%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractérisitque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un enironnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks} et non pas enumerate puis \task et non pas \item

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{green},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. #1} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction exercice \theExercicecorrection}
	
}{~\newline}

%environnement exercice supplémentaire
%\newenvironment{exercicesup}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \medskip \noindent \underline{\footnotesize\color{violet}Exercice \theExercice{} pour s'entraîner. } \addtocounter{Exercice}{1} \medskip \color{violet}\footnotesize}{\medskip}
\newenvironment{exerciceapplication}{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{blue} \begin{colbox}{blue!10} \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Application.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{ \end{colbox} }

\newenvironment{concours}{\color{blue} \medskip \hfill {\color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Concours.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

\newenvironment{recherche}{\color{blue} \medskip \hfill { \color{RoyalBlue}Exercice \theExercice. Recherche.} \hfill \addtocounter{Exercice}{1} \small}{\medskip}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{définition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{théorème}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{théorème}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{||m{12cm}||}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Démonstration \theDemonstration #1} \addtocounter{Demonstration}{1} \color{CadetBlue} 
	
}{}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/crpe.html}{CRPE 2015 sujet 2} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}
\exclure{details}
\exclure{bareme}
\exclure{notabene}
\exclure{exercicecorrection}
%\exclure{correction}
\exclure{preuve}
%\exclure{sujet}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\begin{center}
	
	\begin{sujet}
		
		Lien vers le corrigé seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2015_maths/crpe_2015_maths_externe_sujet_2_correction.pdf}{pdf}.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Lien vers le sujet seul: \href{http://unemainlavelautre.net/concours_examens/crpe_2015_maths/crpe_2015_maths_externe_sujet_2_sujet.pdf}{pdf}.
		
		{\color{red}Merci à Mme Gambier pour les corrections apportées.}
		
	\end{correction}
	
	\begin{sujet}
		
		\emph{Durée: 4 heures.}
		
		\emph{Épreuve notée sur $40$.}
		
	\end{sujet}
	
\end{center}

\section{Épreuve de mathématiques CRPE 2015 groupe 2.}

\subsection{Première partie.\hfill 13 points}

\begin{sujet}

L’objet de ce problème est l’étude d’une pyramide en verre, destinée à être remplie de sable pour constituer un objet de décoration.

Cette pyramide est inscriptible dans un pavé droit, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

Le pavé droit a pour dimensions: $9\ \mathrm{cm}$ de longueur, $9\ \mathrm{cm}$ de largeur et $12\ \mathrm{cm}$ de hauteur.

\begin{center}

\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
		\coordinate (A) at (6,8);
		\coordinate (B) at (9,10);
		\coordinate (C) at (3,10);
		\coordinate (D) at (0,8);
		\coordinate (E) at (6,0);
		\coordinate (F) at (9,2);
		\coordinate (G) at (3,2);
		\coordinate (H) at (0,0);
		\draw (A)node[above]{$A$};
		\draw (B)node[above]{$B$};
		\draw (C)node[above]{$C$};
		\draw (D)node[above]{$D$};
		\draw (E)node[below]{$E$};
		\draw (F)node[below]{$F$};
		\draw (G)node[below]{$G$};
		\draw (H)node[below]{$H$};
		\draw[blue, thick](H)--(E)--(D)--(C)--(B)--(F)--(D)--(A)--(E);
		\draw[blue, very thick](D)--(H)--(E)--(D)--(F)--(E);
		\draw[blue, very thick,dashed](H)--(G)--(D);
		\draw[blue, very thick,dashed](G)--(F);
		\draw[blue, thick](E)--(F);
		\draw[blue, thick](D)--(H);
		\draw[blue, thick](B)--(F);
		\draw[blue, thick](B)--(A);
		\draw[blue, thick,dashed](C)--(G)--(F);
		\fill[color=gray , opacity=0.15] (D)--(H)--(G)--(F)--cycle;
		\fill[color=gray , opacity=0.30] (E)--(F)--(G)--(H)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\end{center}

\begin{center}
\emph{Les parties \textbf{B.} et \textbf{C.} sont indépendantes de la partie \textbf{A.}}
\end{center}

\end{sujet}

\subsubsection{Partie A: réalisation d’un patron de la pyramide.}

\begin{enumerate}
	\item 
		
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Calculer les longueurs $DE$ et $DG$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $DE$.}
			
			Le triangle $DEH$ est rectangle en $H$, donc, d'après le théorème de Pythagore: \[ HE^2+HD^2=DE^2. \]
			
			Donc, toutes les longueurs étant exprimées en centimètre: 
			
			\begin{align*}
				DE^2 &= 12^2+9^2\\
				&= =225
			\end{align*}
			
			Or, $DE$ étant une longueur, c'est un nombre positif donc $DE=\sqrt{225}$.
			
			\begin{conclusion}
				
				$DE=15\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			Il est clair que, par symétrie (la base étant un carré), $DE=DG$ et donc
			
			\begin{conclusion}
				
				$DG=15\ \mathrm{cm}$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
		
		Quelle est la nature du triangle $DGF$? Du triangle $DEF$? (On ne demande pas de justification.)
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\begin{conclusion}
				
				$DGF$ est rectangle en $G$.
				
				$DEF$ est rectangle en $E$.
				
			\end{conclusion}
		
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}

	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Tracer sur la copie (sans justification) un patron de cette pyramide à l’échelle 1/3.

