. Or $-2$ ne peut être le carré d'un nombre (réel) car un carré est positif (ou nul), donc
		
		\begin{conclusion}
			
			L'affirmation est fausse.
			
		\end{conclusion}
			
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Une urne contient des boules de couleurs différentes indiscernables au toucher.
	
	Le nombre de boules de chaque couleur dans cette urne est indiqué sur le diagramme ci-dessous:
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=0.5]
		\foreach \y in {0,2,4,6,8} \draw(0,\y)--(10,\y);
		\foreach \x/\h in {1/3,3/4,5/5,7/7,9/6} \draw[line width=4mm,color=blue!50] (\x,0)--(\x,\h);
		\foreach \y in {0,2,4,6,8} \draw(0,\y)node[left]{\y};\foreach \n/\y in {rouge/1,vert/3,jaune/5,bleu/7,marron/9} \draw (\y,0) node [below] {\n};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

\end{sujet}

\begin{enumerate}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On tire au hasard une boule dans l'urne. On regarde sa couleur et on la remet dans l'urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit bleue?
			
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Notons $B$ l'événement \og la boule tirée est bleue\fg{}.
		
		\medskip
		\objectif{Modélisons l'expérience aléatoire puis calculons $\mathbb{P}(B)$.}
		
		La situation peut être modélisée par une loi d'équiprobabilité (loi uniforme) sur l'univers composé de l'ensemble de toutes les boules.
		
		Il y a $3+4+5+7+6=25$ boules dans l'univers.
		
		L'événement $B$ est réalisée par $7$ issues. 
		
		Donc: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathbb{P}(B)=\frac{7}{25}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On souhaite que la probabilité de tirer une boule bleue soit supérieure ou égale à $0,4$. Combien de boules bleues doit-on ajouter au minimum dans l'urne avant le tirage pour qu'il en soit ainsi?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre $n \in \mathbb{N}$ de boules à ajouter.}
				
		Modélisons l'expérience. L'univers est constitué des $25+n$ boules. La loi de probabilité est l'équiprobabilité.
		
		L'événement $B_n$, \og tirer une boule bleue\fg{}, est réalisé par $7+n$ issues.
		
		Nous souhaitons donc que
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(B_n) \geqslant 0,4 &\Leftrightarrow \frac{7+n}{25+n}\geqslant 0,4\\
			&\Leftrightarrow \frac{7+n}{25+n} {\color{orange}\times(25+n)} \geqslant 0,4 {\color{orange}\times (25+n)}\quad \text{car } 25+n>0\\
			&\Leftrightarrow 7+n \geqslant 0,4 \times 25 + 0,4 \times n\\
			&\Leftrightarrow 7+n \geqslant 10+0,4n\\
			&\Leftrightarrow 7+n  {\color{orange}-0,4n} \geqslant 10+0,4n {\color{orange}-0,4n}\\
			&\Leftrightarrow 0,6n+7 \geqslant 10\\
			&\Leftrightarrow 0,6n+7 {\color{orange}-7} \geqslant 10 {\color{orange}-7}\\
			&\Leftrightarrow 0,6n \geqslant 3\\
			&\Leftrightarrow \frac{0,6n}{\color{orange}0,6} \geqslant \frac{3}{\color{orange}0,6} \quad \text{car } 0,6>n\\
			&\Leftrightarrow n \geqslant 5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut ajouter au moins $5$ boules bleues.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On considère à nouveau l'urne dont la composition est donnée par le diagramme ci-dessus. Combien de boules rouges doit-on ajouter au minimum dans l'urne avant le tirage pour que la probabilité d'obtenir une boule bleue à l'issue d'un tirage au hasard d'une boule soit inférieure ou égale à $0,2$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons le nombre $n\in\mathbb{N}$ de boules rouges à ajouter.}
		
		En raisonnant comme précédemment:
		
		Notons $E_n$ l'événement \og obtenir une boule bleue sachant que $n$ boules rouges ont été ajoutées.\fg{}
		
		\begin{align*}
			\mathbb{P}(E_n) \le 0,2 &\Leftrightarrow \frac{7}{25+n} \leqslant 0,2\\
			&\Leftrightarrow \frac{7}{25+n} {\color{orange} \times (25+n)} \leqslant 0,2 {\color{orange} \times (25+n)} \quad \text{car } 25+n>0\\
			&\Leftrightarrow 7\leqslant 0,2(25+n)\\
			&\Leftrightarrow 7 \leqslant 5+0,2n\\
			&\Leftrightarrow 7 {\color{orange}-5} \leqslant 5+0,2n {\color{orange}-5}\\
			&\Leftrightarrow 2 \leqslant 0,2n\\
			&\Leftrightarrow \frac{2}{\color{orange}0,2} \leqslant \frac{0,2n}{\color{orange}0,2}\quad \text{car } 0,2>0\\
			&\Leftrightarrow 10 \leqslant n
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			Il faut ajouter au moins $10$ boules rouges.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\end{enumerate}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}
	
	Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=65\ \mathrm{cm}$, $AC=56\ \mathrm{cm}$ et $BC=33\ \mathrm{cm}$. Soit $R$ le point du segment $[AB]$ tel que $AR=39\ \mathrm{cm}$. La perpendiculaire à $[AC]$ passant par $R$ coupe $(AC)$ en $S$.

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Réaliser un figure à l'échelle $1/10$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
			
		\begin{tikzpicture}
			\def\theta{acos(56/65)};
			\def\t{2};
				\coordinate (A) at (0,0);
				\coordinate (B) at (6.5,0);
				\coordinate (C) at ({5.6*cos(\theta)},{5.6*sin(\theta)});
				\coordinate (R) at (3.9,0);
				\coordinate (S) at ({3.9+\t*cos(90+\theta)},{\t*sin(90+\theta)});
				\draw(A)node[left]{$A$};
				\draw(B)node[right]{$B$};
				\draw(C)node[above]{$C$};
				\draw(R)node[below left]{$R$};
				\draw(S)node[above]{$S$};
				\draw[dashed,thin][samples=100,domain=20:40] plot({5.6*cos(\x)},{5.6*sin(\x)});
				\draw[dashed,thin][samples=100,domain=90:135] plot({3.3*cos(\x)+6.5},{3.3*sin(\x)});
				%\draw[dashed,thin][samples=100,domain=170:190] plot({5.6*cos(\theta)+(6.5-3.9)*cos(\x)},{5.6*sin(\theta)+(6.5-3.9)*sin(\x)});
				%\draw[dashed,thin][samples=100,domain=90:135] plot({3.3*cos(\x)+3.9},{3.3*sin(\x)});
				\draw[blue](A)--(B)--(C)--(A);
				\draw[blue][samples=100,domain=-1:3.5] plot({3.9+\x*cos(90+\theta)},{\x*sin(90+\theta)});
		\end{tikzpicture}

	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Démontrer que $(RS)$ et $(BC)$ sont parallèles.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Puisque $(SR) \perp (AC)$ dire que $(CB) \parallel (RS)$ équivaut à dire que $(CB) \perp (AC)$. C'est cette dernière proposition que nous allons démontre.
		
		\medskip
		\objectif{Démontrons que $ABC$ est rectangle en $C$.}
		
		\[AB^2=65^2=\np{4225} \quad \text{et} \quad AC^2+BC^2=56^2+33^2=\np{4225} \] donc, par transitivité, \[ AB^2=AC^2+BC^2 \]
		
		Par conséquent, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle $C$.
		
		Ainsi $(RS)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires à $(AC)$, donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$(RS) \parallel (BC)$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En déduire la longueur $AS$.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons $AS$.}
		
		\begin{enumerate}[*]
			
			\item Configuration de Thalès: les points $A$, $S$, $C$ d'une part et $A$, $R$, $B$ d'autre part sont alignés dans cet ordre.
			
			\item $(RS)$ et $(BC)$ sont parallèles.
			
		\end{enumerate}
		
		Des points précédents nous déduisons, d'après le théorème de Thalès, que l'égalité suivante est vérifiée \[ \frac{AR}{AB}=\frac{AS}{AC}. \]
			
		Cette égalité équivaut successivement à

		\begin{align*}
			\frac{39}{65}&=\frac{AS}{56}\\
			\frac{39}{65} {\color{orange}\times 56} &= \frac{AS}{56} {\color{orange}\times 56}\\
			\frac{168}{5} &=AS
		\end{align*}
		
		Finalement: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$AS=\frac{168}{5}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer la mesure en degré de l'angle $\widehat{ARS}$ arrondie à l'unité.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons une mesure de $\widehat{ARS}$.}
				