	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		Un patron à l'échelle $\frac{1}{3}$ en découpant trois des côtés de la base ($[EH]$, $[EF]$ et $[FG]$) et une arête menant au sommet ($[FD]$):
		
		\begin{center}
		\emph{\small Cliquez sur l'image pour avoir la version dynamique.}\newline
		\href{http://unemainlavelautre.no-ip.biz/concours_examens/crpe_2015_maths/crpe_2015_maths_externe_sujet_2_01_patron_01.ggb}{
		\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}
		\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
		\draw [color=black,dash pattern=on 2pt off 2pt, xstep=1.0cm,ystep=1.0cm] (-6.48,-3.26) grid (6.02,4.54);
		\clip(-6.48,-3.26) rectangle (6.02,4.54);
		\draw[color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.1] (-2.7454415587728422,0.3394112549695436) -- (-3.084852813742386,0.5939696961967015) -- (-3.339411254969544,0.2545584412271577) -- (-3.,0.) -- cycle; 
		\draw[color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.1] (0.,0.42426406871192957) -- (-0.42426406871192957,0.4242640687119296) -- (-0.42426406871192957,0.) -- (0.,0.) -- cycle; 
		\draw[color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.1] (3.3394112549695434,0.25455844122715776) -- (3.084852813742386,0.5939696961967015) -- (2.7454415587728422,0.3394112549695437) -- (3.,0.) -- cycle; 
			\draw [line width=1.6pt] (0.,0.)-- (0.,-3.);
		\draw [line width=1.6pt] (0.11,-1.455) -- (-0.11,-1.455);
		\draw [line width=1.6pt] (0.11,-1.545) -- (-0.11,-1.545);
		\draw [line width=1.6pt] (3.,-3.)-- (0.,-3.);
		\draw [line width=1.6pt] (1.545,-3.11) -- (1.545,-2.89);
		\draw [line width=1.6pt] (1.455,-3.11) -- (1.455,-2.89);
		\draw [line width=1.6pt] (3.,-3.)-- (3.,0.);
		\draw [line width=1.6pt] (2.89,-1.545) -- (3.11,-1.545);
		\draw [line width=1.6pt] (2.89,-1.455) -- (3.11,-1.455);
		\draw [line width=1.6pt] (3.,0.)-- (0.,0.);
		\draw [line width=1.6pt] (1.545,-0.11) -- (1.545,0.11);
		\draw [line width=1.6pt] (1.455,-0.11) -- (1.455,0.11);
		\draw [line width=1.6pt] (0.,0.)-- (0.,4.);
		\draw [line width=1.6pt] (0.,4.)-- (3.,0.);
		\draw [line width=1.6pt] (0.,0.)-- (-3.,0.);
		\draw [line width=1.6pt] (-1.455,-0.11) -- (-1.455,0.11);
		\draw [line width=1.6pt] (-1.545,-0.11) -- (-1.545,0.11);
		\draw [line width=1.6pt] (-3.,0.)-- (0.,4.);
		\draw [line width=1.6pt] (-5.4,1.8)-- (-3.,0.);
		\draw [line width=1.6pt] (-4.17,1.015) -- (-4.302,0.839);
		\draw [line width=1.6pt] (-4.098,0.961) -- (-4.23,0.785);
		\draw [line width=1.6pt] (-5.4,1.8)-- (-3.,0.);
		\draw [shift={(-3.,0.)},dash pattern=on 5pt off 5pt]  plot[domain=2.1902700177432877:2.9214433238972166,variable=\t]({1.*3.*cos(\t r)+0.*3.*sin(\t r)},{0.*3.*cos(\t r)+1.*3.*sin(\t r)});
		\draw [line width=1.6pt] (-5.4,1.8)-- (0.,4.);
		\draw [line width=1.6pt] (5.4,1.8)-- (3.,0.);
		\draw [line width=1.6pt] (4.302,0.839) -- (4.17,1.015);
		\draw [line width=1.6pt] (4.23,0.785) -- (4.098,0.961);
		\draw [shift={(3.,0.)},dash pattern=on 5pt off 5pt]  plot[domain=0.3217505543966422:0.9994588469612699,variable=\t]({1.*3.*cos(\t r)+0.*3.*sin(\t r)},{0.*3.*cos(\t r)+1.*3.*sin(\t r)});
		\draw [line width=1.6pt] (0.,4.)-- (5.4,1.8);
		\begin{scriptsize}
		\draw [fill=black] (0.,0.) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (0.14,0.28) node {$H$};
		\draw [fill=black] (0.,-3.) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (0.14,-2.72) node {$E$};
		\draw [fill=black] (3.,-3.) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (3.14,-2.72) node {$F$};
		\draw [fill=black] (3.,0.) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (3.46,-0.18) node {$G$};
		\draw [fill=black] (0.,4.) circle (1.5pt);
		\draw[color=black] (0.14,4.28) node {$D$};
		\draw [fill=black] (-3.,0.) circle (1.5pt);
		\draw [fill=black] (-5.4,1.8) circle (1.5pt);
		\end{scriptsize}
		\end{tikzpicture}
		}
		\end{center}
		