		$ARS$ est rectangle en $S$ donc 
		
		\begin{align*}
			\sin \left( \widehat{ARS} \right) &= \frac{AS}{AR}\\
			&=\frac{\frac{168}{5}}{39}\\
			&=\frac{56}{65}
		\end{align*}
		
		En utilisant $\arcsin$ avec la calculatrice (souvent noté $\sin^{-1}$):
		
		\begin{conclusion}
			
			$\widehat{ARS}\approx 59^{\circ}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsection{Troisième partie. (14 points)}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Un enseignant de Moyenne Section de maternelle utilise le jeu ci-dessous avec ses élèves.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{c}
		\includegraphics[scale=0.2]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_01_boite.png}
		\\
		\hfill \emph{\footnotesize Atelier Boîtes à compter 1, Nathan, 2003}
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	\medskip
	La boîte contient le matériel suivant:
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Des jetons classiques transparents
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_02_jetons.png}
			&
			Des jetons-animaux opaques
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_03_jetons.png}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	\medskip
	
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X}|}
			\hline
			\multicolumn{2}{|c|}{Des boîtes à compter où l'on insère une carte}
			\\
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_04_boite_a_cartes.png}
			&
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_05_boite_a_cartes.png}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	\medskip
	\begin{center}
		\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
			\hline
			Des cartes variées comme par exemple
			\\
			\hline
			Carte A
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_06_carte.png}
			\\
			\hline
			Carte B
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_07_carte.png}
			\\
			\hline
			Carte C
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_08_carte.png}
			\\
			\hline
			Carte D
			
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_09_carte.png}
			\\
			\hline
		\end{tabularx}
	\end{center}
	
	Pour chaque élève, l'enseignant choisit une carte et des jetons (animaux ou classiques). L'objectif du maître est de faire réaliser par l'élève des collections de jetons de cardinaux identiques à ceux de la carte.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour chacune des configurations matérielles ci-dessous:
			
			\begin{itemize}
				\item donner deux méthodes que pourraient utiliser les élèves pour dénombrer les collections proposées.
				
				\item donner deux erreurs que les élèves sont susceptibles de faire en réalisant les collections.
			\end{itemize}
			
			\begin{center}
				\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					\emph{Configuration 1}
					
					\\
					
					carte D $+$ boîte $+$ jetons-tigre
					
					\\
					\hline
					\\
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_10_configuration.png}
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
			\end{center}
			
			
			\begin{center}
				\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					\emph{Configuration 2}
					
					\\
					
					carte C $+$ pas de boîte $+$ jetons classiques
					
					\\
					\hline
					\\
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_11_configuration.png}
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Voici deux réalisations d'élèves pour la \emph{configuration 2}.
			
			Que semblent-t-il avoir compris tous les deux? Analyser les différences éventuelles.
			
			\begin{center}
				\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					
					Louise
					
					\\
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_12_louise.png}
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
			\end{center}
			
			\begin{center}
				\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{1}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
					\hline
					
					Kévin
					
					\\
					\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_13_kevin.png}
					\\
					\hline
				\end{tabularx}
			\end{center}
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici une autre production d'élève en réponse à un autre configuration matérielle.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_14_eleve.png}
		\end{center}
		
		Citer une facilité et une difficulté qu'apporte le choix d'une configuration matérielle incluant une boîte.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	Le problème suivant est proposé à une classe de cycle $3$.
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			\hfill \og Les chameaux et les dromadaires \fg{} \hfill
			\\
			Dans un troupeau composé de chameaux ($2$ bosses) et de dromadaires (1 bosse), on compte $12$ têtes et $20$ bosses.
			\\
			Combien y a-t-il de dromadaires
			\\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici la réponse de Quentin.
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|c|}
				\hline
				\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_15_quentin.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer sa démarche.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Appliquer le raisonnement de Quentin au problème suivant: \og Dans un troupeau de chameaux ($2$ bosses) et de dromadaires ($1$ bosse), on compte $150$ têtes et $216$ bosses. Combien y a-t-il de dromadaires? \fg{}
			
		\end{sujet}	
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Voici la réponse de Ramia.
		