		Ou encore, la pyramide ouverte à partir du sommet $D$ et vue du dessus:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[scale={1/3}]
				\def\xH{0};
				\def\yH{0};
				\def\HE{9};
				\def\HD{12};
				\coordinate (H) at ({\xH},{\yH});
				\draw (H) node [below right] {$H$};
				\coordinate (E) at ({\xH+\HE},{\yH});
				\draw (E) node [below right] {$E$};
				\coordinate (F) at ({\xH+\HE},{\yH+\HE});
				\draw (F) node [above right] {$F$};
				\coordinate (G) at ({\xH},{\yH+\HE});
				\draw (G) node [below right] {$G$};
				\draw (E) -- (F) -- (G) --(H) -- cycle;
				\coordinate (D1) at ({\xH},{\yH-\HD});
				\draw (D1) node [below right] {$D$};
				\draw (H) -- (D1) -- (E);
				\coordinate (D2) at ({\xH+\HE+sqrt(\HD*\HD+\HE*\HE)},{\yH});
				\draw (D2) node [below right] {$D$};
				\draw (E) -- (D2) -- (F); 
				\coordinate (D3) at ({\xH},{\yH+\HE+sqrt(\HD*\HD+\HE*\HE)});
				\draw (D3) node [above] {$D$};
				\draw (F) -- (D3) -- (G);
				\coordinate (D4) at ({\xH-\HD},{\yH});
				\draw (D4) node [below right] {$D$};
				\draw (G) -- (D4) -- (H);
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\begin{sujet}
	
	\bigskip
	La pyramide est remplie avec du sable de deux couleurs différentes: la partie inférieure avec du sable rouge et la partie supérieure avec du sable blanc.
	
	\medskip
	Sur la figure ci-dessous, le point $J$ indique la hauteur à laquelle s’arrête le sable rouge; les deux couleurs de sable sont délimitées par le plan parallèle à la base de la pyramide $DEFGH$ passant par le point $J$. La section est un quadrilatère $JKLM$ où les points $K$, $L$, $M$ appartiennent respectivement aux segments $[DE]$, $[DF]$ et $[DG]$.
	
	La pyramide $DJKLM$ est une réduction de la pyramide $DEFGH$.
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\yJ{4};
			\coordinate (D) at (0,8);
			\coordinate (E) at (6,0);
			\coordinate (F) at (9,2);
			\coordinate (G) at (3,2);
			\coordinate (H) at (0,0);
			\coordinate (J) at (0,\yJ);
			\coordinate (K) at ({-(6/8)*(\yJ-8)},\yJ);
			\coordinate (L) at ({-(6/8)*(\yJ-8)+((8-\yJ)/8)*3},{\yJ+((8-\yJ)/8)*2});
			\coordinate (M) at ({((8-\yJ)/8)*3},{\yJ+((8-\yJ)/8)*2});
			\draw (D)node[above]{$D$};
			\draw (E)node[below]{$E$};
			\draw (F)node[below]{$F$};
			\draw (G)node[below]{$G$};
			\draw (H)node[below]{$H$};
			\draw (J)node[left]{$J$};
			\draw (K)node[below left]{$K$};
			\draw (L)node[above]{$L$};
			\draw (M)node[left]{$M$};
			\draw[blue, thick](H)--(E)--(D)--(H);
			\draw[blue, thick](E)--(F)--(D);
			\draw[blue, thick,dashed](H)--(G)--(D);
			\draw[blue, thick,dashed](G)--(F);
			\draw[blue, thick](J)--(K);
			\draw[blue, thick](L)--(K);
			\draw[blue, thick,dashed](J)--(M);
			\draw[blue, thick,dashed](L)--(M);
			\fill[color=gray , opacity=0.15] (J)--(K)--(L)--(M)--cycle;
			\fill[color=gray , opacity=0.3] (E)--(F)--(G)--(H)--cycle;			
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

\end{sujet}

\subsubsection{Partie B: étude d’un cas particulier.}

\begin{sujet}
		
	Dans cette partie, on donne $JH = 2\ \mathrm{cm}$.
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la nature du quadrilatère $JKLM$? Justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Nature du quadrilatère $JKLM$.}
		
		{\color{orange}On pense aux quadrilatères classiques à connaître. Les peu classiques: cerf-volant, croisé (nœud papillon), concave (pointe de flèche). Les très classiques en allant du général vers le particulier: trapèze, parallélogramme, rectangle et losange, carré.}
		
		\medskip
		La pyramide $DJKLM$ est une réduction de la pyramide $DEFGH$, donc $JKLM$ est une réduction de $HEFG$. Or $HEFG$ est un carré donc 
		
		\begin{conclusion}
			
			$JKLM$ est un carré.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Calculer les longueurs $JK$ et $JM$ en justifiant les calculs.
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $JK$.}
		
		On remarque une configuration de Thalès: les points $D$, $K$ et $E$ d'une part et $D$, $J$ et $H$ sont alignés dans cet ordre.
		
		Les plans $(JMK)$ et $(HEG)$ sont parallèles et le plan $(JKH)$ est sécant à ces deux derniers donc: $(JK)//(HE)$.
		
		Il s'en déduit, de par le théorème de Thalès, que: \[ \frac{JK}{HE}=\frac{JD}{DH}. \]
		
		D'où, les longueurs étant toutes exprimées en centimètres:

		\begin{align*}
			JK &= HE\times \frac{DH-JH}{DH}\\
			&= 9\times \left( 1 -\frac{JH}{12} \right)\\
			&= 9\times \left( 1 -\frac{2}{12} \right)\\
			&= 7,5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$JK=7,5\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		Puisque, d'après la question précédente $JKLM$ est un carré $JK=JM$ et donc
		
		\begin{conclusion}
			
			$JM=7,5\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Déterminer le volume $\mathscr{B}$ de sable blanc et le volume $\mathscr{R}$ de sable rouge contenus dans la pyramide.
		
		\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|}
		\hline
		\emph{Rappel}: volume d’une pyramide $= \frac{1}{3} \times$ aire de la base $\times$ hauteur	\\ \hline
		\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Calculons $\mathscr{B}$.}
		
		Le volume de sable blanc est le volume de la pyramide $DJKLM$. Ainsi, les longueurs étant toutes exprimées en centimètre:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{B} &= \frac{1}{3}\times JK^2\times JD\\
			&= \frac{1}{3}\times JK^2\times (12-JH)\\
			&= 187,5
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{B}=187,5\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
		\medskip
		\objectif{Calculons $\mathscr{R}$.}
		
		Le volume de sable rouge est le volume de la pyramide $DHEFG$ auquel on ôte le volume occupé par le sable blanc:
		
		\begin{align*}
			\mathscr{R} &= \frac{1}{3} \times HE^2 \times DH-\mathscr{B}\\
			&= \frac{1}{3} \times \left( 9\ \mathrm{cm} \right)^2 \times (12\ \mathrm{cm})- 187,5\ \mathrm{cm}^3\\
			&= \left( \frac{1}{3} \times 9^2 \times 12 - 187,5 \right)\ \mathrm{cm}^3
		\end{align*}
		
		\begin{conclusion}
			
			$\mathscr{R}=136,5\ \mathrm{cm}$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Partie C: étude du cas général.}

\begin{sujet}
	
	Dans cette partie la hauteur $JH$ de sable rouge est variable. On note $x$ cette hauteur, exprimée en centimètre, et respectivement $B(x)$ et $R(x)$ les volumes de sable blanc et de sable rouge contenus dans la pyramide, exprimés en fonction de $x$ et en centimètre cube.

\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelles sont les valeurs possibles pour $x$?
		
	\end{sujet}
	
	\begin{correction}
		
		\objectif{Déterminons l'ensemble des valeurs possibles pour $x$.}
		
		{\color{orange}Dans cette partie il s'agit de construire une fonction dont $x$ sera la variable. Du point de vue de cette fonction nous recherchons son ensemble de définition.}
		
		\[ \left.\begin{array}{l}
		x=JH\\
		DH=12\\
		J\in [DH]\\
		\end{array} \right\}
		\Rightarrow
		0\le x\le 12. \]
		
		Autrement dit nécessairement: 
		
		\begin{conclusion}
			
			$x\in [0\ ;\ 12]$.
			
		\end{conclusion}
		
	\end{correction}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		On a tracé ci-après les représentations graphiques des fonctions $\mathscr{B}$ et $\mathscr{R}$ dans un repère du plan:
		
		{\hspace*{-1cm}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
		\def\xA{0};
		\def\yA{0};
		\def\xB{12.5};
		\def\yB{17};
		\coordinate (A) at (\xA,\yA);
		\coordinate (B) at (\xB,\yB);
		\draw[step=0.5cm, dotted] (A) grid (B);
		\draw[step=1cm, dotted] (A) grid (B);
		\draw[ ->,very thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0) node[below left]{};
		\draw[ ->,very thick] (0, \yA) -- (0, \yB) node[below left]{};
		\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
		\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11,12} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
		\foreach \y in {2.5,5,7.5,10,12.5,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathresult};
		\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{(1/20)*0.1875*(12-\x)*(12-\x)*(12-\x)});
		\draw[red, very thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-\x)*(12-\x)*(12-\x))});
		\node (C) at  (8,-1){Hauteur de sable rouge (en cm)};
		\node (D) at  (-1.25,16){\begin{tabular}{c}Volumes \\ (en $\mathrm{cm}^3$) \\ \end{tabular}};
		\node[fill=white] (E) at  (2.25,15){\color{blue}$y=\mathscr{B}(x)$};
		\node[fill=white] (G) at  (9,15){\color{red}$y=\mathscr{R}(x)$};
		\coordinate (F) at (12,{(1/20)*(9*9*12/3)});
		\draw[dashed,very thick] (0,{(1/20)*(9*9*12/3)})--(F)--(12,0);
		\end{tikzpicture}
		}
		
		En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes:
		