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=0.3]{crpe_2016_maths_externe_sujet_1_16_ramia.png}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Expliquer sa démarche.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Applique le raisonnement de Ramia au problème suivant: \og Dans un troupeau de chameaux ($2$ bosses) et de dromadaires ($1$ bosse), on compte $546$ têtes et $700$ bosses. Combien y a-t-il de dromadaires? \fg{}
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	L’exercice suivant est donné à des élèves de CM2.
	
	\begin{center}
		
		\begin{tabular}{|m{12cm}|}
			\hline
			L’aquarium de Pierre a la forme d’un pavé droit.
			
			Quand il verse $4$ litres d’eau dans l’aquarium, le niveau monte de $2\ \mathrm{cm}$.
			
			\begin{center}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
					\def\l{3};
					\def\L{5};
					\def\p{1};
					\def\q{1};
					\coordinate (A) at (0,0);
					\coordinate (B) at (\L,0);
					\coordinate (C) at ({\L+\p},\q);
					\coordinate (E) at (0,\l);
					\coordinate (F) at (\L,\l);
					\coordinate (G) at ({\L+\p},{\l+\q});
					\coordinate (H) at (\p,{\l+\q});
					\fill[color=gray , opacity=0.60] (B)--(C)--(G)--(F)--cycle;
					\draw (E)--(A)--(B)--(C)--(G)--(H)--(E)--(F)--(G);
					\draw (B)--(F);
				\end{tikzpicture}
			\end{center}
			
			\begin{enumerate}[A - ]
				\item De combien monte le niveau d’eau quand il verse $8$ litres?
				
				\item De combien monte le niveau d’eau quand il verse $6$ litres?
				
				\item Combien de litres doit-il verser pour que le niveau d’eau monte de $14\ \mathrm{cm}$?
				
			\end{enumerate}
			
			\medskip
			\emph{Extrait de l’Évaluation Nationale des Acquis des élèves en CM2, mai 2012.}
			\\
			\hline
		\end{tabular}
		
	\end{center}
	
	Proposer trois résolutions différentes pour la question B qui peuvent être attendues d’un élève de CM2. Expliciter les propriétés mathématiques sous-jacentes.
	
\end{sujet}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\def\xY{-0.5};
\def\yY{-0.5};
\def\xZ{8.5};
\def\yZ{7};
\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!30!white] (Y) grid (Z);
\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
-- (2,0) 
--(-0.5,0)
-- cycle;
\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
\coordinate (A1) at (4,3);
\coordinate (A2) at (4,1);
\coordinate (A3) at (4,-1);
\coordinate (A4) at (4,-3);
\coordinate (B1) at (2,2);
\coordinate (B2) at (2,-2);
\coordinate (C1) at (0,0);
\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
\draw node (A12) at (A2) {$2$};
\draw node (A13) at (A3) {$3$};
\draw node (A14) at (A4) {$4$};
\draw node (B11) at (B1) {$1$};
\draw node (B12) at (B2) {$2$};
\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,d,+,}%
\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\begin{lstlisting}{language=Python}
	\textbf{Inititalisation}
	for i=1 to 14:
	print("oups")
	while 1<2:
	a=input()
	test
	\end{lstlisting}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
\hline
\begin{minipage}{8cm}
	\LinesNumbered
	\SetKw{entrer}{entrer}
	\SetKw{prend}{prend la valeur}
	\SetKw{afficher}{afficher}
	\begin{algorithm}[H]
		\SetAlgoLined
		\DontPrintSemicolon
		\entrer pi
		0\;
		\Tq{1}{
			2\;
			\eSi{3}{
				4\;
				5\;
			}{
				6\;
			}
		}
		
		\Pour{7}{
			\Si{8}{
				9\;
			}
		}
	\end{algorithm}
\end{minipage}
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
\\
\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
\\
\hline
Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
\\
\hline
Série $P$ &&&&&& 
\\
\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
\hline
\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
\\
\cline{2-9}
& Sécurité &&&&&&&&&
\\
\hline
&  &&&&&&&&&
\\
\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

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\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (AA) at (-9,6.5);
\node (AA) at (AA) {};
\coordinate (BB) at (9,6.5);
\node (BB) at (BB) {};
\coordinate (CC) at (9,-6.5);
\node (CC) at (CC) {};
\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
\node (DD) at (DD) {};
\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
\end{tikzpicture}

\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
\item Épreuve de Bernoulli.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
	\item Expérience: lancer un dé.
	\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
	\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
\end{enumerate}

\item Schéma de Bernoulli.

L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.

\item Loi binomiale.

$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.

\end{enumerate}