	\end{sujet}

	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si la hauteur de sable rouge est $5\ \mathrm{cm}$, quels sont les volumes respectifs de sable blanc et de sable rouge dans la pyramide?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\def\xB{12.5};
				\def\yB{17};
				\coordinate (A) at (\xA,\yA);
				\coordinate (B) at (\xB,\yB);
				\draw[step=0.5cm, dotted] (A) grid (B);
				\draw[step=1cm, dotted] (A) grid (B);
				\draw[ ->,very thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0) node[below left]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yA) -- (0, \yB) node[below left]{};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11,12} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
				\foreach \y in {2.5,5,7.5,10,12.5,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathresult};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{(1/20)*0.1875*(12-\x)*(12-\x)*(12-\x)});
				\draw[red, very thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-\x)*(12-\x)*(12-\x))});
				\node (C) at  (8,-1){Hauteur de sable rouge (en cm)};
				\node (D) at  (-1.25,16){\begin{tabular}{c}Volumes \\ (en $\mathrm{cm}^3$) \\ \end{tabular}};
				\node[fill=white] (E) at  (2.25,15){\color{blue}$y=\mathscr{B}(x)$};
				\node[fill=white] (G) at  (9,15){\color{red}$y=\mathscr{R}(x)$};
				\coordinate (F) at (12,{(1/20)*(9*9*12/3)});
				\draw[dashed,very thick] (0,{(1/20)*(9*9*12/3)})--(F)--(12,0);
				\draw[dashed,thick,orange] (5,0) -- (5,{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-5)*(12-5)*(12-5))});
				\draw[dashed,thick,orange] (0,{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-5)*(12-5)*(12-5))}) -- (5,{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-5)*(12-5)*(12-5))});
				\draw[dashed,thick,orange] (0,{(1/20)*0.1875*(12-5)*(12-5)*(12-5)}) -- (5,{(1/20)*0.1875*(12-5)*(12-5)*(12-5)});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			Par lecture graphique:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{B}(5) = 65 \ \mathrm{cm}^3$ et $\mathscr{R}(5) = 260 \ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Si la hauteur de sable blanc est $5\ \mathrm{cm}$, quels sont les volumes de sable blanc et de sable rouge dans la pyramide?
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			Si la hauteur de sable est $5\ \mathrm{cm}$ alors la hauteur de sable rouge est $( 12 \mathrm{cm}) - (5\ \mathrm{cm})=7\ \mathrm{cm}$.
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\def\xB{12.5};
				\def\yB{17};
				\coordinate (A) at (\xA,\yA);
				\coordinate (B) at (\xB,\yB);
				\draw[step=0.5cm, dotted] (A) grid (B);
				\draw[step=1cm, dotted] (A) grid (B);
				\draw[ ->,very thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0) node[below left]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yA) -- (0, \yB) node[below left]{};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11,12} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
				\foreach \y in {2.5,5,7.5,10,12.5,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathresult};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{(1/20)*0.1875*(12-\x)*(12-\x)*(12-\x)});
				\draw[red, very thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-\x)*(12-\x)*(12-\x))});
				\node (C) at  (8,-1){Hauteur de sable rouge (en cm)};
				\node (D) at  (-1.25,16){\begin{tabular}{c}Volumes \\ (en $\mathrm{cm}^3$) \\ \end{tabular}};
				\node[fill=white] (E) at  (2.25,15){\color{blue}$y=\mathscr{B}(x)$};
				\node[fill=white] (G) at  (9,15){\color{red}$y=\mathscr{R}(x)$};
				\coordinate (F) at (12,{(1/20)*(9*9*12/3)});
				\draw[dashed,very thick] (0,{(1/20)*(9*9*12/3)})--(F)--(12,0);
				\draw[dashed,thick,orange] (7,0) -- (7,{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-7)*(12-7)*(12-7))});
				\draw[dashed,thick,orange] (0,{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-7)*(12-7)*(12-7))}) -- (7,{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-7)*(12-7)*(12-7))});
				\draw[dashed,thick,orange] (0,{(1/20)*0.1875*(12-7)*(12-7)*(12-7)}) -- (7,{(1/20)*0.1875*(12-7)*(12-7)*(12-7)});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			Par lecture graphique:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{B}(7) = 24 \ \mathrm{cm}^3$ et $\mathscr{R}(7) = 300 \ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item \begin{sujet}
		
		Donner un encadrement au centimètre près de la hauteur de sable rouge pour laquelle les volumes des deux sables sont égaux.
		
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons un encadrement de la hauteur, $h_0$, de sable rouge pour laquelle les volumes des deux sables sont égaux.}
			
			{\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
				\def\xA{0};
				\def\yA{0};
				\def\xB{12.5};
				\def\yB{17};
				\coordinate (A) at (\xA,\yA);
				\coordinate (B) at (\xB,\yB);
				\draw[step=0.5cm, dotted] (A) grid (B);
				\draw[step=1cm, dotted] (A) grid (B);
				\draw[ ->,very thick] (\xA, 0) -- (\xB, 0) node[below left]{};
				\draw[ ->,very thick] (0, \yA) -- (0, \yB) node[below left]{};
				\draw node[below left,fill=white](0,0){\small $0$};
				\foreach \x in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9,10,11,12} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize $\x$};
				\foreach \y in {2.5,5,7.5,10,12.5,15}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{20*\y }\pgfmathresult};
				\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{(1/20)*0.1875*(12-\x)*(12-\x)*(12-\x)});
				\draw[red, very thick][samples=100,domain=0:12] plot(\x,{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-\x)*(12-\x)*(12-\x))});
				\node (C) at  (8,-1){Hauteur de sable rouge (en cm)};
				\node (D) at  (-1.25,16){\begin{tabular}{c}Volumes \\ (en $\mathrm{cm}^3$) \\ \end{tabular}};
				\node[fill=white] (E) at  (2.25,15){\color{blue}$y=\mathscr{B}(x)$};
				\node[fill=white] (G) at  (9,15){\color{red}$y=\mathscr{R}(x)$};
				\coordinate (F) at (12,{(1/20)*(9*9*12/3)});
				\draw[dashed,very thick] (0,{(1/20)*(9*9*12/3)})--(F)--(12,0);
				\def\h{2.48};
				\draw[dashed,very thick,orange] ({\h},0) -- ({\h},{(1/20)*(9*9*12/3-0.1875*(12-\h)*(12-\h)*(12-\h))});
				\end{tikzpicture}
			}
			
			Les volumes sont égaux lorsque la hauteur de sable rouge est environ $2,5\ \mathrm{cm}$. Donc un encadrement au centimètre près de la hauteur, $h_0$, de sable rouge pour laquelle les volumes des deux sables sont égaux est: 
			
			\begin{conclusion}
				
				$2\le h_0 \le 3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
	\end{enumerate}
		
	\item 
	
	\begin{enumerate}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Montrer que $\mathscr{B}(x)=0,1875(12-x)^3$.
			
		\end{sujet}
		
		\begin{correction}
			
			\objectif{Déterminons $\mathscr{B}(x)$.}
			
			Soit $x\in [0;12]$.
			
			On a montré dans la partie B question 2 que:
			
			\begin{align*}
				JK &= 9\times \left( 1 -\frac{JH}{12} \right)\\
				&=\frac{9}{12}(12-x)\\
			\end{align*}
			
			Dans la même partie \textbf{B} la question 3 a été l'occasion de démontrer que:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{B}(x) &=  \frac{1}{3}\times JK^2\times (12-JH)\\
				\intertext{Donc:}
				\mathscr{B}(x) &= \frac{1}{3}\left[ \frac{9}{12}(12-x) \right] ^2(12-x)\\
				&=\frac{1}{3} \left( \frac{9}{12} \right) (12-x)^3
			\end{align*}
			
			Nous avons bien:
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{B}(x)= 0,1875 (12-x)^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\item 
		\begin{sujet}
			
			En déduire les valeurs exactes des réponses aux questions \textbf{C}.2.(a).
			
		\end{sujet}
			
		\begin{correction}
			
			\objectif{Calculons $\mathscr{B}(5)$.}
			
			En utilisant l'expression algébrique obtenue à la question précédente:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{B}(5) &= 0,1875 (12-5)^3
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\np{64,3125}\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
			\medskip
			\objectif{Calculons $\mathscr{R}(5)$.}
			
			Comme $\mathscr{R}=324-\mathscr{B}$:
			
			\begin{align*}
				\mathscr{R}(5) &= 324-\np{64,3125}
			\end{align*}
			
			\begin{conclusion}
				
				$\mathscr{R}(5)=\np{259,6875}\ \mathrm{cm}^3$.
				
			\end{conclusion}
			
		\end{correction}
		
		\end{enumerate}
	
	\end{enumerate}

\subsection{Deuxième partie.\hfill 13 points}

\begin{sujet}
	
	\textbf{Cette partie est constituée de quatre exercices indépendants.}

\end{sujet}

\subsubsection{Exercice 1.}

\begin{sujet}
	
	\emph{D’après le manuel \og Triangles 3\ieme \fg{} (éditions Hatier)}
	
	\medskip
	Carole, partie en vacances $10$ jours, a laissé le robinet du lavabo de la salle de bain entrouvert. Le débit de ce robinet était $3$ litres par minute ($\mathrm{L}/\mathrm{min}$).
	
	Dans la ville où habite Carole, le prix moyen de l'eau est $3,50$ \euro{} le $\mathrm{m}^3$.
	
	\medskip
	Calculer les conséquences financières de la négligence de Carole.

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons le coût $C$ de la fuite.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		
		\item On admet qu'il s'agit de $10$ jours pleins c'est-à-dire:
		
		\begin{align*}
			10 {\color{orange}\mathrm{j}} &= 10\times {\color{orange}24\ \mathrm{h}}\\
			&= 240\ {\color{WildStrawberry}\mathrm{h}}\\
			&= 240\times {\color{WildStrawberry}60\ \mathrm{min}}\\
			&= =\np{14400}\ \mathrm{min}
		\end{align*}
		
		\item À raison de $3$ litres par minutes le volume d'eau écoulé est: \[ 3\times 14400=43200\ \mathrm{L}.\]
		
		Autrement dit, puisque $1\ \mathrm{L}=1\ \mathrm{dm}^3$, ce volume est: 
		
		\begin{align*}
			43200\ \mathrm{L} &= 43200\ {\color{orange}\mathrm{dm}^3}\\
			&= 43200 {\color{orange}\times \frac{1}{1000}\ \ \mathrm{m}^3}\\
			&=43,2\ \mathrm{m}^3
		\end{align*}
		
		\item Le coût étant de $3,5$ euro par litre cela représente un coût total de:
		
		\begin{align*}
			C &= 3,5 \times 43,2
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		$C=\np{151,2}\ \text{\euro{}}$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsubsection{Exercice 2.}

	\begin{sujet}
	
	Simon lance deux dés équilibrés à six faces, numérotées $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$, puis il additionne les deux nombres obtenus. Il prétend qu’il a autant de chances d’obtenir une somme égale à $7$, qu’une somme égale à $5$. Est-ce exact?

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	{\color{orange}Modélisons l'expérience.}
	
	L'univers de l'expérience aléatoire est constitué des couples de nombres affichés sur les dés. Chacun de ces couples à la même probabilité de sortir: il y a équiprobabilité. L'univers comportant $6\times 6=36$ issues chaque issue a une probabilité de $\frac{1}{36}$.
	
	\medskip
	{\color{orange}Comme ce n'est pas l'expérience elle-même qui nous intéresse mais un nombre associé.}
	
	\medskip
	\objectif{Calculons $\mathbb{P}(X=5)$ et $\mathbb{P}(X=7)$.}
	
	Construisons une variable aléatoire, $X$, en associant à chaque couple la somme des termes. L'ensemble des valeurs prises par $X$ peut être représenté par le tableau:
	
	\begin{center}
	
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
	\hline
	&\textbf{1}&\textbf{2}&\textbf{3}&\textbf{4}&\textbf{5}&\textbf{6} \\ \hline
	\textbf{1}&2&3&4&\color{green}5&6&\color{red}7 \\ \hline
	\textbf{2}&3&4&\color{green}5&6&\color{red}7&8 \\ \hline
	\textbf{3}&4&\color{green}5&6&\color{red}7&8&9 \\ \hline
	\textbf{4}&\color{green}5&6&\color{red}7&8&9&10 \\ \hline
	\textbf{5}&6&\color{red}7&8&9&10&11 \\ \hline
	\textbf{6}&\color{red}7&8&9&10&11&12 \\ \hline
	\end{tabular}
	
	\end{center}
	
	L'événement $\{ X=5\}$ est réalisé par $4$ issues donc: $\mathbb{P}(X=5)=\frac{5}{36}$.
	
	L'événement $\{ X=7\}$ est réalisé par $6$ issues donc: $\mathbb{P}(X=7)=\frac{6}{36}$.
	
	\begin{conclusion}
		
			L'affirmation de Simon est fausse; il y a plus de chance d'obtenir une somme égale à $7$ qu'une somme égale à $5$.
			
	\end{conclusion}

\end{correction}

\subsubsection{Exercice 3.}

\begin{sujet}
	
	Une petite entreprise emploie $7$ personnes, dont $3$ femmes.
	
	Voici quelques informations sur le salaire mensuel des personnels:
	
	\medskip
	\emph{Salaires des hommes:}
	$\np{1250}\ \text{\euro{}}$; $\np{1400}\ \text{\euro{}}$; $\np{1600}\ \text{\euro{}}$; $\np{3200}\ \text{\euro{}}$
	
	\medskip
	\emph{Salaires des femmes:}
	salaire médian: $\np{1875}\ \text{\euro{}}$; salaire moyen: $\np{1700}\ \text{\euro{}}$; étendue des salaires: $\np{1000}\ \text{\euro{}}$
	
	\medskip
	Le patron de l'entreprise veut embaucher une femme supplémentaire pour respecter la parité.
	
	Calculer le salaire qu'il doit verser à cette nouvelle recrue pour que les salaires moyens des hommes et des femmes soient égaux.
	
\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons le salaire, $r$, en euro de la nouvelle recrue pour que le salaire moyen des hommes et femmes soit le même.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Le salaire moyen des hommes est: \[ \overline{x} = \frac{1250+1400+1600+3200}{4}=1862,5.\]
		
		\item Le salaire moyen des femmes est:
		
		\begin{align*}
			\overline{y} &= \frac{3\times 1700+r}{4}\\
		\end{align*}
		
		\item Les salaires moyens des hommes et des femmes seront égaux si et seulement si $r$ vérifie:
		
		\begin{align*}
			\frac{3\times 1700+r}{4} &= 1862,5\\
			\intertext{\color{orange}C'est une équation de degré 1 que nous résolvons en isolant l'inconnue.}
			\frac{3\times 1700+r}{4} {\color{orange} \times 4} &= 1862,5 {\color{orange} \times 4}\\
			3 \times 1700+r &= 7450
		\end{align*}
	\end{enumerate}

\end{correction}

\subsubsection{Exercice 4.}

\begin{sujet}

Un fleuriste reçoit 12 tulipes et 18 roses pour faire des bouquets. Il souhaite utiliser toutes ses fleurs et composer des bouquets identiques (même nombre de roses et même nombre de tulipes). Quelles sont ses différentes possibilités?

\end{sujet}

\begin{correction}
	
	\objectif{Déterminons le nombre de bouquets qu'il est possible de constituer.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item On veut le même nombre de roses dans tous les bouquets. Donc le nombre de roses, $x$ dans un bouquets est un diviseur de 18. Autrement dit $x$ est nécessairement dans $\{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 6\ ;\ 9\ ;\ 18 \}$.
		
		En effet puisque $18=2 \times 3^2$ est la décomposition en facteurs premiers de $18$ nous pouvons retrouver l'ensemble des diviseurs de $18$ grâce à un arbre:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{2};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{6};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{3};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation in {
				nA1/A1/1/$2^0$/,
				nA2/A2/2/$2^1$/
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation in {
				nA1/nB1/B1/1/$3^0$/,
				nA1/nB2/B2/2/$3^1$/,
				nA1/nB3/B3/3/$3^2$/,
				nA2/nB4/B4/4/$3^0$/,
				nA2/nB5/B5/5/$3^1$/,
				nA2/nB6/B6/6/$3^2$/
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item On veut le même nombre de tulipes dans tous les bouquets. Donc le nombre de tulipes, $y$ dans un bouquets est un diviseur de 12. Autrement dit est nécessairement dans $\{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 12 \}$.
				
		En effet puisque $12=2^2 \times 3$ est la décomposition en facteurs premiers de $12$ nous pouvons retrouver l'ensemble des diviseurs de $12$ grâce à un arbre:
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
			%Écarts entre entre racine et premier niveau
			\def\xA{2};
			%Nombre de nœuds du premiers niveau
			\def\noA{3};
			%Nombre de nœuds du deuxième niveau
			\def\noB{6};
			%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
			\def\noBe{2};
			%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
			\def\xB{2+\xA};
			\def\yB{1};
			%Racine
			\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
			%Position des nœuds du premier niveau
			%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
			\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation in {
				nA1/A1/1/$2^0$/,
				nA2/A2/2/$2^1$/,
				nA3/A3/3/$2^2$/
			}{
				\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
				\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
				\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
			};
			%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
			\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation in {
				nA1/nB1/B1/1/$3^0$/,
				nA1/nB2/B2/2/$3^1$/,
				nA2/nB3/B3/3/$3^0$/,
				nA2/nB4/B4/4/$3^1$/,
				nA3/nB5/B5/5/$3^0$/,
				nA3/nB6/B6/6/$3^1$/
			}{
				\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
				\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
				\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, above] {\ponderation};
			};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
		\item Le nombre de bouquets est donc a choisir dans $\{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 6\ ;\ 9\ ;\ 18 \}\cap \{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 4\ ;\ 6 ;\ 12 \}= \{ 1\ ;\ 2\ ;\ 3\ ;\ 6 \}$.
		\item {\color{orange}Réciproquement:
		
		\begin{itemize}
			\item si l'on fait des 1 bouquets il y aura dans chaque bouquet 12 tulipes et 18 roses.
			\item si l'on fait des 2 bouquets il y aura dans chaque bouquet 6 tulipes et 9 roses.
			\item si l'on fait des 3 bouquets il y aura dans chaque bouquet 4 tulipes et 6 roses.
			\item si l'on fait des 6 bouquets il y aura dans chaque bouquet 2 tulipes et 3 roses. 
		\end{itemize}
		}
	
	\end{enumerate}
	
	\begin{conclusion}
		
		Il est possible de faire $1$, $2$, $3$ ou $6$ bouquets.
		
	\end{conclusion}
	
\end{correction}

\subsection{Troisième partie.\hfill 14 points}

\begin{sujet}
	
	Cette partie est constituée de trois situations indépendantes.
	
\end{sujet}

\subsubsection{Situation 1.}

\begin{sujet}
	
	Le problème ci-dessous a été donné à des élèves de cycle 3 en activité de recherche.
	
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|m{10cm}|}
		\hline
		Dans une plaque de carton rectangulaire de largeur 50 cm et de longueur 60 cm, on découpe un rectangle dont la largeur est $\frac{3}{5}$ de la largeur de la plaque et la longueur est $\frac{3}{4}$ de la longueur de la plaque.
		\\
		Calcule le périmètre et l'aire du rectangle obtenu.
		\\
		\hline
	\end{tabular}
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		Dans cet exercice, les fractions apparaissent-elles comme des nombres ou comme des opérateurs? justifier.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Le problème a été proposé à trois élèves, dont les productions sont données ci-dessous:
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{7cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_02_eva_1.png}
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_03_eva_2.png}
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_04_eva_3.png}
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_05_eva_4.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{9.5cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_06_jeanne_1.png}
				
				\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_07_jeanne_2.png}
				
				\includegraphics[scale=0.5]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_08_jeanne_3.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
				
		\begin{center}
			\begin{tabular}{|m{7.25cm}|}
				\hline
				\\
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_09_maxime_1.png}
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_10_maxime_2.png}
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_11_maxime_3.png}
				
				\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_12_maxime_4.png}
				\\
				\hline
			\end{tabular}
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Pour chacun de ces trois élèves, donner deux compétences qui semblent acquises dans le domaine grandeurs et mesures.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyse de la production d’Eva: en quoi témoigne-t-elle d’une bonne compréhension de la notion de fraction malgré une erreur d’écriture?
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Analyse de la production de Maxime: en quoi son erreur d’écriture est-elle révélatrice d’une mauvaise compréhension de la notion de fraction?
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		En préparant cette activité, le professeur a hésité entre trois couples de dimensions pour le rectangle de carton:
		
		\begin{enumerate}[$\bullet$]
			
			\item $50\ \mathrm{cm}$ de largeur et $60\ \mathrm{cm}$ de longueur (dimensions finalement retenues);
			
			\item $10\ \mathrm{cm}$ de largeur et $16\ \mathrm{cm}$ de longueur;
			
			\item $10\ \mathrm{cm}$ de largeur et $14\ \mathrm{cm}$ de longueur.
			
		\end{enumerate}
		
		Argumenter l’intérêt et les difficultés éventuelles pour chacune de ces options.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 2.}

\begin{sujet}
	
	L’exercice ci-dessous est proposé à des élèves d’une classe de CM2.
	
	\begin{center}
		
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_13_cadeau.png}
		
		(Extrait de \og Vivre les maths CM2, Nathan, Programme 2008 \fg{}).
		
	\end{center}
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Citer deux pré-requis dans le domaine de la géométrie nécessaires pour résoudre cet exercice.
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		
		Un élève propose la solution suivante:
		
		\begin{center}
			
			\begin{tabular}{|m{6 cm}|}
				\hline
				$\begin{aligned}
				120-28 &= 92\\
				2 \times 18 =36\\
				2 \times 10 &= 20\\
				36+20 &=56\\
				92-56=36 &\div 2=18
				\end{aligned}$
				
				La hauteur de la boîte est de $18\ \mathrm{cm}$.
				\\
				\hline
			\end{tabular}
			
		\end{center}
		
	\end{sujet}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Retrouver les différentes étapes de son raisonnement, en analysant ses résultats partiels.
			
		\end{sujet}
		
		\item 
		
		\begin{sujet}
			
			Relever ses éventuelles erreurs ou oublis.
			
		\end{sujet}
		
	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

\subsubsection{Situation 3.}

\begin{sujet}
	
	{\hspace*{-1cm}
	\begin{tabular}{m{12cm}}
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_14_crepes_1.png}
		
		\includegraphics[scale=0.4]{crpe_2015_maths_externe_sujet_2_15_crepes_2.png}.
		
	\end{tabular}
	}
	
	(Extrait de \og Vivre les maths CM2, Nathan, Programme 2008 \fg{})
	
\end{sujet}

\begin{enumerate}
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Quelle est la principale notion du programme sur laquelle cet exercice permet de revenir?
		
	\end{sujet}
	
	\item 
	
	\begin{sujet}
		
		Proposer trois méthodes possibles pour résoudre cet exercice en cycle 3, et pour chacune, expliciter les propriétés relatives à cette notion qui ont été mobilisées.
		
	\end{sujet}
	
\end{enumerate}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[step=0.1cm,line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[step=1cm,line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left,fill=white]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2}	\draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2}	\draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[left,fill=white]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)(-2,0)(-1.5,1)(-1,1.5)(-0.5,1.8)(0,2)(0.5,1.89)(1,1.6)(1.5,1.35)(2,1)(2.5,0.55)(3,0)(3.5,-0.9)(4,-1.5)(4.5,-1.82)(5,-2)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
for i=1 #commentaire
\end{lstlisting}
%\end{minipage}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{geometry} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